第二章 杆件的内力·截面法讲解
第二章 杆件的内力.截面法(第1、2、3节)
外 无外力段
力
q=0
均布载荷段
q>0
q<0
集中力
P C
集中力偶
m
C
水平直线
斜直线
自左向右突变 无变化
FS 图
FS
特
征
x
FS >0
FS
FS
x
x
FS <0 增函数
FS
FS FS1
C
x
FS2
x
降函数 FS1–FS2=P
FS
C x
M
斜直线
曲线
自左向右折角 自左向右突变
图M
M
M
M
M
与 M M1
特
x
x
x
x
xm
x
求：外力偶矩Me ( N·m)
解：PMe
n 30
P1000Me3n0
由此求得外力偶矩：
Me
Me
P103 00 P
M e
n
954 (N .9 m) n
若传递功率单位为马力（PS)时, 由于PS=735.5N·m/s
Me
702P4(N.m) n
杆件的内力.截面法
对称弯曲：工程中最常见的梁，其横截面一般至少有一根对称 轴，因而整个杆件有一个包含轴线的纵向对称面。 若所有外力都作用在该纵向对称面内时，梁弯曲变 形后的轴线将是位于该平面内的一条曲线，这种弯 曲形式称为对称弯曲。
注意 1、用截面法求轴力时，在切开的截面上建议假设正 的轴力，由平衡方程得出的FN值为正，说明轴力为正 （拉力）； FN值为负，说明轴力为负（压力）。
2、在画轴力图时，填充为下画线或无填充，不要画剖 面线形式；并注上 符号 或 。
第二章内力与内力图详解
例：如左图，求n-n面的内力。 左半部分
Fx 0
FN FP
右半部分：
Fx 0 FN FP
左右两部分的力方向相反，但是同一内力， 因此规定内力由变形确定正负号，是标量。
§2-1 横截面上内力与内力分量
P2
P1
m
P4
P1
P2
m
P3 P2
P3
m P5
(a)
P1
y FR
m
M
C x
zm
(c)
P3
m
(b)
第二章 内力与内力图
§2-1 横截面上内力与内力分量 §2-2 轴向拉压杆的内力与内力图 §2-3 扭转圆轴的内力与内力图 §2-4 平面弯曲梁的内力与内力图 §2-5 平面刚架和曲杆的内力图
横截面上内力计算--截面法
截面法求内力步骤
❖ 将杆件在欲求内力的截面处假想的截断，取其中任一部分； ❖ 画出其受力图。所有外力，并在断面上画出相应内力； ❖ 由静平衡条件确定内力大小。
传动轴的扭矩图。
解：1)计算外力偶
MA
9549
PA n
9549 36 300
1146N.m
M B MC 350N.m；M D 446N.m
2)由外力偶分段，用截面法分别求每段
轴的扭矩即为1-，由
Mx 0
M B M x1 0 M x1 350N.m
B
C
A
350
700
446 x
D
扭矩图例2
10kN 30kN.m 20kN.m
A
2m B
10kN.m
D C
M x (kN.m)
10
A
B
20
C
02截面法求内力基本方法
0 -33 34.8
19
19
Y 0 YNAD 11 kN YNAD CD 0.5 X NAD AC 1.5 X NAD 3YNAD 33 kN
X 0 FNAC 33 kN
0 -33
-33
34.8 -8
19
19
0 -33
-33
34.8
dM dx
FQ ,
dFQ q( x), dx
dFN p( x) dx
Mq
M+dM
dx
FN
dx
FN+d FN
FQ
FQ+dFQ
dM dx
FQ ,
dFQ q( x), dx
dFN p( x) dx
集中力
梁上 无外力 均布力作用 集中力作用 偶M作 铰处
情况
(q向下)
处(FP向下) 用处
斜直 剪力图 水平线 线(
)
为 零 处
有突 变(突 变值=
FP)
如 变 号
无 无变化 影
响
一般 抛物 有 有尖 有 有突变
弯矩图 为斜 线(
极 角(向 极 （突变 为零
直线 下凸) 值 下） 值 值=M）
曲杆微分关系
曲杆微段
dFN ds
=-qt+
FQ R
dFQ ds
=qn-
FN R
dM ds
=FQ-m
求内力基本方法：截面法
材料力学规定： 轴力FN --拉力为正 剪力FQ--绕隔离体顺时针方向转动者为正
弯矩M--使梁的下侧纤维受拉者为正
M
M+dM
试述求杆件横截面上内力的截面法步骤和方法
试述求杆件横截面上内力的截面法步骤和方法1. 了解截面法哎，说到工程力学里的截面法，别让这些名字吓坏了，其实就是一种找出杆件内部力量的简单方法。
