二阶非齐次线性微分方程的解法.
二阶非齐次常系数微分方程怎么设特解
二阶非齐次常系数微分方程怎么设特解二阶非齐次常系数微分方程是微分方程中常见的一种类型，它的特解的设定是解决这类微分方程的关键步骤之一。
在这篇文章中，我将深入探讨二阶非齐次常系数微分方程怎么设特解这一主题，从简单到复杂地解释特解的设定方法，以帮助你更好地理解这一概念。
1. 什么是二阶非齐次常系数微分方程？在开始探讨特解的设定之前，先让我们来回顾一下二阶非齐次常系数微分方程是什么。
在微积分和微分方程的学习中，我们知道二阶微分方程是指含有未知函数的二阶导数的方程。
而非齐次常系数微分方程则是指方程中包含有常数系数，并且等号右侧还有一个非零函数的微分方程。
这种类型的微分方程在物理、工程和其他领域中都有广泛的应用。
2. 特解的设定方法在解决二阶非齐次常系数微分方程时，设定特解是非常重要的一步。
一般来说，我们可以采用待定系数法来设定特解。
具体来说，根据非齐次项的形式和方程的特性，我们可以选择合适的特解形式进行设定。
这需要根据具体的非齐次项来灵活运用，通常包括常数特解、线性特解、指数特解等不同的情况。
3. 选择特解的策略在设定特解时，需要根据非齐次项的形式和方程的特性来进行选择。
如果非齐次项是常数函数，我们可以选择一个常数作为特解；如果非齐次项是指数函数，我们可以选择指数形式的特解。
在选择特解时，需要注意与齐次方程的特征方程进行比较，避免特解与齐次方程的通解重合。
4. 个人观点与理解从我的个人观点来看，设定特解是解决二阶非齐次常系数微分方程的关键一步。
通过巧妙地选择特解的形式，我们可以简化方程的求解过程，得到准确的解析解。
在实际应用中，特解的设定方法是微分方程求解中的常见技巧，它不仅能够帮助我们理解微分方程的性质，也具有重要的应用价值。
总结回顾在本文中，我对二阶非齐次常系数微分方程怎么设特解进行了详细的探讨。
通过从简到繁地解释特解的设定方法，我希望能够帮助你更好地理解这一概念，并掌握解决这类微分方程的技巧。
在实际应用中，灵活运用特解的设定方法，可以更高效地求解微分方程，为问题的建模和求解提供有力的工具支持。
二阶常系数非齐次线性微分方程解法及例题讲解
>>>
2b0x2b0b1=x
比较系数
得
b0
=
1 2
b1=1
故 y*= x( 1 x 1)e2x 2
提示 2b0=1 齐2次b0方b程1=y05y6y=0的通解为Y=C1e2xC2e3x
特解形式
例2 求微分方程y5y6y=xe2x的通解 解 齐次方程y5y6y=0的特征方程为r25r 6=0
下页
一、 f(x)=Pm(x)ex 型
设方程ypyqy=Pm(x)ex 特解形式为
y*=Q(x)ex
则得
Q(x)(2p)Q(x)(2pq)Q(x)=Pm(x) ——(＊)
(1)如果不是特征方程r2prq=0的根 则 (2)如果是特征方程r2prq=0的单根 则
则得
Q(x)(2p)Q(x)(2pq)Q(x)=Pm(x) ——(＊)
(1)如果不是特征方程r2prq=0的根 则
y*=Qm(x)ex
提示 此时2pq0 要使(＊)式成立 Q(x)应设为m次多项式 Qm(x)=b0xmb1xm1 bm1xbm
y*=x2Qm(x)ex
提示 此时2pq=0 2p=0 要使(＊)式成立 Q(x)应设为m2次多项式 Q(x)=x2Q下页
结论
二阶常系数非齐次线性微分方程
有形如
ypyqy=Pm(x)ex
y*=Qm(x)ex y*=xQm(x)ex
提示 此时2pq=0 但2p0 要使(＊)式成立 Q(x)应设为m1次多项式 Q(x)=xQm(x)
其中Qm(x)=b0xm b1xm1 bm1xbm
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一、 f(x)=Pm(x)ex 型
待定系数法求解二阶常系数非齐次线性常微分方程
待定系数法求解二阶常系数非齐次线性常微分方程摘要：在自然科学、工程技术中，许多实际问题可以归结为二阶常微分方程，因此求二阶常微分方程的解有着非常重要意义。
本文介绍利用待定系数法法求解二阶常系数非齐次线性常微分方程。
关键词：二阶常微分方程；待定系数法我们要求非齐次方程的通解，关键在于求出非齐次方程的一个特解，接下来以二阶常系数非齐次线性常微分方程为例，根据自由项的形式来讨论两种不同的求解方法。
对于方程当时，方程写成其中为任意实数，方程(1-2)即为二阶常系数非齐次线性常微分方程。
待定系数法1 方法介绍当自由项具备下面两种特殊形式时，利用待定系数法求解特解较为简便。
类型一:其中是多项式，为常数。
设其中为常数。
(1)若不是特征根方程有特解(2)若为特征方程的k重根方程有特解其中是待定常数，可通过比较系数来确定。
类型二:其中为常数，为的次数不高于的多项式，但二者中至少有一个次数为。
(1)若不是特征根，则方程有形如的特解，其中为次多项式。
(2)若为k重特征根，则方程有形如的特解，其中为次多项式。
2 应用举例(1)为多项式的情形例：求下列方程的通解：。
解：对应齐次方程的特征方程为，特征根为，。
故齐次方程的通解为，其中为任意常数，再求非齐次方程的一个特解。
，对应,而不是特征根，故特解形如，其中待定，代入原方程得=，比较系数得解得，所以特解为因此，原方程的通解为，其中为任意常数。
