高中数学(人教版A版必修一)配套课时作业：第二章 基本初等函数 (Ⅰ) 2.2.1
2020高中数学(人教版A版必修一)配套课时作业：第二章 基本初等函数 (Ⅰ) 2.1习题课 Word版含解析
§2.1 习题课一、选择题1．(1 22-⎡⎤⎢⎥⎣⎦的值为( ) A.2B．－ 2C.22D．－222．化简3a－b3＋a－2b2的结果是( )A．3b－2a B．2a－3b C．b或2a－3b D．b3．若0<x<1，则2x，(12)x,0.2x之间的大小关系是( )A．2x<0.2x<(12)x B．2x<(12)x<0.2xC．(12)x<0.2x<2x D．0.2x<(12)x<2x4．若函数则f(－3)的值为( )A.18 B.12C．2D．85．函数f(x)＝a x－b的图象如图所示，其中a，b均为常数，则下列结论正确的是( )A．a>1，b>0B．a>1，b<0C．0<a<1，b>0D．0<a<1，b<06．函数f(x)＝4x＋12x的图象( )A．关于原点对称B．关于直线y＝x对称C．关于x轴对称D．关于y轴对称二、填空题7．计算：120.064-－(－14)0＋160.75＋120.01-＝___________________________________.8．已知10m＝4,10n＝9，则3210m n-＝________.9．函数y＝1－3x(x∈[－1,2])的值域是________．三、解答题10．比较下列各组中两个数的大小：(1)0.63.5和0.63.7；(2)(2)－1.2和(2)－1.4；(3)1332⎛⎫⎪⎝⎭和2332⎛⎫⎪⎝⎭；(4)π－2和(13)－1.3.11．函数f(x)＝a x(a>0，且a≠1)在区间[1,2]上的最大值比最小值大a2，求a的值．能力提升12．已知f(x)＝aa2－1(a x－a－x)(a>0且a≠1)，讨论f(x)的单调性．13．根据函数y＝|2x－1|的图象，判断当实数m为何值时，方程|2x－1|＝m无解？有一解？有两解？§2.1 习题课作业设计1．C [原式＝122-＝12＝22.] 2．C [原式＝(a －b )＋|a －2b |＝⎩⎨⎧ b ， a ≤2b ，2a －3b ，a >2b .]3．D [当0<x <1时，2x >1，(12)x <1， 对于(12)x ，(0.2)x ，不妨令x ＝12， 则有0.5>0.2.] 4．A [f (－3)＝f (－3＋2)＝f (－1)＝f (－1＋2)＝f (1)＝f (1＋2)＝f (3)＝2－3＝18.]5．D [f(x)＝a x－b的图象是由y＝a x的图象左右平移|b|个单位得到的，由图象可知f(x)在R上是递减函数，所以0<a<1，由y＝a x过点(0,1)得知y＝a x的图象向左平移|b|个单位得f(x)的图象，所以b<0.]6．D [f(－x)＝4－x＋12－x＝1＋4x2x＝f(x)，∴f(x)是偶函数，图象关于y轴对称．]7.48 5＝0.4－1－1＋23＋0.1＝52－1＋8＋110＝485.8.8 39．[－8，2 3 ]解析因为y＝3x是R上的单调增函数，所以当x∈[－1,2]时，3x∈[3－1,32]，即－3x∈[－9，－13]，所以y＝1－3x∈[－8，23]．10．解(1)考查函数y＝0.6x.因为0<0.6<1，所以函数y＝0.6x在实数集R上是单调减函数．又因为3.5<3.7，所以0.63.5>0.63.7.(2)考查函数y＝(2)x.因为2>1，所以函数y＝(2)x在实数集R上是单调增函数．又因为－1.2>－1.4，所以(2)－1.2>(2)－1.4.(3)考查函数y＝(32)x.因为32>1，所以函数y＝(32)x在实数集R上是单调增函数．又因为13<23，所以1332⎛⎫⎪⎝⎭<2332⎛⎫⎪⎝⎭.(4)∵π－2＝(1π)2<1，(13)－1.3＝31.3>1，∴π－2<(13)－1.3.11．解(1)若a>1，则f(x)在[1,2]上递增，∴a2－a＝a 2，即a＝32或a＝0(舍去)．(2)若0<a<1，则f(x)在[1,2]上递减，∴a－a2＝a2，即a＝12或a＝0(舍去)．综上所述，所求a的值为12或32.12．解∵f(x)＝aa2－1(a x－1a x)，∴函数定义域为R，设x1，x2∈(－∞，＋∞)且x1<x2，∴当a>1时，ax1<ax2，aa2－1>0∴f(x1)－f(x2)<0，f(x1)<f(x2)，f(x)为增函数，当0<a<1时，，aa2－1<0∴f(x1)－f(x2)<0，f(x1)<f(x2)，∴f(x)为增函数，综上，f(x)在R上为增函数．