2019-2020雅礼高一数学期末考试答案
2019-2020学年湖南省长沙市雅礼教育集团高一下学期期末数学试卷 (解析版)
2019-2020学年长沙市雅礼教育集团高一第二学期期末数学试卷一、选择题（共12小题）.1．等差数列{a n}中，a1+a5＝10，a4＝7，则数列{a n}的公差为（）A．1B．2C．3D．42．如果直线（2a+5）x+（a﹣2）y+4＝0与直线（2﹣a）x+（a+3）y﹣1＝0互相垂直，则a的值为（）A．2B．﹣2C．2，﹣2D．2，0，﹣23．在△ABC中，a＝1，c＝2，∠B＝120°，则b边长为（）A．3B．4C．5D．4．《九章算术》第三章“衰分”介绍比例分配问题：“衰分”是按比例递减分配的意思，通常称递减的比例（百分比）为“衰分比”．如：甲、乙、丙、丁衰分得100，60，36，21.6个单位，递减的比例为40%，今共有粮m（m＞0）石，按甲、乙、丙、丁的顺序进行“衰分”，已知丙衰分得80石，乙、丁衰分所得的和为164石，则“衰分比”与m 的值分别为（）A．20% 369B．80% 369C．40% 360D．60% 3655．如图，一个空间几何体的正视图、侧视图、俯视图为全等的等腰直角三角形，如果直角三角形的直角边长为2，那么这个几何体的体积为（）A．B．C．D．26．已知向量，满足||＝5，||＝6，•＝﹣6，则cos＜，+＞＝（）A．﹣B．﹣C．D．7．下列命题错误的是（）A．如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面βB．如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面βC．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那么l⊥平面γD．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β8．若过点（2，1）的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线2x﹣y﹣3＝0的距离为（）A．B．C．D．9．在△ABC中，若a＝，b＝1，∠B＝30°，则角A的值为（）A．30°B．60°C．120°D．60°或120°10．数列{a n}中，a1＝2，且a n+a n﹣1＝+2（n≥2），则数列{}前2019项和为（）A．B．C．D．11．如图，四面体A﹣BCD中，AB＝AD＝CD＝1，BD＝，BD⊥CD，平面ABD⊥平面BCD，若四面体A﹣BCD顶点在同一个球面上，则该球的体积为（）A．πB．3πC．πD．2π12．数列{a n}满足a n+1+（﹣1）n a n＝2n﹣1，则{a n}的前100项和为（）A．3690B．5050C．1845D．1830二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在对应题号后的横线上. 13．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，直线AB1与A1D所成角的大小为．14．设，为单位向量，且，则＝．15．若数列{a n}的前n项和为S n＝a n+，则数列{a n}的通项公式是a n＝．16．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点P在线段B1C上运动，则下列命题：①直线BD1⊥平面A1C1D；②三棱锥P﹣A1C1D的体积为定值；③异面直线AP与A1D所成角的取值范围是[45°，90°]；④直线C1P与平面A1C1D所成角的正弦值的最大值为．其中所有真命题的序号是．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥AB，PA⊥BC，AB＝BC，D为线段AC的中点，E 为线段PC上一点．[Ⅰ）求证：PA⊥BD；（Ⅱ）求证：平面BDE⊥平面PAC．18．设数列{a n}满足a1+3a2+…+（2n﹣1）a n＝2n．（1）求{a n}的通项公式；（2）求数列{}的前n项和．19．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且b sin2A＝a sin B．（1）求A；（2）若a＝2，△ABC的面积为，求△ABC的周长．20．如图所示，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，PD＝AD ＝2，E、F、G分别为PC、PD、BC的中点．（Ⅰ）求证：PA∥平面EFG；（Ⅱ）求三棱锥P﹣EFG的体积．21．已知点A（﹣2，﹣2），B（﹣2，6），C（4，﹣2），点P在圆E：x2+y2＝4上运动．（1）求过点C且被圆E截得的弦长为的直线方程；（2）求|PA|2+|PB|2+|PC|2的最值．22．已知数列{a n}与{b n}满足a n+1﹣a n＝2（b n+1﹣b n），n∈N*．（1）若b n＝3n+5，且a1＝1，求{a n}的通项公式；（2）设{a n}的第n0项是最大项，即≥a n（n∈N*），求证：{b n}的第n0项是最大项；（3）设a1＝3λ＜0，b n＝λn（n∈N*），求λ的取值范围，使得对任意m，n∈N*，a n≠0，且．参考答案一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．等差数列{a n}中，a1+a5＝10，a4＝7，则数列{a n}的公差为（）A．1B．2C．3D．4【分析】设数列{a n}的公差为d，则由题意可得2a1+4d＝10，a1+3d＝7，由此解得d的值．解：设数列{a n}的公差为d，则由a1+a5＝10，a4＝7，可得2a1+4d＝10，a1+3d＝7，解得d＝2，故选：B．2．如果直线（2a+5）x+（a﹣2）y+4＝0与直线（2﹣a）x+（a+3）y﹣1＝0互相垂直，则a的值为（）A．2B．﹣2C．2，﹣2D．2，0，﹣2【分析】根据两直线垂直的充要条件：A1A2+B1B2＝0解：因为两直线垂直，所以：（2a+5）（2﹣a）+（a﹣2）（a+3）＝0，化简得：a2﹣4＝0，解得：a＝2或a＝﹣2故选：C．3．在△ABC中，a＝1，c＝2，∠B＝120°，则b边长为（）A．3B．4C．5D．【分析】根据题意和余弦定理直接求出b即可．解：由题意得，a＝1，c＝2，B＝120°，在△ABC中，由余弦定理得：b2＝c2+a2﹣2ca cos B＝1+4﹣2×1×2×（﹣）＝7，可得：b＝，故选：D．4．《九章算术》第三章“衰分”介绍比例分配问题：“衰分”是按比例递减分配的意思，通常称递减的比例（百分比）为“衰分比”．如：甲、乙、丙、丁衰分得100，60，36，21.6个单位，递减的比例为40%，今共有粮m（m＞0）石，按甲、乙、丙、丁的顺序进行“衰分”，已知丙衰分得80石，乙、丁衰分所得的和为164石，则“衰分比”与m 的值分别为（）A．20% 369B．80% 369C．40% 360D．60% 365【分析】设“衰分比”为a，甲衰分得b石，由题意列出方程组，由此能求出结果．解：设“衰分比”为a，甲衰分得b石，由题意得，解得b＝125，a＝20%，m＝369．故选：A．5．如图，一个空间几何体的正视图、侧视图、俯视图为全等的等腰直角三角形，如果直角三角形的直角边长为2，那么这个几何体的体积为（）A．B．C．D．2【分析】由三视图知几何体是一个三棱锥，三棱锥的底面是一个腰长是2的等腰直角三角形，求出底面的面积，垂直于底面的侧棱长是2，做出体积．解：根据三视图，可知该几何体是三棱锥，右图为该三棱锥的直观图，三棱锥的底面是一个腰长是2的等腰直角三角形，∴底面的面积是＝2垂直于底面的侧棱长是2，即高为2，∴三棱锥的体积是故选：C．6．已知向量，满足||＝5，||＝6，•＝﹣6，则cos＜，+＞＝（）A．﹣B．﹣C．D．【分析】利用已知条件求出||，然后利用向量的数量积求解即可．解：向量，满足||＝5，||＝6，•＝﹣6，可得||＝＝＝7，cos＜，+＞＝＝＝＝．故选：D．7．下列命题错误的是（）A．如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面βB．如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面βC．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那么l⊥平面γD．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β【分析】命题A，B可以通过作图说明；命题C可以直接进行证明；命题D可以运用反证法的思维方式说明是正确的．解：A、如图，平面α⊥平面β，α∩β＝l，l⊂α，l不垂直于平面β，所以不正确；B、如A中的图，平面α⊥平面β，α∩β＝l，a⊂α，若a∥l，则a∥β，所以正确；C、如图，设α∩γ＝a，β∩γ＝b，在γ内直线a、b外任取一点O，作OA⊥a，交点为A，因为平面α⊥平面γ，所以OA⊥α，所以OA⊥l，作OB⊥b，交点为B，因为平面β⊥平面γ，所以OB⊥β，所以OB⊥l，又OA∩OB＝O，所以l⊥γ．所以正确．D、若平面α内存在直线垂直于平面β，根据面面垂直的判定，则有平面α垂直于平面β，与平面α不垂直于平面β矛盾，所以，如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β，正确；故选：A．8．若过点（2，1）的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线2x﹣y﹣3＝0的距离为（）A．B．C．D．【分析】由已知设圆方程为（x﹣a）2+（y﹣a）2＝a2，（2，1）代入，能求出圆的方程，再代入点到直线的距离公式即可．解：由题意可得所求的圆在第一象限，设圆心为（a，a），则半径为a，a＞0．故圆的方程为（x﹣a）2+（y﹣a）2＝a2，再把点（2，1）代入，求得a＝5或1，故要求的圆的方程为（x﹣5）2+（y﹣5）2＝25或（x﹣1）2+（y﹣1）2＝1．故所求圆的圆心为（5，5）或（1，1）；故圆心到直线2x﹣y﹣3＝0的距离d＝＝或d＝＝；故选：B．9．在△ABC中，若a＝，b＝1，∠B＝30°，则角A的值为（）A．30°B．60°C．120°D．60°或120°【分析】根据正弦定理的式子，将题中数据代入求出sin A＝，结合三角形内角的取值范围即可算出A的值．解：∵在△ABC中，若a＝，b＝1，∠B＝30°，∴由正弦定理，得化简得sin A＝•sin30°＝∵a＝＞b＝1∴A＞B，可得A＝60°或120°故选：D．10．数列{a n}中，a1＝2，且a n+a n﹣1＝+2（n≥2），则数列{}前2019项和为（）A．B．C．D．【分析】由a n+a n﹣1＝+2（n≥2），可得﹣﹣2（a n﹣a n﹣1）＝n，化为：﹣＝n，利用“累加求和”方法可得，利用裂项求和即可得出．解：∵a n+a n﹣1＝+2（n≥2），∴﹣﹣2（a n﹣a n﹣1）＝n，化为：﹣＝n，∴﹣＝n+（n﹣1）+ (2)∴＝，可得：＝＝2（）．则数列{}前2019项和＝2＝2＝．故选：B．11．如图，四面体A﹣BCD中，AB＝AD＝CD＝1，BD＝，BD⊥CD，平面ABD⊥平面BCD，若四面体A﹣BCD顶点在同一个球面上，则该球的体积为（）A．πB．3πC．πD．2π【分析】由题意，BC的中点就是球心，求出球的半径，即可得到球的体积．解：由题意，四面体A﹣BCD顶点在同一个球面上，△BCD和△ABC都是直角三角形，所以BC的中点就是球心，所以BC＝，球的半径为：所以球的体积为：×＝π．故选：A．12．数列{a n}满足a n+1+（﹣1）n a n＝2n﹣1，则{a n}的前100项和为（）A．3690B．5050C．1845D．1830【分析】n＝2k（k∈N*）时，a2k+1+a2k＝4k﹣1，n＝2k﹣1时，a2k﹣a2k﹣1＝4k﹣3，可得a2k+2﹣a2k+1＝4k+1，可得a2k+1+a2k﹣1＝2，a2k+2+a2k＝8k，利用分组求和即可得出．解：n＝2k（k∈N*）时，a2k+1+a2k＝4k﹣1，n＝2k﹣1时，a2k﹣a2k﹣1＝4k﹣3，可得a2k+2﹣a2k+1＝4k+1，∴a2k+1+a2k﹣1＝2，a2k+2+a2k＝8k，∴{a n}的前100项和＝（a1+a3）+…+（a97+a99）+（a2+a4）+…+（a98+a100）＝2×25+8（1+3+ (49)＝50+＝5050．故选：B．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在对应题号后的横线上. 13．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，直线AB1与A1D所成角的大小为60°．【分析】由直线AD1∥B1C，得∠ACB1是直线AB1与A1D，由AB1＝CB1＝AC，求出直线AB1与A1D所成角的大小．解：在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，∵直线AD1∥B1C，∴∠ACB1是直线AB1与A1D，∵AB1＝CB1＝AC，∴∠ACB1＝60°，∴直线AB1与A1D所成角的大小为60°．故答案为：60°．14．设，为单位向量，且，则＝．【分析】根据条件，对两边平方，进行数量积的运算即可求出，从而可求出的值．解：∵，∴＝，∴，∴．故答案为：．15．若数列{a n}的前n项和为S n＝a n+，则数列{a n}的通项公式是a n＝（﹣2）n﹣1．【分析】把n＝1代入已知式子可得数列的首项，由n≥2时，a n＝S n﹣S n﹣1，可得数列为等比数列，且公比为﹣2，代入等比数列的通项公式分段可得答案．解：当n＝1时，a1＝S1＝，解得a1＝1当n≥2时，a n＝S n﹣S n﹣1＝（）﹣（）＝，整理可得，即＝﹣2，故数列{a n}是以1为首项，﹣2为公比的等比数列，∴a n＝（﹣2）n﹣1．故答案为：（﹣2）n﹣1．16．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点P在线段B1C上运动，则下列命题：①直线BD1⊥平面A1C1D；②三棱锥P﹣A1C1D的体积为定值；③异面直线AP与A1D所成角的取值范围是[45°，90°]；④直线C1P与平面A1C1D所成角的正弦值的最大值为．其中所有真命题的序号是①②④．【分析】在A中，推导出A1C1⊥BD1，DC1⊥BD1，从而直线BD1⊥平面A1C1D；在B中，由B1C∥平面A1C1D，得到P到平面A1C1D的距离为定值，再由△A1C1D的面积是定值，从而三棱锥P﹣A1C1D的体积为定值；在C中，异面直线AP与A1D所成角的取值范用是[60°，90°]；在D中，以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线C1P与平面A1C1D所成角的正弦值的最大值为．解：在①中，∵A1C1⊥B1D1，A1C1⊥BB1，B1D1∩BB1＝B1，∴A1C1⊥平面BB1D1，∴A1C1⊥BD1，同理，DC1⊥BD1，∵A1C1∩DC1＝C1，∴直线BD1⊥平面A1C1D，故①正确；在②中，∵A1D∥B1C，A1D⊂平面A1C1D，B1C⊄平面A1C1D，∴B1C∥平面A1C1D，∵点P在线段B1C上运动，∴P到平面A1C1D的距离为定值，又△A1C1D的面积是定值，∴三棱锥P﹣A1C1D的体积为定值，故②正确；在③中，∵A1D∥B1C，∴异面直线AP与A1D所成的角为直线AP与B1C所成的角，当P运动到B1或C点时，直线AP与B1C所成的角最小为60°，当P在为B1C中点时，直线AP与B1C所成的角最大为90°，∴异面直线AP与A1D所成角的取值范用是[60°，90°]，故③错误；在④中，以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，设正方体ABCD﹣A1B1C1D1中棱长为1，P（a，1，a），则D（0，0，0），A1（1，0，1），C1（0，1，1），＝（1，0，1）＝（0，1，1），＝（a，0，a﹣1），设平面A1C1D的法向量＝（x，y，z），则取x＝1，得＝（1，1，﹣1），∴直线C1P与平面A1C1D所成角的正弦值为＝＝：，∴当a＝时，直线C1P与平面A1C1D所成角的正弦值的最大值为，故④正确．故答案为：①②④．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥AB，PA⊥BC，AB＝BC，D为线段AC的中点，E 为线段PC上一点．[Ⅰ）求证：PA⊥BD；（Ⅱ）求证：平面BDE⊥平面PAC．【分析】（Ⅰ）由PA⊥AB，PA⊥BC，推导出PA⊥平面ABC，由此能证明PA⊥BD．（Ⅱ）推导出BD⊥AC，PA⊥BD，从而BD⊥平面PAC，由此能证明平面BDE⊥平面PAC．【解答】证明：（Ⅰ）∵在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥AB，PA⊥BC，AB∩BC＝B，∴PA⊥平面ABC，∵D为线段AC的中点，∴BD⊂平面ABC，∴PA⊥BD．（Ⅱ）∵AB＝BC，D为线段AC的中点，∴BD⊥AC，∵PA⊥BD，PA∩AC＝A，∴BD⊥平面PAC，∵BD⊂平面BDE，∴平面BDE⊥平面PAC．18．设数列{a n}满足a1+3a2+…+（2n﹣1）a n＝2n．（1）求{a n}的通项公式；（2）求数列{}的前n项和．【分析】（1）利用数列递推关系即可得出．（2）＝＝﹣．利用裂项求和方法即可得出．解：（1）数列{a n}满足a1+3a2+…+（2n﹣1）a n＝2n．n≥2时，a1+3a2+…+（2n﹣3）a n﹣1＝2（n﹣1）．∴（2n﹣1）a n＝2．∴a n＝．当n＝1时，a1＝2，上式也成立．∴a n＝．（2）＝＝﹣．∴数列{}的前n项和＝++…+＝1﹣＝．19．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且b sin2A＝a sin B．（1）求A；（2）若a＝2，△ABC的面积为，求△ABC的周长．【分析】（1）直接利用三角函数关系式的恒等变换求出A的值．（2）利用正弦定理和余弦定理及三角形的面积公式求出三角形的周长．解：（1）知△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且b sin2A＝a sin B．