采用劳斯判据看系统相对稳定性
自动控制原理习题及解答
对于本例，系统的稳态误差为
本题给定的开环传递函数中只含一个积分环节，即系统为1型系统，所以
系统的稳态误差为
解毕。
例3-21控制系统的结构图如图3-37所示。假设输入信号为r(t)=at( 为任意常数)。
解劳斯表为
1 18
8 16
由于特征方程式中所有系数均为正值，且劳斯行列表左端第一列的所有项均具有正号，满足系统稳定的充分和必要条件，所以系统是稳定的。解毕。
例3-17已知系统特征方程为
试判断系统稳定性。
解本例是应用劳斯判据判断系统稳定性的一种特殊情况。如果在劳斯行列表中某一行的第一列项等于零，但其余各项不等于零或没有，这时可用一个很小的正数ε来代替为零的一项，从而可使劳斯行列表继续算下去。
（3）写中间变量关系式
式中，α为空气阻力系数 为运动线速度。
（4）消中间变量得运动方程式
（2-1)
此方程为二阶非线性齐次方程。
（5）线性化
由前可知，在＝0的附近，非线性函数sin≈，故代入式（2-1）可得线性化方程为
例2-3已知机械旋转系统如图2-3所示，试列出系统运动方程。
图2-3机械旋转系统
解：（1）设输入量作用力矩Mf，输出为旋转角速度。
运动方程可直接用复阻抗写出：
整理成因果关系：
图2-15电气系统结构图
画结构图如图2-15所示：
求传递函数为：
对上述两个系统传递函数，结构图进行比较后可以看出。两个系统是相似的。机一电系统之间相似量的对应关系见表2-1。
表2-1相似量
机械系统
xi
x0
系统稳定性意义以及稳定性地几种定义
系统稳定性意义以及稳定性的几种定义一、引言：研究系统的稳定性之前，我们首先要对系统的概念有初步的认识。
在数字信号处理的理论中，人们把能加工、变换数字信号的实体称作系统。
由于处理数字信号的系统是在指定的时刻或时序对信号进行加工运算，所以这种系统被看作是离散时间的，也可以用基于时间的语言、表格、公式、波形等四种方法来描述。
从抽象的意义来说，系统和信号都可以看作是序列。
但是，系统是加工信号的机构，这点与信号是不同的。
人们研究系统还要设计系统，利用系统加工信号、服务人类，系统还需要其它方法进一步描述。
描述系统的方法还有符号、单位脉冲响应、差分方程和图形。
电路系统的稳定性是电路系统的一个重要问题，稳定是控制系统提出的基本要求，也保证电路工作的基本条件；不稳定系统不具备调节能力，也不能正常工作，稳定性是系统自身性之一，系统是否稳定与激励信号的情况无关。
对于线性系统来说可以用几点分布来判断，也可以用劳斯稳定性判据分析。
对于非线性系统的分析则比较复杂，劳斯稳定性判据和奈奎斯特稳定性判据受到一定的局限性。
二、稳定性定义：1、是指系统受到扰动作用偏离平衡状态后，当扰动消失，系统经过自身调节能否以一定的准确度恢复到原平衡状态的性能。
若当扰动消失后，系统能逐渐恢复到原来的平衡状态，则称系统是稳定的，否则称系统为不稳定。
稳定性又分为绝对稳定性和相对稳定性。
绝对稳定性。
如果控制系统没有受到任何扰动，同时也没有输入信号的作用，系统的输出量保持在某一状态上，则控制系统处于平衡状态。
（1）如果线性系统在初始条件的作用下，其输出量最终返回它的平衡状态，那么这种系统是稳定的。
（2）如果线性系统的输出量呈现持续不断的等幅振荡过程，则称其为临界稳定。
（临界稳定状态按李雅普洛夫的定义属于稳定的状态，但由于系统参数变化等原因，实际上等幅振荡不能维持，系统总会由于某些因素导致不稳定。
因此从工程应用的角度来看，临界稳定属于不稳定系统，或称工程意义上的不稳定。
劳斯-霍尔维茨稳定性判据
s3
1
3
s2
ε
2
s1 （3ε-2）/ε<0
s0
2
(2) 若劳斯阵列表中某一行（设为第k行）的所有系数均为零， 则说明在根平面内存在一些大小相等，并且关于原点对称 的根。在这种情况下可做如下处理：
a. 利用第k－1行的系数构成辅助多项式，它的次数总 是偶数的；
b. 求辅助多项式对s的导数，将其系数代替第k行； c. 继续计算劳斯阵列表； d. 令辅助多项式等于零可求得关于原点对称的根。
1 b1
an 1 b1
an 3 b2 an 5 b3
an 7 b4
