《三角形的证明》复习课件

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北师大版八年级下册数学《三角形内角和定理的证明》证明说课教学复习课件

设计意图：通过此种方法的折叠使学生了解运用折纸的方法证明三角形内角和定理，发展学生的空间想象能力。
动手实践，尝试发现
剪拼活动：
将角Ａ和角Ｂ裁下，拼在角１与角２的位置（注意剪裁线应为折线）
设计意图：1、通过剪纸活动，让学生初步体会到三
角形内角和为1800； 2、通过剪纸活动，锻炼学生的动手能力与合作探
设计意图：让学生在今后的证明中能灵活应用。
课堂小结
学了本节你能回答下列问题吗？ 1、三角形内角和定理是什么？ 2、三角形内角和定理的证明有哪几种方法？ 3、在证明三角形内角和定理的过程中，最重要的
是什么？如何作？
活动内容：学生用自己的语言总结，学生之间相互
补充。
设计意图：总结复习巩固本课知识，提高学生的
三角形的有关知识是“空间与图形”中最为核心、最为重要的内容，它不仅是最基本的直线型平面图形，而且几乎是研究所有其它图形的工具和基础，而三角形内角和定理又是三角形中最为基础的知识。
➢教学目标与教学重、难点分析
教学目标: 知识与技能： 1、理解三角形内角和定理； 2、掌握三角形内角和定理的证明方法； 3、会用三角形内角和定理进行证明和解决其他相关问题。过程与方法：
知识的独特理解和感受，激发学生的求知欲望，创造性的使用教材。
4、课堂组织有效，能够充分的调动学生动手动脑，气氛较好。
5、重、难点把握得到，，突出了重点，突破了难点。 6、教师语言精练，教态亲切自然，讲求教学艺术。 7、当堂训练到位，且有梯度，符合教学实际。
缺点：时间把握不够恰当，教学节奏慢
以疑引入
2、三角形内角和定理的内容，学生在小学已经熟悉，但在小学是通过实验得出的，要向学生说明证明的必要性，同时说明今后在几何里，常常用这种方法得到新知识，而定理的证明需要添辅助线，让学生明白添辅助线是解决数学问题（尤其是几何问题）的重要思想方法，它同代数中设末知数是同一思想。

三角形的证明复习

三角形的证明复习（ 1）一、知识点总结：1、全等三角形的判断方法有SAS、ASA、 SSS、AAS、HL2、直角三角形的判断方法有（1）定义法（2）勾股定理的逆定理直角三角形的全等的判断方法有SAS、 ASA、AAS、 HL。

3、等腰三角形的性质：（ 1）等腰三角形的两腰，两底角。

（ 2）等腰三角形是图形。

（ 3）等腰三角形“三线合一”的内容是。

4、等边三角形的性质：（ 1）等边三角形是特其他三角形。

（ 2）等边三角形的三边分别，三角分别等于。

5、在直角三角形中 , 若是一个锐角等于30o ,那么。

二、填空题：1、已知，等腰三角形的一条边长等于6，另一条边长等于 3，则此等腰三角形的周长是15（6、6、3）2、已知，等腰三角形的一条边长等于5，另一条边长等于 3，则此等腰三角形的周长是13 或 11（5、5、3）（5、3、3）3、等腰三角形的一个内角是40 度，则它的另两个角是40 度和 100 度或 70 度和70度。

4、等腰三角形的一个内角是140 度，则它的另两个角是20 度和 20 度5、（1）、在等腰△ ABC中，若 AD是∠ BAC的均分线，则AD ⊥ BC 、BD=DC 。

（2）、在等腰△ ABC中，若 AD是 BC边上的高，则 AD是∠ BAC的均分线、BD=DC。

（3）、在等腰△ ABC中，若 AD是 BC边上的中线，则 AD ⊥ BC、∠BAC的平分线ABCD6、已知，如右图，等腰△ABC， AB=AC：（1）若 AB=BC，则△ ABC为__________三角形；（2）若∠ A=60°，则△ ABC为 __________三角形；（3）若∠ B=60°，则△ ABC为 __________三角形 .7、如图，△ ABC 是等边三角形， AD⊥ BC， DE⊥ AB，垂足分别为D，E，若是AB=8 cm，则 BD=______cm，∠ BDE=（________）° , BE=_______cm.三、解答题：8、如图，在△ ABC中， AB=AC，BD⊥AC， CE⊥AB， O是 BD与 CE的交点，求证：BO=CO.9、如右图，已知△ ABC和△ BDE都是等边三角形，求证：AE=CD.10、已知：如图， D 是△ ABC 的 BC 边上的中点， DE⊥ AC， DF⊥ AB ，垂足分别是 E、F，且 DE=DF. 求证：△ ABC 是等腰三角形 .AF EB D C11、如图，在△ ABC 中， AB=AC ，AB 的垂直均分线交 AC 于点 E，已知△ BCE 的周长为 8，AC －BC=2. 求 AB 与 BC 的长 .ADEB C12、已知，如图，在△ ABC 中，已知 AC=27 ，AB 的垂直均分线交 AB 于点 D，交AC 于点 E，△ BCE 的周长等于 50，求 BC 的长。

沪科版数学八上13.三角形内角和定理的证明课件(共15张)

13.2 命题与证明
第3课时三角形内角和定理的证明
学习目标
1.会用平行线的性质与平角的定义证明三角形内角和定理.（重点）
2.会运用三角形内角和定理进行计算.（难点）
知识讲授
一、三角形内角和定理的证明
三角形内角和定理
三角形三个内角的和等于180°.
前面已经学习了用拼接的方法验证三角形的内角和等于180°，你
∴ ∠ ＝ 180° − ∠ − ∠ ＝ 180° − 90° − 54°＝ 36° .
∴ ∠ ＝∠ − ∠ ＝ 44° − 36°＝ 8° .
随堂训练
1.如图，AE是△ABC的角平分线，AD⊥BC
于点D，若∠BAC＝130°，∠C＝30°，则
∠DAE的度数是 5° .
3.如图,AE是 △ABC的角平分线.已知∠B=45°,∠C=60°,求
∠BAE和∠AEB的度数.

