黑龙江省绥棱一中2015届高三第一次模拟考试 数学理
东北三省三校2015届高三数学一模理
东北三省三校2015年高三第一次联合模拟考试理科数学试卷、选择题（本大题共12小题，每小题5 分,目要求白勺•）x 2 x 1 x x21、已知集合, 1A •x0 x1x0 x 1B •迈i2、复数1 J2i ( ) 2V2 iA •B • 1 i3、占八、1,12到抛物线y ax准线的距离为共60分•在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题2x 0，则Ixc.2，则a的值为（112a n1C • 4或124或12S9，则当S n最大时，nA• 6B. 7 C • 10 D • 95、执行如图所示的程序框图，要使输出的S值小于1, 则输入的t值不能是下面的（）A• 2012 B• 2013 C2014D20156、下列命题中正确命题的个数是（)2①对于命题p: x R ,使得x x 1 0 ,贝y p: x R，均有4、设S n是公差不为零的等差数列的前n项和，且a10若S5()x2x 1 0②p是q的必要不充分条件，则p是q的充分不必要条件③命题“若X y，则sin X sin y”的逆否命题为真命题④“ m 1 ”是“直线11: mx2m 1 y 1 0与直线〔2 ： 3x my 3 0垂直”的充要条件B• 2个C• 3个D. 4个7、如图，网格纸上小正方形的边长为1,若粗线画出的是某几何体的三视图，则此几结束fc=*+l1何体的体积为（）1D .31 4，则这个球的表面积为 __________ .15、 某校高一开设4门选修课，有4名同学，每人只选一门，恰有2门课程没有同学选修， 共有 _____________ 种 不同选课方案（用数字作答）. 16、 已知函数y sin X2cosX （ 0）的图象关于直线X=1对称，则C . 10D . 12 8、设双曲线的一个焦点为 F ，虚轴的一个端点为 则双曲线离心率的取值范围是（ 1^.2 A . ，焦点F 到一条渐近线的距离为 d ，若 C . 1'3D .远 9、不等式组 点，则 y 4表示的点集记为 的概率为（ ，不等式组y 表示的点集记为 ，在 中任取9 A . 32 7 B . 327_ 1610、设二项式 （ ）展开式的二项式系数和与各项系数和分别为a 〔 a ?b | b 2a nb n2n 1 111、已知数列 a n 满足m，若数列的最小项为1，则m 的值为（）已知函数 围为（ ） 12、 1.厂 2 In，若函数FxkX有且只有两个零点，则k 的取值范A . 0,1 0gC .21二、填空题（本大题共 4小题，每小题 5分，共 20分.）13、向量a ,b 满足2a b，则向量a 与b 的夹角为14、三棱柱C 1心各顶点都在一个球面上,侧棱与底面垂直,C 120o , C C 2逅,1B .3C .频率分布表中的①②位置应填什么数？并补全频率分布直方图，再根据频率分布直方图估计这 市民的平均年龄; 20人参加宣传活动，从这 20人中选取2名市民担任主要发言人，设这2名市民中“年龄低于 30岁”的人数为 ，求 的分布列及数学期望.sin 2三、解答题（本大题共 6小题，共 70分.解答应写出文字说明、 17、 （本小题满分12分）已知C 的面积为2，且满足0证明过程或演算步骤.uuu uuur uuur C 4，设 和）uuuC 的夹角为 求的取值范围;求函数2sin 24,3 cos 2的取值范围.18、（本小题满分12分）为调查市民对汽车品牌的认可度，在秋季车展上，从有意购车的 随机抽样100名市民，按年龄情况进行统计的频率分布表1和频率分布直方图 2. 500名市民中,軸*0 05(1 (25.M)) I 20 0 200|30 加 1 __0. 3501 (35.40)30M W140.45) 10 0t 100 (t it 1001 000500名在抽出的100名市民中，按分层抽样法抽取煙犁井再亞方091go«<nmM(MM19、（本小题满分12分）如图，四棱锥 P-ABCD 的底面是边长为1的正方形，PA 丄底面ABCD , E 、F 分 别为AB 、PC 的中点.求证：EF //平面PAD ;圆上，且 F 2与X 轴垂直.求椭圆的方程;作直线与椭圆交于另外一点 ，求 面积的最大值.若PA=2，试问在线段EF 上是否存在点Q ,使得二面角 Q-AP-D 的余弦值为的位置；若不存在，请说明理由.2 2x _ y_ i2 .2 120、（本小题满分12分）已知椭圆a b（ ab 0）的左、右焦点为F2占5在椭-1 ?若存在，确定点2若fX 有两个极值点x 1，x2 （ x 1x2），求证：1 a 2;1f x 2f x求证：2请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.21 y —t 面直角坐标系，直线I 的参数方程是2 （t 为参数）.求曲线C 的直角坐标方程与直线I 的普通方程; 设点 m,°，若直线I 与曲线C 交于24、（本小题满分10分）选修4-5 :不等式选讲 设函数 f x l 2x 1 l x 2 .21、（本小题满分12分）已知a 是实常数，函数x xlnx ax 2 若曲线y1处的切线过点0, 2 ，求实数a 的值;22、（本小题满分10分）选修4-1: 几何证明选讲 如图，在 c 中，C 90 o,以为直径的圆交圆于点.求证：D 是圆 的切线；求证：DC D C D.23、（本小题满分10分）选修 4-4： 坐标系与参数方程 ^交 '-于，点D 是C 边的中点，连接D2cos ,以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为X 轴的正半轴，建立平两点，且1，求实数m 的值.已知曲线C 的极坐标方程是东北三省三校2015年三校第一次联合模拟考试理科数学试题参考答案 选择题：1.B2.C3.C4.B5.A6.B7.C8.A9.A 10.C 11.B12.C4填空题：13. 900 14. 64 15. 84 16.5三•解答题：17•解：（I ）设△ ABC 中角A B , C 的对边分别为a b, c ,可得tan 1，所以：4 2 .6分2 nf ( ) 2sin•、一 3cos 21 cos n 2.3cos2n)42r~sin 2 -.3cos2 1 2si n2n 1(1 sin 2 ). 3 cos 23.8分[—,—) 2 — [-,2 )- •. 2 < 2si n 2n 1< 34 2 3 6 33.18.解：（1）由表知：①，②分别填35, 0.300 .补全频率分布直方图如下：2分扛频率 组距解不等式f x 0 若X 0R，使得X2m4m，求实数m 的取值范围.年龄（岁）50rd *2025303540450908070605040302000 0000 00.01则由已知: bcsin2 20 bccos 4即当5 n n 12 时f( ) max3•当4 时f ( )min212分所以：函数f（）的取值范围是[2,3]5一(45 0.05 55 0.2 65 0.35 75 0.3 85 0.1) 33.5平均年龄估值为：2 \1(2)由表知：抽取的20人中，年龄低于30岁的有5人，X 的可能取值为0,1,2 P(X 0) C 2 15C 22021 38P(X 1) C ；C 115 X 的分布列为21 38 115 382 2015 3822 38P(X 2) C ； c 20238 期望E(X) 021 1 38 15 38 2 2 38 (人) 19.证明：(i )取PD 中点M , 连接MF , MA,在厶CPD 中，F 为 PC 的中点, MF//1 DC 2 ，正方形ABCD 中E 为AB 中点,AE//1 DC2AE//MF 故：EFMA 为平行四边形 EF //AM又EF平面 PAD AM 平面 PADEF // 平面 PAD(n )如图：以点 A 为坐标原点建立空间直角坐标系 ：1 1 1P(0,0, 2), B(0,1,0),C(1,1,0),E(0, ,0), F( , ,1)2 2 2由题易知平面PAD 的法向量为(0,1,0)假设存在Q 满足条件:uu u EQuuu uuu EF ,EF1 1(2,0,1),Q(2,2,)2ycos m, nuuuuuu rAP (0,0, 2), AQ),设平面I T m (1,,0)m nPAQ的法向量为(x, y,z)由已知:yc分2分4z I10分2x故椭圆方程为 8由已知:k即：2k 2 1\42 2k, 2O到直线AB 的距离：1k 22k 2 12k 2 11,2 U 2,42 ——2——2,0 U 0,22k 1此时 S AOB (0,2 2]解得:2 所以：满足条件的Q 存在，是EF 中点。
黑龙江省绥化市绥棱一中高三数学上学期第一次月考试卷 理(含解析)
黑龙江省绥化市绥棱一中2015届高三上学期第一次月考数学试卷（理科）一、选择题（每小题5分，共60分）1．在复平面内，复数对应的点位于( )A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限考点：复数代数形式的混合运算．分析：复数分母实数化，再化简即可．解答：解：=故选D．点评：本题考查复数代数形式的运算，复数和复平面内的点的对应关系，是基础题．2．集合M={x|lgx＞0}，N={x|x2≤4}，则M∩N=( )A．（1，2）B．D．考点：对数函数的单调性与特殊点；交集及其运算．专题：计算题．分析：先求出集合M、N，再利用两个集合的交集的定义求出M∩N．解答：解：∵M={x|lgx＞0}={x|x＞1}，N={x|x2≤4}={x|﹣2≤x≤2}，∴M∩N={x|1＜x≤2}，故选C．点评：本题主要考查对数函数的单调性和特殊点，两个集合的交集的定义和求法，属于基础题．3．若向量=（1，1），=（2，5），=（3，x）满足条件（8﹣）•=30，则x=( ) A．6 B．5 C．4 D．3考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：根据所给的向量的坐标，写出要用的8﹣的坐标，根据它与的数量积是30，利用坐标形式写出两个向量的数量积，得到关于x的方程，解方程即可．解答：解：∵向量=（1，1），=（2，5），∴∴∴x=4．故选C．点评：向量的坐标运算帮助认识向量的代数特性．向量的坐标表示，实现了“形”与“数”的互相转化．以向量为工具，几何问题可以代数化，向量是数形结合的最完美体现．4．给定下列两个命题：①“p∨q”为真是“¬p”为假的必要不充分条件；②“∃x∈R，使sinx＞0”的否定是“∀x∈R，使sinx≤0”．其中说法正确的是( )A．①真②假B．①假②真C．①和②都为假D．①和②都为真考点：命题的真假判断与应用．专题：简易逻辑．分析：①“p∨q”为真，则p，q中至少有一个为真，推不出“¬p”为假；反之成立，由充分必要条件即可判断；②由存在性命题的否定是全称性命题，即可判断．解答：解：①“p∨q”为真，则p，q中至少有一个为真，推不出“¬p”为假；若“¬p”为假，则p为真，“p∨q”为真，故“p∨q”为真是“¬p”为假的必要不充分条件，故①正确；②“∃x∈R，使sinx＞0”的否定是“∀x∈R，使sinx≤0”．故②正确．故选：D．点评：本题考查简易逻辑的基础知识：充分必要条件的判断和命题的否定，属于基础题．5．函数f（x）=lnx+4x﹣13的零点一定位于区间( )A．（1，2）B．（2，3）C．（3，4）D．（4，5）考点：函数零点的判定定理．专题：函数的性质及应用．分析：由函数的解析式求得 f（2）＜0，f（3）＞0，再根据函数零点的判定定理可得函数f （x）=lnx+4x﹣13的零点所在的区间．解答：解：∵函数f（x）=lnx+4x﹣13，∴f（2）=ln2﹣5＜0，f（3）=ln3﹣1＞0，根据函数零点的判定定理可得函数f（x）=lnx+4x﹣13的零点一定位于区间为（2，3），故选B．点评：本题主要考查函数零点的判定定理的应用，属于基础题．6．已知，则的值为( )A．B．C．D．考点：二倍角的余弦；两角和与差的余弦函数．专题：计算题；三角函数的求值．分析：利用诱导公式可知，cos（2θ+）=﹣sin2θ，再由sinθ+cosθ=求得sin2θ即可．解答：解：∵sinθ+cosθ=，∴两边平方得：1+sin2θ=，∴sin2θ=﹣∴cos（2θ+）=﹣sin2θ=．故选A．点评：本题考查诱导公式与二倍角的正弦，求得sin2θ的值是关键，属于中档题．7．已知f（x）在R上是奇函数，且f（x+4）=f（x），当x∈（0，2）时，f（x）=2x2，则f （7）=( )A．﹣2 B．2 C．﹣98 D．98考点：函数的周期性；奇函数；函数奇偶性的性质．分析：利用函数周期是4且为奇函数易于解决．解答：解：因为f（x+4）=f（x），故函数的周期是4所以f（7）=f（3）=f（﹣1），又f（x）在R上是奇函数，所以f（﹣1）=﹣f（1）=﹣2×12=﹣2，故选A．点评：本题考查函数的奇偶性与周期性．8．已知等差数列{a n}中，a2=6，a5=15，若b n=a2n，则数列{b n}的前5项和等于( ) A．30 B．45 C．90 D．186考点：等差数列．专题：压轴题．分析：利用等差数列的通项公式，结合已知条件列出关于a1，d的方程组，解出a1，d，可得a n，进而得到b n，然后利用前n项和公式求解即可．解答：解：设{a n}的公差为d，首项为a1，由题意得，解得；∴a n=3n，∴b n=a2n=6n，且b1=6，公差为6，∴S5=5×6+=90．故选C．点评：本题考查了等差数列的通项公式、前n项和公式，熟练应用公式是解题的关键．9．函数f（x）=ln|x﹣1|的图象大致是( )A．B．C．D．考点：对数函数的图像与性质．专题：分类讨论．分析：题目中函数解析式中含有绝对值，须对x﹣1的符号进行讨论，去掉绝对值转化为对数函数考虑，利用对数函数的图象与性质解决．解答：解：∵当x＞1时，f（x）=ln|x﹣1|=ln（x﹣1），其图象为：∵当x＜1时，f（x）=ln|x﹣1|=ln（1﹣x），其图象为：综合可得，B符合，故选B．点评：本题考查对数函数的图象与性质，对数函数的图象是对数函数的一种表达形式，形象地显示了函数的性质，为研究它的数量关系提供了“形”的直观性．10．函数f（x）=Asin（ωx+φ）（其中）的图象如图所示，为了得到g（x）=sin2x的图象，则只需将f（x）的图象( )A．向右平移个长度单位B．向右平移个长度单位C．向左平移个长度单位D．向左平移个长度单位考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．专题：计算题；数形结合．分析：由已知中函数f（x）=Asin（ωx+φ）的图象，我们易分析出函数的周期、最值，进而求出函数f（x）=Asin（ωx+φ）的解析式，设出平移量a后，根据平移法则，我们可以构造一个关于平移量a的方程，解方程即可得到结论．