上海交大理论力学刚体动力学.ppt
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《刚体动力学 》课件
牛顿第二定律
物体的加速度与作用在物 体上的力成正比，与物体 的质量成反比。
牛顿第三定律
对于任何两个相互作用的 物体，作用力和反作用力 总是大小相等，方向相反 ，作用在同一条直线上。
刚体的平动
刚体的平动是指刚体在空间中 的位置随时间的变化而变化， 而刚体的形状和大小保持不变
的运动。
刚体的平动具有三个自由度 ，即三个方向的平动。
05
刚体的动力学方程
刚体的动力学方程
牛顿第二定律
刚体的加速度与作用力成正比，与刚体质量 成反比。
刚体的转动定律
刚体的角加速度与作用力矩成正比，与刚体 对转动轴的转动惯量成反比。
刚体的动量方程
刚体的动量变化率等于作用力对时间的积分 。
刚体的自由度与约束
自由度
描述刚体运动的独立变量，如平动自由度和转动 自由度。
约束
限制刚体运动的条件，如固定约束、滑动约束等 。
约束方程
描述刚体运动受约束的数学表达式。
刚体的动力学方程的求解方法
解析法
通过代数运算求解动力学方程，适用于简单问 题。
数值法
通过迭代逼近求解动力学方程，适用于复杂问 题。
近似法
通过近似模型求解动力学方程，适用于实际问题。
06
刚体动力学中的问题与实例 分析
人工智能和机器学习的发展将为刚体 动力学的研究提供新的思路和方法， 有助于解决复杂动力学问题。
感谢您的观看
THANKS
船舶工程
在船舶工程中，刚体动力学 用于研究船舶的航行稳定性 、推进效率以及船舶结构的 安全性等。
兵器科学与技术
在兵器科学与技术领域，刚 体动力学用于研究弹药的发 射动力学、火炮的射击精度 和稳定性等。
上海交通大学-理论力学PPT-第4章 力系的平衡
三矩式：
M F 0, M F 0, M F 0
i 1 Az i i 1 Bz i i 1 Cz i
n
n
A、B、C不能取在同一直线上 x B B y
B
C
2013年7月29日 理论力学CAI
A
A
18
例4.5
2013年7月29日 理论力学CAI
19
桌灯由灯头、2根匀质直杆和基座组成。若使桌灯 在图示位置下平衡，求销钉A需提供的摩擦力偶矩。
i 1 n i 1
n
iy
0, 0,
F
i 1 n i 1
n
iz
0
iz
M
ix
M
iy
M
0
2013年7月29日 理论力学CAI
2
以下几种特殊力系，独立的平衡方程可以相应的减少。
空间汇交力系
空间平行力系
空间力偶系
2013年7月29日 理论力学CAI
3
静力学研究的主要问题之一是建立力系 的平衡条件，并应用它来确定被约束物体所
W Wk
6
FA FB FC FP W 0
FA FA cos 60 o sin 60 o i cos 60 o cos 60 o j sin 60 o k FB FC FP
o o o B
FP W 500 kN
F cos 60 sin 60 i cos 60 F cos 60 j sin 60 k F cos 60 j sin 60 k
受的约束力或平衡位置.
静力学解题五步骤：
确定研究对象 画受力图 建立坐标系，选取合适的平衡方程，尽量用1个方程解1个未知量 求解方程 校核
上海交通大学-理论力学PPT-绪论
2019年11月12日 38
理论力学CAI
2019年11月12日 31
理论力学CAI
理论力学： 是研究物体机械运动一般规律的一门学科。 机械运动： 是物体在空间的位置随时间的变化。
2019年11月12日 32
理论力学CAI
1. 理论力学是一门理论性较强的技术基础课
2. 理论力学是很多专业课程的重要基础
例如：材料力学、机械原理、结构力学、 流体力学 、机械振动等一系列后续课程的 重要基础。
1 理论力学CAI
理论力学CAI 版权所有, 2019(c) 上海交通大学工程力学系
• 前言
力学是一门基础学科，它同数、理、化、天、 地、生并列为七大基础学科之一。力学的应用 范围十分广泛，它又属于技术科学，它植根于 国民经济的各个产业门类。哪里有技术难题， 几乎那里就有力学难题。
20世纪，产生的许多高新技术，航天、航空、 高层建筑、大型空间结构、巨型轮船、大跨度 与新型桥梁（如吊桥、斜拉桥）、海洋平台、 精密机械、机器人、高速列车、海底隧道等都 是在力学指导下实现的。
朱本华简介
