2020-2021学年北师大版高一年级数学文理分科考试模拟试卷及答案解析
2020-2021学年北师大版高一数学下学期第一次月考检测试题及答案解析
北师大版最新度下学期第一次月考高 一 年级 数学学科试题考试用时：120分 总分：150分一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）.1. cos300=o （ ）A ．12B ．1-2C ．2D ．-2 2．圆的半径是6cm ，则30o 的圆心角与圆弧围成的扇形面积是 ( ) A.22cm π B.232cm π C.2cm π D.23cm π 3．若点(sin 2018,cos 2018)P o o ，则P 在（ ）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限4.以正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱AB 、AD 、AA 1所在的直线为坐标轴建立空间直角坐标系，且正方体的棱长为一个单位长度，则棱CC 1中点坐标为（ ）A ．（12，1，1） B.（1，12，1） C.（1，1，12） D.（12，12，1） 5．已知5cos()13απ-=-,且α是第四象限角,则sin(2)πα-+=( ) A ．1213 B.1213- C.1213± D.5126．若ABC ∆的内角A 满足1sin cos 3A A =，则sin cos A A +的值（ ）A.3B.-3C.53D.53-7．若函数cos ,0(),(1)1,0x x f x f x x π->⎧=⎨++≤⎩则4()3f -的值为（ ） A.1-2 B.12 C.32 D.528. 直线0632=-+y x 关于点（1，-1）对称的直线方程是( )A.0223=+-y xB.0732=++y xC.01223=--y xD.0832=++y x9．点P 在圆221:4210C x y x y ++++=上，点Q 在圆222:4460C x y x y +--+=上，则PQ 的最小值是（ ）A.5B.1C.D.10．设函数()sin sin f x x x =+，则()f x 为( )A ．周期函数，最小正周期为πB ．周期函数，最小正周期为2π C ．周期函数，最小正周期为2π D ．非周期函数11．若11sin ,cos 33k k k k θθ+-==--，且θ的终边不落在坐标轴上，则tan θ的值为（ ） A ．34 B ．0 C ．34或0 D ．以上答案都不对 12. 对于两条平行直线和圆的位置关系定义如下：若两直线中至少有一条与圆相切，则称该位置关系为“平行相切”；若两直线都与圆相离，则称该位置关系为“平行相离”；否则称为“平行相交”。
2020-2021学年北师大版高一下学期期中考试数学(文)检测试题及答案解析
最新（新课标）北师大版高中数学 高一下学期期中考试模拟试题 １、已知集合A={}|32m Z m ∈-<<，B={}|13n Z n ∈-≤≤，则A B=I （ ）A.{}0,1B.{}1,0,1-C.{}0,1,2D.{}1,0,1,2-2、函数2()log (1)f x x x =+-的定义域为 （ ）A.[0,1)B.(0,1)C.]0,1⎡⎣D.()0,+∞3、函数]2()232,2f x x x x ⎡=++∈-⎣在上的值域是 （ ）A ．](3,11 B. ]2,11⎡⎣ C. ](2,11 D. [3,11)4、比较0.112a -⎛⎫= ⎪⎝⎭，0.7b log 3=， 2.213c ⎛⎫= ⎪⎝⎭的大小 （ ） A.b c a << B.b c a << C.b a c << D.b c a <<5、函数2()log 21f x x x =+-的零点必落在区间 （ ）A. 11(,)84B.11(,)42C.1(,1)2D.(1,2) 6、下图（1）所示的圆锥的俯视图为 （ ）7、直线:10l mx y m +--=恒过的点是 （ ）Ａ．(1,0) Ｂ. (0,1) C ．(0,0) D. (1,1)8、已知平面α、β和直线m 、l ，则下列命题中正确的是 （ ）A.若,,,m l m l αβαββ⊥=⊥⊥I 则 Ｂ.若,,,m l l m l αβαβ=⊂⊥⊥I 则 Ｃ．,,l l αβαβ⊥⊂⊥若则 Ｄ.若,,,,m l l m l αβαβαβ⊥=⊂⊥⊥I 则9、在x 轴和y 轴上的截距分别为-2,3的直线方程是 （ ）A. 2360x y --=B.3260x y --=C.3260x y -+=D.2360x y -+=10、直线3260x y +-=与坐标轴围成的面积为 （ ）Ａ.1 Ｂ.2 Ｃ.3 Ｄ.411、已知圆222212:2880,:4420C x y x y C x y x y +++-=+---=圆，则圆12C C 与圆的公共弦所在的直线方程为（ ）A ．210x y +-= B.210x y --=C.210x y ++=D.210x y -+=12、圆0422=-+x y x 在点)3,1(P 处的切线方程为（ ）A 023=-+y xB 043=-+y xC 043=+-y xD 023=+-y x 二、填空题（每题5分，共20分）13、直线40x y -+=的倾斜角为___________14、圆的方程22(4)(1)16x y -+-=关x 轴于对称的圆的方程为________________15、设(3,3,1),(1,0,5),(0,1,0)A B C ，则AB 的中点到点C 的距离为___________16、到直线3410x y -+=的距离为3，且与此直线平行的直线方程为_____________________三、解答题（17小题10分，其余12分，共70分）17、已知两点2(2,2)(2,2),|MA|A B --和求满足2||32.MB M +=的动点的轨迹方程18、求圆心C 在直线350x y +-=上，并且经过(0,0)(3,1)A B -和的圆的方程.19、已知两条直线12:(3)4350,:2(5)8l a x y a l x a y +++-=++=.（1）若1l ∥2l ，求a 的值.（2）若12l l ⊥，求a 的值.20、如图，点P 是正方形ABCD 所在平面外一点，o 是对角线AC 与BD 的交点，且PA=PC=PB=PD=AB=2.(1)求证：P O ⊥平面ABCD .(2)求四棱锥P ABCD -的体积.21、已知方程04222=+--+m y x y x .（1）若此方程表示圆，求m 的取值范围；（2）若（1）中的圆与直线042=-+y x 相交于M ，N 两点，且OM ⊥ON （O为坐标原点）求m 的值；22、如图所示，在直三棱柱111ABC A B C -中，3,4,5AC BC AB ===，点D 是AB 的中点.（1）求证：1AC ∥平面1CDB（2）求证：1AC BC ⊥姓名：_____________班级：___________考场：_____学籍号：_______________________座位号：____ 数学（文科）答题卡及评分细则一、选择题（12小题，共60分）二、填空题（4小题，共20分）三、解答题（6小题，共70分）18、（12分）解:设圆的方程为：222()(b)x a y r -+-=- - - - - - - - - - - - - - 2' 因为圆心C (,b)a 在直线350x y +-=上，并且经过(0,0)(3,1)A B -和，有- - 4' 222222b (3)(1b)3b 50a r a r a ⎧+=⎪-+--=⎨⎪+-=⎩- - - - - - - - - - - - - - - - - - - 7'解得：35a = ， b 0=， 53r =- - - - - - - - - - - - - 10' 所以，圆的方程为 22325()59x y -+=.- - - - - - - - - - - - - 12' 19、（12分）（1）Q 1l ∥2l ，则12210A B A B -= - - - - - - - - - - - - - - - 2' 即：(3)(5)240a a ++-⨯=- - - - - - - - - - - - - - - 3' 解得：17a a =-=-或 - - - - - - - - - - - - - - - - - 4' 经检验：1a =-不满足题意，故舍去 - - - - - - - - - - - 5' 7a ∴=- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 6'（2）12l l ⊥Q ，则12120A A B B += - - - - - - - - - - - - - 8'即：(3)24(5)0a a +⨯+⨯+= - - - - - - - - - - - - - - - 10' 解得：133a =-- - - - - - - - - - - - - - - - - - - 12' 20、（12分）证明：（1）Q 四边形ABCD 是正方形. O '∴为PA 、BD 的中点.- - - - - - - - -2PA PC PB PD ===QAPC ∴V 和BPD V 是等腰三角形 - - - - - - - 3',PO AC PO BD ∴⊥⊥- - - - - - - - - - - 4'而,AC BD ABCD AC BD O ⊂=I 、面- - - - - - - 5' PO ∴⊥面ABCD - - - - - - - - - - - - - - - - 6'解：(2)2ABCD AB =Q 四边形是平行四边形，22AC ∴=- - - - - - - - - - - - - - - - - - - 7'2OC ∴=22t 2APC OP PC OC =-=V 在R 中， - - - - - - - - 9'1142222333P ABCD ABCD V S OP -∴=⋅=⋅⋅⋅=四边形 - - - - - 12'22、（12分）证明：（1）取11BC B C 、的交点O ,连接OD ,则O 为1BC 的中点- - - 2' 在ABC V 中，D 为AB 的中点 1AC ∴∥OD - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 4' 而1OD B DC ⊂面,11AC B DC ⊄面- -- - - -- - - - - - - - -- - - - 5' AC ∴∥1CDB 面 -- - - - - - - - - - - - - - -- - - - - -6'(2)在ABC V 中，345AC BC AB ===，， 222AB AC BC ∴=+即：AC BC ⊥- - - - - - - - - - - 8' 在三棱柱111ABC A B C -中，1CC AC ⊥- - - - - - - -10'而111CC BC BB C C ⊂、面,1CC BC C =I 1AC C CBB ∴⊥1面- - - - - - - - - - 11' 而111BC BB C C ⊂面 1AC BC ∴⊥- - - - - - - - - - - - - 12'。
2020-2021学年北师大版高中数学必修一模块综合测评(二)及答案解析
最新（新课标）北师大版高中数学必修一模块综合测评(二)(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．若集合M ＝{y|y ＝2x}，P ＝{y|y ＝x －1}，则M ∩P ＝( ) A ．{y|y ＞1} B ．{y|y ≥1} C ．{y|y ＞0}D ．{y|y ≥0}【解析】 M ＝{y|y ＝2x }＝{y|y ＞0}， P ＝{y|y ＝x －1}＝{y|y ≥0}． 故M ∩P ＝{y|y ＞0}． 【答案】 C2．(2016·江西南昌二中高一期中)设f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1，(x ≤1)，log 2x ，(x ＞1).则f(1)＋f(4)＝( )A ．5B ．6C ．7D ．8【解析】 f(1)＋f(4)＝21＋1＋log 24＝5. 【答案】 A3.(2016·天津市南开大附中高一期中)已知幂函数y ＝f(x)的图像经过点⎝⎛⎭⎪⎫2，22，则f(4)的值为( )A ．16B ．2C.12D.116【解析】 设幂函数为y ＝x α，∵幂函数y ＝f(x)的图像经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，22，∴22＝2α， 解得α＝－12.y ＝x －12.f(4)＝4－12＝12.故选C.【答案】 C4．(2016·河南南阳市五校高一联考)已知集合A ＝{x|ax 2＋2x ＋a ＝0，a ∈R}，若集合A 有且仅有2个子集，则a 的取值是( )A ．1B ．－1C ．0或1D ．－1,0或1【解析】 由题意可得，集合A 为单元素集，(1)当a ＝0时，A ＝{x|2x ＝0}＝{0}，此时集合A 的两个子集是{0}，∅， (2)当a ≠0时，则Δ＝0解得a ＝±1， 当a ＝1时，集合A 的两个子集是{1}，∅， 当a ＝－1，此时集合A 的两个子集是{－1}，∅. 综上所述，a 的取值为－1,0,1.故选D. 【答案】 D5．(2016·河南南阳市五校高一联考)下列各组函数表示相同函数的是( ) A ．f(x)＝x 2，g(x)＝(x)2 B ．f(x)＝1，g(x)＝x 2C ．f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ≥0，－x ，x ＜0，g(t)＝|t|D ．f(x)＝x ＋1，g(x)＝x 2－1x －1【解析】 A 选项中的两个函数的定义域分别是R 和[0，＋∞)，不相同；B 选项中的两个函数的对应法则不一致；D 选项中的两个函数的定义域分别是R 和{x|x ≠1}，不相同，尽管它们的对应法则一致，但也不是相同函数；C 选项中的两个函数的定义域都是R ，对应法则都是g(x)＝|x|，尽管表示自变量的字母不同，但它们依然是相同函数．故选C.【答案】 C6．(2016·山东滕州市高一期中)令a ＝60.7，b ＝0.76，c ＝log 0.76，则三个数a ，b ，c 的大小顺序是( )A ．b ＜c ＜aB ．b ＜a ＜cC ．c ＜a ＜bD ．c ＜b ＜a【解析】 a ＝60.7＞60＝1，b ＝0.76＞0且b ＝0.76＜0.70＝1，c ＝log 0.76＜log 0.71＝0.【答案】 D7．(2016·湖南长沙一中高一期中)当a ＞1时，在同一坐标系中，函数y ＝a－x与y ＝log a x 的图像( )A ． B.C ． D.【解析】 ∵函数y ＝a －x可化为y ＝(1a)x，其底数大于0小于1，是减函数，又y ＝log a x ，当a ＞1时是增函数，两个函数是一增一减，前减后增．故选A.【答案】 A8．设函数f(x)是定义在R 上的奇函数，当x ∈(0，＋∞)时，f(x)＝lg x ，则满足f(x)＜0的x 的取值范围是( )A ．(－∞，0)B ．(0,1)C ．(－∞，1)D ．(－∞，－1)∪(0,1)【解析】 由题意f(x)的图像如图所示， 故f(x)＜0的取值范围是(－∞，－1)∪(0,1)． 【答案】 D9．已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧|log 3x|(0＜x ≤9)，－x ＋11(x ＞9)，若a ，b ，c 均不相等，且f(a)＝f(b)＝f(c)，则abc 的取值范围是( )【导学号：04100087】A ．(0,9)B ．(2,9)C ．(9,11)D ．(2,11)【解析】 作出f(x)的图像：则log 3a ＝－log 3b ， ∴ab ＝1.设f(a)＝f(b)＝f(c)＝t ， 则a ＝3－t ，b ＝3t ， c ＝11－t.由图可知0＜t ＜2， ∴abc ＝11－t ∈(9,11)． 【答案】 C10．(2016·吉林延边州高一期末)函数f(x)＝4x －3·2x ＋3的值域为[1,7]，则f(x)的定义域为( )A ．(－1,1)∪[2,4]B ．(0,1)∪[2,4]C ．[2,4]D ．(－∞，0)∪[1,2]【解析】 设t ＝2x，则t ＞0，且y ＝t 2－3t ＋3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫t －322＋34≥34.∵函数f(x)＝4x －3·2x ＋3的值域为[1,7]， ∴函数y ＝t 2－3t ＋3的值域为[1,7]．由y ＝1得t ＝1或2，由y ＝7得t ＝4或－1(舍去)，则0＜t ≤1或2≤t ≤4，即0＜2x ≤1或2≤2x ≤4，解得x ＜0或1≤x ≤2， ∴f(x)的定义域是(－∞，0]∪[1,2]，故选D. 【答案】 D11．(2016·黑龙江哈尔滨高一期末)已知函数f(x)＝2x －P ·2－x ，则下列结论正确的是( )A ．P ＝1，f(x)为奇函数且为R 上的减函数B ．P ＝－1，f(x)为偶函数且为R 上的减函数C ．P ＝1，f(x)为奇函数且为R 上的增函数D ．P ＝－1，f(x)为偶函数且为R 上的增函数【解析】 当P ＝1时，f(x)＝2x －2－x ，定义域为R 且f(－x)＝2－x －2x ＝－f(x)，∴f(x)为奇函数．∵2x 是R 上增函数，2－x 是R 的减函数，∴f(x)＝2x －2－x 为R 上的增函数．因此选项C 正确．当P ＝1时，f(x)＝2x ＋2－x ，定义域为R 且f(－x)＝2－x ＋2x ＝f(x)，∴f(x)为偶函数．根据1＜2，f(1)＜f(2)可知f(x)在R 上不是减函数；根据－2＜－1，f(－2)＞f(－1)可知f(x)在R 上不是增函数．因此选项B 、D 不正确．故选C.【答案】 C12．若关于x 的方程⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x|－22－a －2＝0有实数根，则实数a 的取值范围是( )A ．[－2，＋∞)B ．(－1,2]C ．(－2,1]D ．[－1,2)【解析】 令f(x)＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x|－22－2，∵0<⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x|≤1，∴－2<⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x|－2≤－1，则1≤⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x|－22<4，故f(x)∈[－1,2)．由方程⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x|－22－a －2＝0有实数根，得a ∈[－1,2)．故选D. 【答案】 D二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上)13．(2016·湖南长沙一中高一期中)函数f(x)＝ax 2＋(b ＋13)x ＋3是偶函数，且定义域为[a －1,2a]，则a ＋b ＝__________.【解析】 ∵函数f(x)＝ax 2＋⎝⎛⎭⎪⎫b ＋13x ＋3是偶函数，且定义域为[a －1,2a]，由偶函数的定义域关于原点对称可得(a －1)＋2a ＝0，解得a ＝13，所以函数f(x)＝13x 2＋⎝⎛⎭⎪⎫b ＋13x ＋3.由题意可得f(－x)＝f(x)恒成立，即13(－x)2＋(b＋13)(－x)＋3＝13x2＋⎝⎛⎭⎪⎫b＋13x＋3对任意的实数x都成立，所以有b＋13＝0，解得b＝－13，所以a＋b＝0.【答案】014．(2016·福建龙岩高一期末)函数f(x)＝log 12(x2－2x－3)的单调递增区间为________．【解析】函数f(x)的定义域为{x|x＞3或x＜－1}．令t＝x2－2x－3，则y＝log 1 2 t.因为y＝log 12t在(0，＋∞)单调递减，t＝x2－2x－3在(－∞，－1)单调递减，在(3，＋∞)单调递增，由复合函数的单调性可知函数的单调增区间为(－∞，－1)．【答案】(－∞，－1)15．(2016·安徽合肥八中高一段考)将长度为1的铁丝分成两段，分别围成一个正方形和一个圆形，要使正方形与圆的面积之和最小，正方形的周长应为__________. 【导学号：04100088】【解析】设正方形周长为x，则圆的周长为1－x，半径r＝1－x 2π，∴S正＝(x4)2＝x216，S圆＝π·(1－x)24π2，∴S正＋S圆＝(π＋4)x2－8x＋416π(0＜x＜1)，∴当x＝4π＋4时有最小值．【答案】4π＋416．(2016·内蒙古杭锦后旗奋斗中学高一月考)已知定义在实数集R 上的偶函数f(x)在区间(－∞，0]上是单调减函数，则不等式f(－1)＜f(ln x)的解集是________．【解析】 由已知f(x)在区间(－∞，0]上是单调减函数，在区间(0，＋∞)上是单调增函数，当ln x ＞0，f(1)＜f(ln x)，则1＜ln x ，有x ＞e ，当ln x ＜0，f(－1)＜f(ln x)，则－1＞ln x ，有0＜x ＜1e综上，不等式f(－1)＜f(ln x)的解集是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e ∪(e ，＋∞)．【答案】 ⎝⎛⎭⎪⎫0，1e ∪(e ，＋∞)三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)(2016·山东滕州市高一期中)计算下列各式的值： (1)⎝ ⎛⎭⎪⎫21412－(－9.6)0－⎝ ⎛⎭⎪⎫338－23＋(1.5)－2 (2)log 34273＋lg25＋lg4＋7log 72.