双曲线重难点题型归纳
重难点13六种双曲线解题方法(核心考点讲与练新高考专用)(解析版)
重难点13六种双曲线解题方法（核心考点讲与练）题型一：待定系数法求双曲线方程 一、单选题1．（2022·河南·模拟预测（文））已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左､右焦点分别为1F ，2F ，一条渐近线方程为2y x =，过双曲线C 的右焦点2F 作倾斜角为3π的直线l 交双曲线的右支于A ，B 两点，若1AF B △的周长为36，则双曲线C 的标准方程为（ ） A ．22124x y -=B ．22142x y -=C ．2212y x -=D ．2212x y -=【答案】C【分析】由题意可得2b a =，则双曲线方程为22221(0)2x y a a a -=>，1(3,0)F a -，2(3,0)F a ，可得直线l 为3(3)y x a =-，代入双曲线方程中，利用弦长公式求出AB ，再由双曲线的定义和 1AF B △的周长为36，可求出a ，从而可求出双曲线的方程【详解】因为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的一条渐近线方程为2y x =，所以2b a =，则双曲线方程为22221(0)2x y a a a-=>，1(3,0)F a -，2(3,0)F a ，所以直线l 为tan(3)3(3)3y x a x a π=-=-，设1122(,),(,)A x y B x y ，由2222123(3)x y a a y x a ⎧-=⎪⎨⎪=-⎩，得2263110x ax a -+=， 则2121263,11x x a x x a +==，所以2121213()4AB x x x x =+⋅+-2221084416a a a =-=， 因为122AF AF a =+，122BF BF a =+，所以11224420AF BF AF BF a AB a a +=++=+=， 因为1AF B △的周长为36，能力拓展所以1136AF BF AB ++=， 所以201636a a +=，得1a =， 所以双曲线方程为 2212y x -=，故选：C2．（2022·四川·宜宾市教科所三模（理））若等轴双曲线的焦距为4，则它的一个顶点到一条渐近线的距离为（ ） A ．1 B ．32C ．2D ．3【答案】A【分析】用坐标法求解，求出等轴双曲线的标准方程，得到顶点和渐近线方程，利用点到直线的距离公式即可求解.【详解】不妨设等轴双曲线的标准方程为22x y λ-=()0λ>2=，解得：2λ=. 所以等轴双曲线的标准方程为222x y -=.此时，顶点坐标)，其中一条渐近线方程为：y x =.1=.故选：A3．（2022·宁夏·石嘴山市第一中学三模（理））双曲线E 与椭圆22:162x y C +=焦点相同且离心率是椭圆C 离E 的标准方程为( ) A ．2213y x -=B ．2221yx -=C ．22122x y -=D ．2213x y -=【答案】C【分析】求出双曲线焦点坐标和离心率，求出双曲线的a 、b 、c 即可求其标准方程． 【详解】双曲线E 与椭圆22:162x y C +=焦点相同，则焦点坐标为(20)，，设双曲线实半轴长为a ，虚半轴长为b ，焦距为2c ，则c =2，ca a==b =∴所求双曲线方程为：22122x y -=．故选：C ．4．（2022·内蒙古包头·二模（理））已知1F ，2F 是双曲线()2222:10,0x yC a b a b-=>>的两个焦点，R 是C 上的一点，且12120F RF =∠︒，1241::RF RF =，C 经过点232,3Q ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，则C 的实轴长为（ ）A ．3B ．23C ．6D ．3【答案】B【分析】由双曲线定义及1241::RF RF =分别求出1238,23a RF F a R ==，再由余弦定理得22219c a =，进而结合C 经过点232,3Q ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭解出a 即可求解.【详解】由双曲线定义可得122RF RF a -=，又1241::RF RF =可得1238,23aRF F a R ==，由余弦定理可得222121212122cos F F RF RF RF RF F RF =+-∠，即2226448214299332a a a a c ⎛⎫=+-⋅⋅⋅- ⎪⎝⎭，化简得22219c a =，又222c a b =+，可得2243b a =；又C 经过点23Q ⎛ ⎝⎭，故224431a b -=，即22443143a a -=， 解得23a =，故C 的实轴长为223a =. 故选：B. 二、多选题5．（2022·江苏·扬州中学高三阶段练习）已知双曲线E ：()222210x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为()13,0F -，()23,0F ，两条渐近线的夹角正切值为2直线l ：30kx y k --=与双曲线E 的右支交于A ，B 两点，设1F AB的内心为I ，则（ ）A ．双曲线E 的标准方程为22163x y -=B．满足AB =l 有2条C ．2IF AB ⊥D ．1F AB 与IAB △的面积的比值的取值范围是(]2,6【答案】ACD【分析】A :设其中一条渐近线的倾斜角为θ，02πθ<<，由题干条件可知tan 2θ=从而解出tan 2θ=，即b a =,a b ，从而求出双曲线方程；B ：直线过焦点，判断过焦点弦的最短弦可判断B ；C ：由双曲线的定义和切线的性质进行转化可判断；D ：将三角形的面积用内切圆的半径和边长计算，结合定义，可得到12F AB IABS S =△△△，由AB 的范围可求出比值的范围. 【详解】A 选项，设双曲线E 的一条渐近线的倾斜角为θ，02πθ<<，因为a b >，所以022πθ<<，从而22tan tan 21tan θθθ==-tan θ=tan θ=，所以b a =，又229a b +=，所以26a =，23b =，所以双曲线E 的标准方程为22163x y -=，故A 正确；B 选项，直线l 的方程kx -30y k -=，即()30k x y --=，则直线l 恒过右焦点2F ，又过焦点2F的弦最短为22b a ==AB 线l 只有1条，B 错误；C 选项，由双曲线的定义可知，121AF AF BF -==-2BF ，即1122AF BF AF BF -=-，因此2F 是1F AB 的内切圆在AB 边上的切点，因此2IF AB ⊥，C 正确； D 选项，由题知()121121212F AB IABIF AF BF AB S S IF AB ⋅++==⋅△△△2，因为AB (]12,6F AB IABS S ∈△△，D 正确.【点睛】知识点点睛：（1）同支的焦点弦中最短的为通径（过焦点且垂直于实轴所在的直线的弦），其长度为22b a；异支的弦中最短的为实轴，其长度为2a .（2）由圆外一点引圆的切线，切线长相等.6．（2022·全国·高三专题练习）已知双曲线22:1C mx ny +=，其焦点()0,5到渐近线的距离为3，则下列说法正确的是（ ）A ．双曲线C 的方程为221169y x -=B ．双曲线C 的渐近线方程为34yx C ．双曲线C 的离心率为54D ．双曲线C 上的点到焦点距离的最小值为1【答案】ACD【分析】由题意知双曲线C 的焦点在y 轴上，设双曲线2222:1y xC a b-=，根据焦点()0,5到渐近线的距离为3，可求得,b a ，即可求得双曲线方程，再根据双曲线的性质逐一分析各选项即可的解.【详解】解：由题意知双曲线C 的焦点在y 轴上，设双曲线2222:1y x C ab-=，双曲线C 的渐近线方程为ay x b =±，取a y x b=，即焦点()0,5F 到渐近线0ax by -=555b bb c ===．所以3b =，所以4a ==，所以双曲线C 的方程为221169y x-=，故选项A 正确；双曲线C 的渐近线方程为43a y x xb =±=±故选项B 错误； 离心率54c e a ==，故选项C 正确； 双曲线C 上的点到焦点距离的最小值为541c a -=-=，故选项D 正确. 故选：ACD ．7．（2022·全国·高三专题练习）已知双曲线1C ：2222111x y a b -=（10a >，10b >）的一条渐近线的方程为y =，且过点31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，椭圆2C ：22221x y a b+=（0a b >>）的焦距与双曲线1C 的焦距相同，且椭圆2C 的左右焦点分别为12,F F ，过1F 的直线交2C 于()11,A y （10y >），B 两点，则下列叙述正确的是（ ） A ．双曲线的离心率为2 B ．双曲线的实轴长为12C ．点B 的横坐标的取值范围为()2,1--D ．点B 的横坐标的取值范围为()3,1-- 【答案】AD【分析】通过计算求出双曲线1C 的离心率和实轴长，即可判断选项A 和B 的正误；联立直线AB 和椭圆的方程求出222318333B a x a a +=-=-+++，即得点B 的横坐标的取值范围，即可判断选项C 和D 的正误. 【详解】双曲线1C ：2222111x y a b -=（10a >，10b >）的一条渐近线的方程为y =，则设双曲线的方程为223y x λ-=（0λ≠）， 由双曲线且过点31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，得314λ-=，得14λ=，∴双曲线1C 的方程为22443x y -1=，即2211344x y -=， ∴双曲线的离心率1212e ==，实轴的长为1， 故选项A 正确，选项B 错误；易知椭圆2C 的两焦点为()11,0F -，()21,0F ，将()11,A y （10y >）代入22221x ya b+=（0a b >>）得212211y a b +=，∴21b y a=，∴直线AB 的方程为()212b y x a =+，联立()222221,21,b y x a x y a b ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩整理得()()222321a x a x ++--2310a -=，()()()22222243310a a a +∆=-++>，根据根与系数的关系得221313B a a x +-=+⋅，则B x =222318333a a a +-=-+++． 由21a >得234a +>，则28023a <<+， ∴31B x -<<-，故选项C 错误，选项D 正确， 故选：AD ． 三、填空题8．（2022·福建宁德·模拟预测）若过点)2的双曲线的渐近线为2y x =±，则该双曲线的标准方程是___________.【答案】2214y x -=【分析】由题设双曲线方程为()2204y x λλ-=≠，进而待定系数求解即可. 【详解】解：因为双曲线的渐近线为2y x =±， 故设其方程为()2204y x λλ-=≠，因为点)2在双曲线上，所以，22214λ=-=，即所求方程为2214y x -=. 故答案为：2214y x -=四、解答题9．（2022·全国·模拟预测）已知双曲线()2222:10,0x y E a b a b-=>>的一条渐近线的倾斜角为30 ，点(在双曲线E 上.(1)求双曲线E 的标准方程；(2)若动直线l 与双曲线E 相切，过点()2,0P 作直线l 的垂线，垂足为H ，试判断OH 是否为定值？如果是，请求出该值；如果不是，请说明理由. 【答案】(1)2213x y -=(2)【分析】（1）利用已知条件求出a ，b 的值即可求解；（2）由题意得出直线l 的斜率不为0，当切线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y kx m =+，联立直线与双曲线E 的方程得到m ，k 的关系式，联立直线PH 与l 表示出点H 坐标，再利用两点间的距离公式即可求解；当切线l 的斜率不存在时，结合双曲线的几何性质即可求解.(1)设双曲线E 的渐近线方程为b y x a =±，因为一条渐近线的倾斜角为30，所以b a =; 又双曲线E经过点(，所以221231a b-=，而0,0a b >>，故解得a =1b =， 所以双曲线E 的标准方程为2213x y -=.(2)由题意可得直线l 的斜率不为0，当切线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为()0y kx m k =+≠，联立直线l 和双曲线E 的方程得2213y kx m x y =+⎧⎪⎨-=⎪⎩ ， 消去y 并整理得()222136330kxkmx m ----=，因为直线l 与双曲线E 相切，即方程有两个相等的实数根，所以2130k -≠且()()222236413330k m k m ∆=--⋅--=，化简并整理得2221313m k k ⎛⎫=-≠ ⎪⎝⎭，又因为直线PH 与l 垂直，()2,0P ，所以直线PH 的方程为()12y x k=--， 联立()12y x x y kx m ⎧=--⎪⎨⎪=+⎩ ，解得222121km x k k m y k -⎧=⎪⎪+⎨+⎪=⎪+⎩ ， 即点2222,11km k m H k k -+⎛⎫⎪++⎝⎭， 所以()()()22222221km k m OHk -++=+()222222441k m m k k +++=+()()()2222141km k ++=+2241m k +=+223331k k +==+，所以OH当切线l的斜率不存在时，直线:l x =()2,0P 作直线l 的垂线为0y =，此时)H或()H，则OH =综上所述，OH【点睛】本题以双曲线为背景，考查双曲线的标准方程､直线与双曲线的位置关系，考查逻辑推理､数学运算核心素养.，解得的关键是明确解题的思路，计算要准确.10．（2022·上海市七宝中学高三期中）双曲线C ：22221x y a b -=（a ＞0，b ＞0）经过点)，且渐近线方程为y x =±． (1)求a ，b 的值；(2)点A ，B ，D 是双曲线C 上不同的三点，且B ，D 两点关于y 轴对称，ABD △的外接圆经过原点O ．求证：点A 与点B 的纵坐标互为倒数；(3)在（2）的条件下，试问是否存在一个定圆与直线AB 相切，若有，求出定圆方程，没有说明理由． 【答案】(1)222x y -=(2)证明见解析(3)存在定圆221x y +=与直线AB 相切【分析】（1）运用代入法,结合双曲线的渐近线方程进行求解即可;（2）设出直线AB 的方程,与双曲线方程联立,根据一元二次方程根与系数的关系,结合圆的性质进行求解即可（3）易求原点到直线AB 的距离为定值，故存在定圆与直线AB 相切 (1)22311a b a b⎧-=⎪⎨⎪=⎩,解得a b ==则22:2C x y -=(2)证明:易知直线AB 一定不为水平直线, 设为x my n =+,设()(112,,A x y B x ,)()222,y D x y -,联立222x y x my n ⎧-=⎨=+⎩,整理得()2221220m y mny n -++-=, 则212221n y y m -=-, 由于外接圆过原点且关于y 轴对称,设为220x y Ey ++=,则221112222200x y Ey x y Ey ⎧++=⎨++=⎩ ⇒()()2222211122,y x y y x y +=+ ⇒()22122y y +()21222y y =+ ⇒()()121210y y y y --=又12y y ≠，所以121y y =(3)因为2122211n y y m -==-, 所以221n m =+则原点到直线AB的距离1d ==,故存在定圆221x y +=与直线AB 相切11．（2022·全国·高三专题练习）如图，已知双曲线C ：2221x y a-=（0a >）的右焦点F ，点,A B 分别在C 的两条渐近线上，AF x ⊥轴，,AB OB BF ⊥∥OA （O 为坐标原点）.(1)求双曲线C 的方程；(2)过C 上一点()()00,0o P x y y ≠的直线002:1x xl y y a -=与直线AF 相交于点M ，与直线32x =相交于点N ，证明：当点P 在C 上移动时，MFNF恒为定值，并求此定值. 【答案】(1)22 1.3x y -=(2)23【分析】（1）表达出直线OB 方程，直线BF 的方程，联立后得到B 点坐标，得到直线AB 的斜率，根据垂直关系得到方程，求出23a =，从而求出双曲线方程；（2）求出M 点坐标，N 点坐标，表达出220222004(23)9[(2)]x MF NF y x -=+-，结合220013x y -=得到2243MF NF =，从而得到MF NF恒为定值，并求此定值. (1)设(c,0)F ， 因为1b =，所以21c a =+OB 方程为1y x a=-， 直线BF 的方程为1()y x c a =-，解得：(,)22c cB a -， 又直线OA 的方程为1y x a=，则3(,),.AB c A c k a a =又因为AB ⊥OB ，所以31()1a a-=-，解得：23a =， 故双曲线C 的方程为22 1.3x y -=(2)由（1）知3a =l 的方程为0001(0)3x xy y y -=≠，即0033x x y y -=，因为直线AF 的方程为2x =，所以直线l 与AF 的交点0023(2,)3x M y - 直线l 与直线32x =的交点为003332(,)23x N y-，则220222004(23)9[(2)]x MF NF y x -=+- 因为是C 上一点，则220013x y -=，代入上式得2222000222222000004(23)4(23)4(23)49[(2)]3(23)39[1(2)]3x x x MF x NF y x x x ---====+---+-，所求定值为233MF NF =. 12．（2022·河北衡水中学一模）在平面直角坐标系xOy 中，双曲线()2222:10,0y x C a b a b-=>>的离心率为2，实轴长为4.(1)求C 的方程；(2)如图，点A 为双曲线的下顶点，直线l 过点()0,P t 且垂直于y 轴（P 位于原点与上顶点之间），过P 的直线交C 于G ，H 两点，直线AG ，AH 分别与l 交于M ，N 两点，若O ，A ，N ，M 四点共圆，求点P 的坐标. 【答案】(1)22144-=y x (2)()0,1【分析】（1）根据双曲线的离心率结合实轴长，可求得a,b ,即得答案;（2）根据O ，A ，N ，M 四点共圆结合几何性质可推出1AN OM k k ⋅=，设()11,G x y ，()22,H x y ，(,)M M M x y ，从而可以用点的坐标表示出t ,再设直线:GH y kx t =+，联立双曲线方程，利用根与系数的关系式，代入t 的表达式中化简，可得答案.(1)因为实轴长为4，即24a =，2a =， 又2ca=22c =2224b c a =-=， 故C 的方程为22144-=y x .(2)由O ，A ，N ，M 四点共圆可知，ANM AOM π∠+∠=， 又MOP AOM π∠+∠=，即ANM MOP ∠=∠， 故1tan tan tan ANM MOP OMP∠=∠=∠，即1AN OMk k -=-，所以1AN OM k k ⋅=, 设()11,G x y ，()22,H x y ，(,)M M M x y ， 由题意可知()0,2A -，则直线112:2y AG y x x +=-，直线222:2y AH y x x +=-， 因为M 在直线l 上，所以M y t =，代入直线AG 方程，可知()1122M t x x y +=+，故M 坐标为()112,2t x t y +⎛⎫⎪+⎝⎭，所以()()1122OM t y k t x +=+，又222AN AH y k k x +==，由1AN OM k k ⋅=，则()()12122212t y y t x x ++⋅=+， 整理可得()()1212222y y t t x x +++=， 当直线GH 斜率不存在时，显然不符合题意，故设直线:GH y kx t =+，代入双曲线方程：22144-=y x 中，可得()2221240k x ktx t -++-=，所以12221kt x x k -+=-，212241t x x k -=-，又()()()()12122222y y kx t kx t ++=++++()()()()()()22222212122222422222111t t kt k x x k t x x t k k t t k k k -+--=+++++=⋅++⋅++=---， 所以()()()()()()22212221222222221204421t y y t t t k t t t x x t t k -+++-+-++-====+≠----, 故2t t =-，即1t =，所以点P 坐标为()0,1.【点睛】本题考查了双曲线方程的求解，以及直线和双曲线的位置关系的问题，解答时要注意明确点线的位置关系，能设相关点的坐标，从而表示出参数的表达式，再结合联立直线和双曲线方程，利用根与系数的关系式化简，难点在于较为繁杂的计算，要十分细心.13．（2022·河南·三模（理））已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的右焦点为(),0F c ，a ，b ，c 成等差数列，过F 的直线交双曲线C 于P ､Q 两点，若双曲线C 过点165,3T ⎛⎫- ⎪⎝⎭.(1)求双曲线C 的标准方程；(2)过双曲线C 的左顶点A 作直线AP ､AQ ，分别与直线x m =交于M ､N 两点，是否存在实数m ，使得以MN 为直径的圆恒过F ，若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由.【答案】(1)221916x y -=(2)存在，21m =或95m = 【分析】（1）利用待定系数法求双曲线方程；（2）假设存在实数m ，使得以MN 为直径的圆恒过F ，则0MF NF ⋅=，结合韦达定理可得m 的值. (1)由已知设双曲线方程为22221x y a b-=，又a ，b ，c 成等差数列，且双曲线过点165,3T ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则()2222222216531a c ba b c a b +=⎧⎪⎛⎫⎪ ⎪⎪-⎪⎝⎭-=⎨⎪=+⎪⎪⎪⎩，解得3a =，4b =，5c =， 故所求方程为221916x y -=， (2)由（1）得()30A -,，设AP ､AQ 方程分别为()13y k x =+､()23y k x =+， 则()()1,3M m k m +，()()2,3N m k m +，因为以MN 为直径的圆经过()5,0F ，所以MF NF ⊥即0MF NF ⋅=， 即()()2212530m k k m -++=，设PQ 方程为5x ny =+，与221916x y -=联立得()221691602560n y ny -++=， 设()11,P x y ，()22,Q x y ，则122160169n y y n +=--，122256169y y n =-， 所以()()()121212122121212123388864y y y y y y k k x x ny ny n y y n y y =⋅==+++++++，即()1222225649256128064169k k n n n ==--+-， 所以()()2245309m m --+=，251141890m m -+=，解得21m =或95m =. 题型二：相同渐近线双曲线方程求法 一、单选题1．（2022·浙江嘉兴·模拟预测）已知双曲线C 的渐近线方程为340x y ±=，且焦距为10，则双曲线C 的标准方程是（ ） A ．221916x y -=B ．221169x y -=C ．221169x y -=或221916y x -= D ．221916x y -=或221169y x -=【答案】C【分析】根据共渐近线0bx ay ±=的双曲线的设法2222x y a bλ-=，结合题意分析求解．【详解】渐近线方程为340x y ±=的双曲线为22169x y λ-=，即221169x y λλ-=，故25||25λ=，故1λ=±， 故选：C ．2．（2020·全国·高三专题练习）已知双曲线C 与双曲线22126x y -=有公共的渐近线，且经过点(P -，则双曲线C 的离心率为（ ）．A B C ．4 D ．2【答案】D【解析】双曲线C 与双曲线22126x y -=有公共的渐近线，设双曲线C 的方程2226x y λ-=，其中λ≠0，又因为点(P -在双曲线上，再代入点P 的坐标即可得到双曲线C 的方程，然后求解焦距即可． 【详解】双曲线C 与双曲线22126x y -=有公共的渐近线， 设双曲线C 的方程2226x y λ-=，其中λ≠0，∵点(P -在双曲线上， ∴122λ-=，解之得32λ=， 因此双曲线方程为22139x y -=,a c ==故离心率为2ce a==.故选：D .【点睛】本题考查双曲线的性质及离心率，根据题意列出未知数，解出a ，b ，c 即可求得离心率，属于中等题.3．（2020·全国·高三专题练习）已知双曲线C 的一个焦点为()0,5，且与双曲线2214x y -=的渐近线相同，则双曲线C 的标准方程为A ．2214y x -=B ．221520y x -=C ．221205x y -=D ．2214x y -=【答案】B【解析】根据焦点所在坐标轴和渐近线方程设出双曲线的标准方程，结合焦点坐标求解. 【详解】∵双曲线C 与2214x y -=的渐近线相同，且焦点在y 轴上，∴可设双曲线C 的方程为2214y x k k -=，一个焦点为0,5，∴425k k +=，∴5k =，故C 的标准方程为221520y x -=.故选：B【点睛】此题考查根据双曲线的渐近线和焦点求解双曲线的标准方程，易错点在于漏掉考虑焦点所在坐标轴导致方程形式出错. 二、多选题4．（2020·全国·高三阶段练习）已知双曲线C 过点(且渐近线为y =，则下列结论正确的是（ ） A ．C 的方程为2213y x -=B ．C 的离心率为2C ．曲线2331x y e -=-经过C 的一个焦点D 10y --=与C 有两个公共点【答案】BC【解析】设所求双曲线方程为()2230x y λλ-=≠，将点(代入可判断A ；由A 求出,,a b c ，即可求出离心率，判断B ；求出双曲线C 的右焦点的坐标为⎫⎪⎪⎝⎭，代入曲线方程即可判断C ；联立方程组可判断D.【详解】对于选项A ，由y =可得223y x =，从而可设所求双曲线方程为()2230x y λλ-=≠.又由双曲线C 过点(，代入得2231λ⨯-=，即1λ=，故选项A 错误；对于选项B ，由双曲线C 的方程可知a =1b =，c = 所以C 的离心率2ce a==，故选项B 正确；对于选项C ，双曲线C 的右焦点的坐标为⎫⎪⎪⎝⎭，满足2331x y e -=-，故选项C 正确；对于选项D ，联立221031y x y --=-=⎪⎩，解得x =0y =，10y --=与双曲线C 只有一个交点⎫⎪⎪⎝⎭，故选项D 错误.故选：BC .【点睛】本题考查双曲线的几何性质､直线与双曲线的位置关系，考查运算求解､推理论证能力，考查直观想象､数学运算､逻辑推理核心素养，属于基础题.5．（2021·全国·高三专题练习）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点为F ，一条渐近线过点(，则下列结论正确的是（ ） A ．双曲线CB ．双曲线C 与双曲线22124y x -=有相同的渐近线C ．若F 到渐近线的距离为2，则双曲线C 的方程为22184x y -=D ．若直线2:a l x c=与渐近线围成的三角形面积为则焦距为【答案】BCD【解析】根据渐近线所过的点可求,a b 的关系，从而可求渐近线的方程和离心率，故可判断A 、B 的正误，利用已知的条件和,a b 的关系可求基本量，从而可判断C 、D 的正误.【详解】渐近线的方程为by x a=±，因为一条渐近线过点(，故b a ⨯=a ==A 错误.又渐近线的方程为y x =，而双曲线22124y x -=的渐近线的方程为y x =， 故B 正确.若F 到渐近线的距离为2，则2b =，故a =所以双曲线C 的方程为22184x y -=，故C 正确.直线2:a l x c =与渐近线的两个交点的坐标分别为：2,a ab c c ⎛⎫ ⎪⎝⎭及2,a ab c c ⎛⎫- ⎪⎝⎭，故2122a abc c⨯⨯⨯即23a b =，而a =，故b =，a =，所以23=，所以c =D 正确. 故选：BCD.【点睛】方法点睛：（1）求双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的渐近线的方程，一般是将等号右边的常数变为零； （2）双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的焦点到渐近线的距离为b .三、填空题6．（2022·辽宁·模拟预测）焦点在x 轴上的双曲线C 与双曲线22149x y -=有共同的渐近线，且C 的焦点到一条渐近线的距离为C 的方程为______． 【答案】221818x y -=【分析】由共渐近线的双曲线系方程可设()22:049x y C λλ-=>，根据焦点到渐近线距离为b 可构造方程求得λ，由此可得双曲线方程.【详解】由题意可设双曲线C 的方程为：()22049x y λλ-=>，即22149x y λλ-=； 则24a λ=，29b λ=，双曲线焦点到渐近线距离为b ，∴2λ=， ∴双曲线C 的方程为：221818x y -=.7．