21.2.2公式法
21.2.2解一元二次方程 公式法【人教九上数学精彩课堂教案】
21.2解一元二次方程21.2.2公式法实际情境置疑探究归纳探究复习探究类比探究悬念激趣置疑探究在上一节已学的用配方法解一元二次方程的基础上创设情景.解下列一元二次方程:(1)x2+4x+2=0;(2)3x2-6x+1=0;(3)4x2-16x+17=0;(4)3x2+4x+7=0.然后让学生仔细观察四个方程的解答过程,由此发现有什么相同之处,有什么不同之处?接着再改变上面每个方程的其中一个系数,得到四个新的方程:(1)3x2+4x+2=0;(2)3x2-2x+1=0;(3)4x2-16x-3=0;(4)3x2+x+7=0.思考1:新方程与原方程的解答过程相比,有什么变化?由学生的观察讨论得到:用配方法解不同的一元二次方程的过程中,相同之处是配方的过程(程序化的操作),不同之处是方程的根的情况及其方程的根.思考2:既然过程是相同的,为什么根会不同?方程的根与什么有关?有怎样的关系?如何进一步探究?[教学提示] 1.复习巩固旧知识,为本节课的学习打下更好的基础;2.让学生充分感受到用配方法解题既存在着共性,也存在着不同的现象,由此激发学生的求知欲望;3.通过问题引导学生感受、猜测方程的根与系数有一定的关系,从而引导学生去探究.在学生利用配方法解一元二次方程时,为了节约时间,可以让学生分组解答,比如:将学生按列随机分成若干个组分别解答,再分别展示答案,充分让学生感受到解答过程的共性.复习探究(1)在上一节课中,我们学习了用配方法解一元二次方程,那么请回忆一下用配方法解一元二次方程的步骤是什么?①移项:方程的一边为二次项和一次项,另一边为常数项.(注意移项要变号)②化1:把二次项系数化为1.(方程两边同时除以二次项系数,注意不要漏项)③配方:方程两边同时加上一次项系数一半的平方.(注意分数的平方要加括号)④变形:方程左边分解因式,右边合并同类项,使方程转化为(x+m)2=n的形式.(当n≥0时,方程有实根;当n<0时,方程无实根)⑤开方:根据平方根的意义,方程两边开平方.(注意别漏了正负号,带根号的根式应化成最简二次根式)⑥求解:解一元二次方程.⑦定解:写出原方程的解.(2)用配方法解一般形式的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0).移项,得ax2+bx=-c.二次项系数化为1,得x2+ba x=-ca.配方,得x2+ba x+b2a2=-ca+b2a2,即x+b2a2=b2-4ac4a2.因为a≠0,所以4a2>0.当b2-4ac>0时,得x+b2a =±√b2-4ac2a,所以x=-b2a±√b2-4ac2a,即x1=-b+√b2-4ac2a ,x2=-b-√b2-4ac2a.当b2-4ac=0时,得x1=x2=-b2a.当b2-4ac<0时,方程无实数根.[教学提示] 以提问和练习的方式让学生回顾旧知,一方面是为了培养学生的语言表达能力,另一方面是为了加深学生对配方法的理解,为推导公式法做准备.全班同学在练习本上运算,请两名小组代表去黑板上练习,老师巡回指导,适时点拨,并注意对学习有困难的学生进行辅导,对表现比较突出的学生及时进行鼓励.教材母题——第11页例2用公式法解下列方程:(1)x2-4x-7=0;(2)2x2-2√2x+1=0;(3)5x2-3x=x+1;(4)x2+17=8x.【模型建立】用公式法解一元二次方程,首先将方程化成一般形式,确定各项的系数(注意符号),当b2-4ac≥0时,将各系数代入求根公式求解.注意只有在b2-4ac≥0的情况下才能使用公式法进行求解.【变式变形】1.用公式法解方程(x+2)2=6(x+2)-4时,b2-4ac的值为(C)A.52B.32C.20D.-122.用公式法解方程3x 2+4=12x ,下列代入公式正确的是 (D)A .x 1,2=12±√122-3×42B .x 1,2=-12±√122-3×42C .x 1,2=-12±√-(-12)2-4×3×42×3D .x 1,2=-(-12)±√(-12)2-4×3×42×33.一元二次方程x 2+2√2x-6=0的根是 (C)A .x 1=x 2=√2B .x 1=0,x 2=-2√2C .x 1=√2,x 2=-3√2D .x 1=-√2,x 2=3√24.已知a 是一元二次方程x 2-3x-5=0的较小的根,则下面对a 的估计正确的是 (A)A .-2<a<-1B .2<a<3C .-3<a<-4D .4<a<5 5.一元二次方程(x+1)(x-3)=2x-5的根的情况是 (D)A .无实数根B .有一个正根,一个负根C .有两个正根,且都小于3D .有两个正根,且有一根大于36.方程x 2-2x-2=0的解是 x 1=1+√3,x 2=1-√3 .7.小明用公式法解方程2x 2+7x=4的过程如下: ∵a=2,b=7,c=4,∴b 2-4ac=72-4×2×4=17. ∴x=7±√174. ∴x 1=7+√174,x 2=7-√174.你认为小明的解答过程正确吗?如果不正确,请给出正确的解答过程. 解:小明的解答过程不正确. 正确的解答过程如下: 移项,得2x 2+7x-4=0,∵a=2,b=7,c=-4,∴b 2-4ac=72-4×2×(-4)=81. ∴x=-7±√812×2=-7±94.∴x 1=-4,x 2=12.