材料力学之杆件的内力截面法PPT
合集下载
杆件的内力图课件
ห้องสมุดไป่ตู้2
杆件内力图的绘制方法
截面法
定义截面
在杆件上选择一个截面， 该截面可以是垂直于杆件 轴线的平面，也可以是与
杆件轴线平行的平面。
计算截面内力
通过计算或实验得到截面 上的内力，包括轴力、剪
力、弯矩等。
绘制内力图
将截面内力按照一定的比 例尺绘制成图，通常采用 直角坐标系或极坐标系。
积分法
01
02
03
04
杆件内力图的实际应用案例
桥梁结构中的内力图分析
桥梁是内力图分析的重要对象之一，通 过对桥梁结构进行内力图分析，可以确 定桥梁的承载能力、刚度和稳定性等性
能指标。
在进行桥梁内力图分析时，通常需要考 虑多种荷载工况，例如车辆荷载、风荷 载和地震荷载等，以便全面评估桥梁的
安全性和可靠性。
内力图分析在桥梁结构优化设计和维护 保养方面也具有重要意义，可以通过对 桥梁结构进行内力图分析，发现潜在的 结构缺陷和安全隐患，及时采取相应的
内力图与外力图的关系
总结词
内力图和外力图是相互关联的，它们共 同反映了杆件的受力情况。
VS
详细描述
外力图表示杆件所受到的外力的大小和方 向，而内力图则表示杆件内部受力分布情 况。两者之间存在一定的关系，通常情况 下，外力图和内力图是相互匹配的，以确 保杆件在给定边界条件下达到平衡状态。 在分析过程中，需要综合考虑外力、约束 和惯性等影响因素。
定义积分域
选择杆件上的一段或多段 作为积分域，该积分域可 以是直线段、圆弧段或复 杂曲线段。
计算应力分布
根据材料力学和弹性力学 知识，计算出积分域内各 点的应力分布情况。
积分得到内力
将积分域内的应力分布乘 以面积元，并对整个积分 域进行积分，得到整个杆 件的内力。
工程力学材料力学部分-精品.ppt
内力的概念
❖ 构件在外力作用时，形状和尺寸将发生变化，其内部质点 之间的相互作用力也将随之改变，这个因外力作用而引起 构件内部相互作用的力，称为附加内力，简称内力。
横截面上内力分析
利用力系简化原理，截面m-m向形心C点简化后，得到 一个主矢和主矩。在空间坐标系中，表示如图
其中：Mx、My、Mz为主矩 在x、y、z轴方向上的分量。 FNx、FQy、FQz为主矢在x、y、 z轴方向上的分量。
3、由平衡方程得：
∑Fy=0 FP-FN=0
FN=FP
∑Mo=0 Fp ·a - Mz=0 Mz =Fp ·a
基本变形—(轴向)拉伸、压缩
载荷特点：受轴向力作用
变形特点：各横截面沿轴 向做平动
内力特点：内力方向沿轴向，简称 轴力FN
FN=P
轴力正负规定：轴力与截面法向相同为正
基本变形---剪切
▪ 载荷特点：作用力与截面平 行（垂直于轴线）
工程力学
（材料力学部分）
2020/12/31
云南交通职业技术学院 李昆华 副教授
第十三章 材料力学的基本内容
学习与应该掌握的内容
❖ 材料力学的基本知识 ❖ 基本变形的主要特点 ❖ 内力计算及内力图 ❖ 应力计算 ❖ 二向应力状态及强度理论 ❖ 强度、刚度设计
材料力学的基本知识
材料力学的研究模型
▪ 变形特点：各横截面发生相 互错动
▪ 内力特点：内力沿截面方向 （与轴向垂直），简称 剪力FQ
剪力正负规定：左下（右上）为正 左下：指左截面（左半边物体）剪力向下
基本变形---扭转
▪ 载荷特点：受绕轴线方向力 偶作用（力偶作用面平行于 横截面）
▪ 变形特点：横截面绕轴线 转动
▪ 内力：作用面与横截面重 合的一个力偶，称为扭矩T
❖ 构件在外力作用时，形状和尺寸将发生变化，其内部质点 之间的相互作用力也将随之改变，这个因外力作用而引起 构件内部相互作用的力，称为附加内力，简称内力。
横截面上内力分析
利用力系简化原理，截面m-m向形心C点简化后，得到 一个主矢和主矩。在空间坐标系中，表示如图
其中：Mx、My、Mz为主矩 在x、y、z轴方向上的分量。 FNx、FQy、FQz为主矢在x、y、 z轴方向上的分量。
3、由平衡方程得：
∑Fy=0 FP-FN=0
FN=FP
∑Mo=0 Fp ·a - Mz=0 Mz =Fp ·a
基本变形—(轴向)拉伸、压缩
载荷特点：受轴向力作用
变形特点：各横截面沿轴 向做平动
内力特点：内力方向沿轴向，简称 轴力FN
FN=P
轴力正负规定：轴力与截面法向相同为正
基本变形---剪切
▪ 载荷特点：作用力与截面平 行（垂直于轴线）
工程力学
（材料力学部分）
2020/12/31
云南交通职业技术学院 李昆华 副教授
第十三章 材料力学的基本内容
学习与应该掌握的内容
❖ 材料力学的基本知识 ❖ 基本变形的主要特点 ❖ 内力计算及内力图 ❖ 应力计算 ❖ 二向应力状态及强度理论 ❖ 强度、刚度设计
材料力学的基本知识
材料力学的研究模型
▪ 变形特点：各横截面发生相 互错动
▪ 内力特点：内力沿截面方向 （与轴向垂直），简称 剪力FQ
剪力正负规定：左下（右上）为正 左下：指左截面（左半边物体）剪力向下
基本变形---扭转
▪ 载荷特点：受绕轴线方向力 偶作用（力偶作用面平行于 横截面）
▪ 变形特点：横截面绕轴线 转动
▪ 内力：作用面与横截面重 合的一个力偶，称为扭矩T
材料力学截面法PPT
第四章 截面的几何性质
概述： 讨论的问题：介绍与截面形状和尺寸有关的几何量
(静矩、惯性矩、惯性积）的定义及计算方法；平行移轴 公式，转轴公式等。
在实际工程中发现，同样的材料，同截面积，由于 横截面的形状不同，构件的强度、刚度有明显不同，如 一张纸（或作业本），两端放在铅笔上，明显弯曲，更 不能承载东西了.但把同一张纸折成波浪状（象石棉瓦 状） ，这时纸的两端再搁在铅笔上，不仅不弯曲，再放 上一支铅笔,也不弯曲.可见,材料截面的几何形状对强度、 刚度是有一定影响的，研究截面几何性质的目的就是解
y
ry
A
rz2 A I z
rz
Iz A
o
rz z
ry2 A I y
例4—3中的矩形截面：
ry
Iy A
rz
Iz A
bh3 12 h
h 0.289h
bh
12 2 3
h
y
oz b
• 补充例子：试计算圆弧右上方阴影部分面积的惯性积 I zy.