按此规律一直计算到n -1行为止。在计算过程中，为了 简化数值运算，可将某一行中的各系数均乘一个正数，不 会影响稳定性结论。
3. 考察阵列表第一列元素的符号。假若劳斯阵列表中 第一列所有元素均为正数，则该系统是稳定的，即特征方 程所有的根均位于S平面的左半平面。假若第一列元数有 负数，则第一列元素的符号的变化次数等于系统在S平面 右半平面上的根的个数。
例3.7 系统特征方程式为 s5 2s4 3s3 6s2 4s 8 0
对复根- s i ±jwi (i=1，2，…，r)，n = k+2r。则特征方程
式可写为
D(s) ansn an1sn1 a1s a0
an (s p1)(s p2 ) (s pk )[(s s1)2 12 ]
0
[(s
s
r
)2
2 r
]
假如所有的根均在左半平面，即 pj <0，si<0 ，则pj >0 ，si >0 。所以将各因子项相乘展开后，式（3.63）的
根(-σj±jwj) (j=1，2，…，r)，k+2r = n，则齐次方程式
劳 斯 判 据
图4-1 系统的结构图
1
K
系统的闭环传递函数为
(s)
C(s) R(s)
1
s
(s 1
1)(s K
2)
s3
K 3s2
2s
K
s (s 1)(s 2)
系统的闭环特征方程为
s3 3s2 2s K 0
劳斯判据
1.4 劳斯判据在系统分析中的应用
列出劳斯表为
s3
1
2
s2
3
K
s1 6 K 3
s0
D(s)
n
(s pj )
n1
n2
(s pl ) (s2 2k s k2 )
j 1
l 1
k 1
n1
将式（4-2）展成部分分式形式 C(s)
Al
n2
Bk
l1 s pl k 1 s2 2k s k2
（4-2） （4-3）
式中 Al —— C(s) 在闭环实极点 pl 处的留数；
Bk —— C(s) 在闭环复数极点 s k jk 1 2 处的留数。
方法一：用一个接近于零的很小的正数来代替这个零，并据其计算出劳斯表中的其 余各项。
方法二：用代入原方程，重新列出劳斯表，再用劳斯判据判断系统的稳定性。
劳斯判据
1.3 劳斯判据的特殊情况
【例 4-3】 已知系统的闭环特征方程为
s4 2s3 s2 2s 1 0
试用劳斯判据判断系统的稳定性。
在劳斯表第1列系数中，ε是接近
在零初始条件下，若闭环系统的输入信号 r(t) 在[0，) 上满足 r(t) N ，而在此输入信
号作用下的输出响应 c(t)
g( )r(t
)d
满足
自动控制原理第四章-1-劳斯稳定性判据
04
劳斯稳定性判据的优缺点
优点
简单易行
劳斯稳定性判据是一种直接的方法，用于确定系统的稳定 性。它不需要求解系统的极点，只需要检查劳斯表格的第 一列。
普遍适用性
劳斯稳定性判据适用于所有线性时不变系统，无论系统是 单输入单输出（SISO）还是多输入多输出（MIMO）。
数学基础
劳斯稳定性判据基于数学中的因式分解和不等式性质，具 有坚实的数学基础。
劳斯稳定性判据的局限性在于它只能判断系统 的稳定性，无法给出系统动态性能的评估和优 化。
对自动控制原理的展望
随着科技的发展，自动控制原理的应用领域不断扩大，涉及到工业、交通、医疗、 农业等多个领域。
未来，自动控制原理将与人工智能、机器学习等先进技术相结合，实现更加智能化、 自适应的控制方案。
自动控制原理的理论体系也将不断完善和发展，以适应不断变化的应用需求和技术 环境。
2
在航空航天领域，为了确保飞行器的安全和稳定， 需要利用劳斯稳定性判据对飞行控制系统进行稳 定性分析和设计。
3
在化工领域，为了确保生产过程的稳定和安全， 需要利用劳斯稳定性判据对工业控制系统进行稳 定性分析和设计。
02
劳斯稳定性判据的基本原理
线性系统的稳定性
线性系统
01
在自动控制原理中，线性系统是指系统的数学模型可以表示为
缺点
01
对初始条件的敏感性
劳斯稳定性判据对系统的初始条件非常敏感。即使系统在大部分时间内
是稳定的，如果初始条件设置不正确，可能会导致错误的稳定性判断。
02
数值稳定性问题
在计算劳斯表格时，可能会遇到数值稳定性的问题，例如数值溢出或数
值不精确。这可能会影响判据的准确性。
系统的稳定性常见判据
定义：
无输入时的初态