教材母题——第17页习题21.2第13题无论p 取何值,方程(x-3)(x-2)-p 2=0总有两个不等的实数根吗?给出答案并说明理由. 【模型建立】“一元二次方程的根的个数”与“Δ=b2-4ac与0的大小关系”有关,所以牢记如下结论是解决此问题的关键.①当b2-4ac>0时,一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个不等的实数根,即x1=-b+√b2-4ac2a ,x2=-b-√b2-4ac2a;②当b2-4ac=0时,一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个相等的实数根x1=x2=-b2a;③当b2-4ac<0时,一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)无实数根.【变式变形】1.不解方程,判断关于x的方程x2-2kx+(2k-1)=0的根的情况.[答案:有两个实数根]2.已知k≠1,一元二次方程(k-1)x2+kx+1=0有实数根,则k的取值范围是 (D)A.k≠2B.k>2C.k<2且k≠1D.k为一切不等于1的实数3.已知方程x2+px+q=0有两个相等的实数根,则p与q的关系是p2-4q=0.4.已知关于x的一元二次方程ax2-2x-1=0有两个不相等的实数根,则a的取值范围是a>-1且a≠0.5.已知关于x的方程mx2-(m+2)x+2=0(m≠0).(1)求证:方程总有两个实数根;(2)若方程的两个实数根都是整数,求正整数m的值.[答案:(1)略(2)1或2]【评价角度1】利用b2-4ac判断一元二次方程根的情况方法指引:b2-4ac的值的情况对应了一元二次方程ax2+bx+c=0的根的情况,很多时候不用解方程就可以判断方程根的情况:若b2-4ac>0,则方程有两个不等的实数根;若b2-4ac=0,则方程有两个相等的实数根;若b2-4ac<0,则方程无实数根.例1一元二次方程x2-4x+5=0的根的情况是(D)A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根C.只有一个实数根D.没有实数根例2关于x的一元二次方程x2-(k+3)x+k=0的根的情况是(A)A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根C.无实数根D.无法确定例3已知关于x的方程x2+2(2-m)x+3-6m=0.试说明:无论m取何实数,此方程总有实数根.解:∵在关于x的方程x2+2(2-m)x+3-6m=0中,Δ=4(2-m)2-4(3-6m)=4(m+1)2≥0,∴无论m取何实数,此方程总有实数根.【评价角度2】利用公式法解一元二次方程方法指引:用公式法解一元二次方程是将解方程的过程程序化,规范性要求较高,在代入公式求值前必须通过b2-4ac的值来判断方程解的情况,只有方程有解才能代入公式求解.在求b2-4ac的值时要先将方程转化为一般形式,再确定a,b,c的值.例解方程:x2+4x-1=0.[答案:x1=-2+√5,x2=-2-√5]【评价角度3】根据方程根的情况求解字母系数的值或取值范围方法指引:利用方程根的情况与b2-4ac的值的对应关系列出含有字母系数的方程或不等式,从而确定字母系数的值或取值范围.在实际操作过程中,要关注二次项的系数不能等于0这一条件的应用.例1若关于x的一元二次方程x2-3x+m=0有两个不相等的实数根,则实数m的取值范围为(B)A.m>94B.m<94C.m=94D.m<-94例2若关于x的一元二次方程x(x+1)+ax=0有两个相等的实数根,则实数a的值为(A)A.-1B.1C.-2或2D.-3或1例3若关于x的一元二次方程(k-1)x2+4x+1=0有实数根,则k的取值范围是k≤5且k≠1.【评价角度4】一元二次方程的根的情况的实际应用方法指引:在解决实际问题时,有时可以通过列出一元二次方程,利用根的判别式判断一元二次方程解的情况.例小林准备进行如下操作试验:把一根长为40 cm的铁丝剪成两段,并把每一段各围成一个正方形.小峰对小林说:“这两个正方形的面积之和不可能等于48 cm2.”他的说法对吗?请说明理由.解:小峰的说法是对的.理由:假设这两个正方形的面积之和可以等于48 cm2.设此时其中一个正方形的边长为x cm,则另一个正方形的边长是(10-x)cm.由题意可得x2+(10-x)2=48.化简得x2-10x+26=0.因为b2-4ac=(-10)2-4×1×26=-4<0,所以此方程没有实数根.所以小峰的说法是对的.课题21.2.2公式法授课人教学目标1.理解一元二次方程求根公式的推导过程.2.会利用一元二次方程的求根公式解一元二次方程.3.能够理解一元二次方程根的判别式,并能运用根的判别式进行相关的计算或推理.4.经历探索求根公式的过程,发展学生合情合理的推理能力.5.引导学生熟记一元二次方程的求根公式x=-b±√b2-4ac2a,并理解公式成立的条件b2-4ac≥0.6.通过运用公式法解一元二次方程,提高学生的运算能力,并让学生在学习活动中获得成功的体验,建立学好数学的自信心.教学重点一元二次方程求根公式的推导和公式的简单应用以及利用根的判别式进行相关的判定和计算.教学难点一元二次方程求根公式的推导.