1.1.1 正弦定理

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1.1.1 正弦定理

已知两角和任意一边，已知两角和任意一边，求其他两边和一角。。【例 1】在△ABC 中，已知A = 45 ， C = 30 ， C c = 10，解三角形. 解： B =180° (A + C) =105° a b
定理的应用
c sin A 10×sin 45° ∴a = =10 2 = sinC sin30° b c = ∵ sin B sin C c sin B 10×sin 105° ∴ b= = = 5( 6 + 2 ) sin 30° sin C
a c = ∵ sin A sinC
A
c
B
【巩固练习】
6+ 2 sin 75 = 4
1.在△ABC中，已知 A=75°，B= 45°， c= 3 2 ，解三角形.
答案：C = 60°, a = 3 + 3 , b = 2 3
2.在△ABC中，已知 A=30°，B=120°， b=12 ，解三角形.
答案：C = 30°, a = 4 3 , c = 4 3
回应情境 △ABC中，已知＝75，C＝60，AC＝100，求中已知A＝，＝，＝， B AB．． c 解： = 180° (A + C) = 45° B
b c a ∵ = sin B sinC 60 b sinC 100× sin60° ∴c = = C sin B sin45° = 50 6
b
A
c
D
B
C
a
c
B
D
a b c b 同理可得 = = sin A sin B sinC sin B
在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即

【数学】1.1.1《正弦定理》课件(新人教B版必修5)

对任意三角形,这个等式都会成立吗对任意三角形这个等式都会成立吗? 这个等式都会成立吗怎么证明这个结论？怎么证明这个结论？
（一）正弦定理的证明方法一(向量法) 方法一(向量法)
已知: ABC中，CB=a,AC=b,AB=c. 求证: 求证
a b c = = s in A s in B s in C
\ a = s in A b = s in B c s in C
90
0
即等式对任意三角形都成立
B a c A b C
证法二：(等积法) 证法二：等积法) 在任意斜 ABC当中作AD⊥BC于D
c h a
A
b
∴ S ∆ABC = 1 a h 2 B ∵ h = b sin C ∴ S ∆ABC = 1 a b sin C 2
已知在Δ a,b和例1.已知在ΔABC中，c=10,A=450,C=300,求a,b和B 已知在中
解：∵c=10 A=450,C=300
a c 10sin 450 a sin A = =10 由 sin A = 得 a= 0 sin C sin 30 sin C b c 由 = sin B sin C
A+ B C sin = cos 2 2
cos( A + B ) = − cos C
3、边角关系：、边角关系： 1）大边对大角，大角对大边，等边对等角）大边对大角，大角对大边， 0,则 sin A = a , cos A = b 2）在直角三角形）在直角三角形ABC中,C=90 则中
c c
二、展示目标
请同学们思考两个问题：请同学们思考两个问题： 1.为什么会出现两个解？为什么会出现两个解？为什么会出现两个解 2.当a=1时C有几个解；当a= 有几个解；当时有几个解几个解；几个解；当a=3时C有几个解时有几个解

必修5课件 1.1.1 正弦定理

当A为锐角
当A为直角或钝角
我舰在敌岛A南50西相距12 nmile的B处，发现敌舰正由岛沿北 10西的方向以10nmile/h的速度航行，问：我舰需要以多大速度，沿什么方向航行才能用2小时追上敌舰？即追击速度为14mile/h
AC BC 又：∵△ABC中，由正弦定理： sin B sin A
AC
2.找 j 与 AB 、AC 、的夹角 CB
3。利用等式
AC + CB = AB ，与 j 作内积
比值的意义：三角形外接圆的直径2R
注意：（1）正弦定理适合于任何三角形。
a b c （2）可以证明 = = =2R（R为△ABC外接圆半径） sin A sin B sin C
（3）每个等式可视为一个方程：知三求一
ABC中，c 10, A 45 0 , C 30 0 , 求a, b和B 例1、已知在
例2、在 ABC中，b
3, B 60 0 , c 1, 求a和A, C
例3、ABC中，c
6 , A 45 0 , a 2, 求b和B, C
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
解三角形时，注意大边对大角
小结：1。正弦定理可以用于解决已知两角和一边求另两边和一角的问题。 2。正弦定理也可用于解决已知两边及一边的对角，求其他边和角的问题。 3。正弦定理及应用于解决两类问题，注意多解情况。注意： ABC中，已知a, b和A时解三角形的情况：在
人教版必修五
第一章
解三角形
1.1.1 正弦定理
正弦定理证明一（传统证法）在任意斜△ABC当中：
1 1 1 ab sin C ac sin B bc sin A S△ABC= 2 2 2 1 b a c abc 两边同除以即得： = = 2 sin C ， sin A sin B