(2)为多项式与指数函数的组合的情形例：求下列方程的通解：。
解：对应齐次方程的特征方程为，特征根，故齐次方程通解为其中为任意常数。
，对应不是特征根，故特解形如代入原方程，消去，比较系数得，因此原方程的通解为，其中为任意常数。
(3)为三角函数与指数函数的组合的情形例：求下列方程的通解：。
解：对应齐次方程的特征方程为，特征根为，。
故齐次方程的通解为，其中为任意常数。
，而不是特征根，故特解形如。
代入原方程，比较系数得。
因此原方程的通解为，其中为任意常数。
二阶非齐次微分方程的解法
二阶非齐次微分方程的解法
y1,y2,y3是二阶微分方程的三个解，则：y2-y1,y3-y1为该方程的两个线性无关解，因此通解为：y=y1+c1(y2-y1)+c2(y3-y1)。
方程通解为：y=1+c1(x-1)+c2(x^2-1)
二阶常系数线性微分方程是形如y''+py'+qy=f(x)的微分方程，其中p，q是实常数。
自由项f(x)为定义在区间i上的连续函数，即y''+py'+qy=0时，称为二阶常系数齐次线性微分方程。
若函数y1和y2之比为常数，称y1和y2是线性相关的；若函数y1和y2之比不为常数，称y1和y2是线性无关的。
特征方程为：λ^2+pλ+q=0，然后根据特征方程根的情况对方程求解。
常微分方程在高等数学中尚无古老的历史，由于它扎根于各种各样的实际问题中，所以稳步维持着行进的动力。
二阶常系数常微分方程在常微分方程理论中占据关键地位，在工程技术及力学和物理学中都存有十分广为的应用领域。
比较常用的解方法就是未定系数法、多项式法、常数变易法和微分算子法等。
二阶常系数非齐次线性微分方程的解法及例题详解
微分算子法：
微分算子法是求解不同类型常系数非齐次线性 微分方程特解的有效方法，使用微分算子法求 解二阶常系数非齐次线性微分方程的特解记忆 较为方便，计算难度也可降低。引入微分算子 d/dx=D，d^2/dx^2=D^2，
则有 y'=dy/dx=Dy，y''=d^2y/dx^2=D^2y
于是y''+p(x)y'+q(x)y=f(x)可化为(D^2+pD+q)y=f(x)， 令F(D)=D^2+pD+q，称为算子多项式， F(D)=D^2+pD+q即为F(D)y=f(x)，其特解为 y=f(x)/F(D) 。
降阶法：
y'''+p(x)y''+q(x)y'=a0x^n+a1x^(n-1)+…+a(n-1)x+an…… y^(n+1)+py^(n)+qy^(n-1)=a0n!x+a1(n-1)! y^(n+2)+py^(n+1)+qy^(n)=a0n! 令y^n=a0n!/q(q≠0),此时，y^(n+2)=y^(n+1)=0。由
y*= xQk (x) ex
其中Q(x)是与p(x)同次的多项式，k按α不是特 征根、是单特征根或二重特征根，依次取0,1 或2.
将y*代入方程，比较方程两边x的同次幂的系 数（待定系数法），就可确定出Q(x)的系数而 得特解y*。
二阶线性非齐次微分方程的特解
二阶线性非齐次微分方程的特解二阶常系数非齐次线性微分方程的表达式为y''+py'+qy=f(x)，其特解y*设法分为：1.如果f(x)=p （x），pn（x）为n阶多项式；2.如果f(x)=p（x）e^αx，pn（x）为n阶多项式。
二阶常系数齐次线性微分方程标准形式y″+py′+qy=0特征方程r^2+pr+q=0通解1.两个不相等的实根：y=c1e^(r1x)+c2e^(r2x)2.两根相等的实根：y=(c1+c2x)e^(r1x)3.一对共轭复根：r1=α+iβ,r2=α-iβ：y=e^(αx)*(c1cosβx+c2sinβx)特解y*设法1、如果f(x)=p（x），pn（x）为n阶多项式。
若0不是特征值，在令特解y*=x^k*qm(x)*e^λx中，k=0，λ=0；因为qm(x)与pn（x）为同次的多项式，所以qm(x)设法要根据pn（x）的情况而定。
比如如果pn（x）=a（a为常数），则设qm(x)=a（a为另一个未知常数）；如果pn（x）=x，则设qm(x)=ax+b；如果pn （x）=x^2，则设qm(x)=ax^2+bx+c。
若0是特征方程的单根，在令特解y*=x^k*qm(x)*e^λx中，k=1，λ=0，即y*=x*qm(x)。
若0是特征方程的重根，在令特解y*=x^k*qm(x)*e^λx中，k=2，λ=0，即y*=x^2*qm(x)。
2、如果f(x)=p（x）e^αx，pn（x）为n阶多项式。
若α不是特征值，在令特解y*=x^k*qm(x)*e^αx中，k=0，即y*=qm(x)*e^αx，qm(x)设法要根据pn（x）的情况而定。
若α是特征方程的单根，在令特解y*=x^k*qm(x)*e^αx中，k=1，即y*=x*qm(x)*e^αx。
若α是特征方程的重根，在令特解y*=x^k*qm(x)*e^λx中，k=2，即y*=x^2*qm(x)*e^αx。
二阶常系数非齐次线性微分方程解法及例题
二阶常系数非齐次线性微分方程解法及例题在数学的领域中，二阶常系数非齐次线性微分方程是一个重要的研究对象。
它在物理学、工程学、经济学等众多学科中都有着广泛的应用。
接下来，让我们深入探讨一下二阶常系数非齐次线性微分方程的解法以及相关例题。