授课类型新授课课时教具多媒体教学活动教学步骤师生活动设计意图回顾提出问题:问题1:配方法解一元二次方程的步骤有哪些?总结用配方法解一元二次方程的一般步学生回答,教师点评,并做好指导工作.(1)移项.(2)二次项系数化为1.(3)配方(方程两边都加上一次项系数一半的平方).(4)变形:原方程变形为(x+m)2=n的形式.(5)开方:如果n是非负数,那么可以直接开平方求出方程的解;如果n是负数,那么一元二次方程无解.(6)定解.问题2:当一元二次方程的二次项系数不为1时,应该如何应用配方法求解?当一元二次方程的二次项系数不为1时,只要在方程两边同时除以二次项的系数,将方程转化为二次项系数为1的方程即可.骤,为下一步解一般形式的一元二次方程作准备.活动一: 创设情境导入新课【课堂引入】张老师要求同学们解一元二次方程2x2+x+1=0,大家才动笔,小强突然站起来说这个方程无实数解,同学们都带着愕然、怀疑的目光看向老师,只见张老师微笑地点了点头,你知道小强是如何快速作出判断的吗?下面让我们一起探究今天的新知吧!通过情景,使学生产生悬念“如何快速判断方程根的情况”,激发深入探究新知的欲望,从而顺利完成本课知识的学习.活动二: 探究与应用问题1:利用配方法,你能解一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)吗?学生自主解方程,确定一名学生进行板演.教师点拨:我们不妨把a,b,c也当成一个具体的数字,根据配方法的解题步骤一步步推下去.解:移项,得ax2+bx=-c.二次项系数化为1,得x2+bax=-ca.配方,得x2+bax+b2a2=-ca+b2a2.变形,得x+b2a2=b2-4ac4a2.当b2-4ac≥0时,两边开平方,得x+b2a=±√b2-4ac2a.1.学生回顾配方法的解题思路,从数字系数过渡到字母系数进行配方,推导公式.所以方程的解为 x 1=-b+√b 2-4ac2a,x 2=-b -√b 2-4ac2a.【应用举例】例1 用公式法解下列方程:题目的设置存在梯度,给予学生层次递进(1)x2-4x-7=0;(2)2x2-2√2x+1=0;(3)5x2-3x=x+1;(4)x2+17=8x.师生活动:教师指导学生观察方程的特点,指导学生阐述做题的思路,然后学生书写解题过程,教师做好评价和辅导.变式练习:用公式法解下列方程:(1)x2-3x-1=0;(2)2x2-3x+1=0;(3)x2+2√2x-6=0.教师做好总结:用公式法解一元二次方程的步骤:①把方程化为一般形式,确定a,b,c的值.②求出b2-4ac的值.③若b2-4ac≥0,则代入求根公式计算;若b2-4ac<0,则原方程无实数解.④写出方程的解.用公式法解一元二次方程应注意:①化方程为一般形式;②方程有实根的前提条件是“Δ≥0”;③若方程有根,则它应该有两个根;④求解得出的根应适当化简.例2不解方程,判别下列一元二次方程根的情况.(1)x2+x-6=0;(2)2x2-x+5=0.的学习过程.活动二: 探究与应用变式练习:不解方程,判别关于x的方程x2-2kx+(2k-1)=0的根的情况.教师做好总结:利用根的判别式判别方程根的个数问题时应注意:①考虑“二次项系数不为0”这一条件;②“一元二次方程有根”与“一元二次方程有两个不相等的根”的区别.【拓展提升】例3已知关于x的方程(a-2)x2-2(a-1)x+(a+1)=0,当a为何非负整数时:(1)方程只有一个实数根?学生不断质疑、解惑,不但完善了思维,而且锻炼了能力,使学生形成对知识的总体把(2)方程有两个相等的实数根?(3)方程有两个不相等的实数根?教师重点关注:学生对问题的分析能力(本题涉及了哪些知识点);给予学生一定的时间去思考,充分讨论,争取让学生自己得到解答方法;鼓励学生大胆猜想,发表见解.握.活动三: 课堂总结反思【达标测评】1.对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0),下列叙述正确的是(B)A.方程总有两个实数根B.当b2-4ac≥0时,方程有两个实数根C.当b2-4ac<0时,方程只有一个实数根D.当b2-4ac=0时,方程无实数根2.方程x2-3x=0的根的情况是(A)A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根C.没有实数根D.无法确定是否有实数根3.如果关于x的一元二次方程x2+2ax+a+2=0有两个相等的实数根,那么实数a的值为-1或2.4.关于x的一元二次方程x2+2x+k=0有两个不相等的实数根,则k的取值范围是k<1.5.解下列方程:(1)2x2-3x-5=0;(2)23x2+13x=2.学生进行当堂检测,完成后,教师进行批阅、点评、讲解.通过设置达标测评,进一步巩固所学新知,同时检测学习效果,做到“堂堂清”.活动三: 课堂总结反思【知识网络】提纲挈领,重点突出.【教学反思】①[授课流程反思]在复习回顾的环节中,复习用配方法解一元二次方程,为学习公式法打下基础;在探究新知的环节中,引导学生积极思考,配方的关键是添项,学生能够明确添加的常数项即可突破难点.②[讲授效果反思]重点内容做到重点讲解:(1)用公式法解一元二次方程的步骤;(2)公式的记忆和理解;(3)一元二次方程根的判别式的应用.③[师生互动反思]从学生课堂表现,师生互动分析,学生能够对基本知识进行掌握,同时对根的判别式有一定的了解.④[习题反思]好题题号错题题号反思教学过程和教师表现,进一步优化操作流程和提升自身素质.温馨提示:为满足广大一线教师的不同教学需求,特新增“典案二导学案设计”案例,word 排版,可编辑加工,方便使用.内容详见电子资源.。