上海交通大学副教授，1978年毕业于上海交 通大学船舶制造系，1985年结业于同济大学固体 力学助教班。 现任 工程力学系 副系主任 力学博士后流动站主管 学术兼职 中国力学学会科普工作委员会常委
华东基础力学与工程应用协会常务理事 主讲课程 一、理论力学 二、高等动力学 三、分析动力学
曾获全国优秀力学教师、99 年宝钢教学基金优秀教师奖、上海 交通大学吴绍麟、春兰优秀教师奖、教学成果奖等十多项奖励。
理论力学CAI
高速列车
2019年11月12日 19
理论力学CAI
2019年11月12日 20
理论力学CAI
理论力学CAI
2019年11月12日 31
理论力学CAI
理论力学： 是研究物体机械运动一般规律的一门学科。 机械运动： 是物体在空间的位置随时间的变化。
2019年11月12日 32
理论力学CAI
1. 理论力学是一门理论性较强的技术基础课
2. 理论力学是很多专业课程的重要基础
例如：材料力学、机械原理、结构力学、 流体力学 、机械振动等一系列后续课程的 重要基础。
1 理论力学CAI
理论力学CAI 版权所有, 2019(c) 上海交通大学工程力学系
• 前言
力学是一门基础学科，它同数、理、化、天、 地、生并列为七大基础学科之一。力学的应用 范围十分广泛，它又属于技术科学，它植根于 国民经济的各个产业门类。哪里有技术难题， 几乎那里就有力学难题。
20世纪，产生的许多高新技术，航天、航空、 高层建筑、大型空间结构、巨型轮船、大跨度 与新型桥梁（如吊桥、斜拉桥）、海洋平台、 精密机械、机器人、高速列车、海底隧道等都 是在力学指导下实现的。
朱本华简介
上海交通大学副教授，1978年毕业于上海交 通大学船舶制造系，1985年结业于同济大学固体 力学助教班。 现任 工程力学系 副系主任 力学博士后流动站主管 学术兼职 中国力学学会科普工作委员会常委
华东基础力学与工程应用协会常务理事 主讲课程 一、理论力学 二、高等动力学 三、分析动力学
曾获全国优秀力学教师、99 年宝钢教学基金优秀教师奖、上海 交通大学吴绍麟、春兰优秀教师奖、教学成果奖等十多项奖励。
理论力学CAI
高速列车
2019年11月12日 19
理论力学CAI
2019年11月12日 20
理论力学CAI
《刚体动力学 》课件
常用方法：拉格朗日方程、 哈密顿原理等
注意事项：需要熟练掌握 数学基础
数值法
定义：数值法 是一种通过数 值计算求解刚 体动力学问题
的方法
特点：精度高、 计算速度快、 适用于复杂问
题
常用算法：有 限元法、有限 差分法、有限
体积法等
应用领域：航 空航天、机械 制造、土木工
程等领域
近似法
近似法的定义和特点
刚体转动实例
风力发电机：利用风力驱动风车叶片旋转，通过变速器和齿轮装置将动力传递至发电机，最终 转化为电能。
搅拌机：利用电动机驱动搅拌器旋转，对物料进行搅拌、混合和输送等操作。
洗衣机：利用电动机驱动洗衣机的滚筒旋转，通过水和洗涤剂的作用将衣物清洗干净。
旋转木马：利用电动机驱动旋转木马旋转，使人们能够欣赏到各种美丽的景观和音乐。
物理教师
需要了解刚体 动力学知识的
相关人员
Part Three
刚体动力学概述
刚体定义
刚体：在运动过程中，其内部任意两点间的距离始终保持不变的物体 刚体运动：刚体的运动是相对于其他物体的位置和姿态的变化
刚体动力学：研究刚体运动过程中所受到的力、力矩以及运动状态变化规律的科学
刚体动力学的研究对象：各种工程实际中的刚体，如机械零件、构件、机构等
动能定理
定义：动能定理是描述物体动能变化的定理 表达式：动能定理的表达式为ΔE=W 应用范围：动能定理适用于一切具有动能变化的物理系统 注意事项：在使用动能定理时需要注意初始和终了状态的动能
Part Five
刚体动力学应用实 例
刚体平动实例
刚体平动定义 刚体平动应用实例1 刚体平动应用实例2 刚体平动应用实例3
刚体动力学在各领 域的应用
上海交通大学大学物理A类第三章刚体力学基础
J z mi ri
i i
2
z
mi xi2 yi2
Jy Jx
x
o
yi
ri
mi
xi
y
【例 】求均质圆盘(m,R)过圆心且与板面垂直的转轴的转动惯量 。 【解 】 盘由许多环组成
d J r2d m
2 J r2d m r 2 π r h d r
o
y
dL M L J dt M d t d L d J
推广到 J 可变情形（保持所有质点 相同）
d t J J J M d
t t 0 J 00 00
J
Mdt
t0
t
称为在t0到t时间内作用在刚体上的冲量矩