则：2b sin A cos A＝a sin B，由于：sin A sin B≠0，则：cos A＝，由于：0＜A＜π，所以：A＝．（2）利用余弦定理得：a2＝b2+c2﹣2bc cos A，由于：a＝2，所以：4＝b2+c2﹣bc，△ABC的面积为，则：，解得：bc＝4．故：b2+c2＝8，所以：（b+c）2＝8+2•4＝16，则：b+c＝4．所以：三角形的周长为2+4＝6．20．如图所示，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，PD＝AD ＝2，E、F、G分别为PC、PD、BC的中点．（Ⅰ）求证：PA∥平面EFG；（Ⅱ）求三棱锥P﹣EFG的体积．【分析】（I）取AD的中点H，连接GH，FH，说明PA不在平面EFG，FH在平面EFG，证明PA平行平面EFG内的直线FH即可证明PA∥平面EFG；（II）利用转化法，求出底面面积和高，求三棱锥P﹣EFG 的体积．【解答】解（I）：如图，取AD的中点H，连接GH，FH，∵E，F分别为PC，PD的中点，∴EF∥CD．∵G，H分别为BC，AD的中点，∴GH∥CD．∴EF∥GH．∴E，F，H，G四点共面．∵F，H分别为DP，DA的中点，∴PA∥FH．∵PA不在平面EFG，FH⊂平面EFG，∴PA∥平面EFG．（II）解：∵PD⊥平面ABCD，GC⊂平面ABCD，∴GC⊥PD．∵ABCD为正方形，∴GC⊥CD．∵PD∩CD＝D，∴GC⊥平面PCD．∵PF＝PD＝1，EF＝CD＝1，∴．∵GC＝＝1，∴21．已知点A（﹣2，﹣2），B（﹣2，6），C（4，﹣2），点P在圆E：x2+y2＝4上运动．（1）求过点C且被圆E截得的弦长为的直线方程；（2）求|PA|2+|PB|2+|PC|2的最值．【分析】（1）设直线方程为y+2＝k（x﹣4），由题意可知圆心到直线的距离为，利用点到直线距离公式即可求出k的值，从而得出直线方程；（2）P点坐标为（x，y），则x2+y2＝4，利用两点间距离公式化简|PA|2+|PB|2+|PC|2＝80﹣4y又﹣2≤y≤2，从而得到|PA|2+|PB|2+|PC|2的最值．解：（1）依题意，直线的斜率存在，因为过点C的直线被圆E截得的弦长为，所以圆心到直线的距离为，设直线方程为y+2＝k（x﹣4），即kx﹣y﹣4k﹣2＝0，所以，解得或k＝﹣1，所以直线方程为x+7y+10＝0或x+y﹣2＝0；（2）设P点坐标为（x，y），则x2+y2＝4，所以|PA|2+|PB|2+|PC|2＝（x+2）2+（y+2）2+（x+2）2+（y﹣6）2+（x﹣4）2+（y+2）2＝3（x2+y2）﹣4y+68＝80﹣4y，因为﹣2≤y≤2，所以72≤80﹣4y≤88，即|PA|2+|PB|2+|PC|2的最大值为88，最小值为72．22．已知数列{a n}与{b n}满足a n+1﹣a n＝2（b n+1﹣b n），n∈N*．（1）若b n＝3n+5，且a1＝1，求{a n}的通项公式；（2）设{a n}的第n0项是最大项，即≥a n（n∈N*），求证：{b n}的第n0项是最大项；（3）设a1＝3λ＜0，b n＝λn（n∈N*），求λ的取值范围，使得对任意m，n∈N*，a n≠0，且．【分析】（1）把b n＝3n+5代入已知递推式可得a n+1﹣a n＝6，由此得到{a n}是等差数列，则a n可求；（2）由a n＝（a n﹣a n﹣1）+（a n﹣1﹣a n﹣2）+…+（a2﹣a1）+a1，结合递推式累加得到a n ＝2b n+a1﹣2b1，求得，进一步得到得答案；（3）由（2）可得，然后分﹣1＜λ＜0，λ＝﹣1，λ＜﹣1三种情况求得a n 的最大值M和最小值m，再由∈（）列式求得λ的范围．【解答】（1）解：∵a n+1﹣a n＝2（b n+1﹣b n），b n＝3n+5，∴a n+1﹣a n＝2（b n+1﹣b n）＝2（3n+8﹣3n﹣5）＝6，∴{a n}是等差数列，首项为a1＝1，公差为6，则a n＝1+（n﹣1）×6＝6n﹣5；（2）∵a n＝（a n﹣a n﹣1）+（a n﹣1﹣a n﹣2）+…+（a2﹣a1）+a1＝2（b n﹣b n﹣1）+2（b n﹣1﹣b n﹣2）+…+2（b2﹣b1）+a1＝2b n+a1﹣2b1，∴，∴．∴数列{b n}的第n0项是最大项；（3）由（2）可得，①当﹣1＜λ＜0时，单调递减，有最大值；单调递增，有最小值m＝a1＝3λ＜0，∴的最小值为，最大值为，则，解得．∴λ∈（）．②当λ＝﹣1时，a2n＝1，a2n﹣1＝﹣3，∴M＝3，m＝﹣1，不满足条件．③当λ＜﹣1时，当n→+∞时，a2n→+∞，无最大值；当n→+∞时，a2n﹣1→﹣∞，无最小值．综上所述，λ∈（﹣，0）时满足条件．。
2019-2020学年高一(下)期末数学试卷 (19)-720(解析版)
2019-2020学年高一（下）期末数学试卷 (19)一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）1. 若集合A ={x |−5<x <2},B ={x |−3<x <3}，则A ∩B =( )A. {x |−3<x <2}B. {x |−5<x <2}C. {x |−3<x <3}D. {x |−5<x <3}2. 在空间直角坐标系中，点P(0,−2,3)关于y 轴对称的点的坐标是( )A. (0,2，3)B. (0,2，−3)C. (0,−2,3)D. (0,−2,−3)3. 已知直线l 上两点A(−4,1)与B(x,−3)，且直线l 的倾斜角为135°，则x 的值是( )A. −8B. −4C. 0D. 84. 若函数f (x )=(x +1)(x −a )为偶函数，则a =( )A. −2B. −1C. 1D. 25. 下列说法中错误的是( )①如果一条直线和平面内的一条直线垂直，那么该直线与这个平面必相交；②如果一条直线和平面内的两条平行线垂直，那么该直线必在这个平面内；③如果一条直线和平面的一条垂线垂直，那么该直线必定在这个平面内；④如果一条直线和一个平面垂直，那么该直线垂直于平面内的任何直线．A. ①②B. ②③④C. ①②④D. ①②③6. 已知奇函数f(x)={3x −a, x ≥0g (x ), x <0，则f(−3)的值为( ) A. 27 B. −26 C. −27 D. 267. 如图，在正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，棱长为1，M ，N 分别是CD ，CC 1的中点，则异面直线A 1M 与DN 所成角的大小是( )A. π6B. π4C. π3D. π28. 直线y =x +4与圆(x −a)2+(y −3)2=8相切，则a 的值为( )A. 3B. 2√2C. 3或−5D. −3或59. 设a =ln 12，b =log 1312，则( ) A. a +b <ab <0 B. ab <a +b <0 C. a +b <0<ab D. ab <0<a +b10. 已知圆C 的圆心为y =14x 2的焦点，且与直线4x +3y +2=0相切，则圆C 的方程为( ) A. (x −1)2+y 2=3625B. x 2+(y −1)2=3625 C. (x −1)2+y 2=1 D. x 2+(y −1)2=111. 点A(1,3)关于直线3x +y +4=0的对称点坐标为( )A. (−1,−3)B. (−5,3)C. (−5,1)D. (−1,1)12. 已知函数f(x)={2−x ,x ≤0−lnx,x >0若关于x 的方程f 2(x)+f(x)+m =0有三个不同实数根，则m 的取值范围是( )A. m <14B. m ≤−2C. −2≤m <14D. m >2 二、填空题（本大题共4小题，共12.0分） 13. 若a >0，a 23=49，则log 23a = ______ ． 14. 已知f(x +7)是定义在R 上的奇函数，当x <7时，f(x)=−x 2，则当x >7时，f(x)=__________．15. 若一个圆锥的侧面展开图是半圆，则这个圆锥的底面面积与侧面积的比是______ ．16. 若函数f(x)=2x −1，则f(3)=______．三、解答题（本大题共6小题，共72.0分）17. 已知集合A ={x|x 2−x <0}，B ={x|x 2−2x −m <0}．(Ⅰ)求∁R A ；(Ⅱ)若A ∩B =⌀，求实数m 的取值范围．18. 已知圆C ：x 2+y 2=4，直线l ：ax +y +2a =0，当直线l 与圆C 相交于A ，B 两点，且|AB|=2√2时，求直线l 的方程．19. 在四棱锥P −ABCD 中，△PBC 为正三角形，AB ⊥平面PBC ，AB//CD ，AB =12DC ，E 为PD 中点．(1)求证：AE//平面PBC；(2)求证：AE⊥平面PDC．20.某企业拟用10万元投资甲、乙两种商品．已知各投入x万元，甲、乙两种商品可分别获得y1，y2万元的利润，利润曲线P1，P2如图所示．问怎样分配投资额，才能使投资获得最大利润？21.已知Rt△ABC中，∠A=90∘，AB=1，BC=2，D为BC的中点，将△ADB沿AD折起，使点B在面ADC所在平面的射影E在AC上．(Ⅰ)求证：CD⊥平面BDE(Ⅱ)求折起后三棱锥B―ACD的体积；22.已知函数f(x)=−3x+a3x+1+b(1)当a=b=1时，求满足f(x)≥3x的x的取值范围；(2)若y=f(x)是定义域为R的奇函数，求y=f(x)的解析式；(3)若y=f(x)的定义域为R，判断其在R上的单调性并加以证明．-------- 答案与解析 --------1.答案：A解析：【分析】本题主要考查集合的交集运算，属于基础题．直接根据集合交集的定义求解即可．【解答】解：根据题意得，A∩B={x|−3<x<2}，故选A．2.答案：D解析：【分析】本题考查了空间直角坐标系中，某一点关于y轴对称点的坐标问题，是基础题目．【解答】解：在空间直角坐标系中，点P(0,−2,3)关于y轴对称的点的坐标是(0,−2,−3)．故选D.3.答案：C解析：【分析】本题考查直线的斜率与直线的倾斜角的关系的应用，考查计算能力．由直线的倾斜角可得直线的斜率为−1，再由直线的斜率公式求出x的值即可．【解答】解：由题意得，，解得x=0．故选C．4.答案：C解析：f(x)=x2+(1−a)x−a,f(x)为偶函数，∴1−a=0,a=1，故选C．5.答案：D解析：解：在①中，如果一条直线和平面内的一条直线垂直，那么该直线与这个平面相交、平行或该直线在该平面内，故①错误；在②中，如果一条直线和平面内的两条平行线垂直，那么该直线与平面相交、平行或在这个平面内，故②错误；在③中，如果一条直线和平面的一条垂线垂直，那么该直线与平面相交、平行或在这个平面内，故③错误；④如果一条直线和一个平面垂直，那么由线面垂直的性质定理得该直线垂直于平面内的任何直线，故④正确．故选：D．在①中，该直线与这个平面相交、平行或该直线在该平面内；在②中，该直线与平面相交、平行或在这个平面内；在③中，该直线与平面相交、平行或在这个平面内；④由线面垂直的性质定理得该直线垂直于平面内的任何直线．本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．6.答案：B解析：【分析】本题主要考查函数的奇偶性，与分段函数．【解答】解：因为函数f(x)是奇函数，所以f(0)=1−a=0，解得a=1，所以f(−3)=−f(3)=−(33−1)=−26，故选B．7.答案：D解析：【分析】本题目主要考查异面直线所成角，属于一般题．解析：解：如图，取CN的中点K，连接MK，则MK为△CDN的中位线，所以MK//DN.所以∠A1MK为异面直线A1M与DN所成的角或其补角．连接A1C1，AM.正方体棱长为1，则A1K=√(√2)2+√622=√7，MK=12DN=12√12+122=√52，A1M=√12+12+122=32，∴A1M2+MK2=A1K2，∴∠A1MK=90°．故选择D．8.答案：C解析：解：∵直线y=x+4与圆(x−a)2+(y−3)2=8相切，∴圆心(a,3)到直线x−y+4=0的距离等于半径√8=2√2，即d=√2=√2=2√2，即|a +1|=2√2×√2=4，解得a =3或a =−5，故选：C ．根据直线和圆相切的等价条件转化为圆心到直线的距离等于半径即可得到结论．本题主要考查直线和圆的位置关系的应用，根据相切的等价条件是解决本题的关键．9.答案：B解析：解：∵a =ln 12<ln 1e =−1，0<b =log 1312<log 1313=1， ∴ab <a +b <0．故选：B ．利用对数函数的性质、运算法则直接求解．本题考查命题真假的判断，考查对数函数的性质、运算法则等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．10.答案：D解析：解：y =14x 2的焦点为(0,1)，所以圆C 为x 2+(y −1)2=r 2, r =√32+42=1，所以x 2+(y −1)2=1，故选：D ．求出圆心坐标，利用点到直线的距离公式，求出圆的半径，即可求出圆C 的方程．本题考查圆C 的方程，考查抛物线的性质，确定圆心坐标与半径是关键．11.答案：C解析：【分析】本题考查求点关于直线的对称点的坐标的方法，利用垂直、中点在对称轴上两个条件，待定系数法求对称点的坐标．设出点A(1,3)关于直线l 的对称点的坐标，利用对称点的连线被对称轴垂直平分，可以建立方程组，由此即可求得结论．解析：解：设点A(1,3)关于直线l 的对称点的坐标为(x,y)，则:{y−3x−1=133×x+12+y+32+4=0，解得{x =−5y =1， ∴点A(1,3)关于直线l 的对称点的坐标为(−5,1)．故选C .12.答案：B解析：【分析】本题考查的是方程的根的存在性以及根的个数判断，考查转化的思想、数形结合的思想方法，属中档题．结合方程f 2(x)+f(x)+m =0有三个不同的实数根，将问题转化为函数图象交点的个数判断问题，结合函数f(x)的图象即可获得解答．【解答】解：函数f(x)={2−x ,x ≤0−lnx,x >0的图象如图，若关于x 的方程f 2(x)+f(x)+m =0有三个不同实数根，令f(x)=t ，则方程t 2+t +m =0的两根一个大于等于1而另一个小于1．再令g(t)=t 2+t +m ，则g(1)≤0，即2+m ≤0，得m ≤−2．故选：B ．13.答案：3解析：解：由a 23=49得a =(49)32=(23)3，所以log 23a =log 23(23)3=3 故答案为：3先解出a 的值，然后代入即可．本题主要考查求对数值的问题，属基础题．14.答案：−(x −14)2解析：【分析】本题考查了与奇函数有关函数性质的问题，考查对奇偶性质的理解．【解答】∵f(x +7)是定义在R 上的奇函数，∴f(x +7)=−f(−x +7)，∴f(x)=−f(−x +14)， ∴当x >7时，−x +14<7，故f(x)=−f(−x +14)=−(−x +14)2=−(x −14)2，故答案为−(x −14)2．15.答案：1：2解析：解：设该圆锥体的底面半径为r ，母线长为l ，根据题意得；2πr =πl ，∴l =2r ；所以这个圆锥的底面面积与侧面积的比是πr 2：12πl 2=r 2：12(2r)2=1：2．故答案为1：2．根据圆锥体的侧面展开图是半圆，球场底面半径r 与母线长l 的关系，再求它的底面面积与侧面积的比．本题考查了圆锥体的侧面积与底面积的计算问题，也考查了空间想象能力的应用问题，是基础题目．16.答案：5解析：解：∵函数f(x)=2x−1，∴f(3)=2×3−1=5．故答案为：5．利用函数性质求解．本题考查函数值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．17.答案：解：(Ⅰ)由x2−x<0得，0<x<1，故A=(0,1)，所以∁R A=(−∞,0]∪[1,+∞)．(Ⅱ)若B=⌀，则(−2)2+4m≤0，故m≤−1；若B≠⌀，则不满足A∩B=⌀．综上所述，实数m的取值范围是(−∞,−1]．解析：本题考查补集的求法，考查实数的取值范围的求法，考查补集、交集的定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．(Ⅰ)由x2−x<0得，0<x<1，求出A=(0,1)，由此能求出∁R A.(Ⅱ)若B=⌀，则(−2)2+4m≤0，故m≤−1；若B≠⌀，则不满足A∩B=⌀.由此能求出实数m的取值范围．18.答案：解：圆C：x2+y2=4，圆心为(0,0)，半径为2，∵|AB|=2√2，∴圆心到直线的距离为√4−2=√2，=√2∴√a2+1解得a=1或a=−1．故所求直线方程为x+y+2=0或x−y+2=0．解析：求出圆心到直线的距离，利用点到直线的距离公式，即可得出结论．本题考查直线和圆的方程的应用，考查点到直线的距离公式，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．DC，19.答案：证明：(1)取PC的中点M，连接EM，则EM//CD，EM=12所以有EM//AB且EM=AB，则四边形ABME是平行四边形．所以AE//BM，因为AE不在平面PBC内，所以AE//平面PBC．(2)因为AB⊥平面PBC，AB//CD，所以CD⊥平面PBC，CD⊥BM．由(1)得BM⊥PC，所以BM⊥平面PDC，又AE//BM，所以AE⊥平面PDC．解析：本题考查直线与平面垂直与平行的判定定理的应用，考查空间想象能力．(1)取PC的中点M，连接EM，BM，证明EM//AB，EM=AB，推出AE//BM.然后证明AE//平面PBC.(2)证明CD ⊥平面PBC ，推出CD ⊥BM.，结合BM ⊥PC 可证BM ⊥平面PDC ，又AE//BM ，所以AE ⊥平面PDC..20.答案：解：由图可得y 1=54√x ，(x ≥0)，y 2=14x ，(x ≥0)，设用x 万元投资甲商品，那么投资乙商品为(10−x)万元，总利润为y 万元．y =54√x +14(10−x)=−14x +54√x +104=−14(√x −52)2+6516，(0≤x ≤10) 当且仅当√x =52即x =254=6.25时，y max =6516答：用6.25万元投资甲商品，3.75万元投资乙商品，才能获得最大利润．(也可把投资乙商品设成x 万元，把投资甲商品设成(10−x)万元)解析：根据函数的模型求出两个函数解析式．将企业获利表示成对产品乙投资x 的函数，再利用配方法，求出对称轴，即可求出函数的最值．本题考查将实际问题的最值问题转化为函数的最值问题、考查二次函数的最值，属于中档题． 21.答案：(Ⅰ)证明：在对折图中作BO ⊥AD 于O ，连结OE ，由条件及三垂线定理知OE ⊥AD ， 对照原图知点B 、O 、E 共线，∵BA =BD ，∴BE 是AD 中垂线，∴∠BDE =∠BAE =90°，∴CD ⊥DE ，又∵BE ⊥平面ACD ，∴CD ⊥BE ，又DE ∩BE =E∴CD ⊥平面BDE ；( Ⅱ)解：∵AB ⊥面BCD ，CD ⊂面BCD ，∴AB ⊥CD ，又∵AD ⊥CD ，AB ∩AD =A ，AB ，AD ⊂面ABD ，∴CD ⊥面ABD ，而BD ⊂面ABD ，∴CD ⊥BD ，∵CD =√6,∴AC =√2CD =2√3，∴BC =ACsin60°=2√3×√32=3，∴BD =√BC 2−CD 2=√3，在直角△ABC 中，DH =BD·CD BC =√2，∴DH ⊥面ABC,AE =12AC =√3,AB =ACcos60°=√3，第11页，共11页 三棱锥B −ACD 的体积为√64．解析：本题以平面翻折问题为例，证明了线面垂直并求几何体的体积，着重考查了线面垂直的判定与性质、点到平面距离的求法和锥体体积公式等知识，属于中档题．(Ⅰ)根据线面垂直的判定定理，得到CD ⊥平面BDE ；(Ⅱ)利用锥体体积公式求出三棱锥B −ACD 的体积．22.答案：解：(1)由题意知，−3x +13x+1+1≥3x ；化简得，3(3x )2+2·3x −1≤0，解得，−1≤3x ≤13 ．故x ≤−1．(2)由题意，f(0)=−1+a 3+b =0，故a =1．再由f(1)+f(−1)=0得，b =3；经验证f(x)=1−3x 3(3x +1)是奇函数．(3)证明：∵y =f(x)的定义域为R ，∴b ≥0．任取x 1，x 2∈R ，且x 1<x 2，则f(x 1)−f(x 2)=(3a +b)3x 2−3x 1(3x 1+1+b)(3x 2+1+b)，∵x 1<x 2，∴3x 2−3x 1(3x 1+1+b)(3x 2+1+b)>0．故当3a +b >0时，f(x)在R 上单调递减，当3a +b <0时，f(x)在R 上单调递增，当3a +b =0时，f(x)在R 上不具有单调性．解析：本题考查了函数的性质应用及证明，属于基础题．(1)由题意知，−3x +13x+1+1≥3x ；从而解不等式；(2)由题意知f(0)=−1+a 3+b =0，再由f(1)+f(−1)=0解出a.b ；从而验证即可；(3)由单调性的定义去证明．。
