2.2基本不等式(第二课时)
高中数学2-2基本不等式第2课时基本不等式的应用课时作业新人教A版必修第一册
2．2 基本不等式 第2课时 基本不等式的应用必备知识基础练1．[2022·广东惠州高一期末]若a >1，则a ＋1a －1有( ) A ．最小值为3 B ．最大值为3 C ．最小值为－1 D ．最大值为－1 2．函数y ＝x ＋16x ＋2(x >－2)取最小值时x 的值为( ) A ．6 B ．2 C ． 3 D ． 63．[2022·湖南衡阳高一期末]已知x ，y 均为正数，且x ＋y ＝1，求1x ＋4y的最值( )A ．最大值9B ．最小值9C ．最大值4D ．最小值44．在班级文化建设评比中，某班设计的班徽是一个直角三角形图案．已知该直角三角形的面积为50，则它周长的最小值为( )A ．20B ．10 2C ．40D ．102＋205．若正实数m ，n 满足2m ＋1n＝1，则2m ＋n 的最小值为( )A ．4 2B ．6C ．2 2D ．96．[2022·湖北武汉高一期末](多选)下列说法正确的是( ) A ．x ＋1x(x >0)的最小值是2B ．x 2＋2x 2＋2的最小值是 2C ．x 2＋5x 2＋4的最小值是2D ．2－3x －4x的最小值是2－4 37．若x >－1，则x ＋1x ＋1的最小值是________，此时x ＝________． 8．用一根铁丝折成面积为π的长方形的四条边，则所用铁丝的长度最短为________．关键能力综合练1．[2022·湖南长郡中学高一期末]已知p ＝a ＋1a －2(a >2)，q ＝－b 2－2b ＋3(b ∈R )，则p ，q 的大小关系为( )A ．p ≥qB ．p ≤qC ．p >qD ．p <q2．已知a ，b ，c 都是正数，且a ＋2b ＋c ＝1，则1a ＋1b ＋1c的最小值是( )A ．3＋2 2B ．3－2 2C ．6－4 2D ．6＋4 23．[2022·福建莆田一中高一期末]函数f (x )＝x 2－4x ＋5x －2(x ≥52)有( )A ．最大值52B ．最小值52C ．最大值2D ．最小值24．[2022·山东薛城高一期末]已知a ，b ∈R ＋，且a ＋2b ＝3ab ，则2a ＋b 的最小值为( ) A ．3 B ．4 C ．6 D ．95．[2022·湖南雅礼中学高一期末]近来猪肉价格起伏较大，假设第一周、第二周的猪肉价格分别为a 元/斤、b 元/斤，甲和乙购买猪肉的方式不同，甲每周购买20元钱的猪肉，乙每周购买6斤猪肉，甲、乙两次平均单价分别记为m 1，m 2，则下列结论正确的是( )A ．m 1＝m 2B ．m 1>m 2C ．m 2>m 1D ．m 1，m 2的大小无法确定6．[2022·山东枣庄高一期末]设正实数m 、n 满足m ＋n ＝2，则( )A ．n m ＋2n的最小值为2 2 B ．m ＋n 的最小值为2 C ．mn 的最大值为1 D ．m 2＋n 2的最小值为27．函数f (x )＝4x 2＋1x(x >0)取得最小值时x 的取值为________．8．[2022·河北唐山高一期末]当x >0时，函数f (x )＝xx 2＋1的最大值为________．9．已知x ，y ∈R ＋，且满足x ＋2y ＝2xy ，那么x ＋4y 的最小值？xy 的最小值？10．做一个体积为48 m 3，高为3米的无上边盖的长方体纸盒，底面造价每平方米40元，四周每平方米为50元，问长与宽取什么数值时总造价最低，最低是多少？核心素养升级练1．已知a >0，b >0，1a ＋1b＝1，若不等式2a ＋b ≥m 恒成立，则m 的最大值为( )A ．2＋ 3B ．3＋ 2C ．3＋2 2D ．52．一批货物随17列货车从A 市以v km/h 匀速直达B 市，已知两地铁路线长400 km ，为了安全，两列货车间距离不得小于(v20)2km ，那么这批物资全部运到B 市，最快需要________小时，(不计货车的车身长)，此时货车的速度是________ km/h.3．在“基本不等式”应用探究课中，甲和乙探讨了下面两个问题：(1)已知正实数x 、y 满足2x ＋y ＝1，求1x ＋12y 的最小值．甲给出的解法：由1＝2x ＋y≥22x ·y ，得xy ≤24，所以1x ＋12y≥2 1x ·12y ＝2xy≥4，所以1x ＋12y 的最小值为4.而乙却说甲的解法是错的，请你指出其中的问题，并给出正确的解法；(2)结合上述问题(1)的结构形式，试求函数y ＝1x ＋12－3x (0<x <23)的最小值．第2课时 基本不等式的应用必备知识基础练1．答案：A解析：∵a >1，∴a －1>0， ∴a ＋1a －1＝a －1＋1a －1＋1≥2（a －1）·1a －1＋1＝3，当且仅当a －1＝1a －1即a ＝2时取等号，∴a ＋1a －1有最小值为3. 2．答案：B解析：因为x >－2，所以x ＋2>0， 所以y ＝x ＋16x ＋2＝x ＋2＋16x ＋2－2≥2 （x ＋2）·16x ＋2－2＝6， 当且仅当x ＋2＝16x ＋2且x >－2，即x ＝2时等号成立． 3．答案：B解析：因为x ，y 均为正数，且x ＋y ＝1， 则1x ＋4y ＝(1x ＋4y )(x ＋y )＝5＋y x ＋4xy≥5＋2y x ·4xy＝9， 当且仅当x ＝13，y ＝23时，1x ＋4y 有最小值9.4．答案：D解析：设两直角边分别为a ，b ，则斜边为a 2＋b 2， 所以该直角三角形的面积为S ＝12ab ＝50，则ab ＝100，周长为a ＋b ＋a 2＋b 2≥2ab ＋2ab ＝20＋102，当且仅当a ＝b ＝10时等号成立，故周长的最小值为102＋20. 5．答案：D解析：正实数m ，n 满足2m ＋1n＝1，2m ＋n ＝(2m ＋n )(2m ＋1n )＝5＋2m n ＋2nm≥5＋4＝9，等号成立的条件为：m n ＝n m⇒m ＝n ＝3. 6．答案：AB解析：当x >0时，x ＋1x≥2x ·1x ＝2(当且仅当x ＝1x，即x ＝1时取等号)，A 正确； x 2＋2x 2＋2＝x 2＋2，因为x 2≥0，所以x 2＋2x 2＋2＝x 2＋2≥2，B 正确； x 2＋5x 2＋4＝x 2＋4＋1x 2＋4＝x 2＋4＋1x 2＋4≥2，当且仅当x 2＋4＝1x 2＋4，即x 2＝－3时，等号成立，显然不成立，故C 错误；当x ＝1时，2－3x －4x＝2－3－4＝－5<2－43，D 错误．7．答案：1 0 解析：因为x >－1， 所以x ＋1x ＋1＝x ＋1＋1x ＋1－1≥2 （x ＋1）·1x ＋1－1＝1， 当且仅当x ＋1＝1x ＋1，即x ＝0时，等号成立， 所以其最小值是1，此时x ＝0. 8．答案：4π解析：设长方形的长宽分别为a ，b (a >0，b >0)，所以ab ＝π，所用铁丝的长度为2(a ＋b )≥4ab ＝4π，当且仅当a ＝b ＝π时取等号．关键能力综合练1．答案：A解析：因为a >2，可得p ＝a ＋1a －2＝(a －2)＋1a －2＋2≥2 （a －2）·1a －2＋2＝4， 当且仅当a －2＝1a －2时，即a ＝3时，等号成立，即p ≥4， 又由q ＝－b 2－2b ＋3＝－(b ＋1)2＋4，所以q ≤4， 所以p ≥q . 2．答案：D解析：1a ＋1b ＋1c＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＋1c (a ＋2b ＋c )＝4＋2b a ＋c a ＋a b ＋c b ＋a c ＋2bc ≥4＋22ba·a b＋2c a ·a c＋2c b ·2bc ＝6＋42， 当且仅当2b a＝a b ，c a ＝a c ，c b＝2bc时，等号成立， 即a 2＝c 2＝2b 2时，等号成立． 3．答案：D解析：方法一 ∵x ≥52，∴x －2>0，则x 2－4x ＋5x －2＝（x －2）2＋1x －2＝(x －2)＋1（x －2）≥2，当且仅当x －2＝1x －2，即x ＝3时，等号成立． 方法二 令x －2＝t ，∵x ≥52，∴t ≥12，∴x ＝t ＋2.将其代入，原函数可化为y ＝（t ＋2）2－4（t ＋2）＋5t ＝t 2＋1t ＝t ＋1t≥2t ·1t＝2，当且仅当t ＝1t，即t ＝1时等号成立，此时x ＝3.4．答案：A解析：因为a ＋2b ＝3ab ，故2a ＋1b＝3，故2a ＋b ＝13(2a ＋b )(2a ＋1b )＝13(5＋2b a ＋2a b )≥13(5＋4)＝3，当且仅当a ＝b ＝1时等号成立， 故2a ＋b 的最小值为3. 5．答案：C解析：根据题意可得m 1＝20＋2020a ＋20b＝2ab a ＋b ≤2ab2ab ＝ab ，当且仅当a ＝b 时等号成立，m 2＝6a ＋6b 12＝a ＋b2≥ab ，当且仅当a ＝b 时等号成立， 由题意可得a ≠b ，所以m 1<ab ，m 2>ab ，则m 2>m 1. 6．答案：CD解析：对于选项A ，因为m >0，n >0，m ＋n ＝2，所以n m ＋2n ＝n m＋m ＋n n＝n m ＋m n＋1≥2n m ·mn＋1＝2＋1＝3，当且仅当n m ＝m n且m ＋n ＝2，即m ＝n ＝1时取等号，则A 错误；对于选项B, (m ＋n )2＝m ＋n ＋2mn ＝2＋2mn ≤2＋m ＋n ＝4，当且仅当m ＝n ＝1时等号成立，则m ＋n ≤2，即m ＋n 的最大值为2，则B 错误；对于选项C ，m ＋n ≥2mn ，即mn ≤(m ＋n2)2＝1，当且仅当m ＝n ＝1时，等号成立，则C正确；对于选项D, m 2＋n 2＝(m ＋n )2－2mn ＝4－2mn ≥4－2(m ＋n2)2＝2，当且仅当m ＝n ＝1时，等号成立，则D 正确．7．答案：12解析：x >0，f (x )＝4x ＋1x≥24x ·1x ＝4，当且仅当4x ＝1x ⇒x ＝12时取“＝”．8．答案：12解析：∵x >0，∴f (x )＝xx 2＋1＝1x ＋1x≤12x ×1x＝12， 当且仅当x ＝1时取等号， 即函数f (x )＝xx 2＋1的最大值为12. 9．解析：x ＋2y ＝2xy ，则1x ＋12y＝1，故x ＋4y ＝(x ＋4y )(1x ＋12y )＝1＋4y x ＋x 2y ＋2≥3＋22，当且仅当4y x ＝x2y 即x ＝22y 时等号成立，x ＋4y 的最小值为3＋2 2.又1x ＋12y ＝1≥2 12xy，解得xy ≥2，当且仅当x ＝2y ＝2时等号成立，xy 的最小值为2.10．解析：设长方体底面的长为a m ，宽为b m ，显然a ，b >0，则3ab ＝48，故b ＝16a，总造价为y 元，则y ＝2(3a ＋48a )×50＋16×40＝300(a ＋16a)＋640≥300×2a ·16a＋640＝3 040，当且仅当a ＝16a，即a ＝b ＝4时等号成立，∴当底面的长与宽均为4米时总费用最少，最少为3 040元．核心素养升级练1．答案：C解析：由不等式2a ＋b ≥m 恒成立可知，只需m 小于等于2a ＋b 的最小值， 由a ＞0，b ＞0，1a ＋1b＝1，可得2a ＋b ＝(2a ＋b )(1a ＋1b )＝3＋b a ＋2ab≥3＋2b a ×2a b ＝3＋22，当且仅当b a ＝2a b时取等号，∴m ≤3＋22，∴m 的最大值为3＋2 2.2．答案：8 100解析：设这批物资全部运到B 市用的时间为y 小时，因为不计货车的身长，所以设货车为一个点，可知最前的点与最后的点之间距离最小值为16×(v20)2千米时，时间最快．则y ＝（v20）2×16＋400v ＝v 25＋400v≥2v25×400v＝8，当且仅当v 25＝400v即v ＝100千米/小时时，时间y min ＝8小时．3．解析：(1)甲的解法中两次用到基本不等式，取到等号的条件分别是2x ＝y 和x ＝2y ，显然不能同时成立，故甲的解法是错的．正确的解法如下：因为x >0，y >0，且2x ＋y ＝1， 所以1x ＋12y ＝(2x ＋y )(1x ＋12y )＝52＋y x ＋x y ≥52＋2 y x ·x y ＝92， 当且仅当y x ＝x y ，即x ＝y ＝13时取“＝”，所以1x ＋12y 的最小值为92.(2)因为0<x <23，所以0<2－3x <2，所以y ＝1x ＋12－3x＝12[3x ＋(2－3x )][1x ＋12－3x ] ＝12(4＋3x 2－3x ＋2－3x x ) ≥12(4＋2 3x 2－3x ·2－3xx)＝2＋3，当且仅当3x 2－3x ＝2－3xx ，即x ＝1－33∈(0，23)时取“＝”， 所以y ＝1x ＋12－3x (0<x <23)的最小值为2＋ 3.。
2.2 基本不等式(第二课时)高一数学课件(人教A版2019必修第一册)
解: ∵ ＞-1，∴ + >0.
