用样本的数字特征估计总体的数字特征(1)

答：17名运动员成绩的众数、中位数、平均数依次是 1.75（米）、1.70（米）、1.69（米）.
用这些特征数据对总体进行估计的优缺点是什么？
平均数、中位数、众数都是描述数据的“集中趋势” 的“特征数”，它们各自特点如下： 用平均数作为一组数据的代表，比较可靠和稳定，它 与这组数据中的每一个数都有关系．对这些数据所包 含的信息的反映最为充分，因而应用最为广泛，特别 是在进行统计推断时有重要作用，但计算较繁琐，并 且易受极端数据的影响． 用众数作为一组数据的代表，可靠性较差，但众数不 受极端数据的影响，并且求法简便，当一组数据中个 别数据变动较大时，适宜选择众数来表示这组数据的 “集中趋势”． 用中位数作为一组数据的代表，可靠性也较差，但中 位数也不受极端数据的影响，也可选择中位数来表示 这组数据的“集中趋势”．
频率分布直方图如下：
频率 组距
中位数 2.03
0.50
0.40
0.30
0.20 0.10 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 月均用水量 /t 4.5
说明:
2.03这个中位数的估计值,与样本的 中位数值2.0不一样,这是因为样本数据 的频率分布直方图,只是直观地表明分 布的形状,但是从直方图本身得不出原 始的数据内容,所以由频率分布直方图 得到的中位数估计值往往与样本的实 际中位数值不一致.
为此，我们还 需要从另外一 个角度去考察 这2组数据！
9 10 环数Hale Waihona Puke Baidu
0.1
4 5 6 7 8 (乙)
直观上看，还是有差异的．如：甲成绩比较分散， 乙成绩相对集中(如图示)．因此，我们还需要从另外的 角度来考察这两组数据．例如：在作统计图表时提到过 的极差． 甲的环数极差=10-4=6 乙的环数极差=9-5=4. 它们在一定程度上表明了样本数据的分散程度，与 平均数一起，可以给我们许多关于样本数据的信息．显 然，极差对极端值非常敏感，注意到这一点，我们可以 得到一种“去掉一个最高分，去掉一个最低分”的统计 策略.
二 、众数、中位数、平均数与频率分布直方图的关系
1、众数在样本数据的频率分布直方图 中，就是最高矩形的中点的横坐标。 例如，在上一节调查的100位居民的月 均用水量的问题中，从这些样本数据的频 率分布直方图可以看出，月均用水量的众 数是2.25t.如图所示：
100位居民的月均用水量（单位：t）
3.1 3.4 3.2 3.3 3.2 3.0 2.5 2.6 2.5 2.8 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9 2.9 2.8 2.7 2.6 2.5 2.0 2.2 2.3 2.3 2.4 2.4 2.3 2.4 2.3 2.2 2.0 2.2 2.1 2.2 2.3 2.4 2.3 2.1 2.1 2.0 1.5 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 1.8 1.7 1.6 1.5 1.0 1.2 1.2 1.3 1.4 1.3 1.3 1.4 1.0 1.0 1.6 0.2 3.7 3.6 3.5 1.4 1.3 1.2 1.0 1.2 1.8 0.4 1.5 1.7 1.9 1.8 1.6 1.5 1.7 1.8 1.9 0.3 0.5 0.6 0.8 0.7 0.9 0.5 0.8 0.6 1.6 0.4 3.8 4.1 4.3 2.0 2.3 2.4 2.4 2.2
人员 周工资 人数 合计 经理 2200 1 2200 管理人员 250 6 1500 高级技工 220 5 1100 工人 200 10 2000 学徒 合计 100 1 23 100 6900
（1）指出这个问题中周工资的众数、中位数、 平均数 （2）这个问题中，工资的平均数能客观地反映 该厂的工资水平吗？为什么？
3、平均数是频率分布直方图的“重 心”.