（2022·全国·高三专题练习）若双曲线2222:1y x C a b -=（0a >，0b >）与双曲线22:146x y D -=有相同的渐近线，且C 经过点()2,6，则C 的实轴长为_________【答案】【分析】根据给定条件求出a ，b 的关系，再由双曲线C 过的点即可计算作答.【详解】双曲线2222:1y x C a b -=的渐近线为a y x b =±，而双曲线22:146x y D -=的渐近线为y x =，依题意，a b =C 经过点()2,6，则223641a b -=，解得：a b == 所以双曲线C的实轴长为故答案为：四、解答题8．（2022·全国·高三专题练习）已知双曲线()22122:10,0x y C a b a b-=>>与222:193x x C -=有相同的渐近线，点()2,0F 为1C 的右焦点，,A B 为1C 的左，右顶点.（1）求双曲线1C 的标准方程；（2）若直线l 过点F 交双曲线1C 的右支于,M N 两点，设直线,AM BN 斜率分别为12,k k ，是否存在实数入使得12k k λ=若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）2213y x -=；（2）存在，13λ=-. 【分析】（1）根据2C的渐近线方程求出ba=c 的值，从而求双曲线1C 的标准方程；（2）设出直线l 的方程，与椭圆方程联立消元写韦达；然后表示出直线,AM BN 斜率，根据韦达定理求12k k 的值，从而求出λ的值.【详解】（1）2C的渐近线为y =，b a∴22c a=+=，1,a b ∴==， 所以双曲线1C 的标准方程2213y x -=. （2）由已知，()()()()11221,01,0,,,,,A B M x y N x y -，l 过点()2,0F 与右支交于两点，则l 斜率不为零，设:2l x my =+，由22132y x x my ⎧-=⎪⎨⎪=+⎩，消元得()22311290m y my -++=， 因为l 与双曲线右支交于两点，所以21223109031m y y m ⎧-≠⎪⎨=<⎪-⎩，解得m ⎛∈ ⎝⎭ ()()()2221249313610m m m ∆=-⨯-=+>，121222129,3131m y y y y m m ∴+=-=--， 121212,011y yk k x x ==≠+-，()()()()121211212212112211133y x y my k my y y k y x y my my y y -++∴===-++， 121212493y y m m y y +=-=-，()121234my y y y ∴=-+， ()()121121212212313144433933444y y y y y k k y y yy y -++-∴===--++-+，∴存在13λ=-使得12k k λ=.题型三：直接法解决离心率问题 一、单选题1．（2022·广东·佛山市南海区艺术高级中学模拟预测）已知双曲线的方程2214x y -=，则该双曲线的离心率为 （ ） ABCD【答案】D【分析】由双曲线方程可求得2,1,a b c ==. 【详解】由2214x y -=可得：2,1,a b c ===，故离心率为c e a ==， 故选：D2．（2022·黑龙江·哈九中模拟预测（理））如图1所示，双曲线具有光学性质：从双曲线右焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的左焦点．若双曲线()2222:10,0x y E a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，从2F 发出的光线经过图2中的A ，B 两点反射后，分别经过点C 和D ．且3cos 5BAC ∠=-，AB BD ⊥，则E 的离心率为（ ）A ．5B ．103C ．52D ．173【答案】D【分析】设2||AF m =，2||BF n =，由双曲线的定义可得1||AF ，1||BF ，在直角三角形1AF B 中，在12AF F △中，运用锐角三角函数的定义、勾股定理和余弦定理，化简整理，结合离心率公式，可得所求值． 【详解】解：设2||AF m =，2||BF n =，由双曲线的定义可得1||2AF a m =+，1||2BF a n =+， 由3cos 5BAC ∠=-，可得12cos 53F AF ∠=，在直角三角形1AF B 中，122s 54in 2a n F AF a m +∠==+，① 222(2)()(2)a n m n a m +++=+，②在12AF F △中，可得2224(2)2(2)53c m a m m a m =++-+⋅③ 由①②可得23an =，43a m =， 代入③可得222161008104993353a a a a c =+-⨯⨯， 即为22917c a =，则173c e a ==， 故选：D ．3．（2022·浙江金华·三模）已知双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>，O 为坐标原点，F 为双曲线C 的左焦点，若C 的右支上存在一点P ，使得OFP △外接圆M 的半径为1，且四边形MFOP 为菱形，则双曲线C 的离心率是（ ） A ．21+ B ．31+C ．31-D ．2【答案】B【分析】设双曲线C 的右焦点为F '，连接PF '，易证FPF '为直角三角形，解出2a 与2c 代离心率的计算公式即可求解 【详解】如图所示，设双曲线C 的右焦点为F '，连接PF '因为OFP △外接圆M 的半径为1，则1MO MF MP === 又四边形MFOP 为菱形，所以1OF OF MP '===则MOF △为正三角形，所以60∠=MFO ，30PFO FPO ∠=∠= 因为//OP MF ，所以60POF MFO '∠=∠=，又OP OF '= 所以OPF '△为正三角形，所以60OPF '∠=，所以90FPF '∠= 在Rt FPF '△中，22FF c '==，cos303PF FF '==1PF '= 所以312PF PF a '-= 所以231231c e a ===- 故选：B4．（2022·重庆八中高三阶段练习）如图，已知1F ，2F 为双曲线E ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点，过点1F ，2F 分别作直线1l ，2l 交双曲线E 于A ，B ，C ，D 四点，使得四边形ABCD 为平行四边形，且以AD 为直径的圆过1F ，11DF AF =，则双曲线E 的离心率为（ ）A 2B 3C ．52D 10【答案】D【分析】利用双曲线的定义，几何关系以及对称性，再利用平行四边形的特点， 以及点在圆周上的向量垂直特点，列方程可解. 【详解】设11DF AF x == ，则22DF x a =- ，由双曲线的对称性和平行四边形的对称性可知：21CF AF x == ， 连接1CF ，则有1222CF CF x a =+=+ ，2222DC DF CF x a =+=-由于1F 在以AD 为直径的圆周上，11DF AF ∴⊥ ， ∵ABCD 为平行四边形，//AB CD ，1DF DC ∴⊥ ，在直角三角形1CDF 中，22211CF DF CD =+，()()222222x a x x a +=+- ， 解得：3x a = ，123,DF a DF a == ；在直角三角形12F F D 中，2221212DF DF F F += ，()()22232a a c += ， 得2252a c = ，10ce a= ， 故选：D.5．（2022·贵州黔东南·一模（理））已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>，直线2x a =与C 交于A 、B 两点（A在B 的上方），DA AB =，点E 在y 轴上，且EA x ∥轴．若BDE 的内心到y 轴的距离为43a，则C 的离心率为（ ）. A ．62B ．103C ．6D ．10【答案】B【分析】根据题目信息画出准确图像，本题重难点在于合理利用三角形内心性质，以及角平分线定理，得到,a b 关系后即可求出离心率.【详解】因为A 在B 的上方，且这两点都在C 上，所以(2,3),(2,3)A a b B a b -，则||23AB b =．因为DA AB =，所以A 是线段BD 的中点，又EA x ∥轴，所以||||ED EB =，EA BD ⊥， 所以BDE 的内心G 在线段EA 上．因为G 到y 轴的距离为43a ， 所以4||||324||||23aEG ED a GA DA a ===-，所以60EDA ∠=︒，因此||23||23EA a DA b ==，即3a b =．故2101b e a ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭．故选：B 二、多选题6．（2022·山东烟台·一模）已知双曲线C ：22145x y -=，1F ，2F 为C 的左、右焦点，则（ ） A ．双曲线()221045x y m m m-=>++和C 的离心率相等B ．若P 为C 上一点，且1290F PF ∠=︒，则12F PF △的周长为6214+C ．若直线1y tx =-与C 没有公共点，则6t <6t >D ．在C 的左、右两支上分别存在点M ，N 使得114FM F N =【答案】BC【分析】求得双曲线()221045x y m m m-=>++和C 的离心率判断选项A ；求得12F PF △的周长判断选项B ；由直线与圆锥曲线位置关系的判定判断选项C ；求解满足题意条件的直线MN 判断选项D. 【详解】选项A ：双曲线C ：22145x y -=的离心率32e = 双曲线()221045x y m m m-=>++的离心率e =则双曲线()221045x y m m m -=>++和C 的离心率不一定相等.判断错误； 选项B ：P 为C ：22145x y -=上一点，且1290F PF ∠=︒ 则有222112364PF PF PF PF ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩，整理得12PF PF +=则12F PF △的周长为6+判断正确；选项C ：由221451x y y tx ⎧-=⎪⎨⎪=-⎩，可得22(54)8240t x tx -+-=由题意可知，方程22(54)8240t x tx -+-=无解 当2540t -=时，方程22(54)8240t x tx -+-=有解；当2540t -≠时，则有()()222540896540t t t ⎧-≠⎪⎨+-<⎪⎩，解之得t <t >故若直线1y tx =-与C没有公共点，则t <t >判断正确； 选项D ：根据题意，过双曲线C 的左焦点1F 的直线MN 方程可设为3x ty =-令1122(,),(,)M x y N x y ，由114FM F N =，可得214y y = 由221453x y x ty ⎧-=⎪⎨⎪=-⎩，可得22(54)30250t y ty --+= 则有12212230542554t y y t y y t ⎧+=⎪⎪-⎨⎪=⎪-⎩，则有122123055425454t y t y t ⎧=⎪⎪-⎨⎪=⎪-⎩，整理得2191000t +=，显然不成立.当过双曲线C 的左焦点1F 的直线MN 为水平直线时，方程为0y =则(2,0),(2,0)M N -，11(1,0),(5,0)FM F N ==，即115FM F N =. 综上可知，不存在分别在C 的左、右两支上M ，N 使得114FM F N =.判断错误. 故选：BC 三、填空题7．（2022·安徽·合肥一中模拟预测（理））已知双曲线C ：22214x y b-=（0b >），以C 的焦点为圆心，3为半径的圆与C 的渐近线相交，则双曲线C 的离心率的取值范围是________________．【答案】⎛ ⎝⎭【分析】根据圆心到直线的距离小于半径，即可得c 的范围，进而可得离心率范围. 【详解】双曲线C 的渐近线方程为2by x =±，右焦点(c,0)F ，∵渐近线与圆相交，3<，即3b <，∴2=22413c b =+<， ∴双曲线C的离心率为：c e a =<1e >．∴e ⎛∈ ⎝⎭．故答案为：⎛ ⎝⎭8．（2022·山东日照·二模）如图1所示，双曲线具有光学性质：从双曲线右焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的左焦点.若双曲线()2222:10,0x y E a b a b -=>>的左､右焦点分别为1F ，2F ，从2F 发出的光线经过图2中的A ，B 两点反射后，分别经过点C 和D ，且4cos 5BAC ∠=-，AB BD ⊥，则E 的离心率为___________.【答案】102【分析】连接1F B ，1F A ，设2F B x =，则12F B x a =+，根据诱导公式及同角三角函数的基本关系求出1sin F AB ∠，1tan F AB ∠，再根据锐角三角函数得到143AB F B =、1153F A F B =，从而得到方程求出x ，再在12F F B △利用勾股定理计算可得；【详解】解：如图，连接1F B ，1F A ，则1F ，A ，C 和1F ，B ，D 都三点共线，设2F B x =，则12F B x a =+. 由()14cos cos π5F AB BAC ∠=-∠=， 所以2113sin 1cos 5F AB F AB ∠=-∠=所以111sin 3tan cos 4F AB F AB F AB ∠∠==∠，又AB BD ⊥，所以113tan 4F B F AB AB ∠==，即143AB F B =， 1113sin 5F B F AB F A ∠==，即1153F A F B =， 又22F A AB F B =-，因此1242233F A F A x a a -=+=，即x a =， 在12Rt F F B 中()()22222210c x a x a =++=，即2252c a =.故e =9．（2022·浙江·三模）已知双曲线222:1(0)4x y C b b -=>的两个焦点分别为12,F F ，点()00,P x y 是双曲线第一象限上一点，在点P 处作双曲线C 的切线l ，若点12,F F 到切线l 的距离之积为3，则双曲线C 的离心率为_______．【分析】设()00,P x y ()002,0x y >>，根据直线与双曲线的位置关系可求得在点P 处的切线方程，再根据点到直线的距离公式分别求出点12,F F 到切线l 的距离，列出方程，求出b ，即可求出离心率．【详解】设点()00,P x y ()002,0x y >>，有222222000021444x y y b x b b-=⇒=-． 设在点P 处的切线方程为()00y y k x x -=-，联立双曲线方程，由0∆=可解得204b x k y =，所以切线方程为()()22440b x x y y b--=，1(,0)F c -到切线l距离221d ==，2(,0)F c 到切线l距离222d ==所以()422442240201242242222000041616316416b b x bb c x b d d b b x y b x b x b+--====++-，即b =所以2,a c ==，故e =四、解答题10．（2022·河北张家口·三模）已知0b a >>，点)A ，B ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，动点P 满足|||PA PB =，点P 的轨迹为曲线C . (1)求曲线C 的方程；(2)直线y kx m =+与曲线C 相切，与曲线2222:1x yE a b-=交于M ､N 两点，且π2MON ∠=（O 为坐标原点），求曲线E 的离心率.【答案】(1)222x y b +=；【分析】（1）根据两点间距离距离公式，结合已知等式进行求解即可；（2）根据曲线切线的性质，结合一元二次方程根的判别式、根与系数关系、平面向量垂直的性质、双曲线的离心率公式进行求解即可.(1)设(,)P x y ，由|||PA PB =222x y b +=即为曲线C ； (2)y kx m =+与曲线C 相切，b ∴=2221mb k=+. 设()11,M x y ，()22,N x y ，将y kx m =+代入曲线E 整理得：222222222()2(0)b a k x a kmx a m a b ---+=，2220b a k -≠，222222()40a b m b a k ∆=+->，2122222a kmx x a k b-∴+=-，222212222a m a b x x a k b +=-.π2MON ∠=，0OM ON ∴⋅=，即12120x x y y +=.222222212121212222()()()k a b m b y y kx m kx m k x x km x x m a k b -=++=+++=-， 2222222222222220a m a b k a b m b a k b a k b+-∴+=--，整理得2222221m a b k b a =+-， 22222a b b b a∴=-，即222b a =，223c a =，e =故曲线E【点睛】关键点睛：根据一元二次方程根与系数关系是解题的关键. 题型四：构造齐次方程法求离心率的值或范围 一、单选题1．（2022·湖北省天门中学模拟预测）已知共焦点的椭圆和双曲线，焦点为1F ，2F ，记它们其中的一个交点为P ，且12120F PF ∠=︒，则该椭圆离心率1e 与双曲线离心率2e 必定满足的关系式为（ ） A ．1213e e 144+=B ．221231e e 144+= C ．22123114e 4e += D ．22121314e 4e += 【答案】C【分析】设椭圆的长半轴长为1a ，双曲线的半实轴长2a ，焦距2c ，根据椭圆及双曲线的定义可以用12,a a 表示出12,PF PF ,在12F PF △中根据余弦定理可得到2212314e 4e +的值. 【详解】如图，设椭圆的长半轴长为1a ，双曲线的半实轴长为2a ，则根据椭圆及双曲线的定义1211222,2PF PF a PF PF a +=-=，112212,PF a a PF a a ∴=+=-， 设121222,3π=∠=F F c F PF ， 则在12PF F △中由余弦定理得()()()()22212121212242cos3c a a a a a a a a π=++--+-， ∴化简2221234a a c +=，该式变成22123114e 4e +=. 故选：C.2．（2022·浙江·赫威斯育才高中模拟预测）已知1F ，2F 分别是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点，过1F 的直线l 与双曲线C 左、右支分别交于A ，B 两点，若2||AB BF =，12BF F △23，双曲线C 的离心率为e ，则2e =（ ） A 3B ．2 C ．23+D ．523+【答案】D。
双曲线典型题型归纳
根据
8 0 ,说明所求直线不存在。
2
心，以 O F1 为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且△ F2 AB 是等边 三角形，则双曲线的离心率为（ （A） 3 （B） 5 （C）
5 2
） （D） 1 3
选 D.
1
直线 l 过双曲线
x2 y2 1 的右焦点，斜率 k=2.若 l 与双曲线的两个交点分别在左右 a2 b2
（ ） D C. 1<e< 5 D. e> 5
双曲线复习
一、 基础知识点回顾：
1、 双曲线定义的集合语言表示： 2、 双曲线的标准方程： （化简方法） 3、 双曲线的顶点、 长轴、 短轴、 离心率 （离心率越大， 开口越大） 4、 双曲线的渐近线： （等轴双曲线：实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线。 ） 5、椭圆焦点三角形中，顶点在椭圆上的点到另两点的张角中，以短轴端点到这两点 的张角最大。 6、大题时基本方法：联立直线与双曲线的方程组，设而不求（前提是有交点） 基础题： x2 35 4 y 2 x2 2 y 1 1 4 4 35 35 1、过点（1，3）且渐近线为 y x 的双曲线方程是 2 2 、
则 △PF1F2 的面积为（ A． 6 3
SPF1F2
8、
1 1 PF1 PF2 6 4 12 .选 B. 2 2
（三） 中点弦有关的问题 9、双曲线 x 2 y 2 1 的一弦中点为（2，1） ，则此弦所在的直线方程为 A. y 2 x 1 10、已知双曲线 x 2 B. y 2 x 2 C. y 2 x 3 （
3、
在椭圆
x2 y2 1（ a ＞ b ＞0）中，焦点分别为 F1 、 F2 ，点 P 是椭圆上任意一点， a2 b2
双曲线知识点及经典题型
双曲线知识点及经典题型1. 双曲线的定义与基本性质1.1 定义双曲线是平面上一类特殊的曲线，它的定义可以通过焦点和准线来描述。
给定两个不重合的点F和F’，以及一个与两个焦点的连线垂直且交于O点的直线l，双曲线是满足离心率e大于1的所有点P，使得PF’ - PF = 2a（其中a为常数）。
1.2 基本性质•双曲线有两条渐近线，分别与x轴和y轴平行。
•双曲线有两个顶点V和V’，位于x轴上方和下方。
•双曲线关于x轴和y轴对称。
•双曲线在顶点处与x轴和y轴相切。
2. 双曲线的标准方程双曲线有两种标准方程形式：横轴双曲线和纵轴双曲线。
2.1 横轴双曲线横轴双曲线的标准方程为：x2 a2−y2b2=1其中，a为实数且大于0，b为实数且大于0。
2.2 纵轴双曲线纵轴双曲线的标准方程为：y2 a2−x2b2=1其中，a为实数且大于0，b为实数且大于0。
3. 双曲线的图像及性质3.1 横轴双曲线的图像及性质横轴双曲线的图像呈现出两个分离的弧段，并以原点O为对称中心。
离心率e越大，两个弧段越接近直线；离心率e越小，两个弧段越弯曲。
横轴双曲线的渐近线方程分别为y = ±(b/a)x。
3.2 纵轴双曲线的图像及性质纵轴双曲线的图像呈现出两个分离的弧段，并以原点O为对称中心。
离心率e越大，两个弧段越接近直线；离心率e越小，两个弧段越弯曲。
纵轴双曲线的渐近线方程分别为x = ±(b/a)y。
4. 双曲线的经典题型4.1 确定双曲线方程已知焦点F和F’，准线l以及顶点V的坐标，求双曲线的方程。
例题：已知焦点F(3, 0)和F’(-3, 0)，准线l过原点O(0, 0)，顶点V位于x轴上方。
求双曲线的方程。
解答：首先，我们可以确定横轴双曲线的方程形式为x 2a2−y2b2=1。
根据焦点和准线的定义，焦距为PF′−PF=2a，其中P为横轴双曲线上的任意一点。
由于焦点F和F’的横坐标相等，所以a = 3。
由于准线l过原点O(0, 0)，所以准线l的方程为y = kx（k为常数）。
双曲线常见题型与典型方法归纳(修改版 附详解答案)
双曲线常见题型与典型方法归纳考点一 双曲线标准方程及性质1.双曲线的定义第一定义：平面内与两个定点21,F F 距离的差的绝对值等于|)|2(221F F a a <的点的轨迹。
（1）距离之差的绝对值.（2）当|MF 1|－|MF 2|=2a 时，曲线仅表示焦点F 2所对应的一支；当|MF 1|－|MF 2|=－2a 时，曲线仅表示焦点F 1所对应的一支；当2a =|F 1F 2|时，轨迹是同一直线上以F 1、F 2为端点向外的两条射线；当2a ＞|F 1F 2|时，动点轨迹不存在. 【典例】到两定点()0,31-F 、()0,32F 的距离之差的绝对值等于6的点M 的轨迹（ ）A ．椭圆B ．线段C ．双曲线D ．两条射线 第二定义：平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离的比是常数)1(>e 的动点的轨迹。
2双曲线的标准方程及几何性质标准方程)0,0(12222>>=-b a by a x )0,0(12222>>=-b a bx a y 图形性 质焦点 F 1（-)0,c ，F 2（)0,c F 1（),0c -，F 2（),c o焦距 | F 1F 2|=2c 222c b a =+范围 R y a x ∈≥,|| R x a y ∈≥,||对称 关于x 轴，y 轴和原点对称顶点 （-a ，0）。
（a ，0） （0，-a ）（0，a ）轴 实轴长2a ，虚轴长2b离心率)1(>=e ace （离心率越大，开口越大） 准线ca x 2±=ca y 2±=通径22b d a=22b d a=渐近线x ab y ±= x bay ±=注意：等轴双曲线（1）定义：实轴长与虚轴长相等的双曲线 （2）方程：222x y a -=或222y x a -= （3）离心率e =渐近线y x =±（4）方法：若已知等轴双曲线经过一定点，则方程可设为22(0)x y λλ-=≠ 【典例】 已知等轴双曲线经过点1)-，求此双曲线方程 3双曲线中常用结论（1）两准线间的距离: 22a c （2）焦点到渐近线的距离为b （3）通径的长是ab 22考点二 双曲线标准方程一 求双曲线标准方程的方法（1）定义法，根据题目的条件，若满足定义，求出相应a b c 、、即可求得方程； （2）待定系数法，其步骤是①定位：确定双曲线的焦点在哪个坐标轴上；②设方程：根据焦点的位置设出相应的双曲线方程； ③定值：根据题目条件确定相关的系数。
双曲线重点题型整理
2.定义的应用1动点P 与点F I （0,5）与点F 2（O, -5）满足|PF 1 -|PF 2I =6，则点P 的轨迹方程为2•已知点F i （40）和F 2（4,O ），曲线上的动点P 到F 、F 2的距离之差为6,则曲线方程为（4双曲线4X2-y 2 +64 =0上一点P 到它的一个焦点的距离等于i6.5，则点P 到另一个焦点的距离等于2 25•设P 是双曲线”L i上一点，双曲线的一条渐近线方程为3x —2y =0, F i ，F2分别是双曲线的左、右焦点，若 |PF i | =3，贝y PF 2的值为6•已知双曲线的中心在 原点，两个焦点F i , F 2分别为（J 5,O ）和（-75,0），点P 在双曲线上且PF i 丄PF 2，且△PF i F ?的面 积为1,则双曲线的方程为7.已知双曲线的两个焦点为 F i （—J 5,0）, F 2（J 5,O ） , P 是双曲线上的一点, 的方程是2每=i （b A O ）的焦点，过F 2作垂直于X 轴的直线交双曲线于点 P,且N PF I F 2 =30°；则b2 2X y9•双曲线一 -L =i 的两个焦点为F I ,F 2，点P 在双曲线上，若PF i 丄PF 2,则点P 到X 轴的距离为9 i622i0.双曲线i6x -9y =144上一点P （x o ,y o ）（x oV 0）到左焦点距离为 4，贝U X o = _______ . _______2 2 2 2ii •若椭圆X+y=i （m ：＞n ＞0）和双曲线X -y=i （a ：＞b:＞0）有相同的焦点 h, F ?，点P 是两条曲线的一个交点，则m n a b|P F I HPF2I 的值为2 2 2 2 _ _ _双曲线222X y , yA •——=i B.—2X■y=i(y>0) C 22222X y …y X .X ——-L=i 或 L-——=i D •—丄=i(x>0)3.已知平面上两定点 F , F 2及动点 M ，命题甲: MF I -MF 2 =2a （ a 为常数），命题乙："点M 轨迹是以为焦点的双曲线”，则命题甲是命题乙的A :充分不必要条件（）B:必要不充分条件C :充要条件D :既不充分也不必要条件且 PR 丄PF 2, PF 1 {PF 2=2，则该双曲线2 2A ：X-丄=i 2 32 2B ：0 丄=i3 22C —yUD ：X 28.已知F i ,F 2为双曲线2i2.动圆与两圆X +y =i 和X +y —8x +i2 = 0都相切，则动圆圆心的轨迹为（A .抛物线［来源学"网］B .圆 C.双曲线的一支 D .椭圆2 2i3. P 是双曲线 筈—与=i （a ：＞0, bAO ）左支上的一点，F i , F 2为其左、右焦点，且焦距为2c ，则△ PF i F 2的内切圆圆a b心的横坐标为 _________二.双曲线的几何性质1.“ab<0”是“方程ax2+ by 2=c 表示双曲线”的（）B : ±3C :25D :92 214.曲线 一+—=1(m <6)与曲线 10 -m 6 -m 2 2x y --- =1(5cmc9)的A:焦距相等B:离心率相等222x y x15.已知椭圆—=1和双曲线——2 - 2D :准线相同C :焦点相同2=1有公共焦点，那么双曲线的渐近线方程16.已知方程ax2+by 2 =b （ab V0），则此曲线是A .必要不充分条件B .充分不必要条件C .充要条件D .既不充分又不必要条件_ 2 2*—2•双曲线2x -y =m 的一个焦点是（0,寸3）,则m 的值是 3•如果双曲线的渐近线方程为y=±3x ，则离心率为44.双曲线mx + y 2=1的虚轴长是实轴长的 2倍，贝y m = A: -45.双曲线2y2 a2y b 2=1的两条渐进线互相垂直，那么该双曲线的离心率为A: 26.双曲线y 2=1的实轴长、虚轴长、焦距成等比数列，则其离心率为D ：73-y 2=1上一点，贝U P 到两条渐近线的距离的积为2x28•双曲线 筈-爲=1的两条渐近线互相垂直，则双曲线的离心率为b7. P 是双曲线2 (x)9•已知双曲线2 2x y—^― =1的两条渐近线的夹角为3T—，则双曲线的离心率为310.已知双曲线 11.若双曲线2 2;—+L =1的离心率为e <2，则 4 k2 2务—每=1的一条渐近线的倾斜角为 a bk 的范围为，其离心率为［来源学科x 212方程2 +m 2-m2■^=1表示双曲线，则 m 的取值范围A : —2 < m < 2B : m >0C : m 二0D ：i m 322 2 2 213■椭圆34+牙1和双曲线于16 =1有相同的焦点, 则实数 n 的值是A:焦点在X 轴上的双曲线 B :焦点在y 轴上的双曲线 C:焦点在X 轴上的椭圆 D :焦点在y 轴上的椭圆4.三.求双曲线方程 1.已知圆C i :(X +5)2 +y 2 =49与圆C 2 : (x-5)2+y 2=1，圆C 与圆G ，圆C 2均外切；则圆C 的圆心C 的轨迹方程2•若双曲线的两个焦点分别为(0, -2),(Q2)，且经过点(2,陌，则双曲线的标准方程为22223.与曲线 —+-^=1共焦点，而与 —=1共渐近线的双曲线方程为24 4936 642 2 2 2 2 2 2,y X rXy 小 yx fXA 丄一——=1B :——=1 C:L_——=1D :—16 916 9 91694•已知双曲线中心在原点，一个顶点的坐标为(3,0),且焦距与虚轴长之比为 5: 4，则双曲线的标准方程是5.已知双曲线通过 M (1,1), N(—2,5)两点，求双曲线的标准方程2X 2 _6. (1 )设P 是双曲线；-y =1上的动点，O 为坐标原点,4四.直线与双曲线2 2双曲线X -y =1的左焦点为F,点P 为左支的下半支上任一点(非顶点)，则直线PF 的斜率的范围是()A . (4, 0] U [1 , +S)B . (4, 0)u( 1, + S)C. (4, -1)u [1 , +s)D. (-m, -1 )U( 1, +s2 2已知双曲线 占-一=1的焦点为F , , F 2，离心率为2. a 3(1)求此双曲线渐近线 L , ,L 2方程;(2)若A,B 分别为L , L 2上的动点，且2A ^5F 1F 2 ;求线段AB 中点M 的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线。
