第81节(齐次方程的分离变量法)
分离变量法
第二章 分离变量法一 齐次偏微分方程的分离变量法1 有界弦的自由振动（1） 考虑两端固定的弦振动方程的混合问题⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧====><<∂∂=∂∂==)(|),(|0),(),0(0,0,01022222x u x u t l u t u t l x x u a t u t t φϕ ① 这个定解的特点是：偏微分方程是齐次的，边界条件是齐次的。
求解这样的方程可用叠加原理。
类似于常微分方程通解的求法先求出其所有线性无关的特解，通过叠加求定解问题的解。
所谓),(t x u 具有分离变量的形式，即)()(),(t T x X t x u =把)()(),(t T x X t x u =带入方程①中，可得到常微分方程定解为：),(t x u ＝∑∞=1),(n n t x u ＝l x n l t an D l t an C n n n πππ∑∞=+1sin )sin cos (其中：⎰=l n dx l x n x l C 0sin )(2πϕ，⎰=l n dx lx n x an D 0sin )(2πφπ 2离变量法的解题步骤可以分成三步：(一) 首先将偏微分方程的定解问题通过分离变量转化为常微分方程的定解问题。
(二) 确定特征值与特征函数。
(三) 求出特征值和特征函数后，再解其它的常微分方程，将所得的解与同一特征值报骊应的特征函数相乘得到所有分离变量的特解。
3 有限长杆上的热传导设有一均匀细杆，长为l ，比热为c ，热传导系数为k ，杆的侧面是绝缘的，在杆的一端温度保持为0度，另一端杆的热量自由散发到周围温度是0的介质中，杆与介质的热交换系数为0k ，已知杆上的初温分布为)(x ϕ，求杆上温度的变化规律，也就是要考虑下列问题：0,0,22222><<∂∂=∂∂t l x xu a t u (2.18) 0),(,0),0(=+∂∂=t l hu xt l u t u ），（ (2.19) )()0,(x x u ϕ= (2.20) 其中ρc k a =2，00>=k k h注意到此定解问题中方程和边界条件均是齐次的，因此仍用分离变量法来求解。
分离变量法
分离变量法分离变量法又称Fourier 级数方法，而在波动方程情形也称为驻波法。
它是解决数学物理方程定解问题中的一种基本方法，这个方法建立在叠加原理的基础上，其基本出发点是物理学中的机械振动或电磁振动总可分解为一些简谐振动的叠加。
思想：把偏微分方程的求解问题转化为常微分方程的求解。
常微分方程求解：()()()()()P x dx P x dx P x dx y x Ce e Q x e dx−−∫∫∫=+∫一阶非齐次的常微分方程：()(),dy P x y Q x dx+=它的通解为二阶非齐次的常微分方程：()()()y P x y Q x y f x ′′′++=它的通解为21112212()y f y f y x C y C y y dx y dx W W=+−+∫∫其中1212,0.,y y W y y =≠′′12()()0.y P x y y Q x y y ′′′++=两个线性是无关的解和并且常系数齐次的常微分方程：0y py qy ′′′++=它的特征方程20r pr q ++=，假设特征方程的根为12.r r ，(1)特征方程有两个不等的实根:齐次方程通解为：12.r x r xy Ae Be =+(2)特征方程有两个相等的实根:(3)特征方程有一对共轭的复根:12,,r i r i αβαβ=+=−齐次方程通解为()(cos sin ).xy x e A x B x αββ=+1().r xy A Bx e =+第一节有界弦的自由振动22222,(0,),0(,0)(),(,0)(),[0,](0,)(,)0,0t u u a x l t t x u x x u x x x l u t u l t t ϕψ⎧∂∂=∈>⎪∂∂⎪⎪==∈⎨⎪==≥⎪⎪⎩一根长为l 的弦，两端固定，给定初始位移和速度，在没有强迫外力作用下的振动.物理解释：•求解的基本步骤2XT a X T′′′′=第一步：求满足齐次方程和齐次边界条件的变量分离形式的解(,)()()u x t X x T t =把分离形式的解代入方程可得即2()()()()T t X x a T t X x ′′′′=以及上述等式左端是t 的函数，右端是x 的函数，由此可得两端只能是常数，记为()()0(0)()0X x X x X X l λ′′+=⎧⎨==⎩X (x ):2()()0T t a T t λ′′+=T (t ):固有值问题(0)()()()0X T t X l T t ==.λ−从而有情形(A)下对λ的三种情况讨论固有值问题：0λ<(),x x X x AeBe λλ−−−=+0,A B +=其通解为代入边界条件可得0l l Ae Be λλ−−−+=0A B ==只有零解。