高中数学新人教A版必修5第一章 1.1 1.1.1 正弦定理

正弦定理和余弦定理1．1.1 正弦定理(1)直角三角形中的边角之间有什么关系？(2)正弦定理的内容是什么？利用它可以解哪两类三角形？(3)解三角形的含义是什么？预习课本P 2～3，思考并完成以下问题[新知初探]1．正弦定理在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即a sin A ＝b sin B ＝c sin C. [点睛] 正弦定理的特点(1)适用范围：正弦定理对任意的三角形都成立．(2)结构形式：分子为三角形的边长，分母为相应边所对角的正弦的连等式． (3)刻画规律：正弦定理刻画了三角形中边与角的一种数量关系，可以实现三角形中边角关系的互化．2．解三角形一般地，把三角形的三个角A ，B ，C 和它们的对边a ，b ，c 叫做三角形的元素，已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形．[小试身手]1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)正弦定理适用于任意三角形( )(2)在△ABC 中，等式b sin A ＝a sin B 总能成立( ) (3)在△ABC 中，已知a ，b ，A ，则此三角形有唯一解( )解析：(1)正确．正弦定理适用于任意三角形．(2)正确．由正弦定理知a sin A ＝bsin B，即b sin A ＝a sin B .(3)错误．在△ABC 中，已知a ，b ，A ，此三角形的解有可能是无解、一解、两解的情况，具体情况由a ，b ，A 的值来定．答案：(1)√ (2)√ (3)×2．在△ABC 中，下列式子与sin Aa 的值相等的是( )A.bc B.sin B sin A C.sin C cD.c sin C 解析：选C 由正弦定理得，a sin A ＝c sin C，所以sin A a ＝sin C c .3．在△ABC 中，已知A ＝30°，B ＝60°，a ＝10，则b 等于( ) A ．5 2B ．10 3C.1033D ．5 6解析：选B 由正弦定理得，b ＝a sin Bsin A＝10×3212＝10 3.4．在△ABC 中，A ＝30°，a ＝3，b ＝2，则这个三角形有 ( )A ．一解B ．两解C ．无解D ．无法确定解析：选A ∵b <a ，A ＝30°，∴B <30°，故三角形有一解．已知两角及一边解三角形[典例] 在△ABC 中，已知a ＝8，B ＝60°，C ＝75°，求A ，b ，c . [解] A ＝180°－(B ＋C )＝180°－(60°＋75°)＝45°，由正弦定理b sin B ＝a sin A ，得b ＝a sin B sin A ＝8×sin 60°sin 45°＝46，由a sin A ＝c sin C ，得c ＝a sin C sin A ＝8×sin 75°sin 45°＝8×2＋6422＝4(3＋1)．已知三角形任意两角和一边解三角形的基本思路(1)由三角形的内角和定理求出第三个角． (2)由正弦定理公式的变形，求另外的两条边．[注意] 若已知角不是特殊角时，往往先求出其正弦值(这时应注意角的拆并，即将非特殊角转化为特殊角的和或差，如75°＝45°＋30°)，再根据上述思路求解．[活学活用]在△ABC 中，若A ＝60°，B ＝45°，BC ＝32，则AC ＝( ) A ．43 B ．2 3 C. 3D ．32解析：选B 由正弦定理得，BC sin A ＝AC sin B ，即32sin 60°＝AC sin 45°，所以AC ＝3232×22＝23，故选B.已知两边及其中一边的对角解三角形[典例] 在△ABC 中，a ＝3，b ＝2，B ＝45°，求A ，C ，c . [解] 由正弦定理及已知条件，有3sin A ＝2sin 45°，得sin A ＝32.∵a >b ，∴A >B ＝45°.∴A ＝60°或120°. 当A ＝60°时，C ＝180°－45°－60°＝75°，c ＝b sin C sin B ＝2sin 75°sin 45°＝6＋22；当A ＝120°时，C ＝180°－45°－120°＝15°，c ＝b sin C sin B ＝2sin 15°sin 45°＝6－22. 综上可知：A ＝60°，C ＝75°，c ＝6＋22或A ＝120°，C ＝15°，c ＝6－22.已知三角形两边和其中一边的对角解三角形的方法(1)首先由正弦定理求出另一边对角的正弦值．(2)如果已知的角为大边所对的角时，由三角形中大边对大角、大角对大边的法则能判断另一边所对的角为锐角，由正弦值可求锐角唯一．(3)如果已知的角为小边所对的角时，则不能判断另一边所对的角为锐角，这时由正弦值可求两个角，要分类讨论．[活学活用]在△ABC 中，c ＝6，C ＝60°，a ＝2，求A ，B ，b . 解：∵a sin A ＝c sin C ，∴sin A ＝a sin C c ＝22.∴A ＝45°或A ＝135°. 又∵c >a ，∴C >A .∴A ＝45°. ∴B ＝75°，b ＝c sin B sin C ＝6·sin 75°sin 60°＝3＋1.三角形形状的判断[典例] 在△ABC 中，a cos ⎝⎛⎭⎫π2－A ＝b cos ⎝⎛⎭⎫π2－B ，判断△ABC 的形状．解：[法一化角为边] ∵a cos ⎝⎛⎭⎫π2－A ＝b cos ⎝⎛⎭⎫π2－B ，∴a sin A ＝b sin B ．由正弦定理可得：a ·a 2R ＝b ·b2R ，∴a 2＝b 2，∴a ＝b ，∴△ABC 为等腰三角形． [法二化边为角]∵a cos ⎝⎛⎭⎫π2－A ＝b cos ⎝⎛⎭⎫π2－B ， ∴a sin A ＝b sin B .由正弦定理可得：2R sin 2A ＝2R sin 2B ，即sin A ＝sin B ， ∴A ＝B .(A ＋B ＝π不合题意舍去) 故△ABC 为等腰三角形．利用正弦定理判断三角形的形状的两条途径(1)化角为边．．．．．．将题目中的所有条件，利用正弦定理化角为边，再根据多项式的有关知识(分解因式、配方等)得到边的关系，如a ＝b ，a 2＋b 2＝c 2等，进而确定三角形的形状．利用的公式为：sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c2R. (2)化边为角．．．．．．将题目中所有的条件，利用正弦定理化边为角，再根据三角函数的有关知识得到三个内角的关系，进而确定三角形的形状．利用的公式为：a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C ．[活学活用]在△ABC 中，sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C ，且sin A ＝2sin B ·cos C ．试判断△ABC 的形状．解：由正弦定理，得sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c2R .∵sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C ， ∴⎝⎛⎭⎫a 2R 2＝⎝⎛⎭⎫b 2R 2＋⎝⎛⎭⎫c 2R 2，即a 2＝b 2＋c 2，故A ＝90°.∴C ＝90°－B ，cos C ＝sin B . ∴2sin B ·cos C ＝2sin 2B ＝sin A ＝1. ∴sin B ＝22. ∴B ＝45°或B ＝135°(A ＋B ＝225°＞180°，故舍去)． ∴△ABC 是等腰直角三角形．层级一学业水平达标1．在△ABC 中，a ＝5，b ＝3，则sin A ∶sin B 的值是( )A.53B.35C.37D.57 解析：选A 根据正弦定理得sin A sin B ＝a b ＝53. 2．在△ABC 中，a ＝b sin A ，则△ABC 一定是( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等腰三角形解析：选B 由题意有a sin A ＝b ＝b sin B，则sin B ＝1，即角B 为直角，故△ABC 是直角三角形． 3．