高中数学选修主要内容
高二选修一数学知识点每章
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高二选修一数学知识点每章高二选修一数学是高中数学课程的一部分,下面将按照每章的顺序,介绍该课程涉及的主要数学知识点。
第一章:函数与方程在这一章中,我们将学习函数的概念和性质,以及一些基本的函数类型,如线性函数、二次函数、指数函数和对数函数。
我们还将研究解方程的方法,包括一元一次方程、一元二次方程和一次不等式。
第二章:三角比与解三角形在这一章中,我们将深入研究三角函数,包括正弦、余弦和正切函数。
我们将学习如何应用三角函数解决实际问题,并探讨解三角形的方法,如正弦定理、余弦定理和正切定理。
第三章:数列与数学归纳法数列是一种有规律的数的排列,我们将学习如何表示和求解数列。
同时,我们也将学习数学归纳法的原理和应用,以证明一些数学命题。
第四章:数与式在这一章,我们将学习数与式的关系。
我们将研究一元二次不等式、绝对值不等式以及一次不等式与方程组的解法。
此外,我们也将学习一些基本的数学定理,如乘法定理和因式定理。
第五章:平面向量在这一章中,我们将学习平面向量的概念和运算法则。
我们将讨论向量的加减、数量积和向量积,以及应用向量解决几何问题。
第六章:立体几何这一章将介绍立体几何的基本概念和性质。
我们将学习各种立体图形的表达方式和计算方法,如立方体、棱柱、棱锥、圆锥和球体等。
第七章:三角函数与导数在这一章中,我们将进一步研究三角函数的性质和导数的概念。
我们将学习如何求解复合函数的导数,以及如何应用导数解决最值和曲线问题。
第八章:不等式与极值这一章将详细讨论不等式的性质和解法。
我们将学习绝对值不等式、多项式不等式和有理不等式的解法,以及极值问题的求解方法。
第九章:一元函数的积分学在这一章中,我们将学习函数的积分概念和基本性质。
我们将讨论定积分和不定积分的计算方法,以及应用积分解决面积、体积和曲线长度等问题。
第十章:统计与概率这一章将介绍统计学和概率论的基本概念。
我们将学习如何收集和整理数据,以及如何计算概率和统计指标,如均值、方差和标准差等。
高中数学选修内容
![高中数学选修内容](https://img.taocdn.com/s3/m/7edfba1d492fb4daa58da0116c175f0e7cd11992.png)
高中数学选修内容一、函数与方程函数与方程是高中数学选修内容中的重要部分。
函数是数学中描述各种关系的工具,方程则是用来表示等式的数学式子。
函数与方程的研究可以帮助我们解决各种实际问题,如求解未知数、确定函数的性质等。
二、数列与数列的表示数列是一系列按照一定规律排列的数的集合。
数列的表示有多种方法,如通项公式、递推公式等。
通过研究数列,我们可以探索数的规律,理解数的性质,进而解决与数相关的问题。
三、三角函数与三角恒等式三角函数是描述角度与边长关系的函数,包括正弦、余弦、正切等。
三角恒等式是三角函数之间的等式关系,通过研究三角函数与三角恒等式,可以帮助我们解决各种与角度有关的问题,如测量高度、计算距离等。
四、数论与组合数学数论是研究整数性质的数学分支,主要包括质数、因数分解、最大公约数、最小公倍数等内容。
组合数学是研究对象的排列、组合、选择等问题的数学分支,主要包括排列组合、二项式定理等内容。
数论与组合数学的研究可以帮助我们解决各种离散型问题,如密码学、概率统计等。
五、解析几何与向量代数解析几何是研究几何图形与坐标系之间关系的数学分支,主要包括直线、圆、曲线等内容。
向量代数是研究向量的性质和运算的数学分支,主要包括向量的加减、数量积、向量积等内容。
解析几何与向量代数的研究可以帮助我们解决各种几何问题,如求解交点、确定方向等。
六、微积分与微分方程微积分是研究变化与极限的数学分支,主要包括导数、积分等内容。
微分方程是描述变化关系的方程,通过研究微积分与微分方程,可以帮助我们解决各种与变化有关的问题,如求解极值、模拟现象等。
七、概率与统计概率是研究随机事件发生可能性的数学分支,统计是研究数据收集和分析的数学分支。
通过研究概率与统计,我们可以了解随机事件发生的规律,分析和解释数据,做出合理的决策。
八、数学建模与应用数学建模是将实际问题抽象为数学模型,并通过数学方法进行求解和分析的过程。
通过数学建模,我们可以将抽象的数学理论应用到实际问题中,解决实际问题,提高问题解决能力。
高中数学选修知识点归纳
![高中数学选修知识点归纳](https://img.taocdn.com/s3/m/5aa9d747e97101f69e3143323968011ca200f77c.png)
高中数学选修知识点归纳
高中数学选修知识点包括以下内容:
1. 数列与数列极限:常数列、等差数列、等比数列、等差数列的前n项和、等比数列
的前n项和、数列极限、递推关系式。
2. 排列与组合:排列的定义、全排列、圆排列、组合的定义、二项式系数、二项式定理、组合数的性质。
3. 概率与统计:事件、概率的定义、概率的性质、条件概率、独立事件、贝叶斯公式、期望、方差、频率分布、参数估计。
4. 三角函数与图像:弧度制、角度制、正弦函数、余弦函数、正切函数、三角函数的
周期性、三角函数的图像和性质。
5. 平面向量与立体几何:平面向量的定义、向量的运算(加法、数乘、数量积、向量积)、向量的坐标表示、平面向量的共线性与垂直性、立体几何的基本概念(点、直线、平面、球面)。
6. 导数与微分:导数的定义、基本导数公式、导数的四则运算、导数的应用(切线与
法线、函数的单调性与极值、函数的凹凸性与拐点、变化率与边际效应)。
7. 不等式与线性规划:不等式的性质、不等式组的解法(图解法、代入法、分段讨论法)、线性规划的基本概念、线性规划的图解法和算法解法。
8. 微分方程:微分方程的定义、微分方程的求解方法(可分离变量法、齐次方程法、
一阶线性微分方程法)。
这些知识点是高中数学选修课程的主要内容,通过学习这些知识点,可以更深入地了解数学的应用与推导,为后续的学习和研究提供坚实的基础。
高中数学选修内容
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高中数学选修内容高中数学作为智力培养和学业提升的关键学科,在学生的学习过程中扮演着至关重要的角色。
数学选修课程则是在高中数学基础上的延伸和深化,涵盖了更加复杂和拓展的数学知识,为学生打开了更广阔的学习空间和思维视野。
本文将就高中数学选修课程的内容进行探讨,帮助读者更好地了解该领域的知识体系。
**一、微积分**微积分作为数学的一大支柱,在高中数学选修内容中占据着重要地位。
学生通过学习微积分,不仅能够深入理解数学规律,还可以应用于实际问题的求解。
微积分包括导数、积分、微分方程等内容,通过学习这些知识,学生可以更好地掌握数学分析和推理的方法,同时培养逻辑思维和问题解决能力。
**二、立体几何**立体几何是高中数学选修课程中的另一大亮点,涵盖了空间图形的性质和计算方法。
学生在学习立体几何过程中,需要掌握多面体的表面积、体积计算,以及几何体的旋转体、截面和投影等概念。
立体几何不仅培养了学生的空间想象能力,还拓展了他们对空间结构和几何形态的认识,为日后的学习和工作打下了坚实基础。
**三、数学分析**数学分析作为高等数学的重要组成部分,也是高中数学选修内容之一。
学生通过学习数学分析,不仅可以进一步深化对函数和极限的理解,还可以学习到级数、微分方程、曲线积分等进阶知识。
数学分析的学习过程虽然较为复杂,但可以帮助学生建立起完整的数学体系,提高其数学推理和分析问题的能力。