当且仅当2（ + ） =
即= −
+
∴ 函数 f(x) 的最小值是 −
取“=”号.
概念讲解
例2. 若 < <
，求函数 = ( − ) 的最大值.
分析: + ( − ) 不是 常数.而 + ( − ) = 为常数
人教A版2019必修第一册
第 2 章 一元二次函数（第二课时）
教学目标
1.熟练掌握基本不等式的应用条件，能够利用基本不等式求最值.
2.掌握常见的利用基本不等式求最值的题型
3.能够运用基本不等式解决生活中的应用问题.
01
温故知新
情景导入
1．基本不等式的两种常用变形形式
2
02
类型一：配凑法
概念讲解
例1. 求函数() = +
+
(x＞ -1) 的最小值.
解: ∵ ＞-1，∴ + >0.
当且仅当 + =
即=0
+
取“=”号.
∴当 =0 时， 函数 f(x) 的最小值是 1
概念讲解
练习. 求函数() = +
+
(x＞ -1) 的最小值.
解: ∵ < <
配凑系数
，∴ − > .
∴ = ( − ) =
=
当且仅当 = ( − )，即 =
时，取“=”号.
∴ = ( − ) 的最大值为
学案2：2.2 第2课时 基本不等式的应用
2.2 第2课时 基本不等式的应用不等式与最大(小)值阅读教材，完成下列问题． x ，y 都为正数时，下面的命题成立(1)若x ＋y ＝s (和为定值)，则当x ＝y 时，积xy 取得最 值 ； (2)若xy ＝p (积为定值)，则当x ＝y 时，和x ＋y 取得最 值 . 思考：(1) 函数y ＝x ＋1x 的最小值是2吗？(2)设a ＞0,2a ＋3a取得最小值时，a 的值是什么？初试身手1．下列函数中，最小值为4的函数是( )A ．y ＝x ＋4xB ．y ＝sin x ＋4sin x (0＜x ＜π)C ．y ＝e x ＋4e －xD ．y ＝log 3x ＋log x 812．当x ＞0时，x ＋9x 的最小值为________．3．当x ∈(0,1)时，x (1－x )的最大值为________．4．若点A (－2，－1)在直线mx ＋ny ＋1＝0上，其中mn >0，则1m ＋2n的最小值为________．【例1】 (1)已知x >2，则y ＝x ＋4x －2的最小值为________．(2)若0<x <12，则函数y ＝12x (1－2x )的最大值是________．规律方法在利用基本不等式求最值时要注意三点：一是各项均为正；二是寻求定值，求和式最小值时应使积为定值，求积式最大值时应使和为定值(恰当变形，合理拆分项或配凑因式是常用的解题技巧)；三是考虑等号成立的条件．跟踪训练1．(1)已知t>0，则函数y＝t2－4t＋1t的最小值为________．(2)设0<x≤2，则函数ƒ(x)＝x(8－2x)的最大值为________．类型2利用基本不等式解实际应用题【例2】如图，要设计一张矩形广告牌，该广告牌含有大小相等的左右两个矩形栏目(如图中阴影部分)，这两栏的面积之和为18 000 cm2，四周空白的宽度为10 cm，两栏之间的中缝空白的宽度为5 cm.怎样确定广告牌的高与宽的尺寸(单位：cm)，能使矩形广告牌面积最小？规律方法在应用基本不等式解决实际问题时，要注意以下四点：(1)先理解题意，设变量时一般把要求最值的变量定为函数；(2)建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最值问题；(3)在定义域内，求出函数的最值；(4)写出正确答案．跟踪训练2．(1)某公司购买一批机器投入生产，据市场分析，每台机器生产的产品可获得的总利润y (单位：万元)与机器运转时间x (单位：年)的关系为y ＝－x 2＋18x －25(x ∈N ＋)，则当每台机器运转________年时，年平均利润最大，最大值是________万元．(2)用一段长为36 m 的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？[1．(1)当x ＞0时，x 2＋1x 有最大值，还是最小值？(2)当x ＞0时，xx 2＋1有最大值，还是最小值？2．(1)设a ＞0，b ＞0，(a ＋b )⎝⎛⎭⎫1a ＋2b 的最小值是什么？(2)设a ＞0，b ＞0，且a ＋b ＝1，1a ＋2b 的最小值是什么？【例3】 (1)若对任意的x ＞0，xx 2＋3x ＋1≤a 恒成立，求a 的取值范围．(2)设a ＞0，b ＞0，若3是3a 与3b 的等比中项，求1a ＋1b 的最小值．母体探究1．(变条件)(1)在例3(2)中，若3是3a 与3b 的等比中项，求1a ＋1b的最小值．(2)在例3(2)中，把条件换为“2a 和1b 的等差中项是12”，求2a ＋b 的最小值．2．(变条件)把例3(2)的条件换为“a ＞0，b ＞0，且a ＋b ＋ab ＝1”，求a ＋b 的最小值．规律方法最值法解答恒成立问题将不等式恒成立问题转化为求函数最值问题的处理方法，其一般类型有： (1)f (x )＞a 恒成立⇔a ＜f (x )min . (2)f (x )＜a 恒成立⇔a ＞f (x )max .课堂小结1．利用基本不等式求最值必须满足“一正、二定、三相等”三个条件，并且和为定值，积有最大值；积为定值，和有最小值．2．使用基本不等式求最值时，若等号取不到，则考虑用函数单调性求解．3．解决实际应用问题，关键在于弄清问题的各种数量关系，抽象出数学模型，利用基本不等式解应用题，既要注意条件是否具备，还要注意有关量的实际含义． 当堂达标1．若x >0，y >0且2(x ＋y )＝36，则xy 的最大值为( )A ．9B ．18C ．36D ．812．一批货物随17列货车从A 市以v 千米/时匀速直达B 市，已知两地铁路线长400千米，为了安全，两列货车的间距不得小于⎝⎛⎭⎫v 202千米，那么这批货物全部运到B 市，最快需要________小时．3．求函数f (x )＝x x ＋1的最大值．参考答案新知初探不等式与最大(小)值 阅读教材，完成下列问题．(1)大 s 24；(2)小思考：(1) [提示] 不是，只有当x ＞0时，才有x ＋1x ≥2，当x ＜0时，没有最小值．(2) [提示] 2a ＋3a≥22a ×3a ＝26，当且仅当2a ＝3a ，即a ＝62时，取得最小值．初试身手1．【答案】C【解析】A 中x ＝－1时，y ＝－5＜4，B 中y ＝4时，sin x ＝2，D 中x 与1的关系不确定，选C ． 2．【答案】6【解析】因为x ＞0，所以x ＋9x ≥2x ×9x ＝6，当且仅当x ＝9x，即x ＝3时等号成立． 3．【答案】14【解析】因为x ∈(0,1)，所以1－x ＞0， 故x (1－x )≤⎝⎛⎭⎫x ＋1－x 22＝14，当x ＝1－x ， 即x ＝12时等号成立．4．【答案】8【解析】由已知点A 在直线mx ＋ny ＋1＝0上所以2m ＋n ＝1，所以1m ＋2n ＝2m ＋n m ＋2(2m ＋n )n＝4＋⎝⎛⎭⎫n m ＋4m n ≥8. 【例1】【答案】(1)6 (2)116【解析】(1)因为x >2，所以x －2>0，所以y ＝x ＋4x －2＝x －2＋4x －2＋2≥2(x －2)·4x －2＋2＝6，当且仅当x －2＝4x －2，即x ＝4时，等号成立．所以y ＝x ＋4x －2的最小值为6.(2)因为0<x <12，所以1－2x >0，所以y ＝12x ·(1－2x )＝14×2x ×(1－2x )≤14⎝⎛⎭⎫2x ＋1－2x 22＝14×14＝116，当且仅当2x ＝1－2x ，即当x ＝14时，y max ＝116. 规律方法在利用基本不等式求最值时要注意三点：一是各项均为正；二是寻求定值，求和式最小值时应使积为定值，求积式最大值时应使和为定值(恰当变形，合理拆分项或配凑因式是常用的解题技巧)；三是考虑等号成立的条件． 跟踪训练1．【答案】(1)－2 (2)22 【解析】(1)依题意得y ＝t ＋1t －4≥2t ·1t －4＝－2，等号成立时t ＝1，即函数y ＝t 2－4t ＋1t(t >0)的最小值是－2.(2)因为0<x ≤2，所以0<2x ≤4,8－2x ≥4>0，故ƒ(x )＝x (8－2x ) ＝12·2x ·(8－2x ) ＝12·2x ·(8－2x )≤12×82＝22， 当且仅当2x ＝8－2x ，即x ＝2时取等号， 所以当x ＝2时，ƒ(x )＝x (8－2x )的最大值为2 2.【例－20) cm ，⎝⎛⎭⎫y －252cm ，其中x >20，y >25，则两栏面积之和为2(x －20)×y －252＝18 000，由此得y＝18 000x －20＋25， 所以广告牌的面积S ＝xy ＝ x ⎝⎛⎭⎫18 000x －20＋25＝18 000x x －20＋25x ， 整理得S ＝360 000x －20＋25(x －20)＋18 500.因为x －20>0，所以S ≥2360 000x －20×25(x －20)＋18 500＝24 500. 当且仅当360 000x －20＝25(x －20)时等号成立，此时有(x －20)2＝14 400，解得x ＝140， 代入y ＝18 000x －20＋25，得y ＝175.即当x ＝140，y ＝175时，S 取得最小值24 500.故当广告牌的高为140 cm ，宽为175 cm 时，可使矩形广告牌的面积最小． 法二：设矩形栏目的高为a cm ，宽为b cm ，则ab ＝9 000，其中a >0，b >0. 易知广告牌的高为(a ＋20) cm ，宽为(2b ＋25)cm.广告牌的面积S ＝(a ＋20)(2b ＋25)＝2ab ＋40b ＋25a ＋500＝18 500＋25a ＋40b ≥18 500＋225a ·40b ＝24 500，当且仅当25a ＝40b 时等号成立，此时b ＝58a ，代入ab ＝9 000得a ＝120，b ＝75.即当a ＝120，b ＝75时，S 取得最小值24 500.故当广告牌的高为140 cm ，宽为175 cm 时，可使矩形广告牌的面积最小．规律方法在应用基本不等式解决实际问题时，要注意以下四点： (1)先理解题意，设变量时一般把要求最值的变量定为函数； (2)建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最值问题； (3)在定义域内，求出函数的最值； (4)写出正确答案． 跟踪训练2．【答案】(1)5 8【解析】每台机器运转x 年的年平均利润为y x ＝18－⎝⎛⎭⎫x ＋25x ，且x >0，故yx ≤18－225＝8，当且仅当x ＝5时等号成立，此时年平均利润最大，最大值为8万元．(2)[解] 设矩形菜园的长为x m 、宽为y m ，则2(x ＋y )＝36，x ＋y ＝18，矩形菜园的面积为xy m 2.由xy ≤x ＋y 2＝182＝9，可得xy ≤81，当且仅当x ＝y ，即x ＝y ＝9时，等号成立．因此，这个矩形的长、宽都为9 m 时，菜园的面积最大，最大面积为81 m 2.[1．