最新人教版八年级上册数学第三章试卷

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新人教版初中数学八年级数学上册第三单元《轴对称》测试卷(有答案解析)

一、选择题1．如图，在ABC ∆中，DE 垂直平分BC 交AB 于点,D 交BC 于点E ．若10,8AB cm AC cm ==，则ACD ∆的周长是（）A ．12cmB ．18cmC ．16cmD ．14cm 2．在等腰ABC ∆中，80A ∠=︒，则B 的度数不可能是（） A ．80︒B ．60︒C ．50︒D ．20︒ 3．已知等腰三角形有一边长为5，一边长为2，则其周长为（） A ．12 B ．9 C ．10 D ．12或9 4．如图，在△ABC 中，∠BAC ＝90°，AD 是高，BE 是中线，CF 是角平分线，CF 交AD 于点G ，交BE 于点H ，下面说法：①△ABE 的面积＝△BCE 的面积；②∠AFG ＝∠AGF ；③∠FAG ＝2∠ACF ；④BH ＝CH ．其中正确的是（）A ．①②③④B ．①②③C ．②④D ．①③ 5．定义：等腰三角形的一个底角与其顶角的度数的比值()1k k >称为这个等腰三角形的“优美比”．若在等腰三角形ABC 中，36,A ∠=︒则它的优美比k 为（）A ．32B ．2C ．52D ．3 6．等腰三角形两边长为2和4，则其周长为（） A ．8 B ．10 C ．8或10 D ．127．如图，在ABC 中，∠C ＝90°，∠B ＝30°，以A 为圆心，任意长为半径画弧分别交AB 、AC 于点M 和N ，再分别以M 、N 为圆心，大于12MN 的长为半径画弧，两弧交于点P ，连结AP 并延长交BC 于点D ，则下列说法中正确的个数是（）①AD 平分∠BAC ；②∠ADC ＝60°；③点D 在AB 的垂直平分线上；④2ABD ACD S S =．A ．1B ．2C ．3D ．48．如图，在ABC 中，87,A ABC ∠=︒∠的平分线BD 交AC 于点,D E 是BC 中点，且DE BC ⊥，那么C ∠的度数为（）A ．16︒B ．28︒C ．31︒D ．62︒9．三个等边三角形的摆放位置如图所示，若12100︒∠+∠=，则3∠的度数为（）A ．80︒B ．70︒C ．45︒D ．30︒10．北京有许多高校，下面四所高校校徽主体图案是轴对称图形的有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个11．如图，已知AD 为ABC 的高线，AD BC =，以AB 为底边作等腰Rt ABE △，连接ED ，EC 延长CE 交AD 于F 点，下列结论：①DAE CBE ∠=∠；②CE DE ⊥；③BD AF =；④AED 为等腰三角形；⑤BDE ACE S S =△△，其中正确的有（）A ．①③⑤B ．①②④C ．①③④D ．①②③⑤12．如图所示，在△ABC 中，内角∠BAC 与外角∠CBE 的平分线相交于点P ，BE ＝BC ，PB 与CE 交于点H ，PG ∥AD 交BC 于F ，交AB 于G ，连接CP ．下列结论：①∠ACB ＝2∠APB ；②BP 垂直平分CE ；③PG ＝AG ；④CP 平分∠DCB ；其中，其中说法正确的有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个二、填空题13．平面直角坐标系xOy 中，先作出点P (2,3)-关于y 轴的对称点，再将该对称点先向下平移1个单位，再向左平移2个单位得到点P 1，称为完成一次图形变换，再将点P 1进行同样的图形变换得到点P 2，以此类推，则点P 2020的坐标为___________．14．如图，△ABC ≌△ADE ，点D 落在BC 上，且∠BAD ＝70°，则∠EDC ＝_____°．15．如图，等边ABC 的边长为4，AD 是BC 边上的中线，F 是AD 边上的动点，E 是AC 边上一点．若2AE =，当EF CF +取最小值时，ECF ∠的度数为___________度．16．如图，在Rt ABC 中，BAC 90︒∠=，AB 2=，M 为边BC 上的点，连接AM ．如果将ABM 沿直线AM 翻折后，点B 恰好落在边AC 的中点处，那么点M 到AC 的距离是________．17．如图，在锐角△ABC 中，AB ＝62，∠BAC ＝45°，∠BAC 的平分线交BC 于点D ，M ，N 分别是AD 和AB 上的动点，则BM ＋MN 的最小值是_____________．18．如图，ABC 中，45ABC ∠=︒，CD AB ⊥于D ，BE 平分ABC ∠，且BE AC ⊥于E 交CD 于点F ，H 是BC 边的中点，连接DH 交BE 于点G ，考察下列结论：①AC BF =；②2BF CE =；③ADGE GHCE S S =四四边形边形；④DGF △为等腰三角形．其中正确的有___．19．如图，在ABC 中，AB=AC ，40A ∠=，CD //AB ，则BCD ∠的度数是______°．20．如图，∠ABC 的平分线BF 与△ABC 中∠ACB 的相邻外角∠ACG 的平分线CF 相交于点F ，过F 作DF ∥BC ，交AB 于D ，交AC 于E ，若BD ＝8cm ，DE ＝3cm ，AE ＝2，求AC 的长为_____cm ．三、解答题21．如图，在ABC 中，60A ∠=︒，ABC ∠、ACB ∠的平分线分别交AC 、AB 于点D 、E ，CE 、BD 相交于点F ，连接DE ．（1）若7AC BC ==，求DE 的长；（2）求证：BE CD BC +=．22．在等边ABC 中，D E 、分别为AB AC 、边上的动点，以DE 为一边作等边DEF ．（1）如图1，若等边DEF 的顶点F 恰好在BC 上，求证：ADE CEF ≌；（2）如图2，若2BD AE =，当点D 从点A 向点B 运动（不运动到点B ）时，连接CF ，请判断ECF ∠的大小是否变化并说明理由．23．已知，在四边形ABCD 中，AB AD =，CB CD =，连接,AC BD ，判断,AC BD 的位置关系，并加以证明．24．已知ABC 是等边三角形，点D 是AC 的中点，点P 在射线BC 上，点Q 在线段AB 上，120PDQ ∠=︒．（1）如图1，若点Q 与点B 重合，求证：DB DP =；（2）如图2，若点P 在线段BC 上，8AC =，求AQ PC +的值．25．已知，如图ABC ，AE 平分BAC ∠，EF AB ⊥，垂足为F ，点F 在AB 的延长线上，EG AC ⊥，垂足为点G ，ED 垂直平分BC ，D 为垂足，连结BE ，CE ．求证：BEF CEG △≌△．26．如图，在ABC 中，45B ︒∠=，60C ︒∠=，点E 为线段AB 的中点，点F 在边AC 上，连结EF ，沿EF 将AEF 折叠得到PEF ．（1）如图1，当点P 落在BC 上时，求AEP ∠的度数．（2）如图2，当PF AC ⊥时，求BEP ∠的度数．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．B解析：B【分析】∆的周长= AB+AC，据此可解．由题意可知BD=CD，因此ACD【详解】解：∵DE垂直平分BC，∴BD=CD，∆的周长=AD+CD+AC∴ACD= AD+BD+AC= AB+AC=10+8=18(cm)，故选：B．【点睛】本题主要考查线段垂直平分线的性质，关键在于求出BD=CD．2．B解析：B【分析】分∠A是顶角和底角两种情况分类讨论求得∠B的度数，即可得到答案．【详解】当∠A是顶角时，则∠B=(180°-∠A)÷2=(180°-80°)÷2=50°，当∠B是顶角时，则∠A是底角，∴∠B=180°-80°-80°=20°，当∠C是顶角时，则∠A和∠B都是底角，∴∠B=∠A=80°，综上所述：∠B的度数为：50°或20°或80°．观察各选项可知∠B不可能是60°．故选B．【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质，掌握分类讨论思想方法，是解题的关键．3．A解析：A【分析】由等腰三角形有一边长为5，一边长为2，可分两种情况：①5为腰长，2为底边长；②2为腰长，5为底边长，依次分析即可求得答案．【详解】解：①若5为腰长，2为底边长，∵5，5，2能组成三角形，此时周长为：5+5+2=12；②若2为腰长，5为底边长，∵2+2=4<5，不能组成三角形，故舍去；∴三角形周长为12．【点睛】此题考查等腰三角形的性质与三角形的三边关系，解题的关键是注意分类讨论．4．B解析：B【分析】根据等底等高的三角形的面积相等即可判断①；根据三角形内角和定理求出∠ABC＝∠CAD，根据三角形的外角性质即可推出②；根据三角形内角和定理求出∠FAG＝∠ACD，根据角平分线定义即可判断③；根据等腰三角形的判定判断④即可．【详解】∵BE是中线，∴AE＝CE，∴△ABE的面积＝△BCE的面积（等底等高的三角形的面积相等），故①正确；∵CF是角平分线，∴∠ACF＝∠BCF，∵AD为高，∴∠ADC＝90°，∵∠BAC＝90°，∴∠ABC＋∠ACB＝90°，∠ACB＋∠CAD＝90°，∴∠ABC＝∠CAD，∵∠AFG＝∠ABC＋∠BCF，∠AGF＝∠CAD＋∠ACF，∴∠AFG＝∠AGF，故②正确；∵AD为高，∴∠ADB＝90°，∵∠BAC＝90°，∴∠ABC＋∠ACB＝90°，∠ABC＋∠BAD＝90°，∴∠ACB＝∠BAD，∵CF是∠ACB的平分线，∴∠ACB＝2∠ACF，∴∠BAD＝2∠ACF，即∠FAG＝2∠ACF，故③正确；根据已知条件不能推出∠HBC＝∠HCB，即不能推出BH＝CH，故④错误；故选：B．【点睛】本题考查了三角形内角和定理，三角形的外角性质，三角形的角平分线、中线、高，等腰三角形的判定等知识点，能综合运用定理进行推理是解此题的关键，题目比较好，属于中考题型．5．B解析：B由已知可以写出∠B和∠C，再根据三角形内角和定理可以得解．【详解】解：由已知可得：∠B=∠C=k∠A=（36k）°，由三角形内角和定理可得：2×36k+36=180，∴k=2，故选B．【点睛】本题考查等腰三角形的应用，熟练掌握等腰三角形的性质、三角形内角和定理及方程思想的应用是解题关键．6．B解析：B【分析】由于题中没有指明哪边是底哪边是腰，则应该分两种情况进行分析．【详解】解：①当2为腰时，2+2=4，不能构成三角形，故此种情况不存在；②当4为腰时，符合题意，则周长是2+4+4=10．故选：B．【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质和三边关系，解答此题时注意分类讨论，不要漏解．7．D解析：D【分析】先根据三角形内角和计算出∠BAC=60°，再利用基本作图对①进行判断；利用∠BAD=∠CAD=30°得到∠ADC=60°，则可对②进行判断；利用∠B=∠BAD得到DA=DB，根据线段垂直平分线的性质定理的逆定理可对③进行判断．利用30度角所对的直角边是斜边的一半、三角形的面积计算公式来求两个三角形的面积之比．【详解】解：∵∠C＝90°，∠B＝30°，∴∠BAC＝60°，由作法得AD平分∠BAC，所以①正确；∴∠BAD＝∠CAD＝30°，∴∠ADC＝90°﹣∠CAD＝60°，所以②正确；∵∠B＝∠BAD，∴DA＝DB，∴点D在AB的垂直平分线上，所以③正确；∵如图，在直角△ACD中，∠CAD＝30°，∴CD ＝12AD ， ∴BC ＝CD+BD ＝12AD+AD ＝32AD ，S △DAC ＝12AC•CD ＝14AC•AD ． ∴S △ABC ＝12AC•BC ＝12AC•32AD ＝34AC•AD ， ∴S △DAC ：S △ABC ＝14AC•AD ：34AC•AD ＝1：3， ∴S △DAC ：S △ABD ＝1：2．即S △ABD ＝2S △ACD ，故④正确．故选：D ．【点睛】本题考查了角平分线的性质、线段垂直平分线的性质以及作图-基本作图．解题时需要熟悉等腰三角形的判定与性质．8．C解析：C【分析】根据角平分线的定义得到ABD CBD ∠=∠，根据线段垂直平分线的性质得到DB=DC ，进而得到DBC C ∠=∠，根据三角形内角和定理列式计算即可．【详解】∵BD 平分ABC ∠，∴ABD CBD ∠=∠，∵DE BC ⊥，E 是BC 中点，∴DB=DC ，∴DBC C ∠=∠，∴ABD CBD C ∠=∠=∠，∴18087ABD CBD C ∠+∠+∠=︒-︒，解得：31C ∠=︒，故选：C ．【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的性质、三角形内角和定理，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．9．A解析：A【分析】由平角的性质可得∠3＋∠6＋60°＝180°，∠2＋∠4＋60°＝180°，∠1＋∠5＋60°＝180°，可得∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋∠6＝540°−180°，将∠1＋∠2＝100°代入可求解．【详解】∵∠3＋∠6＋60°＝180°，∠2＋∠4＋60°＝180°，∠1＋∠5＋60°＝180°，∴∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋∠6＝540°−180°=360°，∵∠4＋∠5＋∠6＝180°，∴∠1＋∠2＋∠3=360°-180°=180°，∴∠3＝180°−（∠1＋∠2）＝80°，故选：A．【点睛】本题考查了等边三角形的性质，平角的性质，三角形内角和定理，熟练运用这些性质进行推理是本题的关键．10．B解析：B【分析】根据轴对称图形的概念对各图案逐一进行判断即可得答案．【详解】第一个图案是轴对称图形，第二个图案不是轴对称图形，第三个图案是轴对称图形，第四个图案不是轴对称图形，综上所述：是轴对称图形的图案有2个，故选：B．【点睛】本题考查轴对称图形，判断轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形沿对称轴折叠，对称轴两边的图形能够完全重合；熟练掌握轴对称图形的定义是解题关键．11．D解析：D【分析】①由等腰直角三角形的性质可得出结论；②证明△ADE≌△BCE，可得∠AEC=∠DEB，即可求得∠AED=∠BEG，即可解题；③证明△AEF≌△BED即可；④AE≠DE，故④不正确；⑤易证△FDC是等腰直角三角形，则CE=EF，S△AEF=S△ACE，由△AEF≌△BED，可知S△BDE=S△ACE，所以S△BDE=S△ACE．【详解】解：①∵AD为△ABC的高线，∴∠CBE+∠ABE+∠BAD=90°，∵Rt△ABE是等腰直角三角形，∴∠ABE=∠BAE=∠BAD+∠DAE=45°，AE=BE ，∴∠CBE+∠BAD=45°，∴∠DAE=∠CBE ，故①正确②在△DAE 和△CBE 中，AE BE DAE CBE AD BC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ADE ≌△BCE （SAS ）；∴∠EDA=∠ECB ，∵∠ADE+∠EDC=90°，∴∠EDC+∠ECB=90°，∴∠DEC=90°，∴CE ⊥DE ；故②正确；③∵∠BDE=∠ADB+∠ADE ，∠AFE=∠ADC+∠ECD ，∴∠BDE=∠AFE ，∵∠BED+∠BEF=∠AEF+∠BEF=90°，∴∠BED=∠AEF ，在△AEF 和△BED 中，BDE AFE BED AEF AE BE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△AEF ≌△BED （AAS ），∴BD=AF ；故③正确；④∵AE≠DE ，∴△ADE 不是等腰三角形，⑤∵AD=BC ，BD=AF ，∴CD=DF ，∵AD ⊥BC ，∴△FDC 是等腰直角三角形，∵DE ⊥CE ，∴EF=CE ，∴S △AEF =S △ACE ，∵△AEF ≌△BED ，∴S △AEF =S △BED ，∴S △BDE =S △ACE ．故⑤正确；故选：D．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．12．D解析：D【分析】①根据角平分线的定义与三角形外角的性质可证此结论；②利用等腰三角形“三线合一”可证明此结论；③根据角平分线定义与平行线性质可得∠APG＝∠BAP，再利用等腰三角形的判定可证此结论；④如下图，由角平分线的性质定理可得PM=PN，PM=PO，则PN =PO，即可证明结论．【详解】解：∵AP平分∠BAC，PB平分∠CBE，∴∠CAB＝2∠PAB，∠CBE＝2∠PBE，∵∠CBE＝∠CAB＋∠ACB，∠PBE＝∠PAB＋∠APB，即∠CBE＝∠CAB＋2∠APB，∴∠ACB＝2∠APB．故①正确；∵BE＝BC，BP平分∠CBE，∴BP垂直平分CE（三线合一）．故②正确；∵AP平分∠BAC，∴∠CAP＝∠BAP，∵PG∥AD，∴∠APG＝∠CAP，∴∠APG＝∠BAP，∴PG＝AG．故③正确；如图，过点P作PM⊥AE于点M，PN⊥AD于点N，PO⊥BC于点O，∵AP平分∠BAC，PB平分∠CBE，∴PM=PN，PM=PO，∴PN =PO，∴CP平分∠DCB．故④正确．故选：D．【点睛】本题考查了角平分线的判定与性质、平行线的性质、等腰三角形的性质与判定，熟练掌握相关知识并能灵活运用所学知识进行论证是解题的关键．二、填空题13．【分析】按程序先作y轴对称求出点坐标横坐标-2纵坐标-1完成一次图形变换求出P变换后的坐标找出几次变换后规律奇次变换点的横坐标x=0偶次变换点的横坐标x=-2纵坐标变一次下移一个单位【详解】解：完成--解析：(2,2017)【分析】按程序先作y轴对称，求出点坐标，横坐标-2，纵坐标-1，完成一次图形变换求出P变换后的坐标，找出几次变换后规律奇次变换点的横坐标x=0，偶次变换点的横坐标x=-2，纵坐标变一次下移一个单位．【详解】-关于y轴的对称点（2，3），横坐标2-2=0，纵坐标3-解：完成1次图形变换，点P (2,3)1=2，P1（0，2），完成2次图形变换，点P1(0,2)关于y轴的对称点（0，2），横坐标0-2=-2，纵坐标2-1=1，P2（-2，1），完成3次图形变换，点P2（-2，1）关于y轴的对称点（2，1），横坐标3-3=0，纵坐标1-1=0，P3（0，0），完成4次图形变换，点P3（0，0）关于y轴的对称点（0，0），横坐标0-2=-2，纵坐标0-1=-1，P4（-2，-1），……,完成2020次图形变换，点P2019（0，3-2019）关于y轴的对称点（0，-2016），横坐标0-2=-2，纵坐标-2016-1=-2017，P2020（-2，-2017）．故答案为：（-2，-2017）．【点睛】本题考查图形规律探索问题，掌握图形程序变换的轴对称性质和平移特征，关键是找到变换规律奇次变换点的横坐标x=0，偶次变换点的横坐标x=-2，纵坐标变一次下移一个单位．14．70【分析】根据全等三角形的性质可得对应角和对应边相等再根据等腰三角形的性质即可解答【详解】解：∵△ABC≌△ADE∴AB＝AD∠B＝∠ADE∴∠ADB＝∠B∵∠BAD＝70°∴∠B＝∠ADB=（1解析：70【分析】根据全等三角形的性质可得对应角和对应边相等，再根据等腰三角形的性质，即可解答．【详解】解：∵△ABC ≌△ADE ，∴AB ＝AD ，∠B ＝∠ADE ，∴∠ADB ＝∠B ，∵∠BAD ＝70°，∴∠B ＝∠ADB =（180°-70°）÷2=55°，∴∠EDC ＝180°-2×55°=70°．故答案是：70．【点睛】本题考查了全等三角形的性质，等腰三角形的性质以及平角的定义，熟记性质并准确识图是解题的关键．15．30【分析】由等边三角形三线合一可知：点B 和点C 关于AD 成轴对称连接BE 交AD 于点F 此时取得最小值进而求出的度数即可【详解】∵是等边三角形是边上的中线∴AD ⊥BCAD 平分∠BAC ∴点B 和点C 关于AD解析：30【分析】由等边三角形三线合一，可知：点B 和点C 关于AD 成轴对称，连接BE 交AD 于点F ，此时，EF CF +取得最小值，进而，求出ECF ∠的度数即可．【详解】∵ABC ∆是等边三角形，AD 是BC 边上的中线，∴AD ⊥BC ，AD 平分∠BAC ，∴点B 和点C 关于AD 所在直线成轴对称，连接BE 交AD 于点F ，则BF=CF ，∴EF CF +=EF+BF=BE ，即：此时，EF CF +取得最小值，∵等边ABC ∆的边长为4，2AE =，∴E 是AC 的中点，∴BE 平分∠ABC ，∵点F 是角平分线AD 与BE 的交点，∴CF 平分∠BCA ，即：∠FCA=12∠ACB=12×60°=30°， ∴∠ECC=30°．故答案是：30．【点睛】本题主要考查等边三角形中，两线段和最小时，求角的度数，通过轴对称，把两线段和化为两点之间的一条线段的长，是解题的关键．16．【分析】过点M作MP⊥ACMQ⊥AB首先证明MP＝MQ求出AC的长度运用S△ABC＝S△ABM＋S△ACM求出MP即可解决问题【详解】如图设点B的对应点为N由题意得：∠BAM＝∠CAMAB＝AN＝2解析：4 3【分析】过点M作MP⊥AC，MQ⊥AB，首先证明MP＝MQ，求出AC的长度，运用S△ABC＝S△ABM＋S△ACM，求出MP即可解决问题．【详解】如图，设点B的对应点为N，由题意得：∠BAM＝∠CAM，AB＝AN＝2；过点M作MP⊥AC，MQ⊥AB，则MP＝MQ，设MP＝MQ=x，∵AN＝NC，∴AC＝2AN＝4；∵S△ABC＝S△ABM＋S△ACM，∴12AB•AC＝12AB•MQ＋12AC•MP，∴2×4＝2x＋4x，解得：x＝43，故答案为43．该题主要考查了翻折变换的性质、角平分线的性质、三角形的面积公式及其应用，解题的关键是作辅助线，灵活运用三角形的面积公式来解答．17．6【分析】作BH⊥AC垂足为H交AD于M′点过M′点作M′N′⊥AB垂足为N′则BM′+M′N′为所求的最小值再根据AD是∠BAC的平分线可知M′H=M′N′再由锐角三角函数的定义即可得出结论【详解解析：6【分析】作BH⊥AC，垂足为H，交AD于M′点，过M′点作M′N′⊥AB，垂足为N′，则BM′+M′N′为所求的最小值，再根据AD是∠BAC的平分线可知M′H=M′N′，再由锐角三角函数的定义即可得出结论．【详解】解：如图，作BH⊥AC，垂足为H，交AD于M′点，过M′点作M′N′⊥AB，垂足为N′，则BM′+M′N′为所求的最小值．∵AD是∠BAC的平分线，∴M′H=M′N′，∴BH是点B到直线AC的最短距离（垂线段最短），∵AB=2∠BAC=45°，∴BH=AH∴222+=AH BH AB∴BH=6．∵BM+MN的最小值是BM′+M′N′=BM′+M′H=BH=6．故答案为6．【点睛】本题考查的是轴对称-最短路线问题，解答此类问题时要从已知条件结合图形认真思考，通过角平分线性质，垂线段最短，确定线段和的最小值．18．①②④【分析】只要证明△BDF≌△CDA△BAC是等腰三角形即可判断①②正确作GM⊥BD于M只要证明GH＜DG即可判断③错误证明可判断④正确【详解】解：①又又∴是等腰直角三角形在和中故①正确；②平分解析：①②④【分析】只要证明△BDF≌△CDA，△BAC是等腰三角形，即可判断①②正确，作GM⊥BD于M，∠=∠可判断④正确．只要证明GH＜DG即可判断③错误，证明DGF DFG解：①CD AB ⊥，90CDA BDF ∠∴∠==︒，18090DBF DFB BDF ︒∠+∠=-∠=︒，又BE AC ⊥，90BEA ∴∠=︒，18090DBF DAC BEA ∠+∠=-∠=∴︒︒，DAC DFB ∠=∠∴，又45ABC ∠=︒，18045DCB ABC BDF ∴∠=︒-∠-∠=︒，∴BCD △是等腰直角三角形，BD CD ∴=，在ACD △和FBD 中，DAC DFB CDA BDF CD BD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ACD FBD AAS ∴≅，AC BF ∴=．故①正确；②BE 平分ABC ∠，BE AC ⊥，ABE CBE ∴∠=∠，90BEA BEC ∠=∠=︒，∴在ABE △和CBE △中，ABE CBE BE BEBEA BEC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ()ASA ABE CBE ∴≅，AE CE ∴=，2AC AE CE CE ∴=+=，又AC BF =，2BF CE ∴=，故②正确；③如图所示，过G 作GM BD ⊥于点M ，H 为等腰直角BCD △斜边BC 的中点，DH BC ∴⊥，即90GHB ∠=︒，又BE 平分ABC ∠，GM BD ⊥，GM GH ∴=，又BD BH >，BDG BGH S S ∴>，又ABE CBE ≅ABE CBE S S ∴=，ABE BDG ADGE S S S ∴=-四边形，CBE BGH GHCE S S S =-四边形，ADGE GHCE S S ∴<四边形四边形，故③错误；④18090HBG BGH GHB ∠+∠=︒-∠=︒，18090DBF DFG BDF ∠+∠=︒-∠=︒，HBG DBF ∠=∠，BGH DFG ∴∠=∠，又BGH DGF ∠=∠，DGF DFG ∴∠=∠，DGF ∴为等腰三角形．∴综上，答案为①②④．【点睛】此题是三角形综合题，考查了等腰三角形的性质，直角三角形的性质，全等三角形的性质和判定，三角形的面积等知识点的综合运用，第三个问题难度比较大，添加辅助线是解题关键．19．110【分析】根据等腰三角形的性质求出∠B=70º再根据平行线的性质求出的度数【详解】解：∵AB=AC ∴∠B=∠ACB==70º∵//∴+∠B=180º∴=110º故答案为：110【点睛】本题考查了解析：110【分析】根据等腰三角形的性质，求出∠B=70º，再根据平行线的性质，求出BCD ∠的度数．【详解】解：∵AB=AC ，40A ∠=，∴∠B=∠ACB=180402︒-︒=70º， ∵CD //AB ， ∴BCD ∠+∠B=180º，∴BCD ∠=110º，故答案为：110．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和平行线的性质，熟练运用已知条件，准确推理计算，是解决这类题的关键．20．7【分析】根据已知条件BFCF 分别平分∠ABC ∠ACB 的外角且DE ∥BC 可得∠DBF=∠DFB ∠ECF=∠EFC 根据等角对等边得出DF=BDCE=EF 根据BD-CE=DE 即可求得【详解】解：∵BFC解析：7【分析】根据已知条件，BF 、CF 分别平分∠ABC 、∠ACB 的外角，且DE ∥BC ，可得∠DBF=∠DFB ，∠ECF=∠EFC ，根据等角对等边得出DF=BD ，CE=EF ，根据BD-CE=DE 即可求得．【详解】解：∵BF 、CF 分别平分∠ABC 、∠ACB 的外角，∴∠DBF=∠CBF ，∠FCE=∠FCG ，∵DE ∥BC ，∴∠DFB=∠CBF ，∠EFC=∠FCG ，∴∠DBF=∠DFB ，∠FCE=∠EFC ，∴BD=FD ，EF=CE ，∴BD-CE=FD-EF=DE ，∴EF=DF-DE=BD-DE=8-3=5cm ，∴EC=5cm ，∴AC=AE+EC=2+5=7cm ，故答案为：7．【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质以及平行线的性质，利用边角关系并结合等量代换来推导证明是本题的特点．三、解答题21．（1） 3.5DE =；（2）见解析．【分析】（1）证明△ADE 为等边三角形，即可得结论；（2）在BC 上截取BH=BE ，证明两对三角形全等：△EBF ≌△HBF ，△CDF ≌△CHF ，可得结论．【详解】（1）∵AC=BC=7，∠A=60°，∴△ABC 为等边三角形，∴AC=AB=7，又∵BD 、CE 分别是∠ABC 、∠ACB 的平分线，∴D 、E 分别是AC 、AB 的中点， ∴11=3.5,=3.522==AD AC AE AB ， ∴AD=AE ，∵∠A=60°，∴△ADE 为等边三角形，∴DE=AE=3.5；（2）证明：在BC 上截取BH=BE ，∵BD 平分∠ABC ，∴∠ABD=∠CBD ，∵BF=BF∴△EBF ≌△HBF （SAS ），∴∠EFB=∠HFB=60°．∵∠A=60°，∴∠ABC+∠ACB=120°，∵BD 平分∠ABC ，CE 平分∠ACB ，∴∠ABD=∠CBD ，∠ACE=∠BCE ，∴∠CBD+∠BCE=60°，∴∠BFE=60°，∴∠CFB=120°，∴∠CFH=60°，∵∠BFE=∠CFD=60°，∴∠CFH=∠CFD=60°，∵CF=CF ，∴△CDF ≌△CHF （ASA ）．∴CD=CH ，∵CH+BH=BC ，∴BE+CD=BC ．【点睛】本题考查等边三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质．解题的关键是学会添加常用辅助线面构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．22．（1）见解析；（2）不变，理由见解析．【分析】（1）根据AAS 证明ADE CEF ≌即可；（2）在AC 上截取CH AE =，连接FH ，根据等边△ABC 和等边△DEF 的性质证明△ADE HEF ≅∆可得FH CH =，得∠FCH HFC =∠，进一步可得∠30ECF =︒．【详解】解：（1）证明：∵△ABC 和△DEF 是等边三角形∴∠A=∠C=60°，∠DEF=60°，DE=EF∵∠DEF=60°，∴∠DEF+∠FEC=180°-60°=120°∵∠C=60°∴∠CFE+∠FEC=180°-60°=120°∴∠DEA EFC =∠在△ADE 和△CEF 中，A C DEA EFC DE EF ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴ADE CEF ≌；（2）在AC 上截取CH AE =，连接FH ，设,AE CH x ==等边△ABC 的边长为a∵22BD AE x ==∴2AD EH a x ==-∵△ABC 是等边三角形∴∠60A =︒∴∠120ADE DEA +∠=︒∵△DEF 是等边三角形∴∠60,DEF DE EF =︒=∴∠120AED FEC +∠=︒∴∠ADE FEC =∠∴△()ADE HEF SAS ≅∆∴∠60,FHE A FH AE x =∠=︒==∴FH CH =∴∠FCH HFC =∠∵∠60FCH HFC FHE +∠=∠=︒∴260FCH ∠=︒∴∠30FCH =︒即∠30ECF =︒【点睛】本题考查的是全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理、等边三角形的性质是解题的关键．23．AC BD ⊥，见解析【分析】根据垂直平分线的判定证明即可．【详解】解：AC BD ⊥；证明：∵AB AD =，∴点A 在BD 的垂直平分线上，∵CB CD =，∴点C 在BD 的垂直平分线上，∴AC 垂直平分BD ，即AC BD ⊥．【点睛】本题考查了线段的垂直平分线的性质，根据与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上和两点确定一条直线证明是解题关键．24．（1）证明见解析；（2）4．【分析】（1）由等边三角形的性质证明30DBC ∠=︒，再利用三角形的内角和定理求解30DPB ∠=︒，从而可得结论；（2）过点D 作//DE BC 交AB 于点E ，先证明ADE 为等边三角形，再证明QDE PDC ≌，可得QE PC =，从而可得答案．【详解】证明：（1）∵ABC 为等边三角形，∴,60BA BC ABC =∠=︒∵D 为AC 的中点，∴DB 平分ABC ∠，∴30DBC ∠=︒． ∵120PDB ∠=︒，∴1801203030DPB ∠=︒-︒-︒=︒，∴DBC DPB ∠=∠，∴DB DP =．（2）过点D 作//DE BC 交AB 于点E ．∵ABC 为等边三角形，8AC =，点D 是AC 的中点，∴4,60AD CD ABC ACB A ==∠=∠=∠=︒．∵//DE BC ，∴60AED B ∠=∠=︒．60ADE C ∠=∠=︒，∴ADE 为等边三角形，120EDC ∠=︒，∴4AD ED AE ===，∴ED CD 4==． ∵120QDP EDC ∠=∠=︒，,QDE EDP EDP PDC ∴∠+∠=∠+∠∴QDE PDC ∠=∠．∵,60ED CD AED C =∠=∠=︒，∴QDE PDC ≌，∴EQ PC =，∴4AQ PC AQ QE AE +=+==．【点睛】本题考查的是等腰三角形的判定，等边三角形的性质与判定，三角形的全等的判定与性质，掌握以上知识是解题的关键．25．见解析【分析】利用角平分线的性质得出EF EG =，再利用线段垂直平分线的性质得出BE CE =，最后证明Rt △BEF ≌Rt △CEG 即可．【详解】证明：AE ∵平分FAC ∠，EF AF ⊥，EG AC ⊥，EF EG ∴=， DE 垂直平分BC ，BE CE ∴=，EF AF ⊥，EG AC ⊥，90BFE CGE ∴∠=∠=︒，在Rt BEF 和Rt CEG △中，BE CE EF EG =⎧⎨=⎩Rt Rt (HL)BEF CEG ∴△≌△．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质, 角平分线的性质及线段垂直平分线的性质，解题的关键是灵活运用性质解决问题．26．（1）90°；（2）60°【分析】（1）证明BE=EP，可得∠EPB=∠B=45°解决问题．（2）根据折叠的性质求出∠AFE=45°，根据三角形内角和求出∠BAC，从而得到∠AEF和∠PEF，再根据平角的定义求出∠BEP．【详解】解：（1）如图1中，∵折叠，∴△AEF≌△PEF，∴AE=EP，∵点E是AB中点，即AE=EB，∴BE=EP，∴∠EPB=∠B=45°，∴∠PEB=90°，∴∠AEP=180°-90°=90°．（2）∵PF⊥AC，∴∠PFA=90°，∵沿EF将△AEF折叠得到△PEF．∴△AEF≌△PEF，∴∠AFE=∠PFE=45°，∵∠B=45°，∠C=60°，∴∠BAC=180°-45°-60°=75°，∴∠AEF=∠PEF=180°-75°-45°=60°，∴∠BEP=180°-60°-60°=60°．【点睛】本题考查了折叠的性质，三角形内角和，全等三角形的性质，解题的关键是根据折叠的性质得到相等的线段和角．。

八年级数学上册第三章试卷

八年级数学上册第三章试卷姓名得分一填空（每题3,共39分） 1. 点P （ x ，-y ）在第三象限，则 Q （ -x ，y3 ）在第象限.2.已知点 M （2+x ，9-x2 ）在x轴的负半轴上，则点M 的坐标是 ______________ 3已知线段 AB 平行于x 轴，若点A 的坐标为（-2，3），线段AB 的长为5,则点是_______________________________ 。

4点P （ 1，2）关于x 轴对称的点的坐标是12.如图，O 为坐标原点，四边形 OABC 为矩形，A （10，0），C （0，4），点D 是OA 的中点，点P 在BC 上运动，当厶ODP 是腰长为5的等腰三角形时，贝U P 点的坐标为 _______________________ .___________ ?B 的坐标点P （ 1，2）关于原点对称的点的坐标是 __________ , 5.已知点P （ a+3，7+a ）位于二、四象限的角平分线上，贝U7. 一个点在 y 轴上，距原点的距离是 _________ 。

8..如果点 p 在直角坐标系中到 x 轴的距离为2，至Ua= ______ . 6，则这个点y 轴的距离为 3，则点的坐标p 的坐标坐标（一3，0），贝U C 点的坐标9. ____________________________________________________________________________ 已知点 A （ 0,2） , B （ 4,1）,点P 是x 轴上的一点，则PA+PB 的最小值是 ______________________________________________________________________________________11.正方形ABCD 在平面直角坐标系中的位置如图所示，已知 A 点的坐标（0，4），B 点的13.已知点A （ 2, 1）, O （ 0, 0）,请你在数轴上确定点 P ，使得△ AOP 成为等腰三角形, 写出所有存在的点 P 的坐标。

人教版初中数学八年级数学上册第三单元《轴对称》测试(含答案解析)(1)

