10指数函数
指数函数
指数函数基本概念细胞的分裂是一个很有趣的现象，新细胞产生的速度之快是十分惊人的。
例如某种细胞在分裂时，1个分裂成2个，2个分裂成4个……第x次分裂得到新细胞数y与分裂次数x的函数关系式：。
这个函数是幂的形式，且自变量为幂指数，我们下面来研究这样的函数。
一般地，函数(a为常数且以a>0，a≠1)叫做指数函数，函数的定义域是R。
对于一切指数函数来讲，值域为(0，+∞)。
指数函数中前面的系数为1。
如：都是指数函数；不是指数函数。
数学术语指数函数是数学中重要的函数。
应用到值e上的这个函数写为exp(x)。
还可以等价的写为e x，这里的e是数学常数，就是自然对数的底数，近似等于 2.718281828，还称为欧拉数。
当a>1时，指数函数对于x的负数值非常平坦，对于x的正数值迅速攀升，在 x等于0的时候，y等于1。
当0<a<1时，指数函数对于x的负数值迅速攀升，对于x的正数值非常平坦，在x等于0的时候，y等于1。
在x处的切线的斜率等于此处y的值乘上ln a。
即由导数知识得：作为实数变量x的函数，的图像总是正的(在x轴之上)并递增(从左向右看)。
它永不触及x轴，尽管它可以无限程度地靠近x轴(所以，x轴是这个图像的水平渐近线。
它的反函数是自然对数ln(x)，它定义在所有正数x上。
有时，尤其是在科学中，术语指数函数更一般性的用于形如（k属于R）的函数，这里的 a 叫做“底数”，是不等于 1 的任何正实数。
本文最初集中于带有底数为欧拉数e 的指数函数。
指数函数的一般形式为(a>0且≠1) (x∈R)，从上面我们关于幂函数的讨论就可以知道，要想使得x能够取整个实数集合为定义域，则只有使得a>0且a≠1。
基本性质如图所示为a的不同大小影响函数图形的情况。
在函数中可以看到指数函数（1）指数函数的定义域为R，这里的前提是a大于0且不等于1。
对于a不大于0的情况，则必然使得函数的定义域不连续，因此我们不予考虑，同时a等于0函数无意义一般也不考虑。
高考数学大一轮复习 第二章 函数与基本初等函数Ⅰ 第1
第10课指数式与指数函数(本课时对应学生用书第页) 自主学习回归教材1.(必修1P60例1改编)计算：2(π-4)+π= .【答案】42(π-4)+π=|π-4|+π=4-π+π=4.2.(必修1P61例2改编)计算：1294⎛⎫⎪⎝⎭+(-9.6)0-2-3278⎛⎫⎪⎝⎭×232⎛⎫⎪⎝⎭= .【答案】3 2【解析】原式=32+1-49×94=32.3.(必修1P67练习1改编)若函数y=(a2-3a+3)·a x是指数函数，则实数a= .【答案】2【解析】由题意得a2-3a+3=1且a>0，a≠1，所以a=2.4.(必修1P52习题1改编)当x>0时，指数函数f(x)=(a-1)x，且(a-1)x<1恒成立，则实数a的取值范围是.【答案】(1，2)【解析】因为x>0时，(a-1)x<1恒成立，所以0<a-1<1，所以1<a<2.5.(必修1P52习题1改编)已知函数f(x)=a x+b(a>0且a≠1)的图象如图所示，则a+b= .(第5题)【答案】-2【解析】由图可知，此函数过点(2，0)和(0，-3)，则有a2+b=0，且1+b=-3，解得a=2，b=-4，所以a+b=-2.1.指数中的相关概念(1)n次方根正数的奇次方根是一个正数，负数的奇次方根是一个负数，0的奇次方根是0；正数的偶次方根是两个绝对值相等、符号相反的数，0的偶次方根是0，负数没有偶次方根.(2)方根的性质①当nna=a；②当nna=|a|=-0a aa a≥⎧⎨<⎩，，，.(3)分数指数幂的意义①mna n m a a>0，m，n都是正整数，n>1)；②-mna=1mna n m a(a>0，m，n都是正整数，n>1).2.指数函数的定义一般地，形如y=a x(a>0且a≠1)的函数叫作指数函数.3.指数函数的图象和性质a>10<a<1图象性质定义域R R值域(0，+∞) (0，+∞)过定点过点(0，1)，即x=0时，y=1 过点(0，1)，即x=0时，y=1单调性在R上是增函数在R上是减函数(1)在解决指数函数有关问题时，如果底数a大小不确定，则必须分“a>1”和“0<a<1”两种情况讨论.(2)画指数函数y=a x的图象，应抓住三个关键点：(1，a)，(0，1)，1-1a⎛⎫⎪⎝⎭，.(3)由于指数函数y=a x(a>0且a≠1)的图象均在x轴上方，故y>0，图象无限接近x轴，但不会相交，因此，x轴是指数函数的“渐近线”.【要点导学】要点导学各个击破指数幂的运算例1求下列各式的值.(1)(0.02723)+1-327125⎛⎫⎪⎝⎭-0.5729⎛⎫⎪⎝⎭+10-2；(2)214⎛⎫⎪⎝⎭+1-366323-2(1.03)0·36⎛⎝⎭.【思维引导】按照幂指数运算法则运算，分母含根式的进行分母有理化.【解答】(1)原式=9100+53-53+1100=110. (2)原式=116+(13--326)+222(32)(3)-(2)+-66-⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭=116+6+5+26+36=81606+.【精要点评】指数幂化简与求值的原则及要求：(1)化简原则：①化根式为分数指数幂；②化负指数幂为正指数幂；③化小数为分数；④注意运算的先后顺序.(2)结果要求：①若题目以根式形式给出，则结果用根式表示；②若题目以分数指数幂的形式给出，则结果用分数指数幂的形式表示；③结果不能同时含有根式和分数指数幂，也不能既有分母又有负分数指数幂.变式 化简下列各式(a>0，b>0).(1)(2132a b )(-31132a b )÷156613a b ⎛⎫ ⎪⎝⎭； 34332323-8?24a a ba ab b ++÷31-2b a ⎛ ⎝3a 【思维引导】按照分数指数幂的运算性质求解，含根式的化成分数指数幂后再计算或化简.【解答】(1)原式=-9211115--326236ab++=-9a.(2)原式=413322333-842ab a a bb a +÷113313a -2b a×13a=1321123333a (a-8b)4b 2a b a ++÷113313a -2b a×13a=13a (13a -213b )131133aa -2b ×13a =a.【精要点评】若式子中既有分数指数幂、又有根式，则可先把根式化成分数指数幂，再根据幂的运算性质进行计算.在指数式运算中，注重运算顺序和灵活运用乘法公式.指数函数图象的应用例2已知函数f(x)=|2x-1|.(1)求f(x)的单调区间；(2)比较f(x+1)与f(x)的大小.【思维引导】(1)对于y=|2x-1|的图象，我们通过y=2x的图象翻折得到，在翻折指数函数图象时一定要注意渐近线也要随之翻折，作出f(x)的图象，数形结合求解.(2)在同一坐标系中分别作出f(x)，f(x+1)的图象，数形结合求解.【解答】(1)由f(x)=|2x-1|=2-101-20.xxxx⎧≥⎨<⎩，，，作出函数的图象如图(1)所示.因此函数f(x)在(-∞，0)上单调递减，在(0，+∞)上单调递增.(2)在同一坐标系中分别作出函数f(x)，f(x+1)的图象，如图(2)所示.由图象知，当|012x+-1|=|02x-1|时，x0=log223，根据图象可知，当x<log223时，f(x)>f(x+1)；当x=log223时，f(x)=f(x+1)；当x>log223时，f(x)<f(x+1).图(1)图(2)(例2)【精要点评】(1)指数型函数的图象与性质(单调性、最值、大小比较、零点等)的求解往往利用相应指数函数的图象，通过平移、对称变换得到其图象，然后数形结合使问题得解.(2)一些指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应指数型函数图象数形结合求解.(3)函数y=a x，y=a|x|的关系：函数y=a x与y=|a x|是同一个函数的不同表现形式，函数y=a|x|与y=a x不同，前者是一个偶函数，其图象关于y轴对称，当x≥0时两函数图象相同.变式画出函数y=2|x|的图象，其图象有什么特征?根据图象指出其值域和单调区间.(变式)【解答】当x≥0时，y=2|x|=2x；当x<0时，y=2|x|=2-x=12x ⎛⎫⎪⎝⎭，所以函数y=2|x|的图象如图所示.由图象可知，y=2|x|的图象关于y轴对称，且值域是[1，+∞)，单调减区间是(-∞，0]，单调增区间是[0，+∞).指数函数的性质例3已知函数f(x)=2-4313ax x+⎛⎫⎪⎝⎭.(1)若a=-1，求函数f(x)的单调区间；(2)若函数f(x)有最大值3，求实数a的值；(3)若函数f(x)的值域为(0，+∞)，求实数a的值.【思维引导】(1)形如y=a g(x)的复合函数，由于底数为13，所以函数y=a g(x)的单调性和y=g(x)的单调性相反.(2)要借助“同增异减”这一性质分析，将问题归结为内层函数h(x)=ax2-4x+3有最小值-1，然后利用二次函数的知识加以解决.(3)由指数函数的值域知，h(x)=ax2-4x+3的值域为R.【解答】(1)当a=-1时，f(x)=2--4313x x+⎛⎫⎪⎝⎭，令g(x)=-x2-4x+3，由于g(x)在(-∞，-2)上单调递增，在(-2，+∞)上单调递减，而y=13t⎛⎫⎪⎝⎭在R上单调递减，所以f (x)在(-∞，-2)上单调递减，在(-2，+∞)上单调递增，即函数f(x)的单调增区间是(-2，+∞)，单调减区间是(-∞，-2).(2)令h(x)=ax2-4x+3，f(x)=()13h x⎛⎫⎪⎝⎭，由于f(x)有最大值3，所以h(x)应有最小值-1，因此必有3-4-1aaa>⎧⎪⎨=⎪⎩，，解得a=1，即当f(x)有最大值3时，实数a的值为1.(3)由指数函数的性质知，要使y=()13h x⎛⎫⎪⎝⎭的值域为(0，+∞).应使h(x)=ax2-4x+3的值域为R，因此只能a=0(若a≠0，则h(x)为二次函数，其值域不可能为R)，故a的值为0.【精要点评】求解与指数函数有关的复合函数问题时，首先要熟知指数函数的定义域、值域、单调性等相关性质，其次要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，都要借助“同增异减”这一性质分析判断，最终将问题归结为内层函数相关的问题加以解决.对于形如y=a g(x)的复合函数，关于单调区间有以下结论：当a>1时，函数y=a g(x)的单调性和y=g(x)的单调性相同；当0<a<1时，函数y=a g(x)的单调性和y=g(x)的单调性相反.变式若不等式2-23ax ax>13对一切实数x恒成立，求实数a的取值范围.【思维引导】将不等式2-23ax ax>2-2133ax ax转化为>3-1，然后利用指数函数的单调性，最后利用一元二次不等式恒成立的知识求解.【解答】原不等式即为2-23ax ax>3-1，则有ax2-2ax>-1，即ax2-2ax+1>0对一切实数恒成立.