一次函数的最值问题.
专题：一次函数最值问题
专题：一次函数最值问题类型一：线段和例1．已知，如图，在平面直角坐标系xOy中，直线l1：y＝x+3分别交x轴、y轴于点A、B两点，直线l2：y＝﹣3x过原点且与直线l1相交于C，点P为y轴上一动点．（1）求点C的坐标；（2）求出△BCO的面积；（3）当P A+PC的值最小时，求此时点P的坐标．练习．已知，如图，直线y＝8﹣2x与y轴交于点A，与x轴交于点B，直线y＝x+b与y轴交于点C，与x轴交于点D，如果两直线交于点P，且AC：CO＝3：5（AO＞CO）（1）求点A、B的坐标；（2）求四边形COBP的面积S；（3）在y轴上找一点M，使得BM+PM的值最小，求出点M的坐标和BM+PM的最小值；类型二：多条线段和例2．已知直线l1：y＝﹣x﹣1分别与x、y轴交于点A、B．将直线l1平移后过点C（4，0）得到直线l2，l2交直线AD于点E，交y轴于点F，且EA＝EC．（1）求直线l2的解析式；（2）若点P为x轴上任一点，是否存在点P，使△DEP的周长最小，若存在，求周长的最小值及点P的坐标；练习．如图1，直线MN分别与x轴正半轴、y轴正半轴交于点M、N，且OM＝6，∠OMN ＝45°，点P从点O出发，以每秒钟1个单位的速度沿折线ONM运动，设点P运动时间为t（s），△POM的面积S．（1）当S＝△OMN时，请直接写出点P的坐标；（2）当t＝6+5时，直线x＝上有一个动点C和y轴上有一动点D，当PD+DC+OC 值最小时，求C、D两点的坐标及此时PD+DC+OC最小值；练习2．已知直线l1：y＝x+b与x轴交于点A，直线l2：y＝x﹣与x轴交于点B，直线l1、l2交于点C，且C点的横坐标为1．（1）求直线l1的解析式；（2）过点A作x轴的垂线，若点P为垂线上的一个动点，点Q为y轴上的一个动点，当CP+PQ+QA的值最小时，求此时点P的坐标；练习3．如图1，已知直线AC的解析式为y＝﹣x+b，直线BC的解析式为y＝kx﹣2（k≠0），且△BOC的面积为6．（1）求k和b的值；（2）如图1，将直线AC绕A点逆时针旋转90°得到直线AD，点D在y轴上，若点M 为x轴上的一个动点，点N为直线AD上的一个动点，当DM+MN+NB的值最小时，求此时点M的坐标及DM+MN+NB的最小值；（3）如图2，将△AOD沿着直线AC平移得到△A′O′D′，A′D′与x轴交于点P，连接A′D、DP，当△DA′P是等腰三角形时，求此时P点坐标．例3．已知：在平面直角坐标系中，四边形OABC满足OA∥BC，OC∥AB，OA＝AB＝4，且∠OAB＝60°．（1）如图1．求直线AB的解析式；（2）如图2．将线段AB沿线段AC方向从点A向点C平移，记平移中的线段AB为A′B′，当△CA′B′为直角三角形时，在x轴上找一点P，使|PB′﹣PC|最大，请求出|PB′﹣PC|的最大值；练习．如图，在直角坐标系中，直线l：y＝x+8与x轴、y轴分别交于点B，点A，直线x ＝﹣2交AB于点C，D是直线x＝﹣2上一动点，且在点C的上方，设D（﹣2，m）（1）求点O到直线AB的距离；（2）当四边形AOBD的面积为38时，求点D的坐标，此时在x轴上有一点E（8，0），在y轴上找一点M，使|ME﹣MD|最大，请求出|ME﹣MD|的最大值以及M点的坐标；例4．如图1，△ABC的三个顶点均在坐标轴上，且A、C的坐标分别为（﹣1，0）和（0，﹣3），点B在x轴正半轴上，△ABC的面积为，过点A的直线AD与y轴正半轴交于点D，∠DAB＝45°．（1）求直线AD和BC的解析式；（2）如图2，点E在直线x＝2上且在直线BC下方，当△BCE的面积为6时，一线段FG＝4（点F在G的左侧）在直线AD上移动，求当四边形BEFG的周长最小时点F 的坐标；练习．如图，一次函数y＝kx+b的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B（0，2），与正比例函数y＝x的图象交于点C（4，c）（1）求k和b的值；（2）如图1，点P是y轴上一个动点，当|P A﹣PC|最大时，求点P的坐标；（3）如图2，设动点D，E都在x轴上运动，且DE＝2，分别连接BD，CE，当四边形BDEC的周长取最小值时直接写出点D和E的坐标并求出四边形周长的最小值．练习2．如图，平面直角坐标系中一平行四边形ABCO，点A的坐标（﹣2，4），点B的坐标（4，4），AC与BO交于点E，AB与y轴交于点G，直线EF交y轴于点F且G为线段FO的中点．（1）求出直线EF的解析式．（2）若点Q是点F关于点E的对称点，P点为线段AB上的一动点，过点P作PH⊥x 轴，垂足为H，连接FP，QH．问FP+PH+HQ是否有最小值，如果有，求出相应的点P 的坐标；如果没有，请说明理由．练习3．如图1，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x﹣与x轴交于点A，与y轴交于点B，点C在x轴正半轴上，且OC＝3AO，过点A作BC的平行线l．（1）求直线BC的解析式；（2）作点A关于BC的对称点D，一动点P从C点出发按某一路径运动到直线l上的点M，再沿垂直BC的方向运动到直线BC上的点N，再沿某一路径运动到D点，求点P运动的最短路径的长以及此时点N的坐标；类型五：胡不归例5．已知直线l1：y＝﹣x+b与直线l2：y＝kx+3相交于y轴的B点，且分别交x轴于点A、C，已知OC＝OA．（1）如图1，求点C的坐标及k的值；（2）如图，若E为直线l1上一点，且E点的横坐标为．点P为y轴上一个动点，Q 为x轴上一个动点；求当|PC﹣PE|最大时，点P的坐标，并求出此时PQ+QA的最小值；练习．如图，已知直线l AC：y＝﹣x﹣2交x轴、y轴分别为A、C两点，直线BC⊥AC交x轴于点B．将△OBC关于BC边翻折，得到△O′BC，过点O′作直线O′E垂直x轴于点E．（1）求点B的坐标及直线BC的解析式；（2）P是直线O′E上任意一点，①当|P A﹣PC|最大时，请求出P点的坐标；②在①的条件下，P、Q两点关于x轴对称，F是y轴上一点，求QF+FC的最小值．类型七：一定两动，线段和例6．在平面直角坐标系中，已知点A在函数y＝x的图象上，点B（4，0），且BA⊥OA，P（0，10）．（1）如图1，把△ABO沿直线y＝x方向平移，得到△CDE，连接PC、PE．当PC+PE 的值最小时，在x轴上存在Q点，在直线y＝x上存在点R使QR+DR的值最小，求出DQ+BQ的最小值，并求出此时点Q的坐标．练习．如图①，在平面直角坐标系xOy中，平行四边形OCDE的边OC在x轴的正半轴，D、E在第一象限，直线AB经过点D与x轴、y轴分别交于点A、B，已知点E的坐标为（，），OC＝且OA＝2OC．（1）求直线AB的解析式；（2）如图②在直线AB上有一点P，在x轴上有一点F，当EF+PF最小时，求点P的坐标及EF+PF的最小值。
初中数学一次函数的最值问题
初中数学一次函数的最值问题一次函数在自变量x允许取值范围（即全体实数）内，它是没有最大或最小值的。
但是，如果给定了自变量的某一个取值范围（全体实数的一部分），那么y=kx+b 的最大值或最小值就有可能存在。
一般地，有下面的结论：1、如果，那么有最大值或最小值（如图1）：当时，，；当时，，。
图12、如果，那么有最小值或最大值（如图2）：当时，；当时，。
图23、如果，那么有最大值或最小值（如图3）当时，；当，。
图34、如果，那么既没有最大值也没有最小值。
凡是用一次函数式来表达实际问题，求其最值时，都需要用到边界特性，像物质的运输与供应、生产任务的分配和订货、邮件的投递及空袋的调运等。
下面是一道利用一次函数的最小值的决策问题，供参考：某送奶公司计划在三栋楼之间建一个奶站，三栋楼在同一条直线上，顺次为A楼，B楼，C楼，其中A楼与B楼之间的距离为40m，B楼与C楼之间的距离为60m，已知A楼每天有20人取奶，B楼每天有70人取奶，C楼每天有60人取奶，送奶公司提出两种建站方案：方案一：让每天所有取奶的人到奶站的距离总和最小；方案二：让每天A楼与C楼所有取奶的人到奶站的距离之和等于B楼所有取奶的人到奶站距离之和。
（1）若按照方案一建站，取奶站应建在什么位置？（2）若按照方案二建站，取奶站应建在什么位置？（3）在方案二的情况下，若A楼每天取奶的人数增加（增加的人数不超过22人），那么取奶站将离B楼越来越远，还是越来越近？请说明理由。
解：（1）设取奶站建在距A楼xm处，所有取奶的人到奶站的距离总和为ym.。
①当时，∴当x=40时，y的最小值为4400。
②当时，，此时y的值大于4400。
因此按方案一建奶站，取奶站应建在B楼处。
（2）设取奶站建在距A楼xm处。
①当时，，解得（舍去）。
②当时，解得x=80，因此按方案二建奶站，取奶站应建在距A楼80m处。
（3）设A楼取奶人数增加a（）人，①当时，，解得（舍去）。
②当时，，解得，当a增大时，x增大。
例析一次函数最值问题
—
彩 电
１
— —
冰 箱
１
— —
１
—
—
２
３
４
产值 （ 元１
４ ０ ０ ０
