浙教版初中数学九年级比例线段及黄金分割(基础) 知识讲解

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黄金分割知识点九年级

黄金分割知识点九年级黄金分割是数学中的一个重要概念，也是艺术和设计领域经常运用的原则。

它指的是一种特殊的比例关系，被广泛应用于建筑、绘画、音乐、摄影等领域中。

下面将介绍黄金分割的定义、特点以及其在不同领域中的应用。

一、黄金分割的定义黄金分割，又称黄金比例，是指一条线段分成两部分，使整体与较长部分之间的比例等于较长部分与较短部分之间的比例。

用公式表示为a/b=(a+b)/a=φ（phi），其中a代表整体长度，b代表较长部分的长度，φ为黄金分割比例，约等于1.618。

二、黄金分割的特点黄金分割具有以下几个特点：1. 对称美：黄金分割产生的两部分线段，在视觉上具有对称和谐的美感，被认为是最美的比例关系。

2. 延展性：黄金比例可以无限延展，即将一个黄金长方形的边界扩大，仍然能保持黄金比例。

3. 无限递归性：黄金分割能够无限递归，即把一个矩形划分成一个正方形和一个新的矩形，这个新的矩形与原矩形的比例仍然是黄金比例。

4. 出现频率高：黄金分割在自然界中出现频率较高，例如大部分花朵的花瓣数目和位置、鱼和动物的体长比例等都符合黄金分割比例。

三、黄金分割在不同领域的应用1. 建筑设计：许多著名的建筑物和古代宫殿都应用了黄金分割原理。

例如，希腊神庙和埃及金字塔的长宽比例大都接近黄金比例，这使得它们在视觉上更加和谐美观。

2. 绘画与雕塑：众多艺术作品中也运用了黄金分割的比例关系。

画家和雕塑家常常使用黄金分割点来布局画面，这样能够吸引观众视线，使画面更加有层次感。

3. 摄影和设计：摄影师和设计师在构图时经常使用黄金分割点和黄金分割线来达到更好的视觉效果。

黄金分割的运用可以使照片或设计更加吸引人，给人以美的享受。

4. 音乐：黄金分割原则也应用于音乐创作中。

作曲家可以根据黄金比例来安排乐曲的节奏、曲调和结构，以达到更好的和谐效果。

5. 网页设计和平面设计：在网页和平面设计领域中，黄金分割被广泛应用于布局、按钮位置、文字大小等方面，以提升用户体验和视觉效果。

浙教版数学九年级上册4.1《比例线段》教案1

浙教版数学九年级上册4.1《比例线段》教案1一. 教材分析《比例线段》是浙教版数学九年级上册第四章的第一节内容。

本节主要让学生了解比例线段的定义、性质和应用，培养学生运用比例线段解决实际问题的能力。

教材通过引入实际问题，引导学生探索比例线段的性质，进而得出比例线段的定义，并通过例题和练习题使学生掌握比例线段的应用。

二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的几何知识，对线段、射线、直线等概念有了一定的了解。

但是，对于比例线段这一概念，学生可能较为陌生。

因此，在教学过程中，教师需要引导学生通过实际问题探索比例线段的性质，从而理解比例线段的定义。

三. 教学目标1.理解比例线段的定义及其性质。

2.学会运用比例线段解决实际问题。

3.培养学生的几何思维能力和解决实际问题的能力。

四. 教学重难点1.重点：比例线段的定义及其性质。

2.难点：运用比例线段解决实际问题。

五. 教学方法1.情境教学法：通过引入实际问题，激发学生的学习兴趣，引导学生探索比例线段的性质。

2.启发式教学法：在教学过程中，教师引导学生思考、讨论，从而培养学生的问题解决能力。

3.实践性教学法：通过例题和练习题，使学生掌握比例线段的运用。

六. 教学准备1.教具：黑板、粉笔、投影仪、PPT等。

2.学具：学生每人一份比例线段的相关练习题。

七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过引入实际问题，如“在一条直线上，两点间的距离是否相等？”引发学生的思考，进而引导学生探索比例线段的性质。

2.呈现（10分钟）教师通过PPT展示比例线段的定义及其性质，让学生初步了解比例线段的概念。

3.操练（10分钟）教师提出一些有关比例线段的问题，让学生分组讨论、解答。

例如：“已知线段AB和线段BC的长度比为2:3，求线段AC的长度。

”通过解答这些问题，学生能够更好地理解比例线段的性质。

4.巩固（10分钟）教师给出一些练习题，让学生独立完成。

练习题包括判断题、选择题和解答题，题型多样，难度适中。

初中数学比例线段黄金分割

例 6：若 ABC 三边 a : b : c 6 : 4 : 3 ，三边上的高分别为 h1、h2、h3 ，求 h1 : h2 : h3 的值。
自我检测
一、填空题
1.(1)若 5x-7y = 0,则 x =______. (2)已知 x y 3 , 那么 x =______.
y
y7
y
(3)若
x 2
如果一条直线截三角形的两边所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边。
三角形一边的平行线判定定理的推论: 如果一条直线截三角形的两边的延长线 (这两边的延长线在第三边的同侧)所得的对应线段成比例，那么这条直
线平行于三角形的第三边。平行线分线段成比例定理：两条直线被三条平行的直线所截，截得的对应线段成比例。推论：两条直线被三条平行的直线所截，如果在一条直线上截得的线段相等，那么在另一条直线上截得的线段也相等。
；
7. 若 x：y：z=2：7：5，且 x-2y+3z=6，则 x=
，y=
，z=
；
8.设x3 =y5 =z7 ，则x+yy =__
_，3yy+-32zz =__
__.
3
9.如图是两个相似四边形,已知数据如图所示,则 x=_____,y=_____,α =______.
5 1200 4
300
6
1300
, MN=
PQ, PQ=
MN.
4．如图，C 是线段 AB 的中点，D 在 BC 上，且 AB=24cm，
BD=5cm, 则 AC∶CB=
；AC∶AB=
；A
C
DB
BC∶ BD=
；CD∶AB=
；AD∶CD=