当a=0时，满足题意；当a>0时，Δ=(-2a)2-4a<0，即a2-a<0，解得0<a<1.综上，实数a的取值范围是[0，1).【精要点评】本题将13转化为3-1，从而将问题转化为同底数幂的大小问题.解决指数不等式的关键是根据指数函数的单调性进行转化，转化为代数不等式.指数函数的综合应用例4已知函数f(x)=11-12xa⎛⎫+⎪⎝⎭·x3(a>0且a≠1).(1)求函数f(x)的定义域；(2)讨论函数f(x)的奇偶性；(3)求实数a的取值范围，使f(x)>0在定义域上恒成立.【思维引导】对解析式较复杂的函数判断其奇偶性要适当变形，恒成立问题可通过求最值解决.【解答】(1)由a x-1≠0，得a x≠1，所以x≠0，所以函数f(x)的定义域为{x|x≠0}.(2)对于定义域内任意x，有f(-x)=-11-12xa⎛⎫+⎪⎝⎭(-x)3=11-2xxaa⎛⎫+⎪⎝⎭(-x)3=111-12xa⎛⎫--+⎪⎝⎭(-x)3=11-12xa⎛⎫+⎪⎝⎭x3=f(x)，所以f(x)是偶函数.(3)当a>1时，若x>0，由指数函数的性质知a x>1，所以a x-1>0，1-1xa+12>0.又x>0时，x3>0，所以x311-12xa⎛⎫+⎪⎝⎭>0，即当x>0时，f (x )>0.又由(2)知f (x )为偶函数，即f (-x )=f (x )， 则当x<0时，-x>0， 有f (-x )=f (x )>0成立.综上可知，当a>1时，f (x )>0在定义域上恒成立.当0<a<1时，f (x )=3(1)2(-1)x x a x a +. 当x>0时，1>a x>0，a x+1>0，a x -1<0，x 3>0，此时f (x )<0，不满足题意；当x<0时，-x>0，f (-x )=f (x )<0，也不满足题意. 综上，实数a 的取值范围是(1，+∞).【精要点评】(1)判断此类函数的奇偶性，常常需要对所给式子变形，以达到所需要的形式，另外，还可利用f (-x )±f (x )，()(-)f x f x 来判断奇偶性.(2)将不等式恒成立问题转化为求函数值域的问题，是解决恒成立问题的常用方法.变式 已知定义域为R 的函数f (x )=1-22x x b a +++是奇函数.(1)求实数a ，b 的值；(2)若对任意的t ∈R ，不等式f (t 2-2t )+f (2t 2-k )<0恒成立，求实数k 的取值范围. 【解答】(1)因为f (x )是奇函数，所以f (0)=0，即-12ba ++=0，解得b=1，从而有f (x )=1-212x x a +++. 又由f (1)=-f (-1)，知-214a ++=-1-121a ++，解得a=2.经检验a=2符合题意，故a=2，b=1.(2)由(1)知f (x )=1-2122x x +++=-12+121x+.由上式易知f (x )在(-∞，+∞)上为减函数.又f(x)是奇函数，从而不等式f(t2-2t)+f(2t2-k)<0，等价于f(t2-2t)<-f(2t2-k)=f(-2t2+k). 因为f(x)是减函数，所以t2-2t>-2t2+k，即对一切t∈R有3t2-2t-k>0，从而Δ=4+12k<0，解得k<-1 3.因此所求k的取值范围为1,3⎛⎫-∞-⎪⎝⎭.【精要点评】(1)解决恒成立问题时常转化为求最值来解决.(2)指数不等式的解法：对于不等式a f(x)>a g(x)(a>0且a≠1)，可利用指数函数的单调性求解.当0<a<1时，a f(x)>a g(x)⇔f(x)<g(x)；当a>1时，a f(x)>a g(x)⇔f(x)>g(x).1.(2015·海门中学模考改编)设函数f1(x)=12x，f2(x)=x-1，f3(x)=x2，则f1(f2(f3(2017)))= .【答案】1 2017【解析】f1(f2(f3(2 017)))=f1(f2(2 0172))=f1((2 0172)-1)=((2 0172)-112)=2 017-1.2.(2015·东北师大附中)设函数f(x)=|3x-1|，c<b<a且f(c)>f(a)>f(b)，在关系式①3c>3b；②3b>3a；③3c+3a>2；④3c+3a<2中，一定成立的是.(填序号)(第2题)【答案】④【解析】如图，作出y=|3x-1|的图象如图中实线部分所示，由c<b<a且f(c)>f(a)>f(b)，知3c<3b<3a且|3c-1|>|3a-1|>|3b-1|，转化为1-3c>3a-1>0，3c+3a<2，故填④.3.(2015·山东卷)已知函数f(x)=a x+b(a>0，a≠1)的定义域和值域都是[-1，0]，则a+b= .【答案】-3 2【解析】当a>1时，-1-1a ba b⎧+=⎨+=⎩，，无解；当0<a<1时，-1-1a ba b⎧+=⎨+=⎩，，解得b=-2，a=12，则a+b=12-2=-32.4.已知奇函数f(x)=-()1()m g xg x+的定义域为R，其中y=g(x)为指数函数且图象过点(2，9).(1)求函数y=f(x)的解析式；(2)若对任意的t∈[0，5]，不等式f(t2+2t+k)+f(-2t2+2t-5)>0恒成立，求实数k的取值范围. 【解答】(1)设g(x)=a x(a>0且a≠1)，则a2=9，所以a=3或a=-3(舍去)，所以g(x)=3x，f(x)=-313xxm+.又因为f(x)为定义在R上的奇函数，所以f(0)=0，即-111m+=0，所以m=1，所以f(x)=1-313xx +.(2)因为f(x)=1-313xx+=-31-231xx++=-1+231x+，所以f(x)为减函数.要使对任意的t∈[0，5]，f(t2+2t+k)+f(-2t2+2t-5)>0恒成立，即对任意的t∈[0，5]，f(t2+2t+k)>-f(-2t2+2t-5)恒成立.因为f(x)为奇函数，只需f(t2+2t+k)>f(2t2-2t+5)恒成立.又因为y=f(x)在R上单调递减，所以t2+2t+k<2t2-2t+5在t∈[0，5]时恒成立，所以k<t2-4t+5=(t-2)2+1在t∈[0，5]时恒成立.而当t∈[0，5]时，1≤(t-2)2+1≤10，所以k<1，即实数k的取值范围为(-∞，1).趁热打铁，事半功倍.请老师布置同学们完成《配套检测与评估》中的练习第19~20页.【检测与评估】第10课指数式与指数函数一、填空题1.(2015·海安中学期中)化简：()3232443·a··a b bba ba a>0，b>0)= .2.函数y=22-12x x⎛⎫⎪⎝⎭的值域是.3.若23-2x<0.53x-4，则x的取值范围是.4.若把y=f(x)的图象向左、向下分别平移2个单位长度，得函数y=2x的图象，则f(x)= .5.若102x=25，则10-x= .6.函数f(x)=1-e|x|的大致图象是.(填序号)①②③④(第6题)7.(2014·佛山模拟)已知不论a为何值，函数y=(a-1)2x-2a的图象恒过定点，则这个定点的坐标是.8.(2014·广州联考)已知函数f(x)=xα+1(α∈Q)的定义域为[-b，-a]∪[a，b]，其中0<a<b，且f(x)在区间[a，b]上的最大值为6，最小值为3，则f(x)在区间[-b，-a]上的最大值与最小值的和是.二、解答题9.(2014·合肥联考)已知定义域为R的奇函数f(x)满足f(x+1)=f(x-1)，且当x∈(0，1)时，f(x)=2-121xx .(1)求f(x)在区间[-1，1]上的解析式；(2)若存在x∈(0，1)，满足f(x)>m，求实数m的取值范围.10.若方程2a =|a x-1|(a >0，a ≠1)有两个实数解，求实数a 的取值范围.11.(2014·洛阳一模)已知函数f (x )=2-1a a (a x -a -x)(a >0且a ≠1).(1)判断f (x )的奇偶性； (2)讨论f (x )的单调性；(3)当x ∈[-1，1]时，f (x )≥b 恒成立，求实数b 的取值范围.三、 选做题(不要求解题过程，直接给出最终结果)12.已知函数f (x )=3x，且f (a +2)=18，g (x )=3ax-4x的定义域为[0，1]. (1)求g (x )的解析式；(2)求g (x )的单调区间，并判定函数的单调性； (3)求g (x )的值域.【检测与评估答案】第10课 指数式与指数函数1.ab 【解析】原式=1312322132·[()]·a b ab b ab a ⎛⎫ ⎪⎝⎭=1136322733·a b a ba b=a b .2. 12∞⎡⎫+⎪⎢⎣⎭， 【解析】g (x )=2x-x 2=-(x-1)2+1≤1，所以函数y=22-12x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭的值域为12∞⎡⎫+⎪⎢⎣⎭，.3. (-∞，1) 【解析】原不等式等价于23-2x<24-3x ，所以3-2x<4-3x ，解得x<1.4.2x-2+2【解析】把y=f(x)的图象向左、向下分别平移2个单位长度，得函数y=2x的图象，即把y=2x的图象向右、向上分别平移2个单位长度，得函数y=f(x)的图象，即y=f(x)=2x-2+2.5.15【解析】由102x=25⇒(10x)2=25⇒10x=5⇒10-x=15.6.①【解析】函数f(x)=1-e|x|是偶函数，其图象关于y轴对称，又f(0)=0，故填①.7.1-1-2⎛⎫⎪⎝⎭，【解析】y=a12-2x⎛⎫⎪⎝⎭-2x，令2x-12=0，则y+2x=0，得x=-1，y=-12，所以这个定点的坐标为1-1-2⎛⎫ ⎪⎝⎭，.8.-5或9【解析】设h(x)=f(x)-1=xα，则由题意可知h(x)为奇函数或偶函数.当h(x)为奇函数时，由f(x)在区间[a，b]上的最大值为6，最小值为3，得h(x)在区间[-b，-a]上的最大值与最小值分别是-2，-5，从而f(x)在区间[-b，-a]上的最大值与最小值分别是-1，-4，其和为-5.当h(x)为偶函数时，由f(x)在区间[a，b]上的最大值为6，最小值为3，得h(x)在区间[-b，-a]上的最大值与最小值分别是5，2，从而f(x)在区间[-b，-a]上的最大值与最小值分别是6和3，其和为9.9.(1)当x∈(-1，0)时，-x∈(0，1).由f(x)为R上的奇函数，得f(-x)=--2-121xx+=1-221xx+=-f(x)，所以f(x)=2-121xx+，x∈(-1，0).又由f(x)为奇函数，得f(0)=0，f(-1)=-f(1)，在f(x+1)=f(x-1)中，令x=0，则f(-1)=f(1)，所以f(-1)=f(1)=0.故f (x )=2-1(-11)2101.x x x x ∈⎧⎪+⎨⎪=±⎩，，，，(2)因为x ∈(0，1)，所以f (x )=2-121x x +=21-221x x ++=1-221x+.又因为2x∈(1，2)，所以1-210213x⎛⎫∈ ⎪+⎝⎭，. 若存在x ∈(0，1)，满足f (x )>m ，则m<13.故实数m 的取值范围为1-3∞⎛⎫ ⎪⎝⎭，.10.