一、选择题1．下列命题中，假命题是（）A ．两条直角边对应相等的两个直角三角形全等B ．等腰三角形顶角平分线把它分成两个全等的三角形C ．相等的两个角是对顶角D ．有一个角是60的等腰三角形是等边三角形2．如图，已知60AOB ∠=︒，点P 在OA 边上，8OP cm =，点M 、N 在边OB 上，PM PN =，若2MN cm =，则OM 为（）A ．2cmB ．3cmC ．4cmD ．1cm3．如图，在ABC 中，90C ∠=︒，30B ∠=︒，以点A 为圆心，任意长为半径画弧分别交AB ，AC 于点M 和N ，再分别以点M ，N 为圆心，大于12MN 的长为半径画弧，两弧交于点P ，连接AP 并延长交BC 于点D ．则下列说法中正确的个数是（） ①AD 是BAC ∠的平分线；②60ADC ∠=︒；③点D 在AB 的中垂线上；④:2:5DAC ABC S S =△△A ．1B ．2C ．3D ．44．如图，在ABC 中，AB AC =，D 为BC 的中点，AD AE =，若40BAD ∠=︒，则CDE ∠的度数为（）A ．10︒B ．20︒C ．30D ．40︒5．如图，等边ABC 的顶点(1,1)A ，(3,1)B ，规定把等边ABC “先沿x 轴翻折，再向左平移1个单位”为一次变换，这样连续经过2021次变换后，ABC 顶点C 的坐标为（）A ．(2020,13)-+B ．(2020,13)---C ．(2019,13)-+D ．(2019,13)--- 6．如图，在ABC 中，87,A ABC ∠=︒∠的平分线BD 交AC 于点,DE 是BC 中点，且DE BC ⊥，那么C ∠的度数为（）A ．16︒B ．28︒C ．31︒D ．62︒7．如图，ABC 中，AB AC =，AB 的垂直平分线DE 分别交AB 、AC 于点E 、D ，若52BAC ∠=︒，则DBC ∠=（）．A ．12︒B ．14︒C ．16︒D ．18︒8．如图所示，D 为 BC 上一点，且 AB ＝AC ＝BD ，则图中∠1 与∠2 的关系是（）A ．∠1＝2∠2B ．∠1+∠2＝180°C ．∠1+3∠2＝180°D ．3∠2﹣∠1＝180° 9．如图，∠MON =30°，点A 1、A 2、A 3…在射线ON 上，点B 1、B 2、B 3…在射线OM 上，△A 1B 1A 2、△A 2B 2A 3、△A 3B 3A 4…均为等边三角形，从左起第1个等边三角形的边长记为a 1，第2个等边三角形的边长记为a 2，以此类推．若OA 1=1，则a 2019=（）A ．22017B ．22018C ．22019D ．2202010．以下说法正确的是（）A ．三角形中 30°的对边等于最长边的一半B ．若a + b = 3，ab = 2，则a - b = 1C ．到三角形三边所在直线距离相等的点有且仅有一个D ．等腰三角形三边垂直平分线的交点、三个内角平分线的交点、顶角的顶点三点共线 11．等腰三角形腰上的高与另一腰的夹角为30，则底角度数是（）A ．30B ．60︒C ．40︒或50︒D ．30或60︒ 12．已知等边△ABC 的边长为6，D 是AB 上的动点，过D 作DE ⊥AC 于点E ，过E 作EF ⊥BC 于点F ，过F 作FG ⊥AB 于点G ．当G 与D 重合时，AD 的长是（）A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题13．平面直角坐标系xOy 中，先作出点P (2,3)-关于y 轴的对称点，再将该对称点先向下平移1个单位，再向左平移2个单位得到点P 1，称为完成一次图形变换，再将点P 1进行同样的图形变换得到点P 2，以此类推，则点P 2020的坐标为___________．14．如图，点C 在DE 上，,,45B E AB AE CAD BAE ∠=∠=∠=∠=︒，则ACB =∠_____________．15．如图，等边△ABC 的边长为4，点D 在边AC 上，AD ＝1．（1）△ABC 的周长等于_____；（2）线段PQ 在边BA 上运动，PQ ＝1，BQ ＞BP ，连接QD ，PC ，当四边形PCDQ 的周长取得最小值时，请在如图所示的矩形区域内，用无刻度的直尺和圆规，画出线段PC ，QD ，并简要说明点P 和点Q 的位置是如何找到的（保留作图痕迹，不要求证明）_____．16．嘉嘉和淇淇下棋，嘉嘉执圆形棋子，淇淇执方形棋子，如图，棋盘中心的圆形棋子的位置用()1,1-表示，右下角的圆形棋子用()0,0表示，淇淇将第4枚方形棋子放入棋盘后，所有棋子构成的图形是轴对称图形．则淇淇放的方形棋子的位置是__________．17．如图，在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，30A ∠=︒，BD 平分ABC ∠，如果9cm AC =，那么AD = ___________cm ．18．含30角的直角三角板与直线1l ，2l 的位置关系如图所示，已知12//l l ，30A ∠=︒，160∠=︒，若6AB =，CD 的长为__________．19．如图，已知 O 为△ABC 三边垂直平分线的交点，且∠A ＝50°，则∠BOC 的度数为_____度．20．△ABC 中，∠A =50°，当∠B =____________时，△ABC 是等腰三角形．三、解答题21．如图，已知∠A ＝∠D ＝90°，E 、F 在线段BC 上，DE 与AF 交于点O ，且AB ＝CD ，BE ＝CF ．求证：（1）Rt △ABF ≌Rt △DCE ；（2）OE ＝OF ．22．如图，在平面直角坐标系中有ABC ：（1）已知111A B C △和ABC 关于y 轴对称，在图中画出111A B C △；（2）将111A B C △沿x 轴向右平移4个单位，在图中画出平移后的222A B C △；（3）222A B C △和ABC 关于某条直线l 对称，在图中画出对称轴l ．23．（1）如图1，О是等边ABC 内一点，连接OA OB OC 、、，且3,4,5,OA OB OC ===BAO BCD ≅△△，连接OD ．①OBD ∠= __度；（答案直接填写在横线上）②OD =_ __﹔（答案直接填写在横线上）③求BDC ∠的度数．（2）如图2所示，О是等腰直角()90ABC ABC ∠=︒△内一点，连接OA OB OC 、、，BAO BCD ≅△△，连接OD ．当OA OB OC 、、满足什么条件时，90ODC ∠=．请给出证明．24．如图，在平面直角坐标系中，(2,4)A ，(3,1)B ，(2,1)C --．（1）在图中作出ABC 关于x 轴的对称图形111A B C △，并直接写出点1C 的坐标：________；（2）求ABC 的面积：（3）点(),2P a a -与点Q 关于x 轴对称，若6PQ =，则点P 的坐标为________．25．如图，在ABC 中，AB AC =，120BAC ∠=︒，AD BC ⊥，垂足为G ，且AD AB =，60EDF ∠=︒，其两边分别交AB ，AC 于点E ，F ．（1）求证：ABD △是等边三角形；（2）若2DG =，求AC 的长；（3）求证：AB AE AF =+．26．如图，在ABC ∆中，,AB AC =过点A 作//AD BC 交ABC ∠的平分线BD 于点D ，求证：AC AD =．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．C解析：C【分析】利用全等三角形的判定和等腰三角形的性质判断A 、B ，根据对顶角的定义判断C ，根据等边三角形的判定判断D ．【详解】解：A ．两条直角边对应相等的两个直角三角形，符合两三角形的判定定理“SAS”；故本选项是真命题；B ．已知等腰三角形的两腰相等，且顶角的平分线即为底边上的高，则可根据为HL 可以得出两个三角形全等，故本选项是真命题；C 、相等的角不一定是对顶角，故错误，是假命题；D 、有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形，正确，是真命题；故选C ．【点睛】本题考查了命题和定理，解题的关键是明确题意，可以判断题目中的命题的真假，对于假命题能举出反例或者说明理由．2．B解析：B【分析】过P 作PC 垂直于MN ，由等腰三角形三线合一性质得到MC=CN ，求出MC 的长，在直角三角形OPC 中，利用30度角所对的直角边等于斜边的一半求出OC 的长，由OC-MC 求出OM 的长即可．【详解】解：过P 作PC ⊥MN ，∵PM=PN ，∴C 为MN 中点，即MC=NC=12MN=1，在Rt △OPC 中，∠AOB=60°，∴∠OPC=30°，∴OC= 12OP=4，则OM=OC-MC=4-1=3cm ，故选：B ．【点睛】此题考查了含30度角的直角三角形，以及等腰三角形的性质，熟练掌握性质是解本题的关键．3．C解析：C【分析】根据题意作图可知：AD 是BAC ∠的平分线，由此判断①正确；先求得∠BAC=60︒，由AD 是BAC ∠的平分线，求得∠CAD=∠BAD=30B ∠=︒，即可得到60ADC ∠=︒，判断②正确；过点D 作DE ⊥AB 于E ，根据∠BAD=30B ∠=︒，证得△ABD 是等腰三角形，得到AE=BE ，即可判断③正确；证明Rt △ACD ≌Rt △AED ，得到S △ACD =S △AED ，根据等底同高得到S △AED =S △BED ，即可得到:1:3DAC ABC S S =，判断④错误．【详解】解：由题意得：AD 是BAC ∠的平分线，故①正确；∵90C ∠=︒，30B ∠=︒，∴∠BAC=60︒，∵AD 是BAC ∠的平分线，∴∠CAD=∠BAD=30B ∠=︒，∴60ADC ∠=︒，故②正确；过点D 作DE ⊥AB 于E ，∵∠BAD=30B ∠=︒，∴AD=BD ，∴△ABD 是等腰三角形，∴AE=BE ，∴点D 在AB 的中垂线上，故③正确；∵AD 是BAC ∠的平分线，DC ⊥AC ，DE ⊥AB ，∴CD=DE ，∠C=∠AED=90︒，又∵AD=AD ，∴Rt △ACD ≌Rt △AED ，∴S △ACD =S △AED ，∵AE=BE ，DE ⊥AB ，∴S △AED =S △BED ，∴:1:3DAC ABC S S =，故④错误；故选：C ．．【点睛】此题考查角平分线的作图方法及性质应用，全等三角形的判定及性质，线段垂直平分线的判定，等腰三角形的判定及性质，三角形内角和定理，熟练掌握各部分知识并综合应用是解题的关键．4．B解析：B【分析】根据AB AC =，D 为BC 的中点，∠CAD=40BAD ∠=︒，∠C=50︒，由AD AE =，得到∠AED =70︒，再根据∠AED=∠C+∠CDE 求得答案．【详解】∵AB AC =，D 为BC 的中点，∴∠CAD=40BAD ∠=︒，∠BAC=802BAD ∠=︒，∴∠B=∠C=50︒，∵AD AE =，∴∠AED=∠ADE=70︒，∵∠AED=∠C+∠CDE ，∴CDE ∠=20︒，故选：B ．【点睛】此题考查等腰三角形的性质：等边对等角求角的度数以及三线合一，三角形的内角和定理，三角形外角的性质，熟记并熟练运用等腰三角形的性质是解题的关键．5．D解析：D【分析】先求出点C 坐标，第一次变换，根据轴对称判断出点C 变换后在x 轴下方然后求出点C 纵坐标，再根据平移的距离求出点C 变换后的横坐标，最后写出第一次变换后点C 坐标，同理可以求出第二次变换后点C 坐标，以此类推可求出第n 次变化后点C 坐标．【详解】∵△ABC 是等边三角形AB=3-1=2∴点C 到x 轴的距离为1+212⨯=+2 ∴C(2，1+由题意可得:第1次变换后点C 的坐标变为(2-1，1)，即(1，1-，第2次变换后点C 的坐标变为(2-21)，即(0，1+第3次变换后点C 的坐标变为(2-3，1)，即(-1，1--第n 次变换后点C 的坐标变为(2-n ，1)(n 为奇数)或(2-n ，1+为偶数)， ∴连续经过2021次变换后，等边ABC 的顶点C 的坐标为(-2019，1-，故选：D ．【点睛】本题考查了利用轴对称变换（即翻折）和平移的特点求解点的坐标，在求解过程中找到规律是关键． 6．C解析：C【分析】根据角平分线的定义得到ABD CBD ∠=∠，根据线段垂直平分线的性质得到DB=DC ，进而得到DBC C ∠=∠，根据三角形内角和定理列式计算即可．【详解】∵BD 平分ABC ∠，∴ABD CBD ∠=∠，∵DE BC ⊥，E 是BC 中点，∴DB=DC ，∴DBC C ∠=∠，∴ABD CBD C ∠=∠=∠，∴18087ABD CBD C ∠+∠+∠=︒-︒，解得：31C ∠=︒，故选：C ．【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的性质、三角形内角和定理，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．7．A解析：A【分析】由在△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝52°，又由DE 是AB 的垂直平分线，即可求得∠ABD 的度数，继而求得答案．【详解】在ABC 中，AB AC =，52BAC ∠=︒，()11802ABC ACB BAC ∴∠=∠=⨯︒-∠ ()1180522=⨯︒-︒64=︒， DE 为AB 的中垂线，AD BD ∴=，52ABD BAC ∴∠=∠=︒，12DBC ABC ABD ∴∠=∠-∠=︒．故选A ．【点睛】此题考查了线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．8．D解析：D【分析】根据三角形外角的性质得12C ∠+∠=∠，再根据等腰三角形的性质得B C ∠=∠，2BAD ∠=∠，由180BAC B C ∠+∠+∠=︒即可得出1∠与2∠的关系．【详解】解：∵2∠是ACD △的外角，∴12C ∠+∠=∠，∴∠C=∠2-∠1，∵AB AC =，∴B C ∠=∠，∵AB BD =，∴2BAD ∠=∠，∴112BAC BAD ∠=∠+∠=∠+∠，∵180BAC B C ∠+∠+∠=︒，∴122121180∠+∠+∠-∠+∠-∠=︒，即321180∠-∠=︒．故选：D ．【点睛】本题考查等腰三角形的性质，解题的关键是利用等腰三角形的性质得到相等的角． 9．B解析：B【分析】根据等边三角形的性质以及平行线的性质得出A 1B 1∥A 2B 2∥A 3B 3，以及a 2=2a 1，得出a 3=4a 1=4，a 4=8a 1=8，a 5=16a 1=16，进而得出答案．【详解】解：∵△A 1B 1A 2是等边三角形，∴A 1B 1=A 2B 1，∠3=∠4=∠12=60°，∴∠2=120°，∵∠MON=30°，∴∠1=180°−120°−30°=30°，又∵∠3=60°，∴∠5=180°−60°−30°=90°，∵∠MON=∠1=30°，∴OA 1=A 1B 1=1，∴A 2B 1=1，∵△A 2B 2A 3、△A 3B 3A 4是等边三角形，∴∠11=∠10=60°，∠13=60°，∵∠4=∠12=60°，∴A 1B 1∥A 2B 2∥A 3B 3，B 1A 2∥B 2A 3，∴∠1=∠6=∠7=30°，∠5=∠8=90°，∴a 2=2a 1=2，a 3=4a 1=22，a 4=8a 1=32，a 5=16a 1=42，，以此类推：a 2019=22018．故选：B．【点睛】此题主要考查了等边三角形的性质以及含30度角的直角三角形的性质，根据已知得出a3=4a1=4，a4=8a1=8，a5=16…进而发现规律是解题关键．10．D解析：D【分析】对每个选项一一分析即可得到正确答案．【详解】解：A、错误，正确的说法是：含30°的直角三角形中 30°的对边等于最长边的一半；B、错误，例如a =1，b=2，满足a +b = 3 ，ab = 2，但不满足a -b = 1；C、错误，到三角形三边所在直线距离相等的点有4个，在三角形内部的有一个，是三个内角角平分线的交点，在三角形的外部还有三个，是三角形的外角角平分线的交点；D、正确，等腰三角形三边垂直平分线的交点、三个内角平分线的交点、顶角的顶点三点共线，都在等腰三角形的底边的垂直平分线上，故选：D．【点睛】本题考查了含30°的直角三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形的角平分线的性质，熟练掌握相关图形的性质是解决本题的关键．11．D解析：D【分析】由三角形的高可在三角形的内部，也可在三角形的外部，所以分锐角三角形和钝角三角形两种情况作出符合题意的图形，再结合等腰三角形的性质与三角形的内角和定理求解即可．【详解】解：如图，分两种情况：①如图，当三角形的高在三角形的内部时，AB=AC ，BD ⊥AC ，∠ABD=30°，∴∠A=60°，∴∠C=∠ABC=1802A ︒-∠ =60°； ②如图，当三角形的高在三角形的外部时，AB=AC ，BD ⊥AC ，∠ABD=30°，∴∠DAB=60°，∠BAC=120°，∴∠C=∠ABC=180302BAC ︒-∠=︒．故选：D ．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和直角三角形的两锐角互余，三角形的内角和定理的应用，三角形的高的含义，分类讨论的数学思想，掌握分类讨论解决问题是解题的关键． 12．D解析：D【分析】设BD=x ，根据等边三角形的性质得到∠A=∠B=∠C=60°，由垂直的定义得到∠BDF=∠DEA=∠EFC=90°，依次表示出BF 、CF 、CD 、AE 、AD ，然后根据AD+BD=AB 列方程即可求出x 的值．【详解】解：如图，设BD=x ，∵△ABC 是等边三角形，∴∠A=∠B=∠C=60°，∵DE ⊥AC 于点E ，EF ⊥BC 于点F ，FG ⊥AB ，∴∠BDF=∠DEA=∠EFC=90°，∴∠BFD=∠ADE=∠CEF=30°，∴BF=2x ，∴CF=6-2x ，∴CE=2CF=12-4x ，∴AE=6-CE=4x-6，∴AD=2AE=8x-12，∵AD+BD=AB，∴8x-12+x=6，∴x=2，∴AD=8x-12=16-12=4．故选：D．【点睛】本题考查了等边三角形的性质，含30°角的直角三角形的性质，熟练掌握等边三角形的性质是解题的关键．二、填空题13．【分析】按程序先作y轴对称求出点坐标横坐标-2纵坐标-1完成一次图形变换求出P变换后的坐标找出几次变换后规律奇次变换点的横坐标x=0偶次变换点的横坐标x=-2纵坐标变一次下移一个单位【详解】解：完成--解析：(2,2017)【分析】按程序先作y轴对称，求出点坐标，横坐标-2，纵坐标-1，完成一次图形变换求出P变换后的坐标，找出几次变换后规律奇次变换点的横坐标x=0，偶次变换点的横坐标x=-2，纵坐标变一次下移一个单位．【详解】-关于y轴的对称点（2，3），横坐标2-2=0，纵坐标3-解：完成1次图形变换，点P (2,3)1=2，P1（0，2），完成2次图形变换，点P1(0,2)关于y轴的对称点（0，2），横坐标0-2=-2，纵坐标2-1=1，P2（-2，1），完成3次图形变换，点P2（-2，1）关于y轴的对称点（2，1），横坐标3-3=0，纵坐标1-1=0，P3（0，0），完成4次图形变换，点P3（0，0）关于y轴的对称点（0，0），横坐标0-2=-2，纵坐标0-1=-1，P4（-2，-1），……,完成2020次图形变换，点P2019（0，3-2019）关于y轴的对称点（0，-2016），横坐标0-2=-2，纵坐标-2016-1=-2017，P2020（-2，-2017）．故答案为：（-2，-2017）．【点睛】本题考查图形规律探索问题，掌握图形程序变换的轴对称性质和平移特征，关键是找到变换规律奇次变换点的横坐标x=0，偶次变换点的横坐标x=-2，纵坐标变一次下移一个单位．14．【分析】由条件可证得△ABC≌△AED则可求得∠ACB=∠ADEAD=AC再利用等腰三角形的性质可求得答案【详解】解：∵∠CAD=∠BAE ∴∠CAD+∠CAE=∠BAE+∠CAE 即∠BAC=∠DAE解析：67.5【分析】由条件可证得△ABC ≌△AED ，则可求得∠ACB=∠ADE ，AD=AC ，再利用等腰三角形的性质可求得答案．【详解】解：∵∠CAD=∠BAE ，∴∠CAD+∠CAE=∠BAE+∠CAE ，即∠BAC=∠DAE ，在△ABC 和△AED 中，B E AB AEBAC EAD ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴△ABC ≌△AED （ASA ），∴AD=AC ，∠ACB=∠ADE ，∴∠ACD=∠ADC ，∵∠CAD=45°，∴∠ADC=67.5°，∴∠ACB=67.5°，故答案为：67.5．【点睛】本题主要考查全等三角形的判定和性质及等腰三角形的性质，掌握全等三角形的判定方法（即SSS 、SAS 、ASA 、AAS 和HL ）和全等三角形的性质（全等三角形的对应边相等、对应角相等）是解题的关键．15．见解析过点C 作CE ∥AB 且CE=1作点D 关于AB 的对称点F 连接EF 交AB 于一点为Q 在AB 上BQ 之间截取PQ=1连接CPDQ 则四边形PCDQ 为所求的周长最小的四边形【分析】（1）根据三角形周长公式计算解析：见解析，过点C 作CE ∥AB ，且CE=1，作点D 关于AB 的对称点F ，连接EF 交AB 于一点为Q ，在AB 上BQ 之间截取PQ=1，连接CP 、DQ ，则四边形PCDQ 为所求的周长最小的四边形【分析】（1）根据三角形周长公式计算；（2）过点C 作CE ∥AB ，且CE=1，作点D 关于AB 的对称点F ，连接EF 交AB 于一点为Q ，在AB 上BQ 之间截取PQ=1，连接CP 、DQ ，则四边形PCDQ 为所求的周长最小的四边形．【详解】（1）△ABC 的周长等于4312⨯=，故答案为：12；（2）如图：故答案为：过点C 作CE ∥AB ，且CE=1，作点D 关于AB 的对称点F ，连接EF 交AB 于一点为Q ，在AB 上BQ 之间截取PQ=1，连接CP 、DQ ，则四边形PCDQ 为所求的周长最小的四边形．．【点睛】此题考查等边三角形的性质，三角形周长计算公式，轴对称的性质，综合掌握各知识点是解题的关键．16．【分析】首先确定平面直角坐标系再根据轴对称图形的定义画出淇淇放的方形棋子的位置即可解决问题【详解】解：平面直角坐标系如图所示淇淇放的方形棋子的位置如图坐标为（-12）故答案为（-12）【点睛】本题考解析：()1,2-【分析】首先确定平面直角坐标系，再根据轴对称图形的定义画出淇淇放的方形棋子的位置，即可解决问题．【详解】解：平面直角坐标系如图所示，淇淇放的方形棋子的位置如图，坐标为（-1，2），故答案为（-1，2）．【点睛】本题考查坐标与图形的性质，坐标位置的确定等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．17．6【分析】先求得∠ABD=∠CBD=30°进而得AD=BD 设AD=BD=x(cm)列出关于x 的方程即可求解【详解】∵在中∴∠ABC=60°∵BD 平分∴∠ABD=∠CBD=30°∴∠ABD=∠A ∴AD解析：6先求得∠ABD=∠CBD=30°，进而得AD=BD ，设AD=BD=x(cm)，列出关于x 的方程，即可求解．【详解】∵在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，30A ∠=︒，∴∠ABC=60°,∵BD 平分ABC ∠，∴∠ABD=∠CBD=30°，∴∠ABD=∠A ，∴AD=BD ，设AD=BD=x(cm)，∵AC=9cm ，∴CD=(9-x)cm ， ∴912x x -=，即：x=6， ∴AD =6．故答案是：6【点睛】本题主要考查等腰三角形的判定定理以及含30°角的直角三角形的性质，熟练掌握“直角三角形中，30°角所对的直角边是斜边的一半”是解题的关键．18．3【分析】再根据含角的直角三角形的边角关系证得BC=AB=3根据平行线的性质可求得∠BDC=∠1=60°根据∠CBD=60°和三角形内角和定理可证得△BCD 是等边三角形即可证得CD=BC=3【详解】解析：3【分析】再根据含30角的直角三角形的边角关系证得BC=12AB=3，根据平行线的性质可求得∠BDC=∠1=60°，根据∠CBD=60°和三角形内角和定理可证得△BCD 是等边三角形，即可证得CD=BC=3．【详解】解：∵∠ACB=90°，∠A=30°，∴BC=12AB=3，∠CBD=60°， ∵12//l l ，∴∠BDC=∠1=60°，又∠CBD=60°，∴∠BCD=60°，∴△BCD 为等边三角形，∴CD=BC=3，故答案为：3．本题考查了含30角的直角三角形的边角关系、平行线的性质、三角形的内角和定理、等边三角形的判定与性质，熟练掌握含30角的直角三角形的边角关系，证得△BCD为等边三角形是解答的关键．19．100【分析】连接AO延长交BC于D根据线段垂直平分线的性质可得OB=OA=OC再根据等腰三角形的等边对等角和三角形的外角性质可得∠BOC=2∠A即可求解【详解】解：连接AO延长交BC于D∵O为△A解析：100【分析】连接AO延长交BC于D，根据线段垂直平分线的性质可得OB=OA=OC，再根据等腰三角形的等边对等角和三角形的外角性质可得∠BOC=2∠A，即可求解．【详解】解：连接AO延长交BC于D，∵O 为△ABC 三边垂直平分线的交点，∴OB=OA=OC，∴∠OBA=∠OAB，∠OCA=∠OAC，∵∠BOD=∠OBA+∠OAB=2∠OAB，∠COD=∠OCA+∠OAC=2∠OAC，∴∠BOC=∠BOD+∠COD=2∠OAB+2∠OAC=2∠BAC，∵∠BAC=50°，∴∠BOC=100°．故答案为：100．【点睛】本题考查线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、三角形的外角性质，属于基础题型，熟练掌握它们的性质和运用是解答的关键．20．50°或80°或65°【分析】由已知条件根据题意分三种情况讨论：①∠A是顶角；②∠A是底角∠B＝∠A时③∠A是底角∠B＝∠A时利用三角形的内角和进行求解【详解】①∠A是顶角∠B＝（180°−∠A）÷解析：50°或80°或65°【分析】由已知条件，根据题意，分三种情况讨论：①∠A是顶角；②∠A是底角，∠B＝∠A 时，③∠A是底角，∠B＝∠A时，利用三角形的内角和进行求解．【详解】①∠A是顶角，∠B＝（180°−∠A）÷2＝65°；②∠A是底角，∠B＝∠A＝50°．③∠A是底角，∠A＝∠C＝50°，则∠B＝180°−50°×2＝80°，∴当∠B的度数为50°或65°或80°时，△ABC是等腰三角形．故答案为：50°或65°或80°．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定及三角形的内角和定理；分情况讨论是正确解答本题的关键．三、解答题21．（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）由于△ABF与△DCE是直角三角形，根据直角三角形全等的判定的方法即可证明；（2）先根据三角形全等的性质得出∠AFB＝∠DEC，再根据等腰三角形的性质得出结论．【详解】证明：（1）∵BE＝CF，∴BE＋EF＝CF＋EF，即BF＝CE，∵∠A＝∠D＝90°，∴△ABF与△DCE都为直角三角形，在Rt△ABF和Rt△DCE中∵BF CE AB CD=⎧⎨=⎩，∴Rt△ABF≌Rt△DCE（HL）；（2）∵Rt△ABF≌Rt△DCE（已证），∴∠AFB＝∠DEC，∴OE＝OF．【点睛】本题主要考查全等三角形的判定和性质以及等腰三角形的判定定理，掌握HL判断两个直角三角形全等，是解题的关键．22．（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析．【分析】（1）利用关于y轴对称点的性质得出对应点位置进而得出答案；（2）直接利用平移的性质得出对应点位置进而得出答案；（3）直接利用轴对称的性质得出对称轴的位置进而得出答案．【详解】解：（1）如图所示：（2）如图所示；（3）如图所示．【点睛】此题主要考查了轴对称变换以及平移变换，正确得出对应点位置是解题关键． 23．（1）①60︒；②4；③150︒；（2）2222OA OB OC +=，证明见解析．【分析】（1）①由BAO BCD ≅△△得到,BO BD ABO CBD =∠=∠，继而证明ABC OBD ∠=∠即可解题；②由BAO BCD ≅△△得到BO BD =，结合①结论60OBD ∠=︒，可证明OBD 是等边三角形，即可解题；③根据BAO BCD ≅△△得到=AO CD ，在ODC △中根据三角形三边关系即勾股定理的逆定理，可证明ODC △为直角三角形，继而得到90ODC ∠=，再结合OBD 是等边三角形即可解得60OBD ∠=︒据此解题即可；（2）由,BAO BCD ≅可得90,,OBD ABC BO BD CD AO ∠=∠=︒==，可证明OBD 为等腰直角三角形，根据等腰直角三角形边的关系可得2OD OB =，最后根据直角三角形三边满足勾股定理解题即可．【详解】解:（1）①BAO BCD ≅,BO BD ABO CBD ∴=∠=∠ABO OBC CBD OBC ∴∠+∠=∠+∠即ABC OBD ∠=∠60ABC OBD ∴∠=∠=︒故答案为：60︒；②BAO BCD ≅BO BD ∴=，由①得60OBD ∠=︒OBD ∴△是等边三角形，4OD OB BD ∴===故答案为：4；③BAO BCD ≅AO CD ∴=4,3,5OD DC OC ===222OD DC OC ∴+=ODC ∴为直角三角形90ODC ∴∠= OBD △为等边三角形60BDO ∴∠=︒90+60=150BDC ODC BDO ∴∠=∠+∠=︒︒；（2）当2222OA OB OC +=时，90ODC ∠=︒．理由如下:,BAO BCD ≅90,,OBD ABC BO BD CD AO ∴∠=∠=︒==，OBD ∴△为等腰直角三角形，2OD OB ∴=，当222CD OD OC +=时，OCD 为直角三角形，90ODC ∠=︒2222OA OB OC ∴+=，当OA OB OC 、、满足2222OA OB OC +=时，90ODC ∠=︒．【点睛】本题考查勾股定理及其逆定理、全等三角形的性质、等边三角形的判定、等腰直角三角形的判定与性质等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．24．（1）作图见详解，（−2，1）；（2）8.5；（3）（5，3）或（−1，−3）【分析】（1）分别作出A ，B ，C 的对应点A 1，B 1，C 1即可．（2）利用分割法求解即可．（3）先根据P ，Q 关于x 轴对称，得到Q 的坐标，再构建方程求解即可．【详解】（1）如图，△A 1B 1C 1即为所求．点C 1的坐标（−2，1）．故答案为：（−2，1）；（2）S △ABC ＝5×5−12×1×3−12×4×5−12×2×5＝8.5．（3）∵点(),2P a a -与点Q 关于x 轴对称，∴Q (),2a a -，∵6PQ =，∴|(a-2)-(2-a)|=6，解得：a=5或a=-1，∴P （5，3）或（−1，−3）．故答案为：（5，3）或（−1，−3）．【点睛】本题考查了作图−轴对称变换，三角形的面积等知识，解题的关键是理解题意，掌握关于坐标轴对称的两点的坐标特征，属于中考常考题型．25．（1）见解析；（2）4AC =；（3）见解析【分析】（1）连接BD 由等腰三角形的性质和已知条件得出∠BAD ＝∠DAC ＝12×120°＝60°，再由AD ＝AB ，即可得出结论；（2）由等边三角形三线合一可得，122DG AG AD ===，可得4AD AB AC ===，即可求解；（3）由△ABD 是等边三角形，得出BD ＝AD ，∠ABD ＝∠ADB ＝60°，证出∠BDE ＝∠ADF ，由ASA 证明△BDE ≌△ADF ，得出AF ＝BE ，即可求解．【详解】证明：（1）AB AC =，AD BC ⊥，12BAD DAC BAC ∴∠=∠=∠， 120BAC ∠=︒，1120602BAD DAC ∴∠=∠=⨯︒=︒， =AD AB ，ABD ∴是等边三角形．（2）ABD 是等边三角形，AD AB BD ∴==，AD BC ⊥，122DG AG AD ∴===， 4AD AB AC ∴===，即4AC =；（3）ABD 是等三角形，60ABD ADB ∴∠=∠=︒，BD AD =，60EDF ∠=︒，ADB ADE EDF ADE ∴∠-∠=∠-∠，即BDE ADF ∠=∠．在BDE 和ADF 中，60ABD DAC ∠=∠=︒，BD AD =，BDE ADF ∠=∠， (ASA)BDE ADF ∴△≌△，BE AF ∴=，AB AE BE =+，AB AE AF ∴=+．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，等边三角形的判定与性质；熟练掌握等腰三角形的性质，并能进行推理论证是解决问题的关键．26．见解析【分析】由已知可得∠ABD=∠D ，从而得到AB=AD ，进而得到AC=AD ．【详解】证明：∵BD 是∠ABC 的平分线，∴∠ABD=∠CBD ，又AD//BC ，∴∠CBD=∠D ，∴∠ABD=∠D ，∴AB=AD ，∵AB=AC ，∴AC=AD ．【点睛】本题考查等腰三角形的性质与判定，熟练掌握平行线的性质、角平分线的定义、等腰三角形的判定与性质是解题关键．。

初二上册数学第三章试卷

一、选择题（每题3分，共30分）1. 下列各组数中，成等差数列的是（）A. 1, 3, 5, 7, 9B. 2, 4, 8, 16, 32C. 1, 4, 9, 16, 25D. 3, 6, 9, 12, 152. 等差数列{an}中，若a1=2，d=3，则第10项a10的值为（）A. 29B. 31C. 33D. 353. 等比数列{bn}中，若b1=2，q=3，则第5项b5的值为（）A. 54B. 18C. 6D. 24. 一个等差数列的前三项分别是1, 4, 7，那么它的第10项是（）A. 27B. 29C. 31D. 335. 一个等比数列的第四项是24，公比是2，那么它的第二项是（）A. 4B. 6C. 8D. 126. 若等差数列{an}的公差d=2，且a1+a5=24，则a3的值为（）A. 10B. 12C. 14D. 167. 若等比数列{bn}的公比q=1/2，且b3=32，则b1的值为（）A. 64B. 128C. 256D. 5128. 一个等差数列的前n项和为S，公差为d，首项为a1，则S与n的关系是（）A. S = (a1 + an) n / 2B. S = (a1 + an) n / 2 + dC. S = (a1 + an) n / 2 - dD. S = (a1 + an) n / 2 + 2d9. 一个等比数列的前n项和为S，公比为q，首项为a1，则S与n的关系是（）A. S = a1 (1 - q^n) / (1 - q)B. S = a1 (1 - q^n) / (1 - q) + qC. S = a1 (1 - q^n) / (1 - q) - qD. S = a1 (1 - q^n) / (1 - q) + 2q10. 若一个等差数列的前n项和为S，公差为d，首项为a1，且S=100，d=2，则a1的值为（）A. 30B. 32C. 34D. 36二、填空题（每题3分，共30分）11. 等差数列{an}中，若a1=5，d=3，则第7项a7的值为______。

八年级数学上册第三章试卷

一、选择题（每题3分，共30分）1. 下列选项中，不是第三章所学内容的是（）A. 平行四边形B. 矩形C. 三角形D. 菱形2. 在平行四边形ABCD中，如果∠A=80°，则∠C的度数是（）A. 80°B. 100°C. 140°D. 180°3. 下列图形中，既是矩形又是菱形的是（）A. 矩形B. 菱形C. 正方形D. 以上都是4. 在平行四边形ABCD中，如果AD=BC，那么四边形ABCD是（）A. 平行四边形B. 矩形C. 菱形D. 正方形5. 如果一个矩形的对角线相等，那么这个矩形一定是（）A. 平行四边形B. 矩形C. 菱形D. 正方形6. 下列说法正确的是（）A. 所有平行四边形都是矩形B. 所有矩形都是菱形C. 所有菱形都是正方形D. 所有正方形都是矩形7. 在平行四边形ABCD中，如果AB=CD，那么四边形ABCD是（）A. 平行四边形B. 矩形C. 菱形D. 正方形8. 下列图形中，对角线互相垂直的是（）A. 矩形B. 菱形C. 正方形D. 以上都是9. 如果一个正方形的边长为a，那么它的对角线长为（）A. aB. 2aC. √2aD. √3a10. 下列图形中，对角线互相平分的是（）A. 矩形B. 菱形C. 正方形D. 以上都是二、填空题（每题5分，共20分）11. 平行四边形的对边长度相等，对角线互相（）。

12. 矩形的四个角都是（）度。

13. 菱形的四条边都相等，对角线互相（）。

14. 正方形的四个角都是（）度。

15. 一个平行四边形的面积是8平方厘米，底边长是4厘米，那么高是（）厘米。

三、解答题（每题10分，共30分）16. 已知平行四边形ABCD，其中AB=8cm，BC=6cm，求对角线AC的长度。

17. 在矩形EFGH中，E点坐标为(2,3)，F点坐标为(6,3)，求对角线EH的长度。

18. 一个菱形ABCD，边长为10cm，求对角线BD的长度。

新人教版初中数学八年级数学上册第三单元《轴对称》测试卷(包含答案解析)(3)