2019-2020学年高一(下)期末数学试卷 (48)-720(解析版)
2019-2020学年高一（下）期末数学试卷 (48)一、选择题（本大题共10小题，共40.0分） 1. 在△ABC 中，已知a =2，b =√6，A =45°，则满足条件的三角形有( )A. 1个B. 2个C. 0个D. 无法确定2. 已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且(a +b)2=c 2+ab ，B =30°，a =4，则△ABC 的面积为( )A. 4B. 3√3C. 4√3D. 6√33. 在各项均为正数的等比数列{a n }中，若a 5a 6=9，则log 3a 1+log 3a 2+⋯+log 3a 10=( )A. 12B. 2+log 35C. 8D. 104. S n 是等差数列{a n }的前n 项和，如果S 10=120，那么a 1+a 10的值是( )A. 12B. 36C. 24D. 485. 不等式16−x 2≥0的解集是( )A. (−∞,4]B. [4,+∞)C. [−4,4]D. (−4,4)6. 在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，若a =12b ，A =2B ，则cos B 等于( ) A. 13 B. 14 C. 15 D. 16 7. 已知函数f (x )={2x ,(x ≥2)f (x +2),(x <2)，则f(log 45)等于( ) A. 2√5B. 4√5C. 3√5D. √5 8. 在等比数列{a n }中，若a 1=−8，前3项和S 3=−6，则a 5=( )A. 1B. −lC. 12D. −12 9. 对任意的实数x ，不等式mx 2−mx −1<0恒成立，则实数m 的取值范围是( )A. (−4,0)B. (−4,0]C. [−4,0]D. [−4,0)10. 数列{a n }满足a n+1={2a n , 0≤a n <1a n −1, 1≤a n <2，若a 1=43，则a 2018的值是 ( ) A. 83 B. 43 C. 23 D. 13 二、填空题（本大题共5小题，共20.0分）11. △ABC 中，A =π3,S △ABC =15√34,5sinB =3sinC ，则△ABC 的周长为______． 12. 在△ABC 中，a 、b 、c 分别为A 、B 、C 的对边，，则△ABC 的形状为______ ．13. 记数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n =2(a n −1)，则a 3= ______ ．14. 在数列{a n }中，a 1=−1，a 2=0，且a n+2−a n =0(n ∈N ∗)，则a 1+a 2+a 3+⋯+a 2015= ______ ．15. 已知：f(x)=x 2+2x −1，g(x)=kx +b(k ≠0)，且f(g(0))=−1，g(f(0))=−2，则实数k = ________．三、解答题（本大题共5小题，共60.0分）16. 已知实数x 1，x 2，…，x n (n ∈N ∗且n ≥2)满足|x i |≤1(i =1,2，…，n)，记S(x 1,x 2,…,x n )=∑x i 1≤i<j≤n x j ．)及S(1,1，−1，−1)的值；(Ⅰ)求S(−1,1,−23(Ⅱ)当n=3时，求S(x1,x2,x3)的最小值；(Ⅲ)当n为奇数时，求S(x1,x2,…,x n)的最小值．x j表示x1，x2，…，x n中任意两个数x i，x j(1≤i<j≤n)的乘积之和．注：∑x i1≤i<j≤n17.在△ABC中，已知，其中角A,B,C所对的边分别为a,b,c.求：(1)求角A的大小；(2)若a=√6，△ABC的面积为√3，求sinB+sinC的值．218.设数列{a n}的前n项和为S n，满足tS n=na n，且a3<a2，求常数t的值．19.已知等差数列{a n}中，若S2=16，S4=24，求数列{|a n|}的前n项和T n．20.等差数列{a n}为递减数列，且a2+a4=16，a1a5=28，求数列{an}的通项公式．-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：【分析】本题主要考查三角形个数的判断，利用正弦定理是解决本题的关键，属于基础题．根据正弦定理求出sin B，然后进行判断即可．【解答】解：∵a=2，b=√6，A=45°，∴由正弦定理asinA =bsinB，可得sinB=bsinAa =√6×√222=√32，∵b>a，∴B=60°或120°，即满足条件的三角形个数为2个．故选B．2.答案：C解析：【分析】本题考查正弦定理余弦定理和三角形面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．首先利用余弦定理求出B的值，进一步判定三角形为等腰三角形，进一步利用面积公式的应用求出结果．【解答】解：△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且(a+b)2=c2+ab，整理得a2+b2−c2=−ab，所以cosC=a2+b2−c22ab =−12，由于0<C<π，故C=2π3．由于B=30°，a=4，则△ABC为等腰三角形，所以b=4，所以S△ABC=12⋅4⋅4⋅√32=4√3．故选：C．3.答案：D解析：解：根据等比数列的性质：a1a10=a2a9=⋯=a5a6=9，∴log3a1+log3a2+⋯+log3a10=log3(a1a2⋅…⋅a10)=log3(a5a6)5=log3310=10，故选：D．根据等比数列的性质：a1a10=a2a9=⋯=a5a6=9，再利用对数的运算性质即可得出．本题考查了等比数列的性质、对数的运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．4.答案：C解析：解：等差数列{a n}中，∵S10=120，∴102(a1+a10)=120，∴a1+a10=24．故选：C．等差数列{a n}中，由S10=120，知102(a1+a10)=120，由此能求出a1+a10．本题考查等差数列的前n项和的求法，是基础题，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．5.答案：C解析：【分析】本题主要考查一元二次不等式的解法，属于基础题．将二次项系数化正，然后分解因式，小于零取两边．【解答】解：由16−x2≥0得x2−16≤0，即(x+4)(x−4)≤0，解得−4≤x≤4．故选C．6.答案：B解析：解：∵a=12b，A=2B，∴由正弦定理asinA =bsinB得：12b sin2B =12b2sinBcosB=bsinB，∴14cosB=1，∴cosB=14，故选：B．根据正弦定理和余弦的倍角公式，直接代入即可求得结果．本题主要考查正弦定理的应用，要求熟练掌握正弦定理的公式和应用以及余弦的倍角公式．7.答案：B解析：解：∵1<log45<2∴2+log45>2∴f(log45)=f(2+log45)=22+log45=22⋅2log45=4√5故选B由题意可得，1<log45<2，代入f(log45)=f(2+log45)=22+log45可求本题主要考查了分段函数的函数值的求解，解题的关键是熟练应用指数及对数的运算性质． 8.答案：D解析：【分析】本题考查等比数列的通项公式，以及等比数列的求和公式，熟练掌握等比数的通项及求和是解本题的关键，属于基础题．利用等比数列的求和公式求出公比q 的值，再利用等比数列的通项公式求解即可．【解答】解：设等比数列{a n }的公比为q ，a 1=−8，前3项和S 3=−6，则q ≠1，所以S 3=a 1(1−q 3)1−q=−8(1−q 3)1−q =−6， 解得q =−12则a 5=a 1q 4=(−8)×(−12)4=−12． 故选D ．9.答案：B解析：【分析】本题考查不等式恒成立问题，利用一元二次函数图象求解．【解答】解：当m >0时，由函数f(x)=mx 2−mx −1的图象开口向上可知，f(x)=mx 2−mx −1<0不可能恒成立，当m =0时，−1<0恒成立，当m <0时，要f(x)=mx 2−mx −1<0恒成立，则△=m 2+4m <0，解得−4<m <0， 综合得−4<m ≤0，故选B ．10.答案：D解析：【分析】本题考查了数列的递推公式和周期性的应用，解题的关键是求出数列的周期．根据首项的值和递推公式依次求出a 2、a 3、a 4的值，可求出数列的周期．【解答】解：∵数列{a n }满足a n+1={2a n (0≤a n <1)a n −1(1≤a n <2)，a 1=43， ∴a 2=a 1−1=13，a3=2a2=23，a4=2a3=43，…，∴a n+3=a n，则a2018=a672×3+2=a2=13．故选D.11.答案：8+√19解析：解：在△ABC中，角A=60°，∵5sinB=3sinC，∴由正弦定理可得5b=3c，再由S△ABC=15√34=12bc⋅sinA，可得bc=15，∴解得：b=3，c=5．又∵由余弦定理可得：a2=b2+c2−2bc⋅cosA=19，解得：a=√19．∴三角形的周长a+b+c=8+√19．故答案为：8+√19．由条件利用正弦定理可得5b=3c，再由S△ABC=15√34=12bc⋅sinA，求得bc，从而求得b和c的值．再由余弦定理求得a，从而得到三角形的周长．本题主要考查正弦定理和余弦定理在解三角形中的应用，考查了运算求解能力和转化思想，属于中档题．12.答案：直角三角形解析：解：，，∴c(1+b2+c2−a22bc)=b+c，化为b2+a2=c2．∴C=90°．∴△ABC的形状为直角三角形．由，利用倍角公式可得，再利用余弦定理即可得出．本题考查了倍角公式、余弦定理，属于基础题．13.答案：8解析：解：∵S n=2(a n−1)，∴当n=1时，S1=2(a1−1)=a1，解得a1=2，当n≥2时，S n=2(a n−1)，①S n+1=2(a n+1−1)，②，两者相减得2(a n+1−a n)=S n+1−S n=a n+1，即a n+1=2a n，∴a2=2a1=2×2=4，∴a3=2a2=2×4=8，故答案为：8根据数列的递推关系，依次进行递推即可得到结论．本题主要考查数列的递推数列的应用，根据a n与S n的关系是解决本题的关键．14.答案：−1008解析：解：∵a n+2−a n=0(n∈N∗)，a1=−1，a2=0，∴a1=a3=a5=⋯=−1，a2=a4=a6=⋯=0，∴a1+a2+a3+⋯+a2015=(a1+a3+⋯+a2015)+(a2+a4+⋯+a2014)=−1008+0=−1008．故答案为：−1008．由a n+2−a n=0(n∈N∗)，a1=−1，a2=0，可得a1=a3=a5=⋯=−1，a2=a4=a6=⋯=0，即可得出．本题考查了数列的周期性、分组求和方法，考查了计算能力，属于基础题．15.答案：2解析：【分析】本题考查了函数解析式的应用，以及函数值的求法，根据题意得f(0)=−1,g(0)=b，分别代入f(g(0))=−1，g(f(0))=−2，即可得到结果．【解答】解：∵f(x)=x2+2x−1，g(x)=kx+b(k≠0)，∴f(0)=−1,g(0)=b，∵f(g(0))=−1，g(f(0))=−2，∴f(g(0))=f(b)=b2+2b−1=−1，g(f(0))=g(−1)=−k+b=−2，∴{b2+2b−1=−1，−k+b=−2∴k=2或k=0(舍),∴k=2．故答案为2．16.答案：解：(Ⅰ)由已知得S(−1,1,−23)=−1+23−23=−1．S(1,1，−1，−1)=1−1−1−1−1+1=−2. …(3分)(Ⅱ)n =3时，S =S(x 1,x 2,x 3)=∑x i 1≤i<j≤3x j =x 1x 2+x 1x 3+x 2x 3．固定x 2，x 3，仅让x 1变动，那么S 是x 1的一次函数或常函数，因此S ≥min{S(1,x 2,x 3)，S(−1,x 2,x 3)}．同理S(1,x 2,x 3)≥min{S(1,1，x 3)，S(1,−1,x 3)}．S(−1,x 2,x 3)≥min{S(−1,1，x 3)，S(−1,−1,x 3)}．以此类推，我们可以看出，S 的最小值必定可以被某一组取值±1的x 1，x 2，x 3所达到， 于是S ≥min{S(x 1,x 2,x 3)}．当x k =±1(k =1,2，3)时，S =12[(x 1+x 2+x 3)2−(x 12+x 22+x 32)]=12(x 1+x 2+x 3)2−32． 因为|x 1+x 2+x 3|≥1，所以S ≥12−32=−1，且当x 1=x 2=1，x 3=−1，时S =−1，因此S min =−1. …(7分)(Ⅲ)S =S(x 1,x 2,…,x n )=∑x i 1≤i<j≤n x j =x 1x 2+x 1x 3+⋯+x 1x n +x 2x 3+⋯+x 2x n +⋯+x n−1x n ． 固定x 2，x 3，…，x n ，仅让x 1变动，那么S 是x 1的一次函数或常函数，因此S ≥min{S(1,x 2,x 3,…,x n )，S(−1,x 2,x 3,…,x n )}．同理S(1,x 2,x 3,…,x n )≥min{S(1,1，x 3，…，x n )，S(1,−1,x 3,…,x n )}．S(−1,x 2,x 3,…,x n )≥min{S(−1,1，x 3，…，x n )，S(−1,−1,x 3,…,x n )}．以此类推，我们可以看出，S 的最小值必定可以被某一组取值±1的x 1，x 2，…，x n 所达到， 于是S ≥min{S(x 1,x 2,x 3,…,x n )}．当x k =±1(k =1,2，…，n)时，S =12[(x 1+x 2+⋯+x n )2−(x 12+x 22+⋯+x n 2)]=12(x 1+x 2+⋯+x n )2−n 2． 当n 为奇数时，因为|x 1+x 2+⋯+x n |≥1，所以S ≥−12(n −1)，另一方面，若取x 1=x 2=⋯=x n−12=1，x n−12+1=x n−12+2=⋯=x n =−1， 那么S =−12(n −1)，因此S min =−12(n −1).…(13分)解析：(Ⅰ)根据已知中S(x 1,x 2,…,x n )的计算方法可得得S(−1,1,−23)及S(1,1，−1，−1)的值． (Ⅱ)n =3时，S =S(x 1,x 2,x 3)=∑x i 1≤i<j≤3x j =x 1x 2+x 1x 3+x 2x 3.再固定x 2，x 3，仅让x 1变动，那么S 是x 1的一次函数或常函数，因此S ≥min{S(1,x 2,x 3)，S(−1,x 2,x 3)}.同理S(1,x 2,x 3)≥min{S(1,1，x 3)，S(1,−1,x 3)}.S(−1，x 2，x 3)≥min{S(−1,1，x 3)，S(−1,−1,x 3)}.以此类推，我们可以看出S ≥min{S(x 1,x 2,x 3)}.从而求得S(x 1,x 2,…,x n )的最小值．(Ⅲ)S =S(x 1,x 2,…,x n )=∑x i 1≤i<j≤n x j =x 1x 2+x 1x 3+⋯+x 1x n +x 2x 3+⋯+x 2x n +⋯+x n−1x n .固定x 2，x 3，…，x n ，仅让x 1变动，那么S 是x 1的一次函数或常函数，类似于(II)中的方法得出S(x 1,x 2,…,x n )的最小值．本题主要考查函数与方程的综合运用、不等式的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查逻辑推理能力．属于难题．17.答案：【解答】解：(1)由正弦定理得，，即sin(A−π6)=1，而A∈(0,π)，∴A−π6=π2，则A=2π3；(2)由得bc=2，由a=√6及余弦定理得(√6)2=b2+c2−2bccosA=b2+c2+bc=(b+c)2−bc，即b+c=2√2，所以．