一维随机变量函数的概率分布
一维随机变量的分布函数
一维随机变量的分布函数
一维随机变量的分布函数是指在实数轴上，对于任意实数x，随机变量X小于等于x的概率，即F(x)=P(X<=x)，其中P为概率。
分布函数具有以下性质：
1. F(x)是一个单调不减的函数，即随着x的增大，F(x)也会增大或不变。
2. F(x)的取值范围是[0,1]，因为概率的取值范围也是[0,1]。
3. F(x)是右连续的，即对于任意x，F(x)的左右极限相等，且F(x)在x处连续。
4. 若X是一个连续型随机变量，则F(x)可以表示为X的概率密度函数f(x)的积分，即F(x)=∫f(t)dt，其中积分下限为负无穷，上限为x。
5. 若X是一个离散型随机变量，则F(x)可以表示为X的概率质量函数p(x)的累加和，即F(x)=∑p(t)，其中t取遍所有小于等于x 的离散值。
分布函数是描述随机变量的一个重要工具，可以用来求解各种概率问题，例如求解随机变量X落在某个区间内的概率，或者求解X的统计特征值等。
- 1 -。
第二章 一维随机变量及其分布1
两点分布（贝努里分布）
若随机变量只有两个可能的取值 0和1，其概率分布为
01
则称X服从参数为p的两点分布.
应用： 0-1分布 只有“成功”和“失败” 两种对立结局的试验称做伯努 利试验；伯努利试验成功的次数X服从0-1分布，参数——成功的概率， ——失败的概率．例如产品抽样验收：抽到不合格品——成功，抽到合 格品──失败；射击：命中──成功，脱靶──失败……
查泊松分布表可得，，于是这家商店只要在月底保证存货不少于15件就 能以95%以上的把握保证下月该商品不会脱销.
例5 在500个人组成的团体中，恰有5个人的生日是元旦的概率是多 少？
解：该团体中每个人的生日恰好是元旦的概率都是，则该团体中生 日为元旦的人数，恰有5个人的生日是元旦的概率为
泊松定理：设随机变量序列服从二项分布（这里概率与n有关），若 满足（为常数），则有：
x 0.10 0.20 0.40 0.60 0.80 1.00 1.20 1.40 0.53 0.579 0.655 0.726 0.788 0.841 0.885 0.919
解：设A1={ 电压不超过200伏}，A2={ 电压在200伏~240伏}，A3={电 压超过240伏}，B={电子元件损坏} 由于 所以， 又知： 所以 Ⅲ、典型例题分析
则的分布密度为 例3 设随机变量的概率密度为
求：的分布密度函数. 解：由分布函数的定义 当时， 当时， 当即时， 当即时， 因此 分布密度为
例４. 已知Ｘ服从区间[0,1]上的均匀分布, 求Ｘ的函数Ｙ=3Ｘ+1的概率分 布. 解: 根据题意知Ｘ的概率密度为： 则Ｙ的分布函数为 对其求导得Ｙ的概率密度与Ｘ的概率密度间的关系为 即Y服从在区间[1,4]上的均匀分布. 例５. 已知Ｘ～, , 求Ｙ的概率密度. 解: Ｙ的分布函数 因ey总大于0, 而当y大于0时FX(x)为 因此有: 则Y的概率密度为其分布函数的求导:
一维随机变量及其分布
第二章一维随机变量及其分布考试内容随机变量随机变量分布函数的概念及其性质离散型随机变量的概率分布连续型随机变量的概率密度常见随机变量的分布随机变量函数的分布考试要求1．理解随机变量的概念，理解分布函数的概念及性质，会计算与随机变量相联系的事件的概率。
2．理解离散型随机变量及其概率分布的概念，掌握0—1分布、二项分布B （n,p）、几何分布、超几何分布、泊松（Poisson）分布P（）及其应用。
3．了解泊松定理的结论和应用条件，会用泊松分布近似表示二项分布。
4．理解连续型随机变量及其概率密度的概念，掌握均匀分布U（a,b）、正态分布N（）、指数分布及其应用，其中参数为的指数分布E（）的概率密度为会求随机变量函数的分布。
本章导读本章的核心内容是8大分布函数及其对应的模型；如何根据定义求的函数分布一般方法。
介绍了作者用于分布函数求一维分布的直角分割法秘技。
分布函数的定义历来是使读者感到迷茫的知识点，如为什么要求分布函数必须右连续等问题？目前的教材和参考书的讲法都不清晰，作者系统地揭开了这一神秘数学面纱。
一、随机变量1概念随机试验的每一个可能的结果（即每一基本事件），对应样本间的集合中每一元素，我们都可以设令一个实数来表示该元素，显然，为实值单值函数，称为随机变量。
对，我们试验前无法确定，也就无法事先确定的值，只有在试验后才会知道的值，但取值一定服从某种确定的分布。
随机变量与普通函数区别有三，第一，随机变量定义域为样本空间的基本事件；第二，随机变量取值是随机的，只有它取每一个可能值有确定的概率；第三，随即变量是随机事件的人为数量化，而且这种数值只是一种符号表示。
比如：将一枚硬币抛三次，以表示三次投掷中出现正面的总次数，那么，对于样本空间中的每一个样本点，都有一个值与之对应，即二、随机变量的分布函数2.1 随机变量的分布函数（适合任何类型的随即变量）陈氏第2技随机变量的分布函数的全新揭秘。
● 分布函数定义形式的渊源一般情况下，人们只对某个区间内的概率感兴趣，即研究下列四种可能的区间的概率由于当所以，我们只须定义一个形式就可以了，其他区间形式都可以用它表示出来。
§3.5 随机变量函数的分布
( ii ) 若Y = X 2 , 则有 1 fY ( y ) = [ f X ( y ) + f X ( − y )], y ∈ R(Y ). 2 y 这里a , b为常数 且a ≠ 0, R(Y )为Y的值域 .
