频率响应函数估计方法综述
第5章频率响应法
第 5 章频率响应法频率响应法是控制理论的重要组成部分，是分析和综合控制系统的一种工程实用方法。
它不仅适用于单变量系统，而且也可以推广至多变量系统。
它的特点是：不必求解系统的高阶微分方程，可直接根据频率特性曲线的形状及其特征量来研究系统的性能。
其突出的优点是：物理意义明确，可用实验的方法求出系统的频率特性和传递函数；而且计算量小，方法形象和直观，因而广为工程界所采用。
根据它在系统分析和综合中的应用，将频率响应法分为两部分：频率响应分析法和频率响应综合法，并分别在第 5 章和第6 章讨论。
在这一章里主要介绍：频率响应法的基本概念和控制系统频率特性曲线的绘制方法，以及它在系统分析与综合中的应用，重点在于其基本概念和应用。
5.1 频率特性频率响应法起源于通讯学科。
它的基本思想是：将控制系统的变量也看作是信号；这些信号通过傅里叶(Fourier) 分析，对于周期信号可展开为傅氏级数，对于非周期信号可进行傅氏变换，它们均可视为由不同频率成分的正弦信号所合成的；线性定常系统各个变量的运动，就是系统对各个不同频率信号响应叠加的结果。
频率响应法的优点：第一，这种方法具有鲜明的物理意义。
第二，可以用实验方法测出系统的频率特性，并获得其传递函数以及其它形式的数学模型。
第三，它是一种图解法，形象直观、计算量小。
频率响应法也存在一定的局限性：首先它只适用于线性定常系统。
其次，频率响应法的筒便和实用性是以它的工程近似性为代价的。
5.1.1 频率特性的基本概念首先考察图 5.1 一阶RC 电路图图 5.1 所示的简单系统。
该系统为一阶RC 电路。
该电路的微分方程为：（5.1）系统的传递函数为：（5.2）图 5.1 一阶 RC 电路图若外施正弦输入电压，则可得系统的输出响应为：式中等号右边的第一项为输出响应的暂态分量，第二项为输出响应的稳态分量。
当t趋于无穷大时第一项的暂态分量将趋于零，故系统的稳态输出响应为：可以看到：在正弦输入电压作用下系统的稳态输出，是与输入同频率的正弦电压，其幅值为输入幅值的倍，相角比输入的迟后arctgωT。
频率响应法
频率响应法一、概述频率响应法（Frequency Response Method）是一种用于分析和设计线性时不变系统的方法。
它通过研究系统对不同频率的输入信号的响应来揭示系统的特性和行为。
频率响应法广泛应用于信号处理、控制系统、通信系统等领域。
二、频率响应的基本概念2.1 频率响应函数频率响应函数是描述系统对不同频率输入信号响应的函数。
通常用H(ω)表示，其中ω为角频率。
频率响应函数可以分为幅频特性和相频特性两个部分。
2.2 幅频特性幅频特性描述了系统对不同频率输入信号的幅度变化情况。
常见的表示幅频特性的方法有Bode图和Nyquist图。
Bode图将系统的增益和相位角随频率变化的曲线绘制在共享横轴的图上，直观地展示了系统的频率响应特性。
Nyquist图则是将系统的频率响应绘制在复平面上，可以用于分析系统的稳定性和相位裕度等指标。
2.3 相频特性相频特性描述了系统对不同频率输入信号的相位差变化情况。
相频特性通常用Bode图来表示，通过绘制系统的相位角随频率变化的曲线，可以分析系统的相位延迟、相位裕度等指标。
三、频率响应法的应用3.1 系统分析频率响应法可以用于对系统进行稳定性分析、频率特性分析等。
通过分析系统的频率响应曲线，可以判断系统是否稳定、是否存在共振现象，从而指导系统的设计和调整。
3.2 控制系统设计频率响应法在控制系统的设计中起到重要作用。
通过分析系统的频率响应特性，可以选择合适的控制器参数，设计出满足性能要求的控制系统。
3.3 信号处理在信号处理领域，频率响应法广泛应用于滤波器设计和信号增强等方面。
通过分析信号在系统中的频率响应，可以设计出满足要求的滤波器，对信号进行有效处理和增强。
3.4 通信系统频率响应法在通信系统中的应用也非常广泛。
通过分析通信系统的频率响应特性，可以优化系统的传输性能，提高信号的传输质量和可靠性。