是直方图的平衡点.
n 个样本数据的平均数公式 : 1 X= n ( x1 x2 xn )
下图显示了居民月均用水量的平均数:x=1.973
频率分布直方图如下：
频率
组距
平均数 1.973
0.50
0.40 0.30 0.20 0.10 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 月均用水量 /t 4.5
任何一个样本数据的改变都会引起平均数的改 变.这是中位数、众数都不具备的性质，也正是这个 原因，与众数、中位数比较起来，平均数可以反映 出更多的关于样本数据全体的信息.
我们常用算术平均数
1 n ai n i 1
(其中ai(i＝1，2，…，n)为n个实验数据)作为 重力加速度的近似值，它的依据是什么呢？
三.
三种数字特征的优缺点
1、众数体现了样本数据的最大集中 点，但它对其它数据信息的忽视使得无 法客观地反映总体特征.如上例中众数是 2.25t,它告诉我们,月均用水量为2.25t的 居民数比月均用水量为其它数值的居民 数多,但它并没有告诉我们多多少.
2、中位数是样本数据所占频率 的等分线，它不受少数几个极端值的 影响，这在某些情况下是优点，但它 对极端值的不敏感有时也会成为缺点。 如上例中假设有某一用户月均用水量 为10t，那么它所占频率为0.01,几乎 不影响中位数,但显然这一极端值是不 能忽视的。
3、由于平均数与每一个样本的 数据有关，所以任何一个样本数据的 改变都会引起平均数的改变，这是众 数、中位数都不具有的性质。也正因 如此 ，与众数、中位数比较起来，平 均数可以反映出更多的关于样本数据 全体的信息，但平均数受数据中的极 端值的影响较大，使平均数在估计时 可靠性降低。
四、众数、中位数、平均数的简单应用 例1 某工厂人员及工资构成如下：
频率分布直方图如下：
频率
组距
众数（最高的矩形的中 点）2.25
0.50
0.40 0.30 0.20 0.10 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 月均用水量 /t 4.5
2、在样本中,有50％的个体小于或等于中 位数,也有50％的个体大于或等于中位数. 因此，在频率分布直方图中，中位数左边 和右边的直方图的面积应该相等，由此可 以估计中位数的值。下图中虚线代表居民 月均用水量的中位数的估计值，此数据值 为2.03t.
∴数据落在[15.5，24.5)内的概率约为0.56．
练习2. 一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了 10000人，并根据所得数据画了样本的频率分布直方图 （如右图）．为了分析居民的收入与年龄、学历、职 业等方面的关系，要从这10000人中再用分层抽样方法 抽出100人作进一步调查，则在［2500，3000）（元） 月收入段应抽出 人．
2.2.2 用样本的数字特征估计 总体的数字特征
知识回顾：
1.频率分布直方图 2.频率分布折线图——总体分布的密度曲线
总体密度曲线
总体在区间(a , b)内取值的概率
3.茎叶图 1 25
←叶：表示个位数字 将所有两位数的 十位数字作为 “茎”，个位数 字作为“叶”， 茎相同者共用一 个茎，茎按从小 到大的顺序从上 向下列出，共茎 的叶一般按从小 到大（或从大到 小）的顺序同行 列出.