一、选择题1．如图，已知30MON ︒∠=，点123,,...A A A 在射线ON 上，点123,,B B B …在射线OM 上，112223334,,...A B A A B A A B A ∆∆∆1n n n A B A +∆均为等边三角形，若11OA =，则778A B A ∆的边长为（）A ．16B ．32C ．64D ．128 2．已知一个等腰三角形两个内角度数之比为1：4，则这个等腰三角形顶角度数为（） A ．75° B ．90° C ．105°D ．120°或20° 3．点1(1,2020)P a -和2(2017,1)P b -关于x 轴对称，则()2021a b +的值为（）A ．1-B ．1C ．0D ．2021-4．在等腰ABC ∆中，80A ∠=︒，则B 的度数不可能是（）A ．80︒B ．60︒C ．50︒D ．20︒ 5．如图，在Rt ABC ∆中， 90,30,ACB A CD ︒︒∠=∠=是斜边AB 上的高，2BD =，那么AD 的长为（）A ．2B ．4C ．6D ．86．如图，△ABC 中，AB =AC ，∠BAC =100°，AD 是BC 边上的中线，CE 平分BCA ∠交AB 于点E ，AD 、CE 相交于点F ，则∠CFA 的度数是（）A ．100°B ．105°C ．110°D ．120°7．三个等边三角形的摆放位置如图所示，若12100︒∠+∠=，则3∠的度数为（）A．80︒B．70︒C．45︒D．30︒8．如图，在△ABC中，∠C＝84°，分别以点A，B为圆心，以大于12AB的长为半径画弧，两弧分别交于点M，N，作直线MN交AC于点D；以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交BA，BC于点E，F，再分别以点E，F为圆心，大于12EF的长为半径画弧，两弧交于点P．若此时射线BP恰好经过点D，则∠A的大小是（）A．30°B．32°C．36°D．42°9．如图，△ABC中，AB=AC=5，BC=8，则sin B的值为（）A．58B．45C．35D．1210．如图所示，D 为BC 上一点，且AB＝AC＝BD，则图中∠1 与∠2 的关系是（）A．∠1＝2∠2 B．∠1+∠2＝180°C．∠1+3∠2＝180°D．3∠2﹣∠1＝180°11．下列图案是轴对称图形的是有（）A．①②B．①③C．①④D．②③12．如图，AC AD=，BC BD=，则有（）A ．AB 与CD 互相垂直平分B ．CD 垂直平分ABC ．CD 平分ACB ∠ D ．AB 垂直平分CD二、填空题13．如图，点D 、E 是ABC 的边BC 上的点，且AED n ∠=︒，::1:3:2CAD DAE BAE ∠∠∠=，若点D 在边AC 的垂直平分线上，点E 在边AB 的垂直平分线上，则n =________．14．如图，在ABC 中，AB 的垂直平分线DE 分别与,AB BC 交于点,D E ，AC 的垂直平分线FG 分别与,BC AC 交于点,F G ，10,3BC EF ==，则AEF 的周长是________．15．嘉嘉和淇淇下棋，嘉嘉执圆形棋子，淇淇执方形棋子，如图，棋盘中心的圆形棋子的位置用()1,1-表示，右下角的圆形棋子用()0,0表示，淇淇将第4枚方形棋子放入棋盘后，所有棋子构成的图形是轴对称图形．则淇淇放的方形棋子的位置是__________．16．已知等腰三角形的一边长为5，另一边长为10，则这个等腰三角形的周长为___________．17．如图，在ABC 中，点D 是BC 上一动点，BD ，CD 的垂直平分线分别交AB ，AC 于点E ，F ，在点D 的运动过程中，EDF ∠与A ∠的大小关系是EDF ∠______A ∠（填“＞”“＝”或“＜”）．18．如图，P 是等边三角形ABC 内一点，∠APB ，∠BPC ，∠CPA 的大小之比为5：6：7，则以PA ，PB ，PC 为边的三角形三内角大小之比（从小到大）是_________________．19．如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，交BC 于点D ，BE ⊥AD 于E ，AB =6，AC =14，∠ABC =3∠C ，则BE =____．20．如图，ABC ∆中，ABC ∠与ACB ∠的平分线交于点F ，过点F 作//DE BC 交AB 于点D ，交AC 于点E ，那么下列结论：①BDF ∆和CEF ∆都是等腰三角形；②DE BD CE =+；③ADE ∆的周长等于AB 与AC 的和；④BF CF =；⑤若80A ∠=︒，则130BFC ∠=︒．其中正确的有_______．（填正确的序号）．三、解答题21．如图，在四边形ABCD 中，//AB CD ，ABC ∠的平分线交CD 的延长线于点E ，F 是BE 的中点，连接CF 并延长交AD 于点G ．（1）求证：BCG DCG ∠=∠．（2）若50CGD ︒∠=，58ABC ︒∠=，求ADE ∠的度数．22．在等边三角形ABC 中，点E 为线段AB 上一动点，点E 与A ，B 不重合，点D 在CB 的延长线上，且ED ＝EC ．（1）当E 为边AB 的中点时，如图1所示，确定线段AE 与BD 的大小关系，并证明你的结论；（2）如图2，当E 不是边AB 的中点时，（1）中的结论是否成立？若不成立，请直接写出BD 与AE 的数量关系；若成立，请给予证明；（提示：过E 作//EF BC 交AC 于点F ）（3）在等边三角形ABC 中，点E 在直线AB 上，点D 在直线BC 上，且ED ＝EC ，ABC 的边长为1，AE ＝2，请直接写出CD 的长．23．如图，在ABC ∆中，60B ∠=︒，点M 从点B 出发沿线段BC 方向，在线段BC 上运动．在点M 运动的过程中，连结AM ，并以AM 为边在线段BC 上方，作等边AMN ∆，连结CN ．（1）当_________BAM ∠=时，2AB BM =；（2）请添加一个条件：_________，使得ABC ∆为等边三角形；当ABC ∆为等边三角形时，求证：CN CM AC +=；24．如图，在ABC ∆中，AB AC =．（1）尺规作图：作边AB 的垂直平分线，交AB 于点D ，交AC 于点E ，连结BE ；（保留作图痕迹，不写作法）（2）若6AB =，4BC =，求BEC ∆的周长．25．如图，等边三角形ABC 中，AD BC ⊥，垂足为D ，点E 在线段AD 上，45EBC ∠=︒，求ACE ∠的度数．26．在平面直角坐标系中，点(0,)A a ，点(,0)B b ，点(3,0)C -，且a 、b 满足269||0a a a b -++-=．（1）点A 坐标为______，点B 坐标为______，ABC 是______三角形．（2）如图，过点A 作射线l （射线l 与边BC 有交点），过点B 作BD l ⊥于点D ，过点C 作CE l ⊥于点E ，过点E 作EF DC ⊥于点F 交y 轴于点G ．①求证：BD AE =；②求点G 的坐标．（3）如图，点P 是x 轴正半轴上一动点，APO ∠的角平分线交y 轴于点Q ，点M 为线段OP 上一点，过点M 作//MN PQ 交y 轴于点N ；若45AMN ∠=︒，请探究线段AP 、AN 、PM 三者之间的数量关系，并证明你的结论．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．C解析：C【分析】根据三角形的外角性质以及等边三角形的判定和性质得出OA1=B1A1=1，OA2=B2A2=2，OA3=B3A3=224=，…进而得出答案．=，OA4=B4A4=328【详解】如图，∵△A1B1A2是等边三角形，∴A1B1=A2B1，∠2=60°，∵∠MON=30°，∴∠MON=∠1=30°，∴OA1=A1B1=1，∴A2B1= A1A2=1，∵△A2B2A3是等边三角形，同理可得：OA2=B2A2=2，同理；OA3=B3A3=224=，OA4=B4A4=328=，OA5=B5A5=4216=，…，以此类推：所以OA 7=B 7A 7=6264=，故选：C ．【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质以及等腰三角形的性质，根据已知得出OA 2=B 2A 2=2， OA 3=B 3A 3=224=，OA 4=B 4A 4=328=，…进而发现规律是解题的关键．2．D解析：D【分析】设两内角的度数为x 、4x ，分两种情况，列出方程，即可求解．【详解】解：设两内角的度数为x 、4x ，当等腰三角形的顶角为x 时，x ＋4x ＋4x ＝180°，x ＝20°；当等腰三角形的顶角为4x 时，4x ＋x ＋x ＝180°，x ＝30°，4x ＝120°；因此等腰三角形的顶角度数为20°或120°．故选：D ．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，掌握分类讨论思想方法是解题的关键．3．A解析：A【分析】关于x 轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数，可得a ，b 的值，进一步可得答案．【详解】解：∵1(1,2020)P a -和2(2017,1)P b -关于x 轴对称，得a-1=2017，1-b=2020．解得a=2018，b=-2019，∴()()()202120212021=2018201911a b +-=-=- 故选：A ．【点睛】本题考查了关于x 轴、y 轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：关于x 轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于y 轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数． 4．B解析：B【分析】分∠A 是顶角和底角两种情况分类讨论求得∠B 的度数，即可得到答案．【详解】当∠A 是顶角时，则∠B=(180°-∠A)÷2=(180°-80°)÷2=50°，当∠B 是顶角时，则∠A 是底角，∴∠B=180°-80°-80°=20°，当∠C 是顶角时，则∠A 和∠B 都是底角，∴∠B=∠A=80°，综上所述：∠B 的度数为：50°或20°或80°．观察各选项可知∠B 不可能是60°．故选B ．【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质，掌握分类讨论思想方法，是解题的关键．5．C解析：C【分析】根据∠ACB=90°，∠A=30°，CD 是斜边AB 上的高，利用互余关系求∠BCD=30°，DB=2，可求BC ，在Rt △ABC 中，再利用含30°的直角三角形的性质求AB ，再用线段的差求AD ．【详解】解：Rt △ABC 中，∵∠ACB=90°，∠A=30°，∴∠B=90°-∠A=90°-30°=60°，CD 是斜边AB 上的高，∴∠CDB=90°，∴∠BCD=90°-∠B=30°，∴BC=2BD ＝4，同理，AB=2BC=8，AD=AB-BD=8-2=6，故选：C ．【点睛】本题考查了含30°的直角三角形的性质，准确运用在直角三角形中，30°角所对直角边等于斜边的一半是解题关键．6．C解析：C【分析】根据等腰三角形的性质得BCA ∠的度数，再根据角平分线算出ACF ∠的度数，再由“三线合一”的性质得CAD ∠的度数，即可求出结果．【详解】解： ∵AB AC =， ∴180100402BCA ︒-︒∠==︒， ∵CE 平分BCA ∠， ∴1202ACF BCA ∠=∠=︒， ∵AB AC =，AD 是BC 上的中线，∴1502CAD BAC ∠=∠=︒， ∴180110CFA CAD ACF ∠=︒-∠-∠=︒．故选：C ．【点睛】本题考查等腰三角形的性质，解题的关键是掌握等腰三角形的性质．7．A解析：A【分析】由平角的性质可得∠3＋∠6＋60°＝180°，∠2＋∠4＋60°＝180°，∠1＋∠5＋60°＝180°，可得∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋∠6＝540°−180°，将∠1＋∠2＝100°代入可求解．【详解】∵∠3＋∠6＋60°＝180°，∠2＋∠4＋60°＝180°，∠1＋∠5＋60°＝180°，∴∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋∠6＝540°−180°=360°，∵∠4＋∠5＋∠6＝180°，∴∠1＋∠2＋∠3=360°-180°=180°，∴∠3＝180°−（∠1＋∠2）＝80°，故选：A ．【点睛】本题考查了等边三角形的性质，平角的性质，三角形内角和定理，熟练运用这些性质进行推理是本题的关键．8．B解析：B【分析】根据题中作图知：DM 垂直平分AB ，BD 平分∠ABC ，利用三角形内角和定理计算即可．【详解】由题意得：DM 垂直平分AB ，BD 平分∠ABC ，∵DM 垂直平分AB ，∴AD=BD ，∴∠A=∠ABD ，∵BD 平分∠ABC ，∴∠ABD=∠CBD ，∵∠A+∠ABD+∠CBD+∠C=180︒，∠C ＝84°，∴∠A=32︒，故选：B ．【点睛】此题考查线段垂直平分线作图及性质，角平分线作图及性质，三角形的内角和定理，根据题意得到DM 垂直平分AB ，BD 平分∠ABC 是解题的关键．9．C解析：C【分析】过A 点作AD BC ⊥交BC 于点D ，利用等腰三角形的三线合一求出BD ，利用勾股定理求出AD 即可解决问题．【详解】过A 点作AD BC ⊥交BC 于点D ，如图∵5AB AC ==，8BC =，∴4BD CD ==， ∴2222543AD AB BD =--=， ∴3sin 5AD B AB ==．故选：C ．【点睛】本题考查等腰三角形的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．10．D解析：D【分析】根据三角形外角的性质得12C ∠+∠=∠，再根据等腰三角形的性质得B C ∠=∠，2BAD ∠=∠，由180BAC B C ∠+∠+∠=︒即可得出1∠与2∠的关系．【详解】解：∵2∠是ACD △的外角，∴12C ∠+∠=∠，∴∠C=∠2-∠1，∵AB AC =，∴B C ∠=∠，∵AB BD =，∴2BAD ∠=∠，∴112BAC BAD ∠=∠+∠=∠+∠，∵180BAC B C ∠+∠+∠=︒，∴122121180∠+∠+∠-∠+∠-∠=︒，即321180∠-∠=︒．故选：D ．【点睛】本题考查等腰三角形的性质，解题的关键是利用等腰三角形的性质得到相等的角． 11．C解析：C【分析】根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．【详解】解：①是轴对称图形，②不是轴对称图形，③不是轴对称图形，④是轴对称图形．故选：C ．【点睛】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．12．D解析：D【分析】根据线段垂直平分线的判定定理解答．【详解】∵AC AD =，BC BD =，∴AB 垂直平分CD ，故D 正确，A 、B 错误，OC 不平分∠ACB ，故C 错误，故选：D ．【点睛】此题考查线段垂直平分线的判定：到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．二、填空题13．80【分析】先根据垂直平分线的性质和等边对等角可得∠DAC=∠C ∠BEA=∠B 再根据比例关系设根据三角形内角和定理可求得x 再根据三角形外角的性质可得∠AED 【详解】解：∵点D 在边AC 的垂直平分线上点解析：80【分析】先根据垂直平分线的性质和等边对等角可得∠DAC=∠C ，∠BEA=∠B ，再根据比例关系设,3,2CAD x DAE x BAE x ∠=∠=∠=，根据三角形内角和定理可求得x ，再根据三角形外角的性质可得∠AED ．【详解】解：∵点D 在边AC 的垂直平分线上，点E 在边AB 的垂直平分线上，∴AD=CD ，AE=BE ，∴∠DAC=∠C ，∠BAE=∠B ，∵::1:3:2CAD DAE BAE ∠∠∠=，∴设,3,2CAD x DAE x BAE x ∠=∠=∠=，∴,2C x B x ∠=∠=，∵∠B+∠C+∠BAC=180°，∴322180x x x x x ++++=︒，解得20x =︒，∴22480AED BAE B x x x ∠=∠+∠=+==︒，即n=80，故答案为：80．【点睛】本题考查垂直平分线的性质，等边对等角，三角形内角和定理和三角形外角的性质．理解线段垂直平分线上的点到线段两端距离相等是解题关键．14．16【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到EB ＝EAAF ＝FC 根据三角形的周长公式计算得到答案【详解】解：∵DE 是AB 边的垂直平分线∴EB ＝EA ∵FG 是AC 边的垂直平分线∴AF ＝FC ∴△AEF 的周长解析：16【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到EB ＝EA 、AF ＝FC ，根据三角形的周长公式计算，得到答案．【详解】解：∵DE 是AB 边的垂直平分线，∴EB ＝EA ，∵FG 是AC 边的垂直平分线，∴AF ＝FC ，∴△AEF 的周长=AF+AE+EF=FC+BE+EF=EC+EF+BE+EF=BC+2EF=10+6=16，故答案为：16．【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．15．【分析】首先确定平面直角坐标系再根据轴对称图形的定义画出淇淇放的方形棋子的位置即可解决问题【详解】解：平面直角坐标系如图所示淇淇放的方形棋子的位置如图坐标为（-12）故答案为（-12）【点睛】本题考解析：()1,2-【分析】首先确定平面直角坐标系，再根据轴对称图形的定义画出淇淇放的方形棋子的位置，即可解决问题．【详解】解：平面直角坐标系如图所示，淇淇放的方形棋子的位置如图，坐标为（-1，2），故答案为（-1，2）．【点睛】本题考查坐标与图形的性质，坐标位置的确定等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．16．25【分析】分腰长为10和腰长为5两种情况讨论不合题意的舍去据此即可求解【详解】解：当腰长为10时三边分别为10105构成三角形周长为10+10+5=25；当腰长为5时三边分别为5510∵5+5=1解析：25【分析】分腰长为10和腰长为5两种情况讨论，不合题意的舍去，据此即可求解．【详解】解：当腰长为10时，三边分别为10、10、5，构成三角形，周长为10+10+5=25；当腰长为5时，三边分别为5、5、10，∵5+5=10，无法构成三角形，不合题意．故答案为：25【点睛】本题考查了等腰三角形的定义和三角形的三边关系，熟知相关定理是解题关键． 17．＝【分析】先根据线段的垂直平分线的性质得到EB=EDFD=FC 则根据等腰三角形的性质得到∠EDB=∠B ∠FDC=∠C 然后利用平角的定义得∠EDF=180°-（∠EDB+∠FDC ）利用三角形内角和定理解析：＝【分析】先根据线段的垂直平分线的性质得到EB=ED，FD=FC，则根据等腰三角形的性质得到∠EDB=∠B，∠FDC=∠C，然后利用平角的定义得∠EDF=180°-（∠EDB+∠FDC），利用三角形内角和定理得到∠A=180°-（∠B+∠C），所以∠EDF=∠A．【详解】解：∵BD、CD的垂直平分线分别交AB、AC于点E、F，∴EB=ED，FD=FC，∴∠EDB=∠B，∠FDC=∠C，∴∠EDB+∠FDC=∠B+∠C，∵∠EDF=180°-（∠EDB+∠FDC），∠A=180°-（∠B+∠C），∴∠EDF=∠A．故答案为：=．【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质：垂直平分线垂直且平分其所在线段；垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．也考查了等腰三角形的性质．18．2：3：4【分析】将△APB绕A点逆时针旋转60°得△AP′C显然有△AP′C≌△APB连PP′证△AP′P是等边三角形PP′=AP所以△P′CP的三边长分别为PAPBPC；由∠APB：∠BPC：∠解析：2：3：4．【分析】将△APB绕A点逆时针旋转60°得△AP′C，显然有△AP′C≌△APB，连PP′，证△AP′P是等边三角形，PP′=AP，所以△P′CP的三边长分别为PA，PB，PC；由∠APB：∠BPC：∠CPA=5：6：7，设∠APB=5xº，∠BPC=6xº，∠CPA=7xº，5x+6x+7x=360，x=20，得到∠APB=100°，∠BPC=120°，∠CPA=140°，这样可分别求出∠PP′C=40°，∠P′PC=80°，∠PCP′=60°即可．【详解】如图，将△APB绕A点逆时针旋转60°得△AP′C，显然有△AP′C≌△APB，连PP′，∵AP′=AP，∠P′AP=60°，∴△AP′P是等边三角形，∴PP′=AP，∵P′C=PB，∴△P′CP的三边长分别为PA，PB，PC，∵∠APB+∠BPC+∠CPA=360°，∠APB：∠BPC：∠CPA=5：6：7，设∠APB=5xº，∠BPC=6xº，∠CPA=7xº，∴5x+6x+7x=360，∴18x=360，∴x=20，∴∠APB=100°，∠BPC=120°，∠CPA=140°，∴∠PP′C=∠AP′C -∠AP′P=∠APB-∠AP′P=100°-60°=40°，∠P′PC=∠APC-∠APP′=140°-60°=80°，∠PCP′=180°-（40°+80°）=60°，∴∠PP′C ：∠PCP′：∠P′PC=40°：60°:80°=2：3：4．故答案为：2：3：4．【点睛】本题考查了旋转的性质：旋转前后的两个图形全等，对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角，对应点到旋转中心的距离相等．也考查了等边三角形的性质．利用方程来解角成比例问题，三角形的内角和，用角度的和差计算解决问题．19．【分析】如图延长交于证明可得再求解再证明：可得从而可得答案【详解】解：如图延长交于AD 平分∠BAC 故答案为：【点睛】本题考查的是三角形的内角和定理三角形的外角的性质角平分线的定义等腰三角形的判定与性解析：4.【分析】如图，延长BE ，交AC 于G ，证明,AGB ABG ∠=∠ 可得,AG AB = ,GE BE = 再求解CG ，再证明：C CGB ∠=∠，可得,BG CG = 从而可得答案．【详解】解：如图，延长BE ，交AC 于G ，AD 平分∠BAC ，,GAE BAE ∴∠=∠,BE AD ⊥90AEG AEB ∴∠=∠=︒，,AGB ABG ∴∠=∠6AG AB ∴==，,GE BE = 14AC =，8CG ∴=，,AGB C CBG ∠=∠+∠2,ABC ABG CBG AGB CBG C CBG ∴∠=∠+∠=∠+∠=∠+∠3,ABC C ∠=∠32,C C CBG ∴∠=∠+∠,C CBG ∴∠=∠8BG CG ∴==，1 4.2BE BG ∴== 故答案为：4.【点睛】本题考查的是三角形的内角和定理，三角形的外角的性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定与性质，掌握以上知识是解题的关键．20．①②③⑤【分析】①根据平行线性质和角平分线定义可以得到DB=DFEF=EC 从而得到△BDF 和△CEF 都是等腰三角形；②同①有DB=DFEF=EC 所以DE=DF+EF=BD+CE ；③由②得：△ADE 的解析：①②③⑤【分析】①根据平行线性质和角平分线定义可以得到DB=DF ，EF=EC ，从而得到△BDF 和△CEF 都是等腰三角形；②同①有DB=DF ，EF=EC ，所以DE=DF+EF=BD+CE ；③由②得：△ADE 的周长为：AD+DE+AE=AB+BD+CE+AE=AB+AC ；④因为∠ABC 不一定等于∠ACB ，所以∠FBC 不一定等于∠FCB ，所以BF 与CF 不一定相等；⑤由角平分线定义和三角形内角和定理可以得解．【详解】解：∵DE ∥BC ，∴∠DFB=∠FBC ，∠EFC=∠FCB ，∵△ABC 中，∠ABC 与∠ACB 的平分线交于点F ，∴∠DBF=∠FBC ，∠ECF=∠FCB ，∴∠DBF=∠DFB ，∠ECF=∠EFC ，∴DB=DF ，EF=EC ，即△BDF 和△CEF 都是等腰三角形；故①正确；∴DE=DF+EF=BD+CE ，故②正确；∴△ADE 的周长为：AD+DE+AE=AB+BD+CE+AE=AB+AC ；故③正确；∵∠ABC 不一定等于∠ACB ，∴∠FBC 不一定等于∠FCB ，∴BF 与CF 不一定相等，故④错误；由题意知，1122FBC ABC FCB ACB ∠=∠∠=∠，， ∴()()11801802BFC FBC FCB ABC ACB ∠=︒-∠+∠=︒-∠+∠=()()111801801801808022A ︒-︒-∠=︒-︒-︒ =130°, 故⑤正确，故答案为①②③⑤．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质、角平分线的性质、平行线的性质及三角形的内角和定理；题目利用了两直线平行，内错角相等及等角对等边来判定等腰三角形；等量代换的利用是解答本题的关键．三、解答题21．（1）见解析；（2）111ADE ︒∠=．【分析】（1）根据BE 平分ABC ∠，得到12ABF CBF ABC ∠=∠=∠，由 AB CD ∥，可证得BCE 是等腰三角形，根据F 为BE 的中点，可证BCG DCG ∠=∠；（2）根据AB CD ∥，58ABC ︒∠=，可得 122BCD ︒∠=，利用CG 平分BCD ∠，求得1612GCD BCD ︒∠=∠=，根据 50CGD ︒∠=，ADE CGD GCD ∠=∠+∠，可求得 111ADE ∠=︒．【详解】解：（1）∵BE 平分ABC ∠， ∴12ABF CBF ABC ∠=∠=∠． ∵AB CD ∥，∴ABF E ∠=∠，∴CBF E ∠=∠，∴BC ＝CE ， ∴BCE 是等腰三角形．∵F 为BE 的中点，∴CF 平分BCD ∠，即BCG DCG ∠=∠．（2）∵AB CD ∥， ∴180ABC BCD ∠+∠=︒．∵58ABC ︒∠=，∴122BCD ︒∠=．∵CG 平分BCD ∠，∴1612GCD BCD ︒∠=∠=． ∵50CGD ∠=︒，ADE CGD GCD ∠=∠+∠，∴111ADE ∠=︒．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，三角形外角的性质等等知识点，判断出△BCE 是等腰三角形是解题的关键．22．（1）AE ＝BD ；见解析；（2）成立；AE ＝BD ；见解析；（3）CD 的长为3或1.【分析】（1）根据等边三角形三线合一的性质证得∠ECB ＝30°，由DE ＝CE ，求出∠D ＝∠ECB ＝30°得到∠DEB ＝30°，推出BD ＝BE ，根据AE ＝BE 证得结论；（2）过E 作EF ∥BC 交AC 于点F ，得到△AEF 是等边三角形，推出BE=CF ，利用∠DBE ＝∠EFC ＝120°，∠BED ＝∠ECF ，证得△DEB ≌△ECF （AAS ），得到BD ＝EF=AE ；（3）作EF ∥BC 交CA 的延长线于点F ，则△AEF 为等边三角形，利用∠CEF ＝∠EDB ，EB ＝CF ＝3，∠F ＝∠B ＝60°，证得△CEF ≌△EDB （AAS ），得到BD ＝EF ＝2，求出CD ＝BD －BC ＝1，同理可得CD ＝3【详解】解：（1）AE ＝BD ；证明：∵△ABC 为等边三角形，AE ＝BE ，∴CE 平分∠ACB ，∴∠ECB ＝30°．∵DE ＝CE ，∴∠D ＝∠ECB ＝30°．∵∠ABC ＝∠D ＋∠DEB ＝60°，∴∠DEB ＝30°，∴∠D ＝∠DEB ，∴BD ＝BE ．∵AE ＝BE ，∴AE ＝BD ；（2）当E 为边AB 上任意一点时，AE ＝BD 仍成立；证明：如图1，过E 作EF ∥BC 交AC 于点F ．∵△ABC 是等边三角形，∴∠ABC ＝∠ACB ＝∠A ＝60°，AB ＝AC ＝BC ，∴∠AEF＝∠ABC＝60°，∠AFE＝∠ACB＝60°，即∠AEF＝∠AFE＝∠A＝60°,∴△AEF是等边三角形，∴AE＝EF＝AF．∵∠ABC＝∠ACB＝60°，∴∠DBE＝∠EFC＝120°，∠D＋∠BED＝∠FCE＋∠ECD＝60°．∵DE＝EC，∴∠D＝∠ECD，∴∠BED＝∠ECF，∴△DEB≌△ECF（AAS），∴BD＝EF，∴AE＝BD；（3）CD的长为3或1如图2，作EF∥BC交CA的延长线于点F，则△AEF为等边三角形，∴AF＝AE＝EF＝2，∠BEF＝60°，∴∠CEF＝60°＋∠BEC．∵∠EDC＝∠ECD＝∠B＋∠BEC＝60°＋∠BEC，∴∠CEF＝∠EDB．又∵EB＝CF＝3，∠F＝∠B＝60°，∴△CEF≌△EDB（AAS），∴BD＝EF＝2，∴CD＝BD－BC＝1，如图3，同理可得CD＝3，综上所述，CD的长为3或1【点睛】此题考查等边三角形的性质，全等三角形的判定及性质，平行线的性质，等腰三角形等边对等角的性质，熟练掌握三角形的知识并熟练应用是解题的关键．23．（1）30；（2）AB=AC；证明详见解析．【分析】（1）根据含30°角的直角三角形的性质解答即可；（2）利用等边三角形的判定即可解答；利用等边三角形的性质和全等三角形的判定证得△BAM≌△CAN（SAS），利用全等三角形的性质即可求证结论．【详解】（1）当∠BAM=30°时，∴∠AMB=180°﹣60°﹣30°=90°，∴AB=2BM；故答案为30；（2）添加一个条件AB=AC，可得△ABC为等边三角形；故答案为AB=AC；①∵△ABC与△AMN是等边三角形，∴BC＝AB=AC，AM=AN，∠BAC=∠MAN=60°，∴∠BAC﹣∠MAC=∠MAN﹣∠MAC，即∠BAM=∠CAN，∴△BAM≌△CAN（SAS），∴BM=CN，∴BM＋CM=CN＋CM即BC＝AC＝CN＋CM．【点睛】本题考查等边三角形的判定及性质、全等三角形的判定及性质、含30°角的直角三角形的性质，解题的关键是熟练掌握所学知识．24．（1）见详解；（2）10．【分析】（1）分别以A、B两点为圆心，以大于12AB长度为半径画弧，在AB两边分别相交于两点，然后过这两点作直线即为AB的垂直平分线；（2）由中垂线的性质得AE＝BE，根据△EBC的周长＝BE＋CE＋BC＝AE＋CE＋BC＝AC＋BC，进而可得答案．【详解】（1）如图所示：（2）∵6AB =，∴6AC AB ==，∵DE 是AB 的垂直平分线，∴AE=BE ，∴BEC ∆的周长=BC+CE+BE=BC+CE+AE=BC+AC=4+6=10．【点睛】本题考查了线段的垂直平分线的性质及等腰三角形的性质及基本作图，解题的关键是掌握垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等．25．15°【分析】根据等边三角形的性质可得∠ACB 的度数，并证得 AD 是BC 的垂直平分线，利用线段垂直平分线性质定理可得BE=CE ，再由等腰三角形的性质可求得∠ECB 的度数，即可求得结论．【详解】解：∵△ABC 是等边三角形，AD BC ⊥ ，∴60ACB ∠=︒，BD CD =，∴AD 是BC 的重直平分线，点E 在线段AD 上∴BE CE =．∵45EBC ∠=︒，∴45ECB EBC ∠=∠=︒，∴6045=15ACE ACB ECB ∠=∠-∠=︒-︒︒．【点睛】此题考查了等边三角形的性质、线段垂直平分线的性质等知识，掌握相关的性质定理并能灵活应用所学知识是解题的关键．26．（1）(0,3)A ，(3,0)B ，等腰直角；（2）①见解析；②点 (0,3)G -；（3）AP AN PM =+，证明见解析．【分析】（1）根据偶次方与绝对值的非负性，解得a b 、的值，即可解得点A 、B 的坐标，继而根据等腰直角三角形的判定方法解题；（2）①由等角的余角相等，解得BAD ACE =∠∠，结合（1）中结论，进而证明AEC BDA ≌△△(AAS)，即可解题；②由AEC BDA ≌△△可证CAE ABD ∠=∠，继而得到GAE CBD ∠=∠，设CF 交y 轴于点H ，根据等角的余角相等，得到HGE OCH ∠=∠，继而证明AGE BCD ≌△△(AAS)解得AG 、OG 的长即可解题；（3）在AP 上截取AH AN =，连接MH ，设NMO α∠=，分别解得45AMO α∠=︒+，=45NAM α∠︒-，由角平分线的性质解得2APO α∠=，45HAM α∠=︒-，进而得到NAM HAM ∠=∠，即可证明AMN AMH ≌(SAS)，继而证明PMH PHM ∠=∠，PH PM =即可解题．【详解】（1）269||0a a a b -++-=2(3)||0a a b ∴-+-=3,3a b a ∴===(0,3)A ∴，(3,0)B ，(3,0)C -,AO OB CO AO ∴==90AOB AOC ∠=∠=︒45ACO ABO ∴∠=∠=︒90CAB ∴∠=︒()AOC AOB SAS ∴≅AC AB ∴=ABC ∴为等腰直角三角形，故答案为：(0,3)A ，(3,0)B ，等腰直角；（2）①BD l ⊥，CE l ⊥90BDA AEC ∴∠=∠=︒90,90BAD CAE CAE ACE ∠+∠=︒∠+∠=︒BAD ACE ∴∠=∠AC AB =AEC BDA ∴≌(AAS)，∴BD AE =．②AEC BDA ≌ CAE ABD ∴∠=∠45CAO ABO ∠=∠=︒GAE CBD ∴∠=∠，设CF 交y 轴于点HEF DC ⊥90CFG ∴∠=︒90FGH FHG ∴∠+∠=︒90COH ∠=︒90OCH CHO ∴∠+∠=︒∴CHO FHG ∠=∠HGE OCH ∴∠=∠又∵AE BD =∴AGE BCD ≌△△(AAS)∴6AG BC ==又∵3AO =，∴3OG =∴点(0,3)G -．（3）AP AN PM =+．证明过程如下：在AP 上截取AH AN =，连接MH ，设NMO α∠=，45AMN ∠=︒45AMO α∴∠=︒+，∴()904545NAM αα∠=︒-︒+=︒-，又∵//MN PQ∴QPO NMO α∠=∠=，∵PQ 平分APO ∠∴2APO α∠=∴45245HAM ααα∠=︒+-=︒-∴NAM HAM ∠=∠又∵AN AH =，AM AM =∴AMN AMH ≌(SAS)∴45AMH AMN ∠=∠=︒∴90PMH α∠=︒-，又∵()454590PHM αα∠=︒+︒-=︒-∴PMH PHM ∠=∠∴PH PM =∴AP AH PH AN PM =+=+．【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形、角平分线的性质、平行线的性质、绝对值的非负性、偶次方的非负性等知识，是重要考点，难度一般，掌握相关知识是解题关键．。

八年级数学上册第3章试卷含答案

第3章自我评价一、选择题(每小题2分，共20分)1．下列数值中，不是不等式5x ≥2x ＋9的解的是(D )A ． 5B ． 4C ． 3D ． 22．若a>b ，则下列不等式中，不成立的是(B )A ．a －3>b －3B ．－3a >－3bC ．a 3>b 3D ．－a <－b 3．不等式－2x>12的解是(A )A ． x <－14B ． x <－1C ． x >－14D ． x >－14．不等式3(x －1)≤5－x 的非负整数解有(C )A ． 1个B ． 2个C ． 3个D ． 4个5．在等腰三角形ABC 中，AB ＝AC ，其周长为20 cm ，则AB 边的取值范围是(B )A ．1 cm ＜AB ＜4 cm B ．5 cm ＜AB ＜10 cmC ．4 cm ＜AB ＜8 cmD ．4 cm ＜AB ＜10 cm【解】设AB ＝x (cm)，则AC ＝x (cm)，BC ＝(20－2x ) cm ．根据三角形的三边关系，得⎩⎨⎧x ＋x >20－2x >0，20－2x ＋x >x ，解得5<x ＜10． ∴5 cm ＜AB ＜10 cm ．6．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x>a ，x<3的整数解有3个，则a 的取值范围是(A )A ．－1≤a ＜0B ．－1<a ≤0C ．－1≤a <1D ．－1＜a ＜0【解】不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x >a ，x <3的解为a <x <3，由不等式组的整数解有三个，即0，1，2，得到－1≤a ＜0．7．若三个连续正整数的和小于39，则这样的正整数中，最大的一组数的和是(B )A ． 39B ． 36C ． 35D ． 34【解】设这三个正整数分别为x －1，x ，x ＋1，则(x －1)＋x ＋(x ＋1)<39，∴x <13．∵x 为正整数，∴当x ＝12时，三个连续正整数的和最大，三个连续正整数的和为11＋12＋13＝36．8．若关于x 的不等式3x ＋1<m 的正整数解是1，2，3，则整数m 的最大值是(D )A ．10B ．11C ．12D ．13【解】解3x ＋1<m ，得x <m －13．∵原不等式的正整数解是x ＝1，2，3，∴3<m －13≤4，解得10<m ≤13．∴整数m 的最大值是13．9．若关于x 的不等式组⎩⎨⎧5－3x ≥0，x －m ≥0有实数解，则实数m 的取值范围是(A ) A ．m ≤53 B ．m <53C ．m >53D ．m ≥53【解】解不等式组⎩⎨⎧5－3x ≥0，x －m ≥0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ≤53，x ≥m .∵不等式组有实数解，∴m ≤53．10．某市某化工厂现有A 种原料52 kg ，B 种原料64 kg ，现用这些原料生产甲、乙两种产品共20件．已知生产1件甲种产品需要A 种原料3 kg ，B 种原料2 kg ；生产1件乙种产品需要A 种原料2 kg ，B 种原料4 kg ，则生产方案的种数为(B )A ． 4B ． 5C ． 6D ． 6【解】设生产甲产品x 件，则生产乙产品(20－x )件，由题意，得⎩⎨⎧3x ＋2（20－x ）≤52，2x ＋4（20－x ）≤64，解得8≤x ≤12．∵x 为整数，∴x ＝8，9，10，11，12，∴共有5种生产方案．二、填空题(每小题2分，共20分)11．不等式3x ＋1<－2的解是x<－1．12．已知x ＜a 的最大整数解为x ＝3，则a 的取值范围是3＜a ≤4．13．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －1<2－2x ，23x>x －12的解是－3<x ＜1． 14．若关于x 的不等式组⎩⎨⎧2x ＋1＞3，a －x ＞1的解为1＜x ＜3，则a 的值为__4__．(第15题)15．若关于x的不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x>a ，x>b 的解如图所示，则关于x 的不等式组⎩⎨⎧x<a ，x ≤b的解是x<a ．16．已知“x 的3倍大于5，且x 的一半与1的差不大于2”，则x 的取值范围是53<x ≤6．【解】由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧3x>5，12x －1≤2，解得53<x ≤6． 17．已知关于x 的方程2x ＝m 的解满足⎩⎨⎧x －y ＝3－n ，x ＋2y ＝5n(0<n<3)，若y>1，则m 的取值范围是25<m<23．【解】解方程组，得⎩⎨⎧x ＝n ＋2，y ＝2n －1.∵y>1，∴2n －1>1，即n>1．又∵0<n<3，∴1<n<3．∵m ＝2x ，x ＝n ＋2，∴n ＝2m －2，∴1<2m －2<3，解得25<m<23．18．已知x ，y 满足2x ·4y ＝8．当0≤x ≤1时，y 的取值范围是1≤y ≤32．【解】 ∵2x ·4y ＝8，∴2x ·22y ＝23，∴x ＋2y ＝3，∴x ＝3－2y ．∵0≤x ≤1，∴0≤3－2y ≤1，∴1≤y ≤32．19．某班有48名学生会下象棋或围棋，会下象棋的人数比会下围棋的人数的2倍少3人，两种棋都会下的至多有9人，但不少于5人，则会下围棋的有19或20人．【解】设会下围棋的有x 人，则会下象棋的有(2x －3)人．由题意，得5≤x ＋(2x －3)－48≤9，解得563≤x ≤20．∵x 为正整数，∴x ＝19或20．20．输入一个数，按如图所示的程序进行运算．(第20题)规定：程序运行到“判断结果是否大于35”为一次运算．若运算进行了5次才停止，则x 的取值范围是4＜x ≤5．【解】第1次运算的结果是2x －3;第2次运算的结果是2×(2x －3)－3＝4x －9;第3次运算的结果是2×(4x －9)－3＝8x －21;第4次运算的结果是2×(8x －21)－3＝16x －45;第5次运算的结果是2×(16x －45)－3＝32x －93，∴⎩⎨⎧32x －93＞35，16x －45≤35，解得4＜x ≤5．三、解答题(共60分)21．(12分)解下列不等式或不等式组：(1)3(x ＋2)－1≤11－2(x －2)(在数轴上表示它的解)．【解】去括号，得3x ＋6－1≤11－2x ＋4．移项，合并同类项，得5x ≤10，解得x ≤2．在数轴上表示如解图所示．(第21题解)(2)x 2－1≤7－x 3．【解】去分母，得3x －6≤2(7－x)．去括号，得3x －6≤14－2x ．移项，得3x ＋2x ≤14＋6．合并同类项，得5x ≤20．解得x ≤4．(3)⎩⎨⎧2（x －1）≤－1，2x ＋3＞1.【解】解2(x －1)≤－1，得x ≤12．解2x ＋3＞1，得x ＞－1．∴不等式组的解为－1＜x ≤12．(4)⎩⎪⎨⎪⎧2x －6＜3x ，x ＋25－x －14≥0.【解】解2x －6＜3x ，得x ＞－6．解x ＋25－x －14≥0，得x ≤13．∴不等式组的解为－6<x ≤13．22．(6分)(1)解不等式：8－5(x －2)<4(x －1)＋13．(2)若(1)中的不等式的最小整数解是方程2x －ax ＝3的解，求a 的值．【解】 (1)去括号，得8－5x ＋10<4x －4＋13，移项、合并同类项，得－9x<－9，两边都除以－9，得x>1．(2)由(1)知，不等式的最小整数解是x ＝2．把x ＝2代入方程2x －ax ＝3，得2×2－2a ＝3，解得a ＝0．5．23．(6分)试确定实数a 的取值范围，使不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ＋13>0，x ＋5a ＋43>43（x ＋1）＋a 恰好有两个整数解．【解】解不等式x 2＋x ＋13>0，得x ＞－25．解不等式x ＋5a ＋43>43(x ＋1)＋a ，得x ＜2a ．∴原不等式组的解为－25<x<2a ．∵该不等式组恰好有两个整数解，∴整数解为0和1，∴1＜2a ≤2，∴12<a ≤1． 24．(6分)我们用[a]表示不大于a 的最大整数，例如：[2．5]＝2，[3]＝3，[－2．5]＝－3；用〈a 〉表示大于a 的最小整数，例如：〈2．5〉＝3，〈4〉＝5，〈－1．5〉＝－1．解决下列问题：(1)[－4．5]＝__－5__，〈3．5〉＝__4__．(2)若[x]＝2，则x 的取值范围是2≤x<3；若〈y 〉＝－1，则y 的取值范围是－2≤y<－1．(3)已知x ，y 满足方程组⎩⎨⎧3[x]＋2〈y 〉＝3，3[x]－〈y 〉＝－6，求x ，y 的取值范围．【解】 (3)⎩⎨⎧3[x]＋2〈y 〉＝3，3[x]－〈y 〉＝－6，解得⎩⎨⎧[x]＝－1，〈y 〉＝3， ∴－1≤x<0，2≤y<3．25．(8分)某学校为丰富学生的校园生活，准备从某体育用品商店一次性购买若干个足球和篮球(每个足球的价格相同，每个篮球的价格相同)，若购买1个足球和2个篮球共需210元．购买2个足球和6个篮球共需580元．(1)问：购买一个足球和一个篮球各需多少元？(2)根据学校的实际情况，需从该体育用品商店一次性购买足球和篮球共100个．要求购买足球和篮球的总费用不超过6000元，则这所学校最多可以购买多少个篮球？【解】 (1)设一个足球需x 元，一个篮球需y 元，由题意，得⎩⎨⎧x ＋2y ＝210，2x ＋6y ＝580，解得⎩⎨⎧x ＝50，y ＝80. 答：一个足球需50元，一个篮球需80元．(2)设可买篮球m 个，则买足球(100－m)个．由题意，得80m ＋50(100－m)≤6000，解得m ≤3313，∵m 为整数，∴m 最大可取33．答：这所学校最多可以购买33个篮球．26．(10分)已知关于x ，y 的二元一次方程组⎩⎨⎧x ＋y ＝－7－a ，x －y ＝1＋3a的解中，x 为非正数，y 为负数．(1)求a 的取值范围．(2)化简：|a －3|＋|a ＋2|．(3)在a 的取值范围中，当a 为何整数时，不等式2ax ＋x ＜2a ＋1的解为x ＞1?【解】 (1)解⎩⎨⎧x ＋y ＝－7－a ，x －y ＝1＋3a ，得⎩⎨⎧x ＝a －3，y ＝－2a －4.∵x 为非正数，y 为负数，∴⎩⎨⎧x ≤0，y ＜0，即⎩⎨⎧a －3≤0，－2a －4＜0，解得⎩⎨⎧a ≤3，a>－2. ∴a 的取值范围是－2＜a ≤3．(2)∵－2＜a ≤3，∴a －3≤0，a ＋2＞0，∴|a －3|＋|a ＋2|＝3－a ＋a ＋2＝5．(3)不等式2ax ＋x ＜2a ＋1可化简为(2a ＋1)x ＜2a ＋1．∵不等式的解为x ＞1，∴2a ＋1＜0，∴a ＜－12．又∵－2＜a ≤3，∴－2＜a ＜－12． ∵a 为整数，∴a ＝－1．27．(12分)某汽车销售公司经销某品牌A 款汽车，随着汽车的普及，其价格也在不断下降．去年5月份A 款汽车的售价比前年同期每辆降价1万元，如果卖出相同数量的A 款汽车，前年销售额为100万元，去年销售额只有90万元．(1)去年5月份A 款汽车每辆售价是多少万元？(2)为了增加收入，汽车销售公司决定再经销同品牌的B 款汽车，已知A 款汽车每辆进价为7．5万元，B 款汽车每辆进价为6万元，公司预计用不多于105万元且不少于99万元的资金购进这两款汽车共15辆，则该汽车销售公司共有几种进货方案？(3)如果B 款汽车每辆售价为8万元，为打开B 款汽车的销路，公司决定每售出一辆B 款汽车，返还顾客现金a 万元．若要使(2)中所有的方案获利相同，则a 的值应是多少？此时哪种方案对公司更有利？【解】 (1)设去年5月份A 款汽车每辆售价是m 万元，则90m ＝100m ＋1，解得m ＝9．经检验，m ＝9是原方程的解，且符合题意．答：去年5月份A 款汽车每辆售价是9万元．(2)设购进A 款汽车x 辆，则购进B 款汽车(15－x)辆．由题意，得99≤7．5x ＋6(15－x)≤105，解得6≤x ≤10．∵x 为自然数，∴x ＝6或7或8或9或10，∴该汽车销售公司共有5种进货方案．(3)设总获利为W元，则W＝(9－7．5)x＋(8－6－a)(15－x)＝(a－0．5)x＋30－15a．当a＝0．5时，(2)中所有方案获利相同．此时总成本＝7．5x＋(6＋a)(15－x)＝(x＋97．5)万元，故当x取6时，总成本最少．故购买A款汽车6辆，B款汽车9辆对公司更有利．。

数学试卷八年级上册第三章

一、选择题（每题4分，共20分）1. 下列代数式中，表示x与y的差的是（）A. x + yB. x - yC. 2x - yD. 3x + 2y2. 若a = 2，b = 3，则代数式a^2 - 2ab + b^2的值为（）A. 1B. 2C. 3D. 43. 下列方程中，正确的是（）A. 2x + 3 = 5B. 3x - 4 = 7C. 4x + 5 = 8D. 5x - 6 = 94. 若方程2(x - 3) = 4的解为x，则x的值为（）A. 1B. 2C. 3D. 45. 下列关于x的方程中，是一元一次方程的是（）A. x^2 + 2x - 3 = 0B. 2x - 3 = 5C. x^2 + 4x + 4 = 0D. 3x + 2 = 0二、填空题（每题5分，共20分）6. 若a = 5，b = 2，则代数式3a - 2b的值为______。

7. 方程2x - 5 = 3的解为______。

8. 若方程x + 3 = 7的解为x，则x的值为______。

9. 代数式(2x + 3)^2展开后，x^2的系数为______。

10. 方程x - 4 = 0的解为______。

三、解答题（每题10分，共30分）11. 简化下列代数式：(1) 3a - 2(a + b)(2) 2(x - y) + 3xy(3) (x + 2)(x - 1)12. 求下列方程的解：(1) 2x + 5 = 9(2) 3(x - 2) = 12(3) 4x - 3 = 2x + 513. 求下列代数式的值，其中a = 2，b = 3：(1) a^2 - 2ab + b^2(2) (2a - b)(a + 2b)(3) (a + b)(a - b)四、应用题（每题10分，共20分）14. 甲、乙两数之和为30，甲数比乙数多5，求甲、乙两数。

15. 某商店进购一批苹果，每千克进价为10元，售价为15元。

现以8折优惠出售，求每千克利润是多少？答案：一、选择题1. B2. D3. B4. C5. B二、填空题6. 77. 48. 79. 110. 4三、解答题11. (1) a - 2b(2) 2x^2 - xy - 3y(3) x^2 + x - 212. (1) x = 2(2) x = 4(3) x = 213. (1) 1(2) 14a - 4b(3) a^2 - b^2四、应用题14. 甲数 = 20，乙数 = 1015. 每千克利润为2元。

(常考题)人教版初中数学八年级数学上册第三单元《轴对称》检测卷(答案解析)(3)

