空间几何中的点线面的投影
点线面的投影工程图学
d b
举例： 试作一直线MN与AB、CD两直线相交 , 且平行 EF 能否作？有几条？
e ’
(m ’)
(a’) b’
d
’
分析
作图环节
X
f ’
c n’ ’
ac f
（1）过m’作直线 O m’n’平行e’f’
, 且与c’d’交于 (2) n’由n’求得n
复杂－－展为平面
1. 展开
V a
●
X
ax
a● H
Z
az
O
ay
Y
不动
W a
●
Y
ay
V a
●
X ax
向下翻
Z
向右翻
az
A
●
a● H
●a
O
W
ay
Y
2. 投影规律
Z
V
a
●
az
A
X ax
●
●a
W O
a●
ay
H Y
a ●
X ax
a●
Z az
a
●
O
Y
ay
ay
Y
从投影展开图能够看出: (1) aa⊥OX轴 aa⊥OZ轴
返回
§2.3 直线旳投影（续）
四、两直线旳相对位置
1. 两直线平行
b' d'
b
V
d
a
B
c
A
C
D
a' c'
a
c
c b
a
dH
d b
投影特征:
工程制图 第三章 投影法及点线面投影
与三个投影面都倾斜
一般位置平面
工程图学基础/机械设计制图
平面对三投影面均倾斜 — 一般位置平面
V
平面相于投影面W 的位置可归纳为 几类？
H
工程图学基础/机械设计制图 Nhomakorabea一般位置平面的投影
投影特性： 三个投影都为类似形。
b c
a b a
b
c
a
c
工程图学基础/机械设计制图
V W V W
H
V
d′
B C c D d
O
c
b
b H
两直线相交吗？ 不相交！
为什么？ 交点不符合一个点的投影规律！
工程图学基础/机械设计制图
b′ V 1′ ′ 3(4 ′) c′ d′ 2 ′Ⅳ Ⅰ B ′ a A ⅢⅡ D C a 4 d
● ● ● ● ● ● ● ● ● ●
c′ a′ X a c
′ 3(4 ′)
即： AC : CB = ac : cb
B C A a c b b c a c A B C C B b A
a
工程图学基础/机械设计制图 4. 相交二直线的投影也必然相交，交点的投影必是 其投影的交点。
F
B A E b a e f a c k d C K B D
A
b
5. 两平行直线的投影仍然互相平行，且其长度之比投 影后保持不变。
投影面平行线 侧平线（平行于Ｗ面）
水平线（平行于Ｈ面） 统称特殊位置直线 正垂线（垂直于Ｖ面） 投影面垂直线 侧垂线（垂直于Ｗ面） 铅垂线（垂直于Ｈ面）
垂直于某一投影面
与三个投影面都倾斜的直线
一般位置直线
工程图学基础/机械设计制图 1）投影面平行线
点线面投影
★ 我们只讨论直线与平面中至少有一个处于特殊位置的情况。
[例3-11] 求一般位置直线MN与铅垂面ABC的交点 分析： 作图：
判可见性：
投影法
投 射 方 向
斜投影法
平行投影法
投
射
方
正投影法
向
① 中心投影法：所有的投射线都交于一个点
② 平行投影法 ： 所有的投射线都互相平行
（1）斜投影法：投射线倾斜于投影面
投 射 方 向
90°
② 平行投影法 ：所有的投射线都互相平行
（2）正投影法：投射线垂直于投影面的投影法
投 射 方 向
90°
2. 特性
2．平面上的直线
直线在平面内的条件是：通过平面内的两点或通过平 面内一点并平行于平面内的 另一直线。
(a) 通过平面内的两点
(b) 过平面内一点且平行 于平面内的一直线
[例3-9] 如图3-39a所示，已知平面△ABC上点M的正面
投影m ，求点M的水平投影m。 分析：利用点、线从属关系求出M的水平投影m。 作图：
[例3-10] 已知平面五边形ABCDE的正面投影和AB、 AE边的水平投影，试完成五边形的水平投影。
分析：利用在△ＡＢＥ上取点的方法完成水平投影。
作图
C B
I
A
E
课后作业：
《习题集》:Ｐ8 ～ 9
3-6 直线与平面、平面与平面的相对位置
相对位置包括平行、相交和垂直三种情况:
一、平行问题
包括
[例3-4] 已知点A(15,10,12)，求作点A的三面投影图。
第3章 点线面的投影
b a a b a
b
投影特性：
三个投影都为类似 形。即: 都不反映空间 线段的实长及与三个投 影面夹角的实大，且与 三根投影轴都倾斜。
三、直线上点的投影
直线上的点具有两个特性：
1 从属性 若点在直线上，则点的各个投影必在直线 的各同面投影上。 利用这一特性可以在直线上找点，或 判断已知点是否在直线上。
两直线相交吗？ ★ 同名投影可能相交， 但 “交点”不符合空间 为什么？ 一个点的投影规律。 ★ “交点”是两直线上 的一 对重影点的投影， 用其可帮助判断两直线 的空间位置。
投影特性：
例：判断两直线的相对位置
c
1 a d d 1
相交吗？
b
X
a
c 1d
b
1c
判断两直线重影点的可见性
a k● b a
●
k
b
a k●
b
因k 不在a b 上， 故点K不在AB上。
另一判断法 如何判断 ? ?
