【精编_推荐】如何获取更多的利润

如何获取更多的利润

例1某商场以每件45元的价钱购进一种服装，根据试销得知，这种服装每天的销量T（件）与每件的销售价x（元／件）可以看报是一次函数：T＝－3x＋207（45≤x≤69）

（1）写出该商场卖这种服装每天的销售利润y与每件的销售价x之间的函数关系式（每天的销售利润是指卖出服装的销售价与购过价的差）。

（2）通过对所得出函数关系式配方，指出商场要想每天获得最大的销售利润，每件的销售价定为多少最为合适？最大销售利润是多少？

分析：每天总销售价为Tx，即（－3x＋207）x，每天销售的T件服装的进价为45T，即45（－3x＋207），而总销售价与总进价的差值即为所获得的利润，而对于第（2）小题应将已得的二次函数配方，画出其函数图像，结合其自变量的取值范围确定最佳售价。

解：（1）由题意得：

Y＝（－3x＋207）x－45（－3x＋207）

＝（－3x＋207）（x－45）（45≤x≤69）

（2）由（1）知

y＝（－3x＋207）（x－45）

＝－3（x2－114x＋3105）

＝－3（－57）2＋432（45≤x≤69）

由图像知开口向下，存在最大值，且45＜57＜69。

∴当x＝57时

Y max＝432

亲爱的同学，若请你帮该商场决策，你知道每件售价是多少最为合适吗？

评述：本题显然是一道在实际生活中可以碰得到的实际问题，而且也确实可以使用我们学过的知识提供一定程度的参考，不过本题可以作一些延伸：

1．本题为什么每件商品的售价被限定在45元与69元之间呢？

2．该服装的售价可以超过69元吗？

3．该函数的图像还可以向两端延伸吗？

例2共产品每件的成本价是120元，试销阶段中每件产品的销售价x（元）与产品的月销售量y（件）之间的关系如下表：

若月销售量y是销售价x的一次函数，要获得最大销售利润，每件产品的销售应为多少元？此时每日的销售利润是多少？

（销售利润＝销售价－成本价）

分析：从传统的函数应用题拓展到有关营销决策、统计评估、生产、生活等时代气息浓厚的应用问题，形式多样，涉及的知识点比较广，且须注意知识的有机的融合，是近几年中考函数类应用性试题出现的变化和特点。该题涉及一次函数、二次函数。建立二次函数需要领会题意，并在此基础上求函数的最值。以销售为数学模型的函数应用题，既考查了学生的知识，又考查了学生的能力。

①“销售利润＝销售价－成本价”这是题目给出的式子，因此每件产品的销售利

润与销售价、成本价有关。每日的销售利润应是每日销售量y（件）与每件产品销售利润的积。这是解决此题的关键，也是营销问题中的常识。

②以表格形式给出了x（元）与y（件）的对应关系，并进而指出销售量y是销售价x的一次函数，为用待定系数法求解析式提供了可行性与新颖性。

③在分析与综合的基础上，每日的销售利润应是y（x的一次函数）与每件产品销售利润（x的一次函数）的积，实质为x的二次函数，于是求函数的最值，就是求日最大利润的问题了。

④在实际问题中自变量的取值范围必须符合题意。例如，销售价x元一般不能低于成本价，否则要亏本，更无从谈利润；销售量只能是非负数等。

解：设y＝kx＋b，当x＝130时，y＝70；当x＝150时，y＝50，得方程组：解得：

∴y＝－x＋200

设每日销售利润为Z元，每件产品的销售利润是（x－120）元，于是∴当时，

即当每件产品的销售价定为160元时，每日的销售利润最大，最大利润为1600元。

例3某剧院设有1000个座位，门票每张3元可达客满，据长期的营业进行市场估计，若每张票价提高x元，将有200x张门票不能售出。

（1）求提价后每场电影的票房收入y（元）与票价提高量x（元）之间的函数关系式和自变量x的取值范围。

（2）若你是经理，你认为电影院应该怎样决策（提价还是不提价），若提价，

提价多少为宜？

分析：若提价x元后，则每张票价变为（x＋3）元，出售的门票总数为：（1000－200x）张，则票房的收入变为：（x＋3）·（1000－200x）。

至于电影院到底应该怎样决策，显然票房的收入y是提高的价x的二次函数，可以对其进行配方，进而求出最高的提价。

解：（1）由题意知：

又

∴x的取值范围是：

（2）

又

∴当时，。

∴电影院应每张门票提价1元为宜。

接下来我们再来看一看1998年河北省的一道中考题。亲爱的同学，你能试着顺利地完成它吗？

例4某工厂现有甲种原料360千克、乙种原料290千克，计划利用这两种原料生产A、B两种产品共50件。已知生产一件A种产品，需用甲种原料9千克、乙种原料3千克，可获利润700元；生产一件B种产品，需用甲种原料4千克、乙种原料10千克，可获利润1200元。

（1）按要求安排A、B两种产品的生产件数，有哪几种方案？请你给设计出来。（2）设生产A、B两种产品获总利润为y（元），其中一种的生产件数为x，试写出y与x元间的函数关系式，并利用函数的性质说出（1）中哪种生产方案获

总利润最大？最大利润是多少？

分析：本题是生产经营决策问题。在市场经济竞争十分激烈的今天，帮助学生学会比较，学会挥优决策，是素质教育的要求，也是近年中考的热门题型。本题所涉及的知识点有：不等式（组）、一次函数。解决这类问题的关键是，建立相应的数学模型。

（1）A、B两种产品的生产件数，受总件数50和所需两种原料库存量的制约。所以可由此得出不等组，从而确立A、B两种产品生产件数的范围，通过进一步讨论可选择其生产方案。

（2）列出总利润与产品生产数量之间的函数关系，根据函数的增减性质，就可以解决本题。

解：（1）设安排生产A种产品。件，则生产B件产品（50－x）件。依题意，得

解之，得

∵x为整数，∴x只能取30，31，32。

相应的（50－x）的组为2019，18。。

所以生产的方案有三种：

第一种：生产A种产品30件，B种产品20件；。

第二种：生产A种产品31件，B种产品19件；’。

第三种：生产A种产品32件，B种产品18件。。

（2）设生产A种产品件数为x，则生产B种产品的件数为50－x。

依题意，得