122函数的表示方法

1.2.2函数的表示方法（约三课时）三维目标：【知识与技能】1．掌握函数的三种主要表示方法——解析法、列表法、图象法及它们的优缺点．2．掌握分段函数的概念。

3．了解映射的概念；4．掌握函数图象的两种作法——列表、描点、连线法和图象变换法；5．掌握函数解析式的求解方法。

了解集合的特性；了解有限集、无限集、空集的意义；【过程与方法】1．自主学习，了解函数表示形式的多样性和转化方法；2．探究与活动，明白如何适宜地选择函数的表示方法。

【情感态度与价值观】培养数形结合、分类讨论的数学思想方法，培养学生从具体到抽象，从观察到概括的分析问题和解决问题的能力，训练学生的思维能力。

重点与难点：【重点】解析法和图象法。

【难点】函数图象的变换。

教学方法：启发引导，分析讲解，练习领会。

教具准备：POWERPOINT教学过程：第一课时函数的表示方法与函数图象的求作一．引入新课【师】前面，我们学习了函数的概念和区间的概念，重点就函数的定义域、值域、函数值的求解等问题进行了讲解和分析。

那么，函数可以用什么方法表示，函数和映射之间有什么关系呢？下面，我们就来学习1.2.2函数的表示方法．二．新课讲解1．函数的表示方法【师】说到函数的表示方法，我们在初中和本单元的第一节都已经接触过了，谁能说一下函数有哪几种表示方法吗？【生1】解析法、列表法、图象法。

【师】大家听刚才这个同学说的对吗？谁能再详细地说一下什么是解析法、列表法、图象法？并举例！【生2】⑴解析法：就是把两个变量的函数关系，用一个等式表示，这个等式叫做函数的解析表达式，简称解析式.例如，260t s =，2r S π=， ()02≠++=a c bx ax y ， ()22≥-=x x y 等等都是用解析式表示函数关系的。

优点：一是简明、全面地概括了变量间的关系；二是可以通过解析式求出任意一个自变量的值所对应的函数值。

中学阶段研究的函数主要是用解析法表示的函数。

⑵列表法：就是列出表格来表示两个变量的函数关系.数学用表中的平方表、平方根表、三角函数表，银行里的利息表，公共汽车上的票价表，列车时刻表等等都是用列表法来表示函数关系的。

优点：不需要计算就可以直接看出与自变量的值相对应的函数值。

⑶图象法：就是用函数图象表示两个变量之间的关系。

例如，气象台应用自动记录器描绘温度随时间变化的曲线，课本中我国人口出生率变化的曲线，工厂的生产图象，股市走向图等都是用图象法表示函数关系的。

优点：能直观形象地表示出自变量的变化，相应的函数值变化的趋势，这样使得我们可以通过图象来研究函数的某些性质。

【师】看来大家对函数的表示方法掌握的还是不错的。

但是，我有问题是任意一个函数都能用这三种方法表示吗？【生3】只有能用解析法表示的函数才能用三种方法表示，能用列表法和图象法表示的函数不一定能用解析法表示。

【师】其实，哪一种函数都不一定能用三种方法表示，如狄利克雷（Dirichlet ）函数()⎩⎨⎧=是无理数是有理数x x x D 01，我们就作不出它的图象。

希望大家能很好地体会函数的表示方法，并能在实际当中作出选择。

下面，我们就来体会一下，请同学们看例1问题一：函数()x x f 5=与()[]5,0,5∈=x x x g 是相同函数吗？它们的图象是否一样？【例1】某种笔记本每个5元，买{}5,4,3,2,1∈x 个笔记本的钱数记为y （元），试选择适当的方法表示以x 与y 的函数关系。

【师】谁说一下用什么方法？ 【生4】解：这个函数的定义域集合是{}5,4,3,2,1∈x ，它可以用解析法表示为x y 5=，{}5,4,3,2,1∈x 它的图象由5个孤立点A (1， 5)B (2， 10)C (3， 15)D (4， 20)，()25,5E 组成，如图所示。

它也可以用列表法表示为如下表【师】说的不错。

但是，我们不是说作函数图象可以分为列表、描点、连线三步吗？它怎么没连线呢？什么时候连，什么时候不连，我们以什么作标准呢？【生5】看x 的取值是否连续，连续就连。

【师】列表时应该注意什么？【生6】定义域是无限集就要在表的两头用省略号。

【师】下面我们看2．函数图象的作法【例2】 作出以下函数的图象（4名同学板演） （1）12-=x y ；（2）111+-=x y ；（3）2x y =；（4）xx y 1+=【生7-10】略【师】大家看他们所作的图象对吗？作图象时一定要注意： ①自变量当横轴，因变量（函数值）做纵轴；②要标出函数图象和坐标轴的交点，标出表示图象的特征点（如定点，对称轴等）； ③要注意自变量的取值如果是有界的就要用空心点或实心点表示； ④要在图象的附近写上函数的解析式。

