空间几何体及投影

空间几何体及投影

一、知识导学

1.了解投影（投影线通过物体，向选定的面透射，并在该面上得到图形的方法）、中心投影（投射线交于一点的投影称为中心投影）、平行投影（投影线互相平行的投影称为平行投影）、斜投影（平行投影投射方向不是正对着投影面的投影）、正投影（平行投影投射方向正对着投影面的投影）的概念.

2.了解三视图的有关概念（视图是指将物体按正投影向投影面投射所得到的图形.光线

自物体的前面向后面投射所得的投影称之为主视图或正视图，自上而下的称为俯视图，自左向右的称为左视图，用这三种视图刻画空间物体的结构，称之为三视图）;了解三视图画法规则，能作出物体的三视图.

3.注意投影和射影的关系，以及在解题中的作用.

二、疑难知识导析

1．三视图间基本投影关系的三条规律：主视图与俯视图长对正，主视图与左视图高平齐，俯视图与左视图宽相等.概括为“长对正，高平齐，宽相等”；看不见的画虚线.

2．主视图的上、下、左、右对应物体的上、下、左、右；俯视图的上、下、左、右对应物体的后、前、左、右；左视图的上、下、左、右对应物体的上、下、后、前.

三、经典例题导讲

[例1]如图，该物体的俯视图是（）.

错解：B.

错因：投影方向不对.

正解：C.

[例2]如图所示的正方体中，E、F分别是AA1,D1C1的中点，G是正方形BDB1D1的中心，则空间四边形AGEF在该正方体面上的投影不可能是（）

A B C D

错解：C.

正解：D

[例3]水平放置的△ABC有一边在水平线上，它的直观图是正△A1B1C1，则△ABC是（）A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 任意三角形

错解：B.

错因：不熟悉斜二侧画法的规则.

正解:C.

[例4] 正方体的全面积是a2，它的顶点都在球面上，这个球的表面积是（）.

A. B. C. D.

错解：A.

错因：对正方体和球的关系理解不清.

正解:B.正方体的对角线就是球的直径.

[例5]（06年江西卷）如图，在四面体ABCD中，截面AEF经过四面体的内切球（与四个面都相切的球）球心O，且与BC，DC分别截于E、F，如果截面将四面体分成体积相等的两部分，设四棱锥A－BEFD与三棱锥A－EFC的表面积分别是S1，S2，则必有（）

A.S1

B.S1>S2

C.S1=S2

D.S1，S2的大小关系不能确定

解：连OA、OB、OC、OD

则V A－BEFD＝V O－ABD＋V O－ABE＋V O－BEFD

V A－EFC＝V O－ADC＋V O－AEC＋V O－EFC又V A－BEFD＝V A－EFC而每个三棱锥的高都是原四面体的内切球的半径，故S ABD＋S ABE＋S BEFD＝S ADC＋S AEC＋S EFC又面AEF公共，故选C

[例6]正三棱台A1B1C1-ABC的侧面与底面成45°角，求侧棱与底面所成角的正切值.

解：解法一如图，设O1，O为上下底面正三角形的中心，连接O1O，A1O1交A1B1于D1，AO 交AB于D.连接D1D.易证A1O1⊥B1C1，AD⊥BC，D1D⊥BC，过A1，D1分别作A1E⊥底面ABC，D1F⊥底面ABC，易证E、F在AD上.

因为正三棱台A1B1C1-ABC的侧面与底面成45°的二面角，所以∠D1DA=45°.因此

A1E=O1O=D1F=FD.设该正三棱台上下底面的边长为a,b,则AD=b,A1D1= a.

所以 A1E=O1O=D1F=FD=b-= (b-a).

AE=(b-a).

所以tan∠A1AE=.

解法二如图，延长AA1，BB1，CC1，则AA1，BB1，CC1相交于一点S.显然点S在DD1的延长线上.由解法一得知，∠SDA为二面角S-BC-A的平面角，故∠SDA=45°.

所以在RtΔSOD中，SO=OD，

因为AO=2·OD，所以tan∠SAO=.

点评:由此例可以看出，在解决棱台的问题时，“还台为锥”利用棱锥的性质来解决棱台问题是一种快捷方便的方法.

[例7]粉碎机的下料斗是正四棱台形，如图所示，它的两底面边长分别是80 mm和440 mm，高是200 mm，计算：

（1）这个下料斗的体积；

（2）制造这样一个下料斗所需铁板的面积（保留两个有效数字）？

分析：要求下料斗所需铁板的面积，就是求正四棱台的侧面积.正四棱台的侧面积公式是S

侧＝（c＋c＇）h＇.

解：（1）因为S上＝4402mm2，S下＝802 mm2，h＝200 mm

（2）下底面周长c＇＝4×80＝320mm，

下底面周长c＝4×440＝1760mm，

斜高h＇＝

S正棱台侧＝（c＋c＇）h＇＝（1760＋320）×269≈2.8×105（mm2）

答：这个下料斗的体积约为1.6×107mm3，制造这样一个下料斗需铁板约2.8×105mm2.

点评：对于实际问题，须分清是求几何体的表面积，还是求侧面积，还是求侧面积与一个底面面积的和，还是求体积.

四、典型习题导练

1．一个直立在水平面上圆柱体的主视图、俯视图、左视图分为（）

A．长方形、圆、矩形 B．矩形、长方形、圆

C．圆、长方形、矩形 D．长方形、矩形、圆

2．直角三角形绕它最长边（即斜边）旋转一周得到的几何体为（）

3.下列平面图中不能围成立方体的是（）.

4．从七边形的某个顶点出发，分别连接这个顶点与其余各顶点，可以把七边形分成_____个三角形．

5. 在球心同侧有相距9cm的两个平行截面，它们的面积分别为49πcm2和400πcm2，求球的表面积.