解答：解：由已知中函数f（x）=Asin（ωx+φ）（其中）的图象，过（，0）点，（）点，易得：A=1，T=4（）=π，即ω=2即f（x）=sin（2x+φ），将（）点代入得：+φ=+2kπ，k∈Z又由∴φ=∴f（x）=sin（2x+），设将函数f（x）的图象向左平移a个单位得到函数g（x）=sin2x的图象，则2（x+a）+=2x解得a=﹣故将函数f（x）的图象向右平移个长度单位得到函数g（x）=sin2x的图象，故选A点评：本题考查的知识点是由函数f（x）=Asin（ωx+φ）的图象确定其中解析式，函数f（x）=Asin（ωx+φ）的图象变换，其中根据已知中函数f（x）=Asin（ωx+φ）的图象，求出函数f（x）=Asin（ωx+φ）的解析式，是解答本题的关键．11．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cos（A﹣C）=1﹣cosB，a=2c，则cos2C 的值为( )A．B．C．D．考点：两角和与差的余弦函数；二倍角的余弦．专题：解三角形．分析：利用两角和公式对原式进行整理求得sinAsinC的值，然后利用正弦定理求得sinA和sinC的关系，进而求得sinC，最后通过二倍角公式求得答案．解答：解：∵cos（A﹣C）=1﹣cosB，∴cosAcosC+sinAsinC=1+cos（A+C）=1+cosAcosC﹣sinAsinC，∴sinAsinC=，∵a=2c，∴sinA=2sinC，∴2sin2C=，cos2C=1﹣2sin2C=，故选：A．点评：本题主要考查了两角和与差的余弦函数和二倍角公式的运用．考查了学生对三角函数基础公式的熟练记忆和灵活运用．12．已知函数y=f（x）是定义在实数集R上的奇函数，f′（x）是f（x）的导函数，且当x ＞0，f（x）+xf′（x）＞0，设a=（log4）f（log4），b=f（），c=（lg）f（lg），则a，b，c的大小关系是( )A．c＞a＞b B．c＞b＞a C．a＞b＞c D．a＞c＞b考点：导数的运算；函数单调性的性质；不等关系与不等式．专题：计算题；函数的性质及应用；导数的综合应用．分析：由已知想到构造函数F（x）=xf（x），求导后判断出其单调性，然后比较的绝对值的大小，最后借助于F（x）是偶函数和其单调性得到答案．解答：解：令F（x）=xf（x），∵函数y=f（x）是定义在实数集R上的奇函数，∴F（x）为定义在实数集上的偶函数．由F′（x）=f（x）+xf′（x），∵当x＞0，f（x）+xf′（x）＞0，∴F（x）在（0，+∞）上为增函数．∵，，∴．则．即a＞b＞c．故选：C．点评：本题考查了不等关系与不等式，考查了导数的运算法则，训练了函数构造法，解答的关键是掌握偶函数的性质f（x）=f（|x|），是中档题．二、选择题（每小题5分，共20分）13．=．考点：微积分基本定理．分析：根据微积分基本定理进行直接求解即可．解答：解：由微积分定理可得=．故答案为：点评：本题主要考查微积分定理的基本应用，要求熟练掌握积分公式．14．在等比数列{a n}中，a1=1，公比|q|≠1．若a m=a1a2a3a4a5，则m等于11．考点：等比数列的通项公式．专题：计算题．分析：由等比数列的性质可知，若a m=a1a2a3a4a5===q10=a11可求m解答：解：∵a1=1由等比数列的性质可知，若a m=a1a2a3a4a5===q10=a11∴m=11故答案为11点评：本题主要考查了等比数列的性质及通项公式的应用，属于基础试题15．已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c的图象过点A（2，1），且在点A处的切线方程2x﹣y+a=0，则a+b+c=0．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：计算题；导数的概念及应用．分析：由函数f（x）=x3+ax2+bx+c的图象过点A（2，1），推导出8+4a+2b+c=1，由f（x）在点A处的切线方程2x﹣y+a=0，推导出f′（2）=3×4+2a×2+b=2，a=﹣3，由此能求出a+b+c 的值．解答：解：∵函数f（x）=x3+ax2+bx+c的图象过点A（2，1），∴8+4a+2b+c=1，且f′（x）=3x2+2ax+b，∵f（x）在点A处的切线方程2x﹣y+a=0，∴f′（2）=3×4+2a×2+b=12+4a+b=2，f（x）在点A处的切线方程为y﹣1=2（x﹣2），即2x﹣y﹣3=0，∴，解得a=﹣3，b=2，c=1，∴a+b+c=﹣3+2+1=0．故答案为：0．点评：本题考查利用导数研究曲线上某点处的切线方程的求法及其应用，解题时要认真审题，注意等价转化思想的合理运用．16．=8．考点：二倍角的余弦；三角函数的化简求值．专题：三角函数的求值．分析：原式分子第二项利用同角三角函数间的基本关系化简，分母第一项利用二倍角的余弦函数公式化简，分子分母乘以cos12°，分子利用两角和与差的正弦函数公式化简，分母利用二倍角的正弦函数公式化简，约分即可得到结果．解答：解：原式=====8．故答案为：8点评：此题考查了二倍角的正弦、余弦函数公式，两角和与差的正弦函数公式，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握公式是解本题的关键．三、解答题：（本大题共6小题，共70分）17．以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，且两个坐标系取相等的单位长度．已知直线l经过点P（1，1），倾斜角α=．（Ⅰ）写出直线l的参数方程；（Ⅱ）设l与圆ρ=2相交于两点A、B，求点P到A、B两点的距离之积．考点：简单曲线的极坐标方程．专题：计算题．分析：（I）根据直线经过的点的坐标及直线的倾斜角，求出直线的参数方程．（II）设A，B对应的参数为t1和t2，以直线l的参数方程代入圆的方程整理得到 t2+（+1）t﹣2=0，由|PA|•|PB|=|t1t2|求出点P到A、B两点的距离之积．解答：解：（I）直线的参数方程是．（Ⅱ）因为点A，B都在直线l上，所以可设它们对应的参数为t1和t2，圆化为直角坐标系的方程 x2+y2=4，以直线l的参数方程代入圆的方程整理得到 t2+（+1）t﹣2=0 ①，因为t1和t2是方程①的解，从而 t1t2=﹣2．所以，|PA|•|PB|=|t1t2|=|﹣2|=2．点评：本题考查直线的参数方程以及参数的几何意义，极坐标方程化为直角坐标方程，利用直线的参数方程中参数的几何意义是解题的关键．18．已知函数（1）求f（x）的最小正周期及其单调增区间．（2）当时，求f（x）的值域．考点：二倍角的正弦；两角和与差的正弦函数；三角函数的最值．专题：计算题；三角函数的图像与性质．分析：（1）通过二倍角公式以及两角和的正弦函数化简函数的表达式，求出函数的正确，利用函数的单调性求出函数的单调增区间．（2）结合x的范围求出2x+的范围，通过正弦函数的值域求解f（x）的值域．解答：解：（1）函数=sin2x+cos2x+1=2sin（2x+）+1．所以函数的最小正周期是=π．2x+，k∈Z，所以f（x）的单调增区间，k∈Z，（2）因为，所以2x+∈，2sin（2x+）+1∈．所以f（x）的值域为．点评：本题考查二倍角公式的应用，两角和与差的正弦函数以及性质，考查计算能力．19．已知||=1，||=2，与的夹角为60°，求：（1）在方向上的投影；（2）=λ+与=+2的夹角为锐角，求λ的取值范围．考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：（1利用向量投影的定义可得：在方向上的投影=；（2）利用数量积的定义可得=．由于=λ+与=+2的夹角为锐角，可得＞0，且与不能同向共线．解出即可．解答：解：（1）∵||=1，||=2，与的夹角为60°，∴在方向上的投影==；（2）===1．∵=λ+与=+2的夹角为锐角，∴＞0，且与不能同向共线．由＞0，可得==λ+8+（2λ+1）×1=3λ+9＞0，解得λ＞﹣3．若与同向共线，则=|λ+||+2|，∴，解得．∴λ的取值范围是．点评：本题考查了向量投影的定义、数量积的定义、向量的夹角，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．20．已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，（1）求A的大小；（2）若a=7，求△ABC的周长的取值范围．考点：解三角形的实际应用．专题：解三角形．分析：（1）利用正弦定理，结合和差的正弦公式，化简可得结论；（2）利用余弦定理结合基本不等式，可求△ABC的周长的取值范围．解答：解：（1）∵，∴由正弦定理可得，∴sinAcosC+sinAsinC=sin（A+C）+sinC，∴sinA﹣cosA=1，∴sin（A﹣30°）=，∴A﹣30°=30°，∴A=60°；（2）由题意，b＞0，c＞0，b+c＞a=7，∴由余弦定理49==（b+c）2﹣3bc≥（b+c）2（当且仅当b=c时取等号），∴b+c≤14，∵b+c＞7，∴7＜b+c≤14，∴△ABC的周长的取值范围为（14，21]．点评：本题考查正弦定理、余弦定理的运用，考查基本不等式，考查学生的计算能力，属于中档题．21．设数列{a n}的前n项积为T n，且T n=2﹣2a n（n∈N*）．（Ⅰ）求证数列是等差数列；（Ⅱ）设b n=（1﹣a n）（1﹣a n+1），求数列{b n}的前n项和S n．考点：数列的求和；等差关系的确定．专题：综合题；等差数列与等比数列．分析：（Ⅰ）由已知，令n=1可求T1，然后利用已知变形可得：T n•T n﹣1=2T n﹣1﹣2T n（n≥2），变形即可证明（Ⅱ）由等差数列，可求，进而可求a n，代入即可求解b n，结合数列的特点考虑利用裂项求和解答：解：（Ⅰ）∵T n=2﹣2a n∴T1=2﹣2T1∴∴由题意可得：T n•T n﹣1=2T n﹣1﹣2T n（n≥2），所以∴数列是以为公差，以为首项的等差数列（Ⅱ）∵数列为等差数列，∴，∴，∴，∴==点评：本题主要考查了利用数列的递推公式构造等比数列求解数列的通项公式及数列的裂项求和方法的应用．22．设函数f（x）=x2+bx﹣alnx．（Ⅰ）若x=2是函数f（x）的极值点，1和x0是函数f（x）的两个不同零点，且x0∈（n，n+1），n∈N，求n．（Ⅱ）若对任意b∈，都存在x∈（1，e）（e为自然对数的底数），使得f（x）＜0成立，求实数a的取值范围．考点：利用导数研究函数的极值；导数在最大值、最小值问题中的应用．专题：导数的综合应用．分析：（Ⅰ）先求导得到，由，f（1）=1+b=0，得到a与b的值，再令导数大于0，或小于0，得到函数的单调区间，再由零点存在性定理得到得到x0∈（3，4），进而得到n的值；（Ⅱ）令g（b）=xb+x2﹣alnx，b∈，问题转化为在x∈（1，e）上g（b）max=g（﹣1）＜0有解即可，亦即只需存在x0∈（1，e）使得x2﹣x﹣alnx＜0即可，连续利用导函数，然后分别对1﹣a≥0，1﹣a＜0，看是否存在x0∈（1，e）使得h（x0）＜h（1）=0，进而得到结论．解答：解：（Ⅰ），∵x=2是函数f（x）的极值点，∴．∵1是函数f（x）的零点，得f（1）=1+b=0，由，解得a=6，b=﹣1．…∴f（x）=x2﹣x﹣6lnx，令=，x∈（0，+∞），得x＞2；令f′（x）＜0得0＜x＜2，所以f（x）在（0，2）上单调递减；在（2，+∞）上单调递增．…故函数f（x）至多有两个零点，其中1∈（0，2），x0∈（2，+∞），因为f（2）＜f（1）=0，f（3）=6（1﹣ln3）＜0，f（4）=6（2﹣ln4）=0，所以x0∈（3，4），故n=3．…（Ⅱ）令g（b）=xb+x2﹣alnx，b∈，则g（b）为关于b的一次函数且为增函数，根据题意，对任意b∈，都存在x∈（1，e）（e 为自然对数的底数），使得f（x）＜0成立，则在x∈（1，e）上，有解，令h（x）=x2﹣x﹣alnx，只需存在x0∈（1，e）使得h（x0）＜0即可，由于，令φ（x）=2x2﹣x﹣a，x∈（1，e），φ'（x）=4x﹣1＞0，∴φ（x）在（1，e）上单调递增，φ（x）＞φ（1）=1﹣a，…①当1﹣a≥0，即a≤1时，φ（x）＞0，即h′（x）＞0，h（x）在（1，e）上单调递增，∴h（x）＞h（1）=0，不符合题意．②当1﹣a＜0，即a＞1时，φ（1）=1﹣a＜0，φ（e）=2e2﹣e﹣a若a≥2e2﹣e＞1，则φ（e）＜0，所以在（1，e）上φ（x）＜0恒成立，即h′（x）＜0恒成立，∴h（x）在（1，e）上单调递减，∴存在x0∈（1，e）使得h（x0）＜h（1）=0，符合题意．若2e2﹣e＞a＞1，则φ（e）＞0，∴在（1，e）上一定存在实数m，使得φ（m）=0，∴在（1，m）上φ（x）＜0恒成立，即h′（x）＜0恒成立，∴h（x）在（1，e）上单调递减，∴存在x0∈（1，e）使得h（x0）＜h（1）=0，符合题意．综上所述，当a＞1时，对任意b∈，都存在x∈（1，e）（e 为自然对数的底数），使得f（x）＜0成立．…点评：本题考查利用导数求函数性质的应用，考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想．对数学思维的要求比较高，有一定的探索性．综合性强，难度大，是2015届高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答．。
东北三省三校一模联考数学(理)试题