高三数学双曲线知识点总结归纳
高三数学双曲线知识点总结归纳双曲线是高中数学中重要的一章，它不仅在数学理论体系中具有重要作用，还在实际生活中有广泛的应用。
下面是对高三数学双曲线知识点的总结与归纳。
一、双曲线的定义和基本形态双曲线是平面上各点到两个定点的距离之差等于常数的轨迹。
双曲线由两个分离的支线组成，其基本形态可以分为两种类型：横轴双曲线和纵轴双曲线。
横轴双曲线的中心在横轴上，纵轴双曲线的中心在纵轴上。
二、双曲线的方程1. 横轴双曲线的方程（1）标准方程：$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$（2）近似方程：$y=\pm \frac{b}{a} \sqrt{x^2-a^2}$2. 纵轴双曲线的方程（1）标准方程：$\frac{y^2}{a^2}-\frac{x^2}{b^2}=1$（2）近似方程：$x=\pm \frac{a}{b} \sqrt{y^2-a^2}$三、双曲线的性质1. 焦点和准线：横轴双曲线有两个焦点和两条准线，纵轴双曲线也有两个焦点和两条准线。
2. 对称性：双曲线关于横轴、纵轴和原点对称。
3. 渐近线：横轴双曲线有两条渐近线，纵轴双曲线也有两条渐近线。
4. 离心率：双曲线的离心率定义为焦距与准线之间的比值，离心率大于1。
5. 直径：双曲线的直径是通过焦点的直线段，并且双曲线上的每一点都在某条直径上。
四、双曲线的图像与应用1. 横轴双曲线的图像横轴双曲线的图像呈现出两个分离的支线，它在物理学、电子学和光学中有广泛的应用，例如抛物面反射器、双折式天线等。
2. 纵轴双曲线的图像纵轴双曲线的图像同样由两个分离的支线构成，它在物理学、力学、天文学等领域有广泛的应用，例如行星运动的轨道、卫星发射轨道等。
五、双曲线的解析几何应用1. 双曲线的切线双曲线的切线过双曲线上的一点$P(x_0, y_0)$，切线方程为$\frac{xx_0}{a^2}-\frac{yy_0}{b^2}=1$。
2. 双曲线的渐近线横轴双曲线的渐近线方程为$y=\pm \frac{b}{a} x$，纵轴双曲线的渐近线方程为$x=\pm \frac{a}{b} y$。
08 高二数学重难点知识汇总 双曲线
高二数学重难点知识汇总第八讲 双曲线一．重难点讲解知识点一 双曲线的定义平面内与两个定点1F ，2F 的距离的差的绝对值等于常数(小于21F F 且不等于零)的点的 轨迹叫做双曲线,这两个定点叫做双曲线的焦点,两焦点的距离叫做双曲线的焦距。
注意（1）在此定义中“常数要大于0且小于21F F ”这一限制条件十分重要,不可去掉。
（2）如果定义中常数改为等于21F F ,此时动点轨迹是以1F 、2F 为端点的两条射线(包 括端点)。
（3）如果定义中常数为0,此时动点轨迹为线段1F 2F 的垂直平分线。
（4）如果定义中常数改为大于21F F ,此时动点轨迹不存在。
（5）若定义中“差的绝对值”中的“绝对值”去掉的话,点的轨迹成为双面线的一支。
（6）设()y x M ,为双曲线上的任意一点,若M 点在双曲线右支上,则()02,2121>=->a a MF MF MF MF ；若M 在双曲线的左支上,则a MF MF MF MF 2,2121-=-<,因此得a MF MF 221±=-,这是与椭圆不同的地方。
知识点二 双曲线的标准方程1.如何正确理解双曲线的标准方程的两种形式（1）通过比较两种不同类型的双曲线方程()0,12222>>=-b a b y a x (焦点在x 轴上)和()0,12222>>=-b a bx a y (焦点在y 轴上),可以看出,如果2x 项的系数是正的,那么焦点就在 x 轴上；如果2y 项的系数是正的,那么焦点就在y 轴上。
对于双曲线，a 不一定大于b ,因此不能像椭圆那样通过比较分母的大小来判定焦点在哪一条坐标轴上。
焦点在x 轴上的方程，只要将y x ,互 换就能得到焦点在y 轴上的方程。
(2)无论双曲线的焦点在哪个坐标轴上，标准方程中的c b a ,,三个量都满足222b ac +=所以c b a ,,恰好构成一个直角三角形的三边,且c 为斜边,如图所示。
双曲线重点难点知识点总结
双曲线重点难点知识点总结双曲线是几何学中的重要概念，是平面解析几何中一类具有独特性质的曲线。
以下是对双曲线重点、难点和知识点的总结：一、重点1.双曲线的定义和标准方程双曲线的定义包括焦点在x轴和y轴上的双曲线，以及等轴双曲线。
需要掌握每种双曲线的标准方程以及它们的特点。
2.双曲线的几何性质双曲线的几何性质包括范围、对称性、顶点、焦点、离心率等。
需要理解这些性质的含义和计算方法，以及它们在不同类型双曲线中的表现。
3.双曲线的标准方程的推导方法双曲线的标准方程可以通过代入法、点差法、平方差法等方法进行推导。
需要掌握这些方法，并理解它们在不同情况下的适用性。
二、难点1.双曲线标准方程的理解和应用双曲线标准方程的形式相对复杂，需要理解其含义和应用方法。
特别是对于焦点在y轴上的双曲线，标准方程的形式更为复杂，需要注意符号和系数的含义。
2.双曲线的几何性质的灵活运用双曲线的几何性质多样，不同情况下需要运用不同的性质进行求解。
需要具备灵活运用这些性质的能力，特别是在求解双曲线与坐标轴的交点、求双曲线的离心率等问题时。
3.双曲线与直线的交点坐标的求解方法求解双曲线与直线的交点坐标是双曲线学习中的一个难点。
需要掌握代入法、点差法等方法，以及了解它们在不同情况下的适用性。
同时还需要理解直线与双曲线的位置关系对交点数量的影响。
三、知识点总结1.双曲线的定义和标准方程定义包括焦点在x轴、焦点在y轴和等轴双曲线。
需要掌握每种双曲线的标准方程以及它们的特点。
同时还需要了解如何根据标准方程计算双曲线的范围、对称性、顶点、焦点和离心率等性质。
2.双曲线的几何性质的灵活运用需要了解双曲线的范围、对称性、顶点、焦点和离心率等性质的计算方法和含义，并能够灵活运用这些性质进行求解。
特别是在求解双曲线与坐标轴的交点、求双曲线的离心率等问题时，需要运用相应的性质进行求解。
3.双曲线标准方程的推导方法需要掌握代入法、点差法、平方差法等方法，并理解它们在不同情况下的适用性。
专题3.4双曲线的简单几何性质(九个重难点突破)(解析版)-高二数学上学期重难点和易错点突破
双曲线的简单几何性质专题3.4离心率1c e a=>渐近线b y xa=±a y xb=±知识点二等轴双曲线实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线,它有以下性质：(1)方程形式为22)0(x y λλ-=≠；(2)渐近线方程为y x =±,它们互相垂直；(3)离心率2e =重难点1已知方程求焦距、实轴、虚轴1．已知12,F F 是双曲线2221(0)3y x a a-=>的两个焦点，若双曲线的左､右顶点和原点把线段12F F 四等分，则该双曲线的焦距为（）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】D【分析】根据题意列出方程组222243c a c a ⎧=⎨=+⎩进行求解即可.【详解】因为12,F F 是双曲线2221(0)3y x a a-=>的两个焦点，若双曲线的左､右顶点和原点把线段12F F 四等分，所以24c a =，即2c a =，即224c a =，又因为223c a =+，解得2214a c ⎧=⎨=⎩，所以c =2，所以该双曲线的焦距为2224c =⨯=.故选：D2．双曲线221x y m-=的实轴长是虚轴长的3倍，则m 的值为（）A ．9B ．－9C ．19D ．19-【答案】C【分析】根据双曲线的方程，求得1,a b ==.【详解】由双曲线221x y m-=，可得0m >，且1,a b ==因为双曲线的实轴长是虚轴长的3倍，可得3a b =，即1=19m =.故选：C.3．已知双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>的左顶点为A ，右焦点为F ，焦距为6，点M 在双曲线C 上，且MF AF ⊥，2MF AF =，则双曲线C 的实轴长为（）A ．2B ．4C ．6D ．8【答案】A【分析】运用代入法，结合已知等式进行求解即可.【详解】把x c =代入22221x y a b -=中，得2b y a =±，即2b MF a=，因为AF a c =+，2MF AF =，所以()22b a c a=+⇒22222c a ac a -=+，又3c =，所以2230a a +-=，解得1a =，3a =-舍去，则22a =.故选：A4．如图，这是一个落地青花瓷，其外形被称为单叶双曲面，可以看成是双曲线C ：22221x y a b-=的一部分绕其虚轴所在直线旋转所形成的曲面.若该花瓶横截面圆的最小直径为8cm ，瓶高等于双曲线C 的虚轴长，则该花瓶的瓶口直径为（）A ．cmB ．24cmC ．32cmD ．cm【答案】D【分析】求出4a =，设出(),M r b ，代入双曲线方程，求出r =.【详解】因为该花瓶横截面圆的最小直径为8cm ，所以4a =.设M 是双曲线C 与瓶口截面的一个交点，该花瓶的瓶口半径为r ，则(),M r b ，所以222214r b b-=，解得r =2r =.故选：D5．若实数m 满足05m <<，则曲线221155x y m -=-与曲线221155x y m -=-的（）A ．离心率相等B ．焦距相等C ．实轴长相等D ．虚轴长相等【答案】B【分析】根据双曲线的性质逐一分析判断即可.【详解】因为05m <<，所以50,150m m ->->，所以曲线221155x y m -=-与曲线221155x y m -=-都是焦点在x 轴上的双曲线，15520155m m m +-=-=-+，所以两曲线的焦点和焦距都相同，故B 正确；因为20201515m m m--≠-，所以离心率不相等，故A 错误；因为1515m ≠-，所以实轴长不相等，故C 错误；因为55m -≠，所以虚轴长不相等，故D 错误.故选：B.6．等轴双曲线2221(0)x y a a-=>的焦距为.【答案】【分析】根据等轴双曲线定义得到221a b ==，进而求出c =.【详解】由题意得，221a b ==，故2222c a b =+=，故c =2c =.故答案为：7．已知椭圆22122:1(0)x y C a b a b +=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，M 是1C 上任意一点，12MF F △的面积的1C 的焦距为2，则双曲线22222:1y x C a b-=的实轴长为．【答案】4【分析】根据椭圆焦点三角形的性质即可列方程求解2,a b =⎧⎪⎨=⎪⎩，进而可求解.【详解】由于12MF F △的面积为122M c y cb ⨯⨯≤，由题意知22222,,c b c a b c ⎧⋅=⎪=⎨⎪=+⎩所以2,a b =⎧⎪⎨⎪⎩故双曲线2C 的方程为22143y x -=，则2C 的实轴长为4．故答案为：4重难点2已知方程求双曲线的渐近线8．双曲线()22102y x a a a-=≠的渐近线方程为（）A ．2y x =±B ．12y x =±C．y =D．2y x =【答案】C【分析】利用双曲线渐近线方程定义计算即可.【详解】由题意可得：双曲线()22102y x a a a-=≠渐近线斜率为k ==，则其渐近线方程为：y =．故选：C9．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的离心率为e，若点(与点(),2e 都在双曲线上，则该双曲线的渐近线方程为（）A ．y x=±B．y =C．y =D ．2y x=±【答案】B【分析】根据给定条件，列出方程组，结合离心率的意义求出,a b 作答.【详解】由点,2)e 在双曲线22221x y a b -=上，得2222241461e a b a b ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，则222420e a b --=，即2222214b e e a==--，整理得42560e e -+=，解得22e =或23e =，当22e =时，22a b =，此时方程22461a b -=无解，当23e =时，222b a =，而22461a b -=，解得1,a b ==，所以该双曲线的渐近线方程为y =.故选：B10．双曲线22139x y -=的两条渐近线的夹角为（）A ．30︒B ．45︒C ．60︒D ．120︒【答案】C【分析】根据题意求得双曲线的渐近线方程，进而求得其夹角.【详解】由双曲线22139x y -=，可得3a b ==，所以双曲线的渐近线的方程为by x a=±=，所以两渐近线y =的夹角为60︒.故选：C.11．在平面直角坐标系xOy 中，双曲线2221x y -=的渐近线方程为（）A．2y x =±B．y =C ．y x =±D．y x =【答案】B【分析】化简双曲线的方程为标准方程，求得,a b 的值，结合双曲线的几何性质，即可求解.【详解】由双曲线2221x y -=，可得其标准方程为22112x y -=，所以12a b ==，则双曲线的渐近线方程为by x a=±=.故选：B.12．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的一个焦点是F ，点F 到C 的渐近线的距离为d ，则d （）A ．与a 有关B ．与a 无关C ．与b 有关D ．与b 无关【答案】BC【分析】根据双曲线标准方程可求得焦点坐标，再利用点到直线距离即可求出d b =，便可得出结论.【详解】设双曲线C 的焦距为2c ，不妨取右焦点F 的坐标为(),0c，如下图所示：双曲线C 的渐近线方程是by x a=±，即bx ay ±=0，所以===bcd b c，所以d 与a 无关，与b 有关.故选：BC.13．双曲线2221(0)36x y a a -=>的渐近线方程为2y x =±，则=a ．【答案】3【分析】根据双曲线的渐近线方程即可求解.【详解】2221(0)36x y a a -=>的渐近线方程为6y x a =±，所以623a a =⇒=，故答案为：314．已知双曲线()22:10y C x n n-=>的一条渐近线为0nx =，则C 的离心率为.2n ==，进而求出双曲线的离心率.【详解】双曲线的一条渐近线方程为0nx =，即y x =，2n =⇒=，故双曲线22:12y C x -=，所以双曲线的离心率为1e =重难点3由双曲线的几何性质求标准方程15．已知双曲线2222:1y x C a b-=的一条渐近线斜率为2-，实轴长为4，则C 的标准方程为（）A ．2214x y -=B ．221416y x -=C ．2214y x -=D ．221164y x -=【答案】C【分析】根据双曲线的基本量关系，结合渐近线方程求解即可.【详解】由题意双曲线2222:1y x C a b-=的焦点在y 轴上，则24a =，2a =，又2a b -=-，则1b =，故C 的标准方程为2214y x -=.故选：C16()2,0，则双曲线的标准方程为（）A ．22144x y -=B ．22144-=y x C ．2214y x -=D ．2214x y -=【答案】A【分析】根据条件列关于a ，b ，c 的方程组求解即可.【详解】设双曲线的标准方程为22221x y a b-=，由已知得222222a b a a b c ⎧+=⎪=⎨⎪+=⎩，解得22a b =⎧⎨=⎩，所以双曲线的标准方程为22144x y -=故选：A.17．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的焦点到渐近线的距离为4，实轴长为6，则C 的方程为（）A ．22149x y -=B ．22194x y -=C ．221169x y -=D ．221916x y -=【答案】D【分析】由距离公式得出4b =，进而由双曲线的性质得出方程.【详解】右焦点2(,0)F c 到渐近线0bx ay -=4b ==，因为实轴长为26a =，所以3a =，即C 的方程为221916x y -=.故选：D18．求双曲线以椭圆22185x y +=的焦点为顶点，且以椭圆的顶点为焦点，则双曲线的方程是（）A ．22135x y -=B ．22153x y -=C ．22135y x -=D ．22153y x -=【答案】A【分析】根据椭圆22185x y +=方程，可得出其焦点坐标、顶点坐标，进而得到双曲线的焦点坐标、顶点坐标，即可得到双曲线的方程.【详解】在椭圆22185x y +=中，c =，椭圆的焦点坐标为，(，左右顶点坐标分别为，()-，则双曲线的顶点坐标为，(，焦点坐标为0)，()-，且双曲线的焦点在x 轴上，所以a =c =222835b c a =-=-=，所以双曲线的方程为：22135x y -=．故选：A.19．已知双曲线C ：22221x y a b-=（0a >，0b >）的实轴长为4．若点()P m 是双曲线C 位于第一象限内的一点，则m =（）A ．2B ．1CD【答案】B【分析】根据已知条件求得,a b ，从而求得双曲线的方程，代入P 点坐标，由此求得m 的值.【详解】法一：双曲线的几何性质由题知22224,,a c e abc a =⎧⎪⎪==⎨⎪⎪=-⎩，解得21a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩，所以双曲线C ：2214x y -=．又点()P m 是双曲线C 位于第一象限内的一点，所以2814m -=（0m >），解得1m =.法二：由题知242a c e a =⎧⎪⎨===⎪⎩，解得21a b =⎧⎨=⎩，所以双曲线C ：2214x y -=．又点()P m 是双曲线C 位于第一象限内的一点，所以2814m -=（0m >），解得1m =.故选：B20．双曲线()2210,0x y m n m n -=>>的渐近线方程为2y x =±，实轴长为2，则m n -为（）A ．14-B．1C ．12D．1【答案】A【分析】根据渐近线方程、实轴长求得,m n ，由此求得m n -.【详解】依题意222222a m a b n a m ⎧⎪⎪=⎪=⎨⎪⎪==⎪⎝⎭⎩，解得511,,44m n m n ==-=-.故选：A21．如果中心在原点，对称轴在坐标轴上的等轴双曲线的一个焦点为()10,6F -，那么此双曲线的标准方程为．【答案】2211818y x -=【分析】根据焦点坐标及题意，设方程为22221(0)y x a a a-=>，根据焦点坐标，可求得2a ，即可得答案.【详解】因为一个焦点是()10,6F -，所以6c =，且焦点在y 轴，所以设等轴双曲线方程为22221(0)y x a a a-=>，所以22236c a a =+=，解得218a =，所以双曲线标准方程为2211818y x -=，故答案为：2211818y x -=.重难点4求共渐近线的双曲线方程22．若双曲线C 与双曲线2211612x y -=有相同的渐近线，且经过点(，则双曲线C 的标准方程是．【答案】221912y x -=【分析】设双曲线C 的方程为221612x y λ-=，根据双曲线C 经过的点求得λ，从而求得双曲线C 的标准方程.【详解】由双曲线C 与双曲线2211612x y -=有相同的渐近线，可设双曲线C 的方程为221612x y λ-=，又C过点(，所以34λ=-，22316124x y -=-，整理得双曲线C 的标准方程是221912y x -=．故答案为：221912y x -=23．与双曲线221169x y -=渐近线相同，且一个焦点坐标是()0,5的双曲线的标准方程是．【答案】221916y x -=【分析】设所求双曲线的方程为22221y x a b -=，由题意有2225a b +=且34a b =，解出22,a b 即可.【详解】双曲线221169x y -=的渐近线方程为34y x =±，由焦点坐标是()0,5，可设所求双曲线的方程为22221y x a b-=(0,0)a b >>，得2225a b +=，双曲线渐近线的方程为a y x b =±，由题意有34a b =，解得29a =，216b =，所以双曲线的方程为221916y x -=.故答案为：221916y x -=.24．若双曲线C 与2219x y -=有共同渐近线，且与椭圆2214020x y +=有相同的焦点，则该双曲线C 的方程为.【答案】221182x y -=【分析】根据双曲线与椭圆的标准方程，求得渐近线方程与焦点坐标，由双曲线标准方程，建立方程，可得答案.【详解】由方程2219x y -=，则其渐近线方程为13y x =±，由椭圆2214020x y +=，则其焦点为()±，由题意可知，双曲线C 的标准方程设为22221x ya b -=，则221320b a a b ⎧=⎪⎨⎪+=⎩，解得22182a b ⎧=⎨=⎩，则双曲线C 的标准方程为221182x y -=，故答案为：221182x y -=.25．双曲线22:12y C x -=，写出一个与双曲线C 有共同的渐近线但离心率不同的双曲线方程．【答案】2212y x -=（答案不唯一）【分析】根据有共同渐近线的双曲线方程的性质进行求解即可.【详解】与双曲线C 有共同的渐近线的双曲线方程可设为222y x λ-=，当1λ=-时，得到双曲线方程为2212y x -=，显然该双曲线与双曲线C 有共同的渐近线但离心率不同，故答案为：2212y x -=26．求与双曲线22143y x -=有共同的渐近线，且经过点()3,2M -的双曲线的标准方程.【答案】22168x y -=【分析】利用待定系数法即可得到所求双曲线的标准方程.【详解】与双曲线22143y x -=有相同的渐近线的双曲线可设为22(0)43y x λλ-=≠又所求双曲线过点()3,2M -，则()222343λ--=，则2λ=-则所求双曲线的方程为22243y x -=-，即22168x y -=.27．已知双曲线E 与双曲线221169x y -=共渐近线，且过点()3A -，若双曲线M 以双曲线E 的实轴为虚轴，虚轴为实轴，试求双曲线M 的标准方程.【答案】221944x y -=【分析】设双曲线E 的方程为()220169-=≠x y t t ，代入点A 可得双曲线E 的标准方程，从而得到双曲线双曲线M 的标准方程.【详解】由题意，设双曲线E 的方程为()220169-=≠x y t t ，∵点()3A -在双曲线E上，∴(()223169--=t ，∴14t =-，∴双曲线E 的标准方程为221944y x -=，又双曲线M 以双曲线E 的实轴为虚轴，虚轴为实轴，∴双曲线M 的标准方程为221944x y -=.28．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的两个焦点分别为()1F ，)2F ，且过点)2P.(1)求双曲线C 的虚轴长；(2)求与双曲线C 有相同渐近线，且过点()3,6Q -的双曲线的标准方程.【答案】(1)(2)221189y x -=【分析】（1）由双曲线的定义可知，12||||2PF PF a -=，又222+=a b c ，求得b （2）设与双曲线C 有相同渐近线的双曲线的方程为22(0)2y x λλ-=≠，将点()3,6Q -的坐标代入上述方程得λ即可．【详解】（1）由题意，易知22PF =，12F F =212PF F F ⊥.在21Rt PF F △中，14PF ==由双曲线的定义可知，122PF PF a -=，22a =，即1a =.∵双曲线C 的两个焦点分别为()1F ，)2F ，∴c =又∵222+=a b c ，∴b =故双曲线C 的虚轴长为（2）由（1）知双曲线C 的方程为2212y x -=.设与双曲线C 有相同渐近线的双曲线的方程为()2202y x λλ-=≠将点()3,6Q -的坐标代入上述方程，得9λ=-故所求双曲线的标准方程为221189y x -=重难点5根据,,a b c 齐次式关系求渐近线方程29．过原点的直线l 与双曲线E ：()222210,0x y a b a b-=>>交于A ，B 两点（点A 在第一象限），AC x ⊥交x 轴于C 点，直线BC 交双曲线于点D ，且1AB AD k k ⋅=，则双曲线的渐近线方程为（）A ．2y x =±B ．12y x =±C ．y =D ．y x =【答案】D【分析】由题可设，000011(,),(,),(,)A x y B x y D x y --，0(,0)C x ，分别表示出,,AB BC AD k k k ，逐步转化，即可求得本题答案.【详解】因为,A B 直线过原点，所以,A B 关于原点对称，设000011(,),(,),(,)A x y B x y D x y --，因为AC 与x 轴垂直，所以0(,0)C x ，设123,,AB BC AD k k k k k k ===，则00121001,22y y k k k x x ===，而222222210101012232222222101010101(1)(1)y y y y y y x x b k k b b x x x x x x x x a a a ⎡⎤+--⋅=⋅==---=⎢⎥+---⎣⎦所以，213232221b k k k k a⋅=⋅==，所以，222,a b a ==所以渐近线方程为2y x =±.故选：D30．双曲线2222:1(0,0)x y E a b a b-=>>，点A ，B 均在E 上，若四边形OACB 为平行四边形，且直线OC ，AB的斜率之积为3，则双曲线E 的渐近线的倾斜角为（）A ．π3B ．π3或2π3C ．π6D ．π6或5π6【答案】B【分析】利用点差法，结合双曲线渐近线方程、平行四边形的性质、中点坐标公式进行求解即可.【详解】设()()1122,,,A x y B x y ，显然线段AB 的中点坐标为1212,22x x y y ++⎛⎫⎪⎝⎭，因为四边形OACB 为平行四边形，所以线段OC 的中点坐标和线段AB 的中点坐标相同，即为1212,22x x y y ++⎛⎫⎪⎝⎭，因此C 点坐标为()1212,x x y y ++，因为直线OC ，AB 的斜率之积为3，所以221212122212121233y y y y y y x x x x x x +--⋅=⇒=+--，因为点A ，B 均在E 上，所以2222112222221,1x y x y a b a b-=-=，两式相减得：22212222123y y b bx x a a-==⇒=-所以两条渐近线方程的倾斜角为π3或2π3，故选：B【点睛】关键点睛：本题的关键是应用点差法和平行四边形的性质.31．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>）A ．12y x =±B ．2y x=±C ．y =D ．y x =【答案】B【分析】由离心率求得ba即得渐近线方程．【详解】c e a ==222225c a b a a+==，2ba =，故选：B32．设12,F F 分别是双曲线22221x ya b-=()0,0a b >>的左、右焦点，若双曲线右支上存在一点P 满足212PF F F =，且124cos 5PF F ∠=，则双曲线的渐近线方程为（）A ．340x y ±=B ．430x y ±=C ．350x y ±=D ．540x y ±=【答案】B【分析】结合双曲线的定义，以及条件，得到425a c c +=，再根据222c ab =+，即可求解双曲线渐近线的斜率.【详解】作21F Q PF ⊥于点Q ，如图所示，因为122F F PF =，所以Q 为1PF 的中点，由双曲线的定义知|122PF PF a -=，所以122PF a c =+，故1FQ a c =+，因为124cos 5PF F ∠=，所以11212cos FQ PF F F F =∠，即425a c c +=，得35c a =，所以5a =，得43b a =，故双曲线的渐近线方程为43y x =±，即430x y ±=.故选：B33．已知F 为双曲线C ：22221x y a b-=（0a >，0b >）的右焦点，过点F 作x 轴的垂线与双曲线及它的渐近线在第一象限内依次交于点A 和点B ．