证明 由于 R(Y ) = [0,+∞ ), 取 y ≥ 0, 有
FY ( y ) = P ( X ≤ y ) = P ( − y ≤ X ≤
2 2 ∑ ci X i ~ N ( ∑ ci µi , ∑ ci σ i ). n i =1 n i =1 n i =1
其中, 为常数. 其中 c1 , c2 ,⋯, cn为常数
3.5.2 二维随机变量函数的分布 一、一般方法 是二维连续型随机变量,其联合密 设 ( X ,Y )是二维连续型随机变量 其联合密 的函数, 度为 f ( x , y ).又设Z = g( X ,Y ) 是 ( X ,Y ) 的函数 又设 类似于一维,求 的密度的一般方法为 的密度的一般方法为: 类似于一维 求Z的密度的一般方法为 (i)确定 的值域 R(Z )； 确定Z的值域 确定 (ii)对任意 z ∈ R(Z )， 对任意 求出Z的分布函数 的分布函数； 求出 的分布函数；
f Z ( z ) = ∫− ∞ f ( x , z − x )dx，或 f Z ( z ) = ∫− ∞ f ( z − y , y )dy .
+∞ +∞
当 X与Y 独立时 则 与 独立时,则
f Z ( z ) = ∫− ∞ f X ( x ) fY ( z − x )dx，或 f Z ( z ) = ∫− ∞ f X ( z − y ) fY ( y )dy .
−1 −1
用上述定理求例3.5.1中Y的密度函数 例3.5.3 用上述定理求例 中 的密度函数
连续参数离散型随机过程的一维及二维的分布函数
连续参数离散型随机过程的一维及二维的分布函数
连续参数离散型随机过程指的是一种由一维或二维连续参数随机过程构成、离散性实现的随机过程系统。
此类随机过程通常用于模拟和分析复杂的系统。
有关连续参数离散型随机过程的分布函数，本文将具体探讨一维和二维的分布函数。
一、一维分布函数
一维分布函数是指一维随机变量的概率密度的数学表达。
给定一个随机变量X，它的概率密度函数可以表示为X的概率分布，即P(X)。
一般情况下，随机变量X的概率分布函数可以表示为：
P(X)=f (X)
其中f (X)是X的概率密度函数。
一维分布函数描述了X可能出现的所有概率，对于离散型随机过程，一维分布函数可以表示为： P(X=x_i)=f (x_i)
其中x_i是离散型随机过程的状态值，f (x_i)是x_i出现的概率。
二、二维分布函数
二维分布函数是指二维随机变量的概率密度的数学表达。
给定两个随机变量X和Y，它们的概率密度函数可以表示为：
P(X,Y)=f (X,Y)
其中f (X,Y)是X和Y的概率密度函数。
二维分布函数描述了X 和Y可能出现的概率，对于离散型随机过程，二维分布函数可以表示为：
P(X=x_i, Y=y_i)=f (x_i, y_i)
其中x_i和y_i是离散型随机过程的状态值，f (x_i, y_i)是X 和Y在x_i和y_i状态下出现的概率。
综上，本文介绍了连续参数离散型随机过程的一维及二维的分布函数的基本原理，为了更好地描述此类过程，应用程序可以利用一维及二维分布函数来表征和分析相关模型。
第2章一维随机变量
第2章 一维随机变量2.1 内容框图2.2 基本要求(1) 理解随机变量及其分布函数的概念，掌握分布函数的性质。
(2) 理解离散型随机变量及其概率分布的概念，会求简单的离散概率模型中随机变量的概率分布，掌握常用分布及其特性，并能用以解决具体问题。
(3) 理解连续型随机变量及其概率密度函数的概念，掌握概率密度函数的性质及概率密度函数与分布函数的关系，能运用常用分布及其特性解决具体问题。
(4) 会根据随机变量的概率分布求其简单函数的概率分布。
2.3 内容概要1）随机变量的分布函数：(1) 定义：随机变量ξ的分布函数(){}F x P x ξ≤@，x ∈（-∞，+∞）。
(2) 性质：①F (x )是单调不减函数：2121()()x x F x F x ∀>⇒≥； ②F (x )是有界函数：0≤F (x )≤1，且F (+∞)=1，F (-∞)=0； ③F (x )是右连续的：F (x +0) = F (x )。
(3) 用F (x )表示概率：①{}1()P x F x ξ>=- ②{}()()P a b F b F a ξ<≤=- ③{}P x ξ<=(0)F x -④{}()(0)P x F x F x ξ==--2）离散型随机变量：(1) 定义：所有可能取值为有限多个或可列无穷多个的随机变量称为离散型随机变量。
(2) 概率分布： {}i i P x p ξ==（i =1,2,…）或表示为：1212{}n i n x x x P x p p p ξξ=L L LL满足：① p i ≥0（i =1,2,…）； ②1ni i p =∑=1。
(3) 分布函数F (x ) =i ix xp ≤∑。
注 离散型随机变量ξ的分布函数F (x )是阶梯状的，ξ的每个可能取值点都是F (x )的跳跃间断点，而在其他点处F (x )连续。
3）连续型随机变量(1) 定义：设随机变量ξ的分布函数为F (x )，若存在非负函数φ(x )，使对一切实数x 成立 F (x )=()xx dx ϕ-∞⎰则称ξ为连续型随机变量，φ(x ) 称为ξ的概率密度函数。
一维连续型随机变量函数的分布
解
1 1 fY ( y ) fX ( y 2) 3 3
1 2 y 3 2 y 2 2e 0 3 3 0 其它
2 2( y3 2） e 3 0
y2 其它
x , 0 x4 例： X ~ f ( x) 8 时，定理为真
例1.已知 X 的 d.f.为 f X ( x), Y aX b, a, b为常数，且 a 0, 求 fY ( y ) 解 y b
y g ( x) ax b, x h( y ) 1 h( y) . a
a
,
fY ( y ) f X (h( y )) h( y )
一维连续型随机变量 函数的分布
一般地,对 y= g(x)是严格单调函数,有下面的结论.