解析：【分析】此题考查了正弦、余弦定理，三角形面积公式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理是解本题的关键．(1)已知等式利用正弦定理，二倍角的余弦函数公式及辅助角公式化简，整理，即可确定出A的度数；(2)利用三角形面积公式列出关系式，代入整理表示出bc，再利用余弦定理化简求出b+c的值，由正弦定理确定出sinB+sinC的值即可．18.答案：解：由tS n=na n，得ta1=a1，∴t=1或a1=0．若t=1，则S n=na n，有a1+a2=2a2，得a1=a2．a1+a2+a3=3a3，得a2=a3，与a3<a2矛盾，∴a1=0，当n=2时，有t(a1+a2)=2a2，即ta2=2a2，∴t=2或a2=0．若t=2，则由2S3=2(a2+a3)=3a3，得a3=2a2，当a2>0时不成立．若a2=0，由t(a1+a2+a3)=ta3=3a3，∵a3<a2≠0，∴t=3．解析：通过已知条件，令n=1，可得t≠1，a1=0，再令n=2，可得t≠2，a2=0，再由tS3=3a3，且a3<a2求得t=3．本题考查数列的通项和求和之间的关系，考查运算能力，考查了分类讨论的数学思想方法，是中档题．19.答案：解：设等差数列{a n}的公差为d，由S2=16，S4=24，第11页，共11页 得{2a 1+2×12d =164a 1+4×32d =24, 即{2a 1+d =162a 1+3d =12, 解得{a 1=9d =−2, ∴等差数列{a n }的通项公式为a n =11−2n(n ≥1,n ∈N ∗).(1)当n ≤5时，T n =|a 1|+|a 2|+⋯+|a n |=a 1+a 2+⋯+a n =S n =−n 2+10n ；(2)当n ≥6时，T n =|a 1|+|a 2|+⋯+|a n |=a 1+a 2+⋯+a 5−a 6−a 7−⋯−a n=2S 5−S n=2×(−52+10×5)−(−n 2+10n)=n 2−10n +50；故T n ={−n 2+10n(n ≤5)n 2−10n +50(n ≥6)．解析：本题考查数列的求和，着重考查等差数列的通项公式与求和公式的应用，属于中档题． 设等差数列{a n }的公差为d ，由题意可求得d 与a 1，从而可得a n =11−2n ，对n 分n ≤5与n ≥6讨论，即可求得数列{|a n |}的前n 项和T n ．20.答案：解：a 2+a 4=a 1+a 5=16，所以{a 1+a 5=16a 1a 5=28，又数列单调递减， 解得a 1=14，a 5=2，d =−3，故a n =14−3(n −1)=17−3n ．即通项公式为a n =17−3n ．解析：本题考查等差数列的通项公式和性质，由性质得a 2+a 4=a 1+a 5=16，联立方程组解得a 1=14，a 5=2，进而可得公差，可得通项公式．属基础题．。
2019-2020年高一下学期期末考试 数学(理) 含答案
2019-2020年高一下学期期末考试 数学（理） 含答案一、选择题:（每题5分，共12题，满分60分.每题只有一个正确答案）1．如果直线平面，直线平面， ,,,M m N n M l N l ∈∈∈∈，则 （ ） A. B. C. D.2.若直线与垂直，平面，则与的位置关系是（ ） A ． B ．‖ C ． D ．或‖ 3．如图所示，ABCD-A 1B 1C 1D 1是长方体，O 是B 1D 1的中点，直线A 1C 交平面AB 1D 1于点M ，则下列结论正确的是( ) A ．A 、M 、O 、A 1不共面 B ．A 、M 、O 三点共线 C ．A 、M 、C 、O 不共面 D ．B 、B 1、O 、M 共面 4.圆台上、下底面面积分别是、，侧面积是，则这个圆台的体积是 （ ）A ．B ．C ．D ．5.如果一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底角为，腰和上底均为1的等腰梯形，那么原平面图形的面积是（ ）A ．B ．C ．D ．6.是空间中不同直线，是空间中不同平面，下列命题中正确．．的是 （ ） A ．若直线，，则 B ．若平面，，则 C ．若平面，，则 D ．若，，则7.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ） A ． B ． C ． D ．48.在空间直角坐标系中，点A （1，－2,3）关于平面的对称点为B ，A 关于轴的对称点为C,则B,C 两点间的距离为（ ） A. B.6 C.4 D. 9．如图，在斜三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，∠BAC ＝90°，BC 1⊥AC ，则C 1在底面ABC 上的射影H 必在( )A ．直线AC 上 B ．直线BC 上 C ．直线AB 上 D ．△ABC 内部(第12题图)10.已知三棱锥中，，且直线与成角，点、分别是、的中点,则直线与所成的角为( )A. B. C. D.或11．已知四面体满足下列条件（1）有一个面是边长为1的等边三角形；（2）有两个面是等腰直角三角形,那么四面体的体积的取值集合是（ ） A ． B ． C ． D ． 12．如图，在正四棱锥中，，，分别是，，的中点，动点在线段上运动时，下列四个结论：①；②；③；④中恒成立的为 （ ）A.①③B.③④C.①②D.②③④二、填空题:（每小题5分，共4题,计20分）13.设有以下四个命题：①底面是平行四边形的四棱柱是平行六面体；②底面是矩形的平行六面体是长方体； ③直四棱柱是直平行六面体；④棱台的相对侧棱延长后必交于一点．其中真命题的序号是 ．14.正四棱锥的侧棱与底面的边长都为32，则这个四棱锥的外接球的表面积为 ． 15.侧棱长为的正三棱锥中，040=∠=∠=∠CVA BVC AVB ，过作截面，则截面的周长的最小值为_____________．16．如图，多面体OABCD ，AB=CD=2，AD=BC=，AC=BD=，且OA ，OB ，OC 两两垂直，给出下列5个结论：①三棱锥O —ABC 的体积是定值； ②球面经过点A 、B 、C 、D 四点的球的直径是；③直线OB//平面ACD ； ④直线AD 与OB 所成角是600； ⑤二面角A —OC —D 等于300．其中正确的结论是_________．三、解答题：(本大题共6个小题，满分70分.)17.(本小题满分10分)已知某几何体的俯视图是如图所示的矩形，正视图是一个底边长为8、高为4的等腰三角形，侧视图是一个底边长为6、高为4的等腰三角形．(1)求该几何体的体积V ； (2)求该几何体的侧面积S.18．（本小题满分12分）如图，已知矩形ABCD 中，沿矩形的对角线BD 把折起，使A 移到A 1点，且A 1在平面BCD 上的射影O 恰好在CD 上。
2019-2020年高一下学期期末考试 数学理 含答案
2019-2020年高一下学期期末考试 数学理 含答案注意事项：1．本试题卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，满分150分。
选择题填涂在答题卡上非选择题答案填写在答题纸的指定位置上，在本试卷上答题无效。
2．请在答题卡和答题纸的指定位置上填涂或填写班级、姓名、学号。
3．选择题答案使用2B 铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚。
4．请仔细审题、认真做答。
第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题（本题共有12小题，每小题5分, 共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1、经过点(2,)M m -、(,4)N m 的直线的斜率等于1，则m 的值为（ ）A. 1 B ． 4 C ． 1或3 D ．1或4 2、下列方程中圆心在点(2,3)P -，并且与y 轴相切的圆是（ ）A. 22(2)(3)4x y -++= B ．22(2)(3)4x y ++-=C ． 22(2)(3)9x y -++=D ．22(2)(3)9x y ++-=3、两个球表面积的比为1:4，则体积的比为（ ）A. 1:2B. 1:4C. 1:8D. 不确定4、若一个几何体的正视图和侧视图都是边长为2的正方形，俯视图是一个圆，则这个几何体的体积为（ ） Ａ．2πＢ．4π Ｃ．8π Ｄ．83π 5、斜率为3-，在x 轴上截距为2-的直线的一般式方程是（ ） A ．360x y ++= B ．320x y -+= C ．360x y +-= D ．320x y --=6、如图，一个正方形OABC 在斜二测画法下的直观图是个一条边长为1的平行四边形，则正方形OABC 的面积为（A. 1B. 4C. 1或4D. 不能确定7、圆9)2()(:221=++-y m x C 与圆4)()1(:222=-++m y x C 内切，则m 的值（ ）A.2-B. 1-C. 12--或D. 2或18、下列命题正确的是（ ）A. 若直线l 上有无数个点不在平面α内，则l ∥αB. 若直线l 与平面α有两个公共点，则直线l 在平面内45y 1x 1 C1B 1A 1O 1C. 若直线l 与平面α相交，则l 与平面α内的任意直线都是异面直线D. 若直线l 上有两个点到平面α的距离相等，则l ∥α 9、下列命题正确的是（ ）A. 垂直于同一条直线的两条直线平行B. 垂直于同一个平面的两条直线平行C. 平行于同一个平面的两条直线平行D. 平行于同一条直线的两个平面平行10、若(2,1)P 为圆22(1)36x y -+=的弦AB 的中点，则直线AB 的方程是（ ） A. 03=--y x B. 032=-+y x C. 01=-+y x D. 30x y +-= 11、周长为20的矩形绕其一边旋转形成一个圆柱，该圆柱的侧面积的最大值是( ) A ．25π B ．50π C ．100π D ．200π12、正四棱锥（底面是正方形，顶点在底面的射影落在底面中心的四棱锥）P ABCD -底面的四个顶点,,,A B C D 在球O 的同一个大圆上，点P 在球面上，如果球O 的表面积是4π，则四棱锥P ABCD -的体积为（ ） A ．316 B ．23 C ．2 D ．43第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13、直线l 经过坐标原点和点()1,1M -，则它的倾斜角等于_______________；14、三棱锥P-ABC 的三条侧棱PA ，PB ，PC 两两垂直，三个侧面的面积分别为1、2和4，则三棱锥P-ABC 的体积为____________；15、过锥体的高的三等分点分别作平行于底面的截面，它们把锥体分成三部分，则这三部分 的体积之比为_______________；16、设P (x ,y )为圆x 2＋(y －1)2=1上任一点，要使不等式x ＋y ＋m ≥0恒成立，则m 的取值范 围是 ．三、解答题（共70分，每题的解答要有必要的推理过程，直接写结果不得分）17、（10分）已知直线l 的方程为34120x y +-=，（1）若'l 与l 平行，且过点（－1，3），求直线'l 的方程；（2）求'l 与坐标轴围成的三角形面积．18、（12分）一个四棱锥的正视图，侧视图(单位：cm )如图所示，（1）请画出该几何体的俯视图；侧视图（2）求该几何体的体积； （3）求该几何体的表面积.19、（12分）如图在正方体中（1）求异面直线11BC CD 与所成的角；（2）求直线D 1B 与底面ABCD（3）求二面角1D AC D --大小的正切值.20、（12分）求经过点)1,2(-A ，和直线1=+y x 相切，且圆心在直线x y 2-=上的圆方程．21、（12分）如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，ABCD PA 底面⊥, E 为PD 中点。
2019-2020学年湖南省长沙市雅礼中学高一上学期10月月考数学试题(解析版)
2019-2020学年湖南省长沙市雅礼中学高一上学期10月月考数学试题一、单选题1．已知集合{}{}{}1,2,3,4,5,6,72,3,4,52,3,6,7U A B ===，，，则C U B AA ．{}1,6B ．{}1,7C ．{}6,7D ．{}1,6,7【答案】C 【解析】先求UA ，再求UB A ⋂．【详解】由已知得{}1,6,7U C A =，所以U B C A ⋂={6,7}，故选C ． 【点睛】本题主要考查交集、补集的运算．渗透了直观想象素养．使用补集思想得出答案．2．函数()11f x x =+的定义域为( ) A ．{|3x x ≥-且1}x ≠- B ．{3x x -且1}x ≠- C ．{|1}x x ≥- D ．{|3}x x ≥-【答案】A【解析】由题可得：要使得函数()f x 有意义，则需满足3010x x +≥⎧⎨+≠⎩，解出x 的范围即可． 【详解】解：要使()f x 有意义，则：3010x x +≥⎧⎨+≠⎩；解得3x ≥-，且1x ≠-；∴()f x 的定义域为：{|3,1}x x x ≥-≠-且． 故选：A ． 【点睛】本题主要考查了函数定义域的定义及求法，属于基础题。
3．若a 、b 不全为0，必须且只需( )A ．0ab ≠B ．a 、b 中至多有一个不为0C ．a 、b 中只有一个为0D ．a 、b 中至少有一个不为0【答案】D【解析】本题首先可以通过题意中的“a 、b 不全为0”来确定题意中所包含三种情况，然后观察四个选项，看哪个选项恰好包含题意中的三种情况，即可得出结果。
【详解】“a 、b 不全为0”包含三种情况，分别是“b 为0，a 不为0”、“b 不为0，a 为0”、“a 、b 都不为0”，故a 、b 中至少有一个不为0，故选D 。
【点睛】本题的重点在于对“不全为”、“至多有一个”、“只有一个”、“至少有一个”等连接词的意思的判断，能否明确理解上述连接词的词义是解决本题的关系，考查推理能力，是简单题。
湖南省长沙市雅礼中学高一上学期期末数学试题(解析版)
2018-2019学年湖南省长沙市雅礼中学高一上学期期末数学试题一、单选题1．已知集合A ＝{x |﹣1＜x ＜2}，B ＝{x |x ≥﹣1}，则A ∩B ＝（ ） A ．（﹣1，1] B ．（﹣1，2）C ．∅D ．[﹣1，2]【答案】B【解析】直接利用交集的运算求解即可. 【详解】解:因为A ＝{x |﹣1＜x ＜2},B ＝{x |x ≥﹣1}, 所以A ∩B ＝{x |﹣1＜x ＜2}. 故选:B . 【点睛】本题考查了交集的运算,属基础题.2．圆柱的底面半径为1，高为1，则圆柱的表面积为（ ） A ．π B ．3πC ．2πD ．4π【答案】D【解析】根据圆柱表面积的计算公式直接求解即可. 【详解】解:因为圆柱的底面半径为1,高为1,所以圆柱的表面积221214S πππ=⨯+⨯⨯=. 故选:D . 【点睛】本题考查了圆柱表面积的求法,属基础题.3．若点2)在直线l ：10ax y ++=上，则直线l 的倾斜角为（ ） A ．30° B ．45︒C ．60︒D ．120︒【答案】C【解析】210,a ++=∴=直线方程为：10y ++=，据此可得，直线l 的倾斜角为60︒. 本题选择C 选项.4．已知函数f (x )＝1,0,0x x x a x -≤⎧⎨>⎩，若f (1)＝f (－1)，则实数a =A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B【解析】根据题意，由f (1)＝f (－1)可得a ＝1－(－1)＝2，故选:B5．已知m ，n 为不同的直线，α，β为不同的平面，则下列说法正确的是（ ） A ．m ⊂α，n ∥m ⇒n ∥α B ．m ⊂α，n ⊥m ⇒n ⊥α C ．m ⊂α，n ⊂β，m ∥n ⇒α∥β D ．n ⊂β，n ⊥α⇒α⊥β 【答案】D【解析】在A 选项中，可能有n ⊂α，故A 错误； 在B 选项中，可能有n ⊂α，故B 错误； 在C 选项中，两平面有可能相交，故C 错误；在D 选项中，由平面与平面垂直的判定定理得D 正确． 故选：D ．6．已知直线:20l kx y k -+-=过定点M ，点(),P x y 在直线210x y +-=上，则MP 的最小值是（ ）A ．BCD ．【答案】B【解析】令直线l 的参数k 的系数等于零，求得定点M 的坐标，利用两点间的距离公式、二次函数的性质，求得MP 的最小值. 【详解】直线:20l kx y k -+-=，即()120k x y --+=，过定点()1,2M ， 点(),P x y 在直线210x y +-=上，12y x ∴=-，MP ∴==故当15x =-时，MP ，故选B. 【点睛】本题主要考查直线经过定点问題，两点间的距离公式的应用，二次函数的性质，属于中档题.7．设2()3xa =，13()2x b -=，23c log x =，若x ＞1，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）A ．a ＜b ＜cB ．c ＜a ＜bC ．b ＜c ＜aD ．c ＜b ＜a【答案】B【解析】根据x ＞1,取x =2,则可以得到a ,b ,c 的具体值,然后比较大小即可. 【详解】解:由x ＞1,取x =2,则2()439x a ==,123()23x b -==,2233log log 20c x ==<,所以b a c >>. 故选:B . 【点睛】本题考查了指数和对数大小的比较,解题的关键是根据条件取特殊值,属基础题. 8．在正方体1111ABCD A B C D -中，异面直线1A B 与AC 所成角是（ ） A ．30° B ．45︒C ．60︒D ．90︒【答案】C【解析】在正方体1111ABCD A B C D -中，11//AC A C ， 所以11B AC ∠即为所求（或其补角）.连接1B C ，因为1111B C AC A B ==，所以11B 60AC ∠=︒. 故选C.9．设两条直线的方程分别为x +y ﹣a ＝0、x +y +b ＝0，已知a 、b 是关于x 的方程x 2+x +c ＝0的两个实数根，则这两条直线之间的距离是（ ）A ．4B C ．2D ．无法确定【答案】C【解析】根据条件,由韦达定理可得1a b +=-,然后利用平行线间的距离公式求出距离. 【详解】解:因为a 、b 是关于x 的方程x 2+x +c ＝0的两个实数根,所以1a b +=-,所以两直线间的距离2d ==.故选:C . 【点睛】本题考查了韦达定理和两平行直线间的距离,属基础题.10．