解：∵ＡE是△ABC的角平分线，
1
∴∠CAE=∠BAE= ∠BAC.
2
∵ ∠BAC+∠B+∠C=180°,

∴∠BAC=180°－∠B－∠C=180°－45°－60°=75°，
∴∠BAE=37.5°.
A
(两直线平行，同旁内角相补)
E
∴ ∠A=∠EDF.
F
∵∠EDB+∠EDF+∠FDC=180°，
∴∠A+∠B+∠C=180°.
B
想一想：同学们还有其他的方法吗？
D
C
思考：多种方法证明三角形内角和等于180°的核心是什么？
A
A
A
D
C
B
1
2
B

l
4

三角形的外角及常见结论的证明复习课件人教版八年级上册

4、如图，已知△ABC中，∠A沿着EF翻折到∠A’,
解：因为∠ADC是△ABD的外角. 说出下列图形中∠1和∠2的度数：
A
所以∠ADC=∠B+∠BAD=80°.
（1）位置关系：相邻和不相邻.
外角大于不相邻的任何一个内角.
所以∠ADC=∠B+∠BAD=80ห้องสมุดไป่ตู้.
探究1：三角形外角的性质解：因为∠ADC是△ABD的外角. 如图，求证：∠BDC= ∠B+ ∠C+ ∠BAC
＿＿36＿0°＿.
B
A
C
1
P
N3
2M
F
D
E
2 .如图，D 是△ABC 的BC边上一点,∠B =∠BAD, ∠ADC =80°， ∠BAC =70°，求：（1）∠B 的度数；（2）∠C 的度数.
解：因为∠ADC是△ABD的外角.
所以∠ADC=∠B+∠BAD=80°.
又因为∠B=∠BAD，
所以B 80 1 40, 在△ABC中： 2
.
80 ° ∠ACD = ∠A +∠B.
∠C=180º-40º-70º=70°. 1、如图，试求出∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F =＿＿＿＿.
6、如图所示，已知△ABC ，∠CBD和∠BCE的角平分
60 ° 1 请用三种不同的方法证明该结论！
如图，求证：∠BDC= ∠B+ ∠C+ ∠BAC ∠1+ ∠2+ ∠3=？
∠B+∠BAC+∠C=180°， ∠C=180º-40º-70º=70°.
A
70°
40°
80°
B
D
C
课堂小结

北师大版八年级数学下册第一章三角形的证明串讲课件

2.
【例5】用反证法证明
1. 等腰三角形的底角是锐角。 2. 求证：一个三角形中，如果两个角不相等，那么它们所对的边也不相等。 3. 证明：三角形中至少有一个角不小于60°。
六．等腰三角形中的多解问题——分类讨论【例6】 a) 等腰三角形的两边长分别是4和5，这个三角形的周长是（） b) 等腰三角形的两边长分别是4和8，这个三角形的周长是（） c) 等腰三角形一腰上的中线把该三角形的周长分为12和15两部分，求该三角形各边的长。（8、8、11；10、10、7） d) 等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°则等腰三角形的顶角为（）°
【例2】
① 证明等边三角形的性质定理（略） ② 如图1， ABC中，AB=AC，点D是BC的中点，点E在AD上，
a) 求证：BE=CE b) 如图2，若BE的延长线交AC于F点，且BF⊥AC，垂足为F，∠BAC=45°，原题其它条件不变，求证：△AEF≌△BCF
A 图1 图2 A
E B D C B
第一章三角形的证明
八年级（下册）
点→线（两点定线）→角（两线）→（面）图→体
学习几何基本规律
一个图（三角形、四边形---）形的定义，性质，判定
两个图形之间的关系：全等、相似、对称、位似----
两次翻折=一次平移
对称旋转
全ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ变换
平移
形状大小都不变
• 图形变换
翻折
相似变换（形状不变大小变）如：位似变换。
（2）求证：⊿CEF是等边三角形 M
E F
N
A
C
B
五．反证法
1. 定义：先假设命题的结论不成立，然后推导出与定义、基本事实、已有定理或已知条件相矛盾的结果，从而证明命题的结论一定成立。这种证明方法称为反证法。反证法——常用的间接证明法。步骤：

《三角形的证明》全章复习与巩固--知识讲解(基础)

