中考数学题型五函数的实际应用题

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中考数学中档题突破专项训练五实际应用与方案设计

解：(1)设 B 品牌消毒酒精每桶的价格为 x 元， A 品牌消毒酒精每桶的价格为( x＋20 )元，根据题意，得 3 000 1 800 x＋20＝ x ，解得 x＝30，经检验：x＝30 是原分式方程的解，且符合题意， ∴x＋20＝30＋20＝50. 答：A 品牌消毒酒精每桶的价格是 50 元， B 品牌消毒酒精每桶的价格是 30 元．
解：(1)设参加社会实践活动的老师有 m 人，学生有 n 人，则家长代表有
2m 人，根据题意得
95（3m＋n）＝6 175， 60×3m＋60×0.75n＝3 150，
m＝5，解得n＝50. 答：参加社会实践活动的老师有 5 人，家长代表有 10 人，学生有 50 人．
(2)由(1)知，所有参与人员共有 65 人，其中学生有 50 人． ①当 50≤x＜65 时，最经济的购票方案为买二等座学生票 50 张，买二等座成人票(x－50)张，买一等座火车票(65 －x)张． ∴单程火车票的总费用 y 与 x 之间的函数关系式为 y＝60×0.75×50＋ 60(x－50)＋95(65－x)，即 y＝－35x＋5 425(50≤x＜65)；
解：设每亩山田产粮相当于实田 x 亩，每亩场地产粮相当于实田 y 亩，
3x＋6y＝4.7， x＝190，根据题意得5x＋3y＝5.5，解得y＝31.
9
1
答：每亩山田产粮相当于实田10亩，每亩场地产粮相当于实田3亩．
2．(2021·玉林)某市垃圾处理厂利用焚烧垃圾产生的热能发电．有 A，B 两个焚烧炉，每个焚烧炉每天焚烧垃圾均为 100 吨，每焚烧一吨垃圾，A 焚烧炉比 B 焚烧炉多发电 50 度，A，B 焚烧炉每天共发电 55 000 度． (1)求焚烧一吨垃圾，A 焚烧炉和 B 焚烧炉各发电多少度？ (2)若经过改进工艺，与改进工艺之前相比每焚烧一吨垃圾，A 焚烧炉和 B 焚烧炉的发电量分别增加 a%和 2a%，则 A，B 焚烧炉每天共发电至少增加(5＋a)%，求 a 的最小值．

九年级数学中考专项复习——函数图像与实际问题应用题(附答案)

中考专项复习——函数与实际问题1. 甲、乙两车从A 城出发前往B 城．在整个行程中，甲车离开A 城的距离1km y 与甲车离开A 城的时间 h x 的对应关系如图所示．乙车比甲车晚出发1h 2，以60 km/h 的速度匀速行驶．（Ⅰ）填空：① A ，B 两城相距km② 当02x ≤≤时，甲车的速度为 km/h ③ 乙车比甲车晚 h 到达B 城 ④ 甲车出发4h 时，距离A 城km⑤ 甲、乙两车在行程中相遇时，甲车离开A 城的时间为 h（Ⅱ）当2053x ≤≤时，请直接写出1y 关于x 的函数解析式．（Ⅲ）当1352x ≤≤时，两车所在位置的距离最多相差多少km ？y 1/ km 53232. 已知聪聪家、体育场、文具店在同一直线上，下面的图象反映的过程是：聪聪从家跑步去体育场，在那里锻炼了一阵后又走到文具店去买笔，然后散步走回家．图中x 表示过程中聪聪离开家的时间，y 表示聪聪离家的距离．请根据相关信息，解答下列问题：（Ⅰ）填表：离开家的时间/min 6 10 20 46 离家的距离/km12.5（Ⅱ）填空：① 聪聪家到体育场的距离为______km② 聪聪从体育场到文具店的速度为______km/min ③ 聪聪从文具店散步回家的速度为______ km/min④ 当聪聪离家的距离为2 km 时，他离开家的时间为______min （Ⅲ）当10045≤≤x 时，请直接写出y 关于x 的函数解析式．3.同一种品牌的空调在甲、乙两个电器店的标价均是每台3000元.现甲、乙两个电器店优惠促销，甲电器店的优惠方案：如果一次购买台数不超过5台时，价格为每台3000元，如果一次购买台数超过5台时，超过部分按六折销售；乙电器店的优惠方案：全部按八折销售.设某校在同一家电器店一次购买空调的数量为x （x 为正整数）. （Ⅰ）根据题意，填写下表：一次购买台数（台） 2 6 15 … 甲电器店收费（元） 6000 … 乙电器店收费（元）4800…（Ⅱ）设在甲电器店购买收费y 1元，在乙电器店购买收费y 2元，分别写出y 1、y 2关于x 的函数关系式；（Ⅲ）当x > 6时，该校在哪家电器店购买更合算？并说明理由.4.已知小明的家、体育场、文化宫在同一直线上．下面的图象反映的过程是：小明早上从家跑步去体育场，在那里锻炼了一阵后又走到文化宫去看书画展览，然后散步回家．图中x 表示时间（单位是分钟）y 表示到小明家的距离（单位是千米）．请根据相关信息，解答下列问题：（Ⅰ）填表：小明离开家的时间/min 5 10 15 30 45 小明离家的距离/km131（Ⅱ）填空：（i ）小明在文化宫停留了_____________min（ii ）小明从家到体育场的速度为_______________km /min （iii ）小明从文化宫回家的平均速度为_______________km /min（iv ）当小明距家的距离为0.6km 时，他离开家的时间为_________________min （Ⅲ）当0≤x ≤45时，请直接写出y 关于x 的函数解析式.5.共享电动车是一种新理念下的交通工具：主要面向的出行市场，现有A 两种品牌的共享电动车，给出的图象反映了收费元与骑行时间min 之间的对应关系，其中品牌收费方式对应，品牌的收费方式对应．请根据相关信息，解答下列问题：（Ⅰ）填表：骑行时间/min 10 20 25 A 品牌收费/元 8 B 品牌收费/元8（Ⅱ）填空：①B 品牌10分钟后，每分钟收费元；②如果小明每天早上需要骑行A 品牌或B 品牌的共享电动车去工厂上班，已知两种品牌共享电动车的平均行驶速度均为，小明家到工厂的距离为，那么小明选择品牌共享电动车更省钱；③直接写出两种品牌共享电动车收费相差3元时的值是．（Ⅲ）直接写出，关于的函数解析式．3~10km B y x A 1y B 2y 300m /min 9km x 1y 2y x y /元O 10 20 x /min8 66. 小明的父亲在批发市场按每千克1.5元批发了若干千克的西瓜进城出售,为了方便他带了一些零钱备用．他先按市场价售出一些后，又降价出售．售出西瓜千克数x 与他手中持有的钱数y 元（含备用零钱）的关系如图所示，请根据相关信息，解答下列问题：（Ⅰ）填表：售出西瓜x /kg 0 10 20 30 40 80手中持有的钱数y /元 50______120155190 ______（Ⅱ）填空：①降价前他每千克西瓜出售的价格是________元②随后他按每千克下降1元将剩余的西瓜售完，这时他手中的钱（含备用的钱）是450 元，他一共批发了_________千克的西瓜（Ⅲ）当0≤x ≤80 时求y 与x 的函数关系式．7. 工厂某车间需加工一批零件，甲组工人加工中因故停产检修机器一次，然后以原来的工作效率继续加工，由于时间紧任务重，乙组工人也加入共同加工零件．设甲组加工时间为t （时），甲组加工零件的数量为 y 甲（个），乙组加工零件的数量为 y 乙（个），其函数图象如图所示．（I ）根据图象信息填表：（Ⅱ）填空：①甲组工人每小时加工零件个 ②乙组工人每小时加工零件个③甲组加工小时的时候，甲、乙两组加工零件的总数为480个（Ⅲ）分别求出 y 甲、y 乙与t 之间的函数关系式．加工时间t （时） 3 4 8 甲组加工零件的数量（个）a ＝8. 4月23日是“世界读书日”，甲、乙两个书店在这一天举行了购书优惠活动．在甲书店所有书籍按标价总额的折出售．在乙书店一次购书的标价总额不超过元的按标价总额计费，超过元后的部分打折．设在同一家书店一次购书的标价总额为（单位：元，）．（Ⅰ）根据题意，填写下表：一次购书的标价总额/元… 在甲书店应支付金额/元 … 在乙书店应支付金额/元…（Ⅱ）设在甲书店应支付金额元，在乙书店应支付金额元，分别写出、关于的函数关系式；（Ⅲ）根据题意填空：① 若在甲书店和在乙书店一次购书的标价总额相同，且应支付的金额相同，则在同一个书店一次购书的标价总额元；② 若在同一个书店一次购书应支付金额为元，则在甲、乙两个书店中的书店购书的标价总额多； ③ 若在同一个书店一次购书的标价总额元，则在甲、乙两个书店中的书店购书应支付的金额少．9. 在“看图说故事”活动中，某学习小组结合图象设计了一个问题情境．已知小明家、体育场、文具店依次在同一条直线上. 体育场离家，文具店离家．周末小明从家出发，匀速跑步到体育场；在体育场锻炼后，匀速走了到文具店；在文具店停留买笔后，匀速走了返回家．给出的图象反映了这个过程中小明离开家的距离与离开家的时间之间的对应关系．请根据相关信息，解答下列问题：（I ）填表：离开家的时间/min离开家的距离/ km（II ）填空：① 体育场到文具店的距离为______ ② 小明从家到体育场的速度为______ ③ 小明从文具店返回家的速度为______④ 当小明离家的距离为时，他离开家的时间为______ （III ）当时，请直接写出关于的函数解析式．81001006x 0x 501503*********y 2y 1y 2y x 2801203km 1.5km 15min 15min 15min 20min 30min km y min x 6122050701.23km km /min km /min 0.6km min 045x ≤≤y x10. 一个有进水管与出水管的容器，从某时刻开始4分钟内只进水不出水，在随后的8分钟内既进水又出水，12分钟后关闭进水管，放空容器中的水，每分钟的进水量和出水量是两个常数．容器内水量y （单位：L ）与时间x （单位：min ）之间的关系如图所示．请根据相关信息，解答下列问题：（Ⅰ）填表：（Ⅱ）填空：①每分钟进水______升，每分钟出水______升 ②容器中储水量不低于15升的时长是_________分钟（Ⅲ）当0≤x ≤12时，请直接写出y 关于x 的函数解析式.11. 明明的家与书店、学校依次在同一直线上，明明骑自行车从家出发去学校上学，当他骑了一段路时，想起要买某本书，于是又返回到刚经过的书店，买到书后继续去学校.下面图象反映了明明本次上学离家距离y （单位：m ）与所用时间x （单位：min ）之间的对应关系.请根据相关信息，解决下列问题：（Ⅰ）填表：（Ⅱ）填空：①明明家与书店的距离是 m②明明在书店停留的时间是min③明明与家距离900m 时，明明离开家的时间是 min（Ⅲ）当6≤t 14≤时，请直接写出y 与x 的函数关系式. 时间/min23412容器内水量/L1020离开家的时间/min25811离家的距离/m400 60012. 甲，乙两车从A 城出发前往B 城．在整个行程中，甲乙两车都以匀速行驶，汽车离开A 城的距离ykm 与时刻t 的对应关系如下图所示．请根据相关信息，解答下列问题：（I ）填表：（II ）填空：①A ，B 两城的距离为 km②甲车的速度为 km/h 乙车的速度为 km/h ③乙车追上甲车用了 h 此时两车离开A 城的距离是 km ④当9:00时，甲乙两车相距 km⑤ 当甲车离开A 城120km 时甲车行驶了 h ⑥ 当乙车出发行驶 h 时甲乙两车相距20km13.大部分国家都使用摄氏温度，但美国、英国等国家的天气预报仍然使用华氏温度．两种计量之间有如下对应：（Ⅰ）如果两种计量之间的关系是一次函数，设摄氏温度为x （ °C ）时对应的华氏温度为y （ °F ），请你写出华氏温度关于摄氏温度的函数表达式；（Ⅱ）求当华氏温度为0°F 时，摄氏温度是多少°C ？（Ⅲ）华氏温度的值与对应的摄氏温度的值有可能相等吗？若可能求出此值；若不可能请说明理由 .从A 城出发的时刻到达B 城的时刻甲 5:00 乙9:00摄氏温度/°C 0 10 20 30 40 华氏温度/°F32506886104参考答案1. 解：（Ⅰ）①360 ②60 ③56④6803⑤52或196（Ⅱ）当0≤x ≤2时 160y x =当2223x <≤时 1120y =当222533x <≤时 1280803y x =-（Ⅲ）当1352x ≤≤时由题意，可知甲车在乙车前面，设两车所在位置的距离相差y km则2801908060302033y x x x =---=-（）（） ∵ 200>∴ y 随x 的增大而增大 ∴ 当5x =时y 取得最大值1103答：两车所在位置的距离最多相差1103km2.解：（Ⅰ） 1.5（Ⅱ）①2.5 ②③ ④12或（Ⅲ）当时当时3. 解：（Ⅰ）16800 33000 14400 36000（Ⅱ）当0＜≤5时当＞5时，即；=⎩⎪⎨⎪⎧3000x （0＜x ≤5且x 为正整数），1800x ＋6000（x ＞5且x 为正整数）.（x ＞0且x 为正整数）531153702756545≤≤x 5.1=y 10065≤<x 730703+-=x y x 13000y x x 1300053000605y x％（）118006000y x1y 23000802400y x x ％（Ⅲ）设与的总费用的差为元. 则即. 当时即解得.∴当时选择甲乙两家电器店购买均可 ∵＜0∴随的增大而减小∴当6＜x ＜10时1y ＞2y 在乙家电器店购买更合算当x ＞10时＜在甲家电器店购买更合算4. 解：（Ⅰ）1 0.5（Ⅱ）填空：（i ） 25 （ii ）（iii ）（iv ）9或42（ii ）（Ⅲ）y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x （0≤x ≤15），1（15＜x ≤30）， x ＋2（30＜x ≤ 45）.5.解：（Ⅰ）（Ⅱ）①0.2 ②B ③152或35 （Ⅲ）10.4 (0)y x x =≥ 26 0100.24 10x y x x ⎧=⎨+⎩，≤≤．，，＞6. 解：（Ⅰ）85 330（Ⅱ）3.5 128（Ⅲ）设y 与x 的函数关系式是)0(≠+=k b kx y ∵图象过），（500和）（330,80∴⎩⎨⎧+==b k b8033050 1y 2y y 180060002400y x x 6006000y x 0y60060000x10x10x 600y x 1y 2y 23115160115130-解得⎩⎨⎧==505.3b k ∴y 与x 的函数关系式为505.3+=x y )800(≤≤x7. （Ⅰ）（II ） ① 40 ② 120 ③ 7 (III ) （1）当时当时当时∵图象经过（4 120）则解得：∴ 当时∴（2）设把分别代入得解得 ∴与时间t 之间的函数关系式为：8. 解：（Ⅰ）40 240 50 220 （Ⅱ）10.8y x =（0x >）当0100x <≤时 2y x =当100x >时 21000.6100y x =+⨯-（）即20.640y x =+ （Ⅲ）① 200 ② 乙 ③ 甲03t t y 40=甲43≤t ＜120=甲y 84≤t ＜140b t y +=甲1440120b +⨯=401-=b 84≤t ＜4040-=t y 甲⎪⎩⎪⎨⎧≤-≤≤≤=)84(404043(120)3040t t t t t y ＜）＜（甲2b kt y +=乙(5,0)(8,360)⎩⎨⎧+=+=22836050b k b k ⎩⎨⎧-==6001202b k y 乙）乙85(600120≤≤-=t t y9. 解：（Ⅰ）2.4 1.5 1.25（Ⅱ）①1.5 ②0.2 ③0.05 ④3或83（Ⅲ）当015≤≤x 时 0.2=y x当1530<≤x 时 3=y当3045<≤x 时 0.16=-+y x10. （Ⅰ）填表：（Ⅱ）①5 3.75 ②13（Ⅲ）当04x ≤<时5y x =当412x <≤时5154y x =+11. 解：（Ⅰ）1000 600（Ⅱ）①600 ②4 ③4.5或7或338 （Ⅲ）300300068600812450480014x x y x x x -+≤≤⎧⎪=≤⎨⎪-≤⎩（）（＜）（12＜） 12. 解：（I ）甲 10:00 乙 6:00（II ）①300 ②60 100 ③1.5 150④60 ⑤2 ⑥ 1或213. 解：（Ⅰ）过程略 ∴华氏温度关于摄氏温度的函数表达式为1832y .x （Ⅱ）令0=y 则0328.1=+x 解得9160-=x ∴当华氏温度为0 °F 时摄氏温度是1609°C （Ⅲ）令x y =则x x =+328.1解得40-=x答：当华氏温度为- 40 °F 时，摄氏温度为-40°C 时，华氏温度的值与对应的摄氏温度的值相等. 时间/min 2 3 4 12 容器内水量/L 10 15 20 30。

中考数学考点：专题(50)函数的应用(含答案)

专题50 函数的应用聚焦考点☆温习理解1．函数的应用主要涉及到经济决策、市场经济等方面的应用．2．利用函数知识解应用题的一般步骤： (1)设定实际问题中的变量；(2)建立变量与变量之间的函数关系，如：一次函数，二次函数或其他复合而成的函数式；(3)确定自变量的取值范围，保证自变量具有实际意义；(4)利用函数的性质解决问题；(5)写出答案．3．利用函数并与方程(组)、不等式(组)联系在一起解决实际生活中的利率、利润、租金、生产方案的设计问题．名师点睛☆典例分类考点典例一、一次函数相关应用题【例1】 (2015.陕西省，第21题，7分)（本题满分7分）胡老师计划组织朋友暑假去革命圣地延安两日游，经了解，现有甲、乙两家旅行社比较合适，报价均为每人640元，且提供的服务完全相同，针对组团两日游的游客，甲旅行社表示，每人都按八五折收费；乙旅行社表示，若人数不超过20人，每人都按九折收费，超过20人，则超出部分每人按七五折收费。

假设组团参加甲、乙两家旅行社两日游的人数均为x 人。

（1）请分别写出甲、乙两家旅行社收取组团两日游的总费用y （元）与x （人）之间的函数关系式；（2）若胡老师组团参加两日游的人数共有32人，请你通过计算，在甲、乙两家旅行社中，帮助胡老师选择收取总费用较少的一家。

【答案】（1）甲旅行社：x 85.0640y ⨯==x 544.乙旅行社：当20x ≤时，x 9.0640y ⨯==x 576.当x>20时，20)-x 0.75640209.0640y （⨯+⨯⨯==1920x 480+.（2）胡老师选择乙旅行社.【解析】×人数；乙总费用y=20个人九折的费用+超过的人数×报价×打折率，列出y关于x的函数关系式，（2）根据人数计算出甲乙两家的费用再比较大小，哪家小就选择哪家.考点：一次函数的应用、分类思想的应用．【点睛】本题根据实际问题考查了一次函数的运用．解决本题的关键是根据题意正确列出两种方案的解析式，进而计算出临界点x的取值，再进一步讨论．【举一反三】(2015·黑龙江哈尔滨）小明家、公交车站、学校在一条笔直的公路旁（小明家到这条公路的距离忽略不计）。

中考数学专题五函数应用问题综合题(解析版全国适用)