【解】(1)原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫942－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫278－23＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32－2 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫322×12－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫32－3×23＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32－2＝32－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫32－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32－2 ＝12.(2)原式＝log 33343＋lg(25×4)＋2＝log 33－14＋lg102＋2＝－14＋2＋2＝154.18．(本小题满分12分)(2016·江西南昌二中高一期中)已知集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x | 2≤2x≤16，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x | log 3x ＞1.(1)分别求A ∩B ，(∁R B)∪A ；(2)已知集合C ＝{x|1＜x ＜a}，若C ⊆A ，求实数a 的取值范围． 【解】 (1)由已知得A ＝{x|1≤x ≤4}， B ＝{x|x ＞3}，∴A ∩B ＝{x|3＜x ≤4}，∴(∁R B)∪A ＝{x|x ≤3}∪{x|1≤x ≤4}＝{x|x ≤4}． (2)①当a ≤1时，C ＝∅，此时C ⊆A ； ②当a ＞1时，由C ⊆A 得1＜a ≤4. 综上，a 的取值范围为(－∞，4]．19．(本小题满分12分)(2016·河南许昌市四校高一联考)已知函数f(x)＝x －2m 2＋m ＋3(m ∈Z)为偶函数，且f(3)＜f(5)．(1)求函数f(x)的解析式；(2)若g(x)＝log a [f(x)－ax](a ＞0且a ≠1)在区间[2,3]上为增函数，求实数a 的取值范围．【解】 (1)∵f(x)为偶函数， ∴－2m 2＋m ＋3为偶数．又f(3)＜f(5)，∴3－2m 2＋m ＋3＜5－2m 2＋m ＋3，即有⎝ ⎛⎭⎪⎫35－2m 2＋m ＋3＜1，∴－2m 2＋m ＋3＞0，∴－1＜m ＜32.又m ∈Z ，∴m ＝0或m ＝1.当m ＝0时，－2m 2＋m ＋3＝3为奇数(舍去)； 当m ＝1时，－2m 2＋m ＋3＝2为偶数，符合题意． ∴m ＝1，f(x)＝x 2.(2)由(1)知，g(x)＝log a [f(x)－ax]＝log a (x 2－ax)(a ＞0且a ≠1)在区间[2,3]上为增函数．令u(x)＝x 2－ax ，y ＝log a u ，①当a ＞1时，y ＝log a u 为增函数，只需u(x)＝x 2－ax 在区间[2,3]上为增函数，即⎩⎨⎧ a 2≤0，u (2)＝4－2a ＞0，1＜a ＜2；②当0＜a ＜1时，y ＝log a u 为减函数，只需u(x)＝x 2－ax 在区间[2,3]上为减函数，即⎩⎨⎧a 2≥3，u (3)＝9－3a ＞0，a ∈∅，综上可知，a 的取值范围为(1,2)．20．(本小题满分12分)(2016·江西南昌二中高一期中)设函数f(x)＝a x －a －x(a>0且a ≠1)，(1)若f(1)<0，试判断函数单调性并求使不等式f(x 2＋tx)＋f(4－x)<0恒成立的t 的取值范围；(2)若f(1)＝32，g(x)＝a 2x ＋a －2x －2mf(x)且g(x)在[1，＋∞)上的最小值为－2，求m 的值．【解】 (1)f(x)＝a x －a －x (a>0且a ≠1)，∵f(1)<0，∴a －1a <0，又a>0，且a ≠1，∴0<a<1.∵a x 单调递减，a －x 单调递增，故f(x)在R 上单调递减． 不等式化为f(x 2＋tx)<f(x －4)，∴x 2＋tx>x －4，即x 2＋(t －1)x ＋4>0恒成立， ∴Δ＝(t －1)2－16<0，解得－3<t<5.(2)∵f(1)＝32，∴a －1a ＝32，2a 2－3a －2＝0，∴a ＝2或a ＝－12(舍去)，∴g(x)＝22x ＋2－2x －2m(2x －2－x )＝(2x －2－x )2－2m(2x －2－x )＋2. 令t ＝f(x)＝2x －2－x ，由(1)可知f(x)＝2x －2－x 为增函数．∵x ≥1，∴t ≥f(1)＝32，令h(t)＝t 2－2mt ＋2＝(t －m)2＋2－m 2⎝ ⎛⎭⎪⎫t ≥32.若m ≥32，当t ＝m 时，h(t)min ＝2－m 2＝－2，∴m ＝2.若m<32，当t ＝32时，h(t)min ＝174－3m ＝－2，解得m ＝2512>32，舍去．综上可知，m ＝2.21．(本小题满分12分)(2016·山东滕州市高一期中)设函数f(x)＝log 3(9x)·log 3(3x)，且19≤x ≤9.(1)求f(3)的值；(2)令t ＝log 3x ，将f(x)表示成以t 为自变量的函数，并由此求函数f(x)的最大值与最小值及与之对应的x 的值. 【导学号：04100089】【解】 (1)f(3)＝log 327·log 39＝3×2＝6.(2)因为t ＝log 3x ，又∵19≤x ≤9，∴－2≤log 3x ≤2，即－2≤t ≤2.由f(x)＝(log 3x ＋2)·(log 3x ＋1)＝(log 3x)2＋3log 3x ＋2＝t 2＋3t ＋2. 令g(t)＝t 2＋3t ＋2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋322－14，t ∈[－2,2]．①当t＝－32时，g(t)min＝－14，即log3x＝－32，则x＝3－32＝39，∴f(x)min ＝－14，此时x＝39；②当t＝2时，g(t)max ＝g(2)＝12，即log3x＝2，x＝9，∴f(x)max＝12，此时x＝9.22．(本小题满分12分)(2016·山东青州市高一期中)已知指数函数y＝g(x)满足：g(3)＝8，定义域为R的函数f(x)＝1－g(x)m＋2g(x)是奇函数．(1)确定y＝f(x)和y＝g(x)的解析式；(2)判断函数f(x)的单调性，并用定义证明；(3)若对于任意x∈[－5，－1]，都有f(1－x)＋f(1－2x)＞0成立，求x的取值范围．【解】(1)设g(x)＝a x(a＞0且a≠1)，则a3＝8，∴a＝2，∴g(x)＝2x.因为f(x)＝1－2x2x＋1＋m，又f(－1)＝－f(1)，∴1－12m＋1＝1－24＋m⇒m＝2，经检验，满足题意，所以f(x)＝1－2x2＋2x＋1＝－12＋12x＋1.(2)f(x)为减函数，证明如下：由(1)知f(x)＝1－2x2＋2x＋1＝－12＋12x＋1.任取x1，x2∈R，设x1＜x2则f(x2)－f(x1)＝12x2＋1＝12x1＋1＝2x1－2x2(2x1＋1)(2x2＋1)，因为函数y＝2x在R上是增函数且x1＜x2，∴2x1－2x2＜0.又(2x 1＋1)(2x 2＋1)＞0∴f(x 2)－f(x 1)＜0即f(x 2)＜f(x 1)， ∴f(x)在(－∞，＋∞)上为减函数．(3)因f(x)是奇函数，且f(x)在(－∞，＋∞)上为减函数， 从而由不等式f(1－x)＋f(1－2x)＞0得 f(1－x)＞－f(1－2x)即f(1－x)＞f(2x －1)， 所以⎩⎪⎨⎪⎧1－x ＜2x －1，－5≤1－x ≤－1，－5≤1－2x ≤－1，解得2≤x ≤3，即x 的取值范围是[2,3]．。
北京北大附属实验学校2020-2021学年高一数学文测试题含解析
北京北大附属实验学校2020-2021学年高一数学文测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 在区间（﹣，）上随机地取一个实数x，则事件“tanx≥”发生的概率为（）A．B．C．D．参考答案：B【考点】正切函数的单调性；几何概型．【分析】由tan=，结合正切函数的单调性求出在（﹣，）满足tanx≥的x的范围，然后利用几何概型概率计算公式得答案．【解答】解：∵函数y=tanx在（﹣，）上为增函数，且tan=，∴在区间（﹣，）上，x∈[）时tanx≥，故事件“tanx≥”发生的概率为．故选：B．2. 甲、乙两位同学在高一年级的5次考试中，数学成绩统计如茎叶图所示，若甲、乙两人的平均成绩分别是，则下列数学正确的是（）A．，乙比甲成绩稳定B．，甲比乙成绩稳定C.，乙比甲成绩稳定D．，甲比乙成绩稳定参考答案：C甲的平均成绩，甲的成绩的方差；乙的平均成绩，乙的成绩的方差.∴，乙比甲成绩稳定.故选C.3. 已知△ABC是边长为4的等边三角形，P为平面ABC内一点，则的最小值是（）A．﹣2 B．C．﹣3 D．﹣6参考答案：D【考点】9R：平面向量数量积的运算．【分析】建立平面直角坐标系，表示出点的坐标，利用坐标法结合平面向量数量积的定义，求最小值即可．【解答】解：以BC中点为坐标原点，建立如图所示的坐标系，则A（0，2），B（﹣2，0），C（2，0），设P（x，y），则=（﹣x，2﹣y），=（﹣2﹣x，﹣y），=（2﹣x，﹣y），所以?（+）=﹣x?（﹣2x）+（2﹣y）?（﹣2y）=2x2﹣4y+2y2=2[x2+2（y﹣）2﹣3]；所以当x=0，y=时， ?（+）取得最小值为2×（﹣3）=﹣6．故选：D．4. 如图所示，在四边形ABCD中，，E为BC的中点，且，则3x﹣2y=（）A．B．C．1 D．2参考答案：C【考点】平面向量的基本定理及其意义．【分析】利用向量共线定理和向量的三角形法则及其多边形法则即可得出结果．【解答】解：∵E为BC的中点，∴，=﹣．∴，且，∴，则3x﹣2y=1，故选：C．5. 已知a=log32，b=log30.5，c=1.10.5，那么a、b、c的大小关系为( )A．b＞c＞a B．b＞a＞c C．a＞b＞c D．c＞a＞b参考答案：D【考点】对数值大小的比较．【专题】转化思想；数学模型法；函数的性质及应用．【分析】利用指数函数与对数函数的单调性即可得出．【解答】解：∵0＜a=log32＜1，b=log30.5＜0，c=1.10.5＞1，∴c＞a＞b．故选：D．【点评】本题考查了指数函数与对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．6. 某工厂生产A、B、C三种不同型号的产品，产品数量之比依次为2∶3∶5，现用分层抽样方法抽取一个容量为n的样本，样本中A种型号产品有16件，那么此样本容量n＝( ) A.800 B.40 C.128 D.80参考答案：D7. y＝a x－(b＋1)，(a＞0且a≠1)的图像在第一、三、四象限，则必有()A．0＜a＜1，b＞0 B．0＜a＜1，b＜0 C．a＞1，b＜1 D．a＞1，b＞0参考答案：D8. 若二面角为，直线，直线，则直线与所成角的范围是A.B. C. D.参考答案： D 略9. ，，，那么（ ）.A.B.C.D.参考答案：D10. 不等式sin()>0成立的x 的取值范围为( )A 、B 、C 、D 、参考答案： D略二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知幂函数y=x α的图象过点，则f （4）= ．参考答案：2【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域． 【专题】函数的性质及应用．【分析】把幂函数y=x α的图象经过的点 代入函数的解析式，求得α的值，即可得到函数解析式，从而求得f （4）的值．【解答】解：∵已知幂函数y=x α的图象过点，则 2α=，∴α=，故函数的解析式为 yf （x ）=，∴f（4）==2，故答案为 2．【点评】本题主要考查用待定系数法求函数的解析式，根据函数的解析式求函数的值，属于基础题．12. 定义运算则关于正实数x 的不等式的解集为_________．参考答案：略13.的定义域是__________________.参考答案：略14. 正方体中，与对角线异面的棱有 条.参考答案：615. 已知中，设三个内角所对的边长分别为，且，则边长c=__________.参考答案：或16. 将一个容量为m 的样本分成3组，已知第一组的频数为8，第二、三组的频率为0.15和0.45，则m= ．参考答案：20【考点】频率分布直方图．【分析】利用频率和为1，求出第二组的频率，利用公式频率=，求出样本容量m的值．【解答】解：∵第二、三组的频率为0.15和0.45∴第一组的频率为1﹣0.15﹣0.45=0.4∵第一组的频数为8∴m=故答案为：20．17. 有一道解三角形的题，因为纸张破损，在划横线地方有一个已知条件看不清．具体如下：在中角所对的边长分别为，已知角，，，求角．若已知正确答案为，且必须使用所有已知条件才能解得，请你写出一个符合要求的已知条件．参考答案：（答案不唯一.但填写或者是错误的，不给分）略三、解答题：本大题共5小题，共72分。
高一数学高中数学北师大版试题答案及解析
高一数学高中数学北师大版试题答案及解析1.已知点与两个定点的距离之比为，则点的轨迹的面积为（）A．2B．C．D．【答案】C【解析】由题意得，设点，则，即，整理得，所以点的轨迹表示以为圆心，半径为的圆，所以面积为，故选C．【考点】轨迹方程的求法．2.设P、A、B、C是球O表面上的四个点，PA、PB、PC两两垂直，且PA=3，PB=4，PC=5，则球的半径为．【答案】【解析】根据PA、PB、PC两两相互垂直，所以我们可以在球内做一个内切长方体，长方体的三条长宽高分别是5、4、3．则长方体的体对角线就是球的直径．问题转化为求矩形的对角线，利用三边的长求得答案．解：因为PA、PB、PC两两相互垂直，所以我们可以在球内做一个内切长方体，长方体的三条长宽高分别是5、4、3．长方体的体对角线就是球的直径．所以r==故答案为：点评：本题主要考查了球的性质．考查了学生形象思维能力，创造性思维能力的．3.（2011•成都二模）如图，在半径为l的球O中．AB、CD是两条互相垂直的直径，半径OP⊥平面ACBD．点E、F分别为大圆上的劣弧、的中点，给出下列结论：①E、F两点的球面距离为；②向量在向量方向上的投影恰为；③若点M为大圆上的劣弧的中点，则过点M且与直线EF、PC成等角的直线有无数条；④球面上到E、F两点等距离的点的轨迹是两个点；其中你认为正确的所有结论的序号为．【答案】①③【解析】先建立如图所示的空间直角坐标系，写出坐标E（0，，），F（，﹣，0）B（0，1，0），P（0，0，1）C（1，0，0）再一一验证即可．解：建立如图所示的空间直角坐标系，则E（0，，），F（，﹣，0）B（0，1，0），P（0，0，1）C（1，0，0）①cos∠EOF=cos∠EOBcos∠COB=cos45°cos（90°+45°）=﹣=﹣∴，对；②向量在向量方向上的投影为，错；③由于等角的值不是一定值，因此将直线EF、PC都平移到点M，可知过点M且与直线EF、PC 成等角的直线有无数多条，对；④过点EF的中点及球心O的大圆上任意点到点E、F的距离都相等，错；故答案为①③点评：本题主要考查了球的性质、球面距离及相关计算，解答的关键是建立适当的空间坐标系写出点的坐标后利用空间坐标进行计算．4.（2012•杭州一模）已知函数f（x）=，要得到f′（x）的图象，只需将f（x）的图象（）个单位．A．向右平移B．向左平移C．向右平移D．向左平移【答案】D【解析】由于f′（x）=2cos（2x+），于是f′（x）=cos（2x+），利用诱导公式及平移变换规律即可得到答案．解：∵f′（x）=2cos（2x+），∴f′（x）=cos（2x+），∴将f（x）=sin（2x+）向左平移个单位可得：g（x）=f（x+）=sin[2（x+）+）]=sin[（2x+）+]=cos（2x+）=f′（x），故选D．点评：本题考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，考查简单复合函数的导数，考查理解与运算能力，属于中档题．5.已知f（x），g（x）都是定义在R上的函数，g（x）≠0，f′（x）g（x）＞f（x）g′（x），且f （x）=a x•g（x）（a＞0，且a≠1），．，若数列的前n项和大于62，则n的最小值为（）A．6B．7C．8D．9【答案】A【解析】由f′（x）g（x）＞f（x）g′（x）可得单调递增，从而可得a＞1，结合，可求a．利用等比数列的求和公式可求，从而可求解：∵f′（x）g（x）＞f（x）g′（x）∴f′（x）g（x）﹣f（x）g′（x）＞0，∴从而可得单调递增，从而可得a＞1∵，∴a=2故=2+22+…+2n=∴2n+1＞64，即n+1＞6，n＞5，n∈N*∴n=6故选：A点评：本题主要考查了利用导数的符合判断指数函数的单调性，等比数列的求和公式的求解，解题的关键是根据已知构造函数单调递增．6.已知曲线y=x2的一条切线的斜率为，则切点的横坐标为（）A．4B．3C．2D．【答案】C【解析】根据切点处的导数即为切线的斜率建立等式关系，解出方程，问题得解．解：设切点的横坐标为t==，解得t=2，y′|x=t故选C．点评：本题考查了导数的几何意义，切点处的导数即为切线的斜率，属于基础题．7.设函数f（x）=g（x）+x+lnx，曲线y=g（x）在点（1，g（1））处的切线方程为y=2x+1，则曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为（）A．y=4x B．y=4x﹣8C．y=2x+2D．【答案】A【解析】据曲线在切点处的导数值为曲线切线的斜率，求g′（1）进一步求出f′（1），由点斜式求出切线方程．解：由已知g′（1）=2，而，所以f′（1）=g′（1）+1+1=4，即切线斜率为4，又g（1）=3，故f（1）=g（1）+1+ln1=4，故曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y﹣4=4（x﹣1），即y=4x，故选A．点评：本题考查曲线在切点处的导数值为曲线切线的斜率．8.设f（x）=cos22x，则=（）A．2B．C．﹣1D．﹣2【答案】D【解析】先对函数进行化简，再对函数进行求导，再把代入进行求解即可．解：∵f（x）=cos22x=∴=﹣2sin4x∴故选D．点评：本题主要考查了复合函数的求导问题，要注意{f[g（x）]}′=f′（g（x）g′（x）．9.设y=﹣2e x sinx，则y′等于（）A．﹣2e x cosx B．﹣2e x sinx C．2e x sinx D．﹣2e x （sinx+cosx）【答案】D【解析】利用导数乘法法则进行计算．解：∵y=﹣2e x sinx，∴y′=（﹣2e x）′sinx+（﹣2e x）•（sinx）′=﹣2e x sinx﹣2e x cosx=﹣2e x（sinx+cosx）．故选D．点评：本题考查学生对导数乘法法则的运算能力，利用直接法求解．10.空间中，与向量同向共线的单位向量为（）A．B．或C．D．或【答案】C【解析】利用与同向共线的单位向量向量即可得出．解：∵，∴与同向共线的单位向量向量，故选：C．点评：本题考查了与同向共线的单位向量向量，属于基础题．11.（2014•福建模拟）已知具有线性相关的两个变量x，y之间的一组数据如下：且回归方程是=0.95x+a，则当x=6时，y的预测值为（）A.8.0B.8.1C.8.2D.8.3【答案】D【解析】线性回归方程=0.95x+a，必过样本中心点，首先计算出横标和纵标的平均数，代入回归直线方程求出a即可得到回归直线的方程，代入x=6，可得y的预测值．解：由已知可得==2==4.5∴=4.5=0.95×+a=1.9+a∴a=2.6∴回归方程是=0.95x+2.6当x=6时，y的预测值=0.95×6+2.6=8.3故选D点评：题考查线性回归方程，是一个运算量较大的题目，有时题目的条件中会给出要有的平均数，本题需要自己做出，注意运算时不要出错．12.下列结论正确的是（）A．若y=x+，则y′=1+B．若y=cosx，则y′=sinxC．若y=，则y′=D．若y=，则y′=【答案】C【解析】利用导数的运算法则即可得出．解：A．∵，∴，因此A不正确；B．∵y=cosx，∴y′=﹣sinx；C．∵，∴，因此正确；D．∵，∴，因此不正确．综上可知：只有C正确．故选C．点评：熟练掌握导数的运算法则是解题的关键．13.函数f（x）=xsinx+cosx的导数是（）A．xcosx+sinx B．xcosx C．xcosx﹣sinx D．cosx﹣sinx【答案】B【解析】利用和及积的导数运算法则及基本初等函数的导数公式求出函数的导数．解：∵f（x）=xsinx+cosx∴f′（x）=（xsinx+cosx）′=（xsinx）′+（cosx）′=x′sinx+x（sinx）′﹣sinx=sinx+xcosx﹣sinx=xcosx故选B点评：本题考查导数的运算法则、基本初等函数的导数公式．属于基础试题14.已知函数f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0）的对称中心为M（x0，y），记函数f（x）的导函数为f′（x），f′（x）的导函数为f″（x），则有f″（x）=0．若函数f（x）=x3﹣3x2，则可求得=（）A．4025B．﹣4025C．8050D．﹣8050【答案】D【解析】由题意对已知函数求两次导数可得图象关于点（1，﹣2）对称，即f（x）+f（2﹣x）=﹣4，而要求的式子可用倒序相加法求解，共有2011对﹣4和一个f （1）=﹣2，可得答案． 解：由题意f （x ）=x 3﹣3x 2，则f′（x ）=3x 2﹣6x ，f″（x ）=6x ﹣6，由f″（x 0）=0得x 0=1，而f （1）=﹣2，故函数f （x ）=x 3﹣3x 2关于点（1，﹣2）对称，即f （x ）+f （2﹣x ）=﹣4． 