8.1齐次方程的分离变数法
例2：单簧管是直径均匀的细管，一端封闭而另一端开放， 试求管内空气柱的本征振动。 2 utt a u xx 0 定解问题： u ( x, t ) x 0 0, u x ( x, t ) x l 0
代入本征条件：X (0) C1 C2 0 C1 0 X ( x) 0 无意义 X (l ) C1e l C2e l 0 C2 0 u ( x, t ) 0 0时方程无解。 (2) 0：X ''( x) 0 X ( x) C x C 1 2
n a n a n x t Bn sin t )sin l l l 由于任一个解un(x,t )均不满足初始条件。要得到满足初始条件的解， 已得到一般解：un ( x, t ) X n ( x)Tn (t ) ( An cos 必须将这些本征振动进行线性叠加。其和记为u(x,t ),即： n a n a n x u(x,t )= un ( x, t ) ( An cos t Bn sin t )sin l l l n 1 n 1
n 2 2 除非：C2 0, 只有sin l 0 l n 特征值n 2 , n 1, 2,3,... l n x 相应的本征函数为：X n ( x) Cn sin , Cn为任意常数 l n2 2 a 2 关于T(t )的常微分方程：Tn ''(t ) Tn (t ) 0 2 l n a n a Tn (t ) An cos t Bn sin t l l n a n a n x 由此得一般解：un ( x, t ) X n ( x)Tn (t ) ( An cos t Bn sin t ) sin l l l n为正整数，每一个n对应一种驻波。也称为本征振动，有无穷个本征振动
数学物理方程的分离变量法
数学物理方程的分离变量法
分离变量法是一种常用的解决物理或数学模型方程的技术。
它是将
模型方程所包含的未知变量首先分离成独立的未知函数，然后根据模
型方程本身和这些未知函数之间的关系，求解较为直接的方法，可以
用于数学物理中的很多复杂方程。
通过分离变量法可以将所有方程分解成几个相对简单的子问题，而不
是把一个整体问题分解成数学上的一个大问题，减少计算量，提高程
序的运行效率。
在复杂的物理力学方程模型中，可以利用分离变量法
来进行解算，由于它可以把复杂的方程分解成若干简单的子问题来解决，这样可以大大减少计算量和运算时间。
此外，分离变量法还可以用来求解波动方程和热传导方程等模型，其
可以把复杂的非线性变换转换成一系列的边界值问题，这可以很好地
帮助研究者解决非线性系统的特征问题。
总之，分离变量法是用来解决数学物理模型方程的一种高效的方法，
它可以用来解决线性的和非线性的方程，它可以把复杂的模型分解成
若干相对简单的子问题，从而大大减少计算量，提高程序的运行效率，而且它也可以用来求解波动方程和热传导方程，帮助研究者解决非线
性系统的特征问题。
因此，分离变量法在数学物理学中具有重要的作用。
分离变量法
4、通解：
u( x, t )
n 1
na na n [ An cos t Bn sin t ] sin x l l l
5 、由广义傅立叶级数展开法确定方程中的系数：
u |t 0 ( x)
则有
ut |t 0 ( x)
nx An sin l ( x ) n1 (0 x l ) na nx Bn l sin l ( x) n1
2
2
k cos x l
§2
非齐次振动方程
一、傅立叶级数法
基本思路：
utt a 2u xx f ( x, t ) 对于定解问题： u | x 0 0, u | x l 0 u | ( x), u | ( x) t t 0 t 0
utt a 2 uxx f ( x, t ) u x 0 0, u x l 0 u ( x ), ut ( x) t 0 t 0
n x f n ( t ) sin l
(5)、整理方程给出Tn (t ) 满足的常微分方程 2 n 2
T "n (t ) a (
l ) Tn ( t ) = f n (t )
（6） 、解出关于 Tn (t ) 的常微分方程，得到 Tn (t ) 形式
（7） 、代入 u(x,t)=
n 1
端温度为u0，杆上温度梯度均匀，零度的一端保持温度不
变，另一端跟外界绝热，试求杆上温度的变化。
解：杆上温度 u( x, t ) 满足下列方程，定解条件
ut a 2u xx 0(a 2 k / c )(0 x l )
欧拉公式和齐次微分方程分离变量法
题目：欧拉公式和齐次微分方程分离变量法一、概述欧拉公式是数学中著名的公式之一，它建立了数学中三大常数e、π和i之间的通联，对数学、物理等领域都有着广泛的应用。
而齐次微分方程分离变量法是微分方程中的一种解法，通过将方程中的变量分离，可以求得微分方程的解。
二、欧拉公式1. 欧拉公式的定义欧拉公式是数学中的一个重要公式，它可以表示为：e^(iπ) + 1 = 0这个公式将自然对数e、圆周率π和虚数单位i通联在了一起，展现出了数学上的美妙和神秘。