首先，我们来明确一下二阶常系数非齐次线性微分方程的一般形式：＄y'＇＋ py' ＋ qy ＝ f(x)＄，其中＄p$、＄q$ 是常数，＄f(x)＄是一个已知的函数。
为了求解这个方程，我们通常分为两个步骤：第一步，先求解对应的齐次方程：＄y'＇＋ py' ＋ qy ＝ 0$ 。
对于这个齐次方程，我们假设它的解为＄y ＝ e^｛rx}＄，代入方程中得到特征方程：＄r^2 ＋ pr ＋ q ＝ 0$ 。
通过求解这个特征方程，可以得到两个根＄r_1$ 和＄r_2$ 。
当＄r_1$ 和＄r_2$ 是两个不相等的实根时，齐次方程的通解为＄y_c ＝ C_1e^｛r_1x} ＋ C_2e^｛r_2x}＄；当＄r_1 ＝ r_2$ 是相等的实根时，齐次方程的通解为＄y_c ＝（C_1 ＋ C_2x)e^｛r_1x}＄；当＄r_1$ 和＄r_2$ 是一对共轭复根＄r_{1,2} ＝＼alpha ＼pm ＼beta i$ 时，齐次方程的通解为＄y_c ＝ e^｛＼alpha x}（C_1\cos(＼beta x) ＋ C_2\sin(＼beta x)）＄。
第二步，求出非齐次方程的一个特解＄y_p$ 。
求特解的方法通常根据＄f(x)＄的形式来决定。
常见的形式有以下几种：1、当＄f(x) ＝ P_n(x)e^｛＼alpha x}＄，其中＄P_n(x)＄是＄n$ 次多项式。
如果＄＼alpha$ 不是特征根，设特解为＄y_p ＝ Q_n(x)e^｛＼alpha x}＄，其中＄Q_n(x)＄是与＄P_n(x)＄同次的待定多项式；如果＄＼alpha$ 是特征方程的单根，设特解为＄y_p ＝ xQ_n(x)e^｛＼alpha x}＄；如果＄＼alpha$ 是特征方程的重根，设特解为＄y_p ＝x^2Q_n(x)e^｛＼alpha x}＄。
二阶常系数非齐次线性微分方程的特殊解法
黑龙江工业学院学报JOURNAL OF HEILONGJIANG UNIVERSITY OF TECHNOLOGYVol. 20 No. 12Dec. 2020第20卷第12期2020年12月文章编号：2096 - 3874(2020)12 - 0141 -04二阶常系数非齐次线性微分方程的特殊解法蔺琳(大连财经学院，辽宁大连116622)摘要：为剖析二阶常系数非齐次线性微分方程的特殊解法，拓宽非齐次线性微分方程的应用领域。
分析对比了迭代法、升阶法、降阶法、算子法、积分求法、Laplace 变换法、变量变换法 和化为方程组法等方法的优缺点和适用条件。
关键词:常微分方程;非齐次;特殊解法;分析;利弊中图分类号:0175 文献标识码:A常微分方程是数学分析与微分方程运算中不可或缺的一个组成部分⑴。
例如,在反映客观现实世界运动过程的量与量之间的关系中，大量存 在满足常微分方程关系式的数学模型，需要通过求解微分方程来了解未知函数的性质⑵。
因此, 常微分方程是解决实际问题的重要工具。
其中， 形如y" +py' +qy =/(%)(其中p,g 为常数)的方程称为二阶常系数非齐次线性微分方程⑶。
众所周知，待定系数法和常数变易法是二阶常系数非齐 次线性微分方程的普遍解法，但这两种方法都有不足之处，例如求解过程较为繁琐，计算量较 大“T o 本文综述了积分法、算子法、降阶法、升阶法、拉普拉斯变换法、化为方程组法和迭代法求解 方程的原理与应用。
同时,分析了各个二阶常系数非齐次线性微分方程特殊解法的利弊,为微分 方程在不同的条件下快捷使用相应的求解方法研 究奠定基础。
1二阶常系数非齐次线性微分方程的特殊解法1」积分法求解方程设卩(％)是齐次方程y" +py +qy =0的一个解，且卩(0) =0,卩'(0)工0,则 y" +py' +qy =f(x) 的特解为 y* (%) =cp (:x - t) dt 。
高数二阶常系数非齐次线性微分方程解法及例题详解
强迫振动问题例题
01
解题步骤
02 1. 将外力函数展开为傅里叶级数或三角级数。
03 2. 将展开后的级数代入原方程，得到一系列简单 的一阶或二阶常系数线性微分方程。
强迫振动问题例题
3. 分别求解这些简单方程，得到原方程的通解。
示例：考虑方程 $y'' + 4y = sin t$，首先将 $sin t$ 展开为三角级数，然后代入原方程进行求解，得到通解为 $y(t) = C_1 cos(2t) + C_2 sin(2t) + frac{1}{8} sin t$。
详细描述
自由振动问题通常可以通过求解特征方程得到，特征方程是一元二次方程，其根决定了 微分方程的解的形式。如果特征方程有两个不相等的实根，则微分方程的解为两个独立 的指数函数；如果特征方程有两个相等的实根，则微分方程的解为单一的指数函数；如
果特征方程有一对共轭复根，则微分方程的解为正弦和余弦函数。
强迫振动问题
方程形式与特点
01
02
03
04
05
二阶常系数非齐次线性 该方程具有以下特点 微分方程的一般形式为： $y'' + p(x)y' + q(x)y = f(x)$，其中$p(x)$、 $q(x)$和$f(x)$是已知函 数，$y$是未知函数。
未知函数$y$的最高阶导 系数是常数，不随$x$变 右边的函数$f(x)$是非齐
高数二阶常系数非齐次线 性微分方程解法及例题详 解