３０ ０ ０
２０ ０ ０
问 ： 周 生 产 空 调 器 、 电 、 箱 各 多 少 台 ， 能 使 总 产 值 最 高 ？ 高 每 彩 冰 才 最
总产值 是 多少 ？ 解 析 ： 据 表 中 提 供 的 关 系 ， 没 出 未 知 数 ， 出 相 应 的 式 子 ， 寻 根 先 列 再
备 每 周 （ １ ０个 Ｔ 时 计 算 ） 产 空 调 器 、 电 、 箱 共 ３ ０ 台 ， 冰 箱 至 按 ２ 生 彩 冰 ６ 且
少 生 产 ６ 台 ．已 知 生 产 这 些 家 电产 品 每 台 所 需 的 Ｔ 时 和 每 台 家 电 的 产 ０
值 如下 表所示 ．
表 ２
空 调 器
的 运 费 分 别 为 ４０ ０元 和 ５ ０元 ． ０
没从 Ａ 市 、 市 各 调 运 台 机 器 到 Ｄ 市 ． ２ Ｂ 当 ８台 机 器 全 部 调 运 完 毕 后 ， 求 总 运 费 （ Ｊ 于 （ Ｊ 函数 关 系式 ， 求 元 关 台 的 并 朗化． 也是解 这类 问题 的常用方法 之一． 这
，
一
引
口河
南
张 瑞 红
在 一 次 函 数 的 应 用 题 中 ， 一 类 是 和 一 次 函 数 的 最 大 值 最 小 值 有 关 有 的 ． 际 上 ， 次 函 数 的 最 大 值 与 最 小 值 在 做 决 策 时 用 处 很 大 ． 关 键 是 实 一 其
对 问 题 的 原 始 形 态 进 行 分 析 、 想 、 象 、 括 ， 而 构 建 相 应 的 函数 关 联 抽 概 进 系． 面举几个 较典 型的例 子． 下 例 １ 市 、 市 和 Ｃ 市 分 别 有 某 种 机 器 １ 台 、 ０ 台 和 ８台 ． 决 定 曰 ０ １ 现
题目：一次函数的最值和区间练习题(绝对经典全面)
题目：一次函数的最值和区间练习题(绝对经典全面)一次函数是高中数学中的重要概念之一，掌握一次函数的最值和区间对于解题非常有帮助。
本文将提供一些绝对经典且全面的一次函数最值和区间练题，帮助读者巩固这一知识点。
最值问题一次函数的最值问题，主要考虑函数在定义域内的最大值和最小值。
下面是几个相关的练题：1. 已知函数 $f(x) = 2x + 3$，求函数 $f(x)$ 在定义域内的最大值和最小值。
2. 已知函数 $g(x) = -3x + 5$，求函数 $g(x)$ 在定义域内的最大值和最小值。
3. 对于函数 $h(x) = ax + b$，当 $a>0$ 时，函数的最大值和最小值分别出现在函数图像的哪个位置？4. 对于函数 $k(x) = cx + d$，当 $c<0$ 时，函数的最大值和最小值分别出现在函数图像的哪个位置？区间问题一次函数的区间问题，涉及函数在某个区间上的取值范围。
以下是几个相关的练题：1. 已知函数 $f(x) = 2x - 4$，求函数 $f(x)$ 在 $[-3, 5]$ 区间上的取值范围。
2. 已知函数 $g(x) = -3x + 2$，求函数 $g(x)$ 在 $[0, 5]$ 区间上的取值范围。
3. 已知函数 $h(x) = 2x + 1$，求函数 $h(x)$ 在 $(-\infty, 3]$ 区间上的取值范围。
4. 对于函数 $k(x) = -x + 5$，求函数 $k(x)$ 在 $[1, \infty)$ 区间上的取值范围。
以上是一些一次函数最值和区间的练习题，希望能对读者的学习有所帮助。
通过练习这些经典题目，读者可以更好地理解和掌握一次函数的最值和区间的概念。
【数学中考一轮复习】 一次函数的最值应用(含答案)
专项训练一次函数的最值应用一、一次函数最值问题的基本模型1.如果n≤x≤m，那么y＝kx＋b有最大或最小值.当x＝n时，y有最小值，当x＝m时，y有最大值.当x＝n时，y有最大值，当x＝m时，y有最小值.2.如果x≥n，那么y＝kx＋b有最大或最小值.当x＝n时，y有最小值；当x＝n时，y有最大值.3.如果x≤m，那么y＝kx＋b有最大或最小值.当x＝m时，y有最大值；当x＝n时，y有最小值.4.如果n＜x＜m，x取值不定，那么y＝kx＋b既没有最大值也没有最小值.但是，如果x 取特殊值（如x取整数值），可参照前述三条求最值.二、一次函数最值应用的步骤1.审题，求一次函数的解析式；3.根据题意确定自变量的取值范围；4.结合增减性和自变量的取值范围确定函数的最值.类型一实际应用中直接求最值1.为迎接国庆节的到来，某校团委组织了“歌唱祖国”有奖征文活动，并设立了一、二、三等奖.学校计划派人根据设奖情况买50件奖品，其中二等奖件数比一等奖件数的2倍还少10件，三等奖所花钱数不超过二等奖所花钱数的1.5倍各种奖品的单价如下表所示如果计划一等奖买x件，买50件奖品的总钱数是w元.（1）求与x的函数关系式及自变量x的取值范围；（2）请你计算一下，如果购买这三种奖品所花的总钱数最少，最少是多少元？2.某工厂计划生产甲、乙两种产品共2500吨，每生产1吨甲产品可获得利润0.3万元，每生产1吨乙产品可获得利润0.4万元设该工厂生产了甲产品x（吨），生产甲、乙两种产品获得的总利润为y（万元）.（1）求y与x之间的函数表达式；（2）若每生产1吨甲产品需要原料0.25吨，每生产1吨乙产品需要原料0.5吨，受市场影响，该厂能获得的原料至多为1000吨，其他原料充足.求该工厂生产甲、乙两种产品各为多少吨时，能获得最大利润.两种卡消费时，y与x的函数关系如图所示，解答下列问题:（1）分别求出选择这两种卡消费时，y关于x的函数表达式；（2）请根据入园次数确定选择哪种卡消费比较合算.4.我市一水果批发市场某商家批发苹果采取分段计价的方式，其价格如表所示:购买苹果数x（千克）不超过50千克的部分超过50千克的部分每千克价格（元）10 8（1）小刚购买苹果40千克，应付多少元？（2）若小刚购买苹果x千克，用去了y元分别写出当0≤x≤50和x＞50时，y与x的关系式；（3）计算出小刚若一次性购买80千克所付的费用比分两次共购买80千克（每次都购买40千克）所付的费用少多少元？5.某饮料厂为了开发新产品，用A种果汁原料和B种果汁原料试制新型甲、乙两种饮料共50千克，设甲种饮料需配制x千克，两种饮料的成本总额为y元.（1）已知甲种饮料成本每千克4元，乙种饮料成本每千克3元，请你写出y与x之间的（2）若用19千克A种果汁原料和17.2千克B种果汁原料试制甲、乙两种新型饮料，下表是试验的相关数据；请你列出关于x且满足题意的不等式组，求出它的解集，并由此分析如何配制这两种饮料，可使y值最小，最小值是多少？类型二方案设计中的最值6.煤炭是陕西省的主要矿产资源之一，煤炭生产企业需要对煤炭运送到用煤单位所产生的费用进行核算并纳入企业生产计划.某煤矿现有1000吨要全部运往A，B两厂，通过了解获得A，B两厂的有关信息如表（表中运费栏“元/t·km”表示每吨煤炭运送一千米所需的费用）:（1）写出总运费y（元）与运往A厂的煤炭量x（t）之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；（2）请你运用函数有关知识，为该煤矿设计总运费最少的运送方案，并求出最少的总运费.7.某水果商从外地购进某种水果若干箱，需要租赁货车运回.经了解，当地运输公司有大、小两种型号货车，其运力和租金如表：（1）若该水果商计划租用大、小货车共8辆，其中大货车x辆，共需付租金y元，请写出y与x的函数关系式；（2）在（1）的条件下，若这批水果共340箱，所租用的8辆货车可一次将购进的水果全部运回，请给出最节省费用的租车方案，并求出最低费用.8.年初，武汉暴发新冠疫情，“一方有难，八方支援”，某地为助力武汉抗疫，紧急募集到一批物资运往武汉的A，B两县，用载重量为16吨的大货车8辆和载重量10吨的小货车10辆恰好一次性运完这批物资.运往A，B两县的运费标准如表:（1）如果安排到A，B两县的货车都是9辆，设前往A县的大货车为x辆，前往A，B两县的总运费为y元，求出y与x的函数关系式（写出自变量的取值范围）；（2）在（1）的条件下，若运往A县的物资不少于120吨，请你设计出使总运费最少的货车调配方案，并求出最少总运费.9.在抗击新冠肺炎疫情期间，市场上的消毒液和防护口罩热销.某药店推出两种优惠方案，方案①:购买1瓶消毒液，赠送1个口罩，方案②:消毒液和口罩一律按9折优惠.消毒液每瓶定价40元，口罩每个定价5元小明需买4瓶消毒液和若干个口罩（不少于4个），设购买口罩x 个，用优惠方案①购买费用为y 1元，用优惠方案②购买费用为y 2元. （1）请分别写出y 1，y 2与x 之间的函数关系式； （2）什么情况下选择方案②更优惠？（3）若要买4瓶消毒液和12个口罩，请你设计怎样购买最便宜.参考答案1.解:（1）w ＝ 12x ＋10(2x-10)＋5［50-x-(2x-10)]＝ 17x ＋200.由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-⨯≤--->--->->)102(105.1)]102(50[50)]102(50[01020x x x x x x x ，得10≤x ＜20.