函数实际问题综合题一、一次函数+二次函数应用问题例题（2020·湖北随州·中考真题）2020年新冠肺炎疫情期间.部分药店趁机将口罩涨价.经调查发现某药店某月（按30天计）前5天的某型号口罩销售价格p （元/只）和销量q （只）与第x 天的关系如下表：第x 天1 2 3 4 5 销售价格p （元/只）2 3 4 5 6 销量q （只）7075808590店从第6天起将该型号口罩的价格调整为1元/只．据统计.该药店从第6天起销量q （只）与第x 天的关系为2280200q x x =-+-（630x ≤≤.且x 为整数）.已知该型号口罩的进货价格为0.5元/只．（1）直接写出．．．．该药店该月前5天的销售价格p 与x 和销量q 与x 之间的函数关系式. （2）求该药店该月销售该型号口罩获得的利润W （元）与x 的函数关系式.并判断第几天的利润最大.（3）物价部门为了进一步加强市场整顿.对此药店在这个月销售该型号口罩的过程中获得的正常利润之外的非法所得部分处以m 倍的罚款.若罚款金额不低于2000元.则m 的取值范围为______．【答案】（1）1p x =+.15x ≤≤且x 为整数.565q x =+.15x ≤≤且x 为整数.（2）22135655,152240100,630x x x x W x x x x ⎧++⎪=⎨⎪-+-⎩且为整数且为整数.第5天时利润最大.（3）85m ．【解析】【分析】（1）根据表格数据.p 是x 的一次函数.q 是x 的一次函数.分别求出解析式即可. （2）根据题意.求出利润w 与x 的关系式.再结合二次函数的性质.即可求出利润的最大值．（3）先求出前5天多赚的利润.然后列出不等式.即可求出m 的取值范围．【详解】（1）观察表格发现p 是x 的一次函数.q 是x 的一次函数. 设p=k 1x+b 1.将x=1.p=2.x=2.p=3分别代入得：1111232k b k b =+⎧⎨=+⎩. 解得：1111k b =⎧⎨=⎩. 所以1p x =+.经验证p=x+1符合题意. 所以1p x =+.15x ≤≤且x 为整数. 设q=k 2x+b 2.将x=1.q=70.x=2.q=75分别代入得：222270752k b k b =+⎧⎨=+⎩. 解得：22565k b =⎧⎨=⎩. 所以565q x =+.经验证565q x =+符合题意. 所以565q x =+.15x ≤≤且x 为整数. （2）当15x ≤≤且x 为整数时.(10.5)(565)W x x =+-+213565522x x =++. 当630x ≤≤且x 为整数时.()2(10.5)280200W x x =--+-240100x x =-+-.即有22135655,152240100,630x x x x W x x x x ⎧++⎪=⎨⎪-+-⎩且为整数且为整数. 当15x ≤≤且x 为整数时.售价.销量均随x 的增大而增大. 故当5x =时.495W =最大（元）当630x ≤≤且x 为整数时.2240100(20)300W x x x =-+-=--+ 故当20x时.300W =最大（元）.由495300>.可知第5天时利润最大．（3）根据题意.前5天的销售数量为：7075808590400q =++++=（只）. ∴前5天多赚的利润为：(270375480585690)140016504001250W =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯-⨯=-=（元）.∴12502000m ≥. ∴85m. ∴m 的取值范围为85m ．【点睛】此题考查二次函数的性质及其应用.一次函数的应用.不等式的应用.也考查了二次函数的基本性质.另外将实际问题转化为求函数最值问题.从而来解决实际问题．练习题1．（2021·山东青岛·中考真题）科研人员为了研究弹射器的某项性能.利用无人机测量小钢球竖直向上运动的相关数据．无人机上升到离地面30米处开始保持匀速竖直上升.此时.在地面用弹射器（高度不计）竖直向上弹射一个小钢球（忽路空气阻力）.在1秒时.它们距离地面都是35米.在6秒时.它们距离地面的高度也相同．其中无人机离地面高度1y （米）与小钢球运动时间x （秒）之间的函数关系如图所示.小钢球离地面高度2y （米）与它的运动时间x （秒）之间的函数关系如图中抛物线所示．（1）直接写出1y 与x 之间的函数关系式. （2）求出2y 与x 之间的函数关系式.（3）小钢球弹射1秒后直至落地时.小钢球和无人机的高度差最大是多少米？【答案】（1）1530y x =+.（2）22540y x x =-+.（3）70米【解析】【分析】（1）先设出一次函数的解析式.再用待定系数法求函数解析式即可. （2）用待定系数法求函数解析式即可.（3）当1＜x ≤6时小钢球在无人机上方.因此求y 2-y 1.当6＜x ≤8时.无人机在小钢球的上方.因此求y 1-y 2.然后进行比较判断即可．【详解】解：（1）设y 1与x 之间的函数关系式为y 1=kx +b'. ∵函数图象过点（0.30）和（1.35）.则'35'30k b b +=⎧⎨=⎩. 解得5'30k b =⎧⎨=⎩. ∴y 1与x 之间的函数关系式为1530y x =+．（2）∵6x =时.1563060y =⨯+=. ∵2y 的图象是过原点的抛物线.∴设22y ax bx =+.∴点()1,35.()6,60在抛物线22y ax bx =+上．∴3536660a b a b +=⎧⎨+=⎩.即35610a b a b +=⎧⎨+=⎩. 解得540a b =-⎧⎨=⎩. ∴22540y x x =-+．答：2y 与x 的函数关系式为22540y x x =-+．（3）设小钢球和无人机的高度差为y 米. 由25400x x -+=得10x =或28x =. ①16x <≤时.21y y y =-2540530x x x =-+-- 253530x x =-+-27125524x ⎛⎫=--+⎪⎝⎭. ∵50a =-<.∴抛物线开口向下. 又∵16x <≤. ∴当72x =时.y 的最大值为1254. ②68x <≤时.12y y y =-2530540x x x =++- 253530x x =-+27125524x ⎛⎫=--⎪⎝⎭. ∵50a =>.∴拋物线开口向上. 又∵对称轴是直线72x =. ∴当72x >时.y 随x 的增大而增大. ∵68x <≤.∴当8x =时.y 的最大值为70． ∵125704<. ∴高度差的最大值为70米．答：高度差的最大值为70米．【点睛】本题考查了二次函数以及一次函数的应用.关键是根据根据实际情况判断无人机和小钢球的高度差．2．（2021·辽宁盘锦·中考真题）某工厂生产并销售A .B 两种型号车床共14台.生产并销售1台A 型车床可以获利10万元.如果生产并销售不超过4台B 型车床.则每台B 型车床可以获利17万元.如果超出4台B 型车床.则每超出1台.每台B 型车床获利将均减少1万元．设生产并销售B 型车床x 台．（1）当4x >时.完成以下两个问题： ①请补全下面的表格：A 型B 型车床数量/台 ________ x每台车床获利/万元10________70万元.问：生产并销售B 型车床多少台？（2）当0＜x ≤14时.设生产并销售A .B 两种型号车床获得的总利润为W 万元.如何分配生产并销售A .B 两种车床的数量.使获得的总利润W 最大？并求出最大利润．【答案】（1）①14x -.21x -.②10台.（2）分配产销A 型车床9台、B 型车床5台.或产销A 型车床8台、B 型车床6台.此时可获得总利润最大值170万元【解析】【分析】（1）①由题意可知.生产并销售B 型车床x 台时.生产A 型车床（14-x ）台.当4x >时.每台就要比17万元少（4x -）万元.所以每台获利17(4)x --.也就是（21x -）万元. ②根据题意可得根据题意：(21)10(14)70x x x ---=然后解方程即可. （2）当0≤x ≤4时.W ＝10(14)x -＋17x ＝7140x +.当4＜x ≤14时. W ＝2( 5.5)170.25x --+.分别求出两个范围内的最大值即可得到答案. 【详解】解：（1）当4x >时.每台就要比17万元少（4x -）万元所以每台获利17(4)x --.也就是（21x -）万元 ①补全表格如下面：A 型B 型车床数量/台 14x -x每台车床获利/万元1021x -由B 型可获得利润为(21)x x -万元.根据题意：(21)10(14)70x x x ---=. 2312100x x -+=.(21)(10)0x x --=.∵0≤x ≤14. ∴10x =.即应产销B 型车床10台. （2）当0≤x ≤4时. 当0≤x ≤4 A 型 B 型车床数量/台 14x -x每台车床获利/万元 1017 利润10(14)x -17x该函数值随着x 的增大而增大.当x 取最大值4时.W 最大1＝168（万元）. 当4＜x ≤14时. 当4＜x ≤14 A 型 B 型车床数量/台 14x -x每台车床获利/万元1021x -利润10(14)x - (21)x x -则＝＋＝211140x x -++＝( 5.5)170.25x --+.当5x =或6x =时（均满足条件4＜x ≤14）.W 达最大值W 最大2＝170（万元）. ∵W 最大2＞ W 最大1.∴应分配产销A 型车床9台、B 型车床5台.或产销A 型车床8台、B 型车床6台.此时可获得总利润最大值170万元．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的实际应用.一次函数和二次函数的实际应用.解题的关键在于能够根据题意列出合适的方程或函数关系式求解.3．（2021·辽宁锦州·中考真题）某公司计划购进一批原料加工销售.已知该原料的进价为6.2万元/t .加工过程中原料的质量有20%的损耗.加工费m （万元）与原料的质量x （t ）之间的关系为m ＝50＋0.2x .销售价y （万元/t ）与原料的质量x （t ）之间的关系如图所示．（1）求y 与x 之间的函数关系式.（2）设销售收入为P （万元）.求P 与x 之间的函数关系式.（3）原料的质量x 为多少吨时.所获销售利润最大.最大销售利润是多少万元？（销售利润＝销售收入﹣总支出）．【答案】（1）1y 204x =-+.（2）21165P x x =-+.（3）原料的质量为24吨时.所获销售利润最大.最大销售利润是3265万元【解析】【分析】（1）利用待定系数法求函数关系式.（2）根据销售收入＝销售价×销售量列出函数关系式.（3）设销售总利润为W .根据销售利润＝销售收入﹣原料成本﹣加工费列出函数关系式.然后根据二次函数的性质分析其最值．【详解】解：（1）设y 与x 之间的函数关系式为y kx b +＝. 将（20.15）.（30.12.5）代入. 可得：20153012.5k b k b +=⎧⎨+=⎩. 解得：1420k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩. ∴y 与x 之间的函数关系式为1y 204x =-+.（2）设销售收入为P （万元）.∴()2411120%2016545P xy x x x x ⎛⎫=-=⨯-+=-+ ⎪⎝⎭.∴P 与x 之间的函数关系式为21165P x x =-+.（3）设销售总利润为W .∴()216.216 6.2500.25W P x m x x x x =--=-+--+.整理.可得：()22148132650245555W x x x =-+-=--+. ∵﹣15＜0.∴当24x ＝时.W 有最大值为3265. ∴原料的质量为24吨时.所获销售利润最大.最大销售利润是3265万元．【点睛】本题考查了二次函数的实际应用.涉及了数形结合的数学思想.熟练掌握待定系数法求解析式是解决本题的关键．4．（2021·湖北荆门·中考真题）某公司电商平台.在2021年五一长假期间.举行了商品打折促销活动.经市场调查发现.某种商品的周销售量y （件）是关于售价x （元/件）的一次函数.下表仅列出了该商品的售价x .周销售量y .周销售利润W （元）的三组对应值数据． x 40 70 90 y1809030W 3600 4500 2100.（2）若该商品进价a （元/件）.售价x 为多少时.周销售利润W 最大？并求出此时的最大利润.（3）因疫情期间.该商品进价提高了m （元/件）（0m >）.公司为回馈消费者.规定该商品售价x 不得超过55（元/件）.且该商品在今后的销售中.周销售量与售价仍满足（1）中的函数关系.若周销售最大利润是4050元.求m 的值．【答案】（1）3300y x =-+.（2）售价60元时.周销售利润最大为4800元.（3）5m = 【解析】【分析】（1）①依题意设y=kx+b.解方程组即可得到结论.（2）根据题意得(3300)()W x x a =-+-.再由表格数据求出20a =.得到2(3300)(20)3(60)4800W x x x =-+-=--+.根据二次函数的顶点式.求出最值即可.（3）根据题意得3(100)(20)(55)W x x m x =----.由于对称轴是直线60602mx =+>.根据二次函数的性质即可得到结论．【详解】解：（1）设y kx b =+.由题意有401807090k b k b +=⎧⎨+=⎩.解得3300k b =-⎧⎨=⎩. 所以y 关于x 的函数解析式为3300y x =-+. （2）由（1）(3300)()W x x a =-+-.又由表可得： 3600(340300)(40)a =-⨯+-.20a ∴=.22(3300)(20)336060003(60)4800W x x x x x ∴=-+-=-+-=--+．所以售价60x =时.周销售利润W 最大.最大利润为4800. （3）由题意3(100)(20)(55)W x x m x =----. 其对称轴60602mx =+>.055x ∴<时上述函数单调递增. 所以只有55x =时周销售利润最大.40503(55100)(5520)m ∴=----． 5m ∴=．【点睛】本题考查了二次函数在实际生活中的应用.重点是掌握求最值的问题．注意：数学应用题来源于实践.用于实践.在当今社会市场经济的环境下.应掌握一些有关商品价格和利润的知识.总利润等于总收入减去总成本.然后再利用二次函数求最值．5．（2021·辽宁营口·中考真题）某商家正在热销一种商品.其成本为30元/件.在销售过程中发现随着售价增加.销售量在减少．商家决定当售价为60元/件时.改变销售策略.此时售价每增加1元需支付由此产生的额外费用150元．该商品销售量y （件）与售价x （元/件）满足如图所示的函数关系.（其中4070x ≤≤.且x 为整数）（1）直接写出y 与x 的函数关系式.（2）当售价为多少时.商家所获利润最大.最大利润是多少？【答案】（1）10700406052006070x x y x x -+≤≤⎧=⎨-<≤⎩.（2）当售价为70元时.商家所获利润最大.最大利润是4500元【解析】【分析】（1）利用待定系数法分段求解函数解析式即可.（2）分别求出当4060x ≤≤时与当6070x <≤时的销售利润解析式.利用二次函数的性质即可求解．【详解】解：（1）当4060x ≤≤时.设11y k x b =+. 将()40,300和()60,100代入.可得11113004010060k b k b =+⎧⎨=+⎩.解得1110700k b =-⎧⎨=⎩.即10700y x =-+. 当6070x <≤时.设22y k x b =+. 将()70,150和()60,100代入.可得22221507010060k b k b =+⎧⎨=+⎩.解得225200k b =⎧⎨=-⎩.即5200y x =-. ∴10700406052006070x x y x x -+≤≤⎧=⎨-<≤⎩. （2）当4060x ≤≤时.销售利润()()22301010002100010504000w y x x x x =⋅-=-+-=--+.当50x =时.销售利润有最大值.为4000元. 当6070x <≤时.销售利润()()()2230150605500150005502500w y x x x x x =⋅---=-+=-+.该二次函数开口向上.对称轴为50x =.当6070x <≤时位于对称轴右侧. 当70x =时.销售利润有最大值.为4500元. ∵45004000>.∴当售价为70元时.商家所获利润最大.最大利润是4500元．【点睛】本题考查一次函数的应用、二次函数的性质.根据图象列出解析式是解题的关键． 6．（2021·湖南郴州·中考真题）某商店从厂家以每件2元的价格购进一批商品.在市场试销中发现.此商品的月销售量y （单位：万件）与销售单价x （单位：元）之间有如下表所示关系：x… 4.0 5.0 5.5 6.5 7.5 … y…8.06.05.03.01.0…（1）根据表中的数据.在图中描出实数对(,)x y 所对应的点.并画出y 关于x 的函数图象. （2）根据画出的函数图象.求出y 关于x 的函数表达式. （3）设经营此商品的月销售利润为P （单位：万元）． ①写出P 关于x 的函数表达式.②该商店计划从这批商品获得的月销售利润为10万元（不计其它成本）.若物价局限定商品的销售单价不得超过．．．．进价的200%.则此时的销售单价应定为多少元？【答案】（1）图象见详解.（2）216y x =-+.（3）①222032P x x =-+-.②销售单价应定为3元．【解析】【分析】（1）由题意可直接进行作图.（2）由图象可得y 与x 满足一次函数的关系.所以设其关系式为y kx b =+.然后任意代入表格中的两组数据进行求解即可.（3）①由题意易得()2P x y =-.然后由（2）可进行求解.②由①及题意可得22203210x x -+-=.然后求解.进而根据销售单价不得超过进价的200％可求解．【详解】解：（1）y 关于x 的函数图象如图所示：（2）由（1）可设y 与x 的函数关系式为y kx b =+.则由表格可把()()4,8,5,6代入得：4856k b k b +=⎧⎨+=⎩.解得：216k b =-⎧⎨=⎩. ∴y 与x 的函数关系式为216y x =-+. （3）①由（2）及题意可得：()()()22221622032P x y x x x x =-=--+=-+-.∴P 关于x 的函数表达式为222032P x x =-+-. ②由题意得：2200x ≤⨯％.即4x ≤. ∴22203210x x -+-=. 解得：123,7x x ==.∴3x=.答：此时的销售单价应定为3元．【点睛】本题主要考查二次函数与一次函数的应用.熟练掌握二次函数与一次函数的应用是解题的关键．7．（2021·四川南充·中考真题）超市购进某种苹果.如果进价增加2元/千克要用300元.如果进价减少2元/千克.同样数量的苹果只用200元．（1）求苹果的进价．（2）如果购进这种苹果不超过100千克.就按原价购进.如果购进苹果超过100千克.超过部分购进价格减少2元/千克．写出购进苹果的支出y（元）与购进数量x（千克）之间的函数关系式．（3）超市一天购进苹果数量不超过300千克.且购进苹果当天全部销售完．据统计.销售单价z（元/千克）与一天销售数量x（千克）的关系为112100z x=-+．在（2）的条件下.要使超市销售苹果利润w（元）最大.求一天购进苹果数量．（利润＝销售收入-购进支出）【答案】（1）苹果的进价为10元/千克.（2）10(100)8200(100)x xyx x≤⎧=⎨+>⎩.（3）要使超市销售苹果利润w最大.一天购进苹果数量为200千克．【解析】【分析】（1）设苹果的进价为x元/千克.根据等量关系.列出分式方程.即可求解.（2）分两种情况：当x≤100时. 当x＞100时.分别列出函数解析式.即可.（3）分两种情况：若x≤100时.若x＞100时.分别求出w关于x的函数解析式.根据二次函数的性质.即可求解．【详解】解：（1）设苹果的进价为x元/千克.由题意得：30020022x x=+-.解得：x=10.经检验：x=10是方程的解.且符合题意.答：苹果的进价为10元/千克.（2）当x≤100时.y=10x.当x＞100时.y=10×100+（10-2）×（x-100）=8x+200.∴10(100)8200(100)x x y x x ≤⎧=⎨+>⎩. （3）若x ≤100时.w =zx -y =21112102100100x x x x x ⎛⎫-+-=-+ ⎪⎝⎭=()21100100100x --+. ∴当x =100时.w 最大=100. 若x ＞100时.w =zx -y =()2111282004200100100x x x x x ⎛⎫-+-+=-+- ⎪⎝⎭=()21200200100x --+. ∴当x =200时.w 最大=200.综上所述：当x =200时.超市销售苹果利润w 最大.答：要使超市销售苹果利润w 最大.一天购进苹果数量为200千克．【点睛】本题主要考查分式方程、一次函数、二次函数的实际应用.根据数量关系.列出函数解析式和分式方程.是解题的关键．8．（2021·湖北十堰·中考真题）某商贸公司购进某种商品的成本为20元/kg .经过市场调研发现.这种商品在未来40天的销售单价y （元/kg ）与时间x （天）之间的函数关系式为：0.2530(120)35(2040)x x y x +≤≤⎧=⎨<≤⎩且x 为整数.且日销量()kg m 与时间x （天）之间的变化规律符合一次函数关系.如下表：时间x （天） 1 3 6 10 …日销量()kg m 142 138 132 124 …（1）m 与x 的函数关系为___________.（2）哪一天的销售利润最大？最大日销售利润是多少？（3）在实际销售的前20天中.公司决定每销售1kg 商品就捐赠n 元利润（4n <）给当地福利院.后发现：在前20天中.每天扣除捐赠后的日销售利润随时间x 的增大而增大.求n 的取值范围．【答案】（1）2144m x =-+.（2）第16天销售利润最大.最大为1568元.（3）1.75＜n ＜4 【解析】【分析】（1）设m kx b =+.将()1142,.()3138,代入.利用待定系数法即可求解. （2）分别写出当120x ≤≤时与当2040x <≤时的销售利润表达式.利用二次函数和一次函数的性质即可求解.（3）写出在前20天中.每天扣除捐赠后的日销售利润表达式.根据二次函数的性质可得对称轴16220n +≤.求解即可．【详解】解：（1）设m kx b =+.将()1142,.()3138,代入可得： 1421383k b k b =+⎧⎨=+⎩.解得2144k b =-⎧⎨=⎩. ∴2144m x =-+. （2）当120x ≤≤时.销售利润()()()212021440.2530201615682W my m x x x =-=-++-=--+. 当16x =时.销售利润最大为1568元. 当2040x <≤时.销售利润20302160W my m x =-=-+. 当21x =时.销售利润最大为1530元.综上所述.第16天销售利润最大.最大为1568元. （3）在前20天中.每天扣除捐赠后的日销售利润为：()()()21'200.2510214416214401442W my m nm x n x x n x n =--=+--+=-+++-.对称轴为直线x ═16+2n .∵在前20天中.每天扣除捐赠后的日销售利润随时间x 的增大而增大.且x 只能取整数.故只要第20天的利润高于第19天. 即对称轴要大于19.5 ∴16+2n ＞19.5. 求得n ＞1.75.又∵n ＜4. ∴n 的取值范围是：1.75＜n ＜4. 答：n 的取值范围是1.75＜n ＜4．【点睛】本题考查二次函数与一次函数的实际应用.掌握二次函数与一次函数的性质是解题的关键．9．（2021·江苏扬州·中考真题）甲、乙两汽车出租公司均有50辆汽车对外出租.下面是两公司经理的一段对话：甲公司经理：如果我公司每辆汽车月租费3000元.那么50辆汽车可以全部租出．如果每辆汽车的月租费每增加50元.那么将少租出1辆汽车．另外.公司为每辆租出的汽车支付月维护费200元．乙公司经理：我公司每辆汽车月租费3500元.无论是否租出汽车.公司均需一次性支付月维护费共计1850元．．．②月利润=月租车费-月维护费.③两公司月利润差=月利润较高公司的利润-月利润较低公司的利润．在两公司租出的汽车数量相等的条件下.根据上述信息.解决下列问题：（1）当每个公司租出的汽车为10辆时.甲公司的月利润是_______元.当每个公司租出的汽车为_______辆时.两公司的月利润相等. （2）求两公司月利润差的最大值.（3）甲公司热心公益事业.每租出1辆汽车捐出a 元()0a >给慈善机构.如果捐款后甲公司剩余的月利润仍高于乙公司月利润.且当两公司租出的汽车均为17辆时.甲公司剩余的月利润与乙公司月利润之差最大.求a 的取值范围．【答案】（1）48000.37.（2）33150元.（3）50150a << 【解析】【分析】（1）用甲公司未租出的汽车数量算出每辆车的租金.再乘以10.减去维护费用可得甲公司的月利润.设每个公司租出的汽车为x 辆.根据月利润相等得到方程.解之即可得到结果. （2）设两公司的月利润分别为y 甲.y 乙.月利润差为y .同（1）可得y 甲和y 乙的表达式.再分甲公司的利润大于乙公司和甲公司的利润小于乙公司两种情况.列出y 关于x 的表达式.根据二次函数的性质.结合x 的范围求出最值.再比较即可.（3）根据题意得到利润差为()25018001850y x a x =-+-+.得到对称轴.再根据两公司租出的汽车均为17辆.结合x 为整数可得关于a 的不等式180016.517.5100a-<<.即可求出a 的范围．【详解】解：（1）()50105030001020010-⨯+⨯-⨯⎡⎤⎣⎦=48000元.当每个公司租出的汽车为10辆时.甲公司的月利润是48000元. 设每个公司租出的汽车为x 辆.由题意可得：()5050300020035001850x x x x -⨯+-=-⎡⎤⎣⎦. 解得：x =37或x =-1（舍）.∴当每个公司租出的汽车为37辆时.两公司的月利润相等.（2）设两公司的月利润分别为y 甲.y 乙.月利润差为y . 则y 甲=()50503000200x x x -⨯+-⎡⎤⎣⎦. y 乙=35001850x -.当甲公司的利润大于乙公司时.0＜x ＜37. y =y 甲-y 乙=()()5050300020035001850x x x x -⨯+---⎡⎤⎣⎦ =25018001850x x -++. 当x =1800502--⨯=18时.利润差最大.且为18050元. 当乙公司的利润大于甲公司时.37＜x ≤50. y =y 乙-y 甲=()3500185050503000200x x x x ---⨯++⎡⎤⎣⎦ =25018001850x x --. ∵对称轴为直线x =1800502--⨯=18. 当x =50时.利润差最大.且为33150元. 综上：两公司月利润差的最大值为33150元.（3）∵捐款后甲公司剩余的月利润仍高于乙公司月利润.则利润差为25018001850y x x ax =-++-=()25018001850x a x -+-+.对称轴为直线x =1800100a-. ∵x 只能取整数.且当两公司租出的汽车均为17辆时.月利润之差最大. ∴180016.517.5100a-<<. 解得：50150a <<．【点睛】本题考查了二次函数的实际应用.二次函数的图像和性质.解题时要读懂题意.列出二次函数关系式.尤其（3）中要根据x 为整数得到a 的不等式．10．（2018·湖北荆门·中考真题）随着龙虾节的火热举办.某龙虾养殖大户为了发挥技术优势.一次性收购了10000kg 小龙虾.计划养殖一段时间后再出售．已知每天养殖龙虾的成本相同.放养10天的总成本为166000.放养30天的总成本为178000元．设这批小龙虾放养t 天后的质量为akg.销售单价为y 元/kg.根据往年的行情预测.a 与t 的函数关系为a=()()1000002010080002050t t t ⎧≤≤⎪⎨+<≤⎪⎩.y 与t 的函数关系如图所示．（1）设每天的养殖成本为m 元.收购成本为n 元.求m 与n 的值. （2）求y 与t 的函数关系式.（3）如果将这批小龙虾放养t 天后一次性出售所得利润为W 元．问该龙虾养殖大户将这批小龙虾放养多少天后一次性出售所得利润最大？最大利润是多少？（总成本=放养总费用+收购成本.利润=销售总额﹣总成本）【答案】（1）m=600.n=160000.（2）()()316020513220505t t y t t ⎧+≤≤⎪⎪=⎨⎪-+<≤⎪⎩.（3）该龙虾养殖大户将这批小龙虾放养25天后一次性出售所得利润最大.最大利润是108500元. 【解析】【详解】【分析】（1）根据题意列出方程组.求出方程组的解得到m 与n 的值即可. （2）根据图象.分类讨论利用待定系数法求出y 与P 的解析式即可.（3）根据W=ya ﹣mt ﹣n.表示出W 与t 的函数解析式.利用一次函数与二次函数的性质求出所求即可．【详解】（1）依题意得1016600030178000m n m n +=⎧⎨+=⎩ . 解得：600160000m n =⎧⎨=⎩. （2）当0≤t≤20时.设y=k 1t+b 1.由图象得：111162028b k b =⎧⎨+=⎩. 解得：113516k b ⎧=⎪⎨⎪=⎩ ∴y=35t+16.当20＜t≤50时.设y=k 2t+b 2.由图象得：222220285022k b k b +=⎧⎨+=⎩.解得：221532k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩. ∴y=﹣15t+32.综上.()()3160t 205y 13220t 505t t ⎧+≤≤⎪⎪=⎨⎪-+<≤⎪⎩. （3）W=ya ﹣mt ﹣n.当0≤t≤20时.W=10000（35t+16）﹣600t ﹣160000=5400t.∵5400＞0.∴当t=20时.W 最大=5400×20=108000.当20＜t≤50时.W=（﹣15t+32）（100t+8000）﹣600t ﹣160000=﹣20t 2+1000t+96000=﹣20（t ﹣25）2+108500. ∵﹣20＜0.抛物线开口向下. ∴当t=25.W 最大=108500. ∵108500＞108000.∴当t=25时.W 取得最大值.该最大值为108500元．【点睛】本题考查了二次函数的应用.具体考查了待定系数法确定函数解析式.利用二次函数的性质确定最值.熟练掌握二次函数的性质是解本题的关键．二、一次函数+反比例函数应用问题例题（2021·广东深圳·中考真题）探究：是否存在一个新矩形.使其周长和面积为原矩形的2倍、12倍、k 倍．（1）若该矩形为正方形.是否存在一个正方形.使其周长和面积都为边长为2的正方形的2倍？_______（填“存在”或“不存在”）．（2）继续探究.是否存在一个矩形.使其周长和面积都为长为3.宽为2的矩形的2倍？同学们有以下思路：设新矩形长和宽为x 、y .则依题意10x y +=.12xy =.联立1012x y xy +=⎧⎨=⎩得210120x x -+=.再探究根的情况：根据此方法.请你探究是否存在一个矩形.使其周长和面积都为原矩形的12倍.如图也可用反比例函数与一次函数证明1l ：10y x =-+.2l ：12y x=.那么.①是否存在一个新矩形为原矩形周长和面积的2倍？_______． ②请探究是否有一新矩形周长和面积为原矩形的12.若存在.用图像表达. ③请直接写出当结论成立时k 的取值范围：．【答案】（1）不存在.（2）①存在.②不存在.见解析.③2425k 【解析】【分析】（1）直接求出边长为2的正方形周长与面积.再求出周长扩大2倍即边长扩大2倍时正方形的面积.比较是否也为2倍即可.（2）①依题意根据一元二次方程根的情况判断即可.②设新矩形长和宽为x 、y .则依题意52x y +=.3xy =.联立.求出关于x 、y 的一元二次方程.判断根的情况.③设新矩形长和宽为x 和y .则由题意5x y k +=.6xy k =.同样列出一元二次方程.利用根的判别式进行求解即可．【详解】（1）边长为2的正方形.周长为8.面积为4.当周长为其2倍时.边长即为4.面积为16.即为原来的4倍.故不存在. （2）①存在.∵210120x x -+=的判别式0∆>.方程有两组正数解.故存在. 从图像来看.1l ：10y x =-+.2l ：12y x=在第一象限有两个交点.故存在. ②设新矩形长和宽为x 、y .则依题意52x y +=.3xy =.联立523x y xy ⎧+=⎪⎨⎪=⎩得25302x x -+=. 因为∆<0.此方程无解.故这样的新矩形不存在.从图像来看.1l ：52y x =-+.2l ：3y x =在第一象限无交点.故不存在.③2425k. 设新矩形长和宽为x 和y .则由题意5x y k +=.6xy k =. 联立56x y k xy k +=⎧⎨=⎩得2560x kx k -+=.225240k k ∆=-.故2425k ．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用.根的判别式．需要认真阅读理解题意.根据题干过程模仿解题．练习题1．（2021·浙江台州·中考真题）电子体重科读数直观又便于携带.为人们带来了方便．某综合实践活动小组设计了简易电子体重秤：制作一个装有踏板（踏板质量忽略不计）的可变电阻R 1. R 1与踏板上人的质量m 之间的函数关系式为R 1＝km ＋b （其中k .b 为常数.0≤m ≤120）.其图象如图1所示.图2的电路中.电源电压恒为8伏.定值电阻R 0的阻值为30欧.接通开关.人站上踏板.电压表显示的读数为U 0 .该读数可以换算为人的质量m . 温馨提示：①导体两端的电压U .导体的电阻R .通过导体的电流I .满足关系式I ＝UR. ②串联电路中电流处处相等.各电阻两端的电压之和等于总电压．（1）求k .b 的值.（2）求R 1关于U 0的函数解析式. （3）用含U 0的代数式表示m .（4）若电压表量程为0~6伏.为保护电压表.请确定该电子体重秤可称的最大质量．【答案】（1）2402b k =⎧⎨=-⎩.（2）1024030R U =-.I （3）0120135m U =-.（4）该电子体重秤可称的最大质量为115千克．【解析】【分析】（1）根据待定系数法.即可求解.（2）根据“串联电路中电流处处相等.各电阻两端的电压之和等于总电压”.列出等式.进而即可求解.（3）由R 1＝12-m ＋240.1024030R U =-.即可得到答案. （4）把06U =时.代入0480540m U =-.进而即可得到答案．【详解】解：（1）把（0.240）.（120.0）代入R 1＝km ＋b .得2400120bk b =⎧⎨=+⎩.解得：2402b k =⎧⎨=-⎩. （2）∵001830U U R -=. ∴1024030R U =-. （3）由（1）可知：2402b k =⎧⎨=-⎩. ∴R 1＝2-m ＋240. 又∵1024030R U =-. ∴024030U -=2-m ＋240.即：0120135m U =-. （4）∵电压表量程为0~6伏. ∴当06U =时.1201351156m =-= 答：该电子体重秤可称的最大质量为115千克．【点睛】本题主要考查一次函数与反比例函数的实际应用.熟练掌握待定系数法.是解题的关键． 2．（2021·安徽·中考真题）已知正比例函数(0)y kx k =≠与反比例函数6y x=的图象都经过点A （m .2）．（1）求k .m 的值.（2）在图中画出正比例函数y kx =的图象.并根据图象.写出正比例函数值大于反比例函数值时x 的取值范围．【答案】（1）,k m 的值分别是23和3.（2）30x -<<或3x > 【解析】【分析】（1）把点A （m .2）代入6y x=求得m 的值.从而得点A 的坐标.再代入(0)y kx k =≠求得k 值即可.（2）在坐标系中画出y kx =的图象.根据正比例函数(0)y kx k =≠的图象与反比例函数6y x=图象的两个交点坐标关于原点对称.求得另一个交点的坐标.观察图象即可解答．【详解】（1）将(,2)A m 代入6y x=得62m =.3m ∴=.(3,2)A ∴.将(3,2)A 代入y kx =得23k =.23k ∴=. ,k m ∴的值分别是23和3．（2）正比例函数23y x =的图象如图所示.∵正比例函数(0)y kx k =≠与反比例函数6y x=的图象都经过点A （3.2）. ∴正比例函数(0)y kx k =≠与反比例函数6y x=的图象的另一个交点坐标为（-3.-2）. 由图可知：正比例函数值大于反比例函数值时x 的取值范围为30x -<<或3x >．【点睛】本题是正比例函数与反比例函数的综合题.利用数形结合思想是解决问题的关键． 3．（2020·广西柳州·中考真题）如图.平行于y 轴的直尺（部分）与反比例函数my x=（x ＞0）的图象交于A 、C 两点.与x 轴交于B 、D 两点.连接AC .点A 、B 对应直尺上的刻度分别为5、2.直尺的宽度BD ＝2.OB ＝2．设直线AC 的解析式为y ＝kx +b ．（1）请结合图象.直接写出： ①点A 的坐标是 . ②不等式mkx b x+>的解集是 . （2）求直线AC 的解析式．。

2024中考备考热点05 二次函数的图象及简单应用(8大题型+满分技巧+限时分层检测)

热点05 二次函数的图象及简单应用中考数学中《二次函数的图象及简单应用》部分主要考向分为五类：一、二次函数图象与性质（每年1道，3~4分）二、二次函数图象与系数的关系（每年1题，3~4份）三、二次函数与一元二次方程（每年1~2道，4~8分）四、二次函数的简单应用（每年1题，6~10分）二次函数是初中数学三中函数中知识点和性质最多的一个函数，也是中考数学中的重点和难点，考简答题时经常在二次函数的几何背景下，和其他几何图形一起出成压轴题；也经常出应用题利用二次函数的增减性考察问题的最值。

此外，二次函数的性质、二次函数与系数的关系、二次函数上点的坐标特征也是中考中经常考到的考点，都需要大家准确记忆二次函数的对应考点。

只有熟悉掌握二次函数的一系列考点，才能在遇到对应问题时及时提取有用信息来应对。

考向一：二次函数图象与性质【题型1 二次函数的图象与性质】满分技巧1. 对于二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）的图象：形状：抛物线；对称轴：直线ab x 2-=；顶点坐标：)442(2a b ac a b --，； 2、抛物线的增减性问题，由a 的正负和对称轴同时确定，单一的直接说y 随x 的增大而增大（或减小）是不对的，必须在确定a 的正负后，附加一定的自变量x 取值范围；3、当a＞0，抛物线开口向上，函数有最小值；当a＜0，抛物线开口向下，函数有最大值；而函数的最值都是定点坐标的纵坐标。

1．（2023•沈阳）二次函数y＝﹣（x+1）2+2图象的顶点所在的象限是（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．（2023•兰州）已知二次函数y＝﹣3（x﹣2）2﹣3，下列说法正确的是（）A．对称轴为直线x＝﹣2B．顶点坐标为（2，3）C．函数的最大值是﹣3D．函数的最小值是﹣33．（2023•陕西）在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2+mx+m2﹣m（m为常数）的图象经过点（0，6），其对称轴在y轴左侧，则该二次函数有（）A．最大值5B．最大值C．最小值5D．最小值【题型2 二次函数图象上点的坐标特征】满分技巧牢记一句话，“点在图象上，点的坐标符合其对应解析式”，然后，和哪个几何图形结合，多想与之结合的几何图形的性质1．（2023•广东）如图，抛物线y＝ax2+c经过正方形OABC的三个顶点A，B，C，点B在y轴上，则ac的值为（）A．﹣1B．﹣2C．﹣3D．﹣42．若点P（m，n）在抛物线y＝ax2（a≠0）上，则下列各点在抛物线y＝a（x+1）2上的是（）A．（m，n+1）B．（m+1，n）C．（m，n﹣1）D．（m﹣1，n）3．（2023•十堰）已知点A（x1，y1）在直线y＝3x+19上，点B（x2，y2），C（x3，y3）在抛物线y＝x2+4x ﹣1上，若y1＝y2＝y3，x1＜x2＜x3，则x1+x2+x3的取值范围是（）A．﹣12＜x1+x2+x3＜﹣9B．﹣8＜x1+x2+x3＜﹣6C．﹣9＜x1+x2+x3＜0D．﹣6＜x1+x2+x3＜1【题型3 二次函数图象与几何变换】满分技巧1、二次函数的几何变化，多考察其平移规律，对应方法是：①将一般式转化为顶点式；②根据口诀“左加右减，上加下减”去变化。