定理 设X是一个连续型随机变量，其密度函数
为 f(x), 又函数 y= g(x) 严格单调，其反函数 h ( y ) 有连续导数，则 Y = g (X) 也是一个连续型随机 变量，且其密度函数为
f X [ h( y )] h( y ) fY ( y ) 0
1 3
Y X 3， fY ( y )。 求
y g ( x) x3， x y h ( y ) 解：
g '( x) 3x 0， fY ( y) 1 y f X ( y ) 3
2
2 3 1 3
1 1 y 3 , 0 y 64 fY ( y ) 24 0, 其他
Y ~ N (a b, a )
2 2
一般若X ~ N ( , 2 )， aX b Y ~ N (a b, a 2 2 ) Y
特别地 ，若
概率论与数理统计第3章
试求常数a和b。
π F xlim F x a b 2 0 解： F lim F x a b π 1 x 2
1 1 a , b 2 π
P ( 2 4) P ( 2) P ( 2 4) 0.3 0.6 0.5 0.4
P ( 3) 1 P ( 3) 1 0.5 0.5
6
例3：设r.v. 的分布函数
F x a b arctan x
b a
因此求概率可从分布函数与密度函数两条途径入手。
5、密度的图像称分布曲线，相应有两个特征： ⑴ 曲线在x轴上方；
概率面积
y
f(x)分布曲线
⑵ 曲线于x轴之间的 面积是1。
x c o d
10
例4：设 的密度在[a,b]以外为0，在[a,b]内为
一常数 ，
， a x b f ( x) 0， 其它
x2 2
16
⑶ f(x)符合密度函数的两性质： ① f(x) > 0；②
f x d x 1。
x2 2
以标准正态分布为例， e
e d t e
t2 2 2 x2 2
d x 称为高斯积分。
dy
r2 2 0
从F(x)求f(x)： f x F x 从f(x)求F(x)： F x f t d t
x
9
4、对于连续型随机变量 ，
⑴ P a 0 ，即某指定点的概率为0； ⑵ Pa b Pa b
Pa b Pa b f x d x
1-4随机变量的函数及其分布
例 若X ,Y 相互独立, 且均服从标准正态分布 N(0, 1),
U X Y V X Y
试求U ,V 的联合密度函数,问U,V 是否相互独立?
应用：求边缘密度 p U (u) ——增补变量法. 例 设二维随机变量 ( X ,Y ) 在矩形
G {( x, y ) | 0 x 2,0 y 1}
1.4 随机变量函数的分布
一维随机变量的函数及其分布
问题的提出 在实际中，人们常常对随机变量的函数 更感兴趣. 例如，已知圆柱截面直径 d 的分布， 2 d 求截面面积 A= 的分布. 4 一般地、设随机变量X 的分布已知，Y=g (X) ( 设g是连续函数），如何由 X 的分布求出 Y 的分 布？
u g ( x, y ) 设 存在唯一的反函数： v r ( x, y ) h h x h(u , v) 记 J u v s s y s (u , v)
u v
h , s 有连续的偏导数, 则
pUV (u, v) pXY [h(u, v), s(u, v)]| J |
思路 将与Y 有关的事件转化成 X 的事件.
离散型随机变量函数的分布 例 已知 X 的概率分布为
X P -1 0 1 2
1 8
1 8
1 4
1 2
求 Y 1= 2X – 1 与 Y 2= X 2 的分布律。
注：形式做法 Y2 1 0 1 4
pi
Y2 pi
1 8
0
1 8
1
1 4
4
1 2
1 8
3 8
1 2
一、二维离散型r.v.函数的分布 例1 设二维r.v. ( X, Y ) 的概率分布为 Y X -1 2 求X Y , X Y , 的概率分布.
一维随机变量函数及其分布
z
1
v2
e22(
1
u2
e2du)dv
22
2
FZ (z)
1
z v2
e 2 2dv
2 2
FZ (z)
1
z v2
e 2 2dv
2 2
第三步 计算Z的密度函数
fZ(z) FZ(z)
1
z2
e 22
2 2
结论：
X ~ N ( 0 , 1 ) ,Y ~ N ( 0 , 1 ) ,X ,Y 独 立
计算每一取值点发生的概率即可得到概率分布
Z 概率
z1 z2 … p1 p2 …
方法： 列出（X，Y）的所有取值点 计算这些点对应的Z值 （如：Z=X+Y） 利用联合分布律确定相应的概率
将相同的z值进行合并，其概率值作相应合并
概率
p11 p12 … p21 p22 … pi1 pi2 …
（X,Y） （x1,y1）（x1,y2) … (x2,y1) (x2,y2) … (xi,y1) (xi,y2) …
z
(
1
(x2(vx)2)
e 2 dv)dx
2
1 z
x2(vx)2
(
e 2 dx)dv
2
FZ (z)
z
1
(
2xv )2 2
v2
(
e 2 e22dx)dv
2
令 u 2x v
2
P (Y 5 )P (X 1 2 )
Y
-5 -1 20
概率 0.16 0.16 0.68
二、 二维离散型随机变量函数的分布
一维随机变量函数的分布
fX
2 ye
y
y 2
y fX y
1 0 ey
y
y0
2y
求随机变量Y=g(X)的密度函数的 另一种方法：公式法
定理2.4.1 若随机变量X和随机变量Y=g(X)的
密度函数分别为 f X (x)， fY (y),
当 y=g(x) 是严格单调可微函数，且g´(x) ≠0
x0 x0
试求：Y X 2 的密度函数
当 y 0 时, FY (y) P{Y y} P{X 2 y}
P{ y X y} FX y FX y
fY
(
y)
FY
(
y
)
y
FX
y FX
y
y
.
