三角函数线(第三课时)教学设计
单位圆与三角函数线教案
单位圆与三角函数线教案教案：单位圆与三角函数线一、教学目标：1.理解单位圆的定义及性质；2.掌握三角函数线的定义；3.能够在单位圆上确定三角函数的取值范围；4.能够根据给定的角度求解三角函数的值。
二、教学重点：1.单位圆的性质；2.三角函数线的定义。
三、教学难点：1.单位圆上角度和三角函数之间的关系；2.在单位圆上确定三角函数的取值范围。
四、教学过程：Step 1：引入1.引导学生回顾三角函数的定义，并简要介绍单位圆的概念。
3.学生回答后，引导他们思考如何用单位圆解释三角函数。
Step 2：单位圆的定义及性质1.展示单位圆的图像，并介绍单位圆的定义。
2.提出问题：“单位圆的半径是多少？圆心在哪里？为什么称之为‘单位’圆？”3.引导学生发现单位圆的半径为1，并解释为什么称之为“单位”圆。
4.提问：“单位圆上一个点的坐标有什么特点？”5.学生回答后，引导他们发现单位圆上的点的坐标可以用三角函数表示。
6. 总结：单位圆上点的坐标(x,y)可以表示为(x,y)=(cosθ,sinθ)，其中θ为与正半轴的夹角。
7.展示并讲解单位圆上一些特殊角度的坐标及对应的三角函数值。
Step 3：三角函数线的定义1.提醒学生在单位圆上的角度是从正半轴逆时针旋转的，而实际应用中角度是从正半轴顺时针旋转的。
3.解释正弦函数、余弦函数和正切函数的定义及性质。
4.强调正弦函数、余弦函数和正切函数的周期性。
Step 4：确定三角函数的取值范围1.提醒学生在单位圆上，正弦函数和余弦函数的取值范围是[-1,1]。
2.提问：“在什么角度上，正弦函数和余弦函数的值等于1、等于0、等于-1？”3.学生回答后，引导他们在单位圆上确定三角函数的取值范围，并总结出规律。
4.引导学生发现正切函数的取值范围是整个实数轴，不存在界限。
Step 5：求解三角函数的值1.提醒学生在单位圆上，正弦函数和余弦函数的值由点的y坐标决定，正切函数的值由点的y坐标除以点的x坐标决定。
三角函数教学设计
三角函数教学设计教学设计思路：新课程标准倡导积极主动、勇于探索的学习方式把学习的主动权还给学生。
以此为宗旨，我采用自主学习、合作探究方法引导学生自主学习、探究学习，努力做到教法、学法的最优组合，并体现以下几个特点（1）苏霍姆林斯基说过：“在人的内心深处，都有一种根深蒂固的需要，那就是希望自己是一个发现者和探索者”本节课正是抓住学生的这心理需求，充分利用互动工具，让学生动手实践、思考探索，合作交流真正意义上做到尊重学生的创造性，挖掘学生的潜力，让他们对整个学习过程充满激情，快乐学数学。
（2）注重信息反馈，坚持师生间的多向交流。
当学生接触新知一周期性、单调性、值域等性质时以及利用性质画出图象时，要引导学生多思多说、多练，要充分暴露他们所遇到的知识障碍，并在师生之间的多向交流中，不断的得到解决，伸知识深化。
本节课是在学生掌握了单位圆中的正弦函数线和诱导公式的基础上进行的，不仅是对前面所学知识应用的考察，也是后续学习正余弦函数性质的'基础：对函数图像清晰而谁确的掌握也为学生在解题实践中提供了有力的工具，本小节内容是三角函数的图象与性质，是本章知识的重点。
有看求前启后的作用美国华盛顿一所大学有句名言：“我听见了，就忘记了我看见了，就记我做过了，就理解了”要想让学生深刻理解三角函数性质和图像，就生主动去探素，大胆去实践，亲身体验知识的发生和发展过程学生情况分析：知识上，通过高一对函数的学习，学生已经具绘图技能，能够类比推理画出图像，并通过观察图像，总结性质，心具备了一定的分语言表达能力，初步形成了辩证的思想。
一.教学目标1．知识与技能（1）能够借助三角函数的定义及单位圆中的三角函数线推导三角函数的诱导公式。
（2）能够运用诱导公式，把任意角的三角函数的化简、求值问题转化为锐角三角函数的化简、求值问题。
2．过程与方法（1）经历由几何直观探讨数量关系式的过程，培养学生数学发现能力和概括能力。
（2）通过对诱导公式的探求和运用，培养化归能力，提高学生分析问题和解决问题的能力。
7.2.2 高中必修三数学教案《单位圆与三角函数线》
高中必修三数学教案《单位圆与三角函数线》教材分析与单位圆有关的三角函数线是对任意三角函数定义的一种“形”上的补充，它作为三角函数线的几何表示，使学生对三角函数的定义有了直观的理解，同时能帮助我们理解和掌握三角函数的定义域及三角函数的符号规律，加深数与形的结合。
三角函数线贯穿了整个三角函数的教学，借助三角函数线，可以推导出同角三角函数的基本关系式及诱导公式，画出正弦曲线，解出三角不等式，求函数的定义域及比较大小。
可以说，三角函数线是研究三角函数的有力工具。
学情分析1、学生在学习本节课之前已经学习了任意角的三角函数的定义和三角函数值在各个象限的符号。
利用几何画板工具，学生可以有效地进行数学试验。
2、在角的分类中，学习角的终边所在的象限知识，学生可能会只考虑到象限角而忽视轴上角，在学习新概念之前要复习且强调一下。
3、向量和实数的对应关系是新内容，学生需要提前掌握。
教学目标1、经过三角函数线的学习，培养数学抽象和直观想象核心素养。
2、借助三角函数的应用，培养逻辑推理及直观想象核心素养。
教学重点认识三角函数线的意义。
教学难点会用三角函数线表示一个角的正弦。
教学方法讲授法、演示法、讨论法、练习法教学过程一、问题导入我们已经知道，如果P （x ，y ）是α终边上异于原点的任意一点，r = √x 2+y 2，则sin α = = y r ，cos αx r 。
如果选取的P 点坐标满足x 2+y 2 = 1，则上述正弦与余弦的表达式有什么变化？由此你能给出任意角正弦和余弦的一个直观表示吗？二、学习新知不难看出，如果x 2+y 2 = 1，则sin α = y ，cos α= x 。
因为x 2+y 2 = 1可以化为√（x −0）2+（y −0）2 = 1因此P （x ，y ）到原点（0，0）的距离为1。
一般地，在平面直角坐标系中，坐标满足x 2+y 2 = 1的点组成的集合称为单位圆。
因此，如果角α的终边与单位圆的交点为P ，则P 的坐标为（cos α，sin α）这就是说，角α的余弦和正弦分别等于角α终边与单位圆交点的横坐标和纵坐标。
三角函数的定义教案
三角函数的定义教案使学生理解并掌握三角函数线的作法，能利用三角函数线解决一些简单问题. 2.培养学生分析、探索、归纳和类比的能力，以及形象思维能力。
下面是我给大家整理的三角函数的定义教案5篇，希望大家能有所收获!三角函数的定义教案1教学准备教学目标1、知识与技能(1)了解周期现象在现实中广泛存在;(2)感受周期现象对实际工作的意义;(3)理解周期函数的概念;(4)能熟练地判断简单的实际问题的周期;(5)能利用周期函数定义进行简单运用。
2、过程与方法通过创设情境：单摆运动、时钟的圆周运动、潮汐、波浪、四季变化等，让学生感知周期现象;从数学的角度分析这种现象，就可以得到周期函数的定义;根据周期性的定义，再在实践中加以应用。
3、情感态度与价值观通过本节的学习，使同学们对周期现象有一个初步的认识，感受生活中处处有数学，从而激发学生的学习积极性，培养学生学好数学的信心，学会运用联系的观点认识事物。
教学重难点重点:感受周期现象的存在，会判断是否为周期现象。
难点:周期函数概念的理解，以及简单的应用。
教学工具投影仪教学过程【创设情境，揭示课题】同学们：我们生活在海南岛非常幸福，可以经常看到大海，陶冶我们的情操。
众所周知，海水会发生潮汐现象，大约在每一昼夜的时间里，潮水会涨落两次，这种现象就是我们今天要学到的周期现象。
再比如，[取出一个钟表,实际操作]我们发现钟表上的时针、分针和秒针每经过一周就会重复，这也是一种周期现象。
所以，我们这节课要研究的主要内容就是周期现象与周期函数。
(板书课题)【探究新知】1.我们已经知道，潮汐、钟表都是一种周期现象，请同学们观察钱塘江潮的图片(投影图片)，注意波浪是怎样变化的?可见，波浪每隔一段时间会重复出现，这也是一种周期现象。
请你举出生活中存在周期现象的例子。
(单摆运动、四季变化等)(板书：一、我们生活中的周期现象)2.那么我们怎样从数学的角度研究周期现象呢?教师引导学生自主学习课本P3——P4的相关内容，并思考回答下列问题：①如何理解“散点图”?②图1-1中横坐标和纵坐标分别表示什么?③如何理解图1-1中的“H/m”和“t/h”?④对于周期函数的定义，你的理解是怎样?以上问题都由学生来回答，教师加以点拨并总结：周期函数定义的理解要掌握三个条件，即存在不为0的常数T;x 必须是定义域内的任意值;f(x+T)=f(x)。
三角函数线(三)》
y
P(x , y)
的终边
O
x
湖南省长沙市一中卫星远程学校
想一想： y 由于tan = ，能否找到使x = 1的点？
x
y
P(x , y)
的终边
A(1,0)
O
x
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想一想： y 由于tan = ，能否找到使x = 1的点？ 过点A(1,0)的切线上的点.
