第三部分代数结构练习题
线性代数练习册第三章部分答案（本）
线性代数练习册第三章部分答案（本）第三章⾏列式及其应⽤§3-1 ⾏列式的定义⼀、填空题。
1、⾏列式a bc d=__ad bc -___;112213141---=____-24____. 2、⾏列式111112121200000a a a ab bc cd d =______0_____. 3、已知⾏列式1111111111111111D -=-----,则32M =___4__;32A =___-4__. 4、已知排列2145697m n 为奇排列，则m =__8_;n =__3_. 5、4阶⾏列式中含1331a a 且符号为负的项是____13223144a a a a -____.⼆、选择题。
1、⽅程0110001x x x=的实根为__C___. （A ）0; （B ）1; （C ）-1; （D ）2.（A ）18; （B ）19; （C ）20; （D ）21 4、n 阶⾏列式00102000D n = 的值为__D ___.（A ）!n ; （B ）!n -; （C ）(1)!nn -; （D ）(1)2(1)!n n n --.5、⾏列式312111321111x x x x x--中4x 的系数为__A____.(A ）-1; （B ）1; （C ）2; （D ）3.三、计算下列⾏列式1、12110001- 解：3331212110(1)(1)111001r +--=-按展开2、1010120012301234解：44432101010112004(1)120123012312341014120243、1132101123011002-- 解：414113211310111013223012303100210001300133033c c --------=--按r 展开四、设排列12n a a a 的逆序数为k ，证明排列11n n a a a - 的逆序数为(1)2n n k --. 证明：设i a 在排列12n a a a 的逆序数为i k ，则12n k k k k +++= ，且i a 在排列11n n a a a - 的逆序数为i t ，则i i i k t n a +=-，所以，i i i t n a k =--，所以，排列11n n a a a - 的逆序数为12112122122(1)()()2n n n n n n a k n n n t t t n a k n a k a a k k a k k ---=--+++=--+--++++++++=-（另解：因为12n a a a 中的任两个不同的元素,i j a a 必在排列12n a a a或排列11n n a a a - 中构成逆序且只能在其中⼀个中构成逆序，所以排列12n a a a 和11n n a a a - 的逆序数之和等于从n 个元素中任取两个不同数的组合数kn C ，即11n n a a a - 的逆序数为(1)§3-2 ⾏列式的性质与计算⼀、填空题。
代数结构习题答案
第十五章：4.解：(1)封闭。
有消去律，不具有单位元和零元。
(2)封闭。
该运算只具有交换律、结合律和消去律。
单位元是1，没有零元。
(3)加法不封闭，乘法封闭。
乘法具有交换律、结合律和消去律。
乘法单元是1，没有零元。
(4)矩阵加法和乘法都封闭。
矩阵加法满足交换律、结合律和消去律；矩阵乘法满足结合律。
矩阵乘法对加法满足分配律。
仅当n=1时(平凡的情况)，矩阵乘法还满足交换律和消去律。
矩阵加法的单位元为n阶全0矩阵，没有零元；矩阵陈发的单位元为n阶单位矩阵，零元为n阶全0矩阵。
(5)实可逆矩阵的加法不封闭，而乘法封闭。
陈发满足结合律和消去律，单位元为n阶单位矩阵，没有零元。
仅当n=1时(平凡的情况)，矩阵陈发满足交换律。
(6)加法和乘法都封闭。
加法和乘法都满足交换律、结合律与消去律；此外，乘法对加法满足分配律。
加法的单位元是0，没有零元。
乘法的零元是0.仅当n=1时，陈发单位元是1.(7)不封闭。
(8)封闭。
运算满足结合律和幂等律。
仅当n=1时，运算满足交换律和消去律，并且单位元和零元都是a1.(9)封闭。
对于一般集合A，合成运算满足结合律。
单位元为I A,零元为∅。
当|A|=0,R(A)={∅}，合成运算还满足交换律和幂等律；此时单位元和零元都是∅。
当|A|=1时，R(A)={∅，I A}，合成运算也满足交换律和幂等律。
(10)两个运算都封闭。
两个运算都满足交换律、结合律和幂等律。
它们互相可分配，也满足吸收律。
1是求最小公倍数运算的单位元，也是求最大公约数运算的零元。
注：有的问题对所给定的参数没有具体值，如(4)、(5)、(6)和(8)中的n。
只知道n是一个给定的正整数。
在n=1与n>1两种情况下，运算旺旺呈现不同的性质，如是否具有交换律和幂等律，是否具有单位元，是否具有可逆元素等。
通常要对n的不同取值进行讨论。
有的问题对集合中的元素没有规定，如(9)中的A集合，由于A 可以是空集、单元集或者含有2个以上元素的集合。
高二代数专题训练(优秀经典练习及答案详解)
高二代数专题训练(优秀经典练习及答案
详解)
引言
本文旨在为高二学生提供全面系统的代数练，覆盖高中数学中代数的各个方面，旨在帮助学生掌握代数知识，提高数学成绩。
练篇
本文共包含高二代数部分的典型题，并均附有详细答案解析，供学生进行练参考。
练题主要覆盖了以下知识点：
1. 一元二次方程的求解
2. 函数及其图像
3. 比例函数的性质及应用
4. 分式函数的性质及应用
5. 指数函数、对数函数及其应用
6. 等比数列、等差数列的基本概念和性质
7. 多项式函数的基本概念、性质和应用
每个知识点都设置了多道题，既包含基础性知识点的考查，也
有较难的拓展性题目，可以供不同程度的学生选择。
也欢迎老师根
据学生的实际情况，选用适合的题。
答案篇
每道题都附有详细的解题过程及最终答案，同时还加入了一些
解题技巧和注意事项，帮助学生更好的理解和掌握题。
同时，所有
答案都经过了专业老师的审阅和校对，保证答案的正确性和有效性。
总结
通过本文的习题练习和答案解析，相信学生们可以更好地掌握
代数知识，提高数学水平。
同时，本文所提供的习题和解析也可以
作为数学教师备课、复习和做题参考的重要资料。
第三部分代数结构练习题
《离散数学》第三部分----代数结构一、选择或填空1、设A={2,4,6}，A上的二元运算*定义为：a*b=max{a,b}，则在独异点<A,*>中，单位元是( )，零元是( )。
2、设A={3,6,9}，A上的二元运算*定义为：a*b=min{a,b}，则在独异点<A,*>中，单位元是( )，零元是( )；3、设〈G,*〉是一个群，则(1) 若a,b,x∈G，a*x=b，则x=( )；(2) 若a,b,x∈G，a*x=a*b，则x=( )。
4、设a是12阶群的生成元，则a2是( )阶元素，a3是( )阶元素。
5、代数系统<G,*>是一个群，则G的等幂元是( )。
6、设a是10阶群的生成元，则a4是( )阶元素，a3是( )阶元素。
7、群<G,*>的等幂元是( )，有( )个。
8、素数阶群一定是( )群, 它的生成元是( )。
9、设〈G,*〉是一个群，a,b,c∈G，则(1) 若c*a=b，则c=( )；(2) 若c*a=b*a，则c=( )。
10、<H,,*>是<G,,*>的子群的充分必要条件是( )。
11、群＜A,*＞的等幂元有( )个，是( )，零元有( )个。
12、在一个群〈G,*〉中，若G中的元素a的阶是k，则a-1的阶是( )。
13、在自然数集N上，下列哪种运算是可结合的？（）(1) a*b=a-b (2) a*b=max{a,b} (3) a*b=a+2b (4) a*b=|a-b|14、任意一个具有2个或以上元的半群，它（）。
(1) 不可能是群(2) 不一定是群(3) 一定是群(4) 是交换群15、6阶有限群的任何子群一定不是（ ）。
(1) 2阶 (2) 3 阶 (3) 4 阶 (4) 6 阶16、下列哪个偏序集构成有界格（ ）(1) （N,≤） (2) （Z,≥）(3) （{2,3,4,6,12},|（整除关系）） (4) (P(A),⊆)18、有限布尔代数的元素的个数一定等于（ ）。
线性代数第三章练习册答案
线性代数第三章练习册答案线性代数第三章综合自测题一、单项选择题（在四个备选答案中，只有一项是正确的，将正确答案前的字母填入下面横线上。
本题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 如果向量β能由向量组m ααα,,,21 线性表示，则（ D ）。
（A ）存在一组不全为零的数m k k k ,,,21 ，使得m m k k k αααβ+++= 2211 （B ）对β的线性表示惟一（C ）向量组m αααβ,,,,21 线性无关（D ）存在一组数m k k k ,,,21 ，使得m m k k k αααβ+++= 2211 2. 向量组t ααα,,,21 线性无关的充分条件是（C ）（A ）t ααα,,,21 均为非零向量；（B ）t ααα,,,21 的任意两个向量的分量不成比例；（C ）t ααα,,,21 中任意部分向量组线性无关；（D ）t ααα,,,21 中有一个部分向量组线性无关。
3. 若m ααα,,,21 线性相关，且0=+++m m k k k ααα 2211，则（ D ）。
（A ）021====m k k k （B ）m k k k ,,,21 全不为零（C ）m k k k ,,,21 不全为零（D ）上述情况都有可能4. 一个n m ?阶矩阵A 的秩为m ，则下列说法正确的是（ A ）（A ）矩阵A 的行向量组一定线性无关；（B ）矩阵A 的列向量组一定线性无关；（C ）矩阵A 的行向量组一定线性相关；（D ）矩阵A 的列向量组一定线性相关。