《三角形的证明》全章复习与巩固（基础）知识梳理【要点】要点一、等腰三角形1.三角形全等的性质及判定全等三角形的对应边相等，对应角也相等.判定：SSS、SAS、ASA、AAS、HL.2.等腰三角形的判定、性质及推论性质：等腰三角形的两个底角相等（等边对等角）判定：有两个角相等的三角形是等腰三角形（等角对等边）推论：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（即“三线合一”）3.等边三角形的性质及判定定理性质定理：等边三角形的三个角都相等，并且每个角都等于60°；等边三角形是轴对称图形，有3条对称轴.判定定理：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形；三个角都相等的三角形是等边三角形.4.含30°的直角三角形的边的性质定理：在直角三角形中，如果一个角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半. 要点诠释：等边三角形是中考中常考的知识点，并且有关它的计算也很常见，因此对于等边三角形的特殊数据要熟记于心，比如边长为a的等边三角形它的高是32a，面积是234；含有30°的直角三角形揭示了三角形中边与角的关系，打破了以往那种只有角或边的关系，同时也为我们学习三角函数奠定了基础.要点二、直角三角形1.勾股定理及其逆定理定理：直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方.逆定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形.2.命题与逆命题命题包括题设和结论两部分；逆命题是将原命题的题设和结论交换位置得到的；3.直角三角形全等的判定定理定理：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（HL）.要点诠释：①勾股定理的逆定理在语言叙述的时候一定要注意，不能说成“两条边的平方和等于斜边的平方”，应该说成“三角形两边的平方和等于第三边的平方”.②直角三角形的全等判定方法，还有SSS,SAS,ASA,AAS,HL一共有5种判定方法.要点三、线段的垂直平分线1.线段垂直平分线的性质及判定性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.判定：到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.2.三角形三边的垂直平分线的性质三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等.3.如何用尺规作图法作线段的垂直平分线分别以线段的两个端点A、B为圆心，以大于12AB的长为半径作弧，两弧交于点M、N；作直线MN，则直线MN就是线段AB的垂直平分线.要点诠释：①注意区分线段的垂直平分线性质定理和判定定理,注意二者的应用范围；②利用线段的垂直平分线定理可解决两条线段的和距离最短问题.要点四、角平分线1.角平分线的性质及判定定理性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等；判定：在一个角的内部，且到角的两边的距离相等的点，在这个角的平分线上.2.三角形三条角平分线的性质定理性质：三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等.3.如何用尺规作图法作出角平分线要点诠释：①注意区分角平分线性质定理和判定定理,注意二者的应用范围；②几何语言的表述，这也是证明线段相等的一种重要的方法.遇到角平分线时，要构造全等三角形.【典型例题】类型一、三角形的证明1. 已知：点D是△ABC的边BC的中点，DE⊥AC，DF⊥AB，垂足分别为E，F，且BF=CE．求证：△ABC是等腰三角形．【思路点拨】欲证△ABC 是等腰三角形，又已知DE ⊥AC ，DF ⊥AB ，BF=CE ，可利用三角形中两内角相等来证明．【答案与解析】证明：∵D 是BC 的中点，∴BD=CD ，∵DE ⊥AC ，DF ⊥AB ，∴△BDF 与△CDE 为直角三角形，在Rt △BDF 和Rt △CDE 中，,BF CE BD CD=⎧⎨=⎩ ∴Rt △BFD ≌Rt △CED （HL ），∴∠B=∠C ，∴AB=AC ，∴△ABC 是等腰三角形．【总结升华】考查等腰三角形的判定方法及全等三角形的判定及性质；充分利用条件证明三角形全等是正确解答本题的关键．举一反三：【变式1】（2015秋•江阴市校级期中）已知：如图，△AMN 的周长为18，∠B ，∠C 的平分线相交于点O ，过O 点的直线MN ∥BC 交AB 、AC 于点M 、N ．求AB+AC 的值．【答案】解：∵MN ∥BC ，∴∠BOM=∠OBC ，∠CON=∠OCB ，∵∠B ，∠C 的平分线相交于点O ，∴∠MBO=∠OBC ，∠NCO=∠OCB ，∴∠MBO=∠BOM ，∠NCO=∠CON ，∴BM=OM ，CN=ON ，∵△AMN 的周长为18，∴AM+MN+AN=AM+OM+ON+AN=AM+BM+CN+AN=AB+AC=18．【变式2】如图，在△ABC 中，AB=AC ，D 、E 在BC 上，且AD=AE ，求证：BD=CE ．【答案】证明：∵AB=AC ，AD=AE ，∴∠B=∠C ，∠ADE=∠AED ，∵∠ADE=∠B+∠BAD ，∠AED=∠C+∠EAC ，∴∠BAD=∠CAE ，∵AB=AC ，AD=AE ，∴△ABD ≌△ACE ，∴ BD=CE ．类型二、直角三角形2. 如图，已知，在Rt △ABC 中，∠C=90°，沿过B 点的一条直线BE 折叠这个三角形，使C 点与AB 边上的一点D 重合．（1）当∠A 满足什么条件时，点D 恰为AB 的中点写出一个你认为适当的条件，并利用此条件证明D 为AB 的中点；（2）在（1）的条件下，若DE=1，求△ABC 的面积．【思路点拨】（1）根据折叠的性质：△BCE ≌△BDE ，BC=BD ，当点D 恰为AB 的重点时，AB=2BD=2BC ，又∠C=90°，故∠A=30°；当添加条件∠A=30°时，由折叠性质知：∠EBD=∠EBC=30°，又∠A=30°且ED ⊥AB ，可证D 为AB 的中点；（2）在Rt △ADE 中，根据∠A 及ED 的值，可将AE 、AD 的值求出，又D 为AB 的中点，可得AB 的长度，在Rt △ABC 中，根据AB 、∠A 的值，可将AC 和BC 的值求出，代入S △ABC =AC ×BC 进行求解即可．【答案与解析】解：（1）添加条件是∠A=30°．证明：∵∠A=30°，∠C=90°，所以∠CBA=60°，∵C 点折叠后与AB 边上的一点D 重合，∴BE 平分∠CBD ，∠BDE=90°，∴∠EBD=30°，∴∠EBD=∠EAB ，所以EB=EA ；∵ED 为△EAB 的高线，所以ED 也是等腰△EBA 的中线，∴D 为AB 中点．（2）∵DE=1，ED ⊥AB ，∠A=30°，∴AE=2．在Rt △ADE 中，根据勾股定理，得22213-=∴AB=23，∵∠A=30°，∠C=90°，∴BC=12AB=3．在Rt △ABC 中，AC=22AB BC -=3，∴S △ABC =12×AC ×BC=332．【总结升华】考查图形的翻折变换，解题过程中应注意折叠是一种对称变换，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变．3. 小林在课堂上探索出只用三角尺作角平分线的一种方法：如图，在已知∠AOB 的两边上分别取点M ，N ，使OM=ON ，再过点M 作OB 的垂线，过点N 作OA 的垂线，垂足分别为C 、D ，两垂线交于点P ，那么射线OP 就是∠AOB 的平分线．老师当场肯定他的作法，并且表扬他的创新．但是小林不知道这是为什么．①你能说明这样做的理由吗？也就是说，你能证明OP 就是∠AOB 的平分线吗？②请你只用三角板设法作出图∠AOB 的平分线，并说明你的作图方法或设计思路．【思路点拨】①在Rt △OCM 与Rt △ODN 中，依据ASA 得出OC=OD;在Rt △OCP 与Rt △ODP 中，因为OP=OP ，OC=OD 得出Rt △OCP ≌Rt △ODP （HL ），所以∠COP=∠DOP ，即OP 平分∠AOB ． ②可作出两个直角三角形，利用HL 定理证明两角所在的三角形全等．【答案与解析】①证明：在Rt △OCM 和Rt △ODN 中，COM DON OCM ODN OM ON ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△OCM ≌△ODN （AAS ），∴OC=OD ，在△OCP 与△ODP 中，∵,OC OD OP OP=⎧⎨=⎩∴Rt △OCP ≌Rt △ODP （HL ），∴∠COP=∠DOP ，即OP 平分∠AOB ；②解：①利用刻度尺在∠AOB 的两边上分别取OC=OD ；②过C ，D 分别作OA ，OB 的垂线，两垂线交于点E ；③作射线OE ，OE 就是所求的角平分线．∵CE ⊥OA ，ED ⊥OB ，∴∠OCE=∠ODE=90°，在Rt△OCE与Rt△ODE中，∵OC OD OE OE=⎧⎨=⎩，∴Rt△OCE≌Rt△ODE（HL），∴∠EOC=∠EOD，∴OE为∠AOB的角平分线．【总结升华】主要考查了直角三角形的判定，利用全等三角形的性质得出∠EOC=∠EOD是解题关键．类型三、线段垂直平分线4.（2015秋•麻城市校级期中）如图所示：在△ABC中，AB＞BC，AB=AC，DE是AB的垂直平分线，垂足为D，交AC于E．（1）若∠ABE=50°，求∠EBC的度数；（2）若△ABC的周长为41cm，边长为15cm，△BCE的周长．【思路点拨】（1）由DE是AB的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质，可得AE=BE，继而求得∠A的度数，又由AB=AC，即可求得∠ABC的度数，则可求得答案；（2）由△BCE的周长=AC+BC，然后分别从腰等于15cm与底边等于15cm去分析求解即可求得答案．【答案与解析】解：（1）∵DE是AB的垂直平分线，∴AE=BE，∴∠ABE=∠A=50°，∵AB=AC，∴∠ABC=∠C=65°，∴∠EBC=∠ABC﹣∠ABE=15°；（2）∵AE=BE，∴△BCE的周长=BE+CE+BC=AE+CE+BC=AC+BC；∵△ABC的周长为41cm，∴AB+AC+BC=41cm，若AB=AC=15cm，则BC=11cm，则△BCE的周长为：15+11=26cm；若BC=15cm，则AC=AB=13cm，∵AB＞BC，∴不符合题意，舍去．∴△BCE的周长为26cm．【总结升华】此题考查了线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．举一反三：【变式】如图所示，AD是△ABC中∠BAC的平分线，AD的垂直平分线EF交BC的延长线于F，试说明∠BAF=∠ACF的理由．【答案】解：∵EF垂直平分AD，∴AF=DF，∴∠FAD=∠FDA．又∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD，∵∠BAF=∠BAD+∠FAD，∠ACF=∠DAC+∠FDA，∴∠BAF=∠ACF．类型四、角平分线5. 如图，在△ABC中，∠BAC=80°，延长BC到D，使AC=CD，且∠ADB=20°，DE平分∠ADB交AC于F，交AB于E，连接CE，求∠CED的度数．【思路点拨】作EG⊥DA，EH⊥BD，EP⊥AC，根据角平分线的性质得到EG=EH，根据△EGA≌△EPA，得出∠ECB，就可以得到∠CED的度数．【答案与解析】证明：作EG⊥DA交DA的延长线于G，再作EH⊥BD，EP⊥AC，垂足分别为H，P，则EG=EH ∵∠ADC=20°，AC=CD，∴∠CAD=20°，而∠BAC=80°，∴∠GAE=180°﹣20°﹣80°=80°，∴Rt△EGA≌Rt△EPA，∴EG=EP∴EP=EH，∴∠ECB=∠ECA=12∠BCA=12×40°=20°∴∠CED=∠BCE﹣∠BDE=20°﹣10°=10°【总结升华】主要考查了角平分线的性质定理及逆定理、三角形全等的性质和判定；做题中两次用到角平分线的知识是正确解答本题的关键．举一反三：【变式】如图，直线l1、l2、l3表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则供选择的地址有（）A．1处B．2处 C．3处 D．4处【答案】D．解：满足条件的有：（1）三角形两个内角平分线的交点，共一处；（2）三个外角两两平分线的交点，共三处．。