应用定比定理
例3 ：已知点K在线段AB上，求点K正面投影。
解法一： （应用第三投影）
a k
b
●
解法二： （应用定比定理）
a
a k
● ●
●
k● b
怎么做?
b
b
k● a
求出侧面投影
⒉ 两直线相交
V a
A a c k b
注意：交点 为两直线共 有！
B c b k d
C
d K D d
k
a b
H
c
a c k
d
b
投影特性：
若空间两直线相交，则其同名投影必 相交，且交点的投影必符合空间一点的投 影规律。 (反之 用于判断） 。
点线面平行投影知识点
点线面平行投影知识点下面是关于点线面平行投影的一些重要知识点：1.投影的基本概念：投影是将三维物体的所有点映射到一个二维平面上的过程。
在点线面平行投影中，物体与投影平面之间的投影关系是平行的，也就是说，物体上的平行线在投影后仍然保持平行。
2.投影平面：在点线面平行投影中，通常选择一个平行于物体的平面作为投影平面。
这个平面可以是一个垂直于地面的垂直面，也可以是平行于地面的水平面，或者是任意其他平行于物体表面的平面。
3.正交投影和斜投影：根据投影平面与物体之间的夹角，点线面平行投影可以分为正交投影和斜投影两种。
正交投影是指投影平面与物体之间的夹角为90度的情况。
在正交投影中，物体的投影与物体的外形一致，不发生形变。
这种投影方法常用于工程制图和建筑绘图中。
斜投影是指投影平面与物体之间的夹角不为90度的情况。
在斜投影中，物体的投影可能发生畸变，但仍能够反映出物体的形状和结构。
这种投影方法常用于艺术设计和插图绘制中。
4.投影方向：投影方向指的是物体在投影平面上的投影方式。
根据物体与投影平面之间的位置关系，投影方向可以分为正投影和倒投影。
正投影是指当物体向投影平面靠近时，投影呈现出与物体一致的方向。
这种投影方法常用于工程制图中。
倒投影是指当物体向投影平面远离时，投影呈现出相反的方向。
这种投影方法常用于艺术设计和插图绘制中。
5.投影比例：在点线面平行投影中，为了准确地表示物体的大小和形状，通常需要指定一个投影比例。
投影比例是指在投影平面上，物体的尺寸与实际尺寸之间的比例关系。
投影比例可以根据实际需要选择，通常为1：1、1：2或其他比例。
在绘制投影时，根据投影比例进行比例转换，可以准确地反映物体的尺寸和形状。
点线面平行投影是绘图学中的重要内容，掌握相关知识点可以帮助我们更好地理解和描述物体的形状和结构，为工程设计和艺术创作提供支持。
同时，熟练运用投影比例和投影方向，可以使投影更加准确、直观地呈现出物体的特征和属性。
第二章投影的基本知识和点、线、面的投影
第二章投影的基本知识和点、线、面的投影基本要求：建立投影的概念，掌握正投影的基本性质；掌握点线面的投影特性；根据投影能判断出点、线、面的关系。
主要内容：1、投影的基本知识；2、点的投影；3、直线的投影；4、平面的投影。
2.1 投影的基本知识一、内容：1、投影的基本概念；2、投影的类型；3、工程中常用的投影图。
二、要求及重点：要求掌握投影的基本概念；了解投影的类型、用途。
三、教学方式：通过实物及日常生活中的现象，使学生掌握投影的基本概念；了解投影的类型、用途。
2.1 投影的基本知识一、投影的概念1、在日常生活中，经常看到空间一个物体在光线照射下在某一平面产生影子的现象，抽象后的“影子”称为投影。
2、产生投影的光源称为投影中心S，接受投影的面称为投影面，连接投影中心和形体上的点的直线称为投影线。
形成投影线的方法称为投影法（图2-1）。
(a) (b)图2-1 中心投影法图2-2 平行投影法二、投影的类型投影法分为中心投影法和平行投影法两大类。
1、中心投影法光线由光源点发出，投射线成束线状。
投影的影子（图形）随光源的方向和距形体的距离而变化。
光源距形体越近，形体投影越大，它不反映形体的真实大小。