一、选择题1．如图，在边长为9的等边△ABC 中，CD ⊥AB 于点D ，点E 、F 分别是边AB 、AC 上的两个点，且AE=CF=4cm ，在CD 上有一动点P ，则PE +PF 的最小值是（）A ．4B ．4.5C ．5D ．82．如图，AD 是ABC ∆的中线，E 是AD 上一点，BE 交AC 于F ，若,9,6BE AC BF CF ===，则AF 的长度为（）A ．1B ．1.5C ．2D ．2.5 3．若实数a ，b 满足a 2－4a ＋4+(b －4)2=0，且a ，b 恰好是等腰△ABC 两条边的长，则△ABC 周长为（）A ．8B ．8或10C ．12D ．104．如图，在平面直角坐标系xOy 中，点A 的坐标为()4,3-，点P 在x 轴上，且使AOP 为等腰三角形，符合题意的点P 的个数为（）．A ．2B ．3C ．4D ．55．如图，在ABC ∆中，90,30C B ∠=︒∠=︒，以点A 为圆心，任意长为半径画弧分别交,AB AC 于点M 和N ，再分别以,M N 为圆心，大于12MN 的长为半径画弧，两弧交于点P ，连接AP 并延长交BC 于点D ，则下列结论不正确的是（）A ．AD 是∠BAC 的平分线B ．60ADC ∠=︒ C ．点D 在AB 的垂直平分线上 D ． : 1:3DAC ABD S S ∆∆=6．如图所示，已知ABC 和DCE 均是等边三角形，点B 、C 、E 在同一条直线上，连接AE 、BD 、FG ，AE 与BD 交于点O ，AE 与CD 交于点G ，AC 与BD 交于点F ，则下列结论中：①AE BD =； ②AG BF =； ③FG//BE ； ④CF CG =，以上结论正确的有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个7．已知点A 的坐标为()1,3，点B 的坐标为()2,1，将线段AB 沿坐标轴翻折180°后，若点A 的对应点A '的坐标为()1,3-，则点B 的对应点B '的坐标为（）A ．()2,2B ．(2,1)-C ．()2,1-D ．(2,1)-- 8．如图所示的是A 、B 、C 三点，按如下步骤作图：①先分别以A 、B 两点为圆心，以大于12AB 的长为半径作弧，两弧相交于M 、N 两点，作直线MN ；②再分别以B 、C 两点为圆心，以大于12BC 的长为半径作弧，两弧相交于G 、H 两点，作直线GH ，GH 与MN 交于点P ，若66BAC ∠=︒，则BPC ∠等于（）A ．100°B ．120°C ．132°D ．140°9．如图，在△ABC 纸片中，AB=9cm ，BC=5cm ，AC=7cm ，沿过点B 的直线折叠这个三角形，使点C 落在AB 边上的点E 处，折痕为BD ，则△ADE 的周长为是（）A ．9cmB ．11cmC ．12cmD ．14cm10．如图，C 是线段AB 上的一点，ACD △和BCE 都是等边三角形，AE 交CD 于M ，BD 交CE 于N ，交AE 于O ，则①DB AE =；②AMC DNC ∠=∠；③60AOB ∠=︒；④DN AM =；⑤CMN △是等边三角形．其中，正确的有（）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个 11．若海岛N 位于海岛M 北偏东30°的方向上，则从海岛N 出发到海岛M 的航线可能是（） A ． B ．C ．D ．12．已知一个等腰三角形ABC 的两边长为5，7，另一个等腰三角形ABC 的两边为23x -，35x -，若两个三角形全等，则x 的值为（）A ．5B ．4C ．4或5D ．103二、填空题13．平面直角坐标系中，已知A （8，0），△AOP 为等腰三角形，且△AOP 的面积为16，则满足条件的P 点个数是______．14．如图，在等腰三角形ABC 中，AB ＝AC ，∠B ＝50°，D 为BC 的中点，点E 在AB 上，∠AED ＝70°，若点P 是等腰三角形ABC 的腰上的一点，则当DEP 是以∠EDP 为顶角的等腰三角形时，∠EDP 的度数是_____．15．如图，在ABC 中，AB AC =，40B ∠=︒，点D 在线段BC 上运动（D 不与B 、C 重合），连接AD ，作40ADE ∠=︒，DE 交线段AC 于点E ，在点D 从B 向C 运动过程中，如果ADE 是等腰三角形，则BDA ∠的度数是____________16．如图，E 是腰长为2的等腰直角ABC 斜边上一点，且BE BC P =，为CE 上任意一点，PQ BC ⊥于点Q PR BE ⊥，于点R ，则PQ PR +的值是___________．17．若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为20°，则顶角的度数为______________ 18．如图，在等边三角形ABC 中，CM 平分ACB ∠交AB 于点M ．（1）ACM ∠的大小=__________（度）；（2）AMC ∠的大小=__________（度）；（3）已知4AB =，点D 为射线CM 上一点，作∠DCE=60︒，()CE CD CD AB =≠，连接DE 交射线CB 于点F ，连接BD ，BE 当以B ，D ，M 为顶点的三角形与BEF 全等时，线段CF 的长为__________．19．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，D 为BC 的中点，∠BAD ＝20°，且AE ＝AD ，则∠CDE 的度数是______．20．如图，∠ABC 的平分线BF 与△ABC 中∠ACB 的相邻外角∠ACG 的平分线CF 相交于点F ，过F 作DF ∥BC ，交AB 于D ，交AC 于E ，若BD ＝8cm ，DE ＝3cm ，AE ＝2，求AC 的长为_____cm ．三、解答题21．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，点D 在△ABC 内，BD ＝BC ，∠DBC ＝60°，点E 在△ABC 外，∠CBE ＝150°，∠ACE ＝60°．（1）求∠ADC 的度数．（2）判断△ACE 的形状并加以证明．（3）连接DE ，若DE ⊥CD ，AD ＝1，求DE 的长．22．如图，ABC 中，,90,AB AC BAC =∠=︒点D 是直线AB 上的一动点(不和A B 、重合)，BE CD ⊥交CD 所在的直线于点,E 交直线AC 于F ．()1点D 在边AB 上时，证明:AB FA BD =+；()2点D 在AB 的延长线或反向延长线上时，()1中的结论是否成立?若成立，请给出证明；若不成立，请画出图形，并直接写出,,AB FA BD 三者之间数量关系．23．已知在ABC 中，CAB ∠的平分线AD 与BC 的垂直平分线DE 交于点D ，DM AB ⊥于M ，DN AC ⊥交AC 的延长线于N ．（1）证明：BM CN =；（2）当80BAC ∠=︒时，求DCB ∠的度数．24．如图，//AB CD ，点E 在CB 的延长线上，A E ∠=∠，AC ED =．（1）求证：BC CD =；（2）连接BD ，求证：ABD EBD ∠=∠．25．小红发现，任意一个直角三角形都可以分割成两个等腰三角形．已知：在ABC 中，90ACB ∠=︒．求作：直线CD ，使得直线CD 将ABC 分割成两个等腰三角形．下面是小红设计的尺规作图过程．作法：如图，①作直角边CB 的垂直平分线MN ，与斜边AB 相交于点D ；②作直线CD ．所以直线CD 就是所求作的直线．根据小红设计的尺规作图过程，（1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；（2）完成下面的证明．证明：∵直线MN 是线段CB 的垂直平分线，点D 在直线MN 上，∴DC DB =．（_______）（填推理的依据）∴∠_______=∠__________．∵90ACB ∠=︒，∴90ACD DCB ∠=︒-∠，90A ∠=︒-∠_________．∴ACD A ∠=∠．∴DC DA =．（_______）（填推理的依据）∴DCB 和DCA △都是等腰三角形．26．如图，在ABC 中，AB AC =，120BAC ∠=︒，AD BC ⊥，垂足为G ，且AD AB =，60EDF ∠=︒，其两边分别交AB ，AC 于点E ，F ．（1）求证：ABD △是等边三角形；（2）若2DG =，求AC 的长；（3）求证：AB AE AF =+．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．C解析：C【分析】作点E 关于AD 的对称点G ，所以连接FG ，与CD 的交点即为P 点．此时PF+PE=FG 最小，通过计算证明△AFG 是等边三角形，从而得出结果．【详解】作点E 关于AD 的对称点G ，连接FG 与CD 的交点即为P 点，如图：∴PG=PE ，此时PF+PE=PF+ PG 有最小值，最小值为FG ，∵△ABC 是边长为9等边三角形，且CD ⊥AB ，AE =CF=4，∴AD=BD=12AB=4.5，AF=AC-CF=9-4=5，∠A=60︒， ∴ED=GD= AD- AE =4.5-4=0.5，∴AG=AE+ED+GD=5= AF ，∴△AFG 是等边三角形，∴FG= AF=5，∴PF+PE 的最小值是5，故选：C ．【点睛】本题主要考查了轴对称-最短路径问题，等边三角形的判定和性质，掌握轴对称－最短路径的确定方法是解题的关键．2．B解析：B【分析】延长AD 到G 使得DG AD =，连接BG ，证明()△△ACD GBD SAS ≅，根据全等三角形的性质可得到CAD G ∠=∠，AC=BD ，等量代换得到BE=BG ，再由等腰三角形的性质得到G BEG ∠=∠，推出EF=AF ，即可解决问题；【详解】如图，延长AD 到G 使得DG AD =，连接BG ，∵AD 是△ABC 的中线，∴CD=BD ，在△ACD 与△GBD 中，CD BD ADC BDG AD DG =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()△△ACD GBDSAS ≅， ∴CAD G ∠=∠，AC=BD ，∵BE=AC ，∴BE=BG ，∴G BEG ∠=∠，∵BEG AEF ∠=∠，∴AEF EAF ∠=∠，∴EF=AF ，∴AF CF BF AF +=-，即69AF AF +=-， ∴32AF =；故选：B ．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，结合等腰三角形的性质求解是解题的关键． 3．D解析：D【分析】由已知等式，结合非负数的性质求a 、b 的值，再根据等腰三角形的性质，分类求解即可．【详解】解：∵a 2－4a ＋4+(b －4)2=0，∴(a －2)2+(b －4)2=0，∴a−2＝0，b−4＝0，解得：a ＝2，b ＝4，当a ＝2作腰时，三边为2，2，4，不符合三角形三边关系定理；当n ＝4作腰时，三边为2，4，4，符合三角形三边关系定理，周长为：2＋4＋4＝10．故选：D ．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，非负数的性质．关键是根据非负数的性质求a ，b 的值，再根据a 或b 作为腰，分类求解．4．C解析：C【分析】以O 为圆心，AO 长为半径画圆可得与x 轴有2个交点，再以A 为圆心，AO 长为半径画圆可得与x 轴有1个交点，然后再作AO 的垂直平分线可得与x 轴有1个交点．【详解】解：如图所示：点P 在x 轴上，且使△AOP 为等腰三角形，符合题意的点P 的个数共4个，故选：C ．【点睛】此题主要考查了等腰三角形的判定，关键是考虑全面，作图不重不漏．5．D解析：D【分析】根据题意作图可知：AD 是BAC ∠的平分线，即可判断A ；先求得∠BAC=60︒，由AD 是BAC ∠的平分线，求得∠CAD=∠BAD=30B ∠=︒，即可得到60ADC ∠=︒，即可判断B ；过点D 作DE ⊥AB 于E ，根据∠BAD=30B ∠=︒，证得△ABD 是等腰三角形，得到AE=BE ，即可判断C ；由30CAD ∠=︒，可得12CD AD =，由AD DB =，可得12DC DB =．可得::DAC ABD SS CD DB =，由12CD DB =，可得:1:21:3DAC ABD S S =≠，即可判断D ．【详解】解：根据作图方法可得AD 是BAC ∠的平分线，故A 正确；∵90,30C B ∠=︒∠=︒，∴60CAB ∠=︒．∵AD 是BAC ∠的平分线，∴30DAC DAB ∠=∠=︒．∴60ADC ∠=︒．故B 正确；过D 作DE ⊥AB∵30,30B DAB ∠=︒∠=︒，∴AD DB =．∴AE=BE∴点D 在AB 的垂直平分线上．故C 正确；∵30CAD ∠=︒，∴12CD AD =， ∵AD DB =， ∴12DC DB =． ∴12DAC CD AC S⋅=，12ABD DB AC S ⋅=， ∴::DAC ABD SS CD DB =， ∴12CD DB =， ∴:1:21:3DAC ABD S S =≠，故D 错误．故选择：D ．【点睛】本题考查角平分线的作图方法及性质应用，线段垂直平分线的判定，等腰三角形的判定及性质，三角形内角和定理，熟练掌握各部分知识并综合应用是解题的关键．6．D解析：D【分析】首先根据等边三角形性质得出BC=AC，CD=CE，∠ACB=∠ECD=60°，即可证明△BCD与△ACE全等、△BCF与△ACG全等以及△DFC与△EGC全等，最后利用全等三角形性质以及等边三角形性质证明即可．【详解】∵△ABC与△CDE为等边三角形，∴BC=AC，CD=CE，∠ACB=∠ECD=60°，∴∠ACB+∠ACD=∠ACD+∠ECD，∠ACD=60°，即：∠ACE=∠BCD，在△BCD与△ACE中，∵BC=AC，∠ACE=∠BCD，CD=CE，∴△BCD≌△ACE(SAS)，∴AE=BD，即①正确；在△BCF与△ACG中，由①可知∠CBF=∠CAG，又∵AC=BC，∠BCF=∠ACG=60°，∴△BCF≌△ACG(ASA)，∴AG=BF，即②正确；在△DFC与△EGC中，∵△BCF≌△ACG，∴CF=CG．即④正确；∵∠GCF =60°，∴△CFG为等边三角形，∴∠CFG=∠FCB=60°，∴FG∥BE，即③正确；综上，①②③④都正确．故选：D．【点睛】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质以及平行线的判定，解题的关键是正确寻找全等三角形来解决问题，．7．C解析：C【分析】根据点A ，点A'坐标可得点A ，点A'关于y 轴对称，即可求点B'坐标．【详解】解：∵将线段AB 沿坐标轴翻折后，点A （1，3）的对应点A′的坐标为（-1，3）， ∴线段AB 沿y 轴翻折，∴点B 关于y 轴对称点B'坐标为（-2，1）故选：C ．【点睛】本题考查了翻折变换，坐标与图形变化，熟练掌握关于y 轴对称的两点纵坐标相等，横坐标互为相反数是关键．8．C解析：C【分析】根据基本作图可判断MN 垂直平分AB ，GH 垂直平分BC ，根据垂直平分线的性质可得PA PB PC ==，再利用等腰三角形的性质得到PAB PBA ∠=∠，PAC PCA ∠=∠，最后根据三角形的外角性质可得∠BPC=2∠BAC ，据此求解即可．【详解】解:如图，连接AB 、AC 、BC 、BP 、PC 、PA ，由作法可知MN 垂直平分AB ，GH 垂直平分BC ，∴PA PB PC ==，∴PAB PBA ∠=∠，PAC PCA ∠=∠，∴PBA PCA PAB PAC BAC ∠+∠=∠+∠=∠，∴2BPC PAB PAC PBA PCA BAC ∠=∠+∠+∠+∠=∠，∴2266132BPC BAC ∠=∠=⨯︒=︒．故选：C ．【点睛】本题考查了线段垂直平分线的基本作图及线段垂直平分线的性质，利用等腰三角形的性质，三角形的外角性质．9．B解析：B【分析】根据折叠的性质得到：DE=CD ，BE=BC=5cm ，求出AE=4cm ，根据△ADE 的周长为AD+DE+AE=AC+AE 代入数值计算即可得解．【详解】由折叠得：DE=CD ，BE=BC=5cm ，∵AB=9cm ，∴AE=AB-BE=9cm-5cm=4cm ，∴△ADE 的周长为AD+DE+AE=AC+AE=7cm+4cm=11cm ，故选：B ．【点睛】此题考查折叠的性质：折叠前后对应边相等，正确理解折叠的性质是解题的关键． 10．C解析：C【分析】易证△ACE ≌△DCB ，可得①正确；即可求得∠AOB ＝120°，可得③错误；再证明△ACM ≌△DCN ，可得②④正确和CM ＝CN ，即可证明⑤正确；即可解题．【详解】解：∵ACD △和BCE 都是等边三角形∵∠ACD ＝∠BCE ＝60°，∴∠DCE ＝60°，在△ACE 和△DCB 中，AC DC ACE DCB CB CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ACE ≌△DCB （SAS ），∴∠BDC ＝∠EAC ，DB ＝AE ，①正确；∠CBD ＝∠AEC ，∵∠AOB ＝180°−∠OAB−∠DBC ，∴∠AOB ＝180°−∠AEC−∠OAB ＝120°，③错误；在△ACM 和△DCN 中，60BDC EAC DC ACACD DCN ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠=︒⎩， ∴△ACM ≌△DCN （ASA ），∴AM ＝DN ，④正确；∠AMC ＝∠DNC ，②正确；CM ＝CN ，∵∠ACD ＝∠BCE ＝60°，∴∠MCN ＝180°-∠ACD-∠BCE =60°，∴△CMN 是等边三角形，⑤正确；故有①②④⑤正确．故选：C ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和全等三角形对应边、对应角相等的性质，本题中求证△ACE ≌△DCB 和△ACM ≌△DCN 是解题的关键．11．D解析：D【分析】根据题意画出图形，再利用“上北下南”求出方向角即可．【详解】解：如图：∵海岛N 位于海岛M 的北偏东30°方向上，∴海岛N 在海岛M 上方，故排除A ､B 选项，根据直角三角形中30°角所对的边等于斜边的一半，排除选项C ，故选D ．【点睛】本题考查了方向角，解题的关键是熟练掌握方向角的概念．12．B解析：B【分析】根据等腰ABC 的两边长为5，7，得到ABC 的三边长为5，7，7；或5,5,7；之后根据全等分2x-3=5，2x-3=7，3x-5=5，3x-5=7四种情况分类讨论，舍去不合题意的即可求解．【详解】解：∵等腰ABC 的两边长为5，7，∴ABC 的三边长为5，7，7；或5,5,7；由题意得另一个等腰三角形的两边为23x -，35x -，且与等腰ABC 全等（1）当2x-3=5时，解得x=4，则3x-5=7，符合题意；（2）当2x-3=7时，解得x=5，则3x-5=10，不合题意；（3）当3x-5=5时，解得103x =，则2x-3=113，不合题意；（4）当3x-5=7时，解得x=4，则2x-3=5，符合题意；综上所述：x的值为4．故答案为：B【点睛】本题考查了等腰三角形的定义，全等三角形的性质，根据题意分类讨论是解题关键．二、填空题13．10【分析】使△AOP为等腰三角形只需分两种情况考虑：OA当底边或OA 当腰当OA是底边时有2个点；当OA是腰时有8个点即可得出答案【详解】∵A（80）∴OA=8设△AOP的边OA上的高是h则×8×h解析：10【分析】使△AOP为等腰三角形，只需分两种情况考虑：OA当底边或OA当腰．当OA是底边时，有2个点；当OA是腰时，有8个点，即可得出答案．【详解】∵A（8，0），∴OA=8，设△AOP的边OA上的高是h，则12×8×h=16，解得：h=4，在x轴的两侧作直线a和直线b都和x轴平行，且到x轴的距离都等于4，如图：①以A为圆心，以8为半径画弧，交直线a和直线b分别有两个点，即共4个点符合，②以O为圆心，以8为半径画弧，交直线a和直线b分别有两个点，即共4个点符合，③作AO的垂直平分线分别交直线a、b于一点，即共2个点符合，其中，没有重复的点，∴4+4+1+1=10．故选：B ．【点睛】本题主要考查了坐标与图形的性质及等腰三角形的判定；对于底和腰不等的等腰三角形，若条件中没有明确哪边是底哪边是腰时，应在符合三角形三边关系的前提下分类讨论． 14．40°或100°或140°【分析】根据△DEP 是以∠EDP 为顶角的等腰三角形可知DP ＝DE 所以可以分两种情况考虑:①点P 在AB 上；②点P 在AC 上分别画出符合条件的图形根据等腰三角形的性质和全等三角形解析：40°或100°或140°【分析】根据△DEP 是以∠EDP 为顶角的等腰三角形，可知DP ＝ DE ，所以可以分两种情况考虑: ①点P 在AB 上；②点P 在AC 上．分别画出符合条件的图形，根据等腰三角形的性质和全等三角形的判定和性质定理解答即可．【详解】解：∵AB ＝AC ，∠B ＝50°，∠AED ＝70°，∴∠EDB ＝20°，∵当△DEP 是以∠EDP 为顶角的等腰三角形，∴DP ＝ DE ，①如图，当点P 在AB 上时，记为P 1，∵DE ＝DP 1，∴∠DP 1E ＝∠AED ＝70°，∴∠EDP 1＝180°﹣70°﹣70°＝40°，②如图，当点P 在AC 上时，有两个点P 2、 P 3符合条件，∵AB ＝AC ，D 为BC 的中点，∴∠BAD ＝∠CAD ，过D 作DG ⊥AB 于G ，DH ⊥AC 于H ，∴DG ＝DH ，在Rt △DEG 与Rt △DP 2H 中，2DE DP DG DH =⎧⎨=⎩， ∴Rt △DEG ≌Rt △DP 2H （HL ），∴∠AP 2D ＝∠AED ＝70°，∵∠BAC ＝180°﹣50°﹣50°=80°，∴∠EDP2＝140°，同理证得Rt△DEG≌Rt△D P3H（HL），∴∠EDG＝∠P3DH，∴∠EDP3＝∠GDH＝100°，故答案为：40°或100°或140°．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，分类讨论画出符合条件的图形是解题的关键．15．110°或80°【分析】根据等腰三角形的性质先求出∠BAC的度数然后分3种情况：①AD＝AE时②AD＝ED时③当AE＝DE时分别求解即可【详解】∵在△ABC中AB＝AC∠B＝40°∴∠B＝∠C=40解析：110°或80°【分析】根据等腰三角形的性质，先求出∠BAC的度数，然后分3种情况：①AD＝AE时，②AD＝ED时，③当AE＝DE时，分别求解，即可．【详解】∵在△ABC中，AB＝AC，∠B＝40°，∴∠B＝∠C=40°∴∠BAC＝100°，①AD＝AE时，∠AED＝∠ADE＝40°，∴∠DAE＝100°，此时，点D与点B重合，不符合题意舍去，②AD＝ED时，∠DAE＝∠DEA，∴∠DAE＝1（180°−40°）＝70°，2∴∠BAD＝∠BAC−∠DAE＝100°−70°＝30°，∴∠BDA＝180°−∠B−∠BAD＝110°，③当AE＝DE时，∠DAE＝∠ADE＝40°，∴∠BAD＝100°−40°＝60°，∴∠BDA＝180°−40°−60°＝80°，综上所述：∠BDA的度数为110°或80°时，△ADE的形状是等腰三角形，故答案是：110°或80°【点睛】此题主要考查学生对等腰三角形的性质，三角形内角和定理的理解和掌握，解本题的关键是分类讨论，是一道基础题目．16．【分析】连接BP过点E作EF⊥BC根据可得PQ+PR=EF结合等腰直角三角形三边长的关系即可求解【详解】连接BP过点E作EF⊥BC∵∴=BC×PQ+BE×PR=BC×(PQ+PR)=BC×EF∴PQ【分析】连接BP ，过点E 作EF ⊥BC ，根据BCE BPE BPC SS S =+，BE BC =，可得PQ+PR=EF ，结合等腰直角三角形三边长的关系，即可求解．【详解】连接BP ，过点E 作EF ⊥BC ，∵BE BC =，∴BCE BPE BPC SS S =+ =12BC×PQ+12BE×PR =12BC×(PQ+PR) =12BC×EF ， ∴PQ+PR=EF ，∵ABC 是等腰直角三角形，∴∠B=45°，∴EFB △是等腰直角三角形，且BE=BC=2， ∴222，∴PQ PR +2， 2【点睛】本题主要考查等腰直角三角形的性质，掌握“等积法”是解题的关键．17．70°或110°；【分析】分情况讨论：当等腰三角形的顶角是钝角或者等腰三角形的顶角是锐角两种情况【详解】解：①当等腰三角形的顶角是钝角时腰上的高在外部如图1根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内解析：70°或110° ；【分析】分情况讨论：当等腰三角形的顶角是钝角或者等腰三角形的顶角是锐角两种情况．【详解】解：①当等腰三角形的顶角是钝角时，腰上的高在外部，如图1，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，即可求得顶角是90°+20°=110°；②当等腰三角形的顶角是锐角时，腰上的高在其内部，如图2，根据直角三角形两锐角互余可求顶角是90°-20°=70°．故答案为70°或110°．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，注意此类题的两种情况．其中考查了直角三角形的两个锐角互余；三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．18．2或6或【分析】（1）根据等边三角形的性质及角平分线的性质求解；（2）根据等边三角形的三线合一的性质解答；（3）根据题意分两种情况：当点D在线段CM上时当点D在线段CM的延长线上时分别画出图形利用全解析：3090︒ 2或6或23【分析】（1）根据等边三角形的性质及角平分线的性质求解；（2）根据等边三角形的三线合一的性质解答；（3）根据题意分两种情况：当点D在线段CM上时，当点D在线段CM的延长线上时，分别画出图形，利用全等三角形的性质解答．【详解】（1）∵△ABC是等边三角形，∴∠ACB=60︒，∵CM平分ACB∠，∴∠ACM=1∠ACB=30，2故答案为：30；∠，（2）∵△ABC是等边三角形，CM平分ACB∴CM⊥AB，∴∠AMC=90︒，故答案为：90︒；（3）∵∠DCE=60︒，CD=CE，∴△CDE是等边三角形，∴DE=CE=CD，∵∠BCM=∠ACM=30，∴∠BCE=30，∴CF平分∠DCE，∵CD=CE，∴CB垂直平分DE，①当点D在线段CM上时，当△BDM≌△BEF时，如图1，∴BF=BM=2，∴CF=CB-BF=4-2=2；当△BDM≌△EBF时，如图1，则EF=BM=2，∴CD=DE=4，,∵AB=4，CD<CM<4,∴此种情况不成立，舍去；②当点D在线段CM的延长线上时，当△BDM≌△BEF时，如图2，∴BF=BM=2，∴CF=BC+BF=4+2=6,；当△BDM≌△EBF时，如图3，则EF=BM=2，∴CE=2EF=4，∴2223=-=，CF CE EF故答案为： 2或6或23．．【点睛】此题考查等边三角形的性质，利用三线合一的性质进行证明，全等三角形的性质，熟记等边三角形的性质是解题的关键．19．10°【分析】设∠B＝∠C＝x∠CDE＝y分别表示出∠DAE构建方程解方程即可求解【详解】解：设∠B＝∠C＝x∠EDC＝y∵AD＝AE∴∠ADE＝∠AED＝x＋y∵∠DAE＝180°−2（x＋y）＝解析：10°【分析】设∠B＝∠C＝x，∠CDE＝y，分别表示出∠DAE，构建方程解方程即可求解．【详解】解：设∠B＝∠C＝x，∠EDC＝y，∵AD＝AE，∴∠ADE＝∠AED＝x＋y，∵∠DAE＝180 °−2（x＋y）＝180 °−20 °−2x，∴2y＝20 °，∴y＝10 °，∴∠CDE＝10 °．故答案为：10°【点睛】本题主要考查等腰三角形的判定与性质，还涉及三角形内角和等知识点，需要熟练掌握等腰三角形的判定与性质．20．7【分析】根据已知条件BFCF分别平分∠ABC∠ACB的外角且DE∥BC可得∠DBF=∠DFB∠ECF=∠EFC根据等角对等边得出DF=BDCE=EF根据BD-CE=DE即可求得【详解】解：∵BFC解析：7【分析】根据已知条件，BF、CF分别平分∠ABC、∠ACB的外角，且DE∥BC，可得∠DBF=∠DFB，∠ECF=∠EFC，根据等角对等边得出DF=BD，CE=EF，根据BD-CE=DE即可求得．【详解】解：∵BF、CF分别平分∠ABC、∠ACB的外角，∴∠DBF=∠CBF，∠FCE=∠FCG，∵DE∥BC，∴∠DFB=∠CBF，∠EFC=∠FCG，∴∠DBF=∠DFB，∠FCE=∠EFC，∴BD=FD，EF=CE，∴BD-CE=FD-EF=DE，∴EF=DF-DE=BD-DE=8-3=5cm，∴EC=5cm，∴AC=AE+EC=2+5=7cm，故答案为：7．【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质以及平行线的性质，利用边角关系并结合等量代换来推导证明是本题的特点．三、解答题21．（1）150°；（2）等边三角形，见解析；（3）2【分析】（1）首先证明△DBC是等边三角形，推出∠BDC＝60°，DB＝DC，再证明△ADB≌△ADC，推出∠ADB＝∠ADC即可解决问题；（2）利用ASA证明△ACD≌△ECB得到AC＝CE，结合∠ACE＝60°可得△ACE是等边三角形；（3）首先证明△DEB是含有30度角的直角三角形，求出EB与DE的关系，利用全等三角形的性质即可解决问题．【详解】（1）解：∵BD＝BC，∠DBC＝60°，∴△DBC是等边三角形．∴DB＝DC，∠BDC＝∠DBC＝∠DCB＝60°．在△ADB和△ADC中，∵AC=AB AD=AD DC=DB ⎧⎪⎨⎪⎩，∴△ADC≌△ADB（SSS）．∴∠ADC＝∠ADB．∴∠ADC＝12（360°﹣60°）＝150°．（2）解：△ACE是等边三角形．理由如下：∵∠ACE＝∠DCB＝60°，∴∠ACD＝∠ECB．∵∠CBE＝150°，∠ADC═150°，∴∠ADC＝∠EBC．在△ACD和△ECB中，∵ACD=ECB CD=CBADC=EBC ∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠⎩，∴△ACD≌△ECB（ASA）．∴AC＝CE．∵∠ACE＝60°，∴△ACE是等边三角形．（3）解：连接DE．∴∠EDC ＝90°．∵∠BDC ＝60°，∴∠EDB ＝30°．∵∠CBE ＝150°，∠DBC ＝60°，∴∠DBE ＝90°．∴EB ＝12DE ． ∵△ACD ≌△ECB ，AD ＝1，∴EB ＝AD ＝1，∴DE ＝2EB ＝2．【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质、30度角的直角三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定和性质，属于中考常考题型． 22．（1）证明见解析；（2）结论不成立．图见解析，三者关系为AF AB BD +＝或,BD AB AF +＝【分析】（1）易证∠FBA=∠FCE ，结合条件容易证到△FAB ≌△DAC ，从而有FA=DA ，就可得到AB=AD+BD=FA+BD ．（2）如图2中，当D 在AB 延长线上时，AF=AB+BD ．如图3中，当D 在AB 反向延长线上时，BD=AB+AF ．证明方法类似（1）．【详解】解：（1）证明：如图1，∵BE ⊥CD ，即∠BEC=90°，∠BAC=90°，∴∠F+∠FBA=90°，∠F+∠FCE=90°．∴∠FBA=∠FCE ．∵∠FAB=180°-∠DAC=90°，∴∠FAB=∠DAC ．∴△FAB ≌△DAC ．∴FA=DA ．∴AB=AD+BD=FA+BD ．（2）如图2，当D 在AB 延长线上时，AF=AB+BD ，理由是：∵BE ⊥CD 即∠BEC=90°，∠BAC=∠BAF=90°∴∠F+∠FBA=90°，∠F+∠FCE=90°∴∠FBA=∠FCE ，∵∠FAB=180°-∠DAC=90°∴∠FAB=∠DAC在△FAB 和△DAC 中，FAB DAC AB ACFBA DCA ∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠⎩＝＝＝ ∴△FAB ≌△DAC （ASA ），∴FA=DA ，∴AF=AD=BD+AB ．如图3，当D 在AB 反向延长线上时，BD=AB+AF ，理由是：∵BE ⊥CD 即∠BEC=90°，∠BAC=∠CAD=90°∴∠AFB+∠FBA=90°，∠EFC+∠FCE=90°，∵∠AFB=∠EFC ，∴∠FBA=∠FCE ，在△FAB 和△DAC 中，90FAB DAC AB ACFBA DCA ∠∠=︒⎧⎪⎨⎪∠∠⎩＝＝＝∴△FAB ≌△DAC （ASA ），∴AF=AD ，∴BD=AB+AD=AB+AF ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质等知识，当条件没有改变仅仅是图形的位置发生变化时，常常可以通过借鉴已有的解题经验来解决问题．23．（1）证明见解析；（2）∠DCB=40°．【分析】（1）根据角平分线的性质和线段垂直平分线的性质可得到DM=DN ，DB=DC ，根据HL 证明Rt △DMB ≌Rt △DNC ，即可得出BM=CN ；（2）根据角平分线的性质得到DM=DN ，根据全等三角形的性质得到∠ADM=∠ADN ，线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质得到∠EDC=50°于是得到结论．【详解】（1）证明：连接BD ，DC ，如图所示：∵AD 是∠CAB 的平分线，DM ⊥AB ，DN ⊥AC ，∴DM=DN ，∵DE 垂直平分BC ，∴DB=DC ，在Rt △DMB 和Rt △DNC 中，DB DC DM DN =⎧⎨=⎩， ∴Rt △DMB ≌Rt △DNC （HL ），∴BM=CN ；（2）解：由（1）得：∠BDM=∠CDN ，∵AD 是∠CAB 的平分线，DM ⊥AB ，DN ⊥AC ，∴DM=DN ，在Rt △DMA 和Rt △DNA 中，DA DA DM DN =⎧⎨=⎩∴Rt △DMA ≌Rt △DNA （HL ），∴∠ADM=∠ADN ，∵∠BAC=80°，∴∠MDN=100°，∠ADM=∠ADN=50°，∵∠BDM=∠CDN ，∴∠BDC=∠MDN=100°，∵DE 是BC 的垂直平分线，∴DB=DC ，∴∠EDC=12∠BDC=50°， ∴∠DCB=90°-∠EDC=40°，∴∠DCB=40°．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的性质、线段垂直平分线的性质，熟悉角平分线的性质和线段垂直平分线的性质，证明三角形全等是解决问题的关键． 24．（1）见解析；（2）见解析．【分析】（1）根据平行线的性质可得∠ABC=∠ECD ，则可利用AAS 证明△ABC ≌△ECD ，再由全等三角形的性质可证得结论；（2）根据“等边对等角”可得∠DBC=∠BDC ，结合∠ABC=∠ECD ，可得∠ABD=∠ABC+∠DBC =∠ECD+∠BDC ，再利用三角形的外角性质得∠EBD =∠ECD+∠BDC ，即可证明∠ABD=∠EBD ．【详解】证明：（1）∵AB ∥CD ，∴∠ABC=∠ECD ，在△ABC 和△ECD 中，ABC ECD A EAC ED ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△ABC ≌△ECD （AAS ），∴BC=CD ．（2）证明：如图，∵BC=CD ，∴∠DBC=∠BDC ，∵∠ABC=∠ECD ，∴∠ABD=∠ABC+∠DBC =∠ECD+∠BDC，又∵∠EBD =∠ECD+∠BDC，∴∠ABD=∠EBD．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质等知识，掌握全等三角形的判定与性质及等腰三角形的性质是解题的关键．25．（1）见解析；（2）线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等；DCB，DBC；DBC；等角对等边．【分析】（1）根据题意，按照尺规作图的基本要求，完成作图即可；（2）根据证明过程可分析得出：此题的证明思路是利用线段垂直平分线的性质与等腰三角形的判定，则可根据推理过程补充相应的内容即可．【详解】解：（1）补全的图形如下：（2）证明：∵直线MN是线段CB的垂直平分线，点D在直线MN上，∴DC＝DB．（线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等）∴∠DCB＝∠DBC．∵∠ACB＝90°，∴∠ACD＝90°−∠DCB，∠A＝90°−∠DBC．∴∠ACD＝∠A．∴DC＝DA．（等角对等边）∴△DCB和△DCA都是等腰三角形．故答案为：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等；DCB，DBC；DBC；等角对等边．【点睛】本题考查了作图−应用与设计作图、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的判定，解决本题的关键是掌握线段垂直平分线的性质与等腰三角形的判定．AC ；（3）见解析26．（1）见解析；（2）4【分析】（1）连接BD 由等腰三角形的性质和已知条件得出∠BAD ＝∠DAC ＝12×120°＝60°，再由AD ＝AB ，即可得出结论；（2）由等边三角形三线合一可得，122DG AG AD ===，可得4AD AB AC ===，即可求解；（3）由△ABD 是等边三角形，得出BD ＝AD ，∠ABD ＝∠ADB ＝60°，证出∠BDE ＝∠ADF ，由ASA 证明△BDE ≌△ADF ，得出AF ＝BE ，即可求解．【详解】证明：（1）AB AC =，AD BC ⊥，12BAD DAC BAC ∴∠=∠=∠， 120BAC ∠=︒，1120602BAD DAC ∴∠=∠=⨯︒=︒， =AD AB ，ABD ∴是等边三角形．（2）ABD 是等边三角形，AD AB BD ∴==，AD BC ⊥，122DG AG AD ∴===， 4AD AB AC ∴===，即4AC =；（3）ABD 是等三角形，60ABD ADB ∴∠=∠=︒，BD AD =， 60EDF ∠=︒，ADB ADE EDF ADE ∴∠-∠=∠-∠，即BDE ADF ∠=∠．在BDE 和ADF 中，60ABD DAC ∠=∠=︒，BD AD =，BDE ADF ∠=∠，(ASA)BDE ADF ∴△≌△，BE AF ∴=，AB AE BE =+，AB AE AF ∴=+．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，等边三角形的判定与性质；熟练掌握等腰三角形的性质，并能进行推理论证是解决问题的关键．。

人教版初中数学八年级数学上册第三单元《轴对称》测试卷(答案解析)(2)