5. 两个n 维向量组A ：s ααα,,,21 ，B ：t βββ,,,21 ，且r B R A R ==)()(，于是有（ C ）（A ）两向量组等价，也即可以相互线性表出；（B ）s R ααα,,,(21 ，r t =),,,21βββ ；（C ）当向量组A 能由B 线性表出时，两向量组等价；（D ）当t s =时，两向量组等价。
离散数学-第三部分代数结构练习题答案(课件模板)
《离散数学》第三部分----代数结构一、选择或填空1、设A={2,4,6}，A上的二元运算*定义为：a*b=max{a,b}，则在独异点<A,*>中，单位元是( )，零元是( )。
答：2，62、设A={3,6,9}，A上的二元运算*定义为：a*b=min{a,b}，则在独异点<A,*>中，单位元是( )，零元是( )；答：9，33、设〈G,*〉是一个群，则(1) 若a,b,x∈G，a*x=b，则x=( )；(2) 若a,b,x∈G，a*x=a*b，则x=( )。
答：（1）a*-1 b （2）b4、设a是12阶群的生成元，则a2是( )阶元素，a3是( )阶元素。
答：6,45、代数系统<G,*>是一个群，则G的等幂元是( )。
答：单位元6、设a是10阶群的生成元，则a4是( )阶元素，a3是( )阶元素。
答：5，107、群<G,*>的等幂元是( )，有( )个。
答：单位元，18、素数阶群一定是( )群, 它的生成元是( )。
答：循环群，任一非单位元9、设〈G,*〉是一个群，a,b,c∈G，则(1) 若c*a=b，则c=( )；(2) 若c*a=b*a，则c=( )。
答：（1）b1-*a(2) b10、<H,,*>是<G,,*>的子群的充分必要条件是( )。
答：<H,,*>是群或∀ a，b ∈G，a*b∈H，a-1∈H 或∀ a,b ∈G，a*b-1∈H 11、群＜A,*＞的等幂元有( )个，是( )，零元有( )个。
答：1，单位元，012、在一个群〈G,*〉中，若G中的元素a的阶是k，则a-1的阶是( )。
答：k13、在自然数集N上，下列哪种运算是可结合的？（）(1) a*b=a-b (2) a*b=max{a,b} (3) a*b=a+2b (4) a*b=|a-b| 答：(2)14、任意一个具有2个或以上元的半群，它（）。
初中数学冀教版七年级上册第三章3.3代数式的值练习题-普通用卷
初中数学冀教版七年级上册第三章3.3代数式的值练习题一、选择题1.|a|=3，|b|=2，且a<b，则a+b的值是A. 1或5B. 1或−5C. −1或−5D. −1或52.若|x+2|+|y−3|=0，则x+y的值是()A. 1B. −1C. 5D. −53.若a、b互为相反数，c、d互为倒数，m的绝对值为2，则代数式m−cd+a+b的值m 为()A. −3B. 1C. ±3D. −3或14.已知|m|=4，|n|=6，且|m+n|=m+n，则m−n的值等于()A. 2或−10B. −2或10C. −2或−10D. 2或105.若|x−1|+(y+1)2=0，则(xy)2019的值为()A. 1B. −2019C. −1D. 20196.a，b互为倒数，x，y互为相反数，|m|=1，则3(x+y)−ab+m的值为()A. 0B. −2C. 2D. 0或−27.有理数a，b在数轴上的位置如图所示，则a+b的值A. 大于0B. 等于0C. 大于或等于0D. 小于08.当a=2时，代数式2a−3的值为()A. 3B. 1C. −1D. 59.若a+2b=3，则代数式2a+4b的值为()A. 3B. 4C. 5D. 610.若|m−3|+(n+1)2=0，则m+n的值为()A. −4B. −2C. 2D. 4二、填空题11.若a、b互为倒数，c、d互为相反数，则−2015(c+d)−ab=______ ．12.已知当x=1时，代数式ax3+bx+5的值为−4，那么当x=−1时，代数式ax3+bx+5的值为______．13.已知|x−1|+|y−3|=0，则x+y=________．14.若a−b=2，则代数式5+2a−2b的值是______．15.已知|x+2|+|1−x|=9−|y−5|−|1+y|，2x−3y的最大值与最小值之和为．三、解答题16.已知a、b互为相反数，c、d互为倒数，x到原点的距离为2且x位于原点左侧，求x2−(a+b−cd)x+(a+b)2013+(cd)2014的值．17.飞机的无风航速为x km/ℎ，风速为50km/ℎ.飞机顺风飞行5h的行程是多少？飞机逆风飞行3h的行程是多少？两个行程相差多少？18.已知2a与b互为倒数，c与d2互为相反数，|x|=2,求4ab+2c+d+x2的值.19.已知x的相反数是−21，y是最小的自然数，z是最大的负整数。
代数第三章习题解答
习题三习题解答 (A)1．用消元法解以下线性方程组．(1)⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-+=+-=+--=-+3102332362382321321321321x x x x x x x x x x x x ．(2)⎪⎩⎪⎨⎧=+-+-=--++=+---84342222222543215432154321x x x x x x x x x x x x x x x ．(3)⎪⎩⎪⎨⎧-=--+=-+=--+55631236232343213214321x x x x x x x x x x x ． (4)⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-+-+=+-+-=+-+-=+-+-137824633422322254321543215432154321x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ．(5)⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+-+=-++-=-+-=--+0744420436240203543215432143215421x x x x x x x x x x x x x x x x x x ．(6)⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=--=+-=--=+-05220430320321321321321x x x x x x x x x x x x ．解：(1) ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=614409175061440382131023311236213821A⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---→00003100120103001000031001201027021， 所以原方程组的解为31-=x ，122-=x 33-=x ．(2) ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-------=252450052450222121814113412212222121A ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----→200000052450222121， 所以原方程组无解．(3) ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------=8440062100312315563112036231231A ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-→410002010030031， 所以原方程组的全部解为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-==-=42334321x x c x cx 〔c 为任意常数〕．(4)⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---------→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---------=131111782463211122342231131111782463342231211122A⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------→000000457100226010102001000000457100231110342231， 所以原方程组的全部解为⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧==--=--=-=25142132121157426221c x c x c c x c c x c x (21,c c 为任意常数)．．(5) ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--------=05102200015660012220013011074242043624001211013011A ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----→00000003110000650110067011， 所以原方程组的全部解为⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧===+=+-=252413212211316567c x c x c x c c x c c x (21,c c 为任意常数)．