第12章——动量矩定理

这个问题不能用动量定理来描述轮绕其质心作定 轴转动的运动。
12.1 质点和质点系的动量矩
1 质点的动量矩
z
质点Q的动量对于点
O的矩，定义为质点对于 MO(mv) 点O的动量矩，是矢量
Mz(mv)
M O(mv)rmv
质点动量 mv 在 oxy 平
q
O
r
面 内 的 投 影 (mv)xy 对 于 点 O 的矩，定义为质点动量对于
设细圆环的质量为m，半径为R。则
Jz m ir i2 R 2 m i m R 2
3.均质圆板对于中心轴的转动惯量
设圆板的质量为m，半径为R。将圆板分为 无数同心的薄圆环，任一圆环的质量为dm ＝ρ·2πrdr (ρ ＝m/πR2 ), 于是圆板转动惯量为
Jzr2dm 0 R r2
2rdr1m R 2 2
z
R
y
dr r R
x
12.1 质点和质点系的动量矩 二、回转半径(惯性半径)
在工程上常用回转半径来计算刚体的转动惯量，其定义
为
z
Jz m
对于几何形状相同的均质物体，其回转半径相同。
如果已知回转半径，则物体的转动惯量为
Jz mz2
回转半径的几何意义是：假想地将物体的质量集中到一 点处，并保持物体对轴的转动惯量不变，则该点到轴的距离 就等于回转半径的长度。
6 刚体对轴的转动惯量
刚体对轴 z 的转动惯量定义为：刚体上所有质点的质量 与该质点到轴 z 的垂直距离的平方乘积的算术和。即
Jz miri2
对于质量连续分布的刚体，上式可写成积分形式
Jz r2 dm
由定义可知，转动惯量不仅与质量有关，而且与质量的 分布有关；在国际单位制中，转动惯量的单位是: kg·m2。同 一刚体对不同轴的转动惯量是不同的，而它对某定轴的转动 惯量却是常数。因此在谈及转动惯量时，必须指明它是对哪 一轴的转动惯量。
12.1 质点和质点系的动量矩
例1 均质圆盘可绕轴O转动，其上缠有 一绳，绳下端吊一重物A。若圆盘对转 轴O的转动惯量为J，半径为r，角速度 为w，重物A的质量为m，并设绳与原盘 间无相对滑动，求系统对轴O的动量矩。 A
Or
m vv
解： LOL块L盘mvrJ m2rJ(m2rJ)
LO的转向沿逆时针方向。
Lz Mz(mvv)
质点系对某点O的动量矩矢在通过该点的 z 轴上的投影，等 于质点系对该轴的动量矩。
v [LO]z Lz
12.1 质点和质点系的动量矩
3 平动刚体的动量矩
刚体平移时，可将全部质量集中于质心，作为一个 质点计算其动量矩。
对点的：
L v O M v O ( m v v ) (m i r v i ) v v C M v O ( m v v C )
12.1 质点和质点系的动量矩
5 平面运动刚体的动量矩
平面运动刚体对垂直与其质量对称平面内任一 固定轴的动量矩为：
L z M zm v v C J C
即：其对z轴的动量矩等于刚体随质心作平移时的动 量对该轴的动量矩，与其绕过质心的轴作定轴转动 时对该轴的动量矩之和。
12.1 质点和质点系的动量矩
B
2l
5ml2
O
l
A
B
2l
A
l
B
O
2l
12.1 质点和质点系的动量矩
例4 求对轴O的转动惯量 圆盘对过其质心轴的转动惯量：
对轴的：
Lz Mz(mvvC)
12.1 质点和质点系的动量矩
4 定轴转动刚体对转动轴的动量矩
z
L z M z ( m i v v i ) m i v i r i m i r i 2
令 Jz＝Σmiri2 称为刚体对 z 轴的转动惯 量, 于是得
ri mivi Mi
Lz Jz
即：绕定轴转动刚体对其转轴的动量矩等于刚体 对转轴的转动惯量与转动角速度的乘积。
12.1 质点和质点系的动量矩
一、简单形状刚体的转动惯量 z
1. 均质细杆
设均质细杆长 l，质量为m，O
取微段 dx, 则
x
x
dx
l
dm mdx l
Jz
l mdxx2 0l
1ml2 3
Jz1
2l2l m l dxx2
1ml2 12
z1
x l C x dx
2
12.1 质点和质点系的动量矩
2. 均质薄圆环对于中心轴的转动惯量
解：由 Jz JzCmd2，得
J1JzCm a2 J2JzCm b2
(1) (2)
(2)－(1)得
J2J1m(b2a2)
z1 z
z2
ab
C
12.1 质点和质点系的动量矩
例3 均质直角折杆尺寸如图，其质量为3m， 求其对轴O的转动惯量。
O
l
2l
解： JOJOAJAB
A
1ml21(2m)(2l)2(2m)( 2l)2 3 12
或：从坐标轴正向看去，逆时针为正、顺时针为负。
在国际单位制中，动量矩的单位是 kg·m2/s。
12.1 质点和质点系的动量矩
2 质点系的动量矩
质点系对某点O的动量矩等于各质点对同一点O的动量矩的
矢量和。
v
L O
M vO(m v v)
质点系对某轴 z 的动量矩等于各质点对同一 z 轴的动量矩的 代数和。
12.1 质点和质点系的动量矩 三、平行移轴定理
定理：刚体对于任一轴的转动惯量，等于刚体对于通 过质心、并与该轴平行的轴的转动惯量，加上刚体的质量 与两轴间距离平方的乘积，即
Jz JzCmd2
由定理可知：刚体对于所有平行轴的转动惯量， 过质心轴的转动惯量最小。
12.1 质点和质点系的动量矩
例2 如图所示，已知均质杆的质量为m，对 z1 轴的转动惯量 为J1，求杆对z2 的转动惯量J2 。
第十二章 动量矩定理
第十二章 动量矩定理
质点和质点系的动量矩 动量矩定理 刚体绕定轴转动的微分方程
引言
实际问题
引言
引言
均质轮受外力作用而绕 v
其质心O作定轴转动，它有
角速度和角加速度。轮的动 v
F oy
o F ox A
量：
P vm v v Cm v v O0
v
外力的矢量和为： F v R eF v oxF v oyF v0 F
x
z轴的矩，简称对于z轴的动
量矩，是代数量
A mv
Q y
A Q
12.1 质点和质点系的动量矩
类似于力对点之矩和力对轴之矩的关系，质点对点O的 动量矩矢在 z 轴上的投影，等于对 z 的动量矩。
[M O ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱm v)]zM z(m v)
方向：Mz (mvv)是代数量，它的正负可以通过右手定则判
断；即：手心握转动轴（坐标轴），四指的指向为质点动量的 方向，大拇指指向为该动量矩的方向，若方向与坐标轴正向相 同为正、相反为负。