卡诺图化简

的编号。编号方法：把最小项取值为1所对应的那
一组变量取值组合当成二进制数，与其等值的十进
制数，就是该最小项的编号。
表1-14 三变量最小项的编号表
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（3）最小项表达式
任何一个逻辑函数都可以表示为最小项之和的 形式——标准与或表达式。而且这种形式是唯一的， 就是说一个逻辑函数只有一种最小项表达式。 例1-7 将Y=AB+BC展开成最小项表达式。 解： Y AB BC AB (C C ) ( A A) BC
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BCD
m3
m11
图1-15 两个最小项合并
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图1-16 四个最小项合并
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图1-17 八个最小项合并
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（2）利用卡诺图化简逻辑函数
A．基本步骤： ① 画出逻辑函数的卡诺图； ② 合并相邻最小项（圈组）； ③ 从圈组写出最简与或表达式。 关键是能否正确圈组 。 B．正确圈组的原则 ① 必须按2、4、8、2n的规律来圈取值为 1的相 邻最小项； ② 每个取值为1的相邻最小项至少必须圈一次， 但可以圈多次； ③ 圈的个数要最少（与项就少），并要尽可能 大（消去的变量就越多）。
Y A A AB AC BC ( A C )( A B)
或-与表达式 或非-或非表达式
Y AC A B
Y A C AB
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与-或非表达式
Y AC AB
与非-与表达式
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由以上分析可知，逻辑函数有很多种表达式形 式，但形式最简洁的是与或表达式，因而也是最常 用的。
表1-14 三变量最小项真值表
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（2）最小项的性质
①对于任意一个最小项，只有一组变量取值使它 的值为1，而变量取其余各组值时，该最小项均为0； ②任意两个不同的最小项之积恒为0； ③变量全部最小项之和恒为1。
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最小项也可用“mi” 表示，下标“i”即最小项
不 相邻
相邻
相邻
图1-12 四变量卡诺图的画法
正确认识卡诺 图的“逻辑相邻”： 上下相邻，左右相 邻，并呈现“循环 相邻”的特性，它 类似于一个封闭的 球面，如同展开了 的世界地图一样。 对角线上不相 邻。
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3. 用卡诺图表示逻辑函数
（1）从真值表画卡诺图 根据变量个数画出卡诺图，再按真值表填写每一 个小方块的值（0或1）即可。需注意二者顺序不同。
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公式化简法评价： 优点：变量个数不受限制。 缺点：目前尚无一套完整的方法，结果是否最简 有时不易判断。 利用卡诺图可以直观而方便地化简逻辑函数。 它克服了公式化简法对最终化简结果难以确定等缺 点。 卡诺图是按一定规则画出来的方框图，是逻辑 函数的图解化简法，同时它也是表示逻辑函数的一 种方法。 卡诺图的基本组成单元是最小项，所以先讨论 一下最小项及最小项表达式。
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图1-14 例1-9的卡诺图
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（3）从与或表达式画卡诺图 把每一个乘积项所包含的那些最小项（该乘积项 就是这些最小项的的公因子）所对应的小方块都填上 1，剩下的填0，就可以得到逻辑函数的卡诺图。
例 已知Y＝AB＋ACD＋ABCD，画卡诺图。
1 AB＝11
ABCD=0111
1 1 +1 1
① 先圈孤立的1；
② 再圈只有一种圈法的1； ③ 最后圈大圈； ④ 检查：每个圈中至少有一个1未被其它圈圈过。
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作业题
1、“三人表决器”中，只要有两个评委通过，选 手就过关。 试用卡诺图化简成最简与或表达式。 2、P39 1.10(1)(2)(3)
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例1-8 已知Y的真值表，要求画Y的卡诺图。
表1-19 逻辑函数Y的真值表 A B C Y 0 0 0 0 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 1 0 1 1 0 0 1 2017/4/18 1 1 1 图1-13 例1-8的卡诺图
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（2）从最小项表达式画卡诺图 把表达式中所有的最小项在对应的小方块中填入 1，其余的小方块中填入0。 例1-9 画出函数Y(A、B、C、D)= ∑m(0,3,5,7,9,12,15) 的卡诺图。
1
1
ACD=101 最后将剩 下的填20 0
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Y1 AB AB (C C )( D D) AB C D AB C D ABC D ABCD m (12,13,14,15)
Y2 AC D A( B B )C D ABC D ABC D m (9,13)
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C．从圈组写最简与或表达式的方法：
① 将每个圈用一个与项表示 圈内各最小项中互补的因子消去， 相同的因子保留，
相同取值为1用原变量，
相同取值为0用反变量； ② 将各与项相或，便得到最简与或表达式。