[提示] (1)当x ＞0时，x 2＋1x ＝x ＋1x ≥2x ×1x＝2， 当x ＝1时等号成立，即x 2＋1x有最小值2.(2)当x ＞0时，x x 2＋1＝1x ＋1x ，因为x ＋1x ≥2，所以x x 2＋1≤12，故x x 2＋1有最大值12.2．[提示] (1)(a ＋b )⎝⎛⎭⎫1a ＋2b ＝3＋b a ＋2ab ≥3＋22，当b ＝2a 时等号成立； (2)由于a ＋b ＝1，所以1a ＋2b＝(a ＋b )⎝⎛⎭⎫1a ＋2b ≥22＋3， 当b ＝2a ，即a ＝2－1，b ＝2－2时，1a ＋2b 的最小值为3＋2 2.【例3】[解] (1)设f (x )＝xx 2＋3x ＋1＝1x ＋1x＋3，∵x ＞0，∴x ＋1x ≥2，∴f (x )≤15，即f (x )max ＝15，∴a ≥15.(2)由题意得，3a ·3b ＝(3)2，即a ＋b ＝1，∴1a ＋1b ＝⎝⎛⎭⎫1a ＋1b (a ＋b )＝2＋b a ＋ab≥2＋2b a ·ab＝4， 当且仅当b a ＝a b ，即a ＝b ＝12时，等号成立．母体探究1．[解] (1)由3是3a 与3b 的等比中项，得3a ＋b ＝32，即a ＋b ＝2，故12(a ＋b )＝1，所以1a ＋1b ＝12(a ＋b )⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ＝12⎝⎛⎭⎫2＋b a ＋a b ≥12⎝⎛⎭⎫2＋2b a ×a b ＝2， 当a ＝b ＝1时等号成立．(2)由于2a 和1b 的等差中项是12，则2a ＋1b＝1，故2a ＋b ＝(2a ＋b )⎝⎛⎭⎫2a ＋1b ＝5＋2b a ＋2ab ≥5＋22b a ×2ab＝9. 当a ＝b ＝3时等号成立．2．[解] a ＋b ＋ab ＝1，得b ＝1－aa ＋1＞0，故0＜a ＜1，故a ＋b ＝a ＋1－a a ＋1＝a ＋－1－a ＋2a ＋1＝a ＋2a ＋1－1＝a ＋1＋2a ＋1－2≥2(a ＋1)×2a ＋1－2＝22－2，当a ＋1＝2a ＋1，即a ＝2－1时等号成立．当堂达标 1．【答案】A【解析】由2(x ＋y )＝36得x ＋y ＝18.所以xy ≤x ＋y2＝9，当且仅当x ＝y ＝9时，等号成立． 2．【答案】8【解析】设这批货物从A 市全部运到B 市的时间为t ，则t ＝400＋16⎝⎛⎭⎫v 202v＝400v ＋16v400≥2400v ×16v 400＝8(小时)，当且仅当400v ＝16v400，即v ＝100时，等号成立，此时t ＝8小时． 3．[解] f (x )＝xx ＋1＝1x ＋1x ，因为x ＋1x≥2x ×1x ＝2，当x ＝1时等号成立，所以f (x )≤12.。
2.2基本不等式(两个课时)课件(人教版)
【详解】 x
0 ，y 0 ，z 0 ，
由基本不等式可得 x y 2 xy ，y z 2 yz ，z x 2 zx ，
由不等式的性质可得 x y y z z x 2 xy 2 yz 2 zx 8xyz ，
条件：“一正二定三相等”，属于基础题.
章节：
第二章一元二次函数、方程和不等式
标题：2.2基本不等式
第2课时
1.基本不等式的应用
课堂例题
例3 (1)用篱笆围一个面积为1002 的矩形菜园，当这个矩形的边长为多
少时，所用篱笆最短？最短篱笆的长度是多少？
(2)用一段长为36的篱笆围成一个矩形菜园，当这个矩形的边长为多少
析问题解决问题的能力.
2.通过创设具体情景，启动观察、分析、归纳、总结、抽
象概括等思维活动，培养学生的思维能力，体会数学概念
的学习方法，通过运用多媒体的教学手段，引领学生主动
探索基本不等式性质，体验成功的乐趣.
3.通过问题情境的设置，使学生认识到数学是从实际中来，
培养学生用数学的眼光看世界，通过数学思维认知世界，
天平右盘中，再取出一些黄金放在天平左盘中使天平平衡；最后将两次称得的黄金交给顾客.
项或配凑，在拆项与配凑的过程中，首先要考虑基本不等式使用的条件，
其次要明确基本不等式具有将“和式”转化为“积式”或者将“积式”
转化为“和式”的功能.
基本不等式：
+
∀ > 0, > 0， ≤
2
当且仅当＝时，等号成立.
课本P46 练习
ab
1.已知 a 、 bR ，求证： ab
1 2 ( x 1)
新人教A版高中数学必修第一册2.2 基本不等式 教学设计(1)
第二章 一元二次函数、方程和不等式 2.2 基本不等式（共2课时）（第1课时）本节课是人教版普通高中课程标准实验教科书数学必修1第二章第二节《基本不等式》第1课时。
从内容上看学生原有知识的掌握情况为：初中的勾股定理知识及三角形相似的知识、圆的相关知识，会用作差比较法证明简单的不等式，所以在学法上要指导学生：从代数与几何的角度理解基本不等式。
引导学生学会观察几何图形，进行几何与代数的结合运用，培养数学结合的思想观点，发展学生数学抽象、直观想象、逻辑推理等数学核心素养。
1.教学重点：的证明过程，会用此不等式求某些简单函数的最值；2.教学难点：基本不等式ab ba ≤+2等号成立条件； 多媒体2a b+新人教A 版 必修第一册教学过程教学设计意图 核心素养目标 （一）、情景导学如图是在北京召开的第24界国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，赵爽是为了证明勾股定理而绘制了弦图。
弦图既标志着中国古代的数学成就，又象一只转动的风车，欢迎来自世界各地的数学家们。
教师引导学生从面积的关系去找相等关系或不等关系． 思考1：这图案中含有怎样的几何图形？思考2：你能发现图案中的相等关系或不等关系吗？ （二）、探索新知1．探究图形中的不等关系将图中的“风车”抽象成如图，在正方形A BCD 中有4个全等的直角三角形．设直角三角形的两条直角边 长为a,b （a ≠b ）,那么正方形的边长为．这样，4个直角三角形的面积的和是2ab ，正方形的面积为．由于4个直角三角形的面积之和小于正方形的面积，我们就得到了一个不等式：．当直角三角形变为等腰直角三角形，即a=b 时， 正方形EFGH 缩为一个点，这时有．（通过几何画板演示当a=b 时的图像）2．得到结论（重要不等式）：一般的，对于任意实数a,b ，我们有，当且仅当a=b 时，等号成立。
3．思考证明：你能给出它的证明吗？（设计意图：证明：因为通过介绍第24届国际数学家大会会标 的背景，进行设问，引导学生观察分析，发现图形中蕴藏的基本不等式，培养学生数学抽象和逻辑推理的核心素养，同时渗透数学文化，和爱国主义教育。
第二章 2.2基本不等式的应用 第2课时
第2课时 基本不等式的应用学习目标 1.熟练掌握基本不等式及变形的应用.2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题.3.能够运用基本不等式解决生活中的应用问题．知识点 用基本不等式求最值用基本不等式x ＋y2≥xy 求最值应注意：(1)x ，y 是正数；(2)①如果xy 等于定值P ，那么当x ＝y 时，和x ＋y 有最小值2P ； ②如果x ＋y 等于定值S ，那么当x ＝y 时，积xy 有最大值14S 2.(3)讨论等号成立的条件是否满足． 预习小测 自我检验1．已知0<x <12，则y ＝x (1－2x )的最大值为________．答案 18解析 y ＝x (1－2x )＝12·2x ·(1－2x )≤12⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋1－2x 22＝18， 当且仅当2x ＝1－2x ，即x ＝14时取“＝”．2．某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x 吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x 万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x ＝________. 答案 20解析 总运费与总存储费用之和 y ＝4x ＋400x ×4＝4x ＋1 600x ≥24x ·1 600x＝160，当且仅当4x ＝1 600x ，即x ＝20时取等号．3．某公司购买一批机器投入生产，据市场分析，每台机器生产的产品可获得的总利润y (单位：万元)与机器运转时间x (单位：年)的关系为y ＝－x 2＋18x －25(x ∈N *)，则该公司每台机器年平均利润的最大值是________万元． 答案 8解析 年平均利润y x ＝－x ＋18－25x ＝－⎝⎛⎭⎫x ＋25x ＋18≤－225x·x ＋18＝－10＋18＝8，当且仅当x ＝5时取“＝”．4．已知x >2，则x ＋4x －2的最小值为________．答案 6解析 x ＋4x －2＝x －2＋4x －2＋2，∵x －2>0，∴x －2＋4x －2＋2≥24＋2＝4＋2＝6.当且仅当x －2＝4x －2，即x ＝4时取“＝”．一、利用基本不等式变形求最值例1 已知x >0，y >0，且1x ＋9y ＝1，求x ＋y 的最小值．解 方法一 ∵x >0，y >0，1x ＋9y ＝1，∴x ＋y ＝⎝⎛⎭⎫1x ＋9y (x ＋y )＝y x ＋9xy ＋10 ≥6＋10＝16， 当且仅当y x ＝9xy，又1x ＋9y ＝1，即x ＝4，y ＝12时，上式取等号． 故当x ＝4，y ＝12时，(x ＋y )min ＝16.方法二 由1x ＋9y ＝1，得(x －1)(y －9)＝9(定值)．由1x ＋9y ＝1可知x >1，y >9， ∴x ＋y ＝(x －1)＋(y －9)＋10≥2(x －1)(y －9)＋10＝16，当且仅当x －1＝y －9＝3， 即x ＝4，y ＝12时上式取等号， 故当x ＝4，y ＝12时，(x ＋y )min ＝16.延伸探究 若将条件换为：x >0，y >0且2x ＋8y ＝xy ，求x ＋y 的最小值． 解 方法一 由2x ＋8y －xy ＝0，得y (x －8)＝2x . ∵x >0，y >0，∴x －8>0，y ＝2x x －8， ∴x ＋y ＝x ＋2xx －8＝x ＋(2x －16)＋16x －8＝(x －8)＋16x －8＋10≥2(x －8)×16x －8＋10＝18.当且仅当x －8＝16x －8，即x ＝12时，等号成立．∴x ＋y 的最小值是18.方法二 由2x ＋8y －xy ＝0及x >0，y >0， 得8x ＋2y＝1. ∴x ＋y ＝(x ＋y )⎝⎛⎭⎫8x ＋2y ＝8y x ＋2xy＋10≥28y x ·2xy＋10＝18. 当且仅当8y x ＝2xy ，即x ＝2y ＝12时等号成立．∴x ＋y 的最小值是18.反思感悟 应根据已知条件适当进行“拆”“拼”“凑”“合”“变形”，创造应用基本不等式及使等号成立的条件．当连续应用基本不等式时，要注意各不等式取等号时的条件要一致，否则也不能求出最值；特别注意“1”的代换．跟踪训练1 已知正数x ，y 满足x ＋y ＝1，则1x ＋4y 的最小值是________．