2. 欧拉公式的意义和应用欧拉公式不仅仅是一种数学上的奇特关系，它还在物理学、工程学、电子学等领域有着广泛的应用。
在量子力学中，欧拉公式是描述波函数的基本公式之一；在信号处理中，欧拉公式可用于分析和合成信号；在控制理论中，欧拉公式可以用于复频域控制系统分析等方面。
三、齐次微分方程分离变量法1. 齐次微分方程的定义齐次微分方程是指方程中只含有未知函数及其导数，不含有自变量的微分方程。
齐次微分方程通常具有以下形式：M(x, y)dx + N(x, y)dy = 0其中M(x, y)和N(x, y)是同次齐次函数。
2. 分离变量法的基本思想分离变量法是求解微分方程的一种常用方法，它的基本思想是将微分方程中的变量分离开来，从而可以对两边进行分别积分，最终得到微分方程的解。
3. 分离变量法的具体步骤（1）对微分方程进行整理，将含有y的项移到一侧，含有x的项移到另一侧；（2）对两边同时进行积分，将变量分离；（3）对两边分别积分，得到微分方程的解。
四、欧拉公式和齐次微分方程分离变量法的关联1. 欧拉公式与常微分方程欧拉公式在常微分方程的解法中有着重要的意义，通过欧拉公式可以导出常微分方程的解，对于一些复杂的微分方程，欧拉公式可以提供一种简单的解法。
2. 分离变量法与欧拉公式的结合在一些特殊的微分方程中，可以应用欧拉公式来进行变换，从而使得微分方程能够更容易地求解。
通过结合欧拉公式和分离变量法，可以解决一些复杂的微分方程问题。
齐次方程分离变量法举例
带入条件得
C1 = 0
λx + C2 sin λx
λl = (k +1/ 2)π
C2 cos λl = 0
cos λl = 0
所以，本征值和本征函数分别为 (k + 1 )π (k + 1 )2π 2 2 x 2 X (x) = C2 sin λ= l l2
二阶常系数齐次线性微分方程
X (0) = 0
ut − a uxx = 0
2
( 0<x<l )
u x=0 = 0 ux x=l = 0
u t=0 = u0x / l
提示
泛定方程和边界条件都是齐次的，可以用分离变量法。
ut − a2uxx = 0
解 第一步：分离变量
u x=0 = 0
ux x=l = 0
u t=0 = u0 x / l
u(x,t)=X(x)T(t)
2 l nπ Bn = ∫0ψ(ξ))dξ 0 l 0 1 l B0 = ∫ ψ (ξ )dξ l 0
注
解u(x,t)正是傅氏余弦级数.这是在x=0和x=l处的第二类齐次 边界条件决定的.
区间两端为混合齐次边界条件的例题. 区间两端为混合齐次边界条件的例题 例2 研究细杆导热问题, 其定解问题：
X (x) = C0 为任意常数
二阶常系数齐次线性微分方程
X ′(0) = 0
X ′(l) = 0
特征方程为 2 + λ = 0； ∆ = −4λ k 其
（1） （2） （3）
提示 方程的解是 X (x) = C cos λx + C2 sin λx 1
得到无意义的解 X(x)≡0. 被排除 本征函数 X (x) = C0
山东大学工科研究生数学物理方法class9第8.1.2Laplace方程矩形域(齐次方程的分离变量法)
将本征值代入（2）可得： 分离解为： vn ( x, y ) ( An e
n y a
Y ( y) Ae a Be
Bn e
n y a
y
n y a
叠加即得一般解：v( x, y) ( An e
n 1
n y a
n ) sin x a
n y a
Bn e
n ) sin x a
mx ny u ( x, y, z ) Z n ( z )sin sin a a m, n 1
Z ( z) mn Zmn ( z) 0
'' mn
mn
m 2 n 2 ( ) ( ) a a
Z mn (a) 0
Zmn ( z) amnch mn (a z ) ) u0 v( x, y) 把原来的温度U0作为新
的温标v（x，y）的零点，代入泛定方程和边界条件可得：
vxx u yy 0 v |x 0 0, v |x a 0 v | y 0 0, v | y b U u0
分离变数令：
v( x, t ) X ( x)Y ( y)
代入上述泛定方程和齐次边界条件，可得X和Y的常微分方程 5
和X的边界条件：
X X 0 X (0) 0, X (a) 0
（1）
Y Y 0 （2）
则显然（1）构成本征值问题，可得本征值为：
n 2 2 2 , (n 1,2,3...) a n 本征函数为： X ( x) C sin x, (n 1,2,3...) a n
解横截面上的稳定温度分布u（x，y），即定解问题：
u xx u yy 0 u |x 0 u0 , u |x a u0 , (0 y b) u | y 0 u0 , u | y b U , (0 x a)
齐次式常见处理方法
齐次式常见处理方法
在数学中，齐次方程是一个等式，其中所有项的次数都是相同的。