21.2.2用公式法求解一元二次方程(教案)
举例2：对于判别式的计算，学生可能会忘记在计算过程中先计算b^2，再减去4ac，或者在计算过程中符号出错。
2.教学难点
-公式法的推导过程理解：学生对公式法的推导过程可能感到难以理解，特别是对根号下的判别式的物理意义。
-判别式的计算与应用：学生在计算判别式时可能会出现错误，以及在根据判别式的值判断解的情况时可能会混淆。
-公式法的适用范围：学生可能不清楚何时应该使用公式法求解一元二次方程，以及何时该方法不适用。
21.2.2用公式法求解一元二次方程（教案）
一、教学内容
本节课选自八年级数学下册第21章第2节“用公式法求解一元二次方程”。教学内容主要包括以下两个方面：
1.公式法求解一元二次方程的基本概念：介绍一元二次方程的标准形式ax^2 + bx + c = 0，以及求解该方程的公式：x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)。
实践活动和小组讨论环节，学生们积极参与，但我也观察到一些小组在讨论时可能会偏离主题。这提醒我在引导讨论时，要更加明确主题，确保讨论的方向和深度。同时，我也发现有些学生在操作实验时，对公式的运用还不够熟练，这说明我们在操作练习上还需要加强。
在学生小组讨论时，我尽量以引导者的身份参与，鼓励学生们发表自己的观点，这有助于培养他们的独立思考能力。但我也发现，部分学生在分享成果时表达不够清晰，这提醒我在今后的教学中，要注重培养学生的表达和交流能力。
五、教学反思
今天的教学中，我发现学生们对一元二次方程的公式法求解表现出很大的兴趣，但也存在一些理解和操作上的难点。在导入新课的时候，通过日常生活中的问题引导学生思考，他们很快就进入了学习状态。但在理论介绍环节，我发现有些学生对标准形式的理解还不够深入，需要通过更多的例子来加强他们的理解。
初中数学教学课件：21.2.2 公式法(人教版九年级上)
x2 x 6.82 102.
即，2x2-13.6x-53.76＝0. 解这个方程,得 x1＝9.6; x2＝-2.8(不合题意,舍去).
∴x-6.8=2.8． 答:门的高是9.6尺,宽是2.8尺.
10
x
x-6.8
通过本课时的学习，需要我们掌握：
1.由配方法解一般形式的一元二次方程 ax2+bx+c=0
∴x b b2 4ac 3 25 3 5
2a
22
4
ห้องสมุดไป่ตู้
即x1=2,x2= 1 . 2
跟踪训练
1、解方程：x2 3 2 3x
【解析】化简为一般式
x2 2 3x 3 0
这里 a=1, b= 2 3 , c= 3. ∵b2 - 4ac=( 2 3 )2 - 4×1×3=0,
x 2
3 21
0
23 2
3,
即：x1= x2= 3
2、解方程：（x-2)(1-3x)=6． 【解析】去括号：x-2-3x2+6x=6
化简为一般式：-3x2+7x-8=0 3x2-7x+8=0
这里 a=3, b=-7, c=8. ∵b2-4ac=(-7)2-4×3×8=49-96=-47<0, ∴原方程没有实数根.
21.2.2 公式法
x b b2 4ac (b2 4ac 0) 2a
1.理解一元二次方程求根公式的推导过程； 2.了解公式法的概念； 3.会熟练应用公式法解一元二次方程．
1、请用配方法解一元二次方程2x2+4x+1=0
2、用配方法解一元二次方程的步骤： （1）把原方程化成 x2+px+q=0的形式；
（x1-1）（x2-1） (1 2 1)(1 2 1) 2 2 2
21.2.2用公式法解一元二次方程
用配方法解一元二次方程的步骤 化：把原方程化成 x2 ＋px＋q = 0 的形式。 移项：把常数项移到方程的右边，如x2＋px =－q。 配方：方程两边都加上一次项系数一半的平方。 p 2 p 2 2 方程右边 x ＋px＋ ( ) = － q＋ ( ) 2 2 是非负数 开方：根据平方根的意义，方程两边开平方。 p 2 p 2 ( x+ ) =－ q ＋ ( ) 2 2 求解：解一元一次方程。 定解：写出原方程的解。
一般地,对于一元二次方程
0时, 它的根是 :
ax2+bx+c=0(a≠0)
b b 2 4ac 2 x . b 4ac 0 . 2a
当 b 2 4 ac 0 时，方程有 实数根吗
上面这个式子称为一元二次方程的求根公式. 用求根公式解一元二次方程的方法称为公式法
练习2
一、填空题
1、关于x的方程x２+2kx+k-１＝0的根的情况是 _______________ 有两个不相等的实数根 2 有两个相等的实数根，则∆ABC为 关于的一元二次方程（a+c）x2+bx+
ac 直角 4
=0 三角形
二、求证:不论a为任何实数,2x2+3(a-1)+a2-4a-7=0 必有两个不相等的实数根.
a 1, b 8, c 17
这里的a、b、 c的值分别是 什么？
△ b2 4ac (8)2 4 117 4＜0
∴方程无实数根。
结论：当 △ b 2 4ac＜0 时，一元二次方程没有 实数根.