2、平行投影法光源在无限远处，投射线相互平行，投影大小与形体到光源的距离无关，如图2-2所示。
平行投影法又可根据投射线（方向）与投影面的方向（角度）分为斜投影（a）和正投影（b）两种。
(1)斜投影法：投射线相互平行，但与投影面倾斜，如图2-2(a)所示。
(2)正投影法：投射线相互平行且与投影面垂直，如图2-2(b)所示。
用正投影法得到的投影叫正投影。
三、工程上常用的投影图1、透视图用中心投影法将空间形体投射到单一投影面上得到的图形称为透视图，如图2-3。
透视图与人的视觉习惯相符，能体现近大远小的效果，所以形象逼真，具有丰富的立体感，但作图比较麻烦，且度量性差，常用于绘制建筑效果图。
图2-3 透视图图2-4 轴测图2、轴测图将空间形体正放用斜投影法画出的图或将空间形体斜放用正投影法画出的图称为轴测图。
第三讲点线面的投影
第三讲点、线、面的投影（6学时）主要内容: 1.点的投影；（2学时）2.直线的投影；（3学时）（1）直线对投影面的相对位置及投影特性；（2）直角三角形法求一般位置线的实长及对投影面倾角；（3）直线上的点/点分割线段成定比；（4）两直线的相对位置，直角投影定理。
3.平面的投影；（1学时）（1）平面的表示法与投影特性（2）平面上的点和线教学目的: 1.掌握点线面在三面投影体系中的正投影规律；2.掌握点直面在第一角投影中各种位置的投影特性和作图方法；3.掌握直线对投影面的倾角、线段实长和平面图形实形的求法。
学时分配: 6学时（理论学时）教学方式:多媒体教学与普通教学结合。
第一节点的投影（2学时）一.点的二面投影1.二面投影体系的建立及点的二面投影点是形体最基本的元素。
在几何学中无大小、薄厚、宽窄，只占有位置。
空间点用大写字母表示，投影点用小写字母表示。
如图3-1所示，设立一个投影面P，则A1、 A2、 A3点在投影面P上的正投影是唯一的。
但反过来，若知道了点的一个投影，却不能确定点的空间位置（缺少一个坐标）。
因此要确定一个点的空间位置，只有一个投影是不够的。
如图3-2所示，设立两个互相垂直的投影面正立投影面V （也称正面或V 面）、水平投影面H （也称水平面或H 面），从而构成二投影面体系。
V 面和H 面的交线OX 称为投影轴。
A 点的在V 面上的投影称为A 点的正面投影或A 点的正投影、A 点的V 投影，用a’表示。
A 点的在H 面上的投影称为A 点的水平投影或A 点的H 投影，用a 表示。
我们需要把这种空间关系在一种图纸上（一个平面上）表达出来。
保持V 面不动，H 面绕OX 轴向下旋转90º直至与V 面重合，从而得到点的二面投影图。
为简便起见，投影图中投影面的边框不必画出，如图3-3所示。
在点的二面投影体系中，X 、Y 、Z 三个坐标均能体现，故点的二面投影就唯一确立了点在空间的相对位置（相对二面投影体系）。
第3章-点线面投影
V面倾斜
a”b”与OYW夹角反映α实际大小，
编辑a版”pbp”t 与OZ夹角反映β实际大小。 22
投影面平行线的投影特性
名称 水平线(‖H面，对V、W面 正平线(‖V面，对H、W面 侧平线(‖W面，对H、V
b=AB；
1.正面投影a’b’=AB；
1.侧面投影a”b”=AB；
– 点的三面投影及其规律，两点的相对位置；
– 各种位置直线的投影特点，直角三角形法求直 线的实长，两直线的相对位置；
– 各种平面的表示法，各种位置平面的投影特点， 直线与平面、平面与平面的相对位置。
编辑版ppt
3
3.1 三面投影体系与物体的三视图
一、三投影面体系与物体的三视图 1.单面投影
空间形体1
水平投影ab‖ OX，侧面投影 a”b” ‖OZ，都不反映实长；
a’b’与OX夹角反映α实际大小，
a’b’与OZ夹角反映γ实际大小。
编辑版ppt
21
2.投影面平行线——侧平线
直线AB与哪个投影面 平行？
实长
侧面投影a”b”=AB；
平行于W面，对H、