(6) ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------=700120310111522413132111A ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-→000100010001000100310111， 所以原方程组的解为⎪⎩⎪⎨⎧===000321x x x ．2．当k 为何值时，齐次线性方程组 有非零解，并求出非零解．解：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=0120253012101202530374k k A⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+---→023*********k ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---→010*********k ， 当01=-k ，即1=k 时，原方程组有非零解，当1=k 时，继续对上述行阶梯形矩阵施以初等行变换⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-→000001100101，由此得⎩⎨⎧=-=3231x x x x ，令自由未知量c x =3，那么原方程组的非零解为⎪⎩⎪⎨⎧===c x c x c x 321〔c 为任意常数〕．3．当k 为何值时，线性方程组有唯一解？无解？有无穷多解？并在有无穷多解的情况下，求出它的解．解：)1(3)1(3112132-=++-+k k k kk k kk ，(1)当0≠k 且1≠k 时，所以原方程组有唯一解； (2)当0=k 时，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-→300001100213， 所以原方程组有无解；当1=k 时，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----→321032101101⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--→000032101101， 由此得⎩⎨⎧+-=-=3231231x x x x ，令自由未知量c x =3，那么原方程组的全部解为⎪⎩⎪⎨⎧=+-=-=c x c x c x 321231〔c 为任意常数〕． 4．向量)2,0,2,3(1-=α，)2,2,1,6(2--=α，)2,3,4,1(3-=α，且向量β满足βααβαβ-=+--321)(4)(2，求向量β．解：由题有32142αααβ---=，所以 )2,3,4,1()2,2,1,6(4)2,0,2,3(2-------=β )10,5,12,17(--=．5．把β表示为其余向量的线性组合．(1))7,4,3(-=β，)1,0,1(1-=α，)1,1,1(2=α，)2,1,0(3-=α． (2))2,1,1(--=β，)1,1,1(1=α，)4,3,1(2---=α，)2,1,1(3-=α．解：(1)对矩阵),,,(321TT T T βααα施以初等行变换⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛→310010102001310041103011， 所以32132αααβ++=．(2)对矩阵),,,(321TT T T βααα施以所以，对应的线性方程组有无穷解，令 0,1,2321===k k k ，β表示向量321,,ααα的线性组合为32102αααβ++=．6．设有向量⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=1111λα，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=1112λα，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=λα1113，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=20λλβ．试问当λ为何值时，(1) β可由321,,ααα线性表示，且表达式唯一． (2) β可由321,,ααα线性表示，但表达式不唯一．(3) β不能由321,,ααα线性表示． 解：设βααα=++332211k k k ，因此有 其系数行列式=321,,ααα)3(1111111112+=+++λλλλλ，(1) 当30-≠λ≠λ且时，方程组有唯一解，此时，β可由321,,ααα唯一地线性表示．(2) 当0=λ时，方程组有无穷多个解，此时，β可由321,,ααα线性表示 ，但表达式不唯一．(3) 当3-=λ．时，上述方程组的增广阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=6000123309211921131210112A ，由于3)(,2)(==A r A r ，因此，上述方程组无解，故β不能由321,,ααα线性表示 ．7．判断以下向量组是线性相关，还是线性无关？(1) )3,2,1(1-=α,)5,0,2(2=α，)5,4,2(3---=α． (2) )1,3,2,1(1-=α，)2,3,1,1(2--=α，)1,0,1,2(3=α．解：(1) ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=180140321542502321321αααA ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---→100140321， 于是3)(=A r ，所以向量组321,,ααα线性无关．(2) ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=363036301321101223111321321αααA⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---→000036301321， 于是32)(<=A r ，所以向量组321,,ααα线性相关．8．设21,αα线性无关，βαβα++21,线性相关，试将β由21,αα线 性表示．解：因为βαβα++21,线性相关，所以存在不全为零的数21,k k ，使0)()(2211=+++βαβαk k ，即221121)(ααβk k k k --=+，因为21,αα线性无关，21k k +不为零，否那么，假设021=+k k ，必有02211=+ααk k ，于是021==k k ，这与21,k k 不全为零矛盾，所以 22121211ααβk k k k k k +-+-=，)0(21≠+k k9．设21,αα线性相关，21,ββ也线性相关，问2211,βαβα++是否一定线性相关？举例说明．解：否．例如⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=011α，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=022α，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=201β，⎪⎪⎭⎫⎝⎛=302β，于是⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+2111βα，⎪⎪⎭⎫⎝⎛=+3222βα，而21,αα线性相关，21,ββ也线性相关，但2211,βαβα++线性无关．10．向量组)1,2,(1-=k α,)0,,2(2k -=α，)1,1,1(3-=α，求k 为何值时，向量组321,,ααα线性相关？线性无关？解：由题有)2)(1(1110212321k k k k +-=---=ααα，当2-≠k 且1≠k 时， 线性无关；当2-=k 或1=k 时， 线性相关．11．向量组s ααα,,,21 线性无关，试证：向量组1α，s ααααα++++ 2121,,也线性无关．证明：设有数s k k k ,,,21 ，使得0)()(232121=++++++++s s s s k k k k k k k ααα ，即 0)()(2121211=+++++++s s k k k αααααα ， 由于向量组s ααα,,,21 线性无关，所以⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==++=+++0003221s ss k k k k k k k ，解这个方程组得021====s k k k ，由此可知，向量组1α，s ααααα++++ 2121,,也线性无关．12．向量组321,,βββ由321,,ααα线性表示为3211αααβ+-=，3212αααβ-+=，3213αααβ++-=，(1)试把向量组321,,ααα由321,,βββ线性表示； (2)这两个向量组是否等价？解：(1)将向量组321,,ααα由321,,βββ线性表示的关系式写成矩阵形式为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321321111111111αααβββ， 于是⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-3213211321210212121002121111111111ββββββααα， 所以向量组321,,ααα由321,,βββ线性表示的关系是为2112121ββα+=，3222121ββα+=，3132121ββα+=． (2)由(1)知，向量组321,,ααα与321,,βββ能相互线性表示，所以这两个向量组等价．13．设n 维向量组),0,,0,0,1(1 =α,),0,,0,1,1(2 =α1,1,1(=n α)1,, ，证明：n ααα,,,21 与n 维根本单位向量组n εεε,,,21 等价．