0.020 0.053 0.060 0.073 0.067 0.033 0.027
频率 组距 0.070 0.060 0.050
频率分布直方图如下：
0.040
0.030 0.020 0.010 12.5 15.5 18.5 21.5 24.5 27.5 30.5 33.5
样本数据
⑶数据落在[15.5，24.5)范围的频率为 0.16+0.18+0.22 = 0.56
2
茎：表示十位数字→
45
116679
3
4
5
分界线
49
0
回忆：绘制频率分布直方图有哪几个步骤呢？
画频率分布直方图的步骤: 第一步: 求极差: (数据组中最大值与最小值的差距) 第二步: 决定组距与组数: （强调取整） 组距：指每个小组的两个端点的距离，组距
组数：将数据分组，当数据在100个以内时，
极差 4.1 按数据多少常分5-12组。 组数= 8.2 组距 0.5
怎样用这些数据对重力加速度进行估计？ 阅读教材P71-73页。
知识新授：
一、众数、中位数、平均数的概念
一般地，n个数据按大小顺序排列，处于最中间 位置的一个数据（或最中间两个数据的平均数）叫做 这组数的中位数（median）． 一组数据中出现次数最多的那个数据叫做这组数 的众数（mode）． 算术平均数是指资料中各观测值的总和除以观 测值个数所得的商，简称平均数或均数． 用这些特征数据对总体进行估计的优缺点是什么？
解: 组距为3
分组 频数 频率 频率/ 组距
［12.5, ［15.5, ［18.5, ［21.5, ［24.5, ［27.5, ［30.5,
15.5） 3 18.5） 8 21.5） 9 24.5） 11 27.5） 10 30.5） 5 33.5） 4
0.06 0.16 0.18 0.22 0.20 0.10 0.08
练习: 在一次中学生田径运动会上，参加 男子跳高的17名运动员的成绩如下表所示：
成绩 (单位：米)
1.50 1.60 1.65 1.70 1.75 1.80 1.85 1.90 人数 2 3 2 3 4 1 1 1
分别求这些运动员成绩的众数，中位数与平均数
解：在17个数据中，1.75出现了4次，出现的次数最 多，即这组数据的众数是1.75． 上面表里的17个数据可看成是按从小到大的顺序 排列的，其中第9个数据1.70是最中间的一个数据，即 这组数据的中位数是1.70； 这组数据的平均数是
x1 x 2 x n x n
x
i 1
n
i
n
（加权平均数）
分析：众数为200，中位数为220，平均数为300。
因平均数为300，由表格中所列出的数据可见，只 有经理的周工资在平均数以上，其余的人都在平均数以 下，故用平均数不能客观真实地反映该工厂的工资水平。
问题：
有两位射击运动员在一次射击测试中 各射靶十次，每次命中的环数如下： 甲 7 8 7 9 5 4 9 10 7 4 乙 9 5 7 8 7 6 8 6 7 7
0.016
0.012 0.008 0.004
0
90 100 110 120 130 140 150 次 数
0.34
150
问题引入：
某校高一(1)班同学在老师的布置下，用单摆进行测试， 以检验重力加速度．全班同学两人一组，在相同条件 下进行测试，得到下列实验数据(单位：ｍ／s2)： 9.62 9.5 9.78 9.94 10.01 9.66 9.88 9.68 10.32 9.76 9.45 9.99 9.81 9.56 9.78 9.72 9.93 9.94 9.65 9.79 9.42 9.68 9.70 9.84 9.90
第三步: 将数据分组 ( 给出组的界限)
第四步: 列频率分布表. （包括分组、频数、频率、频率/组距） 第五步: 画频率分布直方图（在频率分布表的基础上绘制，横
坐标为样本数据尺寸，纵坐标为频率/组距.）
练习1:有一个容量为50的样本数据的分组的 频数如下： ［12.5, 15.5） 3 ［15.5, 18.5） 8 ［18.5, 21.5） 9 ［21.5, 24.5） 11 (1)列出样本的频率分布表; (2)画出频率分布直方图; (3)根据频率分布直方图估计,数据落在 [15.5, 24.5）的概率约是多少? ［24.5, 27.5） 10 ［27.5, 30.5） 5 ［30.5, 33.5） 4
月收入 ( 元 )
练习3：
为了了解高一学生的 体能情况,某校抽取部分学 生进行一分钟跳绳次数测 试，将所得数据整理后， 画出频率分布直方图(如 图)，图中从左到右各小 长方形面积之比为2：4： 17：15：9：3，第三小组 频数为51. (1)第三小组的频率是多 少?样本容量是多少?
频率/组距
0.036 0.032 0.028 0.024 0.020
解:由直方图可得： 在[2500, 3000) (元) 月收入段共有：
10000 0.0005 500 2500（人）
频率/组距
0.0005 0.0004
0.0003
0.0002
0.0001 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000
按分层抽样应抽出：
100 2500 25（人） 10000
如果你是教练，你应当如何对这次射击情 况作出评价？如果这是一次选拔性考核，你应 当如何作出选择？
x甲 7
x乙 7
两人射击 的平均成绩是一样的. 那么两个 人的水平就没有什么差异吗?
频率 0.3 0.2 0.1 频率 4 5 6 7 8 9 10
发现什么？
环数
(甲 ) 0.4 0.3 0.2