高中数学选修主要内容

第一章常用逻辑用语

1.1命题及其关系

定义：一般地，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题。

命题的构成――条件和结论

定义：从构成来看，所有的命题都具由条件和结论两部分构成．在数学中，命题常写成“若p，则q”或者“如果p，那么q”这种形式，通常，我们把这种形式的命题中的p叫做命题的条件,q叫做命题结论．

真命题：如果由命题的条件P通过推理一定可以得出命题的结论q，那么这样的命题叫做真命题．

假命题：如果由命题的条件P通过推理不一定可以得出命题的结论q，那么这样的命题叫做假命题．

四种命题：定义１：一般地，对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么我们把这样的两个命题叫做互逆命题．其中一个命题叫做原命题，另一个命题叫做原命题的逆命题．

定义２：一般地，对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否定，那么我们把这样的两个命题叫做互否命题．其中一个命题叫做原命题，另一个命题叫做原命题的否命题．

定义３：一般地，对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否定，那么我们把这样的两个命题叫做互为逆否命题．其中一个命题叫做原命题，另一个命题叫做原命题的逆否命题．

形式：

原命题：若P，则q．则：

逆命题：若q，则P．

否命题：若￢P，则￢q．（说明符号“￢”的含义：符号“￢”叫做否定符号．“￢p”表示

p的否定；即不是p；非p）

逆否命题：若￢q，则￢P．

四种命题间的相互关系：

由于逆命题和否命题也是互为逆否命题，因此四种命题的真假性之间的关系如下：

（1）两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；

（2）两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．

1.2 充分条件与必要条件

定义：如果命题“若p，则q”为真命题，即p q,那么我们就说p是q的充分条件；q 是p必要条件．

一般地,如果既有p q ，又有q p 就记作 p ⇔ q.

此时,我们说,那么p是q的充分必要条件,简称充要条件.显然,如果p是q的充要条件,那么q也是p的充要条件.概括地说,如果p ⇔ q,那么p 与 q互为充要条件.

一般地，

若p q ,但q p，则称p是q的充分但不必要条件；

若p q，但q p，则称p是q的必要但不充分条件；

若p q，且q p，则称p是q的既不充分也不必要条件．

1.3 简单的逻辑连接词

一般地，用联结词“且”把命题p和命题q联结起来，就得到一个新命题，记作p∧q 读作“p且q”。

一般地，用联结词“或”把命题p和命题q联结起来，就得到一个新命题，记作p∨q,读作“p或q”。

一般地，我们规定：

当p，q都是真命题时，p∧q是真命题；当p，q两个命题中有一个命题是假命题时，p ∧q是假命题；当p，q两个命题中有一个是真命题时，p∨q是真命题；当p，q两个命题都是假命题时，p∨q是假命题。

一般地，对一个命题p全盘否定，就得到一个新命题，记作￢p，读作“非p”或“p 的否定”。

若p是真命题，则￢p必是假命题；若p是假命题，则￢p必是真命题；

命题的否定是否定命题的结论，而命题的否命题是对原命题的条件和结论同时进行否定。

1．4全称量词与存在量词

所有的”“任意一个”这样的词语，这些词语一般在指定的范围内都表示整体或全部，这样的词叫做全称量词，用符号“∀”表示，含有全称量词的命题，叫做全称命题。

“存在一个”“至少有一个”这样的词语，这些词语都是表示整体的一部分的词叫做存在量词。并用符号“∃”表示。含有存在量词的命题叫做特称命题（或存在命题）。

一般地，对于含有一个量词的全称命题的否定，有下面的结论：

全称命题P：

∀∈

,()

x M p x

它的否定￢P

￢P(x)

特称命题P：

x M p x

∃∈

,()

它的否定￢P：

∀x∈M，￢P(x)

全称命题和否定是特称命题。特称命题的否定是全称命题。

第二章圆锥曲线与方程

2.1曲线与方程

(二)几种常见求轨迹方程的方法

1．直接法

由题设所给(或通过分析图形的几何性质而得出)的动点所满足的几何条件列出等式，再用坐标代替这等式，化简得曲线的方程，这种方法叫直接法．

例1(1)求和定圆x2+y2=k2的圆周的距离等于k的动点P的轨迹方程；

(2)过点A(a，o)作圆O∶x2+y2=R2(a＞R＞o)的割线，求割线被圆O截得弦的中点的轨迹．对(1)分析：

动点P的轨迹是不知道的，不能考查其几何特征，但是给出了动点P的运动规律：|OP|=2R 或|OP|=0．

解：设动点P(x，y)，则有|OP|=2R或|OP|=0．

即x2+y2=4R2或x2+y2=0．

故所求动点P的轨迹方程为x2+y2=4R2或x2+y2=0．

对(2)分析：

题设中没有具体给出动点所满足的几何条件，但可以通过分析图形的几何性质而得出，即圆心与弦的中点连线垂直于弦，它们的斜率互为负倒数．由学生演板完成，解答为：

设弦的中点为M(x，y)，连结OM，

则OM⊥AM．

∵k OM·k AM=-1，

其轨迹是以OA为直径的圆在圆O内的一段弧(不含端点)．

2．定义法

利用所学过的圆的定义、椭圆的定义、双曲线的定义、抛物线的定义直接写出所求的动点的轨迹方程，这种方法叫做定义法．这种方法要求题设中有定点与定直线及两定点距离之和或