P{aX b y} P{X y b}
a
yb FX ( a )
a 0
a 0
例2. 已知随机变量X ~ U(2,4) ,
求Y X 2的概率密度函数。
1
f (x)
2
2 x4
0, 其它
1.当y≤0时， FY ( y) P{Y y} P{ X 2 y} =0
(2)Y ln X
x0 x0
(3)Y e 2X
y3
(1)Y 2X 3
x h( y) 2
fY
( y)
fX (
y
2
3 )
y
3 2 y
1 4
e
(
y3 4
)
,
0
第六章 随机变量的函数及其分布
FY ( y) 0
y y y 1 dx y , 0 y 1 f X ( x)dx 0 1, 其他
当y≥0时,P(X2≤y)= FY ( y) 于是Y分布函数为
y
-
p ( x)dx p ( x)dx
x - x
பைடு நூலகம் y
再由分布函数求概率密度
6.1 一维随机变量的函数及其分布
二、连续型随机变量
p
Y
( y ) F 'Y ( y )
p
x
( y )( y )'
p
x
( y )( y )'
ye y 2 1 1 ,y0 ( y ) 3 e ( y ) 0 2 2 y 2 y 0, y 0 y 3 当Y 2 X 3时有y 2 x 3 x , 2 3 2 ) y 3 3 ( y2 y 3 y 3 2 ( ) e ( )', y 3 ( y ) ( y ) ( x ) dx ' pY 2 p x 2 F 'Y 0, y 3
P(Y=-1)= P(X<10)
P(Y=20)= P(10≤X≤12
12 11 10 11 Φ( ) Φ ( ) 1 1 Φ (1) Φ (1) 0.68
综合得Y的分布律为
Y -5 p 0.16
-1 20 0.16 0.68
6.1 一维随机变量的函数及其分布
二、连续型随机变量
3 2 ) 1 y 3 3 ( y2 ) e ，y 3 ( 2 2 0, y 3
一维随机变量函数的分布
如果随机变量的取值范围是某个区间上的所有实 数，则称该随机变量为连续随机变量。
随机变量的分类
离散型随机变量
根据其取值特点，可以分为二项 式、泊松、几何、超几何等类型 。
连续型随机变量
根据其概率密度函数的特点，可 以分为均匀、指数、正态等类型 。
随机变量的分布函数
分布函数
对于任意实数x，分布函数F(x)表示随机变量 X小于或等于x的概率。
性质的应用
这些性质在概率论和统计学中有着广泛的应用，如概率密度函数的计算、随机变量的期望和方差的计 算等。
05
CATALOGUE
随机变量的运算性质
随机变量的和与积
要点一
随机变量的和
若X和Y是两个随机变量，则X+Y也是一个随机变量。其分 布依赖于X和Y的联合概率分布。
要点二
随机变量的积
若X和Y是两个随机变量，则X×Y也是一个随机变量。其分 布依赖于X和Y的联合概率分布。
均匀分布
均匀分布是一种特殊的连续随机 变量，其概率密度函数在一定区 间内保持恒定，常用于描述某些 物理量在一定范围内的均匀分布 情况。
04
CATALOGUE
随机变量的函数
随机变量函数的定义
随机变量函数的定义
随机变量函数是指将一个或多个随机 变量作为输入，经过某种运算或变换 后得到另一个随机变量。
离散随机变量的所有可能取 值的集合。
离散随机变量的值域
离散随机变量取到的所有可 能值的集合。
离散随机变量的分布律
01
分布律
描述离散随机变量取各个可能值 的概率的表格。
02
分布律的性质
分布律中的概率值总和为1，即 所有概率值的和等于1。
一维的分布函数
一维的分布函数
一维分布函数是用来描述一个一维随机变量的概率分布的函数。
它可以用于描述连续型和离散型一维随机变量的概率分布情况。
对于连续型随机变量，一维分布函数通常被称为累积分布函数（Cumulative Distribution Function，CDF）。
CDF表示了随机变量取值小于等于给定值的概率。
对于一个随机变量X，其CDF 函数可以表示为F(x) = P(X <= x)。
对于离散型随机变量，一维分布函数通常被称为概率质量函数（Probability Mass Function，PMF）。
PMF表示了随机变量取某个特定值的概率。
对于一个离散型随机变量X，其PMF函数可以表示为f(x) = P(X = x)。
例如，考虑一个连续型随机变量X，表示某种产品的寿命。
我们可以用CDF函数描述该产品的寿命小于等于给定值的概率。
如果我们有一个具体的值x，可以通过计算CDF函数F(x)来得到寿命小于等于x的概率。
另一个例子是一个离散型随机变量Y，表示一个骰子的面数。
我们可以用PMF函数来描述抛掷该骰子得到某个特定面数的概率。
如果我们有一个具体的值y，可以通过计算PMF函数f(y)来得到抛掷骰子得到该面数的概率。
一维分布函数在统计学和概率论中是非常常用的工具，它提供了对随机变量的概率分布进行描述、计算和分析的方法。
通过了解一维分布函数，我们可以更好地理解和分析随机变量的概率特征和统计规律。
第二章 一维随机变量及其分布