类型5 分段函数的实际应用(精选20题)2020年中考数学三轮冲刺难点题型突破(含答案)

分段函数的实际应用1．对于实数a，b，我们定义符号max{a，b}的意义为：当a≥b时，max{a，b}＝a；当a ＜b时，max{a，b}＝b；如：max{4，﹣2}＝4，max{3，3}＝3，若关于x的函数为y＝max{x+3，﹣x+1}，则该函数的最小值是（）A．0B．2C．3D．42．为了节能减排，鼓励居民节约用电，某市将出台新的居民用电收费标准：（1）若每户居民每月用电量不超过100度，则按0.50元/度计算；（2）若每户居民每月用电量超过100度，则超过部分按0.80元/度计算（未超过部分仍按每度电0.50元计算）．现假设某户居民某月用电量是x（单位：度），电费为y（单位：元），则y与x的函数关系用图象表示正确的是（）A．B．C．D．3．根据如图所示程序计算函数值，若输入的x的值为，则输出的函数值为．4．某书定价为30元，如果一次购买20本以上，超过20本的部分打9折，试写出付款金额y（单位：元）与购书数量x（单位：本）之间的函数关系式为．5．为加强公民的节水意识，某城市制定了以下用水收费标准：每户每月用水未超过7m3时，每立方米收费1.0元，并加收0.2元的城市污水处理费；超过7m3的部分每立方米收费1.5元，并加收0.4元的城市污水处理费，设某户每月用水量为x（m3），应交水费为y（元）．（1）写出用水未超过7m3时，y与x之间的函数关系式；（2）写出用水多于7m3时，y与x之间的函数关系式．6．甲、乙两家草莓采摘园的草莓品质相同，销售价格也相同．“五一期间”，两家均推出了优惠方案，甲采摘园的优惠方案是：游客进园需购买60元的门票，采摘的草莓六折优惠；乙采摘园的优惠方案是：游客进园不需购买门票，采摘园的草莓超过一定数量后，超过部分打折优惠．优惠期间，设某游客的草莓采摘量为x（千克），在甲采摘园所需总费用为y1（元），在乙采摘园所需总费用为y2（元），图中折线OAB表示y2与x之间的函数关系．（1）甲、乙两采摘园优惠前的草莓销售价格是每千克元；（2）求y1、y2与x的函数表达式；（3）在图中画出y1与x的函数图象，并写出选择甲采摘园所需总费用较少时，草莓采摘量x的范围．7．一辆客车从甲地开往乙地，一辆出租车从乙地开往甲地，两车同时出发，设客车离甲地的距离为y1（km），出租车离甲地的距离为y2（km），客车行驶时间为x（h），y1y2与x 之间的函数关系图象如图所示：（1）根据图象，直接写出y1，y2与x之间的函数关系；（2）分别求出当x＝3，x＝5，x＝8时，两车之间的距离．（3）若设两车间的距离为S（km），请写出S关于x的函数关系式．8．甲、乙两家商场以同样的价格出售同样的商品，并且又各自推出不同的优惠方案，在甲商场累计购物超过100元后，超出100元的部分按90%收费；在乙商场累计购物超过50元后，超过50元的部分按95%收费．某顾客购买x元的该商品．（1）当0＜x≤50时，请直接回答该顾客在甲、乙两家商场购物花费的关系；（2）当50＜x≤100时，到哪家商场购物花费少？少花多少钱？（用含x的代数式表示）（3）当x＞100时，到哪家商场购物花费少？9．我国现行个人工资、薪金所得税征收办法规定：月收入低于1600元的部分不收税，月收入超过1600元但不超过2100元的部分征收5%的所得税，月收入超过2100但不超过3600的部分征收10%的所得税．（1）当月收入大于1600元而又不超过2100元时，写出应缴所得税y（元）与月收入x （元）之间的关系式；（2）当月收入大于2100元而又不超过3600元时，写出应缴所得税y（元）与月收入x （元）之间的关系式；（3）某人月收入1760元，他应缴所得税多少元？（4）如果某人本月缴纳所得税115元，那么此人本月工资、薪金是多少元？10．若一个函数当自变量在不同范围内取值时，函数表达式不同，我们称这样的函数为分段函数．下面我们参照学习函数的过程与方法，探究分段函数y＝的图象与性质．列表：x…﹣3﹣﹣2﹣﹣1﹣0123…y…121012…描点：在平面直角坐标系中，以自变量x的取值为横坐标，以相应的函数值y为纵坐标，描出相应的点，如图所示．（1）如图，在平面直角坐标系中，观察描出的这些点的分布，作出函数图象；（2）研究函数并结合图象与表格，回答下列问题：①点A（﹣5，y1），B （﹣，y2），C（x1，），D（x2，6）在函数图象上，则y1y2，x1x2；（填“＞”，“＝”或“＜”）②当函数值y＝2时，求自变量x的值；③在直线x＝﹣1的右侧的函数图象上有两个不同的点P（x3，y3），Q（x4，y4），且y3＝y4，求x3+x4的值；④若直线y＝a与函数图象有三个不同的交点，求a的取值范围．11．北京地铁票价计费标准如表所示：x≤66＜x≤1212＜x≤2222＜x≤32x＞32乘车距离x（公里）票价（元）3456每增加1元可乘坐20公里另外，使用市政交通一卡通，每个自然月每张卡片支出累计满100元后，超出部分打8折；满150元后，超出部分打5折；支出累计达400元后，不再打折．小红妈妈上班时，需要乘坐地铁15公里到达公司，每天上下班共乘坐两次，如果每次乘坐地铁都使用市政交通一卡通，那么每月第21次乘坐地铁上下班时，她刷卡支出的费用是（）A．2.5元B．3元C．4元D．5元12．在国内投寄到外地质量为80g以内的普通信函应付邮资如下表：信件质量m/g0＜m≤2020＜m≤4040＜m≤6060＜m≤80邮资y/元 1.20 2.40 3.60 4.80某同学想寄一封质量为15g的信函给居住在外地的朋友，他应该付的邮资是（）A．4.80B．3.60C．2.40D．1.2013．某商场在“五一”期间举行促销活动，根据顾客按商品标价一次性购物总额，规定相应的优惠方法：①如果不超过500元，则不予优惠；②如果超过500元，但不超过800元，则按购物总额给予8折优惠；③如果超过800元，则其中800元给予8折优惠，超过800元的部分给予6折优惠．促销期间，小红和她母亲分别看中一件商品，若各自单独付款，则应分别付款480元和520元；若合并付款，则她们总共只需付款元．14．某人驾车从乡村进城，各时间段的行驶速度如图．当0≤t＜1时，则其行驶路程S与时间t的函数关系式是．当1≤t＜2时，则其行驶路程S与时间t的函数关系式是．当2≤t＜3时，则其行驶路程S与时间t的函数关系式是．15．国家规定个人发表文章、出版图书所得稿费的纳税计算方法是：①稿费不高于800元的不纳税；②稿费高于800元，而低于4000元的应缴纳超过800元的那部分稿费的14%的税；③稿费为4000元或高于4000元的应缴纳全部稿费的11%的税．试根据上述纳税的计算方法作答：（1）若王老师获得的稿费为2400元，则应纳税元，若王老师获得的稿费为4000元，则应纳税元；（2）若王老师获稿费后纳税420元，求这笔稿费是多少元？16．某城市规定：出租车起步价允许行驶的最远路程为3千米．超过3千米的部分按每千米另行收费，甲说：“我乘这种出租车走了8千米，付了17元”；乙说：“我乘这种出租车走了18千米，付了35元”．（1）请你算一算这种出租车的起步价是多少元？以及超过3千米后，每千米的车费是多少元？（2）若某人乘这种出租车行驶了x千米，请写出付费w元与x的函数关系式．17．某城市对用户的自来水收费实行阶梯水价，收费标准如下表所示：月用水量不超过12吨的部分超过12吨不超过18吨的部分超过18吨的部分收费标准（元/吨） 2.00 2.50 3.00（1）某用户5月份缴水费45元，则该用户5月份的用水量是多少？（2）某用户想月所缴水费控制在20元至30元之间，则该用户的月用水量应该如何控制？（3）若某用户的月用水量为m吨，请用含m的代数式表示该用户月所缴水费．18．邵武春秋旅行社为了吸引市民组团去黄山风景区旅游，推出了如下收费标准：现某单位组织员工去黄山风景区旅游，（1）若该单位有18名员工去旅游，需支付给春秋旅行社旅游费用多少元？（2）若该单位有28名员工去旅游，需支付给春秋旅行社旅游费用多少元？（3）若该单位共支付给春秋旅行社旅游费用27000元，请问该单位共有多少员工去黄山风景区旅游？19．北京市为治理交通拥堵状况，鼓励市民乘坐公交车出行，从4月1日开始，北京市三环内的停车费第一小时为10元，比原先的每小时2元上涨8元，此后每小时15元，比之前上涨13元．设在这样的停车场停车x小时，需付费y元．（假定每辆车的停车时间均是整数小时）．分别写出4月1日前和4月1日后y与x间的函数关系式．20．上网费包括网络使用费（每月38元）和上网通信费（每时2元），某电信局对拨号上网用户实行优惠，具体优惠政策如下：上网时间优惠标准30小时以内（包括30小时）无优惠30至50小时之间（包括50小时）通信费优惠30%50至100小时之间（包括100小时）通信费优惠40%100小时以上通信费优惠50%（1）若小敏家3月份上网29小时，应缴上网费多少元？（2）若小敏家8月份上网90小时，应缴上网费多少元？试题解析1．对于实数a，b，我们定义符号max{a，b}的意义为：当a≥b时，max{a，b}＝a；当a ＜b时，max{a，b}＝b；如：max{4，﹣2}＝4，max{3，3}＝3，若关于x的函数为y＝max{x+3，﹣x+1}，则该函数的最小值是（）A．0B．2C．3D．4解：当x+3≥﹣x+1，即：x≥﹣1时，y＝x+3，∴当x＝﹣1时，y min＝2，当x+3＜﹣x+1，即：x＜﹣1时，y＝﹣x+1，∵x＜﹣1，∴﹣x＞1，∴﹣x+1＞2，∴y＞2，∴y min＝2，故选：B．2．为了节能减排，鼓励居民节约用电，某市将出台新的居民用电收费标准：（1）若每户居民每月用电量不超过100度，则按0.50元/度计算；（2）若每户居民每月用电量超过100度，则超过部分按0.80元/度计算（未超过部分仍按每度电0.50元计算）．现假设某户居民某月用电量是x（单位：度），电费为y（单位：元），则y与x的函数关系用图象表示正确的是（）A．B．C．D．解：根据题意，当0≤x≤100时，y＝0.5x，当x＞100时，y＝100×0.5+0.8（x﹣100），＝50+0.8x﹣80，＝0.8x﹣30，所以，y与x的函数关系为y＝，纵观各选项，只有C选项图形符合．故选：C．3．根据如图所示程序计算函数值，若输入的x的值为，则输出的函数值为．解：∵x＝，∴由题意可知代入y＝，得：y＝，故答案为：．4．某书定价为30元，如果一次购买20本以上，超过20本的部分打9折，试写出付款金额y（单位：元）与购书数量x（单位：本）之间的函数关系式为y＝；．解：y与x之间的函数关系式为y＝；故答案为：y＝；5．为加强公民的节水意识，某城市制定了以下用水收费标准：每户每月用水未超过7m3时，每立方米收费1.0元，并加收0.2元的城市污水处理费；超过7m3的部分每立方米收费1.5元，并加收0.4元的城市污水处理费，设某户每月用水量为x（m3），应交水费为y（元）．（1）写出用水未超过7m3时，y与x之间的函数关系式；（2）写出用水多于7m3时，y与x之间的函数关系式．解：（1）未超出7立方米时：y＝x×（1+0.2）＝1.2x；（2）超出7立方米时：y＝7×1.2+（x﹣7）×（1.5+0.4）＝1.9x﹣4.9．6．甲、乙两家草莓采摘园的草莓品质相同，销售价格也相同．“五一期间”，两家均推出了优惠方案，甲采摘园的优惠方案是：游客进园需购买60元的门票，采摘的草莓六折优惠；乙采摘园的优惠方案是：游客进园不需购买门票，采摘园的草莓超过一定数量后，超过部分打折优惠．优惠期间，设某游客的草莓采摘量为x（千克），在甲采摘园所需总费用为y1（元），在乙采摘园所需总费用为y2（元），图中折线OAB表示y2与x之间的函数关系．（1）甲、乙两采摘园优惠前的草莓销售价格是每千克30元；（2）求y1、y2与x的函数表达式；（3）在图中画出y1与x的函数图象，并写出选择甲采摘园所需总费用较少时，草莓采摘量x的范围．解：（1）甲、乙两采摘园优惠前的草莓销售价格是每千克＝30元．故答案为：30．（2）由题意y1＝30×0.6x+60＝18x+60，由图可得，当0≤x≤10时，y2＝30x；当x＞10时，设y2＝kx+b，将（10，300）和（20，450）代入y2＝kx+b，解得y2＝15x+150，所以y2＝，（3）函数y1的图象如图所示，由解得，所以点F坐标（5，150），由解得，所以点E坐标（30，600）．由图象可知甲采摘园所需总费用较少时5＜x＜30．7．一辆客车从甲地开往乙地，一辆出租车从乙地开往甲地，两车同时出发，设客车离甲地的距离为y1（km），出租车离甲地的距离为y2（km），客车行驶时间为x（h），y1y2与x 之间的函数关系图象如图所示：（1）根据图象，直接写出y1，y2与x之间的函数关系；（2）分别求出当x＝3，x＝5，x＝8时，两车之间的距离．（3）若设两车间的距离为S（km），请写出S关于x的函数关系式．（1）解：设y1＝kx（0≤x≤10，k≠0），由图象知：过点（10，600），代入得：600＝10k，∴k＝60，∴y1＝60x．设y2＝ax+b（0≤x≤6，a≠0），由图象可知：过点（0，600），（6，0），代入得：，解得：a＝﹣100，b＝600，∴y2＝﹣100x+600．即∴y1＝60x（0≤x≤10），y2＝﹣100x+600（0≤x≤6）．（2）解：∵当x＝3时，y1＝60×3＝180，y2＝﹣100×3+600＝300，∴两车之间的距离＝600﹣180﹣300＝120；∵当x＝5时，y1＝60×5＝300，y2＝﹣100×5+600＝100，∴两车之间的距离＝600﹣300﹣100＝200；当x＝8时，y1＝480，y2＝0，∴两车之间的距离是480；（3）解：当0≤x＜时，S＝y2﹣y1＝﹣160x+600；当≤x＜6时，S＝y1﹣y2＝160x﹣600；当6≤x≤10时，S＝60x；即S＝．8．甲、乙两家商场以同样的价格出售同样的商品，并且又各自推出不同的优惠方案，在甲商场累计购物超过100元后，超出100元的部分按90%收费；在乙商场累计购物超过50元后，超过50元的部分按95%收费．某顾客购买x元的该商品．（1）当0＜x≤50时，请直接回答该顾客在甲、乙两家商场购物花费的关系；（2）当50＜x≤100时，到哪家商场购物花费少？少花多少钱？（用含x的代数式表示）（3）当x＞100时，到哪家商场购物花费少？解：（1）当累计购物不超过50元时，在甲乙两商场的花费一样；②当累计消费超过50元而不超过100元时，在乙商场享受优惠，在甲商场不享受优惠，因此应该到乙商场购买；③当累计消费超过100元时，设累计消费x元（x＞100），甲商场消费为：100+（x﹣100）×0.9元，在乙商场消费为：50+（x﹣50）×0.95元，当100+（x﹣100）×0.9＞50+（x﹣50）×0.95，解得：x＜150，当100+（x﹣100）×0.9＜50+（x﹣50）×0.95，解得：x＞150，当100+（x﹣100）×0.9＝50+（x﹣50）×0.95，解得：x＝150，综上所述，当累计消费大于100元少于150元时，在乙商店花费少；当累计消费大于150元时，在甲商店花费少；当累计消费等于150元或不超过50元时，在甲乙商场花费一样．9．我国现行个人工资、薪金所得税征收办法规定：月收入低于1600元的部分不收税，月收入超过1600元但不超过2100元的部分征收5%的所得税，月收入超过2100但不超过3600的部分征收10%的所得税．（1）当月收入大于1600元而又不超过2100元时，写出应缴所得税y（元）与月收入x （元）之间的关系式；（2）当月收入大于2100元而又不超过3600元时，写出应缴所得税y（元）与月收入x （元）之间的关系式；（3）某人月收入1760元，他应缴所得税多少元？（4）如果某人本月缴纳所得税115元，那么此人本月工资、薪金是多少元？解：（1）y＝5%（x﹣1600）＝0.05x﹣80；（2）y＝5%×（2100﹣1600）+10%（x﹣2100）＝0.1x﹣185；（3）∵1600＜1760＜2100，∴y＝0.05×1760﹣80＝8（元），答：他应缴所得税8元；（4）∵5%×（2100﹣1600）＝25，25＜115，∴工资、薪金月收入超过2100，∴115＝0.1x﹣185x＝3000．答：那么此人本月工资、薪金是3000元．10．若一个函数当自变量在不同范围内取值时，函数表达式不同，我们称这样的函数为分段函数．下面我们参照学习函数的过程与方法，探究分段函数y＝的图象与性质．列表：x…﹣3﹣﹣2﹣﹣1﹣0123…y…121012…描点：在平面直角坐标系中，以自变量x的取值为横坐标，以相应的函数值y为纵坐标，描出相应的点，如图所示．（1）如图，在平面直角坐标系中，观察描出的这些点的分布，作出函数图象；（2）研究函数并结合图象与表格，回答下列问题：①点A（﹣5，y1），B（﹣，y2），C（x1，），D（x2，6）在函数图象上，则y1＜y2，x1＜x2；（填“＞”，“＝”或“＜”）②当函数值y＝2时，求自变量x的值；③在直线x＝﹣1的右侧的函数图象上有两个不同的点P（x3，y3），Q（x4，y4），且y3＝y4，求x3+x4的值；④若直线y＝a与函数图象有三个不同的交点，求a的取值范围．解：（1）如图所示：（2）①A（﹣5，y1），B（﹣，y2），A与B在y＝﹣上，y随x的增大而增大，∴y1＜y2；C（x1，），D（x2，6），C与D在y＝|x﹣1|上，观察图象可得x1＜x2；故答案为＜，＜；②当y＝2时，x≤﹣1时，有2＝﹣，∴x＝﹣1；当y＝2时，x＞﹣1时，有2＝|x﹣1|，∴x＝3或x＝﹣1（舍去），故x＝﹣1或x＝3；③∵P（x3，y3），Q（x4，y4）在x＝﹣1的右侧，∴﹣1≤x≤3时，点P，Q关于x＝1对称，则有y3＝y4，∴x3+x4＝2；④由图象可知，0＜a＜2；11．北京地铁票价计费标准如表所示：x≤66＜x≤1212＜x≤2222＜x≤32x＞32乘车距离x（公里）票价（元）3456每增加1元可乘坐20公里另外，使用市政交通一卡通，每个自然月每张卡片支出累计满100元后，超出部分打8折；满150元后，超出部分打5折；支出累计达400元后，不再打折．小红妈妈上班时，需要乘坐地铁15公里到达公司，每天上下班共乘坐两次，如果每次乘坐地铁都使用市政交通一卡通，那么每月第21次乘坐地铁上下班时，她刷卡支出的费用是（）A．2.5元B．3元C．4元D．5元解：小红妈妈每天的上下班的费用分别为5元，即每天10元，10天后花费100元，第21次乘坐地铁时，价格给予8折优惠，此时花费5×0.8＝4元，故选：C．12．在国内投寄到外地质量为80g以内的普通信函应付邮资如下表：信件质量m/g0＜m≤2020＜m≤4040＜m≤6060＜m≤80邮资y/元 1.20 2.40 3.60 4.80某同学想寄一封质量为15g的信函给居住在外地的朋友，他应该付的邮资是（）A．4.80B．3.60C．2.40D．1.20解：由题可得，当0＜m≤20时，邮资y＝1.20元，∴同学想寄一封质量为15g的信函给居住在外地的朋友，他应该付的邮资是1.20元，故选：D．13．某商场在“五一”期间举行促销活动，根据顾客按商品标价一次性购物总额，规定相应的优惠方法：①如果不超过500元，则不予优惠；②如果超过500元，但不超过800元，则按购物总额给予8折优惠；③如果超过800元，则其中800元给予8折优惠，超过800元的部分给予6折优惠．促销期间，小红和她母亲分别看中一件商品，若各自单独付款，则应分别付款480元和520元；若合并付款，则她们总共只需付款838或910元．解：由题意知付款480元，实际标价为480或480×＝600元，付款520元，实际标价为520×＝650元，如果一次购买标价480+650＝1130元的商品应付款800×0.8+（1130﹣800）×0.6＝838元．如果一次购买标价600+650＝1250元的商品应付款800×0.8+（1250﹣800）×0.6＝910元．故答案为：838或910．14．某人驾车从乡村进城，各时间段的行驶速度如图．当0≤t＜1时，则其行驶路程S与时间t的函数关系式是S＝40t．当1≤t＜2时，则其行驶路程S与时间t的函数关系式是S＝80t﹣40．当2≤t＜3时，则其行驶路程S与时间t的函数关系式是S＝30t+60．解：观察图象，得当0≤t＜1时，则其行驶路程S与时间t的函数关系式是S＝40t，当1≤t＜2时，则其行驶路程S与时间t的函数关系式是S＝80（t﹣1）+40，化简，得S ＝80t﹣40，当2≤t＜3时，则其行驶路程S与时间t的函数关系式是S＝30（t﹣2）+120＝30t+60，化简，得S＝30t+60，故答案为：S＝40t，S＝80t﹣40，S＝30t+60．15．国家规定个人发表文章、出版图书所得稿费的纳税计算方法是：①稿费不高于800元的不纳税；②稿费高于800元，而低于4000元的应缴纳超过800元的那部分稿费的14%的税；③稿费为4000元或高于4000元的应缴纳全部稿费的11%的税．试根据上述纳税的计算方法作答：（1）若王老师获得的稿费为2400元，则应纳税224元，若王老师获得的稿费为4000元，则应纳税440元；（2）若王老师获稿费后纳税420元，求这笔稿费是多少元？解：（1）若王老师获得的稿费为2400元，则应纳税224元，若王老师获得的稿费为4000元，则应纳税440元；（2）因为王老师纳税420元，所以由（1）可知王老师的这笔稿费高于800元，而低于4000元，设王老师的这笔稿费为x元，根据题意得：14%（x﹣800）＝420x＝3800元．答：王老师的这笔稿费为3800元．16．某城市规定：出租车起步价允许行驶的最远路程为3千米．超过3千米的部分按每千米另行收费，甲说：“我乘这种出租车走了8千米，付了17元”；乙说：“我乘这种出租车走了18千米，付了35元”．（1）请你算一算这种出租车的起步价是多少元？以及超过3千米后，每千米的车费是多少元？（2）若某人乘这种出租车行驶了x千米，请写出付费w元与x的函数关系式．解：（1）设起步价为x元，超过3千米后，每千米的车费是y元，由题意，得，解得，答：种出租车的起步价是8元，超过3千米后，每千米的车费是1.8元；（2）当0＜x≤3时，y＝8；当x＞3时，w＝1.8（x﹣3）+8，即w ＝．17．某城市对用户的自来水收费实行阶梯水价，收费标准如下表所示：超过18吨的部分月用水量不超过12吨的部分超过12吨不超过18吨的部分收费标准（元/吨） 2.00 2.50 3.00（1）某用户5月份缴水费45元，则该用户5月份的用水量是多少？（2）某用户想月所缴水费控制在20元至30元之间，则该用户的月用水量应该如何控制？（3）若某用户的月用水量为m吨，请用含m的代数式表示该用户月所缴水费．解：（1）当用水12吨时，缴水费为2×12＝24元，当用水18吨时，缴水费为24+2.5×（18﹣12）＝24+15＝39元，∵45元＞39元，∴5月份的用水量超过18吨，设5月份的用水量为x吨，根据题意得，39+（x﹣18）×3＝45，解得x＝20；（2）根据（1），当所缴水费为20元时，∵20＜24，∴用水20÷2＝10吨，当所缴水费为30元时，∵24＜30＜39，∴设用水为x，则24+（x﹣12）×2.5＝30，解得x＝14.4，所以，该用户的月用水量应该控制在10～14.4吨之间；（3）①m≤12吨时，所缴水费为2m元，②12＜m≤18吨时，所缴水费为2×12+（m﹣12）×2.5＝（2.5m﹣6）元，③m＞18吨时，所缴水费为2×12+2.5×（18﹣12）+（m﹣18）×3＝（3m﹣15）元．18．邵武春秋旅行社为了吸引市民组团去黄山风景区旅游，推出了如下收费标准：现某单位组织员工去黄山风景区旅游，（1）若该单位有18名员工去旅游，需支付给春秋旅行社旅游费用多少元？（2）若该单位有28名员工去旅游，需支付给春秋旅行社旅游费用多少元？（3）若该单位共支付给春秋旅行社旅游费用27000元，请问该单位共有多少员工去黄山风景区旅游？解：设该单位有x名员工去旅游，所需旅游费用为y元；x≤25时，y＝1000x；又700＝1000﹣20（x﹣25），解得：x＝4025＜x≤40时，y＝[1000﹣20（x﹣25）]x＝1500x﹣20x2；x＞40时，y＝700x（1）x＝18，y＝1000x＝18000；（2）x＝28，y＝1500x﹣20x2＝263200；（3）x≤25时，y＝1000x≤25000＜27000；x＞40时，y＝700x＞28000＞27000；25＜x≤40时，y＝1500x﹣20x2＝27000，解得；x1＝30，x2＝45（舍去）∴该单位共有30名员工去黄山风景区旅游．19．北京市为治理交通拥堵状况，鼓励市民乘坐公交车出行，从4月1日开始，北京市三环内的停车费第一小时为10元，比原先的每小时2元上涨8元，此后每小时15元，比之前上涨13元．设在这样的停车场停车x小时，需付费y元．（假定每辆车的停车时间均是整数小时）．分别写出4月1日前和4月1日后y与x间的函数关系式．解：4月1日前，第一小时为2元，此后每小时也是2元，故可得：y＝2x；4月1日后，第一小时为10元，此后每小时15元，故可得y＝．20．上网费包括网络使用费（每月38元）和上网通信费（每时2元），某电信局对拨号上网用户实行优惠，具体优惠政策如下：上网时间优惠标准30小时以内（包括30小时）无优惠30至50小时之间（包括50小时）通信费优惠30%50至100小时之间（包括100小时）通信费优惠40%100小时以上通信费优惠50%（1）若小敏家3月份上网29小时，应缴上网费多少元？（2）若小敏家8月份上网90小时，应缴上网费多少元？解：（1）由图表可得出：小敏家3月份上网29小时，应缴上网费为：38+29×2＝96（元）；（2）由图表可得出：小敏家8月份上网90小时，应缴上网费为：38+90×2×（1﹣40%）＝146（元）。

中考数学：函数的图象与实际应用综合问题真题+模拟(原卷版北京专用)

