例题解析_经过一已知点作已知直线的垂线
垂线的画法
垂线的画法知识精讲利用三角板画垂线的方法（1）任意画一条直线与已知直线垂直。
先画一条直线，让三角板的一条直角边与这条直线重合，沿三角板的另一条直角边再画一条直线，所画直线就是已知直线的垂线，如下图。
这种情况下可以画出无数条已知直线的垂线。
（2）过直线上一点画一条直线与已知直线垂直。
让三角板的直角边与这条直线重合，平移三角板，使三角板的直角顶点与直线上的点重合，沿着三角板的另一条直角边再画一条直线，所画直线就是过直线上一点已知直线的垂线，如下图。
这种情况下只能画出1条直线与已知直线垂直。
（3）过直线外一点画一条直线与已知直线垂直。
让三角板的直角边与这条直线重合，平移三角板，使三角板的另一条直角边通过直线外的那一点，沿着三角板的另一条直角边再画一条直线，所画直线就是过直线外一点已知直线的垂线，如下图。
这种情况下只能画出1条直线与已知直线垂直线。
易错易误点画完垂线后不要忘记标上垂直符号以上总结了三种画已知直线的垂线的方法，画好垂线后，最后都要记得在垂足处标上垂直符号。
典型例题例1 请画出过直线外一点的垂线。
解析：让三角板的直角边与这条直线重合，平移三角板，使三角板的另一条直角边通过直线外的那一点，沿着三角板的另一条直角边再画一条直线，所画直线就是过直线外一点已知直线的垂线，最后要记得标上直角符号。
答案：如图所示。
例2 请画出过直线上一点的垂线。
解析：让三角板的直角边与这条直线重合，平移三角板，使三角板的直角顶点与直线上的点重合，沿着三角板的另一条直角边再画一条直线，所画直线就是过直线上一点已知直线的垂线，最后要标上直角符号。
答案：如图所示。
八年级数学上册全等三角形. 尺规作图 经过一已知点作已知直线的垂线
13．4 尺规作图
第3课时 经过(jīngguò)一已知点作已知直线的垂线
第一页，共九页。
第二页，共九页。
知识点❶ 经过已知直线上一点作已知直线的垂线(chuí xiàn) 1．(例题1变式)如图，求作已知锐角∠α的余角．
解：作法：(1)作∠AOB＝∠α；(2)延长BO至点C，作平角∠BOC的平分线OD，使OD，OA在 直线BC的同侧，则∠AOD就是所要求作的角
Image
12/13/2021
第九页，共九页。
解：如图，AH即为所求
第七页，共九页。
5．(青岛中考)用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹． 已知：线段(xiànduàn)c，直线l及l外一点A. 求作：Rt△ABC，使直角边为AC(AC⊥l，垂足为C)，斜边AB＝c.
解：如图，△ABC即为所求
第八页，共九页。
内容 总结 (nèiróng)
第四页，共九页。
3．(练习题1变式)如图，已知点P和直线l，求作点P关于(guānyú)直线l的对称点P′. 解：作法：(1)过点P作直线l的垂线，垂足为点O；(2)在线段PO的延长线上截取OP′＝OP，则 点P′就是所要求作的点
第五页，共九页。
第六页，共九页。
4．(练习题2变式)如图，在△ABC中，作出BC边上(biān shànɡ)的高AH.(不写作法，保留作 图痕迹)
No 第13章 全等三角形。(2)延长BO至点C，作平角∠BOC的平分线OD，使OD，OA在直线
(zhíxiàn)BC的同侧，则∠AOD就是所要求作的角。2．(习题4变式)如图，已知线段a和b(a＜b)，求作 一个直角三角形，使它的一条直角边长等于线段a，斜边长等于线段b.。(3)以点B为圆心，线段b为 半径作弧，交AD于点C，连结BC，则△ABC就是所要求作的直角三角形
中考专题复习——初中最基本的尺规作图总结与典型例题
初中基本尺规作图总结与典型例题一、理解“尺规作图”的含义1.在几何中，我们把只限定用直尺（无刻度）和圆规来画图的方法，称为尺规作图．其中直尺只能用来作直线、线段、射线或延长线段；圆规用来作圆和圆弧．由此可知，尺规作图与一般的画图不同，一般画图可以动用一切画图工具，包括三角尺、量角器等，在操作过程中可以度量，但尺规作图在操作过程中是不允许度量成分的．2.基本作图：（1）用尺规作一条线段等于已知线段；（2）用尺规作一个角等于已知角. 利用这两个基本作图，可以作两条线段或两个角的和或差.二、熟练掌握尺规作图题的规范语言1.用直尺作图的几何语言：①过点×、点×作直线××；或作直线××；或作射线××；②连结两点××；或连结××；③延长××到点×；或延长（反向延长）××到点×，使××＝××；或延长××交××于点×；2.用圆规作图的几何语言：①在××上截取××＝××；②以点×为圆心，××的长为半径作圆（或弧）；③以点×为圆心，××的长为半径作弧，交××于点×；④分别以点×、点×为圆心，以××、××的长为半径作弧，两弧相交于点×、×. 三、了解尺规作图题的一般步骤尺规作图题的步骤：1.已知：当作图是文字语言叙述时，要学会根据文字语言用数学语言写出题目中的条件；2.求作：能根据题目写出要求作出的图形及此图形应满足的条件；3.作法：能根据作图的过程写出每一步的操作过程.当不要求写作法时，一般要保留作图痕迹.对于较复杂的作图，可先画出草图，使它同所要作的图大致相同，然后借助草图寻找作法.在目前，我们只要能够写出已知，求作，作法三步（另外还有第四步证明）就可以了，而且在许多中考作图题中，又往往只要求保留作图痕迹，不需要写出作法，可见在解作图题时，保留作图痕迹很重要.尺规作图的定义：尺规作图是指用没有刻度的直尺和圆规作图。
【四年级下册数学】-14-几何(三)垂直与平行-七宝校区-学生版
垂直与平行【教学目标】1．利用直角三角尺检验两条直线是否互相垂直、互相平行；2．会用三角尺画出过已知点并与已知直线垂直的垂线；3．会用三角尺画出已知直线的平行线．【教学重点】1.检验两条直线互相垂直、互相平行；2.垂线与平行线的画法．【教学难点】1.画垂线；2.画平行线；【教学过程】一、垂直1.垂直与互相垂直：当两条直线相交成直角时，这两条直线互相垂直.其中一条直线叫做另一条直线的垂线，这两条直线的交点叫做垂足．用符号“⊥”表示．如果直线a和直线b互相垂直，记作a⊥b，读作a垂直于b；或记作b⊥a，读作b垂直于a．直线a和直线b的交点就是垂足．2. 检验两条直线是否互相垂直：用三角尺检验，如果有两条直线相交成直角，这两条直线就互相垂直．3.画垂线．过直线上一点做已知直线的垂线：（1）使三角尺上的红线与直线l重合；（2）沿着直线l平行移动三角尺，使点P落在三角尺的斜边上；（3）沿着三角尺的斜边画直m．过直线外一点做直线的垂线：（1）使三角尺的红线与直线l重合；（2）沿着直线l平行移动三角尺，使点Q落在三角尺的斜边上；（3）沿着三角尺的斜边画直线n．4.点到直线的距离．从直线外一点到这条直线所画的垂直线段最短，把这条垂直线段的长度叫作点到直线的距离．二、平行1．平行与互相平行: 当两条直线垂直于同一条直线时，这两条直线互相平行．其中一条直线叫做另一条直线的平行线．用符号“⊥”表示．例如，直线a和直线b互相平行，记作a⊥b，读作a平行于b；或记作b⊥a，读作b平行于a．2. 检验两条直线是否互相平行的方法：用三角尺画其中的一条直线的垂线，如果已知直线也垂直于这条直线，那么这两条直线就互相平行．3. 画平行线（1）在直线a上取一点P，过点P作直线a的垂线l；（2）在l上取一点B，使BP＝2.5cm；（3）过点B作直线l的垂线b．3． 平行线之间的距离在两条平行线a ，b 之间，垂直于这两条平行线的垂线段最短，把这条线段的长度叫做两条平行线之间的距离．【例题解析】例1：下图中哪些直线互相垂直，并用数学符号表示？例2：过直线l 上的点P 画直线l 的垂线。
5.1.2 垂 线(1)
5.1.2垂线第课时1.知道垂直是相交的特殊情况,理解垂线的概念.2.会用三角尺或量角器过一点画已知直线的垂线.通过操作、探究等活动,培养学生的动手能力,并通过活动使学生对知识的学习从感性认识上升到理性认识.通过生动、有趣的活动,使学生积极参与到数学活动中,并在活动中感受成功的快乐.【重点】垂线的定义,用三角尺或量角器过一点画已知直线的垂线.【难点】过一点画已知直线的垂线.【教师准备】相交线模型、三角尺、量角器.【学生准备】三角尺、直尺、量角器、硬纸条、图钉.导入一:出示意大利比萨斜塔图片.师:同学们,你们认识这个世界著名的建筑吗?对!是意大利的比萨斜塔.那么这个斜塔倾斜多少度呢?如图所示,直线AB可以看成地平面,射线OC可以看成塔身所在的直线.要回答这个问题,就涉及我们要学习的垂线问题.[设计意图]从学生比较熟悉的事物中抽象出数学问题,更能唤起学生探求新知的欲望.导入二:(学生事先准备宽约为1 cm,长约为20 cm的两张硬纸条,图钉一个)课堂操作:学生用图钉在中间把两张纸条订在一起,提示学生可以把两张纸条看作是两条直线,观察两条直线相交有几个交点?如图所示,可以看到,直线AB与CD相交,只有一个交点,可以说明直线AB,CD相交于点O.【思考】两条直线相交所构成的四个角能否相等?[设计意图]用现实生活中的例子,引入相交线所成的角,为理解垂直的定义做认知准备,同时也会激发学生的学习兴趣,有利于进入新的知识学习.导入三:如图所示,直线AB,CD相交于点O,若∠1=90°,求其他三个角.教师出示问题,学生独立解决问题,并在练习本上书写解答过程.在这一过程中,教师应当关注学生是否能够独立完成问题,并且能否较规范地写出解答过程.然后学生口述过程并说明理由.[设计意图]通过练习,一是复习上节课的邻补角和对顶角的概念及性质,二是逐步培养学生的推理论证能力.一、探究垂线的概念思路一利用相交线模型引入直线相互垂直的概念.教师出示相交线模型,如图(1)所示,固定其中一个木条a,转动另一个木条b,在这一过程中,它们的交角∠α在不停地变化,这一过程中,一定会出现它们的交角等于90°的情况,这时我们说a与b互相垂直,这时其中一条直线叫另一条直线的垂线,记作a⊥b,它们的交点叫做垂足,如图(2)所示,可记作:AB⊥CD,垂足为O.推理过程如下:因为∠AOC=90°(已知),所以AB⊥CD(垂直定义).[设计意图]通过模型的展示让学生认识到,垂直是相交的一种特殊情形,使学生对垂直首先有一个感性的认识,进而引入相关的概念.同时通过教师对图形的描述,使学生逐步学习用几何语言描述图形的语句.[知识拓展](1)垂直是相交线中一种特殊形式,当垂直时,这个公共点即为垂足.(2)线段与线段、线段与射线、射线与射线、线段与直线或射线与直线垂直,特指它们所在的直线互相垂直.(3)根据两条直线互相垂直的定义可知:若两条直线互相垂直,则所成的四个角都为直角;反之,若两条直线相交所成的四个角中的任意一个角等于90°,则这两条直线互相垂直.2.感受生活中互相垂直的实例.【思考】生活中有许多垂直的例子,你能举出一些例子吗?教师出示图片:(提示学生观察铁轨和枕木之间的位置关系)学生从中观察相互垂直的直线,然后举出一些互相垂直的例子.[设计意图]通过对实物的感知,使学生认识到生活中处处有数学图形,在感受生活中的数学的同时加深对垂线的理解与掌握.3.例题讲解(自设).如图所示,三条直线相交于点O.若CO⊥AB,∠1=56°,则∠2等于()A.30°B.34°C.45°D.56°〔解析〕∠1和∠2既不是对顶角也不是邻补角,这就需要根据给出的∠1的度数和相关位置进行思考.根据已知条件,把CO⊥AB转化为∠AOC=∠COB=90°是关键.发现∠AOD,∠DOB分别是∠2的邻补角和对顶角后,问题即可解决.方法1:因为CO⊥AB,所以∠COB=90°,所以∠DOB=90°-∠1=90°-56°=34°.所以∠2=∠DOB=34°(对顶角相等).方法2:因为CO⊥AB,所以∠COB=90°,所以∠AOD=90°+∠1=90°+56°=146°.