第二章一维随机变量及其分布第一节随机变量及其分布函数一、内容精要（一）随机变量1.随机变量的引入的背景2.随机变量的严格定义（二）分布函数1.分布函数的定义2.分布函数的性质3.分布函数表示的概率计算公式二、 常考题型分析（一） 与分布函数有关的性质1. 判定给定函数是否为分布函数例1 ()下列函数中，可以做随机变量的分布函数的是()()21.1A F x x =+ ()()31arctan .42B F x x π=+ ()()0,0,,0.1x C F x xx x≤⎧⎪=⎨>⎪+⎩ ()()2arctan 1.D F x x π=+2. 含参数的分布函数形式已知，求未知参数例2 ()()1212F x F x X X 设与分别为随机变量和的分布函数.为使 ()()()12=F x aF x bF x -()是某一随机变量的分布函数，在下列给定的各组值中应取()32,.55A a b ==- ()22,.33B a b == ()13,.22C a b =-= ()13,.22D a b ==-例3 ()()0,1,11,11,84,11,1,1,x x X F x P X ax b x x <-⎧⎪⎪=-⎪===⎨⎪+-<<⎪≥⎪⎩设随机变量的分布函数且,.a b 求未知参数3. 分布函数的连续性例4 ()000X x P X x ==设随机变量对于任意实数有的充要条件为()A X 为离散随机变量. ()B X 不是离散随机变量.()()C X F x 的分布函数为连续函数.()()D X f x 的概率密度为连续函数.例5 ()()()()1221F x X P x X x F x F x <<=-设为随机变量的分布函数，则()()F x 成立的充要条件是在()1A x 处连续. ()2B x 处连续. ()12C x x 和至少一处连续. ()12D x x 和都不连续.例6 ()()1F x F x --设为某个随机变量的分布函数，讨论函数是否为分布.函数（二） 已知分布函数求区间或某点的概率例7 ()()()00,1=01,121,1,xx F x x P X e x <⎧⎪⎪≤<=⎨⎪-≥⎪⎩，设随机变量的分布函数，则为()0.A ()1.2B ()11.2C e -- ()11.D e --例8 3164一个边长为的正立方体容器盛有的液体，假设一个小孔出现在容器 个表面的任何一个部位是等可能的，现在表面出现了一个小孔，液体经此小孔流出，试求()X F x （1）容器中剩余液体液面的高度的分布函数； 3().4P X =（2）例9 ()=()X x R F x P X x ∈<设为随机变量，对于任意，定义函数，且00,1()=01,21,1,x x F x x e x -≤⎧⎪⎪<≤⎨⎪->⎪⎩，，(1)_____________.P X ==则第二节一维随机变量及其分布一、内容精要（一）一维离散型随机变量及其分布1.分布律和性质2.分布函数3.常见分布（二）一维连续型随机变量及其分布1.概率密度及其性质2.分布函数的性质3.常见分布二、 常考题型分析（一） 与概率分布的性质相关的问题1. 判断函数是否为概率密度例1 12()()F x F x 设，为分别两个随机变量的分布函数，其相应的概率密度()12()()f x f x 分别为，，这两个函数均是连续函数，则必为概率密度的是()12()()A f x f x ()21()()B f x F x()12()()C f x F x ()1221()()()()D f x F x f x F x +2. 概率分布已知，求分布中的位置参数 例2 X 设随机变量的概率分布为()()()11,2,,,n kk kn P X k A C p p k n -==⋅-=,01___________.n Z p A +∈<<=其中为已知，则例3 ()1()1,2,2k kP X k k X θ-==⋅= 设为随机变量的分布律的充要条件 为__________.例4 []12()()1,3f x f x -设为标准正态分布的概率密度，为上均匀分布的()()12(),0,()0,0,(),0,af x x f x a b a b bf x x ≤⎧=>>⎨>⎩概率密度，若为概率密度，则应满足例5 2,0,()______.0,0,x ax e x X f x a x -⎧>==⎨≤⎩设随机变量的概率密度函数为则例6 22(),______.x xX f x ae a -+==设随机变量的概率密度函数为则（二） 已知随机试验中的随机变量，求分布律和分布函数例7 413设有三个盒子，第一盒子有个红球，个黑球；第二个盒子装有个红 223球，个黑球；第三盒子装有个红球，个黑球，现在从三个盒子中任取一盒，然后从中任取3个球，试求所取到的红球个数的分布律与分布函数.例8 ()01,p p <<某人向同一目标独立重复射击，每次射击命中概率为2X 记随机变量为第次射中目标所进行的射击的次数.求X 得分布律.（三） 已知分布函数求分布律或已知概率密度函数求分布函数1. 已知分布函数求分布律例9 X 设随机变量的分布函数为()0,1,0.4,11,0.8,13,1,3,x x F x x x <-⎧⎪-≤<⎪=⎨≤<⎪⎪≥⎩ .X 试求的分布律例10 X 已知随机变量的概率分布律为()()22123211X P θθθθ--()()32.4P X X F x θ≥=且，求未知参数及的分布函数2. 已知概率密度函数求分布函数例11 X 设连续型随机变量的密度函数为()12,0,211,1,2332,1,20,,x x x f x x x ⎧≤<⎪⎪⎪<≤⎪=⎨⎪-<≤⎪⎪⎪⎩其它 ().X F x 试求的分布函数（四） 与常见分布有关的概率问题1. 离散型常见分布例12 ()()12~,,X P p p X λ设分别为随机变量取偶数和奇数的概率，则()12.A p p = ()12.B p p < ()12C p p > ()12,D p p 大小关系不定.