一、选择题1．如图，在△ABD 中，分别以点A 和点D 为圆心，大于12AD 的长为半径画弧，两弧相交于点M 、N ，作直线MN 分别交BD 、AD 于点C 、E ．若AE=5cm ，△ABC 的周长=15cm ，则△ABD 的周长是（）A ．35cmB ．30cmC ．25cmD ．20cm 2．如图，已知等腰ABC 的底角15C ︒∠=，顶点B 到边AC 的距离是3cm ，则AC 的长为（）A ．3cmB ．4cmC ．5cmD ．6cm3．如图，已知30MON ∠=︒，点1A ，2A ，3A ，…，在射线ON 上，点B ，1B ，2B ，3B ，…，在射线OM 上，112A B B ，223A B B △，334A B B △，…，均为等边三角形．若11OB =，则202020202021A B B △的边长为（）A ．20192B ．20202C ．20212D ．202224．如图，在ABC ∆中，90,30C B ︒︒∠=∠= ，以A 为圆心，任意长为半径画弧分别交AB AC 、于点M 和N ，再分别以M N 、为圆心，大于12MN 的长为半径画弧，两弧交于点P ，连接AP ，并延长交BC 于点D ，则下列说法中正确的个数是（）①AD 是BAC ∠的平分线；②60ADC ︒∠=；③点D 在AB 的垂直平分线上﹔④若2AD =，则点D 到AB 的距离是1，:1:2DAC ABC S S ∆∆=A ．2B ．3C ．4D ．5 5．已知等腰三角形有一边长为5，一边长为2，则其周长为（） A ．12 B ．9 C ．10 D ．12或9 6．定义：等腰三角形的一个底角与其顶角的度数的比值()1k k >称为这个等腰三角形的“优美比”．若在等腰三角形ABC 中，36,A ∠=︒则它的优美比k 为（）A ．32B ．2C ．52D ．37．等腰三角形的一个内角是50度，它的一腰上的高与底边的夹角是（）度 A ．25或60 B ．40或60 C ．25或40 D ．408．如图，∠MON =30°，点A 1、A 2、A 3…在射线ON 上，点B 1、B 2、B 3…在射线OM 上，△A 1B 1A 2、△A 2B 2A 3、△A 3B 3A 4…均为等边三角形，从左起第1个等边三角形的边长记为a 1，第2个等边三角形的边长记为a 2，以此类推．若OA 1=1，则a 2019=（）A ．22017B ．22018C ．22019D ．220209．如图，ABC 中，AC AD BD ==，80CAD ︒∠=，则B 等于（）A ．25︒B ．30︒C ．35︒D ．40︒10．如图，在ABC 中，18cm AC =，20cm BC =，点M 从点A 出发以每秒2cm 的速度向点C 运动，点N 从点C 出发以每秒1.6cm 的速度向点B 运动，其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动，当CMN △是以MN 为底的等腰三角形时，则这时等腰三角形的腰长是（）A．5cm B．6cm C．7cm D．8cm11．如图，AC AD=，BC BD=，则有（）A．AB与CD互相垂直平分B．CD垂直平分ABC．CD平分ACB∠D．AB垂直平分CD12．如图，在Rt ABC中，∠BAC＝90°，以点A为圆心，以AB长为半径作弧交BC于点D，再分别以点B，D为圆心，以大于12BD的长为半径作弧，两弧交于点P，作射线AP交BC于点E，如果AB＝3，AC＝4，那么线段AE的长度是（）A．125B．95C．85D．75二、填空题13．平面直角坐标系xOy中，先作出点P (2,3)-关于y轴的对称点，再将该对称点先向下平移1个单位，再向左平移2个单位得到点P1，称为完成一次图形变换，再将点P1进行同样的图形变换得到点P2，以此类推，则点P2020的坐标为___________．14．若点P(x-y，y)与点Q(-1，-5)关于x轴对称，则x+y=______．15．如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，∠B＝50°，D为BC的中点，点E在AB上，∠AED＝70°，若点P是等腰三角形ABC的腰上的一点，则当DEP是以∠EDP为顶角的等腰三角形时，∠EDP的度数是_____．16．若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为20°，则顶角的度数为______________ 17．如图，在22⨯的正方形的网格中，格线的交点称为格点，以格点为顶点的三角形称为格点三角形．图中的ABC为格点三角形，在图中最多能画出______个不同的格点三角形与ABC成轴对称．18．含30角的直角三角板与直线1l ，2l 的位置关系如图所示，已知12//l l ，30A ∠=︒，160∠=︒，若6AB =，CD 的长为__________．19．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC=36°，AD 、CE 是△ABC 的两条角平分线，BD=5，P 是AD 上的一个动点，则线段BP ＋EP 最小值的是____________．20．已知，点()1,3A a -与点()2,21B b --关于x 轴对称，则2a b +___________．三、解答题21．如图，△ABC 的三个顶点在边长为1的正方形网格中，已知A （−4，5），B （﹣3，1），C （−2，3）．（1）画出△ABC 及关于y 轴对称的△A 1B 1C 1，其中点B 1的坐标是________；（2）若点M 是x 轴上的动点，在图中画出使△B 1CM 周长最小时的点M ．22．如图，BD 是ABC 的角平分线，点E 在边AB 上，且//DE BC ，AE BE =．（1）若5BE =，求DE 的长；（2）求证：AB BC =．23．如图，在平面直角坐标系中有ABC ：（1）已知111A B C △和ABC 关于y 轴对称，在图中画出111A B C △；（2）将111A B C △沿x 轴向右平移4个单位，在图中画出平移后的222A B C △；（3）222A B C △和ABC 关于某条直线l 对称，在图中画出对称轴l ．24．如图，在△ABC 中， AB =AC ．过点A 作BC 的平行线交∠ABC 的角平分线于点D ，连接CD ．(1)求证：△ACD 为等腰三角形．(2)若∠BAD =140°，求∠BDC 的度数．25．如图：已知ABC 中AB AC =：（1）尺规作图：过A 点作//AE BC （不写作法，保留作图痕迹）；（2）求证：AE 是ABC 的一个外角角平分线．26．已知ABC 是等边三角形，点D 是AC 的中点，点P 在射线BC 上，点Q 在线段AB 上，120PDQ ∠=︒．（1）如图1，若点Q 与点B 重合，求证：DB DP =；（2）如图2，若点P 在线段BC 上，8AC =，求AQ PC +的值．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．C解析：C【分析】利用线段的垂直平分线的性质即可解决问题．【详解】解：∵MN 垂直平分线段AD ，∴AC=DC ，AE+ED=AD=10cm ，∵AB+BC+AC=15cm ，∴AB+BC+DC=15cm ，∴△ABD 的周长=AB+BC+DC+AD=15+10=25cm ，故选：C ．【点睛】本题考查了作图-基本作图，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握线段的垂直平分线的性质．2．D解析：D【分析】根据等腰三角形的性质，可得∠BAD=30°，再利用30度角所对直角边等于斜边的一半，求出AB 即可．【详解】解：∵AB=AC ，∴∠C=∠ABC=15°，∴∠BAD=30°，∵BD ⊥AC ，∴∠BDA=90°，∴AB=2BD ，点B 到边AC 的距离是3cm ，即BD=3cm ，∴AB=2BD=6cm ，故选：D ．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和含30度角的直角三角形的性质，解题关键是利用等腰三角形的性质把已知的15°角转化为30度角．3．A解析：A【分析】先求出∠O=∠OA 1B 1=30°，从而A 1B 1=A 1B 2= OB 1=1，然后根据含30°角的直角三角形的性质求解即可．【详解】解：∵△A 1B 1B 2是等边三角形，∴∠A 1B 1B 2=∠A 1B 2O=60°，A 1B 1=A 1B 2，∵∠O=30°，∴∠A 2A 1B 2=∠O+∠A 1B 2O=90°，∵∠A 1B 1B 2=∠O+∠OA 1B 1，∴∠O=∠OA 1B 1=30°，∴OB 1=A 1B 1=A 1B 2=1，在Rt △A 2A 1B 2中，∵∠A 1A 2B 2=30°，∴A 2B 2=2A 1B 2=2，同法可得A 3B 3=22，A 4B 4=23，…，A n B n =2n-1，∴202020202021A B B △的边长=22019，故选：A ．【点睛】本题考查了图形类规律探究，等边三角形的性质，三角形外角的性质，含30角的直角三角形的性质等知识，解题的关键是学会探究规律的方法，属于中考常考题型．4．B解析：B【分析】先根据三角形内角和计算出∠BAC=60°，再利用基本作图对①进行判断；利用∠BAD=∠CAD=30°得到∠ADC=60°，则可对②进行判断；利用∠B=∠BAD 得到DA=DB ，根据线段垂直平分线的性质定理的逆定理可对③进行判断．利用30度角所对的直角边是斜边的一半、三角形的面积计算公式即可得出两个三角形的面积之比．【详解】解：由作法得，AD 平分∠BAC ，所以①正确；∵∠C=90°，∠B=30°，∴∠BAC=60°，∴∠BAD=∠CAD=12×60°=30°， ∴∠ADC=90°-∠CAD=60°，所以②正确；∵∠B=∠BAD ，∴DA=DB ，∴点D 在AB 的垂直平分线上，所以③正确；在直角△ACD 中，∠CAD=30°，∴CD=12AD ， ∴BC=CD+BD=12AD+AD=32AD ，1124DAC S AC CD AC AD ∆=⋅=⋅． ∴11332224ABC S AC BC AC AD AC AD ∆=⋅=⋅=⋅， ∴13::1:344DAC ABC S S AC AD AC AD ∆∆=⋅⋅=，故④错误．所以，正确的结论有3个故选：B ．【点睛】本题考查了角平分线的性质、线段垂直平分线的性质以及作图-基本作图．解题时需要熟悉等腰三角形的判定与性质．5．A解析：A【分析】由等腰三角形有一边长为5，一边长为2，可分两种情况：①5为腰长，2为底边长；②2为腰长，5为底边长，依次分析即可求得答案．【详解】解：①若5为腰长，2为底边长，∵5，5，2能组成三角形，此时周长为：5+5+2=12；②若2为腰长，5为底边长，∵2+2=4<5，不能组成三角形，故舍去；∴三角形周长为12．故选：A ．【点睛】此题考查等腰三角形的性质与三角形的三边关系，解题的关键是注意分类讨论．6．B解析：B【分析】由已知可以写出∠B和∠C，再根据三角形内角和定理可以得解．【详解】解：由已知可得：∠B=∠C=k∠A=（36k）°，由三角形内角和定理可得：2×36k+36=180，∴k=2，故选B．【点睛】本题考查等腰三角形的应用，熟练掌握等腰三角形的性质、三角形内角和定理及方程思想的应用是解题关键．7．C解析：C【分析】当顶角为50°时和底角为50°两种情况进行求解．【详解】当顶角为50°时，底角为：（180°−50°）÷2＝65°．此时它的一条腰上的高与底边的夹角为：90°−65°＝25°．当底角为50°时，此时它的一条腰上的高与底边的夹角为：90°−50°＝40°．故选：C．【点睛】本题考查等腰三角形的性质，等腰三角形中两个底角相等．同时考查了分类讨论的思想．8．B解析：B【分析】根据等边三角形的性质以及平行线的性质得出A1B1∥A2B2∥A3B3，以及a2=2a1，得出a3=4a1=4，a4=8a1=8，a5=16a1=16，进而得出答案．【详解】解：∵△A1B1A2是等边三角形，∴A1B1=A2B1，∠3=∠4=∠12=60°，∴∠2=120°，∵∠MON=30°，∴∠1=180°−120°−30°=30°，又∵∠3=60°，∴∠5=180°−60°−30°=90°，∵∠MON=∠1=30°，∴OA1=A1B1=1，∴A2B1=1，∵△A2B2A3、△A3B3A4是等边三角形，∴∠11=∠10=60°，∠13=60°，∵∠4=∠12=60°，∴A1B1∥A2B2∥A3B3，B1A2∥B2A3，∴∠1=∠6=∠7=30°，∠5=∠8=90°，∴a2=2a1=2，a3=4a1=22，a4=8a1=32，a5=16a1=42，，以此类推：a2019=22018．故选：B．【点睛】此题主要考查了等边三角形的性质以及含30度角的直角三角形的性质，根据已知得出a3=4a1=4，a4=8a1=8，a5=16…进而发现规律是解题关键．9．A解析：A【分析】利用AD=AC，求出∠ADC=∠C=50︒，利用AD=AB，即可求得∠B=∠BAD1252ADC==∠︒．【详解】∵AD=AC，∴∠ADC=∠C，∵80CAD︒∠=，∴∠ADC=∠C=50︒，∵AD=AB，∴∠B=∠BAD1252ADC==∠︒，故选：A．【点睛】此题考查等边对等角的性质，三角形的内角和定理，三角形的外角性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．10．D解析：D【分析】要求运动后得到的等腰三角形的腰长，首先要求出动点所运动的时间．我们可以设M 、N 运动的时间为x 秒．【详解】设M 、N 运动的时间为x 秒．当CMN △是以MN 为底的等腰三角形时，,182, 1.6CM CN CM x CN x ==-= 即182 1.6x x -=，解得5x =．∴腰长为5 1.68cm ⨯=故选D ．【点睛】此题主要考查学生对等腰三角形的性质这一知识点的理解和掌握，此题涉及到动点，有一定的拔高难度．11．D解析：D【分析】根据线段垂直平分线的判定定理解答．【详解】∵AC AD =，BC BD =，∴AB 垂直平分CD ，故D 正确，A 、B 错误，OC 不平分∠ACB ，故C 错误，故选：D ．【点睛】此题考查线段垂直平分线的判定：到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．12．A解析：A【分析】根据作图过程可得AP 是BD 的垂直平分线，根据勾股定理可得BC 的长，再根据等面积法求出AE 的长即可．【详解】解：∵∠BAC ＝90°，AB ＝3，AC ＝4，∴BC 5=，根据作图过程可知：AP 是BD 的垂直平分线，∴BE ＝DE ，AE ⊥BD ，∴△ABC的面积：12AB•AC＝12BC•AE，∴5AE＝12，∴AE＝125．故选：A．【点睛】本题考查垂直平分线和勾股定理，需要有一定的数形结合能力，熟练掌握垂直平分线的定义，结合题意进行解题是解决本题的关键．二、填空题13．【分析】按程序先作y轴对称求出点坐标横坐标-2纵坐标-1完成一次图形变换求出P变换后的坐标找出几次变换后规律奇次变换点的横坐标x=0偶次变换点的横坐标x=-2纵坐标变一次下移一个单位【详解】解：完成解析：(2,2017)--【分析】按程序先作y轴对称，求出点坐标，横坐标-2，纵坐标-1，完成一次图形变换求出P变换后的坐标，找出几次变换后规律奇次变换点的横坐标x=0，偶次变换点的横坐标x=-2，纵坐标变一次下移一个单位．【详解】解：完成1次图形变换，点P (2,3)-关于y轴的对称点（2，3），横坐标2-2=0，纵坐标3-1=2，P1（0，2），完成2次图形变换，点P1(0,2)关于y轴的对称点（0，2），横坐标0-2=-2，纵坐标2-1=1，P2（-2，1），完成3次图形变换，点P2（-2，1）关于y轴的对称点（2，1），横坐标3-3=0，纵坐标1-1=0，P3（0，0），完成4次图形变换，点P3（0，0）关于y轴的对称点（0，0），横坐标0-2=-2，纵坐标0-1=-1，P4（-2，-1），……,完成2020次图形变换，点P2019（0，3-2019）关于y轴的对称点（0，-2016），横坐标0-2=-2，纵坐标-2016-1=-2017，P2020（-2，-2017）．故答案为：（-2，-2017）．【点睛】本题考查图形规律探索问题，掌握图形程序变换的轴对称性质和平移特征，关键是找到变换规律奇次变换点的横坐标x=0，偶次变换点的横坐标x=-2，纵坐标变一次下移一个单位．14．9【分析】根据关于x轴对称的点横坐标相同纵坐标互为相反数可得答案【详解】由点P（x-yy）与点Q（-1-5）关于x轴对称得x-y＝-1y＝5解得x＝4y＝5x+y=4+5=9故答案为：9【点睛】本题解析：9【分析】根据关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数，可得答案．【详解】由点P（x-y，y）与点Q（-1，-5）关于x轴对称，得x-y＝-1，y＝5．解得x＝4，y＝5，x+y=4+5=9，故答案为：9【点睛】本题考查了关于x轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．15．40°或100°或140°【分析】根据△DEP是以∠EDP为顶角的等腰三角形可知DP＝DE所以可以分两种情况考虑:①点P在AB上；②点P在AC上分别画出符合条件的图形根据等腰三角形的性质和全等三角形解析：40°或100°或140°【分析】根据△DEP是以∠EDP为顶角的等腰三角形，可知DP＝ DE，所以可以分两种情况考虑: ①点P在AB上；②点P在AC上．分别画出符合条件的图形，根据等腰三角形的性质和全等三角形的判定和性质定理解答即可．【详解】解：∵AB＝AC，∠B＝50°，∠AED＝70°，∴∠EDB＝20°，∵当△DEP是以∠EDP为顶角的等腰三角形，∴DP＝ DE，①如图，当点P在AB上时，记为P1，∵DE＝DP1，∴∠DP1E＝∠AED＝70°，∴∠EDP1＝180°﹣70°﹣70°＝40°，②如图，当点P在AC上时，有两个点P2、 P3符合条件，∵AB＝AC，D为BC的中点，∴∠BAD＝∠CAD，过D 作DG ⊥AB 于G ，DH ⊥AC 于H ，∴DG ＝DH ，在Rt △DEG 与Rt △DP 2H 中，2DE DP DG DH =⎧⎨=⎩， ∴Rt △DEG ≌Rt △DP 2H （HL ），∴∠AP 2D ＝∠AED ＝70°，∵∠BAC ＝180°﹣50°﹣50°=80°，∴∠EDP 2＝140°，同理证得Rt △DEG ≌Rt △D P 3H （HL ），∴∠EDG ＝∠P 3DH ，∴∠EDP 3＝∠GDH ＝100°，故答案为：40°或100°或140°．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，分类讨论画出符合条件的图形是解题的关键．16．70°或110°；【分析】分情况讨论：当等腰三角形的顶角是钝角或者等腰三角形的顶角是锐角两种情况【详解】解：①当等腰三角形的顶角是钝角时腰上的高在外部如图1根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内解析：70°或110° ；【分析】分情况讨论：当等腰三角形的顶角是钝角或者等腰三角形的顶角是锐角两种情况．【详解】解：①当等腰三角形的顶角是钝角时，腰上的高在外部，如图1，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，即可求得顶角是90°+20°=110°；②当等腰三角形的顶角是锐角时，腰上的高在其内部，如图2，根据直角三角形两锐角互余可求顶角是90°-20°=70°．故答案为70°或110°．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，注意此类题的两种情况．其中考查了直角三角形的两个锐角互余；三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．17．5【分析】画出所有与成轴对称的三角形【详解】解：如图所示：和对称和对称和对称和对称和对称故答案是：5【点睛】本题考查轴对称图形解题的关键是掌握画轴对称图形的方法解析：5【分析】画出所有与ABC成轴对称的三角形．【详解】解：如图所示：ABC和ADC对称，ABC和EBD△对称，ABC和DEF对称，ABC 和DCB 对称，ABC 和CDA 对称，故答案是：5．【点睛】本题考查轴对称图形，解题的关键是掌握画轴对称图形的方法．18．3【分析】再根据含角的直角三角形的边角关系证得BC=AB=3根据平行线的性质可求得∠BDC=∠1=60°根据∠CBD=60°和三角形内角和定理可证得△BCD 是等边三角形即可证得CD=BC=3【详解】解析：3【分析】再根据含30角的直角三角形的边角关系证得BC=12AB=3，根据平行线的性质可求得∠BDC=∠1=60°，根据∠CBD=60°和三角形内角和定理可证得△BCD 是等边三角形，即可证得CD=BC=3．【详解】解：∵∠ACB=90°，∠A=30°，∴BC=12AB=3，∠CBD=60°， ∵12//l l ，∴∠BDC=∠1=60°，又∠CBD=60°，∴∠BCD=60°，∴△BCD 为等边三角形，∴CD=BC=3，故答案为：3．【点睛】本题考查了含30角的直角三角形的边角关系、平行线的性质、三角形的内角和定理、等边三角形的判定与性质，熟练掌握含30角的直角三角形的边角关系，证得△BCD 为等边三角形是解答的关键．19．10【分析】连结CP 利用等腰三角形顶角平分线所在直线为对称轴得BP=CPBD=CD=5当点CPE 在一直线是BP ＋EP 最小值最小值为BP ＋EP=EC 由∠BAC=36°AB=AC 求出∠ABC=∠ACB=解析：10【分析】连结CP ，利用等腰三角形顶角平分线所在直线为对称轴得 BP=CP ，BD=CD=5，当点C 、P 、E 在一直线是BP ＋EP 最小值，最小值为BP ＋EP= EC ，由∠BAC=36°，AB=AC ，求出∠ABC=∠ACB=72°，又CE 是△ABC 的角平分线有∠BCE=36°，求出∠BEC=72º，得CE=BC =10即可．【详解】连结CP ，点P 在AD 上运动，∵AB=AC ，AD 平分∠BAC ，∴AD 所在直线为对称轴，∴BP=CP ，BD=CD=5，当点C 、P 、E 在一直线是BP ＋EP 最小值,∴BP ＋EP=PC+EP=EC ，∵∠BAC=36°，AB=AC ，∴∠ABC=∠ACB=()1180-36=722︒︒︒， ∵CE 是△ABC 的角平分线， ∴∠BCE=1ACB=362∠︒， ∴∠BEC=180º-∠EBC-∠BCE =180º-72º-36º=72º，∴∠BEC=∠EBC ，∴CE=BC=BD+CD=10．故答案为：10．【点睛】本题考查等腰三角形的判定和性质，角平分线性质，轴对称性质，掌握等腰三角形的判定和性质，角平分线性质，线段和最短问题经常利用轴对称性质作出对称线段，三点在一线时最短作出图形是解题关键．20．7【分析】根据关于x 轴对称的点横坐标相同纵坐标互为相反数列方程求解即可【详解】解：∵点A （a-13）与点B （2-2b-1）关于x 轴对称∴a-1=2-2b-1=-3解得a=3b=1∴=2×3+1=7故解析：7【分析】根据“关于x 轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数”列方程求解即可．【详解】解：∵点A （a-1，3）与点B （2，-2b-1）关于x 轴对称，∴a-1=2，-2b-1=-3，解得a=3，b=1，∴2a b +=2×3+1=7．故答案为：7．【点睛】本题考查了关于x 轴、y 轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：（1）关于x 轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；（2）关于y 轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数．三、解答题21．（1）图形见解析；B 1（3，2）；（2）见解析【分析】（1）分别找到A 、B 、C 点关于y 轴的对称点，然后连接即可；（2）找C 关于x 轴的对称点C′，连接1B C '交x 轴于一点M ，根据两点之间线段最短，可知此时的M 即为使1B CM △周长最小时的点M ．【详解】解：（1）111A B C △如图所示；根据图形可知B 1(3，2)，故答案为：(3，2)；（2）如图所示：找C 关于x 轴的对称点C′，则C′(-2，-3)，CM C M '=，连接1B C '交x 轴于一点M ，根据两点之间线段最短，可知此时的M 即为使1B CM △周长最小时的点M ．【点睛】本题考查作图-轴对称、最短路径问题，解题的关键是熟练掌握基础知识．22．（1）DE=5；（2）证明见解析．【分析】（1）根据角平分线和平行线的性质可得∠ABD=∠EDB，从而可得DE= BE=5；（2）根据等边对等角得出∠A=∠ADE，根据平行线的性质可得∠C=∠ADE，从而可得∠A=∠C，根据等角对等边可证得结论．【详解】解：（1）∵BD是ABC的角平分线，∴∠ABD=∠DBC，∵DE//BC，∴∠EDB=∠DBC，∴∠ABD=∠EDB，∴BE=DE，∵BE=5,∴DE=5；（2）∵AE=BE，BE=DE，∴AE=DE，∴∠A=∠ADE，∵DE//BC，∴∠C=∠ADE，∴∠A=∠C，∴AB=BC．【点睛】本题考查等腰三角形的性质和判定，平行线的性质．解决此题的关键是借助等腰三角形的性质和判定完成边相等与角相等之间的互相转化．23．（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析．【分析】（1）利用关于y 轴对称点的性质得出对应点位置进而得出答案；（2）直接利用平移的性质得出对应点位置进而得出答案；（3）直接利用轴对称的性质得出对称轴的位置进而得出答案．【详解】解：（1）如图所示：（2）如图所示；（3）如图所示．【点睛】此题主要考查了轴对称变换以及平移变换，正确得出对应点位置是解题关键．24．（1）证明见解析；（2）50BDC ∠=︒．【分析】（1）根据平行线的性质和角平分线的定义可得∠ADB=∠ABD ，从而可得AB=AD ，再依据等量代换即可得出结论；（2）根据等腰三角形等边对等角可求得∠ADB=20°，再依据角平分线的性质、平行线的性质和等腰三角形等边对等角求得70ADC ∠=︒，最后利用角的和差即可求得结论．【详解】解：（1）证明：∵AD ∥BC ，∴∠ADB=∠DBC ，∵BD 为∠ABC 的平分线，∴∠ABD=∠DBC ，∴∠ADB=∠ABD ，∴AB=AD ，∵AB =AC ，∴AC=AD ，即△ACD 为等腰三角形；（2）∵AB=AD ，∠BAD =140°，∴∠ADB=∠ABD=1802BAD ︒-∠=20°， ∴∠ABC=∠ABD+∠DBC=2∠ABD=40°，∵AB =AC ，∴∠ACB=∠ABC=40°,∵AD ∥BC ，∴∠DAC=∠ACB=40°,∵AC=AD ， ∴180702DAC ADC ACD ︒-∠∠=∠==︒, ∴50AD DC AD C B B ∠-∠=∠=︒．【点睛】本题考查等腰三角形的性质和判定，平行线的性质，角平分线的有关证明．（1）中需正确识别角平分线与平行线所构成的等腰三角形；（2）中能根据等边对等角依次计算角度是解题关键．25．（1）见解析；（2）见解析．【分析】（1）作∠CAE=∠C 即可；（2）延长BA ，根据两直线平行，同位角相等，有∠EAF=∠B ，由（1）可知∠CAE=∠C ，再根据AB=AC ，可得∠B=∠C ，等量替换之后即可得证．【详解】（1）射线AE 为所求；（2）证明：如图所示，延长BA ，∵//AE BC ，∴∠EAF=∠B ，∠CAE=∠C ，∵AB=AC ，∴∠B=∠C ，∴∠EAF=∠CAE ，∴AE 是ABC 的一个外角角平分线．【点睛】本题考查了平行线的性质和判定，等腰三角形的性质和角平分线的判定等知识，掌握相关知识是解题的关键．26．（1）证明见解析；（2）4．【分析】（1）由等边三角形的性质证明30DBC ∠=︒，再利用三角形的内角和定理求解30DPB ∠=︒，从而可得结论；（2）过点D 作//DE BC 交AB 于点E ，先证明ADE 为等边三角形，再证明QDE PDC ≌，可得QE PC =，从而可得答案．【详解】证明：（1）∵ABC 为等边三角形，∴,60BA BC ABC =∠=︒∵D 为AC 的中点，∴DB 平分ABC ∠， ∴30DBC ∠=︒．∵120PDB ∠=︒，∴1801203030DPB ∠=︒-︒-︒=︒，∴DBC DPB ∠=∠，∴DB DP =．（2）过点D 作//DE BC 交AB 于点E ．∵ABC 为等边三角形，8AC =，点D 是AC 的中点，∴4,60AD CD ABC ACB A ==∠=∠=∠=︒．∵//DE BC ， ∴60AED B ∠=∠=︒．60ADE C ∠=∠=︒，∴ADE 为等边三角形，120EDC ∠=︒，∴4AD ED AE ===，∴ED CD 4==． ∵120QDP EDC ∠=∠=︒，,QDE EDP EDP PDC ∴∠+∠=∠+∠∴QDE PDC ∠=∠．∵,60ED CD AED C =∠=∠=︒，∴QDE PDC ≌，∴EQ PC =，∴4AQ PC AQ QE AE +=+==．【点睛】本题考查的是等腰三角形的判定，等边三角形的性质与判定，三角形的全等的判定与性质，掌握以上知识是解题的关键．。

新人教版初中数学八年级数学上册第三单元《轴对称》检测卷(包含答案解析)(3)

一、选择题1．如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，∠B ＝30°，AD 平分∠CAB 交BC 于点D ，E 为AB 上一点，连接DE ，则下列四个结论正确的有（）．①∠CAD ＝30° ②AD ＝BD ③BD ＝2CD ④CD ＝EDA ．1个B ．2个C ．3个D ．4个2．如图，在ABC 中，6AB =，8AC =，10BC =，EF 是BC 的垂直平分线，P 是直线EF 上的一动点，则PA PB +的最小值是（）．A ．6B ．8C ．10D ．113．如图，ABC 中，45ABC ︒∠=，CD AB ⊥于D ，BE 平分ABC ∠，且BE AC ⊥于E ，与CD 相交于点F ，DH BC ⊥于H ，交BE 于G ，下列结论：①BD CD =；②AE BG =；③2CE BF =；④AD CF BD +=．其中正确的有（）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个4．“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的．借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角．这个三等分角仪由两根有槽的棒OA ， OB 组成，两根棒在O 点相连并可绕O 转动，C 点固定，OC CD DE ==，点D ，E 可在槽中滑动，若72BDE ︒∠=，则CDE ∠的度数是（）A ．84︒B ．82︒C ．81︒D ．78︒5．如图，已知60AOB ∠=︒，点P 在OA 边上，8OP cm =，点M 、N 在边OB 上，PM PN =，若2MN cm =，则OM 为（）A ．2cmB ．3cmC ．4cmD ．1cm6．等腰三角形的两边a ，b 满足7260a b -+-=，则它的周长是（）A ．17B ．13或17C ．13D ．19 7．等腰三角形两边长为2和4，则其周长为（）A ．8B ．10C ．8或10D ．12 8．如图，已知点D 为ABC 内一点，CD 平分ACB ∠，BD CD ⊥，A ABD ∠=∠，若6AC =，4BC =，则BD 的长为（）A ．2B ．1.5C ．1D ．2.59．如图所示，D 为 BC 上一点，且 AB ＝AC ＝BD ，则图中∠1 与∠2 的关系是（）A ．∠1＝2∠2B ．∠1+∠2＝180°C ．∠1+3∠2＝180°D ．3∠2﹣∠1＝180° 10．若海岛N 位于海岛M 北偏东30°的方向上，则从海岛N 出发到海岛M 的航线可能是（） A ． B ．C ．D ．11．北京有许多高校，下面四所高校校徽主体图案是轴对称图形的有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个12．如图，在ABC ∆中，5AC =，线段AB 的垂直平分线交AC 于点,D BCD ∆的周长是9，则BC 的长为（）A ．3B ．4C ．5D ．6二、填空题13．如图，已知60AOB ︒∠=，点P 在边OA 上， 10OP =，点,M N 在边OB 上， PM PN =，若3,MN =则OM 的长是__________．14．如图，点D 、E 是ABC 的边BC 上的点，且AED n ∠=︒，::1:3:2CAD DAE BAE ∠∠∠=，若点D 在边AC 的垂直平分线上，点E 在边AB 的垂直平分线上，则n =________．15．如图，在ABC ∆中，31C ∠=︒，ABC ∠的平分线BD 交AC 于点D ，如果DE 垂直平分BC ，那么A ∠的度数为_______．16．如图，在ABC 中，BD 平分ABC ∠交AC 于点D ，//EF BC 交BD 于点G ，若130BEG ∠=︒，则DGF ∠=______．17．如图所示为一张三角形纸片，已知6cm AC =，8cm BC =，现将ABC 折叠，使点B 与点A 重合，折痕为DE ，则ACD △的周长为________cm ．18．如图，等腰ABC 底边BC 的长为4cm ，面积是12cm 2，腰AB 的垂直平分线EF 交AC 于点F ，若D 为BC 边上的中点，M 为线段EF 上一动点，则BDM 的周长最小值为_____cm ．19．给出如下三个图案，它们具有的公共特点是：________．（写出1个即可）20．如图，AOB 与COB △关于边OB 所在的直线成轴对称，AO 的延长线交BC 于点D .若46BOD ∠=︒，22C ∠=︒，则ADC ∠=______°．三、解答题21．如图，以△ABC 的两边AB 和AC 为腰在△ABC 外部作等腰Rt △ABD 和等腰Rt △ACE ，AB ＝AD ，AC ＝AE ，∠BAD ＝∠CAE ＝90°．（1）连接BE 、CD 交于点F ，如图①，求证：BE ＝CD ，BE ⊥CD ；（2）连接DE ，AM ⊥BC 于点M ，直线AM 交DE 于点N ，如图②，求证：DN ＝EN ．22．如图，等边三角形ABC 中，AD BC ⊥，垂足为D ，点E 在线段AD 上，45EBC ∠=︒，求ACE ∠的度数．23．如图，在ABC 中，AB AC =，D 为AC 的中点，DE AB ⊥于点E ，DF BC ⊥于点F ，且DE DF =，连接BD ，点G 在BC 的延长线上，且CD CG =．（1）求证：ABC 是等边三角形；（2）若2CG =，求BC 的长．24．在平面直角坐标系中，△ABC 的位置如图所示，已知点A 、B 的坐标为（-4，3）（3，0）．（1）点C 关于x 对称的点的坐标（，）；（2）在图中作出△ABC 关于y 轴的对称图形△A′B′C′；（3）△ABC 的面积为．25．如图，在ABC 中，45B ︒∠=，60C ︒∠=，点E 为线段AB 的中点，点F 在边AC 上，连结EF ，沿EF 将AEF 折叠得到PEF ．（1）如图1，当点P 落在BC 上时，求AEP ∠的度数．（2）如图2，当PF AC ⊥时，求BEP ∠的度数．26．（1）如图①，已知：在ABC 中，90BAC ∠=︒，AB AC =，直线m 经过点A ，BD ⊥直线m ，CE ⊥直线m ，垂足分别为点D 、E ．求证：DE BD CE =+．（2）如图②，将（1）中的条件改为：在ABC 中，AB AC =，D 、A 、E 三点都在直线m 上，并且有BDA AEC BAC a ∠=∠=∠=，其中a 为任意锐角或钝角．请问结论DE BD CE =+是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．（3）拓展与应用：如图③，D、E是D、A、E三点所在直线m上的两动点（D、A、E三点互不重合），点F为BAC∠平分线上的一点，且ABF和ACF均为等边三∠=∠=∠，试判断DEF的形状．（不需要角形，连接BD、CE，若BDA AEC BAC说明理由）【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．C解析：C【分析】根据三角形内角和定理求出∠CAB，求出∠CAD=∠BAD=∠B，推出AD=BD，AD=2CD即可．【详解】解：∵在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，∴∠CAB=60°，∵AD平分∠CAB，∴∠CAD=∠BAD=30°，①正确；∴∠CAD=∠BAD=∠B，∴AD=BD，AD=2CD，②正确；∴BD=2CD，③正确；根据已知不能推出CD=DE，故④错误；故选：C．【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，等腰三角形的判定，含30度角的直角三角形的性质的应用，注意：在直角三角形中，如果有一个角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．2．B解析：B【分析】根据题意，设EF与AC的交点为点P，连接BP，由垂直平分线的性质，则BP=CP，得到PA PB PA PC AC+=+=，即可得到PA PB+的最小值．【详解】解：根据题意，设EF 与AC 的交点为点P ，连接BP ，如图：∵EF 是BC 的垂直平分线，∴BP=CP ，∴8PA PB PA PC AC +=+==，∴PA PB +的最小值为8；故选：B ．【点睛】本题考查了垂直平分线的性质，解题的关键是正确找出点P 的位置，使得PA PB +有最小值．3．B解析：B【分析】根据∠ABC ＝45°，CD ⊥AB 可得出BD ＝CD ，利用ASA 判定Rt △DFB ≌Rt △DAC ，从而得出DF ＝AD ，BF ＝AC ．则CD ＝CF +AD ，即AD +CF ＝BD ；再利用ASA 判定Rt △BEA ≌Rt △BEC ，得出CE ＝AE ＝12AC ，又因为BF ＝AC 所以CE ＝12AC ＝12BF ，连接CG ．因为△BCD 是等腰直角三角形，即BD ＝CD ．又因为DH ⊥BC ，那么DH 垂直平分BC ．即BG ＝CG ．在Rt △CEG 中，CG 是斜边，CE 是直角边，所以CE ＜CG ．即AE ＜BG ．【详解】解：∵CD ⊥AB ，∠ABC ＝45°，∴△BCD 是等腰直角三角形．∴BD ＝CD ．故①正确；连接CG ．∵△BCD 是等腰直角三角形，∴BD ＝CD又DH ⊥BC ，∴DH 垂直平分BC ．∴BG ＝CG在Rt △CEG 中，∵CG 是斜边，CE 是直角边，∴CE ＜CG ．∵CE＝AE，∴AE＜BG．故②错误．在Rt△BEA和Rt△BEC中∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠CBE．又∵BE＝BE，∠BEA＝∠BEC＝90°，∴Rt△BEA≌Rt△BEC．∴CE＝AE＝12AC．在Rt△DFB和Rt△DAC中，∵∠DBF＝90°﹣∠BFD，∠DCA＝90°﹣∠EFC，且∠BFD＝∠EFC，∴∠DBF＝∠DCA．又∵∠BDF＝∠CDA＝90°，BD＝CD，∴△DFB≌△DAC．∴BF＝AC，∴CE＝12AC＝12BF，∴2CE＝BF；故③正确；由③可得△DFB≌△DAC．∴BF＝AC；DF＝AD．∵CD＝CF+DF，∴AD+CF＝BD；故④正确；故选：B．【点睛】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、AAS、ASA、HL．在复杂的图形中有45°的角，有垂直，往往要用到等腰直角三角形，要注意掌握并应用此点．4．A解析：A【分析】根据OC=CD=DE，可得∠O=∠ODC，∠DCE=∠DEC，根据三角形的外角性质可知∠DCE=∠O+∠ODC=2∠ODC，进一步根据三角形的外角性质可知∠BDE=3∠ODC=72°，即可求出∠ODC的度数，进而求出∠CDE的度数．【详解】解：∵OC=CD=DE，∴∠O=∠ODC，∠DCE=∠DEC，∴∠DCE=∠O+∠ODC=2∠ODC，∵∠O+∠OED=3∠ODC=∠BDE=72°，∴∠ODC=24°，∵∠CDE+∠ODC=180°-∠BDE=108°，∴∠CDE=108°-∠ODC=84°．故选：A．【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质以及三角形的外角性质，理清各个角之间的关系是解答本题的关键．5．B解析：B【分析】过P作PC垂直于MN，由等腰三角形三线合一性质得到MC=CN，求出MC的长，在直角三角形OPC中，利用30度角所对的直角边等于斜边的一半求出OC的长，由OC-MC求出OM的长即可．【详解】解：过P作PC⊥MN，∵PM=PN，∴C为MN中点，即MC=NC= 1MN=1，2在Rt△OPC中，∠AOB=60°，∴∠OPC=30°，∴OC= 1OP=4，2则OM=OC-MC=4-1=3cm，故选：B．【点睛】此题考查了含30度角的直角三角形，以及等腰三角形的性质，熟练掌握性质是解本题的关键．6．A解析：A【分析】根据绝对值和二次根式的性质求出a，b，再根据等腰三角形的性质判断即可；【详解】∵70a -=，∴70260a b -=⎧⎨-=⎩，解得73a b =⎧⎨=⎩， ∵a ，b 是等腰三角形的两边，∴当7a =为腰时，三边分别为7，7，3，符合三角形三边关系，此时三角形的周长77317++=；当3b =为腰时，三边为3，3，7，由于33+＜7，故不符合三角形的三边关系； ∴三角形的周长为17．故答案选A ．【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质、绝对值性质和二次根式的性质，准确计算是解题的关键．7．B解析：B【分析】由于题中没有指明哪边是底哪边是腰，则应该分两种情况进行分析．【详解】解：①当2为腰时，2+2=4，不能构成三角形，故此种情况不存在；②当4为腰时，符合题意，则周长是2+4+4=10．故选：B ．【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质和三边关系，解答此题时注意分类讨论，不要漏解． 8．C解析：C【分析】延长BD 与AC 交于点E ，由题意可推出BE=AE ，依据等角的余角相等，即可得等腰三角形BCE ，可推出BC=CE ，AE=BE=2BD ，根据AC=6，BC=4，即可推出BD 的长度．【详解】解：延长BD 与AC 交于点E ，∵∠A=∠ABD ，∴BE=AE ，∵BD ⊥CD ，∴BE ⊥CD ，∵CD 平分∠ACB ，∴∠BCD=∠ECD ，∴∠EBC=∠BEC ，∴△BEC 为等腰三角形，∴BC=CE ，∵BE ⊥CD ，∴2BD=BE ，∵AC=6，BC=4，∴CE=4，∴AE=AC-EC=6-4=2，∴BE=2，∴BD=1．故选：C ．【点睛】本题主要考查等腰三角形的判定与性质，比较简单，关键在于正确地作出辅助线，构建等腰三角形，通过等量代换，即可推出结论．9．D解析：D【分析】根据三角形外角的性质得12C ∠+∠=∠，再根据等腰三角形的性质得B C ∠=∠，2BAD ∠=∠，由180BAC B C ∠+∠+∠=︒即可得出1∠与2∠的关系．【详解】解：∵2∠是ACD △的外角，∴12C ∠+∠=∠，∴∠C=∠2-∠1，∵AB AC =，∴B C ∠=∠，∵AB BD =，∴2BAD ∠=∠，∴112BAC BAD ∠=∠+∠=∠+∠，∵180BAC B C ∠+∠+∠=︒，∴122121180∠+∠+∠-∠+∠-∠=︒，即321180∠-∠=︒．故选：D ．【点睛】本题考查等腰三角形的性质，解题的关键是利用等腰三角形的性质得到相等的角． 10．D解析：D【分析】根据题意画出图形，再利用“上北下南”求出方向角即可．【详解】解：如图：∵海岛N位于海岛M的北偏东30°方向上，∴海岛N在海岛M上方，故排除A､B选项，根据直角三角形中30°角所对的边等于斜边的一半，排除选项C，故选D．【点睛】本题考查了方向角，解题的关键是熟练掌握方向角的概念．11．B解析：B【分析】根据轴对称图形的概念对各图案逐一进行判断即可得答案．【详解】第一个图案是轴对称图形，第二个图案不是轴对称图形，第三个图案是轴对称图形，第四个图案不是轴对称图形，综上所述：是轴对称图形的图案有2个，故选：B．【点睛】本题考查轴对称图形，判断轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形沿对称轴折叠，对称轴两边的图形能够完全重合；熟练掌握轴对称图形的定义是解题关键．12．B解析：B【分析】首先根据DE是线段AB的垂直平分线，可得AD＝BD，然后根据△BCD的周长是9cm，以及AD＋DC＝AC，求出BC的长即可．【详解】解：∵DE是线段AB的垂直平分线，∴AD＝BD，∵△BCD的周长是9cm，∴BD＋DC＋BC＝9（cm），∴AD＋DC＋BC＝9（cm），∵AD＋DC＝AC，∴AC＋BC＝9（cm），又∵AC＝5cm，∴BC＝9−5＝4（cm）．故选：B．【点睛】此题主要考查了线段垂直平分线的性质和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①垂直平分线垂直且平分其所在线段．②垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．二、填空题13．5【分析】作PH⊥MN于H如图根据等腰三角形的性质得MH=NH=MN=15在Rt△POH中由∠POH=60°得到∠OPH=30°则根据在直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半可得OH=OP=解析：5【分析】作PH⊥MN于H，如图，根据等腰三角形的性质得MH=NH=12MN=1.5，在Rt△POH中由∠POH=60°得到∠OPH=30°，则根据在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半可得OH=12OP=5，然后计算OH-MH即可．【详解】作PH⊥MN于H，如图，∵PM=PN，∴MH=NH=12MN=1.5，在Rt△POH中，∵∠POH=60°，∴∠OPH=30°，∴OH=12OP=12×10=5，∴OM=OH-MH=5-1.5=3.5．故答案为：3.5．【点睛】本题考查了含30度角的直角三角形的性质：在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半．也考查了等腰三角形的性质．14．80【分析】先根据垂直平分线的性质和等边对等角可得∠DAC=∠C ∠BEA=∠B 再根据比例关系设根据三角形内角和定理可求得x 再根据三角形外角的性质可得∠AED 【详解】解：∵点D 在边AC 的垂直平分线上点解析：80【分析】先根据垂直平分线的性质和等边对等角可得∠DAC=∠C ，∠BEA=∠B ，再根据比例关系设,3,2CAD x DAE x BAE x ∠=∠=∠=，根据三角形内角和定理可求得x ，再根据三角形外角的性质可得∠AED ．【详解】解：∵点D 在边AC 的垂直平分线上，点E 在边AB 的垂直平分线上，∴AD=CD ，AE=BE ，∴∠DAC=∠C ，∠BAE=∠B ，∵::1:3:2CAD DAE BAE ∠∠∠=，∴设,3,2CAD x DAE x BAE x ∠=∠=∠=，∴,2C x B x ∠=∠=，∵∠B+∠C+∠BAC=180°，∴322180x x x x x ++++=︒，解得20x =︒，∴22480AED BAE B x x x ∠=∠+∠=+==︒，即n=80，故答案为：80．【点睛】本题考查垂直平分线的性质，等边对等角，三角形内角和定理和三角形外角的性质．理解线段垂直平分线上的点到线段两端距离相等是解题关键．15．【分析】根据垂直平分线和角平分线的性质求解即可；【详解】∵垂直平分∴∴∵∴∴∵BD 平分∴∴故答案是【点睛】本题主要考查了垂直平分线和角平分线的性质结合三角形外角性质和三角形内角和定理计算是关键解析：87︒【分析】根据垂直平分线和角平分线的性质求解即可；【详解】∵DE 垂直平分BC ，∴DB DC =，∴∠=∠DBC C ，∵31C ∠=︒，∴31DBC ∠=︒，∴62ADB C DBC ∠=∠+∠=︒，∵BD 平分ABC ∠，∴31ABD DBC ∠=∠=︒，∴180623187A ∠=︒-︒-︒=︒．故答案是87︒．【点睛】本题主要考查了垂直平分线和角平分线的性质，结合三角形外角性质和三角形内角和定理计算是关键．16．25°【分析】由角平分线和平行线的性质证明则是等腰三角形由顶角的度数算出底角的度数即可得出结果【详解】解：∵BD 平分∴∵∴∴∴是等腰三角形∵∴∴故答案是：【点睛】本题考查等腰三角形的性质和判定解题的解析：25°【分析】由角平分线和平行线的性质证明EBG EGB ∠=∠，则BEG 是等腰三角形，由顶角的度数算出底角EGB ∠的度数，即可得出结果．【详解】解：∵BD 平分ABC ∠，∴EBG CBG ∠=∠，∵//EF BC ，∴CBG EGB ∠=∠，∴EBG EGB ∠=∠，∴BEG 是等腰三角形，∵130BEG ∠=︒， ∴180130252EGB ︒-︒∠==︒， ∴25DGF EGB ∠=∠=︒．故答案是：25︒．【点睛】本题考查等腰三角形的性质和判定，解题的关键是掌握等腰三角形的性质和判定定理． 17．14【分析】根据折叠的性质得到AD=BD 即可求出答案【详解】由折叠得：AD=BD ∵∴的周长=AC+AD+CD=AC+BC=6cm+8cm=14cm 故答案为：14【点睛】此题考查折叠的性质：折叠前后对解析：14【分析】根据折叠的性质得到AD=BD ，即可求出答案．【详解】由折叠得：AD=BD ，∵6cm AC =，8cm BC =，∴ACD△的周长=AC+AD+CD=AC+BC=6cm+8cm=14cm，故答案为：14．【点睛】此题考查折叠的性质：折叠前后对应的线段相等，熟记性质是解题的关键．18．8【分析】连接AD由题意易得AD⊥BC则有三角形BDM的周长为BM+MD+BD若使△BDM的周长为最小值则需满足BM+MD为最小值根据两点之间线段最短可得AD为BM+MD的最小值故问题可解【详解】解解析：8【分析】连接AD，由题意易得AD⊥BC，则有三角形BDM的周长为BM+MD+BD，若使△BDM的周长为最小值，则需满足BM+MD为最小值，根据两点之间线段最短可得AD为BM+MD的最小值，故问题可解．【详解】解：连接AD，∵△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，∴AD⊥BC，∴S△ABC＝12BC•AD＝12×4×AD＝12，解得AD＝6cm，∵EF是线段AB的垂直平分线，∴点B关于直线EF的对称点为点A，∴AD的长为BM+MD的最小值，∴△BDM的周长最短＝（BM+MD）+BD＝AD+12BC＝6+12×4＝6+2＝8cm．故答案为：8．【点睛】本题主要考查垂直平分线的性质定理及等腰三角形的性质，关键是根据垂直平分线的性质定理及等腰三角形的性质得到最短路径长，进而可求解．19．都是轴对称图形【分析】利用已知图形的特征分别得出其公共特征【详解】解：答案不唯一例如：都是轴对称图形故答案为：都是轴对称图形【点睛】本题考查了轴对称图形解题的关键是正确把握轴对称图形的特征解析：都是轴对称图形【分析】利用已知图形的特征分别得出其公共特征．【详解】解：答案不唯一，例如：都是轴对称图形，故答案为：都是轴对称图形．【点睛】本题考查了轴对称图形，解题的关键是正确把握轴对称图形的特征．20．70【分析】根据三角形的外角和定理得和再根据轴对称的性质得和列式求出的值即可得到结果【详解】解：∵是的外角∴∵是的外角∴∵与关于边OB 所在的直线成轴对称∴∴即解得∴故答案是：【点睛】本题考查轴对称的解析：70【分析】根据三角形的外角和定理，得ADC A ABC ∠=∠+∠和ADC BOD OBD ∠=∠+∠，再根据轴对称的性质得12OBD ABC ∠=∠和22C A ∠=∠=︒，列式求出ABC ∠的值，即可得到结果．【详解】解：∵ADC ∠是ABD △的外角， ∴ADC A ABC ∠=∠+∠， ∵ADC ∠是BOD 的外角， ∴ADC BOD OBD ∠=∠+∠， ∵AOB 与COB △关于边OB 所在的直线成轴对称， ∴12OBD ABC ∠=∠，22C A ∠=∠=︒， ∴12A ABC BOD ABC ∠+∠=∠+∠，即122462ABC ABC ︒+∠=︒+∠，解得48ABC ∠=︒， ∴224870ADC A ABC ∠=∠+∠=︒+︒=︒．故答案是：70．【点睛】本题考查轴对称的性质和三角形外角和定理，解题的关键是熟练运用这两个性质定理进行求解．三、解答题21．（1）见详解；（2）见详解．【分析】（1）只要证明△ABE ≌△ADC 即可解决问题；（2）延长AN 到G ，使AG=BC ，连接GE ，先证AEG CAB △≌△，再证GE ADN N △≌△即可解决问题．【详解】（1）证明：∵△ABD 和△ACE 都是等腰直角三角形，∴AB=AD ，AE=AC ，又∵∠BAD=∠CAE=90°，∴∠BAD+∠DAE=∠CAE+∠DAE ，即∠BAE=∠DAC ，∴△ABE ≌△ADC ，∴BE=DC ，∠ABE=∠ADC ，又∵∠DOF=∠AOB ，∠BOA+∠ABE=90°，∴∠ABE+∠DOF=90°∴∠ADC+∠DOF=90，即BE ⊥DC ．（2）延长AN 到G 使AG=BC ，连接GE ，AM BC ⊥，AC 90MAC M ∴∠+∠=︒，90NAE MAC ∠+∠=︒，ACM=NAE ∴∠∠，同理可证：ABC DAN ∠=∠ AC=AE ，∴()AEG CAB SAS △≌△，GE AB AD ∴==，ABC G ∠=∠，DAN G ∴∠=∠，又NA=GNE D ∠∠，∴GE ADN N △≌△，DN=EN ∴．【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，辅助线是解此题的关键．22．15°【分析】根据等边三角形的性质可得∠ACB 的度数，并证得 AD 是BC 的垂直平分线，利用线段垂直平分线性质定理可得BE=CE ，再由等腰三角形的性质可求得∠ECB 的度数，即可求得结论．【详解】解：∵△ABC 是等边三角形，AD BC ⊥ ，∴60ACB ∠=︒，BD CD =，∴AD 是BC 的重直平分线，点E 在线段AD 上∴BE CE =．∵45EBC ∠=︒，∴45ECB EBC ∠=∠=︒，∴6045=15ACE ACB ECB ∠=∠-∠=︒-︒︒．【点睛】此题考查了等边三角形的性质、线段垂直平分线的性质等知识，掌握相关的性质定理并能灵活应用所学知识是解题的关键．23．（1）见解析（2）4【分析】（1）只要证明Rt △ADE ≌Rt △CDF ，推出∠A=∠C ，推出BA=BC ，又AB=AC ，即可推出AB=BC=AC ；（2）证明BD 是等边三角形的∠ABC 的平分线，得∠DBC =30゜，再利用直角三角形的性质求解即可．【详解】解：（1）证明：∵DE ⊥AB ，DF ⊥BC ，垂足分别为点E ，F ，∴∠AED=∠CFD=90°，∵D 为AC 的中点，∴AD=DC ，在Rt △ADE 和Rt △CDF 中，AD DC DE DF⎧⎨⎩＝＝， ∴Rt △ADE ≌Rt △CDF ，∴∠A=∠C ，∴BA=BC ，∵AB=AC ，∴AB=BC=AC ，∴△ABC 是等边三角形．（2）∵DE ⊥AB ，DF ⊥BC ，且DE DF =，∴BD 平分ABC ∠，∵ABC 是等边三角形，∴60ABC ACB ∠=∠=︒，∴BD AC ⊥，30CBD ∠=︒，∴2BC CD =， ∵CD CG =，2CG =∴24BC CG ==．【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质、直角三角形的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题．24．（1）-2，-5；（2）见解析；（3）10【分析】（1）根据轴对称的性质解答；（2）根据轴对称的性质作图；（3）利用割补法求解．【详解】（1）根据坐标系知点C 坐标为（-2,5），∴点C 关于x 对称的点的坐标（-2，-5），故答案为：-2，-5；（2）如图，△A′B′C′即为所求；（3）1117537225510222ABCS=⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯=，故答案为：10．【点睛】此题考查关于坐标轴对称的性质：关于x轴对称的点的横坐标相等，纵坐标互为相反数；关于y轴对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标相等．25．（1）90°；（2）60°【分析】（1）证明BE=EP，可得∠EPB=∠B=45°解决问题．（2）根据折叠的性质求出∠AFE=45°，根据三角形内角和求出∠BAC，从而得到∠AEF和∠PEF，再根据平角的定义求出∠BEP．【详解】解：（1）如图1中，∵折叠，∴△AEF≌△PEF，∴AE=EP，∵点E是AB中点，即AE=EB，∴BE=EP，∴∠EPB=∠B=45°，∴∠PEB=90°，∴∠AEP=180°-90°=90°．（2）∵PF⊥AC，∴∠PFA=90°，∵沿EF将△AEF折叠得到△PEF．∴△AEF≌△PEF，∴∠AFE=∠PFE=45°，∵∠B=45°，∠C=60°，∴∠BAC=180°-45°-60°=75°，∴∠AEF=∠PEF=180°-75°-45°=60°，∴∠BEP=180°-60°-60°=60°．【点睛】本题考查了折叠的性质，三角形内角和，全等三角形的性质，解题的关键是根据折叠的性质得到相等的线段和角．26．（1）见解析；（2）成立，证明见解析；（3）DEF为等边三角形【分析】（1）根据BD⊥直线m，CE⊥直线m得∠BDA=∠CEA=90°，而∠BAC=90°，根据等角的余角相等得∠CAE=∠ABD，然后根据“AAS”可判断△ADB≌△CEA，则AE=BD，AD=CE，于是DE=AE+AD=BD+CE；（2）由∠BDA=∠AEC=∠BAC，就可以求出∠BAD=∠ACE，进而由AAS就可以得出△BAD≌△ACE，就可以得出BD=AE，DA=CE，即可得出结论；（3）由等边三角形的性质，可以求出∠BAC=120°，就可以得出△BAD ≌△ACE ，就有BD=AE ，进而得出△BDF ≌△AEF ，得出DF=EF ，∠BFD=∠AFE ，而得出∠DFE=60°，即可推出△DEF 为等边三角形．【详解】（1）证明：∵BD ⊥直线m ，CE ⊥直线m ，∴90BDA CEA ∠=∠=︒∵90BAC ∠=︒，∴90BAD CAE ∠+∠=︒∵90BAD ABD ∠+∠=︒，∴CAE ABD ∠=∠．在ADB △和CEA 中：CAE ABD BDA CEA AB AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴ADB CEA AAS ≌（）△△． ∴AE BD =，AD CE =．∴DE AE AD BD CE =+=+．（2）成立．证明如下：∵∠BDA=∠BAC=α，又∵DBA ADB BAC CAE ∠+∠=∠+∠∴∠DBA=∠CAE ，在ADB △和CEA 中：DBA CAE BDA AEC AB AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴()ADB CEA AAS ≌△△． ∴AE BD =，AD CE =，∴DE AE AD BD CE =+=+．（3）DEF 为等边三角形．证明：∵△ABF 和△ACF 均为等边三角形，∴AB=AF=AC ，∠ABF=∠CAF=60°，BF=AF,∴由（2）可知，△ADB ≌△CEA ，∴BD=AE ，∠DBA=∠CAE ，∴∠DBA+∠ABF=∠CAE+∠CAF ，∴∠DBF=∠FAE ，∵在△DBF 和△EAF 中，BD AE DBF FAE BF AF ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝∴△DBF≌△EAF（SAS），∴DF=EF，∠BFD=∠AFE，∴∠DFE=∠DFA+∠AFE=∠DFA+∠BFD=60°，∴△DEF为等边三角形．【点睛】本题属于三角形综合题，主要考查了全等三角形与等边三角形的综合应用，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质以及等边三角形的判定与性质并灵活运用，属于中考常考题型．。