所以∠2=180°-146°=34°(邻补角互补).故选B.[设计意图]角度计算题,目的是考查学生利用垂直定义以及对顶角性质解决问题的能力.思路二1.实验探究.教师自制教具,将两根木条钉在一起(如图所示),固定其中一根木条a,转动木条b,请学生观察:问题:在木条b的转动过程中,哪个量也随之发生改变?师生活动:学生发言,相互补充.教师借机和学生一起回忆上节课学习的内容:对顶角和邻补角的概念和性质.教师追问(1):当a与b所成角α为90°时,其余各角分别为多少度?师生活动:教师引导学生发现,当a与b所成角α为90°时,其余各角都为90°,是木条相交中最特殊的一种情况.教师追问(2):这时木条a与b有何位置关系呢?师生活动:学生根据小学已学的知识可以知道,此时木条a与b互相垂直.[设计意图]让学生借助已有的知识发现数学问题,并解决问题,进一步提高对垂直概念的认识.2.变换角度,认识垂直.仔细观察下图,当两条直线相交时所形成的4个角中,有一个角为90°,可以得出这两条直线有何位置关系呢?师生活动:学生回答,并归纳概括出垂直的定义.教师补充指出垂线和垂足的概念,并给出垂直的符号表示.教师追问(1):如图所示,如何用符号语言表示垂直的定义呢?师生活动:学生观察图形,独立完成用符号语言表示垂直的定义,教师点拨,规范学生的书写过程.如图所示,若AB和CD相交,且∠1=90°,则直线AB和CD互相垂直,记作“AB⊥CD”(或CD⊥AB),读作“AB 垂直于CD”.如果垂足是O,记作“AB⊥CD,垂足为O”.一般地,垂直在图中用“”表示,在推理计算的过程中用“⊥”表示.教师追问(2):如何判定两条射线互相垂直?两条线段呢?师生活动:学生积极踊跃发言,教师做总结,提醒学生注意:两条线段垂直、两条射线垂直、射线与直线垂直、线段与射线垂直、线段与直线垂直,都是指它们所在的直线垂直.根据两条直线互相垂直的定义可知:若两条直线互相垂直,则相交所成的四个角为直角;反之,若两条直线的交角为直角,则这两条直线互相垂直.如图所示,这个推理过程可以写成:因为AB⊥CD(已知),所以∠AOC=∠COB=∠BOD=∠AOD=90°(垂直的定义);反之,因为∠AOC=90°(已知),所以AB⊥CD.[设计意图]教师引导学生用几何语言描述图形的位置关系,并学会用符号语言表示,培养学生表达几何图形的能力.教师追问(3):你能举出一些生活中与垂直有关的实例吗?[设计意图]学生列举身边的实物,能由实物的形状想象出直线的垂直关系,将新知识应用到对周围环境的直接感知中,有利于学生建立直观、形象的数学模型.1.用三角尺或量角器画已知直线l的垂线,这样的垂线能画出几条?2.经过直线l上一点A画l的垂线,这样的垂线能画出几条?3.经过直线l外一点B画l的垂线,这样的垂线能画出几条?画法点拨:过一点画已知直线的垂线,可以用直角三角板来画,具体步骤为:(1)贴:将三角板的一条直角边紧贴在已知直线上;(2)过:使三角板的另一直角边经过已知点;(3)画:沿已知点所在直角边画出所求的直线.如图所示,图(1)是点在直线l上,图(2)是点在直线l外.两直线垂直的概念中的核心内容是直角,所以在画垂线时这个直角的位置就显得相当重要了,画错了位置,已知直线的垂线也就画错了.在画垂线时要注意让直角的一边与已知直线重合,而另一边要过已知点(即过此点画已知直线的垂线),在画垂线时要注意只有满足上述条件时,这两条直线才是垂直的.另外要画的已知直线的垂线是一条直线,千万不要画成线段或射线.提示:(1)过一点画射线或线段的垂线,是指画它们所在直线的垂线,垂足有时在延长线上.(2)过一点包括两种情况:①点在直线外;②点在直线上.活动方式:教师出示问题,学生分小组讨论尝试,然后找学生回答讨论的结果,并找学生到黑板上画一画.师生共同归纳结论:经过一点,能画出已知直线的一条垂线,并且只能画出一条垂线,即在同一平面内,过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.[设计意图]通过尝试、讨论、探究,找到画已知直线垂线的方法,使学生手脑并用,加深印象.通过师生的共同总结,培养学生的归纳总结能力,同时让学生认识到作已知直线的垂线的两种情况.(补充)如图(1)所示,在三角形ABC中,∠BCA为钝角.(1)画出过点C且与线段BA垂直的直线;(2)画出过点A且与线段BC垂直的直线.〔解析〕利用三角尺的直角正确画出图形,注意垂足的位置.(1)过点C作AB的垂线,垂足在线段AB 上.(2)因为∠BCA是钝角,过点A画BC的垂线时,垂足在BC的延长线上.解:(1)过点C画AB的垂线,交AB于D,CD就是所求,如图(2)所示.(2)过点A画BC的垂线,交BC的延长线于E点,AE就是要求的垂线,如图(2)所示.[知识拓展](1)在同一平面内,经过直线上一点或直线外一点画已知直线的垂线,只能画出一条.(2)经过一点画射线或线段的垂线,是指画它们所在直线的垂线,垂足有时在射线的反向延长线或线段的延长线上(如图所示).(3)画垂线时是实线,此时如需延长线段或反向延长射线,要用虚线延长或反向延长.1.垂线的概念:当两条直线相交所成的四个角中,有一个角是直角时,就说这两条直线互相垂直,其中一条直线叫做另一条直线的垂线,它们的交点叫做垂足.2.垂线的性质:(1)在同一平面内,过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.(2)“有且只有”中,“有”指“存在性”,“只有”指“唯一性”.(3)“过一点”中的“点”在直线上或直线外都可以.1.下列说法中,正确的个数是()①相等的角是对顶角;②在同一平面内,过一点有且只有一条直线和已知直线垂直;③两条直线相交有且只有一个交点;④两条直线相交成直角,则这两条直线互相垂直.A.1B.2C.3D.4解析:两角相等指的是数量关系上的相等,对顶角是特殊位置关系的相等的角,故①错误;在同一平面内,过一点有且只有一条直线和已知直线垂直,故②正确;两条直线相交有且只有一个交点,故③正确;两条直线相交成直角,则这两条直线互相垂直,故④正确.即正确的个数是3.故选C.2.下列四个条件中能判断两条直线互相垂直的有()①两条直线相交所成的四个角中,有一个角是直角;②两条直线相交所成的四个角相等;③两条直线相交所成的四个角中,有一组相邻的角相等;④两条直线相交所成的四个角中,有一组对顶角的和为180°.A.4个B.3个C.2个D.1个解析:①两条直线相交所成的四个角中有一个角是直角,是定义,能判断;②两条直线相交所成的四个角相等,则四个角都是直角,能判断;③两条直线相交所成的四个角中有一组相邻的角相等,根据邻补角的定义能求出这两个角都是直角,能判断;④两条直线相交所成的四个角中有一组对顶角的和为180°,根据对顶角相等求出这两个角都是直角,能判断.所以四个条件都能判断两条直线互相垂直.故选A.3.如图所示,过P点,画出射线OA,OB的垂线.解析:图(1)的P点在射线OA,OB之外,图(2)的P点在射线OA之外,在射线OB之上.图(2)过点P作射线OA的垂线时,要注意垂足在射线OA的反向延长线上,需要用虚线表示延长线.解:如图所示.4.如图所示,直线AB,CD相交于点O,OE⊥CD,OF⊥AB,∠BOD=25°,求∠AOE和∠DOF的度数.解:因为OE⊥CD,OF⊥AB,∠BOD=25°,所以∠AOE=90°-25°=65°,∠DOF=90°+25°=115°.第1课时1.探究垂线的概念当两条直线相交所成的四个角中,有一个角是直角时,就说这两条直线互相垂直,其中一条直线叫做另一条直线的垂线,它们的交点叫做垂足.例12.垂线的画法和性质在同一平面内,过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.例2一、教材作业【必做题】教材第5页练习第1,2题.【选做题】教材第8页习题5.1第3,4题.二、课后作业【基础巩固】1.如图所示,已知点O在直线AB上,CO⊥DO于点O,若∠1=145°,则∠3的度数为()A.35°B.45°C.55°D.65°2.两条直线相交所构成的四个角中:①有三个角都相等;②有一对对顶角互补;③有一个角是直角;④有一对邻补角相等.其中能判定这两条直线垂直的有()A.1个B.2个C.3个D.4个3.如图所示,在正方体中和AB同在一个平面,且和AB垂直的边有()A.1条B.2条C.3条D.4条4.如图所示,已知AB,CD相交于O,OE⊥CD于O,∠AOC=30°,则∠BOE等于()A.30°B.60°C.120°D.130°【能力提升】5.如图所示,已知直线AB和CD相交于O点,CO⊥OE,OF平分∠AOE,∠COF=34°,求∠BOD的度数.6.如图所示,已知OC⊥AB于O,∠AOD∶∠COD=1∶2.(1)若OE平分∠BOC,求∠DOE的度数;(2)若∠AOE的度数比∠COE的度数的3倍多30°,试判断OD与OE的位置关系,并说明理由.7.如图所示,直线AB,CD相交于点O,∠BOD=40°,按下列要求画图并回答问题.(1)在直线AB上方画射线OE,使OE⊥AB;(2)分别在射线OA,OE上截取线段OM,ON,使OM=ON,连接MN;(3)画∠AOD的平分线OF,交MN于点F;(4)直接写出∠COF和∠EOF的度数:∠COF=度,∠EOF=度.【拓展探究】8.(1)在图(1)中以P为顶点画∠P,使∠P的两边分别和∠1的两边垂直;(2)量一量图(1)中∠P和∠1的度数,它们之间的数量关系是;(3)同样在图(2)和图(3)中以P为顶点作∠P,使∠P的两边分别和∠1的两边垂直,分别写出图(2)和图(3)中∠P和∠1之间的数量关系(不要求写出理由).图2:,图3:;(4)由上述三种情形可以得到一个结论:如果一个角的两边分别和另一个角的两边垂直,那么这两个角.(不要求写出理由)【答案与解析】1.C(解析:因为∠1=145°,所以∠2=180°-145°=35°,因为CO⊥DO,所以∠COD=90°,所以∠3=90°-∠2=90°-35°=55°.故选C.)2.D(解析:根据垂直的定义:两直线的交角为90°时,这两条直线互相垂直进行分析即可.)3.D(解析:因为正方体的每一个面都是正方形,即每一个角都为90°,所以与AB垂直的边有4条.故选D.)4.C(解析:因为OE⊥CD,所以∠EOD=90°,因为∠AOC=30°,所以∠BOD=∠AOC=30°,所以∠BOE=∠EOD+∠BOD=90°+30°=120°.故选C.)5.解:因为CO⊥OE,所以∠COE=90°.因为∠COF=34°,所以∠EOF=90-34°=56°.又因为OF平分∠AOE,所以∠AOF=∠EOF=56°.因为∠COF=34°,所以∠AOC=56°-34°=22°.则∠BOD=∠AOC=22°.6.解:(1)因为OC⊥AB于O,所以∠AOC=∠BOC=90°.因为∠AOC=90°,∠AOD∶∠COD=1∶2,所以∠DOC=60°.因为OE平分∠BOC,∠BOC=90°,所以∠COE=45°,∠DOE=∠DOC+∠COE=60°+45°=105°. (2)OD⊥OE.理由如下:OC⊥AB于O,所以∠AOC=∠BOC=90°.因为∠AOC=90°,∠AOD∶∠COD=1∶2,所以∠DOC=60°,因为∠AOE-∠COE=2∠COE+30°,且∠AOE-∠COE=90°,所以2∠COE+30°=90°,所以∠COE=30°.因为∠DOE=∠DOC+∠COE=60°+30°=90°,所以OD⊥OE.7.解:(1)如图所示的射线OE. (2)如图所示的ON,OM,线段MN. (3)如图所示的OF平分∠AOD,交MN于点F. (4)110208.解:(1)如图(1)所示. (2)∠P+∠1=180°(3)如图(2)(3)所示. ∠P=∠1∠APB+∠1=180°(4)相等或互补在这堂课中,学生的主体地位突出,真正经历了知识形成的全过程.在自主学习、合作交流的活动中升华了对知识的理解.教学实践也证明,在自由探索与合作交流的学习方式中,学生认识活动的强度和力度要比单纯接受知识大得多.在本节课中的每一个学习活动,都以学生个性思维、自我感悟为前提,多次设计了让学生自主探索、合作交流的活动.通过学生和谐有效地互动,强化了学生的自主学习意识.(1)在教学过程中学生归纳的少,教师说明的多,没有让学生充分发表自己的见解.(2)在学习画垂线的过程中,部分学生画的不够规范,教师在指导上不够到位.对于知识的形成,教师要充分让学生探索、观察,用自己的语言表述发现的问题,然后充分发挥集体的合力,取长补短,逐步完善,教师再给以适当的点拨,形成结论.画已知直线的垂线,教师要注意画图的指导,一要注意规范,二要注意对知识的分析与强化,使学生对垂线有更深一步的认识.从而达到对知识的理解和掌握,对于学生出现的问题一定要及时点评.。