咱们平常接触的建筑物、桥梁，或者一些机械构件，都是通过这种方法来确保它们的稳固和安全的。
这个方法简单来说就是用“剪刀”切一刀，把杆件“分尸”，然后分析切面上受力的情况。
好比是咱们剥苹果皮，剥开之后看里面的果肉，这样能更清楚地了解苹果的质量。
2. 截面法的步骤2.1 选取截面首先，挑选一个合适的截面，瞅准了方向之后，就下手了。
这个步骤就像在你脑子里画出一条切割线。
你得选择一个合适的位置，把杆件从中间“切开”。
这里要注意，选取的位置一定要使得切面上的力易于计算。
如果这个位置选错了，结果就像你在黑暗中找钥匙一样，费劲不讨好。
2.2 画出受力图接下来，别忘了给这片“切面”画上图。
要把杆件切开后，分离出的部分的受力情况画出来。
图上得标明各种内力，比如剪力、轴力和弯矩等等。
这些力就像是在打游戏时，你需要记录你的角色的状态和装备一样，你要准确记录这些力的情况，这样才能确保你计算的准确。
2.3 列出平衡方程然后，你就要写平衡方程了。
平衡方程是用来保证杆件在切开时的受力状态是平衡的，不会乱七八糟。
这些方程包括了力的平衡、力矩的平衡等。
就像你玩积木，如果要保持积木塔不倒，就得仔细计算每一块积木的放置位置。
2.4 解方程找内力最后，你要解这些方程，找出杆件内部的力量。
就像做数学题一样，把方程算出来，你就能得到具体的内力数值。
这个步骤可不能马虎，不然得到的结果就像是空话，没有实际意义。
3. 截面法的应用3.1 结构分析截面法在结构分析中的应用非常广泛。
无论是大桥、小楼，还是家里的门框，都是用这个方法来确保结构的安全性。
就像是大厨做菜，得先知道每种材料的用量和比例，才能做出美味的菜肴。
工程师用截面法就像是这个大厨，通过计算内力，确保建筑的稳定性和安全性。
3.2 机械设计在机械设计中，截面法也是必不可少的。
试述求杆件横截面上内力的截面法步骤和方法
试述求杆件横截面上内力的截面法步骤和方法哎呀，这可是个不简单的问题啊！不过别着急，我这个“知识小百科”可是见过世面的，一定能帮你解决。
今天我们就来聊聊：试述求杆件横截面上内力的截面法步骤和方法。
我们要知道杆件横截面上的内力是什么。
简单来说，就是杆件在受力时，由于各个部位的材料不同，所以产生的应力也不一样。
这些应力就会在杆件内部形成一种力量，我们称之为内力。
而求解这种内力的过程，就叫做截面法。
那么，截面法有哪些步骤呢？其实很简单，可以分为以下几步：
第一步：确定截面形状和尺寸。
这是非常重要的一步，因为不同的截面形状和尺寸会影响到内力的分布情况。
所以我们需要根据实际情况来选择合适的截面形状和尺寸。
第二步：建立坐标系。
这个步骤的目的是为了方便我们进行计算。
我们可以将杆件看作一个长方体，然后在这个长方体上建立一个坐标系，用来表示各个部位的位置和方向。
第三步：确定材料的性质和截面几何参数。
这一步也是非常关键的，因为不同的材料有着不同的弹性模量、泊松比等性质参数，而这些参数又会影响到内力的计算结果。
第四步：应用胡克定律和其他力学公式进行计算。
这一步需要我们掌握一定的力学知识和技巧，才能够正确地求解出内力的大小和方向。
好了，以上就是求解杆件横截面上内力的截面法步骤和方法了。
看起来有点复杂吧？但是只要认真学习，相信你也能轻松掌握哦！
希望我的回答对你有所帮助！如果你还有其他问题或者疑问，欢迎随时提出哦！。
截面法是求杆件内力的基本方法
一、概述截面法是工程力学中用于求解杆件内力的基本方法之一。
在工程结构分析和设计中，了解截面法的原理和应用是至关重要的。
本文将深入探讨截面法的基本概念、原理和应用，以帮助读者更好地理解和应用这一方法。
二、截面法的基本概念1.1 概念简介截面法是工程力学中用于分析杆件内力的一种方法，它基于杆件内力平衡的原理，通过考察杆件的截面上的内力分布情况来求解杆件的内力。
1.2 截面法的基本原理截面法基于力的平衡原理，即在杆件的截面上，杆件的内力必须满足横向平衡和转矩平衡的条件。
通过分析截面上的内力分布情况，可以确定杆件内的弯矩、剪力和轴力。
1.3 截面法的应用范围截面法适用于各种杆件的内力分析，包括梁、柱、桁架等结构中的杆件。
在工程实践中，截面法常常用于分析结构内部的受力情况，为结构设计和分析提供重要依据。
三、截面法的具体步骤2.1 确定截面在应用截面法时，首先需要确定分析的截面位置。