若A B A F =，则双曲线C 的渐近线方程为（）A0y ±=B ．0x =C 0y ±=D ．0x =【答案】B【分析】分别求出点A,B 的坐标，利用线段相等建立方程求出ba即可得解.【详解】由题意得(),0F c ，双曲线C 的渐近线方程为by x a=±．设点A ，B 的纵坐标依次为1y ，2y ，因为221221c y a b -=，所以21b y a =，所以2b AF a=．因为2bc y a=，所以bc BF a =．因为A B A F =，所以22bc ba a=，得2c b =，所以a ==，故b a C 的渐近线方程为y x =，即0x =，故选：B ．34．如图，已知1F ，2F 为双曲线()222210,0x ya b a b-=>>的焦点，过2F 作垂直于x 轴的直线交双曲线于点P ，且1230PF F ∠=︒，则双曲线的渐近线方程为.【答案】y =【分析】利用点在双曲线上及直角三角形中30︒所对的直角边等于斜边的一半，结合双曲线的定义和渐近线方程即可求解.【详解】设()()2,00F c c >，()0,P c y ，则220221y c a b -=，解得20b y a=±，∴22b PF a=.在21Rt PF F △中，1230PF F ∠=︒，则122PF PF =①.由双曲线的定义，得122PF PF a -=②.由①②得22PF a =.∵22b PF a=，∴22b a a=，即222b a =.∴ba=.∴双曲线的渐近线方程为y =.故答案为：y =.35．过双曲线2222:1-=y W x a b的右焦点F 作x 轴的垂线，与两条渐近线的交点分别为A ，B ，若OAB 为等边三角形，则W 的渐近线方程为，W 的离心率为．【答案】3y x =±3【分析】根据图形则得到tan 303b a ==，再利用离心率公式即可.【详解】双曲线渐近线方程为by x a=±，因为OAB 是等边三角形，则tan 303b a == ，则渐近线方程为3y x =±，即e ===，故答案为：y x =重难点6求双曲线的离心率36．设12,F F 是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左､右焦点，过点1F 作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为M .若2MF ，则双曲线C 的离心率为（）AB C ．3D 【答案】A【分析】根据题意，先求得焦点1F 到渐近线的距离为b ，在直角1MOF △中，求得1cos bOF M c∠=，再在12MF F △中，利用余弦定理求得222343b c b =-，结合222b c a =-和离心率的定义，即可求解.【详解】由双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>，可得1(,0)F c -，渐近线方程为b y x a=±，如图所示，则焦点1F 到渐近线by x a=-的距离为1MF b =，在直角1MOF △中，可得111cos MF bOF M OF c∠==，在12MF F △中，由余弦定理得222212112112cos MF F F MF F F MF OF M =+-∠，即22222342243bb c b cb c b c=+-⨯⨯=-，所以2223c b =，又由222b c a =-，所以22223()c c a =-，可得223c a =，所以双曲线的离心率为==ce a.故选：A.37．已知F 为双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>的右焦点，平行于x 轴的直线l 分别交C 的渐近线和右支于点A ，B ，且90OAF ∠=︒，OBF OFB ∠=∠，则C 的离心率为（）ABC ．32D【答案】B【分析】设(),B m n ，联立方程组求得,an A n b ⎛⎫⎪⎝⎭，根据90OAF ∠=︒，得到1AF OA k k ⋅=-，求得ab n c =，再由(),B m n 在双曲线C 上，化简得到22422a c a m c+=，结合OB OF =，化简得到222a c =，进而求得双曲线的离心率.【详解】双曲线C ：()222210,0x y a b a b -=>>的渐近线方程为b y x a =±.设(),B m n ，联立方程组b y x a y n⎧=⎪⎨⎪=⎩，解得,an A n b ⎛⎫⎪⎝⎭.因为90OAF ∠=︒，所以1AF OAk k ⋅=-，即1n ban a c b⋅=--，可得ab n c =.又因为点(),B m n 在双曲线C 上，所以22221m n a b -=，将ab n c =代入，可得22422a c a m c +=，由OBF OFB ∠=∠，所以OB OF =，所以222m n c +=，即22422222a c a a bc c c++=，化简得222a c =，则ce a==.故选：B.38．设1F 、2F 分别为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左右焦点，O 为坐标原点，过左焦点1F 作直线1F P 与圆222x y a +=切于点E ，与双曲线右支交于点P ，且121||2OP F F =，则双曲线的离心率为（）A B ．2CD【答案】A【详解】因为直线1F P 与圆222x y a +=切于点E ，则1OE F P ⊥，又121||2OP F F =，所以12||OP OF OF ==，所以E 为1F P 的中点，而O 为12F F 中点，于是2//OE PF ，有12PF PF ⊥，且222PF OE a ==，则1224PF PF a a =+=，令双曲线焦距为2c ，由2222112||||||PF PF F F +=，得222(2)(4)(2)a a c +=，即225c a =，所以25e =，所以双曲线的离心率e =故选：A39．已知双曲线2222>:1(00,)>x y C a b a b-=的左右焦点12F F ，，点2F 关于一条渐近线的对称点在另一条渐近线上，则双曲线C 的离心率是（）A BC ．2D ．3【答案】C【分析】利用双曲线的渐近线方程及点关于线对称的特点，结合双曲线的离心率公式即可求解.【详解】双曲线2222>:1(00,)>x y C a b a b-=的右焦点()2,0F c ,设点2F 关于一条渐近线b y x a =-的对称点为,b m m a ⎛⎫⎪⎝⎭，由题意知，()1122b bm c m a a -⨯+=⨯，解得2c m =-.又知bma a m c b=-，解得223b a =，所以22224c a b a =+=，即2c a =，所以双曲线C 的离心率是 2.c e a==故选：C.40．若0m >，双曲线1C ：2212x y m -=与双曲线2C ：2218x y m-=的离心率分别为1e ，2e ，则（）A ．12e e 的最小值为94B ．12e e 的最小值为32C ．12e e 的最大值为94D ．12e e 的最大值为32【答案】B.【详解】由题意可得212e m m +=，2288e m =+，则()2128252488m e m m m e m +=⋅+=++，由基本不等式，()21252594844m e e m =++≥+=，即1232e e ≥，当且仅当28mm =，即4m =时等号成立，故12e e 的最小值为32.故选：B.41．已知双曲线2222:1(0,0)y x C a b a b-=>>，过其上焦点F 的直线与圆222x y a +=相切于点A ，并与双曲线C 的一条渐近线交于点(,B A B 不重合）．若25FB FA =，则双曲线C 的离心率为．【答案】3【分析】设出过上焦点F 的直线方程为y c kx -=，由圆心到直线距离等于半径得到bk a=±，再分别联立直线与圆，直线与渐近线，求出A ab x c =，22B abc x b a =-，根据比例关系得到方程，得到,,a b c 的关系式，求出离心率.【详解】由题意得()0,F c ，渐近线方程a y x b=±，设过其上焦点F 的直线方程为y c kx -=，则圆心O 到直线y c kx -=a =，解得b k a =±，不妨取负值，如图所示，故过其上焦点F 的直线方程为b y c x a-=-，联立b y c x a -=-与222x y a +=可得，222220c bc x x b a a-+=，解得A ab x c=，联立b y c x a -=-与a y x b=，可得B abx c =，此时，,A B 重合，舍去，联立b y c x a -=-与a y x b =-，可得22B abcx b a=-，此时,A B 不重合，满足要求，因为25FB FA = ，所以25B A x x =，故2225abc ab b a c=-，化简得222255c b a =-，又222b c a =-，故2222510c c a =-，即22310c a =，解得c a =，双曲线C故答案为：342．已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点为F ，过F 分别作C 的两条渐近线的平行线与C 交于A ，B 两点，若||AB =，则C 的离心率为2/2【分析】设直线方程为()b y x c a=-与双曲线方程22221(0,0)x y a b a b -=>>联立，根据||AB =求解.【详解】解：如图所示：设直线方程为()b y x c a=-与双曲线方程22221(0,0)x y a b a b -=>>联立，解得223,22a c b x y c ac+==-，因为||AB =，所以322b ac⨯=，即2b =，即220c a --=，解得2ce a==，2+43．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的右顶点为A ，左、右焦点分别为1F ，2F ，渐近线在第一象限的部分上存在一点P ，且1OP OF =，直线1PF ，则该双曲线的离心率为．【答案】2【分析】根据题意，设点P 的坐标为00,b x x a ⎛⎫⎪⎝⎭，根据1OP OF =，求得点P 的坐标为(),a b ，再由1PF 的斜a c =+，化简得到离心率e 的方程，即可求解.【详解】由双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>，可得渐近线方程为b y x a =±，设点P 的坐标为00,b x x a ⎛⎫⎪⎝⎭，且00x >，因为1OP OF =，即2222002b x x c a+=，解得220x a =，即0x a =，所以点P 的坐标为(),a b ，又因为直线1PFb ac =+a c =+，两边平方得22232b ac ac =++，即2220c ac a --=，两边同时除以2a ，可得220e e --=，即()()210e e -+=，解得2e =或1e =-（舍去）．故答案为：2.重难点7求双曲线离心率的取值范围44．过双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线交于,A B 两点，D 为虚轴上的一个端点，且ADB ∠为钝角，则此双曲线离心率的取值范围为（）A．(B．C．)2D．)+∞【答案】D【分析】根据双曲线的性质求出,,A B D 的坐标，写出向量,DA DB，根据∠ADB 为钝角，结合向量的数量积公式化简求解即可.【详解】设双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点为1(,0)F c -，令x c =-，得2by a=±，可设22,,,b b A c B c a a ⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭由对称性，不妨设(0,)D b ，可得2,b DA c b a ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭ ，2,b DB c b a ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭，由题意知,,A D B 三点不共线，所以∠ADB 为钝角0DA DB ⇔⋅<，即为2220b b c b b a a ⎛⎫⎛⎫-+-< ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，将222b c a =-代入化简得4224420e a c a -+>，由ce a=，可得42420e e -+>，又1e >，解得22e >+e ，综上，离心率的取值范围为)+∞．故选：D.45．已知1F ，2F 是双曲线()222210,0x ya b a b-=>>的左、右焦点，若双曲线上存在点P 满足2212PF PF a ⋅=- ，则双曲线离心率的最小值为（）A B C ．2D【答案】D【分析】设P 的坐标，代入双曲线的方程，利用数量积的坐标表示，结合双曲线离心率的计算公式求解即得.【详解】设00(,)P x y ，双曲线的半焦距为c ，则有0||x a ≥，2200221x y a b-=，12(,0),(,0)F c F c -，于是200100(,),(,)PF c x y PF c x y =--=---，因此22222222222222220210000222(1)c c PF PF x c y x b c x b c a b c b a a a ⋅=-+=+--=⋅--≥⋅--=- ，当且仅当0||x a =时取等号，则222a b -≥-，即222b a ≥，离心率c e a ==≥，故选：D46．已知双曲线22221E y x a b-=：（0a >，0b >）的离心率为e ，若直线2y x =±与E 无公共点，则e 的取值范围是.【答案】⎛ ⎝⎦【分析】确定双曲线的渐近线方程，由题意可得关于,a b 的不等关系，即可求得离心率范围.【详解】因为双曲线22221:y x E a b-=（0a >，0b >）的渐近线为a y x b =±，因为，要使直线2y x =±与E 无公共点，则2ab≥，所以，102b a ≤<，所以双曲线的离心力的范围1e <=所以满足条件的离心率的范围是⎛ ⎝⎦，故答案为：2⎛⎤⎝⎦47．已知双曲线2222:1(0,0),x y C a b F a b-=>>为双曲线的右焦点，过点F 作渐近线的垂线()0MN MN k <，垂足为M ，交另一条渐近线于N ，若()2NM MF λλ=≥，则双曲线C 的离心率的取值范围是（）A ．)+∞B ．(C ．D ．233⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【答案】C【分析】设MOF θ∠=，根据()2NM MF λλ=≥ 列式，根据λ的取值范围求得22b a的取值范围，进而求得离心率的取值范围.【详解】依题意可知M 在第一象限，N 在第二象限，(),0F c 到渐近线0bx ay -=bcb c==，即MF b =，设MOF θ∠=，则tan ba θ=，()2222tan 2tan tan 2tan2tan 1ab NOM b a θ∠πθθθ=-=-==--，由()2NM MF λλ=≥ 得,tan bMN b NOM a λλ∠=∴=，故()2222ab b b a a λλ=≥-，22221b a λλλ+==+，212,b c e a a ⎛⎫∴<≤∴==⎪⎝⎭.故选:C48．双曲线2221y x b-=的左焦点为F ，()0,A b -，M 为双曲线右支上一点，若存在M ，使得5FM AM +=，则双曲线离心率的取值范围为（）A ．(B ．(C ．)+∞D ．)+∞【答案】B【分析】双曲线的右焦点1F ，5FM AM +=等价于13F M AM +=，所以13F A ≤，3≤可求双曲线离心率的取值范围.【详解】取双曲线的右焦点1F ，由双曲线定义12FM F M =+，如图所示，故存在点M 使得5FM AM +=等价为存在点M 使得13F M AM +=，所以13F A ≤，当且仅当1,,A M F 三点共线时等号成立，3≤，由221b c =-，解得c ≤1a =，故离心率1e <≤故选：B49．如图为陕西博物馆收藏的国宝——唐·金筐宝钿团化纹金杯，杯身曲线内收，玲珑娇美，巧夺天工，是唐朝金银细作的典范之作．该杯的主体部分可以近似看作是双曲线C ：()222210,0x y a b a b -=>>的部分的旋转体．若该双曲线右支上存在点P ，使得直线PA ，PB （点A ，B 为双曲线的左、右顶点）的斜率之和为83，则该双曲线离心率的取值范围为．【答案】51,3⎛⎫⎪⎝⎭【分析】(),0A a -，(),0B a ，设()00,P x y ，计算22PA PB b k k a⋅=，根据均值不等式计算得到43b a <，得到离心率范围.【详解】(),0A a -，(),0B a ，设()00,P x y ，22022200222220000010PA PBx b a y y y b k k x a x a x a x a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭⋅=⋅===>+---，83PA PB k k +=，故0PA k >，0PB k >，823PA PB bk k a=+≥=，PA PB k k ≠，故等号不成立，故43b a <，53c e a ==<，即51,3e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.故答案为：51,3⎛⎫⎪⎝⎭.50．已知双曲线C ：22221x y a b-=（0a >，0b >）的左、右焦点分别为1F ，2F ，若在C 上存在点P （不是顶点），使得21123PF F PF F ∠∠=，则C 的离心率的取值范围为．【答案】2)【分析】1PF 与y 轴交点Q ，连接2QF ，由双曲线的定义和对称性，结合已知条件得12QF a =，有11QF OF >且11||cos 45OF QF ︒>，可求离心率的取值范围.【详解】设1PF 与y 轴交点Q ，连接2QF ，由对称性可知，1221QF F QF F ∠=∠，如图所示，又∵21123PF F PF F ∠∠=，∴22122PF Q PQF PF F ∠=∠=∠，∴2PQ PF =．又∵122PF PF a -=，∴12112PF PF PF PQ QF a -=-==，在1Rt QOF 中，11QF OF >，∴2a c >，∴2ce a=<，由21123PF F PF F ∠∠=，且三角形的内角和为180，12180454PF F ︒︒∴∠<=1121cos cos 45OF PF F QF ︒>=∴∠，即2c a >ce a =>综上，2)e ∈．故答案为：2)．重难点8根据离心率求参数51．已知有公共焦点的椭圆与双曲线的中心为原点，焦点在x 轴上，左右焦点分别为1F ，2F ，且它们在第一象限的交点为P ，12PF F △是以1PF 为底边的等腰三角形.若110PF =，双曲线的离心率的取值范围为(1,2)，则该椭圆的焦距的取值范围是（）A ．55,32⎛⎫⎪⎝⎭B ．205,3⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．10,53⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．510,23⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】B【分析】设椭圆的焦距为2c ，双曲线的实轴长为2a ，根据双曲线的定义及双曲线的离心率的取值范围求出c 的范围，进而可得出答案.【详解】解：设椭圆的焦距为2c ，双曲线的实轴长为2a ，则1222F F PF c ==，双曲线的半实轴长为12502PF PF a c -==->，则05c <<，又双曲线的离心率的取值范围为(1,2)，所以125c c a c <=<-，所以51023c <<，所以20523c <<，即该椭圆的焦距的取值范围是205,3⎛⎫⎪⎝⎭.故选：B.52．设双曲线2222:1y x C a b-=(0,0)a b >>的上、下焦点分别为12,F F P 是C 上一点，且12PF PF ⊥．若12PF F △的面积为4，则=a （）A ．8B ．4C ．2D ．1【答案】D可得c =①，又因为12PF PF ⊥．若12PF F △的面积为4，设P 在双曲线C 的上半支，12||,||PF m PF n ==，则有2142n m a mn -=⎧⎪⎨=⎪⎩，整理化简得224416c a =+，结合①，即可求得a 的值.所以ce a==，即有c =①，又因为12PF PF ⊥，12PF F △的面积为4，由对称性，设P 在双曲线C 的上半支，12||,||PF m PF n ==，则有2142n m a mn -=⎧⎪⎨=⎪⎩，所以2222()2416n m n m nm a +=-+=+，即224416c a =+，由①可得225c a =，所以2220416a a =+，解得1a =.故选：D.53．设k 为实数，已知双曲线2214x y k-=的离心率(2,3)e ∈，则k 的取值范围为【答案】(12,32)【分析】根据双曲线离心率公式进行求解即可【详解】因为2214x y k-=表示双曲线的方程，所以有0k >，因此2,a b c ===因为2c e a ==，所以由()2,32346e ∈⇒<⇒<164361232k k ⇒<+<⇒<<，即k 的取值范围为(12,32)，故答案为：(12,32).54．已知1F ，2F 是双曲线C 的两个焦点，P 为C 上一点，且1260F PF ∠=︒，()121PF PF λλ=>，若C 的离心率为2，则λ的值为．【答案】3【分析】根据双曲线的定义及条件，表示出12,PF PF ，结合余弦定理求解即可.【详解】由12(1)PF PF λλ=>及双曲线的定义可得122(1)2PF PF PF a λ-=-=，所以221a PF λ=-，121aPF λλ=-，因为1260F PF ∠=︒，在12F PF △中，由余弦定理可得222222442242cos60(1)(1)11a a a ac λλλλλλ=+-⨯⋅⋅︒----，即2222(1)(1)c a λλλ-=-+，所以2222217(1)4c e a λλλ-+===-，即231030λλ-+=，解得3λ=或13λ=（舍去）.故答案为：355．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左､右焦点分别是1F ，2F ，P 是双曲线右支上一点，2120PF F F ⋅= ，O为坐标原点，过点O 作1F P 的垂线，垂足为点H，若双曲线的离心率2e =，存在实数m 满足1OH m OF =，则m =.【答案】19【分析】由题意，可得相似三角形，根据相似三角形性质，建立等量关系，结合离心率的公式，建立方程，可得答案.【详解】当x c =时，代入双曲线可得2by a=±，由2120PF F F ⋅=可得212PF F F ⊥，由题易得112F OH F PF △△.由相似三角形的性质可知，121||OF OH PF PF =，则222b am b a a=+，2222a m b m b ∴+=，整理得2221b m a m =-.22b PF a= ，22222251114c b m e a a m ∴==+=+=-，解得19m =.故答案为：19.56．已知双曲线22:113x y C m m-=+-m 的取值范围是（）A ．()1,1-B ．()1,3-C ．(),1-∞D ．()0,1【答案】A【分析】根据双曲线方程，讨论实轴位置，求出离心率，由已知离心率范围列出不等式可解得m 的范围．【详解】当双曲线实轴在x 轴上时，1030m m +>⎧⎨->⎩，解得13m -<<，此时2134c m m =++-=，所以c e a ==>解得1m <，所以11m -<<，当双曲线实轴在y 轴上时，1030m m +<⎧⎨-<⎩，解得m ∈∅，不符合题意.综上，解得11m -<<.故选：A ．57．点P 是双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>右支上一点，1F ，2F 分别是双曲线C 的左，右焦点，M 为12PF F △的内心，若双曲线C 的离心率32e =，且121MPF MPF MF F S S S λ=+ 2，则λ=（）A ．12B ．34C ．1D ．23【答案】D【分析】设出12PF F △内切圆的半径，表示出1221,,MPF MPF MF F S S S ，由121MPF MPF MF F S S S λ=+ 2得1212PF PF F F λ-=，结合双曲线的定义及离心率即可求解.【详解】设12PF F △内切圆的半径为r ，则11221212111,,222MPF MPF MF F S r PF S r PF S r F F =⋅⋅=⋅⋅=⋅⋅ ，由121MPF MPF MF F S S S λ=+ 2可得1212111222r PF r PF r F F λ⋅⋅=⋅⋅+⋅⋅⋅，化简得1212PF PF F F λ=+，又12122,2,32PF PF a F F c e -===，故121223PF PF a F F c λ-===.故选：D.重难点9双曲线的实际应用58．某中心接到其正东、正西、正北方向三个观测点的报告；正西、正北两个观测点同时听到了一声巨响，正东观测点听到的时间比其它两观测点晚2s ，已知各观测点到该中心的距离是680m ，则该巨响发生在接报中心的（）处(假定当时声音传播的速度为340m/s ，相关各点均在同一平面上)A ．西偏北45°方向，距离B ．东偏南45°方向，距离C ．西偏北45°方向，距离D ．东偏南45°方向，距离【答案】A【分析】建立平面直角坐标系，由条件确定该巨响发生的轨迹，联立方程组求其位置.【详解】如图，。
考点39 高中数学-双曲线-考点总结和习题
