[理学]竖直面的圆周运动临界问题和连接体问题
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A
B
2、竖直面的杆物结构
用长为L的细杆一端固定着一个质量为m的小球， 使小球在竖直平面内作圆周运动，如图所示。
试分析： （1）当小球在最低点A的速度为 V1 时，其杆所受力为多大？
（2）当小球在最高点B的速度 为V2时，其杆的受力与速度的关 系怎样？
杆物结构：
F3
mg
F1
o
F2
v1
最高点：mg
+F1
A
V1 关系怎样？
v2
mg
F2
最低点：
F1
mg
m
v12 L
o F1 v1
最高点：
F2 mg
m v22 L
mg 思考：过最高点的最小速度是多大?
Hale Waihona Puke Baidu
(1)当F=0时，速度V为最小值 v gL
(2)当v
v0时，F1
m
v2 L
mg
(3)当v v0时，物体离开圆面做曲线运动
总结：
（1）桶在最高点水不流出的最小速率？
（2）水在最高点速率v=3m/s时水对桶底的压力？ (g取10m/s2)
质量为1kg的小球沿半径为20cm的圆环在竖直平面内 做圆周运动，如图所示，求 （1）小球在圆环的最高点A不掉下来的最小速度是多少？ 此时小球的向心加速度是多少？ （2）若小球仍用以上的速度经过圆环的最高点A，当它 运动到圆环的最低点B时，对圆环的压力是多少？此时小 球的向心加速度是多少？
专题： 竖直面的圆周运动 临界问题和连接体问题
► 竖直面的圆周运动临界问题问题分析
1、竖直面的绳物结构
用长为L的细绳拴着质量为m的小球，使小球在竖直平 面内作圆周运动，如图所示。
V2 B
试分析：
（1）当小球在最低点A的速度
o
为V1时，其绳的张力为多大？
（2）当小球在最高点B的速度
L
为V2时，其绳的张力与速度的
明确：向心力和向心加速度公式同样适合于变速圆周运动, 但求质点在圆周上某点的向心力和向心加速度的大小,必 须用该点的瞬时速度值
在小球通过最高点时存在临界状 态：小球到达最高点时绳子的拉力(或轨 道的弹力)刚好等于零，小球的重力刚好 提供做圆周运动的向心力，即 mg＝mvr20. 式中的 v0 是小球通过最高点的最小速 度，通常叫临界速度，v0＝ rg.相关讨论 如下：
Rg
, FN
m v2 R
mg
mg
mg (3)当v gR时,物体离开圆轨道做曲线运动
B
mg
绳子和內轨均是没有支撑的小球能过最高点的最小速度
v Rg (临界速度)
拓展:竖直平面内的圆周运动与机械能守恒 定律相结合的问题
巩固练习
绳系着装水的桶，在竖直平面内做圆周运动， 水的质量m=0.5kg，绳长=40cm.求
解析：
首先画出小球运动达到最高点和最低点的受力图，如图所示。 A球在圆管最低点必受向上弹力N1，此时两球对圆管的合力为 零，m2必受圆管向下的弹力N2，且N1=N2。 据牛顿第二定律A球在圆管的最低点有：
同理m2在最高点有： m2球由最高点到最低点机械能守恒
由上述方程可得：
例、长为0.6m的轻杆OA(不计质量),A端 插个质量为2.0kg的物体,在竖直平面内 绕O点做圆周运动,当球达到最高点的速 度分别为3m/s, 6m/s,2m/s时,求杆对球 的作用力各为多少?
A
O
巩固练习
如图所示，质量为m的小球，用长为L的细 绳，悬于光滑斜面上的0点，小球在这个倾 角为θ的光滑斜面上做圆周运动，若小球在 最高点和最低点的速率分别是vl和v2，则绳 在这两个位置时的张力大小分别是多大?
[2009·安徽卷] 过山车是游乐场中常见的设施．图 16－5 是一 种过山车的简易模型，它由水平轨道和在竖直平面内的三个圆 形轨道组成，B、C、D 分别是三个圆形轨道的最低点，B、C 间距与 C、D 间距相等，半径 R1＝2.0 m、R2＝1.4 m．一个质量 为 m＝1.0 kg 的小球(视为质点)，从轨道的左侧 A 点以 v0＝12.0 m/s 的初速度沿轨道向右运动，A、B 间距 L1＝6.0 m．小球与 水平轨道间的动摩擦因数 μ＝0.2，圆形轨道是光滑的．假设水 平轨道足够长，圆形轨道间不相互重叠．重力加速度取 g＝10 m/s2，计算结果保留小数点后一位数字．试求：
动，且绳子有拉力.