关于刚体角动量的补充说明
t t 0 0 2 2 2 ( ) 0 0
1 2 2
t 0
式中
0, 0
是t=0时刻的角速度和角位置
角量与线量之关系
v r
d v d a r r t d t d t
r
v
v 2 an r r
2 L 2 mbv 2 mb sin
2 2
v r v b sin L r m v J
2
L
b
L L sin 2 mb sin 2 mR z b
结论： m R
m
1、角动量和角速度一般并不在同一个 方向上
2 2 2 m r md 2 d m r J md i i i i c
i
m d r d ir i i
刚体力学基础PPT课件
转动：分定轴转动和非定轴转动 刚体的平面运动
5
二、刚体定轴转动的描述
1.刚体定轴转动的特点 轴上各点都保持不动，轴外各点在同一时间间隔内转过的角度一样。
以某转动平面与转轴的交点为原点，转动平面上所有质元都绕着这个 原点作圆周运动。
2.描述 可类似地定义绕定轴转动的刚体的：
*角位置 (t)
i
ri
z
切向加速度 法向加速度
ai ri
ani ri 2
ri
vi
§3-2 定轴转动刚体的转动惯量
一、刚体定轴转动定律
（1）单个质点m
与转轴刚性连接
Ft mat mr
M rF sinθ
z
M
Ft
F
O
r
m
Fn
M rFt mr 2 M mr2
一、刚体运动分类
2.转动 如果刚体上的所有质元都绕某同一直线作圆周运动，这种运动就称之为转动，
这条直线称为转轴。
A
A
分为定轴转动和非定轴转动
*非定轴转动 若转轴方向或位置变化，这种转动称为非定轴转动
A
A
* 定轴转动 若转动轴固定不动，这种转动称为定轴转动. 这个转
轴称为固定轴，
转动平面：垂直于固定轴的平面
内力（F质i2j 量）元刚受体外力Fej ，
Mej Mij mjrj2
外力矩
内力矩
z
O rj
Fej
m j
Fij
Mej Mij mjrj2
j
j
Mij M ji Mij 0
j
《刚体动力学》课件
动量定理公式：Ft=mv
单击此处输入你的项正文，文字是您思想的提炼。
应用场景：碰撞、打击、爆炸等 角动量定理 角动量定理
定义：角动量是物体转动惯量和角速度的乘积 单击此处输入你的项正文，文字是您思想的提炼。
角动量定理公式：L=Iω
单击此处输入你的项正文，文字是您思想的提炼。
应用场景：行星运动、陀螺仪等
刚体的滚动和滑动摩擦
刚体滚动：刚体在平面内绕固定点转动，滚动摩擦力产生的原因和影响
刚体滑动摩擦：刚体在平面内滑动时产生的摩擦力，滑动摩擦系数与接触面材料和粗糙度等因素 的关系
刚体滚动和滑动摩擦的应用实例：例如，汽车轮胎与地面之间的滚动摩擦力，以及机械零件之间 的滑动摩擦力等
刚体滚动和滑动摩擦的实验研究：通过实验研究刚体滚动和滑动摩擦力的影响因素和规律，为实 际应用提供理论支持
04
刚体动力学基本原理
牛顿第二定律
定义：物体加速度的大小跟作用 力成正比，跟物体的质量成反比
应用：解释物体运动状态变化的 原因
添加标题
添加标题
公式：F=ma
添加标题
添加标题
注意事项：只适用于宏观低速运 动的物体
动量定理和角动量定理
定义：动量是物体质量与速度的乘积
单击此处输入你的项正文，文字是您思想的提炼。
刚体动力学研究内容
刚体的定义和性质 刚体运动的基本形式 刚体动力学的基本方程 刚体动力学的研究方法
刚体动力学发展历程
早期发展：古代力学对刚体的研究 经典力学时期：牛顿、伽利略等经典力学大师对刚体动力学的研究 弹性力学时期：弹性力学的发展对刚体动力学的影响 现代发展：计算机技术和数值模拟方法在刚体动力学中的应用
课程内容：刚体 的平动、转动、 碰撞等动力、力学等相关专 业的本科生和研 究生
单击此处输入你的项正文，文字是您思想的提炼。
应用场景：碰撞、打击、爆炸等 角动量定理 角动量定理
定义：角动量是物体转动惯量和角速度的乘积 单击此处输入你的项正文，文字是您思想的提炼。
角动量定理公式：L=Iω
单击此处输入你的项正文，文字是您思想的提炼。
应用场景：行星运动、陀螺仪等
刚体的滚动和滑动摩擦
刚体滚动：刚体在平面内绕固定点转动，滚动摩擦力产生的原因和影响
刚体滑动摩擦：刚体在平面内滑动时产生的摩擦力，滑动摩擦系数与接触面材料和粗糙度等因素 的关系
刚体滚动和滑动摩擦的应用实例：例如，汽车轮胎与地面之间的滚动摩擦力，以及机械零件之间 的滑动摩擦力等
刚体滚动和滑动摩擦的实验研究：通过实验研究刚体滚动和滑动摩擦力的影响因素和规律，为实 际应用提供理论支持