齐次方程可以通过一些常见的处理方法进行求解。
1. 分离变量法：将齐次方程转化为可分离变量的形式，然后对两边求积分，最后解出方程的特解。
2. 代入新变量法：通过引入新的变量，将齐次方程转化为一阶线性方程，然后使用常规的线性方程求解方法求解。
3. 特征方程法：对齐次方程建立特征方程，再解特征方程，得到特征值，然后利用特征值和对应的特征向量来表示通解。
4. 幂级数法：假设齐次方程的解可以用幂级数表示，然后通过代入系数得到满足条件的递推关系，最后求出齐次方程的通解。
5. 矩阵法：将齐次方程转化为矩阵方程，然后求解出矩阵的特征值和特征向量，再将特征向量代入矩阵方程中，得到齐次方程的通解。
这些处理方法在不同的情况下会有不同的适用性，需要根据具体的齐次方程选择合适的处理方法。
齐次方程的分离变数法
令
u(x,t)=X(x)T(t)
X X 0 X (0) X (l ) 0
①
T a 2T 0
②
(1)λ ≤0，只能得X(x)≡0。 (2)λ >0，解得
X ( x) C1 cos x C2 sin x 由边界条件
C1 0 C2 cos l 0
(2k 1)a (2k 1)a (2k 1) uk ( x，t ) Ak cos t Bk sin t sin x 2l 2l 2l
单簧管发出的声音只有奇次谐音而没有偶次谐音， 从而构成它特有的音色。 对本例的定解条件，由 ux 0 ，可将区间(0,l)延 x l 拓到区间(0,2l)上。延拓后条件为
X ( x) C1 cos x C2 sin x
由 X (0) 0，X (l ) 0
C1 0 C2 sin l 0
显然C2≠0，必须 sin l 0 ，则
本征值
l n n 2 2
l
2
(n为正整数) ⑤ ⑥
(n 1 ， 2， ...)
例：单簧管是直径均匀的细管，一端封闭，另一端 开放，试求管内空气柱的本征振动(可以不提初始 条件)。 解： utt a 2u xx 0 令 u(x,t)=X(x)T(t)
u x 0 0 u x x l 0
得 T a 2T 0
X X 0 X (0) X (l ) 0
(0 x l )
(第二类齐次边界条件) 解：根据边界条件的特点，尝试解
n u( x，t ) Tn (t ) cos x l n 0 2 2 n 2 T a T 0 2 l
数理方程分离变量法
nx nat nat u( x, t ) ( An cos Bn sin ) sin l l l n 1
现在要求出叠加系数 An和 Bn 满足初始条件
u
ut
t 0
( x)
t 0
( x)
0 x l
n a n ut ( x, 0) Bn sin x ( x) l l n 1
2 2
得固有值：
n n 2 a
(n 1,2,.....)
n x 固有函数： X ( x) sin n a
而 于是有
(n 1,2,.....)
Yn ( y ) An e
un ( x, y) ( An e
n y a
n y a
Bne
n y a
n y a
Bn e
叠加得
n x )sin a
n x )sin a
u( x, y) (An e
n 1
n y a Bnen Nhomakorabea y a
为确定叠加系数，将 u ( x,
y)
代入非齐次边界条件
n x ( An Bn ) sin a u0 n 1 n n b b ( A e a B e a ) sin n x U n n a n 1
T X " 2 aT X
2 T a T 0
X " X 0
n ( (2n2l1) )2 , n 1,2,
X n sin (2n2l1) x,
固有 值 （特 征值） 问题
Tn (t ) Cne
(2 n 1)2 2 a 2 4l 2
8-1齐次方程的分离变量法
un
x, t
Cn
cos
n at l
Dn
sin
n at l
sin
n l
x
,
n
1,
2,
3
这样的特解的线性叠加即为方程①的一般解
u x,t
n 1
Cn
cos
n at l
Dn
sin
n at l
sin
n l
x,n
1, 2,3
③
评述：关于特解和一般解，是一个概念性的问题. 实际上，从上面的解题步骤来看，我们得
（2）λ>0 ，则方程（a）通解为 X x Asin x B cos x 代入边界（b）可得：
B=0， Asin l 0 因为 A 0 （若 A=0，又得到零解），
l n , n 1, 2,3
即
n
n l
2
,n
1, 2,3
相应的本征函数为
X
n
x
sin
n l
x
物理上，n=1 对应的是第一谐波（基波），n=2 叫第二谐波，n=3 叫第三谐波……
数学物理方法
齐次方程的解法
丁成祥
§8.1 齐次方程的分离变量法
授课要点：分离变量法的具体方法，本征函数的正交性 “先求微分方程的通解，再由定解条件定出具体问题的解”，这样的思路，在大多数情况
是行不通的. 本节课的目的就是要通过两端固定的弦的自由振动”问题的求解来阐述分离变 量法的基本技巧.
