七年级数学下册《实数》全章复习与巩固(提高)知识讲解及例题
实数知识点及典型例题
实数知识点及典型例题一、实数知识点。
（一）实数的分类。
1. 有理数。
- 整数：正整数、0、负整数统称为整数。
例如：5，0，-3。
- 分数：正分数、负分数统称为分数。
分数都可以表示为有限小数或无限循环小数。
例如：(1)/(2)=0.5，(1)/(3)=0.333·s。
- 有理数：整数和分数统称为有理数。
2. 无理数。
- 无理数是无限不循环小数。
例如：√(2)，π，0.1010010001·s（每两个1之间依次多一个0）。
3. 实数。
- 有理数和无理数统称为实数。
（二）实数的相关概念。
1. 数轴。
- 规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴。
- 实数与数轴上的点是一一对应的关系。
2. 相反数。
- 只有符号不同的两个数叫做互为相反数。
a的相反数是-a，0的相反数是0。
例如：3与-3互为相反数。
- 若a、b互为相反数，则a + b=0。
3. 绝对值。
- 数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作| a|。
- 当a≥slant0时，| a|=a；当a < 0时，| a|=-a。
例如：| 5| = 5，| -3|=3。
4. 倒数。
- 乘积为1的两个数互为倒数。
a(a≠0)的倒数是(1)/(a)。
例如：2的倒数是(1)/(2)。
（三）实数的运算。
1. 运算法则。
- 加法法则：同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；异号两数相加，绝对值相等时和为0，绝对值不等时，取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；一个数同0相加，仍得这个数。
- 减法法则：减去一个数等于加上这个数的相反数。
- 乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；任何数同0相乘都得0。
- 除法法则：除以一个数等于乘以这个数的倒数（除数不为0）。
2. 运算律。
- 加法交换律：a + b=b + a。
- 加法结合律：(a + b)+c=a+(b + c)。
- 乘法交换律：ab = ba。
初中数学实数部分复习及例题讲解
初中数学实数部分复习及例题讲解实数的复习学习目标：1. 了解数集概念及实数在代数部分所体现的基础性与重要性，会用数轴。
2. 巩固实数概念，平方根的广泛应用，正确使用科学记数法、近似数及有效数字。
3. 实数范围内，掌握多则运算，因式分解受数集大小的影响。
二. 重点、难点1. 实数及其分类①②③小数(即实数)④无理数不可化成分数。
无理数有两种形式，一种类似于的形式，另一种开不尽的数。
2. 数轴：是初中阶段数形结合的基础。
①三要素：原点、正方向、单位长度②实数与数轴上的点一一对应③距离公式3. 相反数①a的相反数是-a，0的相反数是0，成对出现;②a，b互为相反数③数轴上看，分居在原点两边，到原点距离相等4. 倒数①非零数a的倒数是，0没有倒数，也成对出现，的倒数是它本身;②a，b互为倒数;③数轴上看“三点四段”④实数范围内认识倒数5和，和，和，和，和和⑤负倒数5. 绝对值非负数①②数轴上看，a的绝对值就是数a所表示点到原点的距离。
③性质：<1><2><3>且<4>，特别地<5>6. 实数比大小①利用数轴;②利用绝对值比负数大小;③利用差④利用商比两正数大小a>0 b>0⑤利用平方比两正数大小a>0 b>0⑥利用被开方数⑦利用幂的性质比幂的大小或数的大小7. 平方根①叫a的平方根，记作;②正数有两个平方根算术平方根和负的平方根;0的平方根是0;负数没有平方根;③算术平方根非负数;④8. 立方根9. 非负数，正数和零统称非负数①;三种非负数②非负数之和仍为非负数，特别地，分别为零时和为零;③非负数之积为非负数，特别地，至少有一个为零时积为零;10. 完全平方数如果一个正数恰好是另一个有理数的平方，那么这个正数叫完全平方数，0也是完全平方数。
11. 科学记数法中，n整数，当N>1时，n等于N的整数位数减1，当时，n为负整数。
实数(全章复习与巩固)(巩固篇)(专项练习)-七年级数学下册基础知识专项讲练(沪科版)
专题6.12 实数（全章复习与巩固）（巩固篇）（专项练习）一、单选题1．在下列各数中，无理数是（ ） A ．237B 38-C 916D ．4π 2．下列说法正确的是（ ） A ．117是无理数 B 5 C ．π2是无理数D ．22是有理数 3．下列等式正确的是（ ） A ．()255-- B 93=± C 382±D 3355--4．一个长、宽，高分别为50cm 、8cm 、20cm 的长方体铁块锻造成一个立方体铁块，则锻造成的立方体铁块的棱长是（ ）A ．20cmB ．200cmC ．40cmD 80cm5．若32x =-( ) A ．32x =-B ．32x =-C ．(-x)3=-2D ．x=(-2)36．已知x ，y 为实数，且22994y x x --，则x y -=（ ） A ．﹣1B ．﹣7C ．﹣1或﹣7D ．1或﹣77．若24,a =31b =-，则a b +的值是（ ） A ．1B ．-3C ．1或-3D ．-1或38．已知x ，y 两个实数在数轴上位置如图所示，则化简()2y x x y --（ ）A ．2xB ．2yC ．22x y -D ．22y x -9．如图，在数轴上点A 表示的实数是（ ）A 5B 51C 31D 310．如图，数轴上表示12A 、B ，点B 关于点A 的对称点是C ，设C 点表示的数为x ，则2x ）A ．12B ．1+2C 21D ．2二、填空题1149的算术平方根是______64______． 128x -3x ____________．13()2460x y -+=，那么2x y -的平方根为_______． 14．已知：23+m ，小数部分为n ，则2m n -＝_____．15．已知实数a 、b 在数轴上的对应点如图，化简||a a b c b -++-=_________．16101-89．（填“>”或“<”）17．设 a 、b 是有理数，且满足等式2322152a b b ++=-则a+b=___________． 18．对于能使式子有意义的有理数,a b ，定义新运算：a △b 22a ba b+=-．如果1230x y xz -++=则x △（y △z ）= _____ ．三、解答题19．在数轴上表示下列各数，并将这些数按从小到大的顺序用“＜”连接起来． 2，52，038-π-．20．求下列各式中x 的值： (1) 240x -=；(2) 3(1)8x +=．21．化简求值：(1) 已知a 1713b =54ab +(2) 已知：实数a ，b 323(1)2(1)||a b a b -----．22．计算：(1) 2338125(2)---(2) 2722(7)π-(3) 331631270.1251464--(4) 233416(3)22--．23．如图，每个小正方形的边长均为1．(1) 图中阴影部分的面积是______；阴影部分正方形的边长a 是______． (2) 估计边长a 的值在两个相邻整数______与______之间．(3) 我们知道π是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此π的小数部分我们不可能全部写出来，我们可以用3来表示它的整数部分，用()3π-表示它的小数部分．设边长a 的整数部分为x ，小数部分为y ，求()x y -的相反数．24．数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起对应关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础．小白在草稿纸上画了一条数轴进行操作探究：操作一：（1）折叠纸面，若使表示的点1与﹣1表示的点重合，则﹣2表示的点与表示的点重合；操作二：（2）折叠纸面，若使1表示的点与﹣3表示的点重合，回答以下问题：3表示的点与数表示的点重合；②若数轴上A、B两点之间距离为8（A在B的左侧），且A、B两点经折叠后重合，则A、B两点表示的数分别是__________________；操作三：（3）在数轴上剪下9个单位长度（从﹣1到8）的一条线段，并把这条线段沿某点折叠，然后在重叠部分某处剪一刀得到三条线段（如图）. 若这三条线段的长度之比为1：1：2，则折痕处对应的点所表示的数可能是_________________________.参考答案1．D【分析】先对个选项进行化简，再由无理数的概念进行判断即可． 解：237是有理数，故选项A 不符合题意； 382--是有理数，故选项B 不符合题意；93164=是有理数，故选项C 不符合题意； 4π符合无理数的概念，故选项D 符合题意；． 故选：D ．【点拨】此题考查的是算术平方根、立方根及无理数的概念，能够根据算术平方根的概念及立方根进行正确化简是解决此题关键．2．C【分析】根据有理数和无理数的定义，逐一判定即可，有理数包括整数和分数，无理数是无限不循环小数．解：A. 117是有理数，故A 选项说法错误； B. 5B 选项说法错误；C. π2是无理数，故C 选项说法正确； D.2D 选项说法错误． 故选：C ．【点拨】本题主要考查了有理数和无理数，解决问题的关键是熟练掌握有理数和无理数的定义．3．D【分析】利用平方根与立方根的定义，逐个计算得结论．解： A 、()22555---，故选项错误，不符合题意；B 9=3，故选项错误，不符合题意；C 38=2，故选项错误，不符合题意；D 335=5--，故选项正确，符合题意． 故选：D ．【点拨】本题考查了平方根、算术平方根和立方根的性质与化简，掌握平方根和立方根的定义解决本题的关键．4．A【分析】先求出体积，再求立方根即可． 解：∵铁块体积是3508208000(cm )⨯⨯=∴3800020(cm)， 故选：A ．【点拨】本题考查立方根的应用，会求立方根是解题的关键． 5．B【分析】利用立方根的定义分析得出答案． 解：∵3-2， ∴x 3=-2， 故选B ．【点拨】本题考查立方根的定义，正确把握定义是解题关键． 6．C直接利用二次根式的性质得出x ，y 的值，然后讨论进而得出答案． 解：∵22994y x x --， ∴229090x x -≥-≥， ∴290x∴y ＝4， ∴3x =±，当3,4x y ==时，341x y -=-=-； 当3,4=-=x y 时，347x y -=--=-； ∴1x y -=-或7x y -=-， 故选：C ．【点拨】本题考查了二次根式有意义的条件．解答本题的关键由二次根式有意义的条件求出x 、y 的值．7．C【分析】根据题意，利用平方根，立方根的定义求出a ，b 的值，再代入求解即可． 解：24,a =31,b =-2,a ∴=±1b，∴当2,a =-1b时，213a b +=--=-； ∴当2,a =1b 时，211a b +=-=．故选：C ．【点拨】本题考查的知识点是平方根以及立方根的定义，根据定义求出a ，b 的值是解此题的关键．8．D【分析】根据点在数轴的位置判断式子的正负，然后化简． 解：根据图示可知：0x y <<∴0y x∴()2y x x y -+-y x y x 22y x =-故选：D ．【点拨】此题的考查了数轴，绝对值的性质，合并同类项法则，解题的关键是根据点在数轴的位置判断式子的正负．9．B【分析】先根据勾股定理求出PQ 的长，即可求出点A 所表示的数． 解：如图，22125PQ =+由图可知5PA PQ ==， 所以点A 51， 故点A 51． 故选：B【点拨】本题考查勾股定理以及数轴表示数的意义和方法，掌握解答的方法是关键．。