人教版初中数学八年级数学上册第三单元《轴对称》测试题(有答案解析)

一、选择题1．如图所示，等腰直角三角形ADM 中，AM DM =，90AMD ∠=︒，E 是AD 上一点，连接ME ，过点D 作DC ME ⊥交ME 于点C ，过点A 作AB ME ⊥交ME 于点B ，4AB =，10CD =，则BC 的长度为（）A ．3B ．6C ．8D ．102．如图，ABC 是等边三角形，D 是线段BC 上一点（不与点,B C 重合），连接AD ，点,E F 分别在线段,AB AC 的延长线上，且DE DF AD ==，点D 从B 运动到C 的过程中，BED 周长的变化规律是（）A ．不变B ．一直变小C ．先变大后变小D ．先变小后变大 3．如图，点O 是ABC 的ABC ∠，ACB ∠的平分线的交点，//OD AB 交BC 于点D ，//OE AC 交BC 于点E ，若ODE 的周长为9cm ，那么BC 的长为（）A ．8cmB ．9cmC ．10cmD ．11cm 4．如图，在△ABC 中，∠BAC ＝90°，AD 是高，BE 是中线，CF 是角平分线，CF 交AD 于点G ，交BE 于点H ，下面说法：①△ABE 的面积＝△BCE 的面积；②∠AFG ＝∠AGF ；③∠FAG ＝2∠ACF ；④BH ＝CH ．其中正确的是（）A ．①②③④B ．①②③C ．②④D ．①③5．如图，在ABC 中，AB AC =，108BAC ∠=︒，72ADB ∠=︒，DE 平分ADB ∠，图中等腰三角形的个数是（）A ．3B ．4C ．5D ．66．如图，C 是线段AB 上的一点，ACD △和BCE 都是等边三角形，AE 交CD 于M ，BD 交CE 于N ，交AE 于O ，则①DB AE =；②AMC DNC ∠=∠；③60AOB ∠=︒；④DN AM =；⑤CMN △是等边三角形．其中，正确的有（）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个7．如图，ABC 中，AC AD BD ==，80CAD ︒∠=，则B 等于（）A ．25︒B ．30︒C ．35︒D ．40︒8．如图，已知AD 为ABC 的高线，AD BC =，以AB 为底边作等腰Rt ABE △，连接ED ，EC 延长CE 交AD 于F 点，下列结论：①DAE CBE ∠=∠；②CE DE ⊥；③BD AF =；④AED 为等腰三角形；⑤BDE ACE S S =△△，其中正确的有（）A ．①③⑤B ．①②④C ．①③④D ．①②③⑤ 9．如图所示，在△ABC 中，内角∠BAC 与外角∠CBE 的平分线相交于点P ，BE ＝BC ，PB 与CE 交于点H ，PG ∥AD 交BC 于F ，交AB 于G ，连接CP ．下列结论：①∠ACB ＝2∠APB ；②BP 垂直平分CE ；③PG ＝AG ；④CP 平分∠DCB ；其中，其中说法正确的有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个10．如图，△ABC 中，∠ABC ＝45°，CD ⊥AB 于D ，BE 平分∠ABC ，且BE ⊥AC 于E ，与CD 相交于点F ，DH ⊥BC 于H ，交BE 于G ，下列结论：①BD ＝CD ；②AD +CF ＝BD ；③CE ＝12BF ；④AE ＝BG ．其中正确的是（）A ．①②B ．①③C ．①②③D ．①②③④ 11．等腰三角形腰上的高与另一腰的夹角为30，则底角度数是（） A ．30 B ．60︒ C ．40︒或50︒ D ．30或60︒ 12．在直角坐标系中，已知A （2，－2），在y 轴上确定一点P ，使△AOP 为等腰三角形，则符合条件的点P 共有（）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个二、填空题13．如图，已知60AOB ︒∠=，点P 在边OA 上， 10OP =，点,M N 在边OB 上， PM PN =，若3,MN =则OM 的长是__________．14．如图，在ABC 中，BD 平分ABC ∠交AC 于点D ，//EF BC 交BD 于点G ，若130BEG ∠=︒，则DGF ∠=______．15．如图，在等腰三角形ABC 中，AB ＝AC ，∠B ＝50°，D 为BC 的中点，点E 在AB 上，∠AED ＝70°，若点P 是等腰三角形ABC 的腰上的一点，则当DEP 是以∠EDP 为顶角的等腰三角形时，∠EDP 的度数是_____．16．如图，等腰ABC 底边BC 的长为4cm ，面积是12cm 2，腰AB 的垂直平分线EF 交AC 于点F ，若D 为BC 边上的中点，M 为线段EF 上一动点，则BDM 的周长最小值为_____cm ．17．如图，等边△ABC 的边长为4，点D 在边AC 上，AD ＝1．（1）△ABC 的周长等于_____；（2）线段PQ 在边BA 上运动，PQ ＝1，BQ ＞BP ，连接QD ，PC ，当四边形PCDQ 的周长取得最小值时，请在如图所示的矩形区域内，用无刻度的直尺和圆规，画出线段PC ，QD ，并简要说明点P 和点Q 的位置是如何找到的（保留作图痕迹，不要求证明）_____．18．在△ABC 中，按以下步骤作图：①分别以A ，C 为圆心，以大于12AC 的同样长为半径画弧，两弧相交于两点M ，N ； ②作直线MN 交AB 于点D ，连结CD ．请回答：若BC=DC ，∠B=100°，则∠ACB 的度数为____． 19．如图，在ABC 中，30EFD ∠=︒，且AEF AFE ∠=∠，CFD CDF ∠=∠，则B 的度数为______．20．右图是44⨯的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，且边长为1，点,A B 均在格点上，在网格中建立平面直角坐标系．如果点C 也在此44⨯的正方形网格的格点上，且ABC ∆是等腰三角形，请写出一个满足条件的点C 的坐标_______；满足条件的点C 一共有_______个．三、解答题21．如图，在ABC ∆中，AB AC =．（1）尺规作图：作边AB 的垂直平分线，交AB 于点D ，交AC 于点E ，连结BE ；（保留作图痕迹，不写作法）（2）若6AB =，4BC =，求BEC ∆的周长．22．如图，90BAD CAE ∠=∠=︒，AB AD =，AE AC =，AF CB ⊥，垂足为F ．（1）求证：ABC ADE △≌△；（2）若10AC =，求四边形ABCD 的面积；（3）求FAE ∠的度数．23．已知，如图ABC ，AE 平分BAC ∠，EF AB ⊥，垂足为F ，点F 在AB 的延长线上，EG AC ⊥，垂足为点G ，ED 垂直平分BC ，D 为垂足，连结BE ，CE ．求证：BEF CEG △≌△．24．如图，点E 、F 在BC 上，BE CF =，AB DC =，B C ∠=∠，AF 与DE 交于点G ，求证：GE GF =．25．如图所示，已知AB AC =，AD 是中线，BE CF =．（1）求证：BDE CDF ≌；（2）当60B ∠=︒时，过AB 的中点G ，作//GH BD ，求证：4GH AB 1=． 26．如图，ABC 中，AD 平分BAC ∠，BC 的垂直平分线DG 交AD 于D ，DE AB ⊥于E ，DF AC ⊥于F ．求证：（1）BE CF =．（2）2AB AC CF -=．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．B解析：B【分析】通过先证明AMB MDC △≌△，得到=4AB MC =,=10MB CD =，即可求得=BC MB MC -，即可得到答案．【详解】解：∵DC ME ⊥，AB ME ⊥，90AMD ∠=︒∴DCM B ∠=∠，+90AMB DMC ∠∠=︒,+90MDC DMC ∠∠=︒∴AMB ∠=MDC ∠∵AM DM =∴AMB MDC △≌△∴AB MC =,MB CD =∵4AB =，10CD = ∴4MC =,10MB =∴=1046BC MB MC -=-=故选B ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的定义，熟练掌握全等三角形判定和性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．2．D解析：D【分析】先根据等边三角形的性质可得60ABC ACB BAC ∠=∠=∠=︒，从而可得120EBD DCF ∠=∠=︒，再根据等腰三角形的性质、角的和差可得BAD E CDF ∠=∠=∠，然后根据三角形全等的判定定理与性质可得BE CD =，从而可得BED 周长为BE BD DE BC AD ++=+，最后根据点到直线的距离即可得出答案．【详解】 ABC 是等边三角形，60ABC ACB BAC ∴∠=∠=∠=︒，120EBD DCF ∴∠=∠=︒，DF AD =，CAD F ∴∠=∠，又6060BAD CAD BAC CDF F ACB ∠+∠=∠=︒⎧⎨∠+∠=∠=︒⎩， BAD CDF ∴∠=∠，DE AD =，BAD E ∴∠=∠，E CDF ∴∠=∠，在BDE 和CFD △中，EBD DCF E CDF DE FD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()BDE CFD AAS ∴≅，BE CD ∴=，则BED 周长为BE BD DE CD BD AD BC AD ++=++=+，在点D 从B 运动到C 的过程中，BC 长不变，AD 长先变小后变大，其中当点D 运动到BC 的中点位置时，AD 最小，∴在点D 从B 运动到C 的过程中，BED 周长的变化规律是先变小后变大，故选：D ．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、等边三角形的性质、三角形全等的判定定理与性质等知识点，正确找出两个全等三角形是解题关键．3．B解析：B【分析】由OB ，OC 分别是△ABC 的∠ABC 和∠ACB 的平分线和OD ∥AB 、OE ∥AC 可推出BD=OD ，OE=EC ，从而得出BC 的长等于△ODE 的周长即可．【详解】解：∵OD ∥AB ，OE ∥AC ，∴∠ABO=∠BOD ，∠ACO=∠EOC ，∵点O 是ABC 的ABC ∠，ACB ∠的平分线的交点，∴∠ABO=∠OBD ，∠ACO=∠OCE ；∴∠OBD =∠BOD ，∠EOC=∠OCE ；∴BD=OD ，CE=OE ；∴△ODE 的周长=OD+DE+OE=BD+DE+EC= BC∵ODE 的周长为9cm ，∴BC=9cm ．故选：B ．【点睛】此题考查了平行线性质，角平分线定义以及等腰三角形的判定定理，熟练掌握相关知识是解题的关键，难度中等．4．B解析：B【分析】根据等底等高的三角形的面积相等即可判断①；根据三角形内角和定理求出∠ABC ＝∠CAD ，根据三角形的外角性质即可推出②；根据三角形内角和定理求出∠FAG ＝∠ACD ，根据角平分线定义即可判断③；根据等腰三角形的判定判断④即可．【详解】∵BE 是中线，∴AE ＝CE ，∴△ABE 的面积＝△BCE 的面积（等底等高的三角形的面积相等），故①正确； ∵CF 是角平分线，∴∠ACF ＝∠BCF ，∵AD 为高，∴∠ADC ＝90°，∵∠BAC ＝90°，∴∠ABC ＋∠ACB ＝90°，∠ACB ＋∠CAD ＝90°，∴∠ABC ＝∠CAD ，∵∠AFG ＝∠ABC ＋∠BCF ，∠AGF ＝∠CAD ＋∠ACF ，∴∠AFG ＝∠AGF ，故②正确；∵AD 为高，∴∠ADB ＝90°，∵∠BAC ＝90°，∴∠ABC ＋∠ACB ＝90°，∠ABC ＋∠BAD ＝90°，∴∠ACB ＝∠BAD ，∵CF 是∠ACB 的平分线，∴∠ACB ＝2∠ACF ，∴∠BAD ＝2∠ACF ，即∠FAG ＝2∠ACF ，故③正确；根据已知条件不能推出∠HBC ＝∠HCB ，即不能推出BH ＝CH ，故④错误；故选：B ．【点睛】本题考查了三角形内角和定理，三角形的外角性质，三角形的角平分线、中线、高，等腰三角形的判定等知识点，能综合运用定理进行推理是解此题的关键，题目比较好，属于中考题型．5．C解析：C【分析】利用等腰三角形的性质“等边对等角”，求出角的度数，再根据“等角对等边”证明三角形是等腰三角形．【详解】解：∵AB AC =，∴ABC 是等腰三角形， ∵108BAC ∠=︒， ∴180108362B C ︒-︒∠=∠==︒， ∵72ADB ∠=︒， ∴18072BAD B ADB ∠=︒-∠-∠=︒， ∴ADB BAD ∠=∠， ∴AB BD =， ∴ABD △是等腰三角形，∵1087236DAC BAC BAD ∠=∠-∠=︒-︒=︒，∴DAC C ∠=∠，∴AD CD =，∴ACD △是等腰三角形，∵DE 平分ADB ∠， ∴1362ADE BDE ADB ∠=∠=∠=︒， ∴18072AED ADE DAE ∠=︒-∠-∠=︒， ∴AED DAE ∠=∠， ∴DE DA =， ∴ADE 是等腰三角形， ∵BDE B ∠=∠， ∴BE DE =， ∴BED 是等腰三角形，一共有5个等腰三角形．故选：C ．【点睛】本题考查等腰三角形的性质和判定，解题的关键是掌握等腰三角形的性质和判定． 6．C解析：C【分析】易证△ACE ≌△DCB ，可得①正确；即可求得∠AOB ＝120°，可得③错误；再证明△ACM ≌△DCN ，可得②④正确和CM ＝CN ，即可证明⑤正确；即可解题．【详解】解：∵ACD △和BCE 都是等边三角形∵∠ACD ＝∠BCE ＝60°，∴∠DCE ＝60°，在△ACE 和△DCB 中，AC DC ACE DCB CB CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ACE ≌△DCB （SAS ），∴∠BDC ＝∠EAC ，DB ＝AE ，①正确；∠CBD ＝∠AEC ，∵∠AOB ＝180°−∠OAB−∠DBC ，∴∠AOB ＝180°−∠AEC−∠OAB ＝120°，③错误；在△ACM 和△DCN 中，60BDC EAC DC ACACD DCN ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠=︒⎩， ∴△ACM ≌△DCN （ASA ），∴AM ＝DN ，④正确；∠AMC＝∠DNC，②正确；CM＝CN，∵∠ACD＝∠BCE＝60°，∴∠MCN＝180°-∠ACD-∠BCE =60°，∴△CMN是等边三角形，⑤正确；故有①②④⑤正确．故选：C．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和全等三角形对应边、对应角相等的性质，本题中求证△ACE≌△DCB和△ACM≌△DCN是解题的关键．7．A解析：A【分析】利用AD=AC，求出∠ADC=∠C=50︒，利用AD=AB，即可求得∠B=∠BAD1252ADC==∠︒．【详解】∵AD=AC，∴∠ADC=∠C，∵80CAD︒∠=，∴∠ADC=∠C=50︒，∵AD=AB，∴∠B=∠BAD1252ADC==∠︒，故选：A．【点睛】此题考查等边对等角的性质，三角形的内角和定理，三角形的外角性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．8．D解析：D【分析】①由等腰直角三角形的性质可得出结论；②证明△ADE≌△BCE，可得∠AEC=∠DEB，即可求得∠AED=∠BEG，即可解题；③证明△AEF≌△BED即可；④AE≠DE，故④不正确；⑤易证△FDC是等腰直角三角形，则CE=EF，S△AEF=S△ACE，由△AEF≌△BED，可知S△BDE=S△ACE，所以S△BDE=S△ACE．【详解】解：①∵AD 为△ABC 的高线，∴∠CBE+∠ABE+∠BAD=90°，∵Rt △ABE 是等腰直角三角形，∴∠ABE=∠BAE=∠BAD+∠DAE=45°，AE=BE ，∴∠CBE+∠BAD=45°，∴∠DAE=∠CBE ，故①正确②在△DAE 和△CBE 中，AE BE DAE CBE AD BC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ADE ≌△BCE （SAS ）；∴∠EDA=∠ECB ，∵∠ADE+∠EDC=90°，∴∠EDC+∠ECB=90°，∴∠DEC=90°，∴CE ⊥DE ；故②正确；③∵∠BDE=∠ADB+∠ADE ，∠AFE=∠ADC+∠ECD ，∴∠BDE=∠AFE ，∵∠BED+∠BEF=∠AEF+∠BEF=90°，∴∠BED=∠AEF ，在△AEF 和△BED 中，BDE AFE BED AEF AE BE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△AEF ≌△BED （AAS ），∴BD=AF ；故③正确；④∵AE≠DE ，∴△ADE 不是等腰三角形，⑤∵AD=BC ，BD=AF ，∴CD=DF ，∵AD ⊥BC ，∴△FDC 是等腰直角三角形，∵DE ⊥CE ，∴EF=CE ，∴S △AEF =S △ACE ，∵△AEF≌△BED，∴S△AEF=S△BED，∴S△BDE=S△ACE．故⑤正确；故选：D．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．9．D解析：D【分析】①根据角平分线的定义与三角形外角的性质可证此结论；②利用等腰三角形“三线合一”可证明此结论；③根据角平分线定义与平行线性质可得∠APG＝∠BAP，再利用等腰三角形的判定可证此结论；④如下图，由角平分线的性质定理可得PM=PN，PM=PO，则PN =PO，即可证明结论．【详解】解：∵AP平分∠BAC，PB平分∠CBE，∴∠CAB＝2∠PAB，∠CBE＝2∠PBE，∵∠CBE＝∠CAB＋∠ACB，∠PBE＝∠PAB＋∠APB，即∠CBE＝∠CAB＋2∠APB，∴∠ACB＝2∠APB．故①正确；∵BE＝BC，BP平分∠CBE，∴BP垂直平分CE（三线合一）．故②正确；∵AP平分∠BAC，∴∠CAP＝∠BAP，∵PG∥AD，∴∠APG＝∠CAP，∴∠APG＝∠BAP，∴PG＝AG．故③正确；如图，过点P作PM⊥AE于点M，PN⊥AD于点N，PO⊥BC于点O，∵AP平分∠BAC，PB平分∠CBE，∴PM=PN，PM=PO，∴PN =PO，∴CP平分∠DCB．故④正确．故选：D．【点睛】本题考查了角平分线的判定与性质、平行线的性质、等腰三角形的性质与判定，熟练掌握相关知识并能灵活运用所学知识进行论证是解题的关键．10．C解析：C【分析】根据∠ABC=45°，CD⊥AB可得出BD=CD，利用ASA判定Rt△DFB≌Rt△DAC，从而得出DF=AD，BF=AC．则CD=CF+AD，即AD+CF=BD；再利用ASA判定Rt△BEA≌Rt△BEC，得出CE=AE=12AC，又因为BF=AC所以CE=12AC=12BF，连接CG．因为△BCD是等腰直角三角形，即BD=CD．又因为DH⊥BC，那么DH垂直平分BC．即BG=CG．在Rt△CEG中，CG是斜边，CE是直角边，所以CE＜CG．即AE＜BG．【详解】解：∵CD⊥AB，∠ABC＝45°，∴△BCD是等腰直角三角形．∴BD＝CD．故①正确；在Rt△DFB和Rt△DAC中，∵∠DBF＝90°﹣∠BFD，∠DCA＝90°﹣∠EFC，且∠BFD＝∠EFC，∴∠DBF＝∠DCA．又∵∠BDF＝∠CDA＝90°，BD＝CD，∴△DFB≌△DAC．∴BF＝AC；DF＝AD．∵CD＝CF+DF，∴AD+CF＝BD；故②正确；在Rt△BEA和Rt△BEC中∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠CBE．又∵BE＝BE，∠BEA＝∠BEC＝90°，∴Rt△BEA≌Rt△BEC．∴CE＝AE＝12AC．又由（2），知BF＝AC，∴CE＝12AC＝12BF；故③正确；连接CG．∵△BCD是等腰直角三角形，∴BD＝CD又DH⊥BC，∴DH垂直平分BC．∴BG＝CG在Rt△CEG中，∵CG是斜边，CE是直角边，∴CE＜CG．∵CE＝AE，∴AE＜BG．故④错误．∴正确的选项有①②③；故选：C．【点睛】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、AAS、ASA、HL．在复杂的图形中有45°的角，有垂直，往往要用到等腰直角三角形，要注意掌握并应用此点．11．D解析：D【分析】由三角形的高可在三角形的内部，也可在三角形的外部，所以分锐角三角形和钝角三角形两种情况作出符合题意的图形，再结合等腰三角形的性质与三角形的内角和定理求解即可．【详解】解：如图，分两种情况：①如图，当三角形的高在三角形的内部时，AB=AC ，BD ⊥AC ，∠ABD=30°，∴∠A=60°，∴∠C=∠ABC=1802A ︒-∠ =60°； ②如图，当三角形的高在三角形的外部时，AB=AC ，BD ⊥AC ，∠ABD=30°， ∴∠DAB=60°，∠BAC=120°，∴∠C=∠ABC=180302BAC ︒-∠=︒．故选：D ．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和直角三角形的两锐角互余，三角形的内角和定理的应用，三角形的高的含义，分类讨论的数学思想，掌握分类讨论解决问题是解题的关键． 12．C解析：C【分析】如果OA 为等腰三角形的腰，有两种可能，①以O 为圆心OA 为半径的圆弧与y 轴有两个交点，以A 为圆心AO 为半径的圆弧与y 轴有一个交点；②如果OA 为等腰三角形的底，只有一种可能，作线段OA 的垂直平分线，与y 轴有一个交点，所以符合条件的点一共4个．【详解】分二种情况进行讨论：①当OA 为等腰三角形的腰时，以O 为圆心OA 为半径的圆弧与y 轴有两个交点，以A 为圆心OA 为半径的圆弧与y 轴有一个交点；②当OA 为等腰三角形的底时，作线段OA 的垂直平分线，与y 轴有一个交点， ∴符合条件的点一共4个，故选：C ．【点睛】本题考查等腰三角形的性质，解题关键是根据两腰相等，分四种情况进行讨论．二、填空题13．5【分析】作PH⊥MN于H如图根据等腰三角形的性质得MH=NH=MN=15在Rt△POH中由∠POH=60°得到∠OPH=30°则根据在直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半可得OH=OP=解析：5【分析】作PH⊥MN于H，如图，根据等腰三角形的性质得MH=NH=12MN=1.5，在Rt△POH中由∠POH=60°得到∠OPH=30°，则根据在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半可得OH=12OP=5，然后计算OH-MH即可．【详解】作PH⊥MN于H，如图，∵PM=PN，∴MH=NH=12MN=1.5，在Rt△POH中，∵∠POH=60°，∴∠OPH=30°，∴OH=12OP=12×10=5，∴OM=OH-MH=5-1.5=3.5．故答案为：3.5．【点睛】本题考查了含30度角的直角三角形的性质：在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半．也考查了等腰三角形的性质．14．25°【分析】由角平分线和平行线的性质证明则是等腰三角形由顶角的度数算出底角的度数即可得出结果【详解】解：∵BD平分∴∵∴∴∴是等腰三角形∵∴∴故答案是：【点睛】本题考查等腰三角形的性质和判定解题的解析：25°【分析】由角平分线和平行线的性质证明EBG EGB∠=∠，则BEG是等腰三角形，由顶角的度数算出底角EGB∠的度数，即可得出结果．【详解】解：∵BD 平分ABC ∠，∴EBG CBG ∠=∠，∵//EF BC ，∴CBG EGB ∠=∠，∴EBG EGB ∠=∠，∴BEG 是等腰三角形，∵130BEG ∠=︒， ∴180130252EGB ︒-︒∠==︒， ∴25DGF EGB ∠=∠=︒．故答案是：25︒．【点睛】本题考查等腰三角形的性质和判定，解题的关键是掌握等腰三角形的性质和判定定理． 15．40°或100°或140°【分析】根据△DEP 是以∠EDP 为顶角的等腰三角形可知DP ＝DE 所以可以分两种情况考虑:①点P 在AB 上；②点P 在AC 上分别画出符合条件的图形根据等腰三角形的性质和全等三角形解析：40°或100°或140°【分析】根据△DEP 是以∠EDP 为顶角的等腰三角形，可知DP ＝ DE ，所以可以分两种情况考虑: ①点P 在AB 上；②点P 在AC 上．分别画出符合条件的图形，根据等腰三角形的性质和全等三角形的判定和性质定理解答即可．【详解】解：∵AB ＝AC ，∠B ＝50°，∠AED ＝70°，∴∠EDB ＝20°，∵当△DEP 是以∠EDP 为顶角的等腰三角形，∴DP ＝ DE ，①如图，当点P 在AB 上时，记为P 1，∵DE ＝DP 1，∴∠DP 1E ＝∠AED ＝70°，∴∠EDP 1＝180°﹣70°﹣70°＝40°，②如图，当点P 在AC 上时，有两个点P 2、 P 3符合条件，∵AB ＝AC ，D 为BC 的中点，∴∠BAD ＝∠CAD ，过D 作DG ⊥AB 于G ，DH ⊥AC 于H ，∴DG ＝DH ，在Rt △DEG 与Rt △DP 2H 中，2DE DP DG DH =⎧⎨=⎩， ∴Rt △DEG ≌Rt △DP 2H （HL ），∴∠AP 2D ＝∠AED ＝70°，∵∠BAC ＝180°﹣50°﹣50°=80°，∴∠EDP 2＝140°，同理证得Rt △DEG ≌Rt △D P 3H （HL ），∴∠EDG ＝∠P 3DH ，∴∠EDP 3＝∠GDH ＝100°，故答案为：40°或100°或140°．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，分类讨论画出符合条件的图形是解题的关键．16．8【分析】连接AD 由题意易得AD ⊥BC 则有三角形BDM 的周长为BM+MD+BD 若使△BDM 的周长为最小值则需满足BM+MD 为最小值根据两点之间线段最短可得AD 为BM+MD 的最小值故问题可解【详解】解解析：8【分析】连接AD ，由题意易得AD ⊥BC ，则有三角形BDM 的周长为BM+MD+BD ，若使△BDM 的周长为最小值，则需满足BM+MD 为最小值，根据两点之间线段最短可得AD 为BM+MD 的最小值，故问题可解．【详解】解：连接AD ，∵△ABC 是等腰三角形，点D 是BC 边的中点，∴AD ⊥BC ，∴S △ABC ＝12 BC•AD ＝12×4×AD ＝12，解得AD ＝6cm ， ∵EF 是线段AB 的垂直平分线，∴点B 关于直线EF 的对称点为点A ，∴AD 的长为BM+MD 的最小值，∴△BDM 的周长最短＝（BM+MD ）+BD ＝AD+12BC ＝6+12×4＝6+2＝8cm ．故答案为：8．【点睛】本题主要考查垂直平分线的性质定理及等腰三角形的性质，关键是根据垂直平分线的性质定理及等腰三角形的性质得到最短路径长，进而可求解．17．见解析过点C作CE∥AB且CE=1作点D关于AB的对称点F连接EF交AB 于一点为Q在AB上BQ之间截取PQ=1连接CPDQ则四边形PCDQ为所求的周长最小的四边形【分析】（1）根据三角形周长公式计算解析：见解析，过点C作CE∥AB，且CE=1，作点D关于AB的对称点F，连接EF交AB于一点为Q，在AB上BQ之间截取PQ=1，连接CP、DQ，则四边形PCDQ为所求的周长最小的四边形【分析】（1）根据三角形周长公式计算；（2）过点C作CE∥AB，且CE=1，作点D关于AB的对称点F，连接EF交AB于一点为Q，在AB上BQ之间截取PQ=1，连接CP、DQ，则四边形PCDQ为所求的周长最小的四边形．【详解】⨯=，（1）△ABC的周长等于4312故答案为：12；（2）如图：故答案为：过点C作CE∥AB，且CE=1，作点D关于AB的对称点F，连接EF交AB于一点为Q，在AB上BQ之间截取PQ=1，连接CP、DQ，则四边形PCDQ为所求的周长最小的四边形．．【点睛】此题考查等边三角形的性质，三角形周长计算公式，轴对称的性质，综合掌握各知识点是解题的关键．18．30°【分析】依据等腰三角形的性质即可得到∠BDC的度数再根据线段垂直平分线的性质即可得出∠A的度数进而得到∠ACB的度数【详解】解：根据题意如图：∵BC=DC ∠ABC=100°∴∠BDC=∠CBD解析：30°【分析】依据等腰三角形的性质，即可得到∠BDC 的度数，再根据线段垂直平分线的性质，即可得出∠A 的度数，进而得到∠ACB 的度数．【详解】解：根据题意，如图：∵BC=DC ，∠ABC=100°，∴∠BDC=∠CBD=180°-100°=80°，根据题意得：MN 是AC 的垂直平分线，∴CD=AD ，∴∠ACD=∠A ，∴∠A=1(18080)502⨯︒-︒=︒， ∴∠ACB=∠CBD -∠A=80°-50°=30°．故答案为：30°．【点睛】此题主要考查了线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质．解题时注意线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．19．120°【分析】设∠ABC=根据等腰三角形的性质以及三角形的内角和定理即可得到结论【详解】设∠ABC=∴∵∴∴∴∴∴∴故答案为：120°【点睛】本题考查了三角形内角和定理等腰三角形的性质等知识解题的解析：120°【分析】设∠ABC=x ，根据等腰三角形的性质以及三角形的内角和定理即可得到结论．【详解】设∠ABC=x ，∴180A C x ∠+∠=︒-．∵AFE AEF ∠=∠，CFD CDF ∠=∠，∴2180A AFE ∠+∠=︒，2180C CFD ∠+∠=︒，∴()()22360A C AFE CFD ∠+∠+∠+∠=︒，∴22180AFE CFD x ∠+∠=︒+， ∴1902AFE CFD x ∠+∠=︒+， ∴118090302EFD x ⎛⎫∠=︒-︒+=︒ ⎪⎝⎭， ∴120x =︒，故答案为：120°．【点睛】本题考查了三角形内角和定理，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 20．（答案不唯一符合题意即可）8【分析】分别以AB 为圆心AB 为半径作圆弧寻找在圆弧上的格点即可【详解】①如图以A 为圆心AB 为半径作圆弧符合题意的格点有5个；②如图以B 为圆心AB 为半径作圆弧符合题意的格点解析：()2,2--（答案不唯一，符合题意即可） 8【分析】分别以A ，B 为圆心，AB 为半径作圆弧，寻找在圆弧上的格点即可．【详解】①如图，以A 为圆心，AB 为半径作圆弧，符合题意的格点有5个；②如图，以B 为圆心，AB 为半径作圆弧，符合题意的格点有3个；③如图，在AB 的垂直平分线上时，无符合题意的格点；综上，符合题意的格点共有8个，故答案为：()2,2--（答案不唯一，符合题意即可）；8．【点睛】本题考查在网格中作等腰三角形，根据已知边可作为底边或者腰进行分类讨论，熟练掌握尺规作图方法是解题关键．三、解答题21．（1）见详解；（2）10．【分析】（1）分别以A 、B 两点为圆心，以大于12AB 长度为半径画弧，在AB 两边分别相交于两点，然后过这两点作直线即为AB 的垂直平分线；（2）由中垂线的性质得AE ＝BE ，根据△EBC 的周长＝BE ＋CE ＋BC ＝AE ＋CE ＋BC ＝AC ＋BC ，进而可得答案．【详解】（1）如图所示：（2）∵6AB =，∴6AC AB ==，∵DE 是AB 的垂直平分线，∴AE=BE ，∴BEC ∆的周长=BC+CE+BE=BC+CE+AE=BC+AC=4+6=10．【点睛】本题考查了线段的垂直平分线的性质及等腰三角形的性质及基本作图，解题的关键是掌握垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等．22．（1）见解析；（2）50；（3）135°【分析】（1）由题意先求出∠BAC=∠EAD ，然后根据SAS 推出△ABC ≌△ADE ；（2）根据题意即可推出四边形ABCD 的面积=△ACE 的面积，进而分析计算即可得出答案；（3）根据题意可推出∠CAF=45°，再根据∠EAF ＝∠FAC ＋∠CAE 即可求出∠FAE 的度数．【详解】（1）证明：90BAD CAE ∠=∠=︒，90BAC CAD ∴∠+∠=︒，90CAD DAE ∠+∠=︒，BAC DAE ∴∠=∠，在ABC 和ADE 中，AB AD BAC DAE AC AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，(SAS)ABC ADE ∴△≌△．解:（2）ABC ADE △≌△，ABC ADE S S ∴=△△，ABC ACD ADE ACD ACE ABCD S SS S S S ∴=+=+=四边形，10AC =， 1010250ACE ABCD S S∴==⨯÷=四边形．（3）90CAE ∠=︒，AC AE =，45E ∴∠=︒，BAC DAE △≌△，45BCA E ∴∠=∠=︒，AF BC ⊥，45CAF ∴∠=︒，4590135FAE FAC CAE ∴∠=∠+∠=︒+︒=︒．【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，等腰直角三角形的性质，直角三角形的性质，解题的关键是学会利用等腰直角三角形的性质解决问题，属于中考常考题型．23．见解析【分析】利用角平分线的性质得出EF EG =，再利用线段垂直平分线的性质得出BE CE =，最后证明Rt △BEF ≌Rt △CEG 即可．【详解】证明：AE ∵平分FAC ∠，EF AF ⊥，EG AC ⊥，EF EG ∴=， DE 垂直平分BC ，BE CE ∴=，EF AF ⊥，EG AC ⊥，90BFE CGE ∴∠=∠=︒，在Rt BEF 和Rt CEG △中，BE CE EF EG =⎧⎨=⎩Rt Rt (HL)BEF CEG ∴△≌△．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质, 角平分线的性质及线段垂直平分线的性质，解题的关键是灵活运用性质解决问题．24．见详解【分析】由题意，根据SAS 证明△ABF ≌△DCE ，得到∠AFB=∠DEC ，即可得到GE GF =．【详解】解：根据题意，如图：∵BE CF =∴BE EF CF EF +=+，∴BF CE =，∵AB DC =，B C ∠=∠，∴△ABF ≌△DCE ，∴∠AFB=∠DEC ，∴GE GF =．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等角对等边，解题的关键是掌握所学的知识，证明△ABF ≌△DCE ．25．（1）见详解；（2）见详解．【分析】（1）由AB=AC ，AD 是中线，得到∠B=∠C ，BD=CD ，即可得到结论；（2）由等腰三角形的性质得到AD ⊥BC ，根据平行线的性质得到∠AHG=90°，再根据三角形的中位线定理即可得到结果．【详解】证明（1）如图：∵AB=AC ，AD 是中线，∴∠B=∠C ，BD=CD ，在△BDE 与△CDF 中，BE CF B C BD CD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BDE ≌△CDF ；（2）∵GH ∥BD ，∠B=60°，∴∠AGH=60°，∵AB=AC ，AD 是中线，∴AD ⊥BC ，∴∠BAD=30°∠AHG=90°，∴GH=12AG ， ∵AG=12AB ， ∴GH=14AB ．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，掌握定理是解题的关键．26．（1）证明见解析；（2）证明见解析【分析】（1）连接DB 、DC ，先由角平分线的性质就可以得出DE=DF ，再证明△BDE ≌△CDF 就可以得出结论；（2）由条件可以得出△DAE ≌△DAF 就可以得出AE=AF ，进而就可以求出结论．【详解】（1）连接DB 、DC ，如图所示，DG 垂直平分BC ，DB DC ∴=，又AD 平分BAC ∠，DE AB ⊥，DF AC ⊥，DE DF ∴=，90DEB DFG ∠=∠=︒，DAE DAF ∠=∠，在Rt BDE 和Rt CDF 中，DB DC DE DF=⎧⎨=⎩， ()HL Rt BDE Rt CDF ∴≅，BE CF ∴=．（2）在Rt DAE 和Rt DAF △中，DA DA DE DF=⎧⎨=⎩， ()Rt DAE Rt DAF HL ∴≅，AE AF ∴=，AB AE BE -=，AB AF CF ∴-=，()AB AC CF CF -+=，AB AC CF CF --=，2AB AC CF -=．【点睛】本题考查了角平分线的性质的运用，线段垂直平分线的性质的运用，全等三角形的判定与性质的运用，解答时证明三角形全等是关键．。