水平投影ab‖ OYH，正面投影 a’b’ ‖OZ，都不反映实长；
性 大小。
实际大小。
A、B为基于H面的重影点。
编辑版ppt
不可见点一般 加括号表示
思考：基于V面、W面的重 影点的投影图。
15
3.3 直线的投影
两点确定一条直线，将两点的同名投影用直线 连接，就得到直线的同名投影。
编辑版ppt
16
一、直线的投影特性
⒈ 直线对一个投影面的投影特性
垂直于投影面； 直线平行于投影面； 直线倾斜于投影面；
正垂线（垂直于Ｖ面） 侧垂线（垂直于Ｗ面） 铅垂线（垂直于Ｈ面）
第四章点线面的投影 (1)
Δy
ΔΖ
β
Δy α 实长
例2 已知直线AB的H投影及a′,其α为30°，求AB的 V投影。
b'
△Z
△Z
α
例3 已知ab，b′，β=30°,求a′b′。 a′
b′
a′b′
b
60°
a
例4 已知AB实长40㎜，点A距V面30㎜，求ab， 问有几解？
例5 已知AB＝40㎜，α＝30°，β=45°，求AB的两投影。
用定比关系,如图中的（2）。
三、交叉两直线—既不平行又不相交的两条 直线
（ 1）
（ 2）
（ 3）
投影特性：交叉两直线的投影可能表现为相互平
行，但不可能所有同面投影均平行，如上图中 （1）;交叉两直线的投影也可能表现为相交，但 同面投影的交点不是真正交点的投影,不满足投影 规律，如上图示（2）、（3）。
例3
求AB、CD的公垂线（或距离）。 a' n' b' n a(b)
距离
c' m'
d'
c
m d
作业：
P21-28。
§4-6 平面的投影
平面的表示方法 平面的分类及其投影特性
一、平面的表示方法
b' a' b a c c' a' b b' c'
a
不在一条直线 上的三个点
c
直线及直线 外一点
a′ b′
a〞 b〞
a b
若zA ＞ zB ，表示A在B之上。
右图中,A在B的左后上方。
重影点及其可见性判定：
如果空间两点恰好位于某一投影面的一条垂 线上，该两点在该投影面上的投影重合为一点， 则称这两点为对该投影面的重影点。
《机械制图》教案——第二章-2 点线面的投影
点、直线和平面的投影教学目的要求:1.点的投影及作图.2.各种位置直线的投影,及两直线的相对位置.3.直角三角形法求直线的实长和倾角,直角定理.4.各种位置平面的投影,平面上取点取线的作图.教学重点难点:1.各种位置直线的投影.2.各种位置平面的投影.3.平面上取点取线的作图.学时: 3§ 1点的投影1.1点的三面投影本节教学目标：点在第一分角中各种位置的投影特性和作图方法。
重点：点在两投影面体系及三投影面体系中的投影，两点的相对位置及重影点的投影。
难点：重影点的投影。
引入：点是最基本的几何元素，以此来分析点在空间中的位置关系及规律。
1.1.1三面投影的规律点的三面投影：水平投影 a → H正面投影 a´→ V侧面投影 a″→ W点的三面投影规律：a′a ⊥ oxa′a″⊥ oza aх =a″az1.1.2点的投影与坐标的关系一、三投影面体系中点的投影A a = a′ax = a″ay = 高标（Z标）A a′= a ax = a″az = 纵标（Y标）A a″= a′az = aay = 横标（X标）V、H 投影反映XV、W 投影反映ZH、W 投影反映Y1.点在三投影面体系中的投影空间点 A的位置确定后，那么它的三面投影（ a、a′、 a″）投影就确定了，反之如果空间一点的三面投影确定，则空间点的位置也就确定。
2.术语及规定习惯上我们将空间点用大写的字母表示，其投影用相应的小写字母表示。
3.投影性质点的两投影的连线垂直于相应的投影轴；点的投影到投影轴的距离反映空间点到投影面的距离。
二、特殊位置点的投影1.其他分角内的点两投影面体系——四分角；三投影面体系——八分角。
2.其他情况投影面上的点的投影关系；投影轴上的点的投影关系1.2两点的相对位置和重影点1.2.1两点的相对位置根据两点相对于投影面的坐标不同，即可确定两点的相对位置。