在△ABC 中，若sin A a ＝cos C c，则C 的值为( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°解析：选B 由正弦定理得，sin A a ＝sin C c ＝cos Cc ，则cos C ＝sin C ，即C ＝45°，故选B.4．在△ABC 中，a ＝3，b ＝5，sin A ＝13，则sin B ＝( )A.15B.59C.53D ．1解析：选B 在△ABC 中，由正弦定理a sin A ＝bsin B ，得sin B ＝b sin Aa ＝5×133＝59.5．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且a ＝3b sin A ，则sin B ＝( ) A. 3 B.33C.63D ．－63解析：选B 由正弦定理得a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，所以sin A ＝3sin B sin A ，故sinB ＝33. 6．下列条件判断三角形解的情况，正确的是______(填序号)． ①a ＝8，b ＝16，A ＝30°，有两解； ②b ＝18，c ＝20，B ＝60°，有一解； ③a ＝15，b ＝2，A ＝90°，无解； ④a ＝40，b ＝30，A ＝120°，有一解．解析：①中a ＝b sin A ，有一解；②中c sin B <b <c ，有两解；③中A ＝90°且a >b ，有一解；④中a >b 且A ＝120°，有一解．综上，④正确．答案：④7．在△ABC 中，若(sin A ＋sin B )(sin A －sin B )＝sin 2C ，则△ABC 的形状是________．解析：由已知得sin 2A －sin 2B ＝sin 2C ，根据正弦定理知sin A ＝a 2R ，sin B ＝b2R ，sin C＝c2R，所以⎝⎛⎭⎫a 2R 2－⎝⎛⎭⎫b 2R 2＝⎝⎛⎭⎫c 2R 2，即a 2－b 2＝c 2，故b 2＋c 2＝a 2.所以△ABC 是直角三角形．答案：直角三角形8．在△ABC 中，若A ＝105°，C ＝30°，b ＝1，则c ＝________. 解析：由题意，知B ＝180°－105°－30°＝45°.由正弦定理，得c ＝b sin C sin B ＝1×sin 30°sin 45°＝22. 答案：229．已知一个三角形的两个内角分别是45°，60°，它们所夹边的长是1，求最小边长．解：设△ABC 中，A ＝45°，B ＝60°，则C ＝180°－(A ＋B )＝75°. 因为C >B >A ，所以最小边为a . 又因为c ＝1，由正弦定理得， a ＝c sin A sin C ＝1×sin 45°sin 75°＝3－1，所以最小边长为3－1.10．在△ABC 中，已知a ＝22，A ＝30°，B ＝45°，解三角形．解：∵a sin A ＝b sin B ＝csin C， ∴b ＝a sin B sin A ＝22sin 45°sin 30°＝22×2212＝4.∴C ＝180°－(A ＋B )＝180°－(30°＋45°)＝105°，∴c ＝a sin C sin A ＝22sin 105°sin 30°＝22sin 75°12＝42sin(30°＋45°)＝2＋2 3.层级二应试能力达标1．(2017·全国卷Ⅰ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知sin B ＋sin A (sin C －cos C )＝0，a ＝2，c ＝2，则C ＝( )A.π12B.π6C.π4D.π3解析：选B 因为sin B ＋sin A (sin C －cos C )＝0，所以sin(A ＋C )＋sin A sin C －sin A cos C ＝0，所以sin A cos C ＋cos A sin C ＋sin A sin C －sin A cos C ＝0，整理得sin C (sin A ＋cos A )＝0.因为sin C ≠0，所以sin A ＋cos A ＝0，所以tan A ＝－1，因为A ∈(0，π)，所以A ＝3π4，由正弦定理得sin C ＝c ·sin A a ＝2×222＝12，又0＜C ＜π4，所以C ＝π6.2．已知a ，b ，c 分别是△ABC 的内角A ，B ，C 的对边，若△ABC 的周长为4(2＋1)，且sin B ＋sin C ＝2sin A ，则a ＝( )A. 2 B ．2 C ．4D ．2 2解析：选C 根据正弦定理，sin B ＋sin C ＝2sin A 可化为b ＋c ＝2a ， ∵△ABC 的周长为4(2＋1)，∴⎩⎨⎧a ＋b ＋c ＝4(2＋1)，b ＋c ＝2a ，解得a ＝4.故选C. 3．(2017·山东高考)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若△ABC 为锐角三角形，且满足sin B (1＋2cos C )＝2sin A cos C ＋cos A sin C ，则下列等式成立的是( )A ．a ＝2bB ．b ＝2aC ．A ＝2BD ．B ＝2A解析：选A 由题意可知sin B ＋2sin B cos C ＝sin A cos C ＋sin(A ＋C )，即2sin B cos C ＝sin A cos C ，又cos C ≠0，故2sin B ＝sin A ，由正弦定理可知a ＝2b .4．如图，正方形ABCD 的边长为1，延长BA 至E ，使AE ＝1，连接EC ，ED ，则sin ∠CED ＝( )A.31010B.1010C.510D.515解析：选B 由题意得EB ＝EA ＋AB ＝2，则在Rt △EBC 中，EC ＝EB 2＋BC 2＝4＋1＝ 5.在△EDC 中，∠EDC ＝∠EDA ＋∠ADC ＝π4＋π2＝3π4，由正弦定理得sin ∠CED sin ∠EDC ＝DC EC ＝15＝55，所以sin ∠CED ＝55·sin ∠EDC ＝55·sin 3π4＝1010. 5．在△ABC 中，A ＝60°，B ＝45°，a ＋b ＝12，则a ＝________. 解析：因为a sin A ＝b sin B ，所以a sin 60°＝bsin 45°，所以32b ＝22a ，① 又因为a ＋b ＝12，② 由①②可知a ＝12(3－6)．答案：12(3－6)6．在△ABC 中，若A ＝120°，AB ＝5，BC ＝7，则sin B ＝_______. 解析：由正弦定理，得AB sin C ＝BC sin A ，即sin C ＝AB ·sin ABC＝5sin 120°7＝5314. 可知C 为锐角，∴cos C ＝1－sin 2C ＝1114. ∴sin B ＝sin(180°－120°－C )＝sin(60°－C ) ＝sin 60°·cos C －cos 60°·sin C ＝3314.答案：33147．已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知A －C ＝90°，a ＋c ＝2b ，求C .解：由A －C ＝90°，得A 为钝角且sin A ＝cos C ，利用正弦定理，a ＋c ＝2b 可变形为sin A ＋sin C ＝2sin B ，又∵sin A ＝cos C ，∴sin A ＋sin C ＝cos C ＋sin C ＝2sin(C ＋45°)＝2sin B ，又A ，B ，C 是△ABC 的内角，故C ＋45°＝B 或(C ＋45°)＋B ＝180°(舍去)，所以A ＋B ＋C ＝(90°＋C )＋(C ＋45°)＋C ＝180°. 所以C ＝15°.8．在△ABC 中，已知c ＝10，cos A cos B ＝b a ＝43，求a ，b 及△ABC 的内切圆半径．解：由正弦定理知sin B sin A ＝b a ，∴cos A cos B ＝sin Bsin A .即sin A cos A ＝sin B cos B ，∴sin 2A ＝sin 2B . 又∵a ≠b ，∴2A ＝π－2B ，即A ＋B ＝π2.∴△ABC 是直角三角形，且C ＝90°，由⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＝102，b a ＝43得a ＝6，b ＝8.故内切圆的半径为r ＝a ＋b －c 2＝6＋8－102＝2.。