解：因为惯性矩与惯性积等于各微
y C
B
r
元面积的惯性矩或惯性积之和，
i
sz yci Ai y1 A1 y2 A2
i
15 300 30 270 30 270 50 23.625 105 (mm)2 ,
2
• 4-2 惯性矩和惯性积
一、惯性矩的定义
------面积对坐标轴的二次矩.
y
y
dA
o
z
z
设一平面图形，取一元面积 dA，坐 标为(z,y)，距原点的距离为 ，方位
服务特 权
共享文档下载特权
VIP用户有效期内可使用共享文档下载特权下载任意下载券标价的文档（不含付费文档和VIP专享文档），每下载一篇共享文
概述： 讨论的问题：介绍与截面形状和尺寸有关的几何量
(静矩、惯性矩、惯性积）的定义及计算方法；平行移轴 公式，转轴公式等。
在实际工程中发现，同样的材料，同截面积，由于 横截面的形状不同，构件的强度、刚度有明显不同，如 一张纸（或作业本），两端放在铅笔上，明显弯曲，更 不能承载东西了.但把同一张纸折成波浪状（象石棉瓦 状） ，这时纸的两端再搁在铅笔上，不仅不弯曲，再放 上一支铅笔,也不弯曲.可见,材料截面的几何形状对强度、 刚度是有一定影响的，研究截面几何性质的目的就是解
y
ry
A
rz2 A I z
rz
Iz A
o
rz z
ry2 A I y
例4—3中的矩形截面：
ry
Iy A
rz
Iz A
bh3 12 h
h 0.289h
bh
12 2 3
h
y
oz b
• 补充例子：试计算圆弧右上方阴影部分面积的惯性积 I zy.
解：因为惯性矩与惯性积等于各微
y C
B
r
元面积的惯性矩或惯性积之和，
i
sz yci Ai y1 A1 y2 A2
i
15 300 30 270 30 270 50 23.625 105 (mm)2 ,
2
• 4-2 惯性矩和惯性积
一、惯性矩的定义
------面积对坐标轴的二次矩.
y
y
dA
o
z
z
设一平面图形，取一元面积 dA，坐 标为(z,y)，距原点的距离为 ，方位
服务特 权
共享文档下载特权
VIP用户有效期内可使用共享文档下载特权下载任意下载券标价的文档（不含付费文档和VIP专享文档），每下载一篇共享文
02截面法求内力基本方法
例1. 求以下桁架各杆的内力
0 -33 34.8
19
19
Y 0 YNAD 11 kN YNAD CD 0.5 X NAD AC 1.5 X NAD 3YNAD 33 kN
X 0 FNAC 33 kN
0 -33
-33
34.8 -8
19
19
0 -33
-33
34.8
dM dx
FQ ,
dFQ q( x), dx
dFN p( x) dx
Mq
M+dM
dx
FN
dx
FN+d FN
FQ
FQ+dFQ
dM dx
FQ ,
dFQ q( x), dx
dFN p( x) dx
集中力
梁上 无外力 均布力作用 集中力作用 偶M作 铰处
情况
(q向下)
处(FP向下) 用处
斜直 剪力图 水平线 线(
)
为 零 处
有突 变(突 变值=
FP)
如 变 号
无 无变化 影
响
一般 抛物 有 有尖 有 有突变
弯矩图 为斜 线(
极 角(向 极 （突变 为零
直线 下凸) 值 下） 值 值=M）
曲杆微分关系
曲杆微段
dFN ds
=-qt+
FQ R
dFQ ds
=qn-
FN R
dM ds
=FQ-m
求内力基本方法：截面法
材料力学规定： 轴力FN --拉力为正 剪力FQ--绕隔离体顺时针方向转动者为正
弯矩M--使梁的下侧纤维受拉者为正
M
M+dM
0 -33 34.8
19
19
Y 0 YNAD 11 kN YNAD CD 0.5 X NAD AC 1.5 X NAD 3YNAD 33 kN
X 0 FNAC 33 kN
0 -33
-33
34.8 -8
19
19
0 -33
-33
34.8
dM dx
FQ ,
dFQ q( x), dx
dFN p( x) dx
Mq
M+dM
dx
FN
dx
FN+d FN
FQ
FQ+dFQ
dM dx
FQ ,
dFQ q( x), dx
dFN p( x) dx
集中力
梁上 无外力 均布力作用 集中力作用 偶M作 铰处
情况
(q向下)
处(FP向下) 用处
斜直 剪力图 水平线 线(
)
为 零 处
有突 变(突 变值=
FP)
如 变 号
无 无变化 影
响
一般 抛物 有 有尖 有 有突变
弯矩图 为斜 线(
极 角(向 极 （突变 为零
直线 下凸) 值 下） 值 值=M）
曲杆微分关系
曲杆微段
dFN ds
=-qt+
FQ R
dFQ ds
=qn-
FN R
dM ds
=FQ-m
求内力基本方法：截面法
材料力学规定： 轴力FN --拉力为正 剪力FQ--绕隔离体顺时针方向转动者为正
弯矩M--使梁的下侧纤维受拉者为正
M
M+dM
第二章 杆件的内力·截面法讲解
F
FN （＋）FN
F
F
FN （－）FN
F
轴力图： 轴力沿轴线变化的图形
F
F
FN
轴力图的意义
+ x
① 直观反映轴力与截面位置变化关系； ② 确定出最大轴力的数值及其所在位置，即确定危险截面位置，为 强度计算提供依据。
例 图示杆的A、B、C、D点分别作用着大小为FA = 5 F、 FB = 8 F、 FC = 4 F、 FD= F 的力，方向如图，试求各段内力并画出杆 的轴力图。
应变
一、正应变（线应变）定义
av
Du Ds
棱边 ka 的平均正应变
lim
Du k点沿棱边 ka 方向的正应变
Ds0 Ds
正应变特点
1、 正应变是无量纲量 2、 过同一点不同方位的正应变一般不同
二、切应变定义 微体相邻棱边所夹直角的
改变量 g ，称为切应变
切应变量纲与单位
切应变为无量纲量 切应变单位为 弧度（rad）
BC
D
FN 2 FB FC FD 0
FB
FC
FD