通常情况下，选择距离受力部位较近的位置作为截面。
2.2 绘制内力图在截面上绘制出杆件内的剪力图和弯矩图，根据平衡条件和力学原理，确定内力的方向和大小。
2.3 计算内力根据绘制的剪力图和弯矩图，可以直接求解出截面上的剪力、弯矩和轴力大小。
这些内力是杆件在该截面上的受力情况的表示。
2.4 检验平衡通过检验内力图的平衡条件，验证所得的内力是否符合力学平衡定律。
如果内力满足平衡条件，则认为截面法计算是正确的。
四、截面法的应用举例3.1 梁的截面力分析以简支梁为例，说明如何利用截面法分析梁的内力情况。
根据距离支座较近的位置选择截面，绘制剪力图和弯矩图，并计算出截面上的内力情况。
3.2 柱的截面力分析以等截面柱为例，说明如何利用截面法分析柱的内力情况。
通过选择适当位置的截面，绘制出内力图，计算出截面上的轴力和弯矩。
五、截面法的优缺点4.1 优点截面法简单直观，易于理解和应用。
通过截面法可以直接得到截面上的内力分布情况，为结构的受力分析提供了重要依据。
内力分析的基本方法-截面法
8kN 4kN E
4kN D C 4kN
C 4m n 1
A
D 4kN
N4
N1 N2 N3 N4
由结点E可知： N2 = -N3
取m-m截面以上为对象 由∑x= 0 得
解：取n-n截面以上为对象 ∑MD= 0 N1 ×6＋8×3＋4×4 = 0 得： N1 = －6.67 kN
N2=－6.67 kN
所以：
2、突变：在集中力作用处，剪力图有突变，弯矩图 有一尖角；在集中力偶作用处，弯矩图有突变，剪力 图无变化。 3、端值情况
详见教材p98表3-1
18
规律作图方法：
1、水平线图：段内任取截面求内力（一般取段端截面） 2、斜直线图：段内任取两截面求内力（一般取段两端 截面）
3、抛物线图：段内取两端截面及中间截面求弯矩
RA
RB 1、计算支座反力
得: QD= qL/2 Σmc= 0 MD–RA×L+qL×L/2 = 0 得: MD= qL2 取E--E截面右段为对象
ME
E
解得：RA=3qL/2 （竖直向上） RB=qL/2 （竖直向上）
2、取D--D截面左段为对象， 画出受力图 q D
MD
qL2
QE E
RA
D
ΣΎ= 0 Σmc= 0
2.5
=－2kNm（上拉） 静定平面刚架内力计算
一、刚架定义 刚架是由梁、柱等直杆组成的具有刚结点的结构， 其中全部或部分结点为刚结点。如图所示 D P C PC D
A
二、刚架的特点
B
A
B
1、结构内部空间较大，便于利用。 2、刚架的内力、变形峰值比用铰结点连接时小。
3、刚结点能传递力和力矩；而铰结点则只能传递力。
试述求杆件横截面上内力的截面法步骤和方法
试述求杆件横截面上内力的截面法步骤和方法哎呀，这可是个不小的题目啊！不过别着急，咱们一步一步来，就像吃冰激凌一样，先从最上面的一层开始。
咱们要明确一个概念：杆件横截面上内力的截面法步骤和方法。
简单来说，就是要知道在杆件的横截面上，有哪些力在作用，这些力是怎么分布的，以及如何计算这些力的合力。
好了，现在我们开始吧！1.1 第一步：确定杆件的形状和尺寸咱们要了解杆件的形状和尺寸。
这个就像是在点餐的时候，告诉服务员你要吃什么，多大份儿。
只有知道了这些信息，才能知道接下来要做什么。
所以呢，首先要搞清楚杆件是什么样子的，比如说是一个圆柱形还是一个方形，长度是多少，直径是多少等等。
1.2 第二步：分析杆件上的受力情况接下来，咱们要分析杆件上的受力情况。
这个就像是在吃饭的时候，要知道你吃了什么，哪些部位受到了压力，哪些部位受到了拉力等等。
只有知道了这些信息，才能知道接下来要怎么做。
所以呢，要仔细观察杆件上的各个部位，看看有哪些力在作用，比如说重力、支持力、摩擦力等等。
1.3 第三步：建立坐标系和截面图现在，咱们要建立一个坐标系和截面图。
这个就像是在看电影的时候，要把镜头定在一个合适的位置，方便观察。
只有建立了坐标系和截面图，才能更好地进行下一步的计算。
所以呢，要根据杆件的形状和尺寸，选择一个合适的坐标系和截面图。
2.1 第四步：求解内部各点的应力和位移有了坐标系和截面图之后，咱们就可以求解内部各点的应力和位移了。
这个就像是在做作业的时候，要把题目读懂了，才能找到正确的答案。
所以呢，要根据受力情况和材料性质，运用力学公式进行计算。