九年级黄金分割知识点课程

九年级黄金分割知识点课程黄金分割是数学中的一个重要概念，也是美学中常见的一种比例关系。

在九年级的数学课程中，学生将接触到这一知识点，并深入了解其应用。

本文将围绕九年级黄金分割知识点课程展开讲述，包括黄金分割的定义、性质、推导方法以及一些实际应用。

一、黄金分割的定义黄金分割是指一条线段分成两部分，较大部分与整体的比值等于较小部分与较大部分的比值。

用数学符号表示为a/b=(a+b)/a=Φ （phi），其中Φ为黄金分割常数，约等于1.618。

二、黄金分割的性质1. 黄金分割点对称性：在一条线段上，黄金分割点将这条线段分成两部分，这两部分的比值等于整体线段与较大部分的比值。

2. 黄金分割点的延伸：无论是将整体线段延伸至左侧还是右侧的与原线段等比例的线段，其分割点仍然是黄金分割点。

3. 黄金矩形性质：将一个正方形的一边延伸至黄金分割点，形成的长方形即为黄金矩形。

黄金矩形具有自相似性和美学上的和谐感。

三、黄金分割的推导方法黄金分割的推导方法主要有几何法和代数法两种。

1. 几何法：通过将线段分割，得到与之相似的子线段，并运用相似三角形的性质，可以推导出黄金分割比例。

2. 代数法：假设整体线段为a，较小部分的长度为b，根据黄金分割的定义可得到a/b = (a+b)/a，解方程可得黄金分割比例。

四、黄金分割的实际应用黄金分割不仅在数学中有重要意义，也在自然界和人类创作中有广泛应用。

1. 建筑设计：许多古代和现代的建筑作品都运用了黄金分割比例，如古代希腊建筑中的帕特农神庙和现代的肯尼迪图书馆。

2. 绘画和摄影：黄金分割比例用于画面的构图和角度的选择，可以使画面更加美观和和谐。

3. 音乐和舞蹈：黄金分割比例用于音乐中的乐谱结构和舞蹈中的动作设计，可以营造出一种流畅而和谐的感觉。

4. 金融市场：黄金分割被应用于金融领域的技术分析中，用于预测价格波动和市场趋势。

总结：九年级的黄金分割知识点课程涵盖了黄金分割的定义、性质、推导方法和实际应用。

浙教版初中数学九年级比例线段及黄金分割(提高) 知识讲解

相似形和比例线段（提高）知识讲解学习目标】1、了解两条线段的比和比例线段的概念并能根据条件写出比例线段；2、会运用比例线段解决简单的实际问题；3、掌握黄金分割的定义并能确定一条线段的黄金分割点.【要点梳理】要点一、比例线段【： 394495 图形的相似预备知识】1．成比例线段：在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段．2．比例的性质：（1）基本性质：如果a cb d=，那么ad bc =. （2）合比性质：如果++==.a c a b c d b d b d，那么如果--==.a c a b c d b d b d ，那么要点诠释：（1）两条线段的长度必须用同一长度单位表示，若单位长度不同，先化成同一单位，再求它们的比；（2）两条线段的比，没有长度单位，它与所采用的长度单位无关；（3）两条线段的长度都是正数，所以两条线段的比值总是正数．要点二、黄金分割1.定义：点C 把线段AB 分割成AC 和CB 两段,如果AC BC AB AC=,那么线段AB 被点C 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点，AC 与AB 的比叫做黄金比.要点诠释：12AC AB =≈0.618AB(12叫做黄金分割值). 2.作一条线段的黄金分割点：图4－7如图，已知线段AB ，按照如下方法作图：（1）经过点B 作BD ⊥AB ，使BD =21AB . （2）连接AD ，在DA 上截取DE =DB .（3）在AB 上截取AC =AE .则点C 为线段AB 的黄金分割点.要点诠释：一条线段的黄金分割点有两个.【典型例题】类型一、比例线段1. （2016春•上海校级月考）已知，（1）求的值；（2）如果，求x的值．【思路点拨】（1）令===k，则x=2k，y=3k，z=4k，再代入代数式进行计算即可；（2）把x=2k，y=3k，z=4k代入=y﹣z，求出k的值即可．【答案与解析】解：（1）∵==，∴令===k，则x=2k，y=3k，z=4k，∴===﹣1；（2）∵x=2k，y=3k，z=4k，=y﹣z，∴x+3=（y﹣z）2，即2k+3=（3k﹣4k）2，解得k=﹣1或k=3(舍去)，∴x=﹣2．【总结升华】本题考查的是比例的性质，根据题意得出x=2k，y=3k，z=4k是解答此题的关键．举一反三：【：394495 图形的相似预备知识练习2】【变式】（2015春•扶沟县期中）若=，则=（）.A. B. C. D. 无法确定【答案】C.类型二、黄金分割3. 宽与长之比为:12的矩形叫黄金矩形.如图：如果在一个黄金矩形里面画一个正方形，那么留下的矩形还是黄金矩形吗？请证明你的结论.【答案与解析】∵四边形ABEF 是正方形，∴AB=DC=AF,又∵AB AD =∴AF AD =，即点F 是AD 的黄金分割点，∴12AF AD =,即32DF AD =∴12DF AF =，即12DF DC =， ∴矩形CDEF 是黄金矩形.【总结升华】根据黄金矩形的定义去计算宽与长之比即可.4.（1）已知线段AB=10cm ，C 是AB 的一个黄金分割点，且AC ＜BC ，求AC 长；（2）已知线段a 、b 、c ，a=4cm ，b=9cm ，线段c 是线段a 和b 的比例中项．求线段c 的长．【思路点拨】（1）根据黄金分割点的定义，知AC 是较短线段，由黄金分割的公式：较短的线段=原线段的倍，可得AC=10×，计算即可；（2）根据线段比例中项的概念，可得a ：c=c ：b ，可得c 2=ab=36，故c 的值可求．注意线段不能为负．．【答案与解析】解：（1）∵线段AB=10cm ，C 是AB 的一个黄金分割点，且AC ＜BC ，∴AC=10×=15﹣5（cm ）；（2）∵线段c 是线段a 和b 的比例中项，a=4cm ，b=9cm ，∴c 2=ab=36，解得c=±6，又∵线段是正数，∴c=6cm．【总结升华】本题考查了黄金分割，应该识记黄金分割的公式：较短的线段=原线段的倍，较长的线段=原线段的倍．也考查了比例中项的概念．．举一反三：【变式】已知线段AB=1，C是线段AB的黄金分割点，则AC的长度为（）A. B. C. 或 D.以上都不对【答案】C.提示：∵线段AB=1，C是线段AB的黄金分割点，当AC＞BC，∴AC=AB=；当AC＜BC，∴BC=AB=，∴AC=AB﹣BC=1﹣=．。