人教版七年级数学下册《实数》全章复习与巩固(知识讲解及考点训练)
《实数》全章复习与巩固（知识讲解）【学习目标】1.了解算术平方根、平方根、立方根的概念，会用根号表示数的平方根、立方根.2.了解开方与乘方互为逆运算，会用平方运算求某些非负数的平方根，会用立方运算求某些数的立方根，会用计算器求平方根和立方根.3.了解无理数和实数的概念，知道实数与数轴上的点一一对应，有序实数对与平面上的点一一对应；了解数的范围由有理数扩大为实数后，概念、运算等的一致性及其发展变化.4.能用有理数估计一个无理数的大致范围.【知识网络】【要点梳理】要点一：平方根和立方根要点二：实数有理数和无理数统称为实数.1.实数的分类按定义分：实数按与0的大小关系分：实数0⎧⎧⎨⎪⎩⎪⎪⎨⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩正有理数正数正无理数负有理数负数负无理数要点诠释：（1）所有的实数分成三类：有限小数，无限循环小数，无限不循环小数．其中有限小数和无限循环小数统称有理数，无限不循环小数叫做无理数．（2等；②有特殊意义的数，如π；③有特定结构的数，如0.1010010001…（3）凡能写成无限不循环小数的数都是无理数，并且无理数不能写成分数形式.（4）实数和数轴上点是一一对应的.2.实数与数轴上的点一 一对应.数轴上的任何一个点都对应一个实数，反之任何一个实数都能在数轴上找到一个点与之对应.3.实数的三个非负性及性质：在实数范围内，正数和零统称为非负数。
我们已经学习过的非负数有如下三种形式：（1）任何一个实数a 的绝对值是非负数，即|a |≥0；（2）任何一个实数a 的平方是非负数，即≥0；（3().非负数具有以下性质：（1）非负数有最小值零；（2）有限个非负数之和仍是非负数；（3）几个非负数之和等于0，则每个非负数都等于0.4.实数的运算： ⎧⎨⎩有理数：有限小数或无限循环小数无理数：无限不循环小数2a 0≥0a ≥数a 的相反数是－a ；一个正实数的绝对值是它本身；一个负实数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0. 有理数的运算法则和运算律在实数范围内仍然成立.实数混合运算的运算顺序：先乘方、开方、再乘除，最后算加减.同级运算按从左到右顺序进行，有括号先算括号里.5.实数的大小的比较：有理数大小的比较法则在实数范围内仍然成立.法则1. 实数和数轴上的点一一对应，在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数 大；法则2．正数大于0，0大于负数，正数大于一切负数，两个负数比较，绝对值大的反而小；法则3. 两个数比较大小常见的方法有：求差法，求商法，倒数法，估算法，平方法.【典型例题】类型一、有关方根的问题1、下列各式正确的是（ ）A 7=-B 3=±C =D 4=【答案】D举一反三：【变式】如果m 有算术平方根，那么m 一定是（ ）A ．正数B ．0C ．非负数D ．非正数【答案】C2、观察下列各式，并用所得出的规律解决问题：（1=1.414=14.14==0.1732=1.732=17.32…由此可见，被开方数的小数点每向右移动 位，其算术平方根的小数点向 移动 位；（2=2.2367.071= ，= ；（3=1=10=100…小数点变化的规律是： ．（4=2.154=4.642= ，= ．【答案】（1）两，右，一；（2）0.7071，22.36；（3）被开方数的小数点向右（左）移三位，其立方根的小数点向右（左）移动一位；（4）21.54，﹣0.4642类型二、与实数有关的问题 3、．把下列各数填入相应的集合中： 3.14，-2π，-917，3100-， 0 ，1.212212221… ，3，0.151151115 无理数集合{ … }；有理数集合{ … }；非正数集合{ … }． 【详解】由立方根的性质得：31000-<，无理数集合{-2π， 1.212212221…，…}；有理数集合{3.14，0，0.151151115，… }；非正数集合{-2π，0，… }；举一反三：【变式】在实数0、π、、、﹣中，无理数的个数有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】B ；类型三、与实数有关计算4、计算：（1）⎛- ⎝； （2|1--【答案】（1；（2）12-解：（1）⎛ ⎝=；（2|1--=914+-=12-举一反三：【变式】计算：（1）83237⎛⎫⨯-+ ⎪⎝⎭． （2（3）221(12)332⎛⎫-⨯-- ⎪⎝⎭．【答案】（1）67；（2）4；（3）-11．解：（1）83237⎛⎫⨯-+ ⎪⎝⎭ =827-+ =67；（2+=-2+6=4；（3）221(12)332⎛⎫-⨯-- ⎪⎝⎭ =1(12)96-⨯-=-2-9=-11．5、已知：（a+6）2+=0，则2b 2﹣4b ﹣a 的值为 ．【答案】12．解：∵（a+6）2+=0，∵a+6=0，b 2﹣2b ﹣3=0，解得，a=﹣6，b 2﹣2b=3，可得2b 2﹣4b=6，则2b 2﹣4b ﹣a=6﹣（﹣6）=12，故答案为：12．举一反三：【变式1】实数a 、b 在数轴上所对应的点的位置如图所示：化简＋∣a －b ∣＝ .【答案】2a-1a 解：∵a ＜0＜b ,∴a －b ＜0 ∴＋∣a －b ∣＝－a －(a －b )＝b －2a .【变式2】实数在数轴上的位置如图所示，则的大小关系是： ；【答案】； 类型四、实数综合应用6、小燕在测量铅球的半径时，先将铅球完全浸没在一个带刻度的圆柱形小水桶中，拿出铅球时，小燕发现小水桶中的水面下降了1cm ，小燕量得小水桶的直径为12cm ，于是她就算出了铅球的半径．你知道她是如何计算的吗？请求出铅球的半径．（球的体积公式343V r π=，r 为球的半径．） 【答案】3cm ．【分析】设球的半径为r ，求出下降的水的体积，即圆柱形小水桶中下降的水的体积，最后根据球的体积公式列式求解即可．解：设球的半径为r ，小水桶的直径为12cm ，水面下降了1cm ， ∴小水桶的半径为6cm ，∴下降的水的体积是π×62×1=36π(cm 3)，即34363r ππ=，解得：327r =，3r =，答：铅球的半径是3cm ．举一反三：【变式】一个底为正方形的水池的容积是4863m ，池深1.5m ，求这个水池的底边长．【答案】解：设水池的底边长为x ，由题意得答：这个水池的底边长为18m .2a a 2,1,,a a a a -21a a a a <<<-2 1.5486x ⨯=2324x =18x =。
七年级下册实数重点总结及常见习题
七年级下册实数重点总结及常见习题本文档将对七年级下册实数的重点知识进行总结，并提供一些常见题供练。
内容概述1. 实数的概念和分类：- 说明实数的概念及其包含的数的种类（自然数、整数、有理数、无理数）。
- 举例说明每个数的特点和应用。
2. 实数的运算性质：- 解释加法、减法、乘法、除法的运算规则。
- 强调实数运算的封闭性和交换律、结合律、分配律等性质。
3. 实数的比较和大小关系：- 论述实数之间的大小关系，如大于、小于、等于。
- 介绍不等式的表示方法和解不等式的基本思路。
4. 实数的绝对值：- 定义实数的绝对值及其性质。
- 通过具体示例演示绝对值的应用。
5. 实数的乘方和开方：- 介绍乘方与开方的概念，以及它们在实数范围内的计算规则。
常见题示例1. 判断题：1. 自然数是实数。
2. 无理数是整数。
3. 有理数是整数的子集。
4. 加法满足交换律。
5. 减法满足结合律。
2. 选择题：1. 下列数中是无理数的是（A）。
- A. √2- B. 0- C. 3/4- D. -52. 若 a 是有理数，b 是无理数，则 a + b 一定是（B）。
- A. 整数- B. 无理数- C. 有理数- D. 自然数3. 对于任意正整数 n，下列哪个不是整数（D）。
- A. n + 1- B. n - 1- C. -n- D. √n以上题仅为示例，以帮助学生复和巩固所学的实数知识。
参考资料。
实数知识点及例题
实数知识点及例题一、实数的概念实数是有理数和无理数的总称。
有理数包括整数（正整数、0、负整数）和分数（正分数、负分数）；无理数是无限不循环小数。
例如，π（圆周率）、根号 2 等都是无理数。
而像 3、－5、025 等则是有理数。
二、实数的分类1、按定义分类：有理数：整数和分数。
无理数：无限不循环小数。
2、按性质分类：正实数：大于 0 的实数，包括正有理数和正无理数。
负实数：小于 0 的实数，包括负有理数和负无理数。
三、实数的基本性质1、实数的有序性：任意两个实数 a 和 b，必定有 a ＞ b、a ＝ b 或a ＜b 三种关系之一成立。
2、实数的稠密性：两个不相等的实数之间总有另一个实数存在。
3、实数的四则运算：实数的加、减、乘、除（除数不为 0）运算满足相应的运算律。
四、数轴数轴是规定了原点、正方向和单位长度的直线。
实数与数轴上的点一一对应，即每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数。
例如，在数轴上表示 2 的点在原点右侧距离原点 2 个单位长度。
五、绝对值实数 a 的绝对值记作｜a|，定义为：当a ≥ 0 时，｜a| ＝ a；当 a ＜ 0 时，｜a| ＝ a。
绝对值的性质：1、｜a| ≥ 0，即绝对值是非负的。
2、若｜a| ＝｜b|，则 a ＝ ±b。
例如，｜3| ＝ 3，｜－5| ＝ 5。
六、相反数实数 a 的相反数是 a，它们的和为 0，即 a ＋（a) ＝ 0。
例如，5 的相反数是－5，它们的和为 0。
若两个实数的乘积为 1，则这两个数互为倒数。
非零实数 a 的倒数是 1/a。
例如，2 的倒数是 1/2，－3 的倒数是－1/3。
八、实数的运算1、加法法则：同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。