北师大版八年级下册数学《线段的垂直平分线》三角形的证明说课教学课件复习

三角形三条边的垂直平分线的性质：三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等．
实践探究，交流新知
已知等腰三角形的底边和该边上的高，求作等腰三角形
(1)已知三角形的一条边及这条边上的高，你能作出三角形吗？如果能，能作几个？所作出的三角形都全等吗？ (2)已知等腰三角形的底边，你能用尺规作出等腰三角形吗？如果能，能作几个？所作出的三角形都全等吗？ (3)已知等腰三角形的底边及底边上的高，你能用尺规作出等腰三角形吗？如果能，能作几个？
． 39°
3．如图，在△ABC中，∠BAC是钝角． (1)画出边BC上的中线AD； (2)画出边BC上的高AH.
第1题
第2题
第3题
课堂小结，整体感知
1.课堂小结：请同学们回顾本节课所学的内容，有哪些收获？（1）三角形三条边的垂直平分线的性质（2）尺规作线段的垂直平分线、等腰三角形
2.布置作业：
开放训练，体现应用
例1 (教材第22页例1)已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，O是△ABC内一点，且OB＝OC.求证：直线AO垂直平分线段BC.（解法不唯一）
证明：∵AB＝AC， ∴点A为线段BC垂直平分线上的一点 ∵OB＝OC， ∴点O为线段BC垂直平分线上的一点 ∴直线AO是线段BC的垂直平分线
课堂检测，巩固新知
解：(1)∵∠BAC＝50°，AD平分∠BAC ∴∠EAD＝1∠BAC＝25°
2
∵DE⊥AB ∴∠AED＝90° ∴∠EDA＝90°－25°＝65° (2)证明：∵DE⊥AB ∴∠AED＝90°＝∠ACB 又∵AD平分∠BAC ∴∠DAE＝∠DAC 又∵AD＝AD ∴△AED≌△ACD(AAS) ∴AE＝AC ∵AD平分∠BAC ∴AD⊥CE，AD平分线段EC 即直线AD是线段CE的垂直平分线

《三角形的证明》全章复习与巩固--知识讲解(提高)