中考数学函数的图象与实际应用综合问题【方法归纳】利用二次函数解决实际问题，要建立数学模型，即把实际问题转化为二次函数问题，利用题中存在的公式、内含的规律等相等关系，建立函数关系式，再利用函数的图象及性质去研究问题．在研究实际问题时要注意自变量的取值范围应具有实际意义．利用二次函数解决实际问题的一般步骤是：(1)建立适当的平面直角坐标系；(2)把实际问题中的一些数据与点的坐标联系起来；(3)用待定系数法求出抛物线的关系式；(4)利用二次函数的图象及其性质去分析问题、解决问题．常见的问题：求最大(小)值(如求最大利润、最大面积、最小周长等)、涵洞、桥梁、抛物体、抛物线的模型问题等．解决这些实际问题关键是找等量关系，把实际问题转化为函数问题，列出相关的函数关系式．【典例剖析】【例1】（2022·北京·中考真题）单板滑雪大跳台是北京冬奥会比赛项目之一，举办场地为首钢滑雪大跳台，运动员起跳后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系，从起跳到着陆的过程中，运动员的竖直高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）近似满足函数关系y=a(x−ℎ)2+k(a<0)．某运动员进行了两次训练．(1)第一次训练时，该运动员的水平距离x与竖直高度y的几组数据如下：根据上述数据，直接写出该运动员竖直高度的最大值，并求出满足的函数关系y=a(x−ℎ)2+k(a<0);(2)第二次训练时，该运动员的竖直高度y与水平距离x近似满足函数关系y=−0.04(x−9)2+23.24.记该运动员第一次训练的着陆点的水平距离为d1，第二次训练的着陆点的水平距离为d2，则d1______d2（填“>”“=”或“<”）．【真题再现】1．（2015·北京·中考真题）有这样一个问题：探究函数y=12x2+1x的图象与性质.小东根据学习函数的经验，对函数y=12x2+1x的图象与性质进行了探究.下面是小东的探究过程，请补充完整：（1）函数y=12x2+1x的自变量x的取值范围是____；（2）下表是y与x的几组对应值.求m的值：（3）如下图，在平面直角坐标系xOy中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点.根据描出的点，画出该函数的图象：（4）进一步探究发现，该函数图象在第一象限内的最低点的坐标是(1,32)，结合函数的图象，写出该函数的其它性质（一条即可）：_________.2．（2016·北京·中考真题）已知y是x的函数，自变量x的取值范围是x >0，下表是y与x的几组对应值.小腾根据学习一次函数的经验，利用上述表格所反映出的y与x之间的变化规律，对该函数的图象与性质进行了探究.下面是小腾的探究过程，请补充完整：（1）如图，在平面直角坐标系xOy中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点.根据描出的点，画出该函数的图象;（2）根据画出的函数图象，写出：①x=4对应的函数值y约为________；②该函数的一条性质：__________________．3．（2017·北京·中考真题）如图，P是弧AB所对弦AB上一动点，过点P作PM⊥AB交AB于点M，连接MB，过点P作PN⊥MB于点N.已知AB =6cm，设A 、P两点间的距离为xcm，P、N两点间的距离为ycm.（当点P与点A或点B重合时，y的值为0）小东根据学习函数的经验，对函数y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．下面是小东的探究过程，请补充完整：（1）通过取点、画图、测量，得到了x与y的几组值，如下表：（说明：补全表格时相关数值保留一位小数）（2）建立平面直角坐标系，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象.（3）结合画出的函数图象，解决问题：当△PAN为等腰三角形时，AP的长度约为____________cm.⌢与弦AB所围成的图形的内部的一定点，P是弦AB上4．（2018·北京·中考真题）如图，Q是AB⌢于点C，连接AC．已知AB=6cm，设A，P两点间的距离为x cm，一动点，连接PQ并延长交ABP，C两点间的距离为y1cm，A，C两点间的距离为y2cm．小腾根据学习函数的经验，分别对函数y1，y2随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．下面是小腾的探究过程，请补充完整：（1）按照下表中自变量x的值进行取点、画图、测量，分别得到了y1，y2与x的几组对应值；y1），（x，y2），并画出函数y1，y2的图象；（3）结合函数图象，解决问题：当△APC为等腰三角形时，AP的长度约为____cm．【模拟精练】一、解答题1．（2022·北京朝阳·二模）某公园在垂直于湖面的立柱上安装了一个多孔喷头，从喷头每个孔喷出的水柱形状都相同，可以看作是抛物线的一部分，当喷头向四周同时喷水时，形成一个环状喷泉，安装后，通过测量其中一条水柱，获得如下数据，在距立柱水平距离为d米的地点，水柱距离湖面的高度为h米，请解决以下问题：(1)在网格中建立适当的平面直角坐标系，根据已知数据描点，并用平滑的曲线连接；(2)结合表中所给数据或所画图象，直接写出这条水柱最高点距离湖面的高度；(3)求所画图象对应的函数表达式；(4)从安全的角度考虑，需要在这个喷泉外围设立一圈正方形护栏，这个喷泉的任何一条水柱在湖面上的落点到护栏的距离不能小于1米，请通过计算说明公园至少需要准备多少米的护栏（不考虑接头等其他因素）．2．（2022·北京四中模拟预测）跳台滑雪是冬季奥运会的比赛项目．如图，运动员通过助滑道后在点A处腾空，在空中沿抛物线飞行，直至落在着陆坡BC上的点P处．腾空点A到地面OB的距离OA为70 m，坡高OC为60 m，着陆坡BC的坡度（即tan α）为3：4，以O 为原点，OB所在直线为x轴，OA所在直线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系．已知这段抛物线经过点（4，75），（8，78）．(1)求这段抛物线表示的二次函数表达式；(2)在空中飞行过程中，求运动员到坡面BC竖直方向上的最大距离；(3)落点P与坡顶C之间的距离为m．3．（2022·北京北京·二模）某公园内人工喷泉有一个竖直的喷水枪，喷出的水流路径可以看作是抛物线的一部分．记喷出的水流距喷水枪的水平距离为x m，距地面的竖直高度为y m，获得数据如下：小景根据学习函数的经验，对函数y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．下面是小景的探究过程，请补充完整：(1)在平面直角坐标系xOy中，描出以表中各对对应值为坐标的点，并画出该函数的图象；(2)水流的最高点距喷水枪的水平距离为________m；(3)结合函数图象，解决问题：公园准备在距喷水枪水平距离为3.5m处加装一个石柱，使该喷水枪喷出的水流刚好落在石柱顶端，则石柱的高度约为_____m．4．（2022·北京市广渠门中学模拟预测）某景观公园计划在圆形水池内修建一个小型喷泉，水柱从池中心且垂直于水面的水枪喷出，水柱喷出后落于水面的形状是抛物线．现测量出如下数据，在距水枪水平距离为d米的地点，水柱距离水面的高度为h米．请解决以下问题：(1)请结合表中所给数据，直接写出水柱最高点距离水面的高度为______米．(2)在网格中建立适当的平面直角坐标系，描出表中已知各对对应值为坐标的点，并用平滑的曲线画出该函数的图象．(3)求表格中m的值．(4)以节水为原则，为体现公园喷泉景观的美观性，在不改变水柱形状的基础上，修建工人打算将水枪的高度上升0.4米．若圆形喷水池的半径为3米，提升水枪高度后水柱是否会喷到水池外面？请说明理由．（其中√10≈3.2）5．（2022·北京·二模）某社区文化广场修建了一个人工喷泉，人工喷泉有一个竖直的喷水枪AB，喷水口为A，喷水口A距地面2m，喷出水流的轨迹是抛物线．水流最高点P到喷水枪AB所在直线的距离为1m，水流落地点C距离喷水枪底部B的距离为3m．请解决以下问题：(1)如图，以B为原点，BC所在的直线为x轴，AB所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系，则点A的坐标是______，点C的坐标是______，水流轨迹抛物线的对称轴是______．(2)求出水柱最高点P到地面的距离．(3)在线段BC上到喷水枪AB所在直线的距离为2m处放置一物体，为避免物体被水流淋到，物体的高度应小于多少米？请说明理由．6．（2022·北京门头沟·二模）如图，杂技团进行杂技表演，演员要从跷跷板右端A处弹跳后恰好落在人梯的顶端B处，其身体（看成一点）的路径是一条抛物线．现测量出如下的数据，设演员身体距起跳点A水平距离为d米时，距地面的高度为h米．请你解决以下问题：(1)在下边网格中建立适当平面直角坐标系，根据已知数据描点，并用平滑曲线连接；(2)结合表中所给的数据或所画的图象，直接写出演员身体距离地面的最大高度；(3)求起跳点A距离地面的高度；(4)在一次表演中，已知人梯到起跳点A的水平距离是3米，人梯的高度是3.40米．问此次表演是否成功？如果成功，说明理由；如果不成功，说明应怎样调节人梯到起跳点A的水平距离才能成功？7．（2022·北京顺义·二模）如图是某抛物线形拱桥的截面图．某数学小组对这座拱桥很感兴趣，他们利用测量工具测出水面AB的宽为8米．设AB上的点E到点A的距离AE=x米，点E到拱桥顶面的垂直距离EF=y米．通过取点、测量，数学小组的同学得到了x与y的几组值，如下表：(1)拱桥顶面离水面AB的最大高度为______米；(2)请你帮助该数学小组建立平面直角坐标系，描出上表中各对对应值为坐标的点，并用平滑的曲线连接；(3)测量后的某一天，由于降雨原因，水面比测量时上升1米．现有一游船（截面为矩形）宽度为4米，船顶到水面的高度为2米．要求游船从拱桥下面通过时，船顶到拱桥顶面的距离应大于0.5米．结合所画图象，请判断该游船是否能安全通过：______（填写“能”或“不能”）．8．（2022·北京市十一学校模拟预测）某运动馆使用发球机进行辅助训练，假设发球机每次发球的运动路线是抛物线，且形状固定不变的，在球运行时，球与发球机的水平距离为x（米），与地面的高度为y（米），经多次测试后，得到如下数据：(1)在网格中建立适当的平面直角坐标系，根据已知数据描点，并用平滑的曲线连接；(2)球经发球机发出后，最高点离地面________米，并求出y与x的函数解析式；(3)当球拍触球时，球离地面的高度为5米．4①求此时发球机与球的水平距离；米，为确保球拍在原高度还能接到球，球拍的接球位置应前进多②现将发球机向下平移了1516少米？9．（2022·北京昌平·二模）如图，在一次学校组织的社会实践活动中，小龙看到农田上安装了很多灌溉喷枪，喷枪喷出的水流轨迹是抛物线，他发现这种喷枪射程是可调节的，且喷射的水流越高射程越远，于是他从该农田的技术部门得到了这种喷枪的一个数据表，水流的最高点与喷枪的水平距离记为x，水流的最高点到地面的距离记为y．y与x的几组对应值如下表：(1)该喷枪的出水口到地面的距离为________m；(2)在平面直角坐标系xOy中，描出表中各组数值所对应的点，并画出y与x的函数图像；(3)结合（2）中的图像，估算当水流的最高点与喷枪的水平距离为8m时，水流的最高点到地面的距离为________m（精确到1m）．根据估算结果，计算此时水流的射程约为________m（精确到1m）10．（2022·北京海淀·二模）由于惯性的作用，行驶中的汽车在刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停止，这段距离称为“刹车距离”．某公司设计了一款新型汽车，现在对它的刹车性能（车速不超过150 km/h）进行测试，测得数据如下表：(1)以车速v为横坐标，刹车距离s为纵坐标，在坐标系中描出表中各组数值所对应的点，并用平滑曲线连接这些点；(2)由图表中的信息可知：①该型汽车车速越大，刹车距离越（填“大”或“小”）；②若该型汽车某次测试的刹车距离为40 m，估计该车的速度约为km/h；(3)若该路段实际行车的最高限速为120 km/h，要求该型汽车的安全车距要大于最高限速时刹车距离的3倍，则安全车距应超过m．11．（2022·北京东城·一模）某公园内人工湖上有一座拱桥（横截面如图所示），跨度AB为4米．在距点A水平距离为d米的地点，拱桥距离水面的高度为h米．小红根据学习函数的经验，对d和h之间的关系进行了探究．下面是小红的探究过程，请补充完整：(1)经过测量，得出了d和h的几组对应值，如下表．在d和h这两个变量中，________是自变量，________是这个变量的函数；(2)在下面的平面直角坐标系xOy中，画出（1）中所确定的函数的图象；(3)结合表格数据和函数图象，解决问题：①桥墩露出水面的高度AE为_______米；②公园欲开设游船项目，现有长为3.5米，宽为1.5米，露出水面高度为2米的游船．为安全起见，公园要在水面上的C，D两处设置警戒线，并且CE=DF，要求游船能从C，D两点之间安全通过，则C处距桥墩的距离CE至少为_______米．（精确到0.1米）12．（2022·北京市十一学校二模）如图，排球运动场的场地长18m，球网高度2.24m，球网在场地中央，距离球场左、右边界均为9m．一名球员在场地左侧边界练习发球，排球的飞行路线可以看作是对称轴垂直于水平面的抛物线的一部分．在球运行时，将球与场地左边界的水平距离记为x（米），与地面的高度记为y（米），经多次测试后，得到如下数据：(1)在网格中建立适当的平面直角坐标系，根据已知数据描点，并用平滑的曲线连接；(2)击球点的高度为______米，排球飞行过程中可达到的最大高度为______米；(3)求出y与x的函数解析式；(4)判断排球能否过球网，并说明理由．13．（2022·北京大兴·一模）某景观公园内人工湖里有一组喷泉，水柱从垂直于湖面的喷水枪喷出，水柱落于湖面的路径形状是一条曲线．现有一个垂直于湖面的喷水枪，在距喷水枪水平距离为x米处，水柱距离湖面高度为y米．经测量得到如下数据：请解决以下问题：(1)如下图，在平面直角坐标系xOy描出了上表中y与x各对对应值为坐标的点．请根据描出的点，画出这条曲线；(2)结合所画曲线回答：①水柱的最高点距离湖面约______米；②水柱在湖面上的落点距喷水枪的水平距离约为______米；(3)若一条游船宽3米，顶棚到湖面的高度2米，为了保证游客有良好的观光体验，游船需从喷泉水柱下通过，如果不计其他因素，根据图象判断______（填“能”或“不能”）避免游船被喷泉喷到．14．（2022·北京丰台·一模）某公园在人工湖里安装一个喷泉，在湖心处竖直安装一根水管，在水管的顶端安一个喷水头，水柱从喷水头喷出到落于湖面的路径形状可以看作是抛物线的一部分．若记水柱上某一位置与水管的水平距离为d米，与湖面的垂直高度为h米．下面的表中记录了d与h的五组数据：根据上述信息，解决以下问题：(1)在下面网格（图1）中建立适当的平面直角坐标系，并根据表中所给数据画出表示h与d 函数关系的图象；(2)若水柱最高点距离湖面的高度为m米，则m=；(3)能从水柱下方通过．如图2所示，为避免游船被喷泉淋到，要求游船从水柱下方中间通过时，顶棚上任意一点到水柱的竖直距离均不小于0.5米．已知游船顶棚宽度为3米，顶棚到湖面的高度为2米，那么公园应将水管露出湖面的高度（喷水头忽略不计）至少调节到多少米才能符合要求？请通过计算说明理由（结果保留一位小数）．15．（2022·北京一七一中一模）某运动馆使用发球机进行辅助训练，假设发球机每次发球的运动路线是抛物线，且形状固定不变的，在球运行时，球与发球机的水平距离为x（米），与地面的高度为y（米），经多次测试后，得到如下数据：(1)在网格中建立适当的平面直角坐标系，根据已知数据描点，并用平滑的曲线连接；(2)球经发球机发出后，最高点离地面__________米，并求出y与x的函数解析式；(3)当球拍触球时，球离地面的高度为5米.8①求此时发球机与球的水平距离；米，为确保球拍在原高度还能接到球，球拍的接球位置应后退多②现将发球机向上平移了58少米？16．（2022·北京市燕山教研中心一模）某景观公园内人工湖里有一组小型喷泉，水柱从垂直于湖面的水枪喷出，水柱落于湖面的路径形状是抛物线．现测量出如下数据，在湖面上距水枪水平距离为d米的位置，水柱距离湖面高度为h米．请解决以下问题：(1)以水枪与湖面交点为原点，原点与水柱落地处所在直线为x轴，水枪所在直线为y轴，在下边网格中建立平面直角坐标系，根据已知数据描点，并用平滑的曲线连接．(2)请结合表中所给数据或所画图象，写出水柱最高点的坐标．(3)湖面上距水枪水平距离为3.5米时，水柱距离湖面的高度m=____________米．(4)现公园想通过喷泉设立新的游玩项目，准备通过调节水枪高度，使得公园湖中的游船能从喷泉下方通过．游船左右两边缘最宽处有一个长方体形状的遮阳棚，若游船宽（指船的最大宽度）为2米，从水面到棚顶的高度为2.1米，要求是游船从喷泉水柱中间通过时，为避免游船被喷泉淋到，顶棚到水柱的垂直距离均不小于0.5米．请问公园该如何调节水枪高度以符合要求？请通过计算说明理由．17．（2022·北京·东直门中学模拟预测）某景观公园内人工湖里有一组喷泉，水柱从垂直于湖面的水枪喷出，水柱落于湖面的路径形状是抛物线．现测量出如下数据，在距水枪水平距离为d米的地点，水柱距离湖面高度为h米．请解决以下问题：(1)在下边网格中建立适当的平面直角坐标系，根据已知数据描点，并用平滑的曲线连接；(2)请结合表中所给数据或所画图象，估出喷泉的落水点距水枪的水平距离约为米（精确到0.1）；(3)公园增设了新的游玩项目，购置了宽度4米，顶棚到水面高度为4.2米的平顶游船，游船从喷泉正下方通过，别有一番趣味，请通过计算说明游船是否有被喷泉淋到的危险．18．（2022·北京门头沟·一模）某景观公园内人工湖里有一组喷泉，水柱从垂直于湖面的水枪喷出，水柱落于湖面的路径形状是一条抛物线．现测量出如下数据，在距水枪水平距离为d米的地点，水柱距离湖面高度为ℎ米．(1)在下边网格中建立适当平面直角坐标系，根据已知数据描点，并用平滑曲线连接．(2)结合表中所给数据或所画的图象，直接写出水柱最高点距离湖面的高度；(3)求水柱在湖面上的落点距水枪的水平距离是多少？(4)现公园想通过喷泉设立一个新的游玩项目．准备通过调节水枪高度使得公园的平顶游船能从喷泉最高点的正下方通过（两次水柱喷出水嘴的初速度相同），如果游船宽度为3米，顶棚到水面的高度为2米，为了避免游船被淋到，顶棚到水柱的垂直距离不小于0.8米．问应如何调节水枪的高度才能符合要求？请通过计算说明理由．19．（2022·北京房山·一模）如图，一个单向隧道的断面，隧道顶是一条抛物线的一部分，经测量，隧道顶的跨度为4米，最高处到地面的距离为4米，两侧墙高均为3米，距左侧墙壁1米和3米时，隧道高度均为3.75米．设距左侧墙壁水平距离为x米的地点，隧道高度为y米．请解决以下问题：(1)在网格中建立适当的平面直角坐标系，根据题中数据描点，并用平滑的曲线连接；(2)请结合所画图象，写出抛物线的对称轴；(3)今有宽为2.4米的卡车在隧道中间行驶，如果卡车载物后的高度为3.2米，要求卡车从隧道中间通过时，为保证安全，要求卡车载物后最高点到隧道顶面对应的点的距离均不小于0.6米，结合所画图象，试判断该卡车能否通过隧道．20．（2022·北京通州·一模）如图1是某条公路的一个单向隧道的横断面．经测量，两侧墙AD和与路面AB垂直，隧道内侧宽AB＝4米．为了确保隧道的安全通行，工程人员在路面AB上取点E，测量点E到墙面AD的距离和到隧道顶面的距离EF．设AE=x米，EF=y米．通过取点、测量，工程人员得到了x与y的几组值，如下表：(1)隧道顶面到路面AB的最大高度为______米；(2)请你帮助工程人员建立平面直角坐标系，描出上表中各对对应值为坐标的点，画出可以表示隧道顶面的图象．(3)今有宽为2.4米，高为3米的货车准备在隧道中间通过（如图2）．根据隧道通行标准，其车厢最高点到隧道顶面的距离应大于0.5米．结合所画图象，请判断该货车是否安全通过：______（填写“是”或“否”）．21．（2022·北京朝阳·一模）某公园在人工湖里建造一道喷泉拱门，工人在垂直于湖面的立柱上安装喷头，从喷头喷出的水柱的形状可以看作是抛物线的一部分．安装后，通过测量获得如下数据，喷头高出湖面3米，在距立柱水平距离为d米的地点，水柱距离湖面高度为h 米．请解决以下问题：(1)在网格中建立适当的平面直角坐标系，根据已知数据描点，并用平滑的曲线连接；(2)结合表中所给数据或所画图象，直接写出水柱最高点距离湖面的高度；(3)求h关于d的函数表达式；(4)公园希望游船能从喷泉拱门下穿过，已知游船的宽度约为2米，游船的平顶棚到湖面的高度约为1米，从安全的角度考虑，要求游船到立柱的水平距离不小于1米，顶棚到水柱的竖直距离也不小于1米，工人想只通过调整喷头距离湖面的高度（不考虑其他因素）就能满足上述要求，请通过计算说明应如何调整．22．（2022·北京西城·一模）要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，水管的顶端安一个喷水头，记喷出的水与池中心的水平距离为x m，距地面的高度为y m．测量得到如下数值：小腾根据学习函数的经验，发现y是x的函数，并对y随x的变化而变化的规律进行了探究．下面是小腾的探究过程，请补充完整：(1)在平面直角坐标系xOy中，描出表中各组数值所对应的点(x,y)，并画出函数的图象；(2)结合函数图象，出水口距地面的高度为_______m，水达到最高点时与池中心的水平距离约为_______m（结果保留小数点后两位）；(3)为了使水柱落地点与池中心的距离不超过3.2m，如果只调整水管的高度，其他条件不变，结合函数图象，估计出水口至少需要_______（填“升高”或“降低”）_______m（结果保留小数点后两位）．23．（2022·北京东城·二模）小强用竹篱笆围一个面积为9平方米的矩形小花园，他考虑至少4需要几米长的竹篱笆（不考虑接缝），根据学习函数的经验，他做了如下的探究，请你完善他的思考过程．(1)建立函数模型：设矩形小花园的一边长为x米，则矩形小花园的另一边长为__________米（用含x的代数式表示）；若总篱笆长为y米，请写出总篱笆长y（米）关于边长x（米）的函数关系式__________；(2)列表：根据函数的表达式，得到了x与y的几组对应值，如下表：表中a=________，b=________；(3)描点、画出函数图象：,b)补充完整，并根据描出的如图，在平面直角坐标系xOy中，将表中未描出的点(2,a)，(92点画出该函数的图象；。

2023年中考数学-----方程的实际应用篇专项练习题(含答案解析)