2.2 第五步：合成内部各点的合力和等效应力求解了内部各点的应力和位移之后，咱们就可以合成内部各点的合力和等效应力了。
这个就像是在玩游戏的时候，要把各个角色的力量加起来，才能打败敌人。
所以呢，要根据受力情况和材料性质，运用力学公式进行计算。
3.1 第六步：检查结果的合理性咱们要检查一下结果的合理性。
截面法求内力讲解
解： 1. 确定支座反力
B Fx 0 MA 0
FBy
Fy 0
FAx 0 2FPa FPa FBy 3a 0 FAy FBy 2FP 0
FBy
FP 3
FAy
5FP 3
2FP FQE
A 5FP
C E ME
3
Fy 0
2FP
FQE
5FP 3
0
C
a
FAy
b l
FPb l
+
FP a
-
l FQ图
FPab M图
l
B FBy
A FPb
l
FQ
M
MA 0
Fy 0
FBy
FP a l
FAy
FPb l
FQ
FQ
FPb l
(0 x a)
M
M FPb x (0 x a)
l
B
FQ
FP a l
(a x l)
FPa M FPa (l x)
平: 对留下部分写平衡方程求出内力的值
FQ(+)
FQ(+)
M(+)
M(+)
（1）平衡方程的正负和内力的正负是完全不同性质的两套符号系统。 （2）取简单部分作为隔离体，列平衡方程时，尽量使一个方程含有一个未知量
例1 求E截面内力
A FAx
FAy
2FP FPa
C
D
1.5a E
a
a
a
2. 用截面法研究内力
M JK J
F QJK
M JK J
2章-杆件的内力与内力图-拉压、扭转
§ 2.1 基本概念
2.1.1 内力的概念
《物理学》：指微粒之间的相互作用力，由于这 个作用力的不同，使物体呈现出不同的形态。
《静力学》中：物体之间的相互约束力，称为内约 束力。
此处讲解的内力：在物理学内力的基础上， 变形体在外因的作用下（荷载、温度变化……）， 发生变形，体内各点发生相对位移，从而产生抵 抗变形的相互作用的附加内力，简称内力
4. 建立FN－x坐标系，画轴力图
FN－x坐标系中x坐标轴沿着杆件的轴线方 向，FN坐标轴垂直于x轴。
将所求得的各控制面上的轴力标在FN－x坐标 系中，得到a、和c四点。因为在A、之间以及 、C之间，没有其他外力作用，故这两段中的 轴力分别与A（或）截面以及C（或）截面相同 。这表明a点与点心”之间以及c点之间的轴力 图为平行于x轴的直线。于是，得到杆的轴力 图。
Mx
z Mz
FR M FNx FQy FQz Mx My Mz
FNx——轴力 FQy、 FQz——剪力 Mx——扭矩
My、MZ——弯矩
2.1.2 内力与外力的关系——截面法 1 弹性变形体的平衡原理 2 求内力的方法——截面法
应用平衡的概念，不仅可以确定 构件的支座反力，而且还可以确定构件 上任意横截面上的受力-内力及其沿构 件轴线方向的变化规律，以找出最危险 的截面。
面上的轴力均为正方向（拉力）， 并考察截开后下面部分的平衡。
3. 应用截面法求控制面上的轴力
用 假 想 截面 分 别 从 控 制 面 A、 B'
、B"、 C处将杆截开，假设横截面
FA
FNA 上的轴力均为正方向（拉力），并考
察截开后下面部分的平衡，求得各截
A
A 面上的轴力：
杆件的内力分析--材料力学
取3-3截面右侧分析 列方程
M
x
0
M x 3 TD 0
M x 3 TD 2859 N m
由上述计算得到扭矩 值
M x1 4300 N m M x 2 6690 N m M x 3 2859 N m
画扭矩图
课堂练习（时间 3分钟） 试画出下面轴的扭矩图
力矩矢方向
力矩旋转方向
根据平衡，截面上有内力矩Mx—扭矩 由此确定扭矩及外力矩的力矩矢方向
扭矩的正负号规定 按照右手螺旋法则， 扭矩矢量的指向与截 面外法线方向一致为 正，反之为负。
力矩矢方向
扭矩矢量 Mx n
力矩旋转方向
截面
截面外法线
1、计算各外力矩的大小（已知功率和转速）； 2、将各外力矩采用右手螺旋定则绘出外力矩矢； 3、取各控制截面，预设扭矩矢（内力矩矢）为正 方向，列平衡方程，计算扭矩矢的大小； 4、以轴线方向为横坐标，扭矩大小为纵坐标绘出 扭矩图。
将外力矩转换为力矩 矢量
取1-1截面左侧分析 将截面上的扭矩设为 正 列方程
M
x
0
TB M x1 0
M x1 TB 4300 N m