13.解函数y＝|2x－1|的图象可由指数函数y＝2x的图象先向下平移一个单位长度，然后再作x轴下方的部分关于x轴的对称图形，如图所示．函数y＝m的图象是与x轴平行的直线，观察两图象的关系可知：当m<0时，两函数图象没有公共点，此时方程|2x－1|＝m无解；当m＝0或m≥1时，两函数图象只有一个公共点，此时方程|2x－1|＝m有一解；当0<m<1时，两函数图象有两个公共点，此时方程|2x－1|＝m有两解．。
高中数学(人教版A版必修一)配套课时作业：第二章 基本初等函数 (Ⅰ)章章末检测B pdf版含解析
是( )
A．f(－4)>f(1)
B．f(－4)＝f(1)
C．f(－4)<f(1)
D．不能确定
二、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分)
13．已知函数 f(x)＝Error!，则 f(2＋log23)的值为______． 3－x
14．函数 f(x)＝loga3＋x(a>0 且 a≠1)，f(2)＝3，则 f(－2)的值为________． 15．函数 y＝ log1 (x2 3x 2) 的单调递增区间为______________．
11 ∴(2)3.1<(1.5)3.1<23.1，故选 D.]
log232 2 7．A [∵log89＝log223＝3log23，
2 ∴原式＝3.] 8．B [∵ab>0，∴a、b 同号．
当 a、b 同小于 0 时①②不成立；
当 ab＝1 时④不成立，故只有③对．] x＋3
9．C [y＝lg 10 ＝lg(x＋3)－1，
∴M∩N＝{x|0≤x<4}．] 2．B [当 x＝0 时，ymin＝30－1＝0， 当 x＝2 时，ymax＝32－1＝8， 故值域为[0,8]．]
9x＋1
3．D [由 f(3x)＝log2 2 ，
3x＋1
1
得 f(x)＝log2 2 ，f(1)＝log2 2＝2.]
4．B [ 21log2 5 ＝2· 2log2 5 ＝2×5＝10.]
即 y＋1＝lg(x＋3)．故选 C.] 10．D [分别作出 y＝2x 与 y＝x2 的图象．
知有一个 x<0 的交点，另外，x＝2，x＝4 时也相交，故选 D.]
11．B [∵f(x)＝2x－4(x≥0)，∴令 f(x)>0，得 x>2.又 f(x)为偶函数且 f(x－2)>
2020高中数学(人教版A版必修一)配套课时作业：第二章 基本初等函数 (Ⅰ) 2.3 Word版含解析
§2.3 幂函数一、选择题1．下列函数中不是幂函数的是( )A．y＝x B．y＝x3C．y＝2x D．y＝x－12．幂函数f(x)的图象过点(4，12)，那么f(8)的值为( )A.24B．64C．22D.1 643．下列是y＝23x的图象的是( )4．图中曲线是幂函数y＝x n在第一象限的图象，已知n取±2，±12四个值，则相应于曲线C1，C2，C3，C4的n依次为( )A．－2，－12，12，2B．2，12，－12，－2C．－12，－2,2，12D．2，12，－2，－125．设a＝2535⎛⎫⎪⎝⎭，b＝3525⎛⎫⎪⎝⎭，c＝2525⎛⎫⎪⎝⎭，则a，b，c的大小关系是( )A．a>c>b B．a>b>cC．c>a>b D．b>c>a6．函数f(x)＝xα，x∈(－1,0)∪(0,1)，若不等式f(x)>|x|成立，则在α∈{－2，－1,0,1,2}的条件下，α可以取值的个数是( )A．0B．2C．3D．4二、填空题7．给出以下结论：①当α＝0时，函数y＝xα的图象是一条直线；②幂函数的图象都经过(0,0)，(1,1)两点；③若幂函数y＝xα的图象关于原点对称，则y＝xα在定义域内y随x的增大而增大；④幂函数的图象不可能在第四象限，但可能在第二象限．则正确结论的序号为________．8．函数y＝12x＋x－1的定义域是____________．9．已知函数y＝x－2m－3的图象过原点，则实数m的取值范围是____________________．三、解答题10．比较1.121、121.4、131.1的大小，并说明理由．11．如图，幂函数y ＝x3m －7(m ∈N )的图象关于y 轴对称，且与x 轴、y 轴均无交点，求此函数的解析式．