2023年中考数学-----方程的实际应用篇专项练习题（含答案解析）1．中国“最美扶贫高铁”之一的“张吉怀高铁”开通后，张家界到怀化的运行时间由原来的3.5小时缩短至1小时，运行里程缩短了40千米．已知高铁的平均速度比普通列车的平均速度每小时快200千米，求高铁的平均速度．【分析】设高铁的平均速度为xkm/h，由运行里程缩短了40千米得：x+40＝3.5（x﹣200），可解得高铁的平均速度为296km/h．【解答】解：设高铁的平均速度为xkm/h，则普通列车的平均速度为（x﹣200）km/h，由题意得：x+40＝3.5（x﹣200），解得：x＝296，答：高铁的平均速度为296km/h．2．在全民健身运动中，骑行运动颇受市民青睐，甲、乙两骑行爱好者约定从A地沿相同路线骑行去距A地30千米的B地，已知甲骑行的速度是乙的1.2倍．（1）若乙先骑行2千米，甲才开始从A地出发，则甲出发半小时恰好追上乙，求甲骑行的速度；（2）若乙先骑行20分钟，甲才开始从A地出发，则甲、乙恰好同时到达B地，求甲骑行的速度．【分析】（1）设乙骑行的速度为x千米/时，则甲骑行的速度为1.2x千米/时，利用路程＝速度×时间，结合甲追上乙时二者的行驶路程相等，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可求出乙骑行的速度，再将其代入1.2x中即可求出甲骑行的速度；（2）设乙骑行的速度为y千米/时，则甲骑行的速度为1.2y千米/时，利用时间＝路程÷速度，结合乙比甲多用20分钟，即可得出关于y的分式方程，解之经检验后即可求出乙骑行的速度，再将其代入1.2y中即可求出甲骑行的速度．【解答】解：（1）设乙骑行的速度为x千米/时，则甲骑行的速度为1.2x千米/时，依题意得：×1.2x＝2+x，解得：x＝20，∴1.2x＝1.2×20＝24．答：甲骑行的速度为24千米/时．（2）设乙骑行的速度为y千米/时，则甲骑行的速度为1.2y千米/时，依题意得：﹣＝，解得：y＝15，经检验，y＝15是原方程的解，且符合题意，∴1.2y＝1.2×15＝18．答：甲骑行的速度为18千米/时．3．为改善村容村貌，阳光村计划购买一批桂花树和芒果树．已知桂花树的单价比芒果树的单价多40元，购买3棵桂花树和2棵芒果树共需370元．（1）桂花树和芒果树的单价各是多少元？（2）若该村一次性购买这两种树共60棵，且桂花树不少于35棵．设购买桂花树的棵数为n，总费用为w元，求w关于n的函数关系式，并求出该村按怎样的方案购买时，费用最低？最低费用为多少元？【分析】（1）设桂花树的单价是x元，可得：3x+2（x﹣40）＝370，解得桂花树的单价是90元，芒果树的单价是50元；（2）根据题意得w＝40n+3000，由一次函数性质得购买桂花树35棵，购买芒果树25棵时，费用最低，最低费用为4400元．【解答】解：（1）设桂花树的单价是x元，则芒果树的单价是（x﹣40）元，根据题意得：3x+2（x﹣40）＝370，解得x＝90，∴x﹣40＝90﹣40＝50，答：桂花树的单价是90元，芒果树的单价是50元；（2）根据题意得：w＝90n+50（60﹣n）＝40n+3000，∴w关于n的函数关系式为w＝40n+3000，∵40＞0，∴w随n的增大而增大，∵桂花树不少于35棵，∴n≥35，∴n＝35时，w取最小值，最小值为40×35+3000＝4400（元），此时60﹣n＝60﹣35＝25（棵），答：w关于n的函数关系式为w＝40n+3000，购买桂花树35棵，购买芒果树25棵时，费用最低，最低费用为4400元．4．某水果经营户从水果批发市场批发水果进行零售，部分水果批发价格与零售价格如下表：（1）第一天，该经营户用1700元批发了菠萝和苹果共300kg，当日全部售出，求这两种水果获得的总利润？（2）第二天，该经营户依然用1700元批发了菠萝和苹果，当日销售结束清点盘存时发现进货单丢失，只记得这两种水果的批发量均为正整数且菠萝的进货量不低于88kg，这两种水果已全部售出且总利润高于第一天这两种水果的总利润，请通过计算说明该经营户第二天批发这两种水果可能的方案有哪些？【分析】（1）设第一天，该经营户批发了菠萝xkg，苹果ykg，根据该经营户用1700元批发了菠萝和苹果共300kg，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出x，y的值，再利用总利润＝每千克的销售利润×销售数量（购进数量），即可求出结论；（2）设购进mkg菠萝，则购进kg苹果，根据“菠萝的进货量不低于88kg，且这两种水果已全部售出且总利润高于第一天这两种水果的总利润”，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围，再结合m，均为正整数，即可得出各进货方案．【解答】解：（1）设第一天，该经营户批发了菠萝xkg，苹果ykg，依题意得：，解得：，∴（6﹣5）x+（8﹣6）y＝（6﹣5）×100+（8﹣6）×200＝500（元）．答：这两种水果获得的总利润为500元．（2）设购进mkg菠萝，则购进kg苹果，依题意得：，解得：88≤m＜100．又∵m，均为正整数，∴m可以为88，94，∴该经营户第二天共有2种批发水果的方案，方案1：购进88kg菠萝，210kg苹果；方案2：购进94kg菠萝，205kg苹果．5．某经销商计划购进A，B两种农产品．已知购进A种农产品2件，B种农产品3件，共需690元；购进A种农产品1件，B种农产品4件，共需720元．（1）A，B两种农产品每件的价格分别是多少元？（2）该经销商计划用不超过5400元购进A，B两种农产品共40件，且A种农产品的件数不超过B种农产品件数的3倍．如果该经销商将购进的农产品按照A种每件160元，B种每件200元的价格全部售出，那么购进A，B两种农产品各多少件时获利最多？【分析】（1）设每件A种农产品的价格是x元，每件B种农产品的价格是y元，根据“购进A 种农产品2件，B种农产品3件，共需690元；购进A种农产品1件，B种农产品4件，共需720元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；（2）设该经销商购进m件A种农产品，则购进（40﹣m）件B种农产品，利用总价＝单价×数量，结合购进A种农产品的件数不超过B种农产品件数的3倍且总价不超过5400元，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围，设两种农产品全部售出后获得的总利润为w元，利用总利润＝每件的销售利润×销售数量，即可得出w关于m的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题．【解答】解：（1）设每件A种农产品的价格是x元，每件B种农产品的价格是y元，依题意得：，解得：．答：每件A种农产品的价格是120元，每件B种农产品的价格是150元．（2）设该经销商购进m件A种农产品，则购进（40﹣m）件B种农产品，依题意得：，解得：20≤m≤30．设两种农产品全部售出后获得的总利润为w元，则w＝（160﹣120）m+（200﹣150）（40﹣m）＝﹣10m+2000．∵﹣10＜0，∴w随m的增大而减小，∴当m＝20时，w取得最大值，此时40﹣m＝40﹣20＝20．答：当购进20件A种农产品，20件B种农产品时获利最多．6．在某市组织的农机推广活动中，甲、乙两人分别操控A、B两种型号的收割机参加水稻收割比赛．已知乙每小时收割的亩数比甲少40%，两人各收割6亩水稻，乙则比甲多用0.4小时完成任务；甲、乙在收割过程中对应收稻谷有一定的遗落或破损，损失率分别为3%，2%．（1）甲、乙两人操控A、B型号收割机每小时各能收割多少亩水稻？（2）某水稻种植大户有与比赛中规格相同的100亩待收水稻，邀请甲、乙两人操控原收割机一同前去完成收割任务，要求平均损失率不超过2.4%，则最多安排甲收割多少小时？【分析】（1）设甲操控A型号收割机每小时收割x亩水稻，则乙操控B型号收割机每小时收割（1﹣40%）x亩水稻，利用工作时间＝工作总量÷工作效率，结合乙比甲多用0.4小时完成任务，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可求出甲操控A型号收割机每小时收割水稻的亩数，再将其代入（1﹣40）x中即可求出乙操控B型号收割机每小时收割水稻的亩数；（2）设安排甲收割y小时，则安排乙收割小时，根据要求平均损失率不超过2.4%，即可得出关于y的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论．【解答】解：（1）设甲操控A型号收割机每小时收割x亩水稻，则乙操控B型号收割机每小时收割（1﹣40%）x亩水稻，依题意得：﹣＝0.4，解得：x＝10，经检验，x＝10是原方程的解，且符合题意，∴（1﹣40%）x＝（1﹣40%）×10＝6．答：甲操控A型号收割机每小时收割10亩水稻，乙操控B型号收割机每小时收割6亩水稻．（2）设安排甲收割y小时，则安排乙收割小时，依题意得：3%×10y+2%×6×≤2.4%×100，解得：y≤4．答：最多安排甲收割4小时．7．习近平总书记在主持召开中央农村工作会议中指出：“坚持中国人的饭碗任何时候都要牢牢端在自己手中，饭碗主要装中国粮．”某粮食生产基地为了落实习近平总书记的重要讲话精神，积极扩大粮食生产规模，计划投入一笔资金购买甲、乙两种农机具，已知1件甲种农机具比1件乙种农机具多1万元，用15万元购买甲种农机具的数量和用10万元购买乙种农机具的数量相同．（1）求购买1件甲种农机具和1件乙种农机具各需多少万元？（2）若该粮食生产基地计划购买甲、乙两种农机具共20件，且购买的总费用不超过46万元，则甲种农机具最多能购买多少件？【分析】（1）设购买1件乙种农机具需要x万元，则购买1件甲种农机具需要（x+1）万元，利用数量＝总价÷单价，结合用15万元购买甲种农机具的数量和用10万元购买乙种农机具的数量相同，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出购买1件乙种农机具所需费用，再将其代入（x+1）中即可求出购买1件甲种农机具所需费用；（2）设购买m件甲种农机具，则购买（20﹣m）件乙种农机具，利用总价＝单价×数量，结合总价不超过46万元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论．【解答】解：（1）设购买1件乙种农机具需要x万元，则购买1件甲种农机具需要（x+1）万元，依题意得：＝，解得：x＝2，经检验，x＝2是原方程的解，且符合题意，∴x+1＝2+1＝3．答：购买1件甲种农机具需要3万元，1件乙种农机具需要2万元．（2）设购买m件甲种农机具，则购买（20﹣m）件乙种农机具，依题意得：3m+2（20﹣m）≤46，解得：m≤6．答：甲种农机具最多能购买6件．8．金鹰酒店有140间客房需安装空调，承包给甲、乙两个工程队合作安装，每间客房都安装同一品牌同样规格的一台空调，已知甲工程队每天比乙工程队多安装5台，甲工程队的安装任务有80台，两队同时安装．问：（1）甲、乙两个工程队每天各安装多少台空调，才能同时完成任务？（2）金鹰酒店响应“绿色环保”要求，空调的最低温度设定不低于26℃，每台空调每小时耗电1.5度；据预估，每天至少有100间客房有旅客住宿，旅客住宿时平均每天开空调约8小时．若电费0.8元/度，请你估计该酒店每天所有客房空调所用电费W（单位：元）的范围？【分析】（1）设乙工程队每天安装x台空调，则甲工程队每天安装（x+5）台空调，根据甲、乙两个工程队同时完成安装任务，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；（2）设每天有m（100≤m≤140）间客房有旅客住宿，利用每天所有客房空调所用电费W＝电费的单价×每天旅客住宿耗电总数，即可得出W关于m的函数关系式，再利用一次函数上点的坐标特征，即可求出W的取值范围．【解答】解：（1）设乙工程队每天安装x台空调，则甲工程队每天安装（x+5）台空调，依题意得：＝，解得：x＝15，经检验，x＝15是原方程的解，且符合题意，∴x+5＝15+5＝20．答：甲工程队每天安装20台空调，乙工程队每天安装15台空调，才能同时完成任务．（2）设每天有m （100≤m ≤140）间客房有旅客住宿，则W ＝0.8×1.5×8m ＝9.6m ． ∵9.6＞0，∴W 随m 的增大而增大，∴9.6×100≤W ≤9.6×140，即960≤W ≤1344．答：该酒店每天所有客房空调所用电费W （单位：元）的范围为不少于960元且不超过1344元．9．今年我市某公司分两次采购了一批土豆，第一次花费30万元，第二次花费50万元，已知第一次采购时每吨土豆的价格比去年的平均价格上涨了200元，第二次采购时每吨土豆的价格比去年的平均价格下降了200元，第二次的采购数量是第一次采购数量的2倍．（1）问去年每吨土豆的平均价格是多少元？（2）该公司可将土豆加工成薯片或淀粉，因设备原因，两种产品不能同时加工，若单独加工成薯片，每天可加工5吨土豆，每吨土豆获利700元；若单独加工成淀粉，每天可加工8吨土豆，每吨土豆获利400元，由于出口需要，所有采购的土豆必须全部加工完且用时不超过60天，其中加工成薯片的土豆数量不少于加工成淀粉的土豆数量的32，为获得最大利润，应将多少吨土豆加工成薯片？最大利润是多少？【分析】（1）设去年每吨土豆的平均价格是x 元，则第一次采购每吨土豆的平均价格为（x +200）元，第二次采购每吨土豆的平均价格为（x ﹣500）元，根据第二次的采购数量是第一次采购数量的两倍，据此列出分式方程求解即可；（2）先求出今年采购的土豆数，根据采购的土豆需不超过60天加工完毕，加工成薯片的土豆数量不少于加工成淀粉的土豆数量的，据此列出不等式组并求解，然后由一次函数的性质求出最大利润即可．【解答】解：（1）设去年每吨土豆的平均价格是x元，则今年第一次采购每吨土豆的平均价格为（x+200）元，第二次采购每吨土豆的平均价格为（x﹣200）元，由题意得：×2＝，解得：x＝2200，经检验，x＝2200是原分式方程的解，且符合题意，答：去年每吨土豆的平均价格是2200元；（2）由（1）得：今年采购的土豆数为：×3＝375（吨），设应将m吨土豆加工成薯片，则应将（375﹣m）吨加工成淀粉，由题意得：，解得：150≤m≤175，设总利润为y元，则y＝700m+400（375﹣m）＝300m+150000，∵300＞0，∴y随m的增大而增大，∴当m＝175时，y的值最大＝300×175+150000＝202500，答：为获得最大利润，应将175吨土豆加工成薯片，最大利润是202500元．10．如图，某小区矩形绿地的长宽分别为35m，15m．现计划对其进行扩充，将绿地的长、宽增加相同的长度后，得到一个新的矩形绿地．（1）若扩充后的矩形绿地面积为800m，求新的矩形绿地的长与宽；（2）扩充后，实地测量发现新的矩形绿地的长宽之比为5：3．求新的矩形绿地面积．【分析】（1）设将绿地的长、宽增加xm，则新的矩形绿地的长为（35+x）m，宽为（15+x）m，根据扩充后的矩形绿地面积为800m，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x 的值，将其正值分别代入（35+x）及（15+x）中，即可得出结论；（2）设将绿地的长、宽增加ym，则新的矩形绿地的长为（35+y）m，宽为（15+y）m，根据实地测量发现新的矩形绿地的长宽之比为5：3，即可得出关于y的一元一次方程，解之即可得出y值，再利用矩形的面积计算公式，即可求出新的矩形绿地面积．【解答】解：（1）设将绿地的长、宽增加xm，则新的矩形绿地的长为（35+x）m，宽为（15+x）m，根据题意得：（35+x）（15+x）＝800，整理得：x2+50x﹣275＝0解得：x1＝5，x2＝﹣55（不符合题意，舍去），∴35+x＝35+5＝40，15+x＝15+5＝20．答：新的矩形绿地的长为40m，宽为20m．（2）设将绿地的长、宽增加ym，则新的矩形绿地的长为（35+y）m，宽为（15+y）m，根据题意得：（35+y）：（15+y）＝5：3，即3（35+y）＝5（15+y），解得：y＝15，∴（35+y）（15+y）＝（35+15）×（15+15）＝1500．答：新的矩形绿地面积为1500m2．11．建设美丽城市，改造老旧小区．某市2019年投入资金1000万元，2021年投入资金1440万元，现假定每年投入资金的增长率相同．（1）求该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率；（2）2021年老旧小区改造的平均费用为每个80万元．2022年为提高老旧小区品质，每个小区改造费用增加15%．如果投入资金年增长率保持不变，求该市在2022年最多可以改造多少个老旧小区？【分析】（1）设该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率为x，利用2021年投入资金金额＝2019年投入资金金额×（1+年平均增长率）2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；（2）设该市在2022年可以改造y个老旧小区，根据2022年改造老旧小区所需资金不多于2022年投入资金金额，即可得出关于y的一元一次不等式，解之取其中的最大整数值即可得出结论．【解答】解：（1）设该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率为x，依题意得：1000（1+x）2＝1440，解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不合题意，舍去）．答：该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率为20%．（2）设该市在2022年可以改造y个老旧小区，依题意得：80×（1+15%）y≤1440×（1+20%），解得：y≤，又∵y为整数，∴y的最大值为18．答：该市在2022年最多可以改造18个老旧小区．12．南充市被誉为中国绸都，本地某电商销售真丝衬衣和真丝围巾两种产品，它们的进价和售价如下表．用15000元可购进真丝衬衣50件和真丝围巾25件．（利润＝售价﹣进价）（2）若该电商计划购进真丝衬衣和真丝围巾两种商品共300件，据市场销售分析，真丝围巾进货件数不低于真丝衬衣件数的2倍．如何进货才能使本次销售获得的利润最大？最大利润是多少元？（3）按（2）中最大利润方案进货与销售，在实际销售过程中，当真丝围巾销量达到一半时，为促销并保证销售利润不低于原来最大利润的90%，衬衣售价不变，余下围巾降价销售，每件最多降价多少元？【分析】（1）利用总价＝单价×数量，即可得出关于a的一元一次方程，解之即可得出a的值；（2）设购进真丝衬衣x件，则购进真丝围巾（300﹣x）件，根据真丝围巾进货件数不低于真丝衬衣件数的2倍，即可得出关于x的一元一次不等式，解之即可得出x的取值范围，设两种商品全部售出后获得的总利润为w元，利用总利润＝每件的销售利润×销售数量，即可得出w 关于x的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题；（3）设每件真丝围巾降价y元，利用总利润＝每件的销售利润×销售数量，结合要保证销售利润不低于原来最大利润的90%，即可得出关于y的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论．【解答】解：（1）依题意得：50a+80×25＝15000，解得：a＝260．答：a的值为260．（2）设购进真丝衬衣x件，则购进真丝围巾（300﹣x）件，依题意得：300﹣x≥2x，解得：x≤100．设两种商品全部售出后获得的总利润为w元，则w＝（300﹣260）x+（100﹣80）（300﹣x）＝20x+6000．∵20＞0，∴w随x的增大而增大，∴当x＝100时，w取得最大值，最大值＝20×100+6000＝8000，此时300﹣x＝300﹣100＝200．答：当购进真丝衬衣100件，真丝围巾200件时，才能使本次销售获得的利润最大，最大利润是8000元．（3）设每件真丝围巾降价y元，依题意得：（300﹣260）×100+（100﹣80）××200+（100﹣y﹣80）××200≥8000×90%，解得：y≤8．答：每件真丝围巾最多降价8元．13．为贯彻执行“德、智、体、美、劳”五育并举的教育方针，内江市某中学组织全体学生前往某劳动实践基地开展劳动实践活动．在此次活动中，若每位老师带队30名学生，则还剩7名学生没老师带；若每位老师带队31名学生，就有一位老师少带1名学生．现有甲、乙两型客车，它们的载客量和租金如表所示：3000元．（1）参加此次劳动实践活动的老师和学生各有多少人？（2）每位老师负责一辆车的组织工作，请问有哪几种租车方案？（3）学校租车总费用最少是多少元？【分析】（1）设参加此次劳动实践活动的老师有x人，可得：30x+7＝31x﹣1，即可解得参加此次劳动实践活动的老师有8人，参加此次劳动实践活动的学生有247人；（2）根据每位老师负责一辆车的组织工作，知一共租8辆车，设租甲型客车m辆，可得：，解得m的范围，解得一共有3种租车方案：租甲型客车3辆，租乙型客车5辆或租甲型客车4辆，租乙型客车4辆或租甲型客车5辆，租乙型客车3辆；（3）设学校租车总费用是w元，w＝400m+320（8﹣m）＝80m+2560，由一次函数性质得学校租车总费用最少是2800元．【解答】解：（1）设参加此次劳动实践活动的老师有x人，参加此次劳动实践活动的学生有（30x+7）人，根据题意得：30x+7＝31x﹣1，解得x＝8，∴30x+7＝30×8+7＝247，答：参加此次劳动实践活动的老师有8人，参加此次劳动实践活动的学生有247人；（2）师生总数为247+8＝255（人），∵每位老师负责一辆车的组织工作，∴一共租8辆车，设租甲型客车m辆，则租乙型客车（8﹣m）辆，根据题意得：，解得3≤m≤5.5，∵m为整数，∴m可取3、4、5，∴一共有3种租车方案：租甲型客车3辆，租乙型客车5辆或租甲型客车4辆，租乙型客车4辆或租甲型客车5辆，租乙型客车3辆；（3）∵7×35＝245＜255，8×35＝280＞255，∴租车总费用最少时，至少租8两辆车，设租甲型客车m辆，则租乙型客车（8﹣m）辆，由（2）知：3≤m≤5.5，设学校租车总费用是w元，w＝400m+320（8﹣m）＝80m+2560，∵80＞0，∴w随m的增大而增大，∴m＝3时，w取最小值，最小值为80×3+2560＝2800（元），答：学校租车总费用最少是2800元．14．金师傅近期准备换车，看中了价格相同的两款国产车．（2）若燃油车的每千米行驶费用比新能源车多0.54元．①分别求出这两款车的每千米行驶费用．②若燃油车和新能源车每年的其它费用分别为4800元和7500元．问：每年行驶里程为多少千米时，买新能源车的年费用更低？（年费用＝年行驶费用+年其它费用）【分析】（1）根据表中的信息，可以计算出新能源车的每千米行驶费用；（2）①根据燃油车的每千米行驶费用比新能源车多0.54元和表中的信息，可以列出相应的分式方程，然后求解即可，注意分式方程要检验；②根据题意，可以列出相应的不等式，然后求解即可．【解答】解：（1）由表格可得，新能源车的每千米行驶费用为：＝（元），即新能源车的每千米行驶费用为元；（2）①∵燃油车的每千米行驶费用比新能源车多0.54元，∴﹣＝0.54，解得a＝600，经检验，a＝600是原分式方程的解，∴＝0.6，＝0.06，答：燃油车的每千米行驶费用为0.6元，新能源车的每千米行驶费用为0.06元；②设每年行驶里程为xkm，由题意得：0.6x+4800＞0.06x+7500，解得x＞5000，答：当每年行驶里程大于5000km时，买新能源车的年费用更低．15．2022北京冬奥会期间，某网店直接从工厂购进A、B两款冰墩墩钥匙扣，进货价和销售价如下表：（注：利润＝销售价﹣进货价）30件，求两款钥匙扣分别购进的件数；（2）第一次购进的冰墩墩钥匙扣售完后，该网店计划再次购进A、B两款冰墩墩钥匙扣共80件（进货价和销售价都不变），且进货总价不高于2200元．应如何设计进货方案，才能获得最大销售利润，最大销售利润是多少？（3）冬奥会临近结束时，网店打算把B款钥匙扣调价销售，如果按照原价销售，平均每天可售4件．经调查发现，每降价1元，平均每天可多售2件，将销售价定为每件多少元时，才能使B款钥匙扣平均每天销售利润为90元？【分析】（1）设购进A款钥匙扣x件，B款钥匙扣y件，利用总价＝单价×数量，结合该网店第一次用850元购进A、B两款钥匙扣共30件，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；（2）设购进m件A款钥匙扣，则购进（80﹣m）件B款钥匙扣，利用总价＝单价×数量，结合总价不超过2200元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围，设再次购进的A、B两款冰墩墩钥匙扣全部售出后获得的总利润为w元，利用总利润＝每件的销售利润×销售数量，即可得出w关于m的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题；（3）设B款钥匙扣的售价定为a元，则每件的销售利润为（a﹣25）元，平均每天可售出（78﹣2a）件，利用平均每天销售B款钥匙扣获得的总利润＝每件的销售利润×平均每天的销售量，即可得出关于a的一元二次方程，解之即可得出结论．【解答】解：（1）设购进A款钥匙扣x件，B款钥匙扣y件，依题意得：，解得：．答：购进A款钥匙扣20件，B款钥匙扣10件．（2）设购进m件A款钥匙扣，则购进（80﹣m）件B款钥匙扣，依题意得：30m+25（80﹣m）≤2200，解得：m≤40．设再次购进的A、B两款冰墩墩钥匙扣全部售出后获得的总利润为w元，则w＝（45﹣30）m+（37﹣25）（80﹣m）＝3m+960．∵3＞0，∴w随m的增大而增大，∴当m＝40时，w取得最大值，最大值＝3×40+960＝1080，此时80﹣m＝80﹣40＝40．答：当购进40件A款钥匙扣，40件B款钥匙扣时，才能获得最大销售利润，最大销售利润是1080元．（3）设B款钥匙扣的售价定为a元，则每件的销售利润为（a﹣25）元，平均每天可售出4+2（37﹣a）＝（78﹣2a）件，依题意得：（a﹣25）（78﹣2a）＝90，整理得：a2﹣64a+1020＝0，解得：a1＝30，a2＝34．答：将销售价定为每件30元或34元时，才能使B款钥匙扣平均每天销售利润为90元．16．某造纸厂为节约木材，实现企业绿色低碳发展，通过技术改造升级，使再生纸项目的生产规模不断扩大．该厂3，4月份共生产再生纸800吨，其中4月份再生纸产量是3月份的2倍少100吨．（1）求4月份再生纸的产量；（2）若4月份每吨再生纸的利润为1000元，5月份再生纸产量比上月增加m%．5月份每吨。

中考数学-函数应用题练习(含答案)

函数应用题练习类型一：方案问题例1：某汽车运输公司根据实际需要计划购买大、中型两种客车共20辆，已知大型客车每辆62元，中型客车每辆40万元，设购买大型客车x（辆），购车总费用为y（万元）．（1）求y与x的函数关系式（不要求写出自变量x的取值范围）；（2）若购买中型客车的数量少于大型客车的数量，请你给出一种费用最省的方案，并求出该方案所需费用．例2：某批发商以每件50元的价格购进800件T恤．第一个月以单价80元销售，售出了200件；第二个月如果单价不变，预计仍可售出200件，批发商为增加销售量，决定降价销售，根据市场调查，单价每降低1元，可多售出10件，但最低单位应高于购进的价格；第二个月结束后，批发商将对剩余的T恤一次性清仓销售，清仓时单价为40元．设第二个月单价降低x元．（1）填表(不需要化简)时间第一个月第二个月清仓时单价(元)80 ▲40销售量(件)200 ▲▲（2）如果批发商希望通过销售这批T恤获利9000元，那么第二个月的单价应是多少元？例3：为了增强居民的节约用电意识，某市拟出台居民阶梯电价政策：每户每月用电量不超过230千瓦时的部分为第一档，按每千瓦时0.49元收费；超过230千瓦时且不超过400千瓦时的部分为第二档，超过的部分按每千瓦时0.54元收费；超过400千瓦时的部分为第三档，超过的部分按每千瓦时0.79元收费．（1）将按阶梯电价计算得以下各家4月份应交的电费填入下表:4月份总用电量/千瓦时电费/元小刚200 小300丽（2）设一户家庭某月用电量为x 千瓦时，写出该户此月应缴电费y（元）与用电量x （千瓦时）之间的函数关系式．类型二：面积问题例1.如图，在△AOB 中，OA =OB =8，∠AOB =90°，矩形CDEF 的顶点C 、D 、F 分别在边AO 、OB 、A 上.（1）若C 、D 恰好是边AO 、OB 的中点，求矩形CDEF 的面积；（2）若4tan 3CDO ∠=，求矩形CDEF 面积的最大值.A CODBFE例2：如图，平行四边形ABCD中，AD=8,CD=4,∠D=60°，点P与点Q是平行四边形ABCD边上的动点，点P以每秒1个单位长度的速度，从点C运动到点D，点Q以每秒2个单位长度的速度从点A→点B→点C运动．当其中一个点到达终点时，另一个点随之停止运动．点P与点Q同时出发，设运动时间为t，△CPQ的面积为S．（1）求S关于t的函数关系式；（2）求出S的最大值；（3）t为何值时，将△CPQ以它的一边为轴翻折，翻折前后的两个三角形所组成的四边形为菱形．类型三：与函数图像相关例1：根据对北京市相关的市场物价调研，预计进入夏季后的某一段时间，某批发市场内的甲种蔬菜的销售利润y1（千元）与进货量x（吨）之间的函数kxy=1的图象如图①所示，乙种蔬菜的销售利润y2（千元）与进货量x的图象如图②所示.（吨）之间的函数bx=2axy+2（1）分别求出y1、y2与x之间的函数关系式；（2）如果该市场准备进甲、乙两种蔬菜共10吨，设乙种蔬菜的进货量为t 吨，写出这两种蔬菜所获得的销售利润之和W （千元）与t （吨）之间的函数关系式，并求出这两种蔬菜各进多少吨时获得的销售利润之和最大，最大利润是多少？图①图②函数应用题答案类型一：方案问题例1：某汽车运输公司根据实际需要计划购买大、中型两种客车共20辆，已知大型客车每辆62万元，中型客车每辆40万元，设购买大型客车x （辆），购车总费用为y （万元）．（1）求y 与x 的函数关系式（不要求写出自变量x 的取值范围）；（2）若购买中型客车的数量少于大型客车的数量，请你给出一种费用最省的方案，并求出该方案所需费用．解：（1）因为购买大型客车x 辆，所以购买中型客车(20)x 辆．x y （万元）（吨）53Oy （千元） y （万元）（吨）Oy （千元）()62402022800y x x x =+-=+．…………………………………………2分（2）依题意得x -20< x .解得x >10．……………………………………………………………………3分∵22800y x =+，y随着x 的增大而增大，x 为整数，∴ 当x=11时，购车费用最省，为22×11+800=1 042（万元）． …………4分此时需购买大型客车11辆，中型客车9辆．……………………………5分答：购买大型客车11辆，中型客车9辆时，购车费用最省，为1 042万元．例2：某批发商以每件50元的价格购进800件T 恤．第一个月以单价80元销售，售出了200件；第二个月如果单价不变，预计仍可售出200件，批发商为增加销售量，决定降价销售，根据市场调查，单价每降低1元，可多售出10件，但最低单位应高于购进的价格；第二个月结束后，批发商将对剩余的T 恤一次性清仓销售，清仓时单价为40元．设第二个月单价降低x 元．（1）填表(不需要化简)时间第一个月第二个月清仓时单价(元80▲40)销售量(件)200 ▲▲（2）如果批发商希望通过销售这批T恤获利9000元，那么第二个月的单价应是多少元？解：（1）80－x，200＋10x，800－200－(200＋10x)；（2）根据题意，得80×200＋(80－x)(200＋10x)＋40[800－200－(200＋10x)]－50×800＝9000．整理，得x2－20x＋100＝0，解这个方程得x1＝x2＝10，当x＝10时，80－x＝70＞50．答：第二个月的单价应是70元．例3：为了增强居民的节约用电意识，某市拟出台居民阶梯电价政策：每户每月用电量不超过230千瓦时的部分为第一档，按每千瓦时0.49元收费；超过230千瓦时且不超过400千瓦时的部分为第二档，超过的部分按每千瓦时0.54元收费；超过400千瓦时的部分为第三档，超过的部分按每千瓦时0.79元收费．（1）将按阶梯电价计算得以下各家4月份应交的电费填入下表:4月份总用电量/千瓦时电费/元小刚200 小300丽（2）设一户家庭某月用电量为x 千瓦时，写出该户此月应缴电费y（元）与用电量x （千瓦时）之间的函数关系式．解：（1）……2分4月份总用电量/千瓦时电费/元小刚 20098小丽300 150.5（2）当0230x ≤≤时，0.49y x =；……3分当230400x <≤时，0.54-11.5y x =；……4分当400x >时，0.79-111.5y x =．……5分类型二：面积问题例1.如图，在△AOB 中，OA =OB =8，∠AOB =90°，矩形CDEF 的顶点C 、D 、F 分别在边AO 、OB 、A 上.（1）若C 、D 恰好是边AO 、OB 的中点，求矩形CDEF 的面积；A CODBFE422216CDEF S =⨯=矩形（2）若4tan 3CDO ∠=，求矩形CDEF 面积的最大值.1007例2：如图，平行四边形ABCD 中，AD=8,CD=4,∠D=60°，点P 与点Q 是平行四边形ABCD 边上的动点，点P 以每秒1个单位长度的速度，从点C 运动到点D ，点Q 以每秒2个单位长度的速度从点A→点B→点C 运动．当其中一个点到达终点时，另一个点随之停止运动．点P 与点Q 同时出发，设运动时间为t ，△CPQ 的面积为S ．（1）求S 关于t 的函数关系式；（2）求出S 的最大值；（3）t 为何值时，将△CPQ 以它的一边为轴翻折，翻折前后的两个三角形所组成的四边形为菱形．解：（1）①当 0 < t ≤ 2时,如图1，过点B 作BE ⊥DC ，交DC 的延长线于点E ，∵∠BCE=∠D=60°，∴BE=43．∵ CP=t ， ∴t 32t 3421BE CP 21S CPQ =⨯=⋅=∆． (2)分② 当 2 < t ≤ 4时,如图2，CP=t ，BQ=2t-4，CQ=8-(2t-4)=12-2t ．过点P 作PF ⊥BC ，交BC 的延长线于点F ．∵∠PCF=∠D=60°，∴PF=t 23． ∴ t 33t 23t 23)t 212(21PF CQ 21S 2CPQ +-=⨯-=⋅=∆．…………………… 4分（2）当 0 < t ≤ 2时,t=2时，S 有最大值43．当 2< t ≤ 4时, 329)3t (23t 33t 23S 22CPQ +--=+-=∆， t=3时，S 有最大值329．综上所述，S 的最大值为329． ………………………………………………… 5分（3）当 0 < t ≤ 2时, △CPQ 不是等腰三角形，∴不存在符合条件的菱形．…………………………………………………… 6分当 2 < t ≤ 4时,令CQ=CP ，即t=12-2t ，解得t=4．∴ 当t=4时，△CPQ 是等腰三角形．即当t=4时，以△CPQ 一边所在直线为轴翻折，翻折前后的两个三角形所组成的四边形为菱形． ………………………………………………………………………… 7分类型三：与函数图像相关例1：根据对北京市相关的市场物价调研，预计进入夏季后的某一段时间，某批发市场内的甲种蔬菜的销售利润y 1（千元）与进货量x （吨）之间的函数kx y =1的图象如图①所示，乙种蔬菜的销售利润y 2（千元）与进货量x （吨）之间的函数bx ax y +=22的图象如图②所示.（1）分别求出y 1、y 2与x 之间的函数关系式；（2）如果该市场准备进甲、乙两种蔬菜共10吨，设乙种蔬菜的进货量为t 吨，写出这两种蔬菜所获得的销售利润之和W （千元）与t （吨）之间的函数关系式，并求出这两种蔬菜各进多少吨时获得的销售利润之和最大，最大利润是多少？解：（1）x y 6.01=. ………………………………………………………………………1分x x y 2.22.022+-=.……………………………………………………………3分 x y （万元）（吨）53O y （千元） y （万元）（吨）O y （千元）（2）)2.2-+=，t-W+(2.0t)10(6.02t=t-W.…………………………………………………………t2.02+66.1+4分即2.9=tW.-(2.02+)4-所以甲种蔬菜进货量为6吨，乙种蔬菜进货量为4吨时，获得的销售利润之和最大，最大利润是9200元. …………………………………………………6分。