所以，…，，所以=﹣4×2012+（﹣2）=﹣8050，故选D ．点评：本题主要考查导数的基本运算，利用条件求出函数的对称中心是解决本题的关键．15. （2014•虹口区二模）对于数列{a n }，规定{△1a n }为数列{a n }的一阶差分数列，其中△1a n =a n+1﹣a n （n ∈N *）．对于正整数k ，规定{△k a n }为{a n }的k 阶差分数列，其中△k a n =△k ﹣1a n+1﹣△k ﹣1a n ．若数列{a n }有a 1=1，a 2=2，且满足△2a n +△1a n ﹣2=0（n ∈N *），则a 14= ． 【答案】26【解析】利用新定义，可得{a n }是从第2项起，2为公差的等差数列，即可求出a 14． 解：∵△k a n =△k ﹣1a n+1﹣△k ﹣1a n ，△2a n +△1a n ﹣2=0， ∴△1a n+1=2， ∴a n+2﹣a n+1=2， ∵a 1=1，a 2=2，∴{a n }是从第2项起，2为公差的等差数列， ∴a 14=2+2（14﹣2）=26． 故答案为：26．点评：本题考查数列的应用，考查新定义，确定{a n }是从第2项起，2为公差的等差数列是关键．16. 一个平面图形的水平放置的斜二测直观图是一个等腰梯形，直观图的底角为45°，两腰和上底边长均为1，则这个平面图形的面积为 ． 【答案】2+【解析】根据斜二测化法规则画出原平面图形，可知水平放置的图形为直角梯形，求出上底，高，下底，利用梯形面积公式求解即可．解：水平放置的图形为一直角梯形，由题意可知上底为1，高为2， 下底为1+， S=（1++1）×2=2+．故答案为：2+．点评：本题考查水平放置的平面图形的直观图斜二测画法，由已知斜二测直观图根据斜二测化法规则，正确画出原平面图形是解题的关键．17. 如图所示的直观图（△AOB ），其平面图形的面积为 ．【答案】6【解析】根据直观图与平面图形的画法，推出平面图形的形状，根据数据关系，不难求出平面图形的面积．解：如图所示的直观图（△AOB ），其平面图形是一个直角三角形，直角边长为：3；4； 所以它的面积为：，故答案为：6．点评：本题考查直观图与平面图形的画法，注意两点：一是角度的变化；二是长度的变化；考查计算能力．18.下面程序框图，如果输入三个实数a、b、c，要求输出这三个数中最大的数，那么在空白的判断框中，应该填入下面四个选项中的（）A．c＞x B．x＞c C．c＞b D．b＞c【答案】A【解析】根据流程图所示的顺序，逐框分析程序中各变量、各语句的作用，由于该题的目的是选择最大数，因此根据第一个选择框作用是比较x与b的大小，故第二个选择框的作用应该是比较x与c的大小，而且条件成立时，保存最大值的变量X=C．解：由流程图可知：第一个选择框作用是比较x与b的大小，故第二个选择框的作用应该是比较x与c的大小，∵条件成立时，保存最大值的变量X=C故选A．点评：算法是新课程中的新增加的内容，也必然是新高考中的一个热点，应高度重视．程序填空也是重要的考试题型，这种题考试的重点有：①分支的条件②循环的条件③变量的赋值④变量的输出．其中前两点考试的概率更大．此种题型的易忽略点是：不能准确理解流程图的含义而导致错误．19.如图是某一问题的算法程序框图，它反映的算法功能是．【答案】计算|x|的值．【解析】从赋值框输入的变量x的值开始，逐渐分析写出程序运行的每一步，便可得到程序框图表示的算法的功能．解：框图首先输入变量x的值，判断x≥0，执行输出x；否则，输出x的相反数：﹣x．算法结束．故此算法执行的是计算|x|的值．故答案为：计算|x|的值．点评：本题考查了程序框图中的选择结构，选择结构是先判断后执行，满足条件时执行一个分支，不满足条件执行另一个分支，此题是基础题．20.在国家法定工作日内，每周满工作量的时间为40小时，若每周工作时间不超过40小时，则每小时工资8元；如因需要加班，超过40小时的每小时工资为10元．某公务员在一周内工作时间为x小时，但他须交纳个人住房公积金和失业保险（这两项费用为每周总收入的10%）．试分析算法步骤并画出其净得工资y元的算法的程序框图（注：满工作量外的工作时间为加班）．【答案】见解析【解析】本题考查的知识点是设计程序框图解决实际问题，我们根据题目已知中公交车票价的定价规则易写出分段函数的解析式y=，然后我们可根据分类标准，设置出判断框中的条件，再由函数两段上的解析式，确定判断框的“是”与“否”分支对应的操作，由此即可画出流程图．解：算法如下：第一步，输入工作时间x小时．第二步，若x≤40，则y=8x•（1﹣10%），否则y=40×8（1﹣10%）+（x﹣40）×10（1﹣10%）．第三步，输出y值．程序框图：点评：编写程序解决分段函数问题，要分如下几个步骤：①对题目的所给的条件的分类进行总结，写出分段函数的解析式；②根据分类标准，设置判断框的个数及判断框中的条件；③分析函数各段的解析式，确定判断框的“是”与“否”分支对应的操作；④画出流程图，再编写满足题意的程序．。
北京市首师大附中2020-2021学年高一分班考试数学试卷(word版,含答案解析)
反之， 时，如： 不恒成立，
故选B.
【点睛】本题考查了一元二次不等式与二次项系数及△的关系，考查充分条件、必要条件的含义，属于基础题．
10.【答案】A
【解析】
【分析】
因为 ,利用基本不等式,注意等号成立的条件,即可求得答案.
【详解】
当且仅当 ,取等号,即 ,结合 ,
5.【答案】B
【解析】
【分析】
先分别用列举法表示出 ，然后根据 确定出 中一定有的元素和可能有的元素，从而求解出满足的 的个数.
【详解】因为 的解为 或 ，所以 ；
又因为 ，且 ，所以 中一定含有元素 ，可能含有元素 ，
所以 的个数即为集合 的子集个数： ，
故选：B.
【点睛】本题考查根据集合的子集关系求解符合条件的集合个数，解答问题的关键是确定出集合中一定包含的元素和可能包含的元素，难度一般.
C. 和 D. 和
12.函数 定义域为（）
A. B. C. D.
13.已知函数 ，其定义域是 ， ，则下列说法正确的是
A. 有最大值 ，无最小值B. 有最大值 ，最小值
C. 有最大值 ，无最小值D. 有最大值2，最小值
14.已知 为一次函数，且 则 的值为（）
A. 0B. 1C. 2D. 3
15.定义在R上的偶函数 ，对任意的 ，都有 ， ，则不等式 的解集是（）
A. B.
C. D.
16.电流强度 随时间 变化的关系式是 ，则当 时，电流强度 为（）
A. 5AB. 2.5AC. 2AD.－5A
17.函数 的周期，振幅，初相分别是（）
A. B. C. D.
18.已知 为第二象限角， ，则 值等于
2020-2021学年北师大版高中数学必修一学业水平模拟测试基础卷及答案解析
最新（新课标）北师大版高中数学必修一 高中数学学业水平测试检测卷1--数学必修1（基础卷）网第Ⅰ卷(选择题共54分)一、选择题：本大题共18小题，每小题3分，共54分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1．函数2y x =-的定义域是： （ ）. (2,) . [2,) . (,2) . (,2]A B C D +∞+∞-∞-∞2．全集U ＝｛0,1,3,5,6,8｝,集合A ＝{ 1，5, 8 }, B ={2},则集合)A B =U U （C ： （ ） A ．{0,2,3,6} B ．{ 0,3,6} C ． {2,1,5,8} D ． ∅ 3．已知集合{}{}13,25A x x B x x A B =-≤<=<≤=U ,则： （ ） A. ( 2, 3 ) B. [-1,5] C. (-1,5) D. (-1,5]4.已知全集U={1,2,3,4,5,6,7}，A={3,4,5},B={1,3,6}，则A ∩(C U B)等于（ ）A ．{4，5} B.{2,4,5,7} C.{1,6} D.{3} 5．设全集U ,图中阴影部分所表示的集合是 （ ） A ．U M ð B.()U N M ⋂ð C.()U N M ⋃ðD.()U N M ⋂ð 6．下列函数是偶函数的是： （ ）A ．x y =B ．322-=x y C ．21x y = D ．]1,0[,2∈=x x y7．化简：2(4)ππ-＋＝： （ ）A ． 4B ． 2 4π－C ．2 4π－或4D ． 4 2π－ 8．下列各组函数是同一函数的是 （ ）①3()2f x x =-与()2g x x x =-；②()f x x =与2()g x x =；③0()f x x =与01()g x x=；④2()21f x x x =--与2()21g t t t =--。
2020-2021北京师范大学第一附属中学高中必修一数学上期中一模试卷带答案
2020-2021北京师范大学第一附属中学高中必修一数学上期中一模试卷带答案一、选择题1．设集合{1,2,3,4}A =，{}1,0,2,3B =-，{|12}C x R x =∈-≤<，则()A B C =U IA ．{1,1}-B ．{0,1}C ．{1,0,1}-D ．{2,3,4}2．设常数a ∈R ，集合A={x|（x ﹣1）（x ﹣a ）≥0}，B={x|x≥a ﹣1}，若A ∪B=R ，则a 的取值范围为（ ） A ．（﹣∞，2）B ．（﹣∞，2]C ．（2，+∞）D ．[2，+∞）3．函数y =2x 2–e |x |在[–2,2]的图像大致为（ ）A ．B ．C ．D ．4．函数tan sin tan sin y x x x x =+--在区间（2π，32π）内的图象是( ) A ． B ．C ．D ．5．设奇函数()f x 在(0)+∞，上为增函数，且(1)0f =，则不等式()()0f x f x x--<的解集为（ ）A ．(10)(1)-⋃+∞，， B ．(1)(01)-∞-⋃，， C ．(1)(1)-∞-⋃+∞，， D ．(10)(01)-⋃，， 6．若函数()(1)(0xxf x k a a a -=-->且1a ≠）在R 上既是奇函数,又是减函数,则()log ()a g x x k =+的图象是（ ）A ．B ．C ．D ．7．函数()f x 在(,)-∞+∞单调递增，且为奇函数，若(1)1f =，则满足1(2)1f x -≤-≤的x 的取值范围是（ ）． A ．[2,2]-B ．[1,1]-C ．[0,4]D ．[1,3]8．已知()lg(10)lg(10)f x x x =++-，则()f x 是（ ） A ．偶函数，且在(0,10)是增函数 B ．奇函数，且在(0,10)是增函数 C ．偶函数，且在(0,10)是减函数D ．奇函数，且在(0,10)是减函数9．已知奇函数()f x 在R 上是增函数，若21log 5a f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()2log 4.1b f =，()0.82c f =，则,,a b c 的大小关系为( )A ．a b c <<B ．b a c <<C ．c b a <<D ．c a b <<10．函数()245f x x x =-+在区间[]0,m 上的最大值为5，最小值为1，则实数m 的取值范围是（ ） A ．[)2,+∞B ．[]2,4C ．[]0,4D ．(]2,411．设a ＝2535⎛⎫ ⎪⎝⎭，b ＝3525⎛⎫ ⎪⎝⎭ ，c ＝2525⎛⎫ ⎪⎝⎭，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a>c>bB ．a>b>cC ．c>a>bD ．b>c>a12．方程 4log 7x x += 的解所在区间是（ ） A ．(1,2)B ．(3,4)C ．(5,6)D ．(6,7)二、填空题13．如果定义在区间[3＋a ，5]上的函数f(x)为奇函数，那么a 的值为________. 14．设25a b m ==,且112a b+=,则m =______.15．函数的定义域为______________．16．已知函数(1)4f x x +=-，则()f x 的解析式为_________.17．已知函数()266,34,x x f x x ⎧-+=⎨+⎩ 00x x ≥<，若互不相等的实数1x ，2x ，3x 满足()()()123f x f x f x ==，则123x x x ++的取值范围是__________．18．已知a ＞b ＞1.若log a b+log b a=52，a b =b a ，则a= ，b= . 19．定义在[3,3]-上的奇函数()f x ，已知当[0,3]x ∈时，()34()x xf x a a R =+⋅∈，则()f x 在[3,0]-上的解析式为______． 20．若点12,2⎛⎫ ⎪⎝⎭）既在()2ax b f x +=图象上，又在其反函数的图象上，则a b +=____三、解答题21．已知2256x ≤且21log 2x ≥，求函数22()log log 22x xf x =⋅的最大值和最小值． 22．已知函数f (x )＝4x －2·2x ＋1－6，其中x ∈[0,3]． (1)求函数f (x )的最大值和最小值；(2)若实数a 满足f (x )－a ≥0恒成立，求a 的取值范围． 23．已知函数()()22log f x x a x =+-是R 上的奇函数，()2g x t x a =--.（1）求a 的值；（2）记()f x 在3,24⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值为M ，若对任意的3,24x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，()M g x ≤恒成立，求t 的取值范围.24．已知函数()f x 的定义域是(0,)+∞，且满足()()()f xy f x f y =+，1()12f =，如果对于0x y <<，都有()()f x f y >． （1）求()1f 的值；（2）解不等式()(3)2f x f x -+-≥-.25．设函数f （x ）是增函数，对于任意x ，y ∈R 都有f （x+y ）=f （x ）+f （y ）． （1）求f （0）；（2）证明f （x ）是奇函数；（3）解不等式f （x 2）—f （x ）＞f （3x ）．26．已知集合A ＝{x |x 2－2x －3≤0}，B ＝{x |x 2－2mx ＋m 2－4≤0，m ∈R ，x ∈R}． (1)若A ∩B ＝{x |0≤x ≤3}，求实数m 的值； (2)若A ⊆∁R B ，求实数m 的取值范围．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【解析】分析：由题意首先进行并集运算，然后进行交集运算即可求得最终结果. 详解：由并集的定义可得：{}1,0,1,2,3,4A B ⋃=-， 结合交集的定义可知：(){}1,0,1A B C ⋃⋂=-. 本题选择C 选项.点睛：本题主要考查并集运算、交集运算等知识，意在考查学生的计算求解能力.2．B解析：B 【解析】 试题分析：当时，，此时成立，当时，，当时，，即，当时，，当时，恒成立，所以a 的取值范围为，故选B.考点：集合的关系3．D解析：D 【解析】试题分析：函数f （x ）=2x 2–e |x|在[–2,2]上是偶函数，其图象关于轴对称，因为，所以排除选项；当时，有一零点，设为，当时，为减函数，当时，为增函数．故选D4．D解析：D 【解析】解：函数y=tanx+sinx-|tanx-sinx|=2tan ,tan sin {2sin ,tan sin x x x x x x<≥分段画出函数图象如D 图示， 故选D ．5．D解析：D 【解析】由f (x )为奇函数可知，()()f x f x x--＝()2f x x<0.而f (1)＝0，则f (－1)＝－f (1)＝0. 当x >0时，f (x )<0＝f (1)； 当x <0时，f (x )>0＝f (－1)． 又∵f (x )在(0，＋∞)上为增函数， ∴奇函数f (x )在(－∞，0)上为增函数． 所以0<x <1，或－1<x <0. 选D点睛：解函数不等式：首先根据函数的性质把不等式转化为(())(())f g x f h x >的形式，然后根据函数的单调性去掉“f ”，转化为具体的不等式(组)，此时要注意()g x 与()h x 的取值应在外层函数的定义域内6．A解析：A 【解析】 【分析】由题意首先确定函数g (x )的解析式，然后结合函数的解析式即可确定函数的图像. 【详解】∵函数()(1)xxf x k a a -=--(a >0,a ≠1)在R 上是奇函数，∴f (0)=0，∴k =2， 经检验k =2满足题意， 又函数为减函数， 所以01a <<， 所以g (x )=log a (x +2)定义域为x >−2，且单调递减， 故选A . 【点睛】本题主要考查对数函数的图像，指数函数的性质，函数的单调性和奇偶性的应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.7．D解析：D 【解析】 【分析】 【详解】()f x 是奇函数，故()()111f f -=-=- ；又()f x 是增函数，()121f x -≤-≤，即()(1)2(1)f f x f -≤-≤ 则有121x -≤-≤ ，解得13x ≤≤ ，故选D.【点睛】解本题的关键是利用转化化归思想，结合奇函数的性质将问题转化为()(1)2f f x -≤-(1)f ≤，再利用单调性继续转化为121x -≤-≤，从而求得正解.8．C解析：C 【解析】 【分析】先判断函数的定义域关于原点对称，再由奇偶性的定义判断奇偶性，根据复合函数的单调判断其单调性，从而可得结论. 【详解】 由100100x x +>⎧⎨->⎩，得(10,10)x ∈-，故函数()f x 的定义域为()10,10-，关于原点对称，又()()lg 10lg(10)()f x x x f x -=-++=，故函数()f x 为偶函数， 而()()2lg(10)lg(10)lg 100f x x x x=++-=-，因为函数2100y x =-在()0,10上单调递减，lg y x =在()0,∞+上单调递增， 故函数()f x 在()0,10上单调递减，故选C. 【点睛】本题主要考查函数的奇偶性与单调性，属于中档题. 判断函数的奇偶性首先要看函数的定义域是否关于原点对称，如果不对称，既不是奇函数又不是偶函数，如果对称常见方法有：（1）直接法， ()()f x f x -=±(正为偶函数，负为减函数)；（2）和差法，()()0f x f x -±=（和为零奇函数，差为零偶函数）；（3）作商法，()()1f x f x -=±（1 为偶函数，1- 为奇函数） .9．C解析：C 【解析】由题意：()221log log 55a f f ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭， 且：0.822log 5log 4.12,122>><<，据此：0.822log 5log 4.12>>，结合函数的单调性有：()()()0.822log 5log 4.12f f f >>，即,a b c c b a >><<.本题选择C 选项.【考点】 指数、对数、函数的单调性【名师点睛】比较大小是高考常见题，指数式、对数式的比较大小要结合指数函数、对数函数，借助指数函数和对数函数的图象，利用函数的单调性进行比较大小，特别是灵活利用函数的奇偶性和单调性数形结合不仅能比较大小，还可以解不等式.10．B解析：B 【解析】 【分析】由函数的解析式可得函数f （x ）＝x 2﹣4x +5＝（x ﹣2）2+1的对称轴为x ＝2，此时，函数取得最小值为1，当x ＝0或x ＝4时，函数值等于5，结合题意求得m 的范围． 【详解】∵函数f （x ）＝x 2﹣4x +5＝（x ﹣2）2+1的对称轴为x ＝2，此时，函数取得最小值为1， 当x ＝0或x ＝4时，函数值等于5．且f （x ）＝x 2﹣4x +5在区间[0，m ]上的最大值为5，最小值为1， ∴实数m 的取值范围是[2，4]， 故选：B ． 【点睛】本题主要考查二次函数的性质应用，利用函数图像解题是关键，属于中档题．11．A解析：A 【解析】试题分析：∵函数2()5xy =是减函数，∴c b >；又函数25y x =在(0,)+∞上是增函数，故a c >.从而选A考点：函数的单调性.12．C解析：C 【解析】 【分析】令函数4()log 7xf x x =+-，则函数()f x 是()0,∞+上的单调增函数，且是连续函数，根据(5)(6)0f f ⋅<，可得函数4()log 7xf x x =+-的零点所在的区间为()5,6，由此可得方程4log 7x x +=的解所在区间． 【详解】令函数4()log 7xf x x =+-，则函数()f x 是()0,∞+上的单调增函数，且是连续函数.∵(5)0f <，(6)0>f ∴(5)(6)0f f ⋅<∴故函数4()log 7xf x x =+-的零点所在的区间为()5,6∴方程4log 7x x +=的解所在区间是()5,6 故选C. 【点睛】零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[,]a b 上是连续不断的曲线，且()()0f a f b ⋅<，还必须结合函数的图象与性质（如单调性、奇偶性）才能确定函数有多少个零点.二、填空题13．－8【解析】∵f(x)定义域为3＋a5且为奇函数∴3＋a ＝－5∴a ＝－8点睛：利用奇偶性求值的类型及方法(1)求函数值：利用奇偶性将待求值转化到已知区间上的函数值进而得解(2)求参数值：在定义域关于解析：－8【解析】 ∵f(x)定义域为[3＋a ，5]，且为奇函数， ∴3＋a ＝－5，∴a＝－8.点睛：利用奇偶性求值的类型及方法(1)求函数值：利用奇偶性将待求值转化到已知区间上的函数值，进而得解．(2)求参数值：在定义域关于原点对称的前提下，根据奇函数满足f(－x)＝－f(x)或偶函数满足f(－x)＝f(x)列等式，根据等式两侧对应相等确定参数的值．特别要注意的是：若能够确定奇函数的定义域中包含0，可以根据f(0)＝0列式求解，若不能确定则不可用此法．14．【解析】【分析】变换得到代入化简得到得到答案【详解】则故故答案为：【点睛】本题考查了指数对数变换换底公式意在考查学生的计算能力【解析】 【分析】变换得到2log a m =，5log b m =，代入化简得到11log 102m a b+==，得到答案. 【详解】25a b m ==，则2log a m =，5log b m =，故11log 2log 5log 102,m m m m a b+=+==∴=【点睛】本题考查了指数对数变换，换底公式，意在考查学生的计算能力.15．-11【解析】【分析】根据定义域基本要求可得不等式组解不等式组取交集得到结果【详解】由题意得：1-x2≥02cosx -1>0⇒-1≤x≤1cosx>12cosx>12⇒x ∈-π3+2kππ3+2kπ 解析：【解析】 【分析】根据定义域基本要求可得不等式组，解不等式组取交集得到结果. 【详解】 由题意得：，函数定义域为：【点睛】本题考查具体函数定义域的求解问题，关键是根据定义域的基本要求得到不等式组.16．【解析】【分析】利用换元法求解析式即可【详解】令则故故答案为【点睛】本题考查函数解析式的求法换元法是常见方法注意新元的范围是易错点 解析：2()23(1)f x x x x =--≥【解析】 【分析】利用换元法求解析式即可 【详解】 令11t x =≥，则()21x t =-故()()214f t t =--=223(1)t t t --≥ 故答案为2()23(1)f x x x x =--≥ 【点睛】本题考查函数解析式的求法，换元法是常见方法，注意新元的范围是易错点17．【解析】【分析】画出分段函数的图像由图像结合对称性即可得出【详解】函数的图像如下图所示不妨设则关于直线对称所以且满足则故的取值范围是【点睛】解决本题的关键是要会画分段函数的图像由图像结合对称性经过计解析：11(,6)3【解析】 【分析】画出分段函数的图像，由图像结合对称性即可得出。