04
刚体动力学基本原理
牛顿第二定律
定义：物体加速度的大小跟作用 力成正比，跟物体的质量成反比
应用：解释物体运动状态变化的 原因
添加标题
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公式：F=ma
添加标题
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注意事项：只适用于宏观低速运 动的物体
动量定理和角动量定理
定义：动量是物体质量与速度的乘积
单击此处输入你的项正文，文字是您思想的提炼。
刚体动力学研究内容
刚体的定义和性质 刚体运动的基本形式 刚体动力学的基本方程 刚体动力学的研究方法
刚体动力学发展历程
早期发展：古代力学对刚体的研究 经典力学时期：牛顿、伽利略等经典力学大师对刚体动力学的研究 弹性力学时期：弹性力学的发展对刚体动力学的影响 现代发展：计算机技术和数值模拟方法在刚体动力学中的应用
课程内容：刚体 的平动、转动、 碰撞等动力、力学等相关专 业的本科生和研 究生
上海交通大学-理论力学PPT-第六章-刚体的基本运动和点的复合运动
2012年4月17日 25 理论力学CAI
减速箱由四个齿轮构 如图所示。齿轮Ⅱ和 成，如图所示。齿轮 和Ⅲ
Ⅱ Ⅰ
Ⅲ
Ⅳ
安装在同一轴上， 安装在同一轴上，与轴一起 转动。各齿轮的齿数分别为 转动。 z1=36 ， z2=112 ， z3=32 和 z4=128 ，如主动轴 的转速 如主动轴Ⅰ的转速 n1=1 450 r﹒min－1，试求从 动轮Ⅳ的转速 动轮 的转速n4。 的转速
将两式相乘， 将两式相乘，得
因为n 到齿轮Ⅳ的传动比为 因为 2= n3，于是从动轮 到齿轮 的传动比为 ，于是从动轮Ⅰ到齿轮 n z z i14 = 1 = 2 4 = 12.4 n4 z1z3 由图可见，从动轮 和主动轮 的转向相同。 和主动轮Ⅰ的转向相同 由图可见，从动轮Ⅳ和主动轮 的转向相同。 最后，求得从动轮 的转速为 最后，求得从动轮Ⅳ的转速为
2012年4月17日 10 理论力学CAI
荡木用两条等长的钢索
O1 φ l A O
（+）
O2 l M B
平行吊起， 如图所示。 钢索 平行吊起 ， 如图所示 。 长为长l， 度单位为m。 长为长 ， 度单位为 。 当荡 木摆动时钢索的摆动规律 π 为 ϕ = ϕ0 sin t 其中 t 为 ， 4 时间， 单位为s； 转角φ 时间 ， 单位为 ； 转角 0 的单 位为rad，试求当 和 位为 ，试求当t=0和t=2 s时， 时 荡木的中点M的速度和加速度。 荡木的中点 的速度和加速度。 的速度和加速度
理论力学CAI
9
结论: 结论 刚体平移的特点: 刚体平移的特点 平移刚体在任一瞬时各点的运动轨迹形状,速度 加速度都一 平移刚体在任一瞬时各点的运动轨迹形状 速度,加速度都一 速度 样。 平移刚体的运动可以简化为一个点的运动。 即:平移刚体的运动可以简化为一个点的运动。 平移刚体的运动可以简化为一个点的运动
减速箱由四个齿轮构 如图所示。齿轮Ⅱ和 成，如图所示。齿轮 和Ⅲ
Ⅱ Ⅰ
Ⅲ
Ⅳ
安装在同一轴上， 安装在同一轴上，与轴一起 转动。各齿轮的齿数分别为 转动。 z1=36 ， z2=112 ， z3=32 和 z4=128 ，如主动轴 的转速 如主动轴Ⅰ的转速 n1=1 450 r﹒min－1，试求从 动轮Ⅳ的转速 动轮 的转速n4。 的转速
将两式相乘， 将两式相乘，得
因为n 到齿轮Ⅳ的传动比为 因为 2= n3，于是从动轮 到齿轮 的传动比为 ，于是从动轮Ⅰ到齿轮 n z z i14 = 1 = 2 4 = 12.4 n4 z1z3 由图可见，从动轮 和主动轮 的转向相同。 和主动轮Ⅰ的转向相同 由图可见，从动轮Ⅳ和主动轮 的转向相同。 最后，求得从动轮 的转速为 最后，求得从动轮Ⅳ的转速为
2012年4月17日 10 理论力学CAI
荡木用两条等长的钢索
O1 φ l A O
（+）
O2 l M B
平行吊起， 如图所示。 钢索 平行吊起 ， 如图所示 。 长为长l， 度单位为m。 长为长 ， 度单位为 。 当荡 木摆动时钢索的摆动规律 π 为 ϕ = ϕ0 sin t 其中 t 为 ， 4 时间， 单位为s； 转角φ 时间 ， 单位为 ； 转角 0 的单 位为rad，试求当 和 位为 ，试求当t=0和t=2 s时， 时 荡木的中点M的速度和加速度。 荡木的中点 的速度和加速度。 的速度和加速度