中考数学函数实际应用综合题(解析版)

专题03 函数实际应用综合题1.（2019•常德中考）某生态体验园推出了甲、乙两种消费卡，设入园次数为x时所需费用为y元，选择这两种卡消费时，y与x的函数关系如图所示，解答下列问题：（1）分别求出选择这两种卡消费时，y关于x的函数表达式；（2）请根据入园次数确定选择哪种卡消费比较合算．【解析】（1）设y甲=k1x，根据题意得5k1=100，解得k1=20，∴y甲=20x；设y乙=k2x+100，根据题意得：20k2+100=300，解得k2=10，∴y乙=10x+100．（2）①y甲<y乙，即20x<10x+100，解得x<10，当入园次数小于10次时，选择甲消费卡比较合算；②y甲=y乙，即20x=10x+100，解得x=10，当入园次数等于10次时，选择两种消费卡费用一样；③y甲>y乙，即20x>10x+100，解得x>10，当入园次数大于10次时，选择乙消费卡比较合算．2.（2019•山西中考）某游泳馆推出了两种收费方式．方式一：顾客先购买会员卡，每张会员卡200元，仅限本人一年内使用，凭卡游泳，每次游泳再付费30元．方式二：顾客不购买会员卡，每次游泳付费40元．设小亮在一年内来此游泳馆的次数为x次，选择方式一的总费用为y1（元），选择方式二的总费用为y2（元）．（1）请分别写出y1，y2与x之间的函数表达式．（2）小亮一年内在此游泳馆游泳的次数x在什么范围时，选择方式一比方式二省钱．【解析】（1）当游泳次数为x时，方式一费用为：y1=30x+200，方式二的费用为：y2=40x．（2）由y1<y2得：30x+200<40x，解得x>20时，当x>20时，选择方式一比方式二省钱．3．（2019•台州中考）如图1，某商场在一楼到二楼之间设有上、下行自动扶梯和步行楼梯．甲、乙两人从二楼同时下行，甲乘自动扶梯，乙走步行楼梯，甲离一楼地面的高度h （单位：m ）与下行时间x （单位：s ）之间具有函数关系3610h x =-+，乙离一楼地面的高度y （单位：m ）与下行时间x （单位：s ）的函数关系如图2所示．（1）求y 关于x 的函数解析式；（2）请通过计算说明甲、乙两人谁先到达一楼地面．【解析】（1）设y 关于x 的函数解析式是y kx b =+，6153b k b =⎧⎨+=⎩，解得，156k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，即y 关于x 的函数解析式是165y x =-+．（2）当0h =时，30610x =-+，得20x ，当0y =时，1065x =-+，得30x =， ∵2030<， ∴甲先到达地面．4．（2019•天门中考）某农贸公司销售一批玉米种子，若一次购买不超过5千克，则种子价格为20元/千克，若一次购买超过5千克，则超过5千克部分的种子价格打8折．设一次购买量为x 千克，付款金额为y 元．（1）求y 关于x 的函数解析式；（2）某农户一次购买玉米种子30千克，需付款多少元？【解析】（1）根据题意，得①当0≤x ≤5时，y =20x ； ②当x >5，y =20×0.8（x -5）+20×5=16x +20．（2）把x =30代入y =16x +20，∴y =16×30+20=500； ∴一次购买玉米种子30千克，需付款500元．5.（2019•天津中考）甲、乙两个批发店销售同一种苹果．在甲批发店，不论一次购买数量是多少，价格均为6元/kg ．在乙批发店，一次购买数量不超过元50 kg 时，价格为7元/kg ；一次购买数量超过50kg 时，其中有50kg 的价格仍为7元/kg ，超出50 kg 部分的价格为5元/kg ．设小王在同一个批发店一次购买苹果的数量为 kg x (0)x >．（1）根据题意填表：（2）设在甲批发店花费1y 元，在乙批发店花费2y 元，分别求1y ，2y 关于x 的函数解析式；（3）根据题意填空：①若小王在甲批发店和在乙批发店一次购买苹果的数量相同，且花费相同，则他在同一个批发店一次购买苹果的数量为__________kg ；②若小王在同一个批发店一次购买苹果的数量为120 kg ，则他在甲、乙两个批发店中的__________批发店购买花费少；③若小王在同一个批发店一次购买苹果花费了360元，则他在甲、乙两个批发店中的__________批发店购买数量多．【解析】（1）当x =30时，1306180y =⨯=，2307210y =⨯=，当x =150时，11506900y =⨯=，2507515050850y =⨯+-=（），故答案为：180，900，210，850．（2）16y x =(0)x >．当050x <≤时，27y x =；当50x >时，27505(50)y x =⨯+-，即25100y x =+．（3）①∵0x >∴6x 7x ≠， ∴当21y y =时，即6x =5x +100，∴x =100，故答案为：100． ②∵x =12050>，∴16120720y =⨯=；25120100=700y =⨯+， ∴乙批发店购买花费少，故答案为：乙．③∵当x =50时乙批发店的花费是：350360<， ∵一次购买苹果花费了360元，∴x >50， ∴当1360y =时，6x =360，∴x =60， ∴当2360y =时，5x +100=360,∴x =52， ∴甲批发店购买数量多．故答案为：甲．6.（2019•湖州中考）某校的甲、乙两位老师同住一小区，该小区与学校相距2400米.甲从小区步行去学校，出发10分钟后乙再出发，乙从小区先骑公共自行车，途经学校义骑行若干米到达还车点后，立即步行走回学校.已知甲步行的速度比乙步行的速度每分钟快5米.设甲步行的时间为x （分），图1中线段OA 和折线B C D --分别表示甲、乙离开小区的路程y （米）与甲步行时间x （分）的函数关系的图象；图2表示甲、乙两人之间的距离s （米）与甲步行时间x （分）的函数关系的图象（不完整）.根据图1和图2中所给信息，解答下列问题：（1）求甲步行的速度和乙出发时甲离开小区的路程；（2）求乙骑自行车的速度和乙到达还车点时甲、乙两人之间的距离；（3）在图2中，画出当2530x ≤≤时s 关于x 的函数的大致图象．（温馨提示：请画在答题卷相对应的图上）【解析】（1）由题意，得：甲步行的速度是24003080÷=（米/分）， ∴乙出发时甲离开小区的路程是8010800⨯=（米）．（2）设直线OA 的解析式为:(0)y kx k =≠， ∵直线OA 过点()30,2400A ， ∴302400k =，解得80k =，∴直线OA 的解析式为:80y x =， ∴当18x =时，80181440y =⨯=，∴乙骑自行车的速度是()14401810180÷-=（米/分）． ∵乙骑自行车的时间为251015-=（分）， ∴乙骑自行车的路程为180152700⨯=（米）．当25x =时，甲走过的路程是8080252000y x ==⨯=（米），∴乙到达还车点时，甲、乙两人之间的距离是27002000700-=（米）．（3）乙步行的速度为：80-5=75（米/分），乙到达学校用的时间为：25+（2700-2400）÷75=29（分），当25≤x ≤30时s 关于x 的函数的大致图象如图所示．7.2019•河南中考）学校计划为“我和我的祖国”演讲比赛购买奖品．已知购买3个A 奖品和2个B 奖品共需120元；购买5个A 奖品和4个B 奖品共需210元．（1）求A ，B 两种奖品的单价；（2）学校准备购买A ，B 两种奖品共30个，且A 奖品的数量不少于B 奖品数量的13．请设计出最省钱的购买方案，并说明理由．【解析】（1）设A 的单价为x 元，B 的单价为y 元，根据题意，得3212054210x y x y +=⎧⎨+=⎩，∴3015x y =⎧⎨=⎩，∴A 的单价30元，B 的单价15元；（2）设购买A 奖品z 个，则购买B 奖品为（30-z ）个，购买奖品的花费为W 元，由题意可知，z ≥13（30-z ）， ∴z ≥152， W =30z +15（30-z ）=450+15z ， ∵15＞0，W 随z 的减小而减小 ∴当z =8时，W 有最小值为570元，即购买A 奖品8个，购买B 奖品22个，花费最少．8.（2019•宿迁中考）超市销售某种儿童玩具，如果每件利润为40元（市场管理部门规定，该种玩具每件利润不能超过60元），每天可售出50件．根据市场调查发现，销售单价每增加2元，每天销售量会减少1件．设销售单价增加x 元，每天售出y 件．（1）请写出y 与x 之间的函数表达式；（2）当x 为多少时，超市每天销售这种玩具可获利润2250元？（3）设超市每天销售这种玩具可获利w 元，当x 为多少时w 最大，最大值是多少？【解析】（1）根据题意得，1502y x =-+．（2）根据题意得，()140(50)22502x x +-+=，解得：150x =，210x =， ∵每件利润不能超过60元， ∴10x =，答：当x 为10时，超市每天销售这种玩具可获利润2250元．（3）根据题意得，()21140(50)30200022w x x x x =+-+=-++()213024502x =--+， ∵102a =-<， ∴当30x <时，w 随x 的增大而增大，∴当20x时，2400w =增大，答：当x 为20时w 最大，最大值是2400元．9．（2019•潍坊中考）扶贫工作小组对果农进行精准扶贫，帮助果农将一种有机生态水果拓宽了市场．与去年相比，今年这种水果的产量增加了1000千克，每千克的平均批发价比去年降低了1元，批发销售总额比去年增加了20%．（1）已知去年这种水果批发销售总额为10万元，求这种水果今年每千克的平均批发价是多少元？（2）某水果店从果农处直接批发，专营这种水果．调查发现，若每千克的平均销售价为41元，则每天可售出300千克；若每千克的平均销售价每降低3元，每天可多卖出180千克，设水果店一天的利润为w 元，当每千克的平均销售价为多少元时，该水果店一天的利润最大，最大利润是多少？（利润计算时，其它费用忽略不计）【解析】（1）由题意，设这种水果今年每千克的平均批发价是x 元，则去年的批发价为()1x +元，今年的批发销售总额为()10120%12-=万元， ∴12000010000010001x x -=+，整理得2191200x x --=，解得24x =或5x =-（不合题意，舍去），故这种水果今年每千克的平均批发价是24元．（2）设每千克的平均售价为m 元，依题意由（1）知平均批发价为24元，则有()4124(180300)3mw m -=-⨯+260420066240m m =-+-，整理得()260357260w m =--+， ∵600a =-<， ∴抛物线开口向下，∴当35m =元时，w 取最大值，即每千克的平均销售价为35元时，该水果店一天的利润最大，最大利润是7260元．10．（2019•南充中考）在“我为祖国点赞”征文活动中，学校计划对获得一、二等奖的学生分别奖励一支钢笔，一本笔记本.已知购买2支钢笔和3个笔记本共38元，购买4支钢笔和5个笔记本共70元．（1）钢笔、笔记本的单价分别为多少元？（2）经与商家协商，购买钢笔超过30支时，每增加一支，单价降低0.1元；超过50支，均按购买50支的单价销售，笔记本一律按原价销售，学校计划奖励一、二等奖学生共计100人，其中一等奖的人数不少于30人，且不超过60人，这次奖励一等学生多少人时，购买奖品金额最少，最少为多少元？【解析】（1）设钢笔、笔记本的单价分别为x 、y 元，根据题意可得23384570x y x y +=⎧⎨+=⎩，解得：106x y =⎧⎨=⎩．答：钢笔、笔记本的单价分别为10元，6元．（2）设钢笔单价为a 元，购买数量为b 支，支付钢笔和笔记本总金额为W 元， ①当30≤b ≤50时，100.1(30)0.113a b b =--=-+，w =b （-0.1b +13）+6（100-b ）20.17600b b =-++20.1(35)722.5b =--+， ∵当30b =时，W =720，当b =50时，W =700， ∴当30≤b ≤50时，700≤W ≤722.5． ②当50＜b ≤60时， a =8，86(100)2600W b b b =+-=+，∵700720W <≤，∴当30≤b ≤60时，W 的最小值为700元，∴当一等奖人数为50时花费最少，最少为700元．11．（2019•梧州中考）我市某超市销售一种文具，进价为5元/件．售价为6元/件时，当天的销售量为100件．在销售过程中发现：售价每上涨0.5元，当天的销售量就减少5件．设当天销售单价统一为x 元/件（x ≥6，且x 是按0.5元的倍数上涨），当天销售利润为y 元．（1）求y 与x 的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）；（2）要使当天销售利润不低于240元，求当天销售单价所在的范围；（3）若每件文具的利润不超过80%，要想当天获得利润最大，每件文具售价为多少元？并求出最大利润．【解析】（1）由题意，y =（x -5）（100-60.5x -×5）=-10x 2+210x -800，故y与x的函数关系式为：y=-10x2+210x-800．（2）要使当天利润不低于240元，则y≥240，∴y=-10x2+210x-800=-10（x-10.5）2+302.5=240，解得，x1=8，x2=13，∵-10<0，抛物线的开口向下，∴当天销售单价所在的范围为8≤x≤13．（3）∵每件文具利润不超过80%，∴50.8xx-≤，得x≤9，∴文具的销售单价为6≤x≤9，由（1）得y=-10x2+210x-800=-10（x-10.5）2+302.5，∵对称轴为x=10.5，∴6≤x≤9在对称轴的左侧，且y随着x的增大而增大，∴当x=9时，取得最大值，此时y=-10（9-10.5）2+302.5=280，即每件文具售价为9元时，最大利润为280元．12．（2019•云南中考）某驻村扶贫小组实施产业扶贫，帮助贫困农户进行西瓜种植和销售．已知西瓜的成本为6元/千克，规定销售单价不低于成本，又不高于成本的两倍．经过市场调查发现，某天西瓜的销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）的函数关系如图所示：（1）求y与x的函数解析式（也称关系式）；（2）求这一天销售西瓜获得的利润W的最大值．【解析】（1）当6≤x≤10时，设y与x的关系式为y=kx+b（k≠0），根据题意得1000620010k bk b=+⎧⎨=+⎩，解得2002200kb=-⎧⎨=⎩，∴y=-200x+1200，当10<x≤12时，y=200，故y 与x 的函数解析式为：y =2002200(610)200(1012)x x x -+≤≤⎧⎨<≤⎩．（2）由已知得：W =（x -6）y ，当6≤x ≤10时，W =（x -6）（-200x +1200）=-200（x -172）2+1250， ∵-200<0，抛物线的开口向下， ∴x =172时，取最大值， ∴W =1250，当10<x ≤12时，W =（x -6）•200=200x -1200， ∵y 随x 的增大而增大，∴x =12时取得最大值，W =200×12-1200=1200，综上所述，当销售价格为8.5元时，取得最大利润，最大利润为1250元．13．（2019•成都中考）随着5G 技术的发展，人们对各类5G 产品的使用充满期待，某公司计划在某地区销售一款5G 产品，根据市场分析，该产品的销售价格将随销售周期的变化而变化．设该产品在第x （x 为正整数）个销售周期每台的销售价格为y 元，y 与x 之间满足如图所示的一次函数关系．（1）求y 与x 之间的关系式；（2）设该产品在第x 个销售周期的销售数量为p （万台），p 与x 的关系可以用p =12x +12来描述．根据以上信息，试问：哪个销售周期的销售收入最大？此时该产品每台的销售价格是多少元？【解析】（1）设函数的解析式为：y =kx +b （k ≠0），由图象可得，700055000k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得5007500kb=-⎧⎨=⎩，∴y与x之间的关系式：y=-500x+7500．（2）设销售收入为w万元，根据题意得，w=yp=（-500x+7500）（12x+12），即w=-250（x-7）2+16000，∴当x=7时，w有最大值为16000，此时y=-500×7+7500=4000（元）．答：第7个销售周期的销售收入最大，此时该产品每台的销售价格是4000元．14．（2019•武汉中考）某商店销售一种商品，童威经市场调查发现：该商品的周销售量y（件）是售价x （元/件）的一次函数，其售价、周销售量、周销售利润w（元）的三组对应值如表：售价x（元/件）50 60 80周销售量y（件）100 80 40周销售利润w（元）1000 1600 1600 注：周销售利润=周销售量×（售价-进价）（1）①求y关于x的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）；②该商品进价是__________元/件；当售价是__________元/件时，周销售利润最大，最大利润是__________元．（2）由于某种原因，该商品进价提高了m元/件（m>0），物价部门规定该商品售价不得超过65元/件，该商店在今后的销售中，周销售量与售价仍然满足（1）中的函数关系．若周销售最大利润是1400元，求m的值．【解析】（1）①依题意设y=kx+b，则有50100 6080k bk b+=⎧⎨+=⎩，解得2200 kb=-⎧⎨=⎩，所以y关于x的函数解析式为y=-2x+200．②该商品进价是50-1000÷100=40，设每周获得利润w=ax2+bx+c，则有2500501000 3600601600 6400801600a b ca b ca b c++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩，解得22808000 abc=-⎧⎪=⎨⎪=-⎩，∴w=-2x2+280x-8000=-2（x-70）2+1800，∴当售价是70元/件时，周销售利润最大，最大利润是1800元；故答案为：40，70，1800；（2）根据题意得，w=（x-40-m）（-2x+200）=-2x2+（280+2m）x-8000-200m，∵对称轴x=1402m+，∴①当1402m+<65时（舍），②当1402m+≥65时，x=65时，w求最大值1400，解得：m=5．。

函数应用：中考数学函数模型的实际问题

函数应用：中考数学函数模型的实际问题数学中的函数在实际应用中扮演着非常重要的角色。

在中考数学中，函数模型的应用更是非常广泛。

本文将探讨中考数学函数模型的实际问题，并介绍一些常用的解题方法。

一、工资问题很多人都会遇到这样一个问题：如何根据月工作天数和每天工资计算出所有工作日的工资总额。

我们可以使用函数来解决这个问题。

设每天工资为x元，一个月的工作日数为n，那么工资总额为f(n)=nx元。

这个函数就是我们要求的函数模型。

二、人口增长问题另一个常见的问题是人口增长问题。

这里我们假设有一种动物从出生到死亡，每年会繁殖3只后代，并且从第二年开始每只动物都能生育。

我们可以用如下函数来模拟它的人口增长：f(n)=f(n-1)+3f(n-2)，其中f(1)=1，f(2)=3。

这个函数模型可以用来计算出指定年份动物的数量，或者计算动物数量从某年到某年的增长情况。

三、速度问题速度问题是中考数学中常见的函数模型应用之一。

常见的问题是：如果一辆车以v1公里/小时的速度行驶了t1小时，然后以v2公里/小时的速度行驶t2小时，求车行驶了多少公里。

我们可以用函数模型来解决这个问题。

设车行驶的公里数为f(t)，那么f(t)可以表示为：f(t) = v1t1 + v2t2这个函数模型可以用来计算车行驶的总公里数，或者计算车从某一时间到某一时间行驶的公里数。

四、销售问题销售问题也是中考数学中常见的函数模型应用之一。

常见的问题是：如果一家商店的销售额每月增长5%，那么过了多少月后，它的销售额将增长到指定的目标值。

我们可以用函数模型来解决这个问题。

设销售额为f(n)，那么f(n)可以表示为：f(n) = f(n-1) * 1.05这个函数模型可以用来计算商店的销售额逐月增长的情况，或者计算商店销售额增长到指定目标值需要多少个月。

五、总结函数模型是中考数学中非常重要的一个内容。

本文介绍了一些常见的函数模型应用：工资问题、人口增长问题、速度问题和销售问题。

2024年湖南省中考数学第一轮复习课件：微专题5 分段函数的实际应用问题

均以某一固定价格销售.一次性销售利润y(元)与一次性销售量x(千克)的函数关
系如图所示.
(1)当一次性销售800千克时利润为多少元?
(2)求一次性销售量在1 000~1 750千克时的最大利润;
(3)当一次性销售多少千克时利润为22 100元?
【解析】(1)根据题意,当x=800时,y=800×(50-30)=800×20=16 000,
准,共分三个梯段,0-15吨为基本段,15-22吨为极限段,超过22吨为较高收费段,且
规定每月用水超过22吨时,超过的部分每吨4元,居民每月应缴水费y(元)是用水量
x(吨)的函数,其图象如图所示:
(1)求出基本段每吨水费,若某用户该月用水5吨,问应缴水费多少元?
(2)写出y与x的函数表达式.
(3)若某月一用户缴水费48元,则该用户用水多少吨?
当10<x≤20时,设P=kx+b(k≠0),
把(10,5.2),(20,6.2)代入上式,得
10 + = 5.2
= 0.1
,解得,
,
20 + = 6.2
= 4.2
∴P=0.1x+4.2,
①当0≤x≤5时,
w=y(8-P)=20x(8-5.2)=56x,
当x=5时,w有最大值为280元;
= 15
1
∴甲运动员距出发点的路程y与x之间的函数关系式为y= x+15(80≤x≤200);
8
(3)∵乙运动员全程匀速跑,用时160分钟,
∴如图,连接点(0,0),(160,40),即可得到乙距起点的路程y(千米)与乙出发时间x(分
钟)之间的关系的大致图象;
1
(4)∵y= x+15(80≤x≤200),

2015届湘教版中考数学复习课件专题五_实际应用题

专题五┃ 实际应用题
【解题方法点析】解直角三角形在解决实际问题中有广泛的应用．我们要学会将各类的实际问题转化为数学问题来解决，具体地说，要求我们善于将某些实际问题中的数量关系归结为直角三角形中的元素(边、角)之间的关系，这样就可运用解直角三角形的方法了．一般有以下三个步骤： (1)审题，通过图形(题目未画出图形的，可自己画出示意图)，弄清已知和未知； (2)找出有关的直角三角形，或通过作辅助线产生有关的直角三角形，把问题转化为解直角三角形的问题； (3)根据直角三角形元素(边、角)之间的关系解有关的直角三角形．
专题五┃ 实际应用题
解
(1)由于蜡烛燃烧时剩余部分的高度y(cm)
与燃烧时间x(h)之间为一次函数关系．故设y与x之间的函数表达式为y＝kx＋b(k≠0)．由题图知该函数图象经过点(0，24)，(2，12)，则
2k＋b＝12， k＝－6，解得 b＝24， b＝24，
专题五┃ 实际应用题
探究三利用解直角三角形解决实际问题
例3 [2013· 岳阳] 某校有一露天舞台，纵断面如图Z5－2所示，AC垂直于地面， AB表示楼梯，AE为舞台面，楼梯的坡角 ∠ABC＝45°，坡长AB＝2 m，为保障安全，学校决定对该楼梯进行改造，降低坡度，拟修新楼梯AD，使∠ADC＝30°. (1)求舞台的高AC(结果保留根号)； (2)在楼梯口B左侧正前方距离舞台底部C点3 m处有一株大树，修新楼梯AD时底端D是否会触到大树？并说明理由．
专题五┃ 实际应用题
其中，找出有关的直角三角形是关键，具体方法是：如果示意图形不是直角三角形，可添加适当的辅助线，把它们分割成一些直角三角形和矩形，把实际问题转化为解直角三角形问题，把可解的直角三角形纳入基本类型，确定合适的边角关系，细心推理，按要求精确度作近似计算，最后写出答并注明单位．

中考数学复习专题(五)解直角三角形的实际应用(含答案)