2020-2021学年北师大版高一数学第二学期期中考试模拟试题及答案解析
（新课标）最新北师大版高中数学必修四高一年级期中考试数学试题一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．若α是第一象限角，则下列各角中是第四象限角的是( )A ．90°－αB ．90°＋αC ．360°－αD ．180°＋α2．－630°化为弧度为( )A ．－7π2 B.7π4 C ．－7π16D ．－7π43．若α是第二象限角，则点P(sin α，cos α)在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限4．已知向量a ＝(4,2)，向量b ＝(x,3)，且a ∥b ，则x ＝( ) A ．9 B ．6 C ．5 D ．35．在△ABC 中，D 是BC 的中点，则AB AC +=u u u r u u u r（ ）A ．2AD u u u rB ．2DA u u u rC ．2BD u u u r D ．2DB u u u r 6．在[0,2π]上，满足sin x ≥22的x 取值范围是( ) A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，3π4 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，5π4D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π4，π 7．函数y ＝cos x －2，x ∈[－π，π]的图像是( )8．已知向量a ＝(1，k)，b ＝(2,2)，且a ＋b 与a 共线，那么a ·b 的值为( )A ．1B ．2C ．3D ．49．已知向量a ＝(1，n)，b ＝(－1，n)，若2a －b 与b 垂直，则|a|等于( )A ．1 B. 2 C ．2 D ．410．已知向量||=a ，||=b , 3⋅=-a b ，则a 与b 的夹角是( )A ．150︒B ．120︒C ．60︒D ．30︒11．直线y ＝a 与y ＝tan x 的图像的相邻两个交点的距离是( )A.π2 B ．π C ．2π D ．与a 的值的大小有关 12．要得到y ＝sin 12x 的图像，只需将函数y ＝sin(12x －π3)的图像( )A ．向左平移π3个单位 B ．向右平移π3个单位 C ．向左平移23π个单位 D ．向右平移23π个单位二、填空题(本大题4个小题，每小题5分，共20分，各题答案必须填写在答题卡上，只填结果，不要过程）13．锐角α的终边交单位圆于点P(12，m)，则sin α＝________．14．tan ⎝⎛⎭⎪⎫－11π3＝________. 15． 已知向量(1,3)=a ，向量(2,1)=-b ，向量(1,1)=c ．若(,)=∈R c a +b λμλμ，则=λμ_____． 16．在△ABC 中，已知|AB u u u r |＝|AC u u u r |＝2，且AB u u u r ·AC u u ur ＝2，则这个三角形的形状为____________．三、解答题：(本大题6个小题，共70分，各题解答必须答在答题卡上，必须写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程) 17、（本题满分12分）已知角α的终边过点P(1，3)． (1) 求sin(π－α)－sin(π2＋α)的值；(2) 写出满足2cos x －tan α>0的角x 的集合S.18、（本题满分10分）计算3sin (－1200°)tan 113π－cos 585°·tan(－374π)19、（本题满分12分）已知函数f(x)＝sin(2x＋π3)，（x∈R）(1) 求f(x)的最大值M、最小值N和最小正周期T；(2) 由y＝sin x的图像经过怎样的变换得到y＝f(x)的图像；(3) 写出函数图像的对称轴方程和对称中心坐标．20、（本题满分12分）已知向量a＝(1,1)，向量b＝(1,0)，向量c满足a·c＝0，且|a|＝|c|，b·c>0，求向量c的坐标．21、（本题满分12分）已知向量a＝(1,0)，向量b＝(2,1)．(1) 求|a＋3b|；(2) 当k为何实数时，ka－b与a＋3b平行？平行时它们是同向还是反向？22、（本题满分12分）如右图，等腰直角三角形ABC 中，AC ＝BC ，D 是BC 的中点，E 是AB 上 的点，且AE ＝2BE ，求证：AD ⊥CE.高一年级期中考试数学试题参考答案二、 选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案CADBABADCBBC二、填空题(本大题4个小题，每小题5分，共20分）13、32 14、3 15、3216、等边三角形 三、解答题：(本大题6个小题，共70分，各题解答必须答在答题卡上，必须写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程)17、（满分12分）解：(1)∵角α的终边过点P(1，3)，可设x ＝1，y ＝3，则r ＝2，∴sin α＝32，cos α＝12. ∴sin(π－α)－sin(π2＋α)＝sin α－cos α＝3－12. …………6分(2) 由2cos x －tan α>0及tan α＝3，得cos x>32， 由y ＝cos x 的图像可得x 的集合为：S ＝{x|－π6＋2k π<x<π6＋2k π，k ∈Z}．…………12分18．（满分10分）解：原式＝－3sin 120°tan 2π3＋cos 225°tan π4＝－3sin 60°－tanπ3＋(－cos 45°)·tan π4＝3·323＋(－22)×1＝32－22. …………10分19、（满分12分）解： (1) 由已知可得M ＝1，N ＝－1，T ＝2π2＝π. …………2分(2) 变换步骤是：① 把y ＝sin x 的图像上所有的点向左平行移动π3个单位长度，得函数y ＝sin(x ＋π3)的图像；② 把函数y ＝sin(x ＋π3)的图像上所有点的横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变)，得函数y ＝sin(2x ＋π3)的图像． …………6分(3) 令2x ＋π3＝k π＋π2(k ∈Z)，得x ＝k π2＋π12(k ∈Z)，即对称轴方程是x ＝k π2＋π12(k ∈Z)．令2x ＋π3＝k π(k ∈Z)，得x ＝k π2－π6(k ∈Z)，即对称中心是(k π2－π6，0)(k ∈Z)． ……12分20、（满分12分）解：设c ＝(x ，y)．由a ·c ＝0，得x ＋y ＝0.…… ①再由|a|＝|c|，得x 2＋y 2＝2. ………… ② …………4分由①②，得⎩⎨⎧ x ＝1，y ＝－1，或⎩⎨⎧x ＝－1，y ＝1. …………8分又∵b ·c>0，∴x>0， ∴c ＝(1，－1)． …………12分 21、（满分12分）解：(1) ∵a ＋3b ＝(1,0)＋3(2,1)＝(7,3)， ∴|a ＋3b|＝72＋32＝58. ……4分(2) ka －b ＝k(1,0)－(2,1)＝(k －2，－1)，a ＋3b ＝(7,3)．∵(ka －b)∥(a ＋3b)，∴7×(－1)＝(k －2)×3. 解得k ＝－13， …………8分∵ka －b ＝－13(a ＋3b)，∴两向量反向． …………12分22、（满分12分）证明：如右图，以C 为坐标原点，以CA 、CB 所在的直线为x 轴、y 轴建立坐标系，设A (a,0)，∵AC ＝BC ， ∴B (0，a)． ……4分∵D 为BC 的中点，∴D ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a 2.∴AB u u u r＝(0，a)－(a,0)＝(－a ，a)． ……6分23CE CA AE CA AB =+=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ＝(a,0)＋23(－a ，a)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3，23a .AD u u u r ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a 2－(a,0)＝⎝⎛⎭⎪⎫－a ，a 2. …………10分∴AD CE ⋅u u u r u u u r ＝⎝⎛⎭⎪⎫－a ，a 2·⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3，23a ＝－a ×a 3＋a 2×23a ＝－a 23＋a23＝0.∴AD ⊥CE. ………… 12分。
2020-2021学年高一上期期末数学模拟试卷(新高考)(1)(解析版)
2020-2021学年高一上期期末数学模拟试卷（新高考）（一）（解析版）（测试时间:120分钟,满分:150分）一. 单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的.1. 已知集合 U = R ,集合 A = {x I x 2- 3x + 2 > 0},则 C L .A=()A. (12)B. [12]C. (-2, -1 )【答案】B【解析】因为A=(YO ,1)U(2，+OO ), U = 以CM = [1,2]・故选：B【点睛】本题考査了一元二次不等式的解法，考查了集合补集的圮义，属于基础题.2■设XGR,贝旷/>8"是牛卜2”的A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】求解三次不等式和绝对值不等式，据此即可确怎两条件的充分性和必要性是否成立即可. 详解:求解不等式十>8可得x>2.求解绝刈门人养代卜卜22・据此可詹严分>8"是叫1>2"的充分而不必要条件•本题选择A 选项.【点睛】本题主要考查绝对值不等式的解法，充分不必要条件的判断等知识，意在考查学生的转化能 力和计算求解能力属于基础题.始边与x 轴的非负半轴重合，终边上一点A （2sina,3）,贝ijcosa =1 B ・ --2【答案】A得沁洛或—2（舍去）故选A【点睛】本题考査三角函数定义及同角三角函数基本关系式，是基础题・4 •已知c = log5 2, b = log 7 2 , c = 0・5“，则⑴S c 的大小关系为(3.已知角&的顶点为坐标原点, 【解析】由三角函数定义得 tana =---- 2sinasina EPcosa 2sina，得 3cosa = 2sin 2a = 2(1 -cos'a),解 A. ly<a<c B. a<b<cC. c<h<aD. c<a<b【答案】A【解析】因为« = log s2 = —> Z7 = log72 = —, 0<ln2<ln5<ln7,所以b<a<\.In 5 6 In 7所以c = 0.5-2 >0.5° =1 '所以bvovlvc.故选:A.【点睛】本题考查了对数式、指数式的大小比较，考査了运算求解能力与逻辑推理能力，属于基础题.1 35.已知./U)是泄义在上的偶函数，且当XGC-0O, 0］时，/(x) = 2r+-,则/(log2］)=()A. 乂B・1 C・—D・—27 11【答案】B【解析】log2>0, /(log2= /(-log2^) = /(log2+ 7 = T + 7 = 1 * 故选:厶乙乙 D D J D【点睛】本题考查函数的奇偶性，这类问题在计算函数值时通常由奇偶性的怎义化自变呈为对称区间的值，然后利用已知解析式计算•属于基础题.6•将函数/(x) = sin(2x + 0)(O<0V/r)的图象向右平移巴个单位长度后得到函数g(x) = sin(2x+ ?)4 6的图象，则函数/(X)的一个单调减区间可以为( )A ［-A竺］B ［-壬竺］ c ［-上竺］ D ［-岂］•12,12 •6, 6 * 3, 6 • 6, 3【答案】A【解析】山』知得f(x) = sin(2x + ©)(0 v卩v ”)向右平移更个单位长度得到= sin(2x +卩- ,4 2 所以<p-^=-+2k^尸2/br +羊(0<0<兀)，:牛斗./(x) = sin(2x + —). /(x)的单调减2 63 3 3区间是2k7r + -7r<2x + — <2k7r + — 7r t即炽一丄；+丄A选项符合题意2 3 2 12 12【点睛】本题考査三角函数图像与性质，属于基础题.7.已知不等式(x+y)［丄+匕$9对任意实数％、$恒成立，则实数“的最小值为() \x y JA. 8B. 6C. 4D. 2【答案】C【解析】•••(x+y) - + - =- + - + a +1・a y) y x若AyvO,则2<0,从而- + - + « +1无最小值，不合乎题意；若xy>0.则上>0, ->0. x y x % ya T v①lia<0时，- + - + « +1无最小值，不合乎题意; y x②当a = 0时，—+ - + " + 1 =丄 + 1>1,贝Ij(x+y) - + -1^9不恒成立; y x x J y)当且仅当y = 4^x 时，等号成立.所以，(需+ 1)'\9,解得a24,因此，实数a 的最小值为4•故选：C.【点睛】本题考査基本不等式恒成立问题，一般转化为与最值相关的不等式求解，考查运算求解能力, 属于中等题.8•若函数八切是泄义在R 上的偶函数，对任意xwR,都有/(x — l) = /(x + l),且当xe ［0J ］时,/(x) = 2x-l,若函数g(x) = /(x) — log,x + 2) (a >\)在区间(73)恰有3个不同的零点,则实数a 的取值范围是()A. (1,3)B. (3,5)C. (3,5]D. (1,5]【答案】C【解析】由题意，函数/(劝是左义在R 上的偶函数，当兀丘［0,1］时，/(x) = 2v-l . 则当“[一1,0]时,则-xe[04],函数/(x) = /(-x) = 2"x-l,乂山对任总xwR ・ Wf/(x-l) = /(x+l),则/(兀)=/(兀+2) •即周期为2, 又由函数^(x) = /(x)-log/x + 2) (a>l)在区间(—1,3)恰有3个不同的零点,即函数y = /(X)与)y log.(x+2)的图象在区间(-1,3) ±有3个不同的交点，又由/(1) = /(3) = L 则满足log fl (l + 2)<l 且log“(3 + 2)ni,解得3<*5, 即实数a 的取值范围是(3,5］.故选:C.【点睛】本题主要考査了函数与方程的综合应用，其中解答中根据函数的奇偶性得到函数的解析式, 以及求得函数的周期，再集合两个函数的图彖的性质列出不等式是解答的关键，着重考査了转化思想, 以及推理与运算能力，属于中档试题.当a> 0时, (W)〔九丿 £ =竺+上+ ° +空2+ a +1 = a + 2\/a +1 =二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分・在每小题给出的选项中，有多项符合题目 要求,全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分.9.已知函数/(x) = sin(3x + ^) ] —的图象关于直线x =-对称，贝ij () I 22 丿 4C.若|/(州)一/(花)| = 2,则对的最小值为彳D.函数f(x)的图象向右平移中个单位长度得到函数y = -cos3x 的图象【答案】AC【解析】因为/(x) = sin(3x + ^)的图象关于直线x =-对称，所以3x- +(p = - + k7r(keZ)4 4 2得(p =-巴+ k 兀,keZ .因为-—<(p< —，所以k=O,(p = -—，所以/(x) = sinj4 2 2 4 I 4 丿正确：对于 C ：因为/W nux =l, /(-v)min =-l,又因为|/(^)-/(^)| = 2,所以|A- -X 2| 的最小值为 半个周期，即-x- = -9故选项C 正确：3 2 3对于D ：函数/(X)的图象向右丫移乙个小位长度牟’4【点睛】本题主要考査了利用三角函数的对称轴求函数解析式，考査了三角函数平移变换、三角函数 的周期.单调性、最值，属于中档题(7T )/7t「7t(7t \x + — = sin 3=sin 3x .所以 / x + — 1 12丿12； 4 J I 12丿对于A ： f 为奇函数成立，故选项A 正为奇函数B.函数/(X)在 令，彳 上单调递增对于 B ： xe —时，3x —12 3丘0,匸~，函数f(x)在[存?|上不是单调函数：故选项B 不71= sin(3x-/r) = -sin 3x ■ 故选项D 不正确：故选：ACA. \/a >yfbB. e a <e b (^^2.718)C. (sin&+cos&)“ v(sin& + cos&『(&是第一彖限角)D. ln("~ +1) v ln(/r+1)【答案】BC【解析】⑺卩］ >［-］知：.•.亦<诉，e a<e h，即A 错误，B 正确：12 丿 \ 2 >sin& + cos& = >/Jsin(& + —)丨一<& + = < —，即 lvsin& + cos&5血，则仃4 4 4 4(sin&+COS&)" v(sin8 + cos&y ,故C 正确：ln(^2+1),In(Z?2+ 1)的大小不确怎，故 D 错误. 故选：BC【点睛】思路点睛：注意各选项函数的形式，根据对应函数的单调性比较大小.1、 如：单调增函数：2、 对于sin0+COS&,根据&所在象限确定貝范国即可应用/的单调性判赫人小；3、 由]a <b 无法确^a 2+l,b 2+i 的大ln(a 2+l),ln(/>2+l)的大小也无法确泄•属于基础题. 11 •设“>1, b>l,且“b — (d + b) = l,那么( )C. db 有最大值3 + 2^2・D."有最小值3 + 2丁！・【答案】AD【解析】va>\, b>\, :-a + b^2^，当a = b 时取等号，・•・\ = ab-(a + b)«b-2屈，解得血+1,・•・+・・・"有最小值3 + 2血；・・・ 火(出 f ,当 a =b 时取等号，/■ 1 = - (a + /?)^(—)2 - (a + b),・・・(“ + 〃)2一4("+ 〃彥4，22..[(“ + 历-2穆8,解得-2/2屈 即o + ^2(V2+l), :,a + b 有最小值2(72 + 1).故选：AD . 【点睛】本题考査了基本不等式在求最值时的应用，考査了计算能力，属于中档题.12•泄义：在平而直角坐标系xOy 中，若存在常数(p((p>Z 使得函数y = f(x)的图象向右平移0个 单位长度后，恰与函数y = gM 的图象重合，则称函数y = /(x)是函数y = g(x)的“原形函数J 下A. a+b 有最小值2(72 + 1)B. a+b 有最大值(©+1)2 10.若导>则下列关系式中一左成立的是(列四个选项中，函数y = f(x)是函数y = g(x)的“原形函数”的是A ・ /(x) = x 2 > g(x) = x'-2x + lB ・ /(x) = sinx , g(x) = cosx X1 1C ・ /(x) = lnx, g(x) = ln 牙D ・ /(x) = (—)r t g(x) = 2({)‘【答案】AB【解析】选项A,函数f(x) = x 2的图象向右平移1个单位得函数g(x) = x 2-2x+l 的图象，函数y = /(x)是函数y = gW 的''原形函数”:选项B,函数/(x) = sinx 的图象向右平移竺个单位得函数g(x) = cosx 的图象，函数y =于(兀)是 2 函数y = g «的“原形函数”:g(x)=In —选项C,函数/(x) = lnx 的图象向卜T •移ln2个单位得函数 2的图象，函数J = fM 不是函数y = g(x)的“原形函数”:选项D,函数/W = (-)x 的图象纵坐标扩大为原来的两倍得函数g(x) = 2(-)x的图象，函以y = f(x)不是函数y = g(x)的“原形函数” •故AB 符合题意.