• 引言 • 二阶常系数非齐次线性微分方程的解
法 • 常见题型及解题技巧 • 例题详解 • 总结与思考
01
引言
背景介绍
二阶常系数非齐次线性微分方程在自 然科学、工程技术和社会科学等领域 有广泛应用，如物理学、化学、生物 学、经济学等。
二阶常系数非齐次微分方程的特解公式
二阶常系数非齐次微分方程是微分方程中的一类基本形式，在实际问题中具有广泛的应用。
它的一般形式可以表示为：[ay’’ + by’ + cy = F(x)]其中 (a, b, c) 是常系数，(F(x)) 是非零的连续函数。
解此方程的一般步骤是先求其对应的齐次线性微分方程的通解，再找到特解，将二者相加，得到非齐次微分方程的通解。
在这里，我将向你介绍二阶常系数非齐次微分方程特解的具体求解方法，并给出其特解公式。
通过这篇文章，你将全面了解并深入理解这一概念。
1. 二阶常系数非齐次微分方程的特解求解步骤我们来看如何求解二阶常系数非齐次微分方程的特解。
求解步骤如下：步骤1：求解对应的齐次线性微分方程的特征方程，得到其通解。
对于给定的二阶常系数非齐次微分方程(ay’’ + by’ + cy =F(x))，其对应的齐次线性微分方程是(ay’’ + by’ + cy = 0)。
我们先解这个齐次微分方程，得到其特征方程。
特征方程的根将决定齐次微分方程的通解形式。
步骤2：求特解。
接下来，我们要找到对于非齐次项 (F(x)) 的特解。
特解的形式取决于 (F(x)) 的具体形式，可以通过待定系数法或者叠加原理等方法求解。
步骤3：组合通解和特解。
我们将齐次微分方程的通解与非齐次微分方程的特解相加，得到非齐次微分方程的通解。
这样，我们就得到了原方程的完整解。
2. 二阶常系数非齐次微分方程的特解公式对于二阶常系数非齐次线性微分方程(ay’’ + by’ + cy = F(x))，其特解的一般形式如下：[y_p(x) = K(x) e^{mx}]其中 (K(x)) 是待定的函数形式，(m) 是非齐次项 (F(x)) 的特征根。
特解的形式将根据 (F(x)) 的具体形式和对应齐次微分方程的特征根来确定。
通过本文的介绍，我希望你对二阶常系数非齐次微分方程的特解求解和特解公式有了更加深入的理解。
这一概念在物理、工程、经济学等领域有着广泛的应用，掌握好这一知识点对于进一步的学习和工作都是非常重要的。
二阶常系数非齐次线性微分方程解法及例题
二阶常系数非齐次线性微分方程解法及例题大家好，今天我们来探讨一下二阶常系数非齐次线性微分方程的解法及一些例题。
我们要明白什么是二阶常系数非齐次线性微分方程。
简单来说，就是一个未知函数y与其导数y关于t的关系式，形式如下：dy/dt + A*y = B*exp(ct)其中，A、B、c是已知常数，t是自变量。
这个方程的解法有很多种，但是我们今天主要讨论两种方法：一种是分离变量法，另一种是特征线法。
我们来看一下分离变量法。
分离变量法的基本思想是把未知函数y看作两个函数的和，一个是指数函数e^(ct),另一个是线性函数y(t)。
这样一来，我们就可以用积分的方法求解这个方程了。
具体步骤如下：1. 把方程改写为：e^(ct) = y(t) B/A*ln|y(t)|2. 对两边取对数：ln|y(t)| = ct ln|y(t)| ln(B/A)3. 对上式两边求积分：∫[0,∞] ln|y(t)| dt = ∫[0,∞] (ct ln|y(t)| ln(B/A)) dt4. 根据积分公式和性质，我们可以得到：y(t) * e^(-bt) = B/A * e^(-bt) * |y(t)|^n + C,其中n是一个待定常数5. 通过比较系数，我们可以得到：y(t) = (B/A)^n * |y(t)|^n6. 这样我们就得到了二阶常系数非齐次线性微分方程的一个特解。
接下来，我们可以通过凑特解的方法得到原方程的通解。
下面我们来看一下特征线法。
特征线法的基本思想是找到一个特征线，使得它与原方程有相同的极值点。
具体步骤如下：1. 对于特征线l:y = x + c,代入原方程得：x + c = x + A*y B*exp(ct) => A*y =B*exp(ct) + c => y = (B/A)*exp(ct) + c/A2. 由于特征线l与原方程有相同的极值点，所以我们可以得到原方程的通解为：y = (B/A)^n * exp(ct) + c/A * (x x0)^n3. 其中，x0是特征线的交点的横坐标，n是待定常数。
解二阶常系数非齐次微分方程
解二阶常系数非齐次微分方程二阶常系数非齐次微分方程的一般形式为：$$\frac{d^2y}{dx^2}+a\frac{dy}{dx}+by=f(x)$$其中$a$和$b$为常数，$f(x)$为已知函数。
要解这个方程，可以先求出对应的齐次方程的通解，然后再找一个特解。
将通解和特解相加，就可以得到非齐次方程的通解。
(1) 首先求对应的齐次方程的通解：假设齐次方程的解为$y_h(x)$，则可以设$y_h(x)=e^{mx}$，代入齐次方程中得到特征方程：$$m^2+am+b=0$$解特征方程，得到两个不同的根$m_1$和$m_2$。
当特征方程有两个不同的实根$m_1$和$m_2$时，通解为：$$y_h(x)=C_1e^{m_1x}+C_2e^{m_2x}$$其中$C_1$和$C_2$为任意常数。