x
y
P(x , y)
y
A
A
O
x
O
x
湖南省长沙市一中卫星远程学校
⑶图中的圆均为单位圆，作出表示tan 的有向线段．
y
的终边 T
P(x , y)
的终边
P(x , y)
y
A
A
O
x
O
T
x
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⑶图中的圆均为单位圆，作出表示tan 的有向线段．
y
的终边 T
P(x , y)
的终边
P(x , y)
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例1. 作出下列各角的正弦线、余弦线、 正切线. 5 (1) ; ( 2) ; 3 6
2 ( 3) ; 3
13 ( 4) . 6
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例2. 若0
2
，证明sin cos 1.
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y 的终边
P(x , y)
的终边 y
P(x , y)
O
M x
O
x
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3．三角函数线： ⑴ 图中的圆均为单位圆，作出表示sin 的有向线段．
九年级数学下册《三角函数》单元教学设计
九年级数学下册《三角函数》单元教学设计一、教学分析三角函数是数学中常见的一类关于角度的函数。
也就是说以角度为自变量，角度对应任意两边的比值为因变量的函数叫三角函数，三角函数将直角三角形的内角和它的两个边长度的比值相关联，也可以等价地用与单位圆有关的各种线段的长度来定义。
三角函数在研究三角形和圆等几何形状的性质时有重要作用，也是研究周期性现象的基础数学工具。
三角函数是基本初等函数之一，它是中学数学的重要内容之一，它的认知基础主要是几何中圆的性质、相似形的有关知识，在必修Ⅰ中建立的函数概念以及指数函数、对数函数的研究方法。
主要的学习内容是三角函数是概念、图像和性质，以及三角函数模型的简单应用；研究方法主要是代数变形和图像分析。
因此，三角函数的研究已经初步把几何与代数联系起来了。
本章所介绍的知识，既是解决生产实际问题的工具，又是学习后继内容和高等数学的基础，三角函数是数学中重要的数学模型之一，是研究度量几何的基础，又是研究自然界周期变化规律最强有力的数学工具。
三角函数作为描述周期现象的重要数学模型，与其他学科联系紧密。
二、目标要求1.总体要求.三角函数是基本初等函数，它是描述周期现象的重要数学模型，在数学和其他领域有着重要作用。
在本模块中，学生将通过实例，学习三角函数及其基本性质，体会三角函数在解决具有周期变化规律的问题中的作用。
2.具体要求（1）任意角、弧度制：了解任意角的概念和弧度制，能进行弧度与角度的互化。
（2）三角函数①借助单位圆理解任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义。
②借助单位圆中的三角函数线推导出诱导公式.的正弦、余弦、正切.，能画出y=sinx，y=cosx，y=tanx的图像，了解三角函数的周期性。
③借助图像理解正弦函数、余弦函数在[0,..，正切函数.上的性质（如单调性、最大和最小值、图像与x轴的交点等）。
④理解同角三角函数的基本关系式：⑤结合具体实例，了.的实际意义；能借助计算器或计算机画.的图像，观察参.对函数图像变化的影响。
三角函数线
邹平县黄山中学2015级高一数学“三结合五环节”翻转课堂课时学案数学必修4 1.2任意角三角函数（2）【学习目标】1．理解三角函数线的意义。
2．理解并掌握有向线段的定义。
3．初步体会三角函数中的数形结合【重难点】重点：如何用有向线段表示三角函数难点：各三角函数线的合理性，特别是正切线的得来。
教材自学：先预习教材p 15…--p 17,然后开始做导学案【自学质疑】1. 初中关于锐角三角函数的定义2. 任意角三角函数定义对以前所学知识的继承和发展，有无局限？3. 公式一的作用与价值的思考。
4. 思考：我们能否借助线段表示任意角三角函数呢？【我的疑问】【问题探究】如图所示，角α终边与单位圆交于P 点，sin α=y ，cos α=xONM (x,y)P可见，MP y = ，OM x = ，即 sin MP α= ，cos OM α=考虑到sin α与cos α的符号，我们只需规定MP 与OM 的符号与sin α与cos α的符号一致即可，则sin α=MP ，cos α= OM 。
问题1：有向线段：有了有向线段的概念，我们可以用有向线段来表示正余弦如图，并称有向线段MP ，OM 分别为角 α的正弦线和余弦线。
问题2 我们能否借助有向线段来表示tan α呢？过单位圆与x 轴正半轴交点A （1,0）作单位圆的切线，该切线与角α的终边或其延长线交于T 点，由于tan y MP x OM α==，利用相似三角形的知识，借助有向线段OA ，AT 我们有tan AT MP AT OM OAα===，称有向线段AT 为角α的正切线。
问题3 三角函数线：思考：当角α终边在坐标轴上时，各三角函数线又如何呢？【我的收获】【课堂练习】作出下列各角的各三角函数线。
（1）3π （2）56π（3）23π-（4）136π-【课堂小结】1.知识要点有哪些？2.思想方法有哪些？3.本节课学习之后你还有那些模糊的地方？。
高中数学必修二 6 4 3 余弦定理、正弦定理(第3课时)余弦定理、正弦定理应用举例 教学设计
【新教材】6.4.3 余弦定理、正弦定理教学设计（人教A版）第3课时余弦定理、正弦定理应用举例三角形中的几何计算问题主要包括长度、角、面积等，常用的方法就是构造三角形，把所求的问题转化到三角形中，然后选择正弦定理、余弦定理加以解决，有的问题与三角函数联系比较密切，要熟练运用有关三角函数公式.课程目标1、能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关测量距离的实际问题，了解常用的测量相关术语；2、激发学生学习数学的兴趣,并体会数学的应用价值；同时培养学生运用图形、数学符号表达题意和应用转化思想解决数学问题的能力.数学学科素养1.数学抽象：方位角、方向角等概念；2.逻辑推理：分清已知条件与所求，逐步求解问题的答案；3.数学运算：解三角形；4.数学建模：数形结合，从实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后通过解这些三角形，得到所求的量，从而得到实际问题的解．重点：由实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后逐个解决三角形，得到实际问题的解；难点：根据题意建立数学模型，画出示意图.教学方法：以学生为主体，小组为单位，采用诱思探究式教学，精讲多练。
教学工具：多媒体。
一、情景导入在古代，天文学家没有先进的仪器就已经估算出了两者的距离，是什么神奇的方法探索到这个奥秘的呢？我们知道，对于未知的距离、高度等，存在着许多可供选择的测量方案，但是没有足够的空间，不能用全等三角形的方法来测量，所以，有些方法会有局限性。
于是上面介绍的问题是用以前的方法所不能解决的。
那么运用正弦定理、余弦定理能否解决这些问题？又怎么解决？要求：让学生自由发言，教师不做判断。
而是引导学生进一步观察.研探.二、预习课本，引入新课阅读课本48-51页，思考并完成以下问题1、方向角和方位角各是什么样的角？2、怎样测量物体的高度？3、怎样测量物体所在的角度？要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。