当a>1时，函数y=|a x-1|的图象如图(1)所示，显然直线y=2a 与该图象只有一个交点，故a>1不合适；当0<a<1时，函数y=|a x -1|的图象如图(2)所示，要使直线y=2a 与该图象有两个交点，则0<2a<1，即0<a<12.图(1)图(2) (第10题)综上所述，实数a 的取值范围为102⎛⎫ ⎪⎝⎭，.11.(1)函数的定义域为R ，关于原点对称.又因为f (-x )=2-1a a (a -x -a x)=-f (x )，所以f (x )为奇函数.(2)当a>1时，2-1a a >0，y=a x 为增函数，y=a -x为减函数，从而y=a x-a -x为增函数， 所以f (x )为增函数.当0<a<1时，2-1a a <0，y=a x 为减函数，y=a -x为增函数，从而y=a x-a -x为减函数， 所以f (x )为增函数.故当a>0且a ≠1时，f (x )在定义域内单调递增. (3)由(2)知f (x )在区间[-1，1]上为增函数， 所以f (-1)≤f (x )≤f (1)，所以f (x )min =f (-1)=2-1a a (a -1-a )=-1，所以要使f (x )≥b 在[-1，1]上恒成立，只需b ≤-1. 故实数b 的取值范围是(-∞，-1].12.(1) 因为f (x )=3x，f (a+2)=18， 所以3a+2=18，得3a=2， 所以g (x )=2x-4x，x ∈[0，1]. (2) g (x )=2x-4x=2x-(2x )2， 设t=2x，因为x ∈[0，1]，所以t ∈[1，2]，所以g (t )=t-t 2=-21-2t ⎛⎫ ⎪⎝⎭+14，所以g (t )在[1，2]上单调递减. 因为t=2x为[0，1]上的增函数， 所以g (x )在[0，1]上为减函数.(3) 因为g(x)在[0，1]上为减函数，所以g(1)≤g(x)≤g(0)，即g(x)∈[-2，0]. 故g(x)的值域为[-2，0].。
高考数学易错题专项突破__易错点10指数函数对数函数与幂函数模型含解析
易错点10 指数函数、对数函数与幂函数模型一、单选题1.某公司为激励创新,计划逐年加大研发资金投入．若该公司2020年全年投入研发资金130万元,在此基础上,每年投入的研发资金比上一年增长12%,则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是（）(参考数据：lg1.12≈0.05,lg1.3≈0.11,lg2≈0.30)A. 2023年B. 2024年C. 2025年D. 2026年2.茶文化博大精深茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关．经验表明,某种绿茶用85℃的水泡制,再等到茶水温度降至60℃时饮用,可以产生最佳口感为分析泡制一杯最佳口感茶水所需时间,某研究人员每隔1mmm测量一次茶水的温度,根据所得数据做出如图所示的散点图．观察散点图的分布情况,下列哪个函数模型可以近似地刻画茶水温度y 随时间x变化的规律（）A. m=mm2+m(m>0)B. m=mm+m(m>0)C. m=mm m+m(m>0,m>0且m≠1)D. m=mmmm m m+m(m>0,m>0且m≠1)3.英国物理学家、数学家牛顿曾提出在常温环境下温度变化的冷却模型：如果物体的初始温度是m1℃,环境温度是m0℃,那么经过t小时后物体的温度m℃将满足m=m0+ (m1−m0)·m−mm.通过实验观察发现,在20℃的室温下,一块从冰箱中取出的−20℃的冻肉经过0.5小时后温度升至0℃,在相同的环境下利用牛顿冷却模型计算：温度为100℃的水,冷却到40℃,大约经过的时间为（）(忽略体积等其它因素的影响)A. 1小时B. 1.5小时C. 2小时D. 2.5小时4.中国的5G技术领先世界,5G技术的数学原理之一便是著名的香农公式：m=m log2(1+m).它表示：在受噪声干扰的信道中,最大信息传递速度C取决于信道带宽W,信道内信m号的平均功率S ,信道内部的高斯噪声功率N 的大小,其中mm 叫做信噪比.当信噪比比较大时,公式中真数中的1可以忽略不计.按照香农公式,若不改变带宽W ,而将信噪比mm 从1000提升至4000,则C 大约增加了（）附：mm2≈0.3010 A. 10%B. 20%C. 50%D. 100%5. 科赫曲线是一种外形像雪花的几何曲线,一段科赫曲线可以通过下列操作步骤构造得到,任画一条线段,然后把它均分成三等分,以中间一段为边向外作正三角形,并把中间一段去掉,这样,原来的一条线段就变成了4条小线段构成的折线,称为“一次构造”；用同样的方法把每条小线段重复上述步骤,得到16条更小的线段构成的折线,称为“二次构造”,…,如此进行“n 次构造”,就可以得到一条科赫曲线.若要在构造过程中使得到的折线的长度达到初始线段的1000倍,则至少需要通过构造的次数是（）.(取lg 3≈0.4771,lg 2≈0.3010)A. 16B. 17C. 24D. 256. 新冠疫情防控常态化,核酸检测应检尽检！核酸检测分析是用荧光定量法,通过化学物质的荧光信号,对在扩增进程中成指数级增加的靶标实时检测,在扩增的指数时期,荧光信号强度达到阈值时,的数量m m 与扩增次数n 满足：lg m m =m lg (1+m )+lg m 0,其中p 为扩增效率,m 0为的初始数量.已知某被测标本扩增5次后,数量变为原来的10倍,那么该标本的扩增效率p 约为（）(参考数据：100.2≈1.585,10−0.2≈0.631) A. 0.585B. 0.369C. 0.415D. 0.6317. 某工厂产生的废气经过滤后排放,过滤过程中废气的污染物含量m (单位：mm /m )与时间m (单位：m )间的关系式为m =m 0e −mm ,其中m 0,k 为正常数．如果一定量的废气在前10h 的过滤过程中污染物被消除了20%,那么污染物减少到最初含量的50%还需要经过多长时间（）(结果四舍五入取整数,参考数据：ln 2≈0.693,ln 5≈1.609) A. 11hB. 21hC. 31hD. 41h8. 人们通常以分贝(符号是mm )为单位来表示声音强度的等级,强度为x 的声音对应的等级为m (m )=10 lg m10−2(mm ).装修房屋时电钻的声音约为100dB ,室内正常交谈的声音约为60dB,则装修房屋时电钻的声音强度是室内正常交谈的声音强度的（）倍A. 104B. m4C. 4D. 53二、单空题9.当生物死亡后,其体内原有的碳14的含量大约每经过5730年衰减为原来的一半,这个时间称为“半衰期”．2019年7月6日,第43届世界遗产大会宣布,中国良渚古城遗址成功申遗,获准列入世界遗产名录.目前中国世界遗产总数已达55处,位居世界第一.今年暑期,某中学的“考古学”兴趣小组对良渚古城水利系统中一条水坝的建筑材料(草裹泥)上提取的草茎遗存进行碳14年代学检测,检测出碳14的残留量约为初始量的54％.利用参考数据：lg2=0.30,lg3=0.48,请你推断上述所提取的草茎遗存物距今大约有__________年(精确到1年)．10.据报道,某地遭遇了70年一遇的沙漠蝗虫灾害．在所有的农业害虫中,沙漠蝗虫对人类粮食作物危害最大．沙漠蝗虫繁殖速度很快,迁徙能力很强,给农业生产和粮食安全构成重大威胁．已知某蝗虫群在适宜的环境条件下,每经过15天,数量就会增长为原来的10倍．该蝗虫群当前有1亿只蝗虫,则经过________天,蝗虫数量会达到4000亿只．(参考数据：mm2≈0.30,mm3≈0.48)．11.冈珀茨模型(m=m⋅m m m)是由冈珀茨(mmmmmmmm)提出,可作为动物种群数量变化的模型,并用于描述种群的消亡规律．已知某珍稀物种t年后的种群数量y近似满足冈珀茨模型：当m=0时,表示2020年初的种群数量),若m(m∈N ∗)年后,该物种的种群数量将不足2020年初种群数量的一半,则m的最小值为________.(mm2≈0.7)12.放射性物质的半衰期T定义为每经过时间T,该物质的质量会衰退原来的一半,已知铅制容器中有两种放射性物质A,B,开始记录时容器中物质A的质量是物质B的质量的2倍,而120小时后两种物质的质量相等,若物质B的半衰期为8小时,则物质A的半衰期为________小时．三、解答题13.习近平指出,倡导环保意识、生态意识,构建全社会共同参与的环境治理体系,让生态环保思想成为社会生话中的主流文化．某化工企业探索改良工艺,使排放的废气中含有的污染物数量逐渐减少．已知改良工艺前所排放的废气中含有的污染物数量为2mm/m3,首次改良后所排放的废气中含有的污染数量为1.94mm/m3.设改良工艺前所排放的废气中含有的污染物数量为m0,首次改良工艺后所排放的废气中含有的污染物数量为m1,则第n次改良后所排放的废气中的污染物数量m m,可由函数模型m m=m0−(m0−m1)·50.5m+m(m∈R,m∈N ∗)给出,其中n是指改良工艺的次数．(1)试求改良后m m的函数模型；(2)依据国家环保要求,企业所排放的废气中含有的污染物数量不能超过0.08mm/m3.试问：至少进行多少次改良工艺后才能使得该企业所排放的废气中含有的污染物数量达标？(参考数据；取lg2=0.3)14.1766年,人类已经发现的太阳系中的行星有金星、地球、火星、木星和土星.德国的一位中学教师戴维一提丢斯在研究了各行星离太阳的距离(单位：AU,AU是天文学中计量天体之间距离的一种单位)的排列规律后,预测在火星和木星之间应该还有一颗未被发现的行星存在,并按离太阳的距离从小到大列出了如下表所示的数据：受他的启发,意大利天文学家皮亚齐于1801年终于发现了位于火星和木星之间的谷神星．(1)为了描述行星离太阳的距离y与行星编号之间的关系,根据表中已有的数据画出散点图,并根据散点图的分布状况,从以下三种模型中选出你认为最符合实际的一种函数模型(直接给出结论即可)；①m=mm+m；②m=m⋅m m+m(m>1)；③m=m⋅log m m+m(m>1)．(2)根据你的选择,依表中前几组数据求出函数解析式,并用剩下的数据检验模型的吻合情况；(3)请用你求得的模型,计算谷神星离太阳的距离．15.某生物研究者于元旦在湖中放入一些凤眼莲(其覆盖面积为m),这些凤眼莲在湖中的蔓延速度越来越快,二月底测得凤眼莲的覆盖面积为24m2,三月底测得凤眼莲的覆盖面积为36m2,凤眼莲的覆盖面积m(单位：m2)与月份m(单位：月)的关系有两个函数模型m=mm m(m>0,m>1)与m=mm12+m(m>0,m>0)可供选择．(1)试判断哪个函数模型更合适并求出该模型的解析式；(2)求凤眼莲的覆盖面积是元旦放入凤眼莲面积10倍以上的最小月份．(参考数据：lg2≈0.3010,lg3≈0.4711)一、单选题1.某公司为激励创新,计划逐年加大研发资金投入．