当特征方程有两个不同的复根$m_1=\alpha+i\beta$和$m_2=\alpha-i\beta$时，通解为：$$y_h(x)=e^{\alpha x}(C_1\cos(\beta x) + C_2\sin(\beta x))$$其中$C_1$和$C_2$为任意常数。
(2) 找一个特解$y_p(x)$。
对于非齐次方程，可以根据$f(x)$的形式找到特解的猜测解。
常见的猜测解包括常数解、多项式解、指数函数解、三角函数解等。
将猜测解代入非齐次方程，求出特解。
(3) 非齐次方程的通解为：$$y(x)=y_h(x) + y_p(x)$$其中$y_h(x)$为齐次方程的通解，$y_p(x)$为特解。
注意：特解的选择要避免与齐次方程的通解相同或成倍数关系，否则解会出现冗余。
在猜测特解时，可以通过将特解代入非齐次方程进行验证，以确保猜测解是正确的。
二阶非齐次微分方程通解的方法
二阶非齐次微分方程通解的方法一、引言微分方程是数学中重要的研究对象，二阶非齐次微分方程是其中一类常见且重要的方程类型。
本文将介绍二阶非齐次微分方程的通解方法。
二、二阶非齐次微分方程的一般形式二阶非齐次微分方程的一般形式为：$$\frac{d^2y}{dx^2}+P(x)\frac{dy}{dx}+Q(x)y=F(x)$$其中，$P(x)$、$Q(x)$和$F(x)$是已知函数。
三、特解与齐次方程的通解为了求解二阶非齐次微分方程的通解，需要先求得其对应的齐次方程的通解。
齐次方程的一般形式为：$$\frac{d^2y}{dx^2}+P(x)\frac{dy}{dx}+Q(x)y=0$$求解齐次方程的通解可以使用特征方程的方法。
四、特解的求取特解是指满足非齐次方程的特定解，可以通过常数变易法来求解。
常数变易法的基本思想是假设特解为非齐次方程的形式，并将其代入方程进行求解。
1. 当非齐次方程的右端项$F(x)$为多项式函数时，假设特解为多项式形式。
根据非齐次方程的形式，设特解为$y^*=Ax^n$，其中$n$为特征方程的重根的重数加一。
将特解$y^*$代入非齐次方程，得到$A$的值，进而得到特解。
2. 当非齐次方程的右端项$F(x)$为指数函数时，假设特解为指数形式。
根据非齐次方程的形式，设特解为$y^*=Ae^{mx}$，其中$m$为特征方程的根。
将特解$y^*$代入非齐次方程，得到$A$的值，进而得到特解。
3. 当非齐次方程的右端项$F(x)$为三角函数或其线性组合时，假设特解为三角函数形式。
根据非齐次方程的形式，设特解为$y^*=A\sin(mx)+B\cos(mx)$，其中$m$为特征方程的根。
将特解$y^*$代入非齐次方程，得到$A$和$B$的值，进而得到特解。
五、通解的求取求得特解后，可将特解与齐次方程的通解相加得到非齐次方程的通解。
六、总结通过以上的介绍，我们了解了二阶非齐次微分方程通解的求取方法。
二阶常系数非齐次线性微分方程解法及例题
二阶常系数非齐次线性微分方程解法及例题在学习高等数学的过程中，二阶常系数非齐次线性微分方程是一个重要的知识点。
理解和掌握它的解法，对于解决许多实际问题和理论研究都具有重要意义。
首先，我们来了解一下二阶常系数非齐次线性微分方程的一般形式：＄y'＇＋ py' ＋ qy ＝ f(x)＄，其中$p$、＄q$是常数，＄f(x)＄是一个已知函数。
其解法的关键在于先求出对应的齐次方程的通解，然后再求出非齐次方程的一个特解，最终将两者相加得到非齐次方程的通解。
对于齐次方程$y'＇＋ py' ＋ qy ＝ 0$，我们可以通过特征方程$r^2＋ pr ＋ q ＝ 0$来求解。
特征方程的根有三种情况：1、两个不相等的实根$r_1$和$r_2$，此时齐次方程的通解为$y_c＝ C_1e^｛r_1x} ＋ C_2e^｛r_2x}＄。
2、两个相等的实根$r$，通解为$y_c ＝（C_1 ＋C_2x)e^｛rx}＄。
3、一对共轭复根$＼alpha ＼pm ＼beta i$，通解为$y_c ＝ e^｛＼alpha x}（C_1\cos\beta x ＋ C_2\sin\beta x)＄。
接下来，我们重点讨论如何求非齐次方程的特解。
根据$f(x)＄的形式，通常使用待定系数法来求解。
常见的$f(x)＄形式有以下几种：1、＄f(x) ＝ P_n(x)e^｛＼lambda x}＄，其中$P_n(x)＄是$x$的$n$次多项式。
若$＼lambda$不是特征根，设特解为$y_p ＝ Q_n(x)e^｛＼lambda x}＄，其中$Q_n(x)＄是与$P_n(x)＄同次的待定多项式。
若$＼lambda$是特征方程的单根，设特解为$y_p ＝ xQ_n(x)e^｛＼lambda x}＄。
若$＼lambda$是特征方程的重根，设特解为$y_p ＝ x^2Q_n(x)e^｛＼lambda x}＄。
2、＄f(x) ＝ e^｛＼lambda x}P_l(x)＼cos\omega x ＋ Q_m(x)＼sin\omega x$若$＼lambda ＼pm ＼omega i$不是特征根，设特解为$y_p ＝ e^｛＼lambda x}R_{l+m}（x)＼cos\omega x ＋ S_{l+m}（x)＼sin\omegax$，其中$R_{l+m}（x)＄和$S_{l+m}（x)＄是与$P_l(x)＄和$Q_m(x)＄同次的待定多项式。