四、频率响应法的优缺点4.1 优点•频率响应法可以直观地展示系统的频率响应特性，便于分析和设计。
系统的频率响应函数
系统的频率响应函数
频率响应函数通常用H(ω)表示，其中ω为角频率。
频率响应函数
可以分为振幅响应和相位响应两个部分。
振幅响应函数H(ω)的模值，H(ω)，表示系统对不同频率的输入信
号的放大或衰减程度。
振幅响应函数通常使用分贝（dB）单位表示。
若，
H(ω)，为0dB，则表示系统对该频率的信号不进行放大或衰减；若，
H(ω)，为正值，则表示系统对该频率的信号进行放大；若，H(ω)，为负值，则表示系统对该频率的信号进行衰减。
相位响应函数H(ω)的角度表示系统对不同频率的输入信号的相位差。
相位响应函数通常使用角度（°）单位表示。
相位响应可以告诉我们系统
对不同频率信号的相位差，尤其对于时域信号的传输和滤波具有重要的意义。
系统的频率响应函数可以通过多种方法来得到，比如频率域采样、离
散傅里叶变换、Z变换等。
对于线性时不变系统，频率响应函数H(ω)可
以通过系统的冲激响应函数h(t)和冲激函数δ(t)之间的关系求得，即
H(ω) = ∫h(t)e^(-jωt)dt。
频率响应函数对于系统分析和设计具有重要的意义。
在系统控制和滤
波方面，我们可以通过频率响应函数对系统的频率特性进行评估和优化。
在通信系统中，频率响应函数可以帮助我们了解系统对不同频率的信号的
传输特性，从而对系统进行调整和改进。
总结起来，系统的频率响应函数是系统对不同频率信号的放大或衰减
程度以及相位差的表征。
通过频率响应函数，我们可以对系统的频率特性
进行评估和优化，从而在系统分析和设计中起到重要的作用。
《频率响应法》课件
频率响应法实践案例
音箱设计
通过频率响应法来分析音箱的 特性，优化音箱的设计，使其 在各个频率下都能提供清晰、 平衡的声音。
均衡器调校
使用频率响应法来分析音频系 统中的均衡器效果，通过调整 不同频段的增益实现音频的优 化。
房间声学矫正
通过频率响应法来分析房间的 声学特性，调整音频设备的配 置和位置，改善音质。
使用频率响应法的步骤
1
准备测试设备
选择一个合适的信号发生器和频率响
设置频率范围
2
应测试设备，确保测试环境的准确性。
根据系统的特性和需求，设置合适的
频率范围，涵盖关键频段。
3
记录测量结果
使用测试设备测量不同频率下的输入 输出信号，记录幅度和相位的测量结 果。
频率响应法的优势和局限性
优势
高精度的频率分析，能够提供详细的系统性 能特征。
局限性
测试环境对结果产生影响，需要严格控制测 试条件。
常见的频率响应法工具
1 频率响应分析仪
用于测量输入输出信号的幅度和相位，生成频率响应曲线图。
2 声学测量设备
通过声学测量仪器，测量房间的频率响应，并对声学特性进行分析和校正。
3 音频处理软件
提供频率响应分析和调校的功能，方便进行音频设备和系统的优化。
《频率响应法》PPT课件
频率响应法是一种用于分析系统对不同频率输入的响应的方法。通过测量系 统的频率响应，我们可以了解系统在不同频率下的性能特点。
频率响应法的介绍
1 概念
2 应用领域
3 重要性
频率响应法是一种通过 研究系统对输入信号在 不同频率下的响应情况 来分析系统特性的方法。
频率响应法广泛应用于 音频系统、电子滤波器、 声学设备等领域的设计 和优化。
jw 频率响应函数
jw 频率响应函数是指以复数jw（角频率）为自变量的函数，用于描述系统对输入信号的响应特性。
在信号与系统领域，频率响应函数是分析和设计系统的重要工具，它可以反映系统的稳定性和动态性能。
频率响应函数的一般形式为：
H(jw) = (A(jw) / B(jw)) * (jw / (jw + ω))
其中，A(jw) 和B(jw) 是系统函数的实部和虚部，ω 是系统的截止频率。
要求频率响应函数H(jw) 的具体形式，需要根据系统的结构和参数来确定。
在实际应用中，可以通过以下步骤求解频率响应函数：