三、新知探究1、实际测量中的有关名称、术语方向角从指定方向线到 目标方向线 的水平角(指定方向线是指正北或正南或正东或正西，方向角小于90°)方 位角 从正北的方向线按 顺 时针到目标方向线所转过的水平角四、典例分析、举一反三题型一 测量高度问题例1 济南泉城广场上的泉标是隶书“泉”字，其造型流畅别致，成了济南的标志和象征．李明同学想测量泉标的高度，于是他在广场的A 点测得泉标顶端的仰角为60°，他又沿着泉标底部方向前进15.2 m ，到达B 点，测得泉标顶部仰角为80°.你能帮李明同学求出泉标的高度吗？(精确到1 m)【答案】泉城广场上泉标的高约为38 m.【解析】如图所示，点C ，D 分别为泉标的底部和顶端．仰角在同一铅垂平面内，视线在水平线 上 方时与水平线的夹角俯角在同一铅垂平面内，视线在水平线下方时与水平线的夹角依题意，∠BAD ＝60°，∠CBD ＝80°，AB ＝15.2 m ，则∠ABD ＝100°，故∠ADB ＝180°－(60°＋100°)＝20°.在△ABD 中，根据正弦定理，BD sin 60°＝AB sin ∠ADB . ∴BD ＝AB ·sin 60°sin 20°＝15.2·sin 60°sin 20°≈38.5(m)． 在Rt △BCD 中，CD ＝BD sin 80°＝38.5·sin 80°≈38(m)，即泉城广场上泉标的高约为38 m.解题技巧（测量高度技巧）(1)在测量高度时，要理解仰角、俯角的概念，仰角和俯角都是在同一铅垂面内，视线与水平线的夹角；(2)准确理解题意，分清已知条件与所求，画出示意图；(3)运用正、余弦定理，有序地解相关的三角形，逐步求解问题的答案，注意方程思想的运用． 跟踪训练一1、乙两楼相距200 m ，从乙楼底望甲楼顶的仰角为60°，从甲楼顶望乙楼顶的俯角为30°，则甲、乙两楼的高分别是多少？【答案】甲楼高为200 3 m ，乙楼高为40033m. 【解析】如图所示，AD 为乙楼高，BC 为甲楼高．在△ABC 中，BC ＝200×tan 60°＝2003，AC ＝200÷sin 30°＝400，由题意可知∠ACD ＝∠DAC ＝30°，∴△ACD 为等腰三角形．由余弦定理得AC 2＝AD 2＋CD 2－2AD ·CD ·cos 120°，4002＝AD 2＋AD 2－2AD 2×⎝⎛⎭⎫－12＝3AD 2，AD 2＝40023，AD ＝40033.故甲楼高为200 3 m ，乙楼高为40033m. 题型二 测量角度问题例2 如图所示，A ，B 是海面上位于东西方向相距5(3＋3) n mile 的两个观测点．现位于A 点北偏东45°方向、B 点北偏西60°方向的D 点有一艘轮船发出求救信号，位于B 点南偏西60°且与B 点相距20 3 n mile 的C 点的救援船立即前往营救，其航行速度为30 n mile/h ，则该救援船到达D 点需要多长时间？【答案】 救援船到达D 点需要的时间为1 h. 【解析】由题意，知AB ＝5(3＋3)n mile ，∠DBA ＝90°－60°＝30°，∠DAB ＝90°－45°＝45°，∴∠ADB ＝180°－(45°＋30°)＝105°.在△DAB 中，由正弦定理得BD sin ∠DAB ＝AB sin ∠ADB ，即BD ＝AB sin ∠DAB sin ∠ADB ＝3)sin 45sin105＝5(33)sin 4545cos 60cos 45sin 60++＝10 3 n mile. 又∠DBC ＝∠DBA ＋∠ABC ＝60°，BC ＝20 3 n mile ，∴在△DBC 中，由余弦定理，得CD ＝BD 2＋BC 2－2BD ·BC cos ∠DBC ＝300＋1 200－2×103×203×12＝30 n mile ， 则救援船到达D 点需要的时间为3030＝1 h. 解题技巧： (测量角度技巧)测量角度问题的关键是根据题意和图形及有关概念，确定所求的角在哪个三角形中，该三角形中已知哪些量，需要求哪些量．通常是根据题意，从实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后通过解这些三角形，得到所求的量，从而得到实际问题的解．跟踪训练二1、在海岸A 处，发现北偏东45°方向，距离A 处(3－1)n mile 的B 处有一艘走私船，在A 处北偏西75°的方向，距离A 2 n mile 的C 处的缉私船奉命以10 3 n mile 的速度追截走私船．此时，走私船正以10 n mile/h 的速度从B 处向北偏东30°方向逃窜，问缉私船沿什么方向能最快追上走私船？【答案】缉私船沿北偏东60°方向能最快追上走私船.【解析】 设缉私船用t h 在D 处追上走私船，画出示意图，则有CD ＝103t ，BD ＝10t ，在△ABC 中，∵AB ＝3－1，AC ＝2，∠BAC ＝120°，∴由余弦定理，得BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC ·cos ∠BAC ＝(3－1)2＋22－2·(3－1)·2·cos 120°＝6，∴BC ＝6，且sin ∠ABC ＝AC BC ·sin ∠BAC ＝26·32＝22， ∴∠ABC ＝45°，∴BC 与正北方向成90°角．∴∠CBD ＝90°＋30°＝120°，在△BCD 中，由正弦定理，得sin ∠BCD ＝BD ·sin ∠CBD CD ＝10t sin 120°103t＝12， ∴∠BCD ＝30°.即缉私船沿北偏东60°方向能最快追上走私船.题型三 测量距离问题例3 如图所示，要测量一水塘两侧A ，B 两点间的距离，其方法先选定适当的位置C ，用经纬仪测出角α，再分别测出AC ，BC 的长b ，a 则可求出A ，B 两点间的距离．若测得CA ＝400 m ，CB ＝600 m ，∠ACB ＝60°，试计算AB 的长．【答案】A ，B 两点间的距离为2007 m.【解析】在△ABC 中，由余弦定理得AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC cos ∠ACB ，∴AB 2＝4002＋6002－2×400×600cos 60°＝280 000.∴AB ＝2007 (m)．即A ，B 两点间的距离为2007 m.例4 如图所示，A ，B 两点在一条河的两岸，测量者在A 的同侧，且B 点不可到达，要测出A ，B 的距离，其方法在A 所在的岸边选定一点C ，可以测出A ，C 的距离m ，再借助仪器，测出∠ACB ＝α，∠CAB ＝β，在△ABC 中，运用正弦定理就可以求出AB .若测出AC ＝60 m ，∠BAC ＝75°，∠BCA ＝45°，则A ，B 两点间的距离为________ m.【答案】20 6 .【解析】∠ABC ＝180°－75°－45°＝60°，所以由正弦定理得，AB sin C ＝AC sin B， ∴AB ＝AC ·sin C sin B ＝60×sin 45°sin 60°＝206(m)． 即A ，B 两点间的距离为20 6 m.解题技巧（测量距离技巧）当A ，B 两点之间的距离不能直接测量时，求AB 的距离分为以下三类：(1)两点间不可通又不可视(如图①)：可取某点C ，使得A ，B 与C 之间的距离可直接测量，测出AC ＝b ，BC ＝a 以及∠ACB ＝γ，利用余弦定理得：AB ＝a 2＋b 2－2ab cos γ.(2)两点间可视但不可到达(如图②)：可选取与B 同侧的点C ，测出BC ＝a 以及∠ABC 和∠ACB ，先使用内角和定理求出∠BAC ，再利用正弦定理求出AB .(3)两点都不可到达(如图③)：在河边测量对岸两个建筑物之间的距离，可先在一侧选取两点C ，D ，测出CD ＝m ，∠ACB ，∠BCD ，∠ADC ，∠ADB ，再在△BCD 中求出BC ，在△ADC 中求出AC ，最后在△ABC 中，由余弦定理求出AB .跟踪训练三1.如图，A ，B 两点在河的同侧，且A ，B 两点均不可到达，测出A ，B 的距离，测量者可以在河岸边选定两点C ，D ，测得CD ＝a ，同时在C ，D 两点分别测得∠BCA ＝α，∠ACD ＝β，∠CDB ＝γ，∠BDA ＝δ.在△ADC 和△BDC 中，由正弦定理分别计算出AC 和BC ，再在△ABC 中，应用余弦定理计算出AB .若测得CD ＝32km ，∠ADB ＝∠CDB ＝30°，∠ACD ＝60°，∠ACB ＝45°，求A ，B 两点间的距离．【答案】A ，B 两点间的距离为64km. 【解析】∵∠ADC ＝∠ADB ＋∠CDB ＝60°，∠ACD ＝60°，∴∠DAC ＝60°，∴AC ＝DC ＝32.在△BCD 中，∠DBC ＝45°， 由正弦定理，得BC ＝DC sin ∠DBC·sin ∠BDC ＝32sin 45°·sin 30°＝64. 在△ABC 中，由余弦定理，得AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC cos 45°＝34＋38－2×32×64×22＝38. ∴AB ＝64(km)．∴A ，B 两点间的距离为64 km.五、课堂小结让学生总结本节课所学主要知识及解题技巧六、板书设计七、作业课本51页练习，52页习题6.4中剩余题.对于平面图形的计算问题，首先要把所求的量转化到三角形中，然后选用正弦定理、余弦定理解决.构造三角形时，要注意使构造三角形含有尽量多个已知量，这样可以简化运算.学生在这里的数量关系比较模糊，需要强化，三角形相关知识点需要简单回顾。