定解问题
x 0
n 0,
Xn Xn
x 0(5.1) l 0(5.2)
，
X m" Xm
x 0
m X m 0, X m
第八章分离变数(傅里叶级数)法
u( x,t ) 2π 2π = sin( x ) cos( at ) = X ( x ) T (t ) 2A λ λ
t = T/2
4
两端固定弦的自由振动： 泛定方程 utt − a u xx = 0, (0 < x < l ) (8.1.1) u |x =l = 0 (8.1.2) 边界条件 u |x =0 = 0, 初始条件 u |t =0 = ϕ ( x ), ut |t =0 = ψ ( x ) (8.1.3)
2.波节：振动中始终不动的点
sin kn x = 0
kl x = , ( k = 0, 1, 2, L , n ) n
nπ nπ kl , kn x = x = kπ , x = kn = l l n 波腹： |un(x,t)| 极大点
sin kn x = 1
1 ( k + )l 2 , ( k = 0,1,2, L n − 1) x= n
2
求解步骤如下：
第一步：泛定方程的分离变量 考虑如下驻波形式的特解： u( x, t ) = X ( x ) T (t ) (8.1.4) 代入方程（8.1.1）： 2 XT "−a X " T = 0 两边同除 a XT
2
T" X" = 2 a T X
分析：左边：x 的函数；右边 t 的函数， 而 x 和 t 是独立变量，故只有两边为同一常数 (-λ)。
第八章
分离变量（傅里叶级数）法
§8.1 齐次方程的分离变量法 (一) 分离变数法介绍 常微分方程：求出通解，然后由初始条件或边界 条件确定待定常数； 偏微分方程：求通解较困难，求得通解定解亦难， 因通解中含有任意函数。因此直接求满足定 解条件的特解。 分离变量法的基本思想：将解偏微的问题化为解 常微分的问题 偏微分方程 的定解问题 分离变量 常微分方程
8.1齐次方程分离变数法(白底)
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波腹
T (t )
波节
X ( x)
波腹
波节
L=n
λ
2
y1 = A cos(ω t − kx ) y2 = A cos(ω t + kx )
y = y1 + y2 = 2 A cos( kx ) ⋅ cos ω t = A '( x ) ⋅ cos ω t
(2)λ = 0：X ''( x ) = 0 ⇒ X ( x ) = C1 x + C 2
⎧ C1 0 + C 2 = 0 ⎨ ⎩ C1 l + C 2 = 0 ⎧C 2 = 0 ⇒⎨ ⎩ C1 = 0
⇒ X ( x) ≡ 0
⇒ u( x , t ) ≡ 0
∴λ = 0
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∞
Bn =
l nπ a
ψn =
nπ a ∫0
2
l
ψ ( x )sin
nπ x dx l
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×
∑
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⎧ utt − a 2 uxx = 0 (1) ⎪ (2) (0 < x < l ) ⎨ u( x , t ) x = 0 = 0, u( x , t ) x = l = 0 ⎪ ⎩ u( x , t ) t = 0 = ϕ ( x ), ut ( x , t ) t = 0 = ψ ( x ) (3)
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齐次方程分离变量法举例
分离变量法在数学、物理、工程等领域有广泛的应用，是一种非常重 要的数学工具。
未来研究方向
01 02 03 04
进一步研究分离变量法的理论和应用，包括如何选择合适的变量分离 方式、如何处理非齐次方程等问题。
探讨分离变量法与其他数学方法的结合，以解决更复杂的偏微分方程 问题。
将分离变量法应用于实际问题中，如流体动力学、电磁学等领域，以 促进数学与实际应用的结合。
02
齐次方程分离变量法的基本概念
定义与性质
定义
分离变量法是一种求解偏微分方程的 方法，通过将方程中的变量分离，将 其转化为多个常微分方程，从而简化 求解过程。
性质
分离变量法适用于具有某种对称性的 偏微分方程，如圆对称或轴对称等， 能够将复杂的偏微分方程转化为多个 常微分方程，从而简化求解过程。
分离变量法的步骤
04
结论
方法总结
01