【点睛】本题考查了函数图象的变换，属于中档题.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，多空题，第一空2分，第二空3分，共20分.13 •下列命题中，真命题的序号 __ ・要条件：④“d = 2”是“函数f(x) = \x-a\在区间［2,乜)上为增函数”的充要条件.【答案】④.【解析】对⑴，・・・sinx + cosx = >sin(x +兰)故①为假命题：4刈2・命电〃：丄<()•佔 fOwcl , h/|W^:{.vLv<0 或 21}・!：. — >() .•x-lx-l{x 卜SO 或r>l},故②为假命题：对③•当x = hy = O 时，满足肩但lgx>lgy 不成立.故③为假命① Bx e R 、sin x + cos x =長; x②若〃：一vO,则-i"：x-l >0；③lgx>lgy 是的充对④.根据正弦定理 —=-^-可得，边“Ab 是sinA>sinB 的充鉴条件，故为真命题： sin A sin B 故答案为：④.【点睛】本题考査了命题的貞假性、充分条件与必要条件以及命题的否怎，涉及三角函数的性质、分 式不等式的性质、指数对数的性质以及函数的单调性逐条分析即可得出答案.属于基础题.14.已知函数f(x) = x 2-\x\t 若f log 3— </(2),则实数川的取值范围是_______________________ • f g \【答案】一了8\ 9丿【解析】••• xeR,f(-x) = (-x)2-\-x\ = F _卜| = y(x),所i^f(x)=x l-\x\ 为偶函数，作图如下：sin - a cos 2a=一;一cosy + cos 匕— =_3P + 1_ = ._ m.故答案为：4：sin' a sin a cos a 2cos~ a tan 2 tz + taniZ-2 22+2-2 44由图可得小吧岛卜/(2)=>一2<1喝岛V2"<32Q 因此3- <m + \<32/.--</H<8 故答案为:【点睛】本题考査根据函数图象解不等式.考査数形结合思想方法，属基础题.15.已知un“2,则沁坯竺sin a-cos asin 2 a + sin a cos a-2 cos 2a【答案］(1). 4«2i.-4【解析】 sin a 2 cos a sina + 2cosa =cos a cos a sin a- cos a sin a _ cos a tan a+ 2 2 + 2------ = =4 , tan a -1 -- 2-1cos a cos asin 2tz + 2cos 2asin 2 a + sin a cos a-2 cos 2 a sin 2 a + sin a cos a-2 cos 2a-- 5 -- 1----- i --- _ ---- -cos' a cos' a cos~ a【点睛】本题考査正弦余弦齐次分式的讣算，一般利用弦化切的思想进行il•算，考査计算能力，属于基础题.16.已知函数/(x) = 2cosx (xe[0,^])的图象与函数g(x) = 3kmx的图象交于A，3两点，则\OAB (0为坐标原点)的而积为 _______________ •【答案】—2【解析】函数y=2cos.x- (xE[0, TT])和函数y=3taiu的图象相交于A、B两点,O为坐标原点,由2cos.v=3taiu\ 可得2cos"=3sinx・即2sin2.v+3siiiv - 2=0,("I siav= —, 或sinr=・2 •舍去)，vG[O t町，/.A =—, 或牙=雲:2 6 6.•• A : —■ y/3〉、B ' -—•—，I川i 出图象如图所示；6 6根据函数图象的对称性可得AB的中点C 工、0).2・•・AOAB的而积等于△OAC•的而枳加上AOCB的而枳，等丁丄・OC•网+ —OC*|yd=—・00以-yd= —#2 = —it,故选D.2 2 2 2 2 2【点睛】本题主要考査了三角函数的图象与性质的应用问题，是中档题.四、解答题：本题共6小题，共70分。
2020-2021学年度高一下数学期末全真模拟卷(四)解析版
B. A 与 B 是互斥事件 D. A与B不相互独立
【答案】C 【分析】 本题考查了相互独立事件与互斥、对立事件之间的判定问题，是基础题． 相互独立事件是一个事件对另一个事件发生的概率没有影响；互斥事件是一个事件发生，另一个事件就不 发生，互斥事件不一定是对立事件，对立事件一定是互斥事件；由相互独立事件以及互斥、对立事件的概 念判定选项中的正确命题． 【解答】 解：A 中，A 与 B 是相互独立事件，但 A 与 B 不一定是对立事件，∴A 错误； B 中，A 与 B 是相互独立事件，但是 A 与 B 不一定是互斥事件，∴B 错误； C 中，当 A 与 B 是相互独立事件时，A 与B是相互独立事件，∴C 正确；
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【答案】ABD
【分析】
本题考查了复数代数形式的乘除运算，复数的代数表示及几何意义，复数的概念，复数的模，是基础题．
把已知等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简，求出复数 z，根据共轭复数概念得到 ，即可判
断．
【解答】解：∵ (1 + i) = 3 + i，
∴
=
3+ 1+
b
+
c
C.
−
1 2
a
−
1 2
b
+
c
B.
1 2
a
+
1 2
b
+
c
D.
1 2
a
−
1 2
b
+
c
【答案】A
【分析】
本题考查了空间向量的加法，三角形法则，属基础题题．
利用空间向量的三角形法则，BM = BC + CC1 + C1M，结合平行六面体的性质分析解答．
2020-2021学年北师大版高中数学选修1-1全册模块综合测评及答案解析
（新课标）最新北师大版高中数学选修1-1模块综合测评(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下列说法中正确的是( )A．一个命题的逆命题为真，则它的逆否命题一定为真B．“a>b”与“a＋c>b＋c”不等价C．“a2＋b2＝0，则a，b全为0”的逆否命题是“若a，b全不为0，则a2＋b2≠0”D．一个命题的否命题为真，则它的逆命题一定为真【解析】否命题和逆命题是互为逆否命题，有着一致的真假性．【答案】 D2．设a，b∈R，则“(a－b)·a2<0”是“a<b”的( )A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解析】由(a－b)a2<0⇒a≠0且a<b，∴充分性成立；由a<b⇒a－b<0，当0＝a<b时⇒/(a－b)·a2<0，必要性不成立．【答案】 A3．曲线y＝x3＋11在点P(1,12)处的切线与y轴交点的纵坐标是( )A．－9 B．－3C．9 D．15【解析】y′＝3x2，故曲线在点P(1,12)处的切线斜率是3，故切线方程是y－12＝3(x－1)，令x＝0得y＝9.【答案】 C4．如果命题“﹁p且﹁q”是真命题，那么下列结论中正确的是( )【导学号：63470097】A．“p或q”是真命题B．“p且q”是真命题C．“﹁p”为真命题D．以上都有可能【解析】若“﹁p且﹁q”是真命题，则﹁p，﹁q均为真命题，即命题p、命题q都是假命题．【答案】 C5．下列命题的否定为假命题的是( )A．对任意x∈R，都有－x2＋x－1<0成立B．对任意x∈R，都有|x|>x成立C．对任意x，y∈Z，都有2x－5y≠12成立D．存在x∈R，使sin2x＋sin x＋1＝0成立【解析】对于A选项命题的否定为“存在x∈R，使－x2＋x－1≥0成立”，显然，这是一个假命题．【答案】 A6．抛物线y2＝12x的准线与双曲线x29－y23＝1的两条渐近线所围成的三角形面积等于( )A．3 3 B．2 3 C．2 D. 3【解析】抛物线y2＝12x的准线为x＝－3，双曲线的渐近线为y＝±33 x，则准线与渐近线交点为(－3，－3)、(－3, 3)．∴所围成三角形面积S＝12×3×23＝3 3.【答案】 A7．过抛物线x2＝4y的焦点F作直线，交抛物线于P1(x1，y1)，P2(x2，y2)两点，若y1＋y2＝6，则|P1P2|的值为( )A．5 B．6C．8 D．10【解析】抛物线x2＝4y的准线为y＝－1，因为P1(x1，y1)，P2(x2，y2)两点是过抛物线焦点的直线与抛物线的交点，所以P1(x1，y1)，P2(x2，y2)两点到准线的距离分别是y1＋1，y2＋1，所以|P1P2|的值为y1＋y2＋2＝8.【答案】 C8．已知F1，F2是椭圆x216＋y23＝1的两个焦点，P为椭圆上一点，则|PF1|·|PF2|有( )【导学号：63470098】A．最大值16 B．最小值16C．最大值4 D．最小值4【解析】由椭圆的定义知a＝4，|PF1|＋|PF2|＝2a＝2×4＝8.由基本不等式知|PF1|·|PF2|≤⎝⎛⎭⎪⎫|PF1|＋|PF2|22＝⎝⎛⎭⎪⎫822＝16，当且仅当|PF1|＝|PF2|＝4时等号成立，所以|PF1|·|PF2|有最大值16.【答案】 A9．如图1所示，四图都是在同一坐标系中某三次函数及其导函数的图像，其中一定不正确的序号是( )图1A．①②B．③④C．①③D．②④【解析】因为三次函数的导函数为二次函数，其图像为抛物线，观察四图，由导函数与原函数的关系可知，当导函数大于0时，其函数为增函数；当导函数小于0时，其函数为减函数，由此规律可判定③④不正确．【答案】 B10．已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，若在双曲线的右支上存在一点P，使得|PF1|＝3|PF2|，则双曲线的离心率e的取值范围为( )A．[2，＋∞) B．[2，＋∞) C．(1,2] D．(1，2] 【解析】由双曲线的定义知，|PF1|－|PF2|＝2a，又|PF1|＝3|PF2|，∴|PF2|＝a.即双曲线的右支上存在点P使得|PF2|＝a.设双曲线的右顶点为A，则|AF2|＝c－a. 由题意知c－a≤a，∴c≤2a.又c>a，∴e＝ca≤2且e>1，即e∈(1,2]．【答案】 C11．设f(x)是一个三次函数，f′(x)为其导函数，如图2所示的是y＝x·f′(x)的图像的一部分，则f(x)的极大值与极小值分别是( )图2A．f(1)与f(－1) B．f(－1)与f(1)C．f(－2)与f(2) D．f(2)与f(－2)【解析】由图像知，f′(2)＝f′(－2)＝0.∵x>2时，y＝x·f′(x)>0，∴f′(x)>0，∴y ＝f(x)在(2，＋∞)上单调递增；同理f(x)在(－∞，－2)上单调递增；在(－2,2)上单调递减．∴y ＝f(x)的极大值为f(－2)，极小值为f(2)，故选C. 【答案】 C12．设斜率为2的直线l 过抛物线y 2＝ax(a ≠0)的焦点F ，且和y 轴交于点A ，若△OAF(O 为坐标原点)的面积为4，则抛物线方程为( )A ．y 2＝±4x B ．y 2＝±8x C ．y 2＝4x D ．y 2＝8x【解析】a>0时，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 4，0，直线l 方程为y ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a 4， 令x ＝0得y ＝－a2.∴S △OAF ＝12·a 4·⎪⎪⎪⎪⎪⎪－a 2＝4.解得a ＝8.同理a<0时，得a ＝－8. ∴抛物线方程为y 2＝±8x.【答案】 B二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把正确答案填在题中的横线上)13．若双曲线x24－y2b2＝1(b>0)的渐近线方程为y＝±12x，则右焦点坐标为________.【导学号：63470099】【解析】由x24－y2b2＝1得渐近线方程为y＝±b2x，∴b2＝12，b＝1，∴c2＝a2＋b2＝4＋1＝5，∴右焦点坐标为(5，0)．【答案】(5，0)14．函数f(x)＝x3－15x2－33x＋6的单调减区间为________．【解析】f′(x)＝3x2－30x－33＝3(x－11)(x＋1)，当x<－1或x>11时，f′(x)>0，f(x)增加；当－1<x<11时，f′(x)<0，f(x)减少．【答案】(－1,11)15．已知命题p：对任意x∈[0,1]，都有a≥e x成立，命题q：存在x∈R，使x2＋4x＋a＝0成立，若命题“p且q”是真命题，则实数a的取值范围是____________.【导学号：63470100】【解析】因为对任意x∈[0,1]，都有a≥e x成立，所以a≥e.由存在x∈R，使x2＋4x＋a＝0成立，可得判别式Δ＝16－4a≥0，即a≤4.若命题“p且q”是真命题，所以p、q同为真，所以e≤a≤4.【答案】[e,4]16．已知椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的右焦点与抛物线C 2：y 2＝4x 的焦点F重合，椭圆C 1与抛物线C 2在第一象限的交点为P ，|PF|＝53.则椭圆C 1的方程为________．【解析】 抛物线C 2的焦点F 的坐标为(1,0)，准线为x ＝－1，设点P 的坐标为(x 0，y 0)，依据抛物线的定义，由|PF|＝53，得1＋x 0＝53，解得x 0＝23.因为点P在抛物线C 2上，且在第一象限，所以y 0＝263.所以点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫23，263.因为点P 在椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1上，所以49a 2＋83b2＝1.又c ＝1，所以a 2＝b 2＋1，联立解得a 2＝4，b 2＝3.所以椭圆C 1的方程为x 24＋y23＝1.【答案】 x 24＋y 23＝1三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)求与⊙C 1：(x ＋1)2＋y 2＝1相外切，且与⊙C 2：(x －1)2＋y 2＝9相内切的动圆圆心P 的轨迹方程．【解】 设动圆圆心P 的坐标为(x ，y)，半径为r ， 由题意得，|PC 1|＝r ＋1，|PC 2|＝3－r ， ∴|PC 1|＋|PC 2|＝r ＋1＋3－r ＝4>|C 1C 2|＝2，由椭圆定义知，动圆圆心P 的轨迹是以C 1，C 2为焦点，长轴长为2a ＝4的椭圆，椭圆方程为x 24＋y 23＝1.18．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝ax 2＋1(a>0)，g(x)＝x 3＋bx.若曲线y ＝f(x)与曲线y ＝g(x)在它们的交点(1，c)处具有公共切线，求a ，b 的值．【解】 f ′(x)＝2ax ，g ′(x)＝3x 2＋b.∵曲线y ＝f(x)与曲线y ＝g(x)在它们的交点(1，c)处具有公共切线，∴⎩⎪⎨⎪⎧f ′(1)＝g ′(1)f (1)＝g (1)， 即⎩⎪⎨⎪⎧ 2a ＝3＋b a ＋1＝1＋b ＝c ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3b ＝3. ∴a ，b 的值分别为3,3.19．(本小题满分12分)已知命题p ：函数f(x)＝x 3＋ax ＋5在区间(－2,1)上不单调，若命题p 的否定是一个真命题，求a 的取值范围．【解】 考虑命题p 为真命题时a 的取值范围，因为f ′(x)＝3x 2＋a ，令f ′(x)＝0，得到x 2＝－a 3，当a ≥0时，f ′(x)≥0，函数f(x)在区间(－2,1)上是增加的，不合题意； 当a<0时，由x 2＝－a3，得到x ＝±－a3，要使函数f(x)＝x 3＋ax ＋5在区间(－2,1)上不单调，则－a3<1或－－a3>－2，即a>－12， 综上可知－12<a<0，故命题p 的否定是一个真命题时，a 的取值范围是a ≤－12或a ≥0. 20．(本小题满分12分)某厂生产某种电子元件，如果生产出一件正品，可获利200元，如果生产出一件次品，则损失100元．已知该厂制造电子元件过程中，次品率p 与日产量x 的函数关系是：p ＝3x4x ＋32(x ∈N ＋)．(1)将该厂的日盈利额T(元)表示为日产量x(件)的函数； (2)为获最大盈利，该厂的日产量应定为多少件？【解】 (1)由题意可知次品率p ＝日产次品数/日产量，每天生产x 件，次品数为xp ，正品数为x(1－p)．因为次品率p ＝3x4x ＋32， 当每天生产x 件时，有x ·3x4x ＋32件次品， 有x ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－3x 4x ＋32件正品． 所以T ＝200x ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－3x 4x ＋32－100x ·3x4x ＋32 ＝25·64x －x 2x ＋8(x ∈N ＋)．(2)T ′＝－25·(x ＋32)(x －16)(x ＋8)2，由T ′＝0，得x ＝16或x ＝－32(舍去)． 当0<x<16时，T ′>0； 当x>16时，T ′<0； 所以当x ＝16时，T 最大．即该厂的日产量定为16件，能获得最大盈利．21．(本小题满分12分)设函数f(x)＝x 2－2tx ＋4t 3＋t 2－3t ＋3，其中x ∈R ，t ∈R ，将f(x)的最小值记为g(t)．(1)求g(t)的表达式；(2)讨论g(t)在区间[－1,1]内的单调性；(3)若当t ∈[－1,1]时，|g(t)|≤k 恒成立，其中k 为正数，求k 的取值范围． 【解】 (1)f(x)＝(x －t)2＋4t 3－3t ＋3，当x ＝t 时，f(x)取得其最小值g(t)，即g(t)＝4t 3－3t ＋3.(2)∵g ′(t)＝12t 2－3＝3(2t ＋1)(2t －1)， 列表如下：由此可见，g(t)在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－2和⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1上单调递增，在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，12上单调递减．(3)∵g(1)＝g ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝4，g(－1)＝g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝2，∴g(t)最大值＝4，g(t)最小值＝2， 又∵|g(t)|≤k 恒成立，∴－k ≤g(t)≤k 恒成立，∴⎩⎪⎨⎪⎧k ≥4，－k ≤2，∴k ≥4.22．(本小题满分12分)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的短轴长为23，右焦点F 与抛物线y 2＝4x 的焦点重合，O 为坐标原点．(1)求椭圆C 的方程；(2)设A 、B 是椭圆C 上的不同两点，点D(－4,0)，且满足DA →＝λDB →，若λ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤38，12，求直线AB 的斜率的取值范围． 【解】 (1)由已知得b ＝3，c ＝1，a ＝2， 所以椭圆的方程为x 24＋y 23＝1.(2)∵DA →＝λDB →，∴D ，A ，B 三点共线，而D(－4,0)，且直线AB 的斜率一定存在，所以设AB 的方程为y ＝k(x ＋4)，与椭圆的方程x 24＋y 23＝1联立得(3＋4k 2)y 2－24ky ＋36k 2＝0， 由Δ＝144k 2(1－4k 2)>0，得k 2<14.设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，y 1＋y 2＝24k3＋4k 2， y 1·y 2＝36k 23＋4k 2，①又由DA →＝λDB →得：(x 1＋4，y 1)＝λ(x 2＋4，y 2)， ∴y 1＝λy 2②将②式代入①式得：⎩⎨⎧(1＋λ)y 2＝24k3＋4k 2，λy 22＝36k23＋4k 2，消去y 2得：163＋4k 2＝(1＋λ)2λ＝1λ＋λ＋2.当λ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤38，12时，h(λ)＝1λ＋λ＋2是减函数，∴92≤h(λ)≤12124， ∴92≤163＋4k 2≤12124，解得21484≤k 2≤536， 又因为k 2<14，所以21484≤k 2≤536，即－56≤k ≤－2122或2122≤k ≤56. ∴直线AB 的斜率的取值范围是 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－56，－2122∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤2122，56.。
2020-2021学年北师大版高一下学期期中考试数学(文)模拟试题及答案解析