FN2= –3F，
求BC段内力：
FN3
C
D
Fx 0 FN3 FC FD 0 FN3= 5F，
FC
FD
FN4
D
求CD段内力：
Fx 0 FN 4 FD 0
FN4= F
FD
FN1 2F, FN2= –3F， FN3= 5F， FN4= F
M
M
取左段为研究对象：
M 0, T M 0 M x
Tx
T M
取右段为研究对象：
第二章杆件的内力截面法
扭矩图
材料力学电子课堂
§5-3 弯曲的概念.剪力与弯矩
一、弯曲的概念
受力特点：在包含杆轴的纵向平面内作用一对大小相等、方向相反 的力偶或在垂直于杆件轴线方向作用横向力。 变形特点：杆件轴线由直线变为曲线。 梁
以 弯曲变形 为主要变形的杆件。
对称弯曲：
材料力学电子课堂
工程中最常见的梁，其横截面一般至少有一根对称轴，因而整个杆件有一个 包含轴线的纵向对称面。若所有外力都作用在该纵向对称面内时，梁弯曲变 形后的轴线将是位于该平面内的一条曲线，这种弯曲形式称为对称弯曲（或 平面弯曲）。
材料力学电子课堂
第五章
杆件的内力
• §5-1 杆件的拉伸（压缩）内力 • §5-2 杆件的扭转内力 • §5-3 弯曲内力· 剪力与弯矩 • §5-4 剪力图和弯矩图 • §5-6 剪力、弯矩和载荷集度间的微分关系 ※§5-7 平面刚架与平面曲杆的弯矩内力
材料力学电子课堂
§5-1 杆件的拉伸或压缩时的内力
Me
Me
材料力学电子课堂
二、外力偶矩的计算
已知：P—传递的功率,（kw） n—转速,（r/min） 求：外力偶矩Me ( N· m) 解： P M e
Me
Me
n 30 n P 1000 M e 30
Me
由此求得外力偶矩：
P 1000 30 P 9549 (N . m) n n
材料力学电子课堂 注意
1、用截面法求轴力时，取留下的一部分作受力图时，在切开的截
面上建议假设正的轴力，由平衡方程得出的FN值为正，说明轴力 为正（拉力）； FN值为负，说明轴力为负（压力）。 2、在画轴力图时，填充为下画线或无填充，不要画剖面线形式； 并注上 符号 或 。
轴向拉杆件的内力计算截面法(共7张PPT)
1
4kN 2
6kN
FN 1
第6页，共7页。
FN 2
4kN
7 练习：求下图所示杆件各段内力。
。
知识引入
知识讲解
案例分析 自自己己动动手手
7kN
16kN
6kN
A B
C
D
第7页，共7页。
1
微课
知识引入
《工程力学应用》之——
知识讲解
案例分析
轴向拉（压）杆件的内力计算（截面法）
自己动手
主 讲：桂阿娟
第1页，共7页。
2 轴向拉（压）杆件的内力计算
C
D
A
BF
知识引入
知识讲解
案例分析 自己动手
思考：轴向拉压杆的受力特点与 变形特点？
第2页，共7页。
3 轴向拉（压）杆件的内力计算
知识引入
知识讲解
轴向拉（压）杆件的内力计算
轴向压缩，对应的力称为压力。 轴向拉（压）杆件的内力计算（截面法）
F
F
思考：轴向拉压杆的受力特点与变形特点？
轴向拉伸，对应的力称为拉力。
F
F
轴向压缩，对应的力称为压力。
第3页，共7页。
4 轴向拉（压）杆件的内力计算
知识引入
知识讲解
案例分析 自己动手
第4页，共7页。
5 截面法计算轴向拉（压）杆的内力
轴向拉（压）杆件的内力计算
FN 1
FN 2 = －4kN
FN = －10kN(压）
∑ X = 0 外力沿着杆件的轴线方向
FN = －10kN(压） (1)截面法求内力（4个步骤）
FN 1 – 6 =0
截面法计算轴向拉（压）杆的内力
《截面法求内力》课件
通过使用截面法求内力，工程师可以 更好地了解结构的受力状态，优化结 构设计，提高结构的承载能力和安全 性。
截面法求内力的基本步骤
确定截面位置
根据结构的特点和受力情况，选择适 当的截面位置。
进行截面分析
对所选截面进行详细的分析，包括该 截面的受力状态、约束条件以及与周 围结构的相互作用关系等。
计算内力
截面法的优缺点
截面法的优点在于简单易懂，易于操作，适用于各种形状和尺寸的构件。然而，截面法也存在一些局限 性，如对于复杂结构和多跨连续梁的计算可能较为繁琐，需要借助其他分析方法。
截面法求内力的展望
截面法的进一步研究和改进
随着科技的发展和工程实践的深入，截面法的研究也在不断进步。未来可以进一步研究截 面法的精度和可靠性，提高其计算效率和准确性。同时，可以结合数值分析方法和其他现 代技术手段，对截面法进行改进和优化。
《截面法求内力》 ppt课件
contents
目录
• 截面法求内力概述 • 截面法求内力的基本原理 • 截面法求内力的具体操作 • 截面法求内力的实例解析 • 截面法求内力的注意事项与优化建议 • 总结与展望
01
CATALOGUE
截面法求内力概述
截面法求内力的定义
截面法求内力是指在结构分析中，通过在结构上选择适当的截面，并按照一定的 步骤和方法，计算出该截面所承受的内力（如轴力、剪力和弯矩等）的方法。
内力计算
计算内力时，应考虑所有可能的受力情况， 避免遗漏。
边界条件
正确处理结构的边界条件，如固定、自由、 简支等，对分析结果至关重要。
优化建议
简化模型
使用软件辅助
在保证分析精度的前提下，尽量简化模型 ，减少计算量。
利用专业软件进行内力分析，可以大大提 高计算效率和准确性。
截面法求内力的基本步骤
确定截面位置
根据结构的特点和受力情况，选择适 当的截面位置。
进行截面分析
对所选截面进行详细的分析，包括该 截面的受力状态、约束条件以及与周 围结构的相互作用关系等。
计算内力
截面法的优缺点
截面法的优点在于简单易懂，易于操作，适用于各种形状和尺寸的构件。然而，截面法也存在一些局限 性，如对于复杂结构和多跨连续梁的计算可能较为繁琐，需要借助其他分析方法。
截面法求内力的展望
截面法的进一步研究和改进