已知函数22y x x =+在闭区间[,]a b 上的值域为[﹣1，3]，则满足题意的有序实数对(,)a b 在坐标平面内所对应点组成的图形为A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】∵y=x 2+2x=（x+1）2﹣1，∴可画出图象如图1所示．；由x 2+2x=3，解得x=﹣3或x=1；又当x=﹣1时，（﹣1）2﹣2=﹣1．①当a=﹣3时，b 必须满足﹣1≤b≤1，可得点（a ，b ）在坐标平面内所对应点组成图形的长度为|AB|=1﹣（﹣1）=2；②当﹣3＜a≤﹣1时，b 必须满足b=1，可得点（a ，b ）在坐标平面内所对应点组成图形的长度为|BC|=（﹣1）﹣（﹣3）=2． 如图2所示：图2；故选：C．点睛：本题考查了二次函数在给定区间上的值域问题，值域是确定的，而定义域是变动的，解题关键是分辨清楚最大值是在左端点取到还是在右端点取到，问题就迎刃而解了. 11．已知函数y=f（x）的定义域为{x|x∈R，且x≠2}，且y=f（x+2）是偶函数，当x＜2时，f（x）=|2x﹣1|，那么当x＞2时，函数f（x）的递减区间是（）A．（3，5）B．（3，+∞）C．（2，+∞）D．（2，4]【答案】D【解析】试题分析：根据函数的奇偶性，推导出函数的对称性，再由题意和对称性求出函数的解析式，根据指数函数的图象画出函数大致的图形，可得到函数的减区间．解：∵y=f（x+2）是偶函数，∴f（﹣x+2）=f（x+2），则函数f（x）关于x=2对称，则f（x）=f（4﹣x）．若x＞2，则4﹣x＜2，∵当x＜2时，f（x）=|2x﹣1|，∴当x＞2时，f（x）=f（4﹣x）=|24﹣x﹣1|，则当x≥4时，4﹣x≤0，24﹣x﹣1≤0，此时f（x）=|24﹣x﹣1|=1﹣24﹣x=1﹣16×，此时函数递增，当2＜x≤4时，4﹣x＞0，24﹣x﹣1＞0，此时f（x）=|24﹣x﹣1|=24﹣x﹣1=16×﹣1，此时函数递减，所以函数的递减区间为（2，4]，故选D．【考点】奇偶性与单调性的综合；函数奇偶性的性质．12．设函数21(0)()ln 2(0)a x y f x xx x x ⎧+<⎪==⎨⎪->⎩，若()y f x =的图像上有四个不同的点A 、B 、C 、D 同时满足：①A 、B 、C 、D 、O （原点）五点共线；②共线的这条直线斜率为3-，则a 的取值范围是（ ） A．)+∞ B ．(4)-∞，C．(-∞-，D ．(4)+∞，【答案】A【解析】由题过A 、B 、C 、D 、O 的直线y 3x =-，当x 0>时，记()2g ln 2x x x =-，则()241g'x x x-+=()g x 在102⎛⎫⎪⎝⎭，上单调递增，12∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭，单调递减，与y 3x =-有两个交点C 、D 。
2019-2020年高一下学期期末考试 数学 含答案
2019-2020年高一下学期期末考试 数学 含答案一、填空题（本大题共14小题,每小题5分,计70分）1.的值是 ．2.化简 .3.函数的定义域是 ．4.函数的最小正周期是 .5.若，则点位于第 象限.6.函数取最大值时的值是 .7.若函数的零点则_________.8.函数的递增区间是 .9.为了得到函数)的图象，只需把函数的图象向右平移个___长度单位.10.若，且，则向量与的夹角为 ．11.已知扇形的周长为，则该扇形的面积的最大值为 ．12.设若函数在上单调递增，则的取值范围是________.13.如图，在△中，则________.14.在直角坐标系中, 如果两点在函数的图象上，那么称为函数的一组关于原点的中心对称点（与看作一组）.函数关于原点的中心对称点的组数为 ．二、解答题（本大题共6小题，计80分. 请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）15．A 、B 是单位圆O 上的点，点A 是单位圆与轴正半轴的交点，点在第二象限.记且.（1）求点坐标；（2）求的值.C16.平面内给定三个向量．（1）若，求实数k；（2）若向量满足，且，求向量．17．已知函数（为常数），．（1）若在上是单调增函数，求的取值范围；（2）当时，求的最小值．18.已知的顶点坐标为,,, 点P的横坐标为14，且，点是边上一点,且. （1）求实数的值与点的坐标；（2）求点的坐标；（3）若为线段（含端点）上的一个动点，试求的取值范围.（2）求函数的单调递增区间与对称中心坐标；（3）当时，函数的图像与轴有交点，求实数的取值范围．20.定义在上的函数，如果满足：对任意，存在常数，都有成立，则称是上的有界函数，其中称为函数的一个上界.已知函数，.（1）若函数为奇函数，求实数的值；（2）在（1）的条件下，求函数在区间上的所有上界构成的集合；（3）若函数在上是以为上界的有界函数，求实数的取值范围.二、解答题。
湖南长沙市雅礼中学高一数学上册期末试卷
湖南长沙市雅礼中学高一数学上册期末试卷一、选择题1．已知全集{1,2,3,4,5,6}U =，集合{2,3,4}A ，{1,3,4}B =则()UB A=（ ）A ．{1,2,5,6}B ．{5,6}C ．{2,3,5,6}D ．{1,2,3,4}2．函数1()3f x x x =-++的定义域为（ ） A ．(3,0]-B ．(3,1]-C ．(,3)(3,0]-∞--D ．(,3)(3,1]-∞--3．已知点()sin ,tan P αα在第三象限，角α的顶点为坐标原点，始边为x 轴的非负半轴，则角α的终边在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 4．已知[0,2]απ∈，点(1,tan 2)P 是角α终边上一点，则α=（ ） A ．2B ．2π+C ．2π-D ．2π-5．函数()23log f x x x =+的零点所在区间为（ ） A ．11,168⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．11,84⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．11,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦6．三国时期，吴国数学家赵爽绘制“勾股圆方图”证明了勾股定理(西方称之为“毕达哥拉斯定理”).如图，四个完全相同的直角三角形和中间的小正方形拼接成一个大正方形，角α为直角三角形中的一个锐角，若该勾股圆方图中小正方形的面积1S 与大正方形面积2S 之比为1:25，则3cos 4πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）A 2B ．2C 72D ．727．定义在R 上的奇函数()f x 在[0,)+∞是减函数，且(2)1f -=，则满足1(2)1f x -≤-≤的x 的取值范围是（ ）A ．[-2,2]B ．[-2,1]C ．[1,3]-D ．[0,4]8．已知函数()f x 的图象如图，则()f x 的解析式可能是（ ）A ．()21f x x x =-B ．()21f x x =-C ．()21x f x x =-D ．()21x f x -=二、填空题9．已知函数()f x 的定义域为R ，对任意的实数想，x ，y 满足1()()()2f x y f x f y +=++，且1()02f =，下列结论正确的是（ ） A ．1(0)2f =-B ．3(1)2f -=- C ．()f x 为R 上的减函数D ．1()2+f x 为奇函数10．下列说法中，正确的是（ ） A ．不等式21031x x -≤+的解集是11,32⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．“1,1a b >>”是“1ab >”成立的充分条件C ．函数22()2f x x =+的最小值为2D ．“tan 1x =”是“4x π=”成立的必要条件11．已知,,,a b c d R ∈，则下列结论正确的是（ ） A ．若,a b c d >>，则ac bd > B ．若22ac bc >，则a b > C ．若0a b >>，则()0a b c ->D ．若,a b c d >>，则a d b c ->-12．双曲函数是一类与常见的三角函数类似的函数.最基本的双曲函数是双曲正弦函数2x x e e shx --=和双曲余弦函数2x xe e chx -+=，其中e 是自然对数的底数.则下列结论正确的是（ ）A ．222ch x ch x sh x =+B ．222sh x ch x sh x =-C ．()sh x y shxchy chxshy +=+D ．()ch x y chxchy shxshy +=+三、多选题13．若命题:p x ∃∈R ，220ax ax -+≤为假命题，则实数a 的取值范围是___________. 14．已知1b a >>，若3log log 2a b b a -=，b a a b =，则a b -=____________.15．若两个正实数x ，y 1=26m m >-恒成立，则实数m 的取值范围是________.16．定义域为R 的函数()2x F x =可以表示为一个奇函数()f x 和一个偶函数()g x 的和，则()f x =_________；若关于x 的不等式()()f x a bF x +≥-的解的最小值为1，其中,R a b ∈，则a 的取值范围是_________.四、解答题17．已知{}2230A x x x =--≤，()(){}40B x x k x k =--+>．（1）若[]0,3AB =R，求实数k 的值；（2）若p ：x A ∈，q ：x B ∈，若p 是q 的充分条件，求实数k 的取值范围．18．已知函数())0,22f x x ππωϕωϕ⎛⎫=+>-≤< ⎪⎝⎭的图像关于直线3x π=对称，且图像与x 轴的相邻交点的距离为2π. （Ⅰ）求4f π⎛⎫⎪⎝⎭的值；（Ⅱ）将函数()y f x =的图像向右平移12π个单位长度后，得到()y g x =的图像，求()g x 的单调递减区间.19．已知函数1()(0xxb f x a a a -=+>且1)a ≠是奇函数． （1）求b 的值；（2）令函数()()1x g x f x a =--，若关于x 的方程2()3t g x t +=+在R 上有解，求实数t 的取值范围． 20．杭州市将于2022年举办第19届亚运会，本届亚运会以“绿色、智能、节位、文明”为办赛理念，展示杭州生态之美、文化之韵，充分发挥国际重大赛事对城市发展的牵引作用，从而促进经济快速发展，筹备期间，某公司带来了一种智能设备供采购商洽谈采购，并决定大量投放当地市场，已知该种设备年固定研发成本为50万元，每生产一台需另投入80元，设该公司一年内生产该设备x 万台且全部售完，每万台的销售收入()G x （万元）与年产量x （万台）满足如下关系式：()()()()1802,0202000900070,201x x G x x x x x ⎧-<≤⎪=⎨+->⎪+⎩（1）写出年利润()W x （万元）关于年产量x （万台）的函数解析式：（利润=销售收入-成本）（2）当年产量为多少万台时，该公司获得的年利润最大？并求最大利润．21．如图，一个水轮的半径为4米，水轮圆心O 距离水面2米，已知水轮每分钟逆时针转动1圈，当水轮上点P 从水中浮现时（图中点0P ）开始计算时间.（1）将点P 距离水面的距离z （单位：米，在水面以下，则z 为负数）表示为时间t （单位：秒）的函数；（2）在水轮转动1圈内，有多长时间点P 位于水面上方？ 22．已知函数2()2(1)1f x x a x a =-+-+，a R ∈． （1）若()f x 在区间[1,1]-上不单调，求a 的取值范围；（2）设2()[(2)()]g x x ax a f x x =---⋅，若函数lg ()y g x =在区间[,1]t 恒有意义，求实数t的取值范围；（3）已知方程2()|2|0f x x x ++=在(1,2)-有两个不相等的实数根，求实数a 的取值范围．【参考答案】一、选择题 1．B 【分析】 根据{2,3,4}A ，{1,3,4}B =，利用并集运算得到A B ，然后再利用补集运算求解. 【详解】∵{2,3,4}A，{1,3,4}B =，∴{1,2,3,4}A B ⋃=， 又∵{1,2,3,4,5,6}U =， ∴(){5,6}UA B =.故选：B 2．C 【分析】直接利用负数不能开偶次方根和分母不能为零求解. 【详解】因为030x x -≥⎧⎨+≠⎩，所以0x ≤且3x ≠-，所以函数1()3f x x =+的定义域为(,3)(3,0]-∞--， 故选：C 【点睛】本题主要考查函数定义域的求法，属于基础题. 3．D 【分析】根据()sin ,tan P αα在第三象限，得到sin 0tan 0αα<⎧⎨<⎩求解.【详解】因为点()sin ,tan P αα在第三象限，所以sin 0tan 0αα<⎧⎨<⎩，所以角α的终边在第四象限， 故选：D4．B 【分析】根据三角函数的定义求出cos ,sin αα，从而可得α. 【详解】 因为22ππ<<，故cos20<，因为(1,tan 2)P 是角α终边上一点，故11cos 2cos 2OP ==-， 故()1cos cos 2cos 21cos 2απ==-=+-，而()tan 2sin sin 2sin 21cos 2απ==-=+-， 故α与2π+的终边相同，而[]20,2ππ+∈，故2απ=+. 故选：B. 5．C 【分析】由函数()23log f x x x =+，分别求得区间端点的函数值，结合函数的单调性和零点的存在定理，即可求解. 【详解】由题意，函数()23log f x x x =+，可得函数()f x 为单调递增函数， 可得21113()3log 4016161616f =⨯+=-<，13()3088f =-<，13()2044f =-<， 13()1022f =->，(1)30f =>， 所以11()()042f f <，所以函数()f x 的零点所在区间为11,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦.故选：C. 6．D 【分析】如图。
2020-2021学年湖南省长沙市雅礼中学高一上学期期末数学试题(解析版)
2020-2021学年湖南省长沙市雅礼中学高一上学期期末数学试题一、单选题1．设集合{|32}M m m =∈-<<Z ，{|13}N n n M N =∈-≤≤⋂=Z ，则A ．{}01，B ．{}101-，，C ．{}012，，D ．{}1012-，，， 【答案】B【详解】试题分析：依题意{}{}2,1,0,1,1,0,1,2,3,M N =--=-∴{}1,0,1M N ⋂=-. 【解析】集合的运算2．下面四个条件中，使a b >成立的充分而不必要的条件是 A ．1a b +＞ B ．1a b -＞C ．22a b ＞D ．33a b ＞【答案】A【详解】试题分析：由，但无法得出，A 满足；由、均无法得出，不满足“充分”；由，不满足“不必要”.【解析】不等式性质、充分必要性.3．在ABC 中，AB c =，AC b =．若点D 满足2BD DC =，则AD =（ ） A ．2133b c + B ．5233c b -C ．2133b c - D ．1233b c +【答案】A【详解】试题分析：，故选A ．4． 某商场宣传在节假日对顾客购物实行一定的优惠，商场规定： ①如一次购物不超过200元，不予以折扣；②如一次购物超过200元，但不超过500元，按标价予以九折优惠；③如一次购物超过500元的，其中500元给予九折优惠，超过500元的给予八五折优惠．某人两次去购物，分别付款176元和432元，如果他只去一次购买同样的商品，则应付款( ) A ．608元 B ．574.1元 C ．582.6元 D ．456.8元【答案】C【详解】由题意得购物付款432元，实际标价为432×109＝480(元)，如果一次购买标价176＋480＝656(元)的商品应付款500×0.9＋156×0.85＝582.6(元)．选C 5．ABC 的内角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，若26c b ==，，，120B =,则a 等于（ ） A ．6 B ．2C ．3D ．2【答案】D【详解】试题分析：由余弦定理得,则2240a a +-=，即，解得或（舍）.【解析】余弦定理.6．设123log 2,ln 2,5a b c -===则 A ．a b c << B ．b c a <<C ．c a b <<D ．c b a <<【答案】C 【分析】由ln 2ln 2ln 3a b =<=及311log 3,2254a c >==<=可比较大小. 【详解】∵2031a ln ln =＞，＞，∴ln 2ln 2ln 3a b =<=，即a b <． 又3311log 2log 3,2254a c =>==<=．∴a c >．综上可知：c a b << 故选C.【点睛】本题主要考查了指数与对数的运算性质及对数函数的单调性比较大小，属于中档题.7．设()f x 是定义在R 上且图象为连续不断的偶函数，且当0x >时()f x 是单调函数，则满足3()4x f x f x -⎛⎫= ⎪+⎝⎭的所有实数x 之和为（ ） A ．5- B ．2-C ．3-D ．8-【答案】A【分析】根据单调函数的性质，结合偶函数的性质进行求解即可；【详解】因为函数()f x 是定义在R 上且图象为连续不断的偶函数，且当0x >时()f x 是单调函数，所以当0x <时，()f x 是也是单调函数，且函数()f x 的图象关于纵轴对称， 因此由33()044x x f x f x x x --⎛⎫=⇒+= ⎪++⎝⎭或304x x x --=+， 当304x x x -+=+时，可得2530x x +-=，显然4-不是该方程的根， 该方程根的判别式为2541(3)0-⨯⨯->，所以该方程有两个不相等的实根，设为12x x 、，则有125x x +=-， 当304x x x --=+时，可得2330x x ++=，该方程根的判别式为234130-⨯⨯<，故该方程没有实数根，综上所述：满足3()4x f x f x -⎛⎫= ⎪+⎝⎭的所有实数x 之和为5-，故选：A 8．若α∈(2π，π)，且3cos 2α＝sin(4π－α)，则sin 2α的值为（ ） A ．－118 B ．