取2-2截面左侧分析 列方程
M
x
0
TB TC M x 2 0
M x 2 TB TC 6690 N m
• 2-2直杆轴向拉伸（压缩）时的内力及内力 图
工程中经常遇到承受轴向拉伸或压缩的直杆，例如：
一些机器和结构中所 用的各种紧固螺栓，在紧 固时，要对螺栓施加预紧 力，螺栓承受轴向拉力， 将发生伸长变形。
这些杆件所受的外力特征可以描述为： 作用在杆上的外力的合力作用线与杆的轴线重合
工程力学杆件的内力
M 15kN m max 40
例 作梁的内力图
q P qa q
18
解:
(1)计算外力偶矩
由公式
Pk/n
19
(2)计算扭矩
(3) 扭矩图
20
• 传动轴主动轮A的输入功率NA＝50 马力，从动轮B、C、D输出功率分 别为NB＝NC＝15马力，ND＝20马 力，转速n＝300r/min。画扭矩图。
21
mA=1170 N·m
用截面法求出内力 mB= mC= 351 N·m mD= 468 N·m
且轴力或为拉力，或为压力。
正负号规定： 轴力 拉为正，压为负。
二 轴力计算 （利用截面法进行计算） 计算轴力的方法：
（1）在需求轴力的横截面处，假象用截面将杆切开，并任 选切开后的任一杆段为研究对象；
（2）画所选杆段的受力图，为计算简便，可将轴力假设为 拉力，即采用所谓设正法；
（3）建立所选杆段的平衡方程，由已知外力计算切开截6面 上的未知轴力。
剪力图和弯矩图的作法：
（1）根据剪力方程和弯矩方程；
（2）叠加法(superposition method)；
（3）根据集度(intensity)、剪力和弯矩的微分关系；
30
解：（1）列剪力方程和弯矩方程
由平衡方程
Y 0,Q P 0 得Q P 由M 0, Px M 0
截面法求内力举例：求杆AB段和BC段的内力
内力、截面法及应力的概念 建筑力学
建筑力学
3
二、 截面法
• 截面法是求内力的基本方法。要确定杆件某一截面上的内力，可以 假想地将杆件沿需求内力的截面截开，将杆分为两部分，并取其中一 部分作为研究对象。此时，截面上的内力被显示出来，并成为研究对 象上的外力，再由静力平衡条件求出此内力。这种求内力的方法，称 为面法可归纳为三个步骤： 1．截开 欲求某一截面上的内力时，沿该截面假想地把杆件分成两部分（图5-3a），任取一 部分作为研究对象。 2．代替 用作用于截面上的内力代替弃去部分对研究部分的作用（图5-3b）或（图5-3c）。 3．平衡
一点处的集度，杆件中某截面上任一点的应力一般有两个分量：正应 力和剪应力。
4.求内力的基本方法----截面法 步骤：截开；代替；平衡。
建筑力学
11
单位换算：
建筑力学
8
本章小结
建筑力学
9
本章讨论了材料力学的一些基本概念。 1．材料力学的研究对象
是由均匀、连续、各向同性的弹性体材料制成的杆件。 2．杆件的四种基本变形形式 （1）轴向拉伸或压缩 （2）剪切 （3）扭转 （4）弯曲
建筑力学
10
3.内力与应力的概念 内力是杆件在外力作用下，相连两部分之间的相互作用力。 工程上最常见的是计算杆件横截面上的内力。应力是内力在某
对研究部分建立平衡方程，从而确定截面上内力的大小和方向。图5-3
建筑力学
5
三、应力
建筑力学
6
构件的破坏不仅与内力大小有关，还与内力在构件截面上 的密集程度（简称集度）有关。通常将内力在一点处的集度 称为应力。用式子表示为：P称为E点处应力。
建筑力学
7
通常应力P与截面既不垂直也不相切。材料力学中总是将它分解为垂直 于截面和相切于截面两个分量。垂直于截面的应力分量称为正应力或法 向应力，用σ表示；相切于截面的应力分量称为剪应力或切向应力，用τ 表示。
第2章杆件的内力与内力图
◎ 梁的剪力和弯矩
在集中力作用处的左右两侧截面上剪力值（图） 有突变，突变值等于集中荷载的大小，弯矩图形成尖角。
内力分量 (Components of the Internal Forces)
F1
FQy
y
内力主矢和内力主
矩在三个坐标轴上
My
的分量称作内力分 量，分别命名为： x
FQz
FN
轴力FN、剪力FQy和
FQz 、 扭 矩 Mx 、 弯 矩My和 Mz 。
Mz
F2 z
Mx
第2章 杆件的内力和内力图
◎ 基本概念
第2章 杆件的内力和内力图 梁的剪力图和弯矩图
◎ 梁的剪力和弯矩