垂线(知识讲解)-七年级数学下册基础知识专项讲练(人教版)
专题5.4垂线（知识讲解）1.理解垂直作为两条直线相交的特殊情形，掌握垂直的定义及性质；2.理解并运用“垂线段最短”解决实际问题；3.理解点到直线的距离的概念，并会度量点到直线的距离；4.能依据对顶角、邻补角及垂直的概念与性质，进行简单的计算.1．垂线的定义：两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫垂足．特别说明：(1)记法：直线a 与b 垂直，记作：a b ⊥；直线AB 和CD 垂直于点O，记作：AB⊥CD 于点O.(2)垂直的定义具有二重性，既可以作垂直的判定，又可以作垂直的性质，即有：90AOC ∠=° 判定性质CD⊥AB．：过一点画已知直线的垂线，可通过直角三角板来画，具体方法是使直角三角板的一条直角边和已知直线重合，沿直线左右移动三角板，使另一条直角边经过已知点，沿此直角边画直线，则所画直线就为已知直线的垂线(如图所示)．特别说明：(1)如果过一点画已知射线或线段的垂线时，指的是它所在直线的垂线，垂足可能在射线的反向延长线上，也可能在线段的延长线上．(2)过直线外一点作已知直线的垂线，这点与垂足间的线段为垂线段．3．垂线的性质：（1）在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．（2）连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短．简单说成：垂线段最短．特别说明：（1）性质（1）成立的前提是在“同一平面内”，“有”表示存在，“只有”表示唯一，“有且只有”说明了垂线的存在性和唯一性．（2）性质（2）是“连接直线外一点和直线上各点的所有线段中，垂线段最短．”实际上，连接直线外一点和直线上各点的线段有无数条，但只有一条最短，即垂线段最短．在实际问题中经常应用其“最短性”解决问题．4．点到直线的距离：定义：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离．特别说明：（1）点到直线的距离是垂线段的长度，是一个数量，不能说垂线段是距离；（2）求点到直线的距离时，要从已知条件中找出垂线段或画出垂线段，然后计算或度量垂线段的长度．【典型例题】类型一、垂线➽➼定义的理解➼➻垂直✬✬直角1．如图，直线AB ，CD 相交于点O ，下列条件：90AOD ∠=︒①；AOC BOC ∠=∠②；AOC BOD ∠=∠③，其中能说明AB CD ⊥的有（）A ．①B ．①或②C ．①或③D ．①或②或③【答案】B 【分析】根据垂直定义“当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直”进行判定即可．解：90AOD ∠=︒①，可以得出AB CD ⊥，故符合题意；180AOC BOC ∠+∠=︒ ②，AOC BOC ∠=∠，故符合题意，90AOC BOC ∴∠=∠=︒，可以得出AB CD ⊥；AOC BOD ∠=∠③，不能得到AB CD ⊥，故不符合题意；故能说明AB CD ⊥的有①②．故选：B ．【点拨】此题主要考查了垂直定义，关键是通过条件计算出其中一个角为90︒．举一反三：【变式1】如图，同一平面内的三条直线交于点O ，130∠=︒，260∠=︒，AB 与CD 的关系是（）A ．平行B ．垂直C ．重合D ．以上均有可能【变式2】如图，120∠=︒，则2∠的度数是（）A．50︒B．60︒C．70︒D．80︒【答案】C【分析】根据图象可得：∠1+∠2=90°，代入求解即可得出结果．解：∵∠1+∠2+90°=180°，∴∠1+∠2=90°，∵∠1=20°，∴∠2=70°，故选：C．【点拨】题目主要考查角度计算，从图中得出∠1+∠2=90°是解题关键．类型二、垂线➽➼垂线的画法条射线重合，折痕a即为所求，下列判断正确的是（）A．只有嘉嘉对B．只有淇淇对C．两人都对D．两人都不对【答案】C【分析】根据垂直的定义即可解答．解：嘉嘉利用量角器画90°角，可以画垂线，方法正确；淇淇过点A将纸片折叠，使得以A为端点的两条射线重合，折痕a垂直直线l，方法正确，故选：C．【点拨】本题主要考查了作图、垂线的定义，掌握垂直的定义是解答本题的关键．举一反三：【变式1】下列用三角板过点P画AB的垂线CD，正确的是（）【变式2】过一条线段外一点，作这条线段的垂线，垂足在()A．这条线段上B．这条线段的端点处C．这条线段的延长线上D．以上都可以【答案】D【分析】画一条线段的垂线就是画线段所在直线的垂线，进而得出答案.解答：由垂线的定义知，画一条线段的垂线，垂足可以在线段上，可以是线段的端点，也可以在线段的延长线上.故选D.【点拨】本题主要考查线段垂线的画法，正确把握垂线的定义是关键.类型三、垂线➽➼点到直线的距离✬✬垂线段画法3．如图，90AOB ∠=︒，P 是OB 上的一点，用刻度尺分别度量点P 到直线OA 和到直线OC 的距离．【答案】点P 到直线OA 的距离约为2cm ，点P 到直线OC 的距离约为1.1cm【分析】过点P 作PD OC ⊥，用刻度尺分别度量PO 和PD 的长度，即可得到点P 到直线OA 和到直线OC 的距离．【详解】解：过点P 作PD OC ⊥，用刻度尺分别度量，可得点P 到直线OA 的距离约为2cm ，点P 到直线OC 的距离约为1.1cm ．【点拨】本题考查了点到直线的距离，解题的关键是清楚点到直线的距离是垂线段的长度．举一反三：【变式1】如图，AB 、CD 、NE 相交于点O ，OM 平分BOD ∠，OM ON ⊥，55AOC ∠=︒．(1)线段______的长度表示点M 到NE 的距离；(2)比较MN 与MO 的大小（用“＜”号连接）：____________，并说明理由：____________；(3)求AON ∠的度数．【答案】(1)MO ；(2)MO MN <，是因为垂线段最短；(3)62.5︒【分析】（1）根据点到直线的距离求解即可；（2）根据垂线段最短求解即可；（3）根据垂直的定义和角之间的关系求解即可．（1）解：线段MO 的长度表示点M 到NE 的距离，故答案为：MO ；（2）解：比较MN 与MO 的大小为：MO MN <，是因为垂线段最短，故答案为：MO MN <，是因为垂线段最短；（3）解：55BOD AOC ∠=∠=︒ ，OM 平分BOD ∠，27.5BOM ∴∠=︒，18018027.59062.5AON BOM MON ∴∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒．【点拨】本题考查了点到直线的距离、角平分线、垂线段最短，解题的关键是掌握点到直线的距离．【变式2】已知：点P 是直线MN 外一点，点A 、B 、C 是直线MN 上三点，分别连接PA 、PB 、PC ．（1）通过测量的方法，比较PA 、PB 、PC 的大小，直接用“>”连接；（2）在直线MN 上能否找到一点D ，使PD 的长度最短？如果有，请在图中作出线段PD ，并说明它的理论依据；如果没有，请说明理由．【答案】（1）PA PB PC >>；（2）见解析，垂线段最短【分析】(1)直接测量，比较大小即可；(2)作MN 的垂线，垂足为D ，PD 即所求．解：（1）通过测量可知， 3.7PA =cm ， 3.2PB =cm ， 2.8PC =cm ，故PA PB PC >>；（2）过点P 作PD MN ⊥，则PD 最短．理由：垂线段最短【点拨】本题考查了垂线段最短的性质，解题关键是能熟练的测量线段的长度，知道垂线段最短．类型四、垂线➽➼点到直线的距离✬✬垂线段的长4．如图，在ABC 中，90ACB ∠=︒，8cm AC =，6cm BC =，10cm AB =，点P 从点A 出发，沿射线AB 以2/cm s 的速度运动，点Q 从点C 出发，沿线段CB 以1cm /s 的速度运动，P 、Q 两点同时出发，当点Q 运动到点B 时P 、Q 停止运动，设Q 点的运动时间为t 秒．（1）当t =______时，2BP CQ =；（2）当t =______时，BP BQ =；（3）画CD AB ⊥于点D ，并求出CD 的值；（4）当t =______时，有2ACP ABQ S S = ．举一反三：【变式1】如图，点A、点B是直线l上两点，AB＝10，点M在直线l外，MB＝6，MA＝8，∠AMB＝90°，若点P为直线l上一动点，连接MP，则线段MP的最小值是____．【答案】4.8【分析】根据垂线段最短可知：当MP⊥AB时，MP有最小值，利用三角形的面积可列式计算求解MP的最小值．解：当MP⊥AB时，MP有最小值，∵AB＝10，MB＝6，MA＝8，∠AMB＝90°，∴AB•MP＝AM•BM，即10MP＝6×8，解得MP＝4.8．故答案为：4.8．【点拨】本题主要考查垂线段最短，三角形的面积，找到MP最小时的P点位置是解题的关键．【变式2】如图，在三角形ABC中，AC＝5，BC＝6，BC边上的高AD＝4，若点P在边AC 上（不与点A，C重合）移动，则线段BP最短时的长为_________________．中考真题专练4．（2022·江苏常州·中考真题）如图，斑马线的作用是为了引导行人安全地通过马路．小丽觉得行人沿垂直马路的方向走过斑马线更为合理，这一想法体现的数学依据是（）A ．垂线段最短B ．两点确定一条直线C ．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直D ．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行【答案】A【分析】根据垂线段最短解答即可．解：行人沿垂直马路的方向走过斑马线，体现的数学依据是垂线段最短，故选：A ．【点拨】本题考查垂线段最短，熟知垂线段最短是解答的关键．举一反三：【变式1】（2022·河南·中考真题）如图，直线AB ，CD 相交于点O ，EO ⊥CD ，垂足为O ．若∠1＝54°，则∠2的度数为（）A ．26°B ．36°C ．44°D ．54°【答案】B 【分析】根据垂直的定义可得90COE ∠=︒，根据平角的定义即可求解．解： EO ⊥CD ，90COE ∴∠=︒，12180COE ∠+∠+∠=︒ ，2180905436∴∠=︒-︒-︒=︒．故选：B ．【点拨】本题考查了垂线的定义，平角的定义，数形结合是解题的关键．【变式2】（2021·北京·中考真题）如图，点O 在直线AB 上，OC OD ⊥．若120AOC ∠=︒，则BOD ∠的大小为（）A ．30︒B ．40︒C ．50︒D ．60︒【变式3】（2021·浙江杭州·中考真题）如图，设点P 是直线l 外一点，PQ l ⊥，垂足为点Q ，点T 是直线l 上的一个动点，连接PT ，则（）A ．PT PQ≥2B ．PT PQ ≤2C ．PT PQ ≥D ．PT PQ≤【答案】C 【分析】根据垂线段距离最短可以判断得出答案．【详解】解：根据点P 是直线l 外一点，PQ l ⊥，垂足为点Q ，∴是垂线段，即连接直线外的点P与直线上各点的所有线段中距离最短，PQ=，当点T与点Q重合时有PQ PT≥，综上所述：PT PQ故选：C．【点拨】本题考查了垂线段最短的定义，解题的关键是：理解垂线段最短的定义．。