证明：向量组n ααα,,,21 可由n 维根本单位向量组n εεε,,,21 线性表示，即11εα=，,,212 εεα+=，n n εεεα+++= 21．n 维根本单位向量组n εεε,,,21 可由向量组n ααα,,,21 线性表示，即11αε=，,,122 ααε-=1--=n n n ααε．向量组n ααα,,,21 与n 维根本单位向量组n εεε,,,21 能相互线性表示，所以这两个向量组等价．14．设向量组)1(,,,21>s s ααα 中，O ≠1α，并且i α不能由121,,,-i ααα 线性表示),,3,2(s i =，证明：s ααα,,,21 线性无关．证明：设存在数s k k k ,,,21 ，使得02211=+++s s k k k ααα ．对于s k k k ,,,21 ，从右往左考虑，设i k 是第一个不为零的数，即0≠i k ，0,,01==+s i k k ，而O ≠1α，所以1≠i ，从而02211=+++i i k k k ααα ，即)(1112211--+++-=i i ii k k k k αααα ， i α能由121,,,-i ααα 线性表示，与题设矛盾，因此，021====s k k k ，因此s ααα,,,21 线性无关．15．设向量组)2(,,,21≥r r ααα 线性无关，作以下线性组合 r k ααβ111+=，,,222 r k ααβ+=r r r r k ααβ111---+=，证明：121,,,-r βββ 也线性无关．证明：设存在数s t t t ,,,21 ，使得0112211=+++--r r t t t βββ ，即0)()()(111222111=++++++---r r r r r r k t k t k t αααααα ，于是0)(112211112211=+++++++----r r r r r k t k t k t t t t αααα ，由题设，向量组)2(,,,21≥r r ααα 线性无关，所以0112211121=+++====---r r r k t k t k t t t t ，121,,,-r βββ 也线性无关．16．证明：n 维向量组n ααα,,,21 线性无关的充分必要条件是任一n 维向量都可由n ααα,,,21 线性表示．证明：必要性 对于任一n 维向量β，向量组βααα,,,,21n 线性相关，从而存在不全为零的数k k k k n ,,,,21 使得02211=++++βαααk k k k n n ，其中0≠k ，那么n k k k ,,,21 不全为零，且02211=+++n n k k k ααα ，这与n ααα,,,21 线性无关矛盾．因为0≠k ，所以β可被n ααα,,,21 线性表示．充分性 因为任一n 维向量均可被n ααα,,,21 线性表示，所以n 维根本单位向量组n εεε,,,21 可由n ααα,,,21 线性表示，而,,,21 ααn α又可由n εεε,,,21 线性表示，所以n r r n n ==),,,(),,,(2121εεεααα ，从而n ααα,,,21 线性无关．17．设向量组s ααα,,,21 的秩为r )(s r <，求证：s ααα,,,21 中任意r 个线性无关的向量都是该向量组的一个极大线性无关组．证明：设向量组r i i i ααα,,,21 是向量组s ααα,,,21 中的线性无关的局部组，因为r r s =),,,(21ααα ，所以对于任一向量)1(s i i ≤≤α，向量组i i i i r αααα,,,,21 必线性相关。
数学思维训练代数结构的综合算式练习题
数学思维训练代数结构的综合算式练习题在数学学习中，代数结构是一个非常重要的概念。
通过代数结构，我们能够更好地理解数学中的关系和运算。
为了强化我们的数学思维和训练代数结构的掌握，下面将给出一些综合算式练习题。
在解题过程中，请仔细考虑问题并运用适当的数学方法。
1. 已知 a = 2，b = 3，c = 4，求解下列算式的值：a + bb * ca^2 + b^2 + c^2(a + b) * c2. 若 a = 5，b = 7，c = 9，求解下列算式的值：a - bb / c(a + b) / ca^2 + 2ab + b^23. 若 a = 2，b = 4，c = 6，d = 8，求解下列算式的值：a *b +c * d(a + b) * (c + d)(a * b) + (c * d)(a + b) * (c - d)4. 若 a = 5，b = 3，c = 2，求解下列算式的值：(a - b) * c(a + b) / (c + 1)(a^2 - b^2) / c(a + b + c) / (a - b - c)5. 若 a = 2，b = 3，c = 4，求解下列算式的值：(a + b) * ca - (b + c)a^2 - b^2 + c^2a^3 + b^2 - c^36. 若 a = 4，b = 6，c = 2，求解下列算式的值：(a + b) / (c - b)(a * b) / (c - a)(a^2 - b^2) / (a - b)(a^3 + b^2 + c^3) / (a + b + c)通过以上综合算式练习题，我们能够锻炼自己的数学思维能力，加深对代数结构的理解。
在解题过程中，要注意仔细分析算式特征，灵活运用数学公式和运算规则，以及合理使用已知条件，才能得到准确的答案。
更进一步地，我们可以通过对更复杂的代数结构进行理解和运算，来解决实际生活和工作中的问题。
通过数学思维训练代数结构的综合算式练习题，我们能够不断提升解决数学问题的能力，为今后的学习和工作打下坚实的数学基础。
(完整版)代数的初步认识练习题
(完整版)代数的初步认识练习题代数的初步认识练题1. 简答题1. 什么是代数？代数是研究数学结构和运算符号的一种数学分支，包括数与代数运算（加、减、乘、除），代数方程和代数函数等。
2. 代数中的常见符号有哪些？代数中常见的符号有：数字（0、1、2、...）、运算符号（+、-、×、÷）、等号（=）、未知数（x、y、z）、代数变量（a、b、c）等。
3. 什么是方程？方程是一种陈述式，它表达了两个表达式相等的关系。
方程通常包含未知数，并通过解方程得到未知数的值。
4. 解方程的步骤是什么？解方程的步骤一般为：- 通过合并同类项化简方程；- 移项，将未知数移到一个方程的一边；- 使用逆运算消去系数；- 计算未知数的值。
2. 计算题1. 计算下列代数式的值：(2x + 3y) / (x + y)，已知 x = 5，y = 2。
将 x = 5，y = 2 代入代数式得：(2 x 5 + 3 x 2) / (5 + 2) = (10 + 6) / 7 = 16 / 7。
2. 解方程：2(x - 3) + 5 = 13。
将式子展开得：2x - 6 + 5 = 13，合并同类项得：2x - 1 = 13，移项得：2x = 14，解得：x = 7。
3. 解方程组：- 3x + 2y = 6- 4x - y = 10通过消元法可得：x = 2，y = 0。
4. 计算下列代数式的值：(a - 1)(a + 1)。
将式子展开得：a^2 - 1。
以上是代数的初步认识练题的解答。
参考资料- 《高中数学九年级上册》- 《高中数学九年级下册》。
2019—2020年最新苏科版七年级数学上册第三章代数式的值1课时练习及答案.docx
§3.3 代数式的值(1)1．a是一个三位数，b是一个两位数，若把b放在a的左边，组成一个五位数，则这个五位数为( )A．b + a B．10b + a C．100b + a D．1 000b + a2．若a是有理数，则4 a与3 a的大小关系是( )A．4 a>3 a B．4 a =3 a C．4 a<3 a D．不能确定3．已知代数式x + 2y的值是3，则代数式2 x + 4y + 1的值是( ) A．1 B．4 C．7 D．不能确定m +(n + 2)2 =0，则m + 2n的值为( )4．若3A．－4 B．－1 C．0 D．45．某商场2006年的销售利润为a，预计以后每年比上一年增长b％，那么2008年该商场的销售利润将是( )A．a (1 + b)2B．a (1 + b％)2C．a + a·(b％)2D．a + ab26．下列图形都是由同样大小的矩形按一定的规律组成，其中第(1)个图形的面积为2 cm2，第(2)个图形的面积为8 cm2，第(3)个图形的面积为18 cm2……第(10)个图形的面积为( )A．196 cm2B．200 cm2C．216 cm2D．256 cm27．列代数式：(1) n箱苹果重p千克，每箱重千克；(2) 甲身高a厘米，乙比甲高6厘米，则乙的身高为厘米；(3) 小明从一排座位的第m个数起，一直数到n个(n>m)，他数过的座位数是．(4) 有a名男生和b名女生在社区做义工，他们为建花坛搬砖．男生每人搬了40块，女生每人搬了30块，这a名男生和b名女生一共搬了块砖．(用含a，b的代数式表示)．8．若x =－1，则代数式x3－x2 + 4的值为．9．若a b =3，a－2 b =5，则a2 b－2ab2的值是．10．观察下列等式：9－1 =8，16－4 =12，25－9 =16，36－16 =20，…这些等式反映的是正整数间的某种规律，若n表示正整数，将这一规律用含n的式子表示为．11．定义新运算“⊗”，a⊗b=13a－4b，则12⊗(－1) =．12．当多项式－5x2－(2m－1) x2 +(2－3n) x－1不含二次项和一次项时，m=；n=．13．根据条件求代数式的值：(1) 求当a=12，b=3 时，代数式4a2+3b－2ab的值．(2) 求当x=1，y=2，z=－1时代数式2x2 y + 3 x z2 + 6y2 z的值．(3) 已知当x=1时，2ax2 + bx的值为3，则当x=2时，ax2 + bx的值为．