高中数学_单位圆与三角函数线教学设计学情分析教材分析课后反思
单位圆与三角函数线授课人：一、教学目标：1.知识与技能目标：借助单位圆理解任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义，并能利用三角函数线解决一些简单的三角函数问题。
2.过程与方法目标：借助单位圆的直观特征，引导学生自主探索三角函数线的有关问题，培养他们分析问题和解决问题的能力，使学生领会数形结合的思想。
3.情感、态度与价值观目标：通过多媒体教学，激发学生对数学研究的热情，培养学生勇于探索的精神；通过学生之间、师生之间的交流合作，实现共同探究、教学相长的教学情境。
二、教学重点、难点：教学重点：正确地用三角函数线表示任意角的三角函数值，培养学生数形结合的良好的思维习惯。
教学难点：正确地用与单位圆有关的三角函数线表示三角函数值。
三、教学方法与手段：本节课将按照以教师为主导，以学生为主体，以问题探究为主线，以多媒体辅助教学为手段，遵从认识规律，激发学习兴趣，提高课堂效率。
四、教学过程：,x y三角函数的定义：α的终边上任取一点)P特殊情况：α的终边在正切线变成了一点，它的数量为零，即1.知识层面：（1）学习本节前，学生已经学习了任意角三角函数的定义，为三角函数线的寻找做好了知识准备。
（2）学生在必修2中已经学习了向量的概念，用实数可以表示数轴上的一个向量（人教B 版必修2第66页）； 2.能力层面：经过一学期的学习学生初步有了数形结合的思想和借助图形分析和解决问题的能力。
3.情感层面：高一学生思维活跃，对课堂活动参与的积极性高，利于课堂活动的组织，且 学生对数学新知识的学习具有相当的兴趣和积极性。
【课上评测练习】向量的数量：向量AB 的数量AB= ;向量BA 的数量BA= ;向量AC 的数量AC= .【效果分析】由于考虑到必修二中向量的知识可能遗忘，因此通过学生做这道题来温故知新，学生的正确率很高，从这点来看效果很好。
例1作出23π的正弦线和余弦线，并比较其数量的大小. 【效果分析】通过多媒体动画演示，让学生掌握作图的要领和注意的地方。
三角函数集体备课—教学设计【教学参考】
三角函数集体备课—教学设计【教学参考】课题：任意角的三角函数及诱导公式（共 3 课时）教学目标：1．任意角、弧度了解任意角的概念和弧度制，能进行弧度与角度的互化；2．三角函数（1）借助单位圆理解任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义；（2）借助单位圆中的三角函数线推导出诱导公式（π/2±α, π±α的正弦、余弦、正切）。
命题走向：从近几年的新课程高考考卷来看，试题内容主要考察三角函数的图形与性质，但解决这类问题的基础是任意角的三角函数及诱导公式，在处理一些复杂的三角问题时，同角的三角函数的基本关系式是解决问题的关键。
预测2019年高考对本讲的考察是：1．题型是1道选择题和解答题中小过程；2．热点内容是三角函数知识的综合应用和实际应用，这也是新课标教材的热点内教学过程：一．知识要点：1．任意角的概念规定:按逆时针方向旋转所形成的角叫正角,按顺时针方向旋转所形成的角叫负角。
如果一条射线没有做任何旋转,我们称它形成了一个零角。
2．终边相同的角、区间角与象限角3．弧度制：弧长：（是圆心角的弧度数），扇形面积：。
4．三角函数定义在的终边上任取一点,它与原点的距离.则；；。
5．三角函数线我们把这三条与单位圆有关的有向线段,分别叫做角的正弦线、余弦线、正切线，统称为三角函数线。
6．同角三角函数关系式7．诱导公式：可用十个字概括为“奇变偶不变，符号看象限”。
二．典例分析考点一：角的集合表示及象限角的判定典题导入已知角α＝45°，(1)在－720°～0°范围内找出所有与角α终边相同的角β；(2)设集合M ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪⎪ x ＝k 2×180°＋45°，k ∈Z ， N ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪⎪ x ＝k 4×180°＋45°，k ∈Z ，判断两集合的关系． (1)所有与角α有相同终边的角可表示为：O xy a 角的P T M Aβ＝45°＋k×360°(k∈Z)，则令－720°≤45°＋k×360°<0°，得－765°≤k×360°<－45°，解得－765360≤k<－45360，从而k＝－2或k＝－1，代入得β＝－675°或β＝－315°.(2)因为M＝{x|x＝(2k＋1)×45°，k∈Z}表示的是终边落在四个象限的平分线上的角的集合；而集合N＝{x|x＝(k＋1)×45°，k∈Z}表示终边落在坐标轴或四个象限平分线上的角的集合，从而：M N.由题悟法1．利用终边相同角的集合可以求适合某些条件的角，方法是先写出与这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过对集合中的参数k赋值来求得所需角．2．已知角α的终边位置，确定形如kα，π±α等形式的角终边的方法：先表示角α的范围，再写出kα、π±α等形式的角范围，然后就k的可能取值讨论所求角的终边位置．以题试法1．(1)给出下列四个命题：①－3π4是第二象限角；②4π3是第三象限角；③－400°是第四角限角；④－315°是第一象限角．其中正确的命题有(C )A．1个B．2个C．3个D．4个(2)如果角α是第二象限角，则π－α角的终边在第____一____象限．考点二：三角函数的定义典题导入(1)已知角α的终边上有一点P (t ，t 2＋1)(t >0)，则tan α的最小值为( B )A ．1B ．2 C.12D.2 (2)(2016·大庆模拟)已知角α的终边上一点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫sin 2π3，cos 2π3，则角α的最小正值为( D)A.5π6B.2π3C.5π3D.11π6由题悟法定义法求三角函数值的两种情况(1)已知角α终边上一点P 的坐标，则可先求出点P 到原点的距离r ，然后利用三角函数的定义求解．(2)已知角α的终边所在的直线方程，则可先设出终边上一点的坐标，求出此点到原点的距离，然后利用三角函数的定义求解相关的问题．若直线的倾斜角为特殊角，也可直接写出角α的三角函数值．以题试法2．(1)(2012·东莞调研)已知角α的终边与单位圆的交点P ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x ，32，则tan α＝(B)A. 3 B ．± 3 C.33 D ．±33(2)(2017·潍坊质检)已知角α的终边经过点P (m ，－3)，且cos α＝－45，则m 等于( C) A ．－114 B.114C ．－4D ．4考点三：扇形的弧长及面积公式典题导入(1)已知扇形周长为10，面积是4，求扇形的圆心角．(2)已知扇形周长为40，当它的半径和圆心角取何值时，才使扇形面积最大？解析： (1)设圆心角是θ，半径是r ，则⎩⎪⎨⎪⎧ 2r ＋rθ＝1012θ·r 2＝4⇒⎩⎪⎨⎪⎧ r ＝1，θ＝8(舍)，⎩⎪⎨⎪⎧ r ＝4，θ＝12，故扇形圆心角为12. (2)设圆心角是θ，半径是r ，则2r ＋rθ＝40.S ＝12θ·r 2＝12r (40－2r )＝r (20－r )＝－(r －10)2＋100≤100，当且仅当r ＝10时，S max ＝100.所以当r ＝10，θ＝2时，扇形面积最大．若本例(1)中条件变为：圆弧长度等于该圆内接正方形的边长，则其圆心角的弧度数是________．2由题悟法1．在弧度制下，计算扇形的面积和弧长比在角度制下更方便、简捷．2．记住下列公式：①l ＝αR ；②S ＝12lR ；③S ＝12αR 2.其中R 是扇形的半径，l 是弧长，α(0<α<2π)为圆心角，S 是扇形面积．以题试法3．若扇形的面积为定值，当扇形的圆心角为多少弧度时，该扇形的周长取到最小值？解：设扇形的圆心角为α，半径为R ，弧长为l ，根据已知条件12lR ＝S 扇，则扇形的周长为：l ＋2R ＝2S 扇R＋2R ≥4S 扇，当且仅当2S 扇R ＝2R ，即R ＝S 扇时等号成立，此时l ＝2S 扇，α＝l R＝2，因此当扇形的圆心角为2弧度时，扇形的周长取到最小值． 