分离变量法是一种求解偏微分方程的重要方法，通过将方程中的变量 分离，将其转化为多个常微分方程，从而简化求解过程。
02
在齐次方程中，分离变量法可以有效地将方程转化为多个常微分方程， 这些方程的解可以通过积分得到。
03
在应用分离变量法时，需要注意选择合适的变量分离方式，以确保得 到的常微分方程是可解的。
一维齐次方程是分离变量法的最简单形式， 通过将方程转化为常微分方程来求解。
详细描述
一维齐次方程的一般形式为 (y' = f(x)y' = f(x)y′=f(x))，其中 (f(x)) 是已知函数。为了求
解该方程，我们首先尝试分离变量，即找到 一个函数 (u(x)) 使得 (yu' = f(x))。然后，将 这个函数代入原方程，得到一个常微分方程 (u' = frac{f(x)}{y})。最后，解这个常微分方
24讲1-2 齐次方程的分离变量法
研究思路：方程的自变量可以相互分开，从而把偏微分方程分 解为若干个常微分方程，其中某些常微分方程可以和附加条件构 成本征值问题。 本章主要讨论本征函数为三角函数的本征值问题。 §8.1 齐次方程的分离变量法 本节主要内容： 1、本征值和本征函数 2、波动和输运问题在9种边界条件下的变量分离 3、二维稳定场问题的变量分离及线性叠加方法 4、自然周期条件和自然边界条件
从而可得到波动方程通解u(x,t)的表达式。 同理，也可用直接展开法求通解。 说明：波动问题的第二类齐次边界表明两界面处的相对伸长量 为0，即两个端面是自由，因此受力振动时，介质还有水平位 移 u0=A0+B0t。
②Ⅰ+Ⅱ类齐次边界条件，如 u x0 0 ux 该讨论见下面的输运问题。 二、输运问题 ①Ⅰ+Ⅱ类齐次边界问题：
l 比较系数得： An an 2 ( ) sin n d , l 0 l l 2 l n Bn bn 0 ( ) sin l d . n a n a
从而可得到通解的表达式。
5、直接展开法 通常，任何连续函数都可延展为傅里叶级数，因此可以把波动 方程的解令为满足边界条件的傅里叶级数形式。该题可令为 n u ( x, t ) Tn (t ) sin x. l n 1 n 2 2 将此解代入波动方程化简得：Tn a 2 2 Tn 0. l 解之得： Tn (t ) An cos n a t Bn sin n a t. l l n a n a n 故u ( x, t ) An cos t Bn sin t sin x. l l l n 1
X 0 ( x) C0 (常数)；
故波动方程通解为：
分离变量法求解齐次方程和齐次边界的拉普拉斯方程的边值问题 2
的通解为
利用叠加原理，得
令
代入边界条件，得
由傅里叶级数知
因此解得
题目3：解第一边值问题
分离变量 代入泛定方程得
由边值问题 得
对应的特征值和特征函数为
此时式 变为
其通解为
利用叠加原理得方程的解为
由非齐次边界条件得
由此可得
则
带入原方程得所求解为
题目4：解Neumann问题
解：应用分离变量法，设
由边界条件（2）得 ，这样就得到边值问题
固有值及固有函数为
将 代入另一个常微分方程 求得它的通解为
这样就得到方程（1）满足边界条件（2）的一系列特解
由于方程（1）和边界条件（2）都是线性齐次的，因而函数
依然满足原方程，应用边界条件（3）和傅里叶系数公式得
求得
参考文献：
第一段题目1改自[例4.2.5, P96]；
其中 .
下面给出Байду номын сангаас述等式的证明。
从上式得到的公式
于是
，
对上式两端积分
.
则有
将（4）应用到（3）中去，有
.
这就是圆域上Neumann内问题的解
●2. 解三维齐次方程的拉普拉斯方程的边值问题：
考虑立方体内的稳态温度分布问题
设u(x,y,z)=X(x)Y(y)Z(z),
代入方程得
两边同除XYZ得
因为右边是Z的函数，左边是x,y的函数，若两边相等，必须有
分离变量法求解齐次方程和齐次边界条件
的拉普拉斯方程的边值问题
33 隋沆锐34 程文博29袁盼盼
分离变量法又称fourier级数法，是求解数学物理定解问题问题的一种最普遍最基本的方法之一。从数学的角度来说，其基本的思想是降低自变量的维数，把偏微分方程问题设法变成能解的常微分问题。
分离变量法步骤
分离变量法步骤
“同学们，今天咱们来好好讲讲分离变量法步骤。
”我站在讲台上对学生们说道。
那什么是分离变量法呢？简单来说，就是把一个偏微分方程分解成几个常微分方程来求解。
下面我具体给大家讲讲步骤。
第一步，要确定方程的类型。
比如说，对于一个波动方程或者热传导方程等，这些常见的偏微分方程都可以考虑用分离变量法。
就拿最简单的一维热传导方程来举例吧，比如 u_t = a^2 u_xx。
第二步，假设解的形式。