东北三省三校2015年高三第一次联合模拟考试理科数学试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1、已知集合{}21x x A =-<<，{}220x x x B =-≤，则A B =（ ）A ．{}01x x <<B ．{}01x x ≤<C ．{}11x x -<≤D ．{}21x x -<≤ 2、复数212ii+=-（ ）A ．()22i + B ．1i + C ．i D ．i -3、点()1,1M 到抛物线2y ax =准线的距离为2，则a 的值为（ ）A ．14B ．112-C ．14或112- D ．14-或1124、设n S 是公差不为零的等差数列{}n a 的前n 项和，且10a >，若59S S =，则当n S 最大时，n =（ ）A ．6B ．7C ．10D ．9 5、执行如图所示的程序框图，要使输出的S 值小于1，则输入的t 值不能是下面的（ ） A ．2012 B ．2013 C ．2014 D ．2015 6、下列命题中正确命题的个数是（ ）①对于命题:p R x ∃∈，使得210x x +-<，则:p ⌝R x ∀∈，均有210x x +->②p 是q 的必要不充分条件，则p ⌝是q ⌝的充分不必要条件③命题“若x y =，则sin sin x y =”的逆否命题为真命题④“1m =-”是“直线1:l ()2110mx m y +-+=与直线2:l 330x my ++=垂直”的充要条件A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 7、如图，网格纸上小正方形的边长为1，若粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（ ） A ．6 B ．8 C ．10 D ．128、设双曲线的一个焦点为F ，虚轴的一个端点为B ，焦点F 到一条渐近线的距离为d ，若F 3d B ≥，则双曲线离心率的取值范围是（ ）A ．(1,2⎤⎦B ．)2,⎡+∞⎣C ．(]1,3D ．)3,⎡+∞⎣9、不等式组2204x y -≤≤⎧⎨≤≤⎩表示的点集记为A ，不等式组220x y y x -+≥⎧⎨≥⎩表示的点集记为B ，在A 中任取一点P ，则P∈B 的概率为（ ）A ．932B ．732C ．916D ．71610、设二项式12nx ⎛⎫- ⎪⎝⎭（n *∈N ）展开式的二项式系数和与各项系数和分别为n a ，n b ，则1212nna a ab b b ++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅+（ ）A ．123n -+B ．()1221n -+C ．12n +D ．111、已知数列{}n a 满足3215334n a n n m =-++，若数列的最小项为1，则m 的值为（ ）A ．14B ．13C ．14-D ．13-12、已知函数()()()()21102ln 10x x f x x x ⎧+≥⎪=⎨⎪--<⎩，若函数()()F x f x kx =-有且只有两个零点，则k 的取值范围为（ ）A ．()0,1B ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．1,12⎛⎫⎪⎝⎭D ．()1,+∞二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）13、向量a ，b 满足1a =，2b =，()()2a b a b +⊥-，则向量a 与b 的夹角为 ．14、三棱柱111C C AB -A B 各顶点都在一个球面上，侧棱与底面垂直，C 120∠A B =，C C 23A =B =，14AA =，则这个球的表面积为 ．15、某校高一开设4门选修课，有4名同学，每人只选一门，恰有2门课程没有同学选修，共有 种不同选课方案（用数字作答）．16、已知函数()()sin 2cos y x x πϕπϕ=+-+（0ϕπ<<）的图象关于直线1x =对称，则sin 2ϕ= ．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17、（本小题满分12分）已知C ∆AB 的面积为2，且满足0C 4<AB⋅A ≤，设AB 和C A 的夹角为θ． ()1求θ的取值范围；()2求函数()22sin 3cos 24f πθθθ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭的取值范围． 18、（本小题满分12分）为调查市民对汽车品牌的认可度，在秋季车展上，从有意购车的500名市民中，随机抽样100名市民，按年龄情况进行统计的频率分布表1和频率分布直方图2．()1频率分布表中的①②位置应填什么数？并补全频率分布直方图，再根据频率分布直方图估计这500名市民的平均年龄；()2在抽出的100名市民中，按分层抽样法抽取20人参加宣传活动，从这20人中选取2名市民担任主要发言人，设这2名市民中“年龄低于30岁”的人数为X ，求X 的分布列及数学期望． 19、（本小题满分12分）如图，四棱锥CD P -AB 的底面是边长为1的正方形，PA ⊥底面CD AB ，E 、F 分别为AB 、C P 的中点．()I 求证：F//E 平面D PA ；()II 若2PA =，试问在线段F E 上是否存在点Q ，使得二面角Q D -AP -的余弦值为5？若存在，确定点Q 的位置；若不存在，请说明理由．20、（本小题满分12分）已知椭圆22221x y a b+=（0a b >>）的左、右焦点为1F 、2F ，点()2,2A 在椭圆上，且2F A 与x 轴垂直．()1求椭圆的方程；()2过A 作直线与椭圆交于另外一点B ，求∆AOB 面积的最大值．21、（本小题满分12分）已知a 是实常数，函数()2ln f x x x ax =+．()1若曲线()y f x =在1x =处的切线过点()0,2A -，求实数a 的值；()2若()f x 有两个极值点1x ，2x （12x x <）， ()I 求证：102a -<<； ()II 求证：()()2112f x f x >>-．请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分． 22、（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，在C ∆AB 中，C 90∠AB =，以AB 为直径的圆O 交C A 于点E ，点D 是C B 边的中点，连接D O 交圆O 于点M ． ()I 求证：D E 是圆O 的切线；()II 求证：D C D C D E⋅B =M⋅A +M⋅AB ．23、（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 已知曲线C 的极坐标方程是2cos ρθ=，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程是3212x t m y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）． ()I 求曲线C 的直角坐标方程与直线l 的普通方程；()II 设点(),0m P ，若直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，且1PA ⋅PB =，求实数m 的值．24、（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 设函数()212f x x x =--+．()I 解不等式()0f x >；()II 若0R x ∃∈，使得()2024f x m m +<，求实数m 的取值范围．东北三省三校2015年三校第一次联合模拟考试理科数学试题参考答案一．选择题：1.B2.C3.C4.B5.A6.B7.C8.A9.A 10.C 11.B 12.C 二．填空题：13. 900 14. 64π 15. 84 16. 54-三．解答题： 17.解：（Ⅰ）设ABC △中角A B C ，，的对边分别为a b c ，，， 则由已知：2sin 21=θbc ，4cos 0≤<θbc ， 4 分 可得1tan ≥θ，所以：)2,4[ππθ∈． 6 分（Ⅱ）2π()2sin 24f θθθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭π1cos 222θθ⎡⎤⎛⎫=-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦(1sin 2)2θθ=+πsin 2212sin 213θθθ⎛⎫=+=-+ ⎪⎝⎭． 8 分)2,4[ππθ∈ ，∴)32,6[32πππθ∈-，π22sin 2133θ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭∴≤≤．即当5π12θ=时，max ()3f θ=；当π4θ=时，min ()2f θ=．所以：函数)(θf 的取值范围是]3,2[ 12 分 18.解：（1）由表知：①，②分别填300.0,35.补全频率分布直方图如下: 2 分3 分年龄(岁)平均年龄估值为:5.33)1.0853.07535.0652.05505.045(21=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯（岁）6 分 (2)由表知:抽取的20人中,年龄低于30岁的有5人,X 的可能取值为0,1,23821)0(222015===C C X P 3815)1(22011515===C C C X P 382)2(22025===C C X P 9 分X 的分布列为X12P3821 3815 382 10 分 期望2138223815138210)(=⨯+⨯+⨯=X E （人） 12 分 19.证明: (Ⅰ)取PD 中点M , 连接MA MF ,, 在△CPD 中, F 为PC 的中点, DC MF 21//∴,正方形ABCD 中E 为AB 中点,DC AE 21//∴,MF AE //∴ 故：EFMA 为平行四边形 AM EF //∴ 2 分又⊄EF 平面PAD ,⊂AM 平面PAD ∴//EF 平面PAD 4 分(Ⅱ) 如图：以点A 为坐标原点建立空间直角坐标系:111(0,0,2),(0,1,0),(1,1,0),(0,,0),(,,1)222P B C E F由题易知平面PAD 的法向量为)0,1,0(=n ， 6 分 假设存在Q 满足条件：设11,(,0,1),(,,)222EQ EF EF Q λλλ== ,]1,0[∈λ1(0,0,2),(,,),22AP AQ λλ==设平面PAQ 的法向量为(,,)m x y z =,10(1,,0)220x y z m z λλλ⎧++=⎪⇒=-⎨⎪=⎩ 10 分 ∴ 21,cos λλ+-=⋅>=<nm n m n m 由已知：5512=+λλ解得：21=λ 所以：满足条件的Q 存在，是EF 中点。
东北三省四市教研联合体2015届高三第一次模拟考试 数学(理)试题
东北三省四市教研联合体2015届高三第一次模拟考试数学（理）试题一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1、设集合{}23x x M =-<<，{}121x x +N =≤，则()RMN =ð（ ）A ．()3,+∞B ．(]2,1--C ．()1,3-D ．[)1,3- 2、复数21iz i=+（i 为虚数单位）在复平面上对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限3、下列四个命题中真命题的个数是（ ） ①“1x =”是“2320x x -+=”的充分不必要条件 ②命题“R x ∀∈，sin 1x ≤”的否定是“R x ∃∈，sin 1x >” ③“若22am bm <，则a b <”的逆命题为真命题④命题:p [)1,x ∀∈+∞，lg 0x ≥，命题:q R x ∃∈，210x x ++<，则p q ∨为真命题A ．0B ．1C ．2D ．3 4、执行如图所示的程序框图，则输出的结果为（ ） A ．20 B ．30 C ．40 D ．50 5、将函数()cos2f x x =的图象向右平移4π个单位后得到函数()g x ，则()g x 具有性质（ ） A ．最大值为1，图象关于直线2x π=对称 B ．在0,4π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，为奇函数C ．在3,88ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，为偶函数D ．周期为π，图象关于点3,08π⎛⎫ ⎪⎝⎭对称6、等比数列{}n a 中，42a =，75a =，则数列{}lg n a 的前10项和等于（ ）A ．2B ．lg 50C ．10D ．57、某由圆柱切割获得的几何体的三视图如图所示，其中俯视图是圆心角为60的扇形，则该几何体的侧面积为（ ）A ．10123π+B ．1063π+ C ．122π+ D ．64π+8、已知抛物线22y px =（0p >）与椭圆22221x y a b+=（0a b >>）有相同的焦点F ，点A 是两曲线的一个公共点，且F A ⊥x 轴，则椭圆的离心率为（ ）A 1B 1CD ．129、已知C 90∠AB =，PA ⊥平面C AB ，若C 1PA =AB =B =，则四面体C PAB 的外接球（顶点都在球面上）的表面积为（ ）A ．πB ．C ．2πD ．3π10、在如图所示的坐标平面的可行域内（阴影部分且包括边界），若目标函数z x ay =+取得最小值的最优解有无数个，则yx a-的最大值是（ ） A ．25 B ．23C ．16D ．1411、若G 是C ∆AB 的重心，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，若3G G GC 0a b c A +B +=，则角A =（ ） A ．90 B ．60 C ．45D ．3012、已知数列{}n a 中，0n a >，11a =，211n n a a +=+，10096a a =，则20143a a +=（ ）A ．52 B ． C ．D ．12-二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）13、设随机变量X 服从正态分布()1,4N ，若()()125a a P X >+=P X <-，则a = ． 14、设212a xdx =⎰，则61ax x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中常数项为 ．15、在直角梯形CD AB 中，D//C A B ，C 90∠AB =，C 2AB =B =，D 1A =，梯形所在平面内一点P 满足C 2BA +B =BP ，则C D P ⋅P = ．16、已知函数()()()()211221x x x x f x x e e x e e ---=----，则满足()0f x >的实数x 的取值范围为 ．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17、（本小题满分12分）C ∆AB 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，4πB =，tan 4π⎛⎫A += ⎪⎝⎭()I 求角C ；()II 若b c -=C ∆AB 的面积．18、（本小题满分12分）2014年7月16日，中国互联网络信息中心发布《第三十四次中国互联网发展状况报告》，报告显示：我国网络购物用户已达3.32亿．为了了解网购者一次性购物金额情况，某统计部门随机抽查了6月1日这一天100名网购者的网购情况，得到如下数据统计表．已知网购金额在2000元以上（不含2000元）的频率为0.4．()I 确定x ，y ，p ，q 的值，并补全频率分布直方图；()II 为进一步了解网购金额的多少是否与网龄有关，对这100名网购者调查显示：购物金额在2000元以上的网购者中网龄3年以上的有35人，购物金额在2000元以下（含2000元）的网购者中网龄不足3年的有20人．三年以上有关？（参考公式：()()()()()2n ad bc a b c d a c b d -K =++++，其中n a b c d =+++）19、（本小题满分12分）已知四棱锥CD P -AB ，侧面D PA ⊥底面CD AB ，侧面D PA 为等边三角形，底面CD AB 为菱形，且D3π∠AB =．