专题06 圆锥曲线离心率及范围问题(解析版)

专题6 圆锥曲线离心率及范围问题

离心率在圆锥曲线问题中有着重要应用，它的变化会直接导致曲线类型和形状的变化，同时它又是圆锥曲线统一定义中的三要素之一．有关求解圆锥曲线离心率的试题在历年高考试卷中均有出现．关于圆锥曲线离心率（范围）问题处理的主体思想是：建立关于一个,,

a b c的方程（或不等式），然后再解方程或不等式，要注意的是建立的方程或不等式应该是齐次式．一般建立方程有两种办法：○1利用圆锥曲线的定义解决；○2利用题中的几何关系来解决问题。

另外，不能忽略了圆锥曲线离心率的自身限制条件(椭圆、双曲线离心率的取值范围不一致)，否则很容易产生增根或者扩大所求离心率的取值范围．

一、圆锥曲线的离心率

方法1：利用定义法求离心率

知识储备：椭圆和双曲线的第一定义。

方法技巧：一般情况题中出现圆锥曲线上的点与焦点联系在一起时，尽量转化为定义去考虑，会更简单！

例1.（2015年浙江15题）椭圆

22

22

1

x y

a b

+=（0

a b

>>）的右焦点(),0

F c关于直线

b

y x

c

=的对称点Q在

椭圆上，则椭圆的离心率是．

法一：（当时网上的主流解法）大家上网看到的基本上就是这种解法，此方法入手很容易，但是后期的运算量会很大，并且此题高次方程的因式分解要求很高（对大部分学生来说高次方程分解本来就是一个盲区）。

【解析】设左焦点为1F ，由F 关于直线b

y x c

=的对称点Q 在椭圆上， 得到OM QF ⊥且M 为QF 中点，

又O 为F 1F 的中点，所以OM 为中位线，且1F Q QF ⊥。 由点到线的距离公式计算得到:,bc MF a

=

再由tan b FOM c ∠=得到：2c OM a =. 所以2,bc

QF a

=212c QF a =

, 据椭圆定义：12QF QF a +=得到：2222bc c a a a

+=，化简得： b c =，即2

2e =．

通过比较我们发现法二（定义法）计算过程更加简洁，不易出错。我在给学生讲题的时候学生经常会问我，哪个时候用定义法，其实大家只要看到有曲线上的点和焦点有联系时，就可以往定义法多思考一些。

例2.（2020成都市高三模拟）. 已知点P 是双曲线22

221x y a b

-= (0,0)a b >>左支上一点，12,F F 是双曲

线的左右两个焦点，且120PF PF ⋅=，线段2PF 的垂直平分线恰好是该双曲线的一条渐近线，则离心率为 23255

【解析】由焦点到渐近线的距离为b ，得出22PF b = 再根据题意，得出2112,tan b

F P PF PF F a

⊥∠=

,所以12PF a = 根据椭圆定义：212,PF PF a -=即222b a a -=得到：2b a =， 即离心率为5e =

例3. （2018年新课标Ⅱ卷11题）已知1F ，2F 是椭圆C 的两个焦点，P 是C 上的一点，若12PF PF ⊥，且

2160PF F ∠=︒，则C 的离心率为（ ）

A

．1-

B

．2C

D

1-

1

【解析】设椭圆焦点在x 轴上，则椭圆方程为()222210,0x y

a b a b

+=>>.

因为2190F PF ∠=，2160PF F ∠=，122F F c =，所以2PF c =

，1PF 设1F 为椭圆右焦点，2F 为椭圆左焦点，则122PF PF a +=

，所以

)

12c a =，

所以

2

1

1c e a ==

==.故选D.

方法2：利用几何关系求离心率：

知识储备：初高中平面几何的全部知识都可以涉及。

例1、（2019年新课标II 文12）设F 为双曲线C ：22

221x y a b

-=（a >0，b >0）的右焦点，O 为坐标原点，以

OF 为直径的圆与圆x 2+y 2=a 2交于P 、Q

两点．若|PQ |=|OF |，则C 的离心率为 A

B

C ．2

D

【答案】A

【解析】解法一：由题意，把2c x =代入

222x y a +=，得PQ =

再由PQ OF =，得c =，即222a c =

，

所以2

22c a

=，解得c e a ==故选A ．

解法二：如图所示，由PQ OF =可知PQ 为以OF 为直径圆的另一条直径， 所以,22c c P ⎛⎫

±

⎪⎝⎭

，代入222x y a +=得222a c =

， 所以2

22c a

=，解得c e a ==故选A ．

解法三：由PQ OF

=可知PQ为以OF为直径圆的另一条直径，

则

1

22

OP a OF c

===

，

c

e

a

==故选A．

例2、(2018年新课标Ⅱ12题)已知，是椭圆的左、右焦点，是的左顶点，点在过

的直线上，为等腰三角形，，则的离心率为

A.B．C．D．

【答案】D

【解析】由题意可得椭圆的焦点在x轴上，如图所示，

设

12

||2

=

F F c，所以

12

∆PF F为等腰三角形，且

12

=120

∠F F P，

∴

212

||||2

PF F F c

==，∵

2

||

OF c

=，∴点P坐标为(2cos60,2sin60)

c c c

+，即点(2)

P c．

∵点P在过点A

=

1

4

c

a

=．∴

1

4

e=，故选D．

易错点：很多同学将点P画在了椭圆上，利用定义法求解导致错误。

例3. （2020年湖南永州市高三三模11题）已知双曲线C：()

22

22

10,0

x y

a b

a b

-=>>的左、右顶点分别为

1

F

2

F

22

22

1(0)

x y

C a b

a b

+=>>

：A C P A12

PF F

△

12

120

F F P

∠=︒C

2

3

1

2

1

3

1

4

O

y

x

P

F2

F1

A