《三角形的证明》全章复习与巩固(提高)【学习目标】1.经历回顾与思考的过程，深刻理解和掌握定理的探索和证明.2.结合具体实例感悟证明的思路和方法，能运用综合、分析的方法解决有关问题.3.能正确运用尺规作图的基本方法作已知线段的垂直平分线和角的平分线，以及绘制特殊三角形.【知识网络】【要点梳理】要点一、等腰三角形1.三角形全等的性质及判定全等三角形的对应边相等，对应角也相等.判定：SSS、SAS、ASA、AAS、HL.2.等腰三角形的判定、性质及推论性质：等腰三角形的两个底角相等（等边对等角）判定：有两个角相等的三角形是等腰三角形（等角对等边）推论：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（即“三线合一”）3.等边三角形的性质及判定定理性质定理：等边三角形的三个角都相等，并且每个角都等于60°；等边三角形的三条边都满足“三线合一”的性质；等边三角形是轴对称图形，有3条对称轴.判定定理：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形；三个角都相等的三角形是等边三角形.4.含30°的直角三角形的边的性质定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.要点诠释：等边三角形是中考中常考的知识点，并且有关它的计算也很常见，因此对于等边三角形的特殊数据要熟记于心，不如边长为a 的等边三角形他的高是2a ，面积是24；含有30°的直角三角形揭示了三角形中边与角的关系，打破了以往那种只有角或边的关系，同时也为我们学习三角函数奠定了基础. 要点二、直角三角形 1.勾股定理及其逆定理定理：直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方.逆定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形. 2.命题与逆命题命题包括题设和结论两部分；逆命题是将原命题的题设和结论交换位置得到的；正确的逆命题就是逆定理.3.直角三角形全等的判定定理定理：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（HL ）要点诠释：①勾股定理的逆定理在语言叙述的时候一定要注意，不能说成“两条边的平方和等于斜边的平方”，应该说成“三角形两边的平方和等于第三边的平方”.②直角三角形的全等判定方法，还有SSS,SAS,ASA,AAS,一共有5种判定方法. 要点三、线段的垂直平分线1.线段垂直平分线的性质及判定性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.判定：到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上. 2.三角形三边的垂直平分线的性质三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等. 3.如何用尺规作图法作线段的垂直平分线分别以线段的两个端点A 、B 为圆心，以大于12AB 的长为半径作弧，两弧交于点M 、N ；作直线MN ，则直线MN 就是线段AB 的垂直平分线. 要点诠释：①注意区分线段的垂直平分线性质定理和判定定理,注意二者的应用范围； ②利用线段的垂直平分线定理可解决两条线段的和距离最短问题. 要点四、角平分线1.角平分线的性质及判定定理性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等；判定：在一个角的内部，且到角的两边的距离相等的点，在这个角的平分线上. 2.三角形三条角平分线的性质定理性质：三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等. 3.如何用尺规作图法作出角平分线要点诠释：①注意区分角平分线性质定理和判定定理,注意二者的应用范围；②几何语言的表述，这也是证明线段相等的一种重要的方法.遇到角平分线时，要构造全等三角形. 【典型例题】类型一、能证明它们么1. 如图，△ACD 和△BCE 都是等腰直角三角形，∠ACD=∠BCE=90°，AE 交CD 于点F ，BD 分别交CE 、AE 于点G 、H ．试猜测线段AE 和BD 的数量和位置关系，并说明理由．【思路点拨】由条件可知CD=AC ，BC=CE ，且可求得∠ACE=∠DCB ，所以△ACE ≌△DCB ，即AE=BD ，∠CAE=∠CDB ；又因为对顶角∠AFC=∠DFH ，所以∠DHF=∠ACD=90°，即AE ⊥BD ．【答案与解析】猜测AE=BD ，AE ⊥BD ；理由如下：∵∠ACD=∠BCE=90°，∴∠ACD+∠DCE=∠BCE+∠DCE ，即∠ACE=∠DCB ，又∵△ACD 和△BCE 都是等腰直角三角形， ∴AC=CD ，CE=CB ， ∵在△ACE 与△DCB 中， ,AC DCACE DCB EC BC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ACE ≌△DCB （SAS ）， ∴AE=BD ， ∠CAE=∠CDB ； ∵∠AFC=∠DFH ，∠FAC+∠AFC=90°， ∴∠DHF=∠ACD=90°， ∴AE ⊥BD ．故线段AE 和BD 的数量相等，位置是垂直关系.【总结升华】主要考查全等三角形的判定，涉及到等腰直角三角形的性质及对顶角的性质等知识点．举一反三：【变式】将两个全等的直角三角形ABC 和DBE 按图1方式摆放，其中∠ACB=∠DEB=90°，∠A=∠D=30°，点E 落在AB 上，DE 所在直线交AC 所在直线于点F ．（1）求证：AF+EF=DE ；（2）若将图1中的△DBE 绕点B 按顺时针方向旋转角α，且0°＜α＜60°，其它条件不变，请在图2中画出变换后的图形，并直接写出你在（1）中猜想的结论是否仍然成立；（3）若将图1中的△DBE 绕点B 按顺时针方向旋转角β，且60°＜β＜180°，其它条件不变，如图3．你认为（1）中猜想的结论还成立吗？若成立，写出证明过程；若不成立，请写出AF、EF与DE之间的关系，并说明理由．【答案】（1）证明：连接BF（如下图1），∵△ABC≌△DBE（已知），∴BC=BE，AC=DE．∵∠ACB=∠DEB=90°，∴∠BCF=∠BEF=90°．∵BF=BF，∴Rt△BFC≌Rt△BFE．∴CF=EF．又∵AF+CF=AC，∴AF+EF=DE．（2）解：画出正确图形如图2.（1）中的结论AF+EF=DE仍然成立；（3）证明：连接BF，∵△ABC≌△DBE，∴BC=BE，∵∠ACB=∠DEB=90°，∴△BCF和△BEF是直角三角形，在Rt △BCF 和Rt △BEF 中，,BC BEBF BF=⎧⎨=⎩ ∴△BCF ≌△BEF ， ∴CF=EF ； ∵△ABC ≌△DBE ， ∴AC=DE ，∴AF=AC+FC=DE+EF ．类型二、直角三角形2. 下列说法正确的说法个数是（） ①两个锐角对应相等的两个直角三角形全等， ②斜边及一锐角对应相等的两个直角三角形全等， ③两条直角边对应相等的两个直角三角形全等，④一条直角边和另一条直角边上的中线对应相等的两个直角三角形全等． A.1 B.2 C.3 D.4【思路点拨】根据全等三角形的判定方法及“HL”定理，判断即可；【答案】C.