()I 求证：D PB ⊥A ；()II 求平面PAB 与平面CD P 所成的角（锐角）的余弦值．20、（本小题满分12分）设抛物线的顶点在坐标原点，焦点F 在y 轴正半轴上，过点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，线段AB 的长是8，AB 的中点到x 轴的距离是3．()I 求抛物线的标准方程；()II 在抛物线上是否存在不与原点重合的点P ，使得过点P 的直线交抛物线于另一点Q ，满足F QF P ⊥，且直线Q P 与抛物线在点P 处的切线垂直？并请说明理由． 21、（本小题满分12分）已知函数()ln 3f x a x ax =--（0a ≠）．()I 讨论()f x 的单调性；()II 若()()140f x a x e +++-≤对任意2,x e e ⎡⎤∈⎣⎦恒成立，求实数a 的取值范围（e 为自然常数）；()III 求证()()()()2222l n 21l n 31l n 41l n 112l n !n n ++++++⋅⋅⋅++<+（2n ≥，n *∈N ）．请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分． 22、（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，A ，B ，C 为O 上的三个点，D A 是C ∠BA 的平分线，交O 于点D ，过B 作O 的切线交D A 的延长线于点E ．()I 证明：D B 平分C ∠EB ；()II 证明：DC AE⋅=AB⋅BE ．23、（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知在直角坐标系x y O 中，圆锥曲线C的参数方程为2cos x y θθ=⎧⎪⎨=⎪⎩（θ为参数），定点(0,A ，1F 、2F 是圆锥曲线C 的左、右焦点．()I 以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求经过点1F 且平行于直线2F A 的直线l 的极坐标方程；()II 设()I 中直线l 与圆锥曲线C 交于M ，N 两点，求11F F M ⋅N ．24、（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 设函数()224f x x x =++-，()g x a x =+．()I 当3a =时，解不等式()()f x g x ≥；()II 画出函数()y f x =的图象，根据图象求使()()f xg x ≥恒成立的实数a 的取值范围．2015年数学科模拟试题答案（理科）13. 2 14. 540- 15. -1 16. )1,31(17.(1)解：ππππ<+<∴<<44,430A A 125,324,πππ=∴=+∴A A ……………………2分 3π=∴C ……………………4分（2）23sin ,22sin ==C B3:2:=∴c b ……………………6分3,2,32==∴-=-c b c b ……………………8分426)sin(sin +=+=C B A ……………………10分4263221sin 21=+⨯⨯⨯==∴∆A bc S ABC ……………………12分18.答案：⑴因为网购金额在200040.，所以网购金额在2000元以上的人数为10040.⨯所以4030=+y ，所以10=y ，……………………1分15=x ，……………………2分所以10150.,.==q p ……………………4分 所以频率分布直方图如右图……………………5分 ⑵由题设列联表如下0.511.522.53(千元)……………………7分 所以))()()(()(d b c a d c b a bc ad n K ++++-=22=5656040257554020351002.)(≈⨯⨯⨯⨯-⨯……………………9分因为0245565..>……………………10分所以据此列联表判断，有597.%的把握认为网购金额超过2000元与网龄在三年以上有关. ……………………12分19.证明：（1）取AD 中点O ，连结BO PO ,.侧面PAD 为等边三角形，底面ABCD 为菱形且3π=∠DABAD BO AD PO ⊥⊥∴,……………………2分POB AD O BO PO 面⊥∴=⋂,……………………4分AD PB ⊥∴……………………5分（2）侧面PAD ⊥底面ABCD ，侧面PAD 底面ABCD =AD ，ABCD PO 面⊂∴， AD PO ⊥ ABCD PO 面⊥∴……………………7分以O 为坐标原点，OA 方向为x 轴，OB 方向为y 轴，OP 方向为z 轴建立空间直角坐标系，设A 点坐标为)0,0,1(则)0,3,2(),0,0,1(),3,0,0(),0,3,0(--C D P B)0,3,1(),3,0,1(),3,0,1(-=--=-=∴……………………8分设面PAB 的法向量为),,(1111z y x n =→，则⎩⎨⎧=+-=-03031111y x z x ，令31=x ，解得)1,1,3(1=→n ……………………9分 设面PCD 的法向量为),,(2222z y x n =→，同理解得)1,1,3(2-=→n ……………………10分5355113cos 2121=⨯-+=⋅⋅=∴→→→→n n n n θ面PAB 与面PCD 所成的角（锐角）的余弦值为53……………………12分 20.解：（1）设抛物线的方程是)0(22>=p py x ，),(),,(B B A A y x B y x A ,由抛物线定义可知8=++p y y B A ……………………2分 又AB 中点到x 轴的距离为3，∴6=+B A y y ，∴p ＝2，所以抛物线的标准方程是y x 42=.……………………4分(2)设),(,0),,22111y x Q x y x P ≠（，则y x 42=在P 处的切线方程是112y x x y -=，直线1122:y x x y PQ ++-=代入y x 42=得0)2(48112=+-+y x x x ，……………………6分 故12112148,8y x x x x x --=-=+，所以44,8112112++=--=y y y x x x ……………………8分 而=⋅=07421121=---y y y ……………………10分 047212131=---y y y )0(1>y ，得0)4()1(121=-+y y ，所以41=y ，存在点)4,4(±P .……………………12分（说明：没求出1y ，但说明关于1y 的方程047212131=---y y y )0(1>y 有解，也给分。
黑龙江省绥棱县第一中学2015-2016学年高二6月月考理数试题(原卷版)
黑龙江省绥棱县第一中学2015-2016学年高二6月月考理数试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.1.已知集合A ＝{x ∈R|4281<<x }，B ＝{x ∈R|42≤<-x }，则A∩B 等于 （ ） A. ()2,2- B. ()4,2- C. ⎪⎭⎫ ⎝⎛2,81 D. ⎪⎭⎫ ⎝⎛4,81 2.在复平面内，复数z 满足()20131i z i =⋅+（i 为虚数单位），则复数z 所表示的点在 （ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3.下列说法正确的是 （ ）A. 命题p ：“2cos sin ,≤+∈∀x x R x ”，则⌝p 是真命题B.“1-=x ”是“0232=++x x ”的必要不充分条件C. 命题“,R x ∈∃使得0322<++x x ”的否定是：“,R x ∈∀0322>++x x ”D. “1>a ”是“()log (01)(0)a f x x a a =>≠+∞，在，上为增函数”的充要条件4．若22221231111,,,x S x dx S dx S e dx x===⎰⎰⎰则123S S S 的大小关系为（ ） A ．123S S S <<B ．213S S S <<C ．231S S S <<D ．321S S S <<5.平面直角坐标系中，已知两点()()3,1,1,3A B -，若点C 满足12OC OA OB l l =+（O 为原点），其中12,R l l Î，且121l l +=，则点C 的轨迹是（ ）A.直线B.椭圆C.圆D.双曲线6．执行右面的程序框图,如果输入的10N =,那么输出的S =（ ）A ．1111+2310+++…… B.1111+2311+++…… C ．1111+2310+++……！！！ D.1111+2311+++……！！！ 7．直线l 过抛物线C: x 2=4y 的焦点且与y 轴垂直,则l 与C 所围成的图形的面积等于（ ）A ．43B ．2C ．83 D8.数列{}n a 满足11a =且1122--=-n n n n a a a a ()2≥n 则n a = （ ） A. 21n + B. 22n + C. 2()3n D. 12()3n - 9.在ABC ∆中，,,a b c 分别是角,B,A C 的对边，且60A =,5,7==c a ，则ABC ∆的面积等于（ ）A. B.154 C.D. 10 10. 抛物线)0(42>=p px y 与双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 有相同的焦点F ，点A 是两曲线的交点，且AF ⊥x 轴，则双曲线的离心率为 A. 215+ B.12+ C.13+ D.2122+ 11.四棱锥P ABCD -的三视图如右图所示，四棱锥P ABCD -的五个顶点都在一个球面上，E 、F 分别是棱AB 、CD 的中点，直线EF被球面所截得的线段长为，则该球表面积为A.12pB.24pC.36pD.48p12.已知函数2()4f x x =-，()y g x =是定义在R 上的奇函数，当0x >时，()2log g x x =，则函数()()f x g x ×的大致图象为第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，若cos (2)cos c a B a b A -=-，则ABC ∆的形状是________.14.已知向量()2,1=，()0,3=，若向量λ+与()2,1-=垂直，则实数λ等于 .15.定义：, min{,}, a a b a b b a b ≤⎧=⎨>⎩. 在区域0206x y ≤≤⎧⎨≤≤⎩内任取一点(,)P x y ，则x ，y 满足{}44,623min +-=+-+-y x y x y x 的概率为 .16．在平面直角坐标系xoy 中，使角的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合．已知点(),P x y 是角θ终边上一点，()0OP r r =>，定义()r y x f -=θ．对于下列说法：①函数()fθ的值域是⎡⎣； ②函数()f θ的图象关于原点对称； ③函数()f θ的图象关于直线34x π=对称； ④函数()f θ是周期函数，其最小正周期为2π； ⑤函数()fθ的单调递减区间是32,2,.44k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦其中正确的是 ．（填上所有正确命题的序号）三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知正项数列满足24(1)n n S a =+。
黑龙江省绥棱县第一中学2015-2016学年高二6月月考理数试题Word版含解析
黑龙江省绥棱县第一中学2015-2016学年高二6月月考理数试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.1.已知集合A ＝{x ∈R|4281<<x }，B ＝{x ∈R|42≤<-x }，则A∩B 等于 （ ） A. ()2,2- B. ()4,2- C. ⎪⎭⎫⎝⎛2,81D. ⎪⎭⎫⎝⎛4,81【答案】A 【解析】试题分析：由题意得{}{}=|32|22A x x A B x x -<<∴=-<<考点：集合运算2.在复平面内，复数z 满足 ()20131iz i =⋅+（i 为虚数单位），则复数z 所表示的点在 （ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】A 【解析】试题分析：()()()()201311111111222i i i i i z ii z i i i i -++==∴====+++-，对应的点为11,22⎛⎫⎪⎝⎭，在第一象限 考点：复数运算3.下列说法正确的是 （ ） A. 命题p ：“2cos sin ,≤+∈∀x x R x ”，则⌝p 是真命题B.“1-=x ”是“0232=++x x ”的必要不充分条件C. 命题“,R x ∈∃使得0322<++x x ”的否定是：“,R x ∈∀0322>++x x ”D. “1>a ”是“()log (01)(0)a f x x a a =>≠+∞，在，上为增函数”的充要条件 【答案】D 【解析】试题分析：A 中命题p 是真命题，所以⌝p 是假命题；B 中“1-=x ”是“0232=++x x ”的充分不必要条件；C 中命题的否定为“,R x ∈∀2230x x ++≥” 考点：命题的判定 4.若22221231111,,,x S x dx S dx S e dx x===⎰⎰⎰则123S S S 的大小关系为（ ）A ．123S S S <<B ．213S S S <<C ．231S S S <<D ．321S S S <<【答案】B 【解析】 试题分析：3222211213117|,ln |ln 2,|33x S x S x S e e e ======-∴213S S S << 考点：定积分运算5.平面直角坐标系中，已知两点()()3,1,1,3A B -，若点C 满足12OC OA OB l l =+（O 为原点），其中12,R l l Î，且121l l +=，则点C 的轨迹是（ ） A.直线 B.椭圆C.圆D.双曲线【答案】A 【解析】试题分析：由121λλ+=可知向量12OC OA OB λλ=+转化为()111OC OA OB λλ=+-()1OC OB OA OB λ-=-1BC BA λ∴=,所以三点共线，即点C 的轨迹是直线考点：平面向量基本定理6.执行右面的程序框图,如果输入的10N =,那么输出的S =（ ）A ．1111+2310+++…… B.1111+2311+++…… C ．1111+2310+++……！！！D.1111+2311+++……！！！【答案】C考点：程序框图7.直线l 过抛物线C: x 2=4y 的焦点且与y 轴垂直,则l 与C 所围成的图形的面积等于（ ）A ．43B ．2C ．83D ．3【答案】C 【解析】试题分析：抛物线x 2=4y 的焦点坐标为（0，1）， ∵直线l 过抛物线C ：x 2=4y 的焦点且与y 轴垂直， ∴直线l 的方程为y=1， 由214y x y=⎧⎨=⎩，可得交点的横坐标分别为-2，2．