随着科技的发展和工程实践的深入，截面法的研究也在不断进步。未来可以进一步研究截 面法的精度和可靠性，提高其计算效率和准确性。同时，可以结合数值分析方法和其他现 代技术手段，对截面法进行改进和优化。
《截面法求内力》 ppt课件
contents
目录
• 截面法求内力概述 • 截面法求内力的基本原理 • 截面法求内力的具体操作 • 截面法求内力的实例解析 • 截面法求内力的注意事项与优化建议 • 总结与展望
01
CATALOGUE
截面法求内力概述
截面法求内力的定义
截面法求内力是指在结构分析中，通过在结构上选择适当的截面，并按照一定的 步骤和方法，计算出该截面所承受的内力（如轴力、剪力和弯矩等）的方法。
内力计算
计算内力时，应考虑所有可能的受力情况， 避免遗漏。
边界条件
正确处理结构的边界条件，如固定、自由、 简支等，对分析结果至关重要。
优化建议
简化模型
使用软件辅助
在保证分析精度的前提下，尽量简化模型 ，减少计算量。
利用专业软件进行内力分析，可以大大提 高计算效率和准确性。
第二章 杆件的内力·截面法
3
二、分别计算各段的扭矩
M2 A M2 A
1 1
1 1
M3
B T1 x M3 B
2 2
M1 C
3
3
M4
D
T1 M 2 4.78kN m
2 2
M2
T2
T2 M 2 M 3
x
9.56kN m
T3
3 3
A
M4 D
T3 M 4 6.37kN m
x
扭矩图 M2 M3 B M1 C M4
q(x) — 分布力
L
M — 集中力偶
L
F — 集中力
3、外伸梁：overhanging beam q — 均布力
L （L称为梁的跨长）
L
弯曲内力的确定（截面法）
a A l F F B [例]已知：如图，F，a，l。
求：距A端 x 处截面上内力。
解：①求外力（支座反力）
FAX A FAY
B FBY
研究对象：m - m 截面的左段： Fy 0, FAY Fs 0.
m x
Fs
M
Fs FAY
C
(F ) 0, M FAY x 0.
M FAY x F (l a) x l
F (l a ) l
C
Fs
M
F
∴ 弯曲构件内力： Fs －剪力， M －弯矩。
若研究对象取m - m 截面的右段：
的轴力图。
O A FA FN1 A FA B FB B FB C FC C FC D FD D FD
解： 求OA段内力FN1：设截面如图
F
x
0
FD FC FB FA FN1 0
二、分别计算各段的扭矩
M2 A M2 A
1 1
1 1
M3
B T1 x M3 B
2 2
M1 C
3
3
M4
D
T1 M 2 4.78kN m
2 2
M2
T2
T2 M 2 M 3
x
9.56kN m
T3
3 3
A
M4 D
T3 M 4 6.37kN m
x
扭矩图 M2 M3 B M1 C M4
q(x) — 分布力
L
M — 集中力偶
L
F — 集中力
3、外伸梁：overhanging beam q — 均布力
L （L称为梁的跨长）
L
弯曲内力的确定（截面法）
a A l F F B [例]已知：如图，F，a，l。
求：距A端 x 处截面上内力。
解：①求外力（支座反力）
FAX A FAY
B FBY
研究对象：m - m 截面的左段： Fy 0, FAY Fs 0.
m x
Fs
M
Fs FAY
C
(F ) 0, M FAY x 0.
M FAY x F (l a) x l
F (l a ) l
C
Fs
M
F
∴ 弯曲构件内力： Fs －剪力， M －弯矩。
若研究对象取m - m 截面的右段：
的轴力图。
O A FA FN1 A FA B FB B FB C FC C FC D FD D FD
解： 求OA段内力FN1：设截面如图
F
x
0
FD FC FB FA FN1 0
内力的计算——截面法截面法PPT课件
如图211所示受到轴向拉伸和轴向压缩的杆件ab和bc当杆ab受到外力包括载荷和约束反力拉伸作用而产生伸长变形时其内部材料的分子之间因相对位置改变而产生相互作用力来抵抗这种伸长变形这种相互作用力将随外力增大而加大但有一定限度如果超过了这个限度时杆件就会发生过大变形或被拉断
一、任务描述
在工程实际中，构件受到轴向拉伸或压缩地实例很多。如图2-1-1a所示 的悬臂式吊车中，AB和BC两杆就是受到轴向拉伸和压缩的构件。AB和BC 两杆铰接于B点。α=30°，在B铰接点悬吊一重G=20kN的物体，试分析计算， 在外力作用下AB和BC两杆件截面上的内力。（不计杆的自重）
7、轴向拉伸或压缩的概念
杆件受到沿轴线方向的拉力 或压力作用，杆件变形是沿轴 向的伸长或缩缩
特点：
受力特点——作用于杆件两端的外力大小相 等，方向相反，作用线与杆件轴线重合。
变形特点——杆件变形是沿轴线方向伸长或 缩短。
构件特点——等截面直杆。
第11页/共21页
第19页/共21页
小结：
拉伸、压缩杆件内力计算的方法与步骤 用静力学平衡方程计算相关杆件所受外力。 用截面法求解杆件的内力：截开、代替、平衡。 为了使应用静力学方程计算出的内力不仅在大小而且在方向 上与材料力学内力的规定统一， 通常采用“设正法”画截面上的内力。即无论截面上的内力 是拉力还是压力，一律按正的内力 （即背离横截面）画出。这样用平衡方程式求出的内力若为 正，则为拉力，反之则为压力。
轴力的正负规定：
当轴力的指向离开截面时，杆受拉，规定轴力为正；反之， 当轴力指向截面时，杆受压，规定轴力为负。即拉为正，压为 负。
第16页/共21页
10、轴力图
直观地表明各截面上轴力沿轴线的变化，横坐标X轴表示 杆截面的位置，纵坐标表示相应截面上轴力的大小。
一、任务描述
在工程实际中，构件受到轴向拉伸或压缩地实例很多。如图2-1-1a所示 的悬臂式吊车中，AB和BC两杆就是受到轴向拉伸和压缩的构件。AB和BC 两杆铰接于B点。α=30°，在B铰接点悬吊一重G=20kN的物体，试分析计算， 在外力作用下AB和BC两杆件截面上的内力。（不计杆的自重）