例13 X 设随机变量的概率密度函数为()()+1,01,0,k k x x f x ⎧<<=⎨⎩其它， 137264Y X A X ⎛⎫=≤ ⎪⎝⎭以表示对的三次独立的重复观察中，事件至少发生一次的概率为，,95%n A X 试求常数使得事件至少发生的一次的概率超过，对至少要做多少次独立重 .复的观察例14 ()01,p p <<某人向同一目标独立重复射击，每次射击命中概率为.X X 直至射中目标为止，记随机变量为射击的次数.求为偶数的概率例15 ()(),,.X B n p k P X k =设随机变量服从二项分布当取何值时，最大2. 连续型常见分布例16 ()()()~,0,0,X E s t P X s t X sλ>>>+>设则对于任意则().A t s 与无关，随的增大而增大 ().B t s 与无关，随的增大而减少 ().C s t 与无关，随的增大而增大 ().D st 与无关，随的增大而减少例17 ()()()2~,1X N P X μσμ<+设，则().A μ随的增大而增大 ().B μ随的增大而减少 ().C σ随的增大而不变 ().D σ随的增大而减少例18 ()211,X N Y μσ设随机变量服从正态分布，随机变量服从正态分布()12.A σσ< ()12.B σσ> ()12.C μμ< ()12.D μμ>例19 ()()21,0,0,03X Y N P X Y σ≤>设随机变量均服从，若概率=， ()0,0______.P X Y ><则=例20 1009010有个零件，其中个一等品，个二等品，随机地取两个，安装在 ()20,1,2i i =一台设备上，若个零件中有个二等品，则该设备的使用寿命服从参数 =1i λ+为的指数分布，试求()11设备寿命超过的概率；()212.若已知该设备寿命超过，则安装在该设备上的个零件均为一等品的概率第三节 一维随机变量函数的分布一、 内容精要（一） 一维离散型随机变量函数的分布律（二） 一维连续型随机变量函数分布求解二、 常考题型分析（一） 求可列无穷多取值的离散型随机变量函数的分布律例1 ()1,1,2,,sin .22n X P X n n Y X π⎛⎫==== ⎪⎝⎭设的分布律为求的分布律（二） 已知连续型随机变量的概率密度，求非单调函数的概率密度例2 X 设随机变量的概率密度为()1,10,21,02,40,.X x f x x ⎧-<<⎪⎪⎪=≤<⎨⎪⎪⎪⎩其它2.Y X Y =令，求的概率密度函数例3 ()20,423X Y X X Y =--设服从区间上的均匀分布，随机变量，试求的 .密度函数例4 1X =max ,.Z X X λ⎛⎫ ⎪⎝⎭设随机变量服从参数为指数分布，求的分布函数（三） 抽象的随机变量函数的分布例5 ()(),,X F x Y F x =设连续型随机变量的分布函数为令求随机变量函数 .Y 的概率分布例6 (),1__________.X F x Y X =-随机变量的分布函数为则的分布函数为。
第二讲 一维随机变量及其函数的概率分布
1 19 P (Y ≥ 1) = 1 − P (Y = 0) = 1 − (1 − )3 = 3 27
(8)
Y = 2X +1， 各值互不相等， Y 的概率分布为 P(Y = −1) = 0.5, P(Y = 3) = 0.5 。
⎧0 ⎪ 其分布函数为 FY ( y ) = ⎨0.5 ⎪1 ⎩
y < −1 −1 ≤ y < 3 y≥3
, Y = g(X ) 为 X
= g ( xi ) 各值互不相等，则 Y 的分布为 P (Y = yi ) = pi , i = 1, 2, = g ( xi ) 各值不是互不相等， 则 Y 的分布为： P (Y = yi ) =
g ( x j ) = yi
∑
P( X = x j )
2、若 X 为连续型随机变量，其概率密度为 概率密度
x<a a≤ x<b x≥b
⎧λ e − λ x 5、 指数分布， 密度函数 f ( x) = ⎨ ⎩ 0
三、随机变量函数的分布
⎧1 − e− λ x x>0 ， 分布函数 F ( x) = ⎨ x≤0 ⎩ 0
= xi ) = pi , i = 1, 2,
x>0 x≤0
1、若 X 为离散型随机变量，概率分布为 P ( X 的函数，求 Y 的分布。 (1) 若 yi (2) 若 yi
y 2 + Xy + 1 = 0 有实根的概率
为
。 (7) 设 随 机 变 量
X ~ B(2, p), Y ~ B(3, p)
， 若
P ( X ≥ 1) =
5 ， 则 9
P(Y ≥ 1) =
。
(8) 给定 X 的分布 P( X ，Y 的分布函数为
一维随机变量函数的分布
例1 设随机变量 X 的分布律如下表所示
X -1 0 1 2
pk 0.1 0.4 0.2 0.3
求随机变量 Y ( X 1)2 的分布律。
二、一维连续型随机变量函数的分布
设随机变量 X 的概率密度为 fX (x)，则 X
的函数 Y g(X ) 的分布函数为：
FY y P{Y y} P{g(X ) y} fX (x)dx g(x) y
fY ( y) .
例4 设随机变量 X ~ N (, 2) ，试证明 X
的线性函数 Y aX b(a 0) 也服从正态分布.
例5 设随机变量 X 的分布函数 F(x) 严格单调连续， (1) 求随机变量 Y F X 的概率密度；
(2) 求随机变量 Z 2ln F(X ) 的概率密度.