拓展：物体沿竖直内轨的圆周运动
有一个竖直放置的内壁光滑圆环，其半 径为R，质量为m的小球沿它的内表面做圆周 运动，分析小球在最高点的速度应满足什么 条件？
V
A
分析A点: mg
FN
m vA2 R
mg
(1)当FN 0, v Rg (临界速度)
D
FN FN
FN
FN
C (2)当FN 0, v
图 16－5
(1)小球在经过第一个圆形轨道的最高点时，轨道对小球作 用力的大小；
(2)如果小球恰能通过第二个圆形轨道，B、C 间距 L 应是 多少？
(3)在满足(2)的条件下，如果要使小球不脱离轨道，在第三 个圆形轨道的设计中，半径 R3 应满足的条件；小球最终停留点 与起点 A 的距离．
v0时,杆对物有向下的拉力, F1
m
v12 L
mg
m
v12 L
拓展：物体沿竖直外轨运动 物体沿竖直细管的运动
v
均是有支撑的小球 能过最高点的最小速度v=0
物体沿竖直细管的运动
一内壁光滑的环形细圆管，位于竖直平面内，环的半 径为R(比细管的半径大得多)．在圆管中有两个直径与 细管内径相同的小球(可视为质点)．A球的质量为m1， B球的质量为m2．它们沿环形圆管顺时针运动，经过最 低点时的速度都为v0设A球运动到最低点时，B球恰好 运动到最高点，若要此时两球作用于圆管的合力为零， 那么m1、m2、R与v0应满足的关系式是什么？
①当小球通过最高点的速度 v＝v0 时，小球的重力刚好提供做圆周运动的 向心力；
②当小球通过最高点的速度 v＜v
时，小球的重力刚好提供做圆周运动的 向心力；
②当小球通过最高点的速度 v＜v0 时，小球不能在竖直面内做完整的圆周 运动；
③当小球通过最高点的速度 v＞v0
时，小球能在竖直面内做完整的圆周运
(拉力)
m
v12 L
mg
-F3
(支持力)
m
v12 L
最低点：F2
mg
m
v22 L
思考:过最高点的最小速度是多大?何时杆子
v2
表现为拉力,何时表现为支持力?
mg
(1)最小速度v0 =0
(2)当v0 gL时，F 0
(3)当v1 v0时, 杆对物有向上的支持力, F3 mg
(4)当v1
B
2、竖直面的杆物结构
用长为L的细杆一端固定着一个质量为m的小球， 使小球在竖直平面内作圆周运动，如图所示。
试分析： （1）当小球在最低点A的速度为 V1 时，其杆所受力为多大？
（2）当小球在最高点B的速度 为V2时，其杆的受力与速度的关 系怎样？
杆物结构：
F3
mg
F1
o
F2
v1
最高点：mg
+F1
A
V1 关系怎样？
v2
mg
F2
最低点：
F1
mg
m
v12 L
o F1 v1
最高点：
F2 mg
m v22 L
mg 思考：过最高点的最小速度是多大?
Hale Waihona Puke Baidu
(1)当F=0时，速度V为最小值 v gL
(2)当v
v0时，F1
m
v2 L
mg
(3)当v v0时，物体离开圆面做曲线运动
总结：
（1）桶在最高点水不流出的最小速率？
（2）水在最高点速率v=3m/s时水对桶底的压力？ (g取10m/s2)
质量为1kg的小球沿半径为20cm的圆环在竖直平面内 做圆周运动，如图所示，求 （1）小球在圆环的最高点A不掉下来的最小速度是多少？ 此时小球的向心加速度是多少？ （2）若小球仍用以上的速度经过圆环的最高点A，当它 运动到圆环的最低点B时，对圆环的压力是多少？此时小 球的向心加速度是多少？
专题： 竖直面的圆周运动 临界问题和连接体问题
► 竖直面的圆周运动临界问题问题分析
1、竖直面的绳物结构
用长为L的细绳拴着质量为m的小球，使小球在竖直平 面内作圆周运动，如图所示。
V2 B
试分析：
（1）当小球在最低点A的速度
o
为V1时，其绳的张力为多大？
（2）当小球在最高点B的速度
L
为V2时，其绳的张力与速度的
明确：向心力和向心加速度公式同样适合于变速圆周运动, 但求质点在圆周上某点的向心力和向心加速度的大小,必 须用该点的瞬时速度值
在小球通过最高点时存在临界状 态：小球到达最高点时绳子的拉力(或轨 道的弹力)刚好等于零，小球的重力刚好 提供做圆周运动的向心力，即 mg＝mvr20. 式中的 v0 是小球通过最高点的最小速 度，通常叫临界速度，v0＝ rg.相关讨论 如下：
Rg
, FN
m v2 R
mg
mg
mg (3)当v gR时,物体离开圆轨道做曲线运动
B
mg
绳子和內轨均是没有支撑的小球能过最高点的最小速度
v Rg (临界速度)
拓展:竖直平面内的圆周运动与机械能守恒 定律相结合的问题
巩固练习
绳系着装水的桶，在竖直平面内做圆周运动， 水的质量m=0.5kg，绳长=40cm.求
解析：
首先画出小球运动达到最高点和最低点的受力图，如图所示。 A球在圆管最低点必受向上弹力N1，此时两球对圆管的合力为 零，m2必受圆管向下的弹力N2，且N1=N2。 据牛顿第二定律A球在圆管的最低点有：
同理m2在最高点有： m2球由最高点到最低点机械能守恒
由上述方程可得：
例、长为0.6m的轻杆OA(不计质量),A端 插个质量为2.0kg的物体,在竖直平面内 绕O点做圆周运动,当球达到最高点的速 度分别为3m/s, 6m/s,2m/s时,求杆对球 的作用力各为多少?