理论力学CAI
9
结论: 结论 刚体平移的特点: 刚体平移的特点 平移刚体在任一瞬时各点的运动轨迹形状,速度 加速度都一 平移刚体在任一瞬时各点的运动轨迹形状 速度,加速度都一 速度 样。 平移刚体的运动可以简化为一个点的运动。 即:平移刚体的运动可以简化为一个点的运动。 平移刚体的运动可以简化为一个点的运动
刚体动力学.ppt
1.刚体的平动和转动
如果刚体内任何两点的连线在运动中始终保持平 行，这样的运动就称为平动。
平动刚体内各质点的运动状态完全相同。
平动刚体可视为质点。质心是平动刚体的代表。
2
如果刚体内的每个质点都绕同一直线(转 轴)作圆周运动，这种运动便称为转动。
转轴固定不动定轴转动。 刚体一般运动可看作是平
动和转动的结合。
3
I 1 mR 2 2
水平桌面
o
dr r
M 4g
I
3R
19
M 4g
I
3R
求圆盘经多少时间、转几圈将停下来？
由= o+ t = 0得
t o 3RO 4g
又由2-o2=2， 水平桌面
停下来前转过的圈数为
o
dr r
N o2 3o2 R 2 2 16 g
o
力矩的大小: 方向:
M =F rsin
rF
=Fd
d
r
F
注意: 对定轴转动, (1)只有 在垂直于转轴平面内的力才会
Mz
F
产生力矩; 平行于转轴的力是
不会产生力矩的。
(2)力矩的方向沿转轴。
5
2.刚体定轴转动定理
mi: 切向方程:
Fi sini fij sini miai miri
Firi sini fijri sini miri2
撤去外力矩时,
-Mr=I2 , 2=- /t2
(2)
代入t1=10s , t2=100s , =(100×2)/60=10.5rad/s,
得
I=17.3kg.m2 。
15
例题1.4 匀质柱体(M、R) 边缘用细绳 挂一质量为m的物体。求柱体的角加速度 及绳中的张力。
如果刚体内任何两点的连线在运动中始终保持平 行，这样的运动就称为平动。
平动刚体内各质点的运动状态完全相同。
平动刚体可视为质点。质心是平动刚体的代表。
2
如果刚体内的每个质点都绕同一直线(转 轴)作圆周运动，这种运动便称为转动。
转轴固定不动定轴转动。 刚体一般运动可看作是平
动和转动的结合。
3
I 1 mR 2 2
水平桌面
o
dr r
M 4g
I
3R
19
M 4g
I
3R
求圆盘经多少时间、转几圈将停下来？
由= o+ t = 0得
t o 3RO 4g
又由2-o2=2， 水平桌面
停下来前转过的圈数为
o
dr r
N o2 3o2 R 2 2 16 g
o
力矩的大小: 方向:
M =F rsin
rF
=Fd
d
r
F
注意: 对定轴转动, (1)只有 在垂直于转轴平面内的力才会
Mz
F
产生力矩; 平行于转轴的力是
不会产生力矩的。
(2)力矩的方向沿转轴。
5
2.刚体定轴转动定理
mi: 切向方程:
Fi sini fij sini miai miri
Firi sini fijri sini miri2
撤去外力矩时,
-Mr=I2 , 2=- /t2
(2)
代入t1=10s , t2=100s , =(100×2)/60=10.5rad/s,
得
I=17.3kg.m2 。
15
例题1.4 匀质柱体(M、R) 边缘用细绳 挂一质量为m的物体。求柱体的角加速度 及绳中的张力。
大学物理 刚体力学(课堂PPT)
3
（2）转动 刚体中所有的点都绕同一直线做圆周运动， 则称刚 体作转动，该直线称转轴。
转动又分定轴转动和非定轴转动 。
转轴
固定转轴 瞬时转轴
定轴转动 非定轴转动
4
刚体的平面运动 （滚动）
5
+ 刚体的一般运动= 质心的平动 绕质心的转动
6
3.刚体的定轴转动
（1）角位置和角位移
P
Qx
x
角位移
PP
rd dW Md
-----力矩的功
合外力矩
F
d
r
ds
35
若力矩是恒量:
比较： 力矩的功就是力的功。
例题3-8
36
例题3-8 一根质量为m、长为l的均匀细棒OA，可绕通过 其一端的光滑轴O在竖直平面内转动。今使棒从水平位置开始 自由下摆，求细棒摆到竖直位置时重力所做的功。
解：在棒的下摆过程中，对转轴O而 言，支承力N通过O点，所以支承力N的 力矩等于零，重力G的力矩则是变力矩，
N π (300)3 3104 r
2 π 2 π 450
14
1.力矩
力
二、刚体定轴转动的转动定律
改变质点的运动状态
质点获得加速度
