傅氏级数与傅氏变换

傅里叶级数与傅里叶变换

一、对于周期信号离散谱的理解

对于时域非周期函数，其包含(−∞,+∞)的所有频谱信息。

对于时域周期函数，每个周期的时域图像都完全相同，每个周期所包含的频谱信息也相同，因此在(−∞,+∞)范围内对于周期函数其频谱的频率完全由任意一周期的频谱的频率决定；其幅值则为各周期频谱幅值的叠加，其有无穷多个周期因此其幅值为无穷。

而周期信号的一个周期可以看作是在一个非周期信号上截下的一段，因此它一定不能包含所有的频谱信息（包含所有频谱信息即他的频谱在各频率点幅值均不为0）；其频谱表现为一系列离散的谱。

也就是说，周期信号的傅氏变换为其各个周期傅氏级数的叠加，其结果为在一系列离散频率点的冲击。

二、对傅里叶级数的理解

将所有函数看做一个线性空间，在空间内必可找到一组相互正交的基；以正交的三角函数系为基。在此基的基础上对任意一周期函f 数在一个周期内沿基展开就是傅里叶级数。基的各个元素的分量就是线性空间内函数f 在正交三角函数系上的的坐标。

而这一正交三角函数系也不能任意选取，其基频由时域信号本身决定，实际上是由有其周期决定。

即，ω=2π/T

三、对傅里叶变换的理解

傅里叶变换反映的是时域信号的幅频特性，仅包含幅值信息。

f t =12π F(j ω)+∞

−∞

e j ωt d ω 其中e j ωt 包含正弦信息，12πF(j ω)d ω包含幅值信息。因此，F(j ω)描述信号在频域不同频率下的幅度，称其为幅频特性或f(t)的频谱。

频谱仅考虑幅值的大小；与正负、相位无关。

四、周期信号的傅里叶变换

F j ω =2π F n +∞n=−∞δ(ω−n ω1)

其中，F n =1T f(t)e −jn ω1t dt T/2−T/2

f t=1,则，F jω=2πδ(ω)

f t=cos⁡(ω1t),则，F jω=π[δω−ω1+δω+ω1]

上式可利用移频性或者周期函数傅氏变换公式求的。也可用自己的“理解一”求得。注意加上幅值系数。

结论：周期函数傅氏变换必含有冲击。

2009-11-24