∴直线l 与抛物线围成的封闭图形面积为23222281|4123x x dx x --⎛⎫⎛⎫-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰ 考点：定积分8.数列{}n a 满足11a =且1122--=-n n n n a a a a()2≥n 则n a = （ ）A.21n + B. 22n + C. 2()3n D. 12()3n - 【答案】A 【解析】试题分析：由递推公式可得111112n n n a a a -⎧⎫-=∴⎨⎬⎩⎭为等差数列，公差为12，首项为1，所以通项公式为()111211221n n n n a a n +=+-⨯=∴=+ 考点：等差数列9.在ABC ∆中，,,a b c 分别是角,B,A C 的对边，且60A =,5,7==c a ，则ABC ∆的面积等于（ ）A.4 B. 154C.D. 10 【答案】C 【解析】试题分析：由余弦定理得21254918sin 2252b b S bc A b +-=∴=∴==⨯考点：解三角形10.抛物线)0(42>=p px y 与双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 有相同的焦点F ，点A 是两曲线的交点，且AF ⊥x 轴，则双曲线的离心率为 A.215+ B.12+ C.13+ D.2122+ 【答案】B 【解析】试题分析：∵抛物线的焦点和双曲线的焦点相同，∴p=2c∵A 是它们的一个公共点，且AF 垂直x 轴，设A 点的纵坐标大于0，∴|AF|=p ，∴A （2p ，p ），∵点A 在双曲线上，∴222214p p a b -=，∵p=2c ，222b c a =-，∴422460c c a a -+=，∴42610e e -+=，∵21e >，∴23e =+1e =，考点：抛物线的简单性质11.四棱锥P ABCD -的三视图如右图所示，四棱锥P ABCD -的五个顶点都在一个球面上，E 、F 分别是棱AB 、CD 的中点，直线EF 被球面所截得的线段长为，则该球表面积为A.12pB.24pC.36pD.48p【答案】A 【解析】试题分析：将三视图还原为直观图如右图，可得四棱锥P-ABCD 的五个顶点位于同一个正方体的顶点处， 且与该正方体内接于同一个球．且该正方体的棱长为a设外接球的球心为O ，则O 也是正方体的中心，设EF 中点为G ，连接OG ，OA ，AG根据题意，直线EF 被球面所截得的线段长为，即正方体面对角线长也是可得=2a ，所以正方体棱长a=2∴Rt △OGA 中，OG=12a=1，即外接球半径2412R ππ=考点：球内接多面体；由三视图还原实物图；球的体积和表面积12.已知函数2()4f x x =-，()y g x =是定义在R 上的奇函数，当0x >时，()2log g x x =，则函数()()f x g x 的大致图象为【答案】D 【解析】试题分析：由()f x 是偶函数，()g x 是奇函数，所以()()f x g x 是奇函数，图像关于原点对称，排除A,B ，当x →+∞时()(),,f x g x →-∞→+∞()()0f x g x ∴<，所以D 正确 考点：函数图像与性质第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，若c o s (2)c o s c a B a b A -=-，则ABC ∆的形状是________. 【答案】等腰或直角三角形考点：正弦定理解三角形14.已知向量()2,1=，()0,3=，若向量λ+与()2,1-=垂直，则实数λ等于 【答案】1 【解析】试题分析：()()()1,23,013,2a b λλλ+=+=+，由向量λ+与()2,1-=c 垂直可得()1312201λλ∴+⨯-⨯=∴=考点：向量坐标运算 15.定义：, min{,}, a a b a b b a b ≤⎧=⎨>⎩. 在区域0206x y ≤≤⎧⎨≤≤⎩内任取一点(,)P x y ，则x ，y 满足{}44,623m in +-=+-+-y x y x y x 的概率为 .【答案】23【解析】试题分析：由{}44,623m in +-=+-+-y x y x y x 可得3264220x y x y x y -+>-+∴-+>，区域0206x y ≤≤⎧⎨≤≤⎩内面积为12，220x y -+>对应的区域为直线220x y -+=的下半部分，所以对应的面积为8，所以概率为82123P == 考点：线性规划问题16.在平面直角坐标系xoy 中，使角的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合．已知点(),P x y 是角θ终边上一点，()0OP r r =>，定义()ryx f -=θ．对于下列说法：①函数()f θ的值域是⎡⎣； ②函数()f θ的图象关于原点对称；③函数()f θ的图象关于直线34x π=对称； ④函数()f θ是周期函数，其最小正周期为2π； ⑤函数()fθ的单调递减区间是32,2,.44k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦其中正确的是 ．（填上所有正确命题的序号） 【答案】①③④ 【解析】试题分析：由已知点P （x ，y ）是角θ终边上一点，r ＞0），定义()x yfrθ-==，当x=-y ＞0时，函数f （θ=当x=-y ＜0时，f （θ）取最小值为=可得f （θ）的值域是⎡⎣，故①正确．由于-θ角的终边上对应点为P ′（x ，-y ），|OP ′|=r ，∴f （-θ）=x yr+，故 f （-θ）≠f （θ），故f （θ）不是奇函数，故函数f （θ）的图象不关于原点对称，故排除②． 由于点P （x ，y ）关于直线θ=34π（即y=-x ）的对称点为Q （-y ，-x ），故f （32π-θ）=y xr-+=f （θ），故函数f （θ）的图象关于直线θ=34π对称，故③正确．④由于角θ和角2π+θ的终边相同，故函数f （θ）是周期函数，其最小正周期为2π，故④正确． ⑤在区间33,42ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上，x 不断增大，同时y 值不断减小，r 始终不变，故f （θ）=x y r -不断增大，故 f （θ）=x yr-是增函数， 故函数f （θ）在区间32,2,.44k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦上不是减函数，故⑤不对 考点：任意角的三角函数的定义三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.已知正项数列满足24(1)n n S a =+。
黑龙江省绥化市重点中学2015届高三第一次模拟考试数学文试题
2015届高三年级第一次模拟考试数学试题(文科)（满分150分，考试时间120分钟）本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）。
考试结束，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷（选择题）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.已知集合A. B. C. D. 2.若复数z 满足(3－4i)z ＝|4＋3i |，则z 的虚部为 A.－4B.－C.4D.3.如果,那么下列不等式成立的是 A ． B ． C ． D ．4.设分别是所对边的边长，则直线与的位置关系是 A.平行 B.重合 C.垂直 D.相交但不垂直5.直线xsin α＋y ＋2＝0的倾斜角的取值范围是A.[0，π)B.∪C.D.∪6.已知某几何体的三视图如图所示，其中俯视图中圆的直径为4，该几何体的体积为 A. B. C. D.7.已知三条不重合的直线和两个不重合的平面，下列命题正确的是 A ．若，，则B ．若，，且，则 C ．若，，则 D ．若，，且，则8.在同一个坐标系中画出函数，的部分图像，其中且， 则下列所给图像可能正确的是BC D恒成立，则实数的取值范围为A. B.C. D.10. 程序框图如图所示，该程序运行后输出的的值是A. B. C. D.11.已知数列的前项和为,，当时，，则的值为A．2015 B．2013 C．12.若函数的最小正周期为，若对任意,A. B. C. D.第Ⅱ卷（非选择题）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
13.若实数x，y满足则的最大值为_____14.当点在直线上移动时,的最小值是 .15.已知向量与的夹角为,且, ,若,且,则实数的值为__________.16.设函数与是定义在同一区间上的两个函数，若对任意的，都有，则称与在上是“度和谐函数”，称为“度密切区间”.设函数与在上是“度和谐函数”,则的取值范围是____________三、解答题:本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
黑龙江省绥棱一中高三数学第一次模拟考试 理
绥棱一中高三月考数学试题（理）一、选择题（每小题5分，共60分） 1.在复平面内，复数ii1+对应的点位于（ ） A.第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 集合{|lg 0}M x x =>，2{|4}N x x =≤，则MN =（ ）A. (1,2)B. [1,2)C. (1,2]D. [1,2]3.若向量a =(1,1)，b =(2，5)，c =(3，x)满足条件(8a —b )·c =30，则x=( ) A ．6 B ．5 C ．4 D ．34.给定下列两个命题：①“q p ∨”为真是“p ⌝”为假的必要不充分条件；②“R x ∈∃，使0sin >x ”的否定是“R x ∈∀，使0sin ≤x ”.其中说法正确的是（ ） A. ①真②假 B.①假②真 C. ①和②都为假 D.①和②都为真 5.函数134ln )(-+=x x x f 的零点一定位于区间（ ） A ．（1,2） B ．（2,3） C ．（3,4） D ．（4,5） 6.已知32cos sin =+θθ,则)252cos(πθ+的值为( ) A.97 B. 97- C. 924- D. 9247.已知f (x )在R 上是奇函数，且满足f (x ＋4)＝f (x )，当x ∈(0,2)时，f (x )＝2x 2，则f (7)等于( ) A ．－2 B ．2 C ．－98 D ．98 8.已知等差数列{}n a 中，26a =，515a =，若2n n b a =，则数列{}n b 的前5项和等于（ ） A ．30B ．45C ．90D ．1869.函数1ln )(-=x x f 的图像大致是 （ ）10．函数()sin()f xA x ωϕ=+（其中0,||2A ϕ><）的图象如图所示，为了得到x x g 2sin )(=的图像，则只要将()f x 的图像 （ ） A ．向右平移6π个单位长度 B ．向右平移12π个单位长度 C ．向左平移6π个单位长度 D ．向左平移12π个单位长度 11. 在△ABC 中，角C B A ,,的对边分别为,,a b c ，若c a B C A 2,cos 1)cos(=-=-，则C 2cos 的 值为 ( ) A.21 B.23 C. 23- D.21-12．已知函数()y f x =是定义在实数集R 上的奇函数，()f x '是()f x 的导函数,且当()()0,0x f x x f x '>+>，设1122log 4log 4,,a f b ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1lg 5c ⎛⎫= ⎪⎝⎭115f g ⎛⎫⎪⎝⎭，则a ，b ，c 的大小关系是（ ） A.c a b >>B.c b a >>C.a b c >>D.a c b >>二、选择题（每小题5分，共20分） 13．221x dx ⎰= ．14．在等比数列{a n }中，a 1＝1，公比|q |≠1.若54321a a a a a a m =，则m ＝ ．15．已知函数()32f x x ax bx c =+++的图象过点A （2，1），且在点A 处的切线方程20x y a -+=,a b c ++= ．16．2tan12(2cos 121)sin12-=_________． 三、解答题：(本大题共6小题，共70分)17．(10分)以直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，且两个坐标系取相等的单位长度．已知直线L 经过点P(1,1),倾斜角6πα=．（I ）写出直线L 的参数方程；（II ）设L 与圆2=ρ相交与两点A 、B ，求点P 到A 、B 两点的距离之积．18．(12分)已知函数13sin 322sin )(2++-=x x x f ．(1)求)(x f 的最小正周期及其单调增区间; (2)当]6,6[ππ-∈x 时，求)(x f 的值域．19．(12分)已知||1a =，||2b =，a 与b 的夹角为60， （1）求a 在b 方向上的投影；（2）c a b λ=+与2d a b =+的夹角为锐角，求λ的取值范围。
东北三省三校2015届高三第一次高考模拟考试_理科数学试卷_word版含答案
哈尔滨师大附中 2015年高三第一次联合模拟考试理科数学试卷东北师大附中 辽宁省实验中学本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
注意事项：1．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
第I 卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求）1．已知集合{|21}A x x =-<<，2{|20}B x x x =-≤，则A B I 等于A ．{|01}x x <<B ．{|01}x x ≤<C ．{|01}x x <≤D ．{|21}x x -<≤2=A．)i B ．1 + i C ．iD ．-i3．点(1,1)M 到抛物线y = ax 2准线的距离为2，则a 的值为A ．14B ．112-C ．14或112- D ．14-或1124．设S n 是公差不为零的等差数列{}n a 的前n 项和，且a 1 > 0，若S 5 = S 9，则当S n 最大时，n =A ．6B ．7C ．8D ．9 5．执行如图所示的程序框图，要使输出的S 值小于1，则输入的t 值不能是下面的A ．2012B ．2013C ．2014D ．2015 6．下列命题中正确命题的个数是①对于命题p ：x R ∃∈，使得210x x +-<，则p ⌝：x R ∀∈，均有210x x +->； ②p 是q 的必要不充分条件，则p ⌝是q ⌝的充分不必要条件；③命题“若x y =，则sin sin x y =”的逆否命题为真命题；④“1m =-”是“直线l 1：(21)10mx m y +-+=与直线l 2：330x my ++=垂直”的充要条件。