答案 9解析 ∵x ＋y ＝1， ∴1x ＋4y ＝(x ＋y )⎝⎛⎭⎫1x ＋4y ＝1＋4＋y x ＋4x y.∵x >0，y >0，∴y x >0，4xy >0，∴y x ＋4xy≥2y x ·4xy＝4， ∴5＋y x ＋4x y≥9.当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝1，y x ＝4x y，即x ＝13，y ＝23时等号成立．∴⎝⎛⎭⎫1x ＋4y min ＝9.二、基本不等式在实际问题中的应用例2 “足寒伤心，民寒伤国”，精准扶贫是巩固温饱成果、加快脱贫致富、实现中华民族伟大“中国梦”的重要保障．某地政府在对山区乡镇企业实施精准扶贫的工作中，准备投入资金将当地农产品二次加工后进行推广促销，预计该批产品销售量Q 万件(生产量与销售量相等)与推广促销费x 万元之间的函数关系为Q ＝x ＋12(其中推广促销费不能超过3万元)．已知加工此批农产品还要投入成本2⎝⎛⎭⎫Q ＋1Q 万元(不包含推广促销费用)，若加工后的每件成品的销售价格定为⎝⎛⎭⎫2＋20Q 元/件． 那么当推广促销费投入多少万元时，此批产品的利润最大？最大利润为多少？(利润＝销售额－成本－推广促销费) 解 设该批产品的利润为y ， 由题意知y ＝⎝⎛⎭⎫2＋20Q ·Q －2⎝⎛⎭⎫Q ＋1Q －x ＝2Q ＋20－2Q －2Q －x ＝20－2Q－x＝20－4x ＋1－x ＝21－⎣⎢⎡⎦⎥⎤4x ＋1＋(x ＋1)，0≤x ≤3.∵21－⎣⎢⎡⎦⎥⎤4x ＋1＋(x ＋1)≤21－24＝17，当且仅当x ＝1时，上式取“＝”， ∴当x ＝1时，y max ＝17.答 当推广促销费投入1万元时，利润最大为17万元．反思感悟 应用题，先弄清题意(审题)，建立数学模型(列式)，再用所掌握的数学知识解决问题(求解)，最后要回应题意下结论(作答)．使用基本不等式求最值，要注意验证等号是否成立． 跟踪训练2 2016年11月3日20点43分我国长征五号运载火箭在海南文昌发射中心成功发射，它被公认为是我国从航天大国向航天强国迈进的重要标志．长征五号运载火箭的设计生产采用了很多新技术新产品，甲工厂承担了某种产品的生产，并以x 千克/时的速度匀速生产时(为保证质量要求1≤x ≤10)，每小时可消耗A 材料kx 2＋9千克，已知每小时生产1千克该产品时，消耗A 材料10千克．消耗A 材料总重量为y 千克，那么要使生产1 000千克该产品消耗A 材料最少，工厂应选取何种生产速度？并求消耗的A 材料最少为多少． 解 由题意，得k ＋9＝10，即k ＝1， 生产1 000千克该产品需要的时间是1 000x ，所以生产1 000千克该产品消耗的A 材料为y ＝1 000x (x 2＋9)＝1 000⎝⎛⎭⎫x ＋9x ≥1 000×29＝6 000， 当且仅当x ＝9x，即x ＝3时，等号成立，且1<3<10.故工厂应选取3千克/时的生产速度，消耗的A 材料最少，最少为6 000千克．基本不等式在实际问题中的应用典例 围建一个面积为360 m 2的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙(利用的旧墙需维修)，其他三面围墙要新建，在旧墙对面的新墙上要留一个宽度为2 m 的进出口，如图．已知旧墙的维修费用为45 元/m ，新墙的造价为180 元/m.设利用的旧墙长度为x (单位：m)，修建此矩形场地围墙的总费用为y (单位：元)．试确定x ，使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用． 解 设矩形的另一边长为a m ，则y ＝45x ＋180(x －2)＋180×2a ＝225x ＋360a －360.由已知xa ＝360，得a ＝360x ，∴y ＝225x ＋3602x －360.∵x >0，∴225x ＋3602x ≥2225×3602＝10 800.∴y ＝225x ＋3602x －360≥10 440.当且仅当225x ＝3602x时，等号成立．即当x ＝24 m 时，修建围墙的总费用最小，最小总费用是10 440元．[素养提升] 数学建模是对现实问题进行数学抽象，建立和求解模型的过程耗时费力，所以建立的模型要有广泛的应用才有价值．本例中所涉及的y ＝x ＋ax (a >0)就是一个应用广泛的函数模型．1．设x >0，则3－3x －1x 的最大值是( )A ．3B ．3－2 2C ．－1D ．3－2 3答案 D解析 ∵x >0，∴3x ＋1x≥23x ·1x ＝23，当且仅当x ＝33时取等号，∴－⎝⎛⎭⎫3x ＋1x ≤－23，则3－3x －1x≤3－23，故选D.2．已知x 2－x ＋1x －1(x >1)在x ＝t 时取得最小值，则t 等于( )A ．1＋ 2B ．2C ．3D ．4答案 B解析 x 2－x ＋1x －1＝x (x －1)＋1x －1＝x ＋1x －1＝x －1＋1x －1＋1≥2＋1＝3，当且仅当x －1＝1x －1，即x ＝2时，等号成立．3．将一根铁丝切割成三段做一个面积为2 m 2、形状为直角三角形的框架，在下列四种长度的铁丝中，选用最合理(够用且浪费最少)的是( ) A ．6.5 m B ．6.8 m C ．7 m D ．7.2 m 答案 C解析 设两直角边分别为a ，b ，直角三角形的框架的周长为l ，则12ab ＝2，∴ab ＝4，l ＝a ＋b ＋a 2＋b 2≥2ab ＋2ab ＝4＋22≈6.828(m)．∵要求够用且浪费最少，故选C.4．已知正数a ，b 满足a ＋2b ＝2，则2a ＋1b 的最小值为________．答案 4解析 2a ＋1b ＝⎝⎛⎭⎫2a ＋1b ×12(a ＋2b ) ＝12⎝⎛⎭⎫4＋a b ＋4b a ≥12(4＋24)＝4. 当且仅当a b ＝4b a ，即a ＝1，b ＝12时等号成立，∴2a ＋1b的最小值为4. 5．设计用32 m 2的材料制造某种长方体车厢(无盖)，按交通法规定厢宽为2 m ，则车厢的最大容积是________ m 3. 答案 16解析 设车厢的长为b m ，高为a m. 由已知得2b ＋2ab ＋4a ＝32，即b ＝16－2aa ＋1，∴V ＝a ·16－2a a ＋1·2＝2·16a －2a 2a ＋1.设a ＋1＝t ，则V ＝2⎝⎛⎭⎫20－2t －18t ≤2⎝⎛⎭⎫20－22t ·18t ＝16，当且仅当t ＝3，即a ＝2，b ＝4时等号成立．1．知识清单： (1)已知x ，y 是正数．①若x ＋y ＝S (和为定值)，则当x ＝y 时，积xy 取得最大值． ②若x ·y ＝P (积为定值)，则当x ＝y 时，和x ＋y 取得最小值． 即：“和定积最大，积定和最小”． (2)求解应用题的方法与步骤．①审题，②建模(列式)，③解模，④作答．2．方法归纳：注意条件的变换，常用“1”的代换方法求最值． 3．常见误区：缺少等号成立的条件．1．已知正数x ，y 满足8x ＋1y ＝1，则x ＋2y 的最小值是( )A ．18B ．16C ．8D ．10 答案 A解析 x ＋2y ＝(x ＋2y )⎝⎛⎭⎫8x ＋1y ＝10＋16y x ＋x y ≥10＋216＝18，当且仅当16y x ＝xy ，即x ＝4y ＝12时，等号成立．2．已知a >0，b >0，2a ＋1b ＝16，若不等式2a ＋b ≥9m 恒成立，则m 的最大值为( )A ．8B ．7C ．6D ．5 答案 C解析 由已知，可得6⎝⎛⎭⎫2a ＋1b ＝1， ∴2a ＋b ＝6⎝⎛⎭⎫2a ＋1b ×(2a ＋b ) ＝6⎝⎛⎭⎫5＋2a b ＋2ba ≥6×(5＋4)＝54，当且仅当2a b ＝2ba 时，即a ＝b ＝18等号成立，∴9m ≤54，即m ≤6，故选C.3．小王从甲地到乙地往返的时速分别为a 和b (a <b )，其全程的平均时速为v ，则( ) A ．a <v <ab B ．v ＝ab C.ab <v <a ＋b2D ．v ＝a ＋b2答案 A解析 设小王从甲地到乙地行驶的路程为s ， ∵b >a >0，则v ＝2ss a ＋s b ＝2ab a ＋b <2ab 2ab ＝ab ， 又2ab a ＋b >2ab2b＝a ，故选A. 4．若正数x ，y 满足x 2＋3xy －1＝0，则x ＋y 的最小值是( ) A.23 B.223 C.33 D.233答案 B解析 由x 2＋3xy －1＝0，可得y ＝13⎝⎛⎭⎫1x －x . 又x >0，所以x ＋y ＝2x 3＋13x≥229＝223⎝⎛⎭⎫当且仅当x ＝22时等号成立. 5．已知m >0，n >0，m ＋n ＝1且x ＝m ＋1m ，y ＝n ＋1n ，则x ＋y 的最小值是( )A ．4B ．5C ．8D ．10 答案 B解析 依题意有x ＋y ＝m ＋n ＋1m ＋1n ＝1＋m ＋n m ＋m ＋n n ＝3＋n m ＋mn ≥3＋2＝5，当且仅当m ＝n＝12时取等号．故选B. 6．为净化水质，向一个游泳池加入某种化学药品，加药后池水中该药品的浓度C (单位：mg·L －1)随时间t (单位：h)的变化关系为C ＝20t t 2＋4，则经过_______ h 后池水中该药品的浓度达到最大．答案 2解析 C ＝20t t 2＋4＝20t ＋4t.因为t >0，所以t ＋4t ≥2t ·4t＝4 ⎝⎛⎭⎫当且仅当t ＝4t ，即t ＝2时等号成立.所以C ＝20t ＋4t≤204＝5，当且仅当t ＝4t ， 即t ＝2时，C 取得最大值．7.在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x 为________m.答案 20解析 设矩形花园的宽为y ，则x 40＝40－y40，即y ＝40－x ，矩形花园的面积S ＝x (40－x )≤⎝⎛⎭⎪⎫x ＋40－x 22＝400，当且仅当x ＝20时，取等号，即当x ＝20 m 时，面积最大．8．某汽车运输公司购买一批豪华大客车投入营运，据市场分析每辆车营运的总利润y (单位：10万元)与营运年数x (x ∈N *)满足关系y ＝－x 2＋12x －25，则每辆客车营运________年时，年平均利润最大． 答案 5解析 ∵y ＝－x 2＋12x －25，∴年平均利润为y x ＝－x 2＋12x －25x＝－⎝⎛⎭⎫x ＋25x ＋12≤－2x ·25x＋12＝2， 当且仅当x ＝25x ，即x ＝5时，等号成立．9．已知x >0，y >0且2x ＋5y ＝20. (1)求xy 的最大值； (2)求1x ＋1y的最小值．解 (1)∵2x ＋5y ＝20，x >0，y >0， ∴2x ＋5y ≥210xy ，∴210xy ≤20，即xy ≤10，当且仅当x ＝5，y ＝2时，等号成立，∴xy 的最大值为10.(2)1x ＋1y ＝⎝⎛⎭⎫1x ＋1y ·120(2x ＋5y ) ＝120⎝⎛⎭⎫2＋5＋5y x ＋2x y ＝120⎝⎛⎭⎫7＋5y x ＋2x y ≥120(7＋210)， 当且仅当2x ＝5y 时，等号成立．