若该公司2020年全年投入研发资金130万元,在此基础上,每年投入的研发资金比上一年增长12%,则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是（）(参考数据：lg1.12≈0.05,lg1.3≈0.11,lg2≈0.30)A. 2023年B. 2024年C. 2025年D. 2026年【答案】B【解析】解：设n年后,该公司全年投入的研发资金开始超过200万元．由题意,知130(1+12％)m>200,得lg[130(1+12％)m]>mm200,∴mm1.3+2+mmm1.12>mm2+2,即0.11+0.05m>0.3,∴m>3.8．又m∈m∗,∴m mmm=4,故该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是2024年．故选B．2.茶文化博大精深茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关．经验表明,某种绿茶用85℃的水泡制,再等到茶水温度降至60℃时饮用,可以产生最佳口感为分析泡制一杯最佳口感茶水所需时间,某研究人员每隔1mmm测量一次茶水的温度,根据所得数据做出如图所示的散点图．观察散点图的分布情况,下列哪个函数模型可以近似地刻画茶水温度y 随时间x变化的规律（）A. m=mm2+m(m>0)B. m=mm+m(m>0)C. m=mm m+m(m>0,m>0且m≠1)D. m=mmmm m m+m(m>0,m>0且m≠1)【答案】C【解析】解：选项A中,函数的图象以y轴为对称轴,不符散点图；选项B中,函数的图象是直线,不符散点图；选项D中,m>0,与y轴无限接近,与散点图不符．故选C．3.英国物理学家、数学家牛顿曾提出在常温环境下温度变化的冷却模型：如果物体的初始温度是m1℃,环境温度是m0℃,那么经过t小时后物体的温度m℃将满足m=m0+ (m1−m0)·m−mm.通过实验观察发现,在20℃的室温下,一块从冰箱中取出的−20℃的冻肉经过0.5小时后温度升至0℃,在相同的环境下利用牛顿冷却模型计算：温度为100℃的水,冷却到40℃,大约经过的时间为（）(忽略体积等其它因素的影响)A. 1小时B. 1.5小时C. 2小时D. 2.5小时【答案】A【解析】解：依题意,可令m 0=20,m =0.5,m 1=−20,m =0代入式子得：m =m 0+(m 1−m 0)·m −mm .,解得m =ln 4,∴m =m 0+(m 0−m 1)·m −ln 4·m又把m 0=20,m 1=100,m =40代入式子得40=20+80·m −ln 4·m ⇒m =1, 故选A ．4. 中国的5G 技术领先世界,5G 技术的数学原理之一便是著名的香农公式：m =m log 2(1+mm ).它表示：在受噪声干扰的信道中,最大信息传递速度C 取决于信道带宽W ,信道内信号的平均功率S ,信道内部的高斯噪声功率N 的大小,其中mm 叫做信噪比.当信噪比比较大时,公式中真数中的1可以忽略不计.按照香农公式,若不改变带宽W ,而将信噪比mm 从1000提升至4000,则C 大约增加了（）附：mm2≈0.3010 A. 10% B. 20% C. 50% D. 100%【答案】B【解析】解：由题意,当mm =1000时,m =m log 2(1+1000)=m log 21001, 当mm =4000时,m =m log 2(1+4000)=m log 24001, 则C 增加的百分比为：m log 24001−m log 21001m log 21001×100％=log 240011001log21001×100％≈log 24log21024×100％=20％．故选B ．5. 科赫曲线是一种外形像雪花的几何曲线,一段科赫曲线可以通过下列操作步骤构造得到,任画一条线段,然后把它均分成三等分,以中间一段为边向外作正三角形,并把中间一段去掉,这样,原来的一条线段就变成了4条小线段构成的折线,称为“一次构造”；用同样的方法把每条小线段重复上述步骤,得到16条更小的线段构成的折线,称为“二次构造”,…,如此进行“n 次构造”,就可以得到一条科赫曲线.若要在构造过程中使得到的折线的长度达到初始线段的1000倍,则至少需要通过构造的次数是（）.(取lg 3≈0.4771,lg 2≈0.3010)A. 16B. 17C. 24D. 25【答案】D【解析】解：由题意,记初始线段长度为m(m>0),一次构造”后的折线的长度为4m3,二次构造”后的折线的长度为(43)2m,⋯,次构造后的折线的长度为(43)m m,则要使得到的折线的长度达到原来的1000倍,应满足(43)m m≥1000m,两边同时取对数得m lg43≥mm1000=3,即得m(2lg2−lg3)≥3,m≥32mm2−lg3,代入数据得m≥30.6020−0.4771≈24.02,故至少需要通过构造的次数是25．故选D．6.新冠疫情防控常态化,核酸检测应检尽检！核酸检测分析是用荧光定量法,通过化学物质的荧光信号,对在扩增进程中成指数级增加的靶标实时检测,在扩增的指数时期,荧光信号强度达到阈值时,的数量m m与扩增次数n满足：lg m m=m lg(1+m)+lg m0,其中p为扩增效率,m0为的初始数量.已知某被测标本扩增5次后,数量变为原来的10倍,那么该标本的扩增效率p约为（）(参考数据：100.2≈1.585,10−0.2≈0.631)A. 0.585B. 0.369C. 0.415D. 0.631【答案】A【解析】解：由题意得,当DNA扩增5次后,数量变为原来的10倍得,lg10 m m=5m lg (1+m)+lg m0,①联立lg m m=m lg (1+m)+lg m0,②①−②得,lg10 m m−lg m m=5m lg (1+m)−m lg (1+m),lg10 m m m m =lg (1+m)5m(1+m)m,即lg10=5lg(1+m),1=5lg(1+m),转换成指数形式,1015=1+m,即100.2=1+m,因为100.2≈1.585,所以1.585=1+m,即m=0.585,故选A．7.某工厂产生的废气经过滤后排放,过滤过程中废气的污染物含量m(单位：mm/m)与时间m(单位：m)间的关系式为m=m0e−mm,其中m0,k为正常数．如果一定量的废气在前10h的过滤过程中污染物被消除了20%,那么污染物减少到最初含量的50%还需要经过多长时间（）(结果四舍五入取整数,参考数据：ln2≈0.693,ln5≈1.609)A. 11hB. 21hC. 31hD. 41h【答案】B【解析】解：因为污染物在前10h的过滤过程中污染物被消除了20%,所以污染物减少到最初含量的50%时,有所以10m =ln(0.8)ln(0.5)=ln45ln12=2ln2−ln5−ln2=−2+ln5ln2≈0.322,解得m≈31(m),故还要经过31−10=21(m),才可使得污染物减少到最初含量的50%．故选B．8.人们通常以分贝(符号是mm)为单位来表示声音强度的等级,强度为x的声音对应的等级为m(m)=10lgm10−2(mm).装修房屋时电钻的声音约为100dB,室内正常交谈的声音约为60dB,则装修房屋时电钻的声音强度是室内正常交谈的声音强度的（）倍A. 104B. m4C. 4D. 53【答案】A【解析】解：∵装修房屋时电钻的声音约为100dB,∴10lg m10−2=100,∴m10−2=1010,∴m=108,∵正常交谈的声音约为60dB,∴10mm m10−2=60,∴m10−2=106,∴m=104,∴108104=104,故装修房屋时电钻的声音强度是室内正常交谈的声音强度的104倍.故选A．二、单空题9.当生物死亡后,其体内原有的碳14的含量大约每经过5730年衰减为原来的一半,这个时间称为“半衰期”．2019年7月6日,第43届世界遗产大会宣布,中国良渚古城遗址成功申遗,获准列入世界遗产名录.目前中国世界遗产总数已达55处,位居世界第一.今年暑期,某中学的“考古学”兴趣小组对良渚古城水利系统中一条水坝的建筑材料(草裹泥)上提取的草茎遗存进行碳14年代学检测,检测出碳14的残留量约为初始量的54％.利用参考数据：lg2=0.30,lg3=0.48,请你推断上述所提取的草茎遗存物距今大约有__________年(精确到1年)．【答案】4966【解析】解：设草茎遗存物距今大约有t年,则根据题意有(12)m5730=54％,∴m5730lg12=lg54100,∴m=5730×(3lg3+lg2)−2−lg2≈496610.据报道,某地遭遇了70年一遇的沙漠蝗虫灾害．在所有的农业害虫中,沙漠蝗虫对人类粮食作物危害最大．沙漠蝗虫繁殖速度很快,迁徙能力很强,给农业生产和粮食安全构成重大威胁．已知某蝗虫群在适宜的环境条件下,每经过15天,数量就会增长为原来的10倍．该蝗虫群当前有1亿只蝗虫,则经过________天,蝗虫数量会达到4000亿只．(参考数据：mm2≈0.30,mm3≈0.48)．【答案】54【解析】解：设经过x天,蝗虫数量是原来的m=m m倍,则m=15时,m=10,所以m15=10,m=10115,∴m=10m15,设1亿只蝗虫经过t天,数量达到4000亿只,则数量增长为原来的4000倍．所以10m15=4000,则m15=lg4000=lg(22×1000)=2lg 2+3≈3.6,解得m=15×3.6=54天．故答案为54．11.冈珀茨模型(m=m⋅m m m)是由冈珀茨(mmmmmmmm)提出,可作为动物种群数量变化的模型,并用于描述种群的消亡规律．已知某珍稀物种t年后的种群数量y近似满足冈珀茨模型：当m=0时,表示2020年初的种群数量),若m(m∈N ∗)年后,该物种的种群数量将不足2020年初种群数量的一半,则m的最小值为________.(mm2≈0.7)【答案】6【解析】解：当m=0时,,当m=m时,,因为m(m∈N ∗)年后,该物种的种群数量将不足2020年初种群数量的一半,所以,即,即,,所以−0.125m<−0.7解得m>5.6,所以m的最小值为6．故答案为：6．12.放射性物质的半衰期T定义为每经过时间T,该物质的质量会衰退原来的一半,已知铅制容器中有两种放射性物质A,B,开始记录时容器中物质A的质量是物质B的质量的2倍,而120小时后两种物质的质量相等,若物质B的半衰期为8小时,则物质A的半衰期为________小时．【答案】7.5【解析】解：设m m=1,则m m=2.设物质A的半衰期为t．由题意可得：2×(12)120m=(12)1208,解得m=7.5．故答案为7.5．三、解答题13.习近平指出,倡导环保意识、生态意识,构建全社会共同参与的环境治理体系,让生态环保思想成为社会生话中的主流文化．某化工企业探索改良工艺,使排放的废气中含有的污染物数量逐渐减少．已知改良工艺前所排放的废气中含有的污染物数量为2mm/m3,首次改良后所排放的废气中含有的污染数量为1.94mm/m3.设改良工艺前所排放的废气中含有的污染物数量为m0,首次改良工艺后所排放的废气中含有的污染物数量为m1,则第n次改良后所排放的废气中的污染物数量m m,可由函数模型m m=m0−(m0−m1)·50.5m+m(m∈R,m∈N ∗)给出,其中n是指改良工艺的次数．