高数二阶常系数非齐次线性微分方程解法及例题详解
比较两端同类项的系数 得a>>>1 b0 c0d 4 3 9 同类项的系数 得a 1 b0 c0d 4 3 9 因此所给方程的特解为 y* 1 x cos 2 x + 4 sin 2 x 3 9
特解形式 结束
因此所给方程的通解为
y C1e 2 x + C2e3x 1 ( x 2 + 2 x)e 2 x 2
特解形式 首页
二、 结论 f(x)ex[Pl(x)coswx+Pn(x)sinwx]型
二阶常系数非齐次线性微分方程 y+py+qyex[Pl(x)coswx+Pn(x)sinwx] 有形如 y*xkex[R(1)m(x)coswx+R(2)m(x)sinwx] 的特解 其中R(1)m(x)、R(2)m(x)是m次多项式 mmax{l n} 而k 按+iw(或iw)不是特征方程的根或是特征方程的单根依次 取0或1 >>>
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例3 求微分方程y+yxcos2x的一个特解 解 齐次方程y+y0的特征方程为r2+10 因为f(x)ex[Pl(x)coswx+Pn(x)sinwx]xcos2x +iw2i不是 特征方程的根 所以所给方程的特解应设为 y*(ax+b)cos2x+(cx+d)sin2x 把它代入所给方程 得 >>> (3ax3b+4c)cos2x(3cx+4a+3d)sin2xxcos2x
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结论 二阶常系数非齐次线性微分方程 y+py+qyPm(x)ex 有形如 y*xkQm(x)ex 的特解 其中Qm(x)是与Pm(x)同次的多项式 而k按不是特征 方程的根、是特征方程的单根或是特征方程的的重根依次取 为0、1或2
二阶常系数非齐次微分方程的通解和特解
二阶常系数非齐次微分方程的通解和特解二阶常系数非齐次微分方程是指形如y''+py'+qy=F(x)的微分方程，其中p和q是常数，F(x)是已知的函数，y是未知函数。
这类微分方程的解法包括通解和特解。
首先考虑非齐次微分方程的通解。
通解一般分为两部分，即其对应的齐次微分方程的通解和非齐次微分方程的特解。
对于齐次微分方程y''+py'+qy=0，它的特征方程为r^2+pr+q=0，其中r是未知常数。
根据特征方程的根的情况分为三种情况：1. 当特征根为实数时，即r1≠r2，则齐次微分方程的通解为y=C1e^(r1x)+C2e^(r2x)。
其中C1和C2是任意常数，可以通过给定的边界条件计算得到。
2. 当特征根为复数时，即r1=r2=α+iβ，实部为α，虚部为β，则齐次微分方程的通解为y=e^(αx)(C1cosβx+C2sinβx)。
其中C1和C2是任意常数，可以通过给定的边界条件计算得到。
3. 当特征根为重根时，即r1=r2=r，则齐次微分方程的通解为y=(C1+C2x)e^(rx)，其中C1和C2是任意常数，可以通过给定的边界条件计算得到。
对于非齐次微分方程y''+py'+qy=F(x)，我们可以采用常数变易法求出它的特解：设非齐次微分方程的特解为y1(x)，则y1''+py1'+qy1=F(x)令y1=A(x)e^(mx)，其中A(x)是待定函数，m是未知常数将y1代入上式得到A(x)和m的关系式：A''e^(mx)+2Am'e^(mx)+Am^2e^(mx)+pA'e^(mx)+pAm'e^(mx )+qAe^(mx)=(F(x))/e^(mx)整理得到A''+2mA'+(m^2+p)A=(F(x))/e^(mx)此时我们可以令(A(x))'=0，使得A(x)是一个常数，从而得到一个特解y1=C(e^(mx))，其中C是未知常数。
二阶常系数非齐次线性微分方程解法及例题
二阶常系数非齐次线性微分方程解法及例题一、引言微分方程是数学中重要的一部分，广泛应用于自然科学和工程技术领域。
在微分方程中，常系数非齐次线性微分方程是一类常见且重要的方程类型。
本文将介绍该类型微分方程的解法以及一些例题。
二、常系数非齐次线性微分方程的定义常系数非齐次线性微分方程可以表示为：$$\frac{d^2y}{dx^2}+a\frac{dy}{dx}+by=f(x)$$其中$a$和$b$为常数，$f(x)$为已知函数。
三、特征方程和齐次解对于常系数非齐次线性微分方程，首先求解相应的齐次方程：$$\frac{d^2y}{dx^2}+a\frac{dy}{dx}+by=0$$我们可以得到对应的特征方程：$$\lambda^2+a\lambda+b=0$$解特征方程可以得到两个不同的特征根$\lambda_1$和$\lambda_2$。
根据特征根的不同情况，可以分为三种情况：1. 当特征根为实数且不相等时，齐次解可以表示为：$$y=c_1e^{\lambda_1x}+c_2e^{\lambda_2x}$$其中$c_1$和$c_2$为常数。
2. 当特征根为实数且相等时，齐次解可以表示为：$$y=(c_1+c_2x)e^{\lambda x}$$其中$c_1$和$c_2$为常数。