异号两数相加，取绝对值较大的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。
2、减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数。
3、乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。
(完整版)七年级实数知识点、典型例题及练习题单元复习
和 1 的大小
2
t a 2 的画法：画边长为 1 的正方形的对角线 ing a 3
ethin 练习：
om 一、比较下列各组数的大小：
for s ① 2 和 3
②
4 15 和 3
5
re good ④ 7 和－2.45
⑤ 72与1 33
1.当 x= _________时， 3 5x 2 有意义； 2.若 x 4 16 ，则 x=_________；若 3n 81，则 n= ________。 3.若 3 x 2 ，则 x= __________； 若 3 64 x ，则 x =__________；
（1）－a2 一定是负数吗？－a 一定是正数吗？
（2）大家都知道 是一个无理数，那么 －1 在哪两个整数之间？
(3) 15 的整数部分为 a,小数部分为 b，则 a=
, b=
(4)判断下面的语句对不对？并说明判断的理由。 ① 无限小数都是无理数； ② 无理数都是无限小数； ③ 带根号的数都是无理数； ④ 有理数都是实数，实数不都是有理数； ⑤ 实数都是无理数，无理数都是实数； ⑥ 实数的绝对值都是非负实数； ⑦ 有理数都可以表示成分数的形式。
for so 例 2.若 y x 1 1 x 1，求 x，y 的值。
re good 例 3.若 3 2a 1 和 3 1 3b 互为相反数，求 a 的值。 b
ing a 跟踪练习： be 1． y 2 x x 2 x2 5 ，求 y x 的平方根和算术平方根。
their 3.若 x 1 | y 2 | 0 ，求 x+y 的值。
g a 根， a 叫做 a 的负平方根。
ein ⑵一个正数有两个平方根： a （根指数２省略）
七年级下册实数知识点概括及常见题目
七年级下册实数知识点概括及常见题目
一、知识点概括
1.实数的概念
实数是包括有理数和无理数的数的集合，它们可以表示在数轴
上的位置。
实数具有加法、减法、乘法和除法等运算规则。
2.有理数
有理数是可以表示为两个整数之比的数，包括正整数、负整数、零、正分数和负分数。
有理数之间可以进行加减乘除运算，还可以
比较大小。
3.无理数
无理数是不能表示为两个整数之比的数，它们的十进制表示是
无限不循环的小数。
无理数包括根号2、根号3等。
4.实数的分布
实数可以在数轴上表示出来，正数在右侧，负数在左侧。
实数
之间可以进行大小比较。
二、常见题目
以下是七年级下册实数部分常见的题目类型：
1.判断题：给出一个数，判断它是有理数还是无理数。
2.计算运算结果：计算两个实数的和、差、积、商。
3.比较大小：给出两个实数，判断它们的大小关系。
4.补全数轴：给出数轴上的几个点，补全数轴上其它的实数点。
5.排序实数：给出几个实数，按大小顺序排列它们。
6.选择题：根据题目描述选择符合条件的实数。
以上是七年级下册实数知识点的概括及常见题目类型。
通过熟
练掌握这些知识点和题目类型，可以提高对实数的理解和应用能力。
初一实数所有知识点总结和常考题提高难题压轴题练习(含答案解析)
初一实数所有知识点总结和常考题知识点：一、实数的概念及分类1、实数的分类，从a+b=0，数轴上的点有些表示有理数，有些表示无理数，实数与数轴上的点就是一一对应的，即每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都是表示一个实数。
三、平方根、算数平方根和立方根1、平方根（1）平方根的定义：如果一个数x的平方等于a，那么这个数x就叫做a的平方根．即：如果2，那么x叫做a的平方根．ax（2）开平方的定义：求一个数的平方根的运算，叫做开平方．开平方运算的被开方数必须是非负数才有意义。
（3）平方与开平方互为逆运算：±3的平方等于9，9的平方根是±3（4）一个正数有两个平方根，即正数进行开平方运算有两个结果；一个负数没有平方根，即负数不能进行开平方运算（5）符号：正数a 的正的平方根可用a 表示，a 也是a 的算术平方根；正数a 的负的平方根可用-a 表示．（6）a x =2 <—> a x ±=a 是x 的平方 x 的平方是ax 是a 的平方根 a 的平方根是x2（1正数a 叫做（2（7联系在于正数的正平方根就是它的算术平方根，而正数的负平方根是它的算术平方根的相反数。
3、立方根（1）立方根的定义：如果一个数x 的立方等于a ，这个数叫做a 的立方根（也叫做三次方根），即如果3x a =，那么x 叫做a 的立方根（2）一个数a 的立方根，读作：“三次根号a ”，其中a 叫被开方数，3叫根指数，不能省略，若省略表示平方。
（3） 一个正数有一个正的立方根；0有一个立方根，是它本身；一个负数有一个负的立方根；任何数都有唯一的立方根。
（4）利用开立方和立方互为逆运算关系，求一个数的立方根，就可以利用这种互逆关系，检验其正确性，求负数的立方根，可以先求出这个负数的绝对值的立方根，再取其相反数，即)0a =>。
（5）a x =3 <—> 3a x =a 是x 的立方 x 的立方是a;b 2、加法结合律 )()(c b a c b a ++=++3、乘法交换律 ba ab =4、乘法结合律 )()(bc a c ab =5、乘法对加法的分配律 ac ab c b a +=+)(6、实数混合运算时，对于运算顺序有什么规定？实数混合运算时，将运算分为三级，加减为一级运算，乘除为二能为运算，乘方为三级运算。
《实数》全章复习与巩固—知识讲解(基础)
《实数》全章复习与巩固——知识讲解（基础）责编：杜少波【学习目标】1.了解算术平方根、平方根、立方根的概念，会用根号表示数的平方根、立方根.2.理解开方与乘方互为逆运算，会用平方运算求非负数的平方根，会用立方运算求数的立方根，会用计算器求平方根和立方根.3.了解无理数和实数的概念，理解实数与数轴上的点一一对应，有序实数对与平面上的点一一对应；了解数的范围由有理数扩大为实数后，概念、运算等的一致性及其发展变化.4.能用有理数估计一个无理数的大致范围.5.了解近似数的概念，能按精确度的要求取近似数，能根据近似数的不同形式确定其精确度，体会近似数在生活中的实际应用.【知识网络】【要点梳理】【高清课堂：389318 实数复习，知识要点】类型项目平方根立方根被开方数非负数任意实数符号表示a±3a性质一个正数有两个平方根，且互为相反数；零的平方根为零；负数没有平方根；一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根；零的立方根是零；重要结论⎩⎨⎧<-≥==≥=)0()0()0()(22aaaaaaaaa333333)(aaaaaa-=-==要点二：实数有理数和无理数统称为实数. 1.实数的分类 ①按定义分： 实数⎧⎨⎩有理数：有限小数或无限循环小数无理数：无限不循环小数②按与0的大小关系分：实数0⎧⎧⎨⎪⎩⎪⎪⎨⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩正有理数正数正无理数负有理数负数负无理数要点诠释：（1）所有的实数分成三类：有限小数，无限循环小数，无限不循环小数．其中有限小数和无限循环小数统称有理数，无限不循环小数叫做无理数．（2等；②有特殊意义的数，如π； ③有特定结构的数，如0.1010010001…（3）凡能写成无限不循环小数的数都是无理数，并且无理数不能写成分数形式. （4）实数和数轴上点是一一对应的. 2.实数与数轴上的点一一对应.数轴上的任何一个点都对应一个实数，反之任何一个实数都能在数轴上找到一个点与之对应.3.三类具有非负性的实数在实数范围内，正数和零统称为非负数.我们已经学习过的非负数有如下三种形式： （1）任何一个实数a 的绝对值是非负数，即|a |≥0； （2）任何一个实数a 的平方是非负数，即2a ≥0；（30≥ (0a ≥).非负数具有以下性质：（1）非负数有最小值——零；（2）有限个非负数之和仍是非负数；（3）几个非负数之和等于0，则每个非负数都等于0. 4.实数的运算数a 的相反数是－a ；一个正实数的绝对值是它本身；一个负实数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.有理数的运算法则和运算律在实数范围内仍然成立.实数混合运算的运算顺序：先乘方、开方、再乘除，最后算加减.同级运算按从左到右顺序进行，有括号先算括号里. 5.实数的大小的比较有理数大小的比较法则在实数范围内仍然成立.（1）实数和数轴上的点一一对应，在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数 大；（2）正数大于0，0大于负数，正数大于一切负数，两个负数比较，绝对值大的反而小； （3）两个数比较大小常见的方法有：求差法，求商法，倒数法，估算法，平方法. 要点三、近似数及精确度 1.近似数接近准确值而不等于准确值的数，叫做这个精确数的近似数或近似值. 一般采用四舍五入法取近似数，只要看要保留位数的下一位是舍还是入. 2.精确度近似数中，四舍五入到哪一位，就称这个数精确到哪一位，精确到的这一位也叫做这个近似数的精确度. 要点诠释：（1）精确度是指近似数与准确数的接近程度.（2）精确度一般用“精确到哪一位”的形式的来表示，一般来说精确到哪一位表示误差绝对值的大小，例如精确到0.1米，说明结果与实际数相差不超过0.05米. 【典型例题】类型一、平方根和立方根1、下列命题：①负数没有立方根；②一个实数的算术平方根一定是正数；③一个正数或负数的立方根与这个数同号；④如果一个数的算术平方根是这个数本身，那么这个数是1或0；⑤如果一个数的立方根是这个数本身，那么这个数是1或0 ，其中错误的有（ ） A.2个 B.3 个 C.4 个 D.5个 【答案】B ；【解析】①负数有立方根；②0的算术平方根是0；⑤立方根是本身的数有0，±1. 【总结升华】把握平方根和立方根的定义是解题关键. 举一反三：【变式】下列运算正确的是（ ）A ．42=±B ．235+=C ．382-=-D ．|2|2--=【答案】C ；2102.0110.1= 1.0201＝若7160.03670.03=，542.1670.33=，则_____________3673= 【答案】±1.01；7.16；【解析】102.01的小数点向左移动2位变成1.0201，它的平方根的小数点向左移动1位，变成1.01，注意符号；0.3670的小数点向右移动3位变成367，它的立方根的小数点向右移动1位，变成7.16【总结升华】一个数的小数点向左移动2位，它的平方根的小数点向左移动1位；一个数的小数点向右移动3位，它的立方根的小数点向右移动1位.