(1)试求改良后m m的函数模型；(2)依据国家环保要求,企业所排放的废气中含有的污染物数量不能超过0.08mm/m3.试问：至少进行多少次改良工艺后才能使得该企业所排放的废气中含有的污染物数量达标？(参考数据；取lg2=0.3)【答案】解：(1)由题意得m0=2,m1=1.94,所以当m=1时,m1=m0−(m0−m1)⋅50.5+m,即1.94=2−(2−1.94)⋅50.5+m,解得m=−0.5,所以m m=2−0.06×50.5m−0.5(m∈m∗),故改良后所排放的废气中含有的污染物数量的函数模型为m m=2−0.06×50.5m−0.5(m∈m∗)．(2)由题意可得m m=2−0.06×50.5m−0.5≤0.08,整理得50.5m−0.5≥32,两边同时取常用对数,得0.5m−0.5≥mm32mm5,整理得m≥2×5mm21−mm2+1,将mm2=0.3代入可得2×5mm21−mm2+1=307+1≈5.3,又因为m∈m∗,所以m≥6,综上,至少进行6次改良工艺后才能使得该企业所排放的废气中含有的污染物数量达标．14.1766年,人类已经发现的太阳系中的行星有金星、地球、火星、木星和土星.德国的一位中学教师戴维一提丢斯在研究了各行星离太阳的距离(单位：AU,AU是天文学中计量天体之间距离的一种单位)的排列规律后,预测在火星和木星之间应该还有一颗未被发现的行星存在,并按离太阳的距离从小到大列出了如下表所示的数据：受他的启发,意大利天文学家皮亚齐于1801年终于发现了位于火星和木星之间的谷神星．(1)为了描述行星离太阳的距离y 与行星编号之间的关系,根据表中已有的数据画出散点图,并根据散点图的分布状况,从以下三种模型中选出你认为最符合实际的一种函数模型(直接给出结论即可)；①m =mm +m ；②m =m ⋅m m +m (m >1)；③m =m ⋅log m m +m (m >1)． (2)根据你的选择,依表中前几组数据求出函数解析式,并用剩下的数据检验模型的吻合情况；(3)请用你求得的模型,计算谷神星离太阳的距离．【答案】解：(1)散点图如图所示：根据散点图可知,模型②符合题意．(2)将(1,0.7),(2,1),(3,1.6)分别代入m =m ·m m +m , 得{m ⋅m +m =0.7,m ⋅m 2+m =1,m ⋅m 3+m =1.6,解得m =0.15,m =2,m =0.4,所以m =0.15×2m +0.4(m ∈m ∗).当m =5时,m =0.15×25+0.4=5.2,当m =6时,m =0.15×26+0.4=10,与已知表中数据完全吻合．(3)当m =4时,m =0.15×24+0.4=2.8mm ,所以谷神星离太阳的距离为2.8 mm ．15. 某生物研究者于元旦在湖中放入一些凤眼莲(其覆盖面积为m ),这些凤眼莲在湖中的蔓延速度越来越快,二月底测得凤眼莲的覆盖面积为24m 2,三月底测得凤眼莲的覆盖面积为36m 2,凤眼莲的覆盖面积m (单位：m 2)与月份m (单位：月)的关系有两个函数模型m =mm m (m >0,m >1)与m =mm 12+m (m >0,m >0)可供选择．(1)试判断哪个函数模型更合适并求出该模型的解析式；(2)求凤眼莲的覆盖面积是元旦放入凤眼莲面积10倍以上的最小月份．(参考数据：lg 2≈0.3010,lg 3≈0.4711)．【答案】解：(1)函数m =mm m (m >0,m >1)与m =mm 12+m (m >0,m >0)在(0,+∞)上都是增函数,随着x 的增加,函数m =mm m (m >0,m >1)的值增加的越来越快,而函数m =mm 12+m 的值增加的越来越慢,由于凤眼莲在湖中的蔓延速度越来越快,因此选择模型m =mm m (m >0,m >1)符合要求． 根据题意可知m =2时,m =24；m =3时,m =36,∴{mm 2=24mm 3=36,解得{m =323m =32．故该函数模型的解析式为m =323⋅(32)m ,1≤m ≤12,m ∈m ∗； (2)当m =0时,m =323,元旦放入凤眼莲的覆盖面积是323m 2,由323⋅(32)m >10⋅323,得(32)m >10,∴m >mmm 3210=mm10lg 32=1mm3−mm2≈5.9, ∵m ∈m ∗,∴m ≥6,即凤眼莲的覆盖面积是元旦放入凤眼莲面积10倍以上的最小月份是六月份。
指数函数练习题及答案
指数函数练习题及答案指数函数是高中数学中的重要内容，它在数学和科学领域中有着广泛的应用。
本文将通过一些练习题来帮助读者更好地理解指数函数的概念和运算规则，并提供相应的答案。
1. 求解指数方程：2^x = 16解：将16写成2的幂次形式，即16 = 2^4，所以原方程可以写成2^x = 2^4。
根据指数函数的性质，当底数相同时，指数相等，所以可以得到x = 4。
2. 简化指数表达式：(2^3)^4解：根据指数函数的性质，指数的乘法规则，可以将指数表达式简化为2^(3*4)，即2^12。
3. 求解指数方程：3^(2x+1) = 9解：将9写成3的幂次形式，即9 = 3^2，所以原方程可以写成3^(2x+1) =3^2。
根据指数函数的性质，当底数相同时，指数相等，所以可以得到2x+1 = 2。
解方程得到x = 1/2。
4. 求解指数方程：e^x = 10解：将10写成自然对数的底数e的幂次形式，即10 = e^ln(10)，所以原方程可以写成e^x = e^ln(10)。
根据指数函数的性质，当底数相同时，指数相等，所以可以得到x = ln(10)。
5. 求解指数方程：10^(2x-1) = 100解：将100写成10的幂次形式，即100 = 10^2，所以原方程可以写成10^(2x-1) = 10^2。
根据指数函数的性质，当底数相同时，指数相等，所以可以得到2x-1 = 2。
解方程得到x = 3/2。
通过以上的练习题，我们可以看到指数函数在解方程中的应用。
指数函数的特点是底数不同，函数的性质也会有所不同。
在实际问题中，指数函数可以用来描述物质的衰减、增长和变化等现象，具有很强的实用性。
除了以上的练习题，我们还可以通过绘制指数函数的图像来更好地理解其特点。
以y = 2^x为例，我们可以绘制出其图像，发现随着x的增大，y的值呈指数级增长，这是因为指数函数的增长率是逐渐加大的。
总结起来，指数函数是高中数学中的重要内容，通过练习题和图像的分析，我们可以更好地理解指数函数的概念和运算规则。
高考数学复习考点知识与结论专题讲解10 指数运算及指数函数
高考数学复习考点知识与结论专题讲解高考数学复习考点知识与结论专题讲解第10讲、指数运算及指数函数指数运算及指数函数通关一通关一、、根式的概念和性质根式的概念和性质通关二通关二、、指数函数(xy a a =>0图像定义域 值域 奇偶性 对称性 过定点 单调性 在函数值的变化情况当0x <时,y 底数对图像的影响 指数函数在同一坐标系图所示,其中①在y 轴右侧,图像从②在y 轴左侧,图像从0,且1)a ≠的图像与性质的图像与性质0＜a ＜1 a ＞R (0，＋∞) 非奇非偶函数函数y ＝a －x 与y ＝a x的图像关于y 轴对称 过定点(0，1)，即x ＝0时，y ＝1R 上是减函数在R 上是增1;>当0x >时,01y <<当0x >时,y >坐标系中的图像的相对位置与底数大小关系如01c d <<<a b <<.图像从上到下相应的底数由大变小; 图像从下到上相应的底数由大变小.＞1上是增函数 1;当0x <时,0<y <1结论一结论一、、指数基本运算指数基本运算当0,0a b >>时,有:①(,)m n m na a a m n +⋅=∈R ;②(,)mm n n a a m n a −=∈R ;③()(,)n m mn a a m n =∈R ; ④()()m m m ab a b m =∈R ;⑤1()p p a p a−=∈Q;⑥)*,m n a m n =∈N . 【例1】化简并求值.(1)293425)−×11113342a b a b −【解析】(1)9222933431033422125)255252−−−− ×=××=×=;112232335433111271111233333342a b a b a b a ab b ab a b a b a b a b −−−⋅ ====⋅⋅. 【变式】化简并求值.(1)若2,4a b ==1a b ÷+−的值; (2)若11223x x−+=,求33222232x x x x −−+−+−的值;(3)设()11*201420142nna n −−=∈N,求)na 的值.1a b ÷−=−−==2,4a b====当时,原式12===.(2)先对所给条件等价变形:()21133111212222222327,13618x x x x x x x x x x−−−−−+=+−=−=+=++−=×=, ()2221227247x x x x−−+=+−=−=.故3322223183124723x xx x−−+−−==+−−.(3)因为11201420142n na−−=,所以21122014201412n na−++=a−= 1111112014201420142014220142014222n n n n nn−−−−+−×−==.所以)n a−=1120142014nn−=.结论二结论二、、指数比较大小指数比较大小1.对于底数相同,指数不同的两个幂的大小比较,可以利用指数函数的单调性来判断;2.对于底数不同,指数相同的两个幂的大小比较,可以利用指数函数图像的变化规律来判断;3.对于底数不同,且指数也不同的幂的大小比较,可先化为同底的两个幂,或者通过中间值来比较.【例2】设232555322,,555a b c===,则,,a b c的大小关系是()A.a c b>> B.a b c>> C.c a b>> D.b c a>>【答案】A【解析】对于函数25xy=,在其定义域上是减函数.因为3255>,所以32552255 < ,即b c <.在同一平面直角坐标系中画出函数35x y = 和函数25xy=的图像,可知22553255 > ,即a c >.从而a c b >>.故选A. 【变式】若221m n >>,则(). A.11m n> B.1122log log m n >C.ln()0m n −>D.1m n π−>【答案】D【解析】因为221m n >>,所以由指数函数的单调性可得m n >.因为,m n 的符号不确定,所以当0,0m n <<时,可排除A,B 选项;当3,12m n ==时,可排除C 选项;由指数函数的性质可判断1m n π−>正确.故选D.结论三结论三、、指数函数过定点指数函数过定点指数函数(01)x y a a a =>≠且的图像恒过点1(0,1),(1,),(1,a a−，且函数的图像经过第一、二象限.【例3】函数1()2(0,1)x f x a a a +=−>≠的图像必过定点__________. 