用公式法解一元二次方程的一般步骤
1. 将方程化成一般形式，并写出a，b，c 的值。 2. 求出 ∆ 的值。 b b 2 4ac 3. (a)当 ∆ >0 时，代入求根公式 : x 2a 写出一元二次方程的根： x1 = ______ ，x2 = ______ 。 b x x (b)当∆=0时，代入求根公式： 1 2 2a 写出一元二次方程的根： x1 = x2 = ______ 。 (b)当∆<0时，方程无实数根。
21.2.2_公式法
x b
b2
4ac
. b2
4ac
;
0.
7.定解:写出原方程的解
2a
.
用配方法解一般形式的一元二次方程
ax2 bx c 0 (a 0) ∵a 0,4a2 0 当 b2 4ac 0
即
b
b2 4ac
x
2a
2a
特别提醒
b b2 4ac x
b b2 4ac b b2 4ac
2a
2a
b b 2a 2a
b 0
五、师生互动，课堂小结
通过本节课的学习，你有哪些收获和体会？
课后作业
1.布置作业：从教材“习题21.2”中选取。 2.完成状元导练中本课时练习的“课后作业”部分。
解：将x=0代入方程, 得m²+2m-3=0， 解得m1=1，m2=-3, 又∵m-1≠0，即m≠1. 故m的值为-3.
5.解下列方程：
（1）x²+x-6=0； （2）x2 3x 1 0 ；
4
（3）3x²-6x-2=0； （4）4x²-6x=0； （5）x²+4x+8=4x+11； （6）x（2x-4）=5-8x.
3.方程 2x2 4 3x 6 2 0 的根是（ D ）
A. x1 2, x2 3 B. x1 6, x2 2 C.x1 2 2, x2 2 D. x1 x2 6
4.关于x的一元二次方程（m-1）x²+x+m²+2m-3=0有 一个根为0，试求m的值.
2a
一元二次方程 的求根公式
x1 b
b2 2a
21.2.2公式法解一元二次方程(一)
21.2.2公式法解一元二次方程（1）主备人：符后丽 审核：数学备课组 课型：新授课学习目标：1、 掌握用求根公式法解一元二次方程的一般步骤，会用公式法解一元二次方程。
2、 经历求根公式的推导过程，进一步发展逻辑思维能力，体验数学的简洁美。
3、 进一步体会分类、类比、转化、降次的数学思想方法。
学习重点：公式法解一元二次方程学习难点：求根公式的推导过程学习过程：一 复习回顾1、在方程02752=+-x x 中，a= ，b= ，c= 。
2、在方程x x 8172=+中，a= ，b= ，c= 。
3、用配方法解下列方程。
（1）0142=+-x x （2）x x 2132=-二 新知探究1、（探索与思考）用配方法解一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax2、总结与归纳：（1）由上可知，一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 是由系数a 、b 、c 而定，因此，用公式法解一元二次方程的基本步骤是：第一步： 第二步： 第三步：(2) 由上可知，一元二次方程解的个数情况是由ac b 42-决定的。
当ac b 42- 时，有 个 实数根；（=1x =2x ） 当ac b 42- 时，有 个 实数根；（=1x =2x ） 当ac b 42- 时，一元二次方程没有实数根；3、例题讲解（1）0742=--x x （2）012222=+-x x（3）1352+=-x x x （4）x x 8172=+三 巩固练习解下列方程（1）062=-+x x （2）04132=--x x（3）02632=--x x （4）0642=-x x（5）114842+=++x x x （6）x x x 85)42(-=-四 变式训练1、一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的求根公式为 ，用求根公式的前提是 。
2、在方程02752=+-x x 中，a= ，b= ，c= ，=-ac b 42 ，方程的两根为=1x ，=2x 。
《21.2.2 公式法》作业设计方案-初中数学人教版12九年级上册
《公式法》作业设计方案（第一课时）一、作业目标本节课的作业旨在帮助学生巩固公式法的基本概念和应用，加深对公式法公式的理解和记忆，提高运用公式解决实际问题的能力。
二、作业内容1. 书面作业（1）完成教材上的公式法练习题，检验学生对公式的掌握情况。
（2）运用公式法解决一些实际问题，提高解决问题的能力。
（3）对于作业中遇到的问题，做好记录，以便课后向老师请教。
2. 课堂互动（1）小组讨论：分享自己在运用公式法过程中的经验和技巧，共同探讨遇到的问题和解决方法。
（2）教师提问：针对学生在作业中出现的典型错误，进行针对性的讲解和纠正。
三、作业要求1. 独立完成作业，不得抄袭。
2. 认真对待课堂互动，积极参与讨论。
3. 对于作业中遇到的问题，及时向老师请教，寻求帮助。
四、作业评价1. 作业完成情况：根据学生完成作业的正确率、书写规范等方面进行评价。
2. 课堂表现：根据学生在课堂互动中的表现，如参与度、问题回答正确率等方面进行评价。
