五年级奥数完全平方数及应用(一)教师版

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1. 五年级奥数完全平方数及应用(一)教师版

2. 整理完全平方数的一些推论及推论过程

3. 掌握完全平方数的综合运用。

一、完全平方数常用性质

1.主要性质

1.完全平方数的尾数只能是0,1,4,5,6,9。不可能是2,3,7,8。

2.在两个连续正整数的平方数之间不存在完全平方数。

3.完全平方数的约数个数是奇数,约数的个数为奇数的自然数是完全平方数。

4.若质数p 整除完全平方数2a ,则p 能被a 整除。

2.性质

性质1:完全平方数的末位数字只可能是0,1,4,5,6,9.

性质2:完全平方数被3,4,5,8,16除的余数一定是完全平方数.

性质3:自然数N 为完全平方数⇔自然数N 约数的个数为奇数.因为完全平方数的质因

数分解中每个质因数出现的次数都是偶数次,所以,如果p 是质数,n 是自然数,N 是

完全平方数,且21|n p N -,则2|n p N .

性质4:完全平方数的个位是6⇔它的十位是奇数.

性质5:如果一个完全平方数的个位是0,则它后面连续的0的个数一定是偶数.如果一个

完全平方数的个位是5,则其十位一定是2,且其百位一定是0,2,6中的一个.

性质6:如果一个自然数介于两个连续的完全平方数之间,则它不是完全平方数.

3.一些重要的推论

1.任何偶数的平方一定能被4整除;任何奇数的平方被4(或8)除余1.即被4除余2或3的数一定不是完全平方数。

2.一个完全平方数被3除的余数是0或1.即被3除余2的数一定不是完全平方数。

3.自然数的平方末两位只有:00,01,21,41,61,81,04,24,44,64,84,25,09,29,49,69,89,16,36,56,76,96。

4.完全平方数个位数字是奇数(1,5,9)时,其十位上的数字必为偶数。

5.完全平方数个位数字是偶数(0,4)时,其十位上的数字必为偶数。

6.完全平方数的个位数字为6时,其十位数字必为奇数。

7.凡个位数字是5但末两位数字不是25的自然数不是完全平方数;末尾只有奇数个“0”的自然数不是完全平方数;个位数字为1,4,9而十位数字为奇数的自然数不是完全平方数。

3.重点公式回顾:平方差公式:22()()a b a b a b -=+-

知识点拨 教学目标

5-4-4.完全平方数及应用(一)

模块一、完全平方数计算及判断 【例 1】 已知:1234567654321×49是一个完全平方数,求它是谁的平方?

【考点】完全平方数计算及判断 【难度】2星 【题型】解答

【解析】 我们不易直接求解,但是其数字有明显的规律,于是我们采用递推(找规律)的方法来

求解:121=211;12321=2111;1234321=21111……,于是,我们归纳为1234…n …4321=2(1111)n 个1

,所以,1234567654321:11111112;

则,1234567654321×49=11111112×72=77777772.所以,题中原式乘积为7777777的平方.

【答案】7777777

【例 2】 1234567654321(1234567654321)⨯++++++++++++是 的平

方.

【考点】完全平方数计算及判断 【难度】2星 【题型】填空

【关键词】祖冲之杯

【解析】 212345676543211111111=,212345676543217++++++++++++=,

原式22(11111117)7777777=⨯=.

【答案】7777777

【例 3】 已知自然数n 满足:12!除以n 得到一个完全平方数,则n 的最小值是 。

【考点】完全平方数计算及判断 【难度】3星 【题型】填空

【关键词】学而思杯,6年级,第9题

【解析】 (法1)先将12!分解质因数:105212!235711=⨯⨯⨯⨯,由于12!除以n 得到一个完

全平方数,那么这个完全平方数是12!的约数,那么最大可以为1042235⨯⨯,所以n 最小为104212!2353711÷⨯⨯=⨯⨯231=。

(法2)12!除以n 得到一个完全平方数,12!的质因数分解式中3、7、11的幂次是奇数,所以n 的最小值是3711231⨯⨯=。

【答案】231

【例 4】 有一个正整数的平方,它的最后三位数字相同但不为0,试求满足上述条件的最小

的正整数.

【考点】完全平方数计算及判断 【难度】3星 【题型】解答

【解析】 平方数的末尾只能是0,1,4,5,6,9,因为111,444,555,666,999都不是完全平方数,所以

所求的数最小是4位数.考察1111,1444……可以知道14443838=⨯,所以满足条件的最小正整数是1444.

【答案】1444

【例 5】 A 是由2002个“4”组成的多位数,即200244444个,A 是不是某个自然数B 的平方?如果

是,写出B ;如果不是,请说明理由.

【考点】完全平方数计算及判断 【难度】3星 【题型】解答

【解析】 略

【答案】2200242002444421111A ==⨯个个1.如果A 是某个自然数的平方,则20021111个1

也应是某个自然数

的平方,

并且是某个奇数的平方.由奇数的平方除以4的余数是1知,奇数的平方减1应是4

例题精讲

的倍数,

而200220011111111110-=个1个1

不是4的倍数,矛盾,所以A 不是某个自然数的平方.

【巩固】 A 是由2008个“4”组成的多位数,即4442008个4

,A 是不是某个自然数B 的平方?如果

是,写出B ;如果不是,请说明理由.

【考点】完全平方数计算及判断 【难度】3星 【题型】解答

【解析】 略

【答案】不是.24442111A ==⨯2008个12008个4假设A 是某个自然数的平方,则1112008个1

也应是某个自然

数的平方,并且是某个奇数的平方.由奇数的平方除以4的余数是1知,奇数的平方减1应是4的倍数,而11111110-=2008个12007个1

不是4的倍数,与假设矛盾.所以A 不是某

个自然数的平方.

【例 6】 计算11112004个1-22221002个2=A ×A ,求A .

【考点】完全平方数计算及判断 【难度】4星 【题型】解答

【解析】 此题的显著特征是式子都含有1111n 个1

,从而找出突破口.

11112004个1-22221002个2=11111002个100001002个0-11111002个1

=11111002个1×(100001002个0-1)

=11111002个1×(99991002个9

) =11111002个1×(11111002个1

×3×3)=2A

所以,A =33331002个3

.

【答案】33331002个3

【例 7】 ①22004420038444488889A =个个,求A 为多少? ②求是否存在一个完全平方数,它的数字和为2005?

【考点】完全平方数计算及判断 【难度】4星 【题型】解答

【解析】 ① 本题直接求解有点难度,但是其数字有明显的规律,于是我们采用递推(找规律)的方法来求解: 注意到有2004420038444488889个个可以看成48

444488889n 个n-1个,其中n =2004;

寻找规律:当n =1时,有2497=;

当n =2时,有2448967=; 当n =3时,有2444889667= ……

于是,类推有2004420038444488889个个=22003666667个

方法二:下面给出严格计算:

2004420038444488889个个=4444400002004个2004个0+20048888个8+1; 则4444

400002004个2004个0+20048888个8

+1=11112004个1×(4×010*******个+8)+1

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