初一数学《相交线与平行线综合探究型题及答案解析》
初一数学《相交线与平行线》及探究题、答案解析知识要点：1. 两条直线的位置关系（1）在同一平面内，两条直线的位置关系有两种：相交与平行． （2）平行线：在同一平面内，不相交的两条直线叫平行线． 2. 几种特殊关系的角（1）余角和补角：如果两个角的和是直角，称这两个角互为余角．如果两个角的和是平角，称这两个角互为补角．（2）对顶角：①定义：一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线，这两个角叫对顶角． ②性质：对顶角相等．（3）同位角、内错角、同旁内角两条直线分别与第三条直线相交，构成八个角．①在两条直线之间并且在第三条直线的两旁的两个角叫做内错角． ②在两条直线的同一侧并且在第三条直线同旁的两个角叫做同位角． ③在两条直线之间并且在第三条直线同旁的两个角叫做同旁内角． 3. 主要的结论 （1）垂线①过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．②直线外一点与直线上各点连结的所有线段中，垂线段最短．简称：垂线段最短． （24. 几个概念（1）垂线段：过直线外一点，作已知直线的垂线，这点和垂足之间的线段． （2）点到直线的距离：从直线外一点到这条直线的垂线段的长度． 5. 几个基本图形（1）相交线型．①一般型（如图①）；②特殊型（垂直，如图②）．（2）三线八角．①一般型（如图①）；②特殊型（平行，如图②）．ABC DOABCDO ①②重点难点：重点有两个：一方面要掌握关于相交线和平行线的一些基本事实，另一方面学会借助三角尺上的直角或量角器画已知直线的垂线，用移动三角尺的方法画平行线．难点是是利用对顶角的性质、平行线的特征、两直线平行的条件等进行推理和计算．考点分析：考查（1）对顶角的性质；（2）平行线的识别方法；（3）平行线的特征，其中依据平行线的识别与特征解决一类与平行线有关的几何问题是历届中考命题的重要考点．常见题型有填空题、选择题和解答题，单纯考查一个知识点的题目并不难，属于中低档题，将平行线的特征与其他知识综合起来考查的题目难度较大，属高档题．【典型例题】1. 如图所示，已知FC ∥AB ∥DE ，∠α∶∠D ∶∠B ＝2∶3∶4，求∠α、∠D 、∠B 的度数．2. 如图所示，直线a ∥b ，则∠A ＝__________．3．如图1，直线MN 与直线AB 、CD 分别交于点E 、F ，∠1与∠2互补． （1）试判断直线AB 与直线CD 的位置关系，并说明理由；A BCDEFAB CDEF①②ABC DEF12αABCEa b28°50°（2）如图2，∠BEF与∠EFD的角平分线交于点P，EP与CD交于点G，点H是MN上一点，且GH⊥EG，求证：PF∥GH；（3）如图3，在（2）的条件下，连接PH，K是GH上一点使∠PHK=∠HPK，作PQ平分∠EPK，问∠HPQ的大小是否发生变化？若不变，请求出其值；若变化，说明理由．4．已知，BC∥OA，∠B=∠A=100°，试回答下列问题：（1）如图①，求证：OB∥AC．（2）如图②，若点E、F在线段BC上，且满足∠FOC=∠AOC，并且OE平分∠BOF．则∠EOC的度数等于；（在横线上填上答案即可）．（3）在（2）的条件下，若平行移动AC，如图③，那么∠OCB：∠OFB的值是否随之发生变化？若变化，试说明理由；若不变，求出这个比值．（4）在（3）的条件下，如果平行移动AC的过程中，若使∠OEB=∠OCA，此时∠OCA度数等于．（在横线上填上答案即可）．5．如图，已知两条射线OM∥CN，动线段AB的两个端点A、B分别在射线OM、CN上，且∠C=∠OAB=108°，F在线段CB上，OB平分∠AOF，OE平分∠COF．（1）请在图中找出与∠AOC相等的角，并说明理由；（2）若平行移动AB，那么∠OBC与∠OFC的度数比是否随着AB位置的变化而发生变化？若变化，找出变化规律；若不变，求出这个比值；（3）在平行移动AB的过程中，是否存在某种情况，使∠OEC=2∠OBA？若存在，请求出∠OBA度数；若不存在，说明理由．6．已知E，F分别是AB、CD上的动点，P也为一动点．（1）如图1，若AB∥CD，求证：∠P=∠BEP+∠PFD；（2）如图2，若∠P=∠PFD﹣∠BEP，求证：AB∥CD；（3）如图3，AB∥CD，移动E，F使得∠EPF=90°，作∠PEG=∠BEP，求的值．7．已知：∠A=（90+x）°，∠B=（90﹣x）°，∠CED=90°，射线EF∥AC，2∠C﹣∠D=m．（1）判断AC与BD的位置关系，并说明理由．（2）如图1，当m=30°时，求∠C、∠D的度数．（3）如图2，求∠C、∠D的度数（用含m的代数式表示）．8．（1）如图（1），EF⊥GF，垂足为F，∠AEF=150°，∠DGF=60°．试判断AB和CD的位置关系，并说明理由．（2）如图（2），AB∥DE，∠ABC=70°，∠CDE=147°，∠C=．（直接给出答案）（3）如图（3），CD∥BE，则∠2+∠3﹣∠1=．（直接给出答案）（4）如图（4），AB∥CD，∠ABE=∠DCF，求证：BE∥CF．9．如图1，点E在直线BH、DC之间，点A为BH上一点，且AE⊥CE，∠DCE﹣∠HAE=90°．（1）求证：BH∥CD．（2）如图2：直线AF交DC于F，AM平分∠EAF，AN平分∠BAE．试探究∠MAN，∠AFG的数量关系．10.平面镜反射光线的规律是：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等，如图，一束光线m先射到平面镜a上，被平面镜a反射到平面镜b上，又被平面镜b反射出光线n．（1）若m∥n，且∠1=50°，则∠2=°，∠3=°；（2）若m∥n，且∠1=40°，则∠3=°；（3）根据（1）、（2）猜想：当两平面镜a、b的夹角∠3是多少度时，总有m∥n？试证明你的猜想．初一数学相交线和平行线探究题1．AB∥CD，点C在点D的右侧，∠ABC，∠ADC的平分线交于点E（不与B，D点重合）．∠ABC=n°，∠ADC=80°．（1）若点B在点A的左侧，求∠BED的度数（用含n的代数式表示）；（2）将（1）中的线段BC沿DC方向平移，当点B移动到点A右侧时，请画出图形并判断∠BED的度数是否改变．若改变，请求出∠BED的度数（用含n的代数式表示）；若不变，请说明理由．2．已知：如图①、②，解答下面各题：（1）图①中，∠AOB=55°，点P在∠AOB内部，过点P作PE⊥OA，PF⊥OB，垂足分别为E、F，求∠EPF 的度数。
中考数学专题复习 专题30 尺规作图问题(教师版含解析)
中考专题30 尺规作图问题1.尺规作图的定义：只用不带刻度的直尺和圆规通过有限次操作，完成画图的一种作图方法．尺规作图可以要求写作图步骤，也可以要求不一定要写作图步骤，但必须保留作图痕迹。
2.尺规作图的五种基本情况(1)作一条线段等于已知线段；(2)作一个角等于已知角；(3)作已知线段的垂直平分线；(4)作已知角的角平分线；(5)过一点作已知直线的垂线。
3.对尺规作图题解法写出已知，求作，作法(不要求写出证明过程)并能给出合情推理。
4.中考专题要求(1)能完成以下基本作图：作一条线段等于已知线段，作一个角等于已知角，作角的平分线，作线段的垂直平分线.(2)能利用基本作图作三角形：已知三边作三角形；已知两边及其夹角作三角形；已知两角及其夹边作三角形；已知底边及底边上的高作等腰三角形.(3)能过一点、两点和不在同一直线上的三点作圆.(4)了解尺规作图的步骤，对于尺规作图题，会写已知、求作和作法(不要求证明).【经典例题1】(2020年•台州)如图，已知线段AB ，分别以A ，B 为圆心，大于12AB 同样长为半径画弧，两弧交于点C，D，连接AC，AD，BC，BD，CD，则下列说法错误的是( )A．AB平分∠CAD B．CD平分∠ACB C．AB⊥CD D．AB＝CD【标准答案】D【分析】根据作图判断出四边形ACBD是菱形，再根据菱形的性质：菱形的对角线平分一组对角、菱形的对角线互相垂直平分可得出标准答案．【答案剖析】由作图知AC＝AD＝BC＝BD，∴四边形ACBD是菱形，∴AB平分∠CAD、CD平分∠ACB、AB⊥CD，不能判断AB＝CD【知识点练习】(2019•丽水模拟题)如图，小红在作线段AB的垂直平分线时，是这样操作的：分别以点A，B为圆心，大于线段AB长度一半的长为半径画弧，相交于点C，D，则直线CD即为所求．连结AC，BC，AD，BD，根据她的作图方法可知，四边形ADBC一定是( )A.矩形B.菱形C.正方形D.等腰梯形【标准答案】B【答案剖析】根据垂直平分线的画法得出四边形ADBC 四边的关系进而得出四边形一定是菱形。
八年级数学上册第13.4尺规作图4经过一已知点作已知直线的垂线5作已知线段的垂直平分线导学华东师大版
13. 4 尺规作图 4．经过一已知点作已知直线的垂线 5．作已知线段的垂直平分线
第13章 全等三角形
4.经过一已知点作已知直线的垂线 5.作已知线段的垂直平分线
知识目标 目标突破 总结反思
13.4 尺规作图知识来自标1．经过复习等腰三角形的“三线合一”、讨论、画图，理解、掌 握基本作图“经过一已知点作已知直线的垂线”． 2．通过自学阅读、探索、讨论，会作已知线段的垂直平分线， 理解其依据．
例 3 教材补充例题 如图 13－4－12 所示，已知线段 AB 和线 段 CD，求作一点 P，使点 P 既在线段 AB 的垂直平分线上，又在线 段 CD 的垂直平分线上．
图 13－4－12
13.4 尺规作图
解：(1)作线段 AB 的垂直平分线 EF； (2)作线段 CD 的垂直平分线 MN，MN 交 EF 于点 P. 则点 P 就是所求作的点，如图．
图 13－4－11
13.4 尺规作图
解：过点 A 作直线 BC 的垂线，垂线段就是边 BC 上的高，如图中的线段 AF 就 是所求作的高．
【归纳总结】作三角形的高是作垂线的简单运用．由于钝角三角形
有两条高在三角形的外部，所以作图时要注意延长三角形的边，保
留作图痕迹．
13.4 尺规作图
目标二 会作已知线段的垂直平分线
13.4 尺规作图
3．在理解五种基本作图的基础上，能解决尺规作图的综合问题．
通过对特殊的同底数幂的除法算式的计算，在观察、思考计算结
果中探究、归纳出同底数幂的除法法则，并会直接运用该法则进
行计算．
13.4 尺规作图
目标突破
目标一 会经过已知点作已知直线的垂线
例 1 教材补充例题 如图 13－4－10 所示， 过点 P 作∠A 两边 的垂线．
中考数学题型解析与技巧点拨 专题五 尺规作图解题技巧(教师版学生版）
专题五 中考数学中的尺规作图解题技巧只用不带刻度的直尺和圆规通过有限次操作，完成画图的一种作图方法．尺规作图不一定要写作图步骤，但必须保留作图痕迹.从各省市的中考来看，尺规作图题在选择题填空题和解答题都有考到，题目比较丰富，占的分值有3分，4分或者6分。
难度一般。
熟记下面五种基本的尺规作图，此类问题可破解。