**四、概率论与数理统计**概率论与数理统计是高中数学选修课程中的一大难点,但也是学生必须掌握的重要内容。
学生通过学习概率论与数理统计,可以了解随机事件、概率分布、统计方法等相关知识,培养学生的逻辑思维和数据分析能力。
概率论与数理统计在现代社会中有着广泛应用,通过学习这一内容,学生不仅可以提高数学素养,还能为未来的学术研究和职业发展奠定基础。
**五、线性代数**线性代数是高中数学选修课程中的另一个重要组成模块,涉及了向量、矩阵、线性方程组等内容。
学生通过学习线性代数,可以理解多维线性空间结构和变换规律,掌握线性代数的基本定理和运算法则。
高中数学新课标考试大纲
![高中数学新课标考试大纲](https://img.taocdn.com/s3/m/5850f032b94ae45c3b3567ec102de2bd9605def4.png)
高中数学新课标考试大纲高中数学新课标考试大纲主要分为必修和选修两个部分,旨在培养学生的数学素养,提高学生解决实际问题的能力。
以下是大纲的主要内容:1. 必修内容:- 集合与简易逻辑:包括集合的概念、运算,以及简易逻辑的基本知识。
- 函数:函数的概念、性质、图像,以及基本初等函数。
- 三角函数:三角函数的定义、图像、性质和应用。
- 立体几何:空间几何体的性质、体积和表面积的计算。
- 解析几何:直线和圆的方程,以及它们的几何性质和应用。
- 概率与统计:概率的基本概念,随机事件的概率计算,以及统计的基础知识。
2. 选修内容:- 数学史与数学文化:介绍数学的发展历史,以及数学在文化中的作用。
- 微积分初步:导数、微分、积分的基本概念和计算方法。
- 线性代数初步:矩阵、行列式、向量空间的基础知识。
- 离散数学:包括组合数学、图论、逻辑和集合论等。
- 数学建模:数学建模的基本方法,以及如何应用数学解决实际问题。
- 算法初步:算法的概念,以及基本的算法设计和分析。
3. 考试要求:- 学生需要掌握数学基础知识和基本技能。
- 能够运用数学知识解决实际问题。
- 具备一定的数学思维能力和创新能力。
- 能够理解和运用数学概念、定理和公式。
- 能够进行数学推理和证明。
4. 考试形式:- 考试通常包括选择题、填空题和解答题。
- 选择题和填空题主要测试学生对基础知识的掌握。
- 解答题则更侧重于考察学生的综合应用能力和解题技巧。
5. 考试范围:- 考试内容将覆盖上述必修和选修内容。
- 考试难度将根据学生所学课程的深度和广度来设定。
6. 考试准备:- 学生应该系统地复习所学内容,加强对重点和难点的理解。
- 通过做历年真题和模拟题来提高解题速度和准确率。
- 注重培养数学思维,提高分析问题和解决问题的能力。
请注意,具体的考试大纲可能会根据不同地区的教育部门有所调整,因此建议学生和教师参考最新的官方文件和指导。
高中数学必修与选修教材目录
![高中数学必修与选修教材目录](https://img.taocdn.com/s3/m/06bae700680203d8ce2f24e3.png)
高中数学必修与选修教材目录
1.高中数学必修模块:
必修1
第一章集合与函数概念第二章基本初等函数(Ⅰ)
第三章函数的应用
必修2
第一章空间几何体第二章点、直线、平面之间的位置关系
第三章直线与方程第四章圆与方程
必修3
第一章算法初步第二章统计第三章概率
必修4
第一章三角函数第二章平面向量第三章三角恒等变换
必修5
第一章解三角形第二章数列第三章不等式2.高中数学选修模块(1):
选修1-1
第一章常用逻辑用语第二章圆锥曲线与方程第三章导数及其应用
选修1-2
第一章统计案例第二章推理与证明
第三章数系的扩充与复数的引入第四章框图
选修2-1
第一章常用逻辑用语第二章圆锥曲线与方程
选修2-2
第一章导数及其应用第二章推理与证明
第三章数系的扩充与复数的引入
选修2-3
第一章计数原理第二章随机变量及其分布第三章统计案例
2.高中数学选修模块(2):
选修3-1数学史选讲
选修3-2 信息安全与密码
选修3-3球面上的几何
选修3-4对称与群
选修3-5欧拉公式与闭曲面分类
选修3-6三等分角与数域扩充
2.高中数学选修模块(3):
选修4-1几何证明选讲
选修4-2矩阵和变换
选修4-3 数列与差分
选修4-4坐标系与参数方程
选修4-5不等式选讲
选修4-6初等数论初步
选修4-7优选法与试验设计初步选修4-8统筹法与图论初步
选修4-9风险与决策
选修4-10开关电路与布尔代数。
高中数学新课标选修内容
![高中数学新课标选修内容](https://img.taocdn.com/s3/m/864e3717c950ad02de80d4d8d15abe23492f031d.png)
高中数学新课标选修内容高中数学新课标选修内容是高中数学教学的重要组成部分,旨在拓宽学生的数学视野,提高学生的数学素养,培养学生的创新能力和实践能力。
选修内容通常包括但不限于以下几个方面:1. 数学建模与应用:该部分内容强调数学知识在实际问题中的应用,通过数学建模的方式,让学生了解如何将现实问题转化为数学问题,并使用数学工具进行求解。
这不仅能够提高学生解决实际问题的能力,还能够加深学生对数学知识的理解。
2. 微积分初步:微积分是高等数学的基础,对于高中生来说,初步了解微积分的概念和应用是非常有益的。
这部分内容通常包括极限、导数、积分等基本概念,以及它们在物理、工程等领域的应用。
3. 线性代数基础:线性代数是研究向量空间和线性方程组的数学分支,对于培养高中生的抽象思维和逻辑推理能力具有重要作用。
选修内容可能包括矩阵运算、向量空间、线性变换等基础知识。
4. 概率论与数理统计:概率论与数理统计是研究随机现象的数学理论,对于培养学生的数据分析能力和逻辑思维能力具有重要意义。
选修内容可能涉及随机事件的概率计算、随机变量及其分布、统计推断等。
5. 组合数学与图论:组合数学与图论是研究离散结构的数学分支,它们在计算机科学、密码学、网络分析等领域有着广泛的应用。
选修内容可能包括排列组合、图的基本概念、图的算法等。
6. 数学史与数学文化:了解数学的历史和文化背景,可以帮助学生更好地理解数学知识的发展脉络,激发学生对数学的兴趣。
这部分内容可能包括数学史上的重要人物、重大发现、数学思想的演变等。
7. 计算机辅助数学:随着计算机技术的发展,计算机辅助数学已经成为数学研究和教学的重要工具。
选修内容可能包括计算机编程在数学中的应用、数学软件的使用、算法设计与分析等。
通过这些选修内容的学习,学生不仅能够加深对数学知识的理解,还能够提高解决实际问题的能力,为未来的学术研究或职业生涯打下坚实的基础。
新课标高二数学选修一
![新课标高二数学选修一](https://img.taocdn.com/s3/m/09459a7b182e453610661ed9ad51f01dc28157ea.png)
新课标高二数学选修一新课标高二数学选修一课程是高中数学教育的重要组成部分,旨在培养学生的数学思维能力和解决实际问题的能力。
以下是本课程的一些主要内容和学习要点:一、课程目标1. 加深对数学概念的理解,掌握数学基础知识和基本技能。
2. 培养学生的抽象思维、逻辑推理和空间想象能力。
3. 通过解决实际问题,提高学生的数学应用能力。
二、课程内容1. 函数与方程:深入学习函数的性质,包括单调性、奇偶性、周期性等,以及方程的求解方法。
2. 不等式:掌握不等式的解法,包括线性不等式和非线性不等式的解法。
3. 数列:学习数列的基本概念,包括等差数列、等比数列、数列的极限等。