最新（新课标）北师大版高中数学高一下学期期中考试试题１、设集合{}1,0,1-=A ，{}x x x B ==2|，则=B A I （ ） A.{}0 B.{}1,0- C.{}1,0 D.{}1,0,1- 2、函数)23(log )(2+=x x f 的值域是 （ ）A.),0(+∞B. ),0[+∞C. ),1(+∞D.),1[+∞ 3、圆22(2)5x y ++=关于原点(0,0)P 对称的圆的方程为 ( ) A. 22(2)5x y -+=B 22(2)5x y +-=C 22(2)(2)5x y +++=D 22(2)5x y ++=4、一个几何体的三视图形状都相同，大小均相等，那么这个几何体不可能是（ ）A.球B. 圆柱C.正方体D.三菱锥5、平行于同一平面的两条直线的位置关系………………………（ ） A ．平行 B ．相交 C ．异面 D ．平行、相交或异面6、如图，正三棱柱111ABC A B C -的各棱长都为2，E F 、分别为AB 、A 1C 1的中点，则EF 的长是（ ） A 2 B3 C5 D77、圆06422=+-+y x y x 的圆心坐标是 （ ）Ａ．），（32 Ｂ．），（32- Ｃ．），（32- Ｄ．），（32--8、已知函数⎪⎩⎪⎨⎧>≤+=1,31,2)(2x x x x x f ，则=))4((f f （ ）A ．43 Ｂ. 1641 C ．18 D. 49、点（2，1）到直线3x -4y + 2 = 0的距离是（ ）A425 B 45 C 254 D 5410、与直线l ：3x －4y ＋5＝0关于x 轴对称的直线的方程为（ ） A 3x ＋4y －5＝0B 3x ＋4y ＋5＝0C －3x ＋4y －5＝0D －3x ＋4y ＋5＝011、圆0422=-+x y x 在点)3,1(P 处的切线方程为（ ） A 023=-+y x B 043=-+y xC 043=+-y xD 023=+-y x12、函数2log (1)y x =+的图象大致是 （ ）第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题（本大题共4小题， 每小题5分，共20分，把答案填在答题卡上）。
2020-2021学年北京师大附中高一上学期期末数学试卷(附答案解析)
2020-2021学年北京师大附中高一上学期期末数学试卷一、单选题（本大题共10小题，共30.0分） 1.设集合M ={x|x 2−2x ≤0}，N ={x|x <1}，则M ∩N =( )A. {x|x <1}B. {x|−2≤x <1}C. {x|0≤x <1}D. {x|−2≤x ≤0}2.已知向量 a ⃗ =(−2,1)，b ⃗ =(x,2)，若a ⃗ ⊥b ⃗ ，则x 的值等于( )A. 1B. −1C. −4D. 43.在△ABC 中，“sinA <cosB ”是“△ABC 为钝角三角形”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件4.为了得到函数y =√2sin(2x +π4)的图象，可以将函数y =√2sin2x 的图象( )A. 向右平移π4个单位 B. 向左平移π4个单位 C. 向右平移π8个单位D. 向左平移π8个单位5.在平面直角坐标系xOy 中，已知四边形ABCD 是平行四边形，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,−2)，AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,1)则AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC⃗⃗⃗⃗⃗ =( ) A. 5B. 4C. 3D. 26.已知函数f(x)=sin2x ，要得到函数g(x)=sin(2x −π4)的图象，只需将y =f(x)的图象( )A. 向左平移π8个单位长度 B. 向右平移π8个单位长度 C. 向左平移π4个单位长度D. 向右平移π4个单位长度7.已知向量a ⃗ =(x −3,2)，b ⃗ =(1,1)，则“x >1”是“a ⃗ 与b ⃗ 夹角为锐角”的( )A. 必要不充分条件B. 充分不必要条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件8.在△ABC 中，已知2ccosC =√3bcosA +√3acosB ，则C 的值为( )A. 30︒B. 60︒C. 60︒或120︒D. 30︒或150︒9. 已知函数，若对任意 2，都有<0成立，则的取值范围是( )A. (0, ]B. (，1)C. (1,2)D. (−1,2)10. 已知函数y ={x 2+1−2x (x >0)(x <0)，使函数值为5的x 的值是( )A. −2B. 2或−52C. 2或−2D. 2或−2或−52二、单空题（本大题共6小题，共30.0分）11. 已知正方形ABCD 的边长为2，若在该正方形内任取一点P ，则使得AP ≤1的概率为______ ． 12. 如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，角α的终边与单位圆交于点A 在第二象限，cosα=−35，则点A 的坐标为______．13. 已知sin(α+45°)=√55，则sin2α= ______ ．14. 已知△ABC 为边长3的正三角形，则AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ = ______ ．15. 设M 是△ABC 内一点,且AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC⃗⃗⃗⃗⃗ =2√3,∠BAC =30∘，定义f(M)=(m,n,p)，其中m 、n 、p 分别是△MBC ，△MCA ，△MAB 的面积，若f(M)=(12,x,y),则1x +4y 的最小值是____________． 16. 在△ABC 中，AB =2，AC =1，BC =√7，D 是边BC 上一点，且DC =2DB ，则AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ = ______ ． 三、解答题（本大题共6小题，共72.0分） 17. 化简： ①cos(α−π2)sin(5π2+α)⋅sin(α−2π)⋅cos(2π−α)②cos 2(−α)−tan(360°+α)sin(−α)．18. 已知α，β均为锐角，且sinα=35，sin(α−β)=−√1010．(1)求tan(α−β)的值； (2)求cosβ的值．19. 在△ABC 中，BC =√6，| AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2． (1)求证：△ABC 三边的平方和为定值；(2)当△ABC的面积最大时，求cosB的值．20.向量a⃗=(cos23°，cos67°)，向量b⃗ =(cos68°，cos22°)．(1)求a⃗⋅b⃗ ；(2)若向量b⃗ 与向量m⃗⃗⃗ 共线，u⃗=a⃗+m⃗⃗⃗ ，求u⃗的模的最小值．21.已知f(x)的值域为[38,49]，求y=√1−2f(x)的值域．22.已知二次函数f(x)=−x2+ax−a2+1(a∈R)(1)求函数f(x)在区间[−1,1]上的最大值f(x)max；(2)在(1)的条件下，记f(x)max=g(a)，求g(a)的最小值．参考答案及解析1.答案：C解析：解：由一元二次不等式的解法得：因为x2−2x≤0，解得0≤x≤2，即M={x|0≤x≤2}，又N={x|x<1}，所以M∩N={x|0≤x<1}，故选：C．由一元二次不等式的解法得：M={x|0≤x≤2}，由集合的交集的运算得：M∩N={x|0≤x<1}，得解．本题考查了一元二次不等式的解法及集合的交集的运算，属简单题．2.答案：A解析：解：向量a⃗=(−2,1)，b⃗ =(x,2)，若a⃗⊥b⃗ ，可得−2x+2=0，解得x=1．故选：A．利用向量的垂直关系，列出方程求解即可．本题考查向量的垂直的充要条件的应用，考查计算能力．3.答案：A解析：解：①若sinA<cosB，∴cos(π2−A)<cosB，在△ABC中，A，B，C∈(0,π)，∴π2−A>B，∴A+B<π2，∴C>π2，△ABC中，π2<C<π，∴△ABC为钝角三角形．②若△ABC为钝角三角形，当角B为钝角，则cosB<0，sinA>0，∴“sinA<cosB”不成立．∴在△ABC中，“sinA<cosB”是“△ABC为钝角三角形”的充分不必要条件．故选：A．在△ABC 中，若sinA <cosB 时，根据诱导公式和三角函数的单调性，可知A +B <π2，C >π2，所以△ABC 为钝角三角形；反之不一定成立．本题主要考查充分条件和必要条件的判断，以及三角函数单调性的综合应用，根据充分条件和必要条件的定义是解决本题的关键．4.答案：D解析：解：将函数y =√2sin2x 的图象向左平移π8个单位，可得函数y =√2sin(2x +π4)的图象， 故选：D ．由题意利用函数y =Asin(ωx +φ)的图象变换规律，得出结论． 本题主要考查函数y =Asin(ωx +φ)的图象变换规律，属于基础题．5.答案：A解析：本题主要考查了向量加法的平行四边形法则及向量数量积的坐标表示，属于基础试题．由向量加法的平行四边形法则可求AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标，然后代入向量数量积的坐标表示可求AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC⃗⃗⃗⃗⃗ 解：由向量加法的平行四边形法则可得，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(3,−1)． ∴AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =3×2+(−1)×1=5． 故选：A ．6.答案：B解析：解：把函数f(x)=sin2x 的图象向右平移π8个单位长度，即可得到函数g(x)=sin(2x −π4)的图象， 故选：B ．由题意利用函数y =Asin(ωx +φ)的图象变换规律，得出结论． 本题主要考查函数y =Asin(ωx +φ)的图象变换规律，属于基础题．7.答案：A解析：解：a ⃗ ⋅b ⃗ =x −3+2=x −1，若a ⃗ 与b ⃗ 同向共线， 则b ⃗ =λa ⃗ ，λ>0， 则{x −3=λ2=λ，得x =5，当x=5时，满足x>1，但此时两个向量关系，夹角为0°，则a⃗与b⃗ 夹角为锐角不成立，若a⃗与b⃗ 夹角为锐角，则a⃗⋅b⃗ =x−1>0，则x>1，成立，即“x>1”是“a⃗与b⃗ 夹角为锐角”的必要不充分条件，故选：A．根据向量夹角与向量数量积的关系以及充分条件和必要条件的定义进行判断即可．本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合向量夹角与数量积的关系是解决本题的关键．8.答案：A解析：解：由2ccosC=√3bcosA+√3acosB，得2sinCcosC=√3sinBcosA+√3sinAcosB，即2sinCcosC=√3sin(A+B)=√3sinC，则cosC=√3，2∵0°<C<180°，∴C=30°．故选：A．，再由C的范围得答案．利用正弦定理化边为角，再由两角和的正弦化简，可得cosC=√32本题考查两角和与差得正弦，考查三角形的解法，是基础题．9.答案：A<0可知函数单调递减，解析：解：由f(x1)−f(x2)x1−x2则满足，即，∴，故选A．10.答案：B解析：解：当x>0时，x2+1=5，解得x=2．当x<0时，−2x=5，解得x=−52．故选：B．利用已知条件列出方程求解即可．本题考查函数的零点的应用，考查计算能力．11.答案：π16解析：解：当点P满足|PA|≤1时，P在以A为圆心、半径为1的圆内其面积为S′=14π×12=π4∵正方形ABCD边长为2，得正方形的面积为S=22=4∴所求概率为P=S′S =π16．故答案为：π16．由扇形面积公式，结合题意算出满足条件的点P对应的图形的面积，求出正方体ABCD的面积并利用几何概型计算公式，即可算出所求概率．本题在正方形中求点P满足条件的概率，着重考查了扇形面积、正方形面积计算公式和几何概型计算公式等知识，属于基础题．12.答案：(−35,4 5 )解析：解：∵在平面直角坐标系xOy中，角α的终边与单位圆交于点A在第二象限，cosα=−35，则点A的纵坐标为sinα=√1−cos2α=45，故点A的坐标为(−35,45 )，故答案为：(−35,4 5 ).由题意利用任意角的三角函数的定义，同角三角函数的基本关系，求得点A的坐标．本题主要考查任意角的三角函数的定义，同角三角函数的基本关系，属于基础题．13.答案：−35解析：解：sin(α+45°)=√55，可得√22(sinα+cosα)=√55，可得12(1+2sinαcosα)=15． ∴sin2α=−35．故答案为：−35．利用两角和的正弦函数化简已知条件，利用平方即可求出所求结果． 本题考查两角和与差的三角函数，二倍角公式的应用，考查计算能力．14.答案：−92解析：本题考查平面向量的数量积的定义，考查向量夹角的概念，属于基础题． 运用向量的数量积的定义，注意夹角为π−B ，运用公式计算即可得到． 解：AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅cos(π−B)．故答案为：−92．15.答案：18解析：解：由AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2√3,∠BAC =30∘， 得|AB⃗⃗⃗⃗⃗ ||AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=4， 所以S △=12|AB ⃗⃗⃗⃗⃗||AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |sinA =1， ∴x +y =12，则1x +4y =2(x+y x +4x+4y y)=2(5+y x +4xy )≥18，当且仅当{x =16y =13时，1x +4y的最小值为18． 故答案为：1816.答案：−83解析：解：因为在△ABC 中，AB =2，AC =1，BC =√7， 所以cosB =AB 2+BC 2−AC 22AB×BC=2×2×√7=2√7，所以AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +13BC ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +13BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2=2×√7×2√7)+73=−83； 故答案为：−83．首先利用余弦定理求出∠B 的度数，然后将所求利用三角形的边表示，利用数量积公式解答． 本题考查了余弦定理解三角形、向量的三角形法则以及平面向量的数量积的计算；关键是求出B 的余弦值，注意向量的夹角与三角形内角的关系．17.答案：解：①cos(α−π2)sin(5π2+α)⋅sin(α−2π)⋅cos(2π−α)=sinαcosα⋅sinα⋅cosα =sin 2α. ②cos 2(−α)−tan(360°+α)sin(−α)=cos 2α−tanα−sinα=cos 2α+1cosα．解析：本题考查利用诱导公式以及同角三角函数的基本关系式化简求值，是基础题． ①直接利用诱导公式以及同角三角函数的基本关系式化简求值即可． ②利用诱导公式以及同角三角函数的基本关系式化简求值即可．18.答案：解：(1)∵α,β∈(0,π2)，∴−π2<α−β<π2.…(2分)又sin(α−β)=−√1010，∴−π2<α−β<0…(4分)∴cos(α−β)=3√1010，∴tan(α−β)=−13…(7分)(2)∵α为锐角，sinα=35，∴cosα=45. …(8分)∴cosβ=cos[α−(α−β)]=cosαcos(α−β)+sinαsin(α−β)…(12分) =45×3√1010+35×(−√1010)=9√1050. …(14分)解析：(1)确定−π2<α−β<0，求出cos(α−β)=3√1010，即可求tan(α−β)的值；(2)利用cosβ=cos[α−(α−β)]=cosαcos(α−β)+sinαsin(α−β)，即可求cosβ的值． 本题考查两角和与差的三角函数，考查角的变换，正确运用公式是关键． 19.答案：(1)证明：∵| AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2，∴AB ⋅AC ⋅cosA =2， 在△ABC 中，由余弦定理得BC 2=AB 2+AC 2−2AB ⋅AC ⋅cosA ， 代入数据可得(√6)2=AB 2+AC 2−4，整理可得AB 2+AC 2=10， ∴△ABC 三边的平方和AB 2+BC 2+AC 2=10+6=16为定值； (2)由(1)知AB 2+AC 2=10，∴AB ⋅AC ≤ AB 2+AC 22=5，当且仅当AB=AC时取“=”号，∵AB⋅AC⋅cosA=2，∴cosA=2AB⋅AC，∴sinA=√1−cos2A=√ 1−4AB2⋅AC2，∴△ABC的面积S=12AB⋅AC⋅sinA=12AB⋅AC⋅√ 1−4AB2⋅AC2=12√AB2AC2−4 ≤ 12√25−4=√212，当且仅当AB=AC时取“=”号．∵AB2+AC2=10，∴当AB=AC时，AB=AC=√5，∴cosB= BC2 AB=√62√5=√3010解析：(1)由数量积定义和余弦定理整体可得AB2+AC2=10，代值可得答案；(2)由(1)知AB2+AC2=10，由基本不等式和三角形的面积公式可得S的最小值，以及取最小值时的条件，由三角函数的定义可得．本题考查正余弦定理解三角形，涉及基本不等式求最值和三角函数定义，属中档题．20.答案：解(1)a⃗⋅b⃗ =cos23°⋅cos68°+cos67°⋅cos22°=cos23°⋅sin22°+sin23°⋅cos22°=sin45°=√22．(2)由向量b⃗ 与向量m⃗⃗⃗ 共线，得m⃗⃗⃗ =λb⃗ (λ∈R)，u⃗=a⃗+m⃗⃗⃗ =a⃗+λb⃗=(cos23°+λcos68°,cos67°+λcos22°)=(cos23°+λsin22°,sin23°+λcos22°)，|u⃗|2=(cos23°+λsin22°)2+(sin23°+λcos22°)2=λ2+√2λ+1=(λ+√22)2+12，∴当λ=−√22时，|u|有最小值为√22．解析：(1)利用向量的数量积公式求出两个向量的数量积，利用三角函数的诱导公式及两角差的余弦公式化简数量积．(2)利用向量共线的充要条件将m⃗⃗⃗ 用b⃗ 表示，利用向量模的平方等于向量的平方求出u⃗的模的平方，利用二次函数最值的求法求出最小值．本题考查向量的数量积公式、向量共线的充要条件、三角函数的诱导公式、两角和差的正弦余弦公式、二次函数的最值的求法．21.答案：解：∵38≤f(x)≤49，∴−89≤−2f(x)≤−34，∴19≤1−2f(x)≤14， ∴13≤y ≤12∴y 的值域为：[13,12]解析：根据f(x)的值域，应用不等式的性质先求出被开方数的取值范围，进而求得y 的值域． 本题考查不等式的性质，函数的值域，属于基础题． 22.答案：解：(1)f(x)=−x 2+ax −a 2+1的对称轴为x =a 2，当a 2≥1即a ≥2时，f(x)在[−1,1]递增，可得f(1)=a 2，当a 2≤−1即a ≤−2时，f(x)在[−1,1]递减，可得f(−1)=−32a ，当−1<a 2<1，即−2<a <2时，f(x)的最大值为f(a 2)=a 24−a 2+1， 综上可得 f(x)max ={ a 2,a ≥2a 24−a 2+1,−2<a <2−32a,a ≤−2． (2)a ≥2时，g(a)=a 2单调递增，∴g(a)的最小值为g(2)=1；−2<a <2时，g(a)=a 24−a 2+1=14(a −1)2+34，且a =1∈(−2,2)，∴g(a)的最小值为g(1)=34；a ≤−2时，g(x)=−32a 单调递减，∴g(a)的最小值为g(−2)=3．综上，g(a)的最小值为34．解析：(1)求出二次函数的对称轴，通过对称轴是否在区间内，结合函数的单调性求解函数的最值．(2)利用(1)得到函数的最值的分段函数，然后求解分段函数的最小值即可．本题考查函数与方程的应用，二次函数的性质以及分类讨论思想的应用，考查转化思想以及计算能力．。
2020-2021学年北师大版高一数学第二学期期中考试模拟试题1及答案解析