【解析】A 、三个角相等，只能判定相似；故本选项错误；B 、斜边及一锐角对应相等的两个直角三角形，符合两三角形的判定定理“AAS”；故本选项正确；C 、两条直角边对应相等的两个直角三角形，符合两三角形的判定定理“SAS”；故本选项正确；D 、一条直角边和另一条直角边上的中线对应相等的两个直角三角形，首先根据“HL”定理，可判断两个小直角三角形全等，可得另条直角边相等，然后，根据“SAS”，可判断两个直角三角形全等；故本选项正确；所以，正确的说法个数是3个．故选C ．【总结升华】直角三角形全等的判定，一般三角形全等的判定方法都适合它，同时，直角三角形有它的特殊性，作为“HL”公理就是直角三角形独有的判定方法，使用时应该抓住“直角”这个隐含的已知条件．3.（2016•南开区一模）问题背景：在△ABC 中，AB 、BC 、AC 三边的长分别为、、，求这个三角形的面积．小辉同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点△ABC（即△ABC三个顶点都在小正方形的顶点处），如图所示．这样不需求△ABC的高，而借用网格就能计算出它的面积．（1）请你将△ABC的面积直接填写在横线上；（2）若△ABC三边的长分别为、、2（m＞0，n＞0，且m ≠n），运用构图法可求出这三角形的面积为．【思路点拨】（1）是直角边长为1，2的直角三角形的斜边；是直角边长为1，3的直角三角形的斜边；是直角边长为2，3的直角三角形的斜边，把它整理为一个矩形的面积减去三个直角三角形的面积；（2）结合（1）易得此三角形的三边分别是直角边长为m，4n的直角三角形的斜边；直角边长为3m，2n的直角三角形的斜边；直角边长为2m，2n的直角三角形的斜边．同样把它整理为一个矩形的面积减去三个直角三角形的面积可得．【答案与解析】解：（1）S△ABC=3×3﹣×1×2﹣×2×3﹣×1×3=；（2）构造△ABC如图所示，S△ABC=3m×4n﹣×m×4n﹣×3m×2n﹣×2m×2n=5mn．故答案为：（1）3；（2）5mn．【总结升华】此题主要考查了勾股定理应用，利用了数形结合的思想，通过构造直角三角形，利用勾股定理求解是解题关键，关键是结合网格用矩形及容易求得面积的直角三角形表示出所求三角形的面积进行解答．类型三、线段垂直平分线4. 如图，在锐角△ABC中，AD、CE分别是BC、AB边上的高，AD、CE相交于F，BF的中点为P，AC的中点为Q，连接PQ、DE．（1）求证：直线PQ是线段DE的垂直平分线；（2）如果△ABC是钝角三角形，∠BAC＞90°，那么上述结论是否成立？请按钝角三角形改写原题，画出相应的图形，并给予必要的说明．【思路点拨】（1）只需证明点P、Q都在线段DE的垂直平分线上即可．即证P、Q分别到D、E的距离相等．故连接PD、PE、QD、QE，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可证；（2）根据题意，画出图形；结合图形，改写原题．【答案与解析】（1）证明：连接PD、PE、QD、QE．∵CE⊥AB，P是BF的中点，∴△BEF是直角三角形，且PE是Rt△BEF斜边的中线，∴PE=12 BF．又∵AD⊥BC，∴△BDF是直角三角形，且PD是Rt△BDF斜边的中线，∴PD=12BF=PE，∴点P在线段DE的垂直平分线上．同理可证，QD、QE分别是Rt△ADC和Rt△AEC斜边上的中线，∴QD=12AC=QE，∴点Q也在线段DE的垂直平分线上．∴直线PQ垂直平分线段DE．（2）当△ABC为钝角三角形时，（1）中的结论仍成立．如图，△ABC是钝角三角形，∠BAC＞90°．原题改写为：如图，在钝角△ABC中，AD、CE分别是BC、AB边上的高，DA与CE的延长线交于点F，BF的中点为P，AC的中点为Q，连接PQ、DE．求证：直线PQ垂直且平分线段DE．证明：连接PD，PE，QD，QE，则PD、PE分别是Rt△BDF和Rt△BEF的中线，∴PD=12BF，PE=12BF，∴PD=PE，点P在线段DE的垂直平分线上．同理可证QD=QE，∴点Q在线段DE的垂直平分线上．∴直线PQ垂直平分线段DE．【总结升华】考查了线段垂直平分线的判定和性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半等知识点，图形较复杂，有一定综合性，但难度不是很大．举一反三：【变式】在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线交AB于N，交BC的延长线于M，∠A=40度．（1）求∠M的度数；（2）若将∠A的度数改为80°，其余条件不变，再求∠M的大小；（3）你发现了怎样的规律？试证明；（4）将（1）中的∠A改为钝角，（3）中的规律仍成立吗？若不成立，应怎样修改．【答案】（1）∵∠B=12（180°-∠A）=70°∴∠M=20°（2）同理得∠M=40°（3）规律是：∠M的大小为∠A大小的一半，证明：设∠A=α，则有∠B=12（180°-α）∠M=90°-12（180°-α）=12α.（4）不成立.此时上述规律为：等腰三角形一腰的垂直平分线与底边相交所成的锐角等于顶角的一半．类型四、角平分线5. 如图，△ABC中，∠A=60°，∠ACB的平分线CD和∠ABC的平分线BE交于点G．求证：GE=GD．【思路点拨】连接AG，过点G作GM⊥AB于M，GN⊥AC于N，GF⊥BC于F．由角平分线的性质及逆定理可得GN=GM=GF，AG是∠CAB的平分线；在四边形AMGN中，易得∠NGM=180°-60°=120°；在△BCG中，根据三角形内角和定理，可得∠CGB=120°，即∠EGD=120°，∴∠EGN=∠DGM，证明Rt△EGN≌Rt△DGM（AAS）即可得证GE=GM．【答案与解析】解：连接AG，过点G作GM⊥AB于M，GN⊥AC于N，GF⊥BC于F．∵∠A=60°，∴∠ACB+∠ABC=120°，∵CD，BE是角平分线，∴∠BCG+∠CBG=120°÷2=60°，∴∠CGB=∠EGD=120°，∵G是∠ACB平分线上一点，∴GN=GF，同理，GF=GM，∴GN=GM，∴AG是∠CAB的平分线，∴∠GAM=∠GAN=30°，∴∠NGM=∠NGA+∠AGM=60°+60°=120°，∴∠EGD=∠NGM=120°，∴∠EGN=∠DGM，又∵GN=GM，∴Rt△EGN≌Rt△DGM（AAS），∴GE=GD．【总结升华】此题综合考查角平分线的定义、三角形的内角和及全等三角形的判定和性质等知识点，难度较大，作辅助线很关键．举一反三：【变式】（2015春•澧县期末）如图：在△ABC中，∠C=90°AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB 于E，F在AC上，BD=DF；证明：（1）CF=EB．（2）AB=AF+2EB．【答案】证明：（1）∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DC⊥AC，∴DE=DC，∵在Rt△DCF和Rt△DEB中，∴Rt△CDF≌Rt△EBD（HL）．∴CF=EB；（2）∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DC⊥AC，∴CD=DE．在△ADC与△ADE中，∵∴△ADC≌△ADE（HL），∴AC=AE，∴AB=AE+BE=AC+EB=AF+CF+EB=AF+2EB．。