1. 确定系统的类型：根据系统的结构，例如线性时不变系统、非线性时变系统等，确定系统的类型。
2. 建立系统模型：根据系统的类型和参数，建立系统的数学模型，如传递函数、状态空间模型等。
3. 求解系统函数：根据系统模型，求解系统函数A(s) 和B(s)，其中s 是复变量，表示频率。
4. 转换为频率响应函数：将系统函数转换为频率响应函数H(jw)，其中jw 是角频率。
5. 分析频率响应：根据频率响应函数H(jw)，分析系统的性能，如稳定性、动态响应、频率选择性等。
新型电力系统的频率响应模型综述及展望
新型电力系统的频率响应模型综述及展望摘要：在电力系统快速发展的大背景下，大型电力网络的构建和区域电网之间的互联存在着明显的联动效应、，而随着新能源的大量接入，系统惯量降低，导致其抗扰动能力下降，在电网遭受突发极端情况时，更容易造成局部事故的扩大，形成大范围停电，对社会和经济造成巨大的损失。
电力系统主动解列控制作为防止连锁故障和大范围停电的最重要控制措施之一，是保证电力系统在一定范围内继续安全稳定运行的最后一道防线，其核心思想是在满足系统运行相关约束条件下，快速寻找具有最小解列代价的最优解列断面。
基于此，本篇文章对新型电力系统的频率响应模型综述及展望进行研究，以供参考。
关键词：电力系统；频率响应模型；展望引言传统电网频率响应模型，往往只针对同步电机而忽略新能源接入电网的场景。
现有的新能源电站，新能源电源通常采用最大功率追踪模式，不参与电网调频环节。
随着电网调频需求的不断增加，未来越来越多的新能源将附带新型控制策略（例如，虚拟同步机控制），主动参与电网的一次调频和惯性响应。
由于新能源大规模并网导致电力系统的频率特性出现显著变化，需建立考虑新能源新型控制的复杂电力系统模型，以精确分析频率响应，优化频率控制策略。
同时，电力系统负荷侧通常采用低频减载等频率控制策略，建立电力系统精准频率模型以分析和优化低频减载策略，对保障电力系统频率运行安全具有重要意义。
1系统频率响应特性发电机频率特性响应同步电机的摆动方程如式（１）：ΔＰｍ－ΔＰｅ（１）式中，ｈ为转自机械惯性时间常数，ｗ为转子角速度，ｔ为时间，Ｐｍ为机械转矩，Ｐｅ为电磁转矩。
对式（１）进行拉普拉斯变换得到式（２），Δｗ（ｓ）＝［ΔＰｍ（ｓ）－ΔＰｅ（ｓ）］（２）进一步考虑调速器的模型，实测转子转速ｗ与同步转速ｗ０出现的偏差，速度偏差作为信号被放大后形成控制信号控制汽轮机或水轮机的阀门，进而调整频率，这一过程的数学模型如图１所示。
图中Ｋ为比例系数，Ｆ为高压涡轮占比系数，Ｔ为再热器时间常数，Ｒ为调速器的调节速率。
频率响应特性分析的技术与方法
频率响应特性分析的技术与方法在现代科技中，频率响应特性分析是一项至关重要的技术，它广泛应用于电子、通讯、计算机、机械、建筑等领域。
频率响应特性分析技术的主要任务是研究系统对于不同频率的输入信号的响应情况，也就是系统的频率响应特性，以及分析系统的稳定性、可靠性和性能等方面。
本文将详细介绍频率响应特性分析的技术与方法。
一、频率响应特性频率响应特性是指系统在不同频率下对于输入信号的响应情况。
它可以用来描述系统的传递函数和系统的稳定性等特性。
频率响应特性通常用相位和幅度角度两个方面来描述系统的特性。
在实际应用中，系统的频率响应特性非常重要。
举个例子，当我们选择一款扬声器或者耳机时，它们的频率响应特性会影响到我们对声音的感受。
同样的，在设计一个航空器的飞行控制系统时，系统的频率响应特性决定了飞机是否能够稳定地飞行。
二、频率响应特性分析的方法频率响应特性分析的方法可以分为两种：试验法和计算法。
试验法：频率响应特性的试验法包括了输入输出测试法、正弦扫频法、傅里叶变换法等。
其中，输入输出测试法是最常用的一种方法，它通过对系统进行输入输出测试来获得系统的频率响应特性。
正弦扫频法则是通过对系统输入正弦信号并改变频率，而观察系统响应的方法。
傅里叶变换法则是通过对输入输出信号进行傅里叶变换，进而得到系统的传递函数和频率响应特性。