（新课标）最新北师大版高中数学必修四第二学期期中考试试题高一数学本试卷分为第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.共150分,考试时间120分钟.第Ⅰ卷(选择题 共50分)一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 把答案填在答题卡的表格中.1．sin(30)-o的值是（ ）A ．12 B ．2 C ．12- D ．2- 2.已知点M (－3，3)，N (－5，－1)，那么MN u u u u r等于（ ）A.(－2，－4)B.(－4，－2)C.(2，4)D.(4，2) 3．已知α是第二象限角，那么2α是（ ）A ．第一象限角 B. 第二象限角 C. 第二或第四象限角 D ．第一或第三象限角4.向量()()AB MB BO BC OM ++++u u u r u u u r u u u r u u u r u u u u r化简后等于（ ）A ．AB u u u r B ．AC u u u r C ．AM u u u u rD ．BC uuu r5.使函数sin(2)y x θ=+为奇函数的θ的值可以是( )A ．4πB ．2πC ．πD ．32π6. 在下列区间中，函数sin()4y x π=+是单调递增的是（ ）A.,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B.0,4π⎡⎤⎢⎥⎣⎦C.[],0π- D.,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 7.在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝4，则 AB →·AC →等于( )A ．－16B ．－8C ．8D ．168．已知△ABC 中，tan A ＝－512，那么cos A 等于( )A.1213B. 513C ．－1213D ．－5139. 函数)32sin(3π+=x y 的图像可以看作是把函数x y 2sin 3=的图像作下列移动而得到（ ）A.向左平移6π个单位长度 B.向右平移6π个单位长度 C.向左平移3π个单位长度 D.向右平移3π个单位长度 10.如图是函数)sin(2ϕω+=x y （02><ωπϕ，）的图像，则ϕω、的值是（ ）A ．1110=ω，6πϕ= B ．1110=ω，6πϕ-=C ．2=ω，6πϕ=D ．2=ω，6πϕ-=第Ⅱ卷（非选择题 共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.把答案填在答题卡的横线上. 11．如果()1cos 2A π+=-，那么sin 2A π⎛⎫- ⎪⎝⎭= . 12．计算1tan151tan15︒︒-=+. 13.在△ABC 中，设AB a =u u u r r ，AC b =u u u r r，点D 在线段BC 上，且3BD DC =u u u r u u u r ，则AD u u u r 用,a b r r 表示为.14.函数)656(3sin 2ππ≤≤=x x y 与函数2=y 的图像围成一个封闭图形(如图中的阴影部分)，这个封闭图形的面积是__________.15. 如图，平面内有三个向量OA uu u r 、OB 、OC ,其中OA uu u r 与OB 的夹角为120°，OA uu u r与OC的夹角为30°,且|OA uu u r |＝|OB |＝1， |OC | ＝32，若(),,OC OA OB R λμλμ=+∈u u u r u u u r u u u r则λμ+的值为.高一数学答题卡二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.把答案填在下面横线上. 11.. 12.. 13. . 14..15..三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 16.（本小题满分12分）已知3tan =α，求下列各式的值.（1）ααααcos 5sin 2cos 4sin 670-+； （2）.cos 8sin 2122αα-17．（本小题满分12分）一艘船从A点出发以/km h的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时河水的流速为2/km h，求船实际航行速度的大小与方向（用与流速间的夹角表示）．18．（本小题满分12分）已知向量ar＝(sin θ，－2)与br＝(1，cos θ)互相垂直，其中θ∈(0，π2 )．(1) 求sin θ和cos θ的值；(2) 若5cos(θ－φ)＝35cos φ，0 <φ<π2，求cos φ的值．19.（本小题满分12分）已知向量()()()6,1,,,2,3,AB BC x y CD ===--u u u r u u u r u u u r 且//.BC DA u u u r u u u r(1) 求x 与y 之间的关系式； (2) 若AC BD ⊥u u u r u u u r，求x,y 的值.20.（本小题满分13分）已知()()x x b a cos ,sin ,3,1==，且函数()()R x b a x f ∈⋅=.（1）求函数()x f 的最小正周期；（2) 求函数()x f 的最大值及取得最大值时自变量x 的集合；（3）求函数()x f 的单调递增区间.21．（本小题满分14分） 已知向量a r ＝(cos α，sin α)，b r ＝(cos β，sin β)，|a r －b r |＝255.(1) 求cos(α－β)的值； (2) 若0 <α <π2，－π2<β < 0，且sin β＝－513，求sin α.高一数学期中考试试题参考答案及评分标准11.12 12.3 13.1344AD a b =+u u u r r r 14.34π15. 6三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 16.（本小题满分12分）（1）2014 ……6分 （2) 1 ……12分17.（本小题满分12分）如图，设−→−AD 表示船垂直于对岸的速度，−→−AB 表示水流的速度，以AD ,AB 为邻边作平行四边形ABCD ，则−→−AC 就是船实际航行的速度. ………4分 在ABC Rt ∆中，2||=−→−AB ，32||=−→−BC ，∴||AC =u u u r 4==，∴tan 2CAB ∠== ∴60CAB ∠=o . …………10分故船实际航行速度的大小为4/km h ，方向与水流速间的夹角为60o. …………12分 备注:只要步骤完整,答案正确就给满分.18.（本小题满分12分） (1)∵a r ⊥b r，∴a r ·b r＝sin θ－2cos θ＝0， 即sin θ＝2cosθ. ………… 2分又∵sin 2θ＋cos 2θ＝1，∴4cos 2θ＋cos 2θ＝1，即cos 2θ＝15，∴sin 2θ＝45. … 4分又θ∈(0，π2)，∴sin θ＝255，cos θ＝55. …… 6分(2)∵5cos(θ－φ)＝5(cos θcos φ＋sin θsin φ)＝5cos φ＋25sin φ＝35cos φ，∴cos φ＝sin φ. ………10分 ∴cos 2φ＝sin 2φ＝1－cos 2φ，即cos 2φ＝12.又∵0<φ<π2，∴cos φ＝22. …………12分19.（本小题满分12分）（1）(4,2)AD AB BC CD x y =++=+-+u u u r u u u r u u u r u u u r, ……… 2分 //BC DA u u u r u u u rQ , (,)BC x y =u u u r , (4)(2)0x y y x ∴+--+=. …………5分即20x y +=. ① ……… 6分 （2）(6,1)AC AB BC x y =+=++u u u r u u u r u u u r , (2,3)BD BC CD x y =+=--u u u r u u u r u u u r. ………8分 AC BD ⊥u u u r u u u r Q , 0AC BD ∴⋅=u u u r u u u r，即(6)(2)(1)(3)0x x y y +-++-=,2242150x x y y ∴++--=. ② ……… 10分 ∴由①②得2,1,x y =⎧⎨=-⎩或63.x y =-⎧⎨=⎩ ………12分20.（本小题满分13分）（1）因为()⎪⎭⎫⎝⎛+=+=⋅=3sin 2cos 3sin πx x x x f ，所以函数()x f 的最小正周期是π2=T . ………7分（2) 函数()x f 的最大值是2，取得最大值时自变量x的集合是⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+=Z k k x x ,62ππ. ………10分（3）函数()x f 的单调递增区间是()Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-62,652ππππ. ………13分 21.（本小题满分14分）(1)∵|a r |＝1，|b r|＝1， ………2分|a r －b r |2＝|a r |2－2a r ·b r ＋|b r |2 ＝|a r |2＋|b r |2－2(cos αcos β＋sin αsin β)＝1＋1－2cos(α－β)＝2－2cos(α－β)， (6)分|a r －b r |2＝(255)2＝45， ………7分∴2－2cos(α－β)＝45，∴cos(α－β)＝35. (8)分(2)∵－π2<β<0<α<π2，∴0<α－β<π.由cos(α－β)＝35得sin(α－β)＝45， ………10分由sin β＝－513得cos β＝1213. ………11分∴sin α＝sin[(α－β)＋β]＝sin(α－β)cos β＋cos(α－β)sin β＝45×1213＋35×(－513)＝3365. ………14分。
2020-2021学年北师大版高中数学一年级下学期期中考试模拟卷及答案解析
最新（新课标）北师大版高中数学必修二高一下学期期中模拟试题注意事项：1．本试卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第I 卷时，每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
4．本试卷满分150分，考试时间120分钟，考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷 选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的；每小题选出答案后，请用2B 铅笔把机读卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在本卷上作答无效。
）1．如果角θ的终边经过点⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-21,23，那么θtan 的值是（ ） A ．21 B. 23- C. 3 D. 33- 2．函数cos sin tan sin cos tan x x x y x x x=++的值域是（ ） A ．{-1,3} B. {-1,1,3} C. {-1,1,2,3} D. {-3,-1,,3}3．0sin 600的值是（ ）A ．12 B. 12- C.2D. 2- 4．已知sin α＝54,并且α是第二象限的角,那么tg α的值等于（ ） A ．－34B.－43C. 43D. 34 5．函数⎪⎭⎫ ⎝⎛-=3sin πx y 的一个单调增区间是（ ） A ．⎪⎭⎫ ⎝⎛-65,6ππ B. ⎪⎭⎫ ⎝⎛-6,65ππ C. ⎪⎭⎫ ⎝⎛-2,2ππ D. ⎪⎭⎫ ⎝⎛-32,3ππ6．如图，在平行四边形ABCD 中，下列结论中错误．．的是（ ） A ．→--AB ＝→--DC B. →--AD ＋→--AB ＝→--AC ；C. →--AB －→--AD ＝→--BDD. →--AD ＋→--CB ＝→0．7．在ABC ∆中,︒===60,8,5C b a ,则CA BC ⋅的值为（ ）A ．20 B. 20- C. 320 D. 320-8．在ABC △中，AB =u u u r c ，AC =u u u r b ．若点D 满足2BD DC =u u u r u u u r ，则AD =u u u r （ ）A ．2133+b c B. 5233-c b C. 2133-b c D. 1233+b c 9．圆心()1,0-，半径为3的圆的方程（ ）A ．()2213x y -+= B. ()2213x y ++= C. ()2219x y -+= D. ()2219x y ++= 10．直线1y x =+与圆221x y +=的位置关系是（ ）A ．相切 B.相交但直线不过原点 C.直线过原点 D. 相离11．曲线22(1)(1)2x y -++=上的点到直线10x y -+=的最小距离是（ ）A ．21 B. 32C. 22D. 322 12．已知集合P ＝{(x,y)|29y x =-}、Q ＝{(x,y)|y ＝x ＋b}，若P ∩Q ≠φ，则b 的取值范围是（ ）A ．|b|＜3 B. |b|≤32 C.－3≤b ≤32 D. －3＜b ＜32第Ⅱ卷 非选择题二、简答题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡中的指定位置。
2020-2021学年北师大版高一数学下学期期末模拟检测试题及答案解析
（新课标）最新北师大版高中数学必修四高一下学期期末模拟试题一、选择题（每小题5分，共10个小题，本题满分50分） 1.如果b a >，则下列各式正确的是( ) A. x b x a lg lg ⋅>⋅B. 22bx ax >C. 22b a >D. x x b a 22⋅>⋅2.已知10<<x ，则)33(x x -取得最大值时x 的值为（ ） A ．31 B.21 C ．43 D ．32 3.一个等比数列前n 项的和为48，前n 2项的和为60，则前n 3项的和为( ) A ．83 B.108 C ．75 D ．634.若直线062=++y ax 和直线0)1()1(2=-+++a y a a x 垂直，则a 的值为( ) A ．0或23-B.0或32- C ．0或32D ．0或235.已知a b 、都是正实数， 函数2x y ae b =+的图象过(0,1)点，则11a b+的最小值是( ) A ．322+ B.322-C ．4D ．26.钝角三角形ABC 的面积是12，AB=1，BC=2 ，则AC=( )A. 5B.5 C. 2 D. 17.某市生产总值连续两年持续增加.第一年的增长率为p ，第二年的增长率为q ，则该市这两年生产总值的年平均增长率为( ) A.2q p + B.(1)(1)12p q ++- C.pq D.(1)(1)1p q ++-8.一个多面体的三视图如图所示， 则该多面体的表面积为（ ） A.213+ B ．183+ C ．21 D ．189.设,1>m 在约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤+≤≥1y x mx y x y 下，目标函数my x z +=的最大值大于2，则m 的取值范围为（ ）A.()21,1+B.()+∞+,21 C. ()3,1 D.()+∞,310.直三棱柱111ABC A B C -中，090=∠BCA ，M N 、分别是1111A B A C 、的中点，1BC CA CC ==，则BM 与AN 所成的角的余弦值为（ ）A.110B.25C.第Ⅱ卷 (非选择题共100分)二、填空题（每小题5分，共5小题，满分25分）11.当0>x 时，函数xx x y 422++=的最小值为.12.若等差数列{}n a 满足7897100,0a a a a a ++>+<，则当n =时，{}n a 的前n 项和最大. 13.设甲、乙两个圆柱的底面积分别为12S S ，，体积分别为12V V ，，若它们的侧面积相等，且1294S S =，则12V V 的值是．14.已知函数2()1f x x mx =+-，若对于任意的[],1x m m ∈+都有()0f x <，则实数m 的取值范围为.15.设点)2,(a M ，若在圆4:22=+y x O 上存在点N ，使得45OMN ∠=o ，则a 的取值范围是________.三、解答题（需要写出解答过程或证明步骤） 16.（本小题满分12分）设ABC ∆的内角,,A B C 所对边的长分别是,,a b c ，且3,1,2.b c A B === （Ⅰ）求a 的值； （Ⅱ）求sin()4A π+的值.17.（本小题满分12分）解关于x 的不等式022>---x x xa ,其中常数a 是实数.18.（本小题满分12分）在直角坐标系xoy 中，已知点()1,1A ，()2,3B ，()3,2C ，点(),P x y 在ABC ∆三边围成的区域（含边界）上，且),(R n m AC n AB m OP ∈+=→→→.（Ⅰ）若31==n m ，求→OP ；（Ⅱ）用,x y 表示m n -，并求m n -的最小值.19.（本小题满分12分)如图，在四棱锥P ABCD -中，PA 丄平面ABCD ，AC 丄AD ，AB 丄BC ，45BAC ︒∠=，==2PA AD ，=1AC .(Ⅰ)证明：PC 丄AD ；（Ⅱ）求二面角A PC D --的正弦值； (Ⅲ)求三棱锥ACD P -外接球的体积.DCBAP20. (本小题满分13分)如图，为保护河上古桥OA ，规划建一座新桥BC ，同时设立一个圆形保护区．规划要求：新桥BC 与河岸AB 垂直；保护区的边界为圆心M 在线段OA 上并与BC 相切的圆，且古桥两端O 和A 到该圆上任意一点的距离均不少于80m ．经测量，点A 位于点O 正北方向60m 处，点C 位于点O 正东方向170m 处(OC 为河岸)，53cos =∠BCO ．以OC 所在直线为x 轴，以OA 所在直线为y 轴建立平面直角坐标系. （Ⅰ）求BC 所在直线的方程及新桥BC 的长； （Ⅱ）当OM 多长时，圆形保护区的面积最大？ 并求此时圆的方程.21(本小题满分14分)设各项为正数的数列{}n a 的前n 和为n S ,且n S 满足:+∈=+--+-N n n n S n n S n n ,0)(3)3(222.等比数列{}n b 满足：021log 2=+n n a b .(Ⅰ)求数列{}n a ,{}n b 的通项公式;(Ⅱ)设n n n b a c ⋅=，求数列{}n c 的前n 项的和n T ； (Ⅲ) 证明:对一切正整数n ,有31)1(1)1(1)1(12211<++⋅⋅⋅++++n n a a a a a a .下学期期末考试 高一数学试卷答案三.解答题 16.解：（Ⅰ）∵2A B =，∴sin sin 22sin cos A B B B ==，由正弦定理得22222a c b a b ac+-=⋅∵3,1b c ==，∴212,23a a ==.............................6分（Ⅱ）由余弦定理得22291121cos 263b c a A bc +-+-===-， 由于0A π<<，∴22122sin 1cos 1()33A A =-=--=， 故2221242sin()sin coscos sin()44432326A A A πππ-+=+=⨯+-⨯=..........12分17.解原不等式0)1)(2)((<+--⇔x x a x .........................2分 当1-<a 时原不等式的解集为)2,1(),(-⋃-∞a ..............4分 当1-=a 时原不等式的解集为)2,1()1,(-⋃--∞...........6分 当21<<-a 时原不等式的解集为)2,()1,(a ⋃--∞.......8分 当2=a 时原不等式的解集为)1,(--∞............10分 当2>a 时原不等式的解集为),2()1,(a ⋃--∞.........12分18解（Ⅰ）→→→+=AC n AB m OP )1,1()1,2(31)2,1(31=+=， ∴2=→OP ....................5分19. 解：（Ⅰ）PC DA PAC DA PA DA AC DA ⊥⇒⊥⇒⎭⎬⎫⊥⊥平面.................4分（Ⅱ）过A 作PC AM ⊥交PC 于点M ，连接DM ，则AMD ∠为所求角 在三角形AMD 中，630sin ==∠DM AD AMD ........................8分 (Ⅲ)求三棱锥ACD P -外接球即为以AC AD AP ,,为棱的长方体的外接球，长方体的对角线为球的直径23)2(912222222=⇒==++=R R l πππ29)23(343433=⨯==R V ...............12分20（Ⅰ）建立平面直角坐标系xOy. 由条件知A(0, 60)，C(170, 0)， 直线BC 的斜率k BC =－tan ∠BCO=－43. 又因为AB ⊥BC ，所以直线AB 的斜率k AB =34. 设点B 的坐标为(a,b)，则k BC =04,1703b a -=--k AB =603,04b a -=-解得a=80，b=120. 所以22(17080)(0120)150-+-=. 因此直线BC 的方程为4(170)3y x =--，即436800x y +-=..............6分 新桥BC 的长是150 m.（Ⅱ）设保护区的边界圆M 的半径为r m,OM=d m,(0≤d ≤60). 由知，直线BC 的方程为436800x y +-=由于圆M 与直线BC 相切，故点M(0，d)到直线BC 的距离是r ， 即|3680|680355d dr --==. 因为O 和A 到圆M 上任意一点的距离均不少于80 m,所以80(60)80r d r d -⎧⎨--⎩≥≥即68038056803(60)805dd d d -⎧-⎪⎪⎨-⎪--⎪⎩≥≥解得1035d ≤≤故当d=10时,68035dr -=最大，即圆面积最大. 所以当OM = 10 m 时，圆形保护区的面积最大.此时圆的方程为222130)10(=-+y x .....................................13分)2()1(-得n n n n T )21()21()21()21(121121⨯-+⋅⋅⋅+++=-n nn )21(211)21(1⋅---=)2()21(41+-=∴-n T n n .............................................9分(Ⅲ)当+∈N k 时)43)(41(1632222+-=-+>+k k k k k k]41)1(1411[41)43)(41(141)21(141)12(21)1(1-+--=+-<+=+=+∴k k k k k k k k a a k k3134131)41114111(41)]4111411()41314121()41214111[(41)1(1)1(1)1(12211<+-=-+--=-+--+⋅⋅⋅+---+---<++⋅⋅⋅++++∴n n n n a a a a a a n n..............................................................................................14分。
2020-2021学年北师大版高一数学下学期期末质量检测试题及答案解析
（新课标）最新北师大版高中数学必修四高一质量检测试题数 学注意事项：1．本试卷分为第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，第Ⅰ卷为选择题，用2B 铅笔将答案涂在答题卡上。