118C ．－1718D ．1718【答案】C【分析】按照二倍角的余弦以及两角差的正弦展开可得()3cos sin 2αα+=，对等式平方即可得结果. 【详解】由3cos 2sin 4παα⎛⎫=-⎪⎝⎭，可得())223cos sin cos sin αααα-=-， 又由,2παπ⎛⎫∈⎪⎝⎭，可知cos sin 0αα-≠，于是()3cos sin 2αα+=，所以112sin cos 18αα=＋，故17sin 218α=-， 故选：C.【点睛】本题主要考查了两角差公式以及二倍角公式的应用，属于中档题.二、多选题9．下列结论正确的是（ ）A ．x R ∀∈，12x x+≥B ．若0a b <<，则3311a b ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．若()20x x -<，则()2log 0,1x ∈D ．若0a >，0b >，1a b +≤，则104ab <≤【答案】BD【分析】对每个选项注意检验，要么证明其成立，要么举出反例判定其错误. 【详解】当0x <时，1x x+为负数，所以A 不正确； 若0a b <<，则110b a<<，考虑函数3()f x x =在R 上单调递增， 所以11()()f f a b >，即3311()()ab>，所以B 正确；若()20x x -<，则02x <<，2log (,1)x ∈-∞，所以C 不正确；若0a >，0b >，1a b +≤21,0()224a b a b ab ++≤<≤= 所以D 正确. 故选：BD【点睛】此题考查命题真假性的判断，内容丰富，考查的知识面很广，解题中尤其注意必须对每个选项逐一检验，要么证明其成立，要么举出反例，方可确定选项. 10．下列判断正确的是（ ） A ．函数1()f x x=在定义域内是减函数 B ．若函数()y g x =为奇函数，则一定有(0)0g = C ．已知0,0x y >>，且111x y+=，若23x y m m +>+恒成立，则实数m 的取值范围是(4,1)-D ．已知25(1)()(1)x ax x f x a x x ⎧---≤⎪=⎨>⎪⎩在(,)-∞+∞上是增函数，则a 的取值范围是[3,2]--【答案】CD【分析】根据函数单调性的性质、奇函数的性质、基本不等式进行判断即可.【详解】A ：因为(1)1,(1)1f f -=-=，显然不符合减函数的性质，所以本判断不正确； B ：设1()g x x=，定义域为非零的实数集，11()()g x g x x x -==-=--，显然()y g x =为奇函数，但是(0)g 的值不存在，故本判断不正确； C ：因为0,0x y >>，所以有11()()224y x x y x y x y ++=++≥+=，当且仅当y xx y=时取等号，即当2x y ==时取等号，要想23x y m m +>+恒成立，只需 23441m m m +<⇒-<<，故本判断正确；D ：当1x ≤时，222()5()524a a f x x ax x =---=-++-.要想该函数在(,)-∞+∞上是增函数，所以有：212032115a a a a a ⎧≤-⎪⎪<⇒-≤≤-⎨⎪--⋅-≤⎪⎩， 故选：CD11．关于函数2()2cos cos 212f x x x π⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭的描述正确的是（ ）A．其图象可由2y x =的图象向右平移8π个单位得到 B ．()f x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭单调递增 C ．()f x 在[0,]π有2个零点 D ．()f x 在,02π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦的最小值为 【答案】CD【分析】利用诱导公式、二倍角公式、两角和的正弦公式化函数为一个角的一个三角函数形式，然后根据正弦函数性质判断．【详解】2()2cos cos 21cos 2sin 2224f x x x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=-+-=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由2y x =的图象向右平移8π个单位，得到2284y x x ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，所以选项A 错误；令222242k x k πππππ-≤+≤+，k ∈Z ，得其增区间为3,88k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k ∈Z ， ()f x 在0,8π⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增，在,82ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调遒减，所以选项B 错误；令()0f x =，24x k ππ+=，k ∈Z 得：28k x ππ=-，k ∈Z ，又[0,]x π∈，所以x 取38π，78π，所以选项C 正确；当,02x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦π，即432,44x πππ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦时，sin 21,42x π⎡⎛⎫+∈-⎢ ⎪⎝⎭⎣⎦，()[f x ∈，所以选项D 正确.故选：CD.【点睛】方法点睛：本题考查两角差的正弦公式，二倍角公式，考查正弦函数的性质．此类问题的解题方法是：利用二倍角公式降幂，利用诱导公式、两角和与差的正弦（余弦）公式展开与合并，最终把函数化为()sin()f x A x m ωϕ=++形式，然后结合正弦函数性质求解．12．给定两个单位向量,OA OB ，且2OA OB ⋅=-，点C 在以O 为圆心的圆弧AB 上运动，OC xOA yOB =+y -的可能取值为（ ）A ．B ．1-C ．2D ．0【答案】BCD【分析】根据已知建立直角坐标系，利用平面向量线性运算的坐标表示，结合辅助角公式和正弦型函数的性质进行求解即可.【详解】因为给定两个单位向量,OA OB ，且32OA OB ⋅=-，所以建立如下图所示的坐标系， 因为3OA OB ⋅=-，所以有33cos cos OA OB AOB AOB ⋅⋅∠=-⇒∠=-, 50,6AOB AOB ππ≤∠≤∴∠=，所以 ()311,0(,)2A B -、， 设5(cos ,sin )([0,])6C πθθθ∈， 因为OC xOA yOB =+，所以有3131(cos ,sin )(,0)(,)cos ,sin 22x y y x y y θθθθ=+-⇒=-=， 33cos sin 2sin()3x y πθθθ-=+=+，因为5[0,]6πθ∈，所以7[,]336πππθ+∈，因此 12sin()23πθ-≤+≤，即132x y -≤-≤，故选：BCD【点睛】关键点睛：解决本题的关键是建立直角坐标系，运用正弦型函数的性质解题.三、填空题13．已知向量(2,1)a =，10a b ⋅=，52a b +=，则b =________. 【答案】5【分析】本题首先求出a ，然后根据52a b +=得出250a b +=，最后由数量积的运算即可得出结果.【详解】因为(2,1)a =，所以25a =，因为52a b +=，所以222250a b a b a b +=++⋅=， 即252050b ++=，5b =. 故答案为：5．【点睛】本题考查向量的模以及向量的运算，考查向量的模的求法，若(,)a x y =，则222x a y =+，考查计算能力，是简单题.14．化简：(4010sin tan ︒︒＝ ________. 【答案】－1 【详解】原式sin10sin?40?(cos10＝︒︒︒)()sin402sin40 sin1?0?0cos10cos10︒︒︒︒︒︒＝＝(1sin1?0?cos1?0)22︒︒－ 2sin40sin80cos?401cos10cos10-︒-︒︒︒︒＝＝＝－.故答案为1－【点睛】本题的关键点有： 先切化弦，再通分； 利用辅助角公式化简； 同角互化.15．为配制一种药液，进行了二次稀释，先在体积为V 的桶中盛满纯药液，第一次将桶中药液倒出10升后用水补满，搅拌均匀第二次倒出8升后用水补满，若第二次稀释后桶中药液含量不超过容积的60%，则V 的取值范围为___________. 【答案】1040V ≤≤【分析】根据题意列出不等式，最后求解不等式即可. 【详解】第一次操作后，利下的纯药液为10V -， 第二次操作后，利下的纯药液为10108V V V---⨯，由题意可知： 21010860%452000540V V V V V V V---⨯≤⋅⇒-+≤⇒≤≤， 因为10V ≥，所以1040V ≤≤， 故答案为：1040V ≤≤四、双空题16．已知函数3()log f x x =的定义域为[,]a b ，值域为[0,]t ，用含t 的表达式表示b a -的最大值记为()M t ，最小值记为()N t ，设()()()g t M t N t =-. （1）若1t =，则(1)M =___________；（2）当12t ≤≤时，2[()]15()1g t g t ++的取值范围为___________.【答案】83 79[6,]9【分析】（1）根据函数3()log f x x =的单调性，结合定义域与值域进行分类讨论求解即可（2）利用函数的单调性分类讨论，结合指数函数的单调性，运用换元法、构造函数法，再结合对钩函数的单调性进行求解即可.【详解】（1）当01x <≤时，3313()log log log f x x x x ==-=，所以此时函数单调递减，当1x >时，33()log log f x x x ==，所以此时函数单调递增，且(1)0f =， 当1t =时，函数的定义域为[,]a b ，值域为[0,1]，当31()log 13f x x x ==⇒=或3x =，当103a <<时，显然存在()1f x >，故不符合题意； 当13a =时，要想值域为[0,1]，则有13b ≤≤，此时18(1)333M =-=；当113a <≤时，要想值域为[0,1]，则有3b =，此时18(1)333M =-=； 当1a >时，有()0f x >，所以值域不可能是[0,1]，不符合题意， 故8(1)3M =； （2）当10()3ta <<时，因为12t ≤≤，所以1311()[()]log ()133ttf x f t >==≥，不符合题意；当1()3ta =时，要想值域为[0,]t ，必有13tb ≤≤，11()()()3()[1()]3133t t t t g t M t N t =-=---=-，令()13t m g t =+=，因为12t ≤≤，所以39m ≤≤，22[()]15216162()1g t m m m g t m m +-+==+-+，设16()2,[3,9]h m m m m=+-∈，因为函数()h m 在[3,4]m ∈时单调递减，在[4,9]m ∈时单调递增，min ()(4)6h m h ==，max 197979(3),(9),()399h h h m ==∴=， 此时2[()]15()1g t g t ++的取值范围为79[6,]9；当1()13ta <≤时，要想值域为[0,]t ，必有3tb =，b a -有最大值，没有最小值，故不符合题意；当1a >时，()1f x >，不符合题意，综上所述：2[()]15()1g t g t ++的取值范围为79[6,]9；【点睛】关键点睛：本题的关键是针对a 的不同位置，确定b 的值，进而利用换元法、构造函数法，结合对钩函数的单调性进行解题.五、解答题17．已知函数()f x 是定义域为{0,}x x x ≠∈R ∣的奇函数，且当0x >时，1()2xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭. （1）求函数()f x 的解析式；（2）画出函数()f x 的图象，根据图象写出()f x 的单调区间.【答案】（1）1,0()22,0xx x f x x ⎧⎛⎫>⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪-<⎩；（2）函数图象见解析，()f x 的单调递减区间为：(,0)-∞，(0,)+∞，无递增区间.【分析】（1）根据奇函数的性质进行求解即可；（2）根据指数函数的性质进行画出图象，根据图象写出()f x 的单调区间即可.【详解】（1）因为函数()f x 是定义域为{0,}xx x ≠∈R ∣的奇函数， 所以当0x <时，1()()22xx f x f x -⎛⎫=--=- ⎪⎝=-⎭，因此函数()f x 的解析式为：1,0()22,0xx x f x x ⎧⎛⎫>⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪-<⎩；（2）函数()f x 的图象如下图所示：由图象知：()f x 的单调递减区间为：(,0)-∞，(0,)+∞，无递增区间.18．在ABC 中，5,3,sin 2sin BC AC C A ===.（Ⅰ）求AB 的值；（Ⅱ）求sin 24A π⎛⎫- ⎪⎝⎭的值． 【答案】（Ⅰ）25；（Ⅱ）210. 【分析】（Ⅰ）直接利用正弦定理可求AB 的值；（Ⅱ）由余弦定理求得cos A ，再利用同角三角函数的关系求出sin A ，由二倍角公式求出sin 2A ，cos2A ，根据两角差的正弦公式可求sin 24A π⎛⎫-⎪⎝⎭的值． 【详解】（Ⅰ）在中，根据正弦定理，sin sin AB BC C A =， 于是sin 225sin BC AB C BC A=== （Ⅱ）在ABC ∆中，根据余弦定理，得222cos 2AB AC BC A AB AC+-=⋅ 于是25sin 1cos A A =-= 从而2243sin 22sin cos ,cos 2cos sin 55A A A A A A ===-= 2sin 2sin 2cos cos 2sin 44410A A A πππ⎛⎫-=-= ⎪⎝⎭． 【点睛】本题主要考查余弦定理、正弦定理在解三角形中的应用，属于中档题.正弦定理是解三角形的有力工具，其常见用法有以下几种：（1）知道两边和一边的对角，求另一边的对角（一定要注意讨论钝角与锐角）；（2）知道两角与一个角的对边，求另一个角的对边；（3）证明化简过程中边角互化；（4）求三角形外接圆半径.19．函数()sin()16f x A x πω=-+（0,0A ω>>）的最大值为3， 其图象相邻两条对称轴之间的距离为2π， （1）求函数()f x 的解析式；（2）设(0,)2πα∈，则()22f α=，求α的值 【答案】（1）()2sin(2) 1.6f x x π=-+；（2）3π. 【详解】（1）由三角函数性质得,最大值为A+1=3,∴A=2， 周期2222πππωω⨯==⇒=，∴f （x ）=2sin （2x-6π）+1 （2）(0,)2πα∈，f （2α）=2 ∴2sin （22α⨯-6π）+1=2,得sin （α-6π）=12，α=3π 20．已知向量1sin ,,(cos ,1)2a x b x ⎛⎫==- ⎪⎝⎭. （1）当a b ⊥时，求x 的值.（2）求()()f x a b b =+⋅在,02π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值与最小值.【答案】（1）()4x k k Z ππ=+∈；（2）max 3()2f x =，min ()12f x =-. 【分析】（1）根据平面向量垂直的性质，结合二倍角正弦公式、正弦型函数的性质进行求解即可；（2）根据平面向量加法和数量积的坐标表示公式，结合正余弦的二倍角公式、辅助角公式、正弦型函数的性质进行求解即可.【详解】（1）因为a b ⊥，所以10sin cos (1)0sin 2122()22a b x x x x k k Z ππ⋅=⇒+⨯-=⇒=⇒=+∈， 即()4x k k Z ππ=+∈；（2）111cos 21()()(sin cos ,)(cos ,1)sin 22222x f x a b b x x x x +=+⋅=+-⋅-=++， 即112()sin 2cos 21sin(2)1224f x x x x π=++=++， 当,02x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦π时，有32444x ，所以max 223()1222f x =⨯+=，min 22()(1)1122f x =⨯-+=-. 21．某跳水运动员在一次跳水训练时的跳水曲线为如图所示的抛物线一段，已知跳水板AB 长为2m ，跳水板距水面CD 的高BC 为3m ，CE =5m ，CF =6m ，为安全和空中姿态优美，训练时跳水曲线应在离起跳点h m （1h ≥）时达到距水面最大高度4m ，规定：以CD 为横轴，CB 为纵轴建立直角坐标系.（1）当h =1时，求跳水曲线所在的抛物线方程；（2）若跳水运动员在区域内入水时才能达到压水花的训练要求，求达到压水花的训练要求时h 的取值范围.【答案】（1）2(3)4y x =--+；（2）4[1,]3. 【详解】试题分析：（1）由题意可以将抛物线的方程设为顶点式.由顶点（3,4），然后代入点(2,3)A 可将抛物线方程求出；（2）将抛物线的方程设为顶点式，由点(2,3)A 得 21ah =-.将 a 用 h 表示.跳水运动员在区域 EF 内入水时才能达到压水花的训练要求，所以方程 2[(2)]40a x h -++=在区间[5,6]内有一解，根据抛物线开口向下，由函数的零点与方程的根的关系，令2221()[(2)]4[(2)]4f x a x h x h h=-++=--++，由 (5)0f ≥，且 (6)0f ≤可得h 的取值范围.试题解析：（1）由题意知最高点为(2,4)h +，1h ≥，设抛物线方程为2[(2)]4y a x h =-++，当1h =时，最高点为（3,4），方程为 2(3)4y a x =-+，将(2,3)A 代入，得 23(23)4a =-+，解得1a =-. ∴当 1h =时，跳水曲线所在的抛物线方程 2(3)4y x =--+.（2）将点(2,3)A 代入 2[(2)]4y a x h =-++得21ah =-，所以 21a h=-. 由题意，方程2[(2)]40a x h -++=在区间[5,6]内有一解. 令2221()[(2)]4[(2)]4f x a x h x h h=-++=--++， 则221(5)(3)40f h h =--+≥，且 221(6)(4)40f h h=--+≤. 解得413h ≤≤. 达到压水花的训练要求时h 的取值范围 4[1,]3. 【解析】1.抛物线的顶点式方程；2.函数的零点与方程的根.22．函数2(),()2f x x ax b g x x a =++=+.对任意的x ∈R ，恒有()()g x f x ≤成立. （1）证明：||b a ≥；（2）若对满足题设条件的任意,a b ，不等式()22()()f b f a M b a-≤-恒成立，求M 的最小值.【答案】（1）证明见解析；（2）32. 【分析】（1）利用一元二次方程根的判别式、基本不等式进行证明即可；（2）根据（1）中的结论，利用换元法、构造函数法、分类讨论思想进行求解即可.【详解】（1）2()()(2)0g x f x x a x b a ≤⇒+-+-≥，要想该不等式恒成立，只需 22(2)4()012142a a a b a b a ∆=---≤⇒≥+≥⋅⋅=，当且仅当12a =时取等号，即2a =±时取等号；（2）由（1）可知：||b a ≥，当||b a >时， 由（1）可知：2114a b ≥+≥， ()222222222()()2()()f b f a b ab b a a b b a f b f a M b a M b a b a b a -++---+-≤-⇒≥==--+， 由11a a b a b a b b >⇒>⇒<⇒<，令,111a t t t b=<⇒-<<， 1221ab a b a b a b++=++，设121()2(11)11t f t t t t +==--<<++，因为012t <+<， 所以函数1()21f t t=-+在11t -<<时，是单调递增函数， 故max 13()(1)2112f t f ==-=+， 要想不等式()22()()f b f a M b a -≤-恒成立，只需max 3()2M f t ≥=； 当||b a =时，22b a ==±、，2()()0f b f a a a a -=-=或8-， 显然不等式()22()()f b f a M b a -≤-恒成立，综上所述：M 的最小值为32.。