浙教版数学九年级上册4.1《比例线段》说课稿3

浙教版数学九年级上册4.1《比例线段》说课稿3一. 教材分析《比例线段》是浙教版数学九年级上册第四章第一节的内容。

本节内容是在学生已经掌握了比例的性质和线段的定义的基础上进行教学的。

本节课的主要内容是让学生理解比例线段的含义，掌握比例线段的性质，并能够运用比例线段解决实际问题。

教材通过生活中的实例引入比例线段的概念，接着引导学生探究比例线段的性质，最后通过练习题来巩固所学知识。

二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的逻辑思维能力和探究能力，对于比例和线段的概念已经有了一定的了解。

但是，对于比例线段的性质和应用可能还比较陌生。

因此，在教学过程中，我将会注重引导学生通过观察、思考、探究来理解比例线段的性质，并能够运用比例线段解决实际问题。

三. 说教学目标1.知识与技能目标：让学生理解比例线段的含义，掌握比例线段的性质，并能够运用比例线段解决实际问题。

2.过程与方法目标：通过观察、思考、探究等过程，培养学生的逻辑思维能力和探究能力。

3.情感态度与价值观目标：激发学生对数学的兴趣，培养学生的团队合作意识和克服困难的意志。

四. 说教学重难点1.教学重点：比例线段的含义和性质。

2.教学难点：比例线段的运用和实际问题的解决。

五. 说教学方法与手段在本节课的教学中，我将采用问题驱动法和小组合作法进行教学。

问题驱动法能够激发学生的思考和探究欲望，小组合作法则能够培养学生的团队合作意识。

此外，我还将利用多媒体课件和实物模型等教学手段，帮助学生更好地理解和掌握比例线段的知识。

六. 说教学过程1.导入：通过展示生活中的实例，引导学生观察和思考，引出比例线段的概念。

2.探究：让学生通过小组合作的方式，观察和分析比例线段的性质，引导学生得出结论。

3.巩固：通过练习题，让学生运用比例线段的性质解决实际问题，巩固所学知识。

4.拓展：引导学生思考比例线段在实际生活中的应用，激发学生的学习兴趣。

七. 说板书设计板书设计如下：1.定义：比例线段是指两个线段的比相等的线段。

比例线段(基础) 知识讲解

比例线段（基础）知识讲解责编：常春芳【学习目标】1、了解相似的图形及相似多边形的概念及性质；2、了解两条线段的比和比例线段的概念并能根据条件写出比例线段；3、会运用比例线段解决简单的实际问题；4、掌握黄金分割的定义并能确定一条线段的黄金分割点.【要点梳理】要点一、相似形1.相似的图形在数学上，我们把形状相同的两个图形说成是相似的图形.要点诠释：(1) 相似的图形就是指形状相同，但大小不一定相同的图形；(2) “全等”是“相似”的一种特殊情况，即当“形状相同”且“大小相同”时，两个图形是全等形.2.相似多边形一般地，两个边数相同的多边形，如果它们的对应角相等，对应边长度的比相等，那么这两个多边形叫做相似多边形．相似多边形对应边长度的比叫做相似比或相似系数. 要点诠释：相似多边形的定义既是判定方法，又是它的性质．要点二、比例线段1. 两条线段的比：用同一个长度单位去度量两条线段a ，b ，得到它们的长度，我们把这两条线段长度的比叫做这两条线段的比.记作a b或a : b . 2．成比例线段：在四条线段,,,a b c d 中，如果其中两条线段a ，b 的比等于另外两条线段c ，d 的比，即(::)a c a b c d b d==或，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段．这时，线段,,,a b c d 叫做组成比例的项，线段,a d 叫做比例外项，线段,b c 叫做比例内项. 如果作为比例内项的两条线段是相等的，即,,a b c 之间有::a b b c =，那么线段b 叫做线段,a c 的比例中项.3．比例的性质：（1）基本性质如果a c b d=，那么ad bc =（,b d ≠0）. 反之也成立，即如果ad bc =，那么a cb d =（,b d ≠0）. （2）合比性质如果++==.ac a b cd b d b d，那么（,b d ≠0）（3）等比性质如果1212=nnaa ab b b==…，12++nb b b且…≠0，那么121121++++++nna a a ab b b b=…….要点诠释：（1）两条线段的长度必须用同一长度单位表示，若单位长度不同，先化成同一单位，再求它们的比；（2）两条线段的比，没有长度单位，它与所采用的长度单位无关；（3）两条线段的长度都是正数，所以两条线段的比值总是正数．要点三、黄金分割1.定义：把一条线段分成两部分，使其中较长线段为全线段与较短线段的比例中项这样的线段分割叫做黄金分割，分割点叫做这条线段的黄金分割点，比值512-叫做黄金数. 要点诠释：512-≈0.618.2.作一条线段的黄金分割点：图4－7如图，已知线段AB，按照如下方法作图：（1）经过点B作BD⊥AB，使BD=21AB.（2）连接AD，在DA上截取DE=DB.（3）在AB上截取AC=AE.则点C为线段AB的黄金分割点.要点诠释：一条线段的黄金分割点有两个.【典型例题】类型一、相似形1. 指出下列各组图中，哪些组肯定是相似形__________：(1)两个腰长不等的等腰三角形(2)两个半径不等的圆(3)两个面积不等的矩形(4)两个边长不等的正方形【思路点拨】要注意：（1）相似的图形就是指形状相同，但大小不一定相同的图形；（2）如果两个多边形的对应角相等，对应边的比相等，我们就说它们是相似多边形．【答案】(2) (4).【解析】(1)等腰三角形的形状不一定相同，因此两个腰长不等的等腰三角形不一定相似；(3)中面积不等的两个矩形，虽然它们的边数相同，对应角相等，但对应边的比不一定相等，所以无法确定它们一定相似；(2)(4)中两个半径不等的圆与两个边长不等的正方形都是形状完全相同的图形，是相似形.【总结升华】识别两个图形是否是相似形，可以从形状来识别，对于多边形，也可以用“对应角相等，对应边的比相等”来识别.举一反三：【变式】如图，左边是一个横放的长方形，右边的图形是把左边的长方形各边放大两倍，并竖立起来以后得到的，这两个图形是相似的吗？【答案】这两个图形是相似的，这两个图形形状是一样，对应线段的比都是1:2，虽然它们的摆放方法、位置不一样，但这并不会影响到它们相似性.类型二、比例线段2. 下列四组线段中，成比例线段的有( )A．3cm、4cm、5cm、6cm B．4cm、8cm、3cm、5cmC．5cm、15cm、2cm、6cm D．8cm、4cm、1cm、3cm【答案】C.【解析】四个选项中只有，故选C.【总结升华】根据成比例线段的定义.举一反三：【变式】判断下列线段a、b、c、d是否是成比例线段：(1)a=4，b=6，c=5，d=10；(2)a=2，b=，c=，d=．【答案】(1) ∵，，∴，∴线段a、b、c、d不是成比例线段．(2) ∵ ，，∴ ，∴ 线段a 、b 、c 、d 是成比例线段．3. （2014•甘肃模拟）若==（abc ≠0），求的值．【思路点拨】先设===k ，可得a=2k ，b=3k ，c=5k ，再把a 、b 、c 的值都代入所求式子计算即可．【答案与解析】解：设===k ，则a=2k ，b=3k ，c=5k ，所以===．【总结升华】解此类题学生容易误认为设k 后，未知数越多更不易解出，实际上分子、分母能产生公因式约去．类型三、黄金分割4.（2015•慈溪市一模）如图，扇子的圆心角为x°，余下扇形的圆心角为y°，x 与y 的比通常按黄金比来设计，这样的扇子外形比较美观，若黄金比取0.6，则x 为（）.A. 144°B. 135°C. 136°D. 108°【答案】B.【解析】由扇子的圆心角为x °，余下扇形的圆心角为y °，黄金比为0.6，根据题意得：x ：y=0.6=3：5，又∵x+y=360，则x=360×=135【总结升华】此题考查了黄金分割，以及比例的性质，解题的关键是根据题意列出x 与y 的关系式.5. 如图所示，矩形ABCD 是黄金矩形（即BC AB ＝215 ≈0.618），如果在其内作正方形CDEF ，得到一个小矩形ABFE ，试问矩形ABFE 是否也是黄金矩形？【思路点拨】（1）矩形的宽与长之比值为215-，则这种矩形叫做黄金矩形．（2）要说明ABFE 是不是黄金矩形只要证明AB AE ＝215-即可．【答案与解析】矩形ABFE 是黄金矩形．理由如下：因为AB AE ＝ABED AB AD AB ED AD -=- ＝21512151)15)(15()15(21152-=-+=-+-+=-- 所以矩形ABFE 也是黄金矩形．【总结升华】判断四边形是否是黄金矩形，要根据实际条件灵活选择判断方法. 举一反三：【变式】以长为2的线段AB 为边作正方形ABCD ，取AB 的中点P ，连接PD ，在BA 的延长线上取点F ，使PF ＝PD ，以AF 为边作正方形AMEF ，点M 在AD 上，如图所示，（1）求AM ，DM 的长，（2）试说明AM 2=AD ·DM（3）根据（2）的结论，你能找出图中的黄金分割点吗？【答案】（1）∵正方形ABCD 的边长是2，P 是AB 中点，∴AD ＝AB ＝2，AP ＝1，∠BAD ＝90°，∴PD ＝522=+AD AP 。