∴自变量的取值范围是10≤x ＜20，且x 为整数；（2）w ＝17x ＋200，∵k ＝17＞0，∴w 随x 的增大而增大，减小而减小. ∵1≤0x ＜20，当x ＝10时，有w 最小值，最小值为w ＝17×10＋200＝370. 2.解: （1） y ＝0.3x ＋0.4（2500-x ）＝-0.1x ＋1000， 因此y 与x 之间的函数表达式为:y ＝-0.1x ＋1 000；⎧≤-+1000)2500(5.025.0x x又∵k ＝-0.1＜0，∴y 随x 的减小而增大. ∴当x ＝1000时， y 最大，此时2500-x ＝1500， 因此，生产甲产品1000吨，乙产品1500吨时，利润最大.3，解:（1）设y 甲＝k 1x ，根据题意得:5k 1＝100，解得:k 1＝20.∴у甲＝20x. 设y 乙＝k 2x ＋100，根据题意得:20k 2＋100＝300，解:k 2＝10. ∴y 乙＝ 10x ＋100；（2）①y 甲＜y 乙，即20x ＜10x-100，解得:x ＜10，当入园次数小于10次时，选择甲消费卡比较合算；②y 甲＝y 乙，即20x ＝10x-100，解得:x ＝10，当入园次数等于10次时，选择两种消费卡费用一样；③y 甲＞y 乙，即 20x ＞10x ＋100，解得:x ＞10，当入园次数大于10次时，选择乙消费卡比较合算.4，解:（1）由表格可得，40×10＝400（元）， 答:小刚购买苹果40千克，应付400元； （2）由题意可得，当0≤x ≤50时， y 与x 的关系式是y ＝10x ，当x ＞50时，y 与x 的关系式是y ＝10×50—8（x-50）＝8x ＋100， 即当x ＞50时，y 与x 的关系式是y ＝8x ＋100；（3）小刚若一次性购买80千克所付的费用为:8×80-100＝740（元），分两次共购买80千克（每次都购买40千克）所付的费用为:40×10×2＝800（元），800—740＝60（元），答:小刚若一次性购买80千克所付的费用比分两次共购买80千克（每次都购买40 千克）所付的费用少60元.5.解:（1）依题意得:y ＝4x ＋3（50-x ） ＝x ＋150；（2）依题意得:⎩⎨⎧≤-+≤-+，②，①17)50(4.03.019)50(2.05.0x x x x解不等式①得:x ≤30，解不等式②得:x ≥28， ∴不等式组的解集为28≤x ≤30.∵y ＝x ＋150， y 是随2的增大而增大，且28≤x ≤30，∴当甲种饮料取28千克，乙种饮料取22千克时，成本总额y 最小，y 最小＝28＋150＝1786，解:（1）若运往A 厂x 吨，则运往B 厂为（1000-x ）吨. 依题意得:y ＝200×0.45x ＋150×a ×（1000-x ）＝90x-150ax ＋ 150000a ＝（90-150a ）x ＋ 150000a ，依题意得⎩⎨⎧≤-≤8001000600x x ，解得200≤x ≤600.故函数关系式为y ＝（90-150a ）x ＋150000a ， （200≤x ≤600） ； （2）当0＜a ＜0.6时，90-150a ＞0，∴当x ＝200时，y 最小＝（90-150a ）×200＋150000a ＝120000a ＋18000. 此时，1000-x ＝1000-200＝800.当a ＞0.6时，90-150a ＜0，又因为运往A 厂总吨数不超过600吨， ∴当x ＝600时，y 最小＝（90-150a ）×600＋150000a ＝60000a ＋54000. 此时，1000-x ＝1000-600＝400.当a ＝0.6时，y ＝90000,答:当0＜a ＜0.6时，运往A 厂200吨， B 厂800吨时，总运费最低，最低运费（120000a ＋18000）元.当a ＞0.6时，运往A 厂600吨，B 厂400吨时，总运费最低，最低运费（60000a ＋54000）元.当a ＝0.6时，运费90000元.7.解:（1）由题意可得，y ＝400x ＋320（8-x ）＝80x ＋2560. 即y 与x 的函数关系式为y ＝80x ＋2560；（2）由题意可得，45x ＋35（8-x ）≥340，解得，x ≥6， ∵y ＝80x ＋2560，∴k ＝80，y 随x 的增大而增大. ∴当x ＝6时， y 取得最小值，此时y ＝3040，8-x ＝2.答:最节省费用的租车方案是大货车6辆，小货车2辆，最低费用是3040元.8.解:（1）设前往A 县的大货车为z 辆，则前往A 县的小货车为（9-x ）辆；前往B 县的大货车为（8-x ）辆，前往B 县的小货车为（1＋x ）辆，根据题意得：y ＝1080x ＋750（9-x ）＋120（8-x ）＋950（1＋x ）＝80x ＋17300 （0≤x ≤8）； （2）由题意得，16x ＋10（9-x ）≥120，解得x ≥5. 又∵0≤x ≤8，∴5≤x ≤8且为整数.∵y ＝80x ＋17300，且80＞0，∴y 随x 的增大而增大， ∴当x ＝5时，y 最小，最小值为y ＝80×5＋17300＝17700.货车前往B县.最少运费为17700元.9.解:（1）由题意得:y1＝40×4＋5（x-4）＝5x＋140；y2＝40×0.9×4＋5×0.9x＝4.5x＋144；（2）当y1＞y2时，5x＋140＞4.5x＋144，解得x＞8，答:当x＞8时，选择方案②更优惠；（3）方案①:y1＝5×12＋140＝220（元）；方案②:y2＝4.5×12＋144＝198（元）；方案③:先按方案①买4瓶消毒液，送4个口罩，剩下8个口罩按方案②购买，总价为:40×4＋5×0.9×8＝196（元），∵200＞198＞196，∴方案③最省钱.答:购买4瓶消毒液和12个口罩用方案③最优惠.。
一次函数绝对值和最值问题
含绝对值函数综合问题一、含绝对值函数的最值1、含一个绝对值的一次绝对值函数的最值、单调性、对称性（1）()||f x x =的图像是以原点为顶点的“V ”字形图像；函数在顶点处取得最小值“(0)0f =”，无最大值；在函数(,0],[0,)x ∈-∞↓+∞↑；对称轴为：0x =（2）()||(0)f x kx b k =+≠图像是以(,0)b k-为顶点的“V ”字形图像；在顶点取得最小值：“()0b f k -=”，无最大值；函数在(,],[,)b b x k k ∈-∞-↓-+∞↑；对称轴为：b x k=- （3）函数()||(0)f x k x b k =+≠： 0k >时，函数是以(,0)b -为顶点的“V ”字形图像；函数在顶点取得最小值：“()0f b -=”，无最大值；函数在(,],[,)x b b ∈-∞-↓-+∞↑；对称轴为：x b =-0k <时，是以(,0)b -为顶点的倒“V ”字形图像，函数在顶点取得最大值：“()0f b -=”，无最小值；函数在(,],[,)x b b ∈-∞-↑-+∞↓；对称轴为：x b =-2、含两个绝对值的一次绝对值函数的最值、单调性、对称性（1）函数()||||()f x x m x n m n =-+-<的图像是以点(,),(,)A m n m B n n m --为折点的“平底形”图像；在[,]x m n ∈上的每点，函数都取得最小值n m -，无最大值；函数在(,],[,)x m x n ∈-∞↓∈+∞↑ ，在[,]x m n ∈无单调性；对称轴为2m n x +=。
（2）函数()||||f x x m x n =---： 当m n >时，()f x 是以点(,),(,)A m n m B n m n --为折点的“Z 字形”函数图像；在(,]x n ∈-∞上的每点，函数都取得最大值m n -，在[,)x m ∈+∞上的每点，函数都取得最小值n m -；函数在[,]x n m ∈↓，在(,]x n ∈-∞及[,)x m ∈+∞上无单调性；对称中心为(,0)2m n +； 当n m >时，()f x 是以点(,),(,)A m m n B n n m --为折点的“反Z 字形”函数图像； 在(,]x m ∈-∞上的每点，函数都取得最小值m n -，在[,)x n ∈+∞上的每点，函数都 取得最大值n m -；函数在[,]x m n ∈↑，在(,]x n ∈-∞及[,)x m ∈+∞上无单调性；对称中心为(,0)2m n +； （3）()||||()f x a x m b x n m n =-+-<图像是以(,()),(,())A m f m B n f n 为折点的折线。
专题训练7：一次函数中的最值问题
专题训练7：一次函数中的最值问题
问题1：在燃气管道l上修建泵站，分别向A、B两城镇供气。
要使所用的输气管线最短，泵站应该修建在什么地方？
问题2：已知点A（4，3）和点B（0，1）。
若点C是x 轴上的动点，当AC+BC的值最小时，求C点的坐标。
问题3：已知点A（4，3）和点B（0，-1）。
若点C是x 轴上的动点，当AC-BC的值最大时，求C点的坐标。