湖南省长沙市雅礼中学2020-2021学年高一下学期期末联考数学试题与答案
【答案】（1） ，13.5小时；（2） .
20.如图，在平行六面体ABCD—A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为1的正方形，侧棱AA1的长度为2，且∠A1AB=∠A1AD=120°.求：
（1）AC1的长；
（2）直线BD1与AC所成角的余弦值.
A.这 年我国快递业务量有增有减
B.这 年我国快递业务量同比增速 中位数为
C.这 年我国快递业务量同比增速的极差未超过
D.这 年我国快递业务量的平均数超过 亿件
【答案】D
7.在空间四边形ABCD中，若AB⊥CD，BC⊥AD，则对角线AC与BD的位置关系为（）
A.相交但不垂直B.垂直但不相交C.不相交也不垂直D.无法判断
C.对任意复数 ，
D.当 为实数时，
【答案】ABD
12.已知M是正方体 棱 的中点，则下列是真命题的是（）
A.过点M有且只有一个平面与直线AB， 都平行
B.过点M有且只有一个平面与直线AB， 都相交
C.过点M有且只有一条直线与直线AB， 都垂直
D.过点M有且只有一条直线与直线AB， 都相交
【答案】ACD
21.已知直线 ：
（1）求证：不论实数 取何值，直线 总经过一定点.
（2）为使直线不经过第二象限，求实数 的取值范围.
（3）若直线 与两坐标轴的正半轴围成的三角形面积最小，求 的方程.
22.如图，在四棱锥P—ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD， ，AB⊥AD，CD=PD=PA=AD= AB=2.
（1）求证：平面PBC⊥平面PAB；
C.这 年我国快递业务量同比增速的极差未超过
D.这 年我国快递业务量的平均数超过 亿件
2020-2021学年湖南省长沙市雨花区雅礼中学高一(下)期末数学试卷(附答案详解)
2020-2021学年湖南省长沙市雨花区雅礼中学高一（下）期末数学试卷一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）1.已知集合A={x∈Z|−2≤x<2}，B={0,1}，则下列判断正确的是()A. B∈AB. A∩B=⌀C. A⊆BD. B⊆A2.已知x>0，则对于2−3x−4，说法正确的是()xA. 有最小值2+4√3B. 有最小值2−4√3C. 有最大值2+4√3D. 有最大值2−4√33.已知a⃗=(x,1)，b⃗ =(1,y)，c⃗=(2,−4)，且a⃗⊥c⃗，b⃗ //c⃗，则|a⃗+b⃗ |=()A. √10B. √5C. 2√5D. 104.已知a=log0.33，b=log0.34，c=30.3，那么()A. a<b<cB. c<b<aC. b<a<cD. b<c<a5.为了得到函数y=cos x，x∈R的图象，只需把余弦函数的图象y=cosx，x∈R上5所有的点的()A. 横坐标伸长到原来的5倍，纵坐标不变B. 横坐标缩短到原来的1倍，纵坐标不变5C. 纵坐标伸长到原来的5倍，横坐标不变D. 纵坐标伸长到原来的1倍，横坐标不变56.随着互联网和物流行业的快速发展，快递业务已经成为人们日常生活当中不可或缺的重要组成部分.如图是2012～2020年我国快递业务量变化情况统计图，则关于这9年的统计信息，下列说法正确的是()A. 这9年我国快递业务量有增有减B. 这9年我国快递业务量同比增速的中位数为51.4%C. 这9年我国快递业务量同比增速的极差未超过36%D. 这9年我国快递业务量的平均数超过210亿件7. 在空间四边形ABCD 中，若AB ⊥CD ，BC ⊥AD ，则对角线AC 与BD 的位置关系为( )A. 相交但不垂直B. 垂直但不相交C. 不相交也不垂直D. 无法判断8. 若直线l 经过A(2,1)，B(1,−m 2)(m ∈R)两点，则直线l 的倾斜角α的取值范围是( )A. 0≤α≤π4B. π2<α<πC. π4≤α<π2D. π2<α≤3π4二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）9. 三条直线x +y =0，x −y =0，x +ay =3构成三角形，则a 的取值可以是( )A. −1B. 1C. 2D. 510. 已知函数f(x)={4x −3,x <1lnx,x ≥1，则下列结论正确的是( )A. 函数f(x)的定义域为RB. 函数f(x)在R 上为增函数C. 函数f(x)的值域为(−3,+∞)D. 函数f(x)只有一个零点11. 设z 为复数，在复平面内z 、z −对应的点分别为P 、Q ，坐标原点为O ，则下列命题中正确的有( )A. 当z 为纯虚数时，P ，O ，Q 三点共线B. 当z =1+i 时，△POQ 为等腰直角三角形C. 对任意复数z ，OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ≠OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗D. 当z 为实数时，OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =OQ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 12. 如图，M 是正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1的棱DD 1的中点，下列命题中真命题是( )A. 过M点有且只有一条直线与直线AB、B1C1都相交B. 过M点有且只有一条直线与直线AB、B1C1都垂直C. 过M点有且只有一个平面与直线AB、B1C1都相交D. 过M点有且只有一个平面与直线AB、B1C1都平行三、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知α∈(π2,π)，sinα=35，则tan2α=______ ．14.已知两点A(1,−2)，B(5,0)，则线段AB的垂直平分线方程为______ ．15.甲、乙两位同学进行羽毛球赛，采取三局两胜制．设甲每一局获胜的概率为23，乙每一局获胜的概率为13，且甲已获得第一局胜利．求甲获得最终比赛胜利的概率为______．16.在三棱锥S−ABC中，△ABC是边长为2的等边三角形，△SAB是以AB为斜边的等腰直角三角形，二面角S−AB−C的大小为90°，则该三棱锥外接球的表面积为______ ．四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.某市为创建全国卫生城市，引入某公司的智能垃圾处理设备．已知每台设备每月固定维护成本5万元，每处理一万吨垃圾需增加1万元维护费用，每月处理垃圾带来的总收益g(x)万元与每月垃圾处理量x(万吨)满足如下关系：g(x)={−2x 2+33x−100,0≤x≤1035,x>10(注：总收益=总成本+利润)(1)写出每台设备每月处理垃圾获得的利润f(x)关于每月垃圾处理量x的函数关系；(2)该市计划引入10台这种设备，当每台每月垃圾处理量为何值时，所获利润最大？并求出最大利润．18.已知函数f(x)=√3sin x2cos x2−cos2x2+12．(Ⅰ)求函数f(x)的最大值；(Ⅱ)若△ABC的内角A，B，C所对边分别为a，b，c，f(A)=12，a=√3，b=2c，求c．19.某中学为了解学生参加学校暑期开设的网课学习情况，从网站注册的学生中随机选取了100位，统计某周每位学生的学习时长，绘制成如图所示的频率分布直方图，并从学习时长落在[6,11)，[21,26]两组内的学生中，按分层抽样方法抽取了8位学生进行跟踪调查．(1)求图中a的值并估算这100位学生学习的平均时长；(2)若从上述8位学生中随机抽取2位家访，求这2位学生来自不同组别的概率．20.如图，在平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为1的正方形，侧棱AA1的长度为2，且∠A1AB=∠A1AD=120°.求：(1)AC1的长；(2)直线BD1与AC所成角的余弦值．21.已知直线l：(a−2)y=(3a−1)x−1(1)求证：不论实数a取何值，直线l总经过一定点．(2)为使直线不经过第二象限，求实数a取值范围．(3)若直线l与两坐标轴的正半轴围成的三角形面积最小，求l的方程．22.如图，在四棱锥P−ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB//CD，AB⊥AD，CD=PD=PA=AD=1AB=2．2(1)求证：平面PBC⊥平面PAB；(2)求二面角D−PC−B的正弦值．答案和解析1.【答案】D【解析】解：∵A={−2,−1,0，1}，B集合的元素都在集合A中，∴B⊆A．故选：D．利用集合之间的包含关系判断集合的关系．本题考查的集合的子集概念，是基础题．2.【答案】D【解析】解：2−3x−4x =2−(3x+4x)，x>0，3x+4x≥2√3x⋅4x=4√3.当且仅当3x2=4，即x=2√33是取等号．∴2−3x−4x =2−(3x+4x)≤2−4√3．故选：D．直接利用基本不等式求解即可判断选项．本题考查基本不等式在最值中的应用，注意表达式的变形是解题的关键．3.【答案】A【解析】解：∵a⃗⊥c⃗，∴a⃗⋅c⃗=2x−4=0，解得x=2，∵b⃗ //c⃗，∴−4−2y=0，解得y=−2，∴a⃗=(2,1),b⃗ =(1,−2)，a⃗+b⃗ =(3,−1)，∴|a⃗+b⃗ |=√10．故选：A．根据a⃗⊥c⃗，b⃗ //c⃗即可求出x，y的值，然后即可求出a⃗+b⃗ 的坐标，进而得出|a⃗+b⃗ |的值．本题考查了向量垂直的充要条件，平行向量的坐标关系，向量坐标的加法运算，根据向量的坐标求向量的长度的方法，考查了计算能力，属于基础题．4.【答案】C【解析】解：∵log0.34<log0.33<log0.31=0，30.3>0，∴b<a<c．故选：C．可得出log0.34<log0.33<0,30.3>0，然后即可得出a，b，c的大小关系．本题考查了对数函数的单调性，指数函数的值域，对数的运算性质，考查了计算能力，属于基础题．5.【答案】A【解析】解：将函数y=cosx图象上各点的横坐标伸长到原来的5倍，纵坐标不变，得x的图象．到函数y=cos15故选：A．根据函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，横坐标伸缩变换，可得结论．本题主要考查函数y=Asin(ωx+⌀)的图象变换规律，属于基础题．6.【答案】D【解析】解：由条形图可得，这9年我国快递业务量逐年增加，故A错误；将各年我国快递业务量同比增速按从小到大排列得：25.3%，26.6%，28.0%，30.5%，48.0%，51.4%，51.9%，54.8%，61.6%，故中位数为第五个数48.0%，故B错误；这9年我国快递业务量同比增速的极差为61.6%−25.3%=36.3%>36%，故C错误；由条形图可得，自2016年起，各年的快递业务量远超过210亿件，故快递业务量的平均数超过210亿件，故D正确．故选：D．分别观察这9年我国快递业务量和各年我国快递业务量同比增速，对选项一一分析，可得结论．本题考查条形图、曲线图的应用，考查数形结合思想和推理能力，属于基础题．7.【答案】B【解析】解：如图，作AO⊥平面BCD，垂足为O，可得AO⊥CD，又AB⊥CD，则CD⊥平面ABO，所以BO⊥CD，同理可证DO⊥BC，所以O为△BCD的垂心，所以OC⊥BD，又OA⊥BD，OA∩OC=O，所以BD⊥平面ACO，故BD⊥AC．故选：B．作AO⊥平面BCD，垂足为O，连接OA，OB，OC，由线面垂直的判定和性质，以及三角形的垂心的定义，可得结论．本题考查空间中线线、线面的位置关系，考查推理能力，属于中档题．8.【答案】C【解析】解：根据题意，直线l经过A(2,1)，B(1,−m2)，则直线l的斜率k=1+m22−1=1+m2，又由m∈R，则k=1+m2≥1，则有tanα=k≥1，又由0≤α<π，则π4≤α<π2；故选：C．根据题意，由直线过两点的坐标可得直线的斜率k，分析可得斜率k的范围，结合直线的斜率k与倾斜角的关系可得tanα=k≥1，又由倾斜角的范围，分析可得答案．本题考查直线的斜率、倾斜角的计算，关键是求出斜率的范围．9.【答案】CD【解析】解：∵三条直线x+y=0，x−y=0，x+ay=3构成三角形，故三条直线中任意两条不平行，且三条直线不共点．而直线x+y=0和x−y=0交于原点，无论a为何值，直线x+ay=3总不经过原点，因此，要满足三条直线构成三角形，只需直线x+ay=3与另两条直线不平行，所以，a ≠±1， 故选：CD ．由题意可得，三条直线中任意两条不平行，且三条直线不共点，由此求得a 的范围． 本题主要考查三条直线能构成三角形的条件，两条直线不平行的条件，属于基础题．10.【答案】AC【解析】解：选项A ：由已知可得函数定义域为R ，故A 正确；选项B ：当x <1时，函数f(x)为增函数，当x ≥1时，函数为增函数，且41−3=1>ln1=0，所以函数在R 上不单调，故B 错误；选项C ：当x <1时，−3<f(x)<1，当x ≥1时，f(x)≥0，所以函数的值域为(−3,+∞)，故C 正确；选项D ：当x <1时，令4x −3=0，解得x =log 43，当x ≥1时，令lnx =0，解得x =1， 故函数有两个零点，故D 错误， 故选：AC ．利用分段函数的性质对应各个选项逐个判断即可．本题考查了分段函数的性质，考查了学生对分段函数的理解能力，属于中档题．11.【答案】ABD【解析】解：对于A ，当z 为纯虚数时，设z =bi(b ∈R 且b ≠0)， 则P(0,b)，O(0,0)，Q(0,−b)，三点共线，故A 正确； 对于B ，当z =1+i 时，z −=1−i ，则P(1,1)，Q(1,−1)，|OP|=|OQ|，且OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =1×1−1×1=0，则△POQ 为等腰直角三角形，故B 正确； 对于C ，取z =1，则z =z −=1，有OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，故C 错误； 对于D ，当z 为实数时，z =z −，则OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，故D 正确． 故选：ABD ．当z 为纯虚数时，可得P 、O 、Q 都在虚轴上，判断A 正确；由|OP|=|OQ|且OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0判断B ；举例说明C 错误；当z 为实数时，由z =z −判断D ． 本题考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．12.【答案】ABD【解析】解：直线AB 与B 1C 1 是两条互相垂直的异面直线，点M 不在这两异面直线中的任何一条上，如图所示：取C 1C 的中点N ，则MN//AB ，且MN =AB ，设BN 与B 1C 1交于H ，则点 A 、B 、M 、N 、H 共面，直线HM 必与AB 直线相交于某点O ．所以，过M 点有且只有一条直线HO 与直线AB 、B 1C 1都相交；故A 正确． 过M 点有且只有一条直线与直线AB 、B 1C 1都垂直，此垂线就是棱DD 1，故B 正确． 过M 点有无数个平面与直线AB 、B 1C 1都相交，故C 不正确．过M 点有且只有一个平面与直线AB 、B 1C 1都平行，此平面就是过M 点与正方体的上下底都平行的平面，故D 正确．故选：ABD ．点M 不在这两异面直线中的任何一条上，所以，过M 点有且只有一条直线与直线AB 、B 1C 1都相交，A 正确．过M 点有且只有一条直线与直线AB 、B 1C 1都垂直，B 正确．过M 点有无数个平面与直线AB 、B 1C 1都相交，C 不正确．