计算法：频率响应特性的计算法包括了网格法、有限元法、有限差分法等。
这些方法都是基于数学模型进行计算的。
其中，网格法是对系统建立宏观模型，并对其进行离散化处理，从而获得系统的频率响应特性。
而有限元法和有限差分法则是通过对系统进行微观建模并采用数值计算方法来获得系统的频率响应特性。
三、频率响应特性分析的技术频率响应特性分析的技术包括了滤波器、谱分析、傅里叶变换、拉普拉斯变换等。
这些技术都可以用来分析系统的频率响应特性。
滤波器：滤波器是一种电路，它能够过滤掉不需要的信号，并且保留需要的信号。
在频率响应特性分析中，滤波器可以被用来提取系统的特定频率响应特性。
系统的频率响应函数
系统的频率响应函数系统的频率响应函数是描述系统输入与输出之间的频率关系的数学函数。
它通常表示为H(ω)，其中H是频率响应函数的符号，ω表示频率。
频率响应函数可以是连续时间系统的拉普拉斯变换，也可以是离散时间系统的Z变换。
在以下的讨论中，我们将主要关注连续时间系统的频率响应函数。
频率响应函数对系统的稳态性能和滤波特性具有重要的影响，因此对于系统的设计和分析来说是非常关键的。
下面我们将介绍一些关于系统频率响应函数的重要概念和性质。
1.频率响应函数的定义：频率响应函数是系统的输出与输入之间的幅度和相位关系的数学表示。
在连续时间系统中，频率响应函数H(ω)可以表示为系统的拉普拉斯变换：H(ω)=G(jω)其中，G(s)是系统的传递函数，s是复变量，j是虚数单位。
2. 幅频特性：系统的幅频特性是频率响应函数的幅度分布关系。
它决定了系统对不同频率的输入信号的放大或衰减程度。
通常用幅度特性曲线表示，可以是Bode图、奈奎斯特图等。
幅频特性的分析可以帮助我们了解系统的增益衰减情况和频率选择性能。
3.相频特性：系统的相频特性是频率响应函数的相位分布关系。
它决定了系统对不同频率的输入信号的相位变化。
相频特性也通常用相位特性曲线表示。
相频特性的分析可以帮助我们了解系统的相位延迟和相位失真情况。
4.幅相特性的分离：频率响应函数可以分解为幅度响应函数和相位响应函数的乘积形式：H(ω)=，H(ω)，*ϕ(ω)其中，H(ω)，表示幅度响应函数，ϕ(ω)表示相位响应函数。
幅相特性的分离可以使系统的分析更加方便和直观。
5.系统的稳定性：频率响应函数对系统的稳态性能具有重要影响。
当频率响应函数在所有ω值处有界时，系统是稳定的。
稳态性能的分析可以通过频率响应函数的幅值来进行，以确定系统的增益补偿。
6.频率响应函数的设计：频率响应函数的设计可以通过选择适当的系统传递函数来实现。
通常，需要根据特定的系统要求和设计目标来选择合适的传递函数，以达到所需的频率响应特性。
频率响应函数估计方法综述
为了方便计算和操作 ,对公式 ( 12)两边取对数 ,即定义
Hlog ( f) = log[ Hgeom ( f) ] =
n
∑ 1
n
k =1
log[ Hk
( f)
]
( 13 )
对于 Harithm估计 , 当 |M ( f) /X ( f) | < 1 时 , 式 ( 11 )可以
按照 Taylor级数展开 ,并且可以进一步证明 (具体证明
(4)
其中 : GMM ( f)为实测输入噪声的自谱均值 ; GFF ( f)为系
统输入信号的自谱均值 。可见 H1 估计的误差主要来
自于系统输入端的噪声影响 。
第 5期 段虎明等 : 频率响应函数估计方法综述
49
112 H2 估计 [1 - 8 ] 对图 1所示系统 ,同理可定义 H2 估计为 :
估计不能消除输出噪声的影响因此估计都是有偏估计其中估计比真值h偏小为欠估计估计比真值h偏大为过估计在一般的实际测量中输入输出噪声是同时存在1所示系统模型考虑到估计分别为欠估计和过估计为了减小误差影响自然有人提估计的折衷算法即这里要讲到的估计他们是估计的算术平均值和几何平均值
第 27卷第 5期
振 动 与 冲 击 JOURNAL OF V IBRATION AND SHOCK
=
1 2