类型二、与实数有关的问题3、计算（1）233)32(1000216-++（2）23)451(12726-+- （3）32)131)(951()31(--+【思路点拨】先逐个化简后，再按照计算法则进行运算.【答案与解析】解：（1）233)32(1000216-++＝226101633++= （2）23)451(12726-+-＝23111112743412⎛⎫-+-=-+=- ⎪⎝⎭（3）32)131)(951()31(--+＝3314218121393327333⎛⎫+⨯-=+-=-=- ⎪⎝⎭.【总结升华】根据开立方和立方，开平方和平方互逆运算的关系，可以通过立方、平方的方法去求一个数的立方根、平方根. 举一反三：【变式】（2015春•北京校级期中）计算：+．【答案】 解：原式=7﹣3+﹣1+ =134+．4、若0,0<<ab a ，化简334+----a b b a【思路点拨】由0,0<<ab a 判断b ＞0，再判断绝对值里的数的正负，由绝对值的定义去掉绝对值.【答案与解析】解：∵0,0<<ab a ，∴b ＞0，∴30,30a b b a ---+> ∴433a b b a ----(43)(3)a b b a =-----43333a b b a =-+++-=【总结升华】含绝对值号的代数式的化简是重点也是难点.分类的标准应按正实数,负实数,零分类考虑.要掌握好分类标准,不断加强分类讨论的意识. 举一反三：【变式1】（2016秋·安徽期末）实数a 、b 在数轴上的位置如图所示，则化简2a b a b+--的结果为 .【答案】解：∵-1＜a ＜0，1＜b ,∴a ＋2b ＞0，a －b ＜0，∴2a b a b +--＝a ＋2b －(－a ＋b )＝b ＋2a . 【高清课堂：389318 实数复习，例5】 【变式2】实数a 在数轴上的位置如图所示，则2,1,,a aa a -的大小关系是：； 0-1a【答案】21a a a a<<<-； 类型三、近似数与精确值5、某工人执行爆破任务时，点燃导火索后往100m 外的安全地带奔跑的速度为7m/s ，已知导火索燃烧的速度为0.11m/s ，求：导火索的长度至少多长才能保证安全？（精确到0.1m ）【思路点拨】先算出往100米外的安全地带奔跑所用时间，再根据导火索燃烧的速度为0.11m/s ，求出导火索的至少长度，最后根据有效数字的表示方法，即可得出答案．【答案与解析】根据题意，得导火索的长度至少为：1007×0.11≈1.6（m ）； 答：导火索的长度至少1.6m 才能保证安全．【总结升华】此题考查了列代数式和近似值，关键是读懂题意，列出代数式，再根据近似值的要求进行用四舍五入法取近似值即可．6、（新罗区校级月考）用激光技术测得地球和月球之间的距离为377985654.32米，请按要求分别取得这个数的近似值． （1）精确到千位；（2）精确到千万位；（3）精确到亿位． 【思路点拨】（1）首先利用科学记数法表示，然后对千位以后的数位进行四舍五入； （2）首先利用科学记数法表示，然后对千万位以后的数位进行四舍五入； （3）首先利用科学记数法表示，然后亿位以后的数位进行四舍五入； 【答案与解析】解：（1）精确到千位；377985654.32米≈377986000米，即3.77986×108米（2）精确到千万位；377985654.32米≈380000000米，即3.8×108米（3）精确到亿位；377985654.32米≈400000000米，即4×108米．【总结升华】本题考查了近似数，对于用科学记数法表示的数，精确到哪一位是需要识记的内容，经常会出错．类型四、实数综合应用7、现有一面积为150平方米的正方形鱼池，为了增加养鱼量，欲把鱼池的边长增加6 米，那么扩建鱼池的面积为多少（最后结果精确到0.1）？【答案与解析】解：因为原正方形鱼池的面积为150平方米，根据面积公式，≈（米）．15012.247由题意可得扩建后的正方形鱼池的边长为（12.247＋6）米，18.247≈333.0（平方米）．所以扩建后鱼池的面积为2答：扩建后的鱼池的面积约为333.0（平方米）．【总结升华】要求扩建后的鱼池的面积，应先求出其边长，而原鱼池的面积为150平方米，由此可得原鱼池的边长，再加上增加的6米，故新鱼池面积可求．举一反三：m，池深1.5m，求这个水池的底边长．【变式】一个底为正方形的水池的容积是4863【答案】解：设水池的底边长为x，由题意得2 1.5486x⨯=,2324x=,18x=.答：这个水池的底边长为18m.。
人教版初中七年级数学下册第六单元《实数》知识点复习(含答案解析)
一、选择题1．下列各式计算正确的是（ ）A B = ±2 C = ±2 D ． A 解析：A【分析】根据平方根和立方根分别对四个选项进行计算即可．【详解】解：∵-1= 2= 2，，故只有A 计算正确；故选:A ．【点睛】本题考查的是平方根、算术平方根和立方根，计算的时候需要注意审题是求平方根还是算术平方根．2．下列各组数中，互为相反数的是（ ）A ．B ．2-与12-C ．()23-与23-D 解析：C【分析】根据绝对值运算、有理数的乘方运算、立方根、相反数的定义逐项判断即可得．【详解】A 、=不是相反数，此项不符题意；B 、2-与12-不是相反数，此项不符题意； C 、()223399,--=-=，则()23-与23-互为相反数，此项符合题意；D 2,2=-=-故选：C ．【点睛】本题考查了绝对值运算、有理数的乘方运算、立方根、相反数的定义，熟记各运算法则和定义是解题关键．3．已知122=，224=，328=，4216=，5232=，……，根据这一规律，20192的个位数字是（ ）A ．2B ．4C ．8D ．6C解析：C【分析】通过观察122=，224=，328=，4216=，，5232=…知，他们的个位数是4个数一循环，2，4，8，6，…因为2019÷4＝504…3，所以20192的个位数字与32的个位数字相同是8．【详解】解：仔细观察122=，224=，328=，4216=，，5232=…；可以发现他们的个位数是4个数一循环，2，4，8，6，…∵2019÷4＝504…3，∴20192的个位数字与32的个位数字相同是8．故答案是：8．【点睛】本题考查了尾数特征，解题的关键是根据已知条件，找出规律：2的乘方的个位数是每4个数一循环，2，4，8，6，…．4．下列实数220.010*******；； (相邻两个1之依次多一个0)；2，其中无理数有( )A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个B解析：B【分析】根据无理数、有理数的定义即可判定选择项．【详解】4=-，是有理数；3.14是有限小数，是有理数；227是分数，是有理数；，0.010010001(相邻两个1之依次多一个0)2，是无理数，共3个，故选：B ．【点睛】本题考查了无理数的定义，注意无理数的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有π的数．5．在0.010010001，3.14，π，1.51，27中无理数的个数是（ ）． A ．5个B ．4个C ．3D ．2个D解析：D【分析】 根据无理数的概念解题，找出无理数的个数即可，无限不循环小数称为无理数；【详解】在0.010010001，3.14，π，1.51，27中无理数有π共2个， 故选D ．【点睛】本题考查了无理数的概念，正确掌握无理数的概念是解题的关键；6 ）A ．8B ．8-C ．D ．± D 解析：D【分析】8=，再根据平方根的定义，即可解答．【详解】8=，8的平方根是±故选：D ．【点睛】8=．7．若1a >，则a ，a -，1a 的大小关系正确的是（ ） A ．1a a a >->B ．1a a a >->C ．1a a a >>-D ．1a a a ->> C 解析：C【分析】可以用取特殊值的方法，因为a ＞1，所以可设a=2，然后分别计算|a|，-a ，1a ，再比较即可求得它们的关系．【详解】解：设a=2，则|a|=2，-a=-2，112a =， ∵2＞12＞-2， ∴|a|＞1a＞-a ； 故选：C ．【点睛】 此类问题运用取特殊值的方法做比较简单．8．下列各数中，属于无理数的是（ ）A ．227B ．3.1415926C ．2.010010001D ．π3- D 解析：D【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．【详解】解：A 、227是有理数，故选项A 不符合题意； B 、3.1415926是有理数，故选项B 不符合题意；C 、2.010010001是有理数，故选项C 不符合题意；D 、π3-是无理数，故选项D 题意； 故选：D ．【点睛】 此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数．9．下列等式成立的是（ ）A ．±1B ＝±2C 6D 3A 解析：A【分析】分别根据算术平方根、立方根的定义逐一判断即可．【详解】A ．书写规范，故本选项符合题意；B.算术平方根只能是正数不能是负数，故本选项不合题意；C.立方根与被开方数符号一致，故本选项符合题意；D.33=27，27的立方根才等于3，故本选项不合题意．故选：A ．【点睛】本题主要考查了算术平方根与立方根的定义，熟练掌握算术平方根的性质是解答本题的关键．10．下列说法中：①0是最小的整数；②有理数不是正数就是负数；③﹣2π不仅是有理数，而且是分数；④237是无限不循环小数，所以不是有理数；⑤无限小数不一定都是有理数；⑥正数中没有最小的数，负数中没有最大的数；⑦非负数就是正数；⑧正整数、负整数、正分数、负分数统称为有理数；其中错误的说法的个数为（ ）A ．7个B ．6个C ．5个D ．4个B解析：B【分析】根据有理数的分类依此作出判断，即可得出答案．【详解】解：①没有最小的整数，所以原说法错误；②有理数包括正数、0和负数，所以原说法错误；③﹣2π是无理数，所以原说法错误； ④237是无限循环小数，是分数，所以是有理数，所以原说法错误； ⑤无限小数不都是有理数，所以原说法正确； ⑥正数中没有最小的数，负数中没有最大的数，所以原说法正确；⑦非负数就是正数和0，所以原说法错误；⑧正整数、负整数、正分数、负分数和0统称为有理数，所以原说法错误； 故其中错误的说法的个数为6个．故选：B ．【点睛】本题考查了有理数的分类，认真掌握正数、负数、整数、分数、正有理数、负有理数、非负数的定义与特点是解题的关键．注意整数和正数的区别，注意0是整数，但不是正数．二、填空题11．把下列各数表示在数轴上，并把这些数按从大到小的顺序用“＞”连接起来． 