4. 解析几何:研究平面上的曲线和曲面,包括圆、椭圆、双曲线和抛物线等。
5. 立体几何:学习空间图形的性质,包括多面体、旋转体等。
6. 概率与统计:了解概率的基本概念,学习统计数据的收集、处理和分析方法。
三、学习方法1. 积极参与课堂讨论,主动思考问题。
2. 完成课后习题,巩固所学知识。
3. 定期复习,避免遗忘。
4. 利用网络资源,拓宽学习视野。
四、课程评估1. 课堂表现:包括课堂参与度和讨论的积极性。
2. 作业完成情况:作业的准确性和及时性。
3. 期中和期末考试:测试学生对课程内容的掌握程度。
五、课程总结通过本课程的学习,学生不仅能够掌握数学的理论知识,而且能够提高解决实际问题的能力。
数学选修一课程为学生提供了一个全面、深入的数学学习平台,有助于学生在未来的学术和职业生涯中取得成功。
希望每位同学都能在本课程中获得宝贵的知识和技能,为未来的学习和发展打下坚实的基础。
数学选修一
![数学选修一](https://img.taocdn.com/s3/m/a3892f2053ea551810a6f524ccbff121dd36c594.png)
数学选修一数学选修一是高中数学课程中的一门选修课,主要面向高二和高三的学生。
本文将从课程内容,学习方法和实际应用三个方面来介绍这门课程。
一、课程内容数学选修一主要包括以下几个部分:1、函数方程:函数的定义及性质、函数的运算和复合、反函数、二次函数和其他一些常见函数的图像和性质、解方程和应用等。
2、三角函数:定义及性质、图像、基本公式、解各种三角函数方程、三角恒等式的证明和应用等。
3、数列与数学归纳法:数列的概念、求通项公式、等差数列、等比数列的概念和性质、数学归纳法的原理和应用等。
4、极限:极限的定义、重要性质和计算、单调有界原理、函数单调性和极值等。
5、导数与微分:导数的定义、基本性质、导数的运算、应用题等。
以上内容在高中数学中均有涉及,但在选修一中,这些知识点将进一步深化和扩展,教师将对这些内容的深入分析和详细解释,帮助学生更好地掌握。
二、学习方法数学选修一的学习需要结合以下几个方法:1、理解:理解每一步推导过程,不要盲目套公式,掌握各个公式的应用范围和限制。
2、记忆:数学需要记忆,尤其是一些公式、定理和证明方法。
可以通过多次背诵和练习来加深记忆。
3、练习:数学是需要练习的,只有不断地练习才能真正掌握细节和技巧。
可以找到一些练习题,根据不同难度与自己的水平确定每天应练习的题目数量。
4、交流:和同学、老师进行数学交流,分享思路和解题方法,可以帮助我们更好地理解数学知识点,提高学习效率。
三、实际应用数学选修一中的所有知识点都有实际应用,例如:1、函数方程可以应用于金融学、管理学中的成本、收益、利润等计算。
2、三角函数可以应用于美术、建筑等领域中的测量和设计。
3、数列与数学归纳法可以应用于计算机科学中的算法设计,解决时间和空间管理问题。
4、极限可以应用于物理学、化学、计算机科学中的数值逼近问题和误差估计。
5、导数与微分可以应用于自然科学、工程学中的最优化问题和高精度计算问题。
总之,数学选修一是一门重要的数学课程,除了深化和扩展原来高中数学的知识点外,还能为我们提供实际应用的技巧。
高中数学选修知识点总结
![高中数学选修知识点总结](https://img.taocdn.com/s3/m/9c31558b59f5f61fb7360b4c2e3f5727a4e92479.png)
高中数学选修知识点总结一、函数1.函数的概念:自变量和因变量的关系。
2.函数的运算:函数的四则运算、复合运算和反函数运算。
3.函数的图像与性质:函数的图像、定义域、值域、单调性、奇偶性等。
4.常见函数类型:一次函数、二次函数、幂函数、指数函数、对数函数等。
5.函数的应用:函数在实际问题中的应用,如函数模型的建立和问题的解决。
二、数列与数列极限1.数列的概念:有序数的无穷序列。
2.等差数列和等比数列:求和公式、通项公式等。
3.数列的极限:数列的收敛、发散,以及极限的计算方法与性质。
4.级数:部分和的极限。
三、概率与统计1.事件与概率:事件的概念、概率的计算方法与性质。
2.条件概率与独立事件:条件概率的计算、事件的独立性判定。
3.排列与组合:对一组元素进行排列和组合的方法和性质。
4.统计学:数据的收集与整理、统计量(均值、中位数、众数等)的计算与性质。
5.正态分布:正态分布的定义、性质和应用。
四、解析几何1.平面与空间几何:平面与空间几何中的基本概念和性质。
2.直线与曲线:直线方程与曲线方程的求解与应用。
3.空间图形与方程:常见的空间图形和它们的方程。
4.参数方程与向量:参数方程的表示和应用、向量的概念和运算。
五、数论1.数论基本概念:因数与倍数、最大公约数和最小公倍数等。
2.同余与模运算:同余方程与模运算的基本性质。
3.线性同余方程组:线性同余方程组的求解、中国剩余定理。
4.费马小定理和欧拉定理:费马小定理和欧拉定理的应用。
六、离散数学1.图论:图的基本概念、树与网络。
2.数学归纳法:数学归纳法的应用与思维方法。
3.布尔代数:布尔代数的基本运算、推理与应用。
七、数学建模1.问题建模:将实际问题转化为数学问题的方法与思路。
2.模型分析与求解:选择合适的数学模型和求解方法,对问题进行分析和求解。
3.结果评价与优化:对数学模型的结果进行评价和分析,优化解决方案。
以上是对高中数学选修知识点的一个总结,其中涉及了很多不同的内容。
高中数学选修目录
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高中数学选修目录一、逻辑用语与圆锥曲线逻辑用语基础命题及其关系充分条件与必要条件逻辑联结词及其应用圆锥曲线基本概念椭圆、双曲线、抛物线的定义与性质圆锥曲线的标准方程圆锥曲线的几何性质圆锥曲线的综合应用圆锥曲线与直线的位置关系圆锥曲线的参数方程圆锥曲线在实际问题中的应用二、导数及其应用导数的概念及计算函数极限的定义及性质导数的定义及基本公式导数的计算法则导数的应用函数单调性的判定函数的极值与最值导数在几何中的应用三、推理与证明推理基础知识归纳推理与演绎推理因果关系与相关性证明方法直接证明与间接证明反证法与数学归纳法四、数系扩充与复数复数概念及其运算复数的定义及几何表示复数的四则运算复数的应用复数在代数方程中的应用复数在几何问题中的应用五、计数原理与概率计数原理加法原理与乘法原理排列与组合概率基础知识概率的定义及性质条件概率与独立性概率的应用离散型随机变量的概率分布期望与方差六、坐标系与参数方程坐标系基本概念极坐标系与直角坐标系空间直角坐标系参数方程参数方程的概念与表示参数方程与普通方程的转换七、不等式选讲不等式的基本性质不等式的基本性质及运算不等式的等价变换不等式的证明比较法证明不等式几何法证明不等式八、优选法与试验设计优选法基本原理单峰函数的优选方法黄金分割法与分数法试验设计基础完全随机试验与对照试验试验结果的统计分析此目录为高中数学选修内容的简要概述,各章节涵盖的知识点更为深入和广泛。
在实际学习过程中,学生应结合教材、教辅及教师的指导,全面、系统地学习和掌握这些知识,为后续学习和个人发展打下坚实的基础。
高中数学选修知识点归纳
![高中数学选修知识点归纳](https://img.taocdn.com/s3/m/015886c703d276a20029bd64783e0912a2167ce3.png)
高中数学选修知识点归纳
高中数学选修课包括概率与统计、数学建模、数学竞赛、几何证明等内容。
以下是高
中数学选修课的知识点归纳:
1. 概率与统计:概率的基本概念,随机事件、随机变量、概率分布、期望和方差等;
统计的基本概念,统计图表的制作和分析,样本调查和推断统计等。
2. 数学建模:问题的数学描述,数学模型的建立和求解,将数学方法应用于实际问题
的解决等。
3. 数学竞赛:解题技巧和策略,常用数学思想和方法,数学竞赛中常见的题型和解法等。
4. 几何证明:平面几何中的基本定义和定理,几何图形的性质和关系,几何证明的基
本方法等。
5. 数列与数学归纳法:数列的概念、性质和分类,数列的求和、通项公式和倒数列等;数学归纳法的原理和应用。
6. 三角函数与解三角形:三角函数的定义、性质和图像,解三角形的基本原理和方法,三角恒等式和三角方程的求解等。
7. 人工智能与数据分析:数据的采集和整理,数据的可视化和分析,机器学习和深度
学习的基本原理等。
8. 线性代数:矩阵的基本操作和性质,矩阵的行列式和逆矩阵,线性方程组的解法和
矩阵的特征值等。
以上是高中数学选修课的主要知识点归纳,具体课程内容可能会有所不同,学生可以根据自己的兴趣和需求选择相应的选修课。
高中数学必修和选修内容
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必修一第一章集合§1 集合的含义与表示§2 集合的基本关系3 集合的基本运算§3.1交集与并集3.2全集与补集函数第二章1 生活中的变量关系§对函数的进一步认识2 §函数的概念2.1 函数的表示方法2.2 映射2.3 函数的单调性§3二次函数性质的再研究§4二次函数的图像4.1 二次函数的性质4.2 简单的幂函数§5第二章指数函数与对数函数§1 正指数函数指数扩充及其运算性质2 §指数概念的扩充2.1.2.2指数运算是性质指数函数§3指数函数的概念3.1 指数函数3.2 的图像和性质3.3指数函数的图像和性质§4 对数4.1对数及其运算4.2换底公式对数函数§5对数函数的概念5.1 的图像和性质5.2对数函数的图像和性质5.3 §6 指数函数、幂函数、对数函数增长的比较函数的应用第四章1 函数和方程§利用函数性质判定方程解的存在 1.1 1.2利用二分法求方程的近似解§2 实际问题的函数建模2.1实际问题的函数刻画2.2用函数模型解决实际问题函数建模案例2.3 必修二立体几何初步第一章1 简单几何体§1.1简单旋转体1.2简单多面体直观图2 §三视图§3 简单组合体的三视图3.1 由三视图还原成实物图3.2 空间图形的基本关系与公理§4空间图形基本关系的认识4.1 空间图形的公理4.2 平行关系§5平行关系的判定5.1 平行关系的性质5.2 6 §垂直关系6.1垂直关系的判定6.2垂直关系的性质§7 简单几何体的面积和体积7.1简单几何体的侧面积7.2棱柱、棱锥、棱台和圆柱、圆锥、圆台的体积7.3球的表面积和体积解析几何初步第二章.直线和直线的方程1 §直线的倾斜角和斜率1.1 直线的方程1.2 两条直线的位置关系1.3 两条直线的交点1.4 平面直接坐标系中的距离公式1.5 圆和圆的方程§2圆的标准方程2.1 圆的一般方程2.2 直线与圆、圆与圆的位置关系2.3 空间直角坐标系§3空间直接坐标系的建立3.1 空间直角坐标系中点的坐标3.2 空间两点间的距离公式3.3 必修三统计第一章从普查到抽样§12 §抽样方法2.1简单随机抽样2.2分层抽样与系统抽样3 统计图表§数据的数字特征4 §.4.1平均数、中位数、众数、极差、方差4.2标准差5 用样本估计总体§5.1估计总体的分布5.2估计总体的数字特征6 统计活动:结婚年龄的变化§7 相关性§最小二乘估计8§算法初步第二章算法的基本思想§1算法案例分析1.1 排序问题与算法的多样性1.2 算法框图的基本结构及设计§2顺序结构与选择结构2.1 变量与赋值2.2 循环结构2.3 3 §几种基本语句3.1条件语句3.2 循环语句第三章概率随机事件的概率1 §频率与概率1.1.1.2生活中的概率2 古典概型§2.1古典概型的特征和概率计算公式2.2建立概率模型2.3互斥事件模拟方法——概率的应用3 §必修四三角函数第一章周期现象§1角的概念的推广§2弧度制§34 §正弦函数和余弦函数的定义与诱导公式4.1任意角的正弦函数、余弦函数的定义4.2单位圆与周期性4.3单位圆与诱导公式§5 正弦函数的性质与图像5.1从单位圆看正弦函数的性质5.2正弦函数的图像5.3正弦函数的性质§6 余弦函数的图像和性质余弦函数的图像6.1 余弦函数的性质6.2.§7 正切函数7.1正切函数的定义7.2正切函数的图像和性质7.3正切函数的诱导公式的图像8 §函数9 三角函数的简单应用§平面向量第二章从位移、速度、力到向量§1位移、速度和力1.1 向量的概念1.2 从位移的合成到向量的加法§2向量的加法2.1 向量的减法2.2 从速度的倍数到数乘向量§3数乘向量3.1 平面向量基本定理3.2 4 §平面向量的坐标4.1平面向量的坐标表示4.2平面向量线性运算的坐标表示4.3向量平行的坐标表示5 从力做的功到向量的数量积§平面向量数量积的坐标表示6 §.§7 向量应用举例7.1点到直线的距离公式7.2向量的应用举例第三章三角恒等变形§1 同角三角函数的基本关系§2 两角和与差的三角函数2.1两角差的余弦函数2.2两角和与差的正弦、余弦函数2.3两角和与差的正切函数二倍角的三角函数§3必修五数列第一章1 数列§1.1数列的概念1.2数列的函数特性等差数列2 §等差数列2.1 项和2.2等差数列的前n 等比数列§3等比数列3.1 n项和等比数列的前3.2 数列在日常经济生活中的应用4 §.第二章解三角形1 正弦定理与余弦定理§1.1正弦定理1.2余弦定理2 三角形中的几何计算§3 解三角形的实际应用举例§不等式第三章不等关系§1不等关系1.1 不等关系与不等式1.2 一元二次不等式§2一元二次不等式的解法2.1 一元二次不等式的应用2.2 基本不等式§3基本不等式3.1 基本不等式与最大(小)值3.2 4 §简单线性规划4.1二元一次不等式(组)与平面区域4.2简单线性规划4.3简单线性规划的应用12—选修常用逻辑用语第一章.1 命题§2 充分条件与必要条件§2.1充分条件2.2必要条件2.3充要条件3 全称量词与存在量词§3.1全称量词与全称命题3.2存在量词与特称命题3.3全称命题与特称命题的否定逻辑连结词“且”“或”“非”4 §逻辑连结词“且”4.1 逻辑连结词“或”4.2 逻辑连结词“非”4.3 空间向量与立体几何第二章从平面向量到空间向量§1空间向量的运算§23 §向量的坐标表示和空间向量基本定理3.1空间向量的标准正交分解与坐标表示3.2空间向量基本定理3.3空间向量运算的坐标表示4 用向量讨论垂直与平行§夹角的计算5 §.5.1直线间的夹角5.2平面间的夹角5.3直线与平面的夹角6 距离的计算§圆锥曲线与方程第三章椭圆1 §椭圆及其标准方程1.1 椭圆的简单性质1.2 抛物线§2抛物线及其标准方程2.1 抛物线的简单性质2.2 双曲线§3双曲线及其标准方程3.1 双曲线的简单性质3.2 曲线与方程§4曲线与方程4.1圆锥曲线的共同特征4.2 直线与圆锥曲线的交点4.322选修—第一章推理与证明归纳与类比1 §归纳推理1.1.1.2类比推理§2 综合法与分析法2.1综合法2.2分析法§3 反证法4 数学归纳法§变化率与导数第二章1 变化的快慢与变化率§导数的概念及其几何意义2 §导数的概念2.1 导数的几何意义2.2 计算导数§3导数的四则运算法则§4导数的加法与减法法则4.1 导数的乘法与除法法则4.2 简单复合函数的求导法则§5第三章导数的应用§1 函数的单调性与极值1.1导数与函数的单调性1.2函数的极值导数在实际问题中的应用2 §实际问题中导数的意义2.1.2.2最大值、最小值问题定积分第四章定积分的概念1 §定积分的背景——面积和路程问题1.1 定积分1.2 微积分基本定理§2定积分的简单应用§3平面图形的面积3.1 简单几何体的体积3.2 数系的扩充与复数的引入第五章1 §数系的扩充与复数的引入1.1数的概念的扩展1.2复数的有关概念§2 复数的四则运算2.1复数的加法与减法2.2复数的乘法与除法。