问题4：已知点A（4，3），点B在直线x=5上，点C在直线y=-x+4上。
当△ABC的周长最小时，求点B和点C的坐标。
问题5：已知点A（4，3）和点B（1，2）。
若点C在y 轴上，点D在x轴上，当四边形ABCD的周长最小时，求点C和点D的坐标。
问题6：已知点A（4，3）和点B（1，2）。
若点C、D 是x轴上的两点，且CD=1，当四边形ABCD的周长最小时，求点C和点D的坐标。
问题7：已知点A（4，3）和点B（-1，-2）。
若点C在直线y=2上，点D在x轴上，且CD⊥x轴，当四边形
AC+CD+BD最小时，求点C和点D的坐标。
一次函数最值问题
一次函数最值问题
一次函数一般形式为 y = kx + b，其中 k 和 b 是常数，且k ≠ 0。
对于一次函数，其斜率为 k。
1. 当 k > 0 时，函数 y = kx + b 是增函数，即随着 x 的增加，y 也增加。
因此，函数的最大值出现在 x 的正无穷大处，此时 y 的值为正无穷大。
函数的最小值出现在 x = -b/k 处，此时 y 的值为 -b。
2. 当 k < 0 时，函数 y = kx + b 是减函数，即随着 x 的增加，y 减小。
因此，函数的最大值出现在 x 的负无穷大处，此时 y 的值为正无穷大。
函数的最小值出现在 x = -b/k 处，此时 y 的值为 -b。
需要注意的是，由于一次函数的定义域是全体实数，因此其最值是相对于定义域而言的。
在实际情况中，我们可能需要考虑函数的定义域和值域，以及函数的实际应用背景来求解最值问题。
利用一次函数的性质解最值问题
利用一次函数的性质解最值问题山东赵卫东众所周知,对于一次函数y kx b,具有以下性质:：(1)当k时,y随x的增大而增大；(2)当k时,y随x的增大而减小．这实际上就是一次函数的增减性．利用该增减性,我们可以解决实际问题中的一些最值问题．例(湖北襄樊)襄樊市认真落实国家关于减轻农民负担,增加农民收入的政策,从2003年开始减征农业税,2002年至2004年征收农业税变化情况见表(1)．2004年市政府为了鼓励农民多种粮食,实行保护收购,并对种植优质水稻(如中籼稻)另给予每亩15元的补贴(摘自《襄樊日报》2004年5月5日)．我市农民李江家有4个劳动力,承包20亩土地,今年春季全部种植中籼稻和棉花,种植中籼稻和棉花每亩所需劳动力和预计每年平均产值见表(2)．设2004年李江家种植中籼稻和棉花的预计总收入为P元,种植中籼稻的土地为x亩．表(1)200220032004年份农业税(元╱亩)117．2470．4438．26表(2)农作物产值(元∕亩)劳力(人∕亩)785中籼稻0．151200棉花0．35(1)李江家从国家开始减征农业税后两年可少交农业税多少元?(2)若不考虑上缴农业税,请写出P(元)与x(亩)的函数关系式．(3)李江家在不考虑他人和工等其他因素的前提下,怎样安排中籼稻和棉花的种植面积才能保证P最大?最大值是多少?析解：（1）由题可知,李江家后两年少交农业税都是相对于减征农业税前的2002年而言的,故他家后两年少交农业税为(117.24－70.44)×20＋(117.24－38．26)×20=2515．6(元)．(2)由表(2)可得,李江家种植中籼稻的收入为785x元,种植棉花的收入为1200(20－x)元,再加上种植中籼稻的补贴15x元,故2004年李江家种植中籼稻和棉花的预计总收入为P=785x＋1200(20－x)＋15x=－400x＋24000．(3)由题可知,种植中籼稻所需劳力为0．15x人,种植棉花所需劳力为0．35(20－x)人,而所需总劳力不能超过李江家4口人,即0．15x＋0．35(20－x)≤4,解得x≥15,故(2)中函数自变量的取值范围是15≤x≤20．又由于P是x的一次函数,且P随x的增大而减小,故当x=15时,P最大=－400×15＋24000=18000(元),即种植中籼稻和棉花的面积分别为15亩和5亩时,才能保证P最大,最大值为18000元。
中考数学最值问题总结
中考数学最值问题总结中考数学中最值问题是一个重要的考点，通常涉及到二次函数、一次函数、不等式等问题。
以下是一些常见的最值问题及解决方法：1. 二次函数最值问题二次函数的最值问题是最常见的最值问题之一。
解决这类问题的一般步骤是：首先确定自变量的取值范围，然后利用二次函数的顶点式或开口方向来求最值。
如果二次函数的开口向上，那么在顶点处取得最小值（当x<0时），在x轴上取得最大值（当x>0时）。
如果二次函数的开口向下，那么在顶点处取得最大值（当x<0时），在x轴上取得最小值（当x>0时）。
2. 一次函数最值问题一次函数的最值问题通常涉及到一次函数的单调性和自变量的取值范围。
如果一次函数是递增的，那么在自变量取值范围内的最大值是当x取最大值时的函数值，最小值是当x取最小值时的函数值。
如果一次函数是递减的，那么在自变量取值范围内的最大值是当x取最小值时的函数值，最小值是当x取最大值时的函数值。
3. 不等式最值问题不等式的最值问题通常涉及到不等式的性质和不等式的取值范围。
解决这类问题的一般步骤是：首先确定不等式的取值范围，然后利用不等式的性质来求最值。
如果是不等式左边是一个定值，右边是一个变量的形式，那么当变量取最大或最小值时，不等式取得最值。
如果是不等式两边都是变量，那么需要利用不等式的性质来求解。
4. 代数式的最值问题代数式的最值问题通常涉及到代数式的化简和代数式中字母的取值范围。
解决这类问题的一般步骤是：首先将代数式进行化简，然后根据代数式中字母的取值范围来确定最值。
如果代数式中包含有二次项，那么可以利用配方法将其化简为顶点式或开口方向式来求解最值。
如果代数式中包含有绝对值，那么需要先去掉绝对值符号再化简求解最值。
解决中考数学最值问题需要掌握各种知识点和方法，包括二次函数、一次函数、不等式、代数式等，同时需要注意自变量的取值范围和函数的单调性等问题。
一次函数利润最值问题
一次函数利润最值问题一、某公司生产一种产品，每件的成本为10元，售价为x元，每月可销售(1000 - 10x)件。
为了最大化月利润，售价应定为多少元？A. 50元B. 40元C. 30元D. 20元（答案：C）二、一家餐厅每天能准备500份套餐，每份套餐的成本为8元，售价为y元，每天未售出的套餐会损失成本。
若希望日利润最大，每份套餐的售价应设为多少元？A. 12元B. 10元C. 16元D. 8元（答案：C）三、某书店购进一批图书，每本进价15元，售价为z元，预计销售量与售价成反比，当售价为20元时，预计销售量为400本。
为了实现最大利润，每本书的售价应定为多少元？A. 25元B. 22.5元C. 20元D. 17.5元（答案：A）四、一家服装店以每件20元的价格购进一批服装，售价为a元，每月可销售(800 - 20a)件。
为了最大化月利润，每件服装的售价应定为多少元？A. 30元B. 40元C. 25元D. 35元（答案：A）五、某工厂生产一种零件，每件的成本为5元，售价为b元，每天能生产1000件，但销售量与售价成反比。
为了实现最大日利润，每件零件的售价应设为多少元？A. 7.5元B. 10元C. 5元D. 12.5元（答案：B）六、一家咖啡店每杯咖啡的成本为3元，售价为c元，每天能卖出(500 - 5c)杯。
为了实现最大日利润，每杯咖啡的售价应定为多少元？A. 6元B. 9元C. 12元D. 15元（答案：A）七、某花店购进一批鲜花，每束进价10元，售价为d元，预计每天的销售量与售价的关系为：销售量 = 200 - 10d。
为了实现最大日利润，每束鲜花的售价应定为多少元？A. 15元B. 12元C. 18元D. 10元（答案：A）八、一家电子产品店以每台80元的价格购进一批电子产品，售价为e元，每月可销售(1000 - 5e)台。
为了最大化月利润，每台电子产品的售价应定为多少元？A. 120元B. 160元C. 100元D. 140元（答案：D）。
4个一次函数最值问题
1、某蒜薹（tai ）生产基地喜获丰收收蒜薹200吨。
经市场调查，可采用批发、若经过一段时间，蒜薹按计划全部售出后获得利润为y （元），蒜薹零售x （吨）且零售量是批发量的1/3（1）求y 与x 之间的函数关系；（2）由于受条件限制经冷库储藏的蒜薹最多80吨，求该生产基地计划全部售完蒜薹获得最大利润。