这一步很关键哦，我们假设解可以表示成两个函数的乘积，一个只与变量 x 有关，一个只与变量 t 有关，即 u(x,t) =
X(x)T(t)。
第三步，把假设的解代入到原方程中。
这样就会得到一个关于 X 和 T 的等式。
然后通过一些运算和化简，把它分成两个只含有一个变量的常微分方程。
第四步，求解这些常微分方程。
这可能需要用到一些常微分方程的求解方法和技巧。
第五步，根据边界条件和初始条件确定解中的常数。
这个也非常重要，只有满足这些条件的解才是我们真正需要的解。
比如说，有一个两端固定的均匀细杆的热传导问题，杆长为 L，初始温度分布已知。
我们就可以用分离变量法来求解这个问题。
通过前面几步得到一系列的解，再根据边界条件确定出具体的解。
同学们，分离变量法是一种非常重要和常用的方法，在很多物理问题、工程问题中都有广泛的应用。
大家一定要好好掌握。
以后遇到类似的问题，就可以试着用这种方法去求解，相信你们会发现它的神奇之处的。
好了，今天就讲到这里，大家要是有什么不明白的地方随时问我。
第81节(齐次方程的分离变量法)
一端为第一类边界条件，另一端为第二类边界条件
可得杆上温度U（x，t）满足的泛定方程和定解条件： 18
ut a2uxx 00 ux |xl 0 u |t0 u0 x / l,
（0 x l)
这里泛定方程和边界条件都是齐次的，利用分离变数法，得：
u(x,t) X (x)T (t)
X T a2 X T 0
X (0)T (t) 0, X (l)T (t) 0
即： X (0) 0, X (l) 0
对于方程 XT a2 X T 0 化为：
13
T a 2T
X X
两边分别是x和t的函数，不可能相等，除非是一常数，设为
则
T a2T
X X
于是可分解为关于X和T的常微分方程
C1 0
C2 sin l 0
此时如果 sin l 0 仍然可得 C1 C2 0 从而 X (x) 0
应该予以排除！ 只剩下一种可能：C1 0 sin l 0
则 l n (n Z ) 即：
而此时
＝ n
X (x)
2
l2
2
n
C2 s
1,2,3.......
in nx x
l
C2为任意常数
X (x) C1 cos x C2 sin x
积分常数满足：
C2 0
(C1 sin l C2 cos l) 0
0 故C2＝0 C1 sin l 0 若C1＝0，则无意义！
则 C1 0,sin l 0 可得： l n (n 1,2,3...)
即 n2 2 / l 2 (n 1,2,3...) 相应的本征函数为：
X ＋X 0
X
(0)
0,
X
(l)
高二物理竞赛课件：方程的分离变量解法
方程的分离变量解法
若 Hˆ可写为 Hˆ Hˆ 0 Hˆ s
分离变量 (r , sz , t) (r , t)(sz , t)
代回到 (6.3-7)有
i
1 (r , t)+i t
1
t
( sz
,t)
1
Hˆ 0
(r
,
t )+
1
Hˆ s(sz
,
t)
得到两部分波函数满足的薛定谔方程
cos(t) 0 b(t) 0; | sin(t) | 1| a(t) | 1;
t (2n 1)
, n 0,1,2,3,
gsBB
自旋向上 / 2
当 t n
即 t 2n , n 0,1,2,3, gsBB
从 t gs B B
翻转
自旋向下 / 2
当从低能级到高能级，从外场吸收能量，吸收能量； 当从高能级到低跃迁能级，放出能量。
当 0 ，体系在两能级间跃迁称为电子自旋共振
设t时刻，电子自旋的态矢量
(
sz
,
t
)
a(t b(t
) )
满足 i
t
a(t) b(t )
Mˆ s
(B
B0
)
a(t)
b(t
)
gs
e 2me
Sˆ
(B costeˆx
B sinteˆy
B0eˆz
)
a(t b(t
) )
gs 2
exp(
i
gsB B0
2
t)
cos
g
s
2
B
B
t
exp(
i
gsB B0 t )
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注：上式正是傅里叶正弦级数的基本函数族！
由以上过程可知道，分离变数过程中所引入的常数 不能 6
为负数或者零，也不是任意的正数，必须取特定的数值，才能
使原方程有有意义的解。常数 的这种特殊数值叫做本征值，
相应的解叫做本征函数，即构成本征值问题。
而此时T的方程n2 2 T 0
C1 0
C2 sin l 0
此时如果 sin l 0 仍然可得 C1 C2 0 从而 X (x) 0
应该予以排除！ 只剩下一种可能：C1 0 sin l 0
则 l n (n Z ) 即：
而此时
＝ n
X (x)
2
l2
2
n
C2 s
1,2,3.......