作用在梁上的平面载荷，如果不包含轴向力，这时梁 的横截面上将只有弯矩和剪力。表示剪力和弯矩沿梁轴线 方向变化的图线，分别称为剪力图(diagram of shearing force)和弯矩图(diagram of bending moment)。 绘制剪力图和弯矩图有两种方法：其中一种方法是根 据剪力方程和弯矩方程，在FQ-x和M-x坐标系中首先标出 剪力方程和弯矩方程定义域两个端点的剪力值和弯矩值， 得到相应的点；然后按照剪力和弯矩方程的类型，绘制出 相应的图线，便得到所需要的剪力图与弯矩图。
◎ 梁的剪力和弯矩
FQ
FQ
剪力FQ(FQy或FQz)对截开后所取研究对象产 生顺时针方向的矩者为正；产生逆时针方向的矩 者为负。
第2章 杆件的内力和内力图 弯矩的正负号规则
◎ 梁的剪力和弯矩
弯矩M(My或Mz) 作用在左侧面上使截开部分逆时针 方向转动；或者作用在右侧截面上使截开部分顺时针方 向转动者为正；反之为负。 也可用下侧受拉、上侧受压为正；上侧受拉、下侧 受压为负来确定。
第二章 杆件的内力分析
第二章杆件的内力分析要想对杆件进行强度、刚度和稳定性方面的分析计算，首先必须知道杆件横截面上的内力，因此，本章主要对此作分析讨论。
首先引入了内力的基本概念和求内力的基本方法——截面法，然后讨论了各种变形情况下截面上的内力及求解和内力图的绘制，这是材料力学最基本的知识。
第一节内力与截面法杆件因受到外力的作用而变形，其内部各部分之间的相互作用力也发生改变。
这种由于外力作用而引起的杆件内部各部分之间的相互作用力的改变量，称为附加内力，简称内力。
内力的大小随外力的改变而变化，它的大小及其在杆件内部的分布方式与杆件的强度、刚度和稳定性密切相关。
为了研究杆件在外力作用下任一截面m-m上的内力，可用一平面假想地把杆件分成两部分，如图2-1a。
取其中任一部分为研究对象，弃去另一部分。
由于杆件原来处于平衡状态，截开后各部分仍应保持平衡，弃去部分必然有力作用于研究对象的m-m截面上。
由连续性假设，在m-m截面上各处都有内力，所以内力实际上是分布于截面上的一个分布力系（图2-1b）。
把该分布内力系向截面上某一点简化后得到内力的主矢和主矩，以后就称之为该截面上的内力。
但在工程实际中更有意义的是主矢和主矩在确定的坐标方向上的分量，如图2-1c，这六个内力分量分别对应着四种基本变形形式，依其所对应的基本变形，把这六个内力分量分别称为轴力、剪力、扭矩和弯矩。
（1）轴力。
沿杆件轴线方向（x轴方向）的内力分量FN，它垂直于杆件的横截面，使杆件产生轴向变形（伸长或缩短）。
（2）剪力。
与截面相切（沿y轴和z轴方向）的内力分量FQy、FQz ，使杆件产生剪切变形。
（3）扭矩。
绕x轴的主矩分量Mx，它是一个力偶，使杆件产生绕轴线转动的扭转变形。
（4）弯矩。
绕y轴和z轴的主矩分量My、Mz，它们也是力偶，使杆件产生弯曲变形。
为了求出这些内力分量，只需对所研究部分列出平衡方程就可。
这种计算截面上内力的方法通常称为截面法。
其步骤可归纳为：(1) 沿需要计算内力的截面假想地把构件分成两部分，取其中的任一部分作为研究对象, 弃去另一部分。
河海大学 材料力学 第二章杆件的内力分析第一节
Mx
FN (轴力normal force): 沿x 轴(轴线)的内力分量。 FQy、FQz (剪力shearing force)：与横截面相切的内力分量。 Mx (扭矩torsion moment): 沿x 轴(轴线)的主矩分量。 My、Mz (弯矩) :(bending moment)：绕y(z) 轴的主矩分量。
(矢量位于横截面内)
y
My
y
C
x
=
z
My
C x
z
截面法求内力的步骤：
F1
y
My
Hale Waihona Puke FQy FQz C FN F2
zM z
x
1、截成两半 2、取其之一 3、代以内力 4、平衡求解
Mx ∑Fx = 0, ∑Fy = 0, ∑Fz = 0, ∑Mx = 0, ∑My = 0, ∑Mz = 0,
例1 已知F ，沿杆轴线，不计杆重。求杆件内力 。
第二章 杆件的内力分析
§2-1 内力与截面法
一、内力(internal force) 由于外力作用，杆件内部相连两部分之间的相互 作用力。 F1 F2
F3
Fn
二、截面法(method of sections) 将杆件假想地切开以显示内力，并由平衡条件建立