考点四：同角三角函数的基本关系式典题导入(1)(2012·江西高考)若tan θ＋1tan θ＝4，则sin 2θ＝( )A.15B.14C.13D.12(2)已知sin(3π＋α)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫3π2＋α，则sin α－4cos α5sin α＋2cos α＝________. 解析： (1)∵tan θ＋1tan θ＝4，∴sin θcos θ＋cos θsin θ＝4， ∴sin 2θ＋cos 2θcos θsin θ＝4，即2sin 2θ＝4，∴sin 2θ＝12. (2) 法一：由sin(3π＋α)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫3π2＋α得tan α＝2.原式＝tan α－45tan α＋2＝2－45×2＋2＝－16. 法二：由已知得sin α＝2cos α.原式＝2cos α－4cos α5×2cos α＋2cos α＝－16.在(2)的条件下，sin 2α＋sin 2α＝________.解析：原式＝sin 2α＋2sin αcos α＝sin 2α＋2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝tan 2α＋2tan αtan 2α＋1＝85. 由题悟法1．利用sin 2α＋cos 2α＝1可以实现角α的正弦、余弦的互化，利用sin αcos α＝tan α可以实现角α的弦切互化． 2．应用公式时注意方程思想的应用：对于sin α＋cos α，sin αcos α，sin α－cos α这三个式子，利用(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α，可以知一求二3．注意公式逆用及变形应用：1＝sin 2α＋cos 2α，sin 2α＝1－cos 2α，cos 2α＝1－sin 2α.以题试法4．(1)(2017·长沙模拟)若角α的终边落在第三象限，则cos α1－sin 2α＋2sin α1－cos 2α的值为( B ) A ．3 B ．－3 C ．1 D ．－1(2)已知sin α＝2sin β，tan α＝3tan β，则cos α＝___±64考点五：三角函数的诱导公式典题导入(1)tanπ＋αcos 2π＋αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫α－3π2cos －α－3πsin －3π－α＝________.(2)已知A ＝sin k π＋αsin α＋cos k π＋αcos α(k ∈Z )，则A 的值构成的集合是( )A ．{1，－1,2，－2}B ．{－1,1}C ．{2，－2}D ．{1，－1,0,2，－2}解析： (1)原式＝tan αcos αsin ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－2π＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫α＋π2cos 3π＋α[－sin 3π＋α]＝tan αcos αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π2＋α－cos αsin α＝tan αcos αcos α－cos αsin α＝－tan αcos αsin α＝－sin αcos α·cos αsin α＝－1. (2)当k 为偶数时，A ＝sin αsin α＋cos αcos α＝2；k 为奇数时，A ＝－sin αsin α－cos αcos α＝－2. 由题悟法利用诱导公式化简求值时的原则(1)“负化正”，运用－α的诱导公式将任意负角的三角函数化为任意正角的三角函数．(2)“大化小”，利用k ·360°＋α(k ∈Z )的诱导公式将大于360°的角的三角函数化为0°到360°的三角函数．(3)“小化锐”，将大于90°的角化为0°到90°的角的三角函数．(4)“锐求值”，得到0°到90°的三角函数后，若是特殊角直接求得，若是非特殊角可由计算器求得．以题试法5．(1)(滨州模拟)sin 600°＋tan 240°的值等于(B )A ．－32 B.32 C.3－12 D.3＋12(2)已知f (x )＝a sin(πx ＋α)＋b cos(πx －β)，其中α，β，a ，b 均为非零实数，若f (2 012)＝－1，则f (2 013)等于______1__．考点六：诱导公式在三角形中的应用典题导入解析：在△ABC 中，若sin(2π－A )＝－2sin(π－B )，3cos A ＝－2cos (π－B )，求△ABC 的三个内角．解析： 由已知得sin A ＝2sin B ，3cos A ＝2cos B 两式平方相加得2cos 2A ＝1，即cos A ＝22或cos A ＝－22. (1) 当cos A ＝22时，cos B ＝32，又角A 、B 是三角形的内角，∴A ＝π4，B ＝π6，∴C ＝π－(A ＋B )＝7π12. (2)当cos A ＝－22时，cos B ＝－32，又角A 、B 是三角形的内角，∴A ＝3π4，B ＝5π6，不合题意．综上知，A ＝π4，B ＝π6，C ＝7π12. 由题悟法1．诱导公式在三角形中经常使用，常用的角的变形有：A ＋B ＝π－C,2A ＋2B ＝2π－2C ，A 2＋B 2＋C 2＝π2等，于是可得sin(A ＋B )＝sin C ，cos A ＋B2＝sin C 2等；2．求角时，通常是先求出该角的某一个三角函数值，再结合其范围，确定该角的大小．以题试法6．在三角形ABC 中，(1)求证：cos 2A ＋B2＋cos 2C2＝1；(2)若cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π2＋A sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫32π＋B tan (C －π)<0，求证：三角形ABC 为钝角三角形．课题：三角函数的图像与性质（共 3 课时）教学目标：1．能画出y =sin x , y =c os x , y =t a n x 的图像，了解三角函数的周期性；2．借助图像理解正弦函数、余弦函数在，正切函数在（－π/2，π/2）上的性质（如单调性、最大和最小值、图像与x 轴交点等）；3．结合具体实例，了解y =A sin （w x +φ）的实际意义；能借助计算器或计算机画出y =A sin （w x +φ）的图像，观察参数A ，w ，φ对函数图像变化的影响。
三角函数线教学设计
三角函数线教学设计教学分析学习本节前,学生已经掌握任意角三角函数的定义,但这是在“数”的角度上认识三角函数的，我们还可以从“形”的角度去考察任意角的三角函数, 即用有向线段表示三角函数值，这也是三角函数与其它基本初等函数不同的地方。
本节课所学习的三角函数线是正弦线、余弦线、正切线，它们分别是正弦、余弦、正切函数的一种几何表示，它们都是与单位圆有关的平行于坐标轴的有向线段。
用有向线段表示三角函数值,可实现数与形的完美结合,我们将利用数形结合的思想方法巧妙求解三角方程和三角不等式，使得对三角函数的研究大为简化；在后继的学习中，我们将会用三角函数线“探究”同角三角函数的平方关系式，利用平移三角函数线的方法画出正弦函数、余弦函数、正切函数的图象。
由此可见，学好三角函数线是学习三角函数图象的基石，它在本章的地位是极其重要的，它在培养学生数形结合（特别是“以形解数”）的能力上有着巨大的潜在作用。
知识与技能1、借助单位圆理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义2、能利用与单位圆有关的有向线段,将任意角α的三角函数函数值表示出来3、能用三角函数线解决简单的三角不等式过程与方法：1、经历三角函数中数值与线段长度的转换过程，理解三角函数线是三角函数的一种几何表示。
2、通过应用三角函数线解决三角不等式问题初步体会数形结合思想。
情感、态度与价值观：感受用几何观点描述三角函数定义的统一性和简洁美。
重点难点教学重点:用三角函数线表示任意角的三角函数值。
教学难点:利用三角函数线解决简单三角不等式。