系统在初始状态作用下
输入引起的初态
输出
收敛（回复平衡位置）
（响应） 发散（偏离越来越大）
系统稳定 系统不稳定
2. 系统稳定条件
线性定常系统：
anxo(n) (t )
an
1
x ( n1) o
(
t
)
a1
x o(
其中：
A1
an1an2 anan3 an1
A2
an1an4 anan5 an1
A3
an1an6 anan7 an1
B1
A1an3 an1 A2 A1
B2
A1an5 an1 A3 A1
B3
A1an7 an1 A4 A1
s0 F1
Routh 判据：Routh表中第一列各元符号改变的次数等于系统特
t
)
a0 xo(t )
xi(t )
自由响应
强迫响应
n
n
xo(t ) A1ie sit A2ie sit B(t )
i 1
i 1
系统的初态引 输入引起的 起的自由响应 自由响应
si:系统的特征根
2. 系统稳定条件
1) 当系统所有的特征根si（i=1，2，…，n)均具有负实部（位
于[s]平面的左半平面）
lt im
n i 1
A1i e si t
n i 1
A2i e si t
0
自由响应收敛，系统稳定
2) 若有任一sk具有正实部（位于[s]平面的右半平面）
lim e skt
t
ltim
劳斯判据判定稳定性
劳斯判据即Routh-Hurwitz判据一、系统稳定的必要条件判据是判别系统特征根分布的一个代数判据。
要使系统稳定，即系统全部特征根均具有负实部，就必须满足以下两个条件：1）特征方程的各项系数都不等于零。
2）特征方程的各项系数的符号都相同。
此即系统稳定的必要条件。
按习惯，一般取最高阶次项的系数为正，上述两个条件可以归结为一个必要条件，即系统特征方程的各项系数全大于零，且不能为零。
二、系统稳定的充要条件系统稳定的充要条件是表的第一列元素全部大于零，且不能等于零。
运用判据还可以判定一个不稳定系统所包含的具有正实部的特征根的个数为表第一列元素中符号改变的次数。
运用判据的关键在于建立表。
建立表的方法请参阅相关的例题或教材。
运用判据判定系统的稳定性，需要知道系统闭环传递函数或系统的特征方程。
在应用判据还应注意以下两种特殊的情况：1．如果在表中任意一行的第一个元素为0，而其后各元不全为0，则在计算下一行的第一个元时，该元将趋于无穷大。
于是表的计算无法继续。
为了克服这一困难，可以用一个很小的正数代替第一列等于0的元素，然后计算表的其余各元。
若上下各元符号不变，切第一列元素符号均为正，则系统特征根中存在共轭的虚根。
此时，系统为临界稳定系统。
2．如果在表中任意一行的所有元素均为0，表的计算无法继续。
此时，可以利用该行的上一行的元构成一个辅助多项式，并用多项式方程的导数的系数组成表的下一行。
这样，表中的其余各元就可以计算下去。
出现上述情况，一般是由于系统的特征根中，或存在两个符号相反的实根（系统自由响应发散，系统不稳定），或存在一对共轭复根（系统自由响应发散，系统不稳定），或存在一对共轭的纯虚根（即系统自由响应会维持某一频率的等幅振荡，此时，系统临界稳定），或是以上几种根的组合等。
这些特殊的使系统不稳定或临界稳定的特征根可以通过求解辅助多项式方程得到。
三、相对稳定性的检验对于稳定的系统，运用判据还可以检验系统的相对稳定性，采用以下方法：1）将s平面的虚轴向左移动某个数值，即令s=z-（（（为正实数），代入系统特征方程，则得到关于z的特征方程。
第四章稳定性分析——劳讲义斯判据4-1
21
THANKS
第二步：建立劳斯表（又叫劳斯阵列）。 例：五阶系统，其特征方程：
a 5 s 5 a 4 s 4 a 3 s 3 a 2 s 2 a 1 s a 0 0
9
s5
a5
a3
a1
s4
a4
a2
a0
s3
A1
a4a3 a5a2 a4
A2
a4a1 a5a0 a4
0
s2
B1
A1a 2 a 4 A2 A1
13
s5
1
52
s4
1
51
s3
0 ( )
10
s2
5 1
10
s1 5 1 2 0 0
5 1
s0
1
00
5 1 0
5 12
0
5 1
劳斯表中第一列元素符号的变化两次， 说明特征方程有两个正实部的根，所以系统不 稳定。
14