五种基本尺规作图作一条线段等于已知线段步骤：1.作射线OP ； 2.在OP 上截取OA=a ，OA 即为所求线段作角的平分线步骤：1.以点O 为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA 、OB 于点N 、M ； 2.分别以点M 、N 为圆心，大于21MN 的长为半径作弧，相交于点P ；3.画射线OP,OP 即为所求角平分线作线段的垂直平分线步骤：1.分别以点A 、B 为圆心，以大于21AB 的长为半径，在AB 两侧作弧；2.连接两弧交点所成直线即为所求线段的垂直平分线作一个角等于已知角步骤：1.在∠α上以点O 为圆心、以适当的长为半径作弧，交∠α的两边于点P 、Q ； 2.作射线O′A ；3.以O′为圆心、OP 长为半径作弧，交O′A 于点M ；4.以点M 为圆心，PQ 长为半径作弧，交前弧于点N ；5.过点N 作射线O′B ，∠BO′A 即为所求角 过一点作已知直线的垂线过直线外一点作已知直线的垂线步骤：1.在直线另一侧取点M ； 2.以P 为圆心，以PM 为半径画弧,交直线于A 、B 两点； 3.分别以A 、B 为圆心，以大于12AB 长为半径画弧，交M 同侧于点N ；4. 连接PN,则直线PN 即为所求垂线过直线上一点作已知直线的垂线步骤：1.以点O为圆心，任意长为半径向点O两侧作弧，交直线于A、B两点；2.分别以点A、B为圆心，以大于21AB长为半径向直线两侧作弧，交点分别为M、N；3.连接MN，MN即为所求垂线类型一：选择题中的尺规作图【例题展示】例题1（2017深圳市）如图，已知线段AB，分别以A、B为圆心，大于AB为半径作弧，连接弧的交点得到直线l，在直线l上取一点C，使得∠CAB=25°，延长AC至M，求∠BCM的度数为（）A．40° B．50° C．60° D．70°【分析】根据作法可知直线l是线段AB的垂直平分线，故可得出AC=BC，再由三角形外角的性质即可得出结论．【解答】解：∵由作法可知直线l是线段AB的垂直平分线，∴AC=BC，∴∠CAB=∠CBA=25°，∴∠BCM=∠CAB+∠CBA=25°+25°=50°．故选B．【点评】基本作图；线段垂直平分线的性质．例题2（2018江苏省南通市）如图，AB∥CD，以点A为圆心，小于AC长为半径作圆弧，分别交AB，AC 于点E 、F ，再分别以E 、F 为圆心，大于21EF 的同样长为半径作圆弧，两弧交于点P ，作射线AP ，交CD 于点M ，若∠ACD=110°，则∠CMA 的度数为（ ）A ．30°B ．35°C ．70°D ．45°【分析】直接利用平行线的性质结合角平分线的作法得出∠CAM=∠BAM=35°，即可得出答案． 【解答】解：∵AB ∥CD ，∠ACD=110°， ∴∠CAB=70°，∵以点A 为圆心，小于AC 长为半径作圆弧，分别交AB ，AC 于点E 、F ，再分别以E 、F 为圆心，大于21EF 的同样长为半径作圆弧，两弧交于点P ，作射线AP ，交CD 于点M ， ∴AP 平分∠CAB ， ∴∠CAM=∠BAM=35°， ∵AB ∥CD ，∴∠CMA=∠MAB=35°． 故选：B ．【点评】此题主要考查了基本作图以及平行线的性质，正确得出∠CAM=∠BAM 是解题关键．例题3（2018湖北省襄阳市）如图，在△ABC 中，分别以点A 和点C 为圆心，大于21AC 长为半径画弧，两弧相交于点M ，N ，作直线MN 分别交BC ，AC 于点D ，E ．若AE=3cm ，△ABD 的周长为13cm ，则△ABC 的周长为（ ）A ．16cmB ．19cmC ．22cmD ．25cm【分析】利用线段的垂直平分线的性质即可解决问题． 【解答】解：∵DE 垂直平分线段AC ，∴DA=DC ，AE=EC=6cm ， ∵AB+AD+BD=13cm ， ∴AB+BD+DC=13cm ，∴△ABC 的周长=AB+BD+BC+AC=13+6=19cm ， 故选：B ．【点评】本题考查基本作图，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握线段的垂直平分线的性质，属于中考常考题型．例题4（2018山东省潍坊市）如图,木工师傅在板材边角处作直角时,往往使用“三弧法”,其作法是：（1）作线段AB,分别以A,B 为圆心,以AB 长为半径作弧,两弧的交点为C ； （2）以C 为圆心,仍以AB 长为半径作弧交AC 的延长线于点D ； （3）连接BD,BC下列说法不正确的是( )A.∠CBD=30°B.C. 点C 是△ABD 的外心D.【分析】根据等边三角形的判定方法，直角三角形的判定方法以及等边三角形的性质，直角三角形的性质一一判断即可；【解答】解：由作图可知：AC=AB=BC ， ∴△ABC 是等边三角形， 由作图可知：CB=CA=CD ，∴点C 是△ABD 的外心，∠ABD=90°， BD= AB ， ∴S △ABD = AB 2， ∵AC=CD ， ∴S △BDC = AB 2， 故A 、B 、C 正确，243AB S BDC =∆1cos sin 22=+D A 32343故选D ．【点评】本题考查作图-基本作图，线段的垂直平分线的性质，三角形的外心等知识，直角三角形等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．【跟踪训练】1.（2018湖北省宜昌市）尺规作图：经过已知直线外一点作这条直线的垂线，下列作图中正确的是（ ）A ．B ．C ．D ．2.（2018贵州省安顺市） 已知△ABC(AC<BC)，用尺规作图的方法在BC 上确定一点，使PA+PC=BC ，则符合要求的作图痕迹是（ ）A. B.C. D.3.（2018河南省）如图，已知平行四边形AOBC 的顶点O （0，0），A （﹣1，2），点B 在x 轴正半轴上按以下步骤作图：①以点O 为圆心，适当长度为半径作弧，分别交边OA ，OB 于点D ，E ；②分别以点D ，E 为圆心，大于21DE 的长为半径作弧，两弧在∠AOB 内交于点F ；③作射线OF ，交边AC 于点G ，则点G 的坐标为（ ）A ．（5﹣1，2）B ．（5，2）C ．（3﹣5，2）D ．（5﹣2，2）4．（2018云南省昆明市）如图，点A 在双曲线xky =（x ＞0）上，过点A 作AB ⊥x 轴，垂足为点B ，分别以点O 和点A 为圆心，大于21OA 的长为半径作弧，两弧相交于D ，E 两点，作直线DE 交x 轴于点C ，交y 轴于点F （0，2），连接AC ．若AC=1，则k 的值为（ ）A ．2B ．2532 C ．534 D ．5252+ 5.（2018浙江省台州市）如图，在平行四边形ABCD 中，AB=2，BC=3．以点C 为圆心，适当长为半径画弧，交BC 于点P ，交CD 于点Q ，再分别以点P ，Q 为圆心，大于21PQ 的长为半径画弧，两弧相交于点N ，射线CN 交BA 的延长线于点E ，则AE 的长是（ ）A ．21 B ．1 C ．56 D ．23 6．（2018江苏省南通市）如图，Rt △ABC 中，∠ACB=90°，CD 平分∠ACB 交AB 于点D ，按下列步骤作图：步骤1：分别以点C 和点D 为圆心，大于21CD 的长为半径作弧，两弧相交于M ，N 两点； 步骤2：作直线MN ，分别交AC ，BC 于点E ，F ； 步骤3：连接DE ，DF ．若AC=4，BC=2，则线段DE 的长为（ ）A ．35 B ．23 C ．2 D ．34 7.（2018四川省巴中）如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，按下列步骤作图：①以点B 为圆心，适当长为半径画弧，与AB ，BC 分别交于点D ，E ；②分别以D ，E 为圆心，大于21DE 的长为半径画弧，两弧交于点P ；③作射线BP 交AC 于点F ；④过点F 作FG ⊥AB 于点G ．下列结论正确的是（ ）A ．CF=FGB ．AF=AGC ．AF=CFD ．AG=FG8.（2018云南省曲靖市）如图，在正方形ABCD 中，连接AC ，以点A 为圆心，适当长为半径画弧，交AB 、AC 于点M ，N ，分别以M ，N 为圆心，大于MN 长的一半为半径画弧，两弧交于点H ，连结AH 并延长交BC 于点E ，再分别以A 、E 为圆心，以大于AE 长的一半为半径画弧，两弧交于点P ，Q ，作直线PQ ，分别交CD ，AC ，AB 于点F ，G ，L ，交CB 的延长线于点K ，连接GE ，下列结论：①∠LKB=22.5°，②GE ∥AB ，③tan ∠CGF=LBKB，④S △CGE ：S △CAB =1：4．其中正确的是（ ）A ．①②③B ．②③④C ．①③④D ．①②④类型二：填空题中的作图题【例题展示】1.（2018江苏省南京市）如图，在△ABC 中，用直尺和圆规作AB 、AC 的垂直平分线，分别交AB 、AC 于点D 、E ，连接DE ．若BC=10cm ，则DE= cm ．【分析】直接利用线段垂直平分线的性质得出DE 是△ABC 的中位线，进而得出答案． 【解答】解：∵用直尺和圆规作AB 、AC 的垂直平分线， ∴D 为AB 的中点，E 为AC 的中点， ∴DE 是△ABC 的中位线， ∴DE=BC=5cm ．故答案为：5．【点评】此题主要考查了基本作图以及线段垂直平分线的性质，正确得出DE 是△ABC 的中位线是解题关键．2.（2018山东省东营市）如图，在Rt △ABC 中，∠B=90°，以顶点C 为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC ，BC 于点E ，F ，再分别以点E ，F 为圆心，大于21EF 的长为半径画弧，两弧交于点P ，作射线CP 交AB 于点D ．若BD=3，AC=10，则△ACD 的面积是 ．【分析】作DQ ⊥AC ，由角平分线的性质知DB=DQ=3，再根据三角形的面积公式计算可得． 【解答】解：如图，过点D 作DQ ⊥AC 于点Q ，由作图知CP 是∠ACB 的平分线， ∵∠B=90°，BD=3， ∴DB=DQ=3， ∵AC=10， ∴S △ACD =21AC •DQ=21×10×3=15， 故答案为：15．【点评】本题主要考查作图﹣基本作图，解题的关键是掌握角平分线的尺规作图及角平分线的性质．3.（2018江苏省淮安市）如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=3，BC=5，分别以点A 、B 为圆心，大于21AB 的长为半径画弧，两弧交点分别为点P 、Q ，过P 、Q 两点作直线交BC 于点D ，则CD 的长是 ．【分析】连接AD 由PQ 垂直平分线段AB ，推出DA=DB ，设DA=DB=x ，在Rt △ACD 中，∠C=90°，根据AD 2=AC 2+CD 2构建方程即可解决问题； 【解答】解：连接AD ．∵PQ 垂直平分线段AB ， ∴DA=DB ，设DA=DB=x ，在Rt △ACD 中，∠C=90°，AD 2=AC 2+CD 2， ∴x 2=32+（5﹣x ）2， 解得x=517， ∴CD=BC ﹣DB=5﹣517=58， 故答案为58． 【点评】本题考查基本作图，线段的垂直平分线的性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．4.（2018吉林省长春市）如图，在△ABC 中，AB=AC ．以点C 为圆心，以CB 长为半径作圆弧，交AC 的延长线于点D ，连结BD ．若∠A=32°，则∠CDB 的大小为 度．【分析】根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理在△ABC 中可求得∠ACB=∠ABC=74°，根据等腰三角形的性质以及三角形外角的性质在△BCD 中可求得∠CDB=∠CBD=21∠ACB=37°． 