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例1-10 用卡诺图化简逻辑函数 Y(A、B、C、D)=∑m(0,1,2,3,4,5,6,7,8,10,11) 解：
AB是三变量函数的最小项吗？ 推广：一个变量仅有原变量和反变量两种形式，
ABBC 因此是三变量函数的最小项吗？ n个变量共有2n个最小项。
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最小项的定义:对于n个变量，如果m是一个含有n 个变量的乘积项，而且每一个变量都以原变量或者反 变量在m中出现且仅出现一次，那么就称m是这n个变量 的一个最小项。
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图1-52 卡诺图的画法
（2）卡诺图的画法
首先讨论三变量（A、B、C）函数卡诺图的画 法。 ① 3变量的卡诺图 有23个小方块； ② 几何相邻的必须 相邻 逻辑相邻：变量的 取值按00、01、11、 相邻 10的顺序排列 。
图1-11 三变量卡诺图的画法
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1.2.6
逻辑函数的化简
一 、逻辑函数的公式化简法
1、化简的意义 2、逻辑函数的多种表达式形式 3、最简标准 4、公式化简法 P21
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1
1、化简的意义
例：用非门和与非门实现逻辑函数
Y A AB ABC BC BC
解：直接将表达式变换成与非－与非式：
Y A AB A BC BC BC 两次求反 A AB A BC BC BC
A
相邻
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A
BC
相邻
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A
BC
BD
Y A BC B D
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例1-11 化简图示逻辑函数。 解：
1
2 多余 的圈
4
3
Y ACD ABC AC D ABC
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1
2
3
4
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圈组技巧(防止多圈组的方法)：
3、逻辑函数的最简标准
由于与或表达式最常用，因此只讨论最简与或 表达式 的最简标准。 最简与或表达式为： ① 与项（乘积项）的个数最少； ② 每个与项中的变量最少。
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逻辑函数的化简
二、 逻辑函数的卡诺图化简法
1. 最小项及最小项表达式 2. 卡诺图及其画法 3. 用卡诺图表示逻辑函数 4. 卡诺图化简法
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1.最小项及最小项表达式 （1）最小项的定义
设A、B、C是三个逻辑变量，若由这三个逻辑变 量按以下规则构成乘积项： ①每个乘积项都只含三个因子，且每个变量都是 它的一个因子； ②每个变量都以反变量(A、B、C)或以原变量(A、 B、C)的形式出现一次，且仅出现一次。 具备以上条件的乘积项共八个，我们称这八个乘 积项为三变量A、B、C的最小项。
Y3 ABCD m7
（4）从一般形式表达式画卡诺图 先将表达式变换为与或表达式，则可画出卡诺图。
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4.卡诺图化简法
由于卡诺图两个相邻最小项中，只有一个变量 取值不同，而其余的取值都相同。所以，合并相邻 最小项，利用公式A+A=1，AB＋AB＝A，可以消去 一个或多个变量，从而使逻辑函数得到简化。 （1）卡诺图中最小项合并的规律 合并相邻最小项，可消去变量。 合并两个最小项，可消去一个变量； 合并四个最小项，可消去两个变量； 合并八个最小项，可消去三个变量。 合并2n个最小项，可消去n个变量。
AB C ABC ABC
Y ( A, B, C ) m3 m6 m7 或： m (3,6,7)
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பைடு நூலகம்
2.卡诺图及其画法 （1）卡诺图及其构成原则
卡诺图是把最小项按照一定规则排列而构成的方 框图。构成卡诺图的原则是： ①n变量的卡诺图有2n个小方块（最小项）； ② 最小项排列规则：几何相邻的必须逻辑相邻。 逻辑相邻：两个最小项,只有一个变量的形式不 同,其余的都相同。逻辑相邻的最小项可以合并。 几何相邻的含义： 一是相邻——紧挨的； 二是相对 ——任一行或一列的两头； 在五变量和六变量的卡诺图中，用相重来判断 某些最小项的几何相邻性，其优点是十分突出的。 三是相重——对折起来后位置相重。
×2
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×1
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2、逻辑函数的多种表达式形式
Y AB AC
两次求反并用反演律
与-或表达式
Y AB AC
反演律
与非-与非表达式
Y ( A B) ( A C )
反演律
或-与非表达式
Y A B AC
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或非-或表达式
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2、逻辑函数的多种表达式形式（续）
反演律 可见，实现该函数需要用两个非门、四个两输入 端与非门、一个五输入端与非门。电路较复杂。
×1
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×2
×4
2
若将该函数化简并作变换：
Y A AB ABC BC BC
Y A(1 B BC ) C ( B B) AC AC
可见，实现该函数需要用两个非门和一个两输入 端与非门即可。电路很简单。