（湖南株洲第23题）如图示一架水平飞行的无人机AB 的尾端点A 测得正前方的桥的左端点P 的俯角为α其中tanα=23，无人机的飞行高度AH 为5003米，桥的长度为1255米． ①求点H 到桥左端点P 的距离；②若无人机前端点B 测得正前方的桥的右端点Q 的俯角为30°，求这架无人机的长度A B ．【答案】①求点H 到桥左端点P 的距离为250米；②无人机的长度AB 为5米．②设BC ⊥HQ 于C ．在Rt △BCQ 中，∵BC =AH =5003，∠BQC =30°， ∴CQ =tan 30BC︒=1500米，∵PQ =1255米，∴CP =245米，∵HP =250米，∴AB =HC =250﹣245=5米．答：这架无人机的长度AB 为5米．.考点：解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．（内蒙古通辽第22题）如图，物理老师为同学们演示单摆运动，单摆左右摆动中，在OA 的位置时俯角030=⊥EOA ，在OB 的位置时俯角060=∠FOB .若EF OC ⊥，点A 比点B 高cm 7.求（1）单摆的长度（7.13≈）；（2）从点A 摆动到点B 经过的路径长（1.3≈π）.【答案】（1）单摆的长度约为18.9cm（2）从点A摆动到点B经过的路径长为29.295cm则在Rt△AOP中，OP=OAcos∠AOP=12 x，在Rt△BOQ中，OQ=OBcos∠BOQ=32x，由PQ=OQ﹣OP 3﹣12x=7，解得：x3（cm），.答：单摆的长度约为18.9cm；（2）由（1）知，∠AOP=60°、∠BOQ=30°，且OA=OB3，∴∠AOB=90°，则从点A摆动到点B经过的路径长为907+73180π⨯（）≈29.295，答：从点A摆动到点B经过的路径长为29.295cm．考点：1、解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题；2、轨迹.（湖南张家界第19题）位于张家界核心景区的贺龙铜像，是我国近百年来最大的铜像．铜像由像体AD和底座CD 两部分组成．如图，在Rt△ABC中，∠ABC=70.5°，在Rt△DBC中，∠DBC=45°，且CD=2.3米，求像体AD的高度（最后结果精确到0.1米，参考数据：sin70.5°≈0.943，cos70.5°≈0.334，tan70.5°≈2.824）【答案】4.2m．考点：解直角三角形的应用．（海南第22题）为做好防汛工作，防汛指挥部决定对某水库的水坝进行加高加固，专家提供的方案是：水坝加高2米（即CD=2米），背水坡DE的坡度i=1：1（即DB：EB=1：1），如图所示，已知AE=4米，∠EAC=130°，求水坝原来的高度B C．（参考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.2）【答案】水坝原来的高度为12米．.考点：解直角三角形的应用，坡度.（乌鲁木齐第21题）一艘渔船位于港口A的北偏东60方向，距离港口20海里B处，它沿北偏西37方向航行至C处突然出现故障，在C处等待救援，,B C之间的距离为10海里，救援船从港口A出发20分钟到达C处，求救≈≈≈，结果取整数）援的艇的航行速度.(sin370.6,cos370.8,3 1.732【答案】救援的艇的航行速度大约是64海里/小时．【解析】试题分析：辅助线如图所示：BD⊥AD，BE⊥CE，CF⊥AF，在Rt△ABD中，根据勾股定理可求AD，在Rt△BCE中，根据三角函数可求CE，EB，在Rt△AFC中，根据勾股定理可求AC，再根据路程÷时间=速度求解即可．试题解析：辅助线如图所示：答：救援的艇的航行速度大约是64海里/小时．考点：解直角三角形的应用﹣方向角问题（浙江省绍兴市）如图，学校的实验楼对面是一幢教学楼，小敏在实验楼的窗口C测得教学楼顶部D的仰角为18°，教学楼底部B的俯角为20°，量得实验楼与教学楼之间的距离AB=30m．（1）求∠BCD的度数．（2）求教学楼的高BD．（结果精确到0.1m，参考数据：tan20°≈0.36，tan18°≈0.32）【答案】（1）38°；（2）20.4m．【解析】试题分析：（1）过点C作CE与BD垂直，根据题意确定出所求角度数即可；（2）在直角三角形CBE中，利用锐角三角函数定义求出BE的长，在直角三角形CDE中，利用锐角三角函数定义求出DE的长，由BE+DE求出BD的长，即为教学楼的高．试题解析：（1）过点C作CE⊥BD，则有∠DCE=18°，∠BCE=20°，∴∠BCD=∠DCE+∠BCE=18°+20°=38°；（2）由题意得：CE=AB=30m，在Rt△CBE中，BE=CE•tan20°≈10.80m，在Rt△CDE中，DE=CD•tan18°≈9.60m，∴教学楼的高BD=BE+DE=10.80+9.60≈20.4m，则教学楼的高约为20.4m．考点：1．解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题；2．应用题；3．等腰三角形与直角三角形．（·湖北随州·8分）某班数学兴趣小组利用数学活动课时间测量位于烈山山顶的炎帝雕像高度，已知烈山坡面与水平面的夹角为30°，山高857.5尺，组员从山脚D处沿山坡向着雕像方向前进1620尺到达E点，在点E处测得雕像顶端A的仰角为60°，求雕像AB的高度．解：如图，过点E作EF⊥AC，EG⊥CD，在Rt△DEG中，∵DE=1620，∠D=30°，∴EG=DEsin∠D=1620×=810，∵BC=857.5，CF=EG，∴BF=BC﹣CF=47.5，在Rt△BEF中，tan∠BEF=，∴EF=BF，在Rt△AEF中，∠AEF=60°，设AB=x，∵tan∠AEF=，∴AF=EF×tan∠AEF，∴x+47.5=3×47.5，∴x=95，答：雕像AB的高度为95尺．2. （·吉林·7分）如图，某飞机于空中A处探测到目标C，此时飞行高度AC=1200m，从飞机上看地平面指挥台B的俯角α=43°，求飞机A与指挥台B的距离（结果取整数）（参考数据：sin43°=0.68，cos43°=0.73，tan43°=0.93）解：如图，∠B=α=43°，在Rt△ABC中，∵sinB=，∴AB=≈1765（m）．答：飞机A与指挥台B的距离为1765m．3.（·江西·8分）如图1是一副创意卡通圆规，图2是其平面示意图，OA是支撑臂，OB是旋转臂，使用时，以点A为支撑点，铅笔芯端点B可绕点A旋转作出圆．已知OA=OB=10cm．（1）当∠AOB=18°时，求所作圆的半径；（结果精确到0.01cm）（2）保持∠AOB=18°不变，在旋转臂OB末端的铅笔芯折断了一截的情况下，作出的圆与（1）中所作圆的大小相等，求铅笔芯折断部分的长度．（结果精确到0.01cm）（参考数据：sin9°≈0.1564，cos9°≈0.9877，sin18°≈0.3090，cos18°≈0.9511，可使用科学计算器）解：（1）作OC⊥AB于点C，如右图2所示，由题意可得，OA=OB=10cm，∠OCB=90°，∠AOB=18°，∴∠BOC=9°∴AB=2BC=2OB•sin9°≈2×10×0.1564≈3.13cm，即所作圆的半径约为3.13cm；（2）作AD⊥OB于点D，作AE=AB，如下图3所示，∵保持∠AOB=18°不变，在旋转臂OB末端的铅笔芯折断了一截的情况下，作出的圆与（1）中所作圆的大小相等，∴折断的部分为BE，∵∠AOB=18°，OA=OB，∠ODA=90°，∴∠OAB=81°，∠OAD=72°，∴∠BAD=9°，∴BE=2BD=2AB•sin9°≈2×3.13×0.1564≈0.98cm，即铅笔芯折断部分的长度是0.98cm．4. （·辽宁丹东·10分）某中学九年级数学兴趣小组想测量建筑物AB的高度．他们在C处仰望建筑物顶端，测得仰角为48°，再往建筑物的方向前进6米到达D处，测得仰角为64°，求建筑物的高度．（测角器的高度忽略不计，结果精确到0.1米）（参考数据：sin48°≈，tan48°≈，sin64°≈，tan64°≈2）解：根据题意，得∠ADB=64°，∠ACB=48°在Rt△ADB中，tan64°=，则BD=≈AB，在Rt△ACB中，tan48°=，则CB=≈AB，∴CD=BC﹣BD即6=AB﹣AB解得：AB=≈14.7（米），∴建筑物的高度约为14.7米．5.（·四川宜宾）如图，CD是一高为4米的平台，AB是与CD底部相平的一棵树，在平台顶C点测得树顶A点的仰角α=30°，从平台底部向树的方向水平前进3米到达点E，在点E处测得树顶A 点的仰角β=60°，求树高AB（结果保留根号）解：作CF⊥AB于点F，设AF=x米，在Rt△ACF中，tan∠ACF=，则CF====x，在直角△ABE中，AB=x+BF=4+x（米），在直角△ABF中，tan∠AEB=，则BE===（x+4）米．∵CF﹣BE=DE，即x﹣（x+4）=3．解得：x=，则AB=+4=（米）．答：树高AB是米．6.（·湖北黄石·8分）如图，为测量一座山峰CF的高度，将此山的某侧山坡划分为AB和BC两段，每一段山坡近似是“直”的，测得坡长AB=800米，BC=200米，坡角∠BAF=30°，∠CBE=45°．（1）求AB段山坡的高度EF；（2）求山峰的高度CF．（ 1.414，CF结果精确到米）解：（1）作BH⊥AF于H，如图，在Rt△ABF中，∵sin∠BAH=，∴BH=800•sin30°=400，∴EF=BH=400m；（2）在Rt△CBE中，∵sin∠CBE=，∴CE=200•sin45°=100≈141.4，∴CF=CE+EF=141.4+400≈541（m）．答：AB段山坡高度为400米，山CF的高度约为541米．（·湖北荆门·6分）如图，天星山山脚下西端A处与东端B处相距800（1+）米，小和小明同时分别从A处和B 处向山顶C匀速行走．已知山的西端的坡角是45°，东端的坡角是30°，小的行走速度为米/秒．若小明与小同时到达山顶C处，则小明的行走速度是多少？解：过点C 作CD ⊥AB 于点D ，设AD =x 米，小明的行走速度是a 米/秒， ∵∠A =45°，CD ⊥AB ，∴AD =CD =x 米， ∴AC =x ．在Rt △BCD 中， ∵∠B =30°， ∴BC ===2x ，∵小的行走速度为米/秒．若小明与小同时到达山顶C 处，∴=，解得a =1米/秒．答：小明的行走速度是1米/秒．8.（·四川内江）(9分)如图，禁渔期间，我渔政船在A 处发现正北方向B 处有一艘可疑船只，测得A ，B 两处距离为200海里，可疑船只正沿南偏东45°方向航行．我渔政船迅速沿北偏东30°方向前去拦截，经历4小时刚好在C 处将可疑船只拦截．求该可疑船只航行的平均速度(结果保留根号)．[考点]三角函数、解决实际问题。

2021年中考一轮复习数学——函数专题：一次函数实际应用(五)

2021年九年级数学中考复习——函数专题：一次函数实际应用（五）1．金堂骑自行车旅行越来越受到人们的喜爱，各种品牌的山地自行车相继投放市场，某车行经营的A 型车去年2月份销售总额为3.2万元，今年经过改造升级后A 型车每辆销售价比去年增加400元，若今年2月份与去年2月份卖出的A 型车数量相同，则今年2月份A 型车销售总额将比去年2月份销售总额增加25%．（1）求今年2月份A 型车每辆销售价多少元？（2）该车行计划今年3月份新进一批A 型车和B 型车共50辆，且B 型车的进货数量不超过A 型车数量的2倍，A 、B 两种型号车的进货和销售价格如表，问应如何进货才能使这批车获利最多？A 型车B 型车进货价格（元/辆）1100 1400 销售价格（元/辆）今年的销售价格24002．甲、乙两人利用不同的交通工具，沿同一路线分别从A 、B 两地同时出发匀速前往C 地（B 在A 、C 两地的途中）．设甲、乙两车距A 地的路程分别为y 甲、y 乙（千米），行驶的时间为x （小时），y 甲、y 乙与x 之间的函数图象如图所示．（1）直接写出y 甲、y 乙与x 之间的函数表达式；（2）如图，过点（1，0）作x 轴的垂线，分别交y 甲、y 乙的图象于点M ，N ．求线段MN 的长，并解释线段MN 的实际意义；（3）在乙行驶的过程中，当甲、乙两人距A 地的路程差小于30千米时，求x 的取值范围．3．某校九年级组织有奖知识竞赛，派小明去购买A 、B 两种品牌的钢笔作为奖品．已知一支A 品牌钢笔的价格比一支B 品牌钢笔的价格的多5元，且买100元A 品牌钢笔与买50元B 品牌钢笔数目相同．（1）求A 、B 两种品牌钢笔的单价分别为多少元？（2）根据活动的设奖情况，决定购买A 、B 两种品牌的钢笔共100支，如果设购买A 品牌钢笔的数量为n 支，购买这两种品牌的钢笔共花费y 元．①直接写出y （元）关于n （支）的函数关系式；②如果所购买A品牌钢笔的数量不少于B品牌钢笔数量的，请你帮助小明计算如何购买，才能使所花费的钱最少？此时花费是多少？4．某科技公司研发出一款多型号的智能手表，一家代理商出售该公司的A型智能手表，去年销售总额为80000元，今年A型智能手表的售价每只比去年降了600元，若售出的数量与去年相同，销售总额将比去年减少25%．A型智能手表B型智能手表进价1300元/只1500元/只售价今年的售价2300元/只（1）请问今年A型智能手表每只售价多少元？（2）今年这家代理商准备新进一批A型智能手表和B型智能手表共100只，它们的进货价与销售价格如右表，若B型智能手表进货量不超过A型智能手表数量的3倍，所进智能手表可全部售完，请你设计出进货方案，使这批智能手表获利最多，并求出最大利润是多少元？5．某电器商场销售甲、乙两种品牌空调，已知每台乙种品牌空调的进价比每台甲种品牌空调的进价高20%，用7200元购进的乙种品牌空调数量比用3000元购进的甲种品牌空调数量多2 台．（1）求甲、乙两种品牌空调的进货价；（2）该商场拟用不超过16000 元购进甲、乙两种品牌空调共10台进行销售，其中甲种品牌空调的售价为2500元/台，乙种品牌空调的售价为3500元/台．请你帮该商场设计一种进货方案，使得在售完这10 台空调后获利最大，并求出最大利润．6．甲、乙两个仓库向A、B两地运送水泥，已知甲库可调出100吨水泥，乙库可调出80吨水泥，A地需70吨，B地需110吨水泥，两库到A，B两地的路程和费用如下表：（表中运费“元/吨•千米”表示每吨水泥运送1千米所需要人民币）．路程（千米）运费（元/吨•千米）甲库乙库甲库乙库20151212A地2520108B地设甲库运往A地水泥x吨，总运费W元．（1）写出w关于x的函数关系式，并求x为何值时总运费最小？（2）如果要求运送的水泥数是10吨的整数倍，且运费不能超过38000元，则总共有几种运送方案？7．某商店以40元/千克的进价购进一批茶叶，经调查发现，在一段时间内，销售量y（千克）与销售价x（元/千克）成一次函数关系，其图象如图所示．（1）求y与x之间的函数关系式（不必写出自变量x的取值范围）；（2）若该商店销售这批茶叶的成本不超过2800元，则它的最低销售价应定为多少元？8．我区注重城市绿化提高市民生活质量，新建林荫公园计划购买甲、乙两种树苗共800株，甲种树苗每株12元，乙种树苗每株15元．相关资料表明：甲、乙两种树苗的成活率分别为85%、90%．（1）若购买这两种树苗共用去10500元，则甲、乙两种树苗各购买多少株？（2）若要使这批树苗的总成活率不低于88%，则甲种树苗至多购买多少株？（3）在（2）的条件下，应如何选购树苗，使购买树苗的费用最低？并求出最低费用．9．周末，甲、乙两名大学生骑自行车去距学校6000米的净月潭公园，两人同时从学校出发，以a米/分的速度匀速行驶，出发4.5分钟时，甲同学发现忘记带学生证，以1.5a米/分的速度按原路返回学校，取完学生证（在学校取学生证所用时间忽略不计），继续以返回时的速度追赶乙，甲追上乙后，两人以相同的速度前往净月潭，乙骑自行车的速度始终不变，设甲，乙两名大学生距学校的路程为s（米），乙同学行驶的时间为t（分），s与t 之间的函数图象如图所示．（1）求a，b的值；（2）求甲追上乙时，距学校的路程；（3）当两人相距500米时，直接写出t的值是．10．某学校计划购买若干台电脑，现从两家商场了解到同一型号电脑每台报价均为4000元，并且多买都有一定的优惠．甲商场的优惠条件是：第一台按原价收费，其余每台优惠25%；乙商场的优惠条件是：每台优惠20%．（1）设该学校所买的电脑台数是x台，选择甲商场时，所需费用为y1元，选择乙商场时，所需费用为y2元，请分别写出y1，y2与x之间的关系式；（2）该学校如何根据所买电脑的台数选择到哪间商场购买，所需费用较少？参考答案1．解：（1）设去年2月份A型车每辆的售价为x元，则今年2月份A型车每辆的售价为（x+400）元，根据题意得：＝，解得：x＝1600，经检验，x＝1600是原方程的解，则x+400＝2000．答：今年2月份A型车每辆销售价为2000元；（2）设购进A型车m辆，获得的总利润为w元，则购进B型车（50﹣m）辆，根据题意得：w＝（2000﹣1100）m+（2400﹣1400）（50﹣m）＝﹣100m+50000．又∵50﹣m≤2m，∴m≥16．∵k＝﹣100＜0，∴当m＝17时，w取最大值．答：购进A型车17两，B型车33辆，获利最多．2．解：（1）设y甲＝kx，把（3，180）代入，得3k＝180，解得k＝60，则y甲＝60x；设y乙＝mx+n，把（0，60），（3，180）代入，得，解得，则y乙＝40x+60；（2）当x＝1时，y甲＝60x＝60，y乙＝40x+60＝100，则MN＝100﹣60＝40（千米），线段MN的实际意义：表示甲、乙两人出发1小时后，他们相距40千米；（3）分三种情况：①当0＜x≤3时，（40x+60）﹣60x＜30，解得x＞1.5；②当3＜x≤5时，60x﹣（40x+60）＜30，解得x＜4.5；③当5＜x≤6时，300﹣（40x+60）＜30，解得x＞5.25．综上所述，在乙行驶的过程中，当甲、乙两人距A地的路程差小于30千米时，x的取值范围是1.5＜x＜4.5或5.25＜x≤6．3．解：（1）设一支B品牌钢笔的价格为x元，则一支A品牌钢笔的价格为（5+x）元，，解得，x＝5，经检验，x＝5是原方程的解，当x＝5时，x+5＝10，答：一支A、B品牌的钢笔价格分别为10元和5元；（2）①由题意可得，y＝10n+（100﹣n）×5＝5n+500，即y（元）关于n（支）的函数关系式y＝5n+500；②由题意可得，n≥，解得，n≥25，∵y＝5n+500，∴当n＝25时，y取得最小值，此时，y＝625，100﹣n＝75，答：购买A品牌钢笔25支，B品牌钢笔75支，花钱最少．此时的花费为625元．4．解：（1）今年A型智能手表每只售价x元，去年售价每只为（x+600）元，根据题意得＝，解得：x＝1800，经检验，x＝1800是原方程的根，答：今年A型智能手表每只售价1800元；（2）设新进A型手表a只，全部售完利润是W元，则新进B型手表（100﹣a）只，根据题意得，W＝（1800﹣1300）a+（2300﹣1500）（100﹣a）＝﹣300a+80000，∵100﹣a≤3a，∴a≥25，∵﹣300＜0，W随a的增大而减小，＝﹣300×25+80000＝72500元，∴当a＝25时，W增大此时，进货方案为新进A型手表25只，新进B型手表75只，答：进货方案为新进A型手表25只，新进B型手表75只，这批智能手表获利最多，并求出最大利润是72500元．5．解：（1）设甲种品牌空调的进货价为x元/台，则乙种品牌空调的进货价为1.2x元/台，根据题意得：﹣＝2，解得：x＝1500，经检验，x＝1500是原分式方程的解，∴1.2x＝1500×1.2＝1800．答：甲种品牌空调的进货价为1500元/台，乙种品牌空调的进货价为1800元/台．（2）设购进甲种品牌空调a台，所获得的利润为y元，则购进乙种品牌空调（10﹣a）台，根据题意得：1500a+1800（10﹣a）≤16000，解：a≥．∵a≤10，且a为正整数，∴a＝7，8，9，10．∵y＝（2500﹣1500）a+（3500﹣1800）（10﹣a）＝﹣700a+17000，其中k＝﹣700＜0，∴y的值随着a的值的增大而减小，∴当a＝7时，y取得最大值，此时y＝﹣7×700+17000＝12100．答：进货方案为：购进甲种空调7台，乙种空调3台，可获得最大利润，最大利润为12100元．6．（1）解：设甲库运往A地水泥x吨，则甲库运到B地（100﹣x）吨，乙库运往A地（70﹣x）吨，乙库运到B地[80﹣（70﹣x）]＝（10+x）吨，w＝12×20x+10×25（100﹣x）+12×15（70﹣x）+8×20（10+x）＝﹣30x+39200（0≤x ≤70），∴总运费w（元）关于x（吨）的函数关系式为w＝﹣30x+39200（0≤x≤70），∵一次函数中w＝﹣30x+39200中，k＝﹣30＜0，∴w的值随x的增大而减小，∴当x＝70吨时，总运费w最省，最省的总运费为：﹣30×70+39200＝37100（元），答：从甲库运往A地70吨粮食，往B地运送30吨粮食，从乙库运往B地80吨粮食时，总运费最省为37100元；（2）解：由题意可得，w＝﹣30x+39200≤38000，解得，x≥40，∵0≤x≤70，∴40≤x≤70，∴满足题意的x值为40，50，60，70，即总共有4种方案．7．解：（1）设y与x的函数关系式为y＝kx+b，将（40，160），（120，0）代入，得，解得，即y与x的函数关系式为y＝﹣2x+240；（2）设销售量为y千克，40y≤2800，解得，y≤70，∴﹣2x+240≤70，解得，x≥85，即它的最低销售价应定为85元．8．解：（1）设购买甲种树苗x株，则乙种树苗y株，由题意得：，解得，答：购买甲种树苗500株，乙种树苗300株．（2）设甲种树苗购买z株，由题意得：85%z+90%（800﹣z）≥800×88%，解得z≤320．答：甲种树苗至多购买320株．（3）设购买两种树苗的费用之和为m，则m＝12z+15（800﹣z）＝12000﹣3z，在此函数中，m随z的增大而减小所以当z＝320时，m取得最小值，其最小值为12000﹣3×320＝11040元答：购买甲种树苗320株，乙种树苗480株，即可满足这批树苗的成活率不低于88%，又使购买树苗的费用最低，其最低费用为11040元．9．解：（1）由题意a＝＝200，b＝＝30，∴a＝200，b＝30．（2）+4.5＝7.5，设t分钟甲追上乙，由题意，300（t﹣7.5）＝200t，解得t＝22.5，22.5×200＝4500，∴甲追上乙时，距学校的路程4500米．（3）两人相距500米是的时间为t分钟．由题意：1.5×200（t﹣4.5）+200（t﹣4.5）＝500，解得t＝5.5分钟，或300（t﹣7.5）+500＝200t，解得t＝17.5分钟，故答案为5.5分钟或17.5分钟．10．解：（1）根据题意得：甲商场的收费为：y1＝4000+（1﹣25%）×4000（x﹣1），即y1＝3000x+1000，乙商场的收费为：y2＝（1﹣20%）×4000x，即y2＝3200x，（2）①当y1＜y2时，即3000x+1000＜3200x，解得：x＞5，∴当购买电脑台数大于5时，甲商场购买更优惠；②当y1＞y2时，即3000x+1000＞3200x，解得：x＜5，∴当购买电脑台数小于5时，乙商场购买更优惠；③当y1＝y2时，即3000x+1000＝3200x，解得：x＝5，∴当购买电脑5台时，两家商场收费相同．。

中考数学函数的实际应用

函数的实际应用基础题1. [跨学科背景](2022郴州)科技小组为了验证某电路的电压U(V)、电流I(A)、电阻R(Ω)三者之间的关系：I＝UR，测得数据如下：R(Ω)100200220400I(A) 2.2 1.110.55那么，当电阻R＝55 Ω时，电流________________________________________________________A.2. (2022呼和浩特)某超市糯米的价格为5元/千克，端午节推出促销活动：一次购买的数量不超过2千克时，按原价售出，超过2千克时，超过的部分打8折．若某人付款14元，则他购买了________千克糯米；设某人的付款金额为x元，购买量为y千克，则购买量y关于付款金额x(x＞10)的函数解析式为______________．3. (2022聊城)某食品零售店新上架一款冷饮产品，每个成本为8元，在销售过程中，每天的销售量y(个)与销售价格x(元/个)的关系如图所示，当10≤x≤20时，其图象是线段AB，则该食品零售店每天销售这款冷饮产品的最大利润为________元(利润＝总销售额－总成本).第3题图4. (2022宁波)为了落实劳动教育，某学校邀请农科院专家指导学生进行小番茄的种植，经过试验，其平均单株产量y千克与每平方米种植的株数x(2≤x≤8，且x为整数)构成一种函数关系．每平方米种植2株时，平均单株产量为4千克；以同样的栽培条件，每平方米种植的株数每增加1株，单株产量减少0.5千克．(1)求y关于x的函数表达式；(2)每平方米种植多少株时，能获得最大的产量？最大产量为多少千克？5. (2022恩施州)某校计划租用甲、乙两种客车送180名师生去研学基地开展综合实践活动．已知租用一辆甲型客车和一辆乙型客车共需500元，租用2辆甲型客车和3辆乙型客车共需1300元．甲型客车每辆可坐15名师生，乙型客车每辆可坐25名师生．(1)租用甲、乙两种客车每辆各多少元？(2)若学校计划租用8辆客车，怎样租车可使总费用最少？拔高题6. (2022自贡)九年级2班计划在劳动实践基地内种植蔬菜，班长买回来8米长的围栏，准备围成一边靠墙(墙足够长)的菜园，为了让菜园面积尽可能大，同学们提出了围成矩形，等腰三角形(底边靠墙)，半圆形这三种方案，最佳方案是()第6题图A. 方案1B. 方案2C. 方案3D. 方案1或方案27. (2022荆州)某企业投入60万元(只计入第一年成本)生产某种产品，按网上订单生产并销售(生产量等于销售量).经测算，该产品网上每年的销售量y(万件)与售价x(元/件)之间满足函数关系式y＝24－x，第一年除60万元外其他成本为8元/件．(1)求该产品第一年的利润w(万元)与售价x之间的函数关系式；(2)该产品第一年利润为4万元，第二年将它全部作为技改资金再次投入(只计入第二年成本)后，其他成本下降2元/件．①求该产品第一年的售价；②若第二年售价不高于第一年，销售量不超过13万件，则第二年利润最少是多少万元？创新题8. (2022潍坊)某市在盐碱地种植海水稻获得突破性进展，小亮和小莹到海水稻种植基地调研．小莹根据水稻年产量数据，分别在直角坐标系中描出表示2017－2021年①号田和②号田年产量情况的点(记2017年为第1年度，横轴表示年度，纵轴表示年产量)，如下图．第8题图小亮认为，可以从y ＝kx ＋b (k ＞0)，y ＝m x(m ＞0)，y ＝－0.1x 2＋ax ＋c 中选择适当的函数模型，模拟①号田和②号田的年产量变化趋势．(1)小莹认为不能选y ＝m x(m ＞0).你认同吗？请说明理由； (2)请从小亮提供的函数模型中，选择适当的模型分别模拟①号田和②号田的年产量变化趋势，并求出函数表达式；(3)根据(2)中你选择的函数模型，请预测①号田和②号田总年产量．．．．在哪一年最大？最大是多少？。