1.1.1正弦定理1

图2 C
D
思考
a b c ＝求证: ＝ sin A sin B sin C
＝？
2R
（2R为△ABC外接圆直径）
1.1.1正弦定理
在Rt△ABC中,各角与其对边的关系:
b a sin B sin A c c c sin C 1
c
不难得到:
b
A
c
a b c sin A sin B sin C
C
a
B
在非直角三角形ABC中有这样的关系吗?
C
b
A c
a
B
(1)若三角形是锐角三角形, 如图 1, 过点A作AD⊥BC于 D, AD , sin C 此时有 sin B AD c b
应用正弦定理化边为角：
＝
2R
a 2R sin A, b 2R sin B, c 2R sin C
a b c 或化角为边：sin A ,sin B ,sin C 2R 2R 2R
课堂练习：
1.已知ABC的三个内角之比为A : B : C 3: 2 :1,
2：31 ：那么对应的三边之比a : b : c等于 ____________
B 30 , C 105
0

（三角形中大边对大角）
a sin C 2 6 2 c 3 1 sin A 4 2 2
课堂小结
（1）三角形常用公式： A B C
a b c 正弦定理： sin A sin B sin C

（2）正弦定理应用范围：
① ②
已知两角和任意边，求其他两边和一角已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角。(注意解的情况)
(2)已知两边和其中一边的对角,求其他边和角.

1.1.1正弦定理

[评析 (1)已知三角形的任意两个角和一边，由三角形评析] 已知三角形的任意两个角和一边评析已知三角形的任意两个角和一边，内角和定理，可以先求出三角形的另一角，内角和定理，可以先求出三角形的另一角，并由正弦定理计算出三角形的另两边．算出三角形的另两边． (2)运算过程中，运算过程中，要注意三角函数公式的应用，运算过程中要注意三角函数公式的应用，此题中对 105°作了“拆角”处理．作了“ 作了拆角”处理．
[评析 (1)已知两边及一边对角时，解三角形可用正弦评析] 已知两边及一边对角时，评析已知两边及一边对角时定理，关键是准确判断解的情况，可能出现一解、定理，关键是准确判断解的情况，可能出现一解、两解或无解的情况．解的情况． (2)在三角形中，在三角形中，在三角形中注意运用大边对大角或大角对大边的性局限于一个三角形中)．质(局限于一个三角形中．局限于一个三角形中
4．利用正弦定理解三角形的类型及其解的情况． (1)已知两角与一边，用正弦定理，有解时，只有一解．已知两角与一边用正弦定理，有解时，只有一解．已知两角与一 (2)已知两边及其中一边的对角，已知两边及其中一边的对角，用正弦定理，已知两边及其中一边的对角用正弦定理，可能有两一解或无解．解、一解或无解．在△ABC 中，已知 a，b 和 A 时，解的情，况如下：况如下：
A 为锐角
A 为钝角或直角
图形
①a＝＝ bsinA< 关系式 bsinA a<b ②a≥b ≥ 两解解的个数一解
a< bsinA 无解
a>b 一解
a≤b ≤ 无解
已知两角及一边解三角形已知三角形的两角和任一边解三角形，基本思路是：已知三角形的两角和任一边解三角形，基本思路是： (1)若所给边是已知角的对边时，若所给边是已知角的对边时，若所给边是已知角的对边时可由正弦定理求另一角所对边，再由三角形内角和定理求出第三个角．所对边，再由三角形内角和定理求出第三个角． (2)若所给边不是已知角的对边时，若所给边不是已知角的对边时，若所给边不是已知角的对边时先由三角形内角和定理求出第三个角，再由正弦定理求另外两边．理求出第三个角，再由正弦定理求另外两边．

1.1.1正弦定理2012.4.26

(正确解法正确解法)解：根据正弦定理，正确解法
b ⋅ sin A 25 ⋅ sin 133 sin B = = ≈ 0.8311 a 22
0
∵00<B<1800且a<b 而A=1330 ∴这样的三角形不存在！这样的三角形不存在！
练习:P4 2
正弦定理的另一种证法
证二:如图，圆⊙O为△ABC的外接圆，
0
∴B≈640
错！
∵00<B<1800且a<b ∴B≈640或B≈1160 (1)当B≈640时，… (2)当B≈1160时，… 特别注意！
20 3 变例一：在△ABC中，已知a=20cm，b= 3
cm，A=600，解三角形（角度精确到10,边长精确到1cm）. 解：根据正弦定理，
3 20 ⋅ sin 60 0 b ⋅ sin A 1 3 sin B = = = 20 2 a
例2：在△ABC中，已知a=20cm，b=28cm， ABC中已知a=20cm，b=28cm， a=20cm 解三角形（角度精确到1 A=400，解三角形（角度精确到10,边长精确到 1cm） 1cm）.
C b A a c B
解：根据正弦定理，
b ⋅ sin A 28 ⋅ sin 40 sin B = = ≈ 0.8999 a 20
π
a C
a = sin A c
B
b = sin B c
c A
b
二、提出问题：提出问题：三角形中的边与角的关系能够通过哪些式子准确量化的表示？确量化的表示？探究一：探究一：在Rt△ABC中，结合三角函数，探究 △ 中结合三角函数，边角关系？边角关系？
A
a b = sin A = sin B c c a b ⇒ = = c sinC=1 sin A sin B a b c ⇒ = = sin A sin B sin C

1.1.1正弦定理

C/
1 1 1 另证2: S absin C = bc sin A = ac sin B ∆ABC = 2 2 2
A
c
B
b
ha
1 证明： S∆ABC = aha ∵ 2
Da 同理 ∴
S∆ABC = absin C = bc sin A = ac sin B 2 2 2
1 1 S∆ABC = acsin B = absinC 2 2 1 S∆ABC = bcsin A 2 1 1 1
D
b c = , 所以AD=csinB=bsinC, 即 sin B sin C
a c 同理可得 = , sin A sin C
a b c 即： = = sin A sin B sinC
若三角形是钝角三角形且角如图2, 若三角形是钝角三角形,且角是钝角如图钝角三角形且角C是过点A作AD⊥BC，交BC延长线于D, 此时也有 sin B =
剖析定理、加深理解
a b c 正弦定理：正弦定理： = = = 2R sin A sin B sinC
2、A+B+C=π 3、大角对大边，大边对大角大角对大边，
剖析定理、加深理解
a b c 正弦定理：正弦定理： = = = 2R sin A sin B sinC
4、一般地，把三角形的三个角A，B，C 一般地，把三角形的三个角A 和它们的对边a 叫做三角形的元和它们的对边a，b，c叫做三角形的元素。已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫解三角形的过程叫解三角形
a
B
N
一解
已知A、a、b；求B
(1)A < 90°时 d = asin A
d < a < b时