【解答】解：∵AB=AC ，∠A=32°， ∴∠ABC=∠ACB=74°， 又∵BC=DC ， ∴∠CDB=∠CBD=21∠ACB=37°． 故答案为：37．【点评】本题主要考查等腰三角形的性质，三角形外角的性质，掌握等边对等角是解题的关键，注意三角形内角和定理的应用．【跟踪训练】1.（2018辽宁省葫芦岛市）如图，OP 平分∠MON ，A 是边OM 上一点，以点A 为圆心、大于点A 到ON 的距离为半径作弧，交ON 于点B 、C ，再分别以点B 、C 为圆心，大于21BC 的长为半径作弧，两弧交于点D 、作直线AD 分别交OP 、ON 于点E 、F ．若∠MON=60°，EF=1，则OA= ．2.（2018辽宁省抚顺市）如图，平行四边形ABCD 中，AB=7，BC=3，连接AC ，分别以点A 和点C 为圆心，大于21AC 的长为半径作弧，两弧相交于点M ，N ，作直线MN ，交CD 于点E ，连接AE ，则△AED 的周长是 ．3.（2018内蒙古通辽市）如图，在△ABC 中，按以下步骤作图：①分别以点A 和点C 为圆心，以大于21AC 的长为半径作弧，两弧相交于M 、N 两点；②作直线MN 交BC 于点D ，连接AD ．若AB=BD ，AB=6，∠C=30°，则△ACD 的面积为 ．4.（2018湖北省枣阳市一模）如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，∠B=32°．分别以A 、B 为圆心，大于AB 的长为半径画弧，两弧交于点D 和E ，连接DE ，交AB 于点F ，连接CF ，则∠AFC 的度数为 ．类型三：解答题中的作图题 【例题展示】例题1（2018广东省 6分）如图，BD 是菱形ABCD 的对角线，∠CBD=75°，（1）请用尺规作图法，作AB 的垂直平分线EF ，垂足为E ，交AD 于F ；（不要求写作法，保留作图痕迹）（2）在（1）条件下，连接BF ，求∠DBF 的度数．【分析】（1）分别以A 、B 为圆心，大于21AB 长为半径画弧，过两弧的交点作直线即可； （2）根据∠DBF=∠ABD ﹣∠ABF 计算即可； 【解答】解：（1）如图所示，直线EF 即为所求；（2）∵四边形ABCD 是菱形， ∴∠ABD=∠DBC=21∠ABC=75°，DC ∥AB ，∠A=∠C ． ∴∠ABC=150°，∠ABC+∠C=180°， ∴∠C=∠A=30°， ∵EF 垂直平分线线段AB ， ∴AF=FB ，∴∠A=∠FBA=30°，∴∠DBF=∠ABD ﹣∠FBE=45°．【点评】本题考查作图﹣基本作图，线段的垂直平分线的性质，菱形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于常考题型．例题2（2018深圳市8分）已知菱形的一个角与三角形的一个角重合，然后它的对角顶点在这个重合角的对边上，这个菱形称为这个三角形的亲密菱形，如图，在△CFE 中，CF=6，CE=12，∠FCE=45°，以点C 为圆心，以任意长为半径作AD ，再分别以点A 和点D 为圆心，大于21AD 长为半径作弧，交EF 于点B ，AB ∥CD ．（1）求证：四边形ACDB 为△FEC 的亲密菱形； （2）求四边形ACDB 的面积．【分析】（1）根据折叠和已知得出AC=CD ，AB=DB ，∠ACB=∠DCB ，求出AC=AB ，根据菱形的判定得出即可；（2）根据相似三角形的性质得出比例式，求出菱形的边长和高，根据菱形的面积公式求出即可． 【解答】（1）证明：∵由已知得：AC=CD ，AB=DB ， 由已知尺规作图痕迹得：BC 是∠FCE 的角平分线， ∴∠ACB=∠DCB ， 又∵AB ∥CD ， ∴∠ABC=∠DCB ， ∴∠ACB=∠ABC ， ∴AC=AB ，又∵AC=CD ，AB=DB ，∴AC=CD=DB=BA ∴四边形ACDB 是菱形，∵∠ACD 与△FCE 中的∠FCE 重合，它的对角∠ABD 顶点在EF 上， ∴四边形ACDB 为△FEC 的亲密菱形； （2）解：设菱形ACDB 的边长为x ， ∵四边形ABCD 是菱形， ∴AB ∥CE ，∴∠FAB=∠FCE ，∠FBA=∠E ， △EAB ∽△FCE则：CE ABFC FA =， 即6x 612x -=， 解得：x=4，过A 点作AH ⊥CD 于H 点， ∵在Rt △ACH 中，∠ACH=45°， ∴AH=222=AC，∴四边形ACDB 的面积为：428224=⨯．【点评】本题考查了菱形的性质和判定，解直角三角形，相似三角形的性质和判定等知识点，能求出四边形ABCD 是菱形是解此题的关键．例题3（2018甘肃省定西市6分 ）如图，在△ABC 中，∠ABC=90°．（1）作∠ACB 的平分线交AB 边于点O ，再以点O 为圆心，OB 的长为半径作⊙O ；（要求：不写做法，保留作图痕迹）（2）判断（1）中AC 与⊙O 的位置关系，直接写出结果．【分析】（1）首先利用角平分线的作法得出CO ，进而以点O 为圆心，OB 为半径作⊙O 即可； （2）利用角平分线的性质以及直线与圆的位置关系进而求出即可． 【解答】解：（1）如图所示：（2）相切；过O 点作OD ⊥AC 于D 点， ∵CO 平分∠ACB ， ∴OB=OD ，即d=r ， ∴⊙O 与直线AC 相切，【点评】此题主要考查了复杂作图以及角平分线的性质与作法和直线与圆的位置关系，正确利用角平分线的性质求出是解题关键．例题4（2018山东省威海市 8分 ）如图，在△ABC 中，∠ABC=90°． （1）作出经过点B ，圆心O 在斜边AB 上且与边AC 相切于点E 的⊙O （要求：用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法和证明）（2）设（1）中所作的⊙O 与边AB 交于异于点B 的另外一点D ，若⊙O 的直径为5，BC=4；求DE 的长(如果用尺规作图画不出图形，可画出草图完成(2)问)【答案】解：(1)⊙O 如图所示；(1)作OH ⊥BC 于H ．是的切线， ，，四边形ECHO 是矩形，，， 在中，， ，， ，，∽，， ，．【解析】作的角平分线交AC 于E ，作交AB 于点O ，以O 为圆心，OB 为半径画圆即可解决问题； 作于首先求出OH 、EC 、BE ，利用∽，可得，解决问题；本题考查作图复杂作图，切线的判定和性质，相似三角形的判定和性质、勾股定理、角平分线的定义，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．【跟踪训练】1.（2018四川省达州市）已知：如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ．点E 为CD 边上一点，AE 与BE 分别为∠DAB 和∠CBA 的平分线．（1）请你添加一个适当的条件 ，使得四边形ABCD 是平行四边形，并证明你的结论； （2）作线段AB 的垂直平分线交AB 于点O ，并以AB 为直径作⊙O （要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；（3）在（2）的条件下，⊙O 交边AD 于点F ，连接BF ，交AE 于点G ，若AE=4，sin ∠AGF=54，求⊙O 的半径．2.（2018广东省潮州市一模）如图，△ABC是直角三角形，∠ACB=90°，（1）尺规作图：作⊙C，使它与AB相切于点D，与AC交于点E（保留作图痕迹，不写作法，请标明字母）；（2）在你按（1）中要求所作的图中，若BC=3，∠A=30°，CD的长是.3.（2018广东省东莞市一模）如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠C=30°．（1）请在图中用尺规作图的方法作出AC的垂直平分线交BC于点D，交AC于点E （不写作法，保留作图痕迹）．（2）在（1）的条件下，连接AD，求证：△ABC∽△EDA．4.（2018广东省普宁市一模）如图，已知矩形ABCD（AB＜AD）．（1）请用直尺和圆规按下列步骤作图，保留作图痕迹；①以点A为圆心，以AD的长为半径画弧交边BC于点E，连接AE；②作∠DAE的平分线交CD于点F；③连接EF；（2）在（1）作出的图形中，若AB=8，AD=10，则tan∠FEC的值为．5.（2018广西贵港市一模）根据要求尺规作图，并在图中标明相应字母（保留作图痕迹，不写作法）．如图，已知△ABC中，AB=AC，BD是BA边的延长线．（1）作∠DAC的平分线AM；（2）作AC边的垂直平分线，与AM交于点E，与BC边交于点F；（3）联接AF，则线段AE与AF的数量关系为．6.（2018广东省南海市一模）如图所示，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°．（1）作∠ABC的平分线BD，交AC于点D（用尺规作图法，保留作图痕迹，不要求写作法）；（2）在（1）条件下，比较线段DA与BC的大小关系，请说明理由．。
【四年级下册数学】-14-几何(三)垂直与平行-七宝校区-教师版
垂直与平行【教学目标】1．利用直角三角尺检验两条直线是否互相垂直、互相平行；2．会用三角尺画出过已知点并与已知直线垂直的垂线；3．会用三角尺画出已知直线的平行线．【教学重点】1.检验两条直线互相垂直、互相平行；2.垂线与平行线的画法．【教学难点】1.画垂线；2.画平行线；【教学过程】一、垂直1.垂直与互相垂直：当两条直线相交成直角时，这两条直线互相垂直.其中一条直线叫做另一条直线的垂线，这两条直线的交点叫做垂足．用符号“⊥”表示．如果直线a和直线b互相垂直，记作a⊥b，读作a垂直于b；或记作b⊥a，读作b垂直于a．直线a和直线b的交点就是垂足．2. 检验两条直线是否互相垂直：用三角尺检验，如果有两条直线相交成直角，这两条直线就互相垂直．3.画垂线．过直线上一点做已知直线的垂线：（1）使三角尺上的红线与直线l重合；（2）沿着直线l平行移动三角尺，使点P落在三角尺的斜边上；（3）沿着三角尺的斜边画直m．过直线外一点做直线的垂线：（1）使三角尺的红线与直线l重合；（2）沿着直线l平行移动三角尺，使点Q落在三角尺的斜边上；（3）沿着三角尺的斜边画直线n．4.点到直线的距离．从直线外一点到这条直线所画的垂直线段最短，把这条垂直线段的长度叫作点到直线的距离．二、平行1．平行与互相平行: 当两条直线垂直于同一条直线时，这两条直线互相平行．其中一条直线叫做另一条直线的平行线．用符号“⊥”表示．例如，直线a和直线b互相平行，记作a⊥b，读作a平行于b；或记作b⊥a，读作b平行于a．2. 检验两条直线是否互相平行的方法：用三角尺画其中的一条直线的垂线，如果已知直线也垂直于这条直线，那么这两条直线就互相平行．3. 画平行线（1）在直线a上取一点P，过点P作直线a的垂线l；（2）在l上取一点B，使BP＝2.5cm；（3）过点B作直线l的垂线b．3．平行线之间的距离在两条平行线a ，b 之间，垂直于这两条平行线的垂线段最短，把这条线段的长度叫做两条平行线之间的距离．【例题解析】例1：下图中哪些直线互相垂直，并用数学符号表示？参考答案：如上图，用三角尺的直角测量每两条直线的夹角，当两条直线相交成直角时，这两条直线就相互垂直．垂直可以用符号“⊥”表示．如直线a 和直线c 互相垂直，记作a ⊥c ，读作a 垂于c （或记作c ⊥a ）；直线b 和直线d 互相垂直，记作b ⊥d ，读作d 垂于d （或记作d ⊥b ）．例2：过直线l 上的点P 画直线l 的垂线。
沪科版数学八年级上册-15.4《角的平分线》学案