19-20学年八年级数学下册第一章三角形的证明1.3-4教学课件(3课时)

几何语言描述：
如图, ∵PA=PB(已知),
A
B
∴点P在AB的垂直平分线上(到一条线段
两个端点距离相等的点,在这条线段的
垂直平分线上). 提示:这个结论是经常用来证明点在直线上(或直线
经过某一点)的根据之一.
例1 已知：如图，在 △ABC 中，AB = AC，O 是 △ABC 内一点，且 OB = OC.
求证：直线 AO 垂直平分线段BC．证明：∵AB=AC， ∴点A在线段BC的垂直平分线上（到一条线段两个端点距离相等的点, 在这条线段的垂直平分线上），同理，点O在线段BC的垂直平分线上, ∴直线 AO 是线段BC的垂直平分线（两点确定一条直线）．
1.如图,已知AB是线段CD的垂直平分线,E是AB上的一点,如果EC=7 cm,那么ED=
变式2：若把∠BAC＝∠EDF,改为 AC=DF，△ABC与△DEF全等吗？请 B 说明思路.
变式3：请你把例题中的∠BAC＝∠EDF 改为另一个适当条件，使△ABC与 △DEF仍能全等，并给出证明.
E
A
PC D
QF
我们曾经利用折纸的方法得到:线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.你能证明这一结论吗?
在△ABC中，AB= 2AC 4 2 . ∵AC=AE,∴BE= 4 2 4 .
∵ CD=DE,BE=DE,
∴CD= 4 2 4 (cm).
1.三角形三条角平分线的性质定理:三角形的三条角平分线相交于一点,并且这一点到__三__条__边__的距离相等. 2.三角形三个内角平分线的交点只有一个,实际作图时,只需作出两个角的平分线,第三个角的平分线必过这两条角平分线的交点. 3.利用面积法求距离的方法:三角形角平分线的交点与三个顶点的连线,把原三角形分割成了三个小三角形,利用小三角形的面积之和等于原三角形的面积,是求角平分线交点到三边距离的常用方法.

北师大版八年级下册数学《等腰三角形》三角形的证明说课教学课件复习

即“等角对等边”．
实践探究，交流新知
小明认为，在一个三角形中，如果两个角不相等，那么这两个角所对的边也不
相等．你认为小明这个结论成立吗？如果成立，你能证明它吗？
证明：如图，在△ABC中，已知∠B≠∠C，此时AB与AC要么
相等，要么不相等．假设AB＝AC，那么根据“等边对等角”
定理可得∠C＝∠B，但这与已知条件∠B≠∠C相矛盾，因
(3)若AD⊥BC，∠BAC＝40°，则∠BAD＝
20° ．
(4)若BD＝CD，则AD⊥BC，∠BAD＝ ∠CAD ．
想一想：在等腰三角形中画出一些线段（比如角平分线、中线、高等），你能发
现其中一些相等的线段吗？能证明你的结论吗？
课件
课件
课件
课件
课件
课件
课件
课件
课件
课件
课件
课件课件
课件课件
课件课件
(2)归谬：从假设出发，通过推理得出矛盾；
(3)结论：说明假设不成立，从而得到原命题的结论正确.
开放训练，体现应用
例1 (教材第8页例2)已知：如图，AB＝DC，BD＝CA，BD与CA相交于
点E，求证：△AED是等腰三角形．
AB＝DC，
证明：在△ABD和△DCA中，BD＝CA，
AD＝DA，
∴△ABD≌△DCA(SSS)
创设情境，导入新课
问题1：请同学们回顾一下，前面我们学习了等腰三角形的哪些性质？
(1)等腰三角形两底角相等，也就是“等边对等角”．
(2)“三线合一”．
(3)等腰三角形两腰上的高相等，两腰上的中线相等，两底角的平分线相等．
问题2：等腰三角形两底角相等，这个命题的条件和结论是什么？
实践探究，交流新知

三角形全等的证明ppt课件

∴AC=AD .
讲解新课
例2、已知：点D在AB上，点E在AC上，BE和CD交于 O点，AB=AC，∠B=∠C. 求证：BD=CE
证明：在△ABE和△ACD中 ∠A= ∠A
AB=AC
∠B=∠C
∴ △ABE≌△ACD （ASA)
∴AD=AE
∵AB=AC
∴BD=CE
.
课
堂如图，要证明△ACE≌ △BDF,根据给定的条件
E
的条件，不难发现图3是由图2平移而得。利用AE=CF，可得：AF=CE
证明：∵AD∥BC（已知）
F
B
C
图3
∴∠A=∠C（两直线平行，内错角相等）
又 AE=CF
∴AE+EF=CF+EF（等式性质）
即AF=CE 在△AFD 和△CEB 中
AD=CB（已知）
问：若求证∠D=∠B ，
如何证明？
∠A=∠C（已证）
∴ ∠B＝∠D（全等三角形对应角相等）
D C
.
小结：四边形问题转化为三角形问题解决。
问：此题添加辅助线，若连结BD行吗？A 在原有条件下，还能推出什么结论？
B
答：∠ABC＝∠ADC，AB∥CD，AD∥BC
.
D C
归纳：二个三角形全等的判定方法
对应相等的元
素
两边一角两角一边
两边及其两边及其两角及其两角及其
写为“ASA”)
.
讲解新课:
例1、已知：如图，∠DAB=∠CAB，∠C=∠D 求证：AC=AD 证明：∵ ∠DAB=∠CAB，∠C=∠D
∴∠ABD=∠ACD (三角形内角和定理）在△ACB和△ADB中
∠DAB=∠CAB AB=AB （共用边） ∠ABD=∠ACD