全国版高中数学选修一知识点梳理
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全国版高中数学选修一知识点梳理高中数学选修一是高中阶段的一门选修课程,主要包括函数与方程、空间向量与立体几何和数列与数学归纳法三个模块。
下面将对这三个模块的知识点进行梳理。
一、函数与方程1.函数的概念:自变量、因变量、定义域、值域、图像等基本概念。
2.函数的性质:奇偶性、周期性等基本性质。
3.初等函数:幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等基本函数。
4.逆函数:定义、性质以及求法。
5.函数的四则运算:加法、减法、乘法和除法。
6.复合函数:定义、性质以及求法。
7.函数的图像与变换:平移、伸缩、翻折等基本变换。
8.方程与不等式:一元一次方程、一次不等式、二次方程和二次不等式等基本方程与不等式的解法。
二、空间向量与立体几何1.空间向量的概念:矢量的定义、位移、共线与共面等基本概念。
2.空间向量的运算:加法、减法、数乘、点乘和叉乘等基本运算。
3.向量的坐标表示:向量的坐标表示、向量共线与线性相关等相关概念。
4.空间直线:直线的方向向量、点向式方程、两直线关系等基本概念。
5.平面与空间曲线:平面的法向量、点法式方程、平面与直线的关系、空间曲线参数方程等基本概念。
6.空间几何变换:平移、旋转、镜像等基本变换。
三、数列与数学归纳法1.等差数列:概念、通项公式、求和公式及其应用。
2.等比数列:概念、通项公式、求和公式及其应用。
3.求和与数学归纳法:求和公式的推导、归纳法的基本原理及其应用。
4.数列极限:数列极限的概念、极限存在的判定、常用极限等基本概念。
这里只是对整个高中数学选修一的知识点进行了简要梳理,具体每个知识点所包括的内容比较广泛。
高中数学选修一作为高中数学中的选修课,对学生的数学素养和解决实际问题的能力提出较高要求,需要学生能够熟练掌握和灵活运用这些知识点。
在学习过程中,需要注重理论学习与实际应用相结合,通过大量的练习和实例的分析,加深对知识点的理解和掌握。
高中数学选修模块教学中的重点知识内容
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高中数学选修模块教学中的重点知识内容一、章节内容:选修1-1:常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、导数及其应用选修1-2:统计案例、推理与证明、数系的充与复数的引入、框图选修2-1:常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、空间向量与立体几何选修2-2:导数及其应用、推理与证明、数系的扩充与复数的引入选修2-3:计数原理、统计案例、概率选修4-1 :几何证明选讲;选修4-4 :坐标系与参数方程;选修4-5 :不等式选讲;二、新《标准》与旧《大纲》内容比较与以往的高中数学课程相比,《标准》选定的必修内容以及选修系列1和系列2的学习内容,基本上覆盖了1997年制订、又于2002年修改审定的《大纲》的内容,只是根据时代的要求,增加了一些算法初步、推理与证明、框图这样的新内容.在概率统计方面,对于统计思想及其应用和随机概念有所加强.与此同时对很多有些传统的内容做了删减,或在要求和侧重点方面有所调整.与此同时并对很多有些传统的内容做了删减,或在要求和侧重点方面有所调整。
例如,削弱了三角函数恒等变换化的证明;不等式中减少不等式证明的要求,而侧重介绍现实世界中的不等关系中优化的思想;立体几何中减少综合证明的内容,重在对于图形的把握,发展空间观念,运用向量方法解决计算问题;微积分初步中不再系统地讲极限概念,只通过瞬时变化率的描述,着重理解微分的基本思想及其应用。
这样的调整,将使得学生把精力更多地放在理解数学的思想和本质方面,更加注意数学与现实世界的联系和应用,重在发展学生的数学思维能力,发展学生的数学应用意识,提高学生自觉运用数学分析问题、解决问题的能力,为学生日后的进一步学习,或在工作生活中的应用,打下更好坚实的基础。
三、选修系列3和系列4的构成及其定位随着时代的发展、社会的进步,人们逐渐认识到,数学无处不在,科学技术的发展需要数学,各行各业的生产需要数学,就是在日常生活中也离不开数学,现代社会越来越需要数学素养比较高的人才。
高中数学课程内容
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高中数学课程内容必修课程由5个模块组成:必修1:集合、函数概念与基本初等函数(指、对、幂函数)必修2:立体几何初步、平面解析几何初步必修3:算法初步、统计、概率。
必修4:基本初等函数(三角函数)、平面向量、三角恒等变换。
必修5:解三角形、数列、不等式。
以上是每一个高中学生所必须学习的。
选修课程由4个系列:系列1:由2个模块组成。
选修1--1:常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、导数及其应用。
选修1---2:统计案例、推理与证明、数系的扩充与复数、框图。
系列2:由3个模块组成。
选修2--1:常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、空间向量与立体几何。
选修2--2:导数及其应用、推理与证明、数系的扩充与复数。
选修2--3:计数原理、随机变量及其分布列、统计案例。
系列3:由6个专题组成。
选修3--1:................................................................................................................................................... .............................................................................................................................................................. ......................................................................................................................................................重难点及考点:重点:函数、数列、三角函数、平面向量、圆锥曲线、立体几何、导数难点:函数、圆锥曲线。
2024年高中数学选修课程大纲
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2024年高中数学选修课程大纲一、课程导言数学作为一门重要的学科,不仅有着深厚的理论基础,也有着广泛的应用价值。