3. 综合评价：结合以上两个方面，给出学生本次作业的整体评价，以便及时调整教学策略，帮助学生更好地掌握公式法。
五、作业反馈请学生根据自身实际情况，对本次作业进行反馈，包括作业难度、完成情况、存在的问题等方面，以便更好地了解学生的学习情况，为今后的教学提供参考。
同时，也请学生对教师的教学进行评价，提出宝贵意见和建议，共同提高教学质量。
三、作业内容（续）在完成书面作业的过程中，学生需要熟练掌握公式法的基本概念和公式，并能灵活运用公式解决实际问题。
通过解决实际问题，学生可以加深对公式法的理解和记忆，提高运用公式解决实际问题的能力。
在课堂互动环节，小组讨论可以帮助学生分享经验、共同进步，同时教师针对典型错误进行讲解和纠正，可以有效地提高学生的学习效果。
以上就是初中数学课程《公式法》作业设计方案（第一课时）的全部内容。
希望这个方案能够帮助学生更好地掌握公式法，提高数学成绩。
如有任何建议或疑问，请随时向老师咨询，我们将竭诚为你服务。
人教版九年级数学上册：21.2.2 公式法 教学设计
人教版九年级数学上册：21.2.2 公式法教学设计一. 教材分析人教版九年级数学上册第21.2.2节“公式法”是二次函数求解的一部分，主要介绍了公式法在解决二次方程中的应用。
本节内容是在学生已经掌握了二次函数的基本性质和图像的基础上进行讲解的，目的是让学生能够熟练运用公式法求解二次方程，并理解其背后的数学原理。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的数学基础，对于二次函数的概念和图像已经有了一定的了解。
但是，对于公式法在解决二次方程中的应用，学生可能还存在一些困惑，需要通过实例讲解和练习来加深理解。
三. 教学目标1.了解公式法在解决二次方程中的应用。
2.能够熟练运用公式法求解二次方程。
3.理解公式法背后的数学原理。
四. 教学重难点1.重点：公式法在解决二次方程中的应用。
2.难点：理解公式法背后的数学原理。
五. 教学方法采用讲解法、实例分析法、练习法、提问法等，通过引导学生自主探究、合作交流，提高学生对公式法的理解和应用能力。
六. 教学准备1.PPT课件。
2.相关练习题。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过提问方式回顾二次函数的基本性质和图像，引导学生思考如何解决二次方程。
进而引入本节课的主题——公式法。
2.呈现（15分钟）讲解公式法的原理，通过PPT展示公式法的步骤和应用实例。
让学生跟随老师一起动手操作，加深对公式法的理解。
3.操练（15分钟）让学生独立完成一些运用公式法求解二次方程的练习题。
老师巡回指导，解答学生的疑问。
4.巩固（10分钟）通过小组讨论，让学生互相交流解题心得，总结公式法的应用技巧。
5.拓展（10分钟）引导学生思考：公式法在解决二次方程中的局限性是什么？是否存在其他解决方法？如何比较各种方法的优劣？6.小结（5分钟）让学生总结本节课所学的内容，回答问题：什么是公式法？如何运用公式法求解二次方程？公式法背后的数学原理是什么？7.家庭作业（5分钟）布置一些运用公式法求解二次方程的练习题，让学生课后巩固所学知识。
21.2.2_一元二次方程的解法_公式法(2)
要点、考点
1.一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)根的情况： (1)当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根； (2)当Δ=0时，方程有两个相等的实数根； (3)当Δ＜0时，方程无实数根. (4)当Δ≥0时，方程有两个实数根 2.根据根的情况，也可以逆推出Δ的情况，这方面 的知识主要用来求字母取值范围等问题.
Байду номын сангаас
4m 4m 4m 8
2 2
m 2且m 1
课时训练
1.一元二次方程x2+2x+4=0的根的情况 是 ( D ) A.有一个实数根 B.有两个相等的实数根 C.有两个不相等的实数根 D.没有实数根 2.方程x2-3x+1=0的根的情况是( A ) A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D.只有一个实数根 3.下列一元二次方程中，有实数根的是 ( C ) A.x2-x+1=0 C.x2+x-1=0 B.x2-2x+3=0 D.x2+4=0
4.关于x的方程k2x2+(2k-1)x+1=0有实数根，则下列结论 正确的是 ( D ) A.当k=1/2时，方程两根互为相反数 B.当k=0时，方程的根是x=-1 C.当k=±1时，方程两根互为倒数 D.当k≤1/4时，方程有实数根 5. 若关于 x 的一元二次方程 mx2-2x+1=0 有实数根，则 m 的取值范围是 ( D) A.m＜1 B. m＜1且m≠0 C.m≤1 D. m≤1且m≠0
当m-1≠0时，
方程有两个相等的实数根； 方程有两个不相等的实数根；
(3) m为何值时,关于x的一元二次方程 m2x2+(2m+1)x+1=0有两个不等实根？ 解：△=(2m+1)2-4m2