（2）某一行元素全为零 在劳斯表中，如果出现某一行元素全为零，
说明特征方程存在大小相等符号相反的实根 和（或）共轭虚根，或者共轭复根。
s0 2 0
因劳斯表中第一列元素无符号变化，所以系统稳 定。 令： ss1 1
20
原特征方程，经过整理，得到 s1 特征方程：
s1 35s1 23s110
s
3 1
1
3
s
2 1
5
1
s
1 1
2.8
0
s
0 1
1
0
劳斯表中第一列元素符号变化一次，所以有一 个特征方程根在垂线 s1右边。即有一个根在阴影 区内。
即输出增量收敛于原平衡工作点，线性系统稳定 。
系统稳定性判别方法
19
绘制根轨迹的基本规则
绘制根轨迹的基本规则实际上是系统根轨迹的一 些基本性质，掌握了这些基本规则，将能帮助我们 更准确、更迅速的绘制根轨迹。
一．根轨迹的对称性
实际系统的特征方程的系数是实数，其特征根为 实数或共轭复数，因此，根轨迹对称于实轴。
二．根轨迹的起点和终点
根轨迹的起点对应于 K1 0 时特征根在Ｓ平面上 的分布位置，而根轨迹的终点则对应于 K1 时， 特征根在Ｓ平面上的分布位置。
y cx
平衡状态 xe 0 渐进稳定的充要条件就是矩阵A所有特征值均
具有负实部，这里所说的是系统的状态稳定性，而对于输出稳定 性来说，其稳定的充要条件是其传递函数
W(s)c(sIA)1b 的极点全部位于s的左半
平面。
26
该方法能解决线性定常和非线性定常系统的稳定性分析，但不 能延伸至时变系统的分析。
决定系统基本特性的是系统特征方程的根，如果搞清楚 这些根在Ｓ平面上的分布与系统参数之间的关系，那就掌握 了系统的基本特性。
为此目的，Ｗ．Ｒ．伊文思在１９４８年提出了根轨迹 法，令开环函数的一个参数——开环增益Ｋ（或另一个感兴 趣的参数）从０变化到∞，与此对应，特征方程的根，便在 Ｓ平面上描出一条轨迹，称这条轨迹为根轨迹。
值
6
优点：规律简单明确，使用方便 缺点：对高阶系统，计算行列式较复杂
此外，劳斯稳定性判据和赫尔维兹稳定性判据还有一个共同的 缺点就是：无法解决带延迟环节的系统稳定性判定。
7
乃奎斯特稳定性判据 乃奎斯特稳定性判据是根据闭环控制系统的开环频率响应判断闭
环系统稳定性，本质上是一种图解分析方法。
闭环传递函数： GBs1GGssH s
于无穷远处。
举例如题，G(S)
试用劳斯判据判断系统的稳定性解
这表明方程有一些大小相等且对称于原点的根。
例如 p , p j, p j
显然，系统是不稳定的。
处理方法：利用全 0 行的上一行各元构造一个辅 助方程，式中均为偶次。以辅助方程的导函数的 系数代替劳斯表中的这个全 0 行，然后继续计算
下去。这些大小相等而关于原点对称的根可以通
原 始 数 据
b1 b2 e2
c2 c3
1 a1 c1 b1 b1
a3 b2
s2 s1 s0
1 a0 b1 a1 a1
1 a0 b2 a1 a1
a2 a3
a4 a5
计 算 数 据
1 a1 c2 b1 b1
东北大学《自动控制原理》课程组
a5 b3
5
（2）劳斯判据
p1,2 j 2 , p3,4 j 2 , p5,6 1 j 2
END
东北大学《自动控制原理》课程组
14
稳定的充分必要条件
系统特征方程的根（即系统闭环传递函数的 极点）全部负实数或具有负实部的共轭复数，也 就是所有的闭环特征根 p j 分布在s平面虚轴的左 侧 ，即
Re[ p j ] 0
东北大学《自动控制原理》课程组
3
3.5自动控制系统的代数稳定判据
不需要求“根”，直接利用特征方程的系数 就可以判断系统的稳定性的方法。 劳斯判据是其中的一种。
代数判据
东北大学《自动控制原理》课程组
4
（1）列劳斯表的建立
a0 s 特征方程式：
劳斯表：
n
a1sn1 an1s an 0， a0 0
s a0 s n 1 a1 s n2 s n 3 c1 e1 f1 g1
劳斯-霍尔维茨稳定性判据
第三章控制系统的时域分析法3.2 劳斯-霍尔维茨稳定性判据稳定性是控制系统最重要的问题，也是对系统最基本的要求。
控制系统在实际运行中，总会受到外界和内部一些因素的扰动，例如负载或能源的波动、环境条件的改变、系统参数的变化等。