H
( f)
{
[1
+ GNN
( f)
/ GX X
( f)
]+
[ 1 + GMM ( f) /GFF ( f) ] - 1 }
(9)
H4 ( f) = H ( f) { [ 1 + GNN ( f) /GXX ( f) ] +
自动控制原理频率响应方法知识点总结
自动控制原理频率响应方法知识点总结自动控制原理是现代控制工程中的重要学科，频率响应方法是其中的一种重要方法。
本文将对自动控制原理频率响应方法的相关知识点进行总结。
一、频率响应方法简介频率响应方法是一种通过研究系统的输入和输出响应在频域上的特性，来进行系统分析和设计的方法。
它以系统对输入信号的幅频特性和相频特性为研究对象，通过频率曲线和相频曲线来描述系统的频率特性。
二、频率响应的基本概念1. 幅频特性：幅频特性是指系统输出信号幅度随输入信号频率变化的规律。
常用的幅频特性曲线有Bode图和Nyquist图。
2. 相频特性：相频特性是指系统输出信号相位随输入信号频率变化的规律。
相频特性曲线常用的表示方法是Bode图。
三、频率响应的测量方法1. 振荡法：通过改变系统的增益，在系统中引入正反馈，使得系统产生自激振荡的方法。
根据系统的振荡频率和衰减因子可以得到系统的频率响应特性。
2. 步变法：通过给系统输入单位阶跃信号或单位脉冲信号，观察系统的响应曲线，根据响应曲线确定系统的频率响应特性。
四、频率响应的稳定性分析1. 稳定性判据：频率响应的稳定性分析可以通过判断系统增益曲线和相频曲线的特性来实现。
常用的稳定性判据有：相角曲线通过180度时，增益曲线不等于0dB，且通过0dB时，相角曲线大于-180度。
2. 稳定性分析方法：可以通过频率响应曲线上的特征点来判断系统的稳定性：幅频特性曲线通过0dB时的频率为系统的临界频率，临界频率越大，系统的稳定性越好；相频特性曲线上的相角曲线通过-180度的频率为系统的相交频率，相交频率越小，系统的稳定性越好。
五、频率响应的设计方法1. 改善系统的稳定性：可以通过增加系统的增益来提高系统的稳定性，常用的方法有增加增益裕度和相移裕度。
2. 改善系统的性能：可以通过调整系统的频率响应特性来改善系统的性能，如改变系统的临界频率、带宽等。
六、频率响应方法在实际工程中的应用频率响应方法广泛应用于自动控制系统的分析和设计中。
第五章频率响应法资料
a
G(
j
)
A 2j
G( j) p() jQ() G( j) e j()
c(t) ae jt ae jt
R
G( j) p2 () Q2 () () arctan Q()
r(t)
P()
设有RC网络如图，求系统稳态输出
C C(t)
1.闭环传递函数
C(s) 1 R(s) TS 1
设输入信号为 r(t) Asint
系统对不同频率正弦输入信号的响应特性，称为频率特性又称
频率响应。
控制系统
2.用途及特点：
1). 仅用简便的图解法（Bode、 r(t) Asin1t Nyquist图）就能确定控制系 统的绝对稳定性和相对稳定性；0 并可根据时域给定的性能指标 进行系统设计。
c(t) AM1 sin(1t 1) 0
L 20dB
< 1< 为 20dB/10 倍频程斜率的直线。
最大误差在转角频率 1 为3dB
R
20lg
1
1
2
= 20lg
1 1 3dB
一阶惯性环节可用RC电路表示(低通滤波器)。
0
1
当 ，幅值趋向于0，相角 90 . 0.1
ii) 一阶微分环节
G( j) 1 jT1
1 1 2T 2
同；
A
2.幅值和频率有关，且为 1 2T 2 倍；
0
幅频特性
* 当ω＝0其输入、输出幅值相等；
相频
0
3.相角迟后 arctgT，是 的函数； -45
-90
* 当 ω＝0输入、输出相位一致
幅值、相角与 ω 之间的关系
1
A
0 …… T ……
频率响应函数
频率响应函数频率响应函数是描述在幅度或相位连续变化的情况下，通过傅里叶分析方法所得到的信号电压或电流的幅度随频率变化关系的一种方法。