1.1.1正弦定理(一)

第一章解三角形1．1.1正弦定理（一）一．知识归纳1．一般地，把三角形的三个角A，B，C和它们的对边a，b，c叫做三角形的________．已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做________________．2．在Rt△ABC中，C＝90°，则有：(1)A＋B＝________，0°<A<90°，0°<B<90°；(2)a2＋b2＝________(勾股定理)；(3)sin A＝____________，cos A＝____________，tan A＝__________，sin B＝________，cos B ＝________，tan B＝________；(4)asin A＝________，bsin B＝________，csin C＝________.3．正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即____________，这个比值是________________________．二．典例分析知识点一已知两角和一边解三角形例1在△ABC中，a＝5，B＝45°，C＝105°，解三角形．知识点二已知两边及其中一边的对角解三角形例2在△ABC中，a＝23，b＝6，A＝30°，解三角形．知识点三已知两边及其中一边的对角，判断三角形解的个数例3不解三角形，判断下列三角形解的个数．(1)a＝5，b＝4，A＝120°；(2)a＝9，b＝10，A＝60°；(3)c＝50，b＝72，C＝135°.三．当堂检测1.在△ABC中，若b＝2，B＝30°，C＝135°，则a＝________.2.在锐角△ABC中，角A，B所对的边长分别为a，b.若2a sin B＝3b，则角A等于3.在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知A＝60°，a＝3，b＝1，则c等于()A．1 B．2 C.3－1 D. 34.在△ABC中，a、b、c分别是△ABC的内角A、B、C的对边，b＝2，c＝1，B＝45°，则a＝( )A.6±22B.6－22C.6＋24D.6＋22第一章解三角形1．1.1正弦定理（一）一、选择题1．在△ABC 中，下列等式中总能成立的是( )A ．a sin A ＝b sinB B ．b sinC ＝c sin A C ．ab sin C ＝bc sin BD ．a sin C ＝c sin A 2．在△ABC 中，已知a ＝18，b ＝16，A ＝150°，则这个三角形解的情况是( )A ．有两个解B ．有一个解C ．无解D ．不能确定 3．在△ABC 中，已知a ＝8，B ＝60°，C ＝75°，则b 等于( )A ．4 2B ．4 3C ．4 6 D.3234．在△ABC 中，根据下列条件解三角形，其中有两解的是( )A ．b ＝10，A ＝45°，C ＝70°B ．a ＝30，b ＝25，A ＝150°C ．a ＝7，b ＝8，A ＝98°D ．a ＝14，b ＝16，A ＝45° 二、填空题 5．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，如果c ＝3a ，B ＝30°，那么角C 等于________. 6．在△ABC 中，AC ＝6，BC ＝2，∠B ＝60°，则C ＝________. 7．在△ABC 中，已知a 、b 、c 分别为内角A 、B 、C 的对边，若b ＝2a ，B ＝A ＋60°，则A ＝__________. 8．在△ABC 中，a ＝x ，b ＝2，B ＝45°，若三角形有两解，则x 的取值范围是______________．三、解答题9．在△ABC 中，若a ＝23，A ＝30°，讨论当b 为何值时(或在什么范围内)，三角形有一解，有两解或无解？10．在锐角三角形ABC 中，A ＝2B ，a 、b 、c 所对的角分别为A 、B 、C ，求ab的取值范围．答案详解第一章解三角形 §1.1 正弦定理和余弦定理 1．1.1 正弦定理(一)知识梳理1．元素解三角形2．90° (2)c 2 (3)a c b c a b b c a c ba(4)c c c3.a sin A ＝b sin B ＝c sin C三角形外接圆的直径2R 例1 解由三角形内角和定理知A ＋B ＋C ＝180°，所以A ＝180°－(B ＋C )＝180°－(45°＋105°)＝30°.由正弦定理a sin A ＝b sin B ＝csin C ，得b ＝a ·sin B sin A ＝5·sin 45°sin 30°＝52；c ＝a ·sin C sin A ＝5·sin 105°sin 30°＝5·sin (60°＋45°)sin 30°＝5·sin 60°cos 45°＋cos 60°sin 45°sin 30°＝52(6＋2)．例2 解 a ＝23，b ＝6，a <b ，A ＝30°<90°. 又因为b sin A ＝6sin 30°＝3，a >b sin A ，所以本题有两解，由正弦定理得：sin B ＝b sin A a ＝6sin 30°23＝32，故B ＝60°或120°.当B ＝60°时，C ＝90°，c ＝a 2＋b 2＝43；当B ＝120°时，C ＝30°，c ＝a ＝2 3. 所以B ＝60°，C ＝90°，c ＝43或B ＝120°， C ＝30°，c ＝2 3.例3 解 (1)sin B ＝b a sin 120°＝45×32<32，所以三角形有一解．(2)sin B ＝b a sin 60°＝109×32＝539，而32<539<1，所以当B 为锐角时，满足sin B ＝539的角有60°<B <90°，故对应的钝角B 有90°<B <120°，也满足A ＋B <180°，故三角形有两解．(3)sin B ＝b sin C c ＝7250sin C >sin C ＝22，所以B >45°，所以B ＋C >180°，故三角形无解．当堂检测 1. 6－22. π33 B [由正弦定理a sin A ＝bsin B，可得3sin 60°＝1sin B，∴sin B ＝12，故∠B ＝30°或150°.由a >b ，得∠A >∠B ，∴∠B ＝30°，故∠C ＝90°，由勾股定理得c ＝2.] 4 C课时作业1．D [由正弦定理知D 正确．]2．B [因为a >b ，A 为钝角，所有只有一个解．]3．C [方法一根据三角形内角和定理，A ＝180°－(B ＋C )＝45°.根据正弦定理，b ＝a sin Bsin A＝8sin 60°sin 45°＝4 6.方法二如图，过点C 作CD ⊥AB ，由条件可知A ＝45°，而由CD ＝a sin 60°＝b sin 45°，得b ＝4 6.]4．D [对于A ，由三角形的正弦定理知其只有一解；对于B ，∵a >b ，即A >B ，且A ＝150°，∴只有一解；对于C ，a <b ，即A <B ，且A ＝98°，∴无解．]5．120° [∵c ＝3a ，∴sin C ＝3sin A ＝3sin(180°－30°－C )＝3sin(30°＋C )＝3⎝⎛⎭⎫32sin C ＋12cos C ，即sin C ＝－3cos C ．∴tan C ＝－ 3. 又C ∈(0，π)，∴C ＝120°.] 6．75°解析由正弦定理2sin A ＝6sin 60°，∴sin A ＝22.∵BC ＝2<AC ＝6，∴A 为锐角，∴A ＝45°.∴C ＝75°. 7．30°解析 b ＝2a ⇒sin B ＝2sin A ，又∵B ＝A ＋60°，∴sin(A ＋60°)＝2sin A ，即sin A cos 60°＋cos A sin 60°＝2sin A ，化简得sin A ＝33cos A ，∴tan A ＝33，∴A ＝30°.8．2<x <2 2解析因三角形有两解，所以a sin B <b <a ，即22x <2<x ，∴2<x <2 2.即b ≤23或b ＝43时，有一解；当b sin A <a <b ，即23<b <43时，有两解． 10．解在锐角三角形ABC 中，A 、B 、C <90°，即⎩⎪⎨⎪⎧B <90°，2B <90°，180°－3B <90°，∴30°<B <45°.由正弦定理知： a b ＝sin A sin B ＝sin 2B sin B＝2cos B ∈(2，3)，故所求的范围是(2，3)．。