1 1
x0 x0
概率论与数理统计
例6 若函数 g(x) 在区间 (x0, x1] 内取常量，即
g(x) yi
x (x0, x1]
试用随机变量X的分布函数 FX (x) 和 g(x) 表示事件
{Y yi} 的概率.
例7 若随机变量 X ~ Exp(0.5)，求随机变量
.
Y g(X ) 的分布函数 FY ( y) ，其中
g(x)
h( y) 是函数 g(x) 的反函数.
注1：若 X 的概率密度 fX (x) 在有限区间 a,b
以外等于零，则只需假设在 a,b 上有 g(x) 0（或
g(x) 0）此时 min g(a), g(b), maxg(a), g(b)
注2：如果函数 y g(x) 非单调变化，则先将 y g(x) 的单调区间求出，在每个单调区间上都使用这个公式， 然后再将各单调区间的结果相加可得 fY ( y) 。
3.4随机变量函数的分布
1, 0 x 1 fX (x) 0, 其它
e y ,
fY
(
y)
0,
y0 其它
求随机变量Z=2X+Y的分布函数与密度函数。 (1) R(Z)=(0，+∞);
(2) 任意取z∈(0，+∞);
FZ (z) P(Z z) P(2X Y z)
当z/2≤1时，
z 2 z2x
FZ (z) f (x, y)dydx
fY
( y)
|
1 a
|
fX
(
y b), a
y R(Y );
例3.4.4.(1)设X ~ N (, 2 )，Y aX b(a 0)
求Y的密度函数 fY ( y)；若Y
解：(1).由X的密度f X (x)
X .求Y的分布。
1
e
(
x) 2 2
2
,易知
2
1 yb fY ( y) a fX ( a )
e
z
),
0 z 2
fZ
(z)
1
2
(e2z
ez
),
z
2
0,
其它
3.4.2、随机变量的可加性 正态分布的可加性
定理3.5.5
设 X
N
(
1
,
2 1
),
Y
N
(
2
,
2 2
),
且相互独立，则
a b
N (a1
b2
,
a
2
2 1
b2
2 2
)
推广：
设 X i
N
(
i
,
2 i
)(
i
第二章 一维随机变量及其分布
注：一般X(ω) 简单记为X，
{ω∣X(ω) ≤ x} 记为{X ≤ x}
一维随机变量的分布函数
分布函数
设X是一个随机变量，x是任意实数，函 数F(x)=P{ω∣X(ω) ≤ x}称为随机变量X的分 布函数，记作FX(x)或F(x)。 X 的分布函数也常简记为FX(x)= P{X≤x}
分布函数的性质
任一随机变量X的分布函数F(x)，x∈(－∞， ＋∞)，具有下列性质：
(1) 0≤ F(x) ≤ 1
(2) 若x1<x2，则 F(x1) ≤ F(x2) 证明： 若x1<x2 ，则有
X x2 X x1
根据概率的性质，得P{X<x2} ≥P{X<x1} 即 F(x2) ≥F(x1)
0.0169
19
若用泊松近似公式(λ=np=20×0.01=0.2) ，
则有
PX 2
k 2 k!
20
k
e
k 2
20 0.2 k
k!
e
0.2
0.0176
（2）设Y表示同一时刻发生故障的设备数，则
Y～B(80,0.01)。 当同一时刻至少有４台设备发生故障时，就不 能及时维修。 用泊松近似公式 (λ=np=80×0.01=0.8) ，得 80 k 80 0.8 k 0.8
(2) 0≤F(x) ≤1 ，且
x x
lim F x F 0
lim F x F 1
对任意实数 x0 ，有
(3) 右连续性
F x0 0 F x0 其中F x0 0 lim F x
一维连续型随机变量及其概率密度
设 A 表示“一次观测中X的值大于 3 ”,
即 A={ X >3 }.
由于 P( A) P{ X 3}
51
2
dx ,
33
3
设Y 表示3次独立观测中观测值大于3的次数,
则 Y ~ B 3, 2 . 3
因而有
P{Y
2}
C2032.
2 3
2
1
2 3
C33
2 3
3
1
2 3
0
27
2. 指数分布
(4)曲线在 x μ σ 处有拐点;
(5) 曲线以 x 轴为渐近线;
p(x)
(6) 当 固 定σ, 改 变 μ 的大小时, p(x) 图形的形状不变,只 是 沿 着 x 轴作平移变换;
p(x)
(7) 当固定μ, 改变 σ 的大小时, p(x) 图形的对称轴 不变,而形状在改变, σ 越小,图形越高越瘦, σ越大, 图 形 越 矮 越 胖.
P{1
X
7} 2
F(7) 2
F (1)
41 . 48
二、常见连续型随机变量的分布
1. 均匀分布
定义 设连续型随机变量X 具有概率密度
p(
x)
b
1
a
,
a x b,
0,
其 它,
则称 X 在区间(a, b)区间上服从均匀分布,
记为 X ~ U(a,b).
概率密度
p( x)
函数图形
ao
b
分布函数
证明F(x) x .