【答案】(1,1)−−【解析】1()2(0,1)x f x a a a +=−>≠,令10x +=,则1x =−. 当1x =−时，(1)f −112121a −+=−=−=−,所以()f x 必过点(1,1)−−.【变式】已数函数24()1(0x f x a a −=−>且1)a ≠的图像恒过定点(,)P m n ,则m =__________.n =__________.【答案】2,0【解析】令240x −=,求得2,0x y ==,图像经过定点(2,0),即2,0m n ==.结论四结论四、、底数a 对指数函数图像的影响对指数函数图像的影响1．底数a 与1的大小关系决定了指数函数图像的“升降”：当1a >时，指数函数的图像“上升”；当01a <<时，指数函数的图像“下降”.2. 底数的大小决定了图像相对位置的高低:不论是1a >还是01a <<,在第一象限内，自上向下，图像对应的指数函数的底数逐渐变小.3. 作直线1x =所给指数函数图像相交,交点的纵坐标为该指数函数的底数, 由此可判断多个指数函数底数的大小关系.4. (01)x y a a a =>≠且在第一象限的图像, a 越大, 图像越靠近y 轴; a 越小, 图像越靠近x 轴.【例4】右图是指数函数(1) ,(2)x x y a y b ==, (3) x y c =, (4) x y d =的图像,则,,,a b c d 与1的大小关系为（）. A.1a b c d <<<< B.1b a d c <<<<C.1a b c d <<<<D.1a b d c <<<<【答案】B.【解析】有图像可知③④的底数必大于1，①②的底数必小于1，过点(1,0)作直线1x =, 在第一象限内分别与各曲线相交, 由图像可知1,1d c b a <<<<, 从而可得,,,a b c d 与1的大小关系为1b a d c <<<<.【变式】已知函数11()2x f x b −=+的图像不经过第一象限,则实数b 的取值范围是（）.A.1b <−B.1b −…C.2b −…D.2b <− 【答案】C【解析】因为函数()f x 为减函数, 所以若函数11()2x f x b −=+的图像不经过第一象限,则满足(0)20f b =+…, 即2b −….故选C .结论五结论五、、指数数数单调指数数数单调若1,x a y a >=在R 上是增函数;若01,x a y a <<=在R 上是増函数.要点诠释：指数增减要看清,抓着底数不放松，反正底数大于零，不等于1已表明. 底数若是大于1 , 图像从下向上增；底数0 到1之间，图像从上往下减. 无论函数增和减，图像都过(0,1)点. 【例5】函数(0x y a a =>且1)a ≠在[1,2]上的最大值比最小值大2a，则a 的值是__________. 【答案】12或32【解析】当01a <<时，函数x y a =在[1,2]上单调递减，故在[1,2]上的最大值为a ，最小值为2a , 则22a a a −=, 得22a a =.又01a <<，所以12a =.当1a >时，函数x y a =在[1,2]上单调递增,故在[1,2]上的最大值为2a , 最小值为a , 那么22a a a −=, 得232a a =.又1a >, 所以32a =.综上，a 的值是12或32.【变式】函数x y a =在[0,1]上的最大值与最小值的和为 3 , 则a 等于（）.A.12B. 2C. 4D.14【答案】B【解析】解法一：当1a >时, x y a =为单调递增函数, 在[0,1]上的最值分别为maxy min (1),(0)1f a y f ====, 所以13a +=, 解得21a =>.当01a <<时, x y a =为单调递减函数,在[0,1]上的最值分别为max min (0)1,y f y ===(1)f a =, 所以13a +=, 解得21a =>, 这与01a <<矛盾. 综上, 2a =. 故选B .解法二：因为x y a =是单调函数, 所以x y a =必在区间[0,1]的端点处取得最大值和最小值,因此13a +=, 从而2a =. 故选B .。
高考数学复习考点知识讲解课件10 指数与指数函数
围是( C )
A．(2，＋∞)
B．(0，＋∞)
C．(0,2)
D．(0,1)
[解析] 在同一坐标系内分别作出函数 y＝x－1 1和 y＝2x－a 的图象，则由图知，当 a ∈(0,2)时符合要求．故选 C．
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(新教材) 高三总复习•数学
考点三 指数函数的性质及应用——多维探究
角度 1：比较指数式的大小
由(x
1 2
＋x－12
)3＝33，得
3
x2
＋3x
1 2
＋3x－12
＋x－32
3
＝27.∴x2
＋x－32
3
＝18，∴x2
＋x－32
－3＝
15. ∴x32x2＋＋xx－－232－－23＝13.
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(新教材) 高三总复习•数学
— 返回 —
(1)指数幂的运算首先将根式、分式统一为分数指数幂，以便利用法则计算，但应注 意：①必须同底数幂相乘，指数才能相加；②运算的先后顺序．
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(新教材) 高三总复习•数学
诊断自测 1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
4 (1)
a2＋2ab＋b2＝
a＋b.( ×
)
(2)(－2)13＝6 －22.( × ) (3)若函数 f(x)是指数函数，且 f(1)>1，则 f(x)是增函数．( √ ) (4)若 a>1，则当 f(x)有最大值时，g(x)＝af(x)也有最大值．( √ )
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(新教材) 高三总复习•数学
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(3)y＝|ax－1|的图象是由 y＝ax 先向下平移 1 个单位，再将 x 轴下方的图象沿 x 轴翻折 过来得到的．
2025年高考数学一轮复习-第10讲-指数与指数函数【课件】
对于 B，y＝ 143x－1的值域是[0，＋∞)； 对于 C，y＝121－2x的值域是(0，＋∞)；
对于 D，y＝ 1－3x的值域是[0，1).
(C)
5．函数y＝ax+2 024＋2 024(a＞0，a≠1)的图象恒过定点___(_－__2_0_2_4_，__2__0_2_5_)___．
1．根式
在(－∞，＋∞)上是__增__函__数____
在(－∞，＋∞)上是__减__函__数____
举题说法
指数式的求值与化简
1 指数式的求值与化简．
(1) －287－23＋(0.002)－12－10( 5－2)-1＋π0＝_－__1_69_7___． 【解析】原式＝－32－2＋50012－( 51－0(2)5(＋52＋) 2)＋1＝49＋10 5－10 5－20＋1＝－1697.
图(2)
1．(多选)已知实数a，b满足等式2 023a＝2 024b，则下列关系式可能成立的是
( ABD )
A．0＜b＜a
B．a＜b＜0
C．0＜a＜b
D．a＝b
【解析】如图，观察易知a，b的关系为a＜b＜0或0＜b＜a或a＝b＝0.
2．函数y＝2|1-x|的图象大致是
(A )
A
B
C
D
【解析】函数 y＝2|1-x|＝221x--1x，，xx≤＞11，， 所以当 x＞1 时，y＝2x-1 是增函数，当 x≤1 时，
指数函数的图象及应用
2 已知函数f(x)＝|2x－1|. (1) 求函数f(x)的单调区间；
【解答】由 f(x)＝|2x－1|＝21x－－21x， ，xx≥ ＜00， ， 作出函数 f(x)的图象如 图(1)所示，因此函数 f(x)在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单 调递增．
excel以10为底指数函数公式
Excel是一款广泛应用于办公和数据分析领域的电子表格软件，它提供了丰富的数学和统计函数，其中包括指数函数。
在Excel中，我们可以使用指数函数来计算以指数为底的数的幂。
本文将介绍Excel中以10为底的指数函数公式，并通过具体实例来展示其用法和计算方法。
1. 指数函数概述指数函数是数学中常见的一种函数形式，通常写作y = a^x，其中a 为底数，x为指数，y为幂。
在Excel中，我们经常会用到以10为底的指数函数，这种函数形式通常表示为10^x。
2. Excel中以10为底的指数函数公式在Excel中，以10为底的指数函数通常使用函数“10^x”来表示。
具体的公式格式为：```=10^x```其中，x为指数的取值。
这个公式表示计算10的x次幂的结果。
3. 以10为底的指数函数的计算方法要使用Excel中以10为底的指数函数来计算指定指数的数值，我们可以按照如下步骤进行操作：- 在需要计算结果的单元格中输入公式“=10^x”，其中x为指定的指数值。
- 按下回车键，Excel将会立即计算出10的x次幂的结果并显示在该单元格中。
4. 以10为底的指数函数的应用实例为了更好地理解以10为底的指数函数在Excel中的使用方法，我们可以通过一个具体的实例来进行演示。
假设我们需要计算10的平方、立方和四次方的结果，我们可以按照以下步骤在Excel中进行操作：- 在一个空白的工作表中选择三个单元格，分别标记为A1、A2和A3。
- 在A1单元格中输入公式“=10^2”，按下回车键得到结果100。
- 在A2单元格中输入公式“=10^3”，按下回车键得到结果1000。
- 在A3单元格中输入公式“=10^4”，按下回车键得到结果xxx。
通过以上实例，我们可以清楚地看到，以10为底的指数函数公式在Excel中的简单而直观的计算方法。
5. 总结以10为底的指数函数在Excel中是一个非常基础但实用的数学计算工具，它可以帮助用户轻松地进行各种指数运算。
10指数函数和对数函数(经典题型+答案)
第十讲 指数函数和对数函数指数函数定义：函数 )10(≠>=a a a y x且 叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是R 。
a =0时，若x >0，a x =0；若x <0，则a x 无意义 a =1时，y =1x =1(常量)没有研究必要。
为了避免上述各种情况，所以规定a >0且a ≠1。