1.1.1正弦定理

1.1.1正弦定理正弦定理是中学数学中比较重要的一个定理，它可以用来求解任意三角形的边长和角度大小。

正弦定理是三角形学中最基本、最通用的定理之一，它的应用范围很广，并且在其他分支学科中也有很多实际应用。

在三角形ABC中，假设BC=a，AC=b，AB=c，∠A的对边为a，∠B的对边为b，∠C的对边为c。

则正弦定理的表述是：$$\frac{a}{\sin\angle A} = \frac{b}{\sin\angle B} = \frac{c}{\sin\angle C}$$其中，a、b、c分别为三角形ABC中BC、AC、AB的边长，∠A、∠B、∠C分别为三角形ABC的内角大小，sin指的是这些角的正弦值。

正弦定理解题的基本步骤有以下几步：（1）确定三角形ABC的已知数据，包括三边和三角度数中的已知数据；（2）应用正弦定理，根据已知数据求解未知数据；（3）特别注意角度的选择，有时需要用到角的补角或余角。

以下是一些正弦定理的应用实例：例1：已知三角形的两条边及夹角，求第三边的长度。

则：由正弦定理，有：即：因为$\sin\angle C\leq 1$，所以：同理，可以求得BC的另一角度∠C。

解：设三角形ABC的第一边为AB=a，角度A为∠A，角度B为∠B，已知数据为a和∠A、∠B，要求的为第二边的长度BC=b。

所以：其中，角B的大小为：其中角C可以用第二个角度公式求得，即：（注：第二个角度公式指的是正弦公式的逆变形式，即给定三角形的两条边和夹角，则可以根据正弦公式求得未知角度。

）正弦定理不仅仅在数学中有重要的应用，它也被广泛应用于实际生活中的许多领域。

例如，它在建筑学中可以用来计算建筑物的高度和角度；在航空和航海中可以用来计算航线的长度和方向；在地理和地质学中可以用来计算地球上两个点之间的距离等等。

因此，熟练掌握正弦定理的公式和应用方法是十分必要的。

1.1.1正弦定理

一、解斜三角形（求边a,b,c;求角A,B,C.）；二、在三角形中实现边角互化.（a=2RsinA）
正弦定理在解斜三角形中的三类应用:
(1)、已知两角和任一边,求一角和其他两条边.
aa
bb
c 2R
sin A sin BB sin CC
(2)、已知两边和其中一边的对角,求另一边的对角(进而求其他的角和边)
4、在ABC中，若 3a=2bsinA,那么B的值是 C
A 、
B 、
3
6
C、或 2
33
D、或 5
66
5、在ABC中，AC= 3，A=45 ，C=75 ，那么 BC=___2__
6、在ABC中，a+b=12, A=60 ,B=45 , 那么a=__3_6_-1_2___6___,b=_1_2___6_-_2_4__
(3)S 1 absin C 1 bc sin A 1 ac sin B
2
2
2
例题讲解：
例1.已知在ΔABC中，c=10,A=450,C=300,求a,b和B
解：∵c=10 A=450,C=300
∴B= 1800 -(A+C)=1050
由
a sin
A
c
=sin C
得
a=a sin A
sin C
一、前提测评
回顾三角形中的边角关系:
1、边的关系：
1）两边之和大于第三边；两边之差小于第三边
2）在直角三角形中：a2+b2=c2
2、角的关系：
1）A+B+C=1800
2) sin( A B) sin C
sin A B cos C
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ

1.1.1正弦定理(1)

解：根据三角形内角和定理，
；
根据正弦定理，
；
根据ห้องสมุดไป่ตู้弦定理，
评述：对于解三角形中的复杂运算可使用计算器。
巡视指导
归纳：应注意已知两边和其中一边的对角解三角形时，可能有两解的情形。
相互交流，给出答案
边AB的长度随着其对角 C的大小的增大而增大。能否
浏览目标
自主学习
完成任务
明确疑问
合作学习
展示讲解推导过程
课时计划
课题
1．1．1正弦定理
课型
新授课
班别
1.5
1.6
时间
教学目标
1、通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明方法；会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题。
2、让学生从已有的几何知识出发,共同探究在任意三角形中，边与其对角的关系，引导学生通过观察，推导，比较，由特殊到一般归纳出正弦定理，并进行定理基本应用的实践操作。
教学过程
教学内容
及流程
教师活动
学生活动
备注
1、创设情境
如图1．1-1，固定 ABC的边CB及 B，使边AC绕着顶点C转动。
思考： C的大小与它的对边AB的长度之间有怎样的数量关系？
2、目标任务
1、理解正弦定理
2、能够应用正弦定理解决简单问题
3、个体自学
任务：
1、阅读教材p2——4。
2、明确正弦定理及其推理过程。
3、知道什么是解三角形。
四、互动交流
明确答案
交流疑问
五、展示汇报
如图1．1-3，当 ABC是锐角三角形时，设边AB上的高是CD，根据任意角三角函数的定义，
有CD= ,则，