东北三省四市教研联合体2015届高三第一次模拟考试数学(理)试题(扫描版)
2015年数学科模拟试题答案（理科） 12 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 DA DB B DC B C AD C 13. 2 14. 540- 15. -1 16. )1,31( 17.(1)解：ππππ<+<∴<<44,430A A 125,324,πππ=∴=+∴A A ……………………2分 3π=∴C ……………………4分 （2）23sin ,22sin ==C B 3:2:=∴c b ……………………6分3,2,32==∴-=-c b c b ……………………8分426)sin(sin +=+=C B A ……………………10分 4334263221sin 21+=+⨯⨯⨯==∴∆A bc S ABC ……………………12分 18.答案：⑴因为网购金额在2000元以上的频率为40.， 所以网购金额在2000元以上的人数为10040.⨯=40 所以4030=+y ，所以10=y ，……………………1分 15=x ，……………………2分 所以10150.,.==q p ……………………4分 所以频率分布直方图如右图……………………5分⑵由题设列联表如下0.5 1 1.5 2 2.5 3 0.20.10.3 0.40.50.6(千元) 组距频率……………………7分 所以))()()(()(d b c a d c b a bc ad n K ++++-=22=5656040257554020351002.)(≈⨯⨯⨯⨯-⨯……………………9分 因为0245565..>……………………10分所以据此列联表判断，有597.%的把握认为网购金额超过2000元与网龄在三年以上有关. ……………………12分19.证明：（1）取AD 中点O ，连结BO PO ,.侧面PAD 为等边三角形，底面ABCD 为菱形且3π=∠DABAD BO AD PO ⊥⊥∴,……………………2分POB AD O BO PO 面⊥∴=⋂,……………………4分AD PB ⊥∴……………………5分（2）侧面PAD ⊥底面ABCD ，侧面PAD 底面ABCD =AD ，ABCD PO 面⊂∴， AD PO ⊥ABCD PO 面⊥∴……………………7分以O 为坐标原点，OA 方向为x 轴，OB 方向为y 轴，OP 方向为z 轴建立空间直角坐标系，设A 点坐标为)0,0,1( 则)0,3,2(),0,0,1(),3,0,0(),0,3,0(--C D P B)0,3,1(),3,0,1(),3,0,1(-=--=-=∴AB PD PA ……………………8分设面PAB 的法向量为),,(1111z y x n =→， 则⎩⎨⎧=+-=-03031111y x z x ，令31=x ，解得)1,1,3(1=→n ……………………9分设面PCD 的法向量为),,(2222z y x n =→，同理解得)1,1,3(2-=→n ……………………10分网龄3年以上 网龄不足3年 合计 购物金额在2000元以上35 5 40 购物金额在2000元以下40 20 60 合计75 25 1005355113cos 2121=⨯-+=⋅⋅=∴→→→→n n n n θ 面PAB 与面PCD 所成的角（锐角）的余弦值为53……………………12分 20.解：（1）设抛物线的方程是)0(22>=p py x ，),(),,(B B A A y x B y x A ,由抛物线定义可知8=++p y y B A ……………………2分又AB 中点到x 轴的距离为3，∴6=+B A y y ，∴p ＝2，所以抛物线的标准方程是y x 42=.……………………4分(2)设),(,0),,22111y x Q x y x P ≠（，则y x 42=在P 处的切线方程是112y x x y -=，直线1122:y x x y PQ ++-=代入y x 42=得0)2(48112=+-+y x x x ，……………………6分 故12112148,8y x x x x x --=-=+，所以44,8112112++=--=y y y x x x ……………………8分 而=⋅FQ FP =07421121=---y y y ……………………10分 047212131=---y y y )0(1>y ，得0)4()1(121=-+y y ，所以41=y ，存在点)4,4(±P .……………………12分（说明：没求出1y ，但说明关于1y 的方程047212131=---y y y )0(1>y 有解，也给分。
黑龙江省绥化市重点中学2015届高三第一次模拟考试数学理试题 Word版含答案
2015届高三年级第一次模拟考试数学试题(理科)（满分150分，考试时间120分钟）本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）。
考试结束，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题(每小题5分，共60分)1．已知集合{}210,,M =，{}M x ,x y |y N ∈==2，则集合=N MA ．{}0B ．{}10,C ．{}21, D ．{}20, 2．已知向量()()2,1,,2a b x ==-，若//a b ，则a b +等于 A ．()3,1-B ．()3,1-C ．()2,1D ．()2,1--3． 若命题P ：1≤∈∀cosx ,R x ，则P ⌝： A ．100>∈∃x cos ,R xB ．1,>∈∀x cos R xC ．1,00≥∈∃x cos R xD ．1,≥∈∀x cos R x4．两座灯塔A 和B 与海洋观察站C 的距离都等于a km ，灯塔A 在观察站C 的北偏东20°，灯塔B 在观察站C 的南偏东40°，则灯塔A 与灯塔B 的距离为 A ．a kmB.2a kmC ．2a km D.3a km5．某程序框图如图所示，若输出的S = 57，则判断框内应为 A ．k ＞5? B ．k ＞4? C ．k ＞7? D ．k ＞6?6．过点()a ,a A 可作圆0322222=-++-+a a ax y x 的两条切线，则实数a 的取值范围为A ．3-<a 或1>aB ．23<a C ．13<<-a 或23>aD ．3-<a 或231<<a 7. 若00x y x y y a -≤⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩，若2z x y =+的最大值为3，则a 的值是A ．1B ．2C ．3D ．4 8．函数()⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈=22ππ,x ,x sin x x f ，若()()21x f x f >，则下列不等式一定成立的是 A ．2221x x >B ．021>+x xC ．21x x >D ．2221x x <9．已知函数()()ϕ+=x sin x f 2，其中错误！未找到引用源。
黑龙江绥棱一中—学年上学期高三第一次考试(图片)——数学理数学理
黑龙江绥棱一中高三年级第一次教学质量检测数学试题参考答案及评分标准（理科）2016.09说明：一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．二、对计算题当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分数．二、填空题（13）1 （14） （15） （16）三、解答题(17)（本题满分10分）解：（Ⅰ）设等差数列的公差为d ，由，，得：， ......................2 解得：， .. (4)∴，即， (6)∴21()(321)222n n n a a n n S n n +++===+，即． ...............8 （Ⅱ）22441111(21)1(1)1n n b a n n n n n ====--+-++， ∴11111111223111n n T n n n n =-+-++-=-=+++． (10)（18）（本题满分12分）解：（Ⅰ）()2cos 22sin(2)6f x x x x π=+=+...4 ∴的最小正周期为， (5)令，则，∴的对称中心为； (6)（Ⅱ）∵ ∴ (8)∴ ∴ (10)∴当时，的最小值为；当时，的最大值为。
(12)（19）（本题满分12分）解：（）由题意知：，20sin 520==⎰πxdx S 阴影 (2)记某队员投掷一次 “成功”事件为A ，则5110020)(===矩形阴影S S A P ……….4 （）因为为某队获奖等次，则取值为1、2、3、4.1251)511(51)1(0333=-⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛==C X P ，12512511(51)2(223=-⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛==C X P ， 12548)511(51)3(2113=-⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛==C X P ，12564)511(51)4(303=-⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛==C X P …….9 即分布列为： (10)所以，的期望51712564412548312512212511=⨯+⨯+⨯+⨯=EX (12)(20) （本题满分12分）解：（1）取的中点,连接,在中，为中位线,平面平面平面,同理可得平面, (2)又,所以平面平面,平面平面. (4)（2）连接,在中,11111,4C A A AC π∠==, 所以由余弦定理得222211*********cos AC AA AC AA AC AAC AA =+-⨯∠=,是等腰直角三角形, , (6)又因为平面平面,平面平面1111,ABB AA A C A =∴⊥平面,平面, , (7)又因为侧面,为正方形, , 分别以所在直线作为轴,轴,轴建立如图所示的空间直角坐标系, 设, 则()()()()()()1110,0,0,1,0,0,1,1,0,0,0,1,1,0,1,0,2,0A A B C C D -()()()()111112,1,1,1,2,1,1,0,1,,0,1,0CB CD AC A B ∴=-=-=-=, .........8 设平面的一个法向量为,则0,01111=∙=∙B A m C A m ,即,令,则,故为平面的一个法向量, (9)设平面的一个法向量为,则,即,令,则,故为平面的一个法向量, (10)所以cos ,2m n m n m n <>===⨯⨯, 平面与平面所成的锐二面角的余弦值. (12)（21）（本题满分12分）解：（Ⅰ）因为椭圆的右焦点(),0,2F c PF c =∴=, (1)在椭圆上, , (2)由得,所以椭圆的方程为. (4)（Ⅱ）由题意可得的斜率不为零, 当垂直轴时,的面积为, ..5 当不垂直轴时, 设直线的方程为：,则直线的方程为：()()11221,,,y x A x y B x yk =-,由22184x y y kx⎧+=⎪⎨⎪=+⎩消去得()221240k x ++-=,所以1212224,1212x x x x k k --+==++, ..........7 则12)14)(1(41222212+++=-+=k k k x x k AB ,....................8 又圆心到的距离得, (9)又,所以点到的距离等于点到的距离, 设为,即2d ==, (10)所以面积2222222)12()14(41214421++=++==kk k k k k d AB s,.............11 令,则,,43S ⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭,综上,面积的取值范围为4⎤⎥⎝⎦. (12)（22）（本题满分12分）解：（1）由得=2 (1)2)1(,41)(//-=-+=f xx x f ..........................3 则所求切线方程为即 (4)（2)0,)2(24)1(2)(2/>-+=-+=x x ax ax x x a x f ................5 令。
黑龙江省数学高三上学期理数第一次模拟考试试卷
黑龙江省数学高三上学期理数第一次模拟考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题. (共12题；共24分)1. （2分）(2019·河南模拟) 已知集合，集合，则集合等于（）A .B .C .D .2. （2分）（）A . 3+iB . -3-iC . -3+iD . 3-i3. （2分）函数y=2sinπx﹣（﹣2≤x≤4）的所有零点之和为（）A . 2B . 4C . 6D . 84. （2分）设随机变量服从正态分布N(3,4)，若，则a=（）A . 3B .C . 5D .5. （2分） (2020高一上·长沙期中) 某公司原有员工100人从事产品A的生产，平均每人每年创造产值t 万元(t为正常数)．公司决定从原有员工中分流x(0＜x＜100，x∈N＋)人去进行新开发的产品B的生产．分流后，继续从事产品A生产的员工平均每人每年创造产值在原有的基础上增长了1.2x%.若要保证产品A的年产值不减少，则最多能分流的人数是（）A . 15B . 16C . 17D . 186. （2分）(2017·南开模拟) 一个几何体的三视图如图所示，该几何体的表面积为（）A . 24﹣πB . 24﹣3πC . 24+πD . 24﹣2π7. （2分）如果执行下图的程序框图，输出的S=30，那么（1）处应为（）A . k>5?B . k<5?C . k≤5?D . k≤6?8. （2分） (2017高二上·廊坊期末) 方程x2+2x+n2=0（n∈[﹣1，2]）有实根的概率为（）A .B .C .D .9. （2分）用数学归纳法证明：“ ”时，由n=k(k>1) 不等式成立，推证 n=k+1 时，左边应增加的项数是（）A . 2k-1B . 2k-1C . 2kD . 2k+110. （2分）要得到函数的图象,可以将函数的图象（）A . 向左平移个单位B . 向左平移个单位C . 向右平移个单位D . 向右平移个单位11. （2分）设条件；条件，那么p是q的（）条件 .A . 充分不必要B . 必要不充分C . 充要D . 