教具：电脑、投影仪等课时安排1课时导入新课情境导入：同学们都在一些旅游景地或者在公园中见过大观览车,大家是否想过大观览车在转动过程中,座椅离地面的高度随着转动角度的变化而变化,二者之间有怎样的相依关系呢?复习导入：我们研究了三角函数在各象限内的符号,学习了将任意角的三角函数化成0°—360°角的三角函数的一组公式,前面还分析讨论了三角函数的定义域,这些内容的研究,都是建立在任意角的三角函数定义之上的,这些知识在以后我们继续学习“三角”内容时,是经常、反复运用的,请同学们务必在理解的基础上要加强记忆.由三角函数的定义我们知道,对于角α的各种三角函数我们都是用比值来表示的,或者说是用数来表示的,今天我们再来学习正弦、余弦、正切函数的另一种表示方法——几何表示法.我们知道,直角坐标系内点的坐标与坐标轴的方向有关.因此自然产生一个想法是以坐标轴的方向来规定有向线段的方向,以使它们的取值与点的坐标联系起来.推进新课提出问题问题①:回忆上节课学习的三角函数定义并思考:三角函数的定义能否用几何中的方法来表示,应怎样表示呢?问题②:回忆初中学过的线段,若加上方向会怎样呢?什么是有向线段?活动:指导学生在平面直角坐标系内作出单位圆,设任意角α的顶点在原点,始边与x轴的非负半轴重合,终边与单位圆相交于点P(x,y),x轴的正半轴与单位圆相交于A(1,0),过P作x轴的垂线,垂足为M;过A作单位圆的切线,这条切线必平行于y轴(垂直于同一条直线的两直线平行),设它与角α的终边或其反向延长线交于点T.教师点拨学生观察线段的方向与点P的坐标.显然,线段OM的长度为|x|,线段MP的长度为|y|,它们都只能取非负值.当角α的终边不在坐标轴上时,我们可以把OM、MP都看作带有方向的线段:如果x>0,OM与x轴同向,规定此时OM具有正值x;如果x<0,OM与x轴正向相反(即反向),规定此时OM具有负值x,所以不论哪一种情况,都有OM=x.如果y>0,把MP看作与y轴同向,规定此时MP具有正值y;如果y<0,把MP看作与y 轴反向,规定此时MP 具有负值y,所以不论哪一种情况,都有MP=y.引导学生观察OM 、MP 都是带有方向的线段,这种被看作带有方向的线段叫做有向线段.于是,根据正弦、余弦函数的定义,就有 sinα=r y =1y =y=MP, cosα=r x =1x =x=OM. 这两条与单位圆有关的有向线段MP 、OM 分别叫做角α的正弦线、余弦线. 类似地,我们把OA 、AT 也看作有向线段,那么根据正切函数的定义和相似三角形的知识,就有tanα=x y =OAAT =AT. 这条与单位圆有关的有向线段AT,叫做角α的正切线.讨论结果:①能.②被看作带有方向的线段叫做有向线段.提出问题问题①:怎样把三角函数线与有向线段联系在一起?问题②:正弦线、余弦线、正切线在平面直角坐标系中是怎样规定的?当角α的终边变化时,它们有什么变化?活动:师生共同讨论,最后一致得出以下几点:(1)当角α的终边在y 轴上时,余弦线变成一个点,正切线不存在.(2)当角α的终边在x 轴上时,正弦线、正切线都变成点.(3)正弦线、余弦线、正切线都是与单位圆有关的有向线段,所以作某角的三角函数线时,一定要先作单位圆.(4)线段有两个端点,在用字母表示正弦线、余弦线、正切线时,要先写起点字母,再写终点字母,不能颠倒;或者说,含原点的线段,以原点为起点,不含原点的线段,以此线段与x 轴的公共点为起点.(5)三种有向线段的正负与坐标轴正反方向一致,三种有向线段的数量与三种三角函数值相同.正弦线、余弦线、正切线统称为三角函数线.讨论结果:①略.②略. 例题讲解例题1： 作出3π4的正弦线、余弦线和正切线． 例题小结： 1.作正弦线、余弦线时，首先找到角的终边与单位圆的交点，然后过此交点作x 轴的垂线，得到垂足，从而得正弦线和余弦线．2．作正切线时，应从点A (1,0)引单位圆的切线，交角的终边或终边的反向延长线于一点T ，即可得到正切线AT →.变式训练：作出α＝－4π3的正切线例2：如图，已知角α的终边是OP ，角β的终边是OQ ，试在图中作出α、β的三角函数，然后用不等号填空：(1)sin α________sin β；(2)cos α________cos β；(3)tan α________tan β.例题小结：利用单位圆中的三角函数线比较三角函数值的大小时，分三步：①作出角的终边与单位圆的交点；②作出三角函数线；③比较三角函数线的数量的大小，同时要注意符号．变式训练：利用三角函数线比较下列各组数的大小：(1)sin 2π3与sin 4π5；(2)tan 2π3与tan 4π5.例3：利用单位圆中的三角函数线，求满足1sin 2α=的 角α的值的集合活动:引导学生画出单位圆,对于(1),可设角α的终边与单位圆交于A(x,y),则sinα=y,所以要作出满足sinα=21的终边,只要在单位圆上找出纵坐标为21的点A,则OA 即为角α的终边;对于(2),可先作出满足sinα=21的角的终边,然后根据已知条件确定角α的范围. 解:(1)作直线y=21交单位圆于A 与B 两点,连结OA,OB,则OA 与OB 为角α的终边,如图所示.故满足条件的角α的集合为{α|α=2kπ+6π或α=2kπ+65π,k ∈Z }. (2)作直线y=21交单位圆于A 与B 两点,连结OA,OB,则OA 与OB 围成的区域(如图中的阴影部分)即为角α的终边所在的范围.故满足条件的角α的集合为{α|2kπ+6π≤α≤2kπ+65π,k ∈Z }. 例题小结：在解简单的特殊值(如±21,22等)的等式或不等式时,应首先在单位圆内找到对应的终边(作纵坐标为特殊值的直线与单位圆相交,连结交点与坐标原点作射线),一般情况下,用(0,2π)内的角表示它,然后画出满足原等式或不等式的区域,用集合表示出来.变式训练1、已知sinα≥21,求角α的集合. 解:作直线y=21交单位圆于点P,P′,则sin ∠POx=sin ∠P′Ox=21,在［0,2π)内∠POx=6π,∠P′Px=65π. ∴满足条件的集合为{α｜2kπ+6π≤α≤2kπ+65π,k ∈Z }. 2、利用单位圆中的三角函数线求－12≤cos α<32中角α的取值范围．解：如图，作直线x ＝－12，x ＝32与单位圆相交．则图中阴影部分就是满足条件的角α的取值范围，即2k π－2π3≤α<2k π－π6或2k π＋π6<α≤2k π＋2π3(k ∈Z )．3：利用单位圆中的三角函数线求tan 3α≥中角α的取值范围．知能训练课本本节练习.解答:1.终边在不同位置的角对应的三角函数值的情况,包括三角函数值的符号情况,终边相同的角的同一三角函数的值相等.点评:利用单位圆中的三角函数线认识三角函数的性质,对未学性质的认识不作统一要求.2.(1)如图11所示,图11(2)(3)(4)略.点评:作已知角的三角函数线.3.225°角的正弦、余弦、正切线的长分别为3.5 cm 、3.5 cm 、5 cm;330°角的正弦、余弦、正切线的长分别为2.5 cm 、4.3 cm 、2.9 cm,其中5,2.5是准确数,其余都是近似数(图略). sin225°=55.3-=-0.7,cos225°=55.3-=-0.7,tan225°=-1; sin330°=-0.5,cos330°=53.4=0.86,tan330°=59.2-=-0.58. 点评:进一步认识单位圆中的三角函数线.4.三角函数线是三角函数的几何表示,它直观地刻画了三角函数的概念,与三角函数的定义结合起来,可以从数和形两方面认识三角函数的定义,并使得对三角函数的定义域、函数值符号的变化规律、公式一等的理解容易了.点评:反思单位圆中的三角函数线对认识三角函数概念的作用.课堂小结本节课我们学习了有向线段的定义,正弦线、余弦线、正切线的定义,这三种三角函数线都是一些特殊的有向线段,其之所以特殊,一是其与坐标轴平行(或重合),二是其与单位圆有关,这些线段分别都可以表示相应三角函数的值,所以说它们是三角函数的一种几何表示.三角函数线是利用数形结合的思想解决有关问题的重要工具,利用三角函数线可以解或证明三角不等式,求函数的定义域以及比较大小,三角函数线也是后面将要学习的三角函数的图象的作图工具.作业：1、如果π4<θ<π2，那么下列各式正确的是()A．cosθ<tanθ<sinθB．sinθ<cosθ<tanθC．tanθ<sinθ<cosθD．cosθ<sinθ<tanθ课后探究利用单位圆和三角函数线证明:若α为锐角,则(1)sinα+cosα>1;(2)sin2α+cos2α=1.证明:如图,记角α与单位圆的交点为P,过P作PM⊥x轴于M,则sinα=MP,cosα=OM.(1)在Rt△OMP中,MP+OM>OP,即sinα+cosα>1.(2)在Rt△OMP中,MP2+OM2=OP2,即sin2α+cos2α=1.教学反思：对于三角函数线,开始时学生可能不是很理解,教师应该充分发挥好图象的直观作用,让学生通过图形来感知、了解三角函数线的定义.在学生理解了正弦线、余弦线、正切线的定义后,教师应引导学生会利用三角函数线来发现、总结、归纳正弦函数、余弦函数、正切函数的性质.以便为以后更好地学习三角函数的图象和性质打下良好的基础.教师要让学生对三角函数线了解即可,要让学生利用任意角的三角函数线来感知对应的三角函数图象的变化趋势,不要再向深处挖掘,因为三角函数线能解决的问题都可以用三角函数的图象来解决.教师在教学中要搞好师生互动,让学生自己动脑、动手,多启发学生善于发现问题、提出问题、解决问题的能力,让学生学会独立思考和归纳总结知识的能力.。