能力提升12．已知函数f (x )＝(m 2＋2m )·21m m x +-，m 为何值时，函数f (x )是：(1)正比例函数；(2)反比例函数；(3)二次函数；(4)幂函数．13．点(2，2)在幂函数f (x )的图象上，点(－2，14)在幂函数g (x )的图象上，问当x 为何值时，有：(1)f (x )>g (x )；(2)f (x )＝g (x )；(3)f (x )<g (x )．§2.3 幂函数作业设计1．C [根据幂函数的定义：形如y ＝x α的函数称为幂函数，选项C 中自变量x 的系数是2，不符合幂函数的定义，所以C 不是幂函数．]2．A [设幂函数为y＝xα，依题意，12＝4α，即22α＝2－1，∴α＝－1 2 .∴幂函数为y＝12x-，∴f(8)＝128-＝18＝122＝24.]3．B [y＝23x＝3x2，∴x∈R，y≥0，f(－x)＝3－x2＝3x2＝f(x)，即y＝23x是偶函数，又∵23<1，∴图象上凸．]4．B [作直线x＝t(t>1)与各个图象相交，则交点自上而下的排列顺序恰好是按幂指数的降幂排列的．]5．A [根据幂函数与指数函数的单调性直接可以判断出来，y＝25x在x>0时是增函数，所以a>c；y＝(25)x在x>0时是减函数，所以c>b.]6．B [因为x∈(－1,0)∪(0,1)，所以0<|x|<1.要使f(x)＝xα>|x|，xα在(－1,0)∪(0,1)上应大于0，所以α＝－1,1显然是不成立的．当α＝0时，f(x)＝1>|x|；当α＝2时，f(x)＝x2＝|x|2<|x|；当α＝－2时，f(x)＝x－2＝|x|－2>1>|x|.综上，α的可能取值为0或－2，共2个．]7．④解析当α＝0时，函数y＝xα的定义域为{x|x≠0，x∈R}，故①不正确；当α<0时，函数y＝xα的图象不过(0,0)点，故②不正确；幂函数y＝x－1的图象关于原点对称，但其在定义域内不是增函数，故③不正确．④正确．8．(0，＋∞)解析y＝12x的定义域是[0，＋∞)，y＝x－1的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，再取交集．9．m<－3 2解析 由幂函数的性质知－2m －3>0， 故m <－32.10．解 考查函数y ＝1.1x ，∵1.1>1， ∴它在(0，＋∞)上是增函数．又∵12>13，∴121.1>131.1.再考查函数y ＝12x ，∵12>0，∴它在(0，＋∞)上是增函数． 又∵1.4>1.1，∴121.4>121.1， ∴121.4>121.1>131.1.11．解 由题意，得3m －7<0. ∴m <73.∵m ∈N ，∴m ＝0,1或2， ∵幂函数的图象关于y 轴对称， ∴3m －7为偶数． ∵m ＝0时，3m －7＝－7，m ＝1时，3m －7＝－4， m ＝2时，3m －7＝－1.故当m ＝1时，y ＝x －4符合题意．即y ＝x －4. 12．解 (1)若f (x )为正比例函数， 则⎩⎨⎧m 2＋m －1＝1，m 2＋2m ≠0⇒m ＝1.(2)若f (x )为反比例函数， 则⎩⎨⎧m 2＋m －1＝－1，m 2＋2m ≠0⇒m ＝－1.(3)若f (x )为二次函数，则⎩⎨⎧m 2＋m －1＝2，m 2＋2m ≠0⇒m ＝－1±132. (4)若f (x )为幂函数，则m 2＋2m ＝1， ∴m ＝－1± 2.13．解 设f (x )＝x α，则由题意，得 2＝(2)α，∴α＝2，即f (x )＝x 2. 设g (x )＝x β，由题意，得14＝(－2)β，∴β＝－2，即g (x )＝x －2.在同一平面直角坐标系中作出f (x )与g (x )的图象，如图所示． 由图象可知：(1)当x >1或x <－1时，f (x )>g (x )；(2)当x ＝±1时，f (x )＝g (x )； (3)当－1<x <1且x ≠0时，f (x )<g (x )．。
高中数学(人教版A版必修一)配套课时作业：第二章 基本初等函数 (Ⅰ)章章末检测B Word版含解析