解：（1）由题意，批发蒜薹3x 吨，储藏后销售（200-4x ）吨则y=3x(3000-700)+x·（4500-1000）+（200-4x ）·（5500-1200） =-6800x+860000，（2）由题意得 200-4x≤80 解之得 x≥30 ∵y=-6800x+860000 k=6800＜0 ∴y 的值随x 的值增大而减小当x=30时，y 最大值=-6800×30+860000=656000元2、某化工厂现有甲种原料7吨，乙种原料5吨，现计划用这两种原料生产两种不同的化工产品A 和B 共8吨，已知生产每吨A ，B 产品所需的甲、乙两种原料如下表：销售A ，B 两种产品获得的利润分别为0.45万元/吨、0.5万元/吨．若设化工厂生产A 产品x 吨，且销售这两种产品所获得的总利润为y 万元． （1）求y 与x 的函数关系式，并求出x 的取值范围；（2）问化工厂生产A 产品多少吨时，所获得的利润最大？最大利润是多少？ 解：（1）据题意得： y=0.45x+（8-x ）×0.5 =-0.05x+4又生产两种产品所需的甲种原料为：0.6x+1.1×（8-x ）， 所需的乙种原料为：0.8x+0.4×（8-x ）则可得不等式组⎩⎨⎧≤-+≤-+5)8(4.08.07)8(1.16.0x x x x 解3.6≤x ≤4.5（2）因为函数关系式y=-0.05x+4中的k=-0.05＜0，所以y随x的增大而减小．则由（1）可知当x=3.6时，y取最大值，且为3.82万元．答：化工厂生产A产品3.6吨时，所获得的利润最大，最大利润是3.82万元3、宏志中学八年级300位同学给灾区90名同学捐赠一批学习用品，由于零花钱有限，每6人合买一个书包，每2人合买一个文具盒，书包和文具盒的单价分别是54元和12元。
最值问题19种题型
最值问题19种题型最值问题是一个在数学中非常常见的问题类型，它要求我们找出一组数值中的最大值或最小值。
在解决最值问题的过程中，我们需要运用数学知识和技巧来推导和计算，以找到正确的答案。
下面将介绍19种最值问题的题型及其解法。
1.一元一次函数最值问题：给定一个一元一次函数，求其最大值或最小值。
解法一般是对函数进行求导，然后令导数为零求解。
2.二次函数最值问题：给定一个二次函数，求其最大值或最小值。
解法一般是对函数进行求导，然后令导数为零求解。
3.分段函数最值问题：给定一个分段函数，求其最大值或最小值。
解法是分别求出每个区间内的最大值或最小值，并比较大小。
4.绝对值函数最值问题：给定一个含有绝对值的函数，求其最大值或最小值。
解法是分别讨论绝对值的取正值和取负值的情况，并比较大小。
5.指数函数最值问题：给定一个指数函数，求其最大值或最小值。
解法一般是对函数进行求导，然后令导数为零求解。
6.对数函数最值问题：给定一个对数函数，求其最大值或最小值。
解法一般是对函数进行求导，然后令导数为零求解。
7.三角函数最值问题：给定一个三角函数，求其最大值或最小值。
解法一般是对函数进行求导，然后令导数为零求解。
8.组合函数最值问题：给定一个由多个函数复合而成的函数，求其最大值或最小值。
解法一般是使用复合函数的链式法则进行求导，并令导数为零求解。
9.线性规划最值问题：给定一组线性不等式和线性目标函数，求其满足约束条件的最大值或最小值。
解法一般是使用线性规划的方法进行求解。
10.几何图形最值问题：给定一个几何图形，求其最大面积、最小周长等最值问题。
解法一般是使用几何知识和公式进行计算。
11.统计问题最值问题：给定一组数据，求其中的最大值、最小值或其他统计量。
解法一般是对数据进行排序或使用统计学方法。
12.矩阵最值问题：给定一个矩阵，求其中的最大值、最小值或其他特殊元素。
解法一般是使用矩阵运算和线性代数方法。
13.排列组合最值问题：给定一组元素，求其中的最大值、最小值或特殊组合。
专题14 一次函数中的最值问题(解析版)
2 m 2 专题十四 一次函数中的最值问题考点一 坐标系中两点之间的距离最值问题【方法点拨】①点到直线的垂线段最短；②两点之间线段最短。
1.如图，点 P 的坐标为（2，0），点 B 在直线 y ＝x +m 上运动，当线段 PB 最短时，PB 的长度是 2 + 2． 【思路点拨】当线段 PB 最短时，PB 与直线 y ＝x +m 垂直，根据解析式即可求得 C 、D 的坐标，然后根据勾股定理求得 CD ，然后根据三角形相似即可求得 PB 的最短长度．【解析】解：当线段 PB 最短时，PB ⊥CD ，如图所示：由直线 y ＝﹣x +m 可知，直线与坐标轴的交点为 C （﹣m ，0），D （0，m ），∴OC ＝m ，OD ＝m ，∴CD = 2m ，∵点 P 的坐标为（2，0），∴PC ＝2+m ，∵∠PCB ＝∠DCO ，∠PBC ＝∠DOC ＝90°，∴△PBC ∽△DOC ，PB ∴OD = PC PB ，即 = 2+n ， CD n ∴PB = 2 + 2 ． 2 m故答案为： 2 + 2m ． 【点睛】本题考查了垂线段最短的性质，一次函数图象上点的坐标特征，勾股定理的应用，三角形相似2n3 5 2 的判定和性质，熟知垂线段最短是解题的关键．2.如图，点 P 在第一象限，△ABP 是边长为 2 的等边三角形，当点 A 在 x 轴的正半轴上运动时，点 B 随之在 y 轴的正半轴上运动，运动过程中，点 P 到原点的最大距离是 1+ ；若将△ABP 的 PA 边长改为 2 2，另两边长度不变，则点 P 到原点的最大距离变为 1+ ．1【思路点拨】根据当 O 到 AB 的距离最大时，OP 的值最大，得到 O 到 AB 的最大值是2AB ＝1，此时在 斜边的中点 M 上，由勾股定理求出 PM ，即可求出答案；将△ABP 的 PA 边长改为 2 2，另两边长度不变，根据 22+22= (2 2)2，得到∠PBA ＝90°，由勾股定理求出 PM 即可【解析】解：取 AB 的中点 M ，连 OM ，PM ，在 Rt △ABO 中，OM = AB=1，在等边三角形 ABP 中，PM = 3，无论△ABP 如何运动，OM 和 PM 的大小不变，当 OM ，PM 在一直线上时，P 距 O 最远，1 ∵O 到 AB 的最大值是2 AB ＝1， 此时在斜边的中点 M 上，由勾股定理得：PM = 22 — 12 = 3，∴OP ＝1+ 3，将△AOP 的 PA 边长改为 2 2，另两边长度不变，∵22+22= (2 2)2，∴∠PBA ＝90°，由勾股定理得：PM = 12 + 22 = 5，∴此时 OP ＝OM +PM ＝1+5． 故答案为：1+ 3，1+ 5．【点睛】本题主要考查对直角三角形斜边上的中线性质，坐标与图形性质，三角形的三边关系，勾股定理的逆定理等边三角形的性质等知识点的理解和掌握，能根据理解题意求出 PO 的值是解此题的关键．2 ， 考点二 坐标内的线段和（差）最值问题【方法点拨】运用“将军饮马”模型和最小，差最大31. 如图，已知点 A 的坐标为（0，1），点 B 的坐标为（2，﹣2），点 P 在直线 y ＝﹣x 上运动，当|PA ﹣PB | 最大时点 P 的坐标为（）A ．（2，﹣2）B ．（4，﹣4）C ．（ 5 — 5）D ．（5，﹣5）2 【思路点拨】根据轴对称的性质及待定系数法可求得答案．【解析】解：作 A 关于直线 y ＝﹣x 对称点 C ，易得 C 的坐标为（﹣1，0）；连接 BC ，可得直线 BC 的方程为 y =— 4x — 4；5 5求 BC 与直线 y ＝﹣x 的交点，可得交点坐标为（4，﹣4）；此时|PA ﹣PB |＝|PC ﹣PB |＝BC 取得最大值，其他 BCP 不共线的情况，根据三角形三边的关系可得|PC ﹣PB |＜BC ；故选：B ．【点睛】本题考查轴对称的运用，有很强的综合性，难度较大．2. 如图，在平面直角坐标系中，Rt △OAB 的顶点 A 在 x 轴正半轴上，顶点 B 的坐标为（3， 3），点 C 的13 31 3+ 19 22 1坐标为（2，0）点 P 的斜边 OB 上一个动点，则 PC +PA 的最小值为（）A. 2 B ． 2 C ． 2 D ．2 7【思路点拨】作 A 关于 OB 的对称点 D ，连接 CD 交 OB 于 P ，连接 AP ，过 D 作 DN ⊥OA 于 N ，则此时PA +PC 的值最小，求出 AM ，求出 AD ，求出 DN 、CN ，根据勾股定理求出 CD ，即可得出答案．【解析】解：作 A 关于 OB 的对称点 D ，连接 CD 交 OB 于 P ，连接 AP ，过 D 作 DN ⊥OA 于 N ， 则此时 PA +PC 的值最小，∵DP ＝PA ，∴PA +PC ＝PD +PC ＝CD ，∵B （3， 3），∴AB = 3，OA ＝3，∵tan ∠AOB = AB = 3，OA 3∴∠AOB ＝30°，∴OB ＝2AB ＝2 3，由三角形面积公式得：1 ×OA ×AB = 1×OB ×AM ， 2 2∴AM = 3， ∴AD ＝2× 3 =3，∵∠AMB ＝90°，∠B ＝60°，∴∠BAM ＝30°，∵∠BAO ＝90°，∴∠OAM ＝60°，∵DN ⊥OA ，∴∠NDA ＝30°，31 2 3 ∴AN = 1AD = 3，由勾股定理得：DN =3 3， 22 21 ∵C （2，0）， ∴CN ＝3— 1 — 3=1， 2 2在 Rt △DNC 中，由勾股定理得：DC = 31 2 ，即 PA +PC 的最小值是．故选：B ．【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，轴对称﹣最短路线问题，勾股定理，含 30 度角的直角三角形性质的应用，关键是求出 P 点的位置，题目比较好，难度适中．3. 