单位圆与三角函数线教案
结论：1、单位圆 2、三角函数线
学生总结
教学重点：正确的用三角函数线表示任意角的三角函数值
三、应用训练 例1、 分别作出下列角的正弦线、余弦线、正切线
教学难点：正确的用与单位圆有关的三角函数线表示三角函数值 “问题探究式”教学法，通过学生发现问题、分析问题和解决问题的过程，让学生主动 参与到教学和学习活动中来，形成以学生为中心的探究性学习活动。 教师活动 学生活动 一、复习引入 二、探求新知 问题 1： 设角α终边与单位圆相交于点 P,当角α是第一象限角时， 能否在坐标轴上找两个以原点为起点的向量,使 P 点的坐标分别 是这两个向量的数量？ ？ 问题 2：当终边在第一象限时，角α的正余弦与 P 的纵、横坐标 之间有何关系？ ？ 问题 3： 学生自由作答 学生回答
探究：
分组讨论，并派代表 回答问题 观察下列不等式： ：
α是二、三、四象限时向 量ON ( MP ),
OM的数量与角 α的正余弦值是否相等？
sin
π
问题 4：α是第一象限角，能否在坐标系中找到一个垂直于 x 轴 向量，使它的数量为α的正切？ 问题 5：角α是第二、三、四象限的角时能否找到一个垂直于 x
sin
π
3
6
<
π
6
< tan
π
6
sin
π
4
<
π
4
< tan
π
4
ห้องสมุดไป่ตู้
<
π
3
< tan
π
3
你有什么一般猜想？
-1-
-2-
《单位圆与三角函数线》 单位圆与三角函数线》
1.2.2 单位圆与三角函数线 教 学 目 标
三角函数的定义及应用教学教案【优秀4篇】
三角函数的定义及应用教学教案【优秀4篇】（经典版）编制人：__________________审核人：__________________审批人：__________________编制单位：__________________编制时间：____年____月____日序言下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。
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三角函数的教案设计
三角函数的教案设计三角函数一. 教学内容：三角函数（结构）二、要求（一）理解任意角的概念、弧度的意义、正确进行弧度与角度的换算；掌握任意角三角函数的定义、会利用单位圆中的三角函数线表示正弦、余弦、正切。
（二）掌握三角函数公式的运用（即同角三角函数基本关系、诱导公式、和差及倍角公式）（三）能正确运用三角公式进行简单三角函数式的化简、求值和恒等式证明。
（四）会用单位圆中的三角函数线画出正弦函数、正切函数的图线、并在此基础上由诱导公式画出余弦函数的图象、会用“五点法”画出正弦函数、余弦函数及Y=Asin（ωx φ）的简图、理解A、ω、 < 1271864542"> 的意义。
三、热点分析1. 近几年高考对三角变换的考查要求有所降低，而对本章的内容的考查有逐步加强的趋势，主要表现在对三角函数的图象与性质的考查上有所加强.2. 对本章内容一般以选择、填空题形式进行考查，且难度不大，从1993年至2002年考查的内容看，大致可分为四类问题（1）与三角函数单调性有关的问题；（2）与三角函数图象有关的问题；（3）应用同角变换和诱导公式，求三角函数值及化简和等式证明的问题；（4）与周期有关的’问题3. 基本的解题规律为：观察差异（或角，或函数，或运算），寻找联系（借助于熟知的公式、或技巧），分析综合（由因导果或执果索因），实现转化.解题规律：在三角函数求值问题中的解题思路，一般是运用基本公式，将未知角变换为已知角求解；在最值问题和周期问题中，解题思路是合理运用基本公式将表达式转化为由一个三角函数表达的形式求解.4. 立足课本、抓好基础.从前面叙述可知，我们已经看到近几年高考已逐步抛弃了对复杂三角变换和特殊技巧的考查，而重点转移到对三角函数的图象与性质的考查，对基础知识和基本技能的考查上来，所以在中首先要打好基础.在考查利用三角公式进行恒等变形的同时，也直接考查了三角函数的性质及图象的变换，可见高考在降低对三角函数恒等变形的要求下，加强了对三角函数性质和图象的考查力度.四、复习建议本章内容由于公式多，且习题变换灵活等特点，建议同学们复习本章时应注意以下几点：（1）首先对现有公式自己推导一遍，通过公式推导了解它们的内在联系从而培养逻辑推理。
高中数学说课稿：《三角函数》5篇
高中数学说课稿：《三角函数》高中数学说课稿：《三角函数》精选5篇（一）尊敬的各位老师，大家好！我今天将为大家带来一堂关于高中数学的说课，主题是《三角函数》。
首先，我将介绍本节课的教学目标。
本节课的目标主要分为两个方面。
一方面，通过学习三角函数的定义和性质，学生能够掌握三角函数的概念，能够正确计算各种三角函数的值。
另一方面，通过解决实际问题，培养学生运用三角函数解决实际问题的能力。
接下来，我将介绍教学内容和教学方法。
本节课主要包括以下几个方面的内容：三角函数的定义，正弦、余弦、正切等三角函数的计算、特殊角的三角函数值、利用三角函数解决实际问题等。
在教学过程中，我将采用多种教学方法，如讲解、示例演示和练习等。
通过讲解，我将向学生详细解释三角函数的定义和性质，帮助学生理解概念。
通过示例演示，我将给学生展示一些具体的计算过程，帮助学生掌握计算方法。
通过练习，我将让学生运用所学知识解决一些实际问题，提高他们的实际运用能力。
在教学过程中，我将注重培养学生的思维能力和合作能力。
我将通过一些启发式的问题，引导学生思考，提高他们的问题解决能力和创新能力。
同时，我会鼓励学生之间互相合作，通过小组讨论和合作解决问题，培养他们的团队合作精神。
最后，我将介绍评价方式和教学反思。
在评价方面，我将采用多种方式，如课堂练习、小组合作和个人表现等，综合评价学生的学习情况和能力。
在教学反思方面，我将根据学生的反馈和自己的观察，总结优点和不足，进一步改进教学方法，提高教学效果。
通过本节课的学习，学生能够掌握三角函数的概念和计算方法，能够灵活运用三角函数解决实际问题。
同时，通过课堂互动和合作，学生也能够培养自己的思维能力和合作能力。
谢谢大家！高中数学说课稿：《三角函数》精选5篇（二）敬爱的各位领导、同事们，亲爱的同学们：大家好！我是数学老师张老师，今天我将给大家讲解高中数学中的一个重要概念——函数的单调性。
希望通过本节课的学习，大家能够理解函数的单调性，掌握相关的解题方法和技巧。
1.2.1《三角函数线》(课件人教新课标)
1. 三角函数线是三角函数的一种几何表示， 即用有向线段表示三角函数值，是今后进一步 研究三角函数图象的有效工具.
2. 正弦线的始点随角的终边位置的变化而 变化，余弦线和正切线的始点都是定点，分 别是原点O和点A（1，0）.
y
正弦线
M
余弦线
像OM、MP这种被看作带有方向的线段， 叫做有向线段.
有向线段：带有方向的线段. 如: 有向线段OM,始点为O点， 终点为M点，方向为：由O点 指向M点
根据实际需要，我们规定： OM与X轴同向时，方向为正向； OM与X轴反向时，方向为负向.
思考
（2）你能借助单位圆，找到一条如OM、 MP一样的线段来表示角α的正切吗？
探究3、正切线
MP AT OM OA
过点A(1,0)作单位 圆的切线,设它与α 的终边(或其反向延 长线)相交于点T.
正切线 y
有向线段AT叫
O
角α的正切线
思考：若角α为第二象限角，其终边与单位圆的交
点为P（x，y），则
是负数，此时用哪条
有向线段表示角α的正切值最合适？
y
P
αA
MO
x
T
思考：若角α为第三象限角，其终边与单位圆的交
y 3 2
P2
P1
O
或2
33
变式 在0～2 内，求使
范围.