7、轴向拉伸或压缩的概念
杆件受到沿轴线方向的拉力 或压力作用，杆件变形是沿轴 向的伸长或缩缩
特点：
受力特点——作用于杆件两端的外力大小相 等，方向相反，作用线与杆件轴线重合。
变形特点——杆件变形是沿轴线方向伸长或 缩短。
构件特点——等截面直杆。
第11页/共21页
第19页/共21页
小结：
拉伸、压缩杆件内力计算的方法与步骤 用静力学平衡方程计算相关杆件所受外力。 用截面法求解杆件的内力：截开、代替、平衡。 为了使应用静力学方程计算出的内力不仅在大小而且在方向 上与材料力学内力的规定统一， 通常采用“设正法”画截面上的内力。即无论截面上的内力 是拉力还是压力，一律按正的内力 （即背离横截面）画出。这样用平衡方程式求出的内力若为 正，则为拉力，反之则为压力。
轴力的正负规定：
当轴力的指向离开截面时，杆受拉，规定轴力为正；反之， 当轴力指向截面时，杆受压，规定轴力为负。即拉为正，压为 负。
第16页/共21页
10、轴力图
直观地表明各截面上轴力沿轴线的变化，横坐标X轴表示 杆截面的位置，纵坐标表示相应截面上轴力的大小。
《材料力学》轴力及轴力图 ppt课件
内力、截面法、轴力及轴力图
1、内力的概念
固有内力：分子内力.它是由构成物体的材料的物理性 质所决定的.(物体在受到外力之前，内部就存在着内力)
附加内力：在原有内力的基础上，又添加了新的内力
内力与变形有关
内力特点：
1、有限性 2、分布性 3、成对性
2、轴力及其求法——截面法
轴向拉压杆的内力称为轴力.其作用线与杆
FN 2
FN1 0 1
FN2 40kN
例题 2.2
求图示直杆1-1和2-2截面上的轴力
1
2
2F
2F
F
F
1
2
2F
2
F
2
课堂练习：
1F
2F
3
1
2
3
10KN
10KN 1
2
6KN
1
2
3 6KN
3
3、轴力图
轴力与截面位置关系的图线称为轴力图.
9KN 3KN
F
1 3F
2 2F
4KN
2KN
A 1B
2C
F
4KN
2F
2KN
5KN
例题 2.3F F2F Nhomakorabea2F
2F
10KN 100KN
10KN
A=10mm2
100KN
A=100mm2
哪个杆先破坏?
的轴线重合,用符号 ＦＮ 表示
1、切开； 2、代力； 3、平衡。
F
FN
FN F
FN F
精品资料
• 你怎么称呼老师？
• 如果老师最后没有总结一节课的重点的难点，你 是否会认为老师的教学方法需要改进？
• 你所经历的课堂，是讲座式还是讨论式？ • 教师的教鞭
1、内力的概念
固有内力：分子内力.它是由构成物体的材料的物理性 质所决定的.(物体在受到外力之前，内部就存在着内力)
附加内力：在原有内力的基础上，又添加了新的内力
内力与变形有关
内力特点：
1、有限性 2、分布性 3、成对性
2、轴力及其求法——截面法
轴向拉压杆的内力称为轴力.其作用线与杆
FN 2
FN1 0 1
FN2 40kN
例题 2.2
求图示直杆1-1和2-2截面上的轴力
1
2
2F
2F
F
F
1
2
2F
2
F
2
课堂练习：
1F
2F
3
1
2
3
10KN
10KN 1
2
6KN
1
2
3 6KN
3
3、轴力图
轴力与截面位置关系的图线称为轴力图.
9KN 3KN
F
1 3F
2 2F
4KN
2KN
A 1B
2C
F
4KN
2F
2KN
5KN
例题 2.3F F2F Nhomakorabea2F
2F
10KN 100KN
10KN
A=10mm2
100KN
A=100mm2
哪个杆先破坏?
的轴线重合,用符号 ＦＮ 表示
1、切开； 2、代力； 3、平衡。
F
FN
FN F
FN F
精品资料
• 你怎么称呼老师？
• 如果老师最后没有总结一节课的重点的难点，你 是否会认为老师的教学方法需要改进？
• 你所经历的课堂，是讲座式还是讨论式？ • 教师的教鞭
材料力学内力和截面法
最新课件
12
7
5.例题
试作图示杆的轴力图。
解：求支反力 FR=10kN
最新课件
8
横截面1-1：注意假设轴力为拉力 横截面2-2：
最新课件
9
横截面3-3：此时取截面3-3右边为分离体方便， 仍假设轴力为拉力。
最新课件
10
由轴力图可看出
FN，max=FN2=50kN
最新课件
11
此课件下载可自行编辑修改，供参考！ 部分内容来源于网络，如有侵权请与我联系删除！-截面法 步骤： （1）截开；
（2）代替；
（3）平衡。
可看出：杆件任一横截面上的内力，其作用线
均与杆件的轴线重合，因而称之为轴力用符号
FN表示。
最新课件
4
3.轴力符号的规定
引起伸长变形的 轴力为正--拉力 （背离截面）；
引起压缩变形的 轴力为负--压力 （指向截面）。
2.2内力●截面法●轴力及轴力图
课前复习：
工 程 桁 架
拉压杆
最新课件
1
课程导入：
工程实例
最新课件
2
1.内力
内力--由于物体受外力作用而引起的内部各 质点间互相作用的力的改变量。
根据可变形固体的连续性假设可知，物 体内部相邻部分之间的作用力是一个连续分 布的内力系，我们所说的内力是该内力系的 合成（力或力偶）
最新课件
5
4.轴力图
若用平行于杆轴线的坐标表示横截面的位 置，用垂直于杆轴线的坐标表示横截面上轴 力的数值，所绘出的图线可以表明轴力与截 面位置的关系，称为轴力图。
注意： 用截面法求内力的过程中，在截面取分离
前，作用于物体上的外力（荷载）不能任意移 动或用静力等效最的新课相件当力系替代。 6
《材料力学拉压》PPT课件
F
各点线应变相同 F
F
根据静力平衡条件： F NdF A dAA
即
FN
A
FN
A
正负号规定：拉应力为正,压应力为负.