XA<XB B点在A左方 YA>YB B点在A点后方 ZA>ZB B点在A点下方例：比较三棱锥四个顶点S、A、B、C的位置。
点线面的投影
点线面的投影投影是几何学中一个重要的概念，用来描述物体在不同维度中的影子或映像。
在三维空间中，投影通常分为点投影、线投影和面投影三种形式。
本文将对点线面的投影进行讨论，并探索其在现实生活中的应用。
一、点的投影点的投影是指当一个点在一个平面上投影时，与该点连线垂直于平面的投影点。
这个投影点可以将原始点的位置在平面上进行准确表示，而不会改变该点的其他性质，如颜色、大小等。
在现实生活中，点的投影有着广泛的应用。
例如，在建筑设计中，建筑师需要通过对建筑物顶部的点进行投影来确定其在平面图上的位置。
同样，在地图制作中，将地球上各个城市的经纬度进行投影来绘制平面地图也是常见的应用。
二、线的投影线的投影是指当一条线在三维空间中投影到一个平面上时，将线段两个端点对应连接起来的线段。
线的投影可以更直观地展示出线在平面上的位置和方向。
线的投影在工程和制图中有着广泛的应用。
例如，在建筑设计中，工程师可以通过将建筑物的立面进行投影，来更好地展示建筑物的外观和形状。
此外，在工程测量中，通过线的投影可以准确地测量出建筑物内部的各种线段长度和角度，为工程施工提供了重要的参考。
三、面的投影面的投影是指当一个平面在三维空间中投影到另一个平面上时，将原始平面的各个顶点在投影平面上对应连接起来的多边形。
面的投影能够完整地展示出原始平面的形状和大小。
面的投影在几何学和地理学中都有着广泛的应用。
例如，在地图投影中，通过将地球表面的多个面投影到一个平面上，可以制作出我们常见的地图样式。
此外，在几何学研究中，通过面的投影可以确定不同形状的二维图形，为解决问题提供了重要的思路。
总结起来，点线面的投影是几何学中重要的概念，用来描述物体在不同维度下的影子或映像。
它们在建筑设计、地图制作、工程测量等领域都有着重要的应用。
通过理解和应用投影，我们可以更好地理解和展示物体的形状、位置和方向，为解决实际问题提供了有力的工具。
以上是对点线面的投影的简要介绍，希望能够帮助您更好地理解和应用投影的概念。
空间几何图形的投影与展开
空间几何图形的投影与展开一、投影的概念与分类1.投影的概念：在空间几何中，投影是指将一个物体在某一平面上的影子。
a)正投影：光线垂直于投影平面时产生的投影，称为正投影。
b)斜投影：光线不垂直于投影平面时产生的投影，称为斜投影。
二、常见几何体的投影1.点、线、面的投影：a)点的投影：点在投影平面上的投影为一个点。
b)线的投影：线在投影平面上的投影为一条线段。
c)面的投影：面在投影平面上的投影为一个平面图形。
2.柱体、锥体、球体的投影：a)柱体的投影：柱体在投影平面上的投影为一个矩形。
b)锥体的投影：锥体在投影平面上的投影为一个三角形。
c)球体的投影：球体在投影平面上的投影为一个圆。
三、投影的基本性质与变化规律1.投影的基本性质：a)真实性：投影是对物体的一种真实表达，不会改变物体的形状和大小。
b)唯一性：同一物体在同一时刻，在某一平面上的投影是唯一的。
c)相似性：投影图形与原物体形状相似，但大小可能不同。
2.变化规律：a)平行投影：物体在同一时刻，在不同的投影平面上，投影的大小和形状相同，但位置可能不同。
b)中心投影：物体在同一时刻，在以物体为中心的投影平面上，投影的大小和形状相同，且位置固定。
四、展开的概念与分类1.展开的概念：展开是将一个空间几何图形沿着某一平面展开成一个平面图形的过程。
a)平面展开：将空间几何图形展开成一个平面图形。
b)立体展开：将空间几何图形展开成多个平面图形的组合。
五、常见几何体的展开1.柱体的展开：柱体的展开为一个矩形。
2.锥体的展开：锥体的展开为一个扇形。