∴1x ＋1y 的最小值为120(7＋210)． 10．某人准备租一辆车从孝感出发去武汉，已知从出发点到目的地的距离为100 km ，按交通法规定：这段公路车速限制在40～100(单位：km /h)之间．假设目前油价为7.2元/L ，汽车的耗油率为⎝⎛⎭⎫3＋x 2360L /h ，其中x (单位：km/h)为汽车的行驶速度，耗油率指汽车每小时的耗油量．租车需付给司机每小时的工资为76.4元，不考虑其他费用，这次租车的总费用最少是多少？此时的车速x 是多少？(注：租车总费用＝耗油费＋司机的工资)解 设总费用为y 元．由题意，得y ＝76.4×100x ＋7.2×100x×⎝⎛⎭⎫3＋x 2360 ＝9 800x ＋2x (40≤x ≤100)． 因为y ＝9 800x＋2x ≥219 600＝280. 当且仅当9 800x＝2x ，即x ＝70时取等号． 所以这次租车的总费用最少是280元，此时的车速为70 km/h.11．设0<x <1，则4x ＋11－x的最小值为( ) A ．10 B ．9 C ．8 D.272答案 B解析 ∵0<x <1，∴1－x >0，4x ＋11－x ＝[x ＋(1－x )]·⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋11－x ＝4＋4(1－x )x ＋x 1－x＋1≥5＋24(1－x )x ·x 1－x＝5＋2×2＝9. 当且仅当4(1－x )x ＝x 1－x， 即x ＝23时，等号成立． ∴4x ＋11－x的最小值为9. 12．设自变量x 对应的因变量为y ，在满足对任意的x ，不等式y ≤M 都成立的所有常数M 中，将M 的最小值叫做y 的上确界．若a ，b 为正实数，且a ＋b ＝1，则－12a －2b的上确界为( ) A ．－92 B.92 C.14D ．－4 答案 A解析 因为a ，b 为正实数，且a ＋b ＝1，所以12a ＋2b ＝⎝⎛⎭⎫12a ＋2b ×(a ＋b )＝52＋⎝⎛⎭⎫b 2a ＋2a b ≥52＋2b 2a ×2a b ＝92，当且仅当b ＝2a ，即a ＝13，b ＝23时等号成立，因此有－12a －2b ≤－92，即－12a －2b 的上确界为－92. 13．一个矩形的周长为l ，面积为S ，则如下四组数对中，可作为数对(S ，l )的序号是( )①(1,4)；②(6,8)；③(7,12)；④⎝⎛⎭⎫3，12. A ．①③B ．①③④C ．②④D ．②③④答案 A解析 设矩形的长和宽分别为x ，y ，则x ＋y ＝12l ，S ＝xy .对于①(1,4)，则x ＋y ＝2，xy ＝1，根据基本不等式满足xy ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 22，符合题意； 对于②(6,8)，则x ＋y ＝4，xy ＝6，根据基本不等式不满足xy ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 22，不符合题意； 对于③(7,12)，则x ＋y ＝6，xy ＝7，根据基本不等式满足xy ≤⎝⎛⎭⎪⎫x ＋y 22，符合题意； 对于④⎝⎛⎭⎫3，12，则x ＋y ＝14，xy ＝3， 根据基本不等式不满足xy ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 22，不符合题意． 综合，可作为数对(S ，l )的序号是①③.14．已知不等式2x ＋m ＋8x －1>0对任意的x >1恒成立，则实数m 的取值范围为________． 答案 {m |m >－10}解析 ∵2x ＋m ＋8x －1>0在x >1时恒成立， ∴m >－2x －8x －1＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋4x －1 ＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1＋4x －1＋1， 又x >1时，x －1>0，x －1＋4x －1＋1≥2(x －1)·4x －1＋1＝5， 当且仅当x －1＝4x －1，即x ＝3时，等号成立， ∴－2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1＋4x －1＋1≤－2×5＝－10. ∴m >－10，∴实数m 的取值范围为{m |m >－10}．15．若不等式ax 2＋1x 2＋1≥2－3a 3(a >0)恒成立，则实数a 的取值范围是________． 答案 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫a ⎪⎪a ≥19 解析 原不等式可转化为a (x 2＋1)＋1x 2＋1≥23， 又a >0，则a (x 2＋1)＋1x 2＋1≥2a (x 2＋1)·1x 2＋1＝2a ， 当且仅当a (x 2＋1)＝1x 2＋1， 即a ＝1(x 2＋1)2时等号成立， 则根据恒成立的意义可知2a ≥23，解得a ≥19. 16．某厂家拟在2020年举行某产品的促销活动，经调查，该产品的年销售量(即该产品的年产量)x (单位：万件)与年促销费用m (m ≥0)(单位：万元)满足x ＝3－k m ＋1(k 为常数)，如果不举行促销活动，该产品的年销量是1万件．已知2020年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金，不包括促销费用)．那么该厂家2020年的促销费用为多少万元时，厂家的利润最大？最大利润为多少？解 设2020年该产品利润为y ，由题意，可知当m ＝0时，x ＝1，∴1＝3－k ，解得k ＝2，∴x ＝3－2m ＋1， 又每件产品的销售价格为1.5×8＋16x x元， ∴y ＝x ⎝⎛⎭⎪⎫1.5×8＋16x x －(8＋16x ＋m ) ＝4＋8x －m ＝4＋8⎝ ⎛⎭⎪⎫3－2m ＋1－m ＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤16m ＋1＋(m ＋1)＋29，∵m≥0，16m＋1＋(m＋1)≥216＝8，当且仅当16m＋1＝m＋1，即m＝3时等号成立，∴y≤－8＋29＝21，∴y max＝21.故该厂家2020年的促销费用为3万元时，厂家的利润最大，最大利润为21万元。
基本不等式(第二课时)
2.2基本不等式（第二课时）(人教A版普通高中教科书数学必修第一册第二章)一、教学目标1.结合具体实例，用基本不等式解决简单的求最大值或最小值的问题，发展数学运算和数学建模素养熟练掌握利用基本不等式求函数的最值问题，通过基本不等式求最值，提升数学运算素养．2.会用基本不等式求解实际应用题．借助基本不等式在实际问题中的应用，培养数学建模素养.二、教学重难点1.熟练掌握利用基本不等式求函数的最值问题．(重点)2.会用基本不等式求解实际应用题．(难点)三、教学过程1.复习回顾已知x、y都是正数，(1)若x＋y＝S(和为定值)，则当x＝y时，积xy取得最大值S2 4.(2)若xy＝p(积为定值)，则当x＝y时，和x＋y取得最小值2p.上述命题可归纳为口诀：积定和最小，和定积最大．1.1问题探究，引发思考例：（1）用篱笆围一个面积为100 m2的矩形菜园，当这个矩形的边长为多少时，所用篱笆最短？最短篱笆的长度是多少？（2）用一段长为36 m 的篱笆围成一个矩形菜园，当这个矩形的边长为多少时，菜园的面积最大？最大面积时多少？追问（1）：前面我们总结了能用基本不等式解决的两类最值问题，本问题中的两个问题属于那两类问题吗？【师生活动】学生思考后回答：属于。
第（1）题可以转化为：矩形的邻边之积为定值，边长多大时周长最短，实际上是已知两个正数的积为定值，求当这两个数取什么值时，它们的和有最小值的问题。
第（2）题可以转化为：矩形的邻边之和为定值，边长多大时面积最大，实际上是已知两个正数的和为定值，求当这两个数取什么值时，它们的积有最大值的问题。
追问（2）：第1课时中的例2给出了用基本不等式解决问题的数学模型：（I）如果正数x、y的积xy等于定值p，那么当x＝y时，和x＋y取得最小值2p.；（II）如果正数x、y的和x＋y等于定值S，那么当x＝y时，和x＋y取得最大值S2 4怎样把本题转化为为基本不等式的数学模型求解？【师生活动】学生思考后回答：第（1）题可以转化为数学模型（I）求解，第（2）题可以转化为数学模型（II）求解。
2.2基本不等式(第二课时)课件(人教版)
x2 x 2
[变式2]若x 0, 则
的最小值是_______ .
x 1
2
x2 x 2
x ( x 1) 2
2
解:
x
x 1
x 1
x 1
( x 1)
2
1 2 2 1
x 1
2
,
x 1
即x 2 1时等号成立 .
当且仅当 x 1
2m
8n
2m
1
1
=8+ +
+ 1，当且仅当 =
，即 m = ， n = 时，等号成立，
m
n
m
n
2
4
4
n+2
所以 +
的最小值为17.
m
n
典型例题：常数代换法求最值
例6
若x, y 0且4 x y xy,
16
(1) xy的最小值是_______
9
(2) x y的最小值是______
.
析 : (1)4 x y 2 4 xy , 即xy 4 xy , xy 16.
证明 ∵ > ， > ， > ，且 + + = ，
∴ +
=+
+
=+
=
++
+
++
+ + + +
基本不等式(第2课时)(教学课件)-高一数学同步备课系列(人教A版2019必修第一册)
(2)S＝3 030－6x－
Smax＝2 430.即设计x＝50 m，y＝60 m时，运动场地面积最大，最大值为2
430 m2．
【巩固练习5】
某商品进货价为每件 50 元，据市场调查，当销售价格为每件
105
x(50≤x≤80)元时，每天销售的件数为
3 000
则y＝ x (6<x<500)，
y－6
S＝(x－4)a＋(x－6)a＝(2x－10)a＝(2x－10)· 2 ＝(x－5)(y－6)＝3 030－6x
15 000
－ x (6<x<500)．
15 000
15 000
≤3
030－2
6x·
x
x ＝3 030－2×300＝2 430．
15 000
故当矩形的长为15 m，宽为7.5 m时，
菜园的面积最大，最大面积为112.5 m2．
3
2 做一个体积为32 m ，高为2 m的长方体纸盒，当底面的边长取什么
值时，用纸最少？
解：设底面的长为a，宽为b，
则由题意得2ab＝32，即ab＝16．
所以用纸面积为S＝2ab＋4a＋4b＝32＋4（a＋b）≥32＋8 ab ＝64 ，
下面这些结论是否正确？错误的说明理由.
(1)若a>0，b>0，且a＋b＝16，则ab≤64.
(2)若ab＝2，则a＋b的最小值为2 2.
正确
错误，因为a，b不是正数
1
1
(3)当x>1时，函数y＝x＋−1≥2
1
(4)若x∈R，则 2 ＋2＋ 2+2≥2.