如果系统不稳定，当它受到扰动时，系统中各物理量就会偏离其平衡工作点，并随时间推移而发散，即使扰动消失了，也不可能恢复原来的平衡状态。
因此，如何分析系统的稳定性并提出保证系统稳定的措施，是控制理论的基本任务之一。
常用的稳定性分析方法有：1. 劳斯－赫尔维茨（Routh－Hurwitz）判据：这是一种代数判据。
它是根据系统特征方程式来判断特征根在S平面的位置，来判断系统的稳定性.2. 根轨迹法：这是一种利用图解来系统特征根的方法。
它是以系统开环传递函数的某一参数为变量化出闭环系统的特征根在S平面的轨迹，从而全面了解闭环系统特征根随该参数的变化情况。
3. 奈魁斯特（Nyquist）判据：这是一种在复变函数理论基础上建立起来的方法。
它根据系统的开环频率特性确定闭环系统的稳定性，同样避免了求解闭环系统特征根的困难。
这一方法在工程上是得到了比较广泛的应用。
4. 李雅普诺夫方法上述几种方法主要适用于线性系统，而李雅普诺夫方法不仅适用于线性系统，也适用于非线性系统。
该方法是根据李雅普诺夫函数的特征来决定系统的稳定性。
一、稳定性的概念稳定性的概念可以通过图3-31所示的方法加以说明。
考虑置于水平面上的圆锥体，其底部朝下时，我们施加一个很小的外力（扰动），圆锥体会稍微产生倾斜，外作用力撤消后，经过若干次摆动，它仍会返回到原来的状态。
而当圆锥体尖部朝下放置时，由于只有一点能使圆锥体保持平衡，所以在受到任何极微小的外力（扰动）后，它就会倾倒，如果没有外力作用，就再也不能回到原来的状态。
因此，系统的稳定性定义为，系统在受到外作用力后，偏离了最初的工作点，而当外作用力消失后，系统能够返回到原来的工作点，则称系统是稳定的。
自动控制原理题目(含答案)
《自动控制原理》复习参考资料一、基本知识11、反馈控制又称偏差控制，其控制作用是通过输入量和反馈量的差值进行的。
2、闭环控制系统又称为反馈控制系统。
3、在经典控制理论中主要采用的数学模型是微分方程、传递函数、结构框图和信号流图。
4、自动控制系统按输入量的变化规律可分为恒值控制系统、随动控制系统和程序控制系统。
5、对自动控制系统的基本要求可以概括为三个方面，即：稳定性、快速性和准确性。
6、控制系统的数学模型，取决于系统结构和参数, 和外作用及初始条件无关。
7、两个传递函数分别为G1(s)和G2(s)的环节，以并联方式连接，其等效传递函数为G1(s)+G2(s)，以串联方式连接，其等效传递函数为G1(s)*G2(s)。
8、系统前向通道传递函数为G（s），其正反馈的传递函数为H（s），则其闭环传递函数为G（s）/(1- G（s）H（s）)。
9、单位负反馈系统的前向通道传递函数为G（s），则闭环传递函数为G（s）/(1+ G（s）)。
10、典型二阶系统中，ξ=0.707时，称该系统处于二阶工程最佳状态，此时超调量为4.3%。
11、使用劳斯判据判断系统稳定性，劳斯表中第一列数据全部为正数，则系统稳定。
12、线性系统稳定的充要条件是所有闭环特征方程的根的实部均为负，即都分布在S平面的左平面。
13、随动系统的稳态误差主要来源于给定信号，恒值系统的稳态误差主要来源于扰动信号。
14、对于有稳态误差的系统，在前向通道中串联比例积分环节，系统误差将变为零。
15、系统稳态误差分为给定稳态误差和扰动稳态误差两种。
16、对于一个有稳态误差的系统，增大系统增益则稳态误差将减小。
17、对于典型二阶系统，惯性时间常数T 愈大则系统的快速性愈差。
18、使用频域分析法，穿越频率越大，则对应时域指标t s 越小，即快速性越好19最小相位系统是指S 右半平面不存在系统的开环极点及开环零点。
20、按照校正装置在系统中的不同位置，系统校正可分为串联校正、反馈校正、 补偿校正和复合校正四种。
自控作业解答
第一章1-2 自动控制系统的主要特征是什么？答：（1）在结构上，系统必须具有反馈装置，并按负反馈的原则组成系统。
采用负反馈的目的是求得偏差信号。
（2）由偏差产生控制作用。
（3）控制的目的是力图减小或消除偏差，使被控量尽量接近期望值。
1-3 自动控制系统一般由哪些环节组成？它们在控制过程中负担什么功能？答：一个完善的控制系统通常由测量反馈元件、比较元件、放大元件、校正元件、执行元件及被控对象等基本环节组成。
