磁场2

I1
o
x
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0 I1 I 2 Rd d F I2 dl B I2B dl 2πR cos
d Fy d F sin
d Fx d F cos
根据对称性知：

2
Fy d Fy 0
Fx
dFx


0 I1 I 2
2

0 I1 I 2
2 2


由动能定理有: 2 I R 0 I 2

2
0
2d
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1 cosd mR2 2 4
en
I
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2 0 I I (1 cos 0 ) md
1/ 2

en
I
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E v B
(2) 面电荷只出现在垂直x轴的一对平面上，x坐标大的面上出现的 是正电荷，y坐标小的面上出现的是负电荷，二者面电荷密度的大 小相等，设为，则由高斯定理可以求得
0 E 0vB
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9.如图所示，两根相互绝缘的无限长直导线1和2绞接于O点， 两导线间夹角为，通有相同的电流I．试求单位长度的导线 所受磁力对O点的力矩．
方向指向线圈平面中心． 由于轴对称，dF2对整个线圈的合力 为零，即 所以圆环所受合力
F2 0
N， 方向垂直环面 向上．
F F1 0.34
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4、如图所示，将一无限大均匀载流平面放入均匀磁场中，(设均匀 磁场方向沿Ox轴正方向)且其电流方向与磁场方向垂直指向纸 内．己知放入后平面两侧的总磁感强度分别为 B1 与 B2 ．求：该 载流平面上单位面积所受的磁场力的大小及方向？
(l R) sin 45 R
R l /( 2 1) ( 2 1)l
由 v最大值为 R mv /(eB，求出 )
eBR leB v ( 2 1) m m
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7. 如图，一无净电荷的金属块，是一扁长方体．三边长分别为a、b、 c且a、b都远大于c．金属块在磁感强度为的磁场中，以速度运 动．求 (1) 金属块中的电场强度． (2) 金属块上的面电荷密度． z B b a
单位面积所受的力
O
B1
2 B2 B12 F iB0 ( j ) j dS 2 0
y
B2
dx dz

z
i
x
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x
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Ⅱ 洛仑兹力的计算 5.一个顶角为30°的扇形区域内有垂直纸面向内的均匀磁场．有 一质量为m、电荷为q (q > 0)的粒子，从一个边界上的距顶点为l的 地方以速率v = lqB / (2m)垂直于边界射入磁场，求粒子从另一边界 上的射出的点与顶点的距离及粒子出射方向与该边界的夹角。
I2
I1
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解：1、选坐标（如图所示） 2、找微元
I 2 dl
⊙ 方向
3、考察微元处的磁场
0 I1 B 2x
y
dF
I2
4、计算微元受到的安培力
dF BI 2 dl
4、标出微元受到安培力的方向 5、求出载流受到的安培力
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2

2
∴半圆线圈受I1的磁力的大小为： 方向：垂直I1向右．
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F 0 I1 I 2 F i 2
0 I1 I 2
2
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3.一半径为 4.0 cm的圆环放在磁场中，磁场的方向对环而言是对 称发散的，如图所示．圆环所在处的磁感强度的大小为0.10 T，磁 场的方向与环面法向成60°角．求当圆环中通有电流I =15.8 A时， 圆环所受磁力的大小和方向．
I1 0

dF
x
F F1 F2 F3 F4
0 I1I 2 d 0 I1I 2c 0 I1I 2 ab [ tg ln ]i 2 (a b) 2a a
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2.半径为R的半圆线圈ACD通有电流I2，置于电流为I1的无限长直 线电流的磁场中，直线电流I1恰过半圆的直径，两导线相互绝 缘．求半圆线圈受到长直线电流I1的磁力．
方向平行圆环轴线． 因为线圈上每一电流元受力方向相同，所以合力
2 R
F1 d F1 IB sin 60 d l
0
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IB sin 60 2R
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F1= 0.34 N， 方向垂直环面向上．
电流元受B2的作用力
d F2 I d lB2 sin 90 IBcos60 d l
I
1
o

I 2
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解：在任一根导线上(例如导线2)取一线元dl，该线元距O 点为l．该处的磁感强度为
B
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0 I
2l sin
方向垂直于纸面向里,电流元Idl受到的磁力为
I o
1