FN 的适用条件:
A
1、只适用于轴向拉伸与压缩杆件,即杆端处力的合 力作用线与杆件的轴线重合.
2、只适用于离杆件受力区域稍远处的横截面.
4、 实验验证
拉伸与压缩/横截面上的内力和应力
卸载
卸载定律：在卸载
过程中,应力与应
变满足线性关系.
p e
应变关系
e p
拉伸与压缩/材料的力学性能
低碳钢Q235拉伸时的力学行为
断裂 冷作<应变>硬化现象：
应力超过屈服极限后
卸 载 与
卸载,再次加载,材 料的比例极限提高,
再
再加载
而塑性降低的现象.
加
载
拉伸与压缩/材料的力学性能
名义屈服应力
p0.
n
（n>1） 引入安全系数的原因：
1、作用在构件上的外力常常估计不准确；构件的外形及所受 外力较复杂,计算时需进行简化,因此工作应力均有一定 程度的近似性；
2、材料均匀连续、各向同性假设与实际构件的出入,且小试样 还不能真实地反映所用材料的性质等.
构件拉压时的强度条件
maxFNAmax[]
拉伸与压缩/拉〔压〕时的强度计算
1.5m B
A 1
FN1
B
FN 2
F
2m
F
2
C
FFN2 cos 0 FN1 FN2 sin 0
解得
FN1
3 4
F（拉） ,
FN2
5 4
F（压）
各点线应变相同 F
F
根据静力平衡条件： F NdF A dAA
即
FN
A
FN
A
正负号规定：拉应力为正,压应力为负.
FN 的适用条件:
A
1、只适用于轴向拉伸与压缩杆件,即杆端处力的合 力作用线与杆件的轴线重合.
2、只适用于离杆件受力区域稍远处的横截面.
4、 实验验证
拉伸与压缩/横截面上的内力和应力
卸载
卸载定律：在卸载
过程中,应力与应
变满足线性关系.
p e
应变关系
e p
拉伸与压缩/材料的力学性能
低碳钢Q235拉伸时的力学行为
断裂 冷作<应变>硬化现象：
应力超过屈服极限后
卸 载 与
卸载,再次加载,材 料的比例极限提高,
再
再加载
而塑性降低的现象.
加
载
拉伸与压缩/材料的力学性能
名义屈服应力
p0.
n
（n>1） 引入安全系数的原因：
1、作用在构件上的外力常常估计不准确；构件的外形及所受 外力较复杂,计算时需进行简化,因此工作应力均有一定 程度的近似性；
2、材料均匀连续、各向同性假设与实际构件的出入,且小试样 还不能真实地反映所用材料的性质等.
构件拉压时的强度条件
maxFNAmax[]
拉伸与压缩/拉〔压〕时的强度计算
1.5m B
A 1
FN1
B
FN 2
F
2m
F
2
C
FFN2 cos 0 FN1 FN2 sin 0
解得
FN1
3 4
F（拉） ,
FN2
5 4
F（压）
第五章杆件的内力与内力图.ppt
FQy
AC: FQy (x) = - FRA = - m / l (0＜x ≤ a)
m/l
Mz (x) = - FRAx = - mx / l (0≤x ＜ a)
Mz BC: FQy (x) = - FRA = - m / l (a ≤ x＜ l )
ma/l mb/l
Mz (x) = m - FRAx = m (l -x ) / l (a ＜ x≤ l )
x
由∑Fxi = 0， - 3 +2x + FN (x) = 0， FN (x) = 3 - 2x . x = 0 时 , FN (x) = 3 KN； x = 2m 时 , FN (x) = - 1KN。
3KN A
B 2KN/ m C
D 1KN
2m
2m
2m
3 FN
（KN）
1
规律：没有力作用的杆段，轴力为常数； 分布荷载为常数的杆段，轴力线性变化； 集中力两侧，轴力有突变。
二、梁的内力——剪力和弯矩
a FPm1 FP2
A
B
m
FRA
x
FRB
FP1
A
m MZ
C
x m FQY
FRA
FQY —— 剪力 MZ —— 弯矩
规 定：
FQY：
∑FP FQY
FQY
左上右下剪力正, 反之为负
∑ FP
∑M
MZ
MZ：
MZ
∑M
上凹下凸弯矩正, 反之为负
a
FP1
m
FP2
A
m
B 由∑Fyi=0， FRA- FP1 - FQY =0
规定：按右手法则，力矩矢的方向指向横截 面的外法线方向为正，反之，为负。
《杆的内力》课件
总结词
确保桥梁安全运营的关键技术
详细描述
在桥梁工程中，杆件是重要的承载结构。分析杆的内力是 确保桥梁安全运营的关键技术，对于预防桥梁失稳、疲劳 破坏等具有重要意义。
总结词
优化桥梁设计的重要手段
详细描述
通过分析杆的内力，可以优化桥梁的设计，提高桥梁的承 载能力、减小应力集中和变形，从而提高桥梁的整体性能 和使用寿命。
杆的内力的分类
按作用方式
可以分为拉力和压力。
按作用效果
可以分为轴向拉伸和压缩、弯曲和扭转。
按作用范围
可以分为局部内力和整体内力。
杆的内力的作用
01
02
03
平衡作用
杆的内力与外力相互平衡 ，保持杆的静止或平衡状 态。
传递作用
杆的内力可以传递外力， 实现力的传递和转化。
变形作用
杆的内力会导致杆的变形 ，从而改变杆的形状和位 置。
杆的内力的方向
杆的内力方向与杆的变形方向相反。
当杆受到压力时，内力方向与杆的轴线垂直向下；当杆受到拉力时，内力方向与杆 的轴线垂直向上。
内力的方向可以通过杆的变形情况来判断。
杆的内力的变化规律
杆的内力大小随外力的增加而增 加，随外力的减小而减小。
在弹性极限范围内，内力与外力 成正比；超过弹性极限后，杆会
02 杆的内力的计算方法
截面法
截面法是通过在杆件上截取一小 段，分析其受力情况，从而计算
杆的内力的方法。
在截取的截面上，根据力的平衡 条件，可以求出该截面的内力。
截面法适用于各种类型的杆件， 包括实心杆和空心杆。