3.球体的展开：球体的展开为多个圆的组合。
六、展开的基本性质与变化规律1.展开的基本性质：a)真实性：展开是对物体的一种真实表达，不会改变物体的形状和大小。
b)唯一性：同一物体在同一时刻，展开后的平面图形是唯一的。
c)连续性：展开后的平面图形应保持物体表面的连续性。
2.变化规律：a)顺时针展开：在展开过程中，按照顺时针方向进行展开。
点线面的投影
点线面的投影在几何学中，点、线和面是三个基本的几何元素。
它们在空间中存在并相互作用，而投影是一种描述它们相对位置和形状的方法。
通过投影，我们可以将三维物体映射到二维平面上，以便更好地理解和分析。
本文将探讨点、线和面的投影原理及应用。
一、点的投影点是几何学中最简单的元素，其投影是指将点映射到某一平面上的一个影子或影像。
在平行投影下，点的投影与实体点重合，两者在平面上完全重合。
然而，在斜投影或透视投影中，点的投影位置会发生变化。
斜投影会改变点在投影平面上的位置，而透视投影则会根据观察者的位置造成远近关系的变化。
二、线的投影与点不同，线是由无数个点构成的连续集合。
线的投影可以被定义为将线上的点映射到平面上的一系列点，这些点对应于线上的相应点。
在平行投影中，线的投影并不会改变线的倾斜度或长度。
然而，在斜投影或透视投影中，线的投影会出现倾斜或变形。
在斜投影中，线的投影位置与线的实体位置相同，但其倾斜度会影响投影的形状和方向。
而透视投影中，线的投影会根据观察者的位置和线的走向发生变化。
观察者位于线的无限远点时，线的投影平行且与线重合；观察者靠近线时，线的投影会变短。
三、面的投影面是由无数个线组成的集合，其投影可以被定义为将面上的点映射到平面上的一系列点，这些点对应于面上的相应点。
与线的投影相似，在平行投影中面的投影并不会改变面的形状。
在斜投影中，面的投影位置与面的实体位置相同，但其形状可能会有所变化。
观察者位于面的无限远点时，面的投影是平行的，并且形状与原面相同。
然而，当观察者靠近面时，投影可能会发生变形，并在平面上产生不同的形状。
四、投影的应用投影在许多领域中都有广泛的应用。
在建筑学中，通过绘制建筑物的投影，可以更好地呈现立体结构的设计。
在工程学中，投影被用于绘制图纸和设计机械零件。
在计算机图形学中，投影被用于模拟三维场景并呈现在二维屏幕上。
此外，投影还在艺术和摄影中扮演重要的角色。
通过控制光线的方向和投射角度，艺术家可以捕捉到真实物体的形状和纹理，并将其投影到画布或照片上。
中考重点点线面的投影
中考重点点线面的投影中考重点：点线面的投影1. 点的投影在几何学中，点的投影是指将一个点在平面上投影到另一个平面上形成的图形。
点的投影一般分为垂直投影和斜投影。
垂直投影：当一个点在平面上投影到垂直平面上时，投影点位于垂直平面上的垂直线上，且与原点距离相等。
例如，当一个点A位于平面上，投影面为垂直平面BCD时，投影点B位于垂直线AE上，并且线段AB与点A的距离相等。
斜投影：当一个点在平面上投影到斜面上时，投影点位于斜面上的投影线上，且投影线段的长度与点A到斜面的距离成比例。
例如，当一个点A位于平面上，投影面为斜面BCD时，投影点B位于线段AE 上，并且线段AB与线段AE的长度比等于AB与点A的距离与两个平行面的距离之比。
2. 线的投影线的投影是指将一个线段在一个平面上投影到另一个平面上形成的图形。
线的投影一般分为垂直投影和斜投影。
垂直投影：当一个线段在平面上投影到垂直平面上时，投影线段与原线段平行，并且长度相等。
例如，当线段AB在平面上投影到垂直平面BCD上时，投影线段A'B'与线段AB平行且长度相等。
斜投影：当一个线段在平面上投影到斜面上时，投影线段位于斜面上的投影面上，并且投影线段的长度与原线段长度成比例。
例如，当线段AB在平面上投影到斜面BCD上时，投影线段A'B'位于斜面上的投影面上，并且线段A'B'的长度与线段AB的长度成比例。