第Ⅱ卷为非选择题，用0.5mm 黑色签字笔将答案答在答题纸上。
考试结束后，只收答题卡和答题纸。
2．答第Ⅰ、Ⅱ卷时，先将答题卡首和答题纸首有关项目填写清楚。
3．全卷满分150分，考试时间120分钟。
第Ⅰ卷（选择题 共50分）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的）1．已知α是第二限角，则下列结论正确的是（ ）A ．错误!未找到引用源。
B ．错误!未找到引用源。
C ．错误!未找到引用源。
D ．以上都有可能2．化简CD AC BD AB --+=（ ）A ．0B ．ADC ．BCD ．DA3．若)4,3(-P 为角α终边上一点，则cos α=（ ）A.35-B.45 C.34- D.34-4,21==且b a ,的夹角为， 120的值（ ）A ．1B ．3C ．2D ．25．下列函数中，最小正周期是2π的偶函数为（ ）A ．tan 2y x =B ．cos(4)2y x π=+C ．22cos 21y x =-D ．cos 2y x =6．将函数错误!未找到引用源。
的图象向左平移错误!未找到引用源。
个单位，再将所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的错误!未找到引用源。
倍（纵坐标不变），则所得图象的函数解析式为（ ）A ．错误!未找到引用源。
B ．)36sin(π+=x y 错误!未找到引用源。
C ．错误!未找到引用源。
D ．)326sin(π+=x y 错误!未找到引用源。
7．如右图，该程序运行后的输出结果为 （ ） A ．0B ．3C ．12D ．－28．函数y ＝cos(4π－2x)的单调递增区间是（ ）A ．[k π＋8π，k π＋85π]B ．[2k π＋8π，2k π＋85π]C ．[k π－83π，k π＋8π]D ．[2k π－83π，2k π＋8π]（以上k ∈Z ）9．已知直线∈+=b b,x y [﹣2,3]，则直线在y 轴上的截距大于1的概率是（ ） A ．51B ．52C ．53 D ．54 10．右面是一个算法的程序．如果输入的x 的值是20，则输出的 y 的值是（ ）A ．100B ．50C ．25D ．150第Ⅱ卷（非选择题 共100分）二、填空题（本题共5小题，每题5分，共25分） 11．若)3,2(=a 与),4(y b -=共线，则y ＝ .12．某工厂生产 A ，B ，C 三种不同型号的产品，产品数量之比依次为 2∶3∶5．现用分层抽样方法抽出一个容量为n 的样本，样本中A 种型号的产品有16件，那么此样本的容量n ＝______. 13．设扇形的周长为8cm ，面积为24cm ，则扇形的圆心角的弧度数是 .14．若21tan =α，则ααααcos 3sin 2cos sin -+= .15．函数y=Asin(ωx+φ)( A ＞0，ω＞0，|φ|＜π)，在同一个周期内，当x=3π时， y 有最大值2,当x=0时,y 有最小值－2,则这个函数的解析式为________.三、解答题（本大题共6小题,满分75分,解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤）16．(本小题满分12分)某中学团委组织了“弘扬奥运精神，爱我中华”的知识竞赛，从参加考试的学生中抽出60名学生，将其成绩(均为整数)分成六段[40,50)，[50,60)，…，[90,100]后画出如下部分频率分布直方图．观察图形给出的信息，回答下列问题： (1)求第四小组的频率，并补全这个频率分布直方图； (2)估计这次考试的及格率(60分及以上为及格)和平均分.17．(本小题满分12分)已知函数11()2sin 23cos 22f x x x =+. （1）求函数()f x 的最小正周期及值域； （2）求函数()f x 的单调递增区间.18．(本小题满分12分)已知|a|＝3，|b|＝2，a 与b 的夹角为60°，c ＝3a ＋5b ，d ＝ma －3b. (1)当m 为何值时，c 与d 垂直？ (2)当m 为何值时，c 与d 共线？19．(本小题满分12分)设函数f(x)＝a ·b ，其中向量a ＝(m ，cos2x)，b ＝(1＋sin2x,1)，x ∈R ，且函数y ＝f(x)的图象经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，2.(1)求实数m 的值；(2)求函数f(x)的最小值及此时x 值的集合．20．(本小题满分13分)已知错误!未找到引用源。
北京师范大学良乡附属中学2020年高一数学文模拟试卷含解析
北京师范大学良乡附属中学2020年高一数学文模拟试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 函数y=sinx+tanx，x∈[﹣，]的值域是（）A．[﹣，] B．[﹣2，2] C．[﹣﹣1，] D．[﹣﹣1，+1]参考答案：D【考点】函数的值域．【专题】计算题；函数思想；函数的性质及应用；三角函数的图像与性质．【分析】直接利用函数的单调性求得函数值域．【解答】解：∵函数y=sinx+tanx在x∈[﹣，]上为增函数，∴，．故选：D．【点评】本题考查函数值域的求法，训练了利用函数单调性求函数的值域，是基础题．2. 在区间范围内，函数与函数的图象交点的个数为A．1 B．2 C．3 D．4参考答案：C3. 已知f（x）=，若f（a）+f（1）=，则a=（）A. 1B. －1C. 或1D. 或－1参考答案：D【分析】直接利用分段函数以及函数值转化求解即可．【详解】解：可得：或，解得或，故选：D．【点睛】本题考查分段函数的应用，函数值的求法，考查分类讨论思想以及计算能力．4. 下列算式正确的是（）A．26+22=28 B．26﹣22=24 C．26×22=28 D．26÷22=23参考答案：C【考点】有理数指数幂的化简求值．【分析】利用指数幂的运算性质即可得出．【解答】解：A.26+22≠28；B.26﹣22≠24；C.26×22=26+2=28，正确；D.26÷22=26﹣2=24，因此不正确．故选：C．5. 若函数y=x2+(2a－1)x+1在（－∞，2上是减函数，则实数a的取值范围是 ( )A. B. C. D.参考答案：D6. 某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方法，从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查，已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为，则应从一年级本科生中抽取( )名学生.A．60 B．75 C.90 D．45参考答案：A7. 若实数x，y满足，则的取值范围为（）A．B．C．D．参考答案：D【考点】J9：直线与圆的位置关系．【分析】设过原点的右半个圆的切线方程为y=kx﹣2，再根据圆心（0，0）到切线的距离等于半径，求得k的值，可得的取值范围．【解答】解：由题意可得，表示右半个圆x2+y2=1上的点（x，y）与原点（0，﹣2）连线的斜率，设k=，故此圆的切线方程为y=kx﹣2，再根据圆心（0，0）到切线的距离等于半径，可得r==1，平方得k2=3求得k=±，故的取值范围是[，+∞），故选：D．8. 若a，b，c∈R，且，则下列不等式一定成立的是（）A. B. C. D.参考答案：D【分析】对每一个选项逐一分析判断得解.【详解】A.与的大小不确定，所以该选项错误；B.,所以该选项错误；C.,所以该选项错误；D.,所以该选项正确.故选：D【点睛】本题主要考查实数大小的比较，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题.9. 圆与圆的位置关系是（）Ａ．内含Ｂ．外离Ｃ．相切Ｄ．相交参考答案：D略10. 如图，正四面体的顶点分别在两两垂直的三条射线上，则在下列命题中，错误的为（）A．是正三棱锥B．直线平面C．直线与所成的角是D．二面角为参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 同学们都有这样的解题经验：在某些数列的求和中，可把其中一项分裂成两项之差，使得某些项可以相互抵消，从而实现化简求和.如已知数列{a n}的通项为，故数列{a n}的前n项和为.“斐波那契数列”是数学史上一个著名的数列，在斐波那契数列{a n}中，，，，若，那么数列{a n}的前2019项的和为__________．参考答案：【分析】根据累加法，即可求出答案.【详解】∵a1＝1，a2＝1，a n+a n+1＝a n+2（n∈N*），∴a1+a2＝a3，a2+a3＝a4，a3+a4＝a5，…a2011+a2012＝a2013，……以上累加得，∴故答案为：【点睛】本题主要考查了数列的求和方法，采用累加法，属于基础题．12. 四面体ABCD的四个顶点都在球O的表面上，AB⊥平面BCD，三角形BCD是边长为3的等边三角形，若AB=4，则球O的表面积为__________．参考答案：28π.取CD的中点E，连结AE，BE，∵在四面体ABCD中，AB⊥平面BCD，△BCD是边长为3的等边三角形。
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（新课标）最新北师大版高中数学必修五高一年级文理分科考试数学试卷第Ⅰ卷一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项．1.若集合{}2lg,1x M x y N x x x -⎧⎫===<⎨⎬⎩⎭,则 R M N ⋂=ð( ) A ()0,2 B ()0,2 C [)1,2 D ()0,+∞2．△ABC 中，若2cos c a B =，则△ABC 的形状为（ ） A ．直角三角形 B ．等腰三角形 C ．等边三角形D ．锐角三角形3.已知2log 2)21(258.02.1===-c b a ，，，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ．a b c <<B ．b a c << Ｃ．c a b << Ｄ．a c b <<4．函数()2x f x e x =+-的零点所在的一个区间是（ ）（A ）()-2,-1 （B ）()-1,0 （C ）()0,1 （D ）()1,25.已知函数2()log f x x =，若在[1,8]上任取一个实数0x ，则不等式01()2f x ≤≤成立的概率是（ ）A. 14B. 13C. 27D. 126．在区间0,1（）上单调递减的函数是（ ） （A ）12y=x （B ）2y=log (x+1)（C ）12x y +=（D ）1y x =-7.x ⋅x xy则按照从左到右图象对应的函数序号安排正确的一组是（ ） A ．①④③② B ．①④②③ C ．④①②③ D ．③④②①8．某校在“创新素质实践行”活动中，组织学生进行社会调查，并对学生的调查报告进行了评比，如图是将某年级60篇学生调查报告的成绩进行整理，分成5组画出的频率分布直方图．已知从左往右4个小组的频率分别是0.05,0.15,0.35,0.30，那么在这次评比中被评为优秀的调查报告有(分数大于等于80分为优秀，且分数为整数)( )A ．18篇B ．24篇C ．25篇D ．27篇9.偶函数()sin()cos()f x x x ωϕωϕ=+++(ω为正整数，||2πϕ<），且()f x 在(,)63ππ上递减，则()f x 的周期不可能是（ ）A ．2πB ．πC ．23πD ．2π10.某班有24名男生和26名女生，数据1a ，2,a …50,a 是该班50名学生在一次数学学业水平模拟考试中的成绩（成绩不为0），如图所示的程序用来同时统计全班成绩的平均数：A ，男生平均分：M ，女生平均分：W -.为了便于区别性别，输入时，男生的成绩用正数，女生的成绩用其相反数，那么在图中空白的判断框和处理框中，应分别填入（ ）A. 0,50M WT A +>=？ B. 0?,50M WT A +<=C. 0?,50M WT A -<=D. 0?,50M WT A ->=11.已知等差数列{}n a 的等差0≠d ，且1331,,a a a 成等比数列，若11=a ，n S 为数列{}n a 的前n 项和，则3162++n n a S 的最小值为（ ）A ．4B ．3C ．232-D ．9212．设向量a,b 满足1||||1,,2()()||||2==⋅=---=--a b a b a c b c a c b c ，则||c 的最大值为（ ） A ．2B ．3C ．2D ．1第Ⅱ卷二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分。
共20分）13.某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了5次试验. 根据收集到的数据（如下表），由最小二乘法示得回归直线方程为ˆ0.6754.9yx =+.14. 函数2lg(12)y x x =+-的单调递增区间是15 在ABC ∆中，060,A BC ==D 是AB 边上的一点，CD =BCD ∆的面积为1，则AC 的长为 .16．把正整数按一定的规则排成了如图所示的三角形数表．124357681012911131517141618202224设(),ij a i j N +∈是位于这个三角形数表中从上往下数第i 行、从左往右数第j 个数，如5211a =．则87a = . 。
三、解答题：(共6小题，70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．（本小题满分10分）已知全集{|06}U x N x =∈<≤，集合{|15}A x N x =∈<<， 集合{|26}B x N x =∈<<.求（1）B A C U Y )(； （2）)()(B C A C U U I .18．（本小题满分12分)已知函数222(1)log 2m x f x x -=-（1）求()f x 的解析式并判断()f x 的奇偶性；（2）解关于x 的不等式()0f x ≥ 19．（本小题满分12分）在AB C ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为c b a ,,,且满足.cos cos 2c ABa b =- (1)求角A 的大小；（2）若52=a ,求AB C ∆面积的最大值。
20．（本小题满分12分）数列{n a }的前n 项和为n S ，n a 是n S 和1的等差中项，等差数列{n b }满足140b S +=，91b a =． （1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； （2）若()1(16)18n n n c b b =++，求数列{}n c 的前n 项和n W ．21. （本小题满分12分）某厂商调查甲、乙两种不同型号电视机在10个卖场的销售量（单位：台），并根据这10个卖场的销售情况，得到如图所示的茎叶图.为了鼓励卖场，在同型号电视机的销售中，该厂商将销售量高于数据平均数的卖场命名为该型号电视机的“星级卖场”．（1）求在这10个卖场中，甲型号电视机的“星级卖场”的个数；（2）若在这10个卖场中，乙型号电视机销售量的平均数为26.7，求a>b 的概率；（3）若a=1，记乙型号电视机销售量的方差为s 2，根据茎叶图推断b 为何值时，s 2达到最小值．（只需写出结论） 22．（本小题满分12分） 已知：函数()f x 对一切实数x ，y 都有()()(21)f x y f y x x y +-=++成立，且(1)0f =. （1）求(0)f 的值； （2）求()f x 的解析式； （3）已知a R ∈，设P ：当102x <<时，不等式()32f x x a +<+恒成立；Q ：当[2,2]x ∈-时，()()g x f x ax =-是单调函数.如果满足P 成立的a 的集合记为A ，满足Q 成立的a 的集合记为B ，求B C A R I （R 为全集）.数学试卷参考答案13． 68 14.⎥⎦⎤ ⎝⎛-213， 15．33216． 38 三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）17．解：（Ⅰ）}.651{432}654321{，，｝，，，｛，，，，，，=∴==A C A U U Θ .65431)(}543{｝，，，，｛，，，又=∴=A A C B U Y Θ……………5分（Ⅱ）}.61{)()(}621{}651{，，，，，，，=∴==B C A C B C A C U U U U I Θ……………10分 18．解：(1)设21(1)x t t -=≥-，则21x t =+，()1()log ,1,1,1mtf t t t+=∈-- ()1()log ,1,11mxf x x x+∴=∈--……………3分 设()1,1x ∈-，则()-1,1x ∈-，11()log log (),()11mm x xf x f x f x x x ++∴-==-=-∴--（-）（-）为奇函数……………6分（2）由()1log 01m xx+≥*-可知当1m >时，()*可化为111x x +≥-，化简得：01xx ≤-，解得：01x ≤<；………9分当01m <<时，()*可化为1011xx +<≤-，此不等式等价于不等式组111,101xxx x +⎧≤⎪⎪-⎨+⎪>⎪-⎩解此不等式组得10,1011x x x x >≤⎧∴-<≤⎨-<<⎩或 ∴当1m >时，不等式组的解集为{}01x x ≤<当01m <<时，不等式组的解集为{}10x x -<≤ …………12分 19．解：（1）ΘABa b cos cos 2c =-B a A b c cos cos )2(=-∴ 由正弦定理：B A A B cos sin cos )sin -2sinC ⋅=⋅（A A AB AC sin cos cos sin cos sin 2⋅+⋅=⋅)sin(cos sin 2B A A C +=⋅又π=++C B A Θ∴C sin cos sin 2=⋅A C 0sin ≠C Θ21cos =∴A 而），（π0A ∈3A π=∴………6分 （2）由(1)与余弦定理知：212cos 222=-+=bc a c b A ，又52=a 20220b 22-≥=-+∴bc bc c 即20b ≤c 当且仅当c b =时取“=”号35sin 21S ABC ≤=∴∆A bc ∴AB C ∆面积的最大值为35……………12分20．（1）∵的等差中项，和是1n n S a 12-=n n a S Θ当,22)12()12(2111----=---=-=≥n n n n n n n a a a a S S a n 时，12,n n a a -=Q当1111121,1n a S a a ===-∴=时，∴0(),n a n N *≠∈12nn a a -=Q{}11122n n n a a a -∴=∴=数列是以为首项，为公比的等比数列，………3分1221n n n S a a a =++⋯⋯+=-设{}n b 的公差为d ，14915,15812b S b d d =-=-=-+=⇒=()1512217n b n n ∴=-+-⨯=-………6分（2）()()⎪⎭⎫⎝⎛+--=+-=1211212112121n n n n c n12124121121121513131121+=+-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+--+⋅⋅⋅+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∴n n n n W n ． ……12分 21（1）解：根据茎叶图， 得甲组数据的平均数为101014182225273041432410+++++++++=， ……4分由茎叶图，知甲型号电视机的“星级卖场”的个数为5.（2）解：记事件A 为“a>b ”， 因为乙组数据的平均数为26.7，所以 10182022233132(30)(30)4326.710a b +++++++++++=，解得 8a b +=.所以 a 和b 取值共有9种情况，它们是：(0,8)，(1,7)，(2,6)，(3,5)，(4,4)，(5,3)， (6,2)，(7,1)，(8,0)，其中a>b 有4种情况，它们是：(5,3)，(6,2)，(7,1)，(8,0)， 所以a>b 的概率4()9P A =. ……10分（3）解：当b=0时，2s 达到最小值． ……12分（2）由(1)与余弦定理知：212cos 222=-+=bc a c b A ，又52=a20220b 22-≥=-+∴bc bc c 即20b ≤c 当且仅当c b =时取“=”号35sin 21S ABC ≤=∴∆A bc ∴AB C ∆面积的最大值为3522. 解：（1）()()(21)f x y f y x x y +-=++，(1)0f =.令11=-=y x ，得.2)0()121()1()0(-=∴++--=-f f f ，……2分（2）令0=y 得.2)()1()0()(2-+=∴+=-x x x f x x f x f ，所以()f x 的解析式为.2)(2-+=x x x f ……4分（3）①当102x <<时，由不等式()32f x x a +<+得a x x x +<+-+2322，即.12a x x <+- 记1)(2+-=x x x h ，对称轴为21=x ，从而.43)21(1)0(==h h ，所以.1)(43<<x h}.1|{≥=∴a a A ……7分②2)1(2)(22--+=--+=x a x ax x x x g ，对称轴为21-=a x ， 根据题意得221221≥-=-≤-=a x a x ，或，解之得.53≥-≤a a ，或……10分 }.53|{≥-≤=∴a a a B ，或从而}.53|{<<-=a a B C R故}.51|{<≤=a a B C A R I ……12分。