比例线段与黄金分割

比例线段与黄金分割

【知识要点】

1．把b a 的值叫做线段b a ,的比，若d

c b a =，则称线段

d c b a ,,,成比例线段。 2．bc ad d c b a d

c b a =⇔=⇔=::，其中

d c b a ,,,分别叫第一、第二、第三、第四比例项，d a ,称为外项，c b ,称为内项；外项的积等于内项的积。

3．n

1=实际距离图上距离，我们称为比例尺，进行有关比例尺的计算时，要注意统一单位 4．比例性质：①基本性质：

bc ad d c b a =⇔=；②反比性质：c

d a b d c b a =⇔=； ③更比性质：a b c a d c b a =⇔=； ④合比性质：d b c b b a d c b a ±=±⇔=； ⑤等比性质：n n b a b a b a b a === 332211，则1

12121b a b b b a a a n n =+++++ 5．比例中项：若ac b =2，则称b 是ac 的比例中项

6．若点P 分线段AB 得到较长线段是较短线段和整条线段的比例中项，则称点P 是线段AB 的黄金分割点；

7．2

15,215--==较长线段较短线段整条线段较长线段叫做黄金比值。 相似多边形

相似多边形 如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，这两个或多个多边形叫做相似多边形，相似多边形对应边的比叫做相似比。

相似多边形性质

相似多边形性质定理1：相似多边形周长比等于相似比。

相似多边形性质定理2：相似多边形对应对角线的比等于相似比。

相似多边形性质定理3：相似多边形中的对应三角形相似，其相似比等于相似多边形的相似比。

相似多边形性质定理4：相似多边形面积的比等于相似比的平方。

相似多边形性质定理5：若相似比为1，则全等

相似多边形的性质定理主要根据它的定义：对应角相等，对应边成比例。 相似多边形的判定

对应角相等,对应边成比例的多边形是相似多边形. 所有对应边成比例，那么这两个多边形相似

练习：

1、若a:b:c=3:5:7,且3a+2b-4c=9,则a+b+c 的值等于（ ）

2.若2:1:::===d c c b b a ，则=d a :________

3.若3:2:1::=c b a ，则

c b a c b a +---的值为________ 4.已知8

75c b a ==，且20=++c b a ，则=-+c b a 2________ 5.若4:3:2::=c b a ，且5=-+c b a ，则b a -的值是________

6.如果32=b a ，且3,2≠≠b a ，那么=-++-5

1b a b a 7.在Rt △ABC 中，斜边AB ＝205，40

9=BC AC ，试求AC ，BC 的值。 8.在△ABC 中，AB ＝12，点E 在AC 上，点D 在AB 上，若AE ＝6，EC ＝4，且

EC AE DB AD =。 （1） 求AD 的长；

（2） 试问

AC

EC AB DB =能成立吗？请说明理由。

9.若65432+==+c b a ,且2a －b +3c =21.试求a ∶b ∶c . 10.（1）已知b a a b b a x +=+=+=

222，求x 的值 （2）已知5

24232x z z y y x -=-=-，求y x z y x -++2的值 11、已知a b a -=32，求b

a b a +-34的值。

黄金分割：

1、 若点C 是线段AB 的黄金分割点，AB=8 cm ，AC>BC,求AC 的值。

2. 已知点P 是线段MN 的黄金分割点，MP>NP,且MP=)15(-cm,求MN 的值。

3. 点C 是线段AB 的黄金分割点，AC>BC,求

AB

BC 的值 。

A C

B

D E B C A 4. 若把长为10cm 的线段黄金分割后，求其中较短的线段长度是多少？

5. 已知线段AB=6，点C 为线段AB 的黄金分割点，(AC>BC)，求下列各式的值：

（1）AC －BC; (2)BC AC ⋅

6. 如图：在ABC ∆中，D 、E 分别是边AB 、AC 上的点，且EC

AE BD AD =, (1)你能说明

AC EC AB

BD =吗? (2)若AB=12，AE=6，EC=4，求出AD 的长。 (3)若53===BC DE AC AE AB AD ,且ABC ∆的周长为30，求出ADE ∆的周长。

7. 已知：如图，ABC ∆中，D 是BC 上的一点， BD AC AB =,且AB=7cm,AC=5cm,BC=8cm, 求BD , DC 的长。

相似多边形： 1．如图1－4－13，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，EF ∥BC ，将梯形ABCD 分成两个相似的梯形，梯形AEFD 和梯形EBCF ，若AD=3，BC=4，则EF 的长为__________.

2、如图，在△ABC 中，D 是BC 边上一点，E 是AC 边上一点．且满足AD ＝AB ，∠ADE ＝∠

A C

B A

C B A B

D C

E A B D C

F E D C B A

C ．

（1）求证：∠AED =∠ADC ，∠DEC =∠B ；

（2）求证：AB 2＝AE •AC ．

3、如图，在△ABC 中，BC ＞AC ，点D 在BC 上，且DC=AC ，∠ACB 的平分线CF 交AD 于点F ．点E 是AB 的中点，连结EF ． （1）求证：ＥＦ∥ＢＣ；

（2）若△ABD 的面积是6．求四边形BDFE 的面积

4、如图，AD 是直角三角形ABC 斜边BC 上的高，DE ⊥DF ，且DE 和DF 分别交AB 、AC 于E 、F.则BD

BE AD AF 吗？说说你的理由。

5、梯形ABCD 中，AD ∥BC ，E ，F 分别为AB ，CD 上一点，且梯形AEFD ∽梯形EBCF ，若AD ＝4，BC ＝9。试求AE ：EB 的值。

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