函数的实际应用--抛物线型问题(专题训练)(解析版)-中考数学重难点题型专题汇总

函数的实际应用-中考数学重难点题型专题汇总抛物线型问题（专题训练）1.现要修建一条隧道，其截面为抛物线型，如图所示，线段OE 表示水平的路面，以O 为坐标原点，以OE 所在直线为x 轴，以过点O 垂直于x 轴的直线为y 轴，建立平面直角坐标系．根据设计要求：10m OE =，该抛物线的顶点P 到OE 的距离为9m ．(1)求满足设计要求的抛物线的函数表达式；(2)现需在这一隧道内壁上安装照明灯，如图所示，即在该抛物线上的点A 、B 处分别安装照明灯．已知点A 、B 到OE 的距离均为6m ，求点A 、B 的坐标．【答案】(1)29(5)925y x =--+(2)(5(5A B +【分析】（1）根据题意，设抛物线的函数表达式为2(5)9y a x =-+，再代入（0，0），求出a 的值即可；（2）根据题意知，A ，B 两点的纵坐标为6，代入函数解析式可求出两点的横坐标，从而可解决问题．(1)依题意，顶点(5,9)P ，设抛物线的函数表达式为2(5)9y a x =-+，将(0,0)代入，得20(05)9a =-+．解之，得925a =-．∴抛物线的函数表达式为29(5)925y x =--+．(2)令6y =，得29(5)9625x --+=．解之，得125,5x x +=+．∴(5(5A B +．【点睛】本题考查了运用待定系数法求二次函数的解析式的运用，由函数值求自变量的值的运用，解答时求出二次函数的解析式是关键．2.甲秀楼是贵阳市一张靓丽的名片．如图①，甲秀楼的桥拱截面OBA 可视为抛物线的一部分，在某一时刻，桥拱内的水面宽8m OA =，桥拱顶点B 到水面的距离是4m ．（1）按如图②所示建立平面直角坐标系，求桥拱部分抛物线的函数表达式；（2）一只宽为1.2m 的打捞船径直向桥驶来，当船驶到桥拱下方且距O 点0.4m 时，桥下水位刚好在OA 处．有一名身高1.68m 的工人站立在打捞船正中间清理垃圾，他的头顶是否会触碰到桥拱，请说明理由（假设船底与水面齐平）；（3）如图③，桥拱所在的函数图象是抛物线()20y ax bx c a =++≠，该抛物线在x 轴下方部分与桥拱OBA 在平静水面中的倒影组成一个新函数图象．将新函数图象向右平移()0m m >个单位长度，平移后的函数图象在89x ≤≤时，y 的值随x 值的增大而减小，结合函数图象，求m 的取值范围．【答案】（1）y=14-x 2+2x （0≤x≤8）；（2）他的头顶不会触碰到桥拱，理由见详解；（3）【分析】（1）设二次函数的解析式为：y=a(x-8)x ，根据待定系数法，即可求解；（2）把：x =1，代入y=14-x 2+2x ，得到对应的y 值，进而即可得到结论；（3）根据题意得到新函数解析式，并画出函数图像，进而即可得到m 的范围．【详解】（1）根据题意得：A(8，0)，B(4，4)，设二次函数的解析式为：y=a(x-8)x ，把(4，4)代入上式，得：4=a×(4-8)×4，解得：14a =-，∴二次函数的解析式为：y=14-(x-8)x=14-x 2+2x （0≤x≤8）；（2）由题意得：x=0.4+1.2÷2=1，代入y=14-x 2+2x ，得y=14-×12+2×1=74＞1.68，答：他的头顶不会触碰到桥拱；（3）由题意得：当0≤x≤8时，新函数表达式为：y=14x 2-2x ，当x ＜0或x ＞8时，新函数表达式为：y=-14x 2+2x ，∴新函数表达式为：2212(08)41(08)4x x x y x x x ⎧-≤≤⎪⎪=⎨⎪-+⎪⎩或，∵将新函数图象向右平移()0m m >个单位长度，∴O '（m ，0），A '（m+8，0），B '（m+4，-4），如图所示，根据图像可知：当m+4≥9且m≤8时，即：5≤m≤8时，平移后的函数图象在89x ≤≤时，y 的值随x 值的增大而减小．本题主要考查二次函数的实际应用，掌握二次函数的待定系数法，二次函数的图像和性质，二次函数图像平移和轴对称变换规律，是解题的关键．3.2022年北京冬奥会即将召开，激起了人们对冰雪运动的极大热情．如图是某跳台滑雪训练场的横截面示意图，取某一位置的水平线为x 轴，过跳台终点A 作水平线的垂线为y 轴，建立平面直角坐标系．图中的抛物线2117C :1126y x x =-++近似表示滑雪场地上的一座小山坡，某运动员从点O 正上方4米处的A 点滑出，滑出后沿一段抛物线221:8C y x bx c =-++运动．（1）当运动员运动到离A 处的水平距离为4米时，离水平线的高度为8米，求抛物线2C 的函数解析式（不要求写出自变量x 的取值范围）；（2）在（1）的条件下，当运动员运动水平线的水平距离为多少米时，运动员与小山坡的竖直距离为1米？（3）当运动员运动到坡顶正上方，且与坡顶距离超过3米时，求b 的取值范围．【答案】（1）213482y x x =-++；（2）12米；（3）3524b ≥．【分析】（1）根据题意可知：点A （0，4）点B （4，8），利用待定系数法代入抛物线221:8C y x bx c=-++即可求解；（2）高度差为1米可得21=1C C -可得方程，由此即可求解；（3）由抛物线2117C :1126y x x =-++可知坡顶坐标为61(7,)12，此时即当7x =时，运动员运动到坡顶正上方，若与坡顶距离超过3米，即2161773812y b c =-⨯++≥+，由此即可求出b的取值范围．【详解】解：（1）根据题意可知：点A （0，4），点B （4，8）代入抛物线221:8C y x bx c =-++得，2=4144=88c b c ⎧⎪⎨-⨯++⎪⎩，解得：=43=2c b ⎧⎪⎨⎪⎩，∴抛物线2C 的函数解析式213482y x x =-++；（2）∵运动员与小山坡的竖直距离为1米，∴221317(4)(1)182126x x x x -++--++=，解得：14x =-（不合题意，舍去），212x =，故当运动员运动水平线的水平距离为12米时，运动员与小山坡的竖直距离为1米；（3）∵点A （0，4），∴抛物线221:48C y x bx =-++，∵抛物线2211761C :1=7)12612y x x x =-++-+，∴坡顶坐标为61(7,12，∵当运动员运动到坡顶正上方，且与坡顶距离超过3米时，∴21617743812y b =-⨯++≥+，解得：3524b ≥．【点睛】本题属二次函数应用中的难题.解决函数应用问题的一般步骤为：（1）审题：弄清题意，分清条件和结论，理清数量关系；(2)建模：将文字语言转化为数学语言，利用数学知识建立相应的数学模型；（3）求模：求解数学模型，得到数学结论；(4)还原：将用数学方法得到的结论还原为实际问题．4.如图是一块铁皮余料，将其放置在平面直角坐标系中，底部边缘AB 在x 轴上，且8AB =dm ，外轮廓线是抛物线的一部分，对称轴为y 轴，高度8OC =dm ．现计划将此余料进行切割：(1)若切割成正方形，要求一边在底部边缘AB 上且面积最大，求此正方形的面积；(2)若切割成矩形，要求一边在底部边缘AB 上且周长最大，求此矩形的周长；(3)若切割成圆，判断能否切得半径为3dm 的圆，请说明理由．【答案】(1)296-；(2)20dm ；(3)能切得半径为3dm 的圆．【分析】（1）先把二次函数解析式求出来，设正方形的边长为2m ，表示在二次函数上点的坐标，代入即可得到关于m （2）如详解2中图所示，设矩形落在AB 上的边DE=2n ，利用函数解析式求解F 点坐标，进而表示出矩形的周长求最大值即可；（3）为了保证尽可能截取圆，应保证圆心H 坐标为（0，3），表示出圆心H 到二次函数上个点之间的距离与半径3进行比较即可．(1)由题目可知A （-4，0），B （4，0），C （0，8）设二次函数解析式为y=ax²+bx+c ，∵对称轴为y 轴，∴b=0，将A 、C 代入得，a=12-，c=8则二次函数解析式为2182y x =-+，如下图所示,正方形MNPQ 即为符合题意得正方形，设其边长为2m ，则P 点坐标可以表示为（m ，2m ）代入二次函数解析式得，21822m m -+=，解得122,2m m =-=-（舍去），∴2m=4，()()222496m =-=-则正方形的面积为296-；(2)如下如所示矩形DEFG ，设DE=2n ，则E （n ，0）将x=n 代入二次函数解析式，得2182y n =-+，则EF=2182n -+，矩形DEFG 的周长为：2（DE+EF ）=2（2n+2182n -+）=22416(2)20n n n -++=--+，当n=2时，矩形的周长最大，最大周长为20dm ；(3)如下图所示，为了保证尽可能截取圆，应保证圆心H 坐标为（0，3），则圆心H 到二次函数上个点之间的距离为3≥，∴能切得半径为3dm 的圆．【点睛】本题考查了二次函数与几何结合，熟练掌握各图形的性质，能灵活运用坐标与线段长度之间的转换是解题的关键．5.跳台滑雪运动可分为助滑、起跳、飞行和落地四个阶段，运动员起跳后飞行的路线是抛物线的一部分（如图中实线部分所示），落地点在着陆坡（如图中虚线部分所示）上，着陆坡上的基准点K 为飞行距离计分的参照点，落地点超过K 点越远，飞行距离分越高．2022年北京冬奥会跳台滑雪标准台的起跳台的高度OA 为66m ，基准点K 到起跳台的水平距离为75m ，高度为m h （h 为定值）．设运动员从起跳点A 起跳后的高度(m)y 与水平距离(m)x 之间的函数关系为2(0)y ax bx c a =++．(1)c 的值为__________；(2)①若运动员落地点恰好到达K 点，且此时19,5010a b =-=，求基准点K 的高度h ；②若150a =-时，运动员落地点要超过K 点，则b 的取值范围为__________；(3)若运动员飞行的水平距离为25m 时，恰好达到最大高度76m ，试判断他的落地点能否超过K点，并说明理由．【答案】(1)66(2)①基准点K的高度h为21m；②b＞9 10；(3)他的落地点能超过K点，理由见解析．【分析】（1）根据起跳台的高度OA为66m，即可得c＝66；（2）①由a＝﹣150，b＝910，知y＝﹣150x2+910x+66，根据基准点K到起跳台的水平距离为75m，即得基准点K的高度h为21m；②运动员落地点要超过K点，即是x＝75时，y＞21，故﹣150×752+75b+66＞21，即可解得答案；（3）运动员飞行的水平距离为25m时，恰好达到最大高度76m，即是抛物线的顶点为（25，76），设抛物线解析式为y＝a（x﹣25）2+76，可得抛物线解析式为y＝﹣2125（x﹣25）2+76，当x＝75时，y＝36，从而可知他的落地点能超过K点．(1)解：∵起跳台的高度OA为66m，∴A（0，66），把A（0，66）代入y＝ax2+bx+c得：c＝66，故答案为：66；(2)解：①∵a＝﹣150，b＝910，∴y＝﹣150x2+910x+66，∵基准点K到起跳台的水平距离为75m，∴y＝﹣150×752+910×75+66＝21，∴基准点K的高度h为21m；②∵a＝﹣1 50，∴y＝﹣150x2+bx+66，∵运动员落地点要超过K点，∴当x＝75时，y＞21，即﹣150×752+75b+66＞21，解得b＞9 10，故答案为：b＞9 10；(3)解：他的落地点能超过K点，理由如下：∵运动员飞行的水平距离为25m时，恰好达到最大高度76m，∴抛物线的顶点为（25，76），设抛物线解析式为y＝a（x﹣25）2+76，把（0，66）代入得：66＝a（0﹣25）2+76，解得a＝﹣2 125，∴抛物线解析式为y＝﹣2125（x﹣25）2+76，当x＝75时，y＝﹣2125×（75﹣）2+76＝36，∵36＞21，∴他的落地点能超过K点．【点睛】本题考查二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，能根据题意把实际问题转化为数学问题．6.根据以下素材，探索完成任务．如何设计拱桥景观灯的悬挂方案？素材1图1中有一座拱桥，图2是其抛物线形桥拱的示意图，某时测得水面宽20m，拱顶离水面5m．据调查，该河段水位在此基础上再涨1.8m达到最高．素材2为迎佳节，拟在图1桥洞前面的桥拱上悬挂40cm 长的灯笼，如图3.为了安全，灯笼底部距离水面不小于1m ；为了实效，相邻两盏灯笼悬挂点的水平间距均为1.6m ；为了美观，要求在符合条件处都挂上灯笼，且挂满后成轴对称分布．问题解决任务1确定桥拱形状在图2任务2探究悬挂范围在你所建立的坐标系中，仅在安全的条件下，确定悬挂点的纵坐标的最小值和横坐标的取值范围．任务3拟定设计方案给出一种符合所有悬挂条件的灯笼数量，并根据你所建立的坐标系，求出最左边一盏灯笼悬挂点的横坐标．【答案】任务一：见解析，2120y x =-；任务二：悬挂点的纵坐标的最小值是 1.8-；66x -≤≤；任务三：两种方案，见解析【分析】任务一：根据题意，以拱顶为原点，建立如图1所示的直角坐标系，待定系数法求解析式即可求解；任务二：根据题意，求得悬挂点的纵坐标5 1.810.4 1.8y ≥-+++=-，进而代入函数解析式即可求得横坐标的范围；任务三：有两种设计方案，分情况讨论，方案一：如图2（坐标系的横轴，图3同），从顶点处开始悬挂灯笼；方案二：如图3，从对称轴两侧开始悬挂灯笼，正中间两盏与对称轴的距离均为0.8m ，根据题意求得任意一种方案即可求解．【详解】任务一：以拱顶为原点，建立如图1所示的直角坐标系，则顶点为(0,0)，且经过点(10,5)-．设该抛物线函数表达式为2(0)y ax a =≠，则5100a -=，∴120a =-，∴该抛物线的函数表达式是2120y x =-．任务二：∵水位再上涨1.8m 1m ，灯笼长0.4m ，∴悬挂点的纵坐标5 1.810.4 1.8y ≥-+++=-，∴悬挂点的纵坐标的最小值是 1.8-．当 1.8y =-时，211.820x -=-，解得16x =或26x =-，∴悬挂点的横坐标的取值范围是66x -≤≤．任务三：有两种设计方案方案一：如图2（坐标系的横轴，图3同），从顶点处开始悬挂灯笼．∵66x -≤≤，相邻两灯笼悬挂点的水平间距均为1.6m ，∴若顶点一侧挂4盏灯笼，则1.646⨯>，⨯<，若顶点一侧挂3盏灯笼，则1.636∴顶点一侧最多可挂3盏灯笼．∵挂满灯笼后成轴对称分布，∴共可挂7盏灯笼．-．∴最左边一盏灯笼悬挂点的横坐标是 4.8方案二：如图3，从对称轴两侧开始悬挂灯笼，正中间两盏与对称轴的距离均为0.8m，+⨯->，∵若顶点一侧挂5盏灯笼，则0.8 1.6(51)6+⨯-<，若顶点一侧挂4盏灯笼，则0.8 1.6(41)6∴顶点一侧最多可挂4盏灯笼．∵挂满灯笼后成轴对称分布，∴共可挂8盏灯笼．-．∴最左边一盏灯笼悬挂点的横坐标是 5.6【点睛】本题考查了二次函数的应用，根据题意建立坐标系，掌握二次函数的性质是解题的关键．7.公路上正在行驶的甲车，发现前方20m处沿同一方向行驶的乙车后，开始减速，减速后甲车行驶的路程s（单位：m）、速度v（单位：m/s）与时间t（单位：s）的关系分别可以用二次函数和一次函数表示，其图象如图所示．（1）当甲车减速至9m/s时，它行驶的路程是多少？（2）若乙车以10m/s的速度匀速行驶，两车何时相距最近，最近距离是多少？【答案】（1）87.5m ；（2）6秒时两车相距最近，最近距离是2米【分析】（1）根据图像分别求出一次函数和二次函数解析式，令v=9求出t ，代入求出s 即可；（2）分析得出当v=10m/s 时，两车之间距离最小，代入计算即可．【详解】解：（1）由图可知：二次函数图像经过原点，设二次函数表达式为2s at bt =+，一次函数表达式为v kt c =+，∵一次函数经过（0，16），（8，8），则8816k c c =+⎧⎨=⎩，解得：116k c =-⎧⎨=⎩，∴一次函数表达式为16v t =-+，令v=9，则t=7，∴当t=7时，速度为9m/s ，∵二次函数经过（2，30），（4，56），则423016456a b a b +=⎧⎨+=⎩，解得：1216a b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，∴二次函数表达式为21162s t t =-+，令t=7，则s=491672-+⨯=87.5，∴当甲车减速至9m/s 时，它行驶的路程是87.5m ；（2）∵当t=0时，甲车的速度为16m/s ，∴当10＜v ＜16时，两车之间的距离逐渐变小，当0＜v ＜10时，两车之间的距离逐渐变大，∴当v=10m/s 时，两车之间距离最小，将v=10代入16v t =-+中，得t=6，将t=6代入21162s t t =-+中，得78s =，此时两车之间的距离为：10×6+20-78=2m ，∴6秒时两车相距最近，最近距离是2米．【点睛】本题考查了二次函数与一次函数的实际应用，理解题意，读懂函数图像，求出表达式是解题的基本前提．8.如今我国的大棚（如图1）种植技术已十分成熟．小明家的菜地上有一个长为16米的蔬菜大棚，其横截面顶部为抛物线型，大棚的一端固定在离地面高1米的墙体A 处，另一端固定在离地面高2米的墙体B 处，现对其横截面建立如图2所示的平面直角坐标系．已知大棚上某处离地面的高度y （米）与其离墙体A 的水平距离x （米）之间的关系满足216y x bx c =-++，现测得A ，B 两墙体之间的水平距离为6米．图2（1）直接写出b ，c 的值；（2）求大棚的最高处到地面的距离；（3）小明的爸爸欲在大棚内种植黄瓜，需搭建高为3724米的竹竿支架若干，已知大棚内可以根竹竿，则共需要准备多少根竹竿？【答案】（1）76b =，1c =；（2）7324米；（3）352【分析】（1）根据题意，可直接写出点A 点B 坐标，代入216y x bx c =-++，求出b 、c 即可；（2）根据（1）中函数解析式直接求顶点坐标即可；（3根据2173716624y x x =-++=，先求得大棚内可以搭建支架的土地的宽，再求得需搭建支架的面积，最后根据每平方米需要4根竹竿计算即可．【详解】解：（1）由题意知点A 坐标为(0)1，，点B 坐标为(6)2，，将A 、B 坐标代入216y x bx c =-++得：21=12666c b c ⎧⎪⎨=-⨯++⎪⎩解得：761b c ⎧=⎪⎨⎪=⎩，故76b =，1c =；（2）由221717731666224y x x x ⎛⎫=-++=--+ ⎪⎝⎭，可得当72x =时，y 有最大值7324，即大棚最高处到地面的距离为7324米；（3）由2173716624y x x =-++=，解得112x =，2132x =，又因为06x ≤≤，可知大棚内可以搭建支架的土地的宽为111622-=（米），又大棚的长为16米，故需要搭建支架部分的土地面积为1116882⨯=（平方米）共需要884352⨯=（根）竹竿．【点睛】本题主要考查根据待定系数法求函数解析式，根据函数解析式求顶点坐标，以及根据函数值确定自变量取值范围，掌握此题的关键是熟练掌握二次函数图像的性质．9.如图1是一座抛物线型拱桥侧面示意图．水面宽AB 与桥长CD 均为24m ，在距离D 点6米的E 处，测得桥面到桥拱的距离EF 为1.5m ，以桥拱顶点O 为原点，桥面为x 轴建立平面直角坐标系．（1）求桥拱项部O 离水面的距离．（2）如图2，桥面上方有3根高度均为4m 的支柱CG ，OH ，DI ，过相邻两根支柱顶端的钢缆呈形状相同的抛物线，其最低点到桥面距离为1m ．①求出其中一条钢缆抛物线的函数表达式．②为庆祝节日，在钢缆和桥拱之间竖直装饰若干条彩带，求彩带长度的最小值．【答案】（1）6m ；（2）①21'(6)112y x =++；②2m 【分析】（1）设211y a x =，由题意得(6,1.5)F -，求出抛物线图像解析式，求当x=12或x=-12时y 1的值即可；（2）①由题意得右边的抛物线顶点为(6,1)，设222(6)1y a x =-+，将点H 代入求值即可；②设彩带长度为h ，则12h y y =-，代入求值即可．【详解】解（1）设211y a x =，由题意得(6,1.5)F -，11.536a ∴-=，1124a ∴=-，21124y x ∴=-，∴当12x =时，21112624y =-⨯=-，∴桥拱顶部离水面高度为6m ．（2）①由题意得右边的抛物线顶点为(6,1)，∴设222(6)1y a x =-+，(0,4)H ，224(06)1a ∴=-+，2112a ∴=，221(6)112y x ∴=-+，(左边抛物线表达式：21'(6)112y x =++)②设彩带长度为h ，则22221111(6)1()412248h y y x x x x =-=-+--=-+，∴当4x =时，2min h =，答：彩带长度的最小值是2m ．【点睛】本题主要考查待定系数法求二次函数的解析式，以及二次函数最值得求解方法，结合题意根据数形结合的思想设出二次函数的顶点式方程是解题的关键．。

2021年九年级数学中考复习——函数专题：反比例函数实际应用【有答案】

2021年九年级数学中考复习——函数专题：反比例函数实际应用（五）1．已知蓄电池的电压为定值．使用此蓄电池作为电源时，电流Ⅰ（单位：A）与电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系，它的图象如图所示．（1）求这个反比例函数的表达式；（2）如果以此蓄电池为电源的用电器的电流不能超过8A，那么该用电器的可变电阻至少是多少？2．某游泳池有900立方米水，每次换水前后水的体积保持不变．设放水的平均速度为v立方米/小时，将池内的水放完需t小时，（1）求v关于t的函数表达式，并写出自变量t的取值范围；（2）若要求在2.5小时至3小时内（包括2.5小时与3小时）把游泳池内的水放完，求放水速度的范围．3．某气球内充满了一定量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压P（kPa）是气球体积V（m3）的反比例函数，且当V＝0.8m3时，P＝120kPa．（1）求P与V之间的函数表达式；（2）当气球内的气压大于100kPa时，气球将爆炸，为确保气球不爆炸，气球的体积应不小于多少？4．我们知道函数y＝a（x﹣m）2+n（a≠0，m＞0，n＞0）的图象是由二次函数y＝ax2的图象向右平移m个单位，再向上平移n个单位得到：类似地，函数y＝+n（k≠0，m＞0，n＞0）的图象是由反比例函数y＝的图象向右平移m个单位，再向上平移n个单位得到，其对称中心坐标为（m，n）．例如：函数y＝+1的图象可由函数y＝的图象向右平移3个单位，再向上平移1个单位得到，其对称中心坐标（3，1），请根据以上材料解决下列问题：（1）函数y＝﹣2的对称中心是，在平面直角坐标系xOy中，请根据所给的y＝的图象画出函数y＝﹣2的图象，并根据图象指出，x在什么范围内变化时，y≥﹣1？（2）某老师对一位学生的学习情况进行跟踪研究，假设刚学完新知识时的记忆存留量为1，新知识学习后经过的时间为x，发现该生的记忆存留量随x变化的函数关系为y 1＝；若该生在某一时刻进行了第一次复习，发现他复习后的记忆存留量是复习前的2倍（复习的时间忽略不计），且复习后的记忆存留量随x变化的函数关系为y 2＝，如果记忆存留量为时是复习的“最佳时机点”，且他第一次复习是在“最佳时机点”进行的，那么当x为何值时，是他第二次复习的“最佳时机点”？5．教室里的饮水机接通电源就进入自动程序，开机加热时每分钟上升10℃，加热到100℃停止加热，水温开始下降，此时水温y（℃）与开机后用时x（min）成反比例关系，直至水温降至30℃，饮水机关机，饮水机关机后即刻自动开机，重复上述自动程序．若在水温为30℃时接通电源，水温y（℃）与时间x（min）的关系如图所示：（1）分别写出水温上升和下降阶段y与x之间的函数关系式；（2）怡萱同学想喝高于50℃的水，请问她最多需要等待多长时间？6．某厂今年1月的利润为600万元，从2月初开始适当限产，并投入资金进行设备更新升级，升级期间利润明显下降．设今年1月为第1个月，第x个月的利润为y万元，从1月到5月，y与x满足反比例关系，到5月底，设备更新升级完成，从这时起，y与x满足一次函数关系，如图所示．（1）分别求该厂设备更新升级期间及升级完成后y与x之间的函数关系式；（2）问该厂今年有几个月的利润低于200万元？7．老李想利用一段5米长的墙（图中EF），建一个面积为32平方米的矩形养猪圈，另外三面（图中AB，BC，CD）需要自己建筑．老李准备了可以修建20米墙的材料（可以不用完）．（1）设AB＝y，BC＝x，求y关于x的函数关系式．（2）对于（1）中的函数y的值能否取到8.5？请说明理由．8．据报道，从2018年8月以来，“非洲猪瘟”给生猪养殖户带来了不可估量的损失．某养殖户为了预防“非洲猪瘟”的侵袭，每天对猪场进行药熏消毒．一瓶药物在释放过程中，一个圈舍内每立方米空气中含药量y（毫克）与时间x（分钟）之间满足正比例函数关系；已知一个圈舍内一瓶药物打开后10分钟释放完毕，此时圈舍内每立方米的空气中含药量为30毫克，药物释放完后，y与x之间满足反比例函数关系．（1）分别求当0≤x≤10和x＞10时，y与x之间满足的函数关系式；（2）请补全函数图象；（3）据测定，当空气中每立方米的含药量不低于15毫克时，消毒才有效．根据函数图象，你知道这次熏药的有效消毒时间大约是多少分钟？9．为了做好校园疫情防控工作，校医每天早上对全校办公室和教室进行药物喷洒消毒，她。

2025年中考数学一轮专题复习：函数的实际应用问题

2025年中考数学一轮专题复习：函数的实际应用问题1．某县为了倡导居民节约用水，生活用自来水按阶梯式水价计费，如图是居民每户每月的水费y （元）与所用的水量()t x 之间的函数图象，请根据图象所提供的信息，解答下列问题．(1)用水量不超过10t 时每吨水收费多少元？(2)当用水量超过10t 且不超过25t 时，求y 与x 之间的函数关系式；(3)已知某户居民上月水费为55元，求这户居民上月用水多少吨．2．如图是某型号新能源纯电动汽车充满电后，蓄电池剩余电量y （千瓦时）关于已行驶路程()km x 的函数图象．(1)根据图象，当蓄电池剩余电量为35千瓦时，汽车已行驶的路程为 km ；(2)当0150x ≤≤时，求1千瓦时的电量汽车能行驶的路程；(3)当150200x <≤时，求y 关于x 的函数解析式，并计算当汽车已行驶180km 时，蓄电池的剩余电量．3．两个加工区A 和B 均从甲，乙两个公司购买原材料，两公司到A ，B 加工区的路程和每吨每千米的运费如表所示：路程(千米) 运费(元/吨·千米)(1)现A 加工区从甲，乙两公司购买原材料总计70吨，运费总额为1380元，则A 加工区从甲，乙两公司购买原材料各多少吨？(2)现甲，乙两个公司共有180吨原材料，恰好满足A ，B 两个加工区所需原材料的总和，其中甲公司有100吨，若A 加工区需要70吨原材料不变，当A ，B 两个加工区从甲，乙两公司各购买多少吨原材料时，总运费最少？4．直线 6y x =-+与x 轴交于 A ，与y 轴交于 B ，直线12y x =+与y 轴交于点C ，与直线AB 交于点D ，过点 D 作DE x ⊥轴于点 E ．(1)求点 E 的坐标；(2)P 是x 轴上一动点，过P 作x 轴的垂线，分别与直线AB CD ，交于 M ，N ，设MN 的长为d ，P 点的横坐标为t ，请求出d 与t 之间的函数关系式；(3)在（2）的条件下，当t 为何值时，以M ，N ，E ，D 为顶点的四边形是平行四边形．5．已知函数 3y kx =+与 y mx =的图象相交于点()21P ，，如图．(1)求出两个函数的解析式；(2)求图中阴影部分的面积．6．某商场计划一次性购进A 、B 两种型号的电脑共120台，每台的销售利润分别为A 型100元、B 型150元．其中B 型电脑的进货量不超过A 型电脑的2倍，设购进A 型电脑x 台，这120台电脑的销售总利润为y 元．(1)求y 关于x 的函数关系式；(2)该商场购进A 型、B 型电脑各多少台，才能使销售总利润最大?(3)实际进货时，厂家对A 型电脑出厂价下调m ()0100m <<元，且限定商场最多购进A 型电脑70台，若商场保持同种电脑的售价不变，请你根据以上信息设计出使这120台电脑销售总利润最大的进货方案．7．为预防流行病毒，某校对教室进行消毒．设室内每立方米空气中的含药量为()3mg /m y ，从开始消毒计时为x （分钟）．前10分钟为药物释放阶段，y 与x 成正比例关系；10分钟以后，y 与x 成一次函数关系，测得10分钟时，室内含药量为38mg /m ；30分钟时，室内含药量为36mg /m ．根据以上信息解答下列问题：(1)求y 与x 的函数关系式；(2)当每立方米空气中含药量不低于4mg 持续40 分钟消毒才有效，此次消毒是否有效？ 8．端午节前后15 天时间是粽子销售最好的时候，这段时间小张做粽子销售，生产成本为每个粽子4 元．小张第x 天生产的粽子数量为y 个，y 与x 之间的函数关系如图．(1)哪几天粽子日产量可达到400个及以上?(2)每个粽子的销售价格为：第1~7天，每个8元，第8天及以后，每个5元．小张每天销售粽子获得毛利润为w 元，求w 与x 之间的函数表达式，并求出第几天的利润最大，最大值是多少元?(毛利润=销售收入-成本)9．为了响应“足球进校园”的号召，更好地开展足球运动，某学校计划购买一批足球，已知购买4个A品牌足球和3个B品牌足球共需440元；购买2个A品牌足球和1个B品牌足球共需180元．(1)求A，B两种品牌足球的单价；(2)若学校准备购买A，B两种品牌的足球共60个，且B品牌足球数不少于A品牌足球数的2倍，设购买两种品牌足球所需总费用为y元，A品牌足球x个，求y与x之间的函数关系式，并设计一种购买方案，使所需总费用最低，并求出最低总费用．10．一辆轿车从甲地驶往乙地，到达乙地后返回甲地，速度是原来的1.5倍，共用t小时；一辆货车同时从甲地驶往乙地，到达乙地后停止，两车同时出发，匀速行驶．设轿车行驶的时间为x（小时），两车到甲地的距离为y（千米），两车行驶过程中y与x之间的函数图象如图．(1)求货车从甲地开往乙地时y与x之间的函数关系式；(2)补全轿车从乙地返回甲地的函数图象，并求出轿车从乙地返回甲地时y与x之间的函数关系式，写出自变量x的取值范围；(3)求轿车从乙地返回甲地时与货车相遇的时间．11．某服装专卖店计划购进A，B两种型号的精品服装．已知2件A型服装和3件B型服装共需4600元；1件A型服装和2件B型服装共需2800元．(1)求A，B型服装的单价；(2)专卖店要购进A，B两种型号服装60件，其中B型件数不超过A型件数的3倍，设购买B型服装m件，求m的取值范围；(3)若B型服装打七折，请直接写出该专卖店最少需要准备多少货款．12．有两段长度相等的河渠挖掘任务，分别交给甲、乙两个工程队同时进行挖掘．如图是反映所挖河渠长度y（米）与挖掘时间x（时）之间关系的部分图象．请解答下列问题：(1)乙队开挖到30米时，用了小时．开挖6小时时，甲队比乙队多挖了米；(2)请你求出：①甲队在06x ≤≤的时段内，y 与x 之间的函数关系式；①乙队在26x ≤≤的时段内，y 与x 之间的函数关系式；①开挖几小时后，甲队所挖掘河渠的长度开始超过乙队．(3)如果甲队施工速度不变，乙队在开挖6小时后，施工速度增加到12米/时，结果两队同时完成了任务．问甲队从开挖到完工所挖河渠的长度为多少米？13．某超市需每天从外地调运鸡蛋600千克，超市决定从甲、乙两大型养殖场调运鸡蛋，已知甲养殖场每天最多可调出400千克，乙养殖场每天最多可调出450千克，从甲、乙两养殖场调运鸡蛋到该超市的路程和运费如表：到超市的路程（千米）运费（元/千克⋅千米）甲养殖场90 0.05 乙养殖场 40 0.03设从甲养殖场调运鸡蛋x 千克，总运费为W 元．(1)从甲养殖场调运鸡蛋的运费，用代数式表示为__________，从乙养殖场需要调运鸡蛋的数量，用代数式表示为__________；(2)求出W 与x 的函数关系式；(3)怎样安排调运方案才能使每天的总运费最少？14．已知A 市到B 市的路程为260km ，甲车从 A 市前往B 市运送物资，行驶2h 在M 地汽车出现故障，立即通知技术人员乘乙车从A 市赶来维修（通知时间忽略不计），乙车到达M 地后又经过20min 修好甲车，随后乙车以原速原路返回A 市，同时甲车以原来1.5 倍的速度前往 B 市，如图是两车距 A 市的路程y （单位：km ）与甲车所用时间x （单位：h ）之间的函数图象．(1)甲车提速后的速度是km/h；(2)求乙车返回时y关于x的函数解析式；(3)乙车返回A市后，甲车又经过了多长时间到达B市？15．某水果店采用线上和线下相结合的方式销售一种水蜜桃，线上可以通过“快团团”APP进行团购拼单购买，线下可以到实体店购买．具体费用标准如下：①线上销售方式：一律七折销售；①线下销售方式：不超过5千克，按原价销售；超过5千克时，超出的部分每千克优惠9元；购买水蜜桃x千克，所需费用y元，y与x之间的函数关系如图所示．(1)水蜜桃标价为________元/千克；(2)求出线下销售时所需费用y与x之间的函数关系式；(3)若想购买20千克水蜜桃，请问采用哪种方式购买更省钱？。