力矩 改变刚体的转动状态
（1） 力矩的定义式
r M
rr
r F
刚体获得角加速度 M
大小：M Fr sin Fd
（2） 物M理 意r 义F
是决定刚体转动的物理量,表明力的大小、 方向和作用点对物体转动的影响。
图3-14
33
解：隔离物体m，设线中的张力为T，物体m 的加速度为a，由牛顿第二定律可得
mg T ma
以待测刚体和转动架为整体，设待测刚体的转 动惯量为J，由绕定轴转动的转动定律可得
（2）转动 刚体中所有的点都绕同一直线做圆周运动， 则称刚 体作转动，该直线称转轴。
转动又分定轴转动和非定轴转动 。
转轴
固定转轴 瞬时转轴
定轴转动 非定轴转动
4
刚体的平面运动 （滚动）
5
+ 刚体的一般运动= 质心的平动 绕质心的转动
6
3.刚体的定轴转动
（1）角位置和角位移
P
Qx
x
角位移
PP
rd dW Md
-----力矩的功
合外力矩
F
d
r
ds
35
若力矩是恒量:
比较： 力矩的功就是力的功。
例题3-8
36
例题3-8 一根质量为m、长为l的均匀细棒OA，可绕通过 其一端的光滑轴O在竖直平面内转动。今使棒从水平位置开始 自由下摆，求细棒摆到竖直位置时重力所做的功。
解：在棒的下摆过程中，对转轴O而 言，支承力N通过O点，所以支承力N的 力矩等于零，重力G的力矩则是变力矩，
N π (300)3 3104 r
2 π 2 π 450
14
1.力矩
力
二、刚体定轴转动的转动定律
改变质点的运动状态
质点获得加速度
力矩 改变刚体的转动状态
（1） 力矩的定义式
r M
rr
r F
刚体获得角加速度 M
大小：M Fr sin Fd
（2） 物M理 意r 义F
是决定刚体转动的物理量,表明力的大小、 方向和作用点对物体转动的影响。
图3-14
33
解：隔离物体m，设线中的张力为T，物体m 的加速度为a，由牛顿第二定律可得
mg T ma
以待测刚体和转动架为整体，设待测刚体的转 动惯量为J，由绕定轴转动的转动定律可得
理论力学 第七章 刚体的平动和定轴转动PPT课件
0 t
0
t
1
2
t2
2
2 0
2
8
§6-3 刚体内各点的速度和加速度
速度
S＝R
M0
R
O
R——转动半径
M
v
vdSRdR
dt dt
★ 转动刚体内任一点的速度的大小，
等于刚体的角速度与该点到轴线的垂直 距离的乘积，它的方向沿圆周的切线而 指向转动的一方。
v
O
9
加速度
a dd2S 2t Rdd22t R
1、运动轨迹
C点的运动轨迹与A、
B两点的运动轨迹形状 相同，即以O点为圆心
l为半径的圆弧线。
5
例题2
已知：O1A＝ O1B ＝l；O1A杆的角速度 和角加速度 。
求： C点的运动轨迹、速度和加速度。
2、速 度
vC= vA= vB= l
3、加速度 aCaA (aC )2(aC n)2
(aA)2(aA n)2
求：卷盘的角加速度
解：由定轴转动公式
v
vr
r
O
对此式求导：
0drdr
dt
dt
ddr
dt r dt
半径的表达式：
r
ro
2
ddrt2 2
v 2 2 r 3 13
§6-4 刚体内各点的速度和加速度的矢量表示
用矢量表示角速度与角加速度
z
三维定轴
转动刚体
x
考察三维定轴转动刚体
角速度矢量、角加速度矢量
2
rB rA AB AB常矢量
B1 B2
B
B3 B4
★ 刚体平动时，其上各点 的轨迹的形状完全一样。
《刚体力学》课件
刚体的转动
总结词
刚体的转动是指刚体绕着某一定点（称为转动中心）的旋转运动。
详细描述
刚体的转动是指刚体绕着某一定点（称为转动中心）的旋转运动。在转动过程中，刚体上任意一点绕着转动中心 作圆周运动，且该圆周运动的半径与刚体上该点到转动中心的距离相等。转动刚体的角速度、角加速度等都是标 量，其方向与转动方向相关。转动刚体的速度和加速度都是矢量，其方向垂直于转动平面。
《刚体力学》ppt课件
目录
• 刚体运动学 • 刚体动力学 • 刚体的平衡 • 刚体的转动惯量 • 刚体的角动量
01
刚体运动学
刚体的平动
总结词
刚体的平动是指刚体在空间中的移动，其上任意两点在同一直线上，且该直线与该刚体的转动轴平行 。
详细描述
刚体的平动是指刚体在空间中的移动，其上任意两点在同一直线上，且该直线与该刚体的转动轴平行 。平动刚体的运动轨迹是一条直线或一个平面图形，其上任意两点的相对位置保持不变。平动刚体的 速度和加速度都是矢量，其方向与平动刚体的移动方向一致。