《21.2.2 公式法》教学设计教学反思-2023-2024学年初中数学人教版12九年级上册
《公式法》教学设计方案（第一课时）一、教学目标1. 掌握公式法概念及基本步骤。
2. 能够运用公式法计算公式涉及的数学问题。
3. 培养学生对公式法的理解和应用能力。
二、教学重难点1. 教学重点：理解公式法概念，掌握公式法基本步骤。
2. 教学难点：运用公式法解决实际问题，理解公式的适用范围和条件。
三、教学准备1. 准备教学用具：黑板、白板、笔、几何图形工具等。
2. 准备教学资料：相关例题、练习题及拓展资料。
3. 设计教学流程：导入、讲解、示范、练习、反馈等环节。
4. 确定教学方法：采用互动式、案例式等教学方法，注重学生参与和实践。
四、教学过程：本节课的教学对象是八年级学生，他们已经掌握了一定的基础知识，有了一定的逻辑推理能力。
为了提高他们的学习兴趣和自信心，本节课将采用讲授、演示、探究、练习等多种教学方法，以引导学生自主探究，动手实践，合作交流。
1. 导入新课：通过回顾上一节课的内容，引入本节课的主题——公式法。
让学生明确学习目标，即掌握公式的概念、公式的形式、公式的适用范围等。
2. 讲授新课：通过演示和讲解，让学生逐步理解公式的概念和形式。
可以通过一些简单的例子，让学生自己总结公式的适用范围，并加以巩固。
3. 探究活动：将学生分成若干小组，进行探究活动。
可以设置一些实际问题，让学生运用所学知识解决，以加深对公式的理解和应用。
4. 课堂练习：通过练习题，让学生巩固所学知识，并发现自己的不足之处。
教师及时给予指导，帮助学生解决问题。
5. 课堂小结：引导学生回顾本节课的主要内容，总结公式的概念、形式、适用范围等。
同时，鼓励学生交流学习心得，分享学习经验。
6. 布置作业：针对本节课的内容，布置一些相关练习题，让学生在家中继续巩固和深化所学知识。
在整个教学过程中，要注重学生的主体地位，发挥学生的主动性，培养他们的探究精神和合作意识。
同时，教师也要发挥主导作用，适时引导和启发学生，关注学生的表现和反应，及时调整教学策略，确保教学效果。
21.2.2 解一元二次方程(2)公式法
2 2
b b 2 4ac x 2a 4 256 4 16 28 . 25 10 5
6 x1 ; x 2 2. 5
2015年11月24日星期二
江西师大附中滨江校区
2
2 2
你能用配方法解方程
ax2+bx+c=0(a≠0)吗?
1.化1:把二次项系数化为1; 2.移项:把常数项移到方程的右边; 3.配方:方程两边都加上一次项 系数一半的平方; 4.开方:根据平方根意义, 方程两边开平方;
b b 4ac . x 2 2a 4a 5.求解:解一元一次方程; 2 当 b 4 ac 0时, b b 2 4ac x . 2a 2a b b 2 4ac 2 x . b 4ac 0 . 2a
2
2
.
2015年11月24日星期二
江西师大附中滨江校区
用公式法解一元二次方程的一般步骤：
b c 的值。 1、把方程化成一般形式，并写出 a、、
2、求出 b 4ac 的值，
2
特别注意:当
b 4ac 0
2
时无解
2
b b 4ac 3、代入求根公式 : x 2a
x2 4、写出方程的解 3 x
2
b b2 4ac x 2a
解：
化简为一般式：x 2 3 x 3 0
2
这里 a 1、 b= - 2 3、 c= 3
=b 4ac （ 2 3） 4 1 3 0
2 2
b b 4ac （-2 3） 0 2 3 x = 3 2a 21 2
21.2.2 公式法
6.无论p取何值，方程(x-3)(x-2)-p2=0总有两个不等
的实数根吗？给出你的答案并说明理由. 解：方程化简为x2-5x+6-p2=0
∴b2-4ac=(-5)2-4×1×(6-p2)=4p2+1≥1,
∴Δ>0
∴无论p取何值，方程(x-3)(x-2)-p2=0总有两
个不等的实数根.
课堂小结
公 式 法 ห้องสมุดไป่ตู้求根公式 解一元二次 方程的方法 求根公式
(b2－4ac≥0)
b b2 4ac x 2a
当b2－4ac>0时，方程有两个不等的实数根； 一元二次方程根的 判别式Δ= b2－4ac 当b2－4ac=0时，方程有两个相等的实数根； 当b2－4ac<0时，方程无实数根.
课后作业 1.从课后习题中选取；
2.完成练习册本课时的习题。
教学反思
推进新课
知识点1 一元二次方程根的判别式
任何一个一元二次方程都可以写成一般形式 ax2+bx+c=0(a≠0) 能否也用配方法得出它的解呢？
ax2+bx+c=0(a≠0)
b c 二次项系数化为1，得 x x a a
2
b b 2 c b 2 配方，得 x x ( ) ( ) a 2a a 2a
( 4) 36 4 6 2 5 10 1 x1 1, x2 5
思考：说说运用公式法解一元二次方程的一般步骤， 有哪些易错点？ 步骤：先将方程化一般形式，确定a,b,c的值； 计算判别式，Δ=b2-4ac的值，判断方程是否有解； 若Δ≥0，利用求根公式计算方程的根， 若Δ<0，方程无实数根. 易错点：计算Δ时，注意a,b,c符号的问题.