A
O
巩固练习
如图所示，质量为m的小球，用长为L的细 绳，悬于光滑斜面上的0点，小球在这个倾 角为θ的光滑斜面上做圆周运动，若小球在 最高点和最低点的速率分别是vl和v2，则绳 在这两个位置时的张力大小分别是多大?
[2009·安徽卷] 过山车是游乐场中常见的设施．图 16－5 是一 种过山车的简易模型，它由水平轨道和在竖直平面内的三个圆 形轨道组成，B、C、D 分别是三个圆形轨道的最低点，B、C 间距与 C、D 间距相等，半径 R1＝2.0 m、R2＝1.4 m．一个质量 为 m＝1.0 kg 的小球(视为质点)，从轨道的左侧 A 点以 v0＝12.0 m/s 的初速度沿轨道向右运动，A、B 间距 L1＝6.0 m．小球与 水平轨道间的动摩擦因数 μ＝0.2，圆形轨道是光滑的．假设水 平轨道足够长，圆形轨道间不相互重叠．重力加速度取 g＝10 m/s2，计算结果保留小数点后一位数字．试求：
动，且绳子有拉力.
拓展：物体沿竖直内轨的圆周运动
有一个竖直放置的内壁光滑圆环，其半 径为R，质量为m的小球沿它的内表面做圆周 运动，分析小球在最高点的速度应满足什么 条件？
V
A
分析A点: mg
FN
m vA2 R
mg
(1)当FN 0, v Rg (临界速度)
D
FN FN
FN
FN
C (2)当FN 0, v
图 16－5
(1)小球在经过第一个圆形轨道的最高点时，轨道对小球作 用力的大小；
(2)如果小球恰能通过第二个圆形轨道，B、C 间距 L 应是 多少？
(3)在满足(2)的条件下，如果要使小球不脱离轨道，在第三 个圆形轨道的设计中，半径 R3 应满足的条件；小球最终停留点 与起点 A 的距离．
v0时,杆对物有向下的拉力, F1
m
v12 L
mg
m
v12 L
拓展：物体沿竖直外轨运动 物体沿竖直细管的运动
v
均是有支撑的小球 能过最高点的最小速度v=0
物体沿竖直细管的运动
一内壁光滑的环形细圆管，位于竖直平面内，环的半 径为R(比细管的半径大得多)．在圆管中有两个直径与 细管内径相同的小球(可视为质点)．A球的质量为m1， B球的质量为m2．它们沿环形圆管顺时针运动，经过最 低点时的速度都为v0设A球运动到最低点时，B球恰好 运动到最高点，若要此时两球作用于圆管的合力为零， 那么m1、m2、R与v0应满足的关系式是什么？
①当小球通过最高点的速度 v＝v0 时，小球的重力刚好提供做圆周运动的 向心力；
②当小球通过最高点的速度 v＜v
时，小球的重力刚好提供做圆周运动的 向心力；
②当小球通过最高点的速度 v＜v0 时，小球不能在竖直面内做完整的圆周 运动；
③当小球通过最高点的速度 v＞v0
时，小球能在竖直面内做完整的圆周运
(拉力)
m
v12 L
mg
-F3
(支持力)
m
v12 L
最低点：F2
mg
m
v22 L
思考:过最高点的最小速度是多大?何时杆子
v2
表现为拉力,何时表现为支持力?
mg
(1)最小速度v0 =0
(2)当v0 gL时，F 0
(3)当v1 v0时, 杆对物有向上的支持力, F3 mg
(4)当v1