考点39双曲线【命题趋势】双曲线在每年高考中几乎都会出现，通常出现在选择题或填空题中，值得注意.（1）了解双曲线的实际背景，了解双曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.（2）了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道它的简单几何性质.（3）了解双曲线的简单应用.（4）理解数形结合的思想.【重要考向】一、双曲线的定义和标准方程二、求双曲线的方程三、双曲线的性质四、直线与双曲线的位置关系双曲线的定义和标准方程1．双曲线的定义（1）定义：平面内与两个定点F 1，F 2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F 1F 2|且大于零)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两个焦点间的距离叫做双曲线的焦距．（2）符号语言：1212202，MF MF a a F F =<-<.2．双曲线的标准方程双曲线的标准方程有两种形式：（1）焦点在x 轴上的双曲线的标准方程为22221x y a b-=(a ＞0，b ＞0)，焦点分别为F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)，焦距为2c ，且222c a b =+，如图1所示；（2）焦点在y 轴上的双曲线的标准方程为22221y x a b-=(a ＞0，b ＞0)，焦点分别为F 1(0，－c )，F 2(0，c )，焦距为2c ，且222c a b =+，如图2所示．图1图2注：双曲线方程中a ，b 的大小关系是不确定的，但必有c ＞a ＞0，c ＞b ＞0．【巧学妙记】1.（2021·全国高三专题练习（理））在平面直角坐标系中，()12,0F -，()22,0F ，12PF PF a -=(a ∈R )，若点P 的轨迹为双曲线，则a 的取值范围是（）A ．()0,4B ．(]0,4C ．()4,+∞D ．()()0,44,+∞ 【答案】A【分析】根据双曲线的定义中的条件可得答案.【详解】12PF PF a -=，由点P 的轨迹为双曲线，根据双曲线的定义.则12124PF PF F F <=-，所以04a <<故选:A2.（2020·江苏南通市·海安高级中学高二期中）已知F 是双曲线22:13y C x -=的右焦点，P是双曲线C 左支上的一点，且点A 的坐标为(0,，则APF 的周长最小值为________．【答案】10【分析】作出图形，由双曲线的定义可得12PF PF =+，再由A 、P 、1F 三点共线可求得APF 周长的最小值.【详解】设双曲线的左焦点为1F ，由双曲线方程2213y x -=可知1a =，2c =，故()2,0F 、()12,0F -.当点P 在双曲线左支上运动时，由双曲线定义知12PF PF -=，所以12PF PF =+，从而APF 的周长为12AP PF AF AP PF AF =+++++．因为4AF ==为定值，所以当1AP PF +最小时，APF 的周长最小．由图可知，此时点P 为线段1AF 与双曲线的交点，则APF 的周长为1244210AP PF AF +++=++=．故答案为：10.【点睛】方法点睛：本题考查利用双曲线的定义求三角形周长的最值，在求线段和的最值常采用化折为直，利用两点之间线段最短的原理求得线段和的最小值.3.（2021·北京汇文中学高三开学考试）已知F 是双曲线22:18y C x -=的右焦点，P 是双曲C 上的点，(A ，(1)若点P 在双曲线右支上，则AP PF +的最小值为__________；(2)若点P 在双曲线左支上，则AP PF +的最小值为__________.【答案】911【分析】(1)根据题意易得三点共线时，AP PF +最小；(2)先根据双曲线的定义进行转化，再由三点共线，即可求出AP PF +的最小值.【详解】(1)根据题意得，双曲线右焦点()3,0F ，根据三角形的两边之和大于第三边，可知当A ，P ，F 三点共线时，AP PF +最小，即9AP PF AF +≥=；(2)根据题意得，双曲线左焦点()13,0F ，根据双曲线的定义可知，122PF PF a -==，故12AP PF AP PF +=++，根据三角形的两边之和大于第三边，可知当A ，P ，1F 三点共线时，1AP PF +最小，故112211AP PF AP PF AF +=++≥+=.故答案为：9；11.【点睛】双曲线中线段之和的最值问题，可转化为三角形的边长问题，根据三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边来处理，但需注意双曲线定义的应用.求双曲线的方程（1）与双曲线22221x y a b -=(a ＞0，b ＞0)有共同渐近线的双曲线方程可设为2222(0,0,0)x y a b a b λλ-=>>≠．（2）若双曲线的渐近线方程为ny x m=±，则双曲线方程可设为2222(0,0,0)x y m n m nλλ-=>>≠或2222(0,0,0)m n x m y n λλ-=>>≠．（3）与双曲线22221x y a b -=(a ＞0，b ＞0)共焦点的双曲线方程可设为22221(0,0,x y a b a k b k -=>>-+22)b k a <-<．（4）过两个已知点的双曲线的标准方程可设为()2210mx ny mn +=<．（5）与椭圆22221x y a b +=(a >b >0)有共同焦点的双曲线方程可设为22221(0,x y a b a b λλ+=>>--22)b a λ<<．【巧学妙记】4.（2021·全国高二课时练习）平面直角坐标系xOy中，求适合下列条件的圆锥曲线的标准方程：（1）求长轴长为4，焦距为2的椭圆的标准方程；（2）求以A（﹣3，0）为一个焦点，实轴长为.【答案】（1）2243x y+=1或2243y x+=1；（2）22154x y-=.【分析】（1）根据长轴长和焦距求出,a b，再讨论焦点的位置可得结果；（2）根据焦点坐标确定双曲线标准方程的类型，根据焦点坐标和实轴长求出,a b，则可得双曲线的标准方程.【详解】（1）根据题意，椭圆的长轴长为4，焦距为2，即2a＝4，2c＝2，则a＝2，c＝1，则b==；若椭圆的焦点在x轴上，则其标准方程为221 43x y+=，若椭圆的焦点在y 轴上，则其标准方程为2243y x +=1，故椭圆的标准方程为22143x y +=或22143y x +=；（2）因为双曲线以A （﹣3，0）为一个焦点，实轴长为则其焦点在x 轴上，且c ＝3，2a =，即a =，则2b ==，则双曲线的标准方程为22154x y -=.5.（2020·全国高二课时练习）根据下列条件，求双曲线的标准方程：（1）4a =，经过点43110A ⎛- ⎝⎭，；（2）与双曲线221164x y -=有相同的焦点，且经过点()2.【答案】（1）221169y x -=；（2）221128x y -=.【分析】（1）分焦点在x 和y 轴上两种情况讨论，分别设出方程，代入点A 的坐标，即可求解；（2）设所求双曲线的方程为221(416)164x y λλλ-=-<<-+，代入点2)，求得λ的值，即可求解.【详解】（1）当焦点在x 轴上时，设所求标准方程为2221(0)16x y b b-=>，把点A 的坐标代入，可得2161600159b =-⨯<，不符合题意；当焦点在y 轴上时，设所求标准方程为2221(0)16y x b b -=>，把A 点的坐标代入，可得29b =，故所求双曲线的标准方程为221169y x -=.（2）设所求双曲线的方程为221(416)164x y λλλ-=-<<-+，因为双曲线过点2)，所以1841164λλ-=-+，解得4λ=或14λ=-(舍去).所以双曲线的标准方程为221128x y -=.6.（2021·黑龙江伊春市·伊春二中高二期中（文））根据下列条件，求双曲线的方程（1）已知双曲线两个焦点分别是()1F ，)2F ，点)P在双曲线上．（2）与双曲线2222x y -=有公共渐近线，且过点()2,2M -【答案】（1）221x y -=；（2）22124y x -=.【分析】（1）判断双曲线的焦点在x 轴上，c =，设双曲线方程22221x ya b-=，将点)P代入，由222c a b =+即可求解.（2）设共渐近线方程为222x y λ-=，将点()2,2M -代入即可求解.【详解】（1）双曲线两个焦点分别是()1F ，)2F ，则双曲线的焦点在x 轴上，c =()222210,0x ya b a b-=>>，则22211a b-=，又2222a b c +==，解得221a b ==，所以双曲线方程为221x y -=.（2）设共渐近线方程为()2220x y λλ-=≠，且过点()2,2M -则48λ-=，即4λ=-，所以2224x y -=-，即22124y x -=.双曲线的性质【巧学妙记】6.（2021·黑龙江哈尔滨市·哈尔滨三中高三其他模拟）已知双曲线C ：2213y x -=，则双曲线C 的一条渐近线方程为（）A ．0x +=B 0y +=C ．10x +-=D 10y +-=【答案】B 【分析】求得,a b ，由此求得渐近线方程.【详解】依题意1,a b ==y =，0y ±=，所以B 选项符合.故选：B7.（2021·山东济南市·高三其他模拟）双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点为F （﹣3，0），M （0，4），点P 为双曲线右支上的动点，且△MPF 周长的最小值为14，则双曲线的离心率为（）A ．32B ．C ．2D ．233【答案】A 【分析】根据双曲线的定义，结合三角形的周长，利用三点共线时最小求出a 的值即可．【详解】解：(3,0)F - ，(0,4)M ，||5MF ∴=，MPF 周长的最小值为14，||||||MF MP PF ∴++的最小值为14，即||||+MP PF 的最小值为1459-=，设右焦点为2(3,0)F ，则2||||2PF PF a -=，即2||||2PF PF a =+，则22||||||||2||2MP PF MP PF a MF a +=+++，即M ，P ，2F 三点共线时最小，此时2||||5MF MF ==，即最小值为529a +=，得24a =，2a =，3c = ，∴离心率32c e a ==，故选：A．8.（2020·全国高二课时练习）求双曲线22494x y -=-的顶点坐标､焦点坐标､实轴长､虚轴长､离心率和渐近线方程.【答案】答案见解析【分析】将双曲线方程化为标准方程，由此求得,,a b c ，根据,,a b c 可求得所求内容.【详解】双曲线方程可化为：22149y x -=，则双曲线焦点在y 轴上，249a =，21b =，2413199c ∴=+=；23a ∴=，1b =，133c =，∴顶点坐标为20,3⎛⎫± ⎪⎝⎭；焦点坐标为0,3⎛⎫± ⎪ ⎪⎝⎭；实轴长为423a =；虚轴长为22b =；离心率2c e a ==；渐近线方程为23y x a b x =±=±.直线与双曲线的位置关系直线与双曲线相交时，直线与双曲线有一个或两个公共点.直线与双曲线有两个交点⇔相交.当直线与双曲线只有一个公共点时，除了直线与双曲线相切外，还有可能是直线与双曲线相交，此时直线与双曲线的渐近线平行.直线与双曲线没有交点⇔相离.【巧学妙记】10.（2021·四川省内江市第六中学高二月考（理））若曲线224x y -=与直线()23y k x =-+有两个不同的公共点，则实数k 的取值范围是______．【答案】1312k <且1k ≠±【分析】联立直线与双曲线方程消元得关于x 的方程，注意字母系数的讨论.双曲线与直线有两个不同的公共点，二次项系数不为零且判别式大于零，解不等式取交集即可.【详解】联立()22423x y y k x ⎧-=⎪⎨=-+⎪⎩，消y 得()22212(23)(23)40k x k k x k -+----=．当210k -=，即1k =±时，不满足题意.当210k -≠，即1k ≠±时，曲线224x y -=与直线()23y k x =-+有两个不同的公共点，22224(23)4(1)(23)44(1213)0k k k k k ⎡⎤∴∆=-+--+=-->⎣⎦，解得，1312k <.故答案为：1312k <，且1k ≠±.【点睛】直线与双曲线的交点个数问题，即联立直线与双曲线的方程组的解的个数问题.通过消元，再将问题转化为关于x 或y 的方程解的个数问题，注意二次项系数是否为零的讨论.11.（2020·全国高二单元测试）已知曲线22:1C x y -=及直线:1l y kx =-.（1）若l 与C 左支交于两个不同的交点，求实数k 的取值范围；（2）若l 与C 交于A B 、两点，O 是坐标原点，且AOB ，求实数k 的值.【答案】（1）()1-；（2）0k =或62k =±.【分析】（1）联立直线与双曲线方程，利用韦达定理即可列式求出；（2）可得1212OAB S x x =-= ，再利用韦达定理代入即可求解.【详解】（1）由2211x y y kx ⎧-=⎨=-⎩消去y ，得()221220k x kx -+-=.∵l 与C 左支交于两个不同的交点∴()222104810k k k ⎧-≠⎪⎨∆=+->⎪⎩且121222220,011k x x x x k k +=-<=->--，解得1k <<-，∴k的取值范围为()1-（2）设()()1122,,A x y B x y 、，由（1）得12122222,11k x x x x k k+=-=---.又l 过点()0,1D -，∴1212OAB S x x =-= .∴()(2212x x -=，即22228811k k k ⎛⎫-+= ⎪--⎝⎭.解得0k =或62k =±.12.（2020·巴南区·重庆市实验中学高二月考）已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的离心率为72，且其顶点到其渐近线的距离为2217.（1）求双曲线的标准方程；（2）直线l ：3y x m =+与双曲线交于A ，B 两点，若41011AB =，求m 的值.【答案】（1）22143x y -=；（2）6±.【分析】（1）根据题意建立关于,,a b c 方程即可求解；（2）联立直线与双曲线方程，利用弦长公式即可求出.【详解】（1）由题得顶点(),0a 到渐近线b y x a =，即0bx ay -=的距离为7，2217=，离心率72c e a ==，又222+=a b c ，则可解得2,a b ==，故双曲线方程为22143x y -=；（2）设()()1122,,,A x y B x y ，联立221433x y y x m ⎧-=⎪⎨⎪=+⎩可得2233244120x mx m +++=，则()()22244334120m m ∆=-⨯⨯+>，解得233m >2121224412,3333m m x x x x ++=-=，则11AB =，解得6m =±.一、单选题1．如图，1F ，2F 分别是双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的左、右焦点，过1F 的直线l 与双曲线分别交于A ，B 两点，若12AB F B =，且22AF BF =，则双曲线的离心率为（）A 7B ．4C ．233D 32．已知左、右焦点分别为1F ，2F 的双曲线222:1(0)16x y C a a -=>上一点P 到左焦点1F 的距离为6，点O 为坐标原点，点M 为1PF 的中点，若||5OM =，则双曲线C 的渐近线方程为（）A ．2y x =±B ．43y x =±C ．45y x =±D ．4y x=±3．已知双曲线的左，右焦点分别为1F （3-，0），2F （3，0），P 为双曲线上一点且124PF PF -=，则双曲线的标准方程为（）A ．22145x y -=B ．22154x y -=C ．22145y x -=D ．22154y x -=4．若1F ，2F 是双曲线22221(0,0)y x a b a b-=>>与椭圆2251162x y +=的共同焦点，点P 是两曲线的一个交点，且12PF F △为等腰三角形，则该双曲线的渐近线方程是（）A ．2y x=±B ．24y x =±C ．73y x =±D ．377y x =±5．“方程22112x y m m -=-+表示双曲线”的一个必要不充分条件为（）A ．()(),11,m ∈-∞-+∞UB ．()(),21,m ∈-∞-+∞C ．(),2m ∈-∞-D ．()1,m ∈+∞6．已知双曲线C ：()222210,0y x a b a b-=>>的渐近线方程为12y x =±，则双曲线的离心率为（）A ．2B ．CD ．27．双曲线2222:1x y C a b -=过点，且离心率为2，则该双曲线的标准方程为（）A ．2213y x -=B ．2213x y -=C ．21x =D 21y =8．已知双曲线22:184x y C m m +=--的焦距为则C 的一条渐近线方程不可能为（）A ．55y x =B ．55y x =-C ．y =D ．y =9．直线l ：(y k x =-与曲线()2210x y x -=>相交于A 、B 两点，则直线l 倾斜角的取值范围是（）A ．[)0,pB ．3,,4224ππππ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭U C ．0,,22πππ⎡⎫⎛⎫⎪ ⎪⎢⎣⎭⎝⎭D ．3,44ππ⎛⎫⎪⎝⎭10．直线:1=+l y ax 与双曲线C ：2231x y -=有且仅有一个公共点，那么a 值共有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个11．已知直线l ：0x -+=与双曲线2232x y -=1只有一个公共点，则直线l 有（）A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条12．过点()4,5与双曲线2211625x y -=有且只有一个公共点的直线有（）．A ．一条B ．两条C ．三条D ．四条二、填空题13．已知曲线221x y a b-=与直线x +y -1=0相交于P ，Q 两点，且0OP OQ ⋅= (O 为原点)，则11a b-=________.14．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点为F ，过点F 的直线:2230l kx y ka --=与双曲线C 交于A 、B 两点．若7AF FB =，则实数k ＝________．三、解答题15．已知双曲线2212y x -=，斜率为k (0)k ≠的直线l 与双曲线的左、右两支分别交于A ，B 两点.（1）若直线l 过(0,1)P ，且3PB AP =，求直线l 的斜率k .（2）若线段AB 的垂直平分线与两坐标轴围成的三角形的面积为92，求k 的取值范围.一、单选题1．（2021·北京高考真题）双曲线2222:1x y C a b-=过点，且离心率为2，则该双曲线的标准方程为（）A ．2213y x -=B ．2213x y -=C ．22313x -=D ．22313y -=2．（2021·全国高考真题（文））点()3,0到双曲线221169x y -=的一条渐近线的距离为（）A ．95B ．85C ．65D ．453．（2020·天津高考真题）设双曲线C 的方程为22221(0,0)x y a b a b-=>>，过抛物线24y x =的焦点和点(0,)b 的直线为l ．若C 的一条渐近线与l 平行，另一条渐近线与l 垂直，则双曲线C 的方程为（）A ．22144x y -=B ．2214y x -=C ．2214x y -=D ．221x y -=4．（2020·浙江高考真题）已知点O （0，0），A （–2，0），B （2，0）．设点P 满足|PA |–|PB |=2，且P 为函数y =图像上的点，则|OP |=（）A ．222B ．4105C D5．（2019·北京高考真题（文））已知双曲线2221x y a-=（a ＞0）的离心率是则a =A B ．4C ．2D ．126．（2019·浙江高考真题）渐近线方程为0x y ±=的双曲线的离心率是A ．22B ．1C．D ．2二、多选题7．（2020·海南高考真题）已知曲线22:1C mx ny +=.（）A ．若m >n >0，则C 是椭圆，其焦点在y 轴上B ．若m =n >0，则CC ．若mn <0，则C 是双曲线，其渐近线方程为y =D ．若m =0，n >0，则C 是两条直线三、填空题8．（2021·全国高考真题（文））双曲线22145x y -=的右焦点到直线280x y +-=的距离为________．9．（2021·全国高考真题）已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的离心率为2，则该双曲线的渐近线方程为_______________10．（2020·全国高考真题（文））设双曲线C ：22221x y a b-=(a >0，b >0)的一条渐近线为y x ，则C 的离心率为_________．四、双空题11．（2020·北京高考真题）已知双曲线22:163x y C -=，则C 的右焦点的坐标为_________；C 的焦点到其渐近线的距离是_________．五、解答题12．（2021·全国高考真题）在平面直角坐标系xOy 中，已知点()1F 、)2122F MF MF -=，，点M 的轨迹为C .（1）求C 的方程；（2）设点T 在直线12x =上，过T 的两条直线分别交C 于A 、B 两点和P ，Q 两点，且TA TB TP TQ ⋅=⋅，求直线AB 的斜率与直线PQ 的斜率之和.一、单选题1．（2021·全国高三其他模拟（文））双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左焦点1F 关于一条渐近线的对称点P 在另一条渐近线上，该双曲线的离心率为（）A B ．C ．2D2．（2021·合肥市第六中学高三其他模拟（文））若双曲线2222:10cos sin 2x y C πθθθ⎛⎫-=<< ⎪⎝⎭的离心率为2，则θ=（）A ．3πB ．4πC ．6πD ．12π3．（2020·云南丽江市·高二期末（文））已知双曲线22221()00a x y a bb >-=>，被斜率为1的直线截得的弦的中点为（4，2），则该双曲线的离心率为（）A ．2B ．2C ．103D ．24．（2021·安徽高三其他模拟（文））已知A ，B 是双曲线22221(0,>0>)x y a b a b-=上两点，直线AB 垂直于双曲线的实轴，原点O 到直线AB ，且OA OB ⊥，则双曲线的离心率为（）A ．512B ．1+C 1或512D 112-二、多选题5．（2021·江苏扬州市·扬州中学高三其他模拟）已知双曲线2222:1x y C a b -=与双曲线22:11832x y Ω-=有相同的渐近线，且过点(6,P ，1F ，2F 为双曲线C 的左、右焦点，则下列说法中正确的有（）A ．若双曲线C 上一点M 到它的焦点1F 的距离等于16，则点M 到另一个焦点2F 的距离为10B ．若N 是双曲线C 左支上的点，且1232NF NF ⋅=，则12F NF △的面积为16C ．过点()3,0的直线l 与双曲线C 有唯一公共点，则直线l 的方程为43120x y --=或43120x y +-=D ．过点()2,2Q 的直线与双曲线2222178x ya b -=--相交于A ，B 两点，且()2,2Q 为弦AB 的中点，则直线AB 的方程为460x y --=6．（2021·福建厦门市·高三二模）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左､右焦点分别是1F ，2F ，直线l 过2F 交C 的右支于A ，B 两点，A 在第一象限，若190ABF ∠=︒.且1AF ，AB ，1BF 成等差数列，则以下正确的是（）A ．112AF BF =B ．l 的斜率为3C ．C 的离心率为2D ．C 的两条渐近线互相垂直三、填空题7．（2021·全国高三其他模拟）设1F ，2F 分别为双曲线()2222105x y m m m -=>+的左、右焦点，若双曲线上存在点A ，使1223F AF π∠=，且123AF AF =，则m =__________．8．（2021·东莞市东方明珠学校高三其他模拟）已知双曲线2212:1142x y C m m-=+-，当双曲线1C 的焦距取得最小值时，其右焦点恰为抛物线22:2C y px =（p >0）的焦点，若A ，B 是抛物线2C 上的两点，且8AF BF +=，则AB 中点的横坐标为______．9．（2021·福建高三三模）已知动点P 在圆()()22244x y ++-=上，双曲线C ：()222210,0x y a b a b -=>>的右焦点为()2,0F ，若C 的渐近线上存在点Q 满足2OP OF OQ +=，则C 的离心率的取值范围是___________.四、解答题10．（2021·湖南高三月考）已知椭圆C ：()222211x y a b a b+=>>长轴的顶点与双曲线D ：22214x y b -=实轴的顶点相同，且C 的右焦点F 到D 的渐近线的距离为7.（1）求C 与D 的方程；（2）若直线l 的倾斜角是直线)2y x =的倾斜角的2倍，且l 经过点F ，l 与C 交于A ，B 两点，与D 交于M ，N 两点，求ABMN.11．（2021·全国高二课时练习）如图，若12,F F 是双曲线221916x y -=的两个焦点.（1）若双曲线上一点M 到它的一个焦点的距离等于16，求点M 到另一个焦点的距离；（2）若P 是双曲线左支上的点，且12|||3|2F PF P =⋅，试求12F PF △的面积.12．（2021·全国高二单元测试）（1）求与双曲线221164x y -=有相同焦点，且经过点()2的双曲线的标准方程；（2）已知椭圆()()2230x m y m m ++=>的离心率32e =，求m 的值．参考答案跟踪训练1．A 【分析】由题意得到2ABF 是边长为4a 的等边三角形,在12BF F △中利用余弦定理得到关于,a c 的等量关系式，最后求得双曲线的离心率.【详解】解：设1BF t =，2AF s =，由12AB F B =，且22AF BF =，可得2AB t =，2BF s =，由双曲线的定义，可得1222AF AF t t s a -=+-=，又212BF BF s t a -=-=，解得4s a =，2t a =，所以2ABF 是边长为4a 的等边三角形，在12BF F △中，12BF a =，24BF a =，122F F c =，12120F BF ∠=︒，则2222212214164204cos 222416a a c a c F BF a a a +--∠=-==⋅⋅，化为227c a =，即c =，即有ce a==故选：A.【点睛】双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出a ，c ，代入公式c e a=；②只需要根据一个条件得到关于a ，b ，c 的齐次式，结合b 2＝c 2－a 2转化为a ，c 的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a 或a 2转化为关于e 的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e (e 的取值范围)．2．A 【分析】由题意，可得2||106PF =>，所以得12||||42-==PF PF a ，求得2a =，可得双曲线的渐近线方程.【详解】由||5OM =，得2||106PF =>，∴点P 在双曲线左支上，故12||||42-==PF PF a ，∴2a =，得双曲线方程为221416x y -=，∴双曲线C 的渐近线方程为2y x =±.故选：A .3．A 【分析】由双曲线的定义可以得到3c =，2a =，代入222b c a =-可求出b 的值，判断焦点的位置即可写出双曲线的方程.【详解】解：由双曲线的定义可得3c =，24a =，即2a =，222945b c a =-=-=，且焦点在x轴上，所以双曲线的方程为：22145x y -=．故选：A ．4．B 【分析】由题意可得双曲线22221(0,0)y x a b a b-=>>中223,9c a b =+=，由12PF F △为等腰三角形，所以2126PF F F ==,从而可求得1221064PF a PF =-=-=，再利用双曲线的定义可求得在双曲线中1a =，b =，进而可求出双曲线的渐近线方程【详解】解：因为椭圆2251162x y +=的焦点坐标为(0,3)±，所以双曲线22221(0,0)y x a b a b-=>>中223,9c a b =+=，设点P 为两曲线在第一象限的交点，由于在椭圆中，12PF F △为等腰三角形，所以2126PF F F ==,所以1221064PF a PF =-=-=，在双曲线中，212642a PF PF =-=-=，所以1a =，代入229a b +=，得b =，所以该双曲线的渐近线方程为4a y x b =±=±=±，故选：B 【点睛】关键点点睛：此题考查椭圆、双曲线的定义的应用，解题的关键由12PF F △为等腰三角形和椭圆的定义求出21,PF PF 的值，属于中档题5．A 【分析】由22,x y 项系数异号，即1m -与2m +同号，解不等式可得充要条件.根据包含关系的两个集合，小范围能推出大范围，可得选项.【详解】由(1)(2)0m m -+>，解得2m <-，或1m >.由“2m <-，或1m >”能推出“1m <-，或1m >”，即()(),11,m ∈-∞-+∞U 是“方程22112x y m m -=-+表示双曲线”的必要不充分条件，而选择项B 为它的充要条件，而C 、D 均为其充分不必要条件.故选：A.【点睛】方程220()1mx ny mn +=≠表示双曲线0mn ⇔<；方程220()1mx ny mn +=≠表示椭圆0,0m n ⇔>>，且m n ≠.6．B 【分析】由题知双曲线C 为焦点为y 轴上的双曲线，故由题知12a b =，再结合公式e =求解即可.【详解】因为双曲线C ：()222210,0y x a b a b-=>>的渐近线方程为12y x =±，所以双曲线C 为焦点为y 轴上的双曲线，且12a b =所以2b a =，所以双曲线的离心率为：e ==.故选：B 【点睛】本题考查双曲线的渐近线方程求离心率，考查运算求解能力，解题的关键在于熟练判断双曲线的焦点坐标所在轴及对应的渐近线方程，离心率公式e =,是中档题.7．A 【分析】分析可得b =，再将点代入双曲线的方程，求出a 的值，即可得出双曲线的标准方程.【详解】2c ea == ，则2c a =，b ==，则双曲线的方程为222213x ya a-=，将点的坐标代入双曲线的方程可得22223113a a a -==，解得1a =，故b =，因此，双曲线的方程为2213y x -=.故选：A.8．C 【分析】对双曲线的焦点在x 轴或在y 轴上进行分类求解，最后根据渐近线方程确定选项即可.【详解】当焦点在x 轴上时，C 的方程可化为22184x y m m-=--，依题意得846m m -+-=，解得3m =，故C 的方程为2215x y -=，其渐近线方程为y=5x ±；当焦点在y 轴上时，C 的方程可化为24y m -218x m -=-，依题意得486m m -+-=，解得9m =，故C 的方程为2215y x -=，其渐近线方程为y =，对照各选项，只有C 不符合.故选：C.9．B 【分析】联立直线方程和双曲线方程，利用判别式和韦达定理可求斜率的范围，从而得到倾斜角的范围.【详解】由(()2210y k x x y x ⎧=-⎪⎨-=>⎪⎩可得(()22210x x x k -=>，整理得到()22221210kxx k -+--=在()0,∞+上有两个不同的根，故()()224222221018412102201k k k kk k⎧-->⎪-⎪⎪+-+>⎨⎪-⎪>⎪-⎩，解得1k <-或1k >,故直线的倾斜角的范围为：3,,4224ππππ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭U ，故选：B 10．D【分析】联立22131y ax x y =+⎧⎨-=⎩，消去y 得22(3)220a x ax ---=，分类讨论二次项系数230a -=与230a -≠，讨论方程组得解的个数，即可得解.【详解】联立22131y ax x y =+⎧⎨-=⎩，消去y 得22(3)220a x ax ---=当230a -=时，即a =时，方程组只有一个解；当230a -≠时，2244(3)(2)0a a ∆=---=，解得：a =所以a 的取值为{，共4个，故选：D.【点睛】易错点睛：本题考查直线与双曲线的位置关系求参数，解题时要注意消去y 得到的方程二次项系数是否为0，再讨论解的个数，考查学生的分类讨论思想与运算能力，属于一般题.11．D 【分析】由直线方程知其过定点，又双曲线渐近线为63y x =±，结合曲线的图象及性质知，当0m =时直线l ：x =32m =±时直线l 与渐近线平行，即与双曲线只有一个交点；当m =l 与双曲线相切，即可知直线l 的条数.【详解】由题意知：直线l 方程可写为(1)0x y -=，即直线l 恒过，而22(3)111322-=<，即在双曲线外侧，且双曲线渐近线为63y x =±，如下图示，∴当0m =时，有直线l 为3x =当0m ≠时，有直线l 斜率为2k m=1632m =-与双曲线有且只有一个交点，32m =-，符合题意；1632m=与双曲线有且只有一个交点，即32m =，符合题意；若直线l 与双曲线相切时，联立双曲线方程并整理得222(43)2(64)4260m y m m y m m ++-+-=，由2224(64)8(26)(43)0m m m m m ∆=--+=，解得6m =∴综上：当0m =或32m =±或6m =.