2024年高中数学选修课程旨在提供给学生更为全面深入的数学学习机会,培养学生的逻辑思维能力、数据处理能力和问题解决能力,以应对日益复杂的社会和职场需求。
二、课程目标1. 掌握数学的基本概念和基础知识,包括数与代数、几何与图形、函数与方程等领域;2. 培养学生的逻辑思维和推理能力,培养学生对数学问题分析、解决问题的能力;3. 培养学生的数学建模能力,理解数学在实际问题中的应用价值;4. 提高学生的信息技术运用能力,培养学生使用数学软件和工具进行数学问题求解和数据处理的能力;5. 培养学生的团队合作和沟通能力,锻炼学生解决复杂问题的能力。
三、课程内容1. 数与代数a. 实数与四则运算b. 数列与数列的表示与运算c. 函数与方程d. 不等式与不等式的解集求解e. 概率与统计2. 几何与图形a. 二维几何概念与性质b. 三角函数与三角变换c. 空间几何与立体图形d. 平面向量与坐标系3. 数学建模a. 问题的数学化与建模方法b. 数据分析与模型构建c. 模型求解与结果评价4. 数据处理与信息技术运用a. 数据的收集与整理b. 统计分析与表达c. 数学软件与工具的应用四、教学方法1. 理论授课与示范教师通过讲解和示范,将数学知识点进行系统化的传授和演示,引导学生建立正确的数学思维方式和解题思路。
2. 实践操作与任务驱动学生将学到的数学知识应用于实际问题中,通过小组合作、实地调研等方式进行实践操作,以解决现实问题和数学建模任务。
3. 讨论与合作学习学生在指导教师的带领下,进行课堂内外的讨论与合作学习,培养学生的团队合作和沟通能力。
4. 信息技术与多媒体应用教师利用数学软件、多媒体等教学工具辅助教学,让学生熟练掌握数学软件的使用和信息技术的运用。
五、考核方式1. 平时表现包括课堂表现、作业完成情况、小组合作情况等,占总成绩的30%。
高中数学必修和选修内容
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必修一第一章集合§1 集合的含义与表示§2 集合的基本关系§3 集合的基本运算3.1交集与并集3.2全集与补集第二章函数§1 生活中的变量关系§2 对函数的进一步认识2.1函数的概念2.2函数的表示方法2.3映射§3 函数的单调性§4 二次函数性质的再研究4.1二次函数的图像4.2二次函数的性质§5 简单的幂函数第二章指数函数与对数函数§1 正指数函数§2 指数扩充及其运算性质2.1指数概念的扩充2.2指数运算是性质§3 指数函数3.1指数函数的概念3.2指数函数的图像和性质3.3指数函数的图像和性质§4 对数4.1对数及其运算4.2换底公式§5 对数函数5.1对数函数的概念5.2 的图像和性质5.3对数函数的图像和性质§6 指数函数、幂函数、对数函数增长的比较第四章函数的应用§1 函数和方程1.1利用函数性质判定方程解的存在1.2利用二分法求方程的近似解§2 实际问题的函数建模2.1实际问题的函数刻画2.2用函数模型解决实际问题2.3函数建模案例必修二第一章立体几何初步§1 简单几何体1.1简单旋转体1.2简单多面体§2 直观图§3 三视图3.1简单组合体的三视图3.2由三视图还原成实物图§4 空间图形的基本关系与公理4.1空间图形基本关系的认识4.2空间图形的公理§5 平行关系5.1平行关系的判定5.2平行关系的性质§6 垂直关系6.1垂直关系的判定6.2垂直关系的性质§7 简单几何体的面积和体积7.1简单几何体的侧面积7.2棱柱、棱锥、棱台和圆柱、圆锥、圆台的体积7.3球的表面积和体积第二章解析几何初步§1 直线和直线的方程1.1直线的倾斜角和斜率1.2直线的方程1.3两条直线的位置关系1.4两条直线的交点1.5平面直接坐标系中的距离公式§2 圆和圆的方程2.1圆的标准方程2.2圆的一般方程2.3直线与圆、圆与圆的位置关系§3 空间直角坐标系3.1空间直接坐标系的建立3.2空间直角坐标系中点的坐标3.3空间两点间的距离公式必修三第一章统计§1 从普查到抽样§2 抽样方法2.1简单随机抽样2.2分层抽样与系统抽样§3 统计图表§4 数据的数字特征4.1平均数、中位数、众数、极差、方差4.2标准差§5 用样本估计总体5.1估计总体的分布5.2估计总体的数字特征§6 统计活动:结婚年龄的变化§7 相关性§8最小二乘估计第二章算法初步§1 算法的基本思想1.1算法案例分析1.2排序问题与算法的多样性§2 算法框图的基本结构及设计2.1顺序结构与选择结构2.2变量与赋值2.3循环结构§3 几种基本语句3.1条件语句3.2 循环语句第三章概率§1 随机事件的概率1.1频率与概率1.2生活中的概率§2 古典概型2.1古典概型的特征和概率计算公式2.2建立概率模型2.3互斥事件§3 模拟方法——概率的应用必修四第一章三角函数§1 周期现象§2 角的概念的推广§3 弧度制§4 正弦函数和余弦函数的定义与诱导公式4.1任意角的正弦函数、余弦函数的定义4.2单位圆与周期性4.3单位圆与诱导公式§5 正弦函数的性质与图像5.1从单位圆看正弦函数的性质5.2正弦函数的图像5.3正弦函数的性质§6 余弦函数的图像和性质6.1余弦函数的图像6.2余弦函数的性质§7 正切函数7.1正切函数的定义7.2正切函数的图像和性质7.3正切函数的诱导公式§8 函数的图像§9 三角函数的简单应用第二章平面向量§1 从位移、速度、力到向量1.1位移、速度和力1.2向量的概念§2 从位移的合成到向量的加法2.1向量的加法2.2向量的减法§3 从速度的倍数到数乘向量3.1数乘向量3.2平面向量基本定理§4 平面向量的坐标4.1平面向量的坐标表示4.2平面向量线性运算的坐标表示4.3向量平行的坐标表示§5 从力做的功到向量的数量积§6 平面向量数量积的坐标表示§7 向量应用举例7.1点到直线的距离公式7.2向量的应用举例第三章三角恒等变形§1 同角三角函数的基本关系§2 两角和与差的三角函数2.1两角差的余弦函数2.2两角和与差的正弦、余弦函数2.3两角和与差的正切函数§3 二倍角的三角函数必修五第一章数列§1 数列1.1数列的概念1.2数列的函数特性§2 等差数列2.1等差数列2.2等差数列的前n项和§3 等比数列3.1等比数列3.2等比数列的前n项和§4 数列在日常经济生活中的应用第二章解三角形§1 正弦定理与余弦定理1.1正弦定理1.2余弦定理§2 三角形中的几何计算§3 解三角形的实际应用举例第三章不等式§1 不等关系1.1不等关系1.2不等关系与不等式§2 一元二次不等式2.1一元二次不等式的解法2.2一元二次不等式的应用§3 基本不等式3.1基本不等式3.2基本不等式与最大(小)值§4 简单线性规划4.1二元一次不等式(组)与平面区域4.2简单线性规划4.3简单线性规划的应用选修2—1第一章常用逻辑用语§1 命题§2 充分条件与必要条件2.1充分条件2.2必要条件2.3充要条件§3 全称量词与存在量词3.1全称量词与全称命题3.2存在量词与特称命题3.3全称命题与特称命题的否定§4 逻辑连结词“且”“或”“非”4.1逻辑连结词“且”4.2逻辑连结词“或”4.3逻辑连结词“非”第二章空间向量与立体几何§1 从平面向量到空间向量§2 空间向量的运算§3 向量的坐标表示和空间向量基本定理3.1空间向量的标准正交分解与坐标表示3.2空间向量基本定理3.3空间向量运算的坐标表示§4 用向量讨论垂直与平行§5 夹角的计算5.1直线间的夹角5.2平面间的夹角5.3直线与平面的夹角§6 