过M 点有且只有一个平面与直线AB 、B 1C 1都平行，D 正确．本题考查立体几何图形中直线和平面的相交、平行、垂直的性质，体现了数形结合的数学思想．13.【答案】−247【解析】解：∵α∈(π2,π)，sinα=35，∴cosα=−√1−sin 2α=−√1−(35)2=−45，∴tanα=sinαcosα=−34．则tan2α=2tanα1−tan 2α=2×(−34)1−(−34)2=−247． 故答案为：−247． 由已知求得cosα，进一步得到tanα，再由二倍角的正切求解．本题考查三角函数的化简求值，考查同角三角函数基本关系式及倍角公式的应用，是基础题．14.【答案】2x +y −5=0【解析】解：经过两点A(1,−2)，B(5,0)的直线的斜率为0+25−1=12，中点为(3,−1)， 则线段AB 的垂直平分线的斜率为−2，故线段AB 的垂直平分线方程为y +1=−2(x −3)，即2x +y −5=0，故答案为：2x +y −5=0．求出线段AB 的中点和斜率，可得AB 中垂线的斜率，再利用点斜式求出线段AB 的垂直平分线方程．本题主要考查直线的斜率公式，用点斜式求直线的方程，属于基础题．15.【答案】89【解析】解：直接法：分成甲胜第二局直接取胜和乙胜第二局甲胜第三局两种情况． 甲胜第二局概率为：23，乙胜第二局甲胜第三局概率为：13×23=29，∴甲获胜概率为：23+29=89．间接法：乙获胜概率为13×13=19，所以甲获胜概率为：1−19=89．故答案为：89．直接法：分成甲胜第二局直接取胜和乙胜第二局甲胜第三局两种情况，甲胜第二局概率为23，乙胜第二局甲胜第三局概率为13×23=29，由此能求出甲获胜概率．间接法：先求出乙获胜概率，利用对立事件概率计算公式能求出甲获胜概率．本题考查概率的求法，考查相互独立事件概率乘法公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．16.【答案】16π3【解析】解：如图，取AB 中点G ，则G 为三角形SAB 的外心，取等边三角形ABC 的外心O ，则OG ⊥平面SAB ，又二面角S −AB −C 的大小为90°，即平面SAB ⊥平面ABC ，且平面SAB ∩平面ABC =AB ， ∴OG ⊥平面SAB ，则OC =OA =OB =OS ，故O 为三棱锥S −ABC 的外接球的球心，则外接球的半径R =OC =23√22−12=2√33， 则该三棱锥外接球的表面积为4π×(2√33)2=16π3． 故答案为：16π3．由题意画出图形，可得等边三角形ABC 外接圆的圆心为三棱锥S −ABC 的外接球的其球心，求出外接球的半径，代入球的表面积公式得答案．本题考查多面体外接球表面积的求法，考查空间想象能力与思维能力，考查数形结合思想，是中档题．17.【答案】解：由题意可得：(1)f(x)={−2x 2+32x −105,0≤x ≤1030−x,x >10； (2)由(1)可得：当0≤x ≤10时，f(x)=−2(x −8)2+23．当x =8时，f(x)max =f(8)=23；当x >10时，f(x)=30−x 为减函数，则f(x)<20．∴当x =8时，每台设备每月处理垃圾所获利润最大．最大利润为：w=23×10=230(万元)．【解析】(1)直接由已知结合利润=总收益−总成本可得每台设备每月处理垃圾获得的利润f(x)关于每月垃圾处理量x的函数关系；(2)分段求出函数的最大值，则答案可求．本题考查函数模型的选择及其应用，训练了分段函数最值的求法，是基础题．18.【答案】解：(I)f(x)=√3sin x2cos x2−cos2x2+12，=√32sinx−12cosx，=sin(x−π6)，故函数的最大值为1；(II)由f(A)=sin(A−π6)=12且A为三角形内角，则A=π3，因为a=√3，b=2c，由余弦定理得a2=b2+c2−bc，即3=4c2+c2−2c2，解得c=1．【解析】(I)先结合二倍角公式进行化简，然后结合正弦函数的性质可求；(II)由已知可先求A，然后结合余弦定理可求．本题主要考查了二倍角公式，正弦函数的性质，余弦定理在求解三角形中的应用，属于基础题．19.【答案】解：(1)由频率分布直方图的性质得：(0.020+0.050+0.070+a+a)×5=1，解得a=0.03．∴估算这100位学生学习的平均时长为：3.5×0.020×5+8.5×0.050×5+13.5×0.070×5+18.5×0.030×5+23.5×0.030×5=13.5(小时)．(2)从学习时长落在[6,11)，[21,26]两组内的学生中，按分层抽样方法抽取了8位学生进行跟踪调查，学习时长在[6,11)的学生中抽取：8×0.0500.050+0.030=5位，学习时长在[21,26)的学生中抽取：8×0.0300.050+0.030=3位，从这8位学生中随机抽取2位家访，基本事件总数n =C 82=28，这2位学生来自不同组别包含的基本事件个数m =C 51C 31=15． ∴这2位学生来自不同组别的概率P =m n =1528．【解析】(1)由频率分布直方图的性质列方程能求出a ，由此能估算这100位学生学习的平均时长．(2)从学习时长落在[6,11)，[21,26]两组内的学生中，按分层抽样方法抽取了8位学生进行跟踪调查，在[6,11)的学生中抽取5位，在[21,26)的学生中抽取3位，从这8位学生中随机抽取2位家访，基本事件总数n =C 82=28，这2位学生来自不同组别包含的基本事件个数m =C 51C 31=15.由此能求出这2位学生来自不同组别的概率．本题考查频率、平均数、概率的求法，考查频率分布直方图、分层抽样、古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力、数据分析能力等数学核心素养，是基础题．20.【答案】解：(1)∵AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +A 1B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +B 1C 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2=(AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +A 1B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +B 1C 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )2=AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2+A 1B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2+B 1C 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2+2AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅A 1B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +2AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅B 1C 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +2A 1B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅B 1C 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=22+12+12+2×1×2×cos120°+2×1×2×cos120°+2×1×1×cos90°=2，∴AC 1=|AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√2；(2)∵AC⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2=(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ )2=AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+2AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =12+12+0=2，∴|AC⃗⃗⃗⃗⃗ |=√2， ∵BD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =BB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +B 1A 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +A 1D 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴BD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(BB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +B 1A 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +A 1D 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )2=BB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2+B 1A 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2+A 1D 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2 +2BB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅B 1A 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +2BB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅A 1D 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +2B 1A 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅A 1D 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=22+12+12+2×1×2×cos60°+2×1×2×cos120°+2×1×1×cos90°=6， ∴|BD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√6，∴AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅(BB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +B 1A 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +A 1D 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=−2．∴|cos <AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,BD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >|=|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|BD 1||=√2×√6=√33． ∴直线BD 1与AC 所成角的余弦值为√33．【解析】(1)由AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +A 1B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +B 1C 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，两边平方，代入数量积运算即可求解；(2)分别求出|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |、|BD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |及AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，再由数量积求夹角公式可得直线BD 1与AC 所成角的余弦值．本题考查空间中的点、线、面间的距离计算，考查异面直线所成角的求法，考查空间向量的应用，是中档题．21.【答案】解：(1)直线l 方程可整理为：a(3x −y)+(−x +2y −1)=0，联立{3x −y =0−x +2y −1=0，解得{x =15y =35， ∴直线恒过定点(15,35)；(2)∵(a −2)y =(3a −1)x −1，当a =2时，x =15，满足题意，当a ≠2时，∴y =3a−1a−2x −1a−2，∵直线不经过第二象限，∴{3a−1a−2≥01a−2≤0， 解得a >2．∴实数a 的取值范围是[2,+∞)；(3)由题意可知直线的斜率k =3a−1a−2<0，解得13<a <2， 令y =0可得x =13a−1，令x =0可得y =−1a−2．∴S △=12⋅|13a−1⋅−1a−2|=12|13a 2−7a+2|，对于函数y =3a 2−7a +2其对称轴为a =76，当a =76时，此时函数y 取最小值，且为负数，为−2512所以函数y =|3a 2−7a +2|的范围为(0,2512]，∴S 的面积有最小值，当a =76时取最小值． 此时l 的方程为：5y +15x −6=0．【解析】(1)直线l 方程可整理为：a(3x −y)+(−x +2y −1)=0，由直线系的知识联立方程组，解方程组可得定点；(2)把直线转化为y =3a−1a−2x −1a−2，由直线不经过第二象限，得到x 的系数不小于0，且常数不大于0，由此能求出实数m 的取值范围，(3)由题意可得a 的范围，分别令x =0，y =0可得相应的截距，可表示面积，由二次函数的知识可得结论．本题考查直线方程过定点的证明，考查直线不过第二象限时参数的取值范围的求法涉及函数最值的求解，属中档题．22.【答案】(1)证明：取PB 的中点E ，PA 的中点F ，连接DF ，EF ，EC ，所以EF//AB ，AB =2EF ，又因为AB//CD ，AB =2CD ，则EF//CD ，且EF =CD ，故四边形EFDC 为平行四边形，所以CE//DF ，因为平面PDA ⊥平面ABCD ，平面PAD ∩平面ABCD =AD ，AB ⊥AD ，又因为AB ⊂平面ABCD ，所以AB ⊥平面PAD ，又DF ⊂平面PAD ，所以AB ⊥DF ，因为PD =PA ，F 为PA 的中点，所以DF ⊥AP ，因为CE//DF ，所以CE ⊥AB ，CE ⊥AP ，又AP ∩AB =A ，AB ⊂平面PAB ，所以CE ⊥平面PAB ，又因为CE ⊂平面PBC ，所以平面PBC ⊥平面PAB ．(2)解：取AD 的中点O ，取BC 的中点G ，以点O 为坐标原地，建立如空间直角坐标系图所示，则O(0,0，0)，P(0,0,√3),C(−1,2,0),B(1,4,0),D(−1,0,0)，所以PC⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,2,−√3),PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,4,−√3)，PD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,0,−√3)， 设平面PCB 的法向量为m⃗⃗⃗ =(x,y,z)， 则{m ⃗⃗⃗ ⋅PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0m⃗⃗⃗ ⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，即{−x +2y −√3z =0x +4y −√3z =0， 令z =−√3，则x =1，y =−1，故m ⃗⃗⃗ =(1,−1,−√3)，设平面PCD 的法向量为n⃗ =(a,b,c)， 则{n ⃗ ⋅PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0n ⃗ ⋅PD ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，即{−a +2b −√3c =0−a −√3c =0， 令z =−√3，则x =3，故n ⃗ =(3,0,−√3)，设二面角D −PC −B 的大小为θ，所以|cosθ|=|cos <n ⃗ ,m ⃗⃗⃗ >|=|n ⃗⃗ ⋅m ⃗⃗⃗ ||n ⃗⃗ ||m ⃗⃗⃗ |=√5×√12=√155， 则sinθ=√1−cos 2θ=√105， 故二面角D −PC −B 的正弦值为√105．【解析】(1)取PB 的中点E ，PA 的中点F ，连接DF ，EF ，EC ，先证明四边形EFDC 为平行四边形，可得CE//DF ，由面面垂直的性质定理证明AB ⊥平面PAD ，从而证明AB ⊥DF ，CE ⊥AP ，由线面垂直的判定定理和面面垂直的判定定理证明即可；(2)建立合适的空间直角坐标系，求出所需点的坐标和向量的坐标，然后利用待定系数法求出平面PCB 和平面PCD 的法向量，由向量的夹角公式以及同角三角函数关系式求解即可．本题考查了立体几何的综合应用，涉及了线面垂直的判定定理和面面垂直的判定定理的应用，在求解有关空间角问题的时候，一般会建立合适的空间直角坐标系，将空间角问题转化为空间向量问题进行研究，属于中档题．。