第一部分第一章 1.1 1.1.1 正弦定理

弦值可求锐角唯一．
(3)如果已知的角为小边所对的角时，则不能判断另一边所对的角为锐角，这时由正弦值可求两个角，要分类讨论．
返回
π π 3．若把本例中 C＝3改为 A＝4，其他条件不变，求 C，B，b.
π 解：∵ 6sin4＜2＜ 6， ∴本题有两解． a c csin A 3 ∵sin A＝sin C，∴sin C＝ a ＝ 2 .
且sin 2A＝sin 2B＋sin 2C，试判断△ABC的形状． [思路点拨] 首先利用正弦定理将角的关系式sin2A
＝sin 2B＋sin2C转化为边的关系式，进而判断三角形的形状．
返回
[精解详析]
a b c 法一：设sin A＝sin B＝sin C＝k， (2 分)
则 a＝ksin A，b＝ksin B，c＝ksin C ∵sin2A＝sin2B＋sin2C. ∴(ksin A)2＝(ksin B)2＋(ksin C)2. ∴a2＝b2＋c2. ∴A＝90° ，B＋C＝90° .
6．在△ABC中，若acos A＝bcos B，试判断△ABC的形状．
a b 解：由正弦定理，设sin A＝sin B＝k，则 a＝ksin A，b＝ksin B， ∴由 acos A＝bcos B，得：sin Acos A＝sin Bcos B. 即 sin 2A＝sin 2B. ∵2A、2B∈(0,2π)， ∴2A＝2B 或 2A＝π－2B 或 2A－π＝2π－2B. π 即 A＝B 或 A＋B＝2. ∴△ABC 为等腰三角形或直角三角形．
A为钝角或直角
图形
关系 ①a＝bsin A bsin A＜a 式解的 ②a≥b 一解＜b 两解
a＜bsin A
a＞b
a≤b
个数

1.1.1正弦定理课件(PPT)

sin C
同理 a 2R, b 2R
sin A
sin B
C/ 能否运用向量的方法
a b c 2R 来证明正弦定理呢? sin A sin B sin C
向量法
利用向量的数量积，产生边的长与内角的三角函数的关系来证明.
在直角三角形中
A
c
b
B
a DC
在锐角三角形中
B
jc
a
A
b
C
证明：过点A作单位向量j垂直
1.在ABC中 (1)已知b 12, A 300 , B 120 , 求a; (2)已知c 10, A 45 ,C 30 , 求b, SABC .
(3)已知A 300 , B C 600 , a 2,求c.
1.在ABC中 (1)已知b 12, A 300 , B 120 , 求a; (2)已知c 10, A 45 ,C 30 , 求b, SABC .
b c, sin B sinC
图1 D
C
同理可得 a c ,
sin A sinC
即： a b c sin A sin B sinC
3.若三角形是钝角三角形,且角C是钝角如图2, 过点A作AD⊥BC，交BC延长线于D,
此时也有
sin B
AD c
且
sin（
C）
AD b
sinC
仿(2)可得 a b c
一解
ｂa
作三角形
案例小结！
C
（1）A为锐角 C
b
a
ba a
A
B
a = bsinA (一解）
C
b
A B2
B1
bsinA<a<b

1.1.1 正弦定理

a b c 1.正弦定理 sin A sin B sin C
它是解三角形的工具之一. 2.应用正弦定理可以解以下两种类型的三角形：（1）已知两角及任意一边；
（2）已知两边及其中一边的对角.
【拓展提升】用正弦定理进行边角互化的两种方法
（1）边化角 a c b 根据sin A= ，sin B= ，sin C= 化边为角(其中 2R 2R 2R R为△ABC外接圆的半径).
（2）角化边
根据a=2Rsin A，b=2Rsin B，c=2Rsin C化角为边(其中R
为△ABC外接圆的半径).
O a b B c A` A
一、正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等， a b c . 即 sin A sin B sin C 注意：(1)正弦定理指出了任意三角形中三条边与对应角的正弦之间的一个关系式.由正弦函数在区间上的
单调性可知，正弦定理非常好地描述了任意三角形
判断：(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)正弦定理只适用于锐角三角形.（）
(2)在△ABC中，等式asinA=bsinB总能成立.（
）
(3)在△ABC中，已知a=30，b=23，A=130°，则此三角形
பைடு நூலகம்
有唯一解.（
）
提示：(1)错误.正弦定理对于任意三角形都适用. (2)错误.由正弦定理得asinB=bsinA. (3)正确.由A=130°>90°，a=30>b=23.根据大边对大角知，三角形有唯一解. 答案：(1)× (2)× (3)√
） C. 无解 D. 不确定
B. 两解
解答：b＞c,一解
3.（2012·福建高考）在△ABC中，已知∠BAC=60°，

人教版高中数学必修五 1.1.1 正弦定理

AC 等于( )
A．4 3
B．2 3
C. 3
3 D. 2
【解析】由正弦定理可知，sAinCB＝sBinCA，
所以 AC＝BCsisniAnB＝3
2× 3
2 2 ＝2
3.故选 B.
2
【答案】B
3．在△ABC 中，sinA＝sinC，则△ABC 是( ) A．直角三角形 B．等腰三角形 C．锐角三角形 D．钝角三角形
课堂小结： 1．对正弦定理的理解 (1)三角形中各边的长和它所对角的正弦的比值为三角
形外接圆的直径 2R.即sianA＝sibnB＝sincC＝2R.
(2)结合(1)的结论由正弦定理可得如下变形： ①a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC. ②sinA＝2aR，sinB＝2bR，sinC＝2cR. 由变形①②可以实现三角形中边与角之间的相互转化．这是正弦定理除了用于求边、角之外的另一重要功能．
c＝assiinnAC＝2 s3ins3in03°0°＝2 3. ∴B＝60°，C＝90°，c＝4 3或 B＝120°，C＝30°， c＝2 3.
变式训练 2：在△ABC 中，A＝60°，a＝4 3，b＝4 2，
则 B 等于( )
A．45°或 135°
B．135°
C．45°
D．以上答案都不对
【解析】由sianA＝sibnB，
2．解三角形
一般地，把三角形的三个角和它们的_对___边__叫做三角形的元素．已知三角形的几个元素求_其__他__元__素___的过程叫做解
三角形．
典例探究类型一已知两角及一边解三角形例 1：在△ABC 中，已知 a＝8，B＝60°，C＝75°，求
A，b，c.
解：A＝180°－(B＋C)＝180°－(60°＋75°)＝45°.