角的平分线【学时安排】3学时【第一学时】【学习目标】1．归纳总结已学的几种尺规作图。
2．会作角平分线以及过一点作已知直线的垂线，证明作图的正确性。
【学习重难点】会作角平分线以及过一点作已知直线的垂线，证明作图的正确性。
【学习过程】一、学前准备：1．角平分线是指。
2．已学过的基本作图有哪些？试完成以下题目（不写作法保留作图痕迹）。
①作一条线段等于已知线段；②作一个角等于已知角；③作线段的垂直平分线；3．请你尝试用折叠的方法，能否找出角的平分线？二、合作探究认真阅读教材内容，完成下列问题（一）角是对称图形，是它的对称轴。
（二）探究学习1．学习教材内容作角平分线。
2．根据作图证明OP是∠AOB的平分线。
提示：这里可连接PM、PO、PN，应用全等三角形的判定和性质，以及角平分线的定义去证明。
思考：①当∠ABC的两边成一条直线时，这时的角平分线与直线AB的关系是怎样的？②平面内的点与直线的位置关系有哪几种？（三）例题解析1．过一点作已知直线的垂线。
（阅读教材内容，自己尝试作一下。
）①经过已知直线上的一点作这条直线的垂线；②经过已知直线外的一点作这条直线的垂线2．已知一直角边和斜边作直角三角形。
四、学习检测1．作△ABC的三个内角的平分线。
2．已知底边及底边上的高，作等腰三角形。
【第二学时】【学习目标】1．理解角平分线的性质定理。
2．能运用角平分线的性质定理去解决问题。
【学习重难点】1．理解角平分线的性质定理。
2．能运用角平分线的性质定理去解决问题。
【学习过程】一、学前准备1．复习旧知：叫做角平分线；2．怎样用圆规和直尺作角平分线？3．角是对称图形，是它的对称轴。
二、合作探究（一）操作：1．作∠AOB的平分线OM，在OM上取点P，过点P作PC⊥OA，PD⊥OB，C、D是垂足。
2．量一量：PC、PD的长分别是多少？你有什么发现？3．猜一猜：角平分线上的点具有什么性质？（二）根据你猜想的结论，写出这个问题的已知、求证、证明。
人教版初二数学轴对称常考题型例题
人教版初二数学轴对称常考题型例题单选题1、如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，且分别交BC，AC于点D和E，∠B＝60°，∠C＝25°，则∠BAD 为（）A．50°B．70°C．75°D．80°答案：B解析：根据线段垂直平分线的性质得到DA=DC，根据等腰三角形的性质得到∠DAC=∠C，根据三角形内角和定理求出∠BAC，计算即可．∵DE是AC的垂直平分线，∴DA=DC，∴∠DAC=∠C=25°，∵∠B=60°，∠C=25°，∴∠BAC=95°，∴∠BAD=∠BAC-∠DAC=70°，故选B．小提示：本题考查的是线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．2、如图，∠A＝30°，∠C′＝60°，△ABC与△A′B′C′关于直线l对称，则∠B度数为（）A．30°B．60°C．90°D．120°答案：C解析：由已知条件，根据轴对称的性质可得∠C＝∠C′＝30°，利用三角形的内角和等于180°可求答案．∵△ABC与△A′B′C′关于直线l对称，∴∠A＝∠A′＝30°，∠C＝∠C′＝60°；∴∠B＝180°−30°-60°＝90°．故选：C．小提示：主要考查了轴对称的性质与三角形的内角和是180度；求角的度数常常要用到“三角形的内角和是180°．3、下列图形中，是轴对称图形的是（）A．B．C．D．答案：C解析：依据轴对称图形的定义逐项分析即可得出C选项正确．解：因为选项A、B、D中的图形都不能通过沿某条直线折叠直线两旁的部分能达到完全重合，所以它们不符合轴对称图形的定义和要求，因此选项A、B、D中的图形都不是轴对称图形，而C选项中的图形沿上下边中点的连线折叠后，折痕的左右两边能完全重合，因此符合轴对称图形的定义和要求，因此C选项中的图形是轴对称图形，故选：C．小提示：本题主要考查了轴对称图形的定义，学生需要掌握轴对称图形的定义内容，理解轴对称图形的特征，方能解决问题找对图形，同时也考查了学生对图形的感知力和空间想象的能力．4、一个三角形具备下列条件仍不是等边三角形的是（）A．一个角的平分线是对边的中线或高线B．两边相等，有一个内角是60°C．两角相等，且两角的和是第三个角的2倍D．三个内角都相等答案：A解析：根据等边三角形的判定方法即可解答.选项A，一个角的平分线是对边的中线或高线，能判定该三角形是等腰三角形，不能判断该三角形是等边三角形；选项B，两边相等，有一个内角是60°，根据有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形，即可判定该三角形是等边三角形；选项C，两角相等，且两角的和是第三个角的2倍，根据三角形的内角和定理可求得该三角形的三个内角的度数都为60°，即可判定该三角形是等边三角形；选项D，三个内角都相等，根据三角形的内角和定理可求得该三角形的三个内角的度数都为60°，即可判定该三角形是等边三角形.故选A.小提示：本题考查了等边三角形的判定，熟练运用等边三角形的判定方法是解决问题的关键.AB的长为半径作弧相交于点D和点E，5、如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，分别以点A和点B为圆心，大于12直线DE交AC于点F，交AB于点G，连接BF，若BF＝3，AG＝2，则BC＝（）A．5B．4√3C．2√5D．2√13答案：C解析：利用线段垂直平分线的性质得到FB=FA，AG=BG=2，再证明FC=FB=FA=3，利用勾股定理即可解决问题．解：由作图方法得GF垂直平分AB，∴FB=FA，AG=BG=2，∴∠FBA=∠A，∵∠ABC=90°，∴∠A+∠C=90°，∠FBA+∠FBC=90°，∴∠C=∠FBC，∴FC=FB，∴FB=FA=FC=3，∴AC=6，AB=4，∴BC=√AC2−AB2=√62−42=2√5．故选：C．小提示：本题考查了作图-基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）方法是解题关键，同时还考查了线段垂直平分线的性质．6、已知点P(−3,2)与点Q关于x轴对称，则Q点的坐标为（）A．(−3,2)B．(−3,−2)C．(3,2)D．(3,−2)答案：B解析：根据关于x轴对称的性质：横坐标相等，纵坐标互为相反数，即可得解.由题意，得与点P(−3,2)关于x轴对称点Q的坐标是(−3,−2)，故选：B.小提示：此题主要考查关于x轴对称的点坐标的求解，熟练掌握，即可解题.7、已知等腰三角形两边的长分别为3和7，则此等腰三角形的周长为（）A．13B．17C．13或17D．13或10答案：B解析：等腰三角形两边的长为3和7，具体哪条是底边，哪条是腰没有明确说明，因此要分两种情况讨论．解：①当腰是3，底边是7时，3+3<7不满足三角形的三边关系，因此舍去．②当底边是3，腰长是7时，7+7>3能构成三角形，则其周长=3+7+7=17．故选：B．小提示：本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系，解题时注意：若没有明确腰和底边，则一定要分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形，这是解题的关键．8、如图图形分别是贵州、旅游、河北、黑龙江卫视的图标，其中属于轴对称图形的是（）A．B．C．D．答案：A解析：根据轴对称性质出发，对题意进行理解并根据选项的不同来选择出正确的答案.解：轴对称的性质：把一个图形沿着某一条直线对折，如果它能够与另一个图形完全重合，那么就说这两个图形成轴对称.选项A符合此条件.故答案选A.小提示：本题考察轴对称的性质，根据性质进行解题即可.填空题9、若点A(1+m,1−n)与点B(−3,2)关于y轴对称，则(m+n)2021=值是________．答案：1解析：直接利用关于y轴对称点的性质得出m，n的值，进而得出答案．解：∵点A（1+m，1-n）与点B（-3，2）关于y轴对称，∴1+m=3，1-n=2，解得：m=2，n=-1则（m+n）2021=（2-1）2021=1．所以答案是：1．小提示：此题主要考查了关于y轴对称点的性质，解题的关键是掌握两点关于y轴对称，纵坐标不变，横坐标互为相反数．10、如图, 在△ABC中, ∠ACB的平分线交AB于点D, DE⊥AC于点E, F为BC上一点,若DF=AD, △ACD与△CDF 的面积分别为10和4, 则△AED的面积为______答案：3解析：如图（见解析），过点D作DG⊥BC，根据角平分线的性质可得DE=DG，再利用三角形全等的判定定理得出ΔCDE≅ΔCDG,ΔADE≅ΔFDG，从而有SΔCDE=SΔCDG,SΔADE=SΔFDG，最后根据三角形面积的和差即可得出答案．如图，过点D作DG⊥BC∵CD平分∠ACB，DE⊥AC∴DE=DG∵CD=CD∴ΔCDE≅ΔCDG(HL)∴SΔCDE=SΔCDG又∵AD=FD∴ΔADE≅ΔFDG(HL)∴SΔADE=SΔFDG∴{SΔACD=SΔADE+SΔCDE=10SΔCDE=SΔCDG=SΔCDF+SΔFDG=4+SΔADE则SΔADE+4+SΔADE=10解得SΔADE=3所以答案是：3．小提示：本题考查了角平分线的性质、直角三角形全等的判定定理等知识点，通过作辅助线，构造两个全等的三角形是解题关键．11、∠AOB内部有一点P，OP=5，点P关于OA的对称点为M，点P关于OB的对称点为N，若∠AOB=30°，则△MON的周长为___________．答案：15解析：根据轴对称的性质可证∠MON=2∠AOB=60°；再利用OM=ON=OP，即可求出△MON的周长．解：根据题意可画出下图，∵OA垂直平分PM，OB垂直平分PN．∴∠MOA=∠AOP，∠NOB=∠BOP；OM=OP=ON=5cm．∴∠MON=2∠AOB=60°．∴△MON为等边三角形。
专题32 尺规作图经典练习题
专题32 尺规作图问题专题知识回顾1.尺规作图的定义：只用不带刻度的直尺和圆规通过有限次操作，完成画图的一种作图方法．尺规作图可以要求写作图步骤，也可以要求不一定要写作图步骤，但必须保留作图痕迹。
2.尺规作图的五种基本情况：（1）作一条线段等于已知线段；（2）作一个角等于已知角；（3）作已知线段的垂直平分线；（4）作已知角的角平分线；（5）过一点作已知直线的垂线。
3.对尺规作图题解法：写出已知，求作，作法（不要求写出证明过程）并能给出合情推理。