九年级数学黄金分割知识点

黄金分割（Golden Ratio）是指一个数与其倒数之和等于1的比例关系，即a与1/a的比值等于1、黄金分割在数学、艺术和自然科学中都有广泛应用。

下面是关于黄金分割的九年级数学知识点的详细介绍。

1.黄金分割的定义：黄金分割是指一个数与其倒数之和等于1的比例关系。

用数学符号表示为a+1/a=1、解这个方程可以得到黄金分割的值，约为1.6182.黄金分割的性质：-黄金分割具有对称性：即a+1/a=1，所以a的倒数也是它的黄金分割点。

-黄金分割点的平方等于黄金分割点加1，即a²=a+1-黄金分割点与1的比值等于黄金分割点减1与1的比值，即a/1=(a-1)/a。

-黄金分割点与1的差与黄金分割点的比值等于1与黄金分割点的比值，即a-1/a=1/a。

3.黄金分割的几何应用：-黄金矩形：在一个长宽比例为黄金分割的矩形中，可以将矩形不断分割为一个正方形和一个长宽比例仍为黄金分割的矩形。

这种分割方式可以无限进行下去。

-黄金三角形：在一个等腰三角形中，底边与等腰边的比例为黄金分割。

黄金三角形有一些独特的几何性质，如旋转、平移和缩放等操作都能保持黄金三角形的形状。

4.黄金分割的代数应用：-黄金分割的计算：利用黄金分割的定义，可以解出黄金分割的值。

这可以通过求解二次方程a²-a-1=0来实现。

-黄金比例的性质：黄金分割可以满足一些特殊的性质，如将一条线段分割为黄金分割点后，两个线段的比值等于原线段与较短线段的比值，也等于较长线段与原线段的比值。

这个比例具有稳定性，无论线段的长度如何变化，比值都保持不变。

-黄金分割的近似值：黄金分割可以用连分数或迭代法来逼近其值。

连分数是一种无限循环小数的表示方法，可以得到黄金分割的连分数表示为1+1/(1+1/(1+1/(1+...)))。

5.黄金分割的艺术应用：-黄金比例在绘画和建筑艺术中被广泛应用。

很多伟大的艺术家和建筑师使用黄金分割来构图和设计。

黄金分割可以使作品更加和谐、对称和美观。

浙教版数学九年级上册4.1《比例线段》说课稿4

浙教版数学九年级上册4.1《比例线段》说课稿4一. 教材分析《比例线段》是浙教版数学九年级上册4.1的内容，本节课的主要目标是让学生理解比例线段的定义，掌握比例线段的性质和应用。