故选：D.【点睛】关键点点睛：根据直线方程过定点，结合双曲线渐近线，有过该定点与渐近线平行的直线只与双曲线交一点，再讨论斜率不存在及与双曲线相切的情况，即可判断直线l 的条数.12．B 【分析】由已知双曲线方程求出a 的值，然后判断过已知点直线斜率不存在和斜率存在时两种情况讨论，即可求解.【详解】由双曲线方程可得：4a =，5b =，当过点()4,5的直线斜率不存在时，直线方程为4x =，此时显然与双曲线方程只有一个公共点；当过点()4,5的直线斜率存在时，设斜率为k ，则直线方程为()45y k x =-+，代入双曲线方程可得()()()2222251616810161640500k xk k x k k -+---+=，当225160k -=即54k =±时，当54k =时，25525516810161640500164164x ⎛⎫⎛⎫⨯-⨯-⨯-⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭显然无解；当54k =-时，25525516810161640500164164x ⎛⎫⎛⎫⨯+⨯-⨯+⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭有一解，此时直线与双曲线有一个交点，符合题意，当225160k -≠，令()()()22222168106425161640500k k k k k ∆=-+--+=，解得：54k =，不符合题意，综上所述：满足题意的直线有两条，故选：B.【点睛】方法点睛：直线与双曲线位置关系的判断将双曲线方程22221x y a b-=与直线方程:l y kx b =+联立消去y 得到关于x 的一元二次方程()22222222220ba k x a mkx a m ab ----=，当2220b a k -=，即bk a=±时，直线l 与双曲线的渐近线平行，直线l 与双曲线只有一个交点；当2220b a k -≠，即bk a≠±时，设该一元二次方程的判别式为∆，若0∆>，直线与双曲线相交，有两个公共点；若0∆=，直线与双曲线相切，有一个公共点；若∆<0，直线与双曲线相离，没有公共点；注意：直线与双曲线有一个公共点时，可能相交或相切.13．2【分析】首先直线与双曲线方程联立，利用根与系数的关系表示0OP OQ ⋅=，变形后即可得到结论.【详解】将y =1-x 代入221x y a b-=，得(b -a )x 2+2ax -(a +ab )=0.设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则x 1+x 2=2a a b -，x 1x 2=a aba b +-.因为OP OQ ⋅=x 1x 2+y 1y 2=x 1x 2+(1-x 1)(1-x 2)=2x 1x 2-(x 1+x 2)+1，所以222a ab aa b a b+---+1=0，即2a +2ab -2a +a -b =0，即b -a =2ab ，所以112a b-=.故答案为：2【点睛】关键点点睛：本题考查直线与双曲线方程联立，关键是根据韦达定理得到,a b 的关系后，观察，变形得到结论.14．【分析】由直线方程过右焦点得,a b 的关系，设1122(,),(,)A x y B x y ，直线方程与双曲线方程联立消去x ，应用韦达定理得出1212,y y y y +，由7AF FB =，得127y y =-，这样结合起来可得k值．【详解】在2230kx y ka --=中令0y =得32a x =，所以32a c =，则222254a b c a =-=，设1122(,),(,)A x y B x y ，由222212230x y a bkx y ka ⎧-=⎪⎨⎪--=⎩，消去x 得22222223504b ab a b a y y k k ⎛⎫-++= ⎪⎝⎭，2122223kab y y a k b+=-，2221222254()k a b y y b a k =-，由7AF FB =得127y y =-，212222236kab y y y a k b+=-=-，222222()kab y a k b =--，所以224222212222222225774()4()k a b k a b y y y a k b b a k =-=-⨯=--，化简得2221235b k a==，k =．故答案为：【点睛】方法点睛：：本题考查直线与双曲线相交问题，解题方法是设而不求的思想方法，即设交点坐标1122(,),(,)x y x y ，由直线方程与双曲线方程联立，消元后应用韦达定理（本题得）1212,y y y y +，已知条件又得127y y =-，这样结合起来可求得k 值．15．（1）1；（2）,2)(((2,)-∞-+∞U U U 【分析】（1）设11()A x y ，，22()B x y ，，由题知3PB AP →→=，从而求得2121343x x y y =-⎧⎨=-⎩，代入双曲线方程，解得11x =-，10y =，从而求得斜率k .（2）设直线l 的方程为y kx m =+，与双曲线联立，求得韦达定理，及有2个交点时，判别式大于0,满足的k ，m 间的关系；并写出直线l 的垂直平分线方程，分别求得在x ，y 轴上的截距，求得围成的面积，从而求得k ，m 间的关系，代入上式中，解得k 的取值范围.【详解】解：（1）设11()A x y ，，22()B x y ，，因为3BP AP =，所以3PB AP →→=，即2211(,1)3(,1)x y x y -=--，所以2121343x x y y =-⎧⎨=-⎩，所以2211221112(43)(3)12y x y x ⎧-=⎪⎪⎨-⎪--=⎪⎩，所以11x =-，10y =，即(10)A -，，所以1011AP k k -===.（2）设直线l 的方程为y kx m =+（0k ≠）．由2212y kx m y x =+⎧⎪⎨-=⎪⎩，整理得222(2)220k x kmx m ----=．则12222km x x k +=-，212222m x x k --=-因为直线l 与双曲线的左、右两支分别交于A ，B 两点于是22k -≠0，且222(2)4(2)(2)0km k m ∆=-+-+>．整理得2220m k +->．设线段AB 的中点坐标00(,)x y ，则120222x x km x k +==-，00222my kx m k =+=-．所以AB 的垂直平分线方程为2221(22m kmy x k k k-=----．此直线与x 轴，y 轴的交点坐标分别为23(,0)2km k -，23(0,)2mk -．由题可得221339||||2222km m k k ⋅=--．整理得222(2)||k m k -=，0k ≠．所以可得222(2)20||k k k -+->，整理得22(2)(||2)0k k k --->，0k ≠．解得0||k <<或||2k >．所以k的取值范围是,2)(((2,)-∞-+∞U U U ．关键点点睛：设方程，联立圆锥曲线方程，求得韦达定理，可以表示出两个交点间的关系，从而在下面条件转化中可以代入，化简求解，本题中有2个交点，应满足判别式大于0，从而参数k 的取值范围.真题再现1．A 【分析】分析可得b =，再将点代入双曲线的方程，求出a 的值，即可得出双曲线的标准方程.【详解】2c ea == ，则2c a =，b ==，则双曲线的方程为222213x ya a-=，将点的坐标代入双曲线的方程可得22223113a a a-==，解得1a =，故b =，因此，双曲线的方程为2213y x -=.故选：A.2．A 【分析】首先确定渐近线方程，然后利用点到直线距离公式求得点到一条渐近线的距离即可.【详解】由题意可知，双曲线的渐近线方程为：220169x y -=，即340±=x y ，结合对称性，不妨考虑点()3,0到直线340x y +=的距离：95d ==.故选：A.3．D由抛物线的焦点()1,0可求得直线l 的方程为1yx b+=，即得直线的斜率为b -，再根据双曲线的渐近线的方程为b y x a =±，可得b b a -=-，1bb a-⨯=-即可求出,a b ，得到双曲线的方程．【详解】由题可知，抛物线的焦点为()1,0，所以直线l 的方程为1yx b+=，即直线的斜率为b -，又双曲线的渐近线的方程为b y x a =±，所以b b a -=-，1bb a-⨯=-，因为0,0a b >>，解得1,1a b ==．故选：D ．【点睛】本题主要考查抛物线的简单几何性质，双曲线的几何性质，以及直线与直线的位置关系的应用，属于基础题．4．D 【分析】根据题意可知，点P 既在双曲线的一支上，又在函数y =即可求出点P 的坐标，得到OP 的值．【详解】因为||||24PA PB -=<，所以点P 在以,A B 为焦点，实轴长为2，焦距为4的双曲线的右支上，由2,1c a ==可得，222413b c a =-=-=，即双曲线的右支方程为()22103y x x -=>，而点P还在函数y =由()22103y x x y ⎧⎪⎨->==⎪⎩，解得132332x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即OP ==故选：D.【点睛】。
双曲线及其性质知识点及题型归纳总结
双曲线及其性质知识点及题型归纳总结知识点精讲一、双曲线的定义平面内与两个定点21,F F 的距离的差的绝对值．．．．．等于常数（大于零且小于21F F ）的点的轨迹叫做双曲线（这两个定点叫双曲线的焦点）.用集合表示为{})20(22121F F a a MF MF M<<=-.注（1）若定义式中去掉绝对值，则曲线仅为双曲线中的一支.（2）当212F F a =时，点的轨迹是以1F 和2F 为端点的两条射线；当02=a 时，点的轨迹是线段21F F 的垂直平分线.（3）212F F a >时，点的轨迹不存在. 在应用定义和标准方程解题时注意以下两点：①条件“a F F 221>”是否成立；②要先定型（焦点在哪个轴上），再定量（确定2a ，2b 的值），注意222c b a =+的应用.二、双曲线的方程、图形及性质双曲线的方程、图形及性质如表10-2所示.题型归纳及思路提示题型1 双曲线的定义与标准方程 思路提示求双曲线的方程问题，一般有如下两种解决途径：（1）在已知方程类型的前提下，根据题目中的条件求出方程中的参数a ，b ，c ，即利用待定系数法求方程.（2）根据动点轨迹满足的条件，来确定动点的轨迹为双曲线，然后求解方程中的参数，即利用定义法求方程.例10.11 设椭圆1C 的离心率为135，焦点在x 轴上且长轴长为26，若曲线2C 上的点到椭圆1C 的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线2C 的标准方程为（ ）A. 1342222=-y xB. 15132222=-y xC. 1432222=-y xD. 112132222=-y x解析 设1C 的方程为)0(12222>>=+b a by a x ，则⎪⎩⎪⎨⎧==135262a c a ，得⎩⎨⎧==513c a .椭圆1C 的焦点为)0,5(1-F ，)0,5(2F ，因为218F F <，且由双曲线的定义知曲线2C 是以21,F F 为焦点，实轴长为8的双曲线，故2C 的标准方程为1342222=-y x ，故选A.变式 1 设命题甲：平面内有两个定点21,F F 和一动点M ，使得21MF MF -为定值，命题乙：点M 的轨迹为双曲线，则命题甲是命题乙的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件变式 2 已知)0,2(-M 和)0,2(N 是平面上的两个点，动点P 满足2=-PN PM ，求点的P 轨迹方程.变式 3已知)0,2(-M ，)0,2(N ，动点P 满足22=-PN PM ，记动点的P 轨迹为W ，求W 的方程. 例10.12 求满足下列条件的双曲线的标准方程： （1）经过点)2,5(-，焦点为)0,6(；（2）实半轴长为32且与双曲线141622=-y x 有公共焦点； （3）经过点)72,3(P ，)7,26(-. 分析 利用待定系数法求方程.设双曲线方程为“)0,0(12222>>=-b a b y a x ”，或“x bay =”，求双曲线方程，即求参数a ，b ，为此需要找出并解关于a ，b 的两个方程. 解析 （1）解法一：因为焦点坐标为)0,6(，焦点在x 轴上，故可设双曲线方程为x b a y -=，又双曲线过点)2,5(-，所以142522=-ba ，又因为6=c ，所以622=+b a ，解得52=a ，12=b ，故所求双曲线方程为1522=-y x . 解法二：由双曲线的定义a MF MF 221=-，()()=+--=+---++-=610356103526526522222a52530530=---.得5=a ，6=c 故1=b ，双曲线方程为1522=-y x .（2）解法一：由双曲线方程141622=-y x ，得其焦点坐标为)0,52(1-F ，)0,52(2F ，由题意，可设所求双曲线方程为x bay -=，由已知32=a ，52=c ，得8222=-=a c b ，故所求双曲线方程为181222=-y x . 解法二：依题意，设双曲线的方程为)164(141622<<-=+--k ky k x ， 由()k -=16322.得4=k ，故所求曲线的方程为181222=-y x . （3）因为所求双曲线方程为标准方程，但不知焦点在哪个轴上，故可设双曲线方程为)0(122<=+mn ny mx ，因为所求双曲线经过点)72,3(P ，)7,26(-，所以⎩⎨⎧=+=+149721289n m n m ，解得⎪⎩⎪⎨⎧=-=251751n m ，故所求双曲线方程为1752522=-x y . 评注 求双曲线的标准方程一般用待定系数法，若焦点坐标确定，一般仅有一解；若焦点坐标不能确定是在x 轴上还是在y 轴上，可能有两个解，而分类求解较为繁杂，此时可设双曲线的统一方程)0(122<=+mn ny mx ，求出即可n m ,，这样可以简化运算.变式 1 根据下列条件，求双曲线的标准方程：（1）与双曲线116922=-y x 有共同的渐近线，且过点)33,3(-； （2）与双曲线141622=-y x 有公共焦点；且过点)2,23(.变式 2 若动圆M 与圆()93:221=++y x C 外切，且与圆()13:222=+-y x C 内切，求动圆M 的圆心M 的轨迹方程.例10.13 已知双曲线的离心率为2，焦点分别为)0,4(-，)0,4(，则双曲线方程为（ ）A. 112422=-y x B. 141222=-y x C. 161022=-y x D.110622=-y x 解析 由焦点为)0,4(-，)0,4(，可知焦点在x 轴上，故设方程为)0,0(12222>>=-b a by a x ，且2==ace ，故2=a .所以42=a ，162=c ，12222=-=a c b ，故所求双曲线的方程为112422=-y x .故选A. 变式 1 已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的一条渐近线方程为x y 3=，一个焦点在抛物线x y 242=的准线上，则双曲线的方程为（ ）A. 11083622=-y x B.127922=-y x C.13610822=-y x D.192722=-y x 变式 2 已知双曲线1:2222=-by a x C 的焦距为10，点)1,2(P 在C 的渐近线上，则C 的方程为（ ）A. 152022=-y x B.120522=-y x C.1208022=-y x D.1802022=-y x 变式 3 已知点)4,3(-P 是双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 渐近线上的一点，E ，F 是左、右两个焦点，若0=⋅FP EP ，则双曲线的方程为（ ）A. 14322=-y x B. 13422=-y x C.116922=-y x D. 191622=-y x 题型2 双曲线的渐近线思路提示掌握双曲线方程与其渐近线方程的互求；由双曲线方程容易求得渐近线方程；反之，由渐近线方程可得出a ，b 的关系式，为求双曲线方程提供了一个条件.另外，焦点到渐近线的距离为虚半轴长b .例10.14 双曲线14222-=-y x 的渐近线方程为（ ） A. x y 2±=B. x y 2±=C. x y 22±= D. x y 21±= 分析 对不标准的圆锥曲线方程应首先化为标准方程，再去研究其图形或性质，不然极易出现错误.解析 双曲线的标准方程为12422=-x y ，焦点在y 轴上，且42=a ，22=b ，故渐近线方程为x b ay ±=，故所求渐近线方程为x y 22±=，即x y 2±=.故选A. 评注 应熟记，若双曲线的标准方程为12222=-b y a x ，则焦点落在x 轴上，渐近线方程为x a by ±=；若双曲线的标准方程为12222=-b x a y ，则焦点落在y 轴上，渐近线方程为x b ay ±=.本题也可以直接写出渐近线方程为04222=-y x ，化简得x y 2±=. 变式 1已知双曲线)0(1222>=-b by x 的一条渐近线的方程为x y 2=，则b _________变式 2 设双曲线)0(19222>=-a y ax 的渐近线方程为023=±y x ，则a 的值为（ ） A.4B.3C.2D.1变式 3 已知双曲线)0(12222>=-b b y x 的左、右焦点分别为21,F F ，其中一条渐近线方程为x y =，点),3(0y P 在该双曲线上，则21PF PF ⋅等于（ ）A.-12B.-2C.0D.4例10.15 双曲线191622=-y x 的一个焦点到其渐近线的距离是_________. 解析 由题设可知其中一条渐近线方程为043=+y x ，则焦点)0,5(到该渐近线的距离3435322=+⨯=d .评注 双曲线12222=-by a x 的一个焦点到其渐近线的距离（焦渐距）为b .变式 1双曲线13622=-y x 的渐近线与圆())0(3222>=+-r r y x 相切，则=r （ ） A. 3B. 2C.3D.6变式 2 已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的两条渐近线均和圆056:22=+-+x y x C 相切，且双曲线的右焦点为圆C 的圆心，则该双曲线的方程为（ ）A. 14522=-y x B. 15422=-y x C. 16322=-y x D. 13622=-y x 例10.16 过双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的右顶点A 作斜率为-1的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为B ，C ，若AB 21=BC ，作为双曲线的渐近线方程为_______. 解析 解法一：对于)0,(a A ，则直线方程为0=-+a y x ，将该直线分别与两渐近线联立，解得⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++b a ab b a a B ,2，⎪⎪⎭⎫⎝⎛---b a ab b a a C ,2，则有=BC ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---2222222,2b a b a b a b a ，⎪⎭⎫ ⎝⎛++-=b a ab b a abAB ,，因为AB 21=BC ，则222b a b a b a ab -=+-，得a b 2=，故224a b =，得双曲线方程为142222=-ay a x ，则双曲线的渐近线方程为02=±y x . 解法二：如图10-5所示，过C 点作BO CD //交x 轴于点D ，作x CH ⊥轴于H ，则由AB 21=BC ，得AO 21=OD ，故)0,2(a D -. 又COD BOA CDO ∠=∠=∠，所以CO CD =，则H 为OD 中点，即)0,(a H -. 又在直角三角形CHA 中，︒=∠45CHA ，故a AH CH 2==，即)2,(a a C -.故22-=-==-aak a b OC ，即2=ab，故双曲线的渐近线方程为02=±y x . 评注 在解法一种，若注意到AB AC 3=，则可利用B C y y 3=巧妙求解；解法二更能帮助我们挖掘出图形的本质特征.变式 1 过双曲线1:22=-y x C 的右顶点A 的直线l 与双曲线C 的两条渐近线交于P ，Q 两点，且AQ PA 2=，则直线l 的斜率为_____________.题型3 离心率的值及取值范围 思路提示求离心率的本质就是探求a ，c 间的数量关系，知道a ，b ，c 中任意两者的等式关系或不等关系便可求解出e 或其范围，具体方法为标准方程法和定义法.例10.17 已知双曲线13422=-y x ，则此双曲线的离心率e 为（ ） A.21B.2C. 22D.27解析 由题意可知42=a ，32=b ，故7222=+=b a c ，所以离心率27==a c e .故选D. 评注 本题若借用公式27474311222=⇒=+=+=e ab e ，则更为简洁，因为此种方法在求解过程中避开了基本量c 的求解，从而使得求解过程变得更为简捷.但是同学们应对公式：椭圆中)10(1222<<-=e a b e ；双曲线中)1(1222>+=e ab e ，加以熟练识记.变式 1 下列双曲线中离心率为26的是（ ） A. 14222=-y x B. 12422=-y x C. 16422=-y x D.110422=-y x 变式 2 已知点)3,2(在双曲线)0,0(1:2222>>=-b a by a x C 上，C 的焦距为4，则它的离心率为______.变式 3 已知双曲线1422=+my x 的离心率)2,1(∈e ，则m 的取值范围是（ ） A.)0,12(-B.)0,(-∞ C.)0,3(- D.)12,60(-- 例10.18 已知双曲线的渐近线方程是02=±y x ，则该双曲线的离心率等于________分析 因为不确定焦点在x 轴上还是在y 轴上，所以需分情况求解，由渐近线中的a ，b 关系，结合222b a c +=得出离心率.解析 依题意，双曲线的渐近线方程是x y 2±=.若双曲线的焦点在x 轴上，则因为双曲线的渐近线方程为x a b y ±=，故有2=ab，所以离心率5122=+=ab e ；若双曲线的焦点在y 轴上，则因为双曲线的渐近线方程为x b a y ±=，故有2=b a ，即21=a b ，所以离心率25122=+=ab e ；故离心率e 等于5或25.评注 ①若双曲线方程为)0,0(12222>>=-b a b y a x 时（焦点在x 轴上），其渐近线方程为x a by ±=；若双曲线方程为)0,0(12222>>=-b a b x a y 时（焦点在y 轴上），其渐近线方程为x bay ±=；②若双曲线的渐近线方程为)0(>±=k kx y ；则其离心率21k e +=（焦点在x 轴上）或211ke +=（焦点在y 轴上）；③若双曲线的离心率为e ，则其渐近线方程为x e y ⋅-±=12（焦点在x 轴上）或x e y ⋅-±=112（焦点在y 轴上）.变式 1 中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线的一条渐近线经过点)2,4(-，则它的离心率为（ ）A.6B.5C.26D.25 变式 2 若双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 的离心率3=e ，则其渐近线方程为______.例10.19 已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x .（1）若实轴长，虚轴长，焦距成等差数列，则该双曲线的离心率_________；（2）若实轴长，虚轴长，焦距成等比数列，则该双曲线的离心率_________.解析 （1）由题设可知c a b +=2，且222b ac +=，故2222⎪⎭⎫⎝⎛+=-c a a c ，得4c a a c +=-，即a c 53=，所以35=e . （2）由题设可知ac b =2，且222b a c +=，即ac a c =-22，由ac e =可得012=--e e ，得215+=e 或251-（舍去），所以215+=e . 变式 1 设双曲线的一个焦点为F ，虚轴的一个端点为B ，如果直线FB 与该双曲线的一条渐近线垂直，那么双曲线的离心率是（ ）A.2B.3C.213+D.215+变式 2 如图10-6所示，双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的两个顶点为21,A A ，虚轴两个端点为21,B B ，两个焦点为21,F F ，若以21A A 为直径的圆内切于菱形2211B F B F ，切点分别为D C B A ,,,.则（1）双曲线的离心率=e _________.（2）菱形2211B F B F 的面积1S 与矩形ABCD 的面积2S 的比值=21S S例10.20 双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的左、右焦点分别为21,F F ，过1F 作倾斜角为︒30的直线交双曲线右支于点M ，若2MF 垂直于x 轴，则双曲线的离心率为（ ）A.6B.3C.2D.33解析 依题意，如图10-7所示，不妨设12=MF ，则21=MF ，321=F F ，则3222121=-===MF MF F F a ca c e ，故选B. 变式1 已知21,F F 是双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的两个焦点，M 为双曲线上的点，若21MF MF ⊥，︒=∠3012F MF ，则双曲线的离心率为（ ）A.13-B.26C.13+D.213+变式2 已知21,F F 是双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的两个焦点，P 是C 上一点，若a PF PF 621=+，且21F PF ∆的最小内角为︒30，则C 的离心率为_____________.例10.21 双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的两个焦点为21,F F ，若P 为其上一点，且212PF PF =，则双曲线的离心率的取值范围是（ ） A.)3,1(B.(]3,1 C.),3(+∞ D.[)+∞,3 解析 解法一：由双曲线的定义知a PF PF 221=-，212PF PF =，故a PF 41=，a PF 22=，又c F F PF PF 22121=≥+，故c a 26≥，即3≤e ，又1>e ，故31≤<e ，故选B.解法二：利用21PF PF 的单调性，22221212PF aPF a PF PF PF +=+=，随2PF 的增加，21PF PF 减小，也就是说，当P 点右移时，21PF PF 值减小，故要在双曲线上找到一点P ，使得221=PF PF ，而当P 点在双曲线的右顶点时，221≥PF PF ，得c a ac ca ≥⇒≥-+32，则31≤<e ， 故选B.评注 若在双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 上存在一点P ，使得)1(21>=λλPF PF ，则111-+≤<λλe ，注意与椭圆中)1(111><≤+-λλλe 类似结论的区分和对比识记. 变式1 已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的左、右焦点分别为)0,(),0,(21c F c F -，若双曲线上存在点P 使caF PF F PF =∠∠1221sin sin ，则该双曲线的离心率的取值范围是____________.题型4 焦点三角形 思路提示对于题中涉及双曲线上点到双曲线两焦点距离问题常用定义，即a PF PF 221=-，在焦点三角形面积问题中若已知角，则用θsin 212121PF PF S F PF ⋅=∆，a PF PF 221=-及余弦定理等知识；若未知角，则用022121y c S F PF ⋅⋅=∆. 例10.22 过双曲线13422=-y x 左焦点1F 的直线交双曲线的左支于两点N M ,，2F 为其右焦点，则MN NF MF -+22的值为_________.分析 利用双曲线的定义求解解析 如图10-8所示，由定义知412=-MF MF ，12=-NF NF 所以()81122=+-+NF MF NF MF ，所以22=-+MN NF MF变式 1 设P 为双曲线11222=-y x 上的一点，21,F F 是该双曲线的两个焦点，若2:3:21=PF PF ，则21F PF ∆的面积为（ ）A. 36B.12C. 312D.24变式 2 双曲线1422=-y x 的两个焦点为21,F F ，点P 在双曲线上，21F PF ∆的面积为3，则21PF PF ⋅等于（ ） A.2B.3C.-2D.3- 变式 3 已知21,F F 分别为双曲线1279:22=-y x C 左、右焦点，点C A ∈，点M 的坐标为)0,2(，AM 为21AF F ∠的平分线，则=2AF __________.有效训练题1. 已知双曲线1722=-y m x ，直线l 过其左焦点1F ，交双曲线左支于B A ,两点，且4=AB ，2F 为双曲线的右焦点，2ABF ∆的周长为20，则的值为（ ） A. 8B. 9C. 16D. 202. 若点O 和点)0,2(-F 分别为双曲线)0(1222>=-a y ax 的中心和左焦点，点P 为双曲线右支上的任意一点，则FP OP ⋅的取值范围为（ ） A. [)+∞-,323B. [)+∞+,323C. ⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞-,47D. ⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞,473. 已知21,F F 为双曲线222=-y x 的左、右焦点，点P 在C 上，212PF PF =，则=∠21cos PF F （ ） A.41B.53 C.43 D.544. 若椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 的离心率为23，则双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的渐近线方程为（ ） A. x y 21±= B. x y 2±= C. x y 4±= D. x y 21±=5. 双曲线C 的左、右焦点分别为21,F F ，且2F 恰好为抛物线x y 42=的焦点，设双曲线C 与该抛物线的一个交点为A ，若21F AF ∆是以1AF 为底边的等腰三角形，则双曲线C 的离心率为（ ） A. 2B. 21+C. 31+D. 32+6. 如图10-9所示，过双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的一个焦点F 引它的渐近线的垂线，垂足为M ，延长FM 交轴y 于E ，若ME FM =，则该双曲线的离心率为（A.3B.2C. 3D. 27. 已知双曲线)0,0(1:22221>>=-b a by a x C 与双曲线1164:222=-y x C 有相同的渐近线，且1C 的右焦点为)0,5(F ，则=a _______，=b ___________.8. 已知双曲线122=-y x ，点21,F F 为其两个焦点，点P 为双曲线上一个点，若21PF PF ⊥，则21PF PF +的值为_________.9. 若双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的两个焦点为21,F F ，P 为双曲线上一点，且213PF PF =，则该双曲线离心率的取值范围是________.10. 根据下列条件，求双曲线的标准方程：（1）与双曲线13422=-y x 有共同的渐近线，且过点)32,2(； （2）与双曲线191622=-y x 有公共焦点，且过点)4,22(-； （3）已知双曲线的渐近线方程为x y 32±=，且过点)1,29(-M ； （4）与椭圆1244922=+y x 有公共焦点，且离心率45=e .11. 中心在原点，焦点在x 轴上的一椭圆与一双曲线有共同的焦点21,F F ，且13221=F F ，椭圆的长半轴与双曲线实半轴之差为4，离心率之比为3:7.（1）求这两曲线方程；（2）若P 为这两曲线的一个交点，求21cos PF F ∠的值.12. 已知双曲线的中心在原点，焦点21,F F 在坐标轴上，离心率为2，且过点)10,4(-P . （1）求双曲线方程；（2）若点),3(m M 在双曲线上，求证：021=⋅MF MF ； （3）在（2）的条件下，求21MF F ∠∆的面积.。