指数函数的图象1.2x y =2.1()2x y = a a>1 0<a<1定义域 RR 值 域0>y10010<<<>>y x y x 时，时，0>y10100><<<>y x y x 时，时，定点 过点(0,1) 过点(0,1) 单调性单调递增单调递减例1：求下列函数的定义域和值域（1）．xa y -=1 （2）．31)21(+=x y解：1．要使函数有意义，必须 2．要使函数有意义，必须 10x a -≥ 1x a ≤ 30x +≠ 即 3x ≠-当1a >时 0≤x ∵103x ≠+当01a <<时 0x ≥ ∴10311()()122x y +=≠=∵0x a > ∴011xa ≤-< 又∵0y >∴值域为01y ≤< ∴值域为 0y >且1y ≠ 例2：已知函数 112x y -⎛⎫= ⎪⎝⎭求定义域、值域，并作出其图象。
解：⎪⎩⎪⎨⎧<≥⎪⎭⎫ ⎝⎛=--1,21,2111x x y x x 定义域：x ∈R 值域：10≤<y定理：函数x a y =和x a y -= )10(≠>a a 且的图象关于y 轴对称。
例3：求作xy 2=与xy 3=， x y ⎪⎭⎫ ⎝⎛=21与xy ⎪⎭⎫⎝⎛=31图象关系并y 1 ．．o 1 x推广 。
例4 比较下列两个值的大小：（1）．5331-⎪⎫⎛和234- （2）． 2-π和214.3- （3）．2131-⎪⎫ ⎛和2123-⎪⎫ ⎛对数函数的定义：函数 x y a log = )10(≠>a a 且叫做对数函数；它是指数函数a y =)10(≠>a a 且的反函数。
指数函数公式
数知识：作为实数变量x的函数，有时，尤其是在科学中，术语指数函数更一般性的用于形如的指数函数欧拉数e 的指数函数。
指数函数的一般形式为(a>0且≠1) (x∈R)，从上面我们关于幂函数的讨论就可以知道，要想使得x能够取整个实数集合为定义域，则只有使得a>0且a≠1如图所示为a的不同大小影响函数图形的情况。
在函数中可以看到（5）可以看到一个显然的规律，就是当a从0趋向于无穷大的过指数函数线y=1是从递减到递增的一个过渡位置。
（6）函数总是在某一个方向上无限趋向于X轴,并且永不相交。
（7）函数总是通过（0，1）这点,(若,则函数定过点(0,1+b))（8）指数函数无界。
（9）指数函数是非奇非偶函数（10）当指数函数中的自变量与因变量一一映射时，指数函数具有反函数。
2公式推导e的定义：()'指数函数======特殊地，当a=e时，()'=(ln x)'=1/x。
方法二：设，两边取对数ln y=xln a两边对x求导：y'/y=ln a，y'=yln a=a^xln a特殊地，当a=e时，y'=(a^x)'=(e^x)'=e^xln e=e^x。
eº=13函数图像指数函数（1）由指数函数y=a^x与直线x=1相交于点（1，a)可知：在y轴右侧，图像从下到上相应的底数由小变大。
（2）由指数函数y=a^x与直线x=-1相交于点（-1，1/a）可知：在y轴左侧，图像从下到上相应的底数由大变小。
（3）指数函数的底数与图像间的关系可概括的记忆为：在y轴右边“底大图高”；在y 轴左边“底大图低”。
（如右图）。
(4)与的图像关于y轴对称。
4幂的比较比较大小常用方法：（1）比差（商）法：（2）函数单调性法；（3）中间值法：要比较A与B的大小，先找一个中间值C，再比较A与C、B与C的大小，由不等式的传递性得到A与B之间的大小。
比较两个幂的大小时，除了上述一般方法之外，还应注意：（1）对于底数相同，指数不同的两个幂的大小比较，可以利用指数函数的单调性来判断。
考点10 指数与指数函数(重点)-备战2022年高考数学一轮复习考点微专题(新高考地区专用)
考向10指数与指数函数1．（2020·全国高考真题（文））设3log 42a =，则4a -=（ ） A ．116B ．19C ．18D ．16【答案】B 【分析】根据已知等式，利用指数对数运算性质即可得解 【详解】由3log 42a =可得3log 42a=，所以49a =，所以有149a-=， 故选：B. 【点睛】本题考查的是有关指对式的运算的问题，涉及到的知识点有对数的运算法则，指数的运算法则，属于基础题目.2．（2015·山东高考真题（理））已知函数()(0,1)xf x a b a a =+>≠ 的定义域和值域都是[]1,0- ，则a b +=_____________.【答案】32- 【详解】若1a > ，则()f x 在[]1,0-上为增函数,所以11{10a b b -+=-+= ，此方程组无解；若01a << ，则()f x 在[]1,0-上为减函数,所以10{11a b b -+=+=- ，解得1{22a b ==- ，所以32a b +=-. 考点：指数函数的性质.1.指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，但应注意：(1)必须同底数幂相乘，指数才能相加；(2)运算的先后顺序.2.当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数.3.运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数.4.有关指数函数图象问题的解题思路(1)已知函数解析式判断其图象，一般是取特殊点，判断选项中的图象是否过这些点，若不满足则排除． (2)对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换而得到．特别地，当底数a 与1的大小关系不确定时应注意分类讨论．(3)有关指数方程、不等式问题的求解，往往是利用相应的指数型函数图象，数形结合求解． (4)根据指数函数图象判断底数大小的问题，可以通过直线x ＝1与图象的交点进行判断．5.利用指数函数的性质比较幂值的大小，先看能否化成同底数，能化成同底数的先化成同底数幂，再利用函数单调性比较大小，不能化成同底数的，一般引入“1”等中间量比较大小；6.利用指数函数的性质解简单的指数方程或不等式，先利用幂的运算性质化为同底数幂，再利用函数单调性转化为一般不等式求解；7.解答指数函数性质的综合应用，首先判断指数型函数的性质，再利用其性质求解。
第10讲 指数运算与指数函数
指数运算与指数函数1、 理解根式、分数指数幂的概念，掌握有理指数幂的运算性质．2、 掌握指数函数的概念、图像和性质。
一、有理数指数幂及运算性质 1、有理数指数幂的分类（1）正整数指数幂()n n a a a a a n N *=⋅⋅⋅⋅∈个；（2）零指数幂)0(10≠=a a ； （3）负整数指数幂()10,n n a a n N a-*=≠∈ （4）0的正分数指数幂等于0, 0的负分数指数幂没有意义。
2、有理数指数幂的性质 （1）()0,,mn m n aa a a m n Q +=>∈（2）()()0,,nm mn a a a m n Q =>∈（3）()()0,0,mm m ab a b a b m Q =>>∈二、根式1、根式的定义：一般地，如果a x n =，那么x 叫做a 的n 次方根，其中()*∈>Nn n ,1，na 叫做根式，n 叫做根指数，a 叫被开方数。
2（1）n N ∈，且1n >；（2）当n 是奇数，则a a nn=；当n 是偶数，则⎩⎨⎧<-≥==00a a a a a a nn；（3）负数没有偶次方根；（4）零的任何次方根都是零。
3、规定： （1）()0,,,1mn m n a a a m n N n *=>∈>； （2）()10,,,1m nm nmnaa m n N n a a-*==>∈>三、对指数函数定义的理解一般地，函数)10(≠>=a a a y x且叫做指数函数。
1、定义域是R 。
因为指数的概念已经扩充到有理数和无理数，所以在0a >的前提下，x 可以是任意实数。
2、规定0a >,且1a ≠的理由：（1）若0a =，000xxx a x a ⎧>⎪⎨≤⎪⎩当时，恒等于；当时，无意义。
（2）若0a <， 如(2)xy =-，当14x =、12等时，在实数范围内函数值不存在。
sas中以10为底的指数函数
SAS中以10为底的指数函数概述在SAS中，可以使用LOG10函数来计算以10为底的对数。
LOG10函数的语法格式如下：LOG10(number)其中，number是要计算对数的数字。
LOG10函数返回一个数字，该数字表示以10为底的number的对数。
示例以下是一些使用LOG10函数的示例：/ 计算10的LOG10值 /data log10_example;x = 10;log10_x = log10(x);output;run;/ 输出： //x log10_x--- -------10 1// 计算多个数字的LOG10值 / data log10_example;input x;datalines;101001000;log10_x = log10(x);output;run;/ 输出： //x log10_x--- -------10 1100 21000 3// 计算负数的LOG10值 / data log10_example;x = -10;log10_x = log10(x); output;run;/ 输出： //x log10_x--- --------10 .注意LOG10函数只能计算正数的对数。
如果要计算负数的对数，可以使用LOG函数。
LOG10函数的返回值是一个数字，该数字表示以10为底的number的对数。
如果要计算以其他底数的对数，可以使用LOG函数。
LOG10函数是单调递增函数，这意味着随着number的增加，LOG10(number)的值也会增加。
LOG10函数是凸函数，这意味着随着number的增加，LOG10(number)的值的增长速度会越来越慢。
结论LOG10函数是一个有用的函数，可以用来计算以10为底的对数。
LOG10函数有很多应用，包括计算科学、统计学和工程学。
指数函数及其图像.
类似这样的函数就是我们今天将要学习 的指数函数
一. 指数函数的定义
一般地，函数y＝ax(a＞0且a≠1)叫做
指数函数，其中x是自变量，函数定义域
是R.
系数为1
注意：
y＝1 ·ax
自变量
常数a>0且a≠1
练习：下列函数中，哪些是指数函数?
把它们放入集合A中．
⑴ y＝10x；
的图象如下图所示，则底数 a, b, c, d 与正整数 1
共五个数，从大到小的顺序是 ： 0 b a 1 d c.
y
y bx y ax
1
y cx y dx
1
x
0
指数函数图象的性质
(1)指数函数在同一直角坐标系中的图象的相对位置与底数大 小的关系如图所示，则0<c<d<1<a<b.
②如果a<0，则对于一些函数，比如y＝(－4)x，
当x 1 , x 1 时，ax在实数范围内无意义 24
③如果a＝1，则y＝1x＝1是个常量，就没有研究的必要了．
二.指数函数的图象和性质：
作函数图象的步骤是什么？ 列表，描点，连线
作出函数y 2x的图象.
列表
x 3 2 1 0 1 2 3 y 2x 1 1 1 1 2 4 8
思考2: 底数a对指数函数y＝ax的图象有何影响?
(1) a＞1时，图象向右不断上升，并且 无限靠近x轴的负半轴； 0＜a＜1时，图象向右不断下降，并且 无限靠近x轴的正半轴．
(2) 指数函数
y
a
x与y
1
x
的图象
关于y轴对称.