函数xx y 1+=叫对勾函数，它的图象如右，值域是(][)+∞⋃-∞-,22,。

其中，当0>x 时，2≥y ，当0<x 时，2-≤y 。

当然，该性质也可以证明如下：∵xx y 1+=∴421222≥++=xx y ∴2≥y【例3】画出函数x y =的图象 解：由绝对值的概念，我们有{。

，0,0,<-≥=x x x x y 所以，函数x y =的图象如图所示。

3.分段函数若一个函数的定义域分成了若干个子区间，而每个子区间的解析式不同，这种函数又称分段函数。

三．练习反馈1.已知函数()⎩⎨⎧<≥-=2221x xx x x f 。

（1）求()3f ，()2-f ，()()1-f f 的值； （2）求()2=x f 的x 值； （3）作出()x f 的图象四．课内小结1.函数的表示方法2.函数图象的作法及应该注意的地方3.分段函数的概念和求分段函数值时应该注意的地方。

五．课外作业课本P24习题1.2A 组7，B 组1第二课时 函数图象的变换和认识一．复习回顾1.函数图象的作法及应该注意的地方2.分段函数的概念和求分段函数值时应该注意的地方。

二．新课讲解【例4】作出以下函数的图象（2名同学板演，第二名同学可以在第一名同学所作图象的基础上作。

）（1）322--=x x y （2）322--=x x y 【生11-12】略【师】第二名同学能说一下你是怎么根据第一名同学所画函数图象画出322--=x x y 图象的吗？【生12】略【师】我们再回过头看x y =与x y =的图象之间的关系 4．函数图象的变换【师】谁能说一下()221,1-=+=x y x y 的图象是把2x y =的图象怎样变换得到的吗？ 【生13】略【师】如果我记()2x x f =，大家能把()221,1-=+=x y x y 表示成()m x f +或()k x f +中的哪一种？【生14】()()()11,1122-=-=+=+=x f x y x f x y【师】此时，同学们有何感想？ 【生15】略 【师】一般地，①()ϕ+x f 的图象可以看成是把()x f 的图象向左（0>ϕ）或向右（0<ϕ）平移ϕ个单位得到的。

②()k x f +的图象可以看成是把()x f 的图象向上（0>k ）或向下（0<k ）平移ϕ个单位得到的。

③()()0>k x kf 的图象可以看成是把()x f 的图象上所有点的纵坐标伸长（1>k ）或缩短（10<<k ）到原来的k 倍，横坐标不变得到的。

④函数()x f y =的图像可以看作是把函数()x f y =的图像在x 轴下方的部分沿x 轴翻折到x 轴上方，去掉原x 轴下方部分，并保留()x f y =的x 轴上方部分即可得到。

【例5】（1）已知()x g 的图象是把()12+-=x x x f 的图象向右移动2个单位得到的，则()=x g ；（2）已知()x g 的图象是把()xx f 1=的图象向左移动2个单位，再向上移动3个单位得到的，则()=x g ；（3）()142+-=x x x g 的图象是把()()21-=x x f 的图象 得到的。

三．练习反馈填空1.函数()21+=x y 的图象是将函数2x y =的图象向 方向移动 个单位得到的。

2. 函数12+=x y 的图象是将函数x y 2=的图象向 方向移动 个单位得到的。

3.函数()21+=x y 的图象是将函数2)1(-=x y 的图象向 方向移动 个单位得到的。

四．课堂小结①()ϕ+x f 的图象可以看成是把()x f 的图象向左（0>ϕ）或向右（0<ϕ）平移ϕ个单位得到的。

②()k x f +的图象可以看成是把()x f 的图象向上（0>k ）或向下（0<k ）平移ϕ个单位得到的。

③()()0>k x kf 的图象可以看成是把()x f 的图象上所有点的纵坐标伸长（1>k ）或缩短（10<<k ）到原来的k 倍，横坐标不变得到的。

④函数()x f y =的图像可以看作是把函数()x f y =的图像在x 轴下方的部分沿x 轴翻折到x 轴上方，去掉原x 轴下方部分，并保留()x f y =的x 轴上方部分即可得到。

五．作业设函数21+++=x x y （1）作出函数的图象； （2）求函数的值域；（3）解不等式321>+++x x第三课时 认识函数图象一．复习回顾①()ϕ+x f 的图象可以看成是把()x f 的图象向左（0>ϕ）或向右（0<ϕ）平移ϕ个单位得到的。

②()k x f +的图象可以看成是把()x f 的图象向上（0>k ）或向下（0<k ）平移ϕ个单位得到的。

③()()0>k x kf 的图象可以看成是把()x f 的图象上所有点的纵坐标伸长（1>k ）或缩短（10<<k ）到原来的k 倍，横坐标不变得到的。

④函数()x f y =的图像可以看作是把函数()x f y =的图像在x 轴下方的部分沿x 轴翻折到x 轴上方，去掉原x 轴下方部分，并保留()x f y =的x 轴上方部分即可得到。

举例：略二．新课讲解5．认识函数图象【例6】直线a x =和函数()x f y =的图象的交点个数是（C ）A ．一个B ．两个C ．至多有一个D ．不确定 【例7】下列可以作为函数图象的是（D ）讲评：以上两题实际都考查的是函数的概念，“按照某种对应法则，对定义域范围内的任一个x 值，都有唯一的y 值和它对应”。

就是每在x 轴上找一个点，就作一条和y 轴平行的直线，看这条直线和图象是否有唯一的交点。

【例8】已知函数()x f y =和函数()x g 的图象如下:则函数()()x g x f y =的图象可能是（A ）xxy yyOy xxOOOA B C D1-7-2O xy-1 3-3y x2Ox1-O 1y【例9】如图是()c bx ax x f ++=2的图象。