双曲线解答题12大题型解题套路归纳
双曲线解答题12大题型解题套路归纳
一、求定点集合
双曲线方程为 $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$，求定点集合时，可以将 $y^2$ 写成 $x^2$ 的函数形式，并根据方程的性质找到定点集合。
二、离心率和焦半径
根据双曲线的离心率和焦半径的定义，可以通过给定的参数求出离心率和焦半径的值。
三、图形的特征
通过双曲线方程的参数，可以推断出双曲线的图形特征，如开口方向、渐近线方程等。
四、焦点坐标和直线方程
根据双曲线的焦点和准线的定义，可以通过给定的参数求出焦点坐标和准线的直线方程。
五、参数方程
双曲线可以用参数方程表示，根据参数方程可以求出曲线上的
点坐标和对应切线方程。
六、求切线方程
可以通过给定的点在双曲线上求出切线的方程。
七、对称性
双曲线具有对称性，可以根据对称轴和对称中心的定义，求出
对称轴和对称中心的方程。
八、渐近线方程
根据双曲线的渐近线定义，可以求出渐近线的方程。
九、面积和弧长
可以通过积分求解，求出双曲线所围成的面积和双曲线的弧长。
十、双曲线与直线的位置关系
可以通过将直线方程代入双曲线方程，求解方程组，从而判断
双曲线与直线的位置关系。
十一、双曲线与坐标轴的交点
可以通过将双曲线方程的一个变量设为零，求解方程，从而求出与坐标轴的交点。
十二、双曲线与其他曲线的位置关系
可以通过将其他曲线的方程代入双曲线方程，求解方程组，从而判断双曲线与其他曲线的位置关系。
高二数学双曲线复习专题及考试题型
双曲线---专项复习 【1、基本知识点】 双曲线的第一定义： 双曲线的第二定义：注意点：（1）双曲线定义中，“距离的差”一定要加绝对值，否则只表示双曲线的一支。
（2）定义中的小于||21F F 这一限制条件 标准方程：【2、几何性质】【 3、弦长公式】1、若直线y kx b =+与圆锥曲线相交于两点A 、B ，且12,x x 分别为A 、B 的横坐标，则221212()()AB x x y y =-+-，()22221212121141||AB k x x k x x x x k a ∆=+-=++-=+， 若12,y y 分别为A 、B 的纵坐标，则()21212122211114AB y y y y y y k k=+-=++-。
2、通径的定义：过焦点且垂直于实轴的直线与双曲线相交于A 、B 两点，则弦长ab AB 22||=。
3、若弦AB 所在直线方程设为x ky b =+，则AB ＝2121ky y +-。
4、特别地，焦点弦的弦长的计算是将焦点弦转化为两条焦半径之和后，利用第二定义求解 【4、常见双曲线题型】题型一 双曲线定义的应用1、如图所示，在△ABC 中，已知|AB|=42，且三内角A 、B 、C 满足2sinA+sinC=2sinB ，建立适当的坐标系，求顶点C 的轨迹方程．解 ：如图所示，以AB 边所在的直线为x 轴，AB 的垂直平分线为y 轴，建立直角坐标系，则A(-22,0)、B(22 , 0 )．由正弦定理得sinA =2a R ，sinB =2b R ，sinC =2c R . ∵2sinA+sinC=2sinB ，∴2a+c=2b ，即b -a=2c .从而有|CA| - |CB|=21|AB|=22<|AB|.由双曲线的定义知，点C 的轨迹为双曲线的右支． ∵a=2，c=22，∴b 2= c 2 - a 2= 6.所以顶点C 的轨迹方程为221,26x y -= (x>2)． 【反思感悟】 使用双曲线的定义时易漏掉“差的绝对值”，即||PF 1|-|PF 2||=2a ，而|PF1|-|PF2|=2a 表示一支．2、P 是双曲线x216－y220＝1上一点，F1、F2是双曲线的两个焦点，且|PF1|＝9，求|PF2|的值．解 在双曲线x216－y220＝1中，a ＝4，b ＝2 5.故c ＝6.由P 是双曲线上一点， 得||PF1|－|PF2||＝8. ∴|PF2|＝1或|PF2|＝17.又|PF2|≥c －a ＝2，得|PF2|＝17.3、已知双曲线116922=-y x 的左右焦点分别是1F 、2F ，若双曲线上一点P 使得02190=∠PF F ,求21PF F ∆的面积。
【理科】双曲线知识点总结及重点题型整理
【圆锥曲线板块】双曲线知识点总结及要点题型班级 _______姓名 ________知识点一：双曲线的定义在平面内，到两个定点、的距离之差的绝对值等于常数（大于 0且）的动点的轨迹叫作双曲线 . 这两个定点、叫双曲线的焦点，两焦点的距离叫作双曲线的焦距.注意： 1.双曲线的定义中，常数应该知足的拘束条件：，这能够借助于三角形中边的相关性质“两边之差小于第三边”来理解；2. 若去掉定义中的“绝对值”，常数知足拘束条件：（），则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点的一支；若（），则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点的一支；知识点二：双曲线的标准方程1．当焦点在轴上时，双曲线的标准方程：，此中；2．当焦点在轴上时，双曲线的标准方程：，此中.注意： 1．只有当双曲线的中心为坐标原点，对称轴为坐标轴成立直角坐标系时, 才能获得双曲线的标准方程；2．在双曲线的两种标准方程中，都有；3．双曲线的焦点总在实轴上，即系数为正的项所对应的坐标轴上. 当的系数为正时，焦点在轴上，双曲线的焦点坐标为，；当的系数为正时，焦点在轴上，双曲线的焦点坐标为，.知识点三：双曲线的简单几何性质双曲线（a＞0，b ＞0）的简单几何性质（1）对称性：对于双曲线标准方程（a＞0，b＞0），把x换成-x，或把y换成-y，或把x、y 同时换成 -x 、 -y ，方程都不变，所以双曲线（a＞0，b＞0）是以x轴、y轴为对称轴的轴对称图形，且是以原点为对称中心的中心对称图形，这个对称中心称为双曲线的中心。
（2）范围：双曲线上全部的点都在两条平行直线 x=― a 和 x=a 的双侧，是无穷延长的。
所以双曲线上点的横坐标知足 x ≤-a 或x≥a。
（ 3）极点：①双曲线与它的对称轴的交点称为双曲线的极点。
②双曲线（a＞ 0，b＞0）与坐标轴的两个交点即为双曲线的两个极点，坐标分别为A1（― a，0），A2（ a，0），极点是双曲线两支上的点中距离近来的点。
③两个极点间的线段A1A2叫作双曲线的实轴；设B1（ 0，― b）， B2（ 0，b）为 y 轴上的两个点，则线段 B1B2叫做双曲线的虚轴。
双曲线知识点及题型总结
双曲线知识点及题型总结1 双曲线定义：①到两个定点F 1与F 2的距离之差的绝对值等于定长（＜|F 1F 2|）的点的轨迹（21212F F a PF PF <=-（a 为常数））这两个定点叫双曲线的焦点．要注意两点：（1）距离之差的绝对值.（2）2a ＜|F 1F 2|，这两点与椭圆的定义有本质的不同.当|MF 1|－|MF 2|=2a 时，曲线仅表示焦点F 2所对应的一支； 当|MF 1|－|MF 2|=－2a 时，曲线仅表示焦点F 1所对应的一支；当2a =|F 1F 2|时，轨迹是一直线上以F 1、F 2为端点向外的两条射线； 当2a ＞|F 1F 2|时，动点轨迹不存在.②动点到一定点F 的距离与它到一条定直线l 的距离之比是常数e (e ＞1)时，这个动点的轨迹是双曲线这定点叫做双曲线的焦点，定直线l 叫做双曲线的准线 2.双曲线的标准方程：12222=-b y a x 和12222=-bx a y （a ＞0，b ＞0）.这里222a c b -=，其中|1F 2F |=2c.要注意这里的a 、b 、c 及它们之间的关系与椭圆中的异同. 3.双曲线的标准方程判别方法是：如果2x 项的系数是正数，则焦点在x 轴上；如果2y 项的系数是正数，则焦点在y 轴上.对于双曲线，a 不一定大于b ，因此不能像椭圆那样，通过比较分母的大小来判断焦点在哪一条坐标轴上.4.求双曲线的标准方程，应注意两个问题：⑴ 正确判断焦点的位置；⑵ 设出标准方程后，运用待定系数法求解.5.曲线的简单几何性质22a x －22by =1（a ＞0，b ＞0） ⑴范围：|x |≥a ，y ∈R⑵对称性：关于x 、y 轴均对称，关于原点中心对称 ⑶顶点：轴端点A 1（－a ，0），A 2（a ，0） ⑷渐近线：①若双曲线方程为12222=-b y a x ⇒渐近线方程⇒=-02222b y a x x aby ±=②若渐近线方程为x aby ±=⇒0=±b y a x ⇒双曲线可设为λ=-2222b y a x③若双曲线与12222=-b y a x 有公共渐近线，可设为λ=-2222by a x （0>λ，焦点在x 轴上，0<λ，焦点在y 轴上）④特别地当⇔=时b a 离心率2=e ⇔两渐近线互相垂直，分别为y=x ±，此时双曲线为等轴双曲线，可设为λ=-22y x ；y =a b x ，y =－ab x ⑸准线：l 1：x =－c a 2，l 2：x =c a 2，两准线之距为2122a K K c =⋅⑹焦半径：21()a PF e x ex a c=+=+，（点P 在双曲线的右支上x a ≥）；22()a PF e x ex a c=-=-，（点P 在双曲线的右支上x a ≥）；当焦点在y 轴上时，标准方程及相应性质（略）⑺与双曲线12222=-b y a x 共渐近线的双曲线系方程是λ=-2222b y a x 0(≠λ⑻与双曲线12222=-b y a x 共焦点的双曲线系方程是12222=--+kb y k a x 6曲线的内外部(1)点00(,)P x y 在双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的内部2200221x y a b ⇔->. (2)点00(,)P x y 在双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的外部2200221x y a b⇔-<. 7曲线的方程与渐近线方程的关系(1）若双曲线方程为12222=-b y a x ⇒渐近线方程：22220x y a b -=⇔x aby ±=.(2)若渐近线方程为x aby ±=⇔0=±b y a x ⇒双曲线可设为λ=-2222b y a x .(3)若双曲线与12222=-b y a x 有公共渐近线，可设为λ=-2222by a x （0>λ，焦点在x 轴上，0<λ，焦点在y 轴上）.8双曲线的切线方程(1)双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>上一点00(,)P x y 处的切线方程是00221x x y y a b-=.（2）过双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>外一点00(,)P x y 所引两条切线的切点弦方程是00221x x y ya b-=. （3）双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>与直线0Ax By C ++=相切的条件是22222A a B b c -=.9线与椭圆相交的弦长公式 AB =若斜率为k 的直线被圆锥曲线所截得的弦为AB ， A 、B 两点分别为A(x 1，y 1)、B(x 2,y 2)，则弦长 ]4))[(1(1212212122x x x x k x x k AB -++=-⋅+= ]4)[()11(11212212122y y y y k y y k -+⋅+=-⋅+=,这里体现了解析几何“设而不求”的解题思想；高考题型解析题型一：双曲线定义问题1.“ab <0”是“曲线ax 2+by 2=1为双曲线”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件 C .充分必要条件 D.既不充分又不必要条件2.若R ∈k ，则“3>k ”是“方程13322=+--k yk x 表示双曲线”的( )A .充分不必要条件. B.必要不充分条件. C.充要条件. D.既不充分也不必要条件.3.给出问题：F 1、F 2是双曲线162x －202y =1的焦点，点P 在双曲线上.若点P 到焦点F 1的距离等于9，求点P 到焦点F 2的距离.某学生的解答如下：双曲线的实轴长为8，由||PF 1|－|PF 2||=8，即|9－|PF 2||=8，得|PF 2|=1或17.该学生的解答是否正确？若正确，请将他的解题依据填在下面横线上；若不正确，将正确结果填在下面横线上. _________.4.过双曲线x 2-y 2=8的左焦点F 1有一条弦PQ 在左支上，若|PQ |=7，F 2是双曲线的右焦点，则△PF 2Q 的周长是 .题型二：双曲线的渐近线问题1.双曲线42x －92y =1的渐近线方程是( )A . y =±23x B.y =±32x C.y =±49x D.y =±94x2.过点（2，－2）且与双曲线22x －y 2=1有公共渐近线的双曲线方程是( )A .22y －42x =1 B.42x －22y =1 C.42y －22x =1 D.22x －42y =1题型三：双曲线的离心率问题1已知双曲线 x 2a 2 － y 2b2 = 1 (a ＞0,b ＞0)的左右焦点分别为F 1、F 2，点P 在双曲线的右支上，且∣PF 1∣=4∣PF 2∣,则此双曲线的离心率e 的最大值为 （ ）A ．43B ．53C ．２D ．732.已知21,F F 是双曲线)0(,12222>>=-b a b y a x 的左、右焦点,过1F 且垂直于x 轴的直线与双曲线的左支交于A 、B 两点,若2ABF ∆是正三角形,那么双曲线的离心率为 ( )A.2 B.3 C. 2 D. 33.过双曲线M:2221y x b -=的左顶点A 作斜率为1的直线l ,若l 与双曲线M 的两条渐近线分别相交于B 、C,且|AB|=|BC|,则双曲线M 的离心率是 ( )4.在给定双曲线中，过焦点垂直于实轴的弦长为2，焦点到相应准线的距离为21，则该双曲线的离心率为( ) A.22 B. 2 C .2 D. 225..已知双曲线12222=-by a x (a>0,b<0)的右焦点为F ，若过点F 且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是A.( 1,2)B. (1,2) C .[2,+∞) D.(2,+∞) 题型四：双曲线的距离问题1.设P 是双曲线22ax －92y =1上一点，双曲线的一条渐近线方程为3x －2y =0，F 1、F 2分别是双曲线的左、右焦点.若|PF 1|=3，则|PF 2|等于( ) A.1或5 B.6 C .7 D.92.已知双曲线141222=-y x 的右焦点为F ，若过点F 的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此直线斜率的取值范围是A.(33-,33) B. (-3,3) C .[ 33-,33] D. [-3,3]3.已知圆C 过双曲线92x －162y =1的一个顶点和一个焦点，且圆心在此双曲线上，则圆心到双曲线中心的距离是____________.题型五：轨迹问题1.已知椭圆x 2+2y 2 =8的两焦点分别为F 1、F 2，A 为椭圆上任一点。
高中数学双曲线知识点及题型总结(学生版)
双曲线知识点及题型总结1 双曲线定义：①到两个定点F 1与F 2的距离之差的绝对值等于定长（＜|F 1F 2|）的点的轨迹（21212F F a PF PF <=-（a 为常数））这两个定点叫双曲线的焦点． 要注意两点：（1）距离之差的绝对值.（2）2a ＜|F 1F 2|，这两点与椭圆的定义有本质的不同. 当|MF 1|－|MF 2|=2a 时，曲线仅表示焦点F 2所对应的一支； 当|MF 1|－|MF 2|=－2a 时，曲线仅表示焦点F 1所对应的一支；当2a =|F 1F 2|时，轨迹是一直线上以F 1、F 2为端点向外的两条射线； 当2a ＞|F 1F 2|时，动点轨迹不存在.②动点到一定点F 的距离与它到一条定直线l 的距离之比是常数e (e ＞1)时，这个动点的轨迹是双曲线这定点叫做双曲线的焦点，定直线l 叫做双曲线的准线2.双曲线的标准方程：12222=-b y a x 和12222=-bx a y （a ＞0，b ＞0）.这里222a c b -=，其中|1F 2F |=2c.要注意这里的a 、b 、c 及它们之间的关系与椭圆中的异同.3.双曲线的标准方程判别方法是：如果2x 项的系数是正数，则焦点在x 轴上；如果2y 项的系数是正数，则焦点在y 轴上.对于双曲线，a 不一定大于b ，因此不能像椭圆那样，通过比较分母的大小来判断焦点在哪一条坐标轴上.4.求双曲线的标准方程，应注意两个问题：⑴ 正确判断焦点的位置；⑵ 设出标准方程后，运用待定系数法求解.5.曲线的简单几何性质22a x －22by =1（a ＞0，b ＞0） ⑴范围：|x |≥a ，y ∈R⑵对称性：关于x 、y 轴均对称，关于原点中心对称 ⑶顶点：轴端点A 1（－a ，0），A 2（a ，0） ⑷渐近线：①若双曲线方程为12222=-b y a x ⇒渐近线方程⇒=-02222b y a x x aby ±=②若渐近线方程为x aby ±=⇒0=±b y a x ⇒双曲线可设为λ=-2222b y a x③若双曲线与12222=-b y a x 有公共渐近线，可设为λ=-2222by a x （0>λ，焦点在x 轴上，0<λ，焦点在y 轴上）④特别地当⇔=时b a 离心率2=e ⇔两渐近线互相垂直，分别为y=x ±，此时双曲线为等轴双曲线，可设为λ=-22y x ；y =a b x ，y =－abx (什么是共轭双曲线?)⑸准线：l 1：x =－c a 2，l 2：x =c a 2，两准线之距为2122a K K c=⋅⑹焦半径：21()a PF e x ex a c =+=+，（点P 在双曲线的右支上x a ≥）；22()a PF e x ex a c=-=-，（点P 在双曲线的右支上x a ≥）；当焦点在y 轴上时，标准方程及相应性质（略）⑺与双曲线12222=-b y a x 共渐近线的双曲线系方程是λ=-2222by a x 0(≠λ⑻与双曲线12222=-by a x 共焦点的双曲线系方程是12222=--+k b y k a x 6曲线的内外部(1)点00(,)P x y 在双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的内部2200221x y a b ⇔->. (2)点00(,)P x y 在双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的外部2200221x y a b⇔-<. 7曲线的方程与渐近线方程的关系(1）若双曲线方程为12222=-b y a x ⇒渐近线方程：22220x y a b -=⇔x aby ±=.(2)若渐近线方程为x aby ±=⇔0=±b y a x ⇒双曲线可设为λ=-2222b y a x .(3)若双曲线与12222=-b y a x 有公共渐近线，可设为λ=-2222by a x （0>λ，焦点在x 轴上，0<λ，焦点在y 轴上）. 8双曲线的切线方程(1)双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>上一点00(,)P x y 处的切线方程是00221x x y ya b-=.（2）过双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>外一点00(,)P x y 所引两条切线的切点弦方程是00221x x y y a b -=.（3）双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>与直线0Ax By C ++=相切的条件是22222A aB b c -=.9线与椭圆相交的弦长公式 AB =若斜率为k 的直线被圆锥曲线所截得的弦为AB ， A 、B 两点分别为A(x 1，y 1)、B(x 2,y 2)，则弦长]4))[(1(1212212122x x x x k x x k AB -++=-⋅+= ]4)[()11(11212212122y y y y ky y k -+⋅+=-⋅+=,这里体现了解析几何“设而不求”的解题思想；高考题型解析题型一：双曲线定义问题1.“ab <0”是“曲线ax 2+by 2=1为双曲线”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件 C .充分必要条件 D.既不充分又不必要条件2.若R ∈k ，则“3>k ”是“方程13322=+--k yk x 表示双曲线”的( )A .充分不必要条件. B.必要不充分条件. C.充要条件. D.既不充分也不必要条件.3.给出问题：F 1、F 2是双曲线162x －202y =1的焦点，点P 在双曲线上.若点P 到焦点F 1的距离等于9，求点P 到焦点F 2的距离.某学生的解答如下：双曲线的实轴长为8，由||PF 1|－|PF 2||=8，即|9－|PF 2||=8，得|PF 2|=1或17.该学生的解答是否正确？若正确，请将他的解题依据填在下面横线上；若不正确，将正确结果填在下面横线上. _________.4.过双曲线x 2-y 2=8的左焦点F 1有一条弦PQ 在左支上，若|PQ |=7，F 2是双曲线的右焦点，则△PF 2Q 的周长是 .题型二：双曲线的渐近线问题1.双曲线42x －92y =1的渐近线方程是( )A . y =±23x B.y =±32x C.y =±49x D.y =±94x2.过点（2，－2）且与双曲线22x－y 2=1有公共渐近线的双曲线方程是( )A .22y －42x =1 B.42x －22y =1 C.42y －22x =1 D.22x －42y =1题型三：双曲线的离心率问题1已知双曲线 x 2a 2 － y 2b2 = 1 (a ＞0,b ＞0)的左右焦点分别为F 1、F 2，点P 在双曲线的右支上，且∣PF 1∣=4∣PF 2∣,则此双曲线的离心率e 的最大值为 （ ）A ．43B ．53C ．２D ．732.已知21,F F 是双曲线)0(,12222>>=-b a b y a x 的左、右焦点,过1F 且垂直于x 轴的直线与双曲线的左支交于A 、B 两点,若2ABF ∆是正三角形,那么双曲线的离心率为 ( )A.2 B.3 C. 2 D. 33.过双曲线M:2221y x b -=的左顶点A 作斜率为1的直线l ,若l 与双曲线M 的两条渐近线分别相交于B 、C,且|AB|=|BC|,则双曲线M 的离心率是 (4.在给定双曲线中，过焦点垂直于实轴的弦长为2，焦点到相应准线的距离为21，则该双曲线的离心率为( ) A.22 B. 2 C .2 D. 225..已知双曲线12222=-by a x (a>0,b<0)的右焦点为F ，若过点F 且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是A.( 1,2)B. (1,2) C .[2,+∞) D.(2,+∞) 题型四：双曲线的距离问题1.设P 是双曲线22ax －92y =1上一点，双曲线的一条渐近线方程为3x －2y =0，F 1、F 2分别是双曲线的左、右焦点.若|PF 1|=3，则|PF 2|等于( ) A.1或5 B.6 C .7 D.92.已知双曲线141222=-y x 的右焦点为F ，若过点F 的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此直线斜率的取值范围是 A.(33-,33) B. (-3,3) C .[ 33-,33] D. [-3,3] 3.已知圆C 过双曲线92x －162y =1的一个顶点和一个焦点，且圆心在此双曲线上，则圆心到双曲线中心的距离是____________.题型五：轨迹问题1.已知椭圆x 2+2y 2 =8的两焦点分别为F 1、F 2，A 为椭圆上任一点。