0，327-，()2--，1--，9，22-画图见解析【分析】先把各数化简在数轴上表示出各数再根据在数轴上右边的数总比左边的数大把这些数按从大到小的顺序用＞连接起来【详解】解：在数轴上表示为：按从大到小的顺序用>连接为：【点睛】本题主要考查了解析：画图见解析，()239201272>-->>-->->- 【分析】先把各数化简，在数轴上表示出各数，再根据“在数轴上，右边的数总比左边的数大”把这些数按从大到小的顺序用“＞”连接起来．【详解】解：3273-=-，()22--=，11--=-，93=，224-=-，在数轴上表示为：按从大到小的顺序用>()239201272>-->>-->->-． 【点睛】本题主要考查了实数的大小比较，解题的关键是准确在数轴上表示实数，并利用数轴对实数的大小进行比较．12．把下列各数的序号填入相应的括号内①-3，②π，，④-3.14，，⑥0，⑦227，⑧-1，⑨1.3，⑩1.8080080008…（两个“8”之间依次多一个“0”）． 整数集合{ …}，负分数集合{ …}，正有理数集合{ …}， 无理数集合{ …}．见解析【分析】先求出立方根再根据整数负分数正有理数无理数的定义即可得【详解】解析：见解析．【分析】先求出立方根，再根据整数、负分数、正有理数、无理数的定义即可得．【详解】3=-，13．求下列各式中x 的值（1）21(1)64x +-=； （2）3(1)125x -=．（1）；（2）【分析】（1）方程整理后利用平方根的性质开平方即可求解；（2）方程直接利用立方根的性质开立方即可求解；【详解】（1）解得：或；（2）解得：【点睛】本题主要考查解方程涉及到立方根平方根解解析：（1）132x =，272x =-；（2）6x = 【分析】（1）方程整理后，利用平方根的性质开平方即可求解；（2）方程直接利用立方根的性质开立方即可求解；【详解】（1）21(1)64x +-= 225(1)4x += 512x +=± 解得：32x =或72x =-； （2）3(1)125x -=15x -=解得：6x =．【点睛】本题主要考查解方程，涉及到立方根、平方根，解题的关键是熟练掌握开平方、开立方根的方法．14．定义：如果将一个正整数a 写在每一个正整数的右边，所得到的新的正整数能被a 整除，则这个正整数a 称为“魔术数”．例如：将2写在1的右边得到12，写在2的右边得到22，……，所得到的新的正整数的个位数字均为2，即为偶数，由于偶数能被2整除，所以2是“魔术数”．根据定义，在正整数3，4，5中，“魔术数”为____________；若“魔术数”是一个两位数，我们可设这个两位数的“魔术数”为x ，将这个数写在正整数n 的右边，得到的新的正整数可表示为()100n x +，请你找出所有的两位数中的“魔术数”是_____________．10202550【分析】①由魔术数的定义分别对345三个数进行判断即可得到5为魔术数；②由题意根据魔术数的定义通过分析即可得到答案【详解】解：根据题意①把3写在1的右边得13由于13不能被3整除故3 解析：10、20、25、50．【分析】①由“魔术数”的定义，分别对3、4、5三个数进行判断，即可得到5为“魔术数”； ②由题意，根据“魔术数”的定义通过分析，即可得到答案．【详解】解：根据题意，①把3写在1的右边，得13，由于13不能被3整除，故3不是魔术数；把4写在1的右边，得14，由于14不能被4整除，故4不是魔术数；把5写在1的右边，得15，写在2的右边得25，……由于个位上是5的数都能被5整除，故5是魔术数；故答案为：5；②根据题意，这个两位数的“魔术数”为x ，则1001001n x n x x+=+， ∴100n x为整数， ∵n 为整数， ∴100x为整数， ∴x 的可能值为：10、20、25、50； 故答案为：10、20、25、50．【点睛】本题考查了新定义的应用和整数的特点，解题的关键是熟练掌握新定义进行解题．15．已知5的整数部分为a ，5-b ，则2ab b +=_________．【分析】求出的大小推出7＜＜8求出a 同理求出求出b 代入求出即可【详解】解：∵∴∴∴∴故答案为：【点睛】此题考查了无理数的大小的应用关键是确定和的范围解析：37-【分析】的大小，推出7＜5＜8，求出a ，同理求出253<-<，求出b ，代入求出即可．【详解】解：∵479<<， ∴23<<，32-<<- ∴758<+<，253<-<，∴7a =，523b =--=-，∴()(237337ab b b a b +=+=+=-．故答案为：37-【点睛】此题考查了无理数的大小的应用，关键是确定5和5-16．一个正数的两个平方根分别为27a -与34a -+，则这个正数为_______．169【分析】根据一个正数的两个平方根互为相反数求出a 的值就可以算出这个正数【详解】解：解得∴这个正数是故答案是：169【点睛】本题考查平方根解题的关键是掌握平方根的性质解析：169【分析】根据一个正数的两个平方根互为相反数，求出a 的值，就可以算出这个正数．【详解】解：()27340a a -+-+=，解得3a =-，()23713⨯--=-，∴这个正数是()213169-=． 故答案是：169．【点睛】本题考查平方根，解题的关键是掌握平方根的性质．17．定义一种新运算；观察下列各式；131437=⨯+=()3134111-=⨯-=5454424=⨯+= ()4344313-=⨯-=（1）请你想一想：ab = ；（2）若a b ，那么a b b a （填“=”或“≠” ）；（3）先化简，再求值：()()2a b a b -+，其中1a =-，2b =．（1）4a+b ；（2）；（3）6a-3b-12【分析】（1）观察得到新运算等于第一个数乘以4加上第二个数据此列式即可；（2）根据新运算分别计算出与即可得到答案；（3）根据新运算分别化简再将ab 的值代解析：（1）4a+b ；（2）≠；（3）6a-3b ，-12【分析】（1）观察得到新运算等于第一个数乘以4，加上第二个数，据此列式即可；（2）根据新运算分别计算出a b 与b a 即可得到答案； （3）根据新运算分别化简再将a 、b 的值代入计算． 【详解】（1）ab =4a+b ， 故答案为：4a+b ； （2）a b =4a+b ，b a =4b+a ， ∵a b ， ∴a b ≠b a ，故答案为：≠；（3）()()2a b a b -+ =4（a-b ）+（2a+b ）=4a-4b+2a+b=6a-3b ，当1a =-，2b =时，原式=-6-6=-12．【点睛】此题考查新定义运算，整式的加减混合运算，正确理解新定义的运算规律并解决问题是解题的关键．18．若求若干个相同的不为零的有理数的除法运算叫做除方，如()()()()2223333÷÷-÷-÷-÷-，等。
数学人教版七年级下册实数全章复习
实数复习课教学目的：通过复习，使学生对本章的知识能得到熟练、巩固，并能灵活地运用实数知识去解决问题。
教学重点：熟练灵活运用有关的知识解决问题。
教学难点：熟练灵活运用有关的知识解决问题。
教学过程： 一、知识框架平方根： 1、算术平方根：一个正数x 的平方等于a ，则正数x 叫做a 的算术平方根，记作2、平方根：一个数x 的平方等于a ，那么x 叫做a的平方根，记做3、求一个数的平方根的运算叫做数的开方 4、算术平方根与平方根的比较：立方根：1、一个数x 的立方等于a ，那么x 叫做a 的立方根2、一个正数的立方根是正数，一个负数的立方根是负数，0的立方根是0。
⎧⎧⎫⎨⎬⎪⎨⎩⎭⎪→⎩整数有理数有限小数或无限循环小数实数分数无理数无限不循环小数二、练习 （一）、选择题： 1、在实数70107.081221.03、、、、－ 。
π中，其中无理数的个数为（ ）A 、1B 、2C 、3D 、4 2、16的算术平方根为（）A 、4B 、4±C 、2D 、2± 3、下列语句中，正确的是（ ）A 、无理数都是无限小数B 、无限小数都是无理数C 、带根号的数都是无理数D 、不带根号的数都是无理数 4、若a 为实数，则下列式子中一定是负数的是（ ） A 、2a - B 、2)1(+-a C 、2a -D 、)1(+--a5、下列说法中，正确的个数是（ ）（1）－64的立方根是－4； （2）49的算术平方根是7±；（3）271的立方根为31； （4）41是161的平方根。
A 、1B 、2C 、3D 、4 6. 估算728-的值在（ ）A. 7和8之间B. 6和7之间C. 3和4之间D. 2和3之间 7、下列说法中正确的是（ ）A 、若a 为实数，则0≥aB 、若a 为实数，则a 的倒数为a1C 、若y x 、为实数，且y x =，则y x =D 、若a 为实数，则02≥a8、若10<<x ，则x xx x 、、、12中，最小的数是（ ） A 、x B 、x1 C 、xD 、2x9、下列各组数中，不能作为一个三角形的三边长的是（ ）A 、1、1000、1000B 、2、3、5C 、222543、、D 、33364278、、（二）、填空题：1. 和数轴上的点一一对应.2. 若实数a b ，满足0a b a b +=，则________abab=． 3、如果2a =，3b =，那么2a b 的值等于 ． 4.有若干个数，依次记为123n a a a a ，，，，若112a =-，从第２个数起，每个数都等于1与它前面的那个数的差的倒数，则2005a =．5.比较大小：23- 0.02-；6. 如图，数轴上的两个点A B ，所表示的数分别是a b ，，在a b +，a b -，ab ，a b-中，是正数的有 个．7.若3+x 是4的平方根，则=x ＿＿＿，若－8的立方根为1-y ，则y=________. 8、计算：2)4(3-+-ππ的结果是＿＿＿＿＿＿。
人教版七年级数学下册15.实数全章复习与巩固(提高)巩固练习及答案.doc
