三角函数与解直角三角形

锐角三角函数

1、勾股定理：直角三角形两直角边a 、b 的平方和等于斜边c 的平方。

2、如下图，在Rt △ABC 中，∠C 为直角，则∠A 的锐角三角函数为(∠A 可换成∠B)：

3、任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值；任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值。

4、0°、30°、45°、60°、90°特殊角的三角函数值(重要)

5、正弦、余弦的增减性：

当0°≤α≤90°时，sin α随α的增大而增大，cos α随α的增大而减小。

6、正切、余切的增减性：

当0°<α<90°时，tan α随α的增大而增大

注意：一定要记住上面的公式与特殊三角函数的值。

A

90B 90∠-︒=∠︒=∠+∠得由B A

对边

邻边

A

C

解直角三角形

1、解直角三角形的定义：已知边和角（两个，其中必有一边）→所有未知的边和角。 依据：①边的关系：222c b a =+；

②角的关系：A+B=90°； ③边角关系：三角函数的定义。

斜边的对边A A ∠=

sin 斜边的邻边A A ∠=cos

的邻边的对边

A tan ∠∠=

A A 2、应用举例：

(1)仰角：视线在水平线上方的角；俯角：视线在水平线下方的角。

(2)坡面的铅直高度h 和水平宽度l 的比叫做坡度(坡比)。用字母i 表示，即h

i l

=。坡度一般写成1:m 的形式，如1:5i =等。

把坡面与水平面的夹角记作α(叫做坡角)，那么tan h

i l

α=

=。 3、从某点的指北方向按顺时针转到目标方向的水平角，叫做方位角。如图3，OA 、OB 、OC 、OD 的方向角分别是：45°、135°、225°。

4、指北或指南方向线与目标方向 线所成的小于90°的水平角，叫做方向角。如图4,OA 、OB 、OC 、OD 的方向角分别是：北偏东30°（东北方向） ， 南偏东45°（东南方向）， 南偏西60°（西南方向）， 北偏西60°（西北方向）。

:i h l

=h

l

α

（1）斜边是直角边的

2

倍，

（2）直角边是斜边

倍

(1)斜边是短直角边的2倍

（2）长直角边是短直角边的

倍

（3）短直角边是长直角边的 33

倍

2

23

基础练习：

1．在Rt △ABC 中，∠C =90°，sin A =

45

，则cos B 的值等于( )

A ．3

5

B ．

45

C ．34

D

．5

2. 在ABC ∆中，,13

12

sin ,900

=

=∠A C 则A tan 的值为 A 1312 B 135 C 512 D 1213

3．在△ABC 中，∠C =90°，cos A=

5

3

，那么tan B 的值等于 A ．35 B . 45 C . 34 D . 43

4.一人乘雪橇沿坡度为１:3的斜坡滑下，滑下距离Ｓ（米）与时间t （秒）之间 的关系为Ｓ＝2

210t t +,若滑动时间为4秒，则他下降的垂直高度为 （ ）

A 、 72米

B 、36米

C 、336米

D 、318米

5．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，CD ⊥AB ，垂足为D ． 已知AC

BC =2，那么sin ∠ACD ＝ （ ）

A

．3 B ．2

3

C

．5 D

．2

6．如图，小阳发现电线杆AB 的影子落在土坡的坡面CD 和地面BC 上，量得CD =8米，BC =20米，CD 与地面成30º角，且此时测得1米杆的影长为2米，则电线杆的高度为( )

A ．9米

B ．28米 C

．(7+米 D ．()

3214+米

7．如果α是锐角，且54

sin =

α，则=α-︒)90cos(（ ）。 A. 5

4

B.43

C.53

D.5

1

8．在△ABC 中，A ，B 为锐角，且有 B A cos sin =，则这个三角形是 （ ） A.等腰三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.锐角三角形

9.当0

9045<> B.A A A sin tan cos >> C.A A A cos tan sin >> D.A A A cos sin tan >>

10．如图，梯子（长度不变）跟地面所成的锐角为A ，关于A ∠的三角函数值与梯子的倾斜程度之间，叙述正确的是（ ）。

A ．sin A 的值越大，梯子越陡

B ．cos A 的值越大，梯子越陡

C ．tan A 的值越小，梯子越陡

D ．陡缓程度与A ∠的函数

11．如图，沿AE 折叠矩形纸片ABCD ，使点D 落在BC 边的点F 处。已知AB ＝8，BC ＝10，

则tan ∠EFC 的值为（ ）。 A ．3

4

B ．

43

C ．

35

D ．

45

12.如图，已知直线1l ∥2l ∥3l ∥4l ，相邻两条平行直线间的

距离都是1，如果正方形ABCD 的四个顶点分别在四条直 线上，则sin α= ．

13.如图，将两张宽度都为1的纸条叠放成如图所示的图形，•如果所成四边形的锐角为α，那么这个四边形的面积是（ ） A ．

1

1

.tan .tan .

cos sin B C D ααα

α

A

B C

D α

A 1l 3l 2

l

4l