如图所示的平面直角坐标系中，点 A 的坐标是（﹣4，4）、点 B 的坐标是（2，5），在 x 轴上有一动点 P ，要使 PA +PB 的距离最短，则点 P 的坐标是 ( — 4 ，O) ．【思路点拨】先作出点 A 关于 x 轴的对称点 A 1，再连接 A 1B ，求出直线 A 1B 的函数解析式，再把 y ＝0 代入即可得．【解析】解：作点 A 关于 x 轴的对称点 A 1（﹣4，﹣4），连接 A 1B 交 x 轴于 P ，12 + ( 323 )2 =∵B的坐标是（2，5），3．3∴直线A1B 的函数解析式为y＝1.5x+2，把P 点的坐标（n，0）代入解析式可得n=—4∴点P 的坐标是( —4 ，O)．【点睛】此题主要考查轴对称﹣﹣最短路线问题，综合运用了一次函数的知识．4.如图所示，四边形OABC 为正方形，边长为6，点A、C 分别在x 轴，y 轴的正半轴上，点D 在OA 上，且D点的坐标为（2，0），P是OB上的一个动点，试求PD+PA和的最小值是21O．【思路点拨】作出D关于OB的对称点D′，则D′的坐标是（0，2）．则PD+PA的最小值就是AD′的长，利用勾股定理即可求解．【解析】解：作出D关于OB的对称点D′，则D′的坐标是（0，2）．则PD+PA的最小值就是AD′的长．则OD′＝2，因而AD′=O Dะ2+O A2=4+36=21O．则PD+PA 和的最小值是21O．故答案是：2 1O．22【点睛】本题考查了正方形的性质，以及最短路线问题，正确作出 P 的位置是关键．5. 如图，一次函数 y = 1x +2 的图象分别与 x 轴、y 轴交于点 A 、B ，以线段 AB 为边在第二象限内作等腰 Rt △ABC ，∠BAC ＝90°．（ 可能 用到 的 公式 ： 若 A （ x 1 ， y 1 ）， Bx 2 ， y 2 ）， ①AB 中 点坐 标为 （x 1+x 2 ， y 1+y 2 ）； 2 2②AB = (x 1 — x 2)2 + (y 1 — y 2)2）（1） 求线段 AB 的长；（2） 过 B 、C 两点的直线对应的函数表达式．（3） 点 D 是 BC 中点，在直线 AB 上是否存在一点 P ，使得 PC +PD 有最小值？若存在，则求出此最小值；若不存在，则说明理由．【思路点拨】（1）求出一次函数图象与 x 轴交点坐标，再利用勾股定理求出 AB 的长即可；（2） 过 C 作 CE 垂直于 x 轴，可得出三角形 ACE 与三角形 AOB 全等，进而确定出 C 坐标，利用待定系数法求出直线 BC 解析式即可；（3） 根据中点坐标公式，可得 D 点坐标，根据轴对称的性质，可得 D ′点，两点之间线段最短，可得 P点，根据解方程组，可得 E 点坐标，根据中点坐标公式，可得 D ′，根据两点间的距离，可得答案．【解析】解：（1）对于一次函数 y = 1x +2，令 x ＝0，得到 y ＝2，令 y ＝0，得到 x ＝﹣4，即 A （﹣4，0），B （0，2），∴OA ＝4，OB ＝2，则 AB = OA 2 + OB 2 =2 5；（2）过 C 作 CE ⊥x 轴，可得∠ECA +∠CAE ＝90°，3 3 ∵△BAC 为等腰直角三角形，∴AC ＝AB ，且∠BAC ＝90°，∴∠CAE +∠OAB ＝90°，∴∠ECA ＝∠OAB ，在△ECA 和△OAB 中，²ECA = ²OAB ²CEA = ²AOB = 9O° CA = AB∴△ACE ≌△BAO （AAS ），∴CE ＝OA ＝4，AE ＝OB ＝2，即 OE ＝OA +AE ＝6，∴点 C 的坐标为（﹣6，4）．设直线 BC 解析式为 y ＝kx +b ，把 B （0，2）与 C （﹣6，4）代入得： b = 2 ， — 6k + b = 4解得： k =— 1，b = 2 则直线 BC 解析式为 y =— 1x +2；（3） ，作出 D 关于直线 AB 的对称点 D ′，连接 CD ′，交直线 AB 于点 P ，此时 CP +DP 最小，∵点 D 为 BC 的中点，O —6 2+4∴点 D 的坐标为（ 2 ，2 ），即 D （﹣3，3）， ∵直线 AB 解析式为 y = 1x +2，k = 1，2 2∴直线 DD ′的 k ＝﹣2，设直线 DD ′的解析式为 y ＝kx +b ，将 k ＝﹣2，D （﹣3，3）代入，解得 b ＝﹣3，∴直线 DD ′解析式为 y ＝﹣2x ﹣3，( — 6 + 1)2 + (4 + 1)2 2与直线 AB 解析式联立得： 解得： x =— 2， y = 1y =— 2x — 3 y = 1 x + 2 ，即两直线交点 E 坐标为（﹣2，1）．设D ′（x ，y ），由中点坐标公式，得x —3y+3 2=—2， 2 =1， 解得 x ＝﹣1，y ＝﹣1，∴D ′（﹣1，﹣1），则最小值为 CD ′==5 2．【点睛】本题考查了一次函数综合题，解（1）的关键是利用两点间的距离公式；解（2）的关键是利用全等三角形的判定与性质得出 C 点坐标，又利用了待定系数法求函数解析式；解（3）的关键是利用轴对称的性质得出 P 点坐标，又利用了对称点的中点在对称轴上得出 D ′点坐标．6. 在平面直角坐标系上，已知点 A （8，4），AB ⊥y 轴于 B ，AC ⊥x 轴于 C ，直线 y ＝x 交 AB 于 D ．（1） 直接写出 B 、C 、D 三点坐标；（2） 若 E 为 OD 延长线上一动点，记点 E 横坐标为 a ，△BCE 的面积为 S ，求 S 与 a 的关系式；（3） 当 S ＝20 时，过点 E 作 EF ⊥AB 于 F ，G 、H 分别为 AC 、CB 上动点，求 FG +GH 的最小值．【思路点拨】（1）首先证明四边形 ABOC 是矩形，再根据直线 y ＝x 是第一象限的角平分线，可得 OB ＝BD ，延长即可解决问题；（2） 根据 S ＝S △OBE +S △OEC ﹣S △OBC 计算即可解决问题；（3） 首先确定点 E 坐标，如图二中，作点 F 关于直线 AC 的对称点 F ′，作 F ′H ⊥BC 于 H ，交 AC 于G ．此时 FG +GH 的值最小；【解析】解：（1）∵AB ⊥y 轴于 B ，AC ⊥x 轴于 C ，∴∠ABO＝∠ACO＝∠COB＝90°，∴四边形ABOC 是矩形，∵A（8，4），∴AB＝OC＝8，AC＝OB＝4，∴B（0，4），C（8，0），∵直线y＝x 交AB 于D，∴∠BOD＝45°，∴OB＝DB＝4，∴D（4，4）．（2）由题意E（a，a），1 ×4×a+ 1 ×8×a—1 ×4×8＝6a﹣16．∴S＝S OBE+S OEC﹣S OBC=△△△ 2 2 2（3）当S＝20 时，20＝6a﹣16，解得a＝6，∴E（6，6），∵EF⊥AB 于F，∴F（6，4），如图二中，作点F 关于直线AC 的对称点F′，作F′H⊥BC 于H，交AC 于G．此时FG+GH 的值最小．∵∠ABC＝∠F′BH，∠BAC＝∠F′HB，∴△ABC∽△HBF′，AC BC∴=，4 51O ∵AC ＝4，BC = 42 + 82 =4 5，BF ′＝AB +AF ′＝8+2＝10，4∴F ะะ = ，∴F ′H ＝2 5，∴FG +GH 的最小值＝F ′H ＝2 5．【点睛】本题考查一次函数综合题、矩形的判定和性质、三角形的面积、相似三角形的判定和性质、轴对称最短问题等知识，解题的关键是学会利用分割法求三角形的面积，学会利用轴对称解决最短问题， 属于中考压轴题．考点三 坐标系中三角形周长最小问题【方法点拨】通常已知一线段是定值，运用“将军饮马”模型求另外两线段和最小1. 如图，在直角坐标系中，点 A 、B 的坐标分别为（1，4）和（3，0），点 C 是 y 轴上的一个动点，且 A 、B 、C 三点不在同一条直线上，当△ABC 的周长最小时，点 C 的坐标是 （0，3） ．【思路点拨】根据轴对称做最短路线得出 AE ＝B ′E ，进而得出 B ′O ＝C ′O ，即可得出△ABC 的周长最小时 C 点坐标．【解析】解：作 B 点关于 y 轴对称点 B ′点，连接 AB ′，交 y 轴于点 C ′，此时△ABC 的周长最小，∵点 A 、B 的坐标分别为（1，4）和（3，0），∴B ′点坐标为：（﹣3，0），AE ＝4，则 B ′E ＝4，即 B ′E ＝AE ，∵C ′O ∥AE ，∴B ′O ＝C ′O ＝3，∴点 C ′的坐标是（0，3），此时△ABC 的周长最小．故答案为（0，3）．【点睛】此题主要考查了利用轴对称求最短路线以及平行线的性质，根据已知得出C 点位置是解题关键．2.在平面直角坐标系中，矩形OACB 的顶点O 在坐标原点，顶点A、B 分别在x 轴y 轴的正半轴上，OA＝3，OB＝4，D 为OB 的中点，点E 为边OA 上的一个动点．（1）求线段CD 所在直线的解析式；（2）当△CDE 的周长最小时，求此时点E 的坐标；（3）当点E 为OA 中点时，坐标平面内，是否存在点F，使以D、E、C、F 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出F 点的坐标；若不存在，请说明理由．