描述了刚体绕质心转动的动量表现，是刚体动力学中的一个重要概念。
详细描述
动量矩是描述刚体绕质心转动的动量表现的一个物理量。在刚体动力学中，动量 矩是一个非常重要的概念，它与力矩、角速度和时间等物理量密切相关。根据动 量矩的定义，刚体的动量矩等于刚体的质量与角速度的乘积。
刚体的动能
总结词
描述了刚体运动过程中能量的表现形式 ，是刚体动力学中的一个重要概念。
刚体的定点运动
总结词
刚体的定点运动是指刚体绕着通过定点（称为动点） 且垂直于定直线（称为转动轴）的轴线的旋转运动。
详细描述
刚体的定点运动是指刚体绕着通过定点（称为动点） 且垂直于定直线（称为转动轴）的轴线的旋转运动。 在定点运动过程中，刚体上任意一点绕着动点作圆周 运动，且该圆周运动的半径与刚体上该点到动点的距 离相等。定点运动的角速度、角加速度等都是标量， 其方向垂直于转动平面。定点运动的刚体上任意一点 的线速度和角速度都与该点到转动轴的距离成正比。
《刚体动力学》PPT课件
ox
l x
2
为转轴, 如图所示。在距离转轴为x 处取棒元dx,
其质量为
m dm dx
l
7
根据式(5-4), 应有
J
l / 2 l / 2
x
2
m l
dx
1 3
m l
x3
l /2 l / 2
1 ml2 8.3 102 kg m2 12
棒的转动动能为
Ek
1 2
J 2
1 0.083 632 J 2
(2) 闸瓦对飞轮施加的 摩擦力矩所作的功。
d
闸瓦
N
解：为了求得飞轮从制 飞轮
f
动到停止所转过的角度
和摩擦力矩所作的功A, 必须先求得摩擦力、摩擦力矩
和飞轮的角加速度。
27
闸瓦对飞轮施加的摩擦力的大小等于摩擦系数与
正压力的乘积
f N 0.50 500 N 2.5 102 N
方向如图所示。摩擦力相对z 轴的力矩就是摩擦
1.7 102J
8
例2 计算质量为m，长为l 的细棒绕一端的转动惯量。
解： J r2dm
z
dm dx m dx
l
Oo
dm
r2 x2
x dx
x
J l x2 m dx 1 m x3 l
0l
3l 0
J 1 ml2 3
对质量均匀分布的门对门轴的转动惯量也相同。
9
例5-3 如图半圆形匀质细杆，半径为 R,
cosi
因为dsi = ri d, 并且cosi = sini , 所以
dAi Firi sini d Mzid 19
dAi Firi sini d Mzid
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l 2
sin
l 2
cos2
理论力学CAI 刚体动力学
xb
x
FN A
13
刚体动力学/刚体的平面运动/一般方法/解
mxC FNB
y
myC FN A mg
FN B
ml2 12
FN A
l 2
sin
FN B
l 2
cos
xC
l 2
cos
l 2
sin2
yC
l 2
sin
l 2
cos2
3g sin 0
理论力学CAI 刚体动力学
刚体动力学/刚体的平面运动/一般方法
位置 姿态
rC
e:
rC
xC
yC T
单刚体动力学方程组
mxC Fxa Fxn myC Fya Fyn
J C
M
a C
M
n C
单刚体动力学方程组缩并
y
ys
Fn
yb
M
n C
xb
O
C
rC
M
a C
xs Fa
Z q Fˆ a Fˆ n x
单刚体动力学问题
• 单刚体平面运动的动力学微分方程组 由三个方程组成
mxC Fxa Fxn
myC Fya Fyn
J C
M
a C
M
n C
• 动力学逆问题，刚体的运动已知
– 通过方程组可求得作用于刚体的主动力(偶)与理想约束 力(偶)的关系
– 求解的未知量个数不能超过3
2020年5月2日 9
理论力学CAI 刚体动力学
基点为质心C
y
Fn
ys
yb
M
n C
xb
运动描述
位置 姿态
rC
动力学方程
e:
rC
xC
yC T
O
C
rC
M
a C
xs Fa
x
质心运动定理
e:
对质心动量矩定理
mrC F a F n mxC Fxa Fxa myC Fya Fya
J C
M
a C
M
n C
LC
J Cz
2020年5月2日 7
2l
d 3g sin d
2l
d
3g
sin
d
0
0 2l
yb
0
mg
xb
x
FN A
dd d d dt d
2020年5月2日 3g(cos0 cos) / l
受力分析（一般位置） 主动力 mg
理想约束力 FN A FN B
动力学方程
C eb