in nx x
l
C2为任意常数
（2） 0
此时方程的解是： X (x) C1x C
积分常数由初始条件确定：CC12l
0 C2
0
由此可得 C1 C2 0 即 X (x) 0
没有意义，故排除！
（2） 0 此时方程解为：
X (x) C1 cos x C2 sin x
积分常数由初始条件来确定
X X 0
5
X (0) 0, X (l) 0
x的函数X（x），则驻波的一般表达式为：
u(x,t) X (x)T (t)
此时，驻波的一般表达式具有分离变数的形式！ 把上式代入振动方程和边界条件可得：
XT a2 X T 0
utt a2uxx 0
u |x0 0 u |xl 0
X (0)T (t) 0
X
(l
)T
(t)
0
X X
(0) 0（与t无关） (l) 0
utt a2uxx 0
u |x0 0 u |xl 0
边界 uut|t|t00((xx)) 初始
这里弦是有限长的，即有两个端点，波在端点时间来回反射 2
同频率的反向波形成驻波
在驻波中，有的点振幅最大，叫做波腹，还有些最小，叫做波节 驻波没有波形传播，即各振动项位点不依次滞后，他们按统一方
式随时间t振动，可以表示成T（t）但各点振幅随地点而异，即是
l2
X X 0
X (0) 0, X (l) 0
此方程的解为： T (t) Acos nat B sin nat
l
l
其中，A，B为积分常数
把X（x）和T（t）代入原方程就可得分离变数形式的解：
nat
nat nx
un (x,t) (Acos l
B sin
l
)sin (n 1,2,3...) l
n1
An Bn
sin nx
l
na sin
l
(
nx
l
x)
(
x)
(0 x l)
9
左边是傅里叶正弦级数,我们只要把函数 (x), (x) 展开成
傅里叶正弦级数,比较系数就可以得到An和Bn:
An
傅里叶系数
n
2 l
l ( ) sin n
0
l
d
Bn
l
na
傅里叶系数 n
2
na
l
(
)
sin
n
0
l
d
这样,我们就得到了原定解问题的解:
u( x, t )
n1
( An
cos
nat
l
Bn
sin
nat
l
) sin
nx
l
系数由以上的傅里叶级系数确定,展开成傅里叶正弦级数是由
第一类边界条件确定的!
分离变数法
10
偏微分 方程
齐次边 界条件
分离 变数
分离 变数
常微分方程2 常微分方程1
解2 本征解 解2×解1
解1
条件
（本征函数）
本征值问题
t)
(
A c os
nat
l
B
sin
nat
l
)
sin
nx
l
(n
1,2,3...)
以上的本征振动是满足弦振动方程 utt a2uxx 0
8
和边界条件
u |x0 0 u |xl 0
的线性独立的特解,由于方程和边界
条件都是齐次的,故所有的本征振动的线性叠加:
u( x, t )
n1
( An
cos
对于方程 XT a2 X T 0 同除 a2 XT 则可得
3
T X a2T X
左边是时间t的函数，与坐标x无关，右边是坐标x的函数，与
时间t无关，显然不等，除非等于常数，记常数为 －
T a 2T
X X
就把原方程分为两个常微分方程，即：
X X 0
X
(0)
0,
X
(l)
0
T a2T 0
我们先来求解X，根据 0, 0, 0 的不同来考察
（1） 0
方程的解是 X (x) C1e x C2e x
积分常数由初始条件确定：
X X 0 4
X (0) 0, X (l) 0
C1 C2 0
C1e
l
C2e
l
0
由此可得 C1 C2 0 即 X (x) 0 驻波 u(x,t) X (x)T (t) 0 没有意义，故排除！
本征振动的角频率为 na / l则频率为: f / 2 na / 2l
当n=1的驻波,除了两端x=0和x=l之外没有其他的节点,波长2l在 所有本征振动里边是最长的,频率最低,这个驻波叫做基波. N>1的各个驻波叫做n次谐波,波长2l/n是基波的1/n,频率na/2l 是基波的n倍.
un
(x,
所求解＝ 本征解
初始
本征值
条件
关键在于分离变数，使偏微分问题化为常微分问题，同时把边界
条件化为常微分方程的附加条件，构成本征值问题。可以推广到
线性齐次方程和线性齐次边界条件的多种定解问题中！
11
求解:
ut a2uxx , 0 x l,t 0, u(0,t) u(l,t) 0
这就是两端固定弦上的可能的驻波，每个自然数n对应一个 7 驻波，这些驻波也叫做两端固定弦的本征振动。 在 x kl / n(k 0,1,2...n) 共计n＋1个点上，
sin(nx / l) sin k 0 则U（x,t）=0,这些点是驻波的节点
相邻节点间隔l/n为半波长，故波长应为：2l/n
nat
l
Bn
sin
nat
l
) sin
nx
l
仍然满足
原方程和边界条件,此即满足方程的一般解,其中A,B为任意常数
但此时未考虑初始条件!
以下就是考虑到初始条件求定解问题的确定解,就是选取适当的
叠加系数An和Bn,满足初始条件: uut|t|t00((xx))
把上述一般解代入初始条件,可得:
n1
第八章 分离变数(傅里叶级数)法 1
分离变数法是定解问题的一种基本解法，适用于大量的 各种各样的定解问题，其基本思想是把偏微分方程分解成几 个常微分方程，其中有的常微分方程带有附加条件，构成本
征值问题，本章限于本征函数是三角函数的情况。
第一节、齐次方程的分离变数法
（一）分离变数法介绍
研究两端固定的均匀弦的自由振动，即：