14．如图是一个数表，现用一个长方形在数表中任意框出4个数则(1) a，c的关系是：，(2) 当a + b + c + d－32时，a=．15．某市市内电话月收费规定：月租费15元，通话每三分钟计为一次，不足三分钟的按一次计，每次计费为0．20元．(1) 如果某个月用户用了n次电话，那么这个月用户要交多少电话费?(2) 如果用户在一个月内共打了47次电话，他该交多少电话费?16．若：(2x－1)5=a0+ a l x + a2 x 2+ a3 x3+ a4 x4+ a5 x5．(1)当x = 0时，a0 = ；(2) a1 + a2 + a3 + a4 + a5 = ．17．如图所示，用三种大小不同的六个正方形和一个缺角的正方形拼成长方形ABCD，其中，GH=2 cm，GK=2 cm，设BF=x cm．(1) 用含x的代数式表示CM= cm，DM= cm．(2) 求长方形ABCD的面积．参考答案1．D 2．D 3．C 4．B 5．B 6．B 7．(1) pn(2) (a + 6) (3) n－m + 1(4) 40a + 30b 8．2 9．15 10．4n + 4 11．8 12．m=－2，n=2313．(1)7(2) －17 (3) 6 14．(1) a + 5=c (2) 5 15．(1) 根据题意可知，这个月用户要交(15+0．20n)元电话费．(2) 当n=47时，15+0．20n=15+0．20×47=24．4(元)．16．(1) －1 (2) 2 17．(1) x + 2 2x + 2(或3x) (2) 长方形的长为：x+x+x+x+2+x+2=14 cm，宽为：4x + 2=4×2+2=10 crn．所以长方形的面积为：14×10=140 cm2．。
初中代数练习题及解析
初中代数练习题及解析1. 解方程：3x + 4 = 7解析：首先，我们将等式化简为 3x = 7 - 4，得到 3x = 3。
接下来，我们将两边同时除以 3，将 x 的系数消去，得到 x = 1。
所以，方程的解为 x = 1。
2. 化简代数表达式：2(a + 3) - (4a - 6)解析：首先，我们利用分配律，将 2(a + 3) 展开，得到 2a + 6。
然后，我们利用分配律，将 -(4a - 6) 展开，得到 -4a + 6。
最后，我们将两个展开后的表达式相加，得到 2a + 6 - 4a + 6。
简化合并项，得到 -2a + 12。
所以，化简后的代数表达式为 -2a + 12。
3. 求解不等式：2x - 3 > 7解析：首先，我们将不等式化简为 2x > 7 + 3，得到 2x > 10。
接下来，我们将两边同时除以 2，将 x 的系数消去，得到 x > 5。
所以，不等式的解为 x > 5。
4. 解方程组：方程1：2x + 3y = 7方程2：4x - 2y = -2解析：我们可以使用消元法来解决这个方程组。
首先，将方程1的系数乘以2，得到：方程1：4x + 6y = 14然后，将得到的方程与方程2相加，消去x的系数，得到：(4x + 6y) + (4x - 2y) = 14 + (-2)8x + 4y = 12继续化简得到：2x + y = 3现在，我们有一个含有两个变量的方程：2x + y = 3可以选择任意一个变量来消去，例如，我们选择消去y。
将方程1的系数乘以-1，得到：-2x - y = -3然后，将得到的方程与原方程相加，消去y的系数，得到：(-2x - y) + (2x + y) = -3 + 30 = 0方程0=0是一个恒等式，说明两个方程是重合的，表示有无穷多个解。
所以，方程组的解是无穷多个。
通过以上例题，我们可以看到初中代数练习题及解析的题目涵盖了解方程、化简代数表达式、求解不等式以及解方程组等内容。
七年级数学上第三章代数式复习基础测试题
七年级数学上第三章代数式复习基础测试题七年级数学上第三章代数式复习基础测试题代数是研究数字和文字的代数运算理论和方法，更确切的说，是研究实数和复数，以及以它们为系数的多项式的代数运算理论和方法的数学分支学科。
下面是应届毕业生店铺为大家提供的七年级数学上第三章代数式复习基础测试题。
一、选择题(每题3分，共24分)1.下列说法错误的是 ( )A.代数式x2+y2的意义是x，y的平方和B.代数式5(x+y)的意义是5与(x+y)的积C.x的5倍与y的和的一半，用代数式表示为5x+D.比x的2倍多3的数，用代数式表示为2x+32.已知a是两位数，b是一位数，把b放在百位上，a放在b的后面，就成为一个三位数.这个三位数可表示成 ( )A.10b+aB.baC.100b+aD.b+10a3.某企业今年3月份产值为a万元，若4月份比3月份减少了10%，5月份比4月份增加了15%，则5月份的产值是 ( )A.(a-10%)(a+15%)万元B.a(1-10%)(1+15%)万元C.(a-10%+15%)万元D.a(1-10%+15%)万元4.如果单项式- xay2与 x3yb是同类项，那么a，b的值分别为 ( )A.2，2B.-3，2C.2，3D.3，25.当x分别等于3和-3时，多项式6x2+5x4-x6+3的值 ( )A.互为相反数B.互为倒数C.相等D.异号6.若一个多项式减去x2-3y2等于x2+2y2，则这个多项式是 ( )A.-2x2+y2B.2x2-y2C.x2-2 y2D.-2x2-y27.化简-[-(-a2)-b2]-[+(-b2)]的结果是 ( )A.2b2-a2B.-a2C.a2D.a2-2b28.若a，b两数在数轴上的位置如图所示，则化简代数式的结果是( )A.1B.2b+3C.2a-3D.-1二、填空题(每题2分，共24分)9.“比a的3倍大1的数”用代数式表示为_______.10.3月12日某班50名学生到郊外植树，若平均每人植树a棵，则该班一共植树____棵.11.对单项式“5x”，我们可以这样解释：香蕉每千克5元，某人买了x千克，共付款5x元.请你对“5x”再给出另一个实际生活方面的合理解释：____________________________.12.单项式-3x2y3的.系数是_______，多项式-2x2+3xy+y2的次数是_______.13.若单项式3x2yn与2xmy3是同类项，则m+n=_______.14.若一组数2，4，8，16，32，…，按此规律，则第n个数是_______.15.在三个连续偶数中，n是最小的一个，这三个数的和为_______.16.根据如图所示的程序计算，若输入的x的值为1，则输出的y 值为_______.17.若-4xay+x2y6=-3x2y，则a+b=18.一个多项式M减去多项式2x2+5x-3，马虎同学将减号抄成了加号，运算结果得-x2+3x-7，多项式M是_______19.若，则的值为 .20.如图是一组有规律的图案，它们是由边长相同的正方形和正三角形镶嵌而成，第(1)个图案有4个三角形，第(2)个图案有7个三角形，第(3)个图案有10个三角形，…依此规律，第n个图案有个三角形(用含n的代数式表示)三、解答题(共52分)21.(本题4分)已知多项式x-3x2ym+2+x3y--3x4-1是五次五项式，单项式3x3ny3-mz与该多项式的次数相同，求m，n的值.22.(本题8分)化简：(1)5(a2b-3ab2)-2(a2b-7ab2); (2)4x2-[3x-2(x-3)+2(x2-1)].23.(本题8分)先化简，再求值：(1)3(2x2-xy)-2(3x2-2xy)，其中x=-2，y=-3;(2) 2x2+3x+5+[4x2-(5x2-x+1)] ，其中 x=3.24.(本题5分)有这样一道数学题：计算(3x+2y+1)-2(x+y)-(x-2)的值，其中x=1，y=-1.小磊同学把“x=1，y=-1”错抄成了“x=-1，y=1”，但他的计算结果又是正确的，能不能认为这个多项式的值与x，y的值无关?请说明理由.25.(本题8分)用同样大小的黑色棋子按如图所示的规律摆放：(1)第5个图形有多少黑色棋子?(2)第几个图形有2013颗黑色棋子?请说明理由.26.(本题10分)为了能有效地使用电力资源，市区实行居民峰谷用电.居民家庭在峰时段(上午8：00-晚上21：00)用电的价格是每度0.55元，谷时段(晚上21：00-次日晨8：00)用电的价格是每度0.35元，若某居民户某月用电100度，其中峰时段用电x度.(1)请用含x的代数式表示该居民户这个月应缴纳的电费;(2)利用上述代数式计算当x=60时，应缴纳的电费是多少.27.(本题8分)A，B两家公司都准备向社会招聘人才，两家公司条件基本相同，只有工资待遇有如下差异：A公司年薪2万元，每年加工龄工资400元;B公司半年薪1万元，每半年加工龄工资100元，求A，B两家公司第n年的年薪分别是多少.从经济角度考虑，选择哪家公司有利?28.(本题10分)在由m×n(m×n>1)个小正方形组成的矩形网格中，研究它的一条对角线所穿过的小正方形个数f(1)当m，n百质(m，n除1外无其他公因数)时，观察下列图形并完成下表：猜想：当m，n互质时，在m×n的矩形网格中，一条对角线所穿过的小正方形的个数f与m，n的关系式是_______(不需要证明)(2)当m，n不互质时，请画图验证你猜想的关系式是否依然成立.参考答案一、选择题1.C2.C3.B4.D5.C6.B7.A8.B二、填空题9.3a+1 10.50a 11.答案不唯一 12.-3 2 13.514.2n(n为正整数) 15.3n+6 16.4 17.3 18.-3x2-2x-419.3 20.3n+1三、解答题21.122.(1)原式=3a2b-ab2 (2)原式=2x2-x-423.(1)6 (2)2524.原式的值与x，y的值无关25.(1)第5个图形有18颗黑色棋子 (2)2013颗26.(1)0.2x+35 (2)47(元)27.选择A公司有利28.(1)f=m+n-1 (2)(1)小题的猜想都不能成立下载全文。
《高等代数》第三章习题及答案