4.中考要求：（1）能完成以下基本作图：作一条线段等于已知线段，作一个角等于已知角，作角的平分线，作线段的垂直平分线.（2）能利用基本作图作三角形：已知三边作三角形；已知两边及其夹角作三角形；已知两角及其夹边作三角形；已知底边及底边上的高作等腰三角形.（3）能过一点、两点和不在同一直线上的三点作圆.（4）了解尺规作图的步骤，对于尺规作图题，会写已知、求作和作法（不要求证明）.专题典型题考法及解析【例题1】（2019•湖南长沙）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，分别以点A和点B为圆心，大于AB的长为半径作弧，两弧相交于M、N两点，作直线MN，交BC于点D，连接AD，则∠CAD的度数是（）A．20°B．30°C．45°D．60°【例题2】（2019山东枣庄）如图，BD是菱形ABCD的对角线，∠CBD＝75°，（1）请用尺规作图法，作AB的垂直平分线EF，垂足为E，交AD于F；（不要求写作法，保留作图痕迹）（2）在（1）条件下，连接BF，求∠DBF的度数．【例题3】(2019年贵州安顺模拟题)用直尺和圆规作一个角等于已知角，如图，能得出∠A′O′B′=∠AOB的依据是（）A．（SAS）B．（SSS）C．（ASA）D．（AAS）【例题4】（2019•山东青岛）请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹．已知：∠α，直线l及l上两点A，B．求作：Rt△ABC，使点C在直线l的上方，且∠ABC＝90°，∠BAC＝∠α．一一、选择题1.（2019•广西北部湾）如图,在△ABC中，AC=BC, ∠A=400，观察图中尺规作图的痕迹，可知∠BCG的度数为（）A．400B．450 C．500D．6002.（2019·贵州贵阳）如图，在△ABC中，AB＝AC，以点C为圆心，CB长为半径画弧，交AB于点B和点D，再分别以点B，D为圆心，大于BD长为半径画弧，两弧相交于点M，作射线CM交AB于点E．若AE＝2，BE＝1，则EC的长度是（）A．2B．3C．D．3.（2019•河北省）根据圆规作图的痕迹，可用直尺成功找到三角形外心的是（）A．B．C．D．4．（2019•山东潍坊）如图，已知∠AO B．按照以下步骤作图：①以点O为圆心，以适当的长为半径作弧，分别交∠AOB的两边于C，D两点，连接C D．②分别以点C，D为圆心，以大于线段OC的长为半径作弧，两弧在∠AOB内交于点E，连接CE，DE．③连接OE交CD于点M．下列结论中错误的是（）专题典型训练题A．∠CEO＝∠DEO B．CM＝MDC．∠OCD＝∠ECD D．S四边形OCED＝CD•OE 5．(2019•湖北宜昌)通过如下尺规作图，能确定点D是BC边中点的是( )A．B．C．D．6.（经典题）作一条线段等于已知线段。
《直线的相交(2)》精品教案
垂线（2）一、教学目标：知识目标：表述垂线的概念，会用三角尺或量角器过一点画已知直线的垂线。
能力目标：通过垂线的画法，进一步提高实际动手操作能力。
情感目标：通过垂线，进一步体会到几何图形的对称美。
二、教学重难点：重点：垂线的概念和性质；难点：垂线的判断和性质的理解运用；三、教学过程：（一）导入新课：把一张正方形纸片按下图方式折叠，得到∠1，∠1是什么角把这张纸片展开，如下图，AB、CD是两条折痕，相交于点O，则∠AOC、∠AOD、∠BOC、∠BOD与∠1有什么关系它们是什么角由此发现这两条相交直线是一种怎样的特殊情况（二）探究新知：1．垂直的概念垂直是相交的一种特殊情形，当两条直线相交所成的四个角中有一个是直角时，我们就说这两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足。
在下图中，AB⊥CD，垂足为O。
注意：（1）两条直线相交，只要有一个角是直角，即说这两条直线互相垂直。
但是，由对顶角的性质可知，两条直线垂直时，相交成的四个角都是直角。
（2）两条直线互相垂直，每一条都叫做另一条的垂线。
符号表示：两条直线互相垂直，怎样用符号和几何语言表示呢如下图，记作AB ⊥CD，读作“AB垂直于CD”。
AB是CD的垂线，也可以说CD是AB 的垂线。
它们的交点O叫做垂足。
日常生活中，两条直线互相垂直的情形很常见，说出下图中的一些互相垂直的线条。
你能再举出其他例子吗例如：（出示图片）请同学们找出图中相互垂直的直线，再举一些生活中的例子。
由于定义既可以当性质用，又可以当判定用，因此可以有以下两个方向的推理过程。
（1）已知垂直关系，可得所成的角为90°（性质）．即：∵AB⊥CD于O（已知）∴∠AOD=90°（垂直的定义）注：写∠AOC=90°、∠COB=90°、∠BOD=90°均可。
（2）已知两直线相交有一个角为90°，可得两直线垂直（判定）。
5.1.2 垂线(1)
解: ∵ AB⊥OE （已知）
∴ ∠EOB=90°(垂直的定义) C E
∵∠BOD=∠1=55° (对顶角相等) 1(
AO
B
∴ ∠EOD=∠EOB+∠BOD
=90°+55°=145°
D
2.如图，直线AB、CD相交于点O，OE⊥AB， 且∠DOE=3∠COE，求∠AOD的度数.
E
C
A
O
B
D
小结
你的收获有哪些？
2.垂直的表示：
a
用“⊥”和直线字母表示垂直
αb O
例如、如图，a、b互相垂直, 垂足为O，
则记为： a⊥b或b⊥a,
若要强调垂足，则记为：a⊥b, 垂足为O.
3.垂直的书写形式：
如点图，，∠A当O直D=线9A0°B与时C，DA相B交⊥于CDO，A
D
垂足为O。
书写形式：
O
∵∠AOD=90°（已知）
5.1.2垂线
观察：
活动1
两条直线相交形成4个角，若固定木
条a，旋转木条b，当b的位置发生变化
时，a、b所成的角也会随之变化，其中
有一个特殊的位置： ＝90° .
1.垂直定义：当两条直线相交所成的四个角中，有 一个角是直角时，这两条直线互相垂直，其中一条 直线叫另一条直线的垂线，它们的交点叫垂足。
题型二 垂线定义的应用
例2 已知:如图,直线AB与射线OC交于O,OD平 ∠BOC,OE平分∠AOC.试判断OD与OE的位置关 系，并说明理由.
C
D
E
A
O
B
解：OD⊥OE.理由：
∵ O,OD平分∠BOC,OE平分∠AOC（已知）
∴ ∠COE= ½∠AOC， ∠ COD=½∠BOC（角平
初三总复习——尺规作图教案
第42课时课题：第十五讲：尺规作图鹤山三中赵平考纲要求：1.能用尺规完成以下基本作图：作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角，作一个角的平分线；作一条线段的垂直平分线；过一点作已知直线的垂线2．会利用基本作图作三角形：已知三边、两边及其夹角、两角及其夹边作三角形；已知底边和底边上的高作等腰三角形；已知直角边和斜边作直角三角形。
3．会利用基本作图完成：过不在同一直线上的三点作圆；会作三角形的外接圆、内切圆；作圆的内接正方形和正六边形4.在尺规作图中，了解尺规作图的道理，保留作图痕迹，不要求写作法教学重点：作一个角的平分线；作一条线段的垂直平分线。
教学难点：运用尺规的基本作图方法，解决作图的应用问题。
教学过程：一、课前小测：1、（2018.宜昌）尺规作图：经过已知直线外一点作这条直线的垂线，下列作图中正确的是（）2、(2014.安顺)用直尺和圆规作一个角等于一个已知角,如图,能得出∠AOB=∠AOB 的依据是( )A.SASB.SSSC.ASAD.AAS3、（2017.深圳）如图，已知线段AB，分别以点A，B为圆心，大于AB长为半径作弧，连接弧的交点得到直线L,在直线L上取一点C，使得∠CAB=，延长AC至点M，则∠BCM的度数为（）A. B. C. D.MNCB AL二、考点梳理 五种基本作图方法：1．作一条线段等于已知线段已知线段a ，求作：线段AC ，使AC ＝a ．2．作一个角等于已知角已知∠AOB ，求作一个角∠A`O`B`＝∠AOB3、作角的平分线已知∠AOB ，求作：射线OC ，使∠AOC ＝∠BOC ．４、作线段的垂直平分线已知线段AB ，求作：直线CD ， 使直线CD 垂直平分线段AB ．5、过一点作已知直线的垂线已知直线a 和直线上的点P ，直线外的点Q ， • 求作：（1）过点P 作直线a 的垂线PM（2）过点Q 作直线a 的垂线QN三、例题分析1、（2017.广东）.20如图，在ABC ∆中，A B ∠>∠.（1）作边AB 的垂直平分线DE ，与AB 、BC 分别相交于点D 、E （用尺规作图，保留作图痕迹，不要求写作法）： （2）在（1）的条件下，连接AE ，若50B ∠=︒,求AEC ∠的度数。
初中尺规作图技巧+数学尺规典型案例复习+历年中考尺规例题
初中尺规作图+数学尺规典型案例复习+历年中考尺规例题基本作图示范：1、作一条线段,等于已知线段;已知线段MN。
求作：一条线段等于已知线段.作法：图先画射线AB,然后用圆规在射线AB上截取AC= MN.线段AC就是所要作的线段.2、作一个角等于已知角。
(其理论依据为“SSS”理);作法：①作射线0'A‘;②以点0为圆心，以任意长为半径作弧，交OA于C,交OB于D;③以点0'为圆心，以OC长为半径作弧，交0'A'于C‘;④以点C'为圆心，以CD为半径作弧，交前弧于D‘;⑤经过点D'作射线0'B'，∠A' 0'B'就是所求的角. 连结CD、C'D'，由作法可知△C'O'D≌△COD(SSS)∴∠C'O'D'=∠COD(全等三角形对应角相等)．即∠A'O'B'=∠AOB．3、作已知角的平分线(其理论依据为“SSS”公理);已知∠AOB,求作：射线OC,使∠AOC= ∠BOC.作法：①在OA和OB上，分别截取OD. OE.②分别以D.E为圆心，大于DE 的长为半径作弧，在∠AOB内，两弧交于点C；③作射线OC.OC就是所求的射线.连结CD、CE，由作法可知△ODC≌△OEC(SSS)∴∠COD=∠COE(全等三角形的对应角相等)．即∠AOC=∠BOC．4、经过一点(点在直线上或点在直线外)作已知直线的垂线;a.经过已知直线上的一点作这条直线的垂线.已知：直线AB和AB上一点C,求作：AB的垂线，使它经过点C.第一步:作平角ACB的平分线CD;第二步:反向延长射线CD.作法：作平角ACB的平分线CF,直线CF就是所求的垂线.b.经过已知直线外一点作这条直线的垂线.作法：①任意取一点K,使K和C在AB的两旁;②以C为圆心,CK长为半径作弧，交AB于点D和E;③分别以D和E为圆心，大于DE的长为半径作弧，两弧交于点F.④作直线CF.直线CF就是所求的垂线，注意：经过已知直线上的一点，作这条直线的垂线转化成画线段垂直平分线的方法解决.典型例题分析历年中考好题精选题目练习。
中考数学必考考点专题32尺规作图含解析
专题32 尺规作图问题专题知识回顾1.尺规作图的定义：只用不带刻度的直尺和圆规通过有限次操作，完成画图的一种作图方法．尺规作图可以要求写作图步骤，也可以要求不一定要写作图步骤，但必须保留作图痕迹。
2.尺规作图的五种基本情况：（1）作一条线段等于已知线段；（2）作一个角等于已知角；（3）作已知线段的垂直平分线；（4）作已知角的角平分线；（5）过一点作已知直线的垂线。
3.对尺规作图题解法：写出已知，求作，作法（不要求写出证明过程）并能给出合情推理。
4.中考要求：（1）能完成以下基本作图：作一条线段等于已知线段，作一个角等于已知角，作角的平分线，作线段的垂直平分线.（2）能利用基本作图作三角形：已知三边作三角形；已知两边及其夹角作三角形；已知两角及其夹边作三角形；已知底边及底边上的高作等腰三角形.（3）能过一点、两点和不在同一直线上的三点作圆.（4）了解尺规作图的步骤，对于尺规作图题，会写已知、求作和作法（不要求证明）.专题典型题考法及解析【例题1】（2019•湖南长沙）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，分别以点A和点B为圆心，大于AB的长为半径作弧，两弧相交于M、N两点，作直线MN，交BC于点D，连接AD，则∠CAD的度数是（）A．20°B．30°C．45°D．60°【答案】B【解析】根据内角和定理求得∠BAC＝60°，由中垂线性质知DA＝DB，即∠DAB＝∠B＝30°，从而得出答案．在△ABC中，∵∠B＝30°，∠C＝90°，∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝60°，由作图可知MN为AB的中垂线，∴DA＝DB，∴∠DAB＝∠B＝30°，∴∠CAD＝∠BAC﹣∠DAB＝30°。
【例题2】（2019山东枣庄）如图，BD是菱形ABCD的对角线，∠CBD＝75°，（1）请用尺规作图法，作AB的垂直平分线EF，垂足为E，交AD于F；（不要求写作法，保留作图痕迹）（2）在（1）条件下，连接BF，求∠DBF的度数．【答案】见解析。