内力与外力间关系或由外力确定内力的方法，称为
C y
F My
F
解： 研究任一截面的 以左部分杆件， ∑Fx = 0, FN – F= 0 FN = F；
FQy F
FQz C FN
zM z x
Mx
FQy=FQz =0 Mx =My=Mz =0
如研究右半部分， ∑Fx = 0, F –FN= 0 FN = F；
截面法求杆件的内力
截面法求杆件的内力教学目标：1、理解和掌握求杆件内力的方法——截面法；2、熟练运用截面法求不同杆件受到拉伸时的内力。
教学重点：截面法求杆件内力的步骤。
教学难点：如何运用截面法求内力的方法解决工程力学中求内力的实际问题。
教学方法：提出问题——实例演示——练习点拨——归纳总结教学过程：一、复习旧知1、杆件有哪几种基本变形？2、拉伸和压缩的受力特点是什么？3、拉伸和压缩的变形特点是什么？二、新课讲解思考：当杆件受到拉伸、压缩时，就会在杆件内部产生力的作用，怎样才能确定杆件的内部会产生多大的力？（引出课题）出示本节课的学习目标。
（一）、教学什么是杆件的内力？内力：杆件在外力作用下产生变形，其内部相互间的作用力称为内力。
一般情况下，内力将随外力增加而增大。
当内力增大到一定限度时，杆件就会发生破坏。
内力是与构件的强度密切相关的，拉压杆上的内力又称为轴力。
（二）、教学截面法求杆件的内力。
1、什么是截面法？截面法：将受外力作用的杆件假想地切开，用以显示内力的大小，并以平衡条件确定其合力的方法，称为截面法。
它是分析杆件内力的唯一方法。
2、实例演示：如图AB 杆受两个力，一个向左，一个向右，大小均为F 。
作用点分别为A 和B 。
①、确定要截开的次数和位置（要根据杆件的受力情况而定） ②、选取一半截面为研究对象（一般选取受力较少的一段作为研究对象）③、假设出截面上的内力（取左段内力向右设，取右段内力向左设，方向跟坐标轴方向一致，左负右正、下负上正）④、用平衡方程求出截面上的内力（求出的内力为正值为拉力，负值为压力）取左段 ∑Fx=O －F ＋FN ＝0 取右段 ∑Fx=O F －FN ＝0FN ＝F FN ＝F 3、总结截面法求杆件内力的步骤：（1）截：在需求内力的截面处，沿该截面假想地把构件切开。
（2）取：选取其中一部分为研究对象。
（3）代：将截去部分对研究对象的作用，以截面上的未知内力F F N来代替。
（4）平：根据研究对象的平衡条件，建立平衡方程，以确定未知内力的大小和方向。
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F
FN （＋）FN
F
F
FN （－）FN
F
轴力图： 轴力沿轴线变化的图形
F
F
FN
轴力图的意义
+ x
① 直观反映轴力与截面位置变化关系； ② 确定出最大轴力的数值及其所在位置，即确定危险截面位置，为 强度计算提供依据。
例 图示杆的A、B、C、D点分别作用着大小为FA = 5 F、 FB = 8 F、 FC = 4 F、 FD= F 的力，方向如图，试求各段内力并画出杆 的轴力图。
应变
一、正应变（线应变）定义
av
Du Ds
棱边 ka 的平均正应变
lim
Du k点沿棱边 ka 方向的正应变
Ds0 Ds
正应变特点
1、 正应变是无量纲量 2、 过同一点不同方位的正应变一般不同
二、切应变定义 微体相邻棱边所夹直角的
改变量 g ，称为切应变
切应变量纲与单位
切应变为无量纲量 切应变单位为 弧度（rad）
BC
D
FN 2 FB FC FD 0
FB
FC
FD
FN2= –3F，
求BC段内力：
FN3
C
D
Fx 0 FN3 FC FD 0 FN3= 5F，
FC
FD
FN4
D
求CD段内力：
Fx 0 FN 4 FD 0
FN4= F
FD
FN1 2F, FN2= –3F， FN3= 5F， FN4= F
M
M
取左段为研究对象：
M 0, T M 0 M x
Tx
T M
取右段为研究对象：
M
x
M 0, M T 0 T x
T M
内力偶矩——扭矩 T
2、扭矩的符号规定：按右手螺旋法则判断。
右手的四指代表扭矩的旋转方向，大拇指代表其矢量方向，若 其矢量方向与截面的外法线方向相同，则扭矩规定为正值，反之为 负值。
宝剑锋从磨砺出
梅花香自苦寒来
第二章 杆件的内力·截面法
主要内容
1