距离的计算第三章圆锥曲线与方程§1 椭圆1.1椭圆及其标准方程1.2椭圆的简单性质§2 抛物线2.1抛物线及其标准方程2.2抛物线的简单性质§3 双曲线3.1双曲线及其标准方程3.2双曲线的简单性质§4 曲线与方程4.1 曲线与方程4.2圆锥曲线的共同特征4.3直线与圆锥曲线的交点选修2—2第一章推理与证明§1 归纳与类比1.1归纳推理1.2类比推理§2 综合法与分析法2.1综合法2.2分析法§3 反证法§4 数学归纳法第二章变化率与导数§1 变化的快慢与变化率§2 导数的概念及其几何意义2.1导数的概念2.2导数的几何意义§3 计算导数§4 导数的四则运算法则4.1导数的加法与减法法则4.2导数的乘法与除法法则§5 简单复合函数的求导法则第三章导数的应用§1 函数的单调性与极值1.1导数与函数的单调性1.2函数的极值§2 导数在实际问题中的应用2.1实际问题中导数的意义2.2最大值、最小值问题第四章定积分§1 定积分的概念1.1定积分的背景——面积和路程问题1.2定积分§2 微积分基本定理§3 定积分的简单应用3.1平面图形的面积3.2简单几何体的体积第五章数系的扩充与复数的引入§1 数系的扩充与复数的引入1.1数的概念的扩展1.2复数的有关概念§2 复数的四则运算2.1复数的加法与减法2.2复数的乘法与除法。
高中同步解析与测评数学选修一
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高中同步解析与测评数学选修一简介数学是一门重要的学科,在高中阶段是必修课程之一,同时也有一些选修课程供学生选择。
本文将对高中数学选修一进行解析与测评,帮助学生了解该选修课的内容与重点。
选修一内容概述高中数学选修一主要包括以下几个方面的内容:1.坐标系与向量:介绍直角坐标系、向量的概念,以及向量的运算等内容。
2.解析几何:讨论平面直角坐标系上的直线和曲线的性质、方程等问题。
3.数列与数学归纳法:掌握数列的概念、基本性质以及数列的敛散性判定等内容。
4.三角函数与图像:学习三角函数的定义、性质以及三角函数图像的画法与性质。
5.三角恒等变换与不等式:介绍三角函数的恒等变换以及三角不等式的性质与解法。
6.随机事件与概率:学习事件与概率的概念,掌握概率计算公式与方法。
7.矩阵与行列式:了解矩阵、行列式的定义与基本运算,掌握矩阵的逆、转置等操作。
解析与测评解析高中数学选修一主要是对高中数学基础知识的进一步扩展与深化。
通过学习选修一,学生将掌握一些在解决实际问题中常用的方法和工具,培养逻辑思维能力和数学建模能力。
选修一的内容相对来说较为广泛,涵盖了坐标系与向量、解析几何、数列与数学归纳法、三角函数与图像、三角恒等变换与不等式、随机事件与概率、矩阵与行列式等多个方面。
通过学习这些内容,学生将能够对各种数学问题进行分析和求解,提升数学解决问题的能力。
测评高中数学选修一的测评主要包括平时作业、课堂练习和考试。
平时作业可以通过解决一些典型的数学问题,巩固和运用所学的知识。
课堂练习是在老师指导下进行的,可以帮助学生理解和掌握知识。
考试主要测试学生对知识点的理解和掌握程度。
在进行测评时,老师通常会注重学生的理论知识和解题能力。
因此,学生在备考过程中应注重对各个知识点的理解和运用,同时要进行大量的练习,熟悉各种题型和解题方法。
学习建议为了更好地学习和掌握高中数学选修一,以下是一些建议:1.注重基础:选修一是建立在高中数学基础之上的,所以在学习选修一之前,要充分复习和巩固高中数学的基本概念和方法。
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第一章常用逻辑用语1.1命题及其关系定义:一般地,我们把用语言、符号或式子表达的,可以判断真假的陈述句叫做命题.其中判断为真的语句叫做真命题,判断为假的语句叫做假命题。
命题的构成――条件和结论定义:从构成来看,所有的命题都具由条件和结论两部分构成.在数学中,命题常写成“若p,则q”或者“如果p,那么q”这种形式,通常,我们把这种形式的命题中的p叫做命题的条件,q叫做命题结论.真命题:如果由命题的条件P通过推理一定可以得出命题的结论q,那么这样的命题叫做真命题.假命题:如果由命题的条件P通过推理不一定可以得出命题的结论q,那么这样的命题叫做假命题.四种命题:定义1:一般地,对于两个命题,如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件,那么我们把这样的两个命题叫做互逆命题.其中一个命题叫做原命题,另一个命题叫做原命题的逆命题.定义2:一般地,对于两个命题,如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否定,那么我们把这样的两个命题叫做互否命题.其中一个命题叫做原命题,另一个命题叫做原命题的否命题.定义3:一般地,对于两个命题,如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否定,那么我们把这样的两个命题叫做互为逆否命题.其中一个命题叫做原命题,另一个命题叫做原命题的逆否命题.形式:原命题:若P,则q.则:逆命题:若q,则P.否命题:若¬P,则¬q.(说明符号“¬”的含义:符号“¬”叫做否定符号.“¬p”表示p的否定;即不是p;非p)逆否命题:若¬q,则¬P.四种命题间的相互关系:由于逆命题和否命题也是互为逆否命题,因此四种命题的真假性之间的关系如下:(1)两个命题互为逆否命题,它们有相同的真假性;(2)两个命题为互逆命题或互否命题,它们的真假性没有关系.1.2 充分条件与必要条件定义:如果命题“若p,则q”为真命题,即p q,那么我们就说p是q的充分条件;q 是p必要条件.一般地,如果既有p q ,又有q p 就记作 p ⇔ q.此时,我们说,那么p是q的充分必要条件,简称充要条件.显然,如果p是q的充要条件,那么q也是p的充要条件.概括地说,如果p ⇔ q,那么p 与 q互为充要条件.一般地,若p q ,但q p,则称p是q的充分但不必要条件;若p q,但q p,则称p是q的必要但不充分条件;若p q,且q p,则称p是q的既不充分也不必要条件.1.3 简单的逻辑连接词一般地,用联结词“且”把命题p和命题q联结起来,就得到一个新命题,记作p∧q 读作“p且q”。
一般地,用联结词“或”把命题p和命题q联结起来,就得到一个新命题,记作p∨q,读作“p或q”。
一般地,我们规定:当p,q都是真命题时,p∧q是真命题;当p,q两个命题中有一个命题是假命题时,p ∧q是假命题;当p,q两个命题中有一个是真命题时,p∨q是真命题;当p,q两个命题都是假命题时,p∨q是假命题。
一般地,对一个命题p全盘否定,就得到一个新命题,记作¬p,读作“非p”或“p 的否定”。
若p是真命题,则¬p必是假命题;若p是假命题,则¬p必是真命题;命题的否定是否定命题的结论,而命题的否命题是对原命题的条件和结论同时进行否定。
1.4全称量词与存在量词所有的”“任意一个”这样的词语,这些词语一般在指定的范围内都表示整体或全部,这样的词叫做全称量词,用符号“∀”表示,含有全称量词的命题,叫做全称命题。
“存在一个”“至少有一个”这样的词语,这些词语都是表示整体的一部分的词叫做存在量词。
并用符号“∃”表示。
含有存在量词的命题叫做特称命题(或存在命题)。
一般地,对于含有一个量词的全称命题的否定,有下面的结论:全称命题P:∀∈,()x M p x它的否定¬P¬P(x)特称命题P:x M p x∃∈,()它的否定¬P:∀x∈M,¬P(x)全称命题和否定是特称命题。