平衡法
平衡法是通过分析杆件的整体 平衡状态，来计算杆的内力的 方法。
平衡法适用于分析长杆件或细 长杆件，因为这些杆件在受力 时容易发生弯曲或扭曲。
确保桥梁安全运营的关键技术
详细描述
在桥梁工程中，杆件是重要的承载结构。分析杆的内力是 确保桥梁安全运营的关键技术，对于预防桥梁失稳、疲劳 破坏等具有重要意义。
总结词
优化桥梁设计的重要手段
详细描述
通过分析杆的内力，可以优化桥梁的设计，提高桥梁的承 载能力、减小应力集中和变形，从而提高桥梁的整体性能 和使用寿命。
杆的内力的分类
按作用方式
可以分为拉力和压力。
按作用效果
可以分为轴向拉伸和压缩、弯曲和扭转。
按作用范围
可以分为局部内力和整体内力。
杆的内力的作用
01
02
03
平衡作用
杆的内力与外力相互平衡 ，保持杆的静止或平衡状 态。
传递作用
杆的内力可以传递外力， 实现力的传递和转化。
变形作用
杆的内力会导致杆的变形 ，从而改变杆的形状和位 置。
杆的内力的方向
杆的内力方向与杆的变形方向相反。
当杆受到压力时，内力方向与杆的轴线垂直向下；当杆受到拉力时，内力方向与杆 的轴线垂直向上。
内力的方向可以通过杆的变形情况来判断。
杆的内力的变化规律
杆的内力大小随外力的增加而增 加，随外力的减小而减小。
在弹性极限范围内，内力与外力 成正比；超过弹性极限后，杆会
02 杆的内力的计算方法
截面法
截面法是通过在杆件上截取一小 段，分析其受力情况，从而计算
杆的内力的方法。
在截取的截面上，根据力的平衡 条件，可以求出该截面的内力。
截面法适用于各种类型的杆件， 包括实心杆和空心杆。
平衡法
平衡法是通过分析杆件的整体 平衡状态，来计算杆的内力的 方法。
平衡法适用于分析长杆件或细 长杆件，因为这些杆件在受力 时容易发生弯曲或扭曲。
第五章杆件的内力分析与内力图
对右半段列平衡方程：
P1
FN 2 (x2 ) P3
m
x2 FN 2 m
P3
P2 m
F m
N2 8
轴力方程为：
FN1(x1) P1 0 x1 a
P1
A
P2
aB
P3
C
FN 2 (x2 ) P3 a x2 l
l
画出轴力图如图。
注意 内力图的规定：
P1
(FN)
（1）标出特征点内力的绝对值 （2）内力图与原杆件上下对齐，可不画坐标轴
Mn2
mc
M n2 +mC 0
M n1 mA 76.4 Nm
M n2 114.6 Nm
13
14
三、弯曲（剪力和弯矩）方程及其内力图
1、静定梁的分类（三种基本形式） 简支梁
外伸梁
悬臂梁
15
2、弯曲内力（剪力和弯矩）的正负号规定
① 剪力Fs :
剪力对所取的一段梁上任意一点的矩为顺时针转向时，剪力
T(x1)=MA=m0b (0<x1 a) T(x2)=m0(a+b-x2) (a x2 a+b)
扭矩图如图
m0
AB
C
ab
m0b
(T ) AB C
12
例 传动轴如图所示，转速 n = 500转/分钟，主动轮B输入功率
NB= 10KW，A、C为从动轮，输出功率分别为 NA= 4KW ，
NC= 6KW，试计算该轴的扭矩。
成两部分。
取 取其中任意部分为研究对象，而弃去另一部分。
代用作用于截面上的内力，代替弃去部分对留下部
分的作用力。
平 建立留下部分的Leabharlann 衡条件，确定未知的内力。6
P1
FN 2 (x2 ) P3
m
x2 FN 2 m
P3
P2 m
F m
N2 8
轴力方程为：
FN1(x1) P1 0 x1 a
P1
A
P2
aB
P3
C
FN 2 (x2 ) P3 a x2 l
l
画出轴力图如图。
注意 内力图的规定：
P1
(FN)
（1）标出特征点内力的绝对值 （2）内力图与原杆件上下对齐，可不画坐标轴
Mn2
mc
M n2 +mC 0
M n1 mA 76.4 Nm
M n2 114.6 Nm
13
14
三、弯曲（剪力和弯矩）方程及其内力图
1、静定梁的分类（三种基本形式） 简支梁
外伸梁
悬臂梁
15
2、弯曲内力（剪力和弯矩）的正负号规定
① 剪力Fs :
剪力对所取的一段梁上任意一点的矩为顺时针转向时，剪力
T(x1)=MA=m0b (0<x1 a) T(x2)=m0(a+b-x2) (a x2 a+b)
扭矩图如图
m0
AB
C
ab
m0b
(T ) AB C
12
例 传动轴如图所示，转速 n = 500转/分钟，主动轮B输入功率
NB= 10KW，A、C为从动轮，输出功率分别为 NA= 4KW ，
NC= 6KW，试计算该轴的扭矩。
成两部分。
取 取其中任意部分为研究对象，而弃去另一部分。
代用作用于截面上的内力，代替弃去部分对留下部
分的作用力。
平 建立留下部分的Leabharlann 衡条件，确定未知的内力。6
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
FN 2
FN 3
FN
由平衡方程
Fx 0, FN3 4 0
得 FN3 4 kN
轴力图
解: 1) AB段： 由平衡方程
Fy 0, FN1 F 0
得 FN1 F 50 kN
2) BC段： 由平衡方程
FN2 3F 0
Fy 0,
得 FN2 3F 150 kN
44mm
33mm
示横截面上的轴力数值，从而绘出表示轴力与横截面位置关系的图线，
称为 轴力图 。将正的轴力画在上侧，负的画在下侧。
解: 1) AB段：
由平衡方程
Fx 0, FN1 6 0
得 FN1 6 kN
2) BC段：
由平衡方程 FN2 6 18 0
Fx 0,
得 FN2 12 kN
3) CD段
FN1
材料力学电子课堂