在实际中的许多技术设备中，例如变频调速器、振荡器等都有频率响应函数这个指标。
它能帮助工程师选择合适的使用条件，提高产品的可靠性。
由于噪声通常也会出现在频率域内，因此，频率响应函数在声学中也有一定的应用。
有一次，老师给我们做了一个实验：把水从一个容器（一般为杯子）里倒进另一个容器（一般为桶里）里，然后再将水倒入烧瓶里，看看哪个更快。
一开始我想这应该很简单吧！但当老师让我们看书时，发现大家还没明白实验的道理。
老师见大家没弄懂，便细心地给我们讲解了实验的原理。
当老师说到他是通过傅里叶分析方法来计算频率响应函数时，我觉得不可思议，但当他详细讲解了他是怎样计算后，我才知道，其实是一回事儿。
后来老师让我们自己动手做一遍，就明白了。
我不服气，便也用同样的方法计算了一遍。
我首先计算了水从容器里倒进烧瓶里的速度。
“这么慢？”我心想，这也太慢了，我还以为只需几秒呢！老师好像看透了我的心思，说：“对，你是想说要想知道快的结果，就先要将慢的过程反过来计算吧！”这句话真提醒了我，怪不得我总觉得奇怪，现在明白了。
这次，我按老师说的先计算了水从容器里倒进烧瓶里的速度。
然后，我又算了水从烧瓶里倒进烧瓶里的速度。
最后，我算了水从烧瓶里倒进容器里的速度。
哇，我发现，水从烧瓶里倒进容器里的速度居然比水从烧瓶里倒进烧瓶里的速度快！当然，实验证明，频率响应函数与物质的某些特性并无直接关系。
如石英的物质是由它的成分来决定的，而不是它的频率。
人们通常测量一个元件的频率响应函数是用伏安法，它是利用元件两端的电压和元件上电流之间的关系来确定的，并不考虑物质的温度、压强和体积等外界因素的影响。
所以，人们说频率响应函数是幅度的函数，而不是像大多数物理概念那样是指它的绝对值。
频率响应函数既不是频率的导数，也不是频率的倒数。
03.04 四、频率响应函数
频率响应函数
z已知传递函数H(s)
称为测试系统的频率响应函数
频率响应函数
z
H(j ω)一般为复数，可写成实部和虚部的形式：)
(j )()(j ωϕωωe A H =)
(j )()(j ωωωm e I R H +=
频率响应函数
一阶系统的幅频特性曲线一阶系统的相频特性曲线
频率响应函数
z A(ω)-ω幅频特性曲线；
ϕ(ω)-ω相频特性曲线。
z20lgA(ω)-lgω对数幅频曲线；
ϕ(ω)-lgω对数相频曲线；
总称为伯德图（Bode图）。
z Im(ω)-Re(ω) 曲线（在复平面上）并注出相应频率ω，称为频率特性的极坐标图或乃奎斯特图（Nyquist图）。
如果通过实验获得系统的频率响应函数
如果通过实验获得系统的频率响应函数
测出对应的稳态输出幅值y
0i 和相位差ϕi ，就得到了A(ω), ϕ(ω).
用不同频率ωi 的简谐信
号作为传感器的输入测试系统
有缘学习更多＋谓ｙｇｄ３０７６考证资料或关注桃报：奉献教育（店铺）
如果通过实验获得系统的频率响应函数
依次用不同频率f i的简谐信号去激励被测系统，同时测出激励和系统的稳态输出的幅值、相位，得到该频率下幅值比A i、相位差φi
简谐输入稳态输出
有缘学习更多＋谓ｙｇｄ３０７６考证资料或关注桃报：奉献教育（店铺） 如果通过实验获得系统的频率响应函数
从最低测量频率fmin到最高测量频率fmax，逐步增加正弦激励信号频率f幅值比和相位差。
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为了方便计算和操作 ,对公式 ( 12)两边取对数 ,即定义
Hlog ( f) = log[ Hgeom ( f) ] =
n
∑ 1
n
k =1
log[ Hk
( f)
]
( 13 )
对于 Harithm估计 , 当 |M ( f) /X ( f) | < 1 时 , 式 ( 11 )可以
按照 Taylor级数展开 ,并且可以进一步证明 (具体证明
计 ,而且易证明 H3 Ε H4 ,这样可得 H1 ～ H4 估计的关系
为 H1 Φ H4 Φ H3 Φ H2 。
1.