在教材中，通过引入实际问题，引导学生探究比例线段的关系，从而让学生体会数学与实际生活的联系。

教材内容由浅入深，逐步引导学生掌握比例线段的知识，为后续学习相似三角形打下基础。

二. 学情分析九年级的学生已经掌握了初中阶段的基本数学知识，对图形的认识有一定的基础。

但是，对于比例线段这一概念，学生可能较为陌生，需要通过具体的实例和引导，让学生逐步理解和掌握。

此外，学生可能对实际问题中的比例关系有一定的了解，但如何将实际问题转化为数学问题，运用比例线段解决问题，还需要在本节课中进行引导和培养。

三. 说教学目标1.知识与技能目标：让学生理解比例线段的定义，掌握比例线段的性质，能运用比例线段解决实际问题。

2.过程与方法目标：通过观察、操作、猜想、验证等数学活动，培养学生的动手能力、观察能力和推理能力。

3.情感态度与价值观目标：让学生感受数学与实际生活的联系，激发学生学习数学的兴趣，培养学生的合作意识。

四. 说教学重难点1.教学重点：比例线段的定义及其性质。

2.教学难点：比例线段在实际问题中的应用。

五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用问题驱动法、合作学习法、探究学习法等，引导学生主动参与，积极思考。

2.教学手段：利用多媒体课件、实物模型、几何画板等辅助教学，提高学生的学习兴趣和效果。

六. 说教学过程1.导入新课：通过展示实际问题，引导学生关注比例线段的概念，激发学生的学习兴趣。

2.探究新知：引导学生通过观察、操作、猜想、验证等过程，发现并总结比例线段的性质。

3.应用拓展：让学生运用比例线段解决实际问题，巩固所学知识，提高解决问题的能力。

4.课堂小结：总结本节课的主要内容，强调比例线段的概念和性质。

5.布置作业：设计具有针对性的练习题，让学生巩固所学知识，提高解题能力。

九年级数学比例的基本性质,黄金分割课件

应用展示
摄像中的黄金分割
风景极佳，但拍出来以后，却发现没有抓住主题，效果很不理想……为了避免出现这种情况，只需记住一个简单易用的法则，这就是被称为“三等分法” 或“黄金分割法”的画面结构法，这就是我国古人所说的九宫格。九宫格的4条线交汇的4个点是人们的视觉最敏感的地方，在国外的摄影理论里把这4个点称为“趣味中心”。如下图所示，将画面分成三等分，假设在这些位置上有水平线和竖线，然后将作为主题的对象置于横竖线的交叉点。特意将摄影对象从画面的正中移开一些，就能够得到平衡的构图。
x1
由比例的基本性质得： 1 x x2；
即：
x2 x 1 0 ； A
C
B
解这个方程求得：AC= 5 1 ； 2
所以求出黄金分割比： AC 5 1 0.618 。 AB 2
黄金分割比引起了人们极大的注意，被广泛应用在科学实验、美术、音乐、摄影、艺术和日常生活中，你知道分别有哪些方面的应用吗？请例举你所知道应用例子。
解： (1)由 y 4 得：x 5
x5 y4
∴x y x 1 5 1 9 yy 4 4
(2)由m 2n 5 得：m 2 5
n 3n
3
∴ m n 11 3 14
n
33
(3)令 x y z t 235
即：m 11 n3
则x 2t，y 3t， 5t
（问题一）：报幕员应站在舞台的什么地方报幕最佳？
答：根据黄金分割，应站在舞台宽度的0.618处，这样音响效果比较好，且显得自然大方。
（问题二）：人的正常体温是37℃，对大多数人来说，体感最舒适的温度是22 ℃~23 ℃。你能解释吗？
答：因为气温与体温的比约为0.6与0.622,接近黄金分割比0.618，所以感到较舒适。

初三数学成比例线段与黄金分割(复习)

C B A 初三数学成比例线段与黄金分割姓名_________ 班级________【学习目标】了解成比例线段及黄金分割的相关知识【知识点1】成比例线段【定义】：1．比例尺：图上距离与实际距离之比称作比例尺。

即：比例尺= 。

2．两条线段的的比叫做这两条线段的比。

（两条线段的比要在同一长度单位下）3．在四条线段a 、b 、c 、d ，如果其中两条线段的长度的比与另两条线段的长度的比相等，即a:b ＝c:d （或a b ＝c d），那么称这四条线段成比例。

这四条线段也叫做成比例线段，简称比例线段。

（比例线段具有顺序性）特别地，在 a b =b d,我们则把b 叫做a 与d 的比例中项。

即若b 为a 与d 的比例中项，则有b 2=a d 。

【判定】：当没有特别的判定方法时就用“定义法”来判定。

练习：1.下列各组线段中，长度成比例的是（）A 、2㎝、3㎝、4㎝、1㎝B 、1.5㎝、2.5㎝、4.5㎝、6.5㎝C 、1.1㎝、2.2㎝、3.3㎝、4.4㎝D 、1㎝、2㎝、2㎝、4㎝2．在比例尺为1：500000的地图上，测得A 、B 两地间的图上距离为6cm ，求A 、B 两地间实际距离 km 。

【性质】：比例的基本性质①：如果a ：b=c ：d ，那么 = ；反过来，如果ad=bc （b ≠0，d ≠0），那么 = ，或 = 。

练习：已知线段m 、n 、p 、q 的长度满足等式mn ＝pq ，将它改写成比例式的形式，错误．．的是( ) A 、n q p m = B 、q n m p = C 、p n m q = D 、qp n m =【知识点2】黄金分割【定义】：点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC ，如果AC BC AB AC=，那么称线段AB 被点C 黄金分割（golden section ），点C 叫做线段AB 的黄金分割点，AC 与AB （或BC 与AC 的比值约为0.618，这个比值称为黄金比。

