122函数的表示方法

1.2.2函数的表示方法

（约三课时）

三维目标：

【知识与技能】

1．掌握函数的三种主要表示方法——解析法、列表法、图象法及它们的优缺点．

2．掌握分段函数的概念。

3．了解映射的概念；

4．掌握函数图象的两种作法——列表、描点、连线法和图象变换法；

5．掌握函数解析式的求解方法。了解集合的特性；了解有限集、无限集、空集的意义；

【过程与方法】

1．自主学习，了解函数表示形式的多样性和转化方法；

2．探究与活动，明白如何适宜地选择函数的表示方法。

【情感态度与价值观】

培养数形结合、分类讨论的数学思想方法，培养学生从具体到抽象，从观察到概括的分析问题和解决问题的能力，训练学生的思维能力。

重点与难点：

【重点】解析法和图象法。

【难点】函数图象的变换。

教学方法：启发引导，分析讲解，练习领会。

教具准备：POWERPOINT

教学过程：

第一课时函数的表示方法与函数图象的求作

一．引入新课

【师】前面，我们学习了函数的概念和区间的概念，重点就函数的定义域、值域、函数值的求解等问题进行了讲解和分析。那么，函数可以用什么方法表示，函数和映射之间有什么关系呢？下面，我们就来学习1.2.2函数的表示方法．

二．新课讲解

1．函数的表示方法

【师】说到函数的表示方法，我们在初中和本单元的第一节都已经接触过了，谁能说一下函数有哪几种表示方法吗？

【生1】解析法、列表法、图象法。

【师】大家听刚才这个同学说的对吗？谁能再详细地说一下什么是解析法、列表法、图象法？并举例！

【生2】⑴解析法：就是把两个变量的函数关系，用一个等式表示，这个等式叫做函数的解析表达式，简称解析式.

例如，2

60t s =，2

r S π=， ()02

≠++=a c bx ax y ， ()22≥-=x x y 等等都是用解析式表示

函数关系的。

优点：一是简明、全面地概括了变量间的关系；二是可以通过解析式求出任意一个自变量的值所对应的函数值。中学阶段研究的函数主要是用解析法表示的函数。

⑵列表法：就是列出表格来表示两个变量的函数关系.

数学用表中的平方表、平方根表、三角函数表，银行里的利息表，公共汽车上的票价表，列车时刻表等等都是用列表法来表示函数关系的。

优点：不需要计算就可以直接看出与自变量的值相对应的函数值。 ⑶图象法：就是用函数图象表示两个变量之间的关系。

例如，气象台应用自动记录器描绘温度随时间变化的曲线，课本中我国人口出生率变化的曲线，工厂的生产图象，股市走向图等都是用图象法表示函数关系的。

优点：能直观形象地表示出自变量的变化，相应的函数值变化的趋势，这样使得我们可以通过图象来研究函数的某些性质。

【师】看来大家对函数的表示方法掌握的还是不错的。但是，我有问题是任意一个函数都能用这三种方法表示吗？

【生3】只有能用解析法表示的函数才能用三种方法表示，能用列表法和图象法表示的函数不一定能用解析法表示。

【师】其实，哪一种函数都不一定能用三种方法表示，如狄利克雷（Dirichlet ）函数

()⎩

⎨⎧=是无理数是有理数x x x D 01，我们就作不出它的图象。希望大家能很好地体会函数的表示方法，

并能在实际当中作出选择。下面，我们就来体会一下，请同学们看例1

问题一：函数()x x f 5=与()[]5,0,5∈=x x x g 是相同函数吗？它们的图象是否一样？

【例1】某种笔记本每个5元，买{}5,4,3,2,1∈x 个笔记本的钱数记为y （元），试选择适

当的方法表示以x 与y 的函数关系。

【师】谁说一下用什么方法？ 【生4】

解：

这个函数的定义域集合是{}5,4,3,2,1∈x ，它可以用解析法表示为x y 5=，{}5,4,3,2,1∈x 它的图象由5个孤立点A (1， 5)

B (2， 10)

C (3， 15)

D (4， 20)，()25,5

E 组

成，如图所示。它也可以用列表法表示为如下表

【师】说的不错。但是，我们不是说作函数图象可以分为列表、描点、连线三步吗？它怎么没连线呢？什么时候连，什么时候不连，我们以什么作标准呢？

【生5】看x 的取值是否连续，连续就连。 【师】列表时应该注意什么？

【生6】定义域是无限集就要在表的两头用省略号。 【师】下面我们看

2．函数图象的作法

【例2】 作出以下函数的图象（4名同学板演） （1）12-=x y ；（2）111+-=

x y ；

（3）2x y =；（4）x

x y 1+=

【生7-10】略

【师】大家看他们所作的图象对吗？作图象时一定要注意： ①自变量当横轴，因变量（函数值）做纵轴；

②要标出函数图象和坐标轴的交点，标出表示图象的特征点（如定点，对称轴等）； ③要注意自变量的取值如果是有界的就要用空心点或实心点表示； ④要在图象的附近写上函数的解析式。

函数x

x y 1

+=叫对勾函数，它的图象如右，值域

是(][)+∞⋃-∞-,22,。其中，当0>x 时，2≥y ，当0

2-≤y 。

当然，该性质也可以证明如下：

∵x

x y 1

+=

∴421

22

2

≥++=x

x y ∴2≥y

【例3】画出函数x y =的图象 解：由绝对值的概念，我们有

{。

，

0,

0,<-≥=

x x x x y 所以，函数x y =的图象如图所示。

3.分段函数

若一个函数的定义域分成了若干个子区间，而每个子区间的解析式不同，这种函数又称分段函数。

三．练习反馈

1.已知函数()⎩⎨

⎧<≥-=2

22

1

x x

x x x f 。 （1）求()3f ，()2-f ，()()1-f f 的值； （2）求()2=x f 的x 值； （3）作出()x f 的图象