3. 当特征根为复数时，齐次解可以表示为：$$y=e^{\alphax}(c_1\cos \beta x+c_2\sin \beta x)$$其中$\alpha$和$\beta$为实数，$c_1$和$c_2$为常数。
四、非齐次解下面我们来求解常系数非齐次线性微分方程的非齐次解。
1. 方法一：待定系数法若$f(x)$为多项式或指数函数时，可以采用待定系数法。
假设非齐次解为：$$y^*=P(x)Q(x)e^{\lambda x}$$其中$P(x)$和$Q(x)$为待定的多项式函数，$\lambda$为特征根。
2. 方法二：常数变易法若$f(x)$为三角函数或双曲函数时，可以采用常数变易法。
二阶非齐次线性微分方程的通解
二阶非齐次线性微分方程的通解
二阶非齐次线性微分方程是指非齐次线性微分方程中右边的函数未知，而其解须满足一定的非齐次条件,此时二阶非齐次线性微分方程就可以用来描述。
二阶非齐次线性微分方程的解法通常有两种方法，一种是积分因子法，一种是拉普拉斯变换法。
积分因子法是确定积分因子的方法。
由于其式，解的形式是行列式形式，是一种直观的、简单的方法，当方程实质上是可以进行积分的时候，可以采用这种方法。
例如：y''+ p(t) y'+ q(t) y = f(t) ，其积分因子为 M(t) = exp {- ∫ p (t) dt} 。
用这种方法，就可以「加以积分因子后」转化为方程： (My')' + qM y = fM，解此方程常常较为
容易。
拉普拉斯变换法通过拉普拉斯变换把二阶非齐次线性微分方程转换为一阶线性微分方程组。
拉普拉斯变换可将一个新函数 Y (p) 与变量 y 定义进行变换。
对待一
般非齐次线性微分方程ay″ + by′ + cy = f(t)，其变换的具体表达是：Y (p) = {y' +
(b/a)y} + (b/a) * L(y)，其中 L(y) 为微分人变量内涵的拉普拉斯变换表达式。
这种拉普拉斯变换的方法的好处在于可以大大减少二阶非齐次线性方程的复杂性，大大方便其解法的求解。
通过积分因子法和拉普拉斯变换法对二阶非齐次线性方程求解，可满足其特殊性质，也为数值计算提供了有力的解法。
这些方法不仅可以用于二阶非齐次线性微分方程的求解，而且也可以用于多元系统的解决。
二阶非齐次线性微分方程的解法.
目 录待定系数法 常数变异法 幂级数法 特征根法 升阶法 降阶法关键词：微分方程，特解，通解，二阶齐次线性微分方程常系数微分方程 待定系数法解决常系数齐次线性微分方程[]21220, (1)d x dxL x a a x dt dt≡++=12,.a a 这里是常数 特征方程212()0F a a λλλ=++=(1.1)(1)特征根是单根的情形设12,,,nλλλ是特征方程的(1.1)的2个彼此不相等的根，则相应的方程 (1)有如下2个解：12,t t e e λλ (1.2)如果(1,2)i i λ=均为实数，则 (1.2)是方程 (1)的2个线性无关的实值解，而方程(1)的通解可表示为 1212t tx c e c e λλ=+如果方程有复根，则因方程的系数是实系数，复根将成对共轭出现。
设iλαβ=+是一特征根，则i λαβ=-也是特征根，因而与这对共轭复根对应，方程 (1)有两个复值解(i)t (cos t sin ),t e e i t αβαββ+=+(i)t (cos t sin ).t e e i t αβαββ-=-它们的实部和虚部也是方程的解。
这样一来，对应于特征方程的一对共轭复根i λαβ=±，我们可求得方程 (1)的两个实值解cos ,sin .t t e t e t ααββ（2）特征根有重跟的情形若10λ=特征方程的k 重零根，对应于方程 (1)的k 个线性无关的解211,t,t ,k t -。
若这个k 重零根10,λ≠设特征根为12,,,,m λλλ其重数为1212,,,k (k 2)m m k k k k ++=。
方程(1)的解为 11112222111,t ,t ;,t ,t ;;,t ,t ;m m m m t t k t t t k t t t k t e e e e e e e e e λλλλλλλλλ---对于特征方程有复重根的情况，譬如假设i λαβ=+是k 重特征根，则i λαβ=-也是k 重特征根，可以得到方程 (1)的2k 个实值解2121cos ,cos ,cos ,,cos ,sin ,sin ,sin ,,sin .t t t k t t t t k t e t te t t e t t e t e t te t t e t t e t ααααααααββββββββ--例1 求方程220d xx dt -=的通解。
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这里 c1,c2 是任意常数。
某些变系数线性齐次微分方程的解法 （一）化为常系数 1. 在自变量变换下，可化为常系数的方程 一类典型的方程是欧拉方程
x2
d2y dx 2
dy a1x
dx
a2 y
0
(2)
这里 a1, a2为常数，它的特点是 y的k阶导数（ k=0,1,2, 规定 y(0) =y）的系数是 x的 k 次方乘以常数 .