习题3.1计算下列行列式：①5312--+a a ②212313121+----a a a解 ①5312--+a a =(a+2)(a-5)+3=a 2-3a-7②212313121+----a a a =(a-1)(a-1)(a+2)-3-12+2(a-1)-3(a-1)+6(a+2)= a 3+2a习题3.2求从大到小的n 阶排列(n n-1 … 2 1)的逆序数． 解 τ(n n-1 … 2 1)=(n-1)+(n-2)+…+1+0=2)1(-n n 习题3.31.在6阶行列式中，项a 23a 31a 42a 56a 14a 65和项a 32a 43a 14a 51a 66a 25应各带有什么符号？解 因为a 23a 31a 42a 56a 14a 65=a 14a 23a 31a 42a 56a 65，而τ(4 3 1 2 6 5)=3+2+0+0+1+0=6，所以项a 23a 31a 42a 56a 14a 65带有正号．又因为项a 32a 43a 14a 51a 66a 25=a 14a 25a 32a 43a 51a 66，而τ(4 5 2 3 1 6)=3+3+1+1+0+0=8，所以项a 32a 43a 14a 51a 66a 25带有正号． 2.计算：000400010002000300050000 解 因为a 15a 24a 33a 42a 51的逆序数为τ(5 4 3 2 1)=5×4/2=10，带有正号，所以000400010002000300050000=5×3×2×1×4=120 习题3.4计算：6217213424435431014327427246-解 6217213424435431014327427246-=6211003424431001014327100246-=100×621134244*********1246-=-294×105习题3.51.计算下列行列式：①1723621431524021----- ②6234352724135342------解 ①1723621431524021-----=1374310294111120001------=137410291111-----=-726②6234352724135342------=1035732130010313410------=0105731331310---- =05723133710----=-5×72337--=-1002. 计算下列n 阶行列式（n ≥2）：①ab ba b a b a 000000000000 ②1210010010011110-n a a a③n n n n x x x x x x a a a a x a 1322113211000000000-----+④111)()1()()1()()1(111n a a a n a a a n a a a n n n n n n --------- 解 ① n n a b b a b a b a ⨯000000000000=)1()1(00000000000-⨯-⨯n n a b a b a b a a+)1()1(1000000000000)1(-⨯-+⨯-n n n b a b b ab b=a n+(-1)n+1b n② D n =1210010*********-n a a a=a n-1×D n-1+(-1)n+1×)1)(1(2100000000001111---n n n a a= a n-1D n-1+(-1)n+1×(-1)1+(n-1)×)2)(2(232100000000----n n n n a a a a=a n-1D n-1-a 1a 2…a n-2=a n-1(a n-2D n-2-a 1a 2…a n-3)-a 1a 2…a n-2 =a n-1a n-2D n-2-a n-1a 1a 2…a n-3-a 1a 2…a n-2 …= a n-1a n-2…a 2D 2-a n-1a n-2…a 3a 1-…-a n-1a n-2a 1a 2…a n-4-a n-1a 1a 2…a n-3-a 1a 2…a n-2= a n-1a n-2…a 21110a -a n-1a n-2…a 3a 1-…-a n-1a n-2a 1a 2…a n-4-a n-1a 1a 2…a n-3-a 1a 2…a n-2=-a n-1a n-2…a 2-a n-1a n-2…a 3a 1-…-a n-1a n-2a 1a 2…a n-4-a n-1a 1a 2…a n-3-a 1a 2…a n-2 =-∑---11211)...(n i in a a a a ③ D n =nn n n x x x x x x a a a a x a 1322113211000000000-----+=112111...)1()1(---++-⨯-n n n n n n D x x x x a =a n x 1x 2…x n-1+x n D n-1=a n x 1x 2…x n-1+x n (a n-1x 1x 2…x n-2+x n-1D n-2) =a n x 1x 2…x n-1+x n a n-1x 1x 2…x n-2+x n x n-1D n-2 …=a n x 1x 2…x n-1+x n a n-1x 1x 2…x n-2+…+x n x n-1…x 4a 3x 1x 2+x n x n-1…x 4x 3D 2=a n x 1x 2...x n-1+x n a n-1x 1x 2...x n-2+...+x n x n-1...x 4a 3x 1x 2+x n x n-1...x 4x 3[(a 1+x 1)x 2+a 2x 1] =)( (1)1121121∑=+--+ni n i i i n n x x a xx x x x x x④D n+1=111)()1()()1()()1(111n a a a n a a a n a a a n n n nn n ---------=nn n n n n n n a a a n a a a n a a a )1()1()()1()()1(111)1(1112)1(----------+=)1()]}1([)2)(1)]{(()2)(1[()1(2)1(---------+ n n n n=2!3!...n!3.计算下列n 阶行列式（n ≥1）：①n a a a a ++++1111111111111111321②ax x x x x a x x x x a x a x x x x x a x n n nn ----- 321321321321解 ① D n =na a a a ++++1111111111111111321=na a a a +++++++11110111*********11321=1111111111111111321a a a ++++na a a a111011101110111321+++ =110010010321a a a +1-n n D a =a n D n-1-a 1a 2…a n-1=a n (a n-1D n-2-a 1a 2…a n-2)-a 1a 2…a n-1 =a n a n-1D n-2-a n a 1a 2…a n-2-a 1a 2…a n-1 =n ni n i i a a a a a aa 211111)(+∑=+-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+∑=ni i n a a a a 12111 (a i ≠0) ②D n =a x x x x x a x x x x a x a x x x x x a x n n n n -----321321321321=ax x x x x a x x x x a x a x x x x x a x n n n n -+-+--+- 321321321321000=n n n n x x x x x a x x x x a x a x x x x x a x 321321321321----+ax x x a x x x a x a x x x x a x -----321321321321000 =x n (-a)n-1(x 1+x 2+…+x n )+(-a)n4.证明：n 阶行列式yz z x y y x z xzz zz y y x z z yy y x z yy y y x nn ----=)()( 其中z ≠y ．解 D n =xzz zzy y x z z yy y x z x y zx00--=(x-z)D n-1-(y-x))1()1(-⨯-n n x zz zy y x zy y y z=(x-z)D n-1-(y-x)z)1()1(111-⨯-n n x z z y y x y yy=(x-z)D n-1-(y-x)z)1()1(10010001-⨯-----n n y x yz y z y x=(x-z)D n-1-(y-x)z(x-y)n-2=(x-z)D n-1+z(x-y)n-1即有D n =(x-z)D n-1+z(x-y)n-1(1)又D n =xzz zy y x z yy y x x z yy y y y x--=(x-y)D n-1-(z-x))1()1(-⨯-n n x zz zy y x zy y y y=(x-y)D n-1-(z-x)y)1()1(1111-⨯-n n x z z z yy x z=(x-y)D n-1-(z-x)y)1()1(001111-⨯-----n n z x z y z y z x=(x-y)D n-1-(z-x)y(x-z)n-2即有D n =(x-y)D n-1+y(x-z)n-1(2) 联立式（1）和式（2）得yz z x y y x z xzz zzy y x z z yy y x z yy y y x nn ----=)()( 习题3.61.设A,B,P ∈Mat n ×n (F)，并且P 是可逆的，证明：如果B=P -1AP ，则|B|=|A|．