特称命题的否定是全称命题。
第二章圆锥曲线与方程2.1曲线与方程(二)几种常见求轨迹方程的方法1.直接法由题设所给(或通过分析图形的几何性质而得出)的动点所满足的几何条件列出等式,再用坐标代替这等式,化简得曲线的方程,这种方法叫直接法.例1(1)求和定圆x2+y2=k2的圆周的距离等于k的动点P的轨迹方程;(2)过点A(a,o)作圆O∶x2+y2=R2(a>R>o)的割线,求割线被圆O截得弦的中点的轨迹.对(1)分析:动点P的轨迹是不知道的,不能考查其几何特征,但是给出了动点P的运动规律:|OP|=2R 或|OP|=0.解:设动点P(x,y),则有|OP|=2R或|OP|=0.即x2+y2=4R2或x2+y2=0.故所求动点P的轨迹方程为x2+y2=4R2或x2+y2=0.对(2)分析:题设中没有具体给出动点所满足的几何条件,但可以通过分析图形的几何性质而得出,即圆心与弦的中点连线垂直于弦,它们的斜率互为负倒数.由学生演板完成,解答为:设弦的中点为M(x,y),连结OM,则OM⊥AM.∵k OM·k AM=-1,其轨迹是以OA为直径的圆在圆O内的一段弧(不含端点).2.定义法利用所学过的圆的定义、椭圆的定义、双曲线的定义、抛物线的定义直接写出所求的动点的轨迹方程,这种方法叫做定义法.这种方法要求题设中有定点与定直线及两定点距离之和或差为定值的条件,或利用平面几何知识分析得出这些条件.直平分线l交半径OQ于点P(见图2-45),当Q点在圆周上运动时,求点P的轨迹方程.分析:∵点P在AQ的垂直平分线上,∴|PQ|=|PA|.又P在半径OQ上.∴|PO|+|PQ|=R,即|PO|+|PA|=R.故P点到两定点距离之和是定值,可用椭圆定义写出P点的轨迹方程.解:连接PA ∵l⊥PQ,∴|PA|=|PQ|.又P在半径OQ上.∴|PO|+|PQ|=2.由椭圆定义可知:P点轨迹是以O、A为焦点的椭圆.3.相关点法若动点P(x,y)随已知曲线上的点Q(x0,y0)的变动而变动,且x0、y0可用x、y表示,则将Q点坐标表达式代入已知曲线方程,即得点P的轨迹方程.这种方法称为相关点法(或代换法).例3已知抛物线y2=x+1,定点A(3,1)、B为抛物线上任意一点,点P在线段AB上,且有BP∶PA=1∶2,当B点在抛物线上变动时,求点P的轨迹方程.分析:P点运动的原因是B点在抛物线上运动,因此B可作为相关点,应先找出点P与点B的联系.解:设点P(x,y),且设点B(x0,y0)∵BP∶PA=1∶2,且P为线段AB的内分点.4.待定系数法求圆、椭圆、双曲线以及抛物线的方程常用待定系数法求.例4已知抛物线y2=4x和以坐标轴为对称轴、实轴在y轴上的双曲曲线方程.分析:因为双曲线以坐标轴为对称轴,实轴在y轴上,所以可设双曲线方ax2-4b2x+a2b2=0∵抛物线和双曲线仅有两个公共点,根据它们的对称性,这两个点的横坐标应相等,因此方程ax2-4b2x+a2b2=0应有等根.∴△=1664-4Q4b2=0,即a2=2b.(以下由学生完成)由弦长公式得:即a 2b 2=4b 2-a 2.2.2 椭圆把平面内与两个定点1F ,2F 的距离之和等于常数(大于12F F )的点的轨迹叫做椭圆(ellipse ).其中这两个定点叫做椭圆的焦点,两定点间的距离叫做椭圆的焦距.即当动点设为M 时,椭圆即为点集P ={}12|2M MF MF a +=.焦点在x 轴上,中心在原点的椭圆的标准方程)0(12222>>=+b a by a x .焦点在y 轴上,中心在原点的椭圆的标准方程()222210y x a b a b+=>>.椭圆的简单几何性质①范围:由椭圆的标准方程可得,222210y x b a=-≥,进一步得:a x a -≤≤,同理可得:b y b -≤≤,即椭圆位于直线x a =±和y b =±所围成的矩形框图里;②对称性:由以x -代x ,以y -代y 和x -代x ,且以y -代y 这三个方面来研究椭圆的标准方程发生变化没有,从而得到椭圆是以x 轴和y 轴为对称轴,原点为对称中心; ③顶点:先给出圆锥曲线的顶点的统一定义,即圆锥曲线的对称轴与圆锥曲线的交点叫做圆锥曲线的顶点.因此椭圆有四个顶点,由于椭圆的对称轴有长短之分,较长的对称轴叫做长轴,较短的叫做短轴;④离心率: 椭圆的焦距与长轴长的比ace =叫做椭圆的离心率(10<<e ),⎩⎨⎧→→→椭圆图形越扁时当01a ,,b ,c e ;⎩⎨⎧→→→椭圆越接近于圆时当a,b ,c e 00 .椭圆的第二定义当点M 与一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数)10(<<=e ace 时,这个点的轨迹是椭圆.定点是椭圆的焦点,定直线叫做椭圆的准线,常数e 是椭圆的离心率.对于椭圆12222=+b y a x ,相应于焦点)0,(c F 的准线方程是c a x 2=.根据对称性,相应于焦点)0,(c F -'的准线方程是c a x 2-=.对于椭圆12222=+bx a y 的准线方程是c a y 2±=.可见椭圆的离心率就是椭圆上一点到焦点的距离与到相应准线距离的比,这就是离心率的几何意义.由椭圆的第二定义e dMF =∴||可得:右焦半径公式为ex a c a x e ed MF -=-==||||2右;左焦半径公式为ex a ca x e ed MF +=--==|)(|||2左定义:椭圆上任意一点与两焦点所构成的三角形称为焦点三角形。
性质一:已知椭圆方程为),0(12222>>=+b a b y a x 两焦点分别为,,21F F 设焦点三角形21F PF 中,21θ=∠PF F 则2tan221θb S PF F =∆。
θcos 2)2(2122212212PF PF PF PF F F c -+==Θ)cos 1(2)(21221θ+-+=PF PF PF PF θθθcos 12)cos 1(244)cos 1(24)(222222121+=+-=+-+=∴b c a c PF PF PF PF 1222121sin sin tan 21cos 2F PF b S PF PF b θθθθ∆∴===+ 性质二:已知椭圆方程为),0(12222>>=+b a b y a x 左右两焦点分别为,,21F F 设焦点三角形21F PF ,若21PF F ∠最大,则点P 为椭圆短轴的端点。
证明:设),(o o y x P ,由焦半径公式可知:o ex a PF +=1,o ex a PF -=1 在21PF F ∆中,2122121212cos PF PF F F PF PF -+=θ21221221242)(PF PF c PF PF PF PF --+=1))((24124422122--+=--=o o ex a ex a b PF PF c a =122222--ox e a b a x a ≤≤-0Θ 22a x o≤∴性质三:已知椭圆方程为),0(12222>>=+b a by a x 两焦点分别为,,21F F 设焦点三角形21F PF 中,21θ=∠PF F 则.21cos 2e -≥θ证明:设,,2211r PF r PF ==则在21PF F ∆中,由余弦定理得:1222242)(2cos 212221221221212212221--=--+=-+=r r c a r r c r r r r r r F F r r θ.2112221)2(222222222122e a c a r r c a -=--=-+-≥ 命题得证。