初二数学上册第三章试卷

一、选择题（每题2分，共20分）1. 在下列数中，正整数是（）A. -2B. 0C. 3D. -52. 下列数中，绝对值最小的是（）A. -3B. -2C. 2D. 33. 若a＜0，b＜0，则下列不等式中正确的是（）A. a＜bB. a＞bC. |a|＜|b|D. |a|＞|b|4. 若a=2，b=-3，则下列代数式中值为0的是（）A. a+bB. a-bC. a×bD. a÷b5. 若a＜b＜0，则下列不等式中正确的是（）A. a²＜b²B. a²＞b²C. |a|＜|b|D. |a|＞|b|6. 下列数中，既是正数又是整数的是（）A. 0.5B. -2C. 3D. -57. 若a＜b，则下列不等式中正确的是（）A. a²＜b²B. a²＞b²C. |a|＜|b|D. |a|＞|b|8. 下列数中，绝对值最大的是（）A. -2B. 2C. -3D. 39. 若a=5，b=-3，则下列代数式中值为负数的是（）A. a+bB. a-bC. a×bD. a÷b10. 若a＜0，b＜0，则下列不等式中正确的是（）A. a＜bB. a＞bC. |a|＜|b|D. |a|＞|b|二、填空题（每题2分，共20分）11. 若|a|=5，则a的值为______。

12. 若a=3，b=-2，则|a-b|的值为______。

13. 若a²=16，则a的值为______。

14. 若a＜0，b＞0，则|a-b|的值为______。

15. 若a=2，b=-3，则|a²-b²|的值为______。

16. 若a=5，b=-3，则a²b的值为______。

17. 若a=0，b=-2，则a²+b²的值为______。

18. 若a²=25，b²=9，则|a+b|的值为______。

(常考题)人教版初中数学八年级数学上册第三单元《轴对称》测试卷(有答案解析)(2)

一、选择题1．如图，已知30MON ︒∠=，点123,,...A A A 在射线ON 上，点123,,B B B …在射线OM 上，112223334,,...A B A A B A A B A ∆∆∆1n n n A B A +∆均为等边三角形，若11OA =，则778A B A ∆的边长为（）A ．16B ．32C ．64D ．128 2．若a ，b 是等腰ABC 的两边长，且满足()2370a b -+-=，此三角形的周长是（）A ．13B ．13或17C ．17D ．203．如图，在ABC 中，90C ∠=︒，30B ∠=︒，以点A 为圆心，任意长为半径画弧分别交AB ，AC 于点M 和N ，再分别以点M ，N 为圆心，大于12MN 的长为半径画弧，两弧交于点P ，连接AP 并延长交BC 于点D ．则下列说法中正确的个数是（） ①AD 是BAC ∠的平分线；②60ADC ∠=︒；③点D 在AB 的中垂线上；④:2:5DAC ABC S S =△△A ．1B ．2C ．3D ．44．如图，在ABC 中，34B ∠=︒，BCA ∠的平分线CD 交AB 于点D ，若DE 垂直平分BC 交BC 于点E ，则A ∠的度数为（）A ．90°B ．68°C ．78°D ．88°5．等腰三角形的一个内角是50度，它的一腰上的高与底边的夹角是（）度A ．25或60B ．40或60C ．25或40D ．40 6．下列推理中，不能判断ABC 是等边三角形的是（） A ．A B C ∠=∠=∠ B ．,60AB AC B =∠=︒C ．60,60A B ∠=︒∠=︒D ．AB AC =，且B C ∠=∠ 7．三个等边三角形的摆放位置如图所示，若12100︒∠+∠=，则3∠的度数为（）A ．80︒B ．70︒C ．45︒D ．30︒8．如图，已知AD 为ABC 的高线，AD BC =，以AB 为底边作等腰Rt ABE △，连接ED ，EC 延长CE 交AD 于F 点，下列结论：①DAE CBE ∠=∠；②CE DE ⊥；③BD AF =；④AED 为等腰三角形；⑤BDE ACE S S =△△，其中正确的有（）A ．①③⑤B ．①②④C ．①③④D ．①②③⑤ 9．若a b c 、、是ABC 的边，且222()()()0,a b a c b c -+-+-=则ABC 是( )． A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．等边三角形 10．如图，在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，∠ACB ＝45°，点D 是AB 中点，AF ⊥CD 于点H ，交BC 于点F ，BE ∥AC 交AF 的延长线于点E ，给出下列结论：①∠BAE ＝∠ACD ，②△ADC ≌△BEA ，③AC ＝AF ，④∠BDE ＝∠EDC ，⑤BC ⊥DE ．上述结论正确的序号是（）A ．①②⑤B ．②④⑤C ．①②④D ．①②③ 11．下列图案中，是轴对称图形的是（）A ．B ．C ．D ．12．如图，在Rt ABC 中，∠BAC ＝90°，以点A 为圆心，以AB 长为半径作弧交BC 于点D ，再分别以点B ，D 为圆心，以大于12BD 的长为半径作弧，两弧交于点P ，作射线AP 交BC 于点E ，如果AB ＝3，AC ＝4，那么线段AE 的长度是（）A ．125B ．95C ．85D ．75二、填空题13．如图，在ABC ∆中，CD 平分,ACB ∠点,E F 分别是,CD AC 上的动点．若6,12,ABC BC S ∆==则AE EF +的最小值是______________．14．如图，点C 在DE 上，,,45B E AB AE CAD BAE ∠=∠=∠=∠=︒，则ACB =∠_____________．15．如图，在等腰三角形ABC 中，AB ＝AC ，∠B ＝50°，D 为BC 的中点，点E 在AB 上，∠AED ＝70°，若点P 是等腰三角形ABC 的腰上的一点，则当DEP 是以∠EDP 为顶角的等腰三角形时，∠EDP 的度数是_____．16．如图，在锐角△ABC 中，AB ＝62 ，∠BAC ＝45°，∠BAC 的平分线交BC 于点D ，M ，N 分别是AD 和AB 上的动点，则BM ＋MN 的最小值是_____________．17．如图，在△ACB 中，∠ACB ＝∠90°，AB 的垂直平分线DE 交AB 于E ，交AC 于D ，∠DBC ＝30°，DC ＝4cm ，则D 到AB 的距离为________cm ．18．如图，DF 垂直平分AB ，EG 垂直平分AC ，若110BAC ∠=︒，则DAE =∠__________°．19．如图，已知∠AOB=60°，点P 在边OA 上，OP=24，点M ，N 在边OB 上，PM=PN ，若NM=6，则OM=______________．20．含30角的直角三角板与直线1l ，2l 的位置关系如图所示，已知12//l l ，30A ∠=︒，160∠=︒，若6AB =，CD 的长为__________．三、解答题21．如图，△ABC 是边长为12cm 的等边三角形，动点M 、N 同时从A 、B 两点出发，分别沿AB 、BC 方向匀速移动．（1）若点M 的运动速度是2cm/s ，点N 的运动速度是4cm/s ，当N 到达点C 时，M 、N 两点都停止运动，设运动时间为t （s ），当t=2时，判断△BMN 的形状，并说明理由；（2）当它们的速度都是2cm/s ，当点M 到达点B 时，M 、N 两点停止运动，设点M 的运动时间为t （s ），则当t 为何值时，△MBN 是直角三角形？22．如图，ABC 中，,90,AB AC BAC =∠=︒点D 是直线AB 上的一动点(不和A B 、重合)，BE CD ⊥交CD 所在的直线于点,E 交直线AC 于F ．()1点D 在边AB 上时，证明:AB FA BD =+；()2点D 在AB 的延长线或反向延长线上时，()1中的结论是否成立?若成立，请给出证明；若不成立，请画出图形，并直接写出,,AB FA BD 三者之间数量关系．23．已知45MAN ∠=︒，点B 为射线AN 上一定点，点C 为射线AM 上一动点（不与点A 重合），点D 在线段BC 的延长线上，且CD CB =．过点D 作DE AM ⊥于点E ．（1）当点C 运动到如图1的位置时，点E 恰好与点C 重合，此时AC 与DE 的数量关系是；（2）当点C 运动到如图2的位置时，依题意补全图形，并证明：2AC AE DE =+；（3）在点C 运动的过程中，点E 能否在射线AM 的反向延长线上？若能，直接用等式表示线段AC ，AE ，DE 之间的数量关系；若不能，请说明理由．24．如图，在ABC 中，AB AC =，D 为AC 的中点，DE AB ⊥于点E ，DF BC ⊥于点F ，且DE DF =，连接BD ，点G 在BC 的延长线上，且CD CG =．（1）求证：ABC 是等边三角形；（2）若2CG =，求BC 的长．25．如图，在ABC ∆中，点D 是边BC 上一点，点E 在边AC 上，且,,BD CE BAD CDE =∠=∠ADE C ∠=∠．（1）如图1，求证：ADE ∆是等腰三角形，（2）如图2，若DE 平分ADC ∠，在不添加辅助线的情况下，请直接写出图中所有与CDE ∠相等的角（CDE ∠除外）．26．（1）如图①，已知：在ABC 中，90BAC ∠=︒，AB AC =，直线m 经过点A ，BD ⊥直线m ，CE ⊥直线m ，垂足分别为点D 、E ．求证：DE BD CE =+．（2）如图②，将（1）中的条件改为：在ABC 中，AB AC =，D 、A 、E 三点都在直线m 上，并且有BDA AEC BAC a ∠=∠=∠=，其中a 为任意锐角或钝角．请问结论DE BD CE =+是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．（3）拓展与应用：如图③，D 、E 是D 、A 、E 三点所在直线m 上的两动点（D 、A 、E 三点互不重合），点F 为BAC ∠平分线上的一点，且ABF 和ACF 均为等边三角形，连接BD 、CE ，若BDA AEC BAC ∠=∠=∠，试判断DEF 的形状．（不需要说明理由）【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．C解析：C【分析】根据三角形的外角性质以及等边三角形的判定和性质得出OA 1=B 1A 1=1，OA 2=B 2A 2=2，OA 3=B 3A 3=224=，OA 4=B 4A 4=328=，…进而得出答案．【详解】如图，∵△A1B1A2是等边三角形，∴A1B1=A2B1，∠2=60°，∵∠MON=30°，∴∠MON=∠1=30°，∴OA1=A1B1=1，∴A2B1= A1A2=1，∵△A2B2A3是等边三角形，同理可得：OA2=B2A2=2，同理；OA3=B3A3=224=，OA4=B4A4=328=，OA5=B5A5=4216=，…，以此类推：=，所以OA7=B7A7=6264故选：C．【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质以及等腰三角形的性质，根据已知得出OA2=B2A2=2，OA3=B3A3=224=，…进而发现规律是解题的关键．=，OA4=B4A4=3282．C解析：C【分析】根据绝对值非负性的性质以及平方的非负性可知a和b的值，然后根据等腰三角形的性质分情况计算即可；【详解】∵()2-+-=，a b370∴ a=3，b=7，若腰为3时，3+3＜7，三角形不成立；若腰为7时，则周长为7+7+3=17，故选：C．【点睛】本题考查了非负性的性质以及等腰三角形的性质，熟练掌握知识点是解题的关键；．3．C解析：C【分析】根据题意作图可知：AD 是BAC ∠的平分线，由此判断①正确；先求得∠BAC=60︒，由AD 是BAC ∠的平分线，求得∠CAD=∠BAD=30B ∠=︒，即可得到60ADC ∠=︒，判断②正确；过点D 作DE ⊥AB 于E ，根据∠BAD=30B ∠=︒，证得△ABD 是等腰三角形，得到AE=BE ，即可判断③正确；证明Rt △ACD ≌Rt △AED ，得到S △ACD =S △AED ，根据等底同高得到S △AED =S △BED ，即可得到:1:3DAC ABC S S =，判断④错误．【详解】解：由题意得：AD 是BAC ∠的平分线，故①正确；∵90C ∠=︒，30B ∠=︒，∴∠BAC=60︒，∵AD 是BAC ∠的平分线，∴∠CAD=∠BAD=30B ∠=︒，∴60ADC ∠=︒，故②正确；过点D 作DE ⊥AB 于E ，∵∠BAD=30B ∠=︒，∴AD=BD ，∴△ABD 是等腰三角形，∴AE=BE ，∴点D 在AB 的中垂线上，故③正确；∵AD 是BAC ∠的平分线，DC ⊥AC ，DE ⊥AB ，∴CD=DE ，∠C=∠AED=90︒，又∵AD=AD ，∴Rt △ACD ≌Rt △AED ，∴S △ACD =S △AED ，∵AE=BE ，DE ⊥AB ，∴S △AED =S △BED ，∴:1:3DAC ABC S S =，故④错误；故选：C ．．【点睛】此题考查角平分线的作图方法及性质应用，全等三角形的判定及性质，线段垂直平分线的判定，等腰三角形的判定及性质，三角形内角和定理，熟练掌握各部分知识并综合应用是解题的关键．4．C解析：C【分析】由垂直平分线的性质，可得∠DCB=34B ∠=︒，由角平分线的定义得∠ACB=2∠DCB=68°，进而即可求解．【详解】∵DE 垂直平分BC 交BC 于点E ，∴DB=DC ，∴∠DCB=34B ∠=︒，∵CD 是BCA ∠的平分线，∴∠ACB=2∠DCB=68°，∴∠A=180°-34°-68°=78°，故选C ．【点睛】本题主要考查垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，角平分线的定义以及三角形内角和定理，熟练垂直平分线的性质定理，是解题的关键．5．C解析：C【分析】当顶角为50°时和底角为50°两种情况进行求解．【详解】当顶角为50°时，底角为：（180°−50°）÷2＝65°．此时它的一条腰上的高与底边的夹角为：90°−65°＝25°．当底角为50°时，此时它的一条腰上的高与底边的夹角为：90°−50°＝40°．故选：C ．【点睛】本题考查等腰三角形的性质，等腰三角形中两个底角相等．同时考查了分类讨论的思想． 6．D解析：D【分析】根据等边三角形的定义、判定定理以及三角形内角和定理进行判断．【详解】A 、由“三个角都相等的三角形是等边三角形”可以判断△ABC 是等边三角形，故本选项不符合题意；B 、由“有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形”可以判断△ABC 是等边三角形，故本选项不符合题意；C 、由“∠A ＝60°，∠B ＝60°”可以得到“∠A ＝∠B ＝∠C ＝60°”，则由“三个角都相等的三角形是等边三角形”可以判断△ABC是等边三角形，故本选项不符合题意；D、由“AB＝AC，且∠B＝∠C”只能判定△ABC是等腰三角形，故本选项符合题意．故选：D．【点睛】本题主要考查了等边三角形的判定和三角形内角和定理，属于基础题．（1）由定义判定：三条边都相等的三角形是等边三角形．（2）判定定理1：三个角都相等的三角形是等边三角形．（3）判定定理2：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．7．A解析：A【分析】由平角的性质可得∠3＋∠6＋60°＝180°，∠2＋∠4＋60°＝180°，∠1＋∠5＋60°＝180°，可得∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋∠6＝540°−180°，将∠1＋∠2＝100°代入可求解．【详解】∵∠3＋∠6＋60°＝180°，∠2＋∠4＋60°＝180°，∠1＋∠5＋60°＝180°，∴∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋∠6＝540°−180°=360°，∵∠4＋∠5＋∠6＝180°，∴∠1＋∠2＋∠3=360°-180°=180°，∴∠3＝180°−（∠1＋∠2）＝80°，故选：A．【点睛】本题考查了等边三角形的性质，平角的性质，三角形内角和定理，熟练运用这些性质进行推理是本题的关键．8．D解析：D【分析】①由等腰直角三角形的性质可得出结论；②证明△ADE≌△BCE，可得∠AEC=∠DEB，即可求得∠AED=∠BEG，即可解题；③证明△AEF≌△BED即可；④AE≠DE，故④不正确；⑤易证△FDC是等腰直角三角形，则CE=EF，S△AEF=S△ACE，由△AEF≌△BED，可知S△BDE=S△ACE，所以S△BDE=S△ACE．【详解】解：①∵AD为△ABC的高线，∴∠CBE+∠ABE+∠BAD=90°，∵Rt △ABE 是等腰直角三角形，∴∠ABE=∠BAE=∠BAD+∠DAE=45°，AE=BE ，∴∠CBE+∠BAD=45°，∴∠DAE=∠CBE ，故①正确②在△DAE 和△CBE 中，AE BE DAE CBE AD BC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ADE ≌△BCE （SAS ）；∴∠EDA=∠ECB ，∵∠ADE+∠EDC=90°，∴∠EDC+∠ECB=90°，∴∠DEC=90°，∴CE ⊥DE ；故②正确；③∵∠BDE=∠ADB+∠ADE ，∠AFE=∠ADC+∠ECD ，∴∠BDE=∠AFE ，∵∠BED+∠BEF=∠AEF+∠BEF=90°，∴∠BED=∠AEF ，在△AEF 和△BED 中，BDE AFE BED AEF AE BE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△AEF ≌△BED （AAS ），∴BD=AF ；故③正确；④∵AE≠DE ，∴△ADE 不是等腰三角形，⑤∵AD=BC ，BD=AF ，∴CD=DF ，∵AD ⊥BC ，∴△FDC 是等腰直角三角形，∵DE ⊥CE ，∴EF=CE ，∴S △AEF =S △ACE ，∵△AEF ≌△BED ，∴S △AEF =S △BED ，∴S △BDE =S △ACE ．故⑤正确；故选：D ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．9．D解析：D【分析】由偶次方的非负性质得出a-b=0，a-c=0，b-c=0，得出a=b=c ，即可得出结论．【详解】解：∵222()()()0,a b a c b c -+-+-=，∴a-b=0，a-c=0，b-c=0，∴a=b ，a=c ，b=c ，∴a=b=c ，∴这个三角形是等边三角形；故选：D ．【点睛】本题考查了等边三角形的判定、偶次方的非负性质；熟练掌握等边三角形的判定方法，由偶次方的非负性质得出a=b=c 是解题的关键．10．A解析：A【分析】由90BAE FAC ∠+∠=︒，90ACD FAC ，得出BAE ACD ∠=∠，①正确；由ASA 证明ADC BEA ∆≅∆，②正确；由AC AB AF ，得出③不正确；由全等三角形的性质得出AD BE =，由AD BD =，得出BE BD =，45BDE EDC ，④不正确；由等腰直角三角形的三线合一性质得出⑤正确；即可得出结论．【详解】90BAC ∠=︒，45ACB ∠=︒，ABC ∴是等腰直角三角形，90BAE FAC ∠+∠=︒，AB AC ∴=，45CBA ACB ，AF CD ⊥，90AHC ∴∠=︒，90ACD FAC ，BAE ACD ∴∠=∠，①正确；//BE AC ，180ABE BAC ，90ABE ∴∠=︒，在ADC ∆和BEA ∆中，90CADABE ACAB ACD BAE()ADCBEA ASA ，②正确； AC AB AF ，∴③不正确； ADC BEA ， AD BE ∴=，点D 是AB 中点，AD BD ∴=，BE BD ∴=，45BDE EDC ，④不正确；90ABE ∠=︒，BE BD =，45CBA ∠=︒，45EBP ，即BP 平分ABE ∠，△BDE 为等腰直角三角形，∴根据“三线合一”可得BC ⊥DE ，⑤正确．故选：A ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、平行线的性质等知识，熟悉相关性质是解题的关键．11．C解析：C【分析】如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，据此进行判断即可．【详解】解：A 、不是轴对称图形，故本选项不合题意；B 、不是轴对称图形，故本选项不合题意；C 、是轴对称图形，故本选项符合题意；D 、不是轴对称图形，故本选项不合题意；故选：C ．【点睛】本题主要考查了轴对称图形，判断轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合．12．A解析：A【分析】根据作图过程可得AP 是BD 的垂直平分线，根据勾股定理可得BC 的长，再根据等面积法求出AE 的长即可．【详解】解：∵∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，∴BC5=，根据作图过程可知：AP是BD的垂直平分线，∴BE＝DE，AE⊥BD，∴△ABC的面积：12AB•AC＝12BC•AE，∴5AE＝12，∴AE＝125．故选：A．【点睛】本题考查垂直平分线和勾股定理，需要有一定的数形结合能力，熟练掌握垂直平分线的定义，结合题意进行解题是解决本题的关键．二、填空题13．【分析】作A关于CD的对称点H由CD是△ABC的角平分线得到点H一定在BC上过H作HF⊥AC于F交CD于E连接AE则此时AE＋EF的值最小AE＋EF 的最小值＝HF过A作AG⊥BC于G根据垂直平分线的解析：4【分析】作A关于CD的对称点H，由CD是△ABC的角平分线，得到点H一定在BC上，过H作HF⊥AC于F，交CD于E，连接AE，则此时，AE＋EF的值最小，AE＋EF的最小值＝HF，过A作AG⊥BC于G，根据垂直平分线的性质和三角形的面积即可得到结论．【详解】作A关于CD的对称点H，∵CD是△ABC的角平分线，∴点H一定在BC上，过H作HF⊥AC于F，交CD于E，连接AE，则此时，AE＋EF的值最小，AE＋EF的最小值＝HF，过A作AG⊥BC于G，∵△ABC的面积为12，BC长为6，∴AG＝4，∵CD垂直平分AH，∴AC＝CH，∴S△ACH＝12AC•HF＝12CH•AG，∴HF＝AG＝4，∴AE ＋EF 的最小值是4，故答案是：4．【点睛】本题考查了轴对称−最短路线问题，解题的关键是正确的作出对称点和利用垂直平分线的性质证明AE ＋EF 的最小值为三角形某一边上的高线．14．【分析】由条件可证得△ABC ≌△AED 则可求得∠ACB=∠ADEAD=AC 再利用等腰三角形的性质可求得答案【详解】解：∵∠CAD=∠BAE ∴∠CAD+∠CAE=∠BAE+∠CAE 即∠BAC=∠DAE解析：67.5【分析】由条件可证得△ABC ≌△AED ，则可求得∠ACB=∠ADE ，AD=AC ，再利用等腰三角形的性质可求得答案．【详解】解：∵∠CAD=∠BAE ，∴∠CAD+∠CAE=∠BAE+∠CAE ，即∠BAC=∠DAE ，在△ABC 和△AED 中，B E AB AEBAC EAD ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴△ABC ≌△AED （ASA ），∴AD=AC ，∠ACB=∠ADE ，∴∠ACD=∠ADC ，∵∠CAD=45°，∴∠ADC=67.5°，∴∠ACB=67.5°，故答案为：67.5．【点睛】本题主要考查全等三角形的判定和性质及等腰三角形的性质，掌握全等三角形的判定方法（即SSS 、SAS 、ASA 、AAS 和HL ）和全等三角形的性质（全等三角形的对应边相等、对应角相等）是解题的关键．15．40°或100°或140°【分析】根据△DEP 是以∠EDP 为顶角的等腰三角形可知DP ＝DE 所以可以分两种情况考虑:①点P 在AB 上；②点P 在AC 上分别画出符合条件的图形根据等腰三角形的性质和全等三角形解析：40°或100°或140°【分析】根据△DEP 是以∠EDP 为顶角的等腰三角形，可知DP ＝ DE ，所以可以分两种情况考虑: ①点P 在AB 上；②点P 在AC 上．分别画出符合条件的图形，根据等腰三角形的性质和全等三角形的判定和性质定理解答即可．【详解】解：∵AB ＝AC ，∠B ＝50°，∠AED ＝70°，∴∠EDB ＝20°，∵当△DEP 是以∠EDP 为顶角的等腰三角形，∴DP ＝ DE ，①如图，当点P 在AB 上时，记为P 1，∵DE ＝DP 1，∴∠DP 1E ＝∠AED ＝70°，∴∠EDP 1＝180°﹣70°﹣70°＝40°，②如图，当点P 在AC 上时，有两个点P 2、 P 3符合条件，∵AB ＝AC ，D 为BC 的中点，∴∠BAD ＝∠CAD ，过D 作DG ⊥AB 于G ，DH ⊥AC 于H ，∴DG ＝DH ，在Rt △DEG 与Rt △DP 2H 中，2DE DP DG DH=⎧⎨=⎩， ∴Rt △DEG ≌Rt △DP 2H （HL ），∴∠AP 2D ＝∠AED ＝70°，∵∠BAC ＝180°﹣50°﹣50°=80°，∴∠EDP 2＝140°，同理证得Rt △DEG ≌Rt △D P 3H （HL ），∴∠EDG ＝∠P 3DH ，∴∠EDP 3＝∠GDH ＝100°，故答案为：40°或100°或140°．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，分类讨论画出符合条件的图形是解题的关键．16．6【分析】作BH⊥AC垂足为H交AD于M′点过M′点作M′N′⊥AB垂足为N′则BM′+M′N′为所求的最小值再根据AD是∠BAC的平分线可知M′H=M′N′再由锐角三角函数的定义即可得出结论【详解解析：6【分析】作BH⊥AC，垂足为H，交AD于M′点，过M′点作M′N′⊥AB，垂足为N′，则BM′+M′N′为所求的最小值，再根据AD是∠BAC的平分线可知M′H=M′N′，再由锐角三角函数的定义即可得出结论．【详解】解：如图，作BH⊥AC，垂足为H，交AD于M′点，过M′点作M′N′⊥AB，垂足为N′，则B M′+M′N′为所求的最小值．∵AD是∠BAC的平分线，∴M′H=M′N′，∴BH是点B到直线AC的最短距离（垂线段最短），∵AB=2∠BAC=45°，∴BH=AH∴222AH BH AB+=∴BH=6．∵BM+MN的最小值是BM′+M′N′=BM′+M′H=BH=6．故答案为6．【点睛】本题考查的是轴对称-最短路线问题，解答此类问题时要从已知条件结合图形认真思考，通过角平分线性质，垂线段最短，确定线段和的最小值．17．4【分析】先根据线段的垂直平分线的性质得到DB=DA则有∠A=∠ABD而∠C=∠DBC=利用三角形的内角和可得∠A+∠ABD=得到∠ABD=在Rt△BED中根据含角的直角三角形三边的关系即可得到DE解析：4【分析】先根据线段的垂直平分线的性质得到DB=DA，则有∠A=∠ABD，而∠C=90︒，∠DBC=30︒，利用三角形的内角和可得∠A+∠ABD=903060︒-︒=︒，得到∠ABD= 30︒，在Rt△BED中，根据含30︒角的直角三角形三边的关系即可得到DE的长度．【详解】解：∵DE垂直平分AB，∴DB=DA，∴∠A=∠ABD，∵∠C=90︒，∠DBC=30︒，DC=4cm，︒-︒=︒，∴BD=8cm，∠A+∠ABD=903060∴∠ABD=30︒，在Rt△BED中，∠EBD=30︒，BD=8cm，∴DE=14BD=cm，2即D到AB的距离为4cm，故答案为：4．【点睛】本题考察线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质以及含30︒角的直角三角形的性质，解题关键是掌握相关性质．18．【分析】先由已知求出∠B+∠C=70°再根据线段垂直平分线的性质和等腰三角形的等边对等角的性质证得∠B=∠BAD∠C=∠CAE则有∠BAD+∠CAE=70°进而求得∠DAE的度数【详解】解：∵在△A解析：40︒【分析】先由已知求出∠B+∠C=70°，再根据线段垂直平分线的性质和等腰三角形的等边对等角的性质证得∠B=∠BAD，∠C=∠CAE，则有∠BAD+∠CAE=70°，进而求得∠DAE的度数．【详解】解：∵在△ABC中，∠BAC=110°，∴∠B+∠C=180°﹣110°=70°，∵DF垂直平分AB，EG垂直平分AC，∴AD=BD，AE=CE，∴∠B=∠BAD，∠C=∠CAE，∴∠BAD+∠CAE=70°，∴∠ADE=∠BAC﹣（∠BAD+∠CAE）=110°﹣70°=40°，故答案为：40°．【点睛】本题考查线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、三角形的内角和等理，熟练掌握线段垂直平分线的性质和等腰三角形的等边对等角的性质是解答的关键．19．9【分析】过P作PD⊥OB交OB于点D在直角三角形POD中求出OD的长再由PM=PN利用三线合一得到D为MN中点根据MN求出MD的长由OD-MD 即可求出OM的长【详解】解：过P作PD⊥OB交OB于点解析：9【分析】过P 作PD ⊥OB ，交OB 于点D ，在直角三角形POD 中，求出OD 的长，再由PM=PN ，利用三线合一得到D 为MN 中点，根据MN 求出MD 的长，由OD-MD 即可求出OM 的长．【详解】解：过P 作PD ⊥OB ，交OB 于点D ，∵∠AOB=60°，∴∠OPD=30°，∴OD =12OP=12． ∵PM =PN ，PD ⊥MN ， ∴MD =ND =12MN =3， ∴OM =OD ﹣MD =12﹣3=9．故答案为：9．【点睛】本题考查的是含30度直角三角形的性质，等腰三角形的性质等知识，根据题意添加适当辅助线是解本题的关键．20．3【分析】再根据含角的直角三角形的边角关系证得BC=AB=3根据平行线的性质可求得∠BDC=∠1=60°根据∠CBD=60°和三角形内角和定理可证得△BCD 是等边三角形即可证得CD=BC=3【详解】解析：3【分析】再根据含30角的直角三角形的边角关系证得BC=12AB=3，根据平行线的性质可求得∠BDC=∠1=60°，根据∠CBD=60°和三角形内角和定理可证得△BCD 是等边三角形，即可证得CD=BC=3．【详解】解：∵∠ACB=90°，∠A=30°，∴BC=12AB=3，∠CBD=60°， ∵12//l l ，∴∠BDC=∠1=60°，又∠CBD=60°，∴∠BCD=60°，∴△BCD 为等边三角形，∴CD=BC=3，故答案为：3．【点睛】本题考查了含30角的直角三角形的边角关系、平行线的性质、三角形的内角和定理、等边三角形的判定与性质，熟练掌握含30角的直角三角形的边角关系，证得△BCD 为等边三角形是解答的关键．三、解答题21．（1）△BMN 是等边三角形，见解析；（2）当t=2或t=4时，△BMN 是直角三角形．【分析】（1）先由等边三角形的性质解得，当t=2时，AM =4，BN=8，继而证明BM=BN ，再根据等边三角形的判定解题即可；（2）若△MBN 是直角三角形，则∠BNM=90°或∠BMN=90°，根据直角三角形含30°角的性质列方程解题即可．【详解】解：（1）△BMN 是等边三角形当t=2时，AM =4，BN=8，∵△ABC 是等边三角形且边长是12∴BM=12-4=8，∠B=60°∴BM=BN∴△BMN 是等边三角形；（2）△BMN 中，BM=12-2t ，BN=2t①当∠BNM=90°时，∠B=60°∴∠BMN=30° ∴12BN BM = ∴12(122)2t t =-∴t=2②当∠BMN=90°时，∠B=60°∴∠BNM=30° ∴12BM BN = ∴112222t t -=⨯ ∴t=4综上：当t=2或t=4时，△BMN 是直角三角形．【点睛】本题考查直角三角形的判定、等边三角形的判定与性质、几何动点与一元一次方程等知识，涉及含30°角的直角三角形等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．22．（1）证明见解析；（2）结论不成立．图见解析，三者关系为AF AB BD +＝或,BD AB AF +＝【分析】（1）易证∠FBA=∠FCE ，结合条件容易证到△FAB ≌△DAC ，从而有FA=DA ，就可得到AB=AD+BD=FA+BD ．（2）如图2中，当D 在AB 延长线上时，AF=AB+BD ．如图3中，当D 在AB 反向延长线上时，BD=AB+AF ．证明方法类似（1）．【详解】解：（1）证明：如图1，∵BE ⊥CD ，即∠BEC=90°，∠BAC=90°，∴∠F+∠FBA=90°，∠F+∠FCE=90°．∴∠FBA=∠FCE ．∵∠FAB=180°-∠DAC=90°，∴∠FAB=∠DAC ．∵AB=AC ，∴△FAB ≌△DAC ．∴FA=DA ．∴AB=AD+BD=FA+BD ．（2）如图2，当D 在AB 延长线上时，AF=AB+BD ，理由是：∵BE ⊥CD 即∠BEC=90°，∠BAC=∠BAF=90°∴∠F+∠FBA=90°，∠F+∠FCE=90°∴∠FBA=∠FCE ，∵∠FAB=180°-∠DAC=90°∴∠FAB=∠DAC在△FAB 和△DAC 中，FAB DAC AB ACFBA DCA ∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠⎩＝＝＝ ∴△FAB ≌△DAC （ASA ），∴FA=DA ，∴AF=AD=BD+AB ．如图3，当D 在AB 反向延长线上时，BD=AB+AF ，理由是：∵BE ⊥CD 即∠BEC=90°，∠BAC=∠CAD=90°∴∠AFB+∠FBA=90°，∠EFC+∠FCE=90°，∵∠AFB=∠EFC ，∴∠FBA=∠FCE ，在△FAB 和△DAC 中，90FAB DAC AB ACFBA DCA ∠∠=︒⎧⎪⎨⎪∠∠⎩＝＝＝ ∴△FAB ≌△DAC （ASA ），∴AF=AD ，∴BD=AB+AD=AB+AF ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质等知识，当条件没有改变仅仅是图形的位置发生变化时，常常可以通过借鉴已有的解题经验来解决问题．23．（1）AC DE =；（2）补全图形见解析，证明见解析；（3）能，2.AC AE DE +=【分析】（1）先证明AC 是BD 的垂直平分线，可得：45ABD ADB ∠=∠=︒，可得：90DAB ∠=︒，可得45CAD CDA ∠=∠=︒，从而可得结论；（2）如图，过B 作BG AM ⊥于G ，证明：,BCG DCE ≌ 可得,,BG DE CG CE == 再证明：,AG BG DE == 从而可得()22,AC DE CE =+ ()2,AE DE DE CE +=+ 于是可得结论；（3）如图，过B 作BG AM ⊥于G ，同（2）理可得：(),BCG DCE AAS ≌AG BG =，可得,,CG CE BG DE == ,AG BG DE == 再证明2,AG AC AE =+从而可得结论．【详解】解：（1）当,E C 重合时，点D 在线段BC 的延长线上，CD CB =，DE AM ⊥，AC ∴是BD 的垂直平分线，,AB AD ∴=,ABD ADB ∴∠=∠45MAN ∠=︒，45ABD ∴∠=︒，45ABD ADB ∴∠=∠=︒，90DAB ∴∠=︒，45CAD CDA ∴∠=∠=︒，.AE DE ∴=故答案：.AE DE =（2）补全图形如图所示，过B 作BG AM ⊥于G ，DE AM ⊥，90DEC BGC ∴∠=∠=︒，,,BC DC BCG DCE =∠=∠(),BCG DCE AAS ∴≌,,BG DE CG CE ∴==45,MAN BG AM ∴∠=︒⊥，45GAB GBA ∴∠=∠=︒，,AG BG DE ∴==()()222,AC AG CG DE CE ∴=+=+()2,AE DE AG CG CE DE DE CE +=+++=+2.AC AE DE ∴=+（3）点E 能在射线AM 的反向延长线上，如图，过B 作BG AM ⊥于G ，同理可得：(),BCG DCE AAS ≌AG BG =，,,CG CE BG DE ∴==,AG BG DE ∴==2,AG AC CG AC CE AC AC AE AC AE ∴=+=+=++=+2.AC AE DE ∴+=【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的定义及性质，等腰三角形的判定，三角形全等的判定与性质，掌握以上知识是解题的关键．24．（1）见解析（2）4【分析】（1）只要证明Rt △ADE ≌Rt △CDF ，推出∠A=∠C ，推出BA=BC ，又AB=AC ，即可推出AB=BC=AC ；（2）证明BD 是等边三角形的∠ABC 的平分线，得∠DBC =30゜，再利用直角三角形的性质求解即可．【详解】解：（1）证明：∵DE ⊥AB ，DF ⊥BC ，垂足分别为点E ，F ，∴∠AED=∠CFD=90°，∵D 为AC 的中点，∴AD=DC ，在Rt △ADE 和Rt △CDF 中，AD DC DE DF ⎧⎨⎩＝＝， ∴Rt △ADE ≌Rt △CDF ，∴∠A=∠C ，∴BA=BC ，∵AB=AC ，∴AB=BC=AC ，∴△ABC 是等边三角形．（2）∵DE ⊥AB ，DF ⊥BC ，且DE DF =，∴BD 平分ABC ∠，∵ABC 是等边三角形，∴60ABC ACB ∠=∠=︒，∴BD AC ⊥，30CBD ∠=︒，∴2BC CD =， ∵CD CG =，2CG =∴24BC CG ==．【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质、直角三角形的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题．25．（1）详见解析；（2）与CDE ∠相等的角有：∠B ，∠BAD ，∠ADE ，∠C【分析】（1）证明△ABD ≌△DCE ，推出AD=DE ，即可得到结论；（2）根据DE 平分∠ADC ，推出∠ADE=∠CDE=12∠ADC ，利用BAD CDE ∠=∠，∠ADC=∠B+∠BAD ，得到∠B=∠BAD=∠ADE=∠CDE ，再由ADE C ∠=∠，得到∠C=CDE ∠．【详解】（1）∵∠ADC=∠B+∠BAD ，∠BAD=∠CDE ，∴∠B=∠ADE ，∵∠ADE=∠C ，∴∠B=∠C ，在△ABD 和△DCE 中，BAD CDE B CBD CE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△ABD ≌△DCE ，∴AD=DE ，∴ADE ∆是等腰三角形；（2）∵DE 平分∠ADC ，∴∠ADE=∠CDE=12∠ADC ， ∵BAD CDE ∠=∠，∠ADC=∠B+∠BAD ，∴∠B=∠BAD=∠ADE=∠CDE ，∵ADE C ∠=∠，∴∠C=CDE ∠，∴与CDE ∠相等的角有：∠B ，∠BAD ，∠ADE ，∠C ．【点睛】此题考查全等三角形的判定及性质，等腰三角形的判定定理，角平分线的性质，三角形外角性质，熟记三角形全等的判定定理是解题的关键．26．（1）见解析；（2）成立，证明见解析；（3）DEF 为等边三角形【分析】（1）根据BD ⊥直线m ，CE ⊥直线m 得∠BDA=∠CEA=90°，而∠BAC=90°，根据等角的余角相等得∠CAE=∠ABD ，然后根据“AAS”可判断△ADB ≌△CEA ，则AE=BD ，AD=CE ，于是DE=AE+AD=BD+CE ；（2）由∠BDA=∠AEC=∠BAC ，就可以求出∠BAD=∠ACE ，进而由AAS 就可以得出△BAD ≌△ACE ，就可以得出BD=AE ，DA=CE ，即可得出结论；（3）由等边三角形的性质，可以求出∠BAC=120°，就可以得出△BAD ≌△ACE ，就有BD=AE ，进而得出△BDF ≌△AEF ，得出DF=EF ，∠BFD=∠AFE ，而得出∠DFE=60°，即可推出△DEF 为等边三角形．【详解】（1）证明：∵BD ⊥直线m ，CE ⊥直线m ，∴90BDA CEA ∠=∠=︒∵90BAC ∠=︒，∴90BAD CAE ∠+∠=︒∵90BAD ABD ∠+∠=︒，∴CAE ABD ∠=∠．在ADB △和CEA 中：CAE ABD BDA CEA AB AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴ADB CEA AAS ≌（）△△． ∴AE BD =，AD CE =．∴DE AE AD BD CE =+=+．（2）成立．证明如下：∵∠BDA=∠BAC=α，又∵DBA ADB BAC CAE ∠+∠=∠+∠∴∠DBA=∠CAE ，在ADB △和CEA 中：DBA CAE BDA AEC AB AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴()ADB CEA AAS ≌△△． ∴AE BD =，AD CE =，∴DE AE AD BD CE =+=+．（3）DEF 为等边三角形．证明：∵△ABF 和△ACF 均为等边三角形，∴AB=AF=AC ，∠ABF=∠CAF=60°，BF=AF,∴由（2）可知，△ADB ≌△CEA ，∴BD=AE ，∠DBA=∠CAE ，∴∠DBA+∠ABF=∠CAE+∠CAF ，∴∠DBF=∠FAE ，∵在△DBF 和△EAF 中，BD AE DBF FAE BF AF ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝ ∴△DBF ≌△EAF （SAS ），∴DF=EF ，∠BFD=∠AFE ，∴∠DFE=∠DFA+∠AFE=∠DFA+∠BFD=60°，∴△DEF 为等边三角形．【点睛】本题属于三角形综合题，主要考查了全等三角形与等边三角形的综合应用，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质以及等边三角形的判定与性质并灵活运用，属于中考常考题型．。

第三章数学试卷八年级上册

一、选择题（每题4分，共40分）1. 下列各数中，有理数是（）A. √9B. √-16C. πD. √22. 若a=3，b=-5，则a+b的值为（）A. -2B. 2C. 8D. -83. 已知等差数列{an}中，a1=2，d=3，则第10项an的值为（）A. 28B. 31C. 34D. 374. 下列函数中，反比例函数是（）A. y=x^2B. y=2x+1C. y=3/xD. y=√x5. 若∠A=30°，∠B=60°，则∠C的度数为（）A. 90°B. 120°C. 150°D. 180°6. 已知正方形的对角线长为10cm，则该正方形的面积是（）A. 50cm^2B. 100cm^2C. 150cm^2D. 200cm^27. 下列各图中，能正确表示函数y=2x+1的是（）A.B.C.D.8. 若x^2-5x+6=0，则x的值为（）A. 2B. 3C. 4D. 69. 下列各数中，无理数是（）A. √4B. √-9C. πD. √0.2510. 已知等比数列{bn}中，b1=3，q=2，则第5项bn的值为（）A. 48B. 96C. 192D. 384二、填空题（每题4分，共40分）11. 若x=2，则x^2-4x+3的值为______。

12. 等差数列{an}中，a1=1，d=2，则第n项an的通项公式为______。

13. 函数y=√(x^2-1)的定义域为______。

14. 在直角坐标系中，点A（2，3）关于y轴的对称点为______。

15. 已知三角形ABC的边长分别为3cm，4cm，5cm，则三角形ABC是______三角形。

16. 若a，b，c成等差数列，且a+b+c=12，则a，b，c的值分别为______。

17. 已知函数y=2x-1在x=2时的函数值为3，则该函数的解析式为______。

18. 在直角坐标系中，点P（-1，2）到原点的距离为______。

人教版数学八年级上册：第三章检测卷复习题课件

2
解析：设报 4 的人心里想的数是 x.根据题意得报 4 和报 1 的人心里想的数的平均数是 5，则此二人心里想的数之和为 2×5＝10.所以报 1 的人心里想的数是 10－x.同理，报 3 的人心里想的数是 4－(10－ x)＝x－6，报 5 的人心里想的数是 8－(x－6)＝14－ x，报 2 的人心里想的数是 2－(14－x)＝x－12.所以有 x－12＋x＝2×3.解得 x＝9.故答案为 9.
(3)被框住的 4 个数之和能否等于 622？如果能，请求出此时 x 的值；如果不能，请说明理由. (3)不能.(8 分) 理由如下：因为当 4x＋16＝622 时，解得 x＝151 1 ，不是整数，应舍去，
2 故被框住的 4 个数之和不能等于 622.(12 分)
9.长沙红星大市场某种高端品牌的家用电器，若按标价打八折销售该电器一件，则可获纯利润 500 元，其利润率为 20%.现如果按同一标价打九折销售该电器一件，那么获得的纯利润为( B ) A.562.5 元 B.875 元 C.550 元 D.750 元
10.甲、乙两运动员在长为 100 m 的直道 AB(A，B 为直道两端点)上进行匀速往返跑训练，两人同时从 A 点起跑，到达 B 点后，立即转身跑向 A 点，到达 A 点后，又立即转身跑向 B 点……若甲跑步的速度为 5 m/s，乙跑步的速度为 4 m/s，则起跑后 100 s 内，两人相遇的次数为( B )
300 步才能追到小亮.
18.5 个人围成一个圆圈做游戏，游戏的规则是：每个人心里都想好一个数，并把自己想好的数如实地告诉他相邻的两个人，然后每个人将他相邻的两个人告诉他的数的平均数报出来.若报出来的数如图所示，则报 4 的人心里想的数是 9 (已知数 a，b，则 a，b 两数的平均数为 x＝ a b ).