I
2
l
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d F I dl B
其大小
dM M dl
0 I 2 2 sin
导线2所受力矩方向垂直黑板面向上，导线1所受力矩方 向与此相反．
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稳恒磁场讲座Ⅲ Ⅲ 综合性习题的计算
10. 如图所示，在一通有电流 I 的长直导线附近，有一半径为 R，质量为m的细小线圈。细小 线圈可绕通过其中心与直导线 平行的轴转动。直导线与细小 线圈中心相距为 d，设d>>R， 通过小线圈的电流为I'。若开 始时线圈是静止的，它的正法 线单位矢量 en 的方向与纸面 / 法线单位矢量 en 的方向成角 0 ，问线圈平面转至与纸面 重叠时，其角速度的值为多少？
0 I 2 d l d F IB d l 2l sin
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该力对O点的力矩
dM l dF
方向垂直于导线2，如图所示．
0 I 2 d l dM ldF 2 sin
I o
1

I 2
dF
dM
l
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任一段单位长度导线所受磁力对O点的力矩
B
I
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解：将电流元Idl处的分解为平行线圈平面的B1和垂直线圈平面的B2 两分量，则
B1 B sin 60
B2 B cos60
分别讨论线圈在B1磁场和B2磁场中所受的合力F1与F2．电流元受B1 的作用力
d F1 I d lB1 sin 90 IB sin 60 d l
v
c
x
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y
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解：(1) 运动导体中的自由电子要受到洛伦兹力的作用沿－x方向运 动，从而在垂直于x轴的一对表面上分别积累上正负电荷，该电荷 分布建立的电场方向沿－x轴． 当自由电子受到的电场力与洛伦兹力作用而达到平衡时，电场强 度为： E = vB 写成矢量形式为
稳恒磁场讲座Ⅲ Ⅰ安培力的计算
1. 在长直电流I1旁有一等腰梯形载流线框ABCD，通有电流I2，已 知BC , AD边的倾斜角为，如图所示，AB边与I1平行，距I1为a,梯 形高为b，上、下底长分别为c , d。试求该线框受到的作用力。
C B I1 c A a b D

I2 d
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内的均匀磁场，如图．今有一电子(质量为 m，电荷为-e)在底边距顶 点o为 l 的地方，以垂直底边的速度 v 射入该磁场区域，若要使电 子不从上面边界跑出，电子的速度最大不应超过多少？
B
o
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45º l
v
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解：电子进入磁场作圆周运动，圆心在底边上．当电子轨迹 与上 面边界相切时，对应最大速度，此时有如图所示情形．
B 1 ( B2 B1 ) 2
i ( B2 B1 ) / 0
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在无限大平面上沿z轴方向上取长dz，沿x轴方向取宽dx， 则其面积为dS = dzdx，面元所受的安培力为：
F i d x d zB0 ( j ) i d SB0 ( j )
O
B1

y
B2
x
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解：设i为载流平面的面电流密度，为无限大载流平面产生的磁场, 为均匀磁场的磁感强度，由安培环路定理得：
1 B 0 I 2
B1 B0 B
B0 1 ( B1 B2 ) 2
B2 B0 B
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解：
F F1 F2 F3 F4
0 I1 I 2 F1 ci 2a
0 I1 I 2 F3 di 2 (a b)
C B

I2 d
I1
c A
o
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a
b
D
x
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解：1、选坐标（如图所示） 2、找微元

B

l
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v
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解: 对应的圆运动半径为
m v m lqB/ 2m l r qB qB 2
故l为该圆的直径,
3l / 2


3
v

o
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6. 在一顶点为45°的扇形区域，有磁感强度B 为方向垂直指向纸面
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o
I'
I
R
d o'
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解： 当d>>R时，小线圈附近的磁场可视作均匀磁场，通电小线 圈受到的磁力矩为
2 0 I M p m B I R sin 2d
根据转动惯量定义
2
J r dm
2
0
m 1 R sin d mR 2 2 2
0 I1 I 2 a b 0 I1 I 2 a b F2 tg ln i ln j 2 a 2 a
y
dF
I2 I1


a b
0
x
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同理:
y I2
0 I1 I 2 ab F3 tg ln i 2 a 0 I1 I 2 a b ln j 2 a
I 2 dl
方向
y
3、考察微元处的磁场
0 I1 B 2x
4、计算微元受到的安培力
dF I2
dF BI 2 dl
4、标出微元受到安培力的方向 5、求出载流受到的安培力
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I1

x
0
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F2
a b a
BI 2 dl
2r
r
0 I1 I 2 0 I1 I 2 ab dx ln 2x cos 2 cos a