21.2.2 公式法课件
方程两边都除以 a，得
x2 b x c
a
a
配方，得
x2
b a
x
b 2a
2
c a
b 2a
2
即
x
b 2a
2
b2 4ac 4a 2
探究新知
用公式法解一般形式的一元二次方程
ax2 bx c 0 (a 0)
解： a 0, 4a2 0 当 b2 4ac ≥ 0
解：a=2，b=-（4m+1），c=2m2-1
b2-4ac=〔-（4m+1）〕2-4×2（2m2-1）=8m+9
（1）若方程有两个不相等的实数根，则b2-4ac ＞0，即8m+9＞0 ∴m＞ 9
（2）若方程有两个相等的实数根，则b2-4ac=0即8m+9=0 ∴m= （3）若方程没有实数根，则b2-4ac＜0即8m+9＜0 ∴m＜ 9
当 b2 4ac 0 时，将a，
b，c 代入式子
b b2 4ac x
，就得到方程的根，这个式子叫做一元
2a
二次方程的求根公式，利用它解一元二次方程的方法叫做公式当法b，-4由ac求<根0
公式可知，一元二次方程最多有两个实数根.
时，方程有实数 根吗
探究新知
素养考点 1 公式法解方程
x2
b ; 2a
（3）当b2-4ac<0时，没有实数根.
一般的，式子 b2-4ac 叫做一元二次方程根的判别式，通 常用希腊字母“∆”来表示，即∆＝b2-4ac
探究新知
21.2.2+解一元一次方程(公式法)-【高效课堂】2023-2024学年九年级数学上册同步精品课件
新知探究
用配方法解一般形式的一元二次方程
ax2+bx+c=0 (a≠0).
解: 移项，得 ax2 bx c，
方程两边都除以a x2 b x c ，
a
a
配方，得
x2
b a
x
b 2a
2
c a
b 2a
2
.
即
x
b 2a
2
b2 4ac 4a 2
.
新知探究
∵a ≠0,4a2>0，式子b2-4ac 的值有以下三种情况：
巩固练习
2.用公式法解方程：2x2＋1＝－2x. 2
解：方程化为 2x2＋2x＋21＝0. a＝2，b＝2，c＝12. Δ＝b2－4ac＝22－4×2×12＝0. 方程有两个相等的实数根 x1＝x2＝－2ba＝－2×2 2＝－12.
巩固练习
3.用公式法解方程：2x2－ 5x＋1＝0.
解：a＝2，b＝－ 5，c＝1. Δ＝b2－4ac＝(－ 5)2－4×2×1＝－3＜0. 方程无实数根．
⑴b2-4ac＞ 0 b2 4ac ＞0，
这时 4a2
即
b
b2 4ac
x
.
2a
2a
x b
b2 4ac .
2a
方程有两个不相等实 数根
新知探究
⑵b2-4ac=0 这时 b2 4ac 0，
4a 2
x1=x2=-
b 2a
方程有两个相等实数 根
新知探究
（3）b2-4ac ＜0时，
x
b 2a
第21章
一元二次方程
21.2.2 解一元一次方程（公式法）
教学目标/Teaching aims
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特别注意:当 b2 4ac 0 时,方程无实数解;
当b2 4ac 0时,一元二次方程才有实数根.
3、代入求根公式 : x b b2 4ac 2a
4、写出方程的解： x1、x2
用配方法解方程 ax2+bx+c=0(a≠0)
解 : x2 b x c 0.
.边系;3数.配绝方对:值方一程半两的边平都方加;上一次项
x
b 2a
2
b2 4ac 4a2
.
4.变形:方程左分解因式, 右边合并同类;
将方程ax2+bx+c=0(a≠0)配方得：
x
b 2a
2
b2 4ac 4a2
.
此时
2、一元二次方程根的判别式 由根的判别式____Δ_＝__b_2_－__4_a_c___的值可以直接去判断方程 根的个数情况，而不用求解方程：
1.化1:把二次项系数化为1;
x2
x2
b c
.
a2
b 2a
2
c a
2.移项:把常数项移到方程的右
.边系;3数.配绝方对:值方一程半两的边平都方加;上一次项
x
b 2a
2
b2 4ac 4a2
.
4.变形:方程左分解因式, 右边合并同类;
当b2 4ac 0时,
(mx n)2 p
当p ≥0时可以直接开方降次得：
mx+n=
当p <0时，方程无实根.
用配方法解方程 ax2+bx+c=0(a≠0)
解 : x2 b x c 0.
1.化1:把二次项系数化为1;
x2
x2
b a
b
a x
a
x b
2a
ac
.
a2
b 2a
2
c a
2.移项:把常数项移到方程的右
2．用公式法解方程：
5x2－8＝－2x. 解：原方程可化为 5x2＋2x－8＝0. ∵a＝5，b＝2，c＝－8， ∴b2－4ac＝22－4×5×(－8)＝164>0.
∴x＝－22±×5164＝－1±5
41 .
∴x1＝－1＋5
41，x2＝－1－5
41 .
用公式法解一元二次方程的一般步骤： 1、把方程化成一般形式，并写出 a、b、c 的值。
b
b2 4ac
x
.
5.开方:根据平方根意义, 方程两边开平方;
2a
2a
6.求解:解一元一次方程
x b b2 4ac . b2 4ac 0 .
;7.定解:写出原方程的解 .
当Δ＝b2－4ac＞0 时，方程__有__两__个__不__相__等__的__实__数__根______； 当Δ＝b2－4ac＝0 时，方程__有__两__个__相__等__的__实__数__根________； 当Δ＝b2－4ac＜0 时，方程__没__有__实__数__根________________．