人教版初中数学八年级数学上册第三单元《轴对称》测试题(包含答案解析)

一、选择题1．如图，ABC 中，45ABC ︒∠=，CD AB ⊥于D ，BE 平分ABC ∠，且BE AC ⊥于E ，与CD 相交于点F ，DH BC ⊥于H ，交BE 于G ，下列结论：①BD CD =；②AE BG =；③2CE BF =；④AD CF BD +=．其中正确的有（）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个2．“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的．借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角．这个三等分角仪由两根有槽的棒OA ， OB 组成，两根棒在O 点相连并可绕O 转动，C 点固定，OC CD DE ==，点D ，E 可在槽中滑动，若72BDE ︒∠=，则CDE ∠的度数是（）A ．84︒B ．82︒C ．81︒D ．78︒ 3．点1(1,2020)P a -和2(2017,1)P b -关于x 轴对称，则()2021a b +的值为（） A ．1-B ．1C ．0D ．2021-4．如图，已知30MON ∠=︒，点1A ，2A ，3A ，…，在射线ON 上，点B ，1B ，2B ，3B ，…，在射线OM 上，112A B B ，223A B B △，334A B B △，…，均为等边三角形．若11OB =，则202020202021A B B △的边长为（）A ．20192B ．20202C ．20212D ．20222 5．平面直角坐标系中，点A (3，2)与点B 关于y 轴对称，则点B 的坐标为（） A ．(3，－2)B ．(－3，－2)C ．(－3，2)D ．(－2，3)6．如图，已知点D 为ABC 内一点，CD 平分ACB ∠，BD CD ⊥，A ABD ∠=∠，若6AC =，4BC =，则BD 的长为（）A ．2B ．1.5C ．1D ．2.57．如图，在ABC 中，∠C ＝90°，∠B ＝30°，以A 为圆心，任意长为半径画弧分别交AB 、AC 于点M 和N ，再分别以M 、N 为圆心，大于12MN 的长为半径画弧，两弧交于点P ，连结AP 并延长交BC 于点D ，则下列说法中正确的个数是（） ①AD 平分∠BAC ；②∠ADC ＝60°；③点D 在AB 的垂直平分线上；④2ABDACDSS=．A ．1B ．2C ．3D ．48．如图，在ABC 中，87,A ABC ∠=︒∠的平分线BD 交AC 于点,D E 是BC 中点，且DE BC ⊥，那么C ∠的度数为（）A ．16︒B ．28︒C ．31︒D ．62︒9．如图，在ABC 与A B C ''△中，,90AB AC A B A C B B ==''='∠+∠'=︒，ABC ，A B C '''的面积分别为1S 、2S ，则（）A ．12S S >B ．12S SC ．12S S <D ．无法比较1S 、2S 的大小关系10．如图，在△ABC 中，∠C ＝84°，分别以点A ，B 为圆心，以大于12AB 的长为半径画弧，两弧分别交于点M ，N ，作直线MN 交AC 于点D ；以点B 为圆心，适当长为半径画弧，分别交BA ，BC 于点E ，F ，再分别以点E ，F 为圆心，大于12EF 的长为半径画弧，两弧交于点P ．若此时射线BP 恰好经过点D ，则∠A 的大小是（）A ．30°B ．32°C ．36°D ．42°11．若海岛N 位于海岛M 北偏东30°的方向上，则从海岛N 出发到海岛M 的航线可能是（）A ．B ．C ．D ．12．如图所示，在△ABC 中，内角∠BAC 与外角∠CBE 的平分线相交于点P ，BE ＝BC ，PB 与CE 交于点H ，PG ∥AD 交BC 于F ，交AB 于G ，连接CP ．下列结论：①∠ACB ＝2∠APB ；②BP 垂直平分CE ；③PG ＝AG ；④CP 平分∠DCB ；其中，其中说法正确的有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个二、填空题13．如图，在平面直角坐标系中，直线l 与x 轴交于点1B ，与y 轴交点于D ，且111,60OB ODB =∠=︒，以1OB 为边长作等边三角形11AOB ，过点1A 作12A B 平行于x 轴，交直线l 于点2B ，以12A B 为边长作等边三角形212A A B ，过点2A 作23A B 平行于x 轴，交直线l 于点3B ，以23A B 为边长作等边三角形323A A B ，…，按此规律进行下去，则点6A 的横坐标是______．14．如图，在ABC 中，BD 平分ABC ∠交AC 于点D ，//EF BC 交BD 于点G ，若130BEG ∠=︒，则DGF ∠=______．15．如图，在△ABC 中，点D 是BC 上一点，∠BAD ＝80°，AB ＝AD ＝DC ，则∠C ＝________16．如图，在等腰三角形ABC 中，AB ＝AC ，∠B ＝50°，D 为BC 的中点，点E 在AB 上，∠AED ＝70°，若点P 是等腰三角形ABC 的腰上的一点，则当DEP 是以∠EDP 为顶角的等腰三角形时，∠EDP 的度数是_____．17．如图，在平面直角坐标系xOy 中，点B 的坐标为（2，0），若点A 在第一象限内，且AB =OB ，∠A =60°，则点A 到y 轴的距离为______．18．如图，在四边形ABCD 中，130DAB ∠=︒，90D B ∠=∠=︒，点M ，N 分别是CD ，BC 上两个动点，当AMN 的周长最小时，AMN ANM ∠+∠的度数为_________．19．如图，DF 垂直平分AB ，EG 垂直平分AC ，若110BAC ∠=︒，则DAE =∠__________°．20．如图，点D 是ABC ∠内一点，点E 在射线BA 上，且15DBE BDE ∠=∠=︒，//DE BC ，过点D 作DF BC ⊥，垂足为点F ，若BE a =，则DF =___________（用含a 的式子表示）．三、解答题21．如图，在Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，CAP 和CBQ △都是等边三角形，BQ 和CP 交于点H ，求证：BQ CP ⊥．22．如图，在平面直角坐标系中，(2,4)A ，(3,1)B ，(2,1)C --．（1）在图中作出ABC 关于x 轴的对称图形111A B C △，并直接写出点1C 的坐标：________；（2）求ABC 的面积：（3）点(),2P a a -与点Q 关于x 轴对称，若6PQ =，则点P 的坐标为________． 23．已知：如图，MON ∠为锐角，点A 在射线OM 上．求作：射线AC ，使得//AC ON ．小静的作图思路如下：①以点A 为圆心，AO 为半径作弧，交射线ON 于点B ，连接AB ； ②作MAB ∠的角平分线AC ．射线AC 即为所求的射线．（1）使用直尺和圆规，按照小静的作图思路补全图形（保留作图痕迹）；（2）完成下面的证明．证明：OA AB =，O ABO ∴∠=∠（__________）． MAB ∠是AOB 的一个外角，MAB ∴∠=∠_________+∠__________．12ABO MAB ∴∠=∠．AC 平分MAB ∠，12BAC MAB ∴∠=∠．ABO BAC ∴∠=∠．//AC ON ∴（__________）．24．如图，在ABC ∆中，点D 是边BC 上一点，点E 在边AC 上，且,,BD CE BAD CDE =∠=∠ADE C ∠=∠．（1）如图1，求证：ADE ∆是等腰三角形，（2）如图2，若DE 平分ADC ∠，在不添加辅助线的情况下，请直接写出图中所有与CDE ∠相等的角（CDE ∠除外）．25．在如图所示的直角坐标系中，每个小方格都是边长为1的正方形，ABC 的顶点均在格点上，点A 的坐标是(3,1)--．（1）将ABC 关于x 轴对称得到111A B C △，画出111A B C △，并写出点1B 的坐标；（2）把111A B C △平移，使点B 平移到2(3,4)B ，请作出111A B C △平移后的222A B C △，并写出2A 的坐标；（3）已知ABC 中有一点(,)D a b ，求222A B C △中的对应点2D 的坐标．26．（1）如图①，已知：在ABC 中，90BAC ∠=︒，AB AC =，直线m 经过点A ，BD ⊥直线m ，CE ⊥直线m ，垂足分别为点D 、E ．求证：DE BD CE =+．（2）如图②，将（1）中的条件改为：在ABC 中，AB AC =，D 、A 、E 三点都在直线m 上，并且有BDA AEC BAC a ∠=∠=∠=，其中a 为任意锐角或钝角．请问结论DE BD CE =+是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．（3）拓展与应用：如图③，D 、E 是D 、A 、E 三点所在直线m 上的两动点（D 、A 、E 三点互不重合），点F 为BAC ∠平分线上的一点，且ABF 和ACF 均为等边三角形，连接BD 、CE ，若BDA AEC BAC ∠=∠=∠，试判断DEF 的形状．（不需要说明理由）【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】根据∠ABC ＝45°，CD ⊥AB 可得出BD ＝CD ，利用ASA 判定Rt △DFB ≌Rt △DAC ，从而得出DF ＝AD ，BF ＝AC ．则CD ＝CF +AD ，即AD +CF ＝BD ；再利用ASA 判定Rt △BEA ≌Rt △BEC ，得出CE ＝AE ＝12AC ，又因为BF ＝AC 所以CE ＝12AC ＝12BF ，连接CG ．因为△BCD 是等腰直角三角形，即BD ＝CD ．又因为DH ⊥BC ，那么DH 垂直平分BC ．即BG ＝CG ．在Rt △CEG 中，CG 是斜边，CE 是直角边，所以CE ＜CG ．即AE ＜BG ．【详解】解：∵CD ⊥AB ，∠ABC ＝45°， ∴△BCD 是等腰直角三角形． ∴BD ＝CD ．故①正确；连接CG ．∵△BCD是等腰直角三角形，∴BD＝CD又DH⊥BC，∴DH垂直平分BC．∴BG＝CG在Rt△CEG中，∵CG是斜边，CE是直角边，∴CE＜CG．∵CE＝AE，∴AE＜BG．故②错误．在Rt△BEA和Rt△BEC中∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠CBE．又∵BE＝BE，∠BEA＝∠BEC＝90°，∴Rt△BEA≌Rt△BEC．∴CE＝AE＝12AC．在Rt△DFB和Rt△DAC中，∵∠DBF＝90°﹣∠BFD，∠DCA＝90°﹣∠EFC，且∠BFD＝∠EFC，∴∠DBF＝∠DCA．又∵∠BDF＝∠CDA＝90°，BD＝CD，∴△DFB≌△DAC．∴BF＝AC，∴CE＝12AC＝12BF，∴2CE＝BF；故③正确；由③可得△DFB≌△DAC．∴BF＝AC；DF＝AD．∵CD＝CF+DF，∴AD+CF＝BD；故④正确；故选：B．【点睛】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、AAS、ASA、HL．在复杂的图形中有45°的角，有垂直，往往要用到等腰直角三角形，要注意掌握并应用此点．2．A解析：A 【分析】根据OC=CD=DE ，可得∠O=∠ODC ，∠DCE=∠DEC ，根据三角形的外角性质可知∠DCE=∠O+∠ODC=2∠ODC ，进一步根据三角形的外角性质可知∠BDE=3∠ODC=72°，即可求出∠ODC 的度数，进而求出∠CDE 的度数．【详解】解：∵OC=CD=DE ，∴∠O=∠ODC ，∠DCE=∠DEC ， ∴∠DCE=∠O+∠ODC=2∠ODC ， ∵∠O+∠OED=3∠ODC=∠BDE=72°， ∴∠ODC=24°，∵∠CDE+∠ODC=180°-∠BDE=108°， ∴∠CDE=108°-∠ODC=84°．故选：A ．【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质以及三角形的外角性质，理清各个角之间的关系是解答本题的关键．3．A解析：A 【分析】关于x 轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数，可得a ，b 的值，进一步可得答案．【详解】解：∵1(1,2020)P a -和2(2017,1)P b -关于x 轴对称，得a-1=2017，1-b=2020．解得a=2018，b=-2019， ∴()()()202120212021=2018201911a b +-=-=-故选：A ．【点睛】本题考查了关于x 轴、y 轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：关于x 轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于y 轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．4．A解析：A 【分析】先求出∠O=∠OA 1B 1=30°，从而A 1B 1=A 1B 2= OB 1=1，然后根据含30°角的直角三角形的性质求解即可．【详解】解：∵△A 1B 1B 2是等边三角形，∴∠A 1B 1B 2=∠A 1B 2O=60°，A 1B 1=A 1B 2，∵∠O=30°，∴∠A 2A 1B 2=∠O+∠A 1B 2O=90°，∵∠A 1B 1B 2=∠O+∠OA 1B 1，∴∠O=∠OA 1B 1=30°，∴OB 1=A 1B 1=A 1B 2=1，在Rt △A 2A 1B 2中，∵∠A 1A 2B 2=30°，∴A 2B 2=2A 1B 2=2，同法可得A 3B 3=22，A 4B 4=23，…，A n B n =2n-1，∴202020202021A B B △的边长=22019，故选：A ．【点睛】本题考查了图形类规律探究，等边三角形的性质，三角形外角的性质，含30角的直角三角形的性质等知识，解题的关键是学会探究规律的方法，属于中考常考题型．5．C解析：C【分析】根据“关于y 轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数”解答即可．【详解】解：点A （3，2）关于y 轴对称点的坐标为B （−3，2）．故选：C ．【点睛】本题考查了关于x 轴、y 轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：（1）关于x 轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；（2）关于y 轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；（3）关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．6．C解析：C【分析】延长BD 与AC 交于点E ，由题意可推出BE=AE ，依据等角的余角相等，即可得等腰三角形BCE ，可推出BC=CE ，AE=BE=2BD ，根据AC=6，BC=4，即可推出BD 的长度．【详解】解：延长BD 与AC 交于点E ，∵∠A=∠ABD ，∴BE=AE ，∵BD ⊥CD ，∴BE ⊥CD ，∵CD平分∠ACB，∴∠BCD=∠ECD，∴∠EBC=∠BEC，∴△BEC为等腰三角形，∴BC=CE，∵BE⊥CD，∴2BD=BE，∵AC=6，BC=4，∴CE=4，∴AE=AC-EC=6-4=2，∴BE=2，∴BD=1．故选：C．【点睛】本题主要考查等腰三角形的判定与性质，比较简单，关键在于正确地作出辅助线，构建等腰三角形，通过等量代换，即可推出结论．7．D解析：D【分析】先根据三角形内角和计算出∠BAC=60°，再利用基本作图对①进行判断；利用∠BAD=∠CAD=30°得到∠ADC=60°，则可对②进行判断；利用∠B=∠BAD得到DA=DB，根据线段垂直平分线的性质定理的逆定理可对③进行判断．利用30度角所对的直角边是斜边的一半、三角形的面积计算公式来求两个三角形的面积之比．【详解】解：∵∠C＝90°，∠B＝30°，∴∠BAC＝60°，由作法得AD平分∠BAC，所以①正确；∴∠BAD＝∠CAD＝30°，∴∠ADC＝90°﹣∠CAD＝60°，所以②正确；∵∠B＝∠BAD，∴DA＝DB，∴点D在AB的垂直平分线上，所以③正确；∵如图，在直角△ACD中，∠CAD＝30°，∴CD＝1AD，2∴BC ＝CD+BD ＝12AD+AD ＝32AD ，S △DAC ＝12AC•CD ＝14AC•AD ． ∴S △ABC ＝12AC•BC ＝12AC•32AD ＝34AC•AD ， ∴S △DAC ：S △ABC ＝14AC•AD ：34AC•AD ＝1：3， ∴S △DAC ：S △ABD ＝1：2．即S △ABD ＝2S △ACD ，故④正确．故选：D ．【点睛】本题考查了角平分线的性质、线段垂直平分线的性质以及作图-基本作图．解题时需要熟悉等腰三角形的判定与性质．8．C解析：C【分析】根据角平分线的定义得到ABD CBD ∠=∠，根据线段垂直平分线的性质得到DB=DC ，进而得到DBC C ∠=∠，根据三角形内角和定理列式计算即可．【详解】∵BD 平分ABC ∠，∴ABD CBD ∠=∠，∵DE BC ⊥，E 是BC 中点，∴DB=DC ，∴DBC C ∠=∠，∴ABD CBD C ∠=∠=∠，∴18087ABD CBD C ∠+∠+∠=︒-︒，解得：31C ∠=︒，故选：C ．【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的性质、三角形内角和定理，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．9．B解析：B【分析】分别做出两三角形的高AD ，A′E ，利用题干的条件证明△ABD ≅△A′B′E 即可得到两三角形的面积相等；【详解】分别做出两三角形的高AD ，A′E ，如图：90B B '+=∵∠∠，90B A E B '''+=∠∠，90BAD B ∠+∠=,∴∠B=∠B′A′E ，∠B′=∠BAD ，又AB=A′B′，∴△ABD ≅△A′B′E ，同理△ACD ≅△A′C′E ；∴ABD A B E SS ''=，ACD A C E S S ''=，故ABD ACD A B E A C E S S S S ''''+=+，又ABC ，A B C '''的面积分别为1S 、2S ，∴12S S故选：B ．【点睛】此题考查了等腰三角形的性质及三角形全等的判定及性质：两三角形全等，则对应边对应角相等，面积也相等．10．B解析：B【分析】根据题中作图知：DM 垂直平分AB ，BD 平分∠ABC ，利用三角形内角和定理计算即可．【详解】由题意得：DM 垂直平分AB ，BD 平分∠ABC ，∵DM 垂直平分AB ，∴AD=BD ，∴∠A=∠ABD ，∵BD 平分∠ABC ，∴∠ABD=∠CBD ，∵∠A+∠ABD+∠CBD+∠C=180︒，∠C ＝84°，∴∠A=32︒，故选：B ．【点睛】此题考查线段垂直平分线作图及性质，角平分线作图及性质，三角形的内角和定理，根据题意得到DM 垂直平分AB ，BD 平分∠ABC 是解题的关键．11．D解析：D【分析】根据题意画出图形，再利用“上北下南”求出方向角即可．【详解】解：如图：∵海岛N位于海岛M的北偏东30°方向上，∴海岛N在海岛M上方，故排除A､B选项，根据直角三角形中30°角所对的边等于斜边的一半，排除选项C，故选D．【点睛】本题考查了方向角，解题的关键是熟练掌握方向角的概念．12．D解析：D【分析】①根据角平分线的定义与三角形外角的性质可证此结论；②利用等腰三角形“三线合一”可证明此结论；③根据角平分线定义与平行线性质可得∠APG＝∠BAP，再利用等腰三角形的判定可证此结论；④如下图，由角平分线的性质定理可得PM=PN，PM=PO，则PN =PO，即可证明结论．【详解】解：∵AP平分∠BAC，PB平分∠CBE，∴∠CAB＝2∠PAB，∠CBE＝2∠PBE，∵∠CBE＝∠CAB＋∠ACB，∠PBE＝∠PAB＋∠APB，即∠CBE＝∠CAB＋2∠APB，∴∠ACB＝2∠APB．故①正确；∵BE＝BC，BP平分∠CBE，∴BP垂直平分CE（三线合一）．故②正确；∵AP平分∠BAC，∴∠CAP＝∠BAP，∵PG∥AD，∴∠APG＝∠CAP，∴∠APG＝∠BAP，∴PG＝AG．故③正确；如图，过点P作PM⊥AE于点M，PN⊥AD于点N，PO⊥BC于点O，∵AP平分∠BAC，PB平分∠CBE，∴PM=PN，PM=PO，∴PN =PO，∴CP平分∠DCB．故④正确．故选：D．【点睛】本题考查了角平分线的判定与性质、平行线的性质、等腰三角形的性质与判定，熟练掌握相关知识并能灵活运用所学知识进行论证是解题的关键．二、填空题13．5【分析】过A1作A1A⊥OB1于A过A2作A2B⊥A1B2于B过A3作A3C⊥A2B3于C根据等边三角形的性质以及含30°角的直角三角形的性质分别求得A1的横坐标为A2的横坐标为A3的横坐标为进而解析：5【分析】过A1作A1A⊥OB1于A，过A2作A2B⊥A1B2于B，过A3作A3C⊥A2B3于C，根据等边三角形的性质以及含30°角的直角三角形的性质，分别求得A1的横坐标为1212-，，A2的横坐标为2212-，A3的横坐标为3212-，进而得到A n的横坐标为212n-，据此可得点A6的横坐标．【详解】解：如图所示,过A1作A1A⊥OB1于A,则OA=12OB1=12，即A1的横坐标为12=1212-，∵160ODB∠=°，∴∠OB1D=30°，∵A1B2//x轴，∴∠A1B2B1=∠OB1D=30°，∠B2A1B1=∠A1B1O=60°，∴∠A1B1B2=90°，∴A1B2=2A1B1=2，过A2作A2B⊥A1B2于B,则A1B=12A1B2=1，即A2的横坐标为12+1=2212-，过A3作A3C⊥A2B3于C，同理可得,A2B3=2A2B2=4,A2C=12A2B3=2，即A3的横坐标为12+1+2=3212-，同理可得,A4的横坐标为12+1+2+4=4212-，由此可得,A n的横坐标为21 2n-，∴点A6的横坐标是62163==31.5 22-，故答案为31.5．【点睛】本题是一道找规律问题，涉及到等边三角形的性质、含30度角的直角三角形，解题的关键要利用等边三角形的性质总结出关于点A的系列点的规律．14．25°【分析】由角平分线和平行线的性质证明则是等腰三角形由顶角的度数算出底角的度数即可得出结果【详解】解：∵BD平分∴∵∴∴∴是等腰三角形∵∴∴故答案是：【点睛】本题考查等腰三角形的性质和判定解题的解析：25°【分析】由角平分线和平行线的性质证明EBG EGB ∠=∠，则BEG 是等腰三角形，由顶角的度数算出底角EGB ∠的度数，即可得出结果．【详解】解：∵BD 平分ABC ∠，∴EBG CBG ∠=∠，∵//EF BC ，∴CBG EGB ∠=∠，∴EBG EGB ∠=∠，∴BEG 是等腰三角形，∵130BEG ∠=︒， ∴180130252EGB ︒-︒∠==︒， ∴25DGF EGB ∠=∠=︒．故答案是：25︒．【点睛】本题考查等腰三角形的性质和判定，解题的关键是掌握等腰三角形的性质和判定定理． 15．25°【分析】先根据AB=AD 利用三角形内角和定理求出∠B 和∠ADB 的度数再根据三角形外角的性质即可求出∠C 的大小【详解】解：∵AB=AD ∴∠B=∠ADB ∵∠BAD=80°∴∠B=∠ADB==50°解析：25°【分析】先根据AB=AD ，利用三角形内角和定理求出∠B 和∠ADB 的度数，再根据三角形外角的性质即可求出∠C 的大小．【详解】解：∵AB=AD ，∴∠B=∠ADB ，∵∠BAD=80°，∴∠B=∠ADB =180802︒︒-=50°， ∵AD=DC ，∴∠C=∠ACD ，∴∠C=12∠ADB=25°，故答案为：25°．【点睛】此题主要考查学生对等腰三角形的性质和三角形内角和定理的理解和掌握，解答此题的关键是利用三角形一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．16．40°或100°或140°【分析】根据△DEP 是以∠EDP 为顶角的等腰三角形可知DP ＝DE 所以可以分两种情况考虑:①点P 在AB 上；②点P 在AC 上分别画出符合条件的图形根据等腰三角形的性质和全等三角形解析：40°或100°或140°【分析】根据△DEP 是以∠EDP 为顶角的等腰三角形，可知DP ＝ DE ，所以可以分两种情况考虑: ①点P 在AB 上；②点P 在AC 上．分别画出符合条件的图形，根据等腰三角形的性质和全等三角形的判定和性质定理解答即可．【详解】解：∵AB ＝AC ，∠B ＝50°，∠AED ＝70°，∴∠EDB ＝20°，∵当△DEP 是以∠EDP 为顶角的等腰三角形，∴DP ＝ DE ，①如图，当点P 在AB 上时，记为P 1，∵DE ＝DP 1，∴∠DP 1E ＝∠AED ＝70°，∴∠EDP 1＝180°﹣70°﹣70°＝40°，②如图，当点P 在AC 上时，有两个点P 2、 P 3符合条件，∵AB ＝AC ，D 为BC 的中点，∴∠BAD ＝∠CAD ，过D 作DG ⊥AB 于G ，DH ⊥AC 于H ，∴DG ＝DH ，在Rt △DEG 与Rt △DP 2H 中，2DE DP DG DH =⎧⎨=⎩， ∴Rt △DEG ≌Rt △DP 2H （HL ），∴∠AP 2D ＝∠AED ＝70°，∵∠BAC ＝180°﹣50°﹣50°=80°，∴∠EDP 2＝140°，同理证得Rt △DEG ≌Rt △D P 3H （HL ），∴∠EDG ＝∠P 3DH ，∴∠EDP 3＝∠GDH ＝100°，故答案为：40°或100°或140°．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，分类讨论画出符合条件的图形是解题的关键．17．1【分析】过A 作AC ⊥OB 首先证明△AOB 是等边三角形再求出OC 的长即可【详解】解过A 作AC ⊥OB 于点C ∵AB=OB ∠A=60°∴∠AOB=60°且△AOB 是等边三角形∵点B 的坐标为（20）∴OB=解析：1【分析】过A 作AC ⊥OB ，首先证明△AOB 是等边三角形，再求出OC 的长即可．【详解】解，过A 作AC ⊥OB 于点C ，∵AB=OB ，∠A=60°∴∠AOB=60°且△AOB 是等边三角形，∵点B 的坐标为（2，0）∴OB=2∵AC ⊥OB ∴112122OC OB ==⨯= 故答案为：1．【点睛】此题主要考查了坐标与图形的性质，掌握等边三角形的性质是解答此题的关键． 18．100°【分析】作点A 关于BC 的对称点A′关于CD 的对称点A″根据轴对称确定最短路线问题连接A′A″与BCCD 的交点即为所求的点MN 利用三角形的内角和定理列式求出∠A′+∠A″再根据轴对称的性质和三解析：100°【分析】作点A 关于BC 的对称点A′，关于CD 的对称点A″，根据轴对称确定最短路线问题，连接A′A″与BC 、CD 的交点即为所求的点M 、N ，利用三角形的内角和定理列式求出∠A′+∠A″，再根据轴对称的性质和三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠AMN+∠ANM=2（∠A′+∠A″），然后计算即可得解．【详解】解：如图，作点A关于BC的对称点A′，关于CD的对称点A″，连接A′A″与BC、CD的交点即为所求的点M、N，∵∠BAD=130°，∠B=∠D=90°，∴∠A′+∠A″=180°-∠130°=50°，由轴对称的性质得：A′N= AN，A″M=AM∴∠A′=∠A′AN，∠A″=∠A″AM，∴∠AMN+∠ANM=2（∠A′+∠A″）=2×50°=100°．故答案为：100°【点睛】本题考查了轴对称确定最短路线问题，轴对称的性质，三角形的内角和定理，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，确定出点M、N的位置是解题的关键，要注意整体思想的利用．19．【分析】先由已知求出∠B+∠C=70°再根据线段垂直平分线的性质和等腰三角形的等边对等角的性质证得∠B=∠BAD∠C=∠CAE则有∠BAD+∠CAE=70°进而求得∠DAE的度数【详解】解：∵在△A解析：40【分析】先由已知求出∠B+∠C=70°，再根据线段垂直平分线的性质和等腰三角形的等边对等角的性质证得∠B=∠BAD，∠C=∠CAE，则有∠BAD+∠CAE=70°，进而求得∠DAE的度数．【详解】解：∵在△ABC中，∠BAC=110°，∴∠B+∠C=180°﹣110°=70°，∵DF垂直平分AB，EG垂直平分AC，∴AD=BD，AE=CE，∴∠B=∠BAD，∠C=∠CAE，∴∠BAD+∠CAE=70°，∴∠ADE=∠BAC﹣（∠BAD+∠CAE）=110°﹣70°=40°，故答案为：40°．【点睛】本题考查线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、三角形的内角和等理，熟练掌握线段垂直平分线的性质和等腰三角形的等边对等角的性质是解答的关键．20．【分析】作DH ⊥AB 根据直角三角形的性质求出DH 根据平行线的性质角平分线的性质解答【详解】解：作DH ⊥AB 于H ∵∴∠DEH=∠DBE+∠BDE=30°∴DH=∵DE ∥BC ∴∠DBF=∠BDE ∴∠DB 解析：12a 【分析】作DH ⊥AB ，根据直角三角形的性质求出DH ，根据平行线的性质，角平分线的性质解答．【详解】解：作DH ⊥AB 于H ，∵15DBE BDE ∠=∠=︒∴∠DEH=∠DBE+∠BDE=30°，DE BE a ==∴DH=11=22DE a ， ∵DE ∥BC ，∴∠DBF=∠BDE ， ∴∠DBF=∠DBH ，又DF ⊥BC ，DH ⊥AB ，∴DF=DH=12a ，故答案为：12a ．【点睛】本题考查的是角平分线的性质，直角三角形的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．三、解答题21．见解析【分析】由已知条件证得∠BHC=90°即可得到解答．【详解】∵CAP 和CBQ △都是等边三角形；∴60ACP CBQ ∠=∠=︒，∵90ACB ∠=︒，∴30BCP ACB ACP ∠=∠-∠=︒在BCH 中，18090BHC BCH CBH ∠=︒-∠-∠=︒∴BQ CP ⊥【点睛】本题考查等边三角形和直角三角形的综合运用，熟练掌握等边三角形、直角三角形的性质并灵活运用是解题关键．22．（1）作图见详解，（−2，1）；（2）8.5；（3）（5，3）或（−1，−3）【分析】（1）分别作出A ，B ，C 的对应点A 1，B 1，C 1即可．（2）利用分割法求解即可．（3）先根据P ，Q 关于x 轴对称，得到Q 的坐标，再构建方程求解即可．【详解】（1）如图，△A 1B 1C 1即为所求．点C 1的坐标（−2，1）．故答案为：（−2，1）；（2）S △ABC ＝5×5−12×1×3−12×4×5−12×2×5＝8.5．（3）∵点(),2P a a -与点Q 关于x 轴对称，∴Q (),2a a -，∵6PQ =，∴|(a-2)-(2-a)|=6，解得：a=5或a=-1，∴P （5，3）或（−1，−3）．故答案为：（5，3）或（−1，−3）．【点睛】本题考查了作图−轴对称变换，三角形的面积等知识，解题的关键是理解题意，掌握关于坐标轴对称的两点的坐标特征，属于中考常考题型．23．（1）见解析；（2）等边对等角；O；ABO；内错角相等，两直线平行【分析】（1）按照步骤作图即可；（2）由作法知，OA=AB，AC是∠MAB的平分线，然后根据等腰三角形的性质，三角形外角的性质，以及角平分线的定义说明即可．【详解】解：（1）作图如下：=，（2）证明：OA AB∴∠=∠（等边对等角）．O ABO∠是AOB的一个外角，MABMAB O ABO ∴∠=∠+∠12ABO MAB ∴∠=∠． AC 平分MAB ∠，12BAC MAB ∴∠=∠. ABO BAC ∴∠=∠.//AC ON ∴（内错角相等，两直线平行）．故答案为：等边对等角；O ；ABO ；内错角相等，两直线平行．【点睛】本题考查了作一条线段等于已知线段，作角的角平分线，以及等腰三角形的性质，三角形外角的性质，以及角平分线的定义等知识，熟练掌握各知识点是解答本题的关键． 24．（1）详见解析；（2）与CDE ∠相等的角有：∠B ，∠BAD ，∠ADE ，∠C【分析】（1）证明△ABD ≌△DCE ，推出AD=DE ，即可得到结论；（2）根据DE 平分∠ADC ，推出∠ADE=∠CDE=12∠ADC ，利用BAD CDE ∠=∠，∠ADC=∠B+∠BAD ，得到∠B=∠BAD=∠ADE=∠CDE ，再由ADE C ∠=∠，得到∠C=CDE ∠．【详解】（1）∵∠ADC=∠B+∠BAD ，∠BAD=∠CDE ，∴∠B=∠ADE ，∵∠ADE=∠C ，∴∠B=∠C ，在△ABD 和△DCE 中，BAD CDE B CBD CE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△ABD ≌△DCE ，∴AD=DE ，∴ADE ∆是等腰三角形；（2）∵DE 平分∠ADC ，∴∠ADE=∠CDE=12∠ADC ， ∵BAD CDE ∠=∠，∠ADC=∠B+∠BAD ，∴∠B=∠BAD=∠ADE=∠CDE ，∵ADE C ∠=∠，∴∠C=CDE ∠，∴与CDE ∠相等的角有：∠B ，∠BAD ，∠ADE ，∠C ．【点睛】此题考查全等三角形的判定及性质，等腰三角形的判定定理，角平分线的性质，三角形外角性质，熟记三角形全等的判定定理是解题的关键．25．（1）图见解析，点B 1的坐标为（-2，4）；（2）图见解析，A 2的坐标为（2，1）；（3）D 2的坐标为（a+5，-b ）．【分析】（1）分别作出点A 、B 、C 关于x 轴对称得到的对应点，再顺次连接可得；（2）根据B 1（-2，4）和2(3,4)B ，可得平移方式为向右平移5个单位，分别作出△A 1B 1C 1向右平移5个单位所得对应点，再顺次连接可得；（3）根据图形的变换方式即可得出D 点的变换方式，从而可得点2D 的坐标．【详解】解：（1）如图所示，△A 1B 1C 1即为所求，点B 1的坐标为（-2，4）；（2）如图所示，△A 2B 2C 2即为所求，A 2的坐标为（2，1）；（3）△A 2B 2C 2中的对应点D 2的坐标为（a+5，-b ）．【点睛】本题考查坐标与图形变换—轴对称和平移．理解点的变换和对应图形变换的关系是解题关键．26．（1）见解析；（2）成立，证明见解析；（3）DEF 为等边三角形【分析】（1）根据BD ⊥直线m ，CE ⊥直线m 得∠BDA=∠CEA=90°，而∠BAC=90°，根据等角的余角相等得∠CAE=∠ABD ，然后根据“AAS”可判断△ADB ≌△CEA ，则AE=BD ，AD=CE ，于是DE=AE+AD=BD+CE ；（2）由∠BDA=∠AEC=∠BAC ，就可以求出∠BAD=∠ACE ，进而由AAS 就可以得出△BAD ≌△ACE ，就可以得出BD=AE ，DA=CE ，即可得出结论；（3）由等边三角形的性质，可以求出∠BAC=120°，就可以得出△BAD ≌△ACE ，就有BD=AE ，进而得出△BDF ≌△AEF ，得出DF=EF ，∠BFD=∠AFE ，而得出∠DFE=60°，即可推出△DEF 为等边三角形．【详解】（1）证明：∵BD ⊥直线m ，CE ⊥直线m ，∴90BDA CEA ∠=∠=︒∵90BAC ∠=︒，∴90BAD CAE ∠+∠=︒∵90BAD ABD ∠+∠=︒，∴CAE ABD ∠=∠．在ADB △和CEA 中：CAE ABD BDA CEA AB AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴ADB CEA AAS ≌（）△△． ∴AE BD =，AD CE =．∴DE AE AD BD CE =+=+．（2）成立．证明如下：∵∠BDA=∠BAC=α，又∵DBA ADB BAC CAE ∠+∠=∠+∠∴∠DBA=∠CAE ，在ADB △和CEA 中：DBA CAE BDA AEC AB AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴()ADB CEA AAS ≌△△． ∴AE BD =，AD CE =，∴DE AE AD BD CE =+=+．（3）DEF 为等边三角形．证明：∵△ABF 和△ACF 均为等边三角形，∴AB=AF=AC ，∠ABF=∠CAF=60°，BF=AF,∴由（2）可知，△ADB ≌△CEA ，∴BD=AE ，∠DBA=∠CAE ，∴∠DBA+∠ABF=∠CAE+∠CAF ，∴∠DBF=∠FAE ，∵在△DBF 和△EAF 中，BD AE DBF FAE BF AF ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝ ∴△DBF ≌△EAF （SAS ），∴DF=EF ，∠BFD=∠AFE ，∴∠DFE=∠DFA+∠AFE=∠DFA+∠BFD=60°，∴△DEF 为等边三角形．【点睛】本题属于三角形综合题，主要考查了全等三角形与等边三角形的综合应用，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质以及等边三角形的判定与性质并灵活运用，属于中考常考题型．。

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最新人教版八年级上册数学第三章试卷
一、选择题
1．已知等腰三角形的一个角为75°，则其顶角为（）．
A．30° B．75° C．105° D．30°或75°
2．下列图形中，不一定是轴对称图形的是（）
A．平行四边形 B．等腰三角形 C．一个钝角 D．线段
3．下列几种图案中，既是中心对称又是轴对称图形的有（）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．在△ABC中，∠B=∠C，AB=5，则AC=（）
A．2 B．3 C．4 D．5
5．如果等腰三角形的两边长分别是4和5，则它的周长是（）
A．13 B．13或14 C．14 D．无法确定
6．等腰三角形的对称轴是（）
A．顶角的平分线 B．底边上的高
C．底边上的中线 D．底边上的高所在的直线
7．如图，∠A=15°，AB=BC=CD=DE=EF，则∠DEF等于（）
A．90° B．75° C．70° D．60°
8．下列图形是轴对称图形的有（）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
9．如图，△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AD平分∠CAB交BC于D，DE⊥AB于E，且AB=6 cm，则△DEB的周长是（）
A．6cm B．4cm C．10cm D．以上都不对
10．如图，在△ABC中，AB=AC, AB＋BC=8．将△ABC折叠，使得点A落在点B处，折痕DF分别与AB、AC交于点D、F，连接BF，则△BCF的周长是（）
A．8 B．16 C．4 D．10
二、填空题
11．线段、角、三角形、圆中，其中轴以称图形有个．
12．（3分）在ABCD中，AB＜BC，已知∠B=30°，AB=23，将△ABC沿AC翻折至△
AB′C，使点B′落在ABCD所在的平面内，连接B′D．若△AB′D是直角三角形，则BC的长为．
13．若等腰三角形的两边的长分别是3cm、7cm,则它的周长是_______cm．
14．如图．将正方形纸片ABCD折叠，使边AB、CB均落在对角线BD上，得折痕BE、BF，则∠EBF的大小为．
15．已知点P（﹣2，3）关于原点的对称点为M（a，b），则a+b= 。

16．如图，在△ABC中，AB=AC=2，∠A=90°，点P为BC的中点，点E、F分别为边AB、AC上的点，若∠EPF=45°，若∠FEP=60°，则CF= ．
17．如图a是长方形纸带，∠DEF=20°，将纸带沿EF折叠成图b，再沿BF折叠成图c，则图c中的∠CFE的度数是度．
三、解答题
18．如图，∠A=∠B，CE∥DA，CE交AB于E．求证：△CEB是等腰三角形．
19．我们引入定义：到三角形的两个顶点距离相等的点，叫做此三角形的准外心．举例：如图1，若PA=PB，则点P为△ABC的准外心．
应用：如图2，CD为等边三角形ABC的高，准外心P在高CD上，且PD=1
2
AB，求∠APB
的度数．
探究：已知△ABC为直角三角形，斜边BC=5，AB=3，准外心P在AC边上，试探究PA的长．
20．如图，已知△ABC中AB＝AC，BD、CD分别平分∠EBA、∠ECA，BD交AC于F，连接AD.
（1）当∠BAC＝50°时，求∠BDC的度数；
（2）请直接写出∠BAC与∠BDC的数量关系；
（3）求证：AD∥BE.
21．已知：如图，在△BAC中，AB=AC，D，E分别为AB，AC边上的点，且DE∥BC，求证：△ADE是等腰三角形．
22．如图，△ABC中，∠C=90°，AB=5cm，BC=3cm，若动点P从点C开始，按C→A→B 的路径运动，且速度为每秒1cm，设出发的时间为t秒．问t为何值时，△BCP为等腰三角形？
23．如图，方格纸上画有两条线段，请再画1条线段，使图中的3条线段组成一个轴对
称图形（找出符合条件的所有线段）．
24．如图，在△ABC 中，AC=BC ，BD ⊥AC 于点D ，在△ABC 外作∠CAE=∠CBD ，过点C 作CE ⊥AE 于点E.如果∠BCE =140︒，求∠BAC 的度数.
25．作图题：如图，△ABC 在平面直角坐标系中，每个小正方形的边长均为1，其中点
A 、
B 、
C 的位置分别如图所示．（不要求写作法）
（1）作出△ABC 上平移3个单位得到的△A 1B 1C 1，其中点A 、B 、C 的对应点分别为点A 1、B 1、C 1．
（2）作出△ABC 关于直线1-=x 对称的△A 2 B 2C 2，其中点A 、B 、C 的对应点分别为点A 2、B 2、C 2，并写出点A 2的坐标．
E
D
A。

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