一维随机变量函数的概率分布

如果g(xk)中有一些是相同的，把它们作适当 并项即可.
1 0 如： X ～ 0.3 0.6
1 0.1
则 Y=X2 的概率函数为：
1 0 Y ～ 0.6 0.4
二、连续型随机变量函数的分布 例2
x / 8, 0 x 4 设 X ~ fX ( x) 0, 其它
故
7 5 Y ~ 0.2 0.5
13 0.3
一般，若X是离散型 r.v ，X的概率函数为
x1 X ～ p1 x2 xn p2 pn g ( x2 ) g ( xn ) p2 pn
g ( x1 ) 则 Y=g(X) ～ p1
一般来说，随机变量X 的函数Y=g (X) 仍是一个随机变量。 设随机变量X 的分布已知，Y=g (X) (设g是连续函数），如何由 X 的分布求 出 Y 的分布？ 下面进行讨论.
一、离散型随机变量函数的分布
例1
2 1 设X ～ 0.2 0.5
5 0.3
求 Y= 2X + 3 的概率函数. 解： 当 X 取值 1，2，5 时， Y 取对应值 5，7，13， 而且X取某值与Y取其对应值是两个同时发生 的事件，两者具有相同的概率.
例如，用{ X
用 { y X
y 8} 2
代替 {2X+8 ≤ y }
y} 代替{ X2 ≤ y }
这样做是为了利用已知的 X的分布，从 而求出相应的概率.
这是求r.v的函数的分布的一种常用方法.
例4 设随机变量X的概率密度为
2x 2 f ( x) 0
0 x 其它
求 Y=2X+8 的概率密度.
解：设Y的分布函数为 FY(y)，
FY(y)=P{ Yy } = P (2X+8 y )
=P{ X
y8 2
} = FX(
y8 ) 2
于是Y 的密度函数
dFY ( y) y 8 1 fY ( y) fX ( ) dy 2 2
x / 8, 0 x 4 fX ( x) 0, 其它 dFY ( y) y 8 1 fY ( y) fX ( ) Y=2X+8 dy 2 2
代入 fY ( y ) 的表达式中
即Y服从参数为1/2的指数分布.
这一讲我们介绍了随机变量函数的分布. 对于连续型随机变量，在求Y=g(X) 的 分布时，关键的一步是把事件 { g(X)≤ y } 转 化为X在一定范围内取值的形式，从而可以 利用 X 的分布来求 P { g(X)≤ y }.
稍事休息
若
1 fX ( x) 2
e

x
2
2
x
则 Y=X2 的概率密度为：
1 fY ( y ) 2 0,
y e

1 2

y 2
,
y0 y0
从上述两例中可以看到，在求P(Y≤y) 的过 程中，关键的一步是设法从{ g(X) ≤ y }中解出X, 从而得到与 {g(X) ≤ y }等价的X的不等式 .
已知X在(0,1)上服从均匀分布，
1, 0 x 1 fX ( x) 其它 0,
y/2 ) y / 2 d (e , 0 ey/2 1 f X (e ) fY ( y) dy 0, 其它 1 y/2 e , y0 得 fY ( y) 2 其它 0,
dh( y) , y x=h(y)是y=g(x) f [h( y)] fY ( y) dy 的反函数 0, 其它
其中， min g ( x ), max g ( x ),
a x b a x b
此定理的证明与前面的解题思路类似.
下面我们用这个定理来 解一个例题 .
2
1 f X ( y ) f X ( y ) , dFY ( y ) fY ( y ) 2 y dy 0,


y0 y0
1 f X ( y ) f X ( y ) , dFY ( y ) fY ( y ) 2 y dy 0,


y0 y0
例3设 X 具有概率密度 f X ( x ),求Y=X2的概率密度.
解： 设Y和X的分布函数分别为FY ( y)和FX ( x) ，
注意到 Y=X2 0，故当 y 0时，FY ( y) 0
当 y>0 时, FY ( y ) P(Y y ) P( X y ) P ( y X y ) FX ( y ) FX ( y ) 求导可得
求导得:
2 , 0 y 1 fY ( y ) 1 y 2 0, 其它
下面给出一个定理，在满 足定理条件时可直接用它求出 随机变量函数的概率密度 .
定理 设 X是一个取值于区间[a,b]，具有概率 密度 f(x)的连续型r.v,又设y=g(x)处处可导，且 对于任意x, 恒有 g ( x ) 0 或恒有g ( x ) 0 ，则 Y=g(X)是一个连续型r.v，它的概率密度为
FY ( y ) P(Y y ) P(sin X y )
=P(0 X arcsiny)+P( - arcsiny X ）
arcsin y

2x
0

2
dx arcsin y

2x

2
dx
解： 当0<y<1时,
FY ( y ) P(Y y ) P(sin X y )
f ( 0)28
X
y
f ( )28 16
X
y y 8
注意到 0 < x < 4 时， f X Fra Baidu bibliotek x ) 0
y8 fX ( )0 即 8 < y < 16 ， 2 y8 y8 ) 此时 f X ( 2 16
故
y8 , 8 y 16 fY ( y) 32 0, 其它
=P(0 X arcsiny)+P( - arcsiny X ）

(
而
arcsin y
2x
0


dx arcsin y 2
2

2x

dx 2
arcsin y
dFY ( y) fY ( y) dy
arcsin y 2 ) 1 ( )
dFY ( y) fY ( y) dy
例5 设随机变量X在(0,1)上服从均匀分布，求 Y=-2lnX的概率密度. 解： 在区间(0,1)上,函数lnx<0, 2 故 y=-2lnx>0, y 0 于是 y在区间(0,1)上单调下降，有反函数
x h( y) e y / 2
x
由前述定理得
注意取 绝对值
y/2 d ( e ) y/2 , 0 ey/2 1 f X (e ) fY ( y) dy 0, 其它
求Y=sinX的概率密度.
解：注意到, 当 0 x 时 0 y 1
故
当 y 0时, FY ( y ) 0,
当 y 1时, FY ( y ) 1
例4 设随机变量X的概率密度为
2x 2 f ( x) 0
0 x 其它
求Y=sinX的概率密度.
解：当0<y<1时,