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】【巩固练习】 一.选择题1．已知a 、b 是实数，下列命题结论正确的是（ ） A ．若a ＞b ，则2a ＞2bB ．若a ＞｜b ｜，则2a ＞2bC ．若｜a ｜＞b ，则2a ＞2b D ．若3a ＞3b ，则2a ＞2b 2.下列式子表示算术平方根的是 （ ）． ①()233-= ②()()2515--= ③93104-=- ④ 255-= ⑤ 0.010.1±=± ⑥ ()20a a a =≥A ．①②④B ．①④⑥C ．①⑤⑥D ．①②⑥ 3. 下列说法正确的有（ ）①无限小数不一定是无理数； ②无理数一定是无限小数； ③带根号的数不一定是无理数； ④不带根号的数一定是有理数. A ①②③ B ②③④ C ①③④ D ①②④4. 下列语句、式子中 ① 4是16的算术平方根，即.416=±②4是16的算术平方根，即.416=③－7是49的算术平方根，即.7)7(2=-④7是2(7)-的算术平方根，即.7)7(2=-其中正确的是（ ）A. ①③B. ②③C. ②④D. ①④ 5. （2015•南京）估计介于（ ）A ．0.4与0.5之间B ．0.5与0.6之间C ．0.6与0.7之间D ．0.7与0.8之间6.下列运算中正确的是（ ）4913=12622-82==）（C. 24±=D. ∣32-∣＝23- 7. 已知:a a 则，且,68.2868.82.62333=-=＝（ ） A.2360 B.－2360 C.23600 D.－23600 8. －2781 ） A ．0 B ．6C ．6或－12D ．0或6 二.填空题9. 下列命题中正确的有 (填序号)(1)若,b a >那么b a 22>; (2)两数的和大于等于这两数的差;(3)若,b a >那么22b a >; (4)若,b a > c b >则c a >;(5))()(c b a c b a ++=++ (6)一个数越大,这个数的倒数越小; (7)有理数加有理数一定是有理数; (8)无理数加无理数一定是无理数; (9)无理数乘无理数一定是无理数; 10.（2015•庆阳）若﹣2xm ﹣n y 2与3x 4y2m+n是同类项，则m ﹣3n 的立方根是 ．11. 若22)3(-=a ，则a ＝ ，若23)3(-=a ，则a ＝ .12. 已知 :===00236.0,536.136.2,858.46.23则 . 13. 若x x -+有意义，则=+1x ________.14. 阅读下列材料：设0.30.333x ==…①，则10 3.333x =…②，则由②－①得：93x =，即13x =.所以0.30.333= (1)=3.根据上述提供的方法把下列两个数化成分数. 0.7＝ 1.3＝ ；15. 方程 361(12)164x +-=的解x ＝ _________ . 16. 若,19961995a a a =-+-则21995-a 的值等于_________.三.解答题17. （2015春•和平区期末）已知一个正数的两个平方根分别为a 和2a ﹣9 （1）求a 的值，并求这个正数； （2）求17﹣9a 2的立方根．18. 如图所示，已知A 、B 两点的坐标分别为(5,0)A -，(2,1)B -．（1）求△OAB 的面积和△ACB 的面积（结果保留一位小数）； （2）比较点A 所表示的数与－2.4的大小．19. 把下列无限循环小数化成分数：（1）0.6•（2）0.23••（3）0.107••20．细心观察右图，认真分析各式，然后解答问题：()()212211122===+，S ； ()()223312222===+，S； ()()234413322===+，S； ……，……； （1）请用含n(n 为正整数)的等式表示上述变化规律；（2）观察总结得出结论：三角形两条直角边与斜边的关系，用一句话概括为： ； （3）利用上面的结论及规律，请作出等于7的长度；（4）你能计算出210232221S S S S ++++ 的值吗？【答案与解析】 一.选择题1. 【答案】B ；【解析】B 答案表明,||||a b a b >>且，故2a ＞2b . 2. 【答案】D ；【解析】算术平方根的专用记号是“a ”根号前没有“－”或“±”号. 3. 【答案】A ； 4. 【答案】C ；【解析】算术平方根是平方根中符号为正的那个. 5.【答案】C ． 【解析】∵ 2.235，∴﹣1≈1.235，∴≈0.617，∴介于0.6与0.7之间.6. 【答案】D ；7. 【答案】D ；O.....S 5S 4S 3S 2S 1111111A 6A 5A 4A 3A 2A 1【解析】2.868向右移动1位，23.6应向右移动3位得23600，考虑到符号，a ＝－23600. 8. 【答案】A ；【解析】819=，9的算术平方根是3，故选A. 二.填空题 9. 【答案】（1），（4），（5），（7）； 10.【答案】2. 【解析】若﹣2xm ﹣n y 2与3x 4y2m+n是同类项，∴，解方程得：．∴m ﹣3n=2﹣3×（﹣2）=8．8的立方根是2．故答案为：2． 11.【答案】3±39【解析】正数的平方根有2个，实数有一个与它符号相同的立方根. 12.【答案】0.04858【解析】23.6向左移动4位，4.858向左移动2位得0.04858. 13.【答案】1；【解析】x ≥0，－x ≥0，得x ＝0，所以=+1x 1. 14.【答案】74;93； 【解析】设x ＝0.777……，10x ＝7.777……，9x ＝7, x ＝79.设y ＝1.333……，10y ＝13.333……，9y ＝12, y ＝43. 15.【答案】18； 【解析】()31255112,12,6448x x x +=+==. 16.【答案】1996；1996a -a ≥1996，原式＝a －19951996a -a 1996a -1995，两边平方得21995-a ＝1996. 三.解答题17.【解析】 解：（1）由平方根的性质得，a+2a ﹣9=0， 解得a=3，∴这个正数为32=9；（2）当a=3时，17﹣9a 2=﹣64， ∵﹣64的立方根﹣4， ∴17﹣9a 2的立方根为﹣4． 18.【解析】解：（1）∵ (5,0)A ，(2,1)B -，∴ ||5OA =BC ＝1，AC ＝OA －OC 52．∴ 115||||51 1.122OAB S OA BC ∆===≈． 115||||(52)110.1222ACB S AC BC ∆==⨯⨯=-≈． （2）点A 表示的实数为5-5 2.24-≈-． ∵ 2.24＜2.4，∴ －2.24＞－2.4， 即 5 2.4>- 19.【解析】解：(1) 设0.6x •= ① 则10x ＝6.6•② ②－①得 9x ＝6∴6293x ==，即20.63•=(2) 设0.23x ••= ① 则10023.23x ••= ② ②－①，得 99x ＝23∴2399x =，即230.2399••=. (3) 设0.107x ••= ① 则1000107.107x ••= ② ②－①，得 999x ＝107，∴107999x =，即1070.107999••=. 20.【解析】 解：（1）()2,112nS n n n =+=+． （2）直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方． （3）略．22222222123101231055(4)22224S S S S ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++=+++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭初中奥数题试题一一、选择题（每题1分，共10分）1．如果a，b都代表有理数，并且a＋b=0，那么 ( )A．a，b都是0 B．a，b之一是0C．a，b互为相反数 D．a，b互为倒数2．下面的说法中正确的是 ( )A．单项式与单项式的和是单项式B．单项式与单项式的和是多项式C．多项式与多项式的和是多项式D．整式与整式的和是整式3．下面说法中不正确的是 ( )A. 有最小的自然数 B．没有最小的正有理数C．没有最大的负整数 D．没有最大的非负数4．如果a，b代表有理数，并且a＋b的值大于a－b的值，那么 ( )A．a，b同号 B．a，b异号 C．a＞0 D．b＞05．大于－π并且不是自然数的整数有 ( )A．2个 B．3个 C．4个 D．无数个6．有四种说法：甲．正数的平方不一定大于它本身；乙．正数的立方不一定大于它本身；丙．负数的平方不一定大于它本身；丁．负数的立方不一定大于它本身。
七年级下册实数基础知识总结及常见练习
七年级下册实数基础知识总结及常见练习一、实数的概念和性质1. 实数的定义实数是包括有理数和无理数在内的数的集合。
2. 实数的分类实数可以分为有理数和无理数两类。
有理数是可以表示为两个整数之比的数，无理数是不能表示为两个整数之比的数。
3. 实数的性质- 实数满足传递性，即若a < b且b < c，则a < c。
- 实数满足加法和乘法的结合律、交换律和分配律。
- 实数满足相反数存在性，即对于任意实数a，都存在一个实数-b，使得a + (-b) = 0。
- 实数满足乘法逆元存在性，即对于任意非零实数a，都存在一个实数1/a，使得a × (1/a) = 1。
二、实数的运算1. 实数的加法和减法实数的加法满足交换律和结合律。
两个实数相加得到的实数称为它们的和。
减法可以看作是加法的逆运算。
2. 实数的乘法和除法实数的乘法满足交换律和结合律。
两个实数相乘得到的实数称为它们的积。
除法可以看作是乘法的逆运算。
三、实数的比较与排序1. 实数的大小比较实数可以通过比较大小来确定它们的相对大小关系。
常用的比较符号有小于号（<）、大于号（>）、小于等于号（≤）和大于等于号（≥）。
2. 实数的排序实数可以通过大小比较来进行排序。
从小到大排列实数可以用升序表示，从大到小排列实数可以用降序表示。
四、实数的常见练1. 给出下列实数的有理数和无理数表示形式：π，√5，-3，0.25。
2. 计算下列实数的和：-2.5 +3.7。
3. 计算下列实数的差：4.2 - (-1.8)。
4. 计算下列实数的积：0.6 × (-2.5)。
5. 计算下列实数的商：-1.5 ÷ 0.5。
五、总结本文总结了七年级下册实数基础知识，包括实数的定义和分类、实数的性质、实数的运算、实数的比较与排序，并提供了常见练习题供练习。
掌握实数的基础知识对于数学的学习和应用具有重要意义。
七年级下册《第六章 实数》单元复习
七年级下册《第六章实数》单元复习
二、知识要点
（一）“三根”的概念
1.一个正数a有两个平方根±a，其中a是正数a的算术平方根，-a是正数a的负的平方根。
2.一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数，但只有一个算术平方根。
0只有一个平方根和算术平方根，它们都是0。
负数没有平方根，也没有算术平方根。
3.任何实数a都有立方根，为3a。
正数有一个正的立方根。
负数有一个负的立方根。
0的立方根是0.若来公司互为相反数，则它们的立方根互为相反数。
续表：
1.有理数与无理数的区别：有理数总可以用有限小数或无限循环小数来表示；而无理数是无限不循环小数。
2.实数的概念：有理数和无理数统称为实数。
3.实数的分类：
① 按意义分类：
⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧无限不循环小数负无理数正无理数无理数数有限小数或无限循环小负分数正分数分数负整数正整数整数有理数实数0 ② 按正负分类： ⎪⎪⎪⎩
⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎩⎨⎧负无理数负有理数负实数正有理数正有理数正实数实数0
4.常见的无理数类型：
（1）一般的无限不循环小数，如1.41422357...
（2）看似循环而实际不循环的小数，如：0.1010010001...（相邻两个1之间 0的个数逐次加1）
（3）有特定意义的数，如：π=3.14159265...