3. 面的投影面的投影是指将一个面在一个平面上投影到另一个平面上形成的图形。
面的投影一般分为垂直投影和斜投影。
垂直投影：当一个面在平面上垂直投影时，投影面与原面平行，并且形状相同。
例如，当一个正方体面在平面上垂直投影时，投影形状为相同的正方形。
斜投影：当一个面在平面上斜投影时，投影面与原面不平行，并且形状不同。
例如，当一个正方体面在平面上斜投影时，投影形状为一个菱形。
总结：点线面的投影在几何学中是一个非常重要的概念，它们在平面几何和空间几何中有着广泛的应用。
正投影与三视图正确地分析和判断空间中的点线面的位置
2、三视图的形成 将物体放在三面投影体系内，分别向三个投影面投射，V 面保持不动，H面向下绕OX轴旋转90˚，W面向右绕OZ 轴旋转90˚。得到物体的三视图：主视图（V面上）、俯视 图（H面上）、左视图（W面上），如图所示。
图2-3 三视图的形成
三视图画图要求： 1、投影面边框及投影轴不画。 2、三个视图相对位置不能变动。 3、三个视图名称不必标。
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正投影的基本投影特性
2.2 三视图的基本原理 视图：据制图标准规定，用正投影法所绘制的物体图形。 1、三投影面体系
一般只用一个方向的投影来表达形体是不确定的，通常须将形体 向几个方向投影，才能完整清晰地表达出形体的形状和结构。
设立三个互相垂直的平 面，叫做三投影面。这 三个平面将空间分为八 个部分，每一部分叫做 一个分角，分别称为Ⅰ 分角、Ⅱ分角…… Ⅷ分 角，如图所示。我们把 这个体系叫三投影面体 系，国家标准《机械制 图》(GB4458.1–84)规 定“采用第一角投影法”
三视图配置
3、三视图的投影关系 （1）每个视图所反映的形体尺寸情况
主视图 —— 反映了形体的高度尺寸和的长度尺寸。 俯视图 —— 反映了形体的长度尺寸和的宽度尺寸。 左视图 —— 反映了形体的高度尺寸和的宽度尺寸。
（2）投影规律（尺寸关系） 投影规律：主、俯视图长对正，主、左视图高平齐，俯、 左视图宽相等，即“长对正，高平齐，宽相等”。 特别提示：画图、读图时都应严格遵循和应用。 （3）位置关系：如图 （4）方位关系 任何形体在空间都具有上、下、左、右、前、后六个方位， 形体在空间的六个方位和三视图所反映形体的方位 主视图—反映了形体的上、下和左、右方位关系； 俯视图—反映了形体的左、右和前、后方位关系； 左视图—反映了形体的上、下和前、后位置关系。
点线面的投影
第二章点、直线、平面的投影§2.1 投影法工程式样，工程技术等问题，一般都采用工程图样来表示．工程图样根据使用要求和使用场合的不同，获得的方法也不同．在绘制工程图样时，通常采用投影法．所谓投影法，就是用投影的方法获得图样．在日常生活中，人们常见到，当物体受到光线照射时，在物体背光一面的地上或墙上就会投下该物体的影子，这就是投影．这样的影子只能反映该物体的轮廓形状，不能反映物体内外各部分的具体形状，在工程上没有实用价值．经过人们长期研究，对日常生活中的投影加以提炼，对物体内外各部分的所有空间几何元素(点、线、面) 用各种不同的线型加以具体化，从而形成工程上实用的、完整的投影法．投影法一般分为两类：中心投影法和平行投影法．一中心投影法如图 2.1 所示，投影线都自投影中心S出发，将空图2.1 中心投影法间△ABC投射到投影面P上，所得△abc就是ABC的投影．这种投影线都从投影中心出发的投影法，称为中心投影法．所得的投影称为中心投影．中心投影法主要用于绘制建筑物或产品的富有逼真感的立体图，也称透视图．二平行投影法若将投影中心S移到无穷远处，则所有的投影线就互相平行，这种投影线互相平行的投影法称为平行投影法，见图 2.2，所得投影称为平行投影．(a) 正投影法(b) 斜投影法图2.2 平行投影法平行投影法中，若投影线垂直于投影面，称为正投影法，所得投影称为正投影．投影线也可以倾斜于投影面，称为斜投影法，所得投影称为斜投影。