10的指数的数学表达式
10的指数的数学表达式10的指数是指以10为底的幂运算。
当一个数的指数为10时，意味着这个数是10的乘积，乘以自身10次。
数学上可以用下标的方式来表示10的指数，即10^10，读作“10的10次方”。
10的指数在数学和科学中发挥着重要的作用。
它有助于表示非常大或非常小的数值。
在计算机科学中，指数表示了数据的量级，用于计算机存储和计算的方便性。
在科学研究中，指数用于表示物理量的变化、增长或衰减的规律性。
在数学领域，指数是一种特殊的数学函数，有许多重要的性质和应用。
在指数运算中，指数是一个正整数，它表示一个数被乘以自身多少次。
以10为底的指数表示，可以更好地描述一个数的大小或数量级。
例如，10的2次方表示10x10=100，10的3次方表示10x10x10=1000，依此类推。
指数的主要特点是指数相等时底数相等，底数相等时指数相等。
即a^m=a^n时，m=n；a^m=b^m时，a=b。
这个性质在指数运算中经常被应用。
指数运算还有一些重要的性质：1.底数为10的指数运算可以用来表示十进制中的位数。
例如，10的1次方表示一个十进制数的十位数，10的2次方表示十进制数的百位数，依此类推。
2.它有助于简化和缩小大数的表示和计算。
例如，1万可以简化为10^4，1亿可以简化为10^8。
这样能够更清晰地表示这些巨大的数值，方便计算。
3.指数运算可以用来表示科学计数法，即将一个数表示为一个小数和一个10的指数的乘积。
例如，1.23 x 10^4表示1.23乘以10的4次方。
这种表示方法常用于表示非常大或非常小的数，如宇宙中的距离、原子的大小等。
指数运算还有许多应用，如复利计算、概率计算、指数函数等。
在复利计算中，指数运算可以用来表示利息的复利计算。
在概率计算中，指数运算可以用来表示独立事件的概率。
在指数函数中，指数是变量，底数为常数，它们之间存在一种特殊的函数关系，称为指数函数。
在数学教育中，指数运算是一个重要的概念。
指数函数公式
1数学术语指数函数是数学中重要的函数。
应用到值e上的这个函数写为exp(x)。
还可以等价的写为e，这里的e是数学常数，就是自然对数的底数，近似等于 2.718281828，还称为欧拉数。
当a>1时，指数函数对于x的负数值非常平坦，对于x的正数值迅速攀升，在 x等于0 的时候y等于 1。
当0<a<1时，指数函数对于x的负数值迅速攀升，对于x的正数值非常平坦，在x等于 0 的时候等于 1。
在x处的切线的斜率等于此处y的值乘上lna。
即由导数知识：作为实数变量x的函数，的图像总是正的(在x轴之上)并递增(从左向右看)。
它永不触及x轴，尽管它可以任意程度的靠近它(所以，x轴是这个图像的水平渐近线。
它的反函数是自然对数ln(x)，它定义在所有正数x上。
有时，尤其是在科学中，术语指数函数更一般性的用于形如的指数函数函数，这里的 a 叫做“底数”，是不等于 1 的任何正实数。
本文最初集中于带有底数为欧拉数e 的指数函数。
指数函数的一般形式为(a>0且≠1) (x∈R)，从上面我们关于幂函数的讨论就可以知道，要想使得x能够取整个实数集合为定义域，则只有使得a>0且a≠1如图所示为a的不同大小影响函数图形的情况。
在函数中可以看到：（1）指数函数的定义域为所有实数的集合，这里的前提是a大于0且不等于1。
对于a不大于0的情况，则必然使得函数的定义域不存在连续的区间，因此我们不予考虑，同时a等于0函数无意义一般也不考虑。
（2）指数函数的值域为大于0的实数集合。
（3）函数图形都是下凸的。
（4） a>1时，则指数函数单调递增；若0<a<1，则为单调递减的。
（5）可以看到一个显然的规律，就是当a从0趋向于无穷大的过指数函数程中（不等于0），函数的曲线从分别接近于Y轴与X轴的正半轴的单调递减函数的位置，趋向分别接近于Y轴的正半轴与X轴的负半轴的单调递增函数的位置。
其中水平直线y=1是从递减到递增的一个过渡位置。
指数函数一般形式
指数函数一般形式
指数函数是一种经典的函数形式，其一般形式为f(x) = a^x，
其中a是底数，x是指数，a和x可以是实数或复数。
指数函数的基本特点是底数a大于0且不等于1，指数x可以
取任意实数或复数值。
对于不同的指数，指数函数的函数值也会发生变化，从而呈现出不同的特性。
指数函数的图像通常为一条指数曲线，其在0点处经过(0,1)点，随着x的增大或减小，函数值也会按照指数的幂次规律变化。
当x为正数时，指数函数呈现出增长趋势，底数越大，趋势增长越快；当x为负数时，指数函数呈现出衰减趋势，底数越大，趋势衰减越快。
指数函数的一个重要特性是它的导数等于自身的函数值与自然对数e的乘积，即f'(x) = a^x * ln(a)，其中ln(a)为以e为底数
的对数。
这一性质使得指数函数在数学和自然科学中有着广泛的应用，例如在金融、物理、生物等领域中经常出现指数增长和指数衰减的现象。
在数学和工程学科中，指数函数还有许多重要的应用。
例如在微积分、概率论和统计学中，指数函数常常作为基本的函数形式，用于描述随机过程的规律性；在电子工程、通信技术和计算机科学中，指数函数常用于描述电子元件、概率分布和算法效率等问题。
总之，指数函数作为一种经典的函数形式，在数学和工程学科
中具有广泛的应用和重要的性质。
在学习和研究相关学科时，熟练掌握指数函数的理论知识和实际应用，对于提高学习和研究水平具有重要作用。
10的lgx次方
10的lgx次方lgx是以10为底的对数函数，表示logx的换底公式。
而10的lgx 次方，实际上就是x本身。
在数学中，指数函数和对数函数是互为反函数的关系。
指数函数y=a^x中，a被称为底数，x称为指数，y称为幂。
对数函数y=loga(x)中，a被称为底数，x称为真数，y称为对数。
对于一般的指数函数y=a^x，我们可以将其转化为对数函数形式，即x=loga(y)。
当底数a取10时，对数函数简写为lgx。
现在我们来看10的lgx次方。
根据指数函数和对数函数的互反性质，我们可以得出10的lgx次方等于x。
这是因为，对于任意一个实数x，取以10为底的对数lgx，再将结果作为指数放到底数为10的指数函数中，结果就是x本身。
这个结论可以通过数学推导来证明。
假设y=10的lgx次方，则根据定义，lgx=log10(y)，而log10(y)就等于x，因此y=x。
所以，10的lgx次方等于x。
这个结论在数学中有着重要的应用。
在计算中，我们经常需要使用指数函数和对数函数来解决各种问题。
而10的lgx次方等于x这个等式，可以简化计算过程，提高计算效率。
例如，在科学计算、工程计算、金融计算等领域，我们经常需要进行指数运算和对数运算。
而10的lgx次方等于x这个等式的存在，使得我们可以直接使用指数函数和对数函数的互反性质，简化计算步骤，减少计算错误。
10的lgx次方等于x这个等式还有其他一些有趣的性质。
例如，当x为正整数时，10的lgx次方等于x表示了10的多少次方等于x。
而当x为负数时，10的lgx次方等于x表示了10的多少次方的倒数等于x。
10的lgx次方等于x这个等式是数学中的一个重要结论，它简化了计算过程，提高了计算效率。
在实际应用中，我们可以利用这个等式来解决各种问题，从而更好地应用数学知识。
指数函数运算法则详解
指数函数运算法则详解
指数函数是高中数学中的一个重要概念，在学习指数函数时，我们需要掌握指数函数的运算法则。
指数函数的运算法则主要包括指数幂乘法法则、指数幂除法法则、指数幂的乘方法则和指数幂的分配律等。
其中，指数幂乘法法则是指，同底数指数幂相乘，底数不变，指数相加。
例如，2的3次方乘以2的4次方，等于2的7次方。
指数幂除法法则是指，同底数指数幂相除，底数不变，指数相减。
例如，2的5次方除以2的3次方，等于2的2次方。
指数幂的乘方法则是指，一个数的指数幂的指数再次乘方，相当于底数不变，指数相乘。
例如，(2的3次方)的4次方，等于2的12次方。
指数幂的分配律是指，不同底数但指数相同的指数幂可以互相分配。
例如，2的4次方乘以3的4次方，等于(2乘以3)的4次方。
掌握了指数函数的运算法则，可以更好地理解指数函数的性质和应用。
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讨论：由图像
指出指数函数图 像有哪些特征？
x
-3 -2 -1
0
1
2
3
4
指数函数的图象和性质
4
a 1
2
0 a 1
2
y
y
图像
-5
y 1
o
-10
y 1
5 10 15
x
-5
-15
o
定义域： R 值域： (0, )
-2
R 定义域： 值域： (0, )
-2
x
5
图像过定点：(0,1)
-4
图像过定点： (0,1) 单调性： 减函数
一、复习引入：
引例1：某种细胞分裂时，由1个变成了2个，2个分裂成4 个，……1个这样的细胞分裂x次后，得到的细胞个数y与x的关 系式是？ 细胞个数 分裂次数 细胞分裂过程
第0次
第1 次 第2 次 第3 次 … …
1
2 4 8 ………
2
0
21
2 3 2
2
第x次
细胞个数y关于分裂次数x的表达式为： y
0.3
0.3
与 0.2
0.3
(1, d )
0.3 0.2
0.3
(1, a )
(1, b)
小
结
比较两个幂的形式的数大小的方法: (1) 对于底数相同指数不同的两个幂的大小 比较,可以利用指数函数的单调性来判断. (2) 对于底数不同指数相同的两个幂的大小 比较,可以利用比商法来判断. (3) 对于底数不同指数也不同的两个幂的大 小比较,则应通过中间值来判断.常用1和0.
(4) 0.80.2 1
4 a 4 b （ ）>( ) 7 7
a b
80.9 1
0.80.2 80.9
例：如图给出了四个指数函数的图像，其中a，b，c，d 都为正数，且都不为1，试比较a，b，c，d的大小。
(1, c)
b a 1 d c
你能比较出 0.3 的大小吗？
2
x
2
xN
xLeabharlann 引例2：一根1米长的绳子从中间剪一次剩下1/2 ，再从中 间剪一次剩下1/4，若剪x次剩下y米，x与y的关系式是？
剪绳次数 剩余绳子的长度 数
1 2
1
2
3
4
… …
x
… …
1
1 2
y
1 2
2
1 2
3
1 2
-4
性质
单调性： 增函数
奇偶性：非奇非偶函数
-6
当x 0时， 当x 0时,
-8
0 y___1
y___1
奇偶性：非奇非偶函数 当x 0时， 0 y___1
-6
当x 0时 , -8
y___1
讨论:两种情况函数的性质有何异同?
例2、 比较下列各题中两个值的大小：
(1)1.7a ,1.7a1 (2)0.80.1 ,0.80.2
x
函数的定义域是 R
1.指数函数定义
一般地，形如 y a (a0，且a1)的函数叫做 指数函数，其中x是自变量 . 函数的定义域是 R
x
思考：为何规定a0，且a1?
等都没有意义；
(1)当a0时，ax有些会没有意义，如(-2)
1 2
,0
1 2
(2）当a=1时，函数值y恒等于1，没有研究的意义
a 2 1 1 2 a 0 a 2 1
a 2 a 0 a 1
a 2
x
y2
y(
x
… 3 2 …
1 8
1
1 2
0
1
1
2
3
8
1 8
… …
1 4
2
1 2
4
1 4
1 x ) 2
…
8
4
2
8 y
1
…
y=2-x
作 图
y=2x
6
4 2 1
例3．求下列函数的定义域。
(1) y 2 1
x
(2) y a 1
x
(a 0且a 1)
例4.求下列函数的值域
(1) y 3 1
x
1 | x| (2) y ( ) 2 x x 1 (3) y 4 2 1
4 a 4 b （3）已知（ ）>( ) ,比较a，b的大小 7 7
(4)0.80.2 ______ 80.9
解： (1)考察指数函数y=1.7x 由于底数1.7>1 ,所以指数函数在R上是增函数. ∵a<a+1 ∴1.7a<1.7a+1 (2)0.8–0.1<0.8–0.2
4 x （3）考察函数y=（ ） ，它在实数集上是减函数 7
4
x
1 x 剩下绳子的长度与剪的次数的关系是：y ( ) 2
xN
二、新课 我们从前面的例子中得到了两个函数： 1 x x y( ) y2 2 1.这两个函数有何共同点和不同点？ 2.当x<0时是不是函数没有意义？ 1.指数函数的定义：
一般地，形如 y a (a0，且a1)的函数叫做 指数函数，其中x是自变量 .
(1)如果y=(a2 1) x 是指数函数，求实数a的取值范围。
2 a 1 0 2 a 1 1
实数a的取值范围 a 1或a 1 (, 2) ( 2, 1) (1, 2) ( 2, ) a 2
2 2x
(2)当a取何值时，y (a 1) a 是指数函数？
注：指数函数解析式y=ax的系数是1
例1：指出下列函数哪些是指数函数
(1) y=4
x
(2)y=x
4
(3)y=3 2
x
(4)y=2
1 x
(5)y=2 x 1 (8)y=4x 2
x
(6)y=(-4) x (9)y=2 x+2.
(7)y= x
1 (10)y=(2a-1) (a ) 2
变式训练：