八年级下册数学 PPT课件精品课件第一章三角形的证明直角三角形(一)

范例讲解例2、写出命题“如果两个有理数相等，那么它们的平方相等”的逆命题，这两个命题都是真命题吗？解：其逆命题为“如果两个有理数的平方相等，
那么这两个有理数也相等” 原命题是真命题，而逆命题是假命题训练题:写出下列命题的逆命题，并判断它们是真命题还是假命题。（1）两直线平行，同旁内角相等。（2）如果a是偶数，b是偶数，那么a+b是偶数。（3）在直角三角形中，如果一个锐角等于30˚，那么它所对的直角边等于斜边的一半。（4）等腰三角形的两腰相等。
∴这个三角形不是直角三角形
∴没有与60m长的南北边线垂直的边线
∴没有一条边线为东西向
ⅳ、观察下面两个命题：
直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方。
如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。
它们的条件和结论之间有什么关系？
合作交流 ⅴ、观察下面三组命题：
如果两个角是对顶角，那么它们相等，如果两个角相等，那么它们是对顶角；如果小明患了肺炎，那么他一定发烧，如果小明发烧，那么他一定患了肺炎；
说出下列命题的逆命题，并判断每对命题的真假:
(1)四边形是多边形； (2)两直线平行，同旁内角互补； (3)如果ab=0，那么a=0 b=0
解：(1)多边形是四边形．原命题是真命题，而逆命题是假命题．
(2)同旁内角互补，两直线平行．原命题与逆命题同为真命题．
(3)如果a=0，b=0，那么ab=0．原命题是假命题，而逆命题
是真命题．
1.（钦州·中考）如图是一张直角三角形的纸片，两直角边AC＝6 cm，BC＝8 cm，现将△ABC折叠，使点B与点A重合，折痕为DE，则BE的长为（）（A）4 cm （B）5 cm

北师大版八年级数学下册《线段的垂直平分线》三角形的证明PPT课件(第2课时)

实践探究，交流新知
解：(1)已知三角形的一条边及这条边上的高，能作出三角形，并且能作出无数多个，如图所示． (2)已知等腰三角形的底边，用尺规作出等腰三角形，这样的等腰三角形也有无数多个． (3)如果等腰三角形的底边和底边上的高都一定，这样的等腰三角形应该只有两个，它们是全等的，且分别位于已知底边的两侧，如图所示．
北师大版八年级下册第一章三角形的证明
线段的垂直平分线（第2课时）
前言
学习目标
1.会证明三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等，并解决相关的问题． 2.会用尺规作已知线段的垂直平分线，培养尺规作图的技能．
学习重点
掌握三角形三条边的垂直平分线的性质，能利用尺规作出符合条件的三角形.
(1)教材第26页随堂练习． (2)教材第26页习题1.8第1，2题.
同学们，下课！
． 39°
3．如图，在△ABC中，∠BAC是钝角． (1)画出边BC上的中线AD； (2)画出边BC上的高AH.
第1题
第2题
第3题
课堂小结，整体感知
1.课堂小结：请同学们回顾本节课所学的内容，有哪些收获？（1）三角形三条边的垂直平分线的性质（2）尺规作线段的垂直平分线、等腰三角形
2.布置作业：
学习难点
三角形三条边的垂直平分线性质的证明及应用.
创设情境，导入新课
1.问题提出：利用尺规作三角形三条边的垂直平分线，当作图完成后你发现了什么？ 2.问题探究： ①三角形三边的垂直平分线交于一点； ②这一点到三角形三个顶点的距离相等．
创设情境，导入新课
3.问题解决：如图，剪一个三角形纸片，通过折叠找出每条边的垂直平分线，观察这三条垂直平分线，上述结论是否成立？ 4.问题思考：以上结论都是通过眼睛观察得到的，那么该结论一定成立吗？我们还需运用已学过的公理和定理进行推理证明，这样，此发现才更有意义．

三角形的证明专题复习与角平分线有关的常见模型+课件+-2023-2024学年人教版数学八年级下册+

A
B
C
A P
三个角平分线夹角之间有什么关系？
D
P
E
B
C
D
练习提高
如图，在△ABC 中，AD 是高，AE，BF 是角平分线，它们相交于点 O， ∠CAB＝50°，∠C＝60°，求∠DAE 和∠BOA 的度数．
解：因为∠C AB＝50°，∠C ＝60°，所以∠ABC＝180°－50°－60°＝70°. 因为 AD 是高，所以∠ADC＝90°. 所以∠DAC＝90°－∠C＝30°. 因为 AE，BF 是角平分线，所以∠C BF ＝∠ABF ＝35°，∠E AF ＝∠E AB＝25°. 所以∠DAE ＝∠DAC －∠E AF ＝5°， ∠BOA＝180°－∠EAB－∠ABF＝120°.
A
A
A
B
D E 图1
C
B(D)
E 图2
CD
BE
C
图3
三、与三角形角平分线的夹角相关的模型
1、如图，在△ABC中，∠ABC与∠ ACB的角平分线BP、CP交于点P，
若∠A=60°， ∠P =____？
若∠A=100°，∠P =____？
探索∠A与∠P的关系
A
P
B
C
三、与三角形角平分线的夹角相关的模型
解：能．理由： A
因为∠B＋∠C＋∠BAC＝180°，
所以∠BAC＝180°－∠B－∠C．
因为 AE 平分∠BAC，
B
DE
C
所以∠BAE＝21∠BAC＝21(180°－∠B－∠C)＝90°－12(∠B＋∠C)．
因为 AD⊥BC，
所以∠ADB＝90°.
所以∠BAD＝90°－∠B．
所以∠DAE＝∠BAE－∠BAD＝90°－21(∠B＋∠C)－(90°－∠B)＝