【精编_推荐】如何获取更多的利润
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如何获取更多的利润
例1某商场以每件45元的价钱购进一种服装,根据试销得知,这种服装每天的销量T(件)与每件的销售价x(元/件)可以看报是一次函数:T=-3x+207(45≤x≤69)
(1)写出该商场卖这种服装每天的销售利润y与每件的销售价x之间的函数关系式(每天的销售利润是指卖出服装的销售价与购过价的差)。
(2)通过对所得出函数关系式配方,指出商场要想每天获得最大的销售利润,每件的销售价定为多少最为合适?最大销售利润是多少?
分析:每天总销售价为Tx,即(-3x+207)x,每天销售的T件服装的进价为45T,即45(-3x+207),而总销售价与总进价的差值即为所获得的利润,而对于第(2)小题应将已得的二次函数配方,画出其函数图像,结合其自变量的取值范围确定最佳售价。
解:(1)由题意得:
Y=(-3x+207)x-45(-3x+207)
=(-3x+207)(x-45)(45≤x≤69)
(2)由(1)知
y=(-3x+207)(x-45)
=-3(x2-114x+3105)
=-3(-57)2+432(45≤x≤69)
由图像知开口向下,存在最大值,且45<57<69。
∴当x=57时
Y max=432
亲爱的同学,若请你帮该商场决策,你知道每件售价是多少最为合适吗?
评述:本题显然是一道在实际生活中可以碰得到的实际问题,而且也确实可以使用我们学过的知识提供一定程度的参考,不过本题可以作一些延伸:
1.本题为什么每件商品的售价被限定在45元与69元之间呢?
2.该服装的售价可以超过69元吗?
3.该函数的图像还可以向两端延伸吗?
例2共产品每件的成本价是120元,试销阶段中每件产品的销售价x(元)与产品的月销售量y(件)之间的关系如下表:
若月销售量y是销售价x的一次函数,要获得最大销售利润,每件产品的销售应为多少元?此时每日的销售利润是多少?
(销售利润=销售价-成本价)
分析:从传统的函数应用题拓展到有关营销决策、统计评估、生产、生活等时代气息浓厚的应用问题,形式多样,涉及的知识点比较广,且须注意知识的有机的融合,是近几年中考函数类应用性试题出现的变化和特点。该题涉及一次函数、二次函数。建立二次函数需要领会题意,并在此基础上求函数的最值。以销售为数学模型的函数应用题,既考查了学生的知识,又考查了学生的能力。
①“销售利润=销售价-成本价”这是题目给出的式子,因此每件产品的销售利
润与销售价、成本价有关。每日的销售利润应是每日销售量y(件)与每件产品销售利润的积。这是解决此题的关键,也是营销问题中的常识。
②以表格形式给出了x(元)与y(件)的对应关系,并进而指出销售量y是销售价x的一次函数,为用待定系数法求解析式提供了可行性与新颖性。
③在分析与综合的基础上,每日的销售利润应是y(x的一次函数)与每件产品销售利润(x的一次函数)的积,实质为x的二次函数,于是求函数的最值,就是求日最大利润的问题了。
④在实际问题中自变量的取值范围必须符合题意。例如,销售价x元一般不能低于成本价,否则要亏本,更无从谈利润;销售量只能是非负数等。
解:设y=kx+b,当x=130时,y=70;当x=150时,y=50,得方程组:解得:
∴y=-x+200
设每日销售利润为Z元,每件产品的销售利润是(x-120)元,于是∴当时,
即当每件产品的销售价定为160元时,每日的销售利润最大,最大利润为1600元。
例3某剧院设有1000个座位,门票每张3元可达客满,据长期的营业进行市场估计,若每张票价提高x元,将有200x张门票不能售出。
(1)求提价后每场电影的票房收入y(元)与票价提高量x(元)之间的函数关系式和自变量x的取值范围。
(2)若你是经理,你认为电影院应该怎样决策(提价还是不提价),若提价,
提价多少为宜?
分析:若提价x元后,则每张票价变为(x+3)元,出售的门票总数为:(1000-200x)张,则票房的收入变为:(x+3)·(1000-200x)。
至于电影院到底应该怎样决策,显然票房的收入y是提高的价x的二次函数,可以对其进行配方,进而求出最高的提价。
解:(1)由题意知:
又
∴x的取值范围是:
(2)
又
∴当时,。
∴电影院应每张门票提价1元为宜。
接下来我们再来看一看1998年河北省的一道中考题。亲爱的同学,你能试着顺利地完成它吗?
例4某工厂现有甲种原料360千克、乙种原料290千克,计划利用这两种原料生产A、B两种产品共50件。已知生产一件A种产品,需用甲种原料9千克、乙种原料3千克,可获利润700元;生产一件B种产品,需用甲种原料4千克、乙种原料10千克,可获利润1200元。
(1)按要求安排A、B两种产品的生产件数,有哪几种方案?请你给设计出来。(2)设生产A、B两种产品获总利润为y(元),其中一种的生产件数为x,试写出y与x元间的函数关系式,并利用函数的性质说出(1)中哪种生产方案获
总利润最大?最大利润是多少?
分析:本题是生产经营决策问题。在市场经济竞争十分激烈的今天,帮助学生学会比较,学会挥优决策,是素质教育的要求,也是近年中考的热门题型。本题所涉及的知识点有:不等式(组)、一次函数。解决这类问题的关键是,建立相应的数学模型。
(1)A、B两种产品的生产件数,受总件数50和所需两种原料库存量的制约。所以可由此得出不等组,从而确立A、B两种产品生产件数的范围,通过进一步讨论可选择其生产方案。
(2)列出总利润与产品生产数量之间的函数关系,根据函数的增减性质,就可以解决本题。
解:(1)设安排生产A种产品。件,则生产B件产品(50-x)件。依题意,得
解之,得
∵x为整数,∴x只能取30,31,32。
相应的(50-x)的组为2019,18。。
所以生产的方案有三种:
第一种:生产A种产品30件,B种产品20件;。
第二种:生产A种产品31件,B种产品19件;’。
第三种:生产A种产品32件,B种产品18件。。
(2)设生产A种产品件数为x,则生产B种产品的件数为50-x。
依题意,得