既不充分也不必要12. （2分） (2015高二下·上饶期中) 抛物线y=x2的焦点坐标为（）A . （，0）B . （，0）C . （0，）D . （0，）二、填空题. (共4题；共5分)13. （2分） (2020高一下·金华期末) 在中，，点D是的中点，点O是的中点，若，则 ________；若，则 ________.14. （1分） (2016高二下·重庆期中) （1﹣x+x2）（1+x）n的展开式的各项系数和为64，则展开式中x5项的系数等于________．15. （1分）若，则可化简为________．16. （1分）(2018·宣城模拟) 已知函数，若正实数满足，则的最小值是________．三、解答题. (共7题；共60分)17. （10分）(2012·天津理) 已知{an}是等差数列，其前n项和为Sn ， {bn}是等比数列，且a1=b1=2，a4+b4=27，S4﹣b4=10．（1）求数列{an}与{bn}的通项公式；（2）记Tn=anb1+an﹣1b2+…+a1bn ，n∈N* ，证明：Tn+12=﹣2an+10bn（n∈N*）．18. （5分）直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC⊥AB，AB=2AA1 ， M是AB的中点，△A1MC1是等腰三角形，D为CC1的中点，E为BC上一点．（1）若DE∥平面A1MC1 ，求；（2）求直线BC和平面A1MC1所成角的余弦值．19. （10分） (2020高二下·中山期中) 某社团现有5名女生，5名男生，其中3名学生来自同一个班，另外7名学生分别来自不同的班级.现要随机选3名学生参加活动.（1）求“选出的3名学生中，至多有2名来自同一班级”的概率；（2）设选出的3名学生中女生的人数为随机变量，求的分布列.20. （10分）(2016·天津文) 设椭圆 1（a＞）的右焦点为F，右顶点为A，已知，其中O为原点，e为椭圆的离心率．（1）求椭圆的方程；（2）设过点A的直线l与椭圆交于B（B不在x轴上），垂直于l的直线与l交于点M，与y轴交于点H，若BF⊥HF，且∠MOA=∠MAO，求直线l的斜率．21. （5分）(2017·昌平模拟) 设函数f（x）=a（x﹣1）2﹣xe2﹣x ．（Ⅰ）若曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线与x轴平行，求a的值；（Ⅱ）若，求f（x）的单调区间．22. （10分）(2020·成都模拟) 在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），曲线的参数方程为（为参数）.（1）求直线和曲线的普通方程；（2）设为曲线上的动点，求点到直线距离的最小值及此时点的坐标.23. （10分） (2019高一上·凌源月考) 已知 .（1）求： .（2）写出函数与的定义域和值域.参考答案一、选择题. (共12题；共24分)答案：1-1、考点：解析：答案：2-1、考点：解析：答案：3-1、考点：解析：答案：4-1、考点：解析：答案：5-1、考点：解析：答案：6-1、考点：解析：答案：7-1、考点：解析：答案：8-1、考点：解析：答案：9-1、考点：解析：答案：10-1、考点：解析：答案：11-1、考点：解析：答案：12-1、考点：解析：二、填空题. (共4题；共5分)答案：13-1、考点：解析：答案：14-1、考点：解析：答案：15-1、考点：解析：答案：16-1、考点：解析：三、解答题. (共7题；共60分)答案：17-1、答案：17-2、考点：解析：考点：解析：答案：19-1、答案：19-2、考点：解析：答案：20-1、答案：20-2、考点：答案：21-1、考点：答案：22-1、答案：22-2、考点：解析：答案：23-1、答案：23-2、考点：解析：。
数学_2015年黑龙江省某校高考数学适应性试卷(理科)(一)(含答案)
2015年黑龙江省某校高考数学适应性试卷（理科）（一）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 在复平面内，复数z 满足(3−4i)z =|4+3i|（i 为虚数单位），则z 的虚部为（ ） A −4 B −45 C 4 D 452. 设集合A ={x|x 2−(a +3)x +3a =0}，B ={x|x 2−5x +4=0}，集合A ∪B 中所有元素之和为8，则实数a 的取值集合为 （ ）A {0}B {0, 3}C {1, 3, 4}D {0, 1, 3, 4}3. 阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果i =( )A 3B 4C 5D 6 4. 函数y =√32sin(x +π2)+cos(π6−x)的最大值为（ ）A 134 B√134 C √132D √13 5. 一个四棱锥的侧棱长都相等，底面是正方形，其正（主）视图如图所示，该四棱锥表面积和体积分别是（ ）A 4√5，8B 4√5，83C 4(√5+1)，83D 8，86. 已知双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >0, b >0)的两条渐近线与抛物线y 2=2px(p >0)的准线分别交于A ，B 两点，O 为坐标原点.若双曲线的离心率为2，△AOB 的面积为√3，则p =( )A 1B 2C 3D 47. 已知函数f(x)=13x 3+ax 2+b 2x +1，若a 是从1，2，3三个数中任取的一个数，b 是从0，1，2三个数中任取的一个数，则该函数有两个极值点的概率为（ ） A 79 B 13 C 59 D 238. 在平行四边形ABCD 中，AD =1，∠BAD =60∘，E 为CD 的中点．若AC →⋅BE →=1，则AB 的长为（ ）A 14B 13C 12 D 19. 在数列{a n }中，若对任意的n ∈N ∗，均有a n +a n+1+a n+2为定值，且a 7=2，a 9=3，a 98=4，则数列{a n }的前100项的和S 100=（ ） A 132 B 299 C 68 D 9910. 已知实数x ，y 满足{x +y ≥1x 2+y 2≤1，则2x +y 的取值范围是（ ）A [1, 2]B [1, +∞)C (0,√5]D [1,√5]11. 已知函数f(x)=x 2−cosx ，则f (35)，f(0)，f (−12)的大小关系是( )A f(0)<f (35)<f (−12)B f(0)<f (−12)<f (35)C f (35)<f (−12)<f(0) D f (−12)<f(0)<f (35) 12. 已知椭圆x 2a2+y 2b 2=1(a >b >0)的半焦距为c(c >0)，左焦点为F ，右顶点为A ，抛物线y 2=158(a +c)x 与椭圆交于B 、C 两点，若四边形ABFC 是菱形，则椭圆的离心率是（ ）A 815B 415C 23D 12二.填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置． 13. 若(√x −3x )n 的展开式的各项系数绝对值之和为1024，则展开式中x 项的系数为________． 14. 四棱锥P −ABCD 的五个顶点都在一个球面上，且底面ABCD 是边长为1的正方形，PA ⊥ABCD ，PA =√2，则该球的体积为________．15. 在锐角三角形ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，且√3a −2csinA =0．若c =2，则a +b 的最大值为________．16. 已知f(x)=4x +1，g(x)=4−x ．若偶函数ℎ(x)满足ℎ(x)=mf(x)+ng(x)（其中m ，n 为常数），且最小值为1，则m +n =________．三、解答题：本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 17. 已知数列{a n }前n 项和为S n ，首项为a 1，且12，a n ，S n 成等差数列． （1）求数列{a n }的通项公式；（2）数列满足b n =(log 2a 2n+1)×(log 2a 2n+3)，求证：1b 1+1b 2+1b 3+⋯+1b n<12．18. 随着生活水平的提高，人们的休闲方式也发生了变化．某机构随机调查了n 个人，其中男性占调查人数的25．已知男性中有一半的人的休闲方式是运动，而女性只有13的人的休闲方式是运动．（1）完成下列2×2列联表：（2）若在犯错误的概率不超过0.05的前提下，可认为“性别与休闲方式有关”，那么本次被调查的人数至少有多少？（3）根据（2）的结论，本次被调查的人中，至少有多少人的休闲方式是运动？ 参考公式：K 2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中n =a +b +c +d ．K 0 3.841 6.635 10.82819. 如图，三棱锥P −ABC 中，PB ⊥底面ABC ，∠BCA =90∘，PB =BC =CA =2，E 为PC 的中点，点F 在PA 上，且2PF =FA ．(1)求证：平面PAC ⊥平面BEF ；(2)求平面ABC 与平面BEF 所成的二面角的平面角（锐角）的余弦值．20. 已知F 1(−1, 0)，F 2(1, 0)为平面内的两个定点，动点P 满足|PF 1|+|PF 2|=2√2，记点P 的轨迹为曲线M ．点O 为坐标原点，点A 、B 、C 是曲线M 上的不同三点，且OA →+OB →+OC →=0→（1）求直线AB 与OC 的斜率之积；（2）当直线AB 过点F 1时，求直线AB 、OC 与x 轴所围成的三角形的面积． 21. 已知函数f(x)=(x +1)e −x （e 为自然对数的底数）． （1）求函数f(x)的单调区间；（2）设函数φ(x)=xf(x)+tf′(x)+e −x ，存在x 1，x 2∈[0, 1]，使得成立2φ(x 1)<φ(x 2)成立，求实数t 的取值范围．二.请考生在第（22），（23），（24）三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑．[选修4-1几何证明选讲]22. 如图，圆O 的直径AB 、BE 为圆O 的切线，点C 为圆O 上不同于A 、B的一点，AD 为∠BAC 的平分线，且分别与BC 交于H ，与圆O 交于D ，与BE 交于E ，连结BD 、CD ．（1）求证：∠DBE =∠DBC ； （2）若HE =2a ，求ED ．[选修4-4：坐标系与参数方程]23. 坐标系与参数方程已知曲线C 的极坐标方程是ρ=4cosθ．以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程是：{x =√22t +my =√22t （t是参数）．(1)将曲线C 的极坐标方程和直线l 参数方程转化为普通方程；(2)若直线l 与曲线C 相交于A 、B 两点，且|AB|=√14，试求实数m 值．[选修4-5：不等式选讲]24. 已知函数f(x)和g(x)的图象关于原点对称，且f(x)＝x 2+2x ． (Ⅰ)解关于x 的不等式g(x)≥f(x)−|x −1|；(Ⅱ)如果对∀x ∈R ，不等式g(x)+c ≤f(x)−|x −1|恒成立，求实数c 的取值范围．2015年黑龙江省某校高考数学适应性试卷（理科）（一）答案1. D2. D3. C4. C5. C6. B7. D8. C9. B 10. D 11. B12. D 13. −15 14. 4π315. 4 16. 2317. 解：（1）∵ 12，a n ，S n 成等差数列，∴ 2a n =S n +12， 当n =1时，2a 1=a 1+12，解得a 1=12； 当n ≥2时，S n =2a n −12，S n−1=2a n−1−12，两式相减得：a n =S n −S n−1=2a n −2a n−1，∴a n a n−1=2，所以数列{a n }是首项为12，公比为2的等比数列，a n =12×2n−1=2n−2． （2）b n =(log 2a 2n+1)×(log 2a 2n+3) =log 222n+1−2×log 222n+3−2 =(2n −1)(2n +1)，1b n=1(2n−1)(2n+1)=12(12n−1−12n+1)，则1b 1+1b 2+1b 3+⋯+1b n=12[(1−13)+(13−15)+⋯+(12n −1−12n +1)] =12(1−12n+1)<12．18. 解：（1）2×2列联表：（2）若在犯错误的概率不超过0.05的前提下，可认为“性别与休闲方式有关”，则K 2≥K 0=3.841由于K 2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)=n(15n×25n−15n×15n)225n×35n×25n×35n =n36，故n36≥3.841，即n ≥138.276，又由15n ∈Z ，故n ≥140，则若在犯错误的概率不超过0.05的前提下，可认为“性别与休闲方式有关”，那么本次被调查的至少有140人；（3）根据（2）的结论，本次被调查的人中，至少有25×140=56人的休闲方式是运动．19. (1)证明：∵ PB⊥底面ABC，且AC⊂底面ABC，∴ AC⊥PB，由∠BCA=90∘，可得AC⊥CB，又∵ PB∩CB=B，∴ AC⊥平面PBC，∵ BE⊂平面PBC，∴ AC⊥BE，∵ PB=BC，E为PC中点，∴ BE⊥PC，∵ AC∩PC=C，∴ BE⊥平面PAC，∵ BE⊂平面BEF，∴ 平面PAC⊥平面BEF.(2)解：取AF的中点G，AB的中点M，连接CG，CM，GM，∵ E为PC的中点，2PF=AF，∴ EF // CG，∵ CG⊄平面BEF，EF⊂平面BEF，∴ CG // 平面BEF．同理可证：GM // 平面BEF，∵ CG∩GM=G，∴ 平面CMG // 平面BEF．则平面CMG与平面ABC所成的二面角的平面角（锐角）就等于平面ABC与平面BEF所成的二面角的平面角（锐角）．∵ PB⊥底面ABC，CM⊂平面ABC，∴ CM⊥PB，∵ CM⊥AB，PB∩AB=B，∴ CM⊥平面PAB，∵ GM⊂平面PAB，∴ CM⊥GM，而CM为平面CMG与平面ABC的交线，又AM⊂底面ABC，GM⊂平面CMG，∴ ∠AMG为二面角G−CM−A的平面角,根据条件可知AM=√2，AG=13PA=2√33，在△PAB中，cos∠GAM=ABAP =√63，在△AGM 中，由余弦定理求得MG =√63， ∴ cos∠AMG =√33， 故平面ABC 与平面BEF 所成角的二面角（锐角）的余弦值为√33．20. 解：（1）∵ |F 1F 2|=2，点P 到两定点F 1(−1, 0)F 2(1, 0)的距离之和为定值2√2， ∴ 点P 的轨迹是以F 1(−1, 0)F 2(1, 0)为焦点的椭圆． 则a =√2，c =1， ∴ b =√a 2−c 2=1，∴ 曲线M 的方程为x 22+y 2=1．方程可化为x 2+2y 2=2，设A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)． ∵ 点A ，B 在椭圆上，∴ x 12+2y 12=2，x 22+2y 22=2，上面两式相减，得(x 1+x 2)(x 1−x 2)+2(y 1+y 2)(y 1−y 2)=0，整理得y 1−y 2x 1−x 2⋅y 1+y 2x 1+x 2=−12．