九年级数学上册 4.1比例线段(黄金分割)课件浙教版

如何来求 AP 的值呢？ AB 设ＡＢ＝a, AP=x
BP AP AP AB AP2 BP AB ( AB AP) AB x ( a x) a
2
Ａ
Ｐ
x 0 x
Ｂ
5 1 a 2
x 2 ax a 2 o
1 5 x1 a x2 2
二、请你欣赏
感受匀称
协调之美
欣赏之一:
世界艺术珍品——维纳斯女神, 她是西元前一百多年希腊雕塑鼎盛时期的代表作，她的上半身(以肚脐眼为分界点)和下半身的比值接近0.618.
欣赏之二:芭蕾舞
芭蕾舞演员的身段是苗条的，但下半身与身高的比值也只有0.58左右，演员在表演时掂起脚尖，身高就可以增加6-8cm.这时比值就接近0.618了,给人以更为优美的艺术形象.
黄金分割的深远意义
历史上，人们视黄金分割为“最美丽”的几何比率，广泛应用于建筑和雕刻中，如古代希腊的帕特农神庙、埃及金字塔、上海东方明珠塔等，一些长方形的画框，宽与长之比也设计成 0.618，在自然界中也有很多例子，美丽的蝴蝶身长与双翅展开后的长度之比约为0.618.许多美丽的形状都与0.618这个比值有关。
谈谈感受
清点收获
1.比例中项的概念. 2.线段的比例中项与数的比例中项的区别； 3.什么是黄金分割. 4.如何去确定黄金分割点或黄金比. 5.用数学美去装点和美化生活.
十、布置作业 :
课本P102
1 、3、4、
课外作业: 请同学们收集建筑、雕刻和自然界的黄金分割
拓展新知
1.作顶角为36°的等腰△ABC;量出
E
F
B
C
著名画家达•芬奇的名画＜蒙娜丽莎＞，画中脸部被围在矩形ＡＢＣＤ中，图中四边形ＢＣＥＦ为正方形，而在线段AB 上的点Ｆ把线段AB分成两条线段，其中

比例线段——“黄金分割教学设计

教学设计
图1 图2 图3 引言：通过欣赏上述三幅图片,大家会发现,不论是古今中外的宏大建筑,还是脍炙人口的艺术作品；不论是精美的生活物品,还是习以为常的动植物,它们都会使大家体验和谐之美.那么,若用数学的眼光观察,它们中间隐藏着怎样的数学规律呢.下面就借名画“迷人的蒙娜丽莎”来开始
则b就叫做a,c的比例
0.1m）
并通过测量、计算、推理发现了五角星和谐之美的
当气温处于人体正常体温的黄金比值时,人体感到最舒适.因此夏天使用空调时室内温度调到什么温度最适合？（人体正常体温是36℃～37℃）
164cm,下身长为100cm,那么老师穿多高的高跟鞋看上去会更协调
吗？请与同学交流。

比例线段及黄金分割点压轴题型全攻略(解析版)