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双曲线常考重难点题型归纳必考点1： 双曲线的定义1．双曲线的定义满足以下三个条件的点的轨迹是双曲线 (1)在平面内；(2)动点到两定点的距离的差的绝对值为一定值； (3)这一定值一定要小于两定点的距离． 2．双曲线的标准方程标准方程x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)图形例题1： 已知点O （0，0），A （–2，0），B （2，0）．设点P 满足|P A |–|PB |=2，且P 为函数y =234x -上的点，则|OP |=（ ） A ．222B 410C 7D 10【解析】因为||||24PA PB -=<，所以点P 在以,A B 为焦点，实轴长为2，焦距为4的双曲线的右支上，由2,1c a ==可得，222413b c a=-=-=，即双曲线的右支方程为()22103y x x -=>，而点P 还在函数234y x =-()22210334y x x y x ⎧⎪⎨->-==⎪⎩，解得132332x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即13271044OP =+= D. 例题2： 已知F 为双曲线22:149x y C -=的左焦点，P ，Q 为双曲线C 同一支上的两点．若PQ 的长等于虚轴长的2倍，点(13,0)A 在线段PQ 上，则PQF △的周长为________．【解析】根据题意，双曲线22:149x y C -=的左焦点(13,0)F -，所以点(13,0)A 是双曲线的右焦点，虚轴长为：6；双曲线图象如图：||||24PF AP a -==① ||||24QF QA a -== ②而||12PQ =，①＋②得：||||||8PF QF PQ +-=，∴周长为||||||82||32PF QF PQ PQ ++=+=．故答案为：32．【小结】1.双曲线定义的主要应用(1)判定平面内动点与两定点的轨迹是否为双曲线，进而根据要求可求出曲线方程．(2)在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，结合||PF 1|－|PF 2||＝2a ，运用平方的方法，建立与|PF 1|·|PF 2|的联系．2.用定义法求双曲线方程，应依据条件辨清是哪一支，还是全部曲线． 3．与双曲线两焦点有关的问题常利用定义求解．4．如果题设条件涉及动点到两定点的距离，求轨迹方程时可考虑能否应用定义求解．双曲线的标准方程例题3： 已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点为F ，点A 在双曲线的渐近线上，OAF △是边长为2的等边三角形（O 为原点），则双曲线的方程为（ ）A.221412x y -= B.221124x y -= C.2213x y -= D.2213y x -=【解析】由题意结合双曲线的渐近线方程可得：2222tan 603c c a b ba⎧⎪=⎪=+⎨⎪⎪==⎩，解得：221,3a b ==，双曲线方程为：2213y x -=.本题选择D 选项.【小结】1．求双曲线方程的思路(1)如果已知双曲线的中心在原点，且确定了焦点在x 轴上或y 轴上，则设出相应形式的标准方程，然后根据条件确定关于a ，b ，c 的方程组，解出a 2，b 2，从而写出双曲线的标准方程(求得的方程可能是一个，也有可能是两个，注意合理取舍，但不要漏解)． (2)当焦点位置不确定时，有两种方法来解决：一是分类讨论，注意考虑要全面；二是注意巧设双曲线：①双曲线过两点可设为221(0)mx ny mn -=>，②与22221x y a b-=共渐近线的双曲线可设为2222(0)x y a b λλ-=≠，（3）等轴双曲线可设为22(0)x y λλ-=≠等，均为待定系数法求标准方程.2．利用待定系数法求双曲线标准方程的步骤如下：(1)定位置：根据条件判定双曲线的焦点在x 轴上还是在y 轴上，不能确定时应分类讨论．(2)设方程：根据焦点位置，设方程为x 2a 2－y 2b 2＝1或y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)，焦点不定时，亦可设为mx 2＋ny 2＝1(m ·n <0)；(3)寻关系：根据已知条件列出关于a 、b (或m 、n )的方程组；(4)得方程：解方程组，将a 、b 、c (或m 、n )的值代入所设方程即为所求． 3．双曲线方程的几种形式：(1)双曲线的一般方程：当ABC ≠0时，方程Ax 2＋By 2＝C 可以变形为x 2C A ＋y 2C B ＝1，由此可以看出方程Ax 2＋By 2＝C 表示双曲线的充要条件是ABC ≠0，且A ，B 异号．此时称方程Ax 2＋By 2＝C 为双曲线的一般方程．利用一般方程求双曲线的标准方程时，可以将其设为Ax 2＋By 2＝1(AB <0)，将其化为标准方程，即x 21A ＋y 21B ＝1.因此，当A >0时，表示焦点在x 轴上的双曲线；当B >0时，表示焦点在y 轴上的双曲线．(2)共焦点的双曲线系方程：与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)有公共焦点的双曲线的方程为x 2a 2＋λ－y 2b 2－λ＝1(a >0，b >0)；与双曲线y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)有公共焦点的双曲线的方程为y 2a 2＋λ－x 2b 2－λ＝1(a >0，b >0)．必考点2： 双曲线的实际应用例题4： 已知A ，B 两地相距800m ，在A 地听到炮弹爆炸声比在B 地晚2s ，且声速为340m /s ，求炮弹爆炸点的轨迹方程.【解析】如图以AB 为x 轴，AB 的垂直平分线为y 轴，建立坐标系，设炮弹爆炸点为(,)P x y ，由题知：3402680800PA PB -=⨯=<. 所以P 的轨迹是以A ，B 为焦点，2680a =的抛物线的右支. 即340a =，400c =，22244400b c a =-=.所以P 的轨迹方程为22111560044400x y -=(340)x ≥.【小结】解答实际应用问题时，要注意先将实际问题数学化，条件中有两定点，某点与这两定点的距离存在某种联系，解题时先画出图形，分析其关系，看是否与椭圆、双曲线的定义有关，再确定解题思路、步骤．焦点三角形问题例题5： 设双曲线C ：22221x y a b-=（a >0，b >0）的左、右焦点分别为F 1，F 25P 是C 上一点，且F 1P ⊥F 2P ．若△PF 1F 2的面积为4，则a =（ ） A ．1 B ．2C ．4D ．8【解析】5ca =，5c a ∴，根据双曲线的定义可得122PF PF a -=， 12121||42PF F PF F S P =⋅=△，即12||8PF PF ⋅=，12F P F P ⊥，()22212||2PF PF c ∴+=， ()22121224PF PF PF PF c ∴-+⋅=，即22540a a -+=，解得1a =，故选：A.例题6： 设12,F F 是双曲线221916x y -= 的两个焦点，点P 在双曲线上，且1260F PF ∠=︒，求△12F PF 面积【解析】双曲线221916x y -=的3,5,a c ==不妨设12PF PF >，则1226PF PF a -==22212121202cos6F F PF PF PF PF =+-⋅︒，而12210F F c ==得22212121212()100PF PF PF PF PF PF PF PF +-⋅=-+⋅= 1264,PF PF ⋅=故12121sin 601632F PF PF P S F =⋅⋅︒=△【小结】双曲线中的焦点三角形双曲线上的点P 与其两个焦点F 1，F 2连接而成的三角形PF 1F 2称为焦点三角形． 令|PF 1|＝r 1，|PF 2|＝r 2，∠F 1PF 2＝θ，因|F 1F 2|＝2c ，所以有 (1)定义：|r 1－r 2|＝2a ．(2)余弦公式：4c 2＝r 21＋r 22－2r 1r 2cos θ(3)面积公式：S △PF 1F 2＝12r 1r 2sin θ．一般地，在△PF 1F 2中，通过以上三个等式，所以求问题就会顺利解决．已知双曲线的方程，研究其几何性质双曲线的几何性质标准方程x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)图形性质范围 x ≥a 或x ≤－a ，y ∈Rx ∈R ，y ≤－a 或y ≥a对称性 对称轴：坐标轴 对称中心：原点 顶点 A 1(－a,0)，A 2(a,0) A 1(0，－a )，A 2(0，a ) 渐近线 y ＝±b a xy ＝±a b x离心率e ＝ca ，e ∈(1，＋∞)，其中c ＝a 2＋b 2实虚轴线段A 1A 2叫作双曲线的实轴，它的长|A 1A 2|＝2a ；线段B 1B 2叫作双曲线的虚轴，它的长|B 1B 2|＝2b ；a 叫作双曲线的实半轴长，b 叫作双曲线的虚半轴长．a 、b 、c 的关系c 2＝a 2＋b 2(c >a >0，c >b >0)例题7： 设为坐标原点，直线与双曲线的两条渐近线分别交于两点，若的面积为8，则的焦距的最小值为【解析】，双曲线的渐近线方程是直线与双曲线的两条渐近线分别交于，两点不妨设为在第一象限，在第四象限，联立，解得，故联立，解得，故， ， 面积为：双曲线，其焦距为当且仅当取等号， 的焦距的最小值：8例题8： 已知双曲线22221(00)x y C a b a b-=>>：，2，则点(4,0)到C 渐近线的距离为（ ） A 2B ．2C ．322D ．2【解析】2e 1()2c ba a==+=1b a ∴=，所以双曲线的渐近线方程为x y 0±=所以点（4，0）到渐近线的距离d 2211==+ D例题9： 已知双曲线22:163x y C -=，则C 的右焦点的坐标为_________；C 的焦点到其渐近线的距离是_________．【解析】在双曲线C 中，a =b =3c ==，则双曲线C 的右焦点坐标为()3,0，双曲线C 的渐近线方程为2y x =±，即0x =，双曲线C= 【小结】1.已知双曲线方程讨论其几何性质，应先将方程化为标准形式，找出对应的a 、b ，利用c 2＝a 2＋b 2求出c ，再按定义找出其焦点、焦距、实轴长、虚轴长、离心率、渐近线方程．2．画双曲线图形，要先画双曲线的两条渐近线(即以2a 、2b 为两邻边的矩形对角线)和两个顶点，然后根据双曲线的变化趋势，就可画出双曲线的草图．3．双曲线的标准方程中对a 、b 的要求只是a ＞0，b ＞0易误认为与椭圆标准方程中a ，b 的要求相同． 若a ＞b ＞0，则双曲线的离心率e ∈(1，2)； 若a ＝b ＞0，则双曲线的离心率e ＝2； 若0＜a ＜b ，则双曲线的离心率e ＞ 2.4．注意区分双曲线中的a ，b ，c 大小关系与椭圆a 、b 、c 关系，在椭圆中a 2＝b 2＋c 2，而在双曲线中c 2＝a 2＋b 2.5．等轴双曲线的离心率与渐近线关系双曲线为等轴双曲线⇔双曲线的离心率e ＝2⇔双曲线的两条渐近线互相垂直(位置关系)． 6．双曲线的焦点到渐近线的距离等于虚半轴长b 7．渐近线与离心率()222210,0x y a b a b -=>>的一条渐近线的斜率为b a ===可以看出，双曲线的渐近线和离心率的实质都表示双曲线张口的大小． 8.与双曲线有关的范围问题的解题思路(1)若条件中存在不等关系，则借助此关系直接转化求解．(2)若条件中没有不等关系，要善于发现隐含的不等关系，如借助双曲线上点的坐标范围，方程中Δ≥0等来解决．必考点3： 由双曲线的性质求双曲线的方程例题10：已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>> 的离心率为2，过右焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线交于,A B 两点.设,A B 到双曲线的同一条渐近线的距离分别为1d 和2d ，且126,d d += 则双曲线的方程为( )A ．22139x y -=B ．22193x y -=C ．221412x y -=D ．221124x y -=【解析】设双曲线的右焦点坐标为(),0F c （c >0），则A B x x c ==，由22221c y a b-=可得：2b y a =±，不妨设：22,,,b b A c B c a a ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，双曲线的一条渐近线方程为0bx ay -=，据此可得：21bc b d c -==，22bc b d c +==， 则12226bcd d b c+===，则23,9b b ==，双曲线的离心率：2c e a ====，据此可得：23a =，则双曲线的方程为22139x y -=. 本题选择A 选项. 【小结】1.由双曲线的几何性质求双曲线的标准方程，一般用待定系数法，同样需要经历“定位→定式→定量”三个步骤．当双曲线的焦点不明确时，方程可能有两种形式，此时应注意分类讨论，为了避免讨论，也可设双曲线方程为mx 2－ny 2＝1(mn >0)，从而直接求得．2．根据双曲线的渐近线方程可设出双曲线方程．渐近线为y ＝n m x 的双曲线方程可设为：x 2m 2－y 2n 2＝λ(λ≠0)；如果两条渐近线的方程为Ax ±By ＝0，那么双曲线的方程可设为A 2x 2－B 2y 2＝m (m ≠0)；与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1共渐近线的双曲线方程可设为x 2a 2－y 2b2＝λ(λ≠0)．必考点4： 求双曲线的离心率(或范围)例题11：双曲线C :22221(0,0)x y a b a b-=>>的 一条渐近线的倾斜角为130°，则C 的离心率为（ ）A ．2sin40°B ．2cos40°C ．1sin50︒D ．1cos50︒【解析】由已知可得tan130,tan 50b ba a-=︒∴=︒ 2222222sin 50sin 50cos 50111tan 501cos 50cos 50cos50c b e a a ︒︒+︒⎛⎫∴==+=+︒=+== ⎪︒︒︒⎝⎭，选D例题12：已知双曲线C ：2222x y 1(a b 0)a b-=>>右支上非顶点的一点A 关于原点O 的对称点为B ，F为其右焦点，若AF FB ⊥，设ABF θ∠=，且ππθ,124⎛⎫∈⎪⎝⎭，则双曲线C 离心率的取值范围是______．【解析】设双曲线的左焦点为，连接，，AF FB ⊥，可得四边形为矩形，设AF m =，BF n =，即有，且222m n 4c +=，n m 2a -=，m tan θn=， 22222222222c 4c m n 11e 2mn 2a 4a m 2mn n 11m n m n n m+=====-+--++1211tan θtan θ=-+， 由ππθ,124⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，可得()t tan θ23,1=∈，则()1t 2,4t +∈，可得21,112t t⎛⎫∈ ⎪⎝⎭+，即有2110,12t t⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭+，则()12,211tan θtan θ∞∈+-+，即有)e 2,∞∈+例题13：设双曲线C ：22221x y a b-= (a >0，b >0)的一条渐近线为y x ，则C 的离心率为_________．【解析】由双曲线方程22221x y a b-=可得其焦点在x 轴上，因为其一条渐近线为y =，所以b a =c e a === 【小结】1.在解析几何中，求“范围”问题，一般可从以下几个方面考虑：①与已知范围联系，通过求值域或解不等式来完成；②通过判别式Δ求解；③利用点在双曲线内部形成的不等关系求解；④利用解析式的结构特点，如a ，a ，|a |等非负性求解．2.求双曲线离心率的取值范围，关键是根据题目条件得到不等关系，并想办法转化为关于a ，b ，c 的不等关 系，结合c 2＝a 2＋b 2和ca ＝e 得到关于e 的不等式，然后求解．在建立不等式求e 时，经常用到的结论：双曲线上一点到相应焦点距离的最小值为c －a .双曲线的离心率常以双曲线的渐近线为载体进行命题，注意二者参数之间的转化．3.与双曲线离心率、渐近线有关问题的解题策略(1)双曲线的离心率e ＝ca 是一个比值，故只需根据条件得到关于a ，b ，c 的一个关系式，利用b 2＝c 2－a 2消去b ，然后变形成关于e 的关系式，并且需注意e ＞1.(2)双曲线()222210,0x y a b a b -=>>的渐近线是令22220x y a b-=，即得两渐近线方程x a ±y b ＝0.(3)渐近线的斜率也是一个比值，可类比离心率的求法解答．注意应用c e a ==必考点5： 与双曲线有关的综合问题例题14：在平面直角坐标系xOy 中，以点()14,0F ，()28,9F 为焦点的动椭圆与双曲线221412x y -=的右支有公共点，则椭圆通径的最小值为______.【解析】依题意知，()14,0F 为双曲线的右焦点，设双曲线的左焦点为F ，则(4,0)F -， 设点P 为两曲线的交点，则由双曲线及椭圆的定义可知，1||||4PF PF -=，12||||2PF PF a +=，则2||||24PF PF a +=+222||(48)(09)15FF ≥=--+-=，所以有112a ≥. 所以椭圆的通径为222222222b a c c a a a a-==-，这里22122||(48)(09)97c F F ==-+-=， 所以由函数的单调性可知，当112a =时，椭圆的通径最小，最小值为9722441111112⨯-=.故答案为：2411 例题15：已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的右顶点为A ，以A 为圆心，b 为半径作圆A ，圆A与双曲线C 的一条渐近线于交M 、N 两点，若60MAN ∠=，则C 的离心率为__________． 【解析】如图所示，由题意可得360OA a AN AM b MAN AP ===∠=︒∴=，，，，，OP ∴=22223||||4OA PA a b -=-C 的一条渐近线y=b a x 的倾斜角为θ，则tan θ=223||2||34AP OP a b =-．又tan θ=b a ，223234b a a b =-，得a 2=3b 2，∴221231133b a +=+= 【小结】双曲线的综合问题常常涉及双曲线的离心率、渐近线、范围与性质，与圆、椭圆、抛物线、向量、三角函数、不等式等知识交汇考查综合运用数学知识的能力．(1)当与向量知识结合时，注意运用向量的坐标运算，将向量间的关系，转化为点的坐标问题，再根据根与系数的关系，将所求问题与条件建立联系求解．(2)当与直线有关时，常常联立直线与双曲线的方程，消元后利用一元二次方程的判别式、根与系数的关系构造相关数量关系求解．巩固提升1．（2019·北京高考真题（文））已知双曲线2221x y a-=（a ＞0）的离心率是5 则a =（ ）A ．6B ．4C ．2D ．12【解析】∵双曲线的离心率5c e a == ，21c a =+ ，∴215a a+= ，解得12a = ，故选D. 2．（全国高考真题（文））双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的离心率为2，焦点到渐近线的距离为3，则C的焦距等于（ ）． A.2B.22C.4D.42【解析】设双曲线的焦距为2c ，双曲线的渐进线方程为，由条件可知，，又，解得，故答案选C ．3.（2018·全国高考真题（理））设1F ,2F 是双曲线2222:1x y C a b-=（）的左、右焦点，O 是坐标原点．过2F 作C 的一条渐近线的垂线，垂足为P ．若16PF =，则C 的离心率为( )A 5B 3C ．2D 2【解析】由题可知22,PF b OF c ==，PO a ∴= 在2Rt PO F 中，222cos P O PF b F OF c∠==在12PF F △中,22221212212cos P O 2PF F F PF b F PF F F c +-∠==，)2222246322b c a bc a b cc+-∴=⇒=⋅ e 3∴= B.4.（2019·全国高考真题（理））双曲线C ：2242x y -=1的右焦点为F ，点P 在C 的一条渐近线上，O 为坐标原点，若=PO PF ，则△PFO 的面积为（ ）AB．2C．D．【解析】由2,a b c====．,2PPO PF x=∴=，又P在C的一条渐近线上，不妨设为在2y x=上，11224PFO PS OF y∴=⋅==△，故选A．5.（2020·山东海南省高考真题）【多选题】已知曲线22:1C mx ny+=.（）A．若m>n>0，则C是椭圆，其焦点在y轴上B．若m=n>0，则CC．若mn<0，则C是双曲线，其渐近线方程为y=D．若m=0，n>0，则C是两条直线【解析】对于A，若0m n>>，则221mx ny+=可化为22111x ym n+=，因为0m n>>，所以11m n<，即曲线C表示焦点在y轴上的椭圆，故A正确；对于B，若0m n=>，则221mx ny+=可化为221x yn+=，此时曲线C B不正确；对于C，若0mn<，则221mx ny+=可化为22111x ym n+=，此时曲线C表示双曲线，由220mx ny+=可得y=，故C正确；对于D，若0,0m n=>，则221mx ny+=可化为21yn=，yn=±，此时曲线C表示平行于x轴的两条直线，故D正确；故选：ACD.6.（2020·江苏省高考真题）在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线22x a﹣25y =1(a ＞0)的一条渐近线方程为，则该双曲线的离心率是____. 【解析】双曲线22215x y a -=，故b =由于双曲线的一条渐近线方程为y x =，即2b a a =⇒=，所以3c =，所以双曲线的离心率为32c a =.故答案为：327.（2020·全国高考真题（理））已知F 为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点，A 为C 的右顶点，B 为C 上的点，且BF 垂直于x 轴.若AB 的斜率为3，则C 的离心率为______________.【解析】联立22222221x cx y a b a b c=⎧⎪⎪-=⎨⎪⎪=+⎩，解得2x c b y a =⎧⎪⎨=±⎪⎩，所以2bBF a =.依题可得，3BF AF =，AF c a =-，即()2223b c a a c a a c a -==--，变形得3c a a +=，2c a =, 因此，双曲线C 的离心率为2.8.（2017·上海高考真题）设双曲线22219x y b -=(0)b >的焦点为1F 、2F ，P 为该双曲线上的一点，若1||5PF =，则2||PF =________【解析】 由双曲线的方程2221(0)9x y b b-=>，可得3a =，根据双曲线的定义可知1226PF PF a -==，又因为15PF，所以2||11PF =.9.（2019·浙江高三月考）已知1F ，2F 是椭圆1C ：2213x y +=与双曲线2C 的公共焦点，P 是1C ，2C 的公共点，若1OP OF =，则2C 的渐近线方程为______.【解析】因为1F ，2F 是椭圆1C ：2213x y +=与双曲线2C 的公共焦点，所以1(2,0)F -，设点),sin P θθ，由2213cos sin 2cos OP OF c θθθ=⇒+==⇒=，不妨取正即P ⎝⎭， 代入双曲线方程得：2262144a b-=， 又224a b +=，即1a b ==；即2C 的渐近线方程为y x =±.10.（2020·全国高三课时练习（理））已知F 为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点，A 为C 的右顶点，B 为C 上的点，且BF 垂直于x 轴.若AB 的斜率为3，则C 的离心率为______________.【解析】联立22222221x cx y a b a b c=⎧⎪⎪-=⎨⎪⎪=+⎩，解得2x c b y a =⎧⎪⎨=±⎪⎩，所以2bBF a =.依题可得，3BF AF =，AF c a =-，即()2223b c a a c a a c a -==--，变形得3c a a +=，2c a =, 因此，双曲线C 的离心率为2.11.（2019·陕西高三月考（理））已知双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，点M 在C 的渐近线上，且12MF MF ⊥，122MF a MF =+，则22b a=______.【解析】不妨设点M 在第一象限，设1MF m =，2MFn =，则2m a n =+，而12MF MF ⊥，故2224m n c +=，联立两式可得，2222mn c b =-，联立222b y x a x y c⎧=⎪⎨⎪+=⎩，可得(),M a b ，由三角形的面积公式可得11222mn cb =⋅，即22c b cb -=，故a bc =2，即422a b c =，故()4222a b a b =+，故42240b a b a +-=，则4210b b a a ⎛⎫⎛⎫+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得22b a =12.（2019·湖南高三月考（理））已知双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>的左右焦点分别为1F ，2F ，过1F 的直线l 与圆222x y a +=相切于点T ，且直线l 与双曲线C 的右支交于点P ，若114F P FT =，则双曲线C的离心率为______.【解析】如图，由题可知12OF OF c ==，OT a =，则1FT b =，又114F P FT =，3TP b ∴=，14F P b ∴=， 又122PF PF a -=，242PF b a ∴=-作2//F M OT ，可得22F M a =，TM b =，则2PM b = 在2MPF ∆，22222PM MF PF +=，即()222c b a =-，2b a c =+又222c a b =+，化简可得223250c ac a --=，同除以2a ，得23250e e --=，解得53e =13.（2018·全国高考真题（理））已知点()11M ，-和抛物线24C y x =：，过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于A ，B 两点．若90AMB ∠=︒，则k =________． 【解析】设()()1122A ,,B ,x y x y ，则2112224{4y x y x ==，所以22121244y y x x -=-，所以1212124k y y x x y y -==-+取AB 中点()00M'x y ，,分别过点A,B 作准线x 1=-的垂线，垂足分别为A ,B'' 因为AMB 90∠︒=,()()'111MM '222AB AF BF AA BB ∴==+=+'， 因为M’为AB 中点，所以MM’平行于x 轴，因为M(-1,1)，所以01y =，则122y y +=即k 2=14．（2020·浙江吴兴 湖州中学高三其他）过双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点2F 向其一条渐近线作垂线l ，垂足为P ，l 与另一条渐近线交于Q 点.若223F Q F P =，则该双曲线的离心率为_______. 【解析】由题意可得该双曲线的渐近线方程为by x a=±，设右焦点()2,0F c ， 不妨令直线l 垂直于直线b y x a =，则直线l 的方程为()ay x c b=--，由()b y x a a y x c b ⎧=⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩可得点22222,a c abc P a b a b ⎛⎫ ⎪++⎝⎭，因为222+=a b c ，所以点2,a ab P c c ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 由()b y x a a y x c b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩可得点22222,a c abc Q a b a b ⎛⎫- ⎪--⎝⎭， 又223F Q F P =，所以223abc ab a b c-=⋅-即()2222223333c a b a c a -=-=--，所以223c a =，所以该双曲线的离心率c e a ===15．（2020·湖北黄石港 黄石二中高二月考（理））已知椭圆22221x y a b Γ+=：与双曲线22221x y m nΩ-=：共焦点，F 1、F 2分别为左、右焦点，曲线Γ与Ω在第一象限交点为P ，且离心率之积为1.若1212sin 2sin F PF PF F ∠=∠，则该双曲线的离心率为____________.【解析】设焦距为2c ，在三角形PF 1F 2中，根据正弦定理可得2121212sin sin PF F F F PF PF F =∠∠因为1212sin 2sin F PF PF F ∠=∠，代入可得1222F F PF =，所以2PF c =在椭圆中，1212PF PF PF c a +=+= 在双曲线中，1212PF PF PF c m -=-= 所以112,2PF a c PF m c =-=+，即22a c m c -=+，所以a m c =+因为椭圆与双曲线的离心率乘积为1，即1c c a m ⨯= ，即2c a m=，所以2c m c m +=化简得220c m mc --=，等号两边同时除以2m得210c c m m⎛⎫--= ⎪⎝⎭，因为c m 即为双曲线离心率所以若双曲线离心率为e ，则上式可化为210e e --=由一元二次方程求根公式可求得e =因为双曲线中1e >所以e =16．（2020·湖北高三月考（理））已知双曲线2222:1(0)x y C a b a b-=>>的左顶点为A ，过A 作双曲线两条渐近线的垂线，垂足分别为M ，N ，且4||||5MN OA =（O 为坐标原点），则此双曲线的离心率是___. 【解析】由题意，(),0A a -，双曲线2222:1(0)x y C a b a b -=>>的渐近线方程为：b y x a =±，不妨令AM 与直线b y x a =垂直，AN 与直线b y x a =-垂直，则AM a k b =-，AN ak b=， 所以直线AM 的方程为：a yx a b ；直线AN 的方程为：()ay x a b=+； 由()a y x a b b y x a ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩解得：3222a x c ba y c ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（其中222c a b =+），则3222,a ba M c c ⎛⎫-- ⎪⎝⎭； 由()a y x a b b y x a ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩解得：3222a x c bay c ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即3222,a ba N c c ⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以222ba MN c =， 又4||||5MN OA =，所以22245ba a c =，即225c ab =，即222520a ab b -+=，解得：2a b =或2ba =（不满足a b >），所以此双曲线的离心率是2c e a ====.。