设C(x 3, y 3)由OA →+OB →+OC →=0→得x 1+x 2=−x 3，y 1+y 2=−y 3． 又k OC =0−y 30−x 3=−y 3−x 3．∴ k AB k OC =−12∴ 直线AB 与OC 的斜率之积是定值−12．（2）当直线AB ⊥x 轴时，此时不妨设A(−1,√22)，B(−1,−√22)， 又OA →+OB →+OC →=0→，∴ OC →=−OA →−OB →=(2, 0)，∴ 点C(2, 0)，则点C 不在椭圆上，此时不符合合题意．当直线AB 的斜率存在，直线AB 过点F 1(−1, 0)，设直线AB 的方程为y =k(x +1)． 代入椭圆方程联立化为(1+2k 2)x 2+4k 2x +2k 2−2=0， 则x 1+x 2=−4k 21+2k 2，又y 1=k(x 1+1)，y 2=k(x 2+1)，则y 1+y 2=2k1+2k 2．∴ x 3=−(x 1+x 2)=4k 21+2k2，则y 3=−(y 1+y 2)=−2k 1+2k 2点C(4k 21+2k 2, −2k1+2k 2)在椭圆上，代入椭圆方程16k 42(1+2k 2)2+4k 2(1+2k 2)2=1， 整理得k =±√22， ①当k =√22时，由（1）知k AB k OC =−12，∴ k OC =−√22．则AB，OC及x轴所围成三角形为等腰三角形，其底边长为l，且底边上的高ℎ=12×√22=√24，此时AB，OC及x轴所围成三角形的面积S=12×1×√24=√28．②当k=−√22时，同理可得AB，OC及x轴所围成三角形的面积S=12×1×√24=√28．综上所得，直线AB，OC与x轴所围成的三角形的面积为√28．21. 解：（1）∵ 函数的定义域为R，f′(x)=−xe x，∴ 当x<0时，f′(x)>0，当x>0时，f′(x)<0．∴ f(x)在(−∞, 0)上单调递增，在(0, +∞)上单调递减．（2）假设存在x1，x2∈[0, 1]，使得2φ(x1)<φ(x2)成立，则2[φ(x)]min<[φ(x)]max．∵ φ(x)=xf(x)+tf′(x)+e−x=x2+(1−t)x+1e x，∴ φ′(x)=−[x2−(1+t)x+t]e x =−(x−t)(x−1)e x，①当t≥1时，φ′(x)≤0，φ(x)在[0, 1]上单调递减，∴ 2φ(1)<φ(0)，即t>3−e2>1；②当t≤0时，φ′(x)>0，φ(x)在[0, 1]上单调递增，∴ 2φ(0)<φ(1)，即t<3−2e<0；③当0<t<1时，在x∈[0, t]，φ′(x)<0，φ(x)在[0, t]上单调递减在x∈(t, 1],φ′(x)>0，φ(x)在[t, 1]上单调递增所以2φ(t)<max{φ(0), φ(1)}，即2t+1e t <max{1,3−te}−−(∗)由（1）知，g(t)=2t+1e t在[0, 1]上单调递减，故4e ≤2t+1e t≤2，而2e ≤3−te≤3e，所以不等式(∗)无解综上所述，存在t∈(−∞,3−2e)∪(3−e2，+∞)，使得命题成立．22. （1）证明：∵ BE为圆0的切线，BD为圆0的弦，∴ 根据弦切角定理知∠DBE=∠DAB…由AD为∠DAB=∠DAC的平分线知∠DAB=∠DAC，又∠DBC=∠DAC，∴ ∠DBC=∠DAB∴ ∠DBE=∠DBC…（2）解：∵ ⊙O的直径AB∴ ∠ADB=90∘，又由①得∠DBE=∠DBH，∵ HE =2a ， ∴ ED =a ．23. 解：(I)曲线C 的极坐标方程是ρ=4cosθ化为直角坐标方程为： x 2+y 2−4x =0直线l 的直角坐标方程为：y =x −m(II)由(1)知：圆心的坐标为(2, 0)，圆的半径R =2， ∴ 圆心到直线l 的距离d =(√142)=√22， ∴√2=√22&⇒|m −2|=1、∴ m =1或m =3．24. （本小题满分1选修4−5：不等式选讲（1）∵ 函数f(x)和g(x)的图象关于原点对称，∴ g(x)＝−f(−x)＝−(x 2−2x)， ∴ g(x)＝−x 2+2x ，x ∈R ．∴ 原不等式可化为2x 2−|x −1|≤0．上面不等价于下列二个不等式组：{x ≤12x 2+x −1≤0 ⋯①，或{x >12x 2−x +1≤0 ⋯②，由①得−1≤x ≤12，而②无解．∴ 原不等式的解集为[−1,12]．（2）不等式g(x)+c ≤f(x)−|x −1|可化为：c ≤2x 2−|x −1|．作出函数F(x)＝2x 2−|x −1|的图象（这里略）． 由此可得函数F(x)的最小值为−98，∴ 实数c 的取值范围是(−∞,−98]．。
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绥棱一中2015届高三第一次模拟考试数学理一、选择题（每小题5分，共60分） 1.在复平面内，复数ii1+对应的点位于（） A.第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 集合{|lg 0}M x x =>，2{|4}N x x =≤，则MN =（ ）A. (1,2)B. [1,2)C. (1,2]D. [1,2]3.若向量a =(1,1)，b =(2，5)，c =(3，x)满足条件(8a —b )·c =30，则x=( ) A ．6 B ．5 C ．4 D ．34.给定下列两个命题：①“q p ∨”为真是“p ⌝”为假的必要不充分条件；②“R x ∈∃，使0sin >x ”的否定是“R x ∈∀，使0sin ≤x ”.其中说法正确的是（ ） A. ①真②假 B.①假②真 C. ①和②都为假 D.①和②都为真 5.函数134ln )(-+=x x x f 的零点一定位于区间（ ） A ．（1,2） B ．（2,3） C ．（3,4） D ．（4,5） 6.已知32cos sin =+θθ,则)252cos(πθ+的值为( ) A.97 B. 97- C. 924- D. 9247.已知f (x )在R 上是奇函数，且满足f (x ＋4)＝f (x )，当x ∈(0,2)时，f (x )＝2x 2，则f (7)等于( ) A ．－2 B ．2 C ．－98 D ．98 8.已知等差数列{}n a 中，26a =，515a =，若2n n b a =，则数列{}n b 的前5项和等于（ ） A ．30B ．45C ．90D ．1869.函数1ln )(-=x x f 的图像大致是 （ ）10．函数()sin()f x A x ωϕ=+（其中0,||2A πϕ><）的图象如图所示，为了得到x x g 2sin )(=的图像，则只要将()f x 的图像 （ ） A ．向右平移6π个单位长度 B ．向右平移12π个单位长度 C ．向左平移6π个单位长度 D ．向左平移12π个单位长度 11. 在△ABC 中，角C B A ,,的对边分别为,,a b c ，若c a B C A 2,cos 1)cos(=-=-，则C 2cos 的 值为 ( ) A.21 B.23 C. 23- D.21-12．已知函数()y f x =是定义在实数集R 上的奇函数，()f x '是()f x 的导函数,且当()()0,0x f x xfx '>+>，设1122log 4log 4,,a f b ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1lg 5c ⎛⎫= ⎪⎝⎭115f g ⎛⎫⎪⎝⎭，则a ，b ，c 的大小关系是（ ） A.c a b >>B.c b a >>C.a b c >>D.a c b >>二、选择题（每小题5分，共20分） 13．221x dx ⎰= ．14．在等比数列{a n }中，a 1＝1，公比|q |≠1.若54321a a a a a a m =，则m ＝ ．15．已知函数()32f x x ax bx c =+++的图象过点A （2，1），且在点A 处的切线方程20x y a -+=,a b c ++= ．16=_________． 三、解答题：(本大题共6小题，共70分)17．(10分)以直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，且两个坐标系取相等的单位长度．已知直线L 经过点P(1,1),倾斜角6πα=．（I ）写出直线L 的参数方程；（II ）设L 与圆2=ρ相交与两点A 、B ，求点P 到A 、B 两点的距离之积．18．(12分)已知函数13sin 322sin )(2++-=x x x f ．(1)求)(x f 的最小正周期及其单调增区间; (2)当]6,6[ππ-∈x 时，求)(x f 的值域．19．(12分)已知||1a =，||2b =，a 与b 的夹角为60， （1）求a 在b 方向上的投影；（2）c a b λ=+与2d a b =+的夹角为锐角，求λ的取值范围。
20．(12分)已知,,a b c 分别为ABC ∆三个内角,,A B C 的对边，cos sin 0a C C b c --=。
（1）求A 的大小；（2）若7=a ，求ABC ∆的周长的取值范围.21．(12分)设数列{}n a 的前n 项积为n T ，且n n a T 22-= *N n ∈.（1）求证：数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n T 1是等差数列（2）设()()111+--=n n n a a b ，求数列{}n b 的前n 项和n S22、（12分）设函数x a bx x x f ln )(2-+=(1) 若x=2是函数f(x)的极值点，1和0x 是函数)(x f 的两个不同零点，且N n n n x ∈+∈),1,(0，求n 。
(2) 若对任意[]1,2--∈b , 都存在),1(e x ∈(e 为自然对数的底数)，使得0)(<x f 成立，求实数a 的取值范围。
高三月考数学试题答案（理）1、D2、C3、C4、D5、B6、A7、A8、C9、B 10、A 11、A 12、C 13、7/3 14、11 15、0 16、817. （12分）【解析】（I ）直线的参数方程是是参数）t t y t x (;211,231⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=（II ）因为点A,B 都在直线l 上，所以可设它们对应的参数为t 1和t 2,则点A,B 的坐标分别为),211,231(11t t A ++)211,231(22t t B ++．圆2ρ=化为直角坐标系的方程422=+y x ． 以直线l 的参数方程代入圆的方程422=+y x 整理得到02)13(2=-++t t ① 因为t 1和t 2是方程①的解，从而t 1t 2＝－2．所以|PA|·|PB|= |t 1t 2|＝|－2|＝2．18、（12分）【解析】(1).1)sin 21(32sin )(2+-+=x x x f++=x x 2cos 32sin 1)32sin(21++=πx ．函数)(x f 的最小正周期ππ==22T ． 由正弦函数的性质知，当223222πππππ+≤+≤-k x k ，即)(12125Z k k x k ∈+≤≤-ππππ时，函数)32sin(π+=x y 为单调增函数，所以函数)(x f 的单调增区间为]12,125[ππππ+-k k ，)(Z k ∈． (2)因为]6,6[ππ-∈x ，所以]32,0[32ππ∈+x ，所以∈+)32sin(πx ]1,0[， 所以]3,1[1)32sin(2)(∈++=πx x f ，所以)(x f 的值域为[1，3]．19．（12分）【解析】111(1);(2)(3,)(,)222-+∞解析：解：（1）a 在b 方向上的投影为cos 60a =11122⨯=；（2）若c a b λ=+与2d a b =+的夹角为锐角，则0c d ∙>且两向量不共线，得()()2390a b a b λλ+∙+=+>且12λ≠，得132λλ>-≠且.20．（12分）解：（1）由正弦定理得：cos sin 0sin cos sin sin sin a C C b c A C A C B C --=⇔=+sin cos sin sin()sin 1cos 1sin(30)2303060A C A C a C CA A A A A ︒︒︒︒⇔=++⇔-=⇔-=⇔-=⇔=（Ⅱ）法一：由已知：0,0b c >>， b+c ＞a=7由余弦定理bc c b bc c b 3)(3cos 249222-+=-+=π22231()()()44b c b c b c ≥+-+=+（当且仅当b c =时等号成立） ∴(b+c)2≤4×49, 又b+c ＞7, ∴7＜b+c≤14从而ABC ∆的周长的取值范围是]21,14( 21、（12分）【解析】22、（12分）【解析】（Ⅰ）()2a f x x b x '=-+，∵2x =是函数()f x 的极值点，∴(2)402af b '=-+=.∵1是函数()f x 的零点，得(1)10f b =+=， 由40,210,a b b ⎧-+=⎪⎨⎪+=⎩解得6,1a b ==-.∴2()6ln f x x x x =--,6()21f x x x'=--， 令2'626(23)(2)()210x x x x f x x x x x--+-=--==>，(0,)x ∈+∞，得2x >； 令'()0f x <得02x <<，所以()f x 在(0,2)上单调递减；在()2,+∞上单调递增. 故函数()f x 至多有两个零点，其中1(0,2),∈0(2,)x ∈+∞， 因为()()210f f <=，()()361ln30f =-<()()2462ln 46ln 04e f =-=>，所以()03,4x ∈，故3n =．（Ⅱ）令2()ln g b xb x a x =+-，[]2,1b ∈--，则()g b 为关于b 的一次函数且为增函数，根据题意，对任意[]2,1b ∈--，都存在(1,)x e ∈，使得()0f x <成立，则2max ()(1)ln 0g b g x x a x =-=--<在(1,)上e 有解，令2()ln h x x x a x =--，只需存在0(1,)x e ∈使得0()0h x <即可，由于'()h x =2221a x x a x x x----=，令2()2,(1,)x x x a x e ϕ=--∈，()410x x ϕ'=->， ∴()x ϕ在(1，e )上单调递增，()(1)1x a ϕϕ>=-，①当10a -≥，即1a ≤时，()0x ϕ>，即()0h x '>，()h x 在(1，e )上单调递增，∴()(1)0h x h >=，不符合题意.②当10a -<，即1a >时，(1)10a ϕ=-<，2()2e e e a ϕ=--若221a e e ≥->，则()0e ϕ<，所以在(1，e )上()0x ϕ<恒成立，即()0h x '<恒成立，∴()h x 在(1，e )上单调递减,。