mxC FNB myC FN A mg
y FN B
yb
mg
xb
x
FN A
ml2 12
FN A
l 2
sin
FN B
l 2
cos
2020年5月2日
理论力学CAI 刚体动力学
ml2 JC 12
12
刚体动力学/刚体的平面运动/一般方法/解
(b)求角速度（逆问题）
mxC FNB myC FN A mg
ml2 12
FN A
l 2
sin
FN B
l 2
cos
y FN B
yb
0
未知量数(5)>方程数(3) 需附加2个方程
约束方程(一般位置)
mg
xC
l sin,
2
yC
l cos
2
加速度约束方程
xC
l 2
cos
l 2
sin2
yC
2020年5月2日
2020年5月2日 2
理论力学CAI 刚体动力学
刚体动力学/刚体的平面运动/动力学条件
刚体平面运动的动力学条件
• 刚体在力或力偶的作用下产生运动 • 作用于刚体上的一个平面力系，刚体是否
一定作平面运动？
2020年5月2日 3
理论力学CAI 刚体动力学
刚体动力学/刚体的平面运动/动力学条件
• 结论
0，计算当杆下滑到角位置 瞬时的角速度
(c) 计算该瞬时杆受到的约束力 (d) 计算当杆与铅垂壁脱离时
的角1
(e)计算此瞬时杆的角速度与质 心C的水平运动速度
2020年5月2日 11
理论力学CAI 刚体动力学
刚体动力学/刚体的平面运动/一般方法/解
[解] (a)建动力学方程
惯性基 O e
连体基
杆的运动为平面一般运动
M
n C
程
– 如果刚体受到约束， 3个位形坐标未知，理想约束力 未知
• 未知的变量超过方程的个数，必须附加方程
2020年5月2日 10
理论力学CAI 刚体动力学
刚体动力学/刚体的平面运动/一般方法/例
[例]
均质杆AB长为l，质量为m。 当该杆由静止开始，在地面 与墙面上无摩擦地滑动
(a) 试建立杆的动力学方程 (b)初始为静止状态，初始角为
通常未知
主矢 主矩
F n
M
n C
e:
M
n C
z
F n Fxn
Fyn T
主动力系
向质心C简化
2020年5月2日
主矢
主矩
Fa
M
a C
e:
Fa
M
a C
z
Fxa
Fya T
6
理论力学CAI 刚体动力学
பைடு நூலகம்
刚体动力学/刚体的平面运动/一般方法
惯性基
e
x
yT
平动参考基 es xs ys T
连体基
eb xb yb T
m 0 0 xC Fxa Fxn
0 m 0 yC Fya Fyn
0
0
J
C
M
a C
M
n C
Z
q
Fˆ a
Fˆ n
2020年5月2日
理论力学CAI 刚体动力学
增 广 质 量 阵
位 形 加 速 度 坐
增 广 主 动 力 阵
标
阵
增 广 理 想 约 束 力 阵8
刚体动力学/刚体的平面运动/一般方法
z
MO
v
m
z m
MO
m
O
x
v
y
Oz为主轴
O
y
x
m Oz为非主轴
刚体作平面运动的惯量条件：刚体运动平面的法线方向 应为刚体的一主轴
满足作平面运动动力学条件的刚体称为平面刚体
2020年5月2日 4
理论力学CAI 刚体动力学
刚体动力学/刚体的平面运动/一般方法
处理动力学问题的一般方法
• 单刚体动力学方程一般形式 • 单刚体动力学问题 • 刚体系动力学方程一般形式 • 刚体系动力学问题
理论力学 CAI 刚体动力学
• 前言
刚体的平面运动 • 刚体的平面运动 • 非惯性基下刚体动力学 • 碰撞 • 刚体的定点运动
理论力学CAI 版权所有, 2000 (c) 上海交通大学工程力学系
刚体动力学/刚体的平面运动
刚体的平面运动
• 刚体平面运动的动力学条件 • 处理动力学问题的一般方法 • 处理动力学问题的独立坐标方法
刚体动力学/刚体的平面运动/一般方法
• 动力学正问题，作用于刚体的主动力(偶)
已知
– 如果刚体没受到约束，3个位形坐标未知
• 通过方程组可求得刚体质心的加速度和角加
mxC Fxa Fxn myC Fya Fyn
速度与主动力(矩)的关系 • 可通过积分方程组，得到位形坐标的时间历
J C
M
a C
2020年5月2日 5
理论力学CAI 刚体动力学
刚体动力学/刚体的平面运动/一般方法
• 单刚体动力学方程一般形式
y
ys
惯性基
e
x
yT
平动参考基 es xs ys T
Fn
yb
M
n C
xb
连体基
eb xb yb T 基点为质心C
作用于受约束刚体的外力
O
C
M
a C
xs Fa
x
理想约束力系 向质心C简化