2.2 基本不等式 教学设计(1) Word版
2.2.2 基本不等式（第2课时）本节课是人教版普通高中课程标准实验教科书数学必修1第二章第二节《基本不等式》第2课时。
从内容上看是对基本不等式在实际问题中应用的学习，通过问题解决，发展学生数学抽象、数学运算、数学建模、逻辑推理等数学核心素养。
在学法上要指导学生：从实际问题中列出数量关系式，进而运用基本不等式解应用题，数学建模能力也是本节要体现的重要素养。
对例题的处理可让学生先思考，然后师生共同对解题思路进行概括总结，使学生更深刻地领会和掌握解应用题的方法和步骤。
1.重点：在实际问题中建立不等关系，并能正确运用基本不等式求最值；2.难点：注意运用不等式求最大（小）值的条件多媒体（一）、小试牛刀1．判断正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)对任意的a ，b ∈R ，若a 与b 的和为定值，则ab 有最大值．( ) (2)若xy ＝4，则x ＋y 的最小值为4.( ) (3)函数f (x )＝x 2＋2x 2＋1的最小值为22－1.( )答案：（1） × （2）× （3） √2．已知x ＋y ＝1且x >0，y >0，则1x ＋1y 的最小值是( )A ．2B ．3C ．4D ．6 解析：法一：1x ＋1y ＝x ＋y xy ＝1xy ≥1⎝⎛⎭⎫x ＋y 22＝4，当且仅当x ＝y ＝12时取等号，法二：1x ＋1y ＝x ＋y x ＋x ＋y y ＝2＋y x ＋x y ≥4，当且仅当x ＝y ＝12时取等号．答案：C（二）、探索新知问题1.用篱笆围成一个面积为100m 的矩形菜园，问这个矩形的长、 宽各为多少时，所用篱笆最短。
最短的篱笆是多少？解：（1）设矩形菜园的长为x m,宽为y m,则100,xy =篱笆的长为2（x y +）m由2x yxy +≥， 可得 2100x y +≥，2（x y +）40≥等号当且仅当10x y x y ===时成立，此时，因此，这个矩形的长、宽为10 m 时，所用篱笆最短，最短篱笆为40m结论1：两个正变量积为定值，则和有最小值，当且仅当两变量值相通过课堂小测，了解学生对基本不等式的掌握情况，暴露问题及时纠正。
2.2基本不等式(第二课时)
a b 2 ab
2
ab
ab
2
一正，二定，三相等
（2）已知x、y都是正数，若积xy等于定值P，那么当x=y时，和x＋y有最小
值 2p
．积定和最小
（3）已知x、y都是正数，若和x＋y是定值S，那么当x=y时，积xy有最大
s2
值4
．和定积最大
【探究一】
例 1（1）已知x
2,求x
x
4 的最小值 2
【反思小结】
配凑项
配凑系数
“1”的代换 等价变形
利用基本不等式解 决实际问题的步骤
转化化归 和或积为定值
利用基本不等式求最值 和积互化
审题
建模
求解
作答
22x y 16 x y 8
xy x y 4 xy 16，当且仅当x y 4等号成立 2
因此，当矩形菜园是边长为4m的正方形时，面积最大，最大面积是16m2
【探究二】
例3 我们学校要建造一个长方体无盖贮水池，其容积为48m3，深为3m，如果池底每平方米的造价 为100元，池壁每平方米的造价为50元，问怎样设计水池能使总造价最低，最低总造价是多少元？
解：设贮水池池底的相邻两条边的边长分别为xm，ym，水池的总造价为
z元，根据题意，z 100 48 5023x 23y 1600 300x y，
3 由容积为48m3，可得3xy 48, xy 16， z 1600 300 2 xy 4000 当且仅当x y 4时，等号成立，此时z取最小值4000 所以，将贮水池的池底设计成边长为4m的正方形时总造价最低，最低总造价是4000元
【当堂检测】
拓展提升 3.已知x 0，y 0，9x y xy，求x y的最小值
2.2基本不等式(二)
例4 某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积为4800 m3, 深为3m，如果池底每1 m2的造价为150元，池壁每1m2的造价为 120元，问怎样设计水池能使总造价最低？最低总造价是多少元？
解：设水池底面一边的长度为x m， 的总造价为y元，根据题意，得
则水池的宽为1600
x
m
,水池
y 150 4800 120(23x 23 1600)
(2)一段长为36 m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园， 问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大.最大面 积是多少?
例3 (1)用篱笆围成一个面积为100 m2的矩形菜园，问这 个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短.最短的篱笆长 是多少？
解： (1)设矩形菜园的长为x m，宽为y m，则xy=100，篱 笆的长为2(x+y) m.
小结
本节课我们用两个正数的算术平均数与几何平均数的 关系顺利解决了函数的一些最值问题。
在用基本不等式求函数的最值，是值得重视的一种方 法，但在具体求解时，应注意考查下列三个条件：
(1)函数的解析式中，各项均为正数；
(2)函数的解析式中，含变数的各项的和或积必须有一个为 定值；
(3)函数的解析式中，含变数的各项均相等，取得最值即用 均值不等式求某些函数的最值时，应具备三个条件：一正 二定三取等。
解： 设矩形菜园的长为x m，宽为ym，则2 (x+y)=36，
其中x+y=18，矩形的面积为xy m. 2
由 xy x y 18 9, 22
可得xy 81,
当且仅当x y 9时，等号成立.
题后反思：通 过这道例题的 学习，你有什 么收获？
即菜园长、宽都为9m时，菜园面积最大，最大面 积为81 m2.
2.2基本不等式单元—课时教学设计
数学学科“单元—课时教学设计”体例要求新课程改革强调对数学整体性的认识，强调以具有整体性的知识单元为载体、从知识的联系性出发进行教学设计（即“单元—课时教学设计”）并展开课堂教学。
高中数学“单元—课时教学设计”体例要求如下：一、内容和内容解析（本部分主要说明教什么，完成“理解数学”的任务）（一）内容（对单元教学的内容和外延做简要说明）（二）内容解析（重点是在揭示概念内涵的基础上，说明概念的核心之所在，并要对概念的地位进行分析，其中蕴含的数学思想和方法要做出明确表述。
在此基础上阐明教学重点）1、内容本质2、蕴含的数学思想和方法3、知识的上下位关系4、育人价值（三）教学重点二、目标和目标解析（本部分主要明晰教学要求，完成“理解教学”的任务）（一）单元目标（用“了解”“理解”“掌握”以及有关行为动词“经历”“体验”“探究”等表述目标）（二）目标解析（对“了解”“理解”“掌握”以及“经历”“体验”“探究”的含义进行解析）三、教学问题诊断分析（本部分主要进行学情分析，完成“理解学生”的任务）（一）学生已有认知基础（二）学生可能遇到的难点及破解方法（三）教学难点四、教学支持条件分析（本部分主要阐述教学环境，完成“理解技术”的任务）五、课时教学设计（先介绍本单元对应的课时，再对某一课时内容进行教学设计）（一）课时教学内容（二）课时教学目标（三）课时教学重点与难点（四）教学过程设计（此部分建议使用三栏式表格进行设计）环节 1、环节 2、环节 3、环节 4……..（五）作业设计（六）板书设计六、教学反思2．2 基本不等式（2课时单元教学设计）一、单元内容和内容解析（一）内容本单元主要学习基本不等式的定义、几何解释、证明方法与应用.（二）内容解析第二章是高中数学的预备知识．方程和不等式是重要的数学工具,它们是刻画数学内外的相等关系和不等关系的基础,可以解决数学内外的各种问题,为学生高中阶段的学习作工具上的准备；另一方面,用函数的观点看方程和不等式是一种重要的思想方法,体现了数学知识之间的联系性和整体性,为学生高中阶段的学习作思想方法方面的准备．基本不等式的代数结构也是数学模型思想的一个范例,借助这个模型可以求最大值和最小值．同时在理解和应用基本不等式的过程中涉及变与不变、变量与常量,以及数形结合、数学模型等思想方法．因此,基本不等式的内容可以培养学生的逻辑推理、数学运算和数学建模素养．（三）教学重点基于以上分析,确定本节课的教学重点：基本不等式的定义、几何解释和证明方法,用基本不等式解决简单的最值问题．二、目标和目标解析（一）单元目标(a>0,b>0),发展逻辑推理素养．（1）理解基本不等式√ab≤a+b2（2）结合具体实例,用基本不等式解决简单的求最大值或最小值问题,发展数学运算和数学建模素养．（二）目标解析达成上述目标的标志是：1.知道基本不等式的内容,明确基本不等式就是“两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数”；会用不等式的性质证明基本不等式,能说明基本不等式的几何意义。
§2.2 第2课时 基本不等式在实际问题中的应用
第2课时 基本不等式在实际问题中的应用学习目标 1.熟练掌握基本不等式及变形的应用.2.会用基本不等式解决生活中简单的最大(小)值问题.3.能够运用基本不等式解决几何中的应用问题． 导语同学们，我们说数学是和生活联系非常紧密的学科，我们学习数学，也是为了解决生活中的问题，比如：“水立方”是2008年北京奥运会标志性建筑之一，如图为水立方平面设计图，已知水立方地下部分为钢筋混凝土结构，该结构是大小相同的左右两个矩形框架，两框架面积之和为18 000 m 2，现地上部分要建在矩形ABCD 上，已知两框架与矩形ABCD 空白的宽度为10 m ，两框架之间的中缝空白宽度为5 m ，请问作为设计师的你，应怎样设计矩形ABCD ，才能使水立方占地面积最小？要解决这个问题，还得需要我们刚学习过的基本不等式哦，让我们开始今天的探究之旅吧！一、基本不等式在生活中的应用问题 利用基本不等式求最大(小)值时，应注意哪些问题？提示 一正：x ，y 都得是正数；二定：积定和最小，和定积最大；三相等：检验等号成立的条件是否满足实际需要．例1 (教材46页例3改编)小明的爸爸要在家用围栏做一个面积为16m 2的矩形游乐园，当这个矩形的边长为多少时，所用围栏最省，并求所需围栏的长度． 解 设矩形围栏相邻两条边长分别为x m ，y m ，围栏的长度为2(x ＋y )m. 方法一 由已知xy ＝16， 由x ＋y2≥xy ，可知x ＋y ≥2xy ＝8， 所以2(x ＋y )≥16，当且仅当x ＝y ＝4时，等号成立，因此，当这个矩形游乐园是边长为4 m 的正方形时，所用围栏最省，所需围栏的长度为16 m. 方法二 由已知xy ＝16，可知y ＝16x ，所以2(x ＋y )＝2⎝⎛⎭⎫x ＋16x ≥2×2x ·16x＝16. 当且仅当x ＝y ＝4时，等号成立，因此，当这个矩形游乐园是边长为4 m 的正方形时，所用围栏最省，所需围栏的长度为16 m.延伸探究 如果小明的爸爸只有12 m 长的围栏，如何设计，才能使游乐园的面积最大？ 解 由已知得2(x ＋y )＝12，故x ＋y ＝6，面积为xy ， 由xy ≤x ＋y 2＝62＝3，或xy ＝x (6－x )≤x ＋6－x2＝3，可得xy ≤9，当且仅当x ＝y ＝3时，等号成立．因此，当游乐园为边长为3的正方形时，面积最大，最大面积为9 m 2. 反思感悟 利用基本不等式解决实际问题的步骤 (1)理解题意，设变量，并理解变量的实际意义； (2)构造定值，利用基本不等式求最值； (3)检验，检验等号成立的条件是否满足题意； (4)结论．跟踪训练1 要制作一个容积为4 m 3，高为1 m 的无盖长方体容器，已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，求该容器的最低总造价． 解 设该长方体容器底面的长和宽分别为a m ，b m ，成本为y 元， 由于长方体容器的容积为4 m 3，高为1 m ，所以底面面积S ＝ab ＝4，y ＝20S ＋10[2(a ＋b )]＝20(a ＋b )＋80， 由基本不等式可得y ＝20(a ＋b )＋80≥20×2ab ＋80＝160(元)， 当且仅当a ＝b ＝2时，等号成立， 因此，该容器的最低总造价为160元． 二、基本不等式在几何中的应用例2 如图所示，设矩形ABCD (AB >BC )的周长为24，把它沿AC 翻折，翻折后AB ′交DC 于点P ，设AB ＝x .