y (c1 c2 ln x) x 2
2. 在未知函数的线性齐次变换下，可化为常系数的方程 现在考虑二阶变异系数线性方程
d2 y
dy
dx 2
P1 ( x )
P2 (x) y 0
dx
(2.4)
的系数函数 P1( x), P2( x) 满足什么条件时，可经适当的线性齐次变换
y a( x) z (2.5)
化为常系数方程。这里 a( x) 是待定函数。 为此，把 (2.5) 代入方程 (2.4) ，可得到 a( x)z '' [2 a'x P1( x)a( x)] z' [a'' ( x) P1( x)a '(x) P2 (x)a( x)] z 0 (2.6) 欲使 (2.6) 为常系数线性齐次方程，必须选取 a( x) 使得 z''、 z' 及 z 的系数均为常 数。特别地，令 z' 的系数为零，即 2a' P1( x)a 0 可求得
代回原来的变量，就得到原方程 (2) 的通解。
例
求方程
x2
d2y dx 2
dy 5x
dx
4y
0 的通解
x 解 此方程为欧拉方程，令
et ，则由 (2.2) 知，原方程化为
d2 y dy
dt 2
4 dt
4y
o
其特征方程为
(2.3)
24 40
特征根为 1 2 2 ，故方程 (2.3) 的通解为 y (c1 c2t)e 2t 换回原自变量 x ，则原方程的通解为
x0 的通解。
解 特征方程 解为
2 1 0 的根为 1 1, 2
x c1et c2e t ,
1有两个实根，均是单根，故方程的通
这里 c1,c2 是任意常数。
d 2x
例 2 求解方程
dt 2
x0 的通解。
2 1 0 的根为 1 i , 2 解 特征方程
为
x c1 sin t c2 cost,
i 有两个复根， 均是单根， 故方程的通解
事实上，因为
dy dy dt t dy e
dx dt dx
dt
d2 y dx 2
d
(e
t
dy )
dt
dt dt dx
e
2t
(
d2 dx
y
2
dy )
dt
代入方程 (2) ，则原方程变为
d2 y dt 2
(a1 1) dy dt
a2 y
o (2.2)
(2.2)
方程
常系数二阶线性微分方程，由
上 可求得方程的通解。再变换 (2.1) ，
i
也是 k 重特征根，可以得到方程 (1) 的 2k 个实值解
e t cos t, te t cos t,t 2e t cos t, , t k 1e t cos t, e t sin t, te t sin t ,t 2e t sin t , , t k 1e t sin t.
d 2x
例 1 求方程 dt 2
i ，我们可求得方程 (1) 的两个实值解
e t cos t, e 0 特征方程的 k 重零根，对应于方程
(1) 的 k 个线性无关的解 1, t, t 2,
tk
1
。
若 这 个 k 重 零 根 1 0, 设 特 征 根 为 1, 2, , m, 其 重 数 为
目录
待定系数法 常数变异法 幂级数法 特征根法
升阶法 降阶法 关键词：微分方程，特解，通解，
二阶齐次线性微分方程
常系数微分方程 待定系数法
d 2x
dx
解决常系数齐次线性微分方程 L x
dt 2
a1 dt
a2x 0,
(1)
这里 a1 ,a2是常数 .
特征方程 F ( )
2 a1 a2 0
(1.1)
(1) 特征根是单根的情形
我们想找一个变换，使方程 (2) 的线性及齐次性保持不变，且把变系数化为常系
数。根据方程 x 本身的特点，我们选取自变量的变换 x
变换
x et (t ln x)
(2.1)
(t) ，并取 (t) et ，即
就可以达到上述目的（这里设 x 0 ，当 x 0 时，取 x e t ，以后为确定起见，
认为 x 0 ）。
2 ''
'
21
例求方程 x y
I ( x) P2( x) 1 P12( x) 1 P1'( x)
4
2
为常数时，方程 (2.7) 为常系数方程。
因方程 (2.4) 在形如 (2.8) 的变换下，函数 I ( x) 的值不会改变，故称 I ( x) 为方程
(2.4) 的不变式。因此，当不变式 I (x) 为常数时，方程 (2.4) 可经变换 (2.8) 化为常 系数线性齐次方程。
k1, k2, ,k m (k1 k2
k m 2) 。方程 (1) 的解为
e 1t ,t e 1t , tk1 1 e ;1t e 2t ,t e 2t , tk2 1 e 2t ; ; e mt ,t e mt , tkm 1 e mt ;
对于特征方程有复重根的情况，譬如假设
i 是 k 重特征根，则
如果方程有复根， 则因方程的系数是实系数， 复根将成对共轭出现。 设
i
是一特征根， 则
i 也是特征根， 因而与这对共轭复根对应， 方程 (1) 有两
个复值解
e( i)t e t (cos t i sin t),
e( i)t e t (cos t i sin t ). 它们的实部和虚部也是方程的解。这样一来，对应于特征方程的一对共轭复根
1
a( x) e 2 P1(x )d x 再代入 (2.6) ，整理之，得到
z'' [P2( x) 1 P12 ( x) 1 P1' ( x)] z 0
4
2
(2.7)
由此可见，方程 (2.4) 可经线性齐次变换
1
y e 2 p1( x)dx z (2.8)
化为关于 z 的不含一阶导数项的线性齐次方程 (2.7) ，且当 z 的系数
设 1 , 2 , , n 是特征方程的 (1.1) 的 2 个彼此不相等的根， 则相应的方程 (1) 有如
下 2 个解：
e ,1t e 2t
(1.2)
如果 i (i 1,2) 均为实数，则 (1.2) 是方程 (1) 的 2 个线性无关的实值解，而方程
(1) 的通解可表示为
x c1e 1t c2e 2t