各元件的功能如下： （1） 测量反馈元件——用以测量被控量并将其转换成合输入量同一物理量后，再反馈到输入端以作比较。
（2） 比较元件——用来比较输入信号与反馈信号，并产生反应二者差值的偏差信号。
（3） 放大元件——将微弱的信号作线性放大。
（4） 校正元件——根据偏差信号的性质执行相应的控制作用，以便使被控量按期望值变化。
（5）被控对象——通常指生产过程中需要进行控制的工作机械或生产过程。
1-7 试比较开环控制系统和闭环控制系统的优缺点。
答：（1）只存在输入量对输出量的单向控制作用，输出量与输入量之间不存在反馈回路，这样的系统称为开环控制系统。
其优点：结构简单、造价低。
缺点：控制精度低，没有抵抗外部干扰的能力。
（2）通过反馈通道使系统构成闭环，并按偏差的性质产生控制作用，以求减小或消除偏差的控制系统称为闭环控制系统。
其优点：尤其采用的负反馈回路，系统对外部或内部干扰不甚敏感，故可采用不太精密的元件构成较为精密的控制系统（即具有较强的抗干扰能力，控制精度高）。
缺点：由于采用反馈装置，导致设备增多，线路复杂。
若参数配合不当，可能导致系统不稳定。
第二章2-1 求如图所示RC 电路和运算放大器的传递函数。
（提示：一定要学会一个画电路的软件和电路仿真软件！！！） 解：（b ）1112222121221212121,1()()(1)()()O I Z R C s Z R C sU s Z U s Z Z C R C s R R C C s C C =+=+=++=+++（c ）2221122222122211221.,110(())()0()/()1O I O I R C s R Z R Z R C s R C sU s U s Z Z U s Z R R U s Z R C s ===++---=∴==+2-4 解：将系统微分方程组进行初始条件为0的拉普拉斯变换得：111211211322322435435534()()() ()()()()()() ()()()()() ()()()()() ()()()()(x t r t c t X s R s C s dx t x t k x t X s s k X s dtx t k x t X s k X s x t x t k c t X s X s k C s dx t k x t dt ττ=-⇒=-=+⇒=+=⇒==-⇒=-=3544455) ()()()()() ()()1kX s X s sk dc t T c t k x t C s X s dt Ts ⇒=+=⇒=+ 根据上述方程组，画系统动态结构图如下：系统传递函数为：234122341234345()()()(1)k k k s k C sR s Ts k k k s k k k k k k k ττ+=++++2-8 结构图如图所示，利用等效变换求传递函数()/()C s R s 。
系统稳定性分析—劳斯稳定判据
0
x0 k 8
要使系统稳定，必须
①系数皆大于0，k 8
②劳斯阵第一列皆大于0
有
18 k
5
0
k
18 8
k
18
k 8
所以，此时k的取值范围为: 8 k 18
© BIP
No.30
课程小结：
系统稳定性的基本概念及稳定条件； 劳斯判据的判断对象、方法及步骤； 如何应用劳斯判据进行系统绝对稳定性和相 对稳定性的分析。
k s(s 3)(s 5)
[解]：闭环特征方程为：
s3 8s2 15s k 0
现以 s=x-1代入上式，得
x3 5x2 2x k 8 0
No.29
© BIP
x3 5x2 2x k 8 0
劳斯阵：x3 1
2
x2 5 k 8
18 k x1 5
No.15
© BIP
图7 K=15时系统的单位阶跃响应曲线
No.16
© BIP
图8 K=20时系统的单位阶跃响应曲线
No.17
© BIP
例题2：液位控制系统的稳定性分析。
进水
阀门
进水阀门的 传递函数K3
减速器
+ 电位器
-
连杆
执行电机和 减速器的传
递函数
K2/S(TS+1)
电动机
放大器
控制对象水箱的
S2 u1 S1 v1 S0 w1
a2 a3
a4 a5