比例线段及黄金分割点压轴题型全攻略【考点导航】1.目录【典型例题】1【考点一比例线段的识别】【考点二比例线段的计算】【考点三黄金分割点的定义】【考点四黄金分割点的应用】【考点五黄金分割点的拓展提高】【过关检测】4【典型例题】【考点一比例线段的识别】1【若a：b=2：3，则下列各式中正确的式子是( )A.2a=3bB.3a=2bC.ba =23D.a-bb=13【分析】根据比例的性质，对选项一一分析，选择正确答案．【答案】B．【详解】A、2a=3b⇒a：b=3：2，故选项错误；B、3a=2b⇒a：b=2：3，故选项正确；C、ba =23⇒b：a=2：3，故选项错误；D、a-bb =13⇒a：b=3：2，故选项错误．故选B．【点睛】考查了比例的性质．在比例里，两个外项的乘积等于两个内项的乘积．1.已知ab=52，那么下列等式中，不一定正确的是( )．A.2a=5bB.a5=b2C.a+b=7D.a+bb=72【答案】C．2.由5a=6b(a≠0)，可得比例式()A.b6 =5aB.b5 =6aC.ab =56D.a-bb=15【答案】D .【解析】A 、b 6 =5a⇒ab =30，故选项错误；B 、b 5 =6a ⇒ab =30，故选项错误；C 、a b =56⇒6a =5b ，故选项错误；D 、a -b b=15⇒5(a -b )=b ，即5a =6b ，故选项正确．故选D ．【考点二比例线段的计算】1设x 2=y 3=z4，求2x 2-3yz +z 2x 2-2xy -z 2的值．【分析】由已知条件利用解方程的思想不能求出x ，y ，z 的值，因此用设参数法代入化简．【详解】设x 2=y 3=z4=k则x =2k ，y =3k ，z =4k 原式=2×2k 2-3×3k ×4k +4k 22k 2-2×2k ×3k -4k2=-12k 2-24k 2=12【点睛】解此类题学生容易误认为设k 后，未知数越多更不易解出，实际上分子、分母能产生公因式约去．1.若x -y 13=y 7，则x +yy=( ).A.137B .207C . 277D . 无法确定【答案】C .2.已知x 2=y 3=z4，(1)求x -2y z 的值；(2)如果x +3=y -z ，求x 的值．(1)令x 2=y 3=z4=k ，则x =2k ，y =3k ，z =4k ，再代入代数式进行计算即可；(2)把x =2k ，y =3k ，z =4k 代入x +3=y -z ，求出k 的值即可．【解析】解：(1)∵x 2=y 3=z4，∴令x 2=y 3=z4=k ，则x =2k ，y =3k ，z =4k ，∴x -2y z =2k -6k 4k =-4k 4k=-1；(2)∵x =2k ，y =3k ，z =4k ，x +3=y -z ，∴x +3=(y -z )2，即2k +3=(3k -4k )2，解得k =-1或k =3(舍去)，∴x =-2．【点睛】本题考查的是比例的性质，根据题意得出x =2k ，y =3k ，z =4k 是解答此题的关键．举一反三：3.已知：a b +c =b a +c =ca +b=k ．求k 值．【答案】可分a+b+c=0和a+b+c≠0两种情况代入求值和利用等比性质求解.【答案与解析】①当a+b+c=0时，b+c=-a，c+a=-b，a+b=-c，∴k为其中任何一个比值，即k=a-a=-1;②a+b+c≠0时，k=a+b+cb+c+c+a+a+b =a+b+c2(a+b+c)=12．∴k=-1或12.【点睛】考查比例性质的应用；分两种情况探讨此题是解决本题的易错点．【考点三黄金分割点的定义】1已知点P是线段AB的一个黄金分割点(AP>PB)，则PB：AB的值为( ).A.5-12B.3-52C.1+52D.3-54【答案】B.【详解】根据题意得AP=5-12AB，所以PB=AB-AP=3-52AB，所以PB：AB=3-5 2．1.已知线段AB=10cm，C是AB的一个黄金分割点，且AC<BC，求AC长为cm；【答案】根据黄金分割点的定义，知AC是较短线段，由黄金分割的公式：较短的线段=原线段的3-5 2倍，可得AC=10×3-52，计算即可；【解析】∵线段AB=10cm，C是AB的一个黄金分割点，且AC<BC，∴AC=10×3-52=15-55(cm)；【点睛】本题考查了黄金分割，应该识记黄金分割的公式：较短的线段=原线段的3-52倍，较长的线段=原线段的5-12倍．2.已知线段AB=1，C是线段AB的黄金分割点，则AC的长度为()A.5-12B. 3-52C.5-12或3-52D. 以上都不对【答案】C.【解析】∵线段AB=1，C是线段AB的黄金分割点，当AC>BC，∴AC=5-12AB=5-12；当AC<BC，∴BC=5-12AB=5-12，∴AC=AB-BC=1-5-12=3-52．【考点四黄金分割点的应用】2美是一种感觉，当人体下半身长与身高的比值越接近0.618时，越给人一种美感．如图，某女士身高165cm，下半身长x与身高l的比值是0.60，为尽可能达到好的效果，她应穿的高跟鞋的高度大约为( ).A.4cmB.6cmC.8cmD.10cm【答案】C.【详解】根据已知条件得下半身长是165×0.60=99cm，设需要穿的高跟鞋是ycm，则根据黄金分割的定义得：99+y165+y=0.618，解得：y≈8cm．故选C．1.如图是一种贝壳的俯视图，点C分线段AB近似于黄金分割．已知AB=10cm，则AC的长约为cm(结果精确到0.1cm).【答案】6.2或3.8【解析】由题意知AC：AB=BC：AC，∴AC：AB≈0.618，∴AC=0.618×10cm≈6.2(结果精确到0.1cm)或AC=10-6.2=3.8．故答案为：6.2或3.8．2.如图，△ABC顶角是36°的等腰三角形(底与腰的比为5-12的三角形是黄金三角形)，若△ABC、△BDC、△DEC都是黄金三角形，已知AB=4，则DE=．【答案】6-25．【解析】根据题意可知，BC=5-12AB，∵△ABC顶角是36°的等腰三角形，∴AB=AC，∠ABC=∠C=72°，又∵△BDC也是黄金三角形，∴∠CBD=36°，BC=BD，∴∠ABD=∠ABC-∠CBD=36°=∠A，∴BD=AD，同理可证DE=DC，∴DE=DC=AC-AD=AB-BC=AB-5-12AB=6-25．故答案为：6-25．【考点五黄金分割点的拓展提高】3是黄金矩形(即ABBC=5-12≈0.618)，如果在其内作正方形CDEF，得到一个小矩形ABFE，试问矩形ABFE是否也是黄金矩形？【分析】(1)矩形的宽与长之比值为5-12，则这种矩形叫做黄金矩形．(2)要说明ABFE是不是黄金矩形只要证明AEAB =5-12即可．【答案与详解】矩形ABFE是黄金矩形．理由如下：因为AEAB=AD-EDAB=ADAB-EDAB=25-1-1=25+15-15+1-1=5+12-1=5-12所以矩形ABFE也是黄金矩形．【点睛】判断四边形是否是黄金矩形，要根据实际条件灵活选择判断方法.1.如图，扇子的圆心角为x°，余下扇形的圆心角为y°，x与y的比通常按黄金比来设计，这样的扇子外形比较美观，若黄金比取0.6，则x为( ).A.144°B. 135°C. 136°D. 108°【答案】B.【解析】由扇子的圆心角为x°，余下扇形的圆心角为y°，黄金比为0.6，根据题意得：x：y=0.6=3：5，又∵x+y=360，则x=360×38=135【总结升华】此题考查了黄金分割，以及比例的性质，解题的关键是根据题意列出x与y的关系式.2.图1是一张宽与长之比为5-12：1的矩形纸片，我们称这样的矩形为黄金矩形．同学们都知道按图2所示的折叠方法进行折叠，折叠后再展开，可以得到一个正方形ABEF和一个矩形EFDC，那么EFDC这个矩形还是黄金矩形吗？若是，请根据图2证明你的结论；若不是，请说明理由．矩形EFDC是黄金矩形，【解析】证明：∵四边形ABEF是正方形，∴AB=DC=AF，又∵ABAD=5-12，∴AF AD =5-12，即点F是线段AD的黄金分割点．∴FD AF =AFAD=5-12，∴FD DC =5-12，3.以长为2的线段AB为边作正方形ABCD，取AB的中点P，连接PD，在BA的延长线上取点F，使PF=PD，以AF为边作正方形AMEF，点M在AD上，如图所示，(1)求AM，DM的长，(2)试说明AM2=AD·DM(3)根据(2)的结论，你能找出图中的黄金分割点吗？【答案】(1)∵正方形ABCD的边长是2，P是AB中点，∴AD=AB=2，AP=1，∠BAD=90°，∴PD=AP2+AD2=5。

浙教版数学九年级上册4.1《比例线段》说课稿1

浙教版数学九年级上册4.1《比例线段》说课稿1一. 教材分析《比例线段》是浙教版数学九年级上册第四章第一节的内容。

本节内容是在学生已经掌握了线段、射线、直线的概念以及平行线、相交线的基础知识上进行学习的。

比例线段是数学中一种重要的比较方法，它不仅可以解决实际问题，而且也是解决比例、比例分配等问题的重要工具。

本节内容主要包括比例线段的定义、性质和应用。

教材通过生活中的实例引入比例线段的概念，然后引导学生探究比例线段的性质，最后通过练习让学生掌握比例线段的运用。

二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的逻辑思维能力和探究能力，对于线段、射线、直线等基础知识也有了一定的了解。