（4）带有根号且开方开不尽的数，如3,53，。
5.实数的相反数、绝对值、倒数、运算性质、运算律、大小比较与有理数一样。
6.实数和数轴上的点是一一对应的关系。
人教版数学初中七年级下册知识讲解,巩固练习(教学资料,补习资料)：专题6.3 实数
第六章实数6.3 实数知识1．无理数（1）无限不循环小数叫做__________．如：2，π，0.1225486…等．（2）判断方法：①定义是判断一个数是不是无理数的重要依据；②有理数都可以写成分数的形式，而无理数则不能写成分数的形式（两个整数的商）．（3）常见的无理数：①含有开不尽方的数的方根的一类数，如3，35，1+2等；②含有π一类数，如5π，3+π等；③以无限不循环小数的形式出现的特定结构的数，如0.2020020002…（相邻两个2之间0的个数逐渐加1）．2．实数的概念和分类（1）概念：有理数与无理数统称为__________．（2）实数按定义分类：按正负分类：3．实数与数轴（1）实数与数轴上的点的对应关系：实数与数轴上的点是__________的．即每个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数．（2）在数轴上的两个点，右边的点表示的实数总比左边的点表示的实数__________．4．相反数与绝对值相反数：数a 的相反数是-a ．绝对值：一个正实数的绝对值是它本身；一个负实数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．即0||=000，，，a a a a a a ⎧>⎪=⎨⎪-<⎩．5．实数的运算实数运算的顺序是先算乘方和开方，再算乘除，最后算加减．如果遇到括号，则先进行括号里的运算．知识参考答案：1．（1）无理数2．（1）实数3．（1）一一对应（2）大4． 重点重点 无理数的概念；实数的概念及分类；实数的运算 难点 实数与数轴上的点一一对应关系 易错对实数与数轴上点的关系理解不透一、无理数的判断1．判断一个数是不是无理数，必须看它是否同时满足两个条件：无限小数和不循环小数这两者缺一不可．2．带根号的数并不都是无理数，而开方开不尽的数才是无理数． 【例1】在下列各数中：8；0；3π；327；227；1.1010010001…，无理数的个数是 A ．5B ．4C ．3D ．2【答案】C【解析】因为0；327；227是有限小数或无限循环小数，8；3π；1.1010010001…是无限不循环小数，所以无理数有3个，故选C ．二、实数的概念和分类1．实数的分类有不同的方法，但要按同一标准，做到不重不漏．2．对实数进行分类时，应先对某些数进行计算或化简，然后根据最后结果进行分类．【例2】在5π1521231404123162，，，，，.，，，----中，其中__________是整数，__________是无理数，__________是有理数.【答案】0，41-；π55121231404132216，，，；，，.，，----【例3】将这些数按要求填入下列集合中：0.01001001…，4，122-，3.2，0，-1，-（-5），-|-5|，π2-． 负数集合｛ …｝；分数集合｛…｝；非负整数集合｛…｝；无理数集合｛…｝．【解析】负数集合｛122-，-1，-|-5|，π2-…｝； 分数集合｛122-，3.2…｝； 非负整数集合｛4，0，-（-5）…｝； 无理数集合｛0.01001001…，π2-…｝． 三、实数与数轴两个实数比较大小：1．数轴上的任意两个点，右边的点所表示的实数总比左边的点表示的实数大；2．正实数大于0，负实数小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数比较，绝对值大的反而小． 【例4】如图，数轴上点P 表示的数可能是A．7B．−7C．–3.2 D．−10【答案】B【解析】∵7≈2.65，–10≈–3.16，设点P表示的实数为x，由数轴可知，–3<x<–2，∴符合题意的数为−7．故选B．【例5】和数轴上的点成一一对应关系的数是A．自然数B．有理数C．无理数D．实数【答案】D【解析】数轴上的点不仅表示有理数，还表示所有的无理数，即实数与数轴上得点是一一对应的，故选D．【例6】已知实数m、n在数轴上对应点的位置如图所示，则下列判断错误的是A．m<0 B．n＞0 C．n＞m D．n<m【答案】D【解析】由数轴上的点，得m<0<n，所以m<0，n＞0，n＞m都正确，即选项A，B，C判断正确，选项D判断错误．故选D．【例7】已知数轴上A、B两点表示的数分别为–3和5，则A、B间的距离为__________．【答案】5+3【解析】A、B两点表示的数分别为–3和5，则A、B间的距离为5–（–3）=5+3，故答案为：5+3．【例8】如图，点A、B、C在数轴上，O为原点，且BO：OC：CA=2：1：5．（1）如果点C表示的数是x，请直接写出点A、B表示的数；（2）如果点A表示的数比点C表示的数两倍还大4，求线段AB的长．【解析】（1）∵BO：OC：CA=2：1：5，点C表示的数是x，∴点A、B表示的数分别为：6x，–2x；（2）设点C表示的数是y，则点A表示的数为6y，由题意得，6y=2y+4，解得：y=1，∴点C表示的数是1，点A表示的数是6，点B表示的数是–2，∴AB=8．四、相反数与绝对值求一个有理数的相反数和绝对值与求一个实数的相反数和绝对值的意义是一样的，实数a的相反数是-a，一个正实数的绝对值是它本身，一个负实数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0．【例9】22的相反数是A．-22B．22C．2-D．2【答案】A【解析】根据相反数的定义可知：22的相反数是22-，故选A．【例10】3-π的绝对值是A．3-πB．π-3 C．3 D．π【答案】B【解析】∵3−π<0，∴|3−π|=π−3，故选B．【例11】15-是15的A．相反数B．倒数C．绝对值D．算术平方根【答案】A【解析】15-与15只是符号不同，所以它们是一对相反数，故选A．五、实数的运算1．在进行实数的运算时，有理数的运算法则、运算性质、运算顺序、运算律等同样适用．2．在实数运算中，当遇到无理数并且需要求出结果的近似值时，可以按照所要求的精确度用相应的近似有限小数去代替无理数，再进行计算． 【例12】计算下列各式：（1）23+325332--；（2）232331-----．【解析】（1）原式23533232=-+-33=-．（2）原式=(32)(23)(31)=-----322331=--+-+ 321=--．【名师点睛】此题考查了二次根式的加减混合运算，关键是熟练掌握绝对值的化简及同类二次根式的合并．基础训练1．在下列实数中，属于无理数的是 A ．0B ．2C ．3D ．132．在13.1470.231.131331333133331(3-π-，，，，，……每两个1之间依次多一个3)中，无理数的个数是A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个3．实数2的值在 A ．0和1之间B ．1和2之间C ．2和3之间D ．3和4之间4．下列四个数中，最小的一个数是 A ．7- B 3-．C 22-．D π-．5．327-的绝对值是 A ．3B ．3-1C 3． 1D 3-．6．下列说法中，正确的个数有①不带根号的数都是有理数； ②无限小数都是无理数；③任何实数都可以进行开立方运算；④35不是分数． A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个7．下列各组数中互为相反数的一组是 A ．-|-2|与38-B ．-4与-2(4)-C ．-32与|32-|D ．-2与128．如图，数轴上点P 表示的数可能是A ．6B ．7-C ． 3.4-D ．11-9．32-的相反数是__________，绝对值是__________． 10．计算：325262+-=__________．11．在数轴上离原点距离是5的点表示的数是__________． 12．化简：3（1-3）=__________，7（1-17）=__________． 13．把下列各数填入相应的集合内：15，4，16，23，327，0.15，-7.5，-π，0，23.． ①有理数集合：｛ …｝； ②无理数集合：｛ …｝； ③正实数集合：｛ …｝； ④负实数集合：｛…｝．14．已知：x 是|-3|的相反数，y 是-2的绝对值，求2x 2-y 2的值．15．已知a是7的整数部分，b是7的小数部分，|c|=7，求a-b+c的值．能力测试16．已知5+5与5–5的小数部分分别是a、b，则（a+b）（a–b）=__________．17．6–5的整数部分是a，小数部分是b．（1）a=__________，b=__________．（2）求3a–b的值．18．如图，点A表示的数为–2，一只蚂蚁从点A沿数轴向右直爬2个单位后到达点B，设点B所表示的数为n．（1）求n的值；（2）求|n+1|+（n+22–2）的值．真题练习19．（2018•鄂尔多斯）在227，–2018，4，π这四个数中，无理数是A．227B．–2018 C．4D．π20．（2018•辽阳）在实数–2，3，0，–53中，最大的数是A．–2 B．3 C．0 D．–5 321．（2018•巴彦淖尔）16的算术平方根的倒数是A．14B．1±4C．12D．1±222．（2018•锦州）下列实数为无理数的是A．–5 B．72C．0 D．π23．（2018•南通）如图，数轴上的点A，B，O，C，D分别表示数–2，–1，0，1，2，则表示数2–5的点P应落在A．线段AB上B．线段BO上C．线段OC上D．线段CD上24．（2018•荆州）如图，两个实数互为相反数，在数轴上的对应点分别是点A、点B，则下列说法正确的是A．原点在点A的左边 B．原点在线段AB的中点处C．原点在点B的右边 D．原点可以在点A或点B上25．（2018•常州）已知a为整数，且35a<<，则a等于A．1 B．2 C．3 D．426．（2018•攀枝花）如图，实数–3、x、3、y在数轴上的对应点分别为M、N、P、Q，这四个数中绝对值最小的数对应的点是A．点M B．点N C．点P D．点Q 27．（2018•贺州）在–1、1、2、2这四个数中，最小的数是A．–1 B．1 C．2D．228．（2018•宁夏）计算：|–12|–14的结果是A．1 B．12C．0 D．–129．（2018•攀枝花）下列实数中，无理数是A．0 B．–2 C．3D．1 730．（2018•包头）计算–4–|–3|的结果是A．–1 B．–5 C．1 D．5 31．（2018•福建）已知m=4+3，则以下对m的估算正确的A．2<m<3 B．3<m<4 C．4<m<5 D．5<m<6 32．（2018•湖北）点A，B在数轴上的位置如图所示，其对应的实数分别是a，b，下列结论错误的是A．|b|<2<|a| B．1–2a＞1–2bC．–a<b<2 D．a<–2<–b33．（2018•北京）实数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是A．|a|＞4 B．c–b＞0 C．ac＞0 D．a+c＞0 34．（2018•南京）下列无理数中，与4最接近的是A．11B．13C．17D．19 35．（2018•枣庄）实数a，b，c，d在数轴上的位置如图所示，下列关系式不正确的是A ．|a |＞|b |B ．|ac |=acC ．b <dD ．c +d ＞036．（2018•益阳）计算：|–5|–327+（–2）2+4÷（–23）．37．（2018•大庆）求值：（–1）2018+|1–2|–38．38．（2018•台州）计算：|–2|4-+（–1）×（–3）参考答案1．【答案】B【解析】0、3、13都是有理数，2是无理数．故选B ． 2．【答案】C【解析】–7，π，1.131331333133331……（每两个1之间依次多一个3）是无理数，故选C ． 3．【答案】B【解析】∵1<2<2，∴实数2的值在：1和2之间．故选B ．4．【答案】D【解析】∵7<8<9<π2，∴722<<3<π，∴7223---＞＞＞–π，∴最小的一个数是–π．故选D ． 5．【答案】A 【解析】3273-=-．–3的绝对值是3．故选A ．6．【答案】C【解析】①不带根号的数不一定是有理数，如π，错误；②无限不循环小数是无理数，错误；③任何实数都可以进行开立方运算，正确；④35不是分数，正确；故选C ．8．【答案】B【解析】由图可知，P 点表示的数在9-到4-之间，故选B ．9．【答案】2323；-- 【解析】32-的相反数是23-，绝对值是23-，故答案为：2323；--． 10．【答案】22 【解析】325262(356)2+-=+-=22，故答案为22．11．【答案】5± 【解析】在数轴上离原点距离是的5点表示的数有两个，它们互为相反数，分别是5±，故答案为：5±．12．【答案】3371；-- 【解析】3（1-3）=3-3，7（1-17）=7-1，故答案为3-3；7-1． 13．【解析】有理数集合：｛4，16，23，327，0.15，-7.5，0，23.…｝； 无理数集合：｛15，π-…｝； 正实数集合：｛15，4，16，23，327，0.15，23.…｝； ④负实数集合：｛-7.5，π-…｝．14．【解析】∵x 是|−3|的相反数，∴x 是3的相反数−3，即x =−3．∵y 是−2的绝对值，∴y =2．∴22229414x y -=⨯-=．15．【解析】∵2<7<3，∴a =2，b =7-2，∵|c |=7，∴c =±7，当c =7时，a -b +c =4；当c =-7时，a -b +c =4-27．16．【答案】25–5【解析】∵5+5与5–5的小数部分分别是a 、b ，∴a =（5+5）–7=5–2，b =（5–5）–2=3–5，∴（a +b ）（a –b ）=（5–2+3–5）（5–2–3+5） =25–5．故答案为：25–5．17．【解析】（1）∵4<5<9，∴2<5<3．∴–2＞–5＞–3．∴6–2＞6–5＞6–3，∴4＞6–5＞3．∴a =3，b =3–5．（2）3a –b =3×3–（3–5）=9–3+5=6+5．19．【答案】D【解析】在227，–2018，4，π这四个数中，无理数是π，故选．20．【答案】B【解析】–2<–53<0<3，所以最大的数是3．故选B．21．【答案】C【解析】16=4，则4的算术平方根为2，故2的倒数是：12．故选C．22．【答案】D【解析】A、–5是整数，是有理数，选项错误；B、72是分数，是有理数，选项错误；C、0是整数，是有理数，选项错误；D、π是无理数，选项正确；故选D．23．【答案】B【解析】2<5<3，∴–1<2–5<0，∴表示数2–5的点P应落在线段BO上，故选B．24．【答案】B【解析】∵点A、点B表示的两个实数互为相反数，∴原点在到在线段AB 上，且到点A 、点B 的距离相等，∴原点在线段AB 的中点处，故选B ．25．【答案】B【解析】∵a 为整数，且35a <<，∴a =2．故选B ．26．【答案】B【解析】∵实数–3，x ，3，y 在数轴上的对应点分别为M 、N 、P 、Q ，∴原点在点M 与N 之间，∴这四个数中绝对值最小的数对应的点是点N ，故选B ． 27．【答案】A【解析】在实数–1，1，2，2中，最小的数是–1．故选A ．28．【答案】C【解析】原式=12–12=0，故选C ． 29．【答案】C【解析】0，–2，17是有理数，3是无理数，故选C ． 30．【答案】B【解析】原式=–2–3=–5，故选B ．31．【答案】B【解析】∵m =4+3=2+3，1<3<2，∴3<m <4，故选B ．32．【答案】C【解析】A 、如图所示，|b |<2<|a |，故本选项不符合题意；B 、如图所示，a <b ，则2a <2b ，由不等式的性质知1–2a ＞1–2b ，故本选项不符合题意；C 、如图所示，a <–2<b <2，则–a ＞2＞b ，故本选项符合题意；D 、如图所示，a <–2<b <2且|a |＞2，|b |<2．则a <–2<–b ，故本选项不符合题意； 故选C ．33．【答案】B【解析】∵–4<a <–3，∴|a |<4，∴A 不正确；又∵a<0c＞0，∴ac<0，∴C不正确；又∵a<–3c<3，∴a+c<0，∴D不正确；又∵c＞0b<0，∴c–b＞0，∴B正确；故选B．34．【答案】C【解析】∵16=4，∴与4最接近的是：17．故选C．35．【答案】B【解析】从a、b、c、d在数轴上的位置可知：a<b<0，d＞c＞1；A、|a|＞|b|，故选项正确；B、a、c异号，则|ac|=–ac，故选项错误；C、b<d，故选项正确；D、d＞c＞1，则a+d＞0，故选项正确．故选B．36．【解析】原式=5–3+4–6=0．37．【解析】原式=1+2–1–2=2–2．38．【解析】原式=2–2+3=3．。
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实数全章复习与巩固（提高）
【学习目标】
1.了解算术平方根、平方根、立方根的概念，会用根号表示数的平方根、立方根.