基本概念-内力、截面法、应力、位移、变形与应变
2 轴向拉伸、压缩、扭转与弯曲的概念 3 剪力方程与弯矩方程-剪力图与弯矩图 4 载荷集度、剪力与弯矩之间的关系 5 平面刚架与平面曲杆的弯曲内力 6 杆件内力的普遍情况
1 基本概念-内力、截面法、应力、位移、变形与应变
内力和截面法
1 、内力的定义：在外力作用下，构件内部各部分之间因相对位置的
改变而引起的附加的相互作用力——附加内力。
2 、内力的特点：
①连续分布于截面上各处 ②随外力的变化而变化
3 、截面法：用以显示和求解内力的方法，其步骤为：
①截开：在待求内力的截面处假想地将构件截为两部分， 取其中一部分为研究对象—脱离体
②代替：用内力代替弃去部分对脱离体的作用—通常为 分布内力系
③平衡： 对脱离体列出平衡方程
应力
FN
FN 比较a、b图杆两杆
m
m
m
m
两杆的材料、长度均相同
(a)
(b)
所受的内力相同，为 FN
显然粗杆更为安全。
FF
F
应力的概念:
F
构杆的强度与内力在截面上的分 布和在某点处的聚集程度有关
① 应力定义： 截面上内力系在某一点处的聚集程度
2 轴向拉伸、压缩、扭转与弯曲的概念
轴向拉伸、压缩
一、轴向拉压的工程实例：
工程桁架
活塞杆
厂房的立柱 F
F
二、轴向拉压的概念：
（1）受力特点：外力合力作用线与杆轴线重合 （2）变形特点：杆沿轴线方向伸长或缩短
FN1
B
A
C
F
FN2
FN1 FN2
以轴向拉压为主要变形的杆件，称为拉压杆或轴向承载杆。
是反映一点处内力的强弱程度的基本量
F1
ΔFTy
⊿A面积上的内力合力 DF
DF DFN DFT
DFN⊥截面 DFT∥截面
DF
ΔFN
ΔFTz ΔA
F2
全应力
DF p lim
DA0 DA
正应力—垂直于截面的应力分量
全应力及应力分量
lim DFN dFN
DA0 DA dA
OA
BC
D
FA
FB
FC
FD
FN1 A
BC
D
FA
FB
FC
FD
解： 求OA段内力FN1：设截面如图
Fx 0 FD FC FB FA FN1 0
F 4F 8F 5F FN1 0
FN1 2F
OA
BC
D
FA
FB
FC
FD
求AB 段内力：
Fx 0
FN2
剪应力—切于截面的应力分量
lim DFT dFT
DA0 DA dA
应力的三要素: 截面、点、方向
受力物体内各截面上每点的应力，一般是不相同的，它随 着截面和截面上每点的位置而改变。 因此，在说明应力性质和数值时必须要说明它所在的位置。
应力的单位：
应力是一向量，其量纲是[力]/[长度]²。
例：已知外力 F，求：1－1截面的内力FN 。
代替，FN 代替。
③平衡， F
∑FX=0, FN - F = 0,
FN = F 以1－1截面的右段为研究对象：
FN
内力 FN 沿轴线方向，所以称为轴力。
F FN
F
轴力的符号规定：
拉伸—拉力，其轴力为正值。方向背离所在截面。 压缩—压力，其轴力为负值。方向指向所在截面。
FN1 2F, FN2= –3F， FN3= 5F， FN4= F
轴力图如下图示
OA FA
FN 2F
BC
D
FB
FC
FD
5F F x
3F
一、扭转的工程实例
扭转
1、螺丝刀杆工作时受扭。
阻抗力偶
Me
主动力偶
汽车方向盘的转动轴工作时受扭
机器中的传动轴工作时受扭
二、扭转的概念
受力特点：杆两端作用着大小相等、方向相反的力偶，且力 偶作用面垂直于杆的轴线。
+
T
-
3、内力图（扭矩图）表示构件各横截面扭矩沿轴线变化的图形。
扭矩图作法：同轴力图：
变形特点：杆任意两截面绕轴线发生相对转动。
Me
mA
主动力偶
阻抗力偶
me
主要发生扭转变形的杆——轴
圆轴受扭时其横截面上的内力偶矩称为扭矩，用符号T 表示。
扭矩大小可利用截面法来确定。
Me
1
Me
A Me
A
1 1
T
1 1
T
1
B
x
T Me
Me
B
扭转杆件的内力——扭矩及扭矩图
1、扭转杆件的内力（截面法）
应力的国际单位为牛顿/米²，称为帕斯卡，简称帕(Pa).
1Pa=1N/m2
1MPa=106Pa＝1N/mm2
1GPa=109Pa
变形和位移
变形—构件受外力图作1.用3 后要发生形状和尺寸的改变 位移—变形后构件上的点、线、面发生的位置改变 变形和位移的关系—产生位移的原因是构件的变形, 构件变形
的结果引起构件上点、线、面的位移