【思路点拨】（1）先求出C、D 的坐标，再用待定系数法即可求出线段CD 所在直线的解析式；（2）当△CDE 的周长最小时，DE+CE 最小；作点D 关于OA 的对称点D′，连接CD′交OA 于E，DE+CE 最小，证明△OED′∽△AEC，得出比例式求出OE 即可；（3）分三种情况：①CE 为对角线时，作FM⊥x 轴于M；证明△EMF≌△CBD，得出OM＝BC＝3，FM ＝DB＝2，OM＝1.5+3＝4.5，即可得出F 的坐标；②DE 为对角线时，作FN⊥x 轴于N，则F1N∥FM，根据平行线分线段成比例定理得出NE＝ME＝3，NF1＝FM＝2，ON＝1.5，即可得出结果；③DC 为对角线时，作F1Q⊥y 轴于Q，作F2P⊥y 轴于P；同②，即可得出结果．【解析】解：（1）∵四边形OACB是矩形，∴AC＝OB＝4，∠OBC＝90°，332∵D 为 OB 的中点，∴OD ＝BD ＝2，∴C （3，4），D （0，2），设线段 CD 所在直线的解析式为 y ＝kx +b ，代入 C （3，0），D （0，2）得： 3k + b = 4， b = 2解得：k = 2，b ＝2， ∴线段 CD 所在直线的解析式为：y = 2x +2； （2） 当△CDE 的周长最小时，DE +CE 最小；作点 D 关于 OA 的对称点 D ′，连接 CD ′交 OA 于 E ，如图 1 所示：则 D ′（0，﹣2），DE ＝DE ′，∴DE +CE ＝D ′E +CE ═CD ′，∵∠OBC ＝90°，BD ′＝6，∵AC ∥OB ，∴△OED ′∽△AEC ，O EO D ะ2 1 ∴AE = AC = 4 = ， ∴AE ＝2AE ，∵OA ＝3，∴OE ＝1，∴E （1，0）；（3） 存在；分三种情况：①CE 为对角线时，作 FM ⊥x 轴于 M ；如图 2 所示：∵BC ∥OA ，∴∠MEC ＝∠BCE ，∵四边形 DEFC 是平行四边形，∴CD ∥EF ，∴∠FEC ＝∠DCE ，∴∠MEF ＝∠BCD ，在△EMF 和△CBD 中，²FะE = ²DBC = 9O°²ะEF = ²BCD ，EF = CD∴△EMF≌△CBD（AAS），∴OM＝BC＝3，FM＝DB＝2，∴OM＝1.5+3＝4.5，∴F（4.5，2）；②DE 为对角线时，作F1N⊥x 轴于N，则F1N∥FM，如图2 所示：∵EF1＝CD＝EF1，∴NE＝ME＝3，NF1＝FM＝2，∴ON＝1.5，∴F1（﹣1.5，﹣2）；③DC 为对角线时，作F1Q⊥y 轴于Q，作F2P⊥y 轴于P，如图所示：同②得：PF2＝F1Q＝ON＝，1.5，PD＝DQ＝4，∴OP＝6，∴F2（1.5，6）；综上所述：F点的坐标为（4.5，2），或（1.5，6），或（﹣1.5，2）．【点睛】本题是一次函数综合题，考查了矩形的性质、用待定系数法确定一次函数的解析式、相似三角形的判定与性质等知识；本题难度较大，综合性强，特别是（2）、（3）中，需要证明三角形相似或三角形全等才能得出结果．3.如图，在平面直角坐标系中，矩形OACB 的顶点O 在坐标原点，顶点A、B 分别在x 轴、y 轴的正半轴上，OA＝3，OB＝4，D 为边OB 的中点．（1）点D 的坐标为（0，2）；（2）若E 为边OA 上的一个动点，当△CDE 的周长最小时，求点E 的坐标．【思路点拨】由于C、D 是定点，则CD 是定值，如果△CDE 的周长最小，即DE+CE 有最小值．为此，作点D 关于x 轴的对称点D′，当点E 在线段CD′上时，△CDE 的周长最小．【解析】解：（1）∵OB＝4，D为边OB的中点，∴OD＝2，∴D（0，2），故答案为：（0，2）；（2）如图，作点D 关于x 轴的对称点D′，连接CD′与x 轴交于点E，连接DE．若在边OA 上任取点E′与点E 不重合，连接CE′、DE′、D′E′由DE′+CE′＝D′E′+CE′＞CD′＝D′E+CE＝DE+CE，可知△CDE 的周长最小．∵在矩形 OACB 中，OA ＝3，OB ＝4，D 为 OB 的中点，∴BC ＝3，D ′O ＝DO ＝2，D ′B ＝6，∵OE ∥BC ， O E D ะO ∴Rt △D ′OE ∽Rt △D ′BC ，有B C = D ะB ，∴OE ＝1，∴点 E 的坐标为（1，0）．【点睛】此题主要考查轴对称﹣﹣最短路线问题，解决此类问题，一般都是运用轴对称的性质，将求折线问题转化为求线段问题，其说明最短的依据是三角形两边之和大于第三边．考点四 坐标系中四边形周长最小问题【方法点拨】已知两线段为定值，通过平移的方法，运用“将军饮马”模型求另外两线段和最小 71. 如图，当四边形 PABN 的周长最小时，a 的值为 ． 4【思路点拨】作 B 关于 x 轴的对称点 C ，连结 CN ，作平行四边形 PNCD ，因为 AB 、PN 为定值 所以 PA +BN 最小即可 因为 BN ＝CN ＝PD 所以只要 AP +PD 最小 作直线 AD 交 x 轴于 Q ，当 P 与 Q 重合时，AP +PD ＝AD 最小．【解析】解：作 B 关于 x 轴的对称点 C ，连结 CN ，作平行四边形 PNCD ，44∵AB 、PN 为定值∴PA +BN 最小即可∵BN ＝CN ＝PD∴只要 AP +PD 最小作直线 AD 交 x 轴于 Q ，当 P 与 Q 重合时，AP +PD ＝AD 最小∵A （1，3）、D （2，﹣1）∴直线 AD 为：y ＝﹣4x +7 当 y ＝0 时，x = 7， 7 ∴Q 为（4，0） ∵P 、Q 重合∴a = 7． 【点睛】本题考查轴对称﹣最短问题，平行四边形的性质、一次函数的应用等知识，解题的关键是学会构建平行四边形，利用对称解决最短问题，属于中考常考题型．2. 在平面直角坐标系中，矩形 OACB 的顶点 O 在坐标原点，顶点 A 、B 分别在 x 轴、y 轴的正半轴上，OA ＝3，OB ＝4，D 为边 OB 的中点．若 E 、F 为边 OA 上的两个动点，且 EF ＝2，当四边形 CDEF 的周长 1 最小时，求点 E 、F 的坐标分别为 （ 3 7 ，0），（ 3，0） ，并在图中画出示意图．【思路点拨】由于 DC 、EF 的长为定值，如果四边形 CDEF 的周长最小，即 DE +FC 有最小值．为此， 作点 D 关于 x 轴的对称点 D '，在 CB 边上截取 CG ＝2，当点 E 在线段 D ′G 上时，四边形 CDEF 的周长最小．【解析】解：如图，作点 D 关于 x 轴的对称点 D '，在 CB 边上截取 CG ＝2，连接 D 'G 与 x 轴交于点 E ， 在 EA 上截取 EF ＝2，∵GC ∥EF ，GC ＝EF ，∴四边形 GEFC 为平行四边形，有 GE ＝CF ． 又∵DC 、EF 的长为定值，∴此时得到的点 E 、F 使四边形 CDEF 的周长最小，∵OE ∥BC ， O E D ะO ∴Rt △D 'OE ∽Rt △D 'BG ，有B G = D ะB ．∴OE = D ะO ·B G = D ะO ·(B C —C G ) = 2×1 = 1 D ะB D ะB 6 3 ∴OF ＝OE +EF = 1 +2= 7．3 317 ∴点 E 的坐标为（ 3 1，0），点 F 的坐标为（ 3 7 ，0）．故答案为：（3，0），（3，0）．【点睛】此题主要考查轴对称﹣﹣最短路线问题，解决此类问题，一般都是运用轴对称的性质，将求折线问题转化为求线段问题，其说明最短的依据是三角形两边之和大于第三边．考点五 其它最值问题【方法点拨】根据具体题型求最值 1．若一次函数 y ＝kx +b ，当﹣2≤x ≤6 时，函数值的范围为﹣11≤y ≤9， 则此一次函数的解析式为 y = 5 x — 6 或 y =— 5 x + 4 ．2 2【思路点拨】根据函数自变量的取值范围用待定系数法求函数解析式．【解析】解：∵y 是 x 的一次函数，当﹣2≤x ≤6 时，﹣11≤y ≤9．2 2 2 2 设所求的解析式为 y ＝kx +b ，分两种情况考虑：（1）将 x ＝﹣2，y ＝﹣11 代入得：﹣11＝﹣2k +b ，将 x ＝6，y ＝9 代入得：9＝6k +b ，联立解得：k = 5，b ＝﹣6，则函数的解析式是 y = 5x ﹣6；（2）将 x ＝6，y ＝﹣11 代入得：﹣11＝6k +b ，将 x ＝﹣2，y ＝9 代入得：9＝﹣2k +b ，联立解得：k =— 5，b ＝4，则函数的解析式是 y =— 5x +4． 综上，函数的解析式是 y = 5x ﹣6 或 y =— 5x +4． 2 2 故答案为：y = 5x ﹣6 或 y =— 5x +4 2 2【点睛】本题要注意利用一次函数自变量的取值范围，来列出方程组，求出未知数，写出解析式．2. 如图，在平面直角坐标系中，已知点 M （2，﹣3）、N （6，﹣3），连接 MN ，如果点 P 在直线 y ＝﹣x +1上，且点 P 到直线 MN 的距离不小于 1，那么称点 P 是线段 MN 的“疏远点”．