4 Ha rithm 和
估计 Hgeom
[1 - 2]
针对图 1系统输入输出均包含有加性噪声干扰的
情况 ,人们提出了很多平均方案来减小误差 , 包括很多
的非线性平均技术 。在文献 [ 1 ]中作者就针对多次系
基金项目 : 国家自然科学基金资助项目 (编号 50605065 )重庆大学研究生 科技创新基金 ,项目编号 : 200701Y1B01000196 收稿日期 : 2007 - 07 - 27 修改稿收到日期 : 2007 - 09 - 10 第一作者 段虎明 男 ,博士生 , 1979年 1月生
谱 , Z ( f)为系统输入端的测量信号的频谱 , N ( f)为系 统输出端的随机噪声的频谱 , Y ( f)为系统输出端的测 量信号的频谱 。这样系统的频响函数就可以表示为
(2)
然而实测的输入输出信号中总是存在各种干扰噪声信
号 ,因此频响函数一般不能精确计算 。为了减小误差 , 提高频响函数的测量精度 , 学者们提出了一系列的频 响函数估计方法 ,下面对它们作简要介绍 。 111 H1 估计 [1 - 8 ] 对图 1所示的系统 , 按照最小二乘估计原则可定 义 H1 估计为 :
参考文献 [ 10 ]中 ,作者讨论了 HV 估计 ,其定义如下 :
HV ( f)
= GYY ( f)
- κ( f) GZZ ( f) 2GYZ ( f)
+
Ψ ( f)
( 15 )
其中 , Ψ ( f ) = [ GZZ ( f ) κ ( f ) - GYY ( f ) ]2 + 4κ ( f )
见参考文献 [ 1 ] ) :
E [ Hk ( f) ]
=
lim
n→∞
Ha
rithm
( f)
= H ( f)
(14)
即当测量次数达到一定程度时可以认为 Harithm 估计为
无偏估计 。同理对于 Hgeom估计 , 当 |M ( f) /X ( f) | < 1,
|N ( f) / F ( f) | < 1时 ,也可以将式 ( 13)进行 Taylo r级数
频响函数的 H3 估计定义为
H3 ( f)
=
1 2
[ H1 ( f)
+ H2 ( f)
]
(7)
频响函数的 H4 估计定义为
H4 ( f) = H1 ( f) H2 ( f)
(8)
将式 ( 4)与式 ( 6)代入式 ( 7)和式 ( 8)可得 H3 、H4 与系
统真实频响函数 H的关系为
H3 ( f)
| GYZ ( f) |2 ,κ( f)为测量信号的信噪比 。该文献还证明
了 HV 估计实际上就是系统频响函数的最大似然估计 ,
并且分析了 HV 估计方差的渐进表达和其频谱的置信
区间 。
1. 6 Hc 估计 [ 11 - 12 ] 频响函数估计存在偏差的原因是公式中有噪声自
谱项的存在 , 因此如何避免算式中出现噪声自谱项是 获得频响函数无偏估计的关键 。围绕这一思想 , 有人
出了一种频响函数的估计方法 ( Hn 估计 )可以在不引 入第 3个测试信号的情况下获得系统频响函数的无偏 估计 。
Hn 估计的基本思想是在对图 1所示的系统 , 使用 相同的激励信号进行 n 次测量 , 对应第 i次测量的数 据有
Yi ( f) - N i ( f) = H ( f) [ Zi ( f) - M i ( f) ] ( 17) 其中 , Zi ( f) =M i ( f) + F ( f) , Yi ( f) = N i ( f) + X ( f) , i = 1, 2, …, n - 1。对式 ( 17 )两端同时乘以 Zj ( f) 的共轭 ZHj ( f) , j = i + 1, …, n。再取期望值并除以分析时间 T 乘以 2可得
H2 ( f) = GYY ( f) /GYZ ( f)
(5)
其中 : GYZ ( f) 为实测输出信号和实测输入信号的互谱
均值 ; GYY ( f)为实测输出信号的自谱均值 。
同理 ,由公式 ( 5)可得 H2 估计与系统真实频响函
数 H ( f)的关系为
H2 ( f) = H ( f) [ 1 + GNN ( f) /GXX ( f) ]
第 27卷第 5期
振 动 与 冲 击 JOURNAL OF V IBRATION AND SHOCK
Vol. 27 No. 5 2008
频率响应函数估计方法综述
段虎明 , 秦树人 , 李 宁
(重庆大学 测试中心 ,重庆 400044)
摘 要 : 回顾了近年来以线性系统为基础模型的频率响应函数估计方法的理论研究和发展现状 。根据干扰误差
(6)