(1)用x 表示DP ，并求出x 的取值范围； (2)求△ADP 面积的最大值及此时x 的值． 解 (1)矩形ABCD (AB >BC )的周长为24， ∵AB ＝x ，∴AD ＝242－x ＝12－x ，在△APC 中，∠P AC ＝∠PCA ，所以AP ＝PC ，从而得DP ＝PB ′，∴AP ＝AB ′－PB ′＝AB －DP ＝x －DP ，在Rt △ADP 中，由勾股定理得(12－x )2＋DP 2＝(x －DP )2，∵AB >BC ＝AD ，得x >12－x ， ∴6<x <12，∴DP ＝12－72x (6<x <12)．(2)在Rt △ADP 中，S △ADP ＝12AD ·DP ＝12(12－x )⎝⎛⎭⎫12－72x ＝108－⎝⎛⎭⎫6x ＋432x (6<x <12)． ∵6<x <12，∴6x ＋432x ≥2·6x ·432x ＝722，当且仅当6x ＝432x ，即x ＝62时取等号．∴S △ADP ＝108－⎝⎛⎭⎫6x ＋432x ≤108－722，∴当x ＝62时，△ADP 的面积取最大值108－72 2. 反思感悟 在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误．跟踪训练2 如图所示，将一矩形花坛ABCD 扩建为一个更大的矩形花坛AMPN ，要求点B 在AM 上，点D 在AN 上，且对角线MN 过点C ，已知AB ＝4米，AD ＝3米，当BM ＝________时，矩形花坛AMPN 的面积最小．答案 4解析 设BM ＝x (x >0)，则由DC ∥AM 得ND ND ＋3＝44＋x，解得ND ＝12x ，∴矩形AMPN 的面积为S ＝(4＋x )⎝⎛⎭⎫3＋12x ＝24＋3x ＋48x ≥24＋23x ×48x＝48，当且仅当3x＝48x，即x ＝4时等号成立．1．知识清单：(1)基本不等式在生活中的应用． (2)基本不等式在几何中的应用． 2．方法归纳：配凑法．3．常见误区：生活中的变量有它自身的意义，容易忽略变量的取值范围．1．用一段长为8 cm 的铁丝围成一个矩形模型，则这个模型的最大面积为( ) A ．9 cm 2B ．16 cm 2C ．4 cm 2D ．5 cm 2答案 C解析 设矩形模型的长和宽分别为x ，y ，则x >0，y >0， 由题意可得2(x ＋y )＝8， 所以x ＋y ＝4，所以矩形菜园的面积S ＝xy ≤(x ＋y )24＝424＝4，当且仅当x ＝y ＝2时取等号，所以当矩形菜园的长和宽都为2 cm 时，面积最大，为4 cm 2.2．港珠澳大桥通车后，经常往来于珠港澳三地的刘先生采用自驾出行．由于燃油的价格有升也有降，现刘先生有两种加油方案，第一种方案：每次均加30升的燃油；第二种方案：每次加200元的燃油，则下列说法正确的是( ) A ．采用第一种方案划算 B ．采用第二种方案划算 C ．两种方案一样 D ．无法确定答案 B解析 任取其中两次加油，假设第一次的油价为m 元/升，第二次的油价为n 元/升． 第一种方案的均价为30m ＋30n 60＝m ＋n2≥mn ；第二种方案的均价为400200m ＋200n ＝2mnm ＋n≤mn .所以无论油价如何变化，第二种都更划算．3．某工厂生产某种产品，第一年产量为A ，第二年的增长率为a ，第三年的增长率为b ，这两年的平均增长率为x (a ，b ，x 均大于零)，则( ) A ．x ＝a ＋b 2 B ．x ≤a ＋b 2 C ．x >a ＋b 2 D ．x ≥a ＋b2答案 B解析 由题意得，A (1＋a )(1＋b )＝A (1＋x )2， 则(1＋a )(1＋b )＝(1＋x )2， 因为(1＋a )(1＋b )≤⎝⎛⎭⎫1＋a ＋1＋b 22，所以1＋x ≤2＋a ＋b 2＝1＋a ＋b2，所以x ≤a ＋b2，当且仅当a ＝b 时取等号．4.在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个内接矩形花园(阴影部分)，矩形花园面积的最大值为________．答案400解析由题意设矩形花园的长为x>0，宽为y>0，矩形花园的面积为xy，根据题意作图如下，因为花园是矩形，则△ADE与△ABC相似，所以AFAG＝DEBC，又因为AG＝BC＝40，所以AF＝DE＝x，FG＝y，所以x＋y＝40，由基本不等式x＋y≥2xy，得xy≤400，当且仅当x＝y＝20时，矩形花园面积最大，最大值为400.课时对点练1.三国时期赵爽在《勾股方圆图注》中对勾股定理的证明可用现代数学表述为如图所示，我们教材中利用该图作为“()”的几何解释()A．如果a>b>0，那么a>bB．如果a>b>0，那么a2>b2C．对任意正实数a和b，有a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时等号成立D．对任意正实数a和b，有a＋b≥2ab，当且仅当a＝b时等号成立答案 C解析可将直角三角形的两直角边长度取作a，b，斜边为c(c2＝a2＋b2)，则外围的正方形的面积为c2，也就是a2＋b2，四个阴影面积之和刚好为2ab，对任意正实数a和b，有a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时等号成立，故选C.2．汽车上坡时的速度为a ，原路返回时的速度为b ，且0＜a ＜b ，则汽车全程的平均速度比a ，b 的平均值( ) A ．大 B ．小 C ．相等 D ．不能确定答案 B解析 令单程为s ，则上坡时间为t 1＝s a ，下坡时间为t 2＝s b ，平均速度为2s t 1＋t 2＝2s s a ＋s b ＝21a ＋1b<ab <a ＋b 2.3．将一根铁丝切割成三段做一个面积为2 m 2，形状为直角三角形的框架，在下列四种长度的铁丝中，选用最合理(够用且浪费最少)的是( ) A ．6.5 m B ．6.8 m C ．7 m D ．7.2 m 答案 C解析 设两直角边分别为a ，b ，直角三角形的框架的周长为l ，则12ab ＝2，∴ab ＝4，l ＝a ＋b ＋a 2＋b 2≥2ab ＋2ab ＝4＋22≈6.828(m)．故C 既够用，浪费也最少．4.如图所示，矩形ABCD 的边AB 靠在墙PQ 上，另外三边是由篱笆围成的．若该矩形的面积为4，则围成矩形ABCD 所需要篱笆的( )A ．最小长度为8B ．最小长度为4 2C ．最大长度为8D ．最大长度为4 2 答案 B解析 设BC ＝a ，CD ＝b ， 因为矩形的面积为4，所以ab ＝4， 所以围成矩形ABCD 所需要的篱笆长度为 2a ＋b ＝2a ＋4a≥22a ·4a＝42， 当且仅当2a ＝4a，即a ＝2时，等号成立．5．气象学院用32万元买了一台天文观测仪，已知这台观测仪从启动的第一天连续使用，第n 天的维修保养费为(4n ＋46)(n ∈N *)元，使用它直至“报废最合算”(所谓“报废最合算”是指使用的这台仪器的平均每天耗资最少)为止，一共使用了( ) A ．300天 B ．400天 C ．600天 D ．800天 答案 B解析 设一共使用了n 天，则使用n 天的平均耗资为320 000＋(50＋4n ＋46)n2n ＝320 000n ＋2n＋48，当且仅当320 000n＝2n 时，取得最小值，此时n ＝400.6．(多选)已知某出租车司机为升级服务水平，购入了一辆豪华轿车投入运营，据之前的市场分析得出每辆车的营运总利润y (万元)与运营年数x 的关系为y ＝－x 2＋12x －25，则下列判断正确的是( )A ．车辆运营年数越多，收入越高B ．车辆在第6年时，总收入最高C ．车辆在前5年的平均收入最高D ．车辆每年都能盈利 答案 BC解析 由题意，y ＝－x 2＋12x －25，是开口向下的二次函数，故A 错误；对称轴x ＝6，故B 正确；y x ＝－x ＋12－25x ＝－⎝⎛⎭⎫x ＋25x ＋12≤－225＋12＝2，当且仅当x ＝5时，等号成立，故C 正确；当x ＝1时，y ＝－14，故D 错误．7．矩形的长为a ，宽为b ，且面积为64，则矩形周长的最小值为________． 答案 32解析 由题意，矩形中长为a ，宽为b ，且面积为64，即ab ＝64， 所以矩形的周长为2a ＋2b ＝2a ＋128a ≥22×128＝32，当且仅当a ＝8时，等号成立，即矩形周长的最小值为32.8．某工厂建造一个无盖的长方体贮水池，其容积为4 800 m 3，深度为3 m ．如果池底每1 m 2的造价为150元，池壁每1 m 2的造价为120元，要使水池总造价最低，那么水池底部的周长为________m. 答案 160解析 设水池底面一边的长度为x m ，则另一边的长度为4 8003x m ，由题意可得水池总造价y ＝150×4 8003＋120×⎝⎛⎭⎫2×3x ＋2×3×4 8003x ＝240 000＋720⎝⎛⎭⎫x ＋1 600x (x >0)， 则y ＝720⎝⎛⎭⎫x ＋1 600x ＋240 000≥720×2x ·1 600x＋240 000＝720×2×40＋240 000＝297600，当且仅当x ＝1 600x ，即x ＝40时，y 有最小值297 600，此时另一边的长度为4 8003x＝40(m)，因此，要使水池总造价最低，则水池的底面周长为160 m.9．经观测，某公路段在某时段内的车流量y (千辆/小时)与汽车的平均速度v (千米/小时)之间有函数关系：y ＝900vv 2＋5v ＋1 000(v >0)．在该时段内，当汽车的平均速度v 为多少时车流量y最大？解 y ＝900vv 2＋5v ＋1 000＝900v ＋1 000v ＋5，∵v ＋1 000v ≥2v ·1 000v ＝2010，∴y ＝900v ＋1 000v ＋5≤9002010＋5＝180410＋1，当且仅当v ＝1 000v ，即v ＝1010时等号成立．∴当汽车的平均速度v ＝1010千米/小时时车流量y 最大．10．根据交通法规，某路段限制车辆最高时速不得超过100千米/小时，现有一辆运货卡车在该路段上以每小时x 千米的速度匀速行驶130千米．假设汽油的价格是每升2元，而汽车每小时耗油⎝⎛⎭⎫2＋x2360升，司机的工资是每小时14元． (1)求这次行车总费用y 关于x 的表达式；(2)当x 为何值时，这次行车的总费用最低，并求出最低费用的值． 解 (1)由题意，y ＝2⎝⎛⎭⎫2＋x 2360·130x ＋14·130x ＝2 340x ＋13x18(0<x ≤100)． (2)因为y ＝2 340x ＋13x18≥22 340x ·13x18＝2610，当且仅当x ＝1810时，等号成立， 又0<1810<100，所以当x ＝1810千米/小时时，这次行车的总费用最低，为2610元．11.无字证明是指只用图象而无需文字解释就能不证自明的数学命题，由于其不证自明的特性，这种证明方式被认为比严格的数学证明更为优雅与条理，请写出该图验证的不等式( )A ．a 2＋b 2≥a ＋bB ．4ab ≥a 2＋b 2C ．a ＋b ≥2abD ．a 2＋b 2≥2ab答案 D解析 从图形可以看出正方形的面积比8个直角三角形的面积和要大，当中心小正方形缩为一个点时，两个面积相等；因此(a ＋b )2≥8×12ab ＝4ab ，所以a 2＋b 2≥2ab .12．中国南宋大数学家秦九韶提出了“三斜求积术”，即已知三角形三边长求三角形面积的公式：设三角形的三条边长分别为a ，b ，c ，则三角形的面积S 可由公式S ＝p (p －a )(p －b )(p －c )求得，其中p 为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦一秦九韶公式．现有一个三角形的边长满足a ＝6，b ＋c ＝8，则此三角形面积的最大值为( ) A ．37 B ．8 C ．47 D ．9 3 答案 A解析 由题意p ＝7，S ＝7(7－a )(7－b )(7－c )＝7(7－b )(7－c )≤7·7－b ＋7－c2＝37，当且仅当7－b ＝7－c ，即b ＝c ＝4时，等号成立， 此三角形面积的最大值为37.13．某商场对商品进行两次提价，现提出四种提价方案，提价幅度较大的一种是( ) A ．先提价p %，后提价q % B ．先提价q %，后提价p % C ．分两次提价p ＋q2%D ．