a6 a7
b4
b1
a1a2
a0a3 a1
b2
a1a4
现代机械控制工程 第五章 系统的稳定性
其中，ai>0 (i=0,1,2,…,n)，即满足系统稳定的 必要条件。
劳斯稳定判据的判别过程如下：
n列出劳斯阵列 s a0 a2 sn-1 a1 a3 sn-2 b1 b2 sn-3 c1 c2 sn-4 d1 d2 …… s2 e1 e2 s1 f1 s0 g1
a1a2 a0a3 b1 a1 b2
K 0 6 5 K 0
即：当0<K<30时系统稳定。
例2：单位反馈系统的开环传递函数为：
K ( s 1) G( s) s(Ts 1)(5s 1)
求系统稳定时K和T的取值范围。 解：系统闭环特征方程为：
5Ts3 (5 T )s 2 (1 K )s K 0
系统稳定条件为：
T 0 K 0 (5 T )(1 K ) 5TK 0
T 0 5T 0 K 4T 5
劳斯阵列的特殊情况 劳斯阵列表某一行中的第一列元素等于 零，但其余各项不等于零或不全为零。 处理方法：用一个很小的正数 代替该行第 一列的零，并据此计算出阵列中的其余 各项。然后令 0，按前述方法进行判别。 如果零( )上下两项的符号相同，则系统存在 一对虚根，处于临界稳定状态；如果零 ( )上 下两项的符号不同，则表明有一 个符号变化，系统不稳定。
e t (a1 a2t ar t r 1)
当- < 0时，该输出分量指数单调衰减。 当- > 0时，该输出分量指数单调递增。 当- = 0时，该输出分量多项式递增。 对于一对r重复根-+j，相应的时域分量为：
e t (b1 b2t br t r 1 ) cos t (c1 c2t cr t r 1 ) sin t e t
自动控制原理题目含答案
自动控制原理》复习参考资料一、基本知识 1 1、反馈控制又称 偏差控制 ，其控制作用是通过 输入量 与 反馈量 的差值进 行的。
2、闭环控制系统又称为 反馈控制系统 。
3、在经典控制理论中主要采用的数学模型是框图和信号流图。
4、自动控制系统按输入量的变化规律可分为恒值控制系统、随动控制系统与程序控制系统。
5、对自动控制系统的基本要求可以概括为三个方面，即： 性和准确性。
6、控制系统的数学模型，取决于系统 结构和参数 , 与外作用及初始条件 无关。
7、两个传递函数分别为 G 1（s ） 与 G 2（s ） 的环节，以 并联 方式连接，其等效 传递函数为 G 1（s ）+G 2（s ） ，以串联方式连接， 其等效传递函数为 G 1（s ）*G 2（s ）8、系统前向通道传递函数为 G （ s ），其正反馈 的传递函数为 H （s ），则其闭环传递函数为 G （ s ） /（1- G （s ）H （s ））9、单位负反馈 系统的前向通道传递函数为 G （s ），则闭环传递函数为 G （s ） /（1+ G （s ））微分方程、传递函数、结构稳定性、快速10、典型二阶系统中，ξ =时，称该系统处于二阶工程最佳状态，此时超调量为%。
11、应用劳斯判据判断系统稳定性，劳斯表中第一列数据全部为正数，则系统稳定。
12、线性系统稳定的充要条件是所有闭环特征方程的根的实部均为负，即都分布在S 平面的左平面。
13、随动系统的稳态误差主要来源于给定信号，恒值系统的稳态误差主要来源于扰动信号。
14、对于有稳态误差的系统，在前向通道中串联比例积分环节，系统误差将变为零。
15、系统稳态误差分为给定稳态误差和扰动稳态误差两种。
16、对于一个有稳态误差的系统，增大系统增益则稳态误差将减小。
17、对于典型二阶系统，惯性时间常数T 愈大则系统的快速性愈差。
18、应用频域分析法，穿越频率越大，则对应时域指标t s 越小，即快速性越好19最小相位系统是指S右半平面不存在系统的开环极点及开环零点。
系统稳定性分析—劳斯稳定判据
0
x0 k 8
要使系统稳定，必须
①系数皆大于0，k 8
②劳斯阵第一列皆大于0
有
18 k
5
0
k
18 8
k
18
k 8
所以，此时k的取值范围为: 8 k 18
© BIP
No.30
课程小结：
系统稳定性的基本概念及稳定条件； 劳斯判据的判断对象、方法及步骤； 如何应用劳斯判据进行系统绝对稳定性和相 对稳定性的分析。