其中 : GNN ( f)为实测输出噪声的自谱均值 ; GXX ( f)为系
统输出信号的自谱均值 。可见 H2 估计的误差主要来
自于系统输出端的噪声影响 。
H1 估计不能消除输入噪声的影响 , H2 估计不能 消除输出噪声的影响 , 因此 H1 估计和 H2 估计都是有 偏估计 , 其中 H1 估计比真值 H 偏小 , 为欠估计 , 而 H2 估计比真值 H偏大 ,为过估计 ,即 H1 Φ H Φ H2 。 1. 3 H3 和 H4 估计 [2 - 3 ]
1 系统 中 响函数估计方法
这类型频率响应函数估计方法的计算相对比较简 单 ,很早就有学者研究 [ 1, 2 ] ,所以这类型方法较多 ,且都 较为成熟 ,因而在各种领域的实际工程中得到了广泛 的应用 。其基本模型如图 1所示 :
在图 1中 , F ( f)为系统输入信号的频谱 ,即输入信 号的 Fourier变换 , H ( f)为待估计的系统 , X ( f)为系统 输出信号的频谱 , M ( f)为系统输入端的随机噪声的频
主要成分的不同分为几个方面讨论 ,包括加性随机噪声 、加窗泄漏引起的噪声 、非线性系统失真引起的噪声等 。综合论述 了各种干扰误差下 ,各种频率响应函数估计方法的原理 、特点及其在工程中的应用 。最后对文章内容进行了总结并对频 率响应函数估计领域的发展前景进行了探讨和展望 。
关键词 : 频响函数估计 ;线性系统 ;误差 ;非线性失真 ;频谱泄漏 中图分类号 : N945. 14; O321; TN911. 4 文献标识码 : A
展开 ,同样可以证明测量次数足够多时 , Hgeom估计为无 偏估计 。
在文献 [ 2 ]中 ,除了进一步讨论 Harithm 估计和 Hgeom 估计外 ,还定义谐波平均 Hhar和指数平均 Hp , 并且讨论 和比较了各种方法的优劣 。在文献 [ 9 ]中 , 作者进一步
将文献 [ 8 ]中频响函数估计的各种非线性平均技术从 单输入单输出系统 ( Single Input and Single Output, SI2
图 1 输入输出系统模型
H ( f)
= Y ( f)
/Z ( f)
=
X F
( (
f) f)
+N ( f) +M ( f)
=
H0
( f)
1 1
+N +M
( f) ( f)
/X ( f) /F ( f)
(1)
若系统的输入输出端都不存在干扰噪声 , 则频响函数
可以按照公式 ( 2)计算 :
H ( f) = H0 ( f) = X ( f) / F ( f)
在实际工程中 ,对一个系统进行分析和设计时 ,首 先要有一个可以描述被控制过程中动态特性的数学模 型 。这类数学模型通常是通过对实验实测数据的分析 来确定模型的结构和参数 。这种实验建模的方法就是 系统辨识 ,例如对频率响应函数进行的测量和估计 。
频 率 响 应 函 数 (频 响 函 数 、Frequency Response Function、FRF、传递函数 、Transfer Function)反映了系统 对不同输入信号的传递能力 ,是描述动态系统特征的 一种非参数估计模型 。对任何线性系统来说 ,都可以 应用频率响应函数在频域中直接分析系统的稳定性 , 对系统进行综合设计和校正 。它为应用控制理论分析 和工程实际中复杂问题的求解提供了强有力的工具 。
Hc ( f) = GPY ( f) /GPZ ( f)
( 16)
在 Hc 估计中使用 3 个信号实现了完全互功率谱频响
函数估计 ,避免了噪声自谱项的出现 ,是无偏估计 。
1. 7 Hn 估计 [12 ] 从前面几节的讨论可知 , 互谱技术和平均技术是
得到无偏 、高精度的频响函数的关键 。滑广军 [12 ]等提
由于在 实 际 测 试 过 程 中 不 可 避 免 地 存 在 干 扰 噪 声 ,因此频响函数模型估计的精度问题一直是科研工 作者和工程技术人员必须面对的问题之一 。
下面就根据系统中存在主要干扰误差的不同 ,将 频响函数的估计方法分为含有加性随机噪声干扰 、含 有非线性失真干扰 、含有频谱泄漏干扰等多种情况讨 论 ,并且逐一进行探讨和分析 。
在一般的实际测量中 , 输入输出噪声是同时存在 的 ,即图 1所示系统模型 ,考虑到 H1 估计和 H2 估计分 别为欠估计和过估计 ,为了减小误差影响 , 自然有人提 出 H1 估计和 H2 估计的折衷算法 , 即这里要讲到的 H3 估计和 H4 估计 ,他们是 H1 估计和 H2 估计的算术平均 值和几何平均值 。