纵向对称面
轴线
变形后的轴线 非对称弯曲 ：梁不具有纵向对称面，或具有纵向对称面，但外力并不
作用在纵向对称面内这种弯 曲称为非对称弯曲。
二、梁的计算简图
简支梁：一端为固定铰支座，而另一端为 可动铰支座，如右图a所示。
悬臂梁：一端为固定端，另一端为自由端 的梁，如右图b所示。
外伸梁：一端伸出支座之外的梁，如右图c所示。
FA F1 FS 0 FS FA F1
FS称为横截面m-m上的剪力，它是与横截面相切的 分布内力系的合力。
由 MO 0, M F1x a FA x 0
M FA x F1x a
M称为横截面m-m上的弯矩。它是与横截面垂直 的分布内力系的合力偶矩。
剪力与弯矩的符号规定：
材料力学电子课堂
§2-2 扭转的概念.扭矩与扭矩图
一、扭转的概念
1．受力特征：在杆件两端垂直于杆轴线的平面 内作用一对大小相等，方向相反 的外力偶。
2．变形特征：横截面形状大小未变，只是绕轴 线发生相对转动。
轴：以扭转为主要变形的构件称为轴 。
从动轮B 轴
主动轮A
轴
计算简图：
Me
Me
主轴
主轴
Me
Me
二、外力偶矩的计算
P n
(N . m)
三、扭矩与扭矩图
1、扭矩
由 M x 0, T m 0 得T＝m
T称为截面n-n上的扭矩。 扭矩的正负号规定：按右手螺旋法 则，T矢量背离截面为正，指向截面 为负（或矢量与截面外法线方向一 致为正，反之为负）
材料力学电子课堂
注意
用截面法求扭矩时，建议均假设各截面扭矩T为正，如果 由平衡方程得到T为正，则说明是正的扭矩，如果为负，
350(N.m)
MD
9549
PD n
446(N . m)
在BC段内，假想以截面1-1将轴分成
两部分，取左半部分为研究对象
Ⅰ
Ⅱ
Ⅲ
Ⅰ
Ⅱ
Ⅲ
446N .m
由M T1
xM0B,T1
3M50BN.0m
同理，CA段：
T2 MB MC ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ700 N.m
350N .m
700N .m
AD段：
T3 MD 446 N.m
材料力学电子课堂
静定梁：梁的所有支座反力均可由静力平衡方程确定。 跨：梁在两支座之间的部分称为跨，其长度称为梁的跨长。
三、弯曲内力
y
M FS FS M
材料力学电子课堂
1、由梁的静力平衡方程求两端的支座反力FA、FB 2、用假想截面m-m将梁分为两部分，并以左段为 研究对象 ；
由平衡方程 Fy 0，得
解：1.求支座反力
MD FSD
MC右 FSC右
FSC左 FSC右, MC左＝MC右
扭矩图
材料力学电子课堂
§2-3 弯曲的概念.剪力与弯矩
一、弯曲的概念
受力特点：在包含杆轴的纵向平面内作用一对大小相等、方向相反 的力偶或在垂直于杆件轴线方向作用横向力。
变形特点：杆件轴线由直线变为曲线。
梁 以弯曲变形为主要变形的杆件。
对称弯曲：工程中最常见的梁，其横截面一般至少有 一根对称轴，因而整个杆件有一个包含轴线的纵向对 称面。若所有外力都作用在该纵向对称面内时，梁弯 曲变形后的轴线将是位于该平面内的一条曲线，这种 弯曲形式称为对称弯曲（或平面弯曲）。
剪力： “左上右下”为 正，
反之为负
弯矩：下凸为正， 反之为负
若外力对截面形心取矩为顺时 针力矩，则该力在截面上产生 正的剪力，反之为负的剪力 （顺为正，逆为负）。
固定截面，若外力或外力偶使梁产 生上挑的变形，则该力或力偶在截 面上产生正的弯矩，反之为负的弯 矩（上挑为正，下压为负）。
材料力学电子课堂 例2-1 如图所示的简支梁，试求1－1及C左右截面上的内力。
Fx 0, FN F 0 求得内力 FN F
FN——分布内力系的合力—轴力 符号规定：拉为正(+)，压为负(-)
材料力学电子课堂
Ⅰ
Ⅱ
注意
外力不能沿作用线移动。因为材料力学中研究的对 象是变形体，不是刚体，力的可传性不成立。对变 形体而言，力是定位矢量。
2、轴力图
材料力学电子课堂
用 平行于杆轴线的坐标 表示横截面的位置，用垂直于杆轴线的坐标表
则是负的扭矩。在画轴的扭矩图，正的扭矩画在x轴上方， 负的扭矩画在x轴下方。
2、扭矩图
材料力学电子课堂
例：已知：传动轴，n=300r/min，PA=36kW，PB=PC=11kW，PD=14kW。
试画出轴的扭矩图。
解：各轮上的外力偶矩：
MA
9549
PA n
1146(N.m)
MB
Mc
9549
PB n
材料力学电子课堂
第二章 杆件的内力.截面法
§2-1 轴向拉伸或压缩的概念.轴力与轴力图
一、轴向拉伸或压缩的概念
活塞杆
受力特点：力或合外力沿轴线方向 变形特点：沿轴向伸长或缩短
——直杆的轴向拉伸或压缩
压杆
计算简图：
压杆
二、轴力与轴力图
1、轴力
a）假想地将构件沿截面m-m处 一 分为二；
b)取其中任一部分为研究对象; c)由平衡条件
Me
已知：P—传递的功率,（kw）
n—转速,（r/min）
求：外力偶矩Me ( N·m)
解：P Me
n
30
P
1000
M
e
n
30
由此求得外力偶矩：
n
n
Me P 1000 30 9549 P (N.m)
材料力学电子课堂
Me
若传递功率单位为马力（PS)时, 由于PS=735.5N·m/s
Me
7024
材料力学电子课堂
50kN
150kN
轴力图
注意
材料力学电子课堂
1、用截面法求轴力时，在切开的截面上建议假设正的轴力，由平 衡方程得出的FN值为正，说明轴力为正（拉力）； FN值为负，说 明轴力为负（压力）。
2、在画轴力图时，填充为下画线或无填充，不要画剖面线形式； 并注上 符号 或 。
材料力学电子课堂