2019-2020学年湖南省长沙市雅礼教育集团高一下学期期末数学试卷 (解析版)

2019-2020学年长沙市雅礼教育集团高一第二学期期末数学试卷一、选择题（共12小题）.

1．等差数列{a n}中，a1+a5＝10，a4＝7，则数列{a n}的公差为（）

A．1B．2C．3D．4

2．如果直线（2a+5）x+（a﹣2）y+4＝0与直线（2﹣a）x+（a+3）y﹣1＝0互相垂直，则a的值为（）

A．2B．﹣2C．2，﹣2D．2，0，﹣2

3．在△ABC中，a＝1，c＝2，∠B＝120°，则b边长为（）

A．3B．4C．5D．

4．《九章算术》第三章“衰分”介绍比例分配问题：“衰分”是按比例递减分配的意思，通常称递减的比例（百分比）为“衰分比”．如：甲、乙、丙、丁衰分得100，60，36，

21.6个单位，递减的比例为40%，今共有粮m（m＞0）石，按甲、乙、丙、丁的顺序进

行“衰分”，已知丙衰分得80石，乙、丁衰分所得的和为164石，则“衰分比”与m 的值分别为（）

A．20% 369B．80% 369C．40% 360D．60% 365

5．如图，一个空间几何体的正视图、侧视图、俯视图为全等的等腰直角三角形，如果直角三角形的直角边长为2，那么这个几何体的体积为（）

A．B．C．D．2

6．已知向量，满足||＝5，||＝6，•＝﹣6，则cos＜，+＞＝（）A．﹣B．﹣C．D．

7．下列命题错误的是（）

A．如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β

B．如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面β

C．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那么l⊥平面γ

D．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β

8．若过点（2，1）的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线2x﹣y﹣3＝0的距离为（）A．B．C．D．

9．在△ABC中，若a＝，b＝1，∠B＝30°，则角A的值为（）A．30°B．60°C．120°D．60°或120°10．数列{a n}中，a1＝2，且a n+a n﹣1＝+2（n≥2），则数列{}前2019项和为（）

A．B．C．D．

11．如图，四面体A﹣BCD中，AB＝AD＝CD＝1，BD＝，BD⊥CD，平面ABD⊥平面BCD，若四面体A﹣BCD顶点在同一个球面上，则该球的体积为（）

A．πB．3πC．πD．2π

12．数列{a n}满足a n+1+（﹣1）n a n＝2n﹣1，则{a n}的前100项和为（）A．3690B．5050C．1845D．1830

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在对应题号后的横线上. 13．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，直线AB1与A1D所成角的大小为．14．设，为单位向量，且，则＝．

15．若数列{a n}的前n项和为S n＝a n+，则数列{a n}的通项公式是a n＝．16．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点P在线段B1C上运动，则下列命题：

①直线BD1⊥平面A1C1D；

②三棱锥P﹣A1C1D的体积为定值；

③异面直线AP与A1D所成角的取值范围是[45°，90°]；

④直线C1P与平面A1C1D所成角的正弦值的最大值为．

其中所有真命题的序号是．

三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥AB，PA⊥BC，AB＝BC，D为线段AC的中点，E 为线段PC上一点．

[Ⅰ）求证：PA⊥BD；

（Ⅱ）求证：平面BDE⊥平面PAC．

18．设数列{a n}满足a1+3a2+…+（2n﹣1）a n＝2n．

（1）求{a n}的通项公式；

（2）求数列{}的前n项和．

19．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且b sin2A＝a sin B．（1）求A；

（2）若a＝2，△ABC的面积为，求△ABC的周长．

20．如图所示，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，PD＝AD ＝2，E、F、G分别为PC、PD、BC的中点．

（Ⅰ）求证：PA∥平面EFG；

（Ⅱ）求三棱锥P﹣EFG的体积．

21．已知点A（﹣2，﹣2），B（﹣2，6），C（4，﹣2），点P在圆E：x2+y2＝4上运动．（1）求过点C且被圆E截得的弦长为的直线方程；

（2）求|PA|2+|PB|2+|PC|2的最值．

22．已知数列{a n}与{b n}满足a n+1﹣a n＝2（b n+1﹣b n），n∈N*．

（1）若b n＝3n+5，且a1＝1，求{a n}的通项公式；

（2）设{a n}的第n0项是最大项，即≥a n（n∈N*），求证：{b n}的第n0项是最大项；

（3）设a1＝3λ＜0，b n＝λn（n∈N*），求λ的取值范围，使得对任意m，n∈N*，a n≠0，且．

参考答案

一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．等差数列{a n}中，a1+a5＝10，a4＝7，则数列{a n}的公差为（）

A．1B．2C．3D．4

【分析】设数列{a n}的公差为d，则由题意可得2a1+4d＝10，a1+3d＝7，由此解得d的值．

解：设数列{a n}的公差为d，则由a1+a5＝10，a4＝7，可得2a1+4d＝10，a1+3d＝7，解得d＝2，

故选：B．

2．如果直线（2a+5）x+（a﹣2）y+4＝0与直线（2﹣a）x+（a+3）y﹣1＝0互相垂直，则a的值为（）

A．2B．﹣2C．2，﹣2D．2，0，﹣2

【分析】根据两直线垂直的充要条件：A1A2+B1B2＝0

解：因为两直线垂直，

所以：（2a+5）（2﹣a）+（a﹣2）（a+3）＝0，

化简得：a2﹣4＝0，

解得：a＝2或a＝﹣2

故选：C．

3．在△ABC中，a＝1，c＝2，∠B＝120°，则b边长为（）

A．3B．4C．5D．

【分析】根据题意和余弦定理直接求出b即可．

解：由题意得，a＝1，c＝2，B＝120°，

在△ABC中，由余弦定理得：b2＝c2+a2﹣2ca cos B＝1+4﹣2×1×2×（﹣）＝7，可得：b＝，

故选：D．

4．《九章算术》第三章“衰分”介绍比例分配问题：“衰分”是按比例递减分配的意思，