（1） 判断点 A （2，﹣1）是否是线段 MN 的“疏远点”，并说明理由；（2） 若点 P （a ，b ）是线段 MN 的“疏远点”，求 a 的取值范围；（3） 在（2）的前提下，用含 a 的代数式表示△MNP 的面积 S △MNP ，并求 S △MNP 的最小值．【思路点拨】（1）求出 A 到 MN 的距离，再判断即可；（2） 根据“疏远点”的意义求出 b 的范围，再代入求出 a 的范围即可；（3） 根据“疏远点”的意义得出 S MNP = 1 ×4×|﹣a +1﹣（﹣3）|，再去掉绝对值符号即可． △ 2【解析】解：（1）点A（2，﹣1）是线段MN的“疏远点”，并说明理由理由是：∵M（2，﹣3）、N（6，﹣3），A（2，﹣1），∴A 到直线MN 的距离为﹣1﹣（﹣3）＝2＞1，∵点P到直线MN的距离不小于1，那么称点P是线段MN的“疏远点”，∴点A（2，﹣1）是线段MN的“疏远点”；（2）∵点P（a，b）是线段MN的“疏远点”，M（2，﹣3）、N（6，﹣3），∴|b﹣（﹣3）|≥1，∴b≥﹣2 或b≤﹣4，代入y＝﹣x+1 得：﹣a+1≥﹣2 或﹣a+1≤﹣4，解得：a≤3 或a≥5，即 a 的取值范围是a≤3 或a≥5；（3）∵M（2，﹣3）、N（6，﹣3），∴MN＝6﹣2＝4，∴S =1 ×4×|﹣a+1﹣（﹣3）|= — 2a + 8(a＜4)△MNP 2，2a — 8(a＞4)∵a≤3 或a≥5，∴S△MNP的最小值是2．【点睛】本题考查了一次函数图象上点的特征，一次函数的性质等知识点，能根据“疏远点”的意义列出算式是解此题的关键．3.对某一个函数给出如下定义：若存在实数M＞0，对于任意的函数值y，都满足﹣M≤y≤M，则称这个函数是有界函数，在所有满足条件的M 中，其最小值称为这个函数的边界值．例如，图中的函数是有界函数，其边界值是1．（1）函数y＝x+1（﹣4≤x≤2）是不是有界函数？若是有界函数，求其边界值；（2）若函数y＝﹣x+1（a≤x≤b，b＞a）的边界值是2，且这个函数的最大值也是2，求b 的取值范围．(x — O)2 + (O — 1)2【思路点拨】（1）根据有界函数的定义即可得出函数 y ＝x +1（﹣4≤x ≤2）是有界函数，再代入 x ＝﹣4和 x ＝2 即可得出其边界值；（2）根据一次函数的性质可得出函数 y ＝﹣x +1 是单减函数，结合函数的最大值为 2 即可得出 a 的值， 再代入 b 的值结合有界函数的定义以及该函数的边界值即可得出关于 b 的一元一次不等式组，解不等式组即可得出 b 的取值范围；【解析】解：（1）根据有界函数的定义知，函数 y ＝x +1（﹣4≤x ≤2）是有界函数．∵﹣4+1＝﹣3，2+1＝3，∴y ＝x +1（﹣4＜x ≤2）边界值为 3．（2）∵k ＝﹣1＜0，∴函数 y ＝﹣x +1 的图象是 y 随 x 的增大而减小，∴当 x ＝a 时，y ＝﹣a +1＝2，解得：a ＝﹣1；当 x ＝b 时，y ＝﹣b +1，— 2 ≤— b + 1 ≤ 2∴ b ＞a ，a =— 1∴﹣1＜b ≤3；【点睛】本题考查了一次函数的性质、有界函数的定义以及解一元一次不等式组，解题的关键是：（1）根据有界函数的定义判断一个函数是否为有界函数；（2）找出关于 b 的一元一次不等式组．4. 请阅读下述材料，并解答问题例：说明代数式 x 2 + 1 + (x — 3)2 + 4的几何意义，并求它的最小值．解： 在平面直角坐标系中， 已知两点 P 1 （ x 1 ， y 1 ）， P 2 （ x 2 ， y 2 ） 则这两点间的距离公式为：P 1P 2=所以原式= +如图建立直角坐标系，点 P （x ，0）是 x 轴上一点，则 (x — O)2 + (O — 1)2可以看成点 P 与点 A （0，1） (x 1 — x 2)2 + (y 1 — y 2)2(x — 3)2 + (O — 2)2(x — 1)2 + 1 的距离， (x — 3)2 + (O — 2)2可以看成点 P 与点 B （3，2）的距离，所以原代数式的值可以看成线段 PA 与 PB 的长度之和，它的最小值就是 PA +PB 的最小值．设点 A 关于 x 轴的对称点为 A ′，则 PA ＝PA ′， 因此，求 PA +PB 的最小值，只需求 PA ′+PB 的最小值，由两点之间，线段最短可得，PA ′+PB 的最小值为线段 A ′B 的长度．为求 A ′B 我们可以构造直角三角形 A ′CB ，因为 A ′C ＝3，CB ＝3，所以 A ′ B ＝3 2，即原式的最小值为 3 2解答问题：（1）代数式 + (x — 2)2 + 9的值可以看成平面直角坐标系中点 P （x ，0）与点 A （1，1）、点 B （2，3） 的距离之和（填写点 B 的坐标）；（2）代数式 x 2 + 49 + x 2 — 12x + 37的最小值为 10 ．【思路点拨】（1）模仿例题即可解决问题；（2）用转化的思想思考问题即可；【解析】解：（1）由题意可知，点 B 坐标为（2，3）；故答案为（2，3）．（2） x 2 + 49 + x 2 — 12x + 37 = x 2 + 72 + (x — 6)2 + 12，求 x 2 + 49 + x 2 — 12x + 37的最小值，相当于在 x 轴上找一点 P （x ，0），使得 P 到 A （0，7），B （6，1）的距离之和的最小值，设点 A 关于 x 轴的对称点为 A ′，则 PA ＝PA ′，因此，求 PA +PB 的最小值，只需求 PA ′+PB 的最小值， 由两点之间，线段最短可得，PA ′+PB 的最小值为线段 A ′B 的长度．为求 A ′B 我们可以构造直角三角形 A ′CB ，因为 A ′C ＝6，CB ＝8，所以 A ′B ＝10，即原式的最小值为 10．故答案为 10．【点睛】本题考查轴对称﹣最短问题，勾股定理等知识，解题的关键是学会用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型．5.如图1，在平面直角坐标系中，点D 的横坐标为4，直线l1：y＝x+2 经过点D，分别与x、y 轴交于点A、B两点．直线l2：y＝kx+b经过点D及点C（1，0）．（1）求出直线l2 的解析式．（2）在直线l2 上是否存在点E，使△ABE 与△ABO 的面积相等，若存在，求出点E 的坐标，若不存在，请说明理由．（3）如图2，点P为线段AD上一点（不含端点），连接CP，一动点H从点C出发，沿线段CP以每秒2 个单位的速度运动到P，再沿线段PD 以每秒2 2个单位的速度运动到D 后停止，求P 点在整个运动过程的最少用时．【思路点拨】（1）利用C，D 两点坐标代入y＝kx+b，解方程组即可解决问题；（2）存在．如图1 中，作OE∥AB 交CD 于E．由AB∥OE，可得S△ABE＝S△ABO，构建方程组求出点E 坐标即可；（3）如图2 中，作DM∥AC，PH⊥DM 于H，CH′⊥DM 于H′交AD 于P′．由题意P 点在整个运2 2 2动过程的时间t = PC+ PD = 1 PC + PD MDA ＝∠BAO ＝45°，推出PH = P D t = 1PC +PH ）， 2 2（ 2 ），易知∠ 2，推出 2（ 根据此线段最短可知，当点 P 与 P ′，点 H 与 H ′共线时，t 的值最小，最小值= 1CH ′； 【解析】解：（1）由题意 A （﹣2，0），B （0，2），D （4，6），C （1，0），则 有 k + b = O ，4k + b = 6解 得 k = 2 ，b =— 2∴直线 l 2 的解析式为 y ＝2x ﹣2．（ 2 ） 存 在 ． ① 当 点 E 在 线 段 CD 上 时 ， 如 图 1 中 ， 作 OE ∥ AB 交 CD 于E ．∵AB ∥OE ，∴S △ABE ＝S △ABO ，∵直线 OE 的解析式为 y ＝x ，y = x 由 y = 2x — 2 ∴E （2，2）．，解得 x = 2， y = 2②当点 E ′在线段 CD 的延长线上时，由 y = x + 4 ，解得 x = 6 ，∴E ′（6，10）．y = 2x — 2y = 1O 综上所述，满足条件的点 E 坐标为（2，2）或（6，10）．（3）如图 2 中，作 DM ∥AC ，PH ⊥DM 于 H ，CH ′⊥DM 于 H ′交 AD 于 P ′．2 2 2 22由题意 P 点在整个运动过程的时间 t =PC + PD = 1（PC + PD 2 2 2∵A （﹣2，0），B （0，2），∴OA ＝OB ，∴∠MDA ＝∠BAO ＝45°，∴PH =PD ∴t = 1（PC +PH ）， 根据此线段最短可知，当点 P 与 P ′，点 H 与 H ′共线时，t 的值最小，最小值= 1CH ′＝3s∴P 点在整个运动过程的最少用时为 3s ．【点睛】本题考查一次函数综合题、待定系数法、平行线的性质、等高模型、垂线段最短等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考压轴题．， ），。