但是，学生对于比例线段的理解和运用还需要进一步的引导和培养。

此外，学生可能对于比例线段的实际应用场景还不够了解，需要通过实例和练习来加深理解。

三. 说教学目标1.知识与技能目标：让学生掌握比例线段的定义、性质和运用。

2.过程与方法目标：通过实例引入比例线段的概念，引导学生探究比例线段的性质，培养学生解决问题的能力。

3.情感态度与价值观目标：让学生体验数学与生活的紧密联系，培养学生的学习兴趣。

四. 说教学重难点1.教学重点：比例线段的定义、性质和运用。

2.教学难点：比例线段的性质的证明和运用。

五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用问题驱动法、合作学习法、案例教学法等。

2.教学手段：利用多媒体课件、实物模型、练习题等。

六. 说教学过程1.导入：通过生活中的实例引入比例线段的概念，让学生感受数学与生活的联系。

2.新课导入：介绍比例线段的定义和性质，引导学生进行探究和证明。

3.实例分析：通过具体的例子让学生理解比例线段的运用和解决实际问题的能力。

4.练习巩固：让学生通过练习题来巩固比例线段的定义、性质和运用。

5.总结提升：对本节内容进行总结，强调比例线段的重要性和应用场景。

七. 说板书设计板书设计要清晰、简洁，能够突出比例线段的定义、性质和运用。

浙教版九年级上册4.1比例线段2课件

bd
（a、b、c、d都不等于0），那么
a b
c d
．
4、已知:△ABC中,D、E分别是AB、 AC的中点，那么线段AD、AB、 DE、BC是否成比例线段？为什么？
Ａ
D
E
B
C
•
9、人的价值，在招收诱惑的一瞬间被决定。2021/7/62021/7/6Tuesday, July 06, 2021
•
16、业余生活要有意义，不要越轨。2021/7/62021/7/6Jul y 6, 2021
•
17、一个人即使已登上顶峰，也仍要自强不息。2021/7/62021/7/62021/7/62021/7/6
5、已知线段a=10mm , b=6cm
c=2cm , d=3cm . 问：这四条线段是否成比例？为什么?
•
13、生气是拿别人做错的事来惩罚自己。2021/7/62021/7/62021/7/62021/7/67/6/2021
•
14、抱最大的希望，作最大的努力。2021年7月6日星期二2021/7/62021/7/62021/7/6
•
15、一个人炫耀什么，说明他内心缺少什么。。2021年7月 2021/7/62021/7/62021/7/67/6/2021
•
13、生气是拿别人做错的事来惩罚自己。21.7.621.7.6**Jul y 6, 2021
•
14、抱最大的希望，作最大的努力。2021年7月6日星期二* *21.7.6
•
15、一个人炫耀什么，说明他内心缺少什么。。2021年7月 *21.7.6*Jul y 6, 2021
•
16、业余生活要有意义，不要越轨。* *7/6/2021

初三数学第2讲：比例线段与黄金分割

一、知识要点：1、两条线段长度的比叫做两条线段的比。

2、在四条线段中，如果其中两条线段的比与另两条线段的比相等，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段。

如果a 、b 、c 、d 是比例线段，即a cb d=（或::a b c d =），那么线段a 、d 是比例外项，线段b 、c 是比例内项。

3、比例线段有以下性质：（1）基本性质如果a cb d=，那么ad bc = （2）合比性质如果a cb d =，那么a bcd b d ++=，a b c db d --=；（3）等比性质如果a cb d =，那么ac a c k bd b d+===+。

等比性质可以推广到任意有限多个相等的比的情形。

例如：如果312123a a a kb b b ===，那么 123312123123a a a a a a kb b b b b b ++====++小试牛刀：一、填空题1、两条线段x 、y 的长度的比叫做这两条线段的____________，记作____________。

2、在四条线段中，如果其中两条线段的比与另外两条线段的比____________，那么这四条线段叫做成比例线段，简称____________。

3、合（分）比性质：如果a cb d =，那么a bb±=_____________。

4、等比性质：如果a c eb d f === ，且_____________，那么__________=()ac e bd f=== 5、若4x=5y ，则x ：y=____________6、已知线段d 是线段a 、b 、c 的第四比例项，其中a=2厘米，b=4厘米，c=5厘米，则d 为_______7、下列各组线段成比例的是（）A 、1cm 、3cm 、2cm 、4cmB 、1m 、20cm 、5cm 、25cmC cm cm 、4mD 、4cm 、8cm 、6m 、12cm8、已知点C 是AB 延长线上一点，且AC:CB=5:3,AB=52,则CB 的值为（） A 、13 B 、19.5 C 、78 D 、1309、在比例尺为40:1的图纸上，一零件的长度为16厘米，则该零件的实际长度为（） A 、6.4厘米 B 、64分米 C 、0.4厘米 D 、4厘米二、典型例题：例1、有两组线段，每组分别有四条，长度如下：（1） a=16厘米，b=18厘米，c=5厘米，d=10厘米；（2） a=10厘米，b=0.5厘米，c=0.6分米，d=12厘米。

浙教版数学九年级上册4.1.3 黄金分割课件

新知讲解
【例5】如图，已知线段 AB= 5 1 ，点P是它的黄金分割点， 2
AP>PB. 分别求AP，BP的长.
解：因为点P是线段AB的黄金分割点，且AP AB， AP 5 1 , AB 2
AP
5 2
1
AB5 215 211
,
BP AB AP
5 2
1
1
5 1. 2
课堂练习
【知识技能类作业】
课堂练习
4.大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”(黄金比的近似值0.618)．如图，P为AB的黄金分割点(AP>BP)，如果AB的长度为10 cm，那么较长线段AP的长度为__6__.1__8__cm.
课堂练习
【知识技能类作业】选做题：
5.已知线段 a＝6 cm，线段 b＝8 cm，则线段 a，b 的比
2 2 18 12
∴b2=ac成立 a，b，b，c这四个数成比例吗?
新知讲解
a，b，b，c这四个数成比例吗?
a:b 2
2 :2
3
6 3
a：b=b：c
b:c2 3:
18
6 3
∴a，b，b，c这四个数成比例.
新知讲解
比例中项一般地，如果三个数a，b，c满足比例式 a b (或a：b=b：c)，
2
就接近于黄金矩形，小华想设计一张版面为黄金矩形的海报，已知海报的宽为(20+2 5 )cm，则海报的长应设计为多少cm?
课堂练习
【综合实践类作业】
解：设海报的长应设计为 x cm，
由题意得，20 2 5 5 1 ,
x
2
解得x 15 11 5，
经检验，x 15 11 5是分式方程的解，