证 因为|P -1||P|=1，所以|B|=|P -1AP|=|P -1||A||P|=|A|． 2*.仿照例3.6.1，试用分块初等变换，证明定理3.6.1． 证 设A ，B 都是n ×n 矩阵，则nE BA -0=B A B A A E B n n n n=-=--+)1(0)1(另一方面，对nE BA -0的第2行小块矩阵乘以A 加到第一行上去，有nE BA -0=AB E BAB n=0所以B A AB =．习题3.71.求下列矩阵的伴随矩阵和逆矩阵①⎪⎪⎭⎫⎝⎛--1112 ②⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--325436752解 ①设原矩阵为A ，则A 11=-1，A 21=-1，A 12=1，A 22=2，伴随矩阵A *=⎪⎪⎭⎫⎝⎛--2111，|A|=-2+1=-1，所以，A -1=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---211111=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--2111②设原矩阵为A ，则A 11=3243--=-9+8=-1，A 21=3275---=-（-15+14）=1，A 31=4375=20-21=-1，A 12=3546--=38，A 22=3572-=-41，A 32=4672-=34， A 13=2536-=-27，A 23=2552--=29，A 33=3652=-24伴随矩阵A *=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----242927344138111，|A|=-18-84+100-105+16+90=-1，所以，A -1=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------24292734413811111=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----2429273441381112.证明：上三角形矩阵是可逆矩阵的充分必要条件是：它的主对角线元全不为零．证 因为矩阵可逆的充分必要条件是它的行列式不为零，而上三角形矩阵的行列式等于它的主对角线上所有元的乘积，所以上三角形矩阵的行列式不为零的充分必要条件是：它的主对角线元全不为零，故上三角形矩阵可逆矩阵的充分必要条件是：它的主对角线元全不为零．3.设A 是n ×n 矩阵．证明：A 是可逆的，当且仅当A *也是可逆的．证 因为 AA *=|A|E ，两边取行列式得|A||A *|=|A|n．若A 可逆，则A 的行列式|A|≠0，从而有|A *|=|A|n-1≠0，所以A *可逆．反之，若A *可逆，设A *的逆阵为(A *)-1．用反证法，假设A 不可逆，则A 的行列式|A|=0，所以AA *=|A|E=0，对AA *=0两边同时右乘(A *)-1，得A=0，从而A 的任一n-1阶子式必为零，故A *=0，这与A *可逆相矛盾，因此A 可逆． 4.证明定理3.7.2的推论1．推论1的描述：设A 是分块对角矩阵，A=diag(A 1,A 2,…,A s )，证明：A 可逆当且仅当A 1,A 2,…,A s 均可逆，并且A -1=diag(A 1-1,A 2-1,…,A s -1)．证 A 可逆，当且仅当A 的行列式|A|≠0，而|A|=|A 1||A 2|…|A s |，所以|A|≠0当且仅当|A 1|，|A 2|，…，|A s |都不为零，即A 1,A 2,…,A s 均可逆．令B=diag(A 1-1,A 2-1,…,A s -1)，则有AB=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛S A A A21⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---11211s A A A =⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛S E E E21=E 故A -1=diag(A 1-1,A 2-1,…,A s -1)．4.设A=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛333231232221131211a a aa a a a a a 是实矩阵（实数域上的矩阵），且a 33=-1．证明：如果A 的每一个元都等于它的代数余子式，则|A|=1．证 如果A 的每一个元都等于它的代数余子式，则A 的伴随矩阵A *=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛332313322212312111a a a a a a a a a =A T ．所以|A *|=|A|，又AA *=|A|E ，两边取行列式得|A|2=|A|3． 由a 33=-1，得AA *=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛333231232221131211a a aa a a a a a ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛332313322212312111a a a a a a a a a =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-12313322212312111a a a a a a a a ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-12313322212312111a a a a a a a a =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++1232231a a =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛||000||000||A A A比较最后一个等式两端第3行3列的元素知|A|=a 312+a 322+1≠0，对|A|2=|A|3两边同时除以|A|2得|A|=1．6.设A=(a ij )是n ×n 可逆矩阵，有两个线性方程组（Ⅰ）⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++=+++u x c x c x c bx a x a x a b x a x a x a b x a x a x a n n nn nn n n n n n n (221122112222212111212111)（Ⅱ）⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++=+++vx b x b x b cx a x a x a c x a x a x a c x a x a x a n n nn nn n n n n n n (221122112222211211221111)如果（Ⅰ）有解．证明：当且仅当u =v 时，（Ⅱ）有解．证 设方程组（Ⅰ）的解为x 1*, x 2*,…, x n *，代入方程组（Ⅰ）得（Ⅲ）⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++=+++ux c x c x c bx a x a x a b x a x a x a b x a x a x a n n n n n nnn n n n n **2*1**2*12*2*22*211*1*12*11................................................ (212)12121 当u =v 时，因为 A=(a ij )是n ×n 可逆矩阵，A 的行列式不等于零，根据克莱姆法则，方程组（Ⅱ）的前n 个方程作为一个线性方程组，它有唯一解，记该解为x 1**, x 2**,…, x n **，代入方程组（Ⅱ）的前n 个方程中得（Ⅳ）⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++=+++----nnn n n n nn n n n n c x a x a x a cx a x a x a c x a x a x a c x a x a x a n n nn ****2**11**1**12**112**2**22**121**1**21**11......................................................21212121 对等式组（Ⅳ）中第1个等式的两端同时乘以x 1*,第2个等式的两端同时乘以 x 2*,…, 第n个等式的两端同时乘以 x n *，然后将n 各等式的左边全部相加，也将右边全部相加，并利用（Ⅲ）式，可得b 1x 1**+b 2x 2**+…+b n x n **=c 1x 1*+ c 2x 2*+…+ c n x n *=u由u =v ，得b 1x 1**+b 2x 2**+…+b n x n **=u即x 1**, x 2**,…, x n **也满足（Ⅱ）中最后一个方程．所以方程组（Ⅱ）有解．反之，若方程组（Ⅱ）有解，设其解为x 1**, x 2**,…, x n **，代入（Ⅱ）得到（Ⅴ）⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++=+++-vx b x b x b cx a x a x a c x a x a x a c x a x a x a n n n n n n nn n n n n ****2**11****2**12**2**22**121**1**21**11......................................................21212121 对等式组（Ⅲ）中第1个等式的两端同时乘以x 1**,第2个等式的两端同时乘以 x 2**,…,第n 个等式的两端同时乘以 x n **，然后将n 各等式的左边全部相加，也将右边全部相加，并利用（Ⅴ）式，可得c 1x 1*+c 2x 2*+…+c n x n *=b 1x 1**+ b 2x 2**+…+ b n x n **将上式左端与（Ⅴ）式中最后一个等式比较，将上式右端与（Ⅲ）式中最后一个等式比较，得 u =v ．7.设A 是n ×n 矩阵．证明：|A *|=|A|n-1证 因为AA *=|A|E ，两边取行列式得 |A||A *|=|A|n ．如果|A|≠0，两边除以|A|，得|A *|=|A|n-1如果|A|=0，也可写成|A *|=|A|n-1，总之，有|A *|=|A|n-1成立．。
