判断是否为线性系统例题

f (t) 1 1
y f(t)
－2
0 (a)
2
t
－1 0 1
(b)
t
f1(t)＝f (t －2) 1 1
y f1(t)
0 (c)
4
t
0 (d)
2
t
图 1.6-2 例1.6-2图
因果性例题
例 1.6-3 对于以下系统：
y f (t ) = af (t ) + b y f (t ) = cf (t ) + df (t − 1) y f (k ) =
k i = −∞
∑ f (i )
由于任一时刻的零状态响应均与该时刻以后的输入无关， 因此都是因果系统。 而对于输入输出方程为
y f (t ) = f (t + 1)
其任一时刻的响应都将与该时刻以后的激励有关。例如， 令t=1时，就有yf(1)=f(2)，即t=1时刻的响应取决于t=2时刻的激 励。响应在先，激励在后，这在物理系统中是不可能的。 因此， 该系统是非因果 非因果的。同理，系统yf(t)=f(2t)也是非因果系统。 非因果系统。 非因果 非因果系统 在信号与系统分析中，常以t=0作为初始观察时刻，在当前 输入信号作用下， 因果系统的零状态响应只能出现在t≥0的时 间区间上，故常常把从t=0时刻开始的信号称为因果信号 因果信号，而把 因果信号 从某时刻t0(t0≠0)开始的信号称为有始信号。 有始信号。 有始信号
判断时不变例题
例 1.6-2 试判断以下系统是否为时不变系统。 (1) yf(t)=acos［f(t)］ t≥0 (2) yf(t)=f(2t) t≥0
输入输出方程中f(t)和yf(t)分别表示系统的激励和零状 态响应，a为常数。
解 (1) 已知 设
f (t ) → y f (t ) = a cos[ f (t )] f1 ( t ) = f ( t − t d )
f 1(t ) = f (t − td )
相应的零状态响应为
t ≥ td
y f 1 (t ) = f1 ( 2t ) = f ( 2t − td ) y f (t − td ) = f [2(t − td )] = f ( 2t − 2td ) y f 1 ( t ) ≠ y f ( t − td )
t ≥ td
则其零状态响应
y f 1 (t ) = a cos[ f1 (t )] = a cos[ f (t − td )] y f 1 ( t ) = y f ( t − td )
故该系统是时不变系统。
Fra Baidu bibliotek
(2) 这个系统代表一个时间上的尺度压缩，系统输出yf(t)的 波形是输入f(t)在时间上压缩1/2后得到的波形。直观上看，任 何输入信号在时间上的延迟都会受到这种时间尺度改变的影响。 所以， 这样的系统是时变的。 设
判断是否为线性系统例题
例 1.6-1 在下列系统中，f(t)为激励，y(t)为响应，x(0-)为 初始状态，试判定它们是否为线性系统。 (1) y(t)=x(0-)f(t) (2) y(t)=x(0-)2+f(t) (3) y(t)=2x(0-)+3|f(t)| (4) y(t)=af(t)+b
解 由于系统(1)不满足分解性； 系统(2)不满足零输入线性； 系统(3)不满足零状态线性，故这三个系统都不是线性系统。 对于系统(4)， 如果直接观察y(t)~f(t)关系，似乎系统既不满 足齐次性，也不满足叠加性，应属非线性系统。但是考虑到令 f(t)=0时，系统响应为常数b, 若把它看成是由初始状态引起的零 输入响应时，系统仍是满足线性系统条件的， 故系统(4)是线 性系统。通常，以线性微分(差分)方程作为输入输出描述方程 的系统都是线性系统，而以非线性微分(差分)方程作为输入输 出描述方程的系统都是非线性系统。