2.了解开方与乘方互为逆运算，会用平方运算求某些非负数的平方根，会用立方运算求某些数的立方根，会用计算器求平方根和立方根.
3.了解无理数和实数的概念，知道实数与数轴上的点一一对应，有序实数对与平面上的点一一对应；了解数的范围由有理数扩大为实数后，概念、运算等的一致性及其发展变化.
4.能用有理数估计一个无理数的大致范围.
【知识网络】
【要点梳理】
【实数复习，知识要点】
要点一、平方根和立方根
要点二、实数
有理数和无理数统称为实数. 1.实数的分类 按定义分：
实数⎧⎨⎩
有理数：有限小数或无限循环小数
无理数：无限不循环小数
按与0的大小关系分：
实数0
⎧⎧⎨⎪
⎩⎪
⎪⎨⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩
正有理数正数正无理数负有理数负数负无理数
要点诠释：（1）所有的实数分成三类：有限小数，无限
循环小数，无限不循环小数．其中有限
小数和无限循环小数统称有理数，无限
不循环小数叫做无理数．
（2）无理数分成三类：
（3
②有特殊意义的数，如π；
③有特定结构的数，如0.1010010001…
（3）凡能写成无限不循环小数的数都是无理数，
并且无理数不能写成分数形式.
（4）实数和数轴上点是一一对应的.
2.实数与数轴上的点一一对应.
数轴上的任何一个点都对应一个实数，反之任何一个实数都能在数轴上找到一个点与之对应.
3.实数的三个非负性及性质：
在实数范围内，正数和零统称为非负数。
我们已经学习过的非负数有如下三种形式：
（1）任何一个实数a的绝对值是非负数，即|a|≥0；
（2）任何一个实数a的平方是非负数，即2a≥0；
（3）任何非负数的算术平方根是非负数，
≥ (0
a≥).
非负数具有以下性质：
（1）非负数有最小值零；
（2）有限个非负数之和仍是非负数；
（3）几个非负数之和等于0，则每个非负数都等于0.
4.实数的运算：
数a的相反数是－a；一个正实数的绝对值是它本身；一个负实数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.
有理数的运算法则和运算律在实数范围内仍然成立.实数混合运算的运算顺序：先乘方、开方、再乘除，最后算加减.同级运算按从左到右顺序进行，有括号先算括号里. 5.实数的大小的比较：
有理数大小的比较法则在实数范围内仍然成立.
法则1. 实数和数轴上的点一一对应，在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大；
法则2．正数大于0，0大于负数，正数大于一切负数，两个负数比较，绝对值大的反而小；
法则3. 两个数比较大小常见的方法有：求差法，求商法，倒数法，估算法，平方法.
【典型例题】
类型一、有关方根的问题
【实数复习，例1】
1、（2015春•仙桃校级期末）一个正数的x的平方根是
2a﹣3与5﹣a，求a和x的值．
【思路点拨】根据平方根的定义得出2a﹣3+5﹣a=0，进而求
出a 的值，即可得出x 的值． 【答案与解析】
解：∵一个正数的x 的平方根是2a ﹣3与5﹣a ， ∴2a ﹣3+5﹣a=0， 解得：a=﹣2， ∴2a ﹣3=﹣7， ∴x=（﹣7）2=49．
【总结升华】此题主要考查了平方根的定义，正确把握定义是解题关键． 举一反三： 【变式1】已知322+-+-=x x y ，求x y 的平方根。
【答案】 解：由题意得：
20
20x x -≥⎧⎨
-≥⎩
解得x ＝2 ∴y ＝3，239x y ==，x y 的平方根为±3.
【变式2】若
373-x 互为相反数,试求x y +的值。
【答案】
解：∵
373-x 和互为相反数, ∴3x －7＋3y ＋4＝0 ∴3（x y +）＝3，x y +＝1.
2、已知M 是满足不等式63<<-
a 的所有整数a 的和，N
是满足不等式2
2
37-≤x 的最大整数．求M ＋N 的平方
根．
【答案与解析】 解：∵
a <<1，0，1，2
所有整数的和M ＝－1＋1＋0＋2＝2 ∵2
2
37-≤
x ≈2，N 是满足不等式2
2
37-≤
x 的最大整数． ∴N ＝2
∴M ＋N ＝4，M ＋N 的平方根是±2.
【总结升华】先由已知条件确定M 、N 的值，再根据平方根
的定义求出M ＋N 的平方根．
类型二、与实数有关的问题
3、已知
a 是
的整数部分，b 是它的小数部分，求
()()32
3a b -++的值．
【思路点拨】一个数是由整数部分＋小数部分构成的.通过
33，再
代入式子求值. 【答案与解析】 解：∵
a b 是它的小数部分，34
∴
3,3a b ==
∴()()
())
2
3
2
3
3333271017a b -++=-+
+=-+=-.
【总结升华】可用夹挤法来确定，即看
的完全平方数之间，然后开平方.这个数减去它的整数部分后就是它的小数部分.
举一反三：
【变式】（2015•杭州）若k＜＜k+1（k是整数），则k=
（）
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】D．
解：∵k＜＜k+1（k是整数），9＜＜10，∴k=9．
4、阅读理解，回答问题.
在解决数学问题的过程中，有时会遇到比较两数大小的问题，解决这类问题的关键是根据命题的题设和结论特征，采用相应办法，其中巧用“作差法”是解决此类问题的一种行之有效的方法：若a－b＞0，则a＞b；若a－b＝0，则a＝b；若a－b＜0，则a＜b.
例如：在比较21
m+与2m的大小时，小东同学的作法是：∵()()
2222
+-=+-=
m m m m
111
∴22
m m
+>
1
请你参考小东同学的作法，比较
2
(2的大小. 【思路点拨】仿照例题，做差后经过计算判断差与0的关系，从而比较大小.
【答案与解析】
解：∵(
2
2(43)70=+=-<
∴
2(2
【总结升华】实数比较大小常用的有作差法和作商法，根据具体情况加以选择. 举一反三：
【高清课堂：389318 实数复习，例5】
【变式】实数a 在数轴上的位置如图所示，则2,1,,a a
a a -的大小
关系是： ；
-1
a
【答案】21a a a a
<<<-
； 类型三、实数综合应用 5、已知a 、b 满
足||0b =，解关于x 的方程
()122-=++a b x a 。
【答案与解析】
解：∵
|0b =
∴2a ＋8＝0, b
－＝0,解得a ＝－4, b
＝，代入方
程：
()221
235
4
a x
b a x x ++=--+=-=∴
【总结升华】先由非负数和为0，则几个非负数分别为0解出a 、b 的值，再解方程. 举一反三：
【变式】设a 、b 、c 都是实数，
且满足08)2(22=+++++-c c b a a ，
求代数式23a b c --的值。
【答案】 解：∵08)2(22=+++++-c c b a a
∴2
20080
a a
b
c c -=⎧⎪++=⎨⎪+=⎩
，解得2
48a b c =⎧⎪=⎨⎪=-⎩
∴2341280a b c --=-+=. 【高清课堂：实数复习，例6】
6、阅读材料：
学习了无理数后，某数学兴趣小组开展了一次探究活
.
小明的方法：
<
3k =+（01k <<
）.∴22(3)k =+.
∴21396k k =++.∴1396k ≈+.解得 46
k ≈
4
3 3.676
≈+
≈. 问题：（1
（2
的公式：已
知非负整数a 、b 、m
，若1a a <<+，且2m a b =+，
则
≈_________________(用含a 、b 的代数式表
示)；
（3）请用（2
）中的结论估算
的近似值.
【答案与解析】 解：（1
）∵
<<
6k =+（01k <<）.
∴
22(6)k =+.
∴2413612k k =++.∴413612k ≈+. 解得 512k ≈. 5
6 6.4212
≈+≈.
（2）∵
1a a <
<+a k =+（01k <<）.
∴
22()a k =+.
∴222m a ak k =++. ∴22m a ak ≈+. 对比2m a b =+，2,2b b ak k a
≈≈
2b a a
≈+
（3）23761,=+
∴6,1a b ==， 1
612
≈+
≈6.083. 【总结升华】此题比较新颖，关键是通过阅读材料快速掌握估值的方法.（2）问中要对比式子，找准a 和b ，表示出2b
k a
≈
.。