高等代数第三章检测题答案
高等代数第三章检测题答案一、填空题1．2 2．1 3．（-1，1，0，0） （0，0，1，1） 4．4155．1 二、单项选择题1．A 2．A 3．D 4．B 5．D三、计算题1．方程组的系数矩阵A 经行初等变换可化为0000002271012301-同解方程组为：⎪⎩⎪⎨⎧=+-=++227023432431x x x x x x求解得基础解系为：)0,2,7,3(1-=η )1,0,2,1(2--=η 2．对增广矩阵进行初等变换：⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---→00000212100211011A 可是).()(B r A r =故方程组有解，并有⎪⎩⎪⎨⎧+=++=2122143421x x x x x取042=-x x 。
则2131==x x ，即得方程组的一个特解. )0,21,0,21(*=η而导出组的基础解系为：)0,0,1,1(1=η)1,2,0,1(2η结构解为：*),,,(22114321ηηη++=k k x x x x （21,k k 为任意实数）3．对增广矩阵用初等行变换得⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-→b a A 0011101211 ①当0≠a 时，3)()(==A r A r .方程组有唯一解a b x -=21 a b x --=12 abx =3 ②当0≠b ，0=a 时，)()(A r A r ≠，方程组无解. ③当0==b a 时，秩=')(A 秩2)(=A ，方程组有无穷多解.1,23231--=+-=x x x x 3x 任意.4.c4321,,,αααα为列向量作矩阵，并对矩阵进行初等行变换化为行最简形矩陈B .B A =⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--→⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-------=00000000211011010112743165143121 由B 可以看出秩（A ）=2，且21,αα是这个向量组的一个极大线性无关组（极大无关组也可取31,αα或41,αα，或32,αα或42,αα或43,αα）并且2142132,,,αααααα+-=+-=.四、证明题1．对方程组的增广矩阵A 进行行初的等变换⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---→⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----=∑=414321432100001100011000111001110001100011i a a a a a a a a A 因为方程组有解当且仅当∑=411i a=0所以方程组有解的充要条件为∑=411i a=02．由于t i b Aa i ,,0, == 因而),,1(0)(00t i b b Aa Aa a a A i i ==-=-=- 所以00201,a at a a a a --- 是方程组0=AX 的解：证明它们是线性无关的。
线性代数第三章习题及解答
− 20 83
5 83
− 17 83
0 1 0
0 0 1
−2
0
−7 2 − 21 4
−1 2
ξ = (2, 14, −21, 4)
10. 求下列非齐次线性方程组的一般解 2x + 7x2 + 3x3 + x4 =6 1 (1) 3x1 + 5x2 + 2x3 + 2x4 = 4 9x + 4x + x + 7x =2 1 2 3 4 2 7 3 1 6 2 7 解 3 5 2 2 4 −→ 1 −2 1 9 4 −2 1 7 5 −10 2 1 −1 2 0 11 0 −22 −1 1
性表示为
(β1 , β2 , . . . , βr ) = (α1 , α2 , . . . , αs )K,
其中 K 为 s × r 矩阵，且 A 向量组线性无关，证明：向量组 B 线性无关的充分必要条件是矩阵 K 的秩为 r 证明： (=⇒) 因为向量组 B 线性无关， 于是 R(β1 , . . . , βr ) = r, 注 意到 r = R(B ) ≤ R(K ) ≤ r 那么 R(K ) = r
一个向量 αk (2 ≤ k ≤ m) 使得 αk 能由 α1 , α2 , . . . , αk−1 线性表示. 证明：反证若 ∀αk 都不能被 α1 , α2 , . . . , αk−1 线性表示，于是对 于 k1 α1 + k2 α2 + · · · + km αm = 0，则 km = 0, 若否 αm 可以被前面
43
3 5 5
代数结构
f1
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f4
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f2
f1
f2
f3
f4
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f3
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f4
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f4
f1
f4
9‐4、判断下列集合对所给的二元运算是否封闭。 （1）整数集合 Z 和普通的加减运算。
（5）正实数集合R+和 o 运算，其中o 运算定义为：∀a，b ∈ R+，a o b = ab − a − b。
（7）A={a1,a2,....,an },n>=2,o 运算定义如下：∀a，b ∈ A，a o b = b。
证明： （1）假设a*b ≠ b*a，那么或者a*b=a，b*a=b；或者a*b=b，b*a=a；
若为前者，则（a*b）*a=a*a=b，a*（b*a）=a 与结合律矛盾； 若为后者，则（a*b）*a=b*a=a，a*（b*a）=a*a=b 也与结合律矛盾。 所以假设不成立，原结论正确。 （2）假设b*b=a，那么，或者a*b=b*a=a，或者a*b=b*a=b 若前者成立，则有（b*a）*a=a*a=b，b*（a*a）=b*b=a与结合律矛盾； 若后者成立，则有（b*a）*a=b*a=b,b*（a*a）=b*b=a与结合律矛盾。 所以，假设不成立，原结论正确。
10-21、设G为群，a是G中给定的元素，a的正规化子N（a） 表示G中与a可交换的元素构成的集合，即： N(a)={x|x ∈ G ∧ xa=ax}证明N(a)是G的子群。 证明： a ∈ N(a)，N(a）≠ ∅。任取x，y ∈ N(a)， ay=ya ⇒ a（-1 ay）a-1 = a（-1 ya）a-1 ⇒ ya−1 = a-1y （xy-1）a=x（y-1a）=x（a-1y）-1 = x（ya ） −1 -1 = x（ay-1）=（xa）y-1 = a（xy-1） 根据判定定理，N(a)为G的子群。
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《离散数学》第三部分----代数结构
一、选择或填空
1、设A={2,4,6}，A上的二元运算*定义为：a*b=max{a,b}，则在独异点<A,*>中，单位元是( )，零元是( )。
2、设A={3,6,9}，A上的二元运算*定义为：a*b=min{a,b}，则在独异点<A,*>中，单位元是( )，零元是( )；
3、设〈G,*〉是一个群，则
(1) 若a,b,x∈G，a?x=b，则x=( )；
(2) 若a,b,x∈G，a?x=a?b，则x=( )。
4、设a是12阶群的生成元，则a2是( )阶元素，a3是( )阶元素。
5、代数系统<G,*>是一个群，则G的等幂元是( )。
6、设a是10阶群的生成元，则a4是( )阶元素，a3是( )阶元素。
7、群<G,*>的等幂元是( )，有( )个。
8、素数阶群一定是( )群, 它的生成元是( )。
9、设〈G,*〉是一个群，a,b,c∈G，则
(1) 若c?a=b，则c=( )；(2) 若c?a=b?a，则c=( )。
10、<H,,?>是<G,,?>的子群的充分必要条件是( )。
11、群＜A,*＞的等幂元有( )个，是( )，零元有( )个。
12、在一个群〈G,*〉中，若G中的元素a的阶是k，则a-1的阶是( )。
13、在自然数集N上，下列哪种运算是可结合的？（）
(1) a*b=a-b (2) a*b=max{a,b} (3) a*b=a+2b (4) a*b=|a-b|
14、任意一个具有2个或以上元的半群，它（）。
(1) 不可能是群 (2) 不一定是群
(3) 一定是群 (4) 是交换群
1。