正投影法主要用于绘制机械图样．斜投影法主要用于绘制有立体感的图形．三正投影法的主要特性点在任何情况下的投影都是点．为了充分反映正投影法的投影特性，我们对直线和平面的投影进行阐述．直线和平面与投影面之间的位置关系只有三种：平行、垂直、倾斜．若直线和平面就在投影面上，则可归入平行即可．在这三种情况下．直线和平面的投影见表 2.1．表2.1 正投影法下直线和平面的投影特性位置关系与投影面∥与投影面⊥与投影面∠类别直观图投影图直观图投影图直观图投影图直线平面投影特性实形性积聚性类似性从表 2.1 中可见，当直线和平面与投影面平行时，则投影反映实形(长)，这种投影直观，便于度量．当直线和平面与投影面垂直时，则投影反映积聚，这种投影简单，便于作图．当直线和平面与投影面倾斜时，则投影反映类似形状，这种投影便于检查错误．实形性、积聚性、类似性满足了工程上经济、实用的原则，正因为这种优越性，所以，国家标准规定所有机械图样一律采用正投影法绘制．§2.2 三视图的形成及其投影规律上一节已阐述了绘制机械图样所采用的投影方法。
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空间几何中的点线面的投影在空间几何中，投影是一种常见的几何现象。
当我们将一个三维物体投影到一个平面上时，就形成了物体在平面上的投影。
投影可以用来描述物体的形状、大小和位置，并在设计、建筑、绘画等领域有着广泛的应用。
本文将探讨空间几何中的点线面的投影。
一、点的投影
在空间几何中，点的投影是最简单的形式。
当我们将一个点投影到一个平面上时，投影点与原点和平面上的投影点连线构成一条垂线。
投影点表示了点在平面上的位置。
投影点的坐标可以通过相似三角形关系来求解。
设点的坐标为P(x, y, z)，平面的方程为ax + by + cz + d = 0。
过点P作平面的垂线，与平面的交点为Q(x', y', z')。
根据相似三角形关系，我们可以得到以下的投影坐标公式：
x' = x - (ad+bc)/(a^2+b^2+c^2)
y' = y - (bd+ac)/(a^2+b^2+c^2)
z' = z - (cd+ab)/(a^2+b^2+c^2)
通过这些公式，我们可以求得点P在平面上的投影坐标。
二、线的投影
线的投影是点的投影的延伸。
当一条直线在空间中移动时，其投影在平面上会呈现出不同的形态。
我们可以通过线的投影来观察直线在平面上的位置关系以及交点的情况。
对于一条直线，我们可以通过将直线上的点进行投影，形成一系列位于平面上的点，连接这些点就可以得到直线的投影。
直线在平面上的投影也可以用参数方程表示，该参数方程描述了直线上每个点在平面上的投影坐标。
三、面的投影
面的投影是最复杂的形式。
当一个三维面体在空间中移动时，其投影在平面上会形成一个多边形。
投影多边形可以用来描述面体在平面上的形状和大小。
对于一个面体，我们可以将其每个点进行投影，从而形成一个多边形的顶点集合。
连接这些顶点，即可得到面的投影多边形。
投影多边形可以通过面体的参数方程和平面的方程来求解。
总结：
在空间几何中，点线面的投影是一种常见的几何现象。
通过点线面的投影，我们可以描述物体在平面上的形状、大小和位置。
投影的计算可以通过相似三角形关系和参数方程来进行。
在实际应用中，投影在设计、建筑、绘画等领域有着广泛的应用，深入理解和掌握空间几何中的点线面的投影对于这些领域的专业人士来说十分重要。
观察和研究物体的投影有助于我们理解空间中的几何关系，并在实
际应用中提供了建模和设计的依据。
通过学习和探索空间几何的投影，我们可以更好地理解三维空间的形状和结构，为解决实际问题提供有
力支持。