解 F(x) P{X x} x
令 t μ u, σ
xμ
σ
1
e d t
(tμ)2 2σ 2
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1 f X ( y ) f X ( y ) , dFY ( y ) fY ( y ) 2 y dy 0,
y0 y0
1 f X ( y ) f X ( y ) , dFY ( y ) fY ( y ) 2 y dy 0,
y0 y0
FY ( y ) P(Y y ) P(sin X y )
=P(0 X arcsiny)+P( - arcsiny X ）
arcsin y
2x
0
2
dx arcsin y
2x
2
dx
解： 当0<y<1时,
FY ( y ) P(Y y ) P(sin X ( )28 16
X
y y 8
注意到 0 < x < 4 时， f X ( x ) 0
y8 fX ( )0 即 8 < y < 16 ， 2 y8 y8 ) 此时 f X ( 2 16
故
y8 , 8 y 16 fY ( y) 32 0, 其它
=P(0 X arcsiny)+P( - arcsiny X ）
(
而
arcsin y
2x
0
dx arcsin y 2
2
2x
dx 2
arcsin y
dFY ( y) fY ( y) dy
arcsin y 2 ) 1 ( )
dFY ( y) fY ( y) dy
已知X在(0,1)上服从均匀分布，
1, 0 x 1 fX ( x) 其它 0,
y/2 ) y / 2 d (e , 0 ey/2 1 f X (e ) fY ( y) dy 0, 其它 1 y/2 e , y0 得 fY ( y) 2 其它 0,
例3设 X 具有概率密度 f X ( x ),求Y=X2的概率密度.
解： 设Y和X的分布函数分别为FY ( y)和FX ( x) ，
注意到 Y=X2 0，故当 y 0时，FY ( y) 0
当 y>0 时, FY ( y ) P(Y y ) P( X y ) P ( y X y ) FX ( y ) FX ( y ) 求导可得
代入 fY ( y ) 的表达式中
即Y服从参数为1/2的指数分布.
这一讲我们介绍了随机变量函数的分布. 对于连续型随机变量，在求Y=g(X) 的 分布时，关键的一步是把事件 { g(X)≤ y } 转 化为X在一定范围内取值的形式，从而可以 利用 X 的分布来求 P { g(X)≤ y }.
稍事休息
求导得:
2 , 0 y 1 fY ( y ) 1 y 2 0, 其它
下面给出一个定理，在满 足定理条件时可直接用它求出 随机变量函数的概率密度 .
定理 设 X是一个取值于区间[a,b]，具有概率 密度 f(x)的连续型r.v,又设y=g(x)处处可导，且 对于任意x, 恒有 g ( x ) 0 或恒有g ( x ) 0 ，则 Y=g(X)是一个连续型r.v，它的概率密度为
如果g(xk)中有一些是相同的，把它们作适当 并项即可.
1 0 如： X ～ 0.3 0.6
1 0.1
则 Y=X2 的概率函数为：
1 0 Y ～ 0.6 0.4
二、连续型随机变量函数的分布 例2
x / 8, 0 x 4 设 X ~ fX ( x) 0, 其它
一般来说，随机变量X 的函数Y=g (X) 仍是一个随机变量。 设随机变量X 的分布已知，Y=g (X) (设g是连续函数），如何由 X 的分布求 出 Y 的分布？ 下面进行讨论.
一、离散型随机变量函数的分布
例1
2 1 设X ～ 0.2 0.5
5 0.3
求 Y= 2X + 3 的概率函数. 解： 当 X 取值 1，2，5 时， Y 取对应值 5，7，13， 而且X取某值与Y取其对应值是两个同时发生 的事件，两者具有相同的概率.
若
1 fX ( x) 2
e
x
2
2
x
则 Y=X2 的概率密度为：
1 fY ( y ) 2 0,
y e
1 2
y 2
,
y0 y0
从上述两例中可以看到，在求P(Y≤y) 的过 程中，关键的一步是设法从{ g(X) ≤ y }中解出X, 从而得到与 {g(X) ≤ y }等价的X的不等式 .
例如，用{ X
用 { y X
y 8} 2
代替 {2X+8 ≤ y }
y} 代替{ X2 ≤ y }
这样做是为了利用已知的 X的分布，从 而求出相应的概率.
这是求r.v的函数的分布的一种常用方法.
例4 设随机变量X的概率密度为
2x 2 f ( x) 0
0 x 其它
求 Y=2X+8 的概率密度.
解：设Y的分布函数为 FY(y)，
FY(y)=P{ Yy } = P (2X+8 y )
=P{ X
y8 2
} = FX(
y8 ) 2
于是Y 的密度函数
dFY ( y) y 8 1 fY ( y) fX ( ) dy 2 2
x / 8, 0 x 4 fX ( x) 0, 其它 dFY ( y) y 8 1 fY ( y) fX ( ) Y=2X+8 dy 2 2
求Y=sinX的概率密度.
解：注意到, 当 0 x 时 0 y 1
故
当 y 0时, FY ( y ) 0,
当 y 1时, FY ( y ) 1
例4 设随机变量X的概率密度为
2x 2 f ( x) 0
0 x 其它
求Y=sinX的概率密度.
解：当0<y<1时,
dh( y) , y x=h(y)是y=g(x) f [h( y)] fY ( y) dy 的反函数 0, 其它
其中， min g ( x ), max g ( x ),
a x b a x b
此定理的证明与前面的解题思路类似.
下面我们用这个定理来 解一个例题 .
例5 设随机变量X在(0,1)上服从均匀分布，求 Y=-2lnX的概率密度. 解： 在区间(0,1)上,函数lnx<0, 2 故 y=-2lnx>0, y 0 于是 y在区间(0,1)上单调下降，有反函数
x h( y) e y / 2
x
由前述定理得
注意取 绝对值
y/2 d ( e ) y/2 , 0 ey/2 1 f X (e ) fY ( y) dy 0, 其它
故
7 5 Y ~ 0.2 0.5
13 0.3
一般，若X是离散型 r.v ，X的概率函数为
x1 X ～ p1 x2 xn p2 pn g ( x2 ) g ( xn ) p2 pn
g ( x1 ) 则 Y=g(X) ～ p1