1.1.1正弦定理1

第一章解三角形
1.1.1 正弦定理
复习三角形中的边角关系
（一）任意三角形中的边角关系 A B C 180 1、角的关系2、边的关系 3、角关系abc, ab c
大角对大边
（二）直角三角形中的边角关系（角C为直角）
1、角的关系
2、边的关系 3、边角关系
A B 90
2 2

a b c
2
直角三角形中:
a b , sin B , sin C 1 sin A c c
A
即c
a b c ,c ,c sin A sin B sin C
b
c
\
a b c sin A sin B sin C
B a 探索：直角三角形的边角关系式对任意三角形是否成立？
变式:
a b b c c a (1) ; ; sin A sin B sin B sin C sin C sin A
(2)sin A : sin B : sin C a : b : c
概念：解三角形
一般的，把三角形的三个角A,B,C和它们的对边 a,b,c叫做三角形的元素。已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形。思考：利用正弦定理可以解决一些怎样的解三角形问题呢？
C
如图:
C C
1
B a c A C1 O C
c c 2R 1 sin C sin C
b
b a 2 R， 2R 同理： sin B sin A
a b c 2 R(R为外接圆半径) 即得： sin A sin B sin C
在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等, 即 a b c 2 R(R为外接圆半径 ) sin A sin B sin C

1.1.1 正弦定理(A3)

2
鸡西市第十九中学学案
2015 年（）月（）日班级姓名
问题我们应用正弦定理解三角形时，已知三角形的两边及其中一边的对角往往得出不同情形的解，有时一解，有时两解，有时又无解，这究竟是怎么回事？
1.1.1 正弦定理(二) 学习目标重点难点
1．熟记正弦定理的有关变形公式． 2．探究三角形面积公式的表现形式，能结合正弦定理解与面积有关的斜三角形问题．3．能根据条件，判断三角形解的个数．
探究 1 关系式
在△ABC 中，已知 a，b 和 A，若 A 为直角，讨论三角形解的情况．(请完成下表) a≤b a＞b
1．已知两边及其中一边对角解三角形，其解不一定唯一，应注意运用大边对大角的理论判断解的情况．2．判断三角形形状时，不要在等式两边轻易地除以含有边角的因式，造成漏解． a b c 正弦定理：＝＝＝2R 的常见变形： sin A sin B sin C (1)sin A∶sin B∶sin C＝；；
1
，
小结正弦定理在实现三角形的边角转化中非常方便，需要进行边角转化时，首先要考虑通过正弦定理来实现．训练 1 在△ABC 中，已知(b＋c)∶(c＋a)∶(a＋b)＝4∶5∶6，则 sin A∶sin B∶sin C 等于 ( ) A．6∶5∶4 B．7∶5∶3 C．3∶5∶7 D．4∶5∶6
小结已知两角与任一边，利用正弦定理解三角形，有以下两种情况： (1)若所给边是已知角的对边时，可由正弦定理求另一边，再由三角形内角和定理求出第三个角，最后由正弦定理求第三边； (2)若所给边不是已知角的对边时，先由三角形内角和定理求第三个角，再由正弦定理求另外两边．训练 3 在△ABC 中，a＝5，B＝45° ，C＝105° ，解三角形．

第1章1.1.1第2课时正弦定理课件人教新课标

1．满足 B＝60°，AC＝12，BC＝k 的△ABC 恰有一个，则 k 的
取值范围是( )
A．k＝8 3
B．0＜k≤12
C．k≥12
D．0＜k≤12 或 k＝8 3
D [已知两边和其中一边的对角解三角形时，首先求出另一边的对角的正弦值，由正弦值求角时，需对角的情况进行讨论：当 AC＜ BCsin B，即 12＜ksin 60°，即 k＞8 3时，三角形无解；当 AC＝BCsin B，即 12＝ksin 60°，即 k＝8 3时，三角形有一解；当 BCsin B＜AC ＜BC，即 23k＜12＜k，即 12＜k＜8 3时，三角形有两解；当 0＜ BC≤AC，即 0＜k≤12 时，三角形有一解．综上，0＜k≤12 或 k＝8 3 时，三角形有一解．]
＋B>2π⇔A>π2－B⇔sin A>cos B，cos A<sin B.
【例 3】在△ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别是 a，b，c， m＝(sin A，sin B)，n＝(cos B，cos A)，m·n＝－sin 2C.
(1)求 C 的大小； (2)若 c＝2 3，A＝6π，求△ABC 的面积．思路探究：(1)由 m·n＝－sin 2C，利用三角恒等变换求出 C 的大小； (2)由正弦定理可得 b 的大小，利用三角形的面积公式求解．
bsin A<a<b
两__解__
A为
___a_<_b_s_i_n_A_
无解
锐角
思考：在△ABC 中，a＝9，b＝10，A＝60°，判断三角形解的
个数．
[提示] sin B＝basin A＝190× 23＝5 93，
而
35 2<
9

1.1.1正弦定理课件(人教B必修五)

引导学生回答所提问题，理解正弦定理成立的条件、特征及由正弦定理可求解的三角形的类型；通过例题与练习让学生在应用定理解决问题的过程中更深入地理解定理及其作用，以强化重点．
课标解读
1.掌握正弦定理及基本应用．(重点) 2．会判断三角形的形状．(难点) 3．能根据正弦定理确定三角形解的个数．(难点、易错点)
已知两角及一边解三角形
1 在△ABC 中，∠A＝60° ，sin B＝2，a＝3，求三角形中其他边与角的大小．
1 【思路探究】 (1)由 sin B＝2能解出∠B 的大小吗？∠B 唯
一吗？ (2)能用正弦定理求出边 b 吗？ (3)怎样求其他边与角的大小？
【自主解答】
1 ∵sin B＝2，∴∠B＝30° 或 150° ，
【答案】 A
已知两边及一边的对角解三角形
π 在△ABC 中，若 a＝3，b＝ 3，∠A＝3.求∠C.
【思路探究】 (1)由已知边 a，b 及边 a 的对角 A，能否用
正弦定理求得 B 呢？ (2)求出 B 值后，怎样求∠C 呢？
【自主解答】在△ABC 中，由正弦定理得 3 3× 2 sin A 1 sin B＝b a ＝ 3 ＝2. π ∵a>b，∴∠A>∠B，∴∠B＝6， π π π ∴∠C＝π－3－6＝2.
3.情感、态度与价值观 (1)通过对三角形边角关系的探究学习，经历数学探究活动的过程，体会由特殊到一般再由一般到特殊的认识事物的规律，培养探索精神和创新意识； (2)通过本节学习和运用实践，体会数学的科学价值、应用价值，学习用数学的思维方式解决问题、认识世界，进而领会数学的价值，不断提高自身的文化修养．
2．对于锐角三角形中，问题 1 中的关系是否成立？【提示】成立． 3．钝角三角形中呢？【提示】成立．

1.1.1 正弦定理

1.1.1 正弦定理

【数学】1.1.1《正弦定理》课件(新人教B版必修5)

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第1章1.1.1第2课时 正弦定理课件人教新课标

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