分两次提价p 2＋q 22%(以上p ≠q ) 答案 D解析 由题意可知，A ，B 选项的两次提价均为 (1＋p %)(1＋q %)；C 选项的提价为⎝⎛⎭⎫1＋p ＋q 2%2，D 选项的提价为⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋p 2＋q 22%2， 又∵p ＋q2<p 2＋q 22，∴(1＋p %)(1＋q %)<⎝⎛⎭⎫1＋p ＋q 2%2<⎝⎛⎭⎪⎫1＋p 2＋q 22%2， ∴提价最多的为D 选项．14．某公司租地建仓库，每月土地费用与仓库到车站距离成反比，而每月货物的运输费用与仓库到车站距离成正比．如果在距离车站10 km 处建仓库，则土地费用和运输费用分别为2万元和8万元，那么要使两项费用之和最小，仓库应建在离车站________ km 处． 答案 5解析 设仓库到车站距离为x ，每月土地费用为y 1，每月货物的运输费用为y 2， 由题意可设y 1＝k 1x，y 2＝k 2x ，把x ＝10，y 1＝2与x ＝10，y 2＝8分别代入上式得k 1＝20，k 2＝0.8， ∴y 1＝20x ，y 2＝0.8x ，费用之和y ＝y 1＋y 2＝0.8x ＋20x≥2×4＝8， 当且仅当0.8x ＝20x ，即x ＝5时等号成立．当仓库建在离车站5 km 处两项费用之和最小．15．一家商店使用一架两臂不等长的天平秤黄金，一位顾客到店里购买10 g 黄金，售货员先将5 g 的砝码放在天平的左盘中，取出一些黄金放在天平右盘中使天平平衡；再将5 g 的砝码放在天平右盘中，再取出一些黄金放在天平左盘中使天平平衡；最后将两次秤得的黄金交给顾客，你认为顾客购得的黄金是( ) A ．大于10 g B ．大于等于10 g C ．小于10 g D ．小于等于10 g答案 A解析 由于天平两臂不等长，可设天平左臂长为a (a >0)，右臂长为b (b >0)，则a ≠b ， 再设先称得黄金为x g ，后称得黄金为y g ，则bx ＝5a ，ay ＝5b ， ∴x ＝5a b ，y ＝5b a，∴x ＋y ＝5a b ＋5b a＝5⎝⎛⎭⎫a b ＋b a ≥5×2a b ·ba＝10， 当且仅当a b ＝ba，即a ＝b 时等号成立，但a ≠b ，等号不成立，即x ＋y >10，因此，顾客购得的黄金大于10 g.16．某书商为提高某套丛书的销售量，准备举办一场展销会，据市场调查，当每套丛书售价定为x 元时，销售量可达到(10－0.1x )万套．现出版社为配合该书商的活动，决定进行价格改革，每套丛书的供货价格分成固定价格和浮动价格两部分，其中固定价格为20元，浮动价格(单位：元)与销售量(单位：万套)成反比，比例系数为10.假设不计其他成本，即销售每套丛书的利润＝售价－供货价格．(1)求每套丛书利润y 与售价x 的函数关系，并求出每套丛书售价定为80元时，书商能获得的总利润是多少万元？(2)每套丛书售价定为多少元时，每套丛书的利润最大？并求出最大利润．解 (1)∵⎩⎪⎨⎪⎧x >010－0.1x >0，∴0<x <100， y ＝x －⎝⎛⎭⎫20＋1010－0.1x ＝x －100100－x－20(0<x <100)， 当x ＝80时，y ＝80－100100－80－20＝55(元)， 此时销量为10－0.1×80＝2(万套)，总利润为2×55＝110(万元)．(2)y ＝x －100100－x－20， ∵0<x <100，∴100－x >0，∴y ＝－⎣⎡⎦⎤100100－x ＋(100－x )＋80 ≤－2100100－x·(100－x )＋80＝60， 当且仅当100100－x ＝100－x ，即x ＝90元时，每套利润最大为60元．。
高中数学必修一 《2 2 基本不等式》多媒体精品课件
跟踪训练
1
2
.
函
数
f
(
x
) x2
能
否
用
基
本
不
等
式
求
最
小
值
？
2
x2
2
2
由基本不等式知
x
2
解：
当且仅当
x 2
2
1
1
x2 2
2
x2 2
1
x2 2
2
即x2 21时取等，而这是不可
x2 2
能的，故此函数不能用
基本不等式求最小值。
利用基本不等式求最值的条件：一正、二定、三相等。
达标检测
1．下列不等式中，正确的是(
)
4
A．a＋a≥4
B．a2＋b2≥4ab
a＋b
C. ab≥
2
3
D．x ＋ 2≥2 3
x
2
4
解析：选 D.a＜0，则 a＋ ≥4 不成立，故 A 错；a＝1，b＝1，
a
a＋b
a ＋b ＜4ab，故 B 错，a＝4，b＝16，则 ab＜
，故 C
2
2
2
错；由基本不等式可知 D 项正确．
ab
b20
a b 2
ab
(当且仅当
ab
时取等）。
2
2
此不等式称为重要不等式
基本不等式
1、基本不等式
如果a 0, b 0, 我们用 a , b分别代替a, b,
可得到什么结论？
替换后得到：
(a
)
(b
)≥
2a
b
2
即： ab≥2 ab
《基本不等式》一元二次函数、方程和不等式PPT教学课件(第二课时基本不等式的应用)
2 2 [x＋2x≥2 x·2x＝2 2，当
________．
且仅当 x＝ 2时，等号成立．]
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3．设 x，y∈N*满足 x＋y＝20， 100 [∵x，y∈N*，∴20＝x＋
则 xy 的最大值为________．
y≥2 xy，
∴xy≤100.]
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合作探究 提素养
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11
(3)当 x>1 时，函数 y＝x＋x－1 1≥2 x－x 1，所以函数 y 的最小值是
2 x－x 1.(
)
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[提示] (1)由 a＋b≥2 ab可知正确． (2)由 ab≤a＋2 b2＝4 可知正确． (3) x－x 1不是常数，故错误．
[答案] (1)√ (2)√ (3)×
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13
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14
利用基本不等式求最值的关键是获得满足基本不等式成立条件，即 “一正、二定、三相等”.解题时应对照已知和欲求的式子运用适当的“拆 项、添项、配凑、变形”等方法创设应用基本不等式的条件.具体可归纳 为三句话：若不正，用其相反数，改变不等号方向；若不定应凑出定和或 定积；若不等，一般用后面第三章§3.2 函数的基本性质中学习.
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∵x>0，∴x＋22x5≥2 x·22x5＝30. 当且仅当 x＝22x5，即 x＝15 时，上式等号成立． ∴当 x＝15 时，y 有最小值 2 000 元． 因此该楼房建为 15 层时，每平方米的平均综合费用最少．
2.2 第2课时 基本不等式的实际应用
【例 2】 已知 x>0,y>0,且满足 + =1,求 x+2y 的最小值.
分析:从形式上看不具备用基本不等式求最值的条件,但根据
已知变形,消去一个变量,可构造成能使用基本不等式的形式,
也可使用“1”的代换尝试解决.
解:∵x>0,y>0, + =1,
+
(x+2y)=10+
+
的最大值;
(2)已知 0<x< ,求 y= x(1-2x)的最大值;
(3)已知 x>0,求 y=
的最大值.
+
解:(1)∵x<,∴5-4x>0,
∴y=4x-2+
=-
当且仅当
- +
+3≤-2+3=1,
-
5-4x=
,即 x=1 时,上式等号成立,
-
故当 x=1 时,y 取得最大值 1.
当且仅当 x=y= 时,取等号.
(2)因为 x,y 都是正数,且 x+y=15,
所以由基本不等式得 xy≤
当且仅当
+
x=y= 时,取等号.
=
=
,
答案:(1)2
(2)
【思考辨析】
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“ ”,错误
的打“×”.
x+2y
反思感悟
常数代换法适用于求解条件最值问题,应用此种方法求解最
2.2基本不等式：教学设计（2课时）
2.2 基本不等式：教学设计（ 2 课时）教学内容分析：相等关系和不等关系都是客观事物的基本数量关系，是数学研究的重要内容，是构建方程、不等式的基础。
基本不等式是研究不等关系的一种重要形式，从数与运算的角度，是两个正数的“算术平均数”，是这两个正数的“几何平均数”。
因此，不等式中涉及的是代数中的“基本量”和最基本的运算，从几何图形的角度，“周长相等的矩形中，正方形的面积最大”，“同圆中，弦长不大于直径”都是基本不等式的直观理解，基本不等式是正数的几何平均数不大于它们的算术平均数的最基本和最简单的情形，可以推广到个正数的几何平均值不大于它们的算术平均值。
新课标和旧课标要求对比：对于基本不等式的要求，新课标和旧课标都要求但要求不同，从探索并了解基本不等式的证明过程，会用基本不等式解决简单的最大（小）值问题，到掌握基本不等式，结合具体实例，能用基本不等式解决简单的求最大值或最小值的问题.新课标相对于旧课标，其要求从探索并了解改为了理解，提高了要求，同时强调了结合具体实例解决最值问题，体现了不等式的应用性。
基本不等式的证明或推导方法很多，从数量关系的角度，利用不等式的性质来推导基本不等式，从几何图形的角度，借助几何直观，通过数形结合来探究不等式的几何解释，这些方法也是代数证明和推导的典型方法。
对于基本不等式的证明，旧课标要求较低，教学时也不必加深，在后续学习“选修2-2”中的推理与证明、“选修4-5”中的不等式选讲时得到加强；新课标中并没有安排推理与证明和不等式选讲的内容，而是对基本不等式这部分内容提高了要求。
基本不等式的代数结构也是数学模型思想的一个范例，借助这个模型可以求最大值与最小值，在理解和应用基本不等式的过程中涉及变与不变、变量与常量，因此，基本不等式内容的学习可以培养学生的逻辑推理、数学运算和数学建模素养。
新课标要求，结合具体实例，能用基本不等式解决简单的求最大值或最小值的问题，从中领会基本不等式成立的三个限制条件（一正二定三相等）在求解实际问题的最值中的作用。
2.2 第2课时 基本不等式的实际应用
从具体的几何图形，通过相关的关系建立关系式．在解题过程中，尽
b
量向模型ax＋ ≥2
x
ab(a>0，b>0，x>0)上靠拢．
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【即时练习】
已知一直角三角形的面积为200 cm2，则其两条直角边的和的最小值
为(
)
A．20 cm B．20 2 cm
C．30 cm
D．40 cm
答案：D
1
2
解析：设两直角边分别为a cm，b cm，则 ab＝200，解得ab＝400，由基本不等
(
)
A．100台
B．200台
C．300台
D．400台
答案：B
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f m
解析：由题意，
m
1
200
＝ m＋1＋ ≥2
200
m
1
200
m·
＋1＝3，当且仅
200
m
m
200
当 ＝ ，即m＝200时，等号成立，所以应购买200台，使得每台
200
m
设备的平均成本最低．故选B.
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2．为了庆祝中国青年团100周年，校团委组织了一场庆祝活动，要
p1 AM 1−x
设△AMG，△FBM的周长为p1，p2，则 ＝ ＝ ，
p2
BF
y
1−x
1−x 1−x2 2y
∵p2＝x＋y＋(1－y)＝x＋1，∴p1＝p2 ＝(1＋x)· ＝
＝ ＝2，
y
y
y
y
故△AMG的周长为定值2.
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(2)求△AMG的面积S的最大值．
1−x2
解析：由(1)问可知△FBM∽△MAG，且y＝ 2 ，