k s(s 3)(s 5)
[解]：闭环特征方程为：
s3 8s2 15s k 0
现以 s=x-1代入上式，得
x3 5x2 2x k 8 0
No.29
© BIP
x3 5x2 2x k 8 0
劳斯阵：x3 1
2
x2 5 k 8
18 k x1 5
© BIP
No.26
3、系统的相对稳定性（稳定裕量）
思考一：以下两个系统哪个系统的稳定性更好？
稳定裕量
1
Im s
j1
稳定裕量
0.5
Im s
j1
3
1 0 Re
3
0.5 0 Re
j1
j1
图9 系统的相对稳定性 结论一：稳定的系统，其极点距离虚轴越远，稳定性越好。
No.27
例题1：已知系统的结构图，要使系统稳定K应该怎么取值？
K
s(0.2s 1)(0.1s 1)
[解]：闭环传递函数为：
(s) G(s)
K
1 G(s) s(0.2s 1)(0.1s 1) K
特征方程为： s3 15s2 50s 50K 0
武汉科技大学《机械工程控制基础》第五章系统的稳定性
X o (s) b0sm b1sm1 ... bm1s bm B(s)
X i (s) a0sn a1sn1 ... an1s an A(s)
k
B(s)
r
a0 (s pi ) (s ( j j j ))(s ( j j j ))
i 1
j 1
k
r
x0 (t) cie pit e jt Aj sin(djt j )
Xi(s) ＋ －
K (s 1)
Xo(s)
s3 as2 2s 1
系统产生持续振荡，说明系 统为临界稳定系统，则劳斯 行列式的第一列会出现0元素。
2 K K 1 0 K 1 a(K 2) a
GB (s)
(s
K (s a)( s 2
1) K
2)
s2 K 2 0 s j K 2 j2
稳定
不稳定
线性系统的稳定性是控制系统自身的固有特性，取决于系统本身 的结构和参数，与输入无关。
以上定义只适用于线性定常系统。
5.1.1 稳定性的定义
稳定性的其他说法 ——
大范围渐近稳定：不论扰动引起的初始偏差有多大， 当扰动取消 后，系统都能够恢复到原有的平衡状态，否则就称为小范围(小偏 差)稳定。注意：对于线性系统，小范围稳定大范围稳定。
K 2, a 0.75
5.2 Routh (劳斯)稳定判据
课后作业
教材185~186 页： 5.3，5.4 5.7 (选做题)
5. 系统的稳定性
5.3 Nyquist稳定判据
Nyquist稳定性判据是利用系统开环频率特性G(j)H(j)来判断系统特征
方程1+G(s)H(s)=0 的根是否全部具有负实部，是一种几何判据，并且还 能够判断系统的相对稳定性。奈氏判据的依据是幅角原理。
控制工程基础第四章控制系统的稳定性分析
此阵列称为劳斯阵列（劳斯表）。其中，各未知元素 b1,b2,b3,b4,，
c1 , c2 , c3 , c4 , ，
e1,e2 ,
f
,
1
g 1
根据下列公式计算：
b1
a1
a2 a0 a1
a3
,b2
a1
a4 a0 a1
a5
,b3
a1
a6 a0 a1
a7
,
c1
b1
a3 a1b2 b1
,
c2
b1
X
0
(s)
s
A1 p
A2 s p
Aj s p
An s p
1
2
j
n
式中，A1，A2，…，Aj，…，An为待定系数。对其进行拉氏反变换，
得单位脉冲响应函数为
x A e A e A e A e (t)
pt 1
pt 2
pjt
pt n
0
1
2
j
n
A e n
j 1
pt j
j
根据稳定性的定义，若系统稳定，应有
a a a a 0
0
0
0
ao (s
p )(s 1
p )(s 2
p) n
0
式中，p1，p2，…，pn为系统的特征根。
由根与系数的关系可知，若使全部特征根p1，p2，…，pn均具有 负实部，系统必须满足以下条件： （1）特征方程的各项系数a0，a1，a2，…，an都不等于零。 （2）特征方程的各项系数a0，a1，a2，…，an的符号都相同。 在控制工程中，一般取a0为正值，则系统稳定的必要条件为：特征方 程的各项系数a0，a1，a2，…，an均必须为正值。若a0为负值，可在特 征方程的两边同乘以-1使其变为正值。