sin
3 成立的α的取值
2
y
y 3 2
P2
P P1
OM
x
y
P2
P2PΒιβλιοθήκη OMxP1
P1
x1
2
思考：视察下列不等式： 你有什么一般猜想？
引申：对于不等式 sinα<α<tanα （其中α为锐角），你能用数形结合思 想证明吗？
三角函数线的教学设计与反思
三角函数线的教学设计与反思穆乃云教材地位分析与学生现实分析：1. 教材地位的分析：三角函数是中学数学的重要内容之一，而三角函数线的概念及其应用不仅体现了数形结合的数学思想，又贯穿整个三角函数的教学.借助三角函数线可以推出三角函数公式，求解三角函数不等式，探索三角函数的图像和性质，……可以说,三角函数线是研究三角函数的有利工具.2．学生现实分析：学习本节前,学生已经掌握任意角三角函数的定义,三角函数值在各象限的符号,以及诱导公式一,为三角函数线的寻找做好了知识准备.高一上学期研究指数函数、对数函数图像时,已带领学生学习了几何画板的基础知识，现在他们已经具备初步的几何画板应用能力，能够制作简单的动画，开展数学实验.教学目标：1．知识与技能: 使学生掌握如何利用单位圆中的有向线段分别表示任意角的正弦、余弦、正切函数值,并能利用三角函数线解决一些简单的三角函数问题.2．过程与方法: 借助几何画板让学生经历概念的形成过程，提高学生观察、发现、类比、猜想和实验探索的能力；在课后开展研究性学习，让学生借助所学知识自己去发现新问题，并加以解决，提高学生抽象概括、分析归纳、数学表述等基本数学思维能力.3．情感态度与价值观：激发学生对数学研究的热情，培养学生勇于发现、勇于探索、勇于创新的精神；通过学生之间、师生之间的交流合作，实现共同探究、教学相长的教学情境.教学重点与难点1．重点：三角函数线的作法及其简单应用.2．难点：利用与单位圆有关的有向线段，将任意角的正弦、余弦、正切函数值分别用它们的几何形式表示出来.教学方法与与教学手段1．教法选择：“设置问题，探索辨析，归纳应用，延伸拓展”——探究式教学.2．学法指导：类比、联想，产生知识迁移；观察、实验，体验知识的形成过程；猜想、求证，达到知识的延展.3．教学手段：本节课充分利用多媒体和网络，学生利用几何画板软件探讨数学问题，做数学实验;借助合作交流发表各自的观点,展示自己的才能.教学过程一、创设问题情境前面我们学习了角的弧度制，角α弧度数的绝对值rl =α，其中l 是以角α作为圆心角时所对弧的长，r 是圆的半径.特别地, 当r =1时，l =α,此时的圆称为单位圆，这样就可以用单位圆中弧的长度表示所对圆心角弧度数的绝对值，那么能否用几何图形来表示任意角的正弦、余弦、正切函数值呢？这就是我们今天一起要研究的问题.设计意图：既可以引出单位圆，又可以使学生通过类比联想主动、快速的探索出三角函数值的几何形式.二、解释有向线段：有向线段是带有方向的线段.（1）方向：按书写顺序，前者为起点，后者为终点，由起点指向终点. 如：有向线段OM,O 为起点，M 为终点，由O 点指向M 点.（动态演示） (2) 数值：（只考虑在坐标轴上或与坐标轴平行的有向线段）绝对值等于线段的长度，若方向与坐标轴同向，取正值;与坐标轴反向，取负值.如：OM= 1, ON= -1, AP = 21设计意图：相关概念的学习分散了教学难点,使学生能够更多的围绕重点展开探索和研究.三、探索研究1.(复习提问)任意角α的正弦如何定义?角α的终边上任意一点P(除端点外)的坐标是（y x ,），它与原点的距离是r, 比值ry 叫做α的正弦. 思考:能否用几何图形表示出角α的正弦呢?学生联想角的弧度数与弧长的转化, 类比猜测:若令r=1，则y =αsin .取角α的终边与单位圆的交点为P,过点P 作x 轴的垂线，设垂足为M ，则有向线段MP=αsin =y .(学生分析的同时,教师用几何画板演示)请学生利用几何画板作出垂线段MP,并改变角的终边位置,观察终边在各个位置的情形,注意有向线段的方向和正弦值正负的对应.特别地,当角的终边在x 轴上时,有向线段MP 变成一个点,记数值为0.这条与单位圆有关的有向线段MP 叫做角α的正弦线.O M设计意图：让学生深刻理解三角函数线的概念，就应该让学生主动去探索，大胆去实践，亲身体验知识的发生和发展过程.2.思考:用哪条有向线段表示角α的余弦比较合适?并说明理由.请学生用几何画板演示说明.有向线段OM 叫做角α的余弦线.3. αtan xy =如何用有向线段表示？ 讨论焦点：若令x =1, 则y =αtan =AT ，但是第二、三象限角的终边上没有横坐标为1的点，若此时取x =-1的点T ‘，tan α=-y =T ‘A ‘,有向线段的表示方法又不能统一.引导观察：当角的终边互为反向延长线时，它们的正切值有什么关系？统一认识： 方案1：在象限角的终边或其反向延长线上取x =1的点T ，则tan α=y =AT ； 方案2：借助正弦线、余弦线以及相似三角形知识得到αtan OM MP x y ===AT OAAT =. 设计意图：教师和学生都处在自由状态，可以不受框框的束缚，充分表达各自的意见，在自己积极思维的同时又能感受他人不同的思维方式，从而打破自己的封闭状态，进入更加广阔的领域.四、作法总结,变式演练正弦线，余弦线，正切线统称为三角函数线。
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2．练习三角函数线的作图.
八、板书设计
1.2 三角函数线
1.三角函数的定义： ；
2.像 这种被看作带有方向的线段，叫做有向线段。
3.把这三条与单位圆有关的有向线段 ,分别叫做角 的正弦线、余弦线、正切线，统称为三角函数线.
4.例题讲解
5.学习小结
九、课后反思
通过这节课，学生了解有向线段的概念，知道如何利用与单位圆有关的有向线段，将任意角 的正弦、余弦、正切函数值分别用正弦线、余弦线、正切线表示出来，体会三角函数线的简单应用，学生的掌握情况良好。不足之处就是学生分析讨论方面能力不足，还有待加强。
二、学情分析（说明学生学习本内容可能遇到的知识和能力困难）
学生过去习惯于用角的终边上点的坐标的“比值”来定义，但是不能表现出从锐角三角函数到任意角的三角函数的推广，而三角函数线的引入有利于引导学生从自己已有认知基础出发学习三角函数.
三、教学目标（根据课程标准要求和学生实际情况，指向学科核心内容、学生核心素养的发展进阶，预设要达到的知识、能力和态度的学习结果。可分条表述）
重点:三角函数线的正确理解.
难点:三角函数线的实际应用.
五、教学策略选择（说明主要采用的教学方法、手段和活动设计等）
任意角的三角函数可以有不同的定义方法，本节利用三角函数线定义任意角的正弦函数、余弦函数、正切函数.表明了正弦、余弦、正切函数中从自变量到函数值之间的对应关系，也表明了这两个函数之间的关系.另外，这样的定义使得三角函数所反映的数与形的关系更加直接，数形结合更加紧密，这就为后续内容的学习带来方便，也使三角函数更加好用了.
(1)了解有向线段的概念.
(2)了解如何利用与单位圆有关的有向线段，将任意角 的正弦、余弦、正切函数值分别用正弦线、余弦线、正切线表示出来.
(3)体会三角函数线的简单应用.
学生独立完成
学以致用，总结完成
七、教学评价设计（说明针对教学目标的达标检测内容和方法）
1．作业：
比较下列各三角函数值的大小(不能使用计算器)
1、知识与技能
（1）理解任意角的三角函数不同的定义方法；（2）了解如何利用与单位圆有关的有向线段，将任意角α的正弦、余弦、正切函数值分别用正弦线、余弦线、正切线表示出来；
2、过程与方法
根据角终边所在位置不同, 主要是借助有向线段进一步认识三角函数以及这三种函数的值在各象限的符号.最后.讲解例题，总结方法，巩固练习.
3、情态与价值
任意角的三角函数可以有不同的定义方法，而且各种定义都有自己的特点.过去习惯于用角的终边上点的坐标的“比值”来定义，这种定义方法能够表现出从锐角三角函数到任意角的三角函数的推广，有利于引导学生从自己已有认知基础出发学习三角函数.
四、教学重点及难点（确定教学重点和难点，并简要说明强化重点和突破难点的策略）
六、教学过程（说明本节课教学的环节、具体的活动、所需的资源支持及其主要环节设计意图）
教学环节
教师活动
预设学生活动
设计意图
复习回顾
1.三角函数的定义式（一）：终边相同的角的同一三角函数的值相等；
学生回答
复习三角函数代数表达形式
探究新知
角是一个图形概念，也是一个数量概念（弧度数）.作为角的函数——三角函数是一个数量概念（比值），但它是否也是一个图形概念呢？换句话说，能否用几何方式来表示三角函数呢？
共同分析探究
引入三角函数的几何表达形式
思考
（1）为了去掉上述等式中的绝对值符号，能否给线段 、 规定一个适当的方向，使它们的取值与点 的坐标一致？
（2）你能借助单位圆，找到一条如 、 一样的线段来表示角 的正切值吗？
学生讨论
引出新知
例题讲解
师生共同分析解答
目的体会三角函数线的用处和实质
当堂检测、小结
学科教学设计模板：
教学设计
课程名称
1.2 三角函数线（第三课时）
姓名
XX
工作单位
XX
区县
崆峒区
年级
XX
学科
数学
教材版本
人教A版必修四
一、教学内容分析（对教学内容进行知识和能力要素分析，说明它的地位和作用）
任意角的三角函数可以有不同的定义方法，本节利用三角函数线定义任意角的正弦函数、余弦函数、正切函数.表明了正弦、余弦、正切函数中从自变量到函数值之间的对应关系，也表明了这两个函数之间的关系.另外，这样的定义使得三角函数所反映的数与形的关系更加直接，数形结合更加紧密，这就为后续内容的学习带来方便。