章末检测(B)(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1．已知函数f (x )＝lg(4－x )的定义域为M ，函数g (x )＝0.5x －4的值域为N ，则M ∩N 等于( )A ．MB ．NC ．[0,4)D ．[0，＋∞)2．函数y ＝3|x |－1的定义域为[－1,2]，则函数的值域为() A ．[2,8] B ．[0,8]C ．[1,8]D ．[－1,8]3．已知f (3x )＝log 29x ＋12，则f (1)的值为( )A ．1B ．2C ．－1 D.124．21log 52 等于( )A ．7B ．10C ．6 D.925．若100a ＝5,10b ＝2，则2a ＋b 等于( )A ．0B ．1C ．2D ．36．比较13.11.5、23.1、13.12的大小关系是( )A ．23.1<13.12<13.11.5B ．13.11.5<23.1<13.12C ．13.11.5<13.12<23.1D ．13.12<13.11.5<23.17．式子log 89log 23的值为( )A.23 B.32C ．2D ．38．已知ab >0，下面四个等式中：①lg(ab )＝lg a ＋lg b ；②lg a b ＝lg a －lg b ；③12lg(a b )2＝lg a b ；④lg(ab )＝1log ab 10. 其中正确命题的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．39．为了得到函数y ＝lg x ＋310的图象，只需把函数y ＝lg x 的图象上所有的点( )A ．向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度B ．向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度C ．向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度D ．向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度10．函数y ＝2x 与y ＝x 2的图象的交点个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．311．设偶函数f (x )满足f (x )＝2x －4(x ≥0)，则{x |f (x －2)>0}等于( )A ．{x |x <－2或x >4}B ．{x |x <0或x >4}C ．{x |x <0或x >6}D ．{x |x <－2或x >2}12．函数f (x )＝a |x ＋1|(a >0，a ≠1)的值域为[1，＋∞)，则f (－4)与f (1)的关系是( )A ．f (－4)>f (1)B ．f (－4)＝f (1)C ．f (－4)<f (1)D ．不能确定二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ (12)x ， x ≥4f (x ＋1)，x <4，则f (2＋log 23)的值为______．14．函数f (x )＝log a 3－x 3＋x(a >0且a ≠1)，f (2)＝3，则f (－2)的值为________． 15．函数y ＝212log (32)x x -+的单调递增区间为______________．16．设0≤x ≤2，则函数y ＝124x -－3·2x ＋5的最大值是________，最小值是________． 三、解答题(本大题共6小题，共70分)17．(10分)已知指数函数f (x )＝a x (a >0且a ≠1)．(1)求f (x )的反函数g (x )的解析式；(2)解不等式：g (x )≤log a (2－3x )．18．(12分)已知函数f (x )＝2a ·4x －2x －1.(1)当a ＝1时，求函数f (x )在x ∈[－3,0]的值域；(2)若关于x 的方程f (x )＝0有解，求a 的取值范围．19．(12分)已知x>1且x≠43，f(x)＝1＋log x3，g(x)＝2log x2，试比较f(x)与g(x)的大小．20．(12分)设函数f(x)＝log2(4x)·log2(2x)，14≤x≤4，(1)若t＝log2x，求t的取值范围；(2)求f(x)的最值，并写出最值时对应的x的值．21．(12分)已知f(x)＝log a 1＋x1－x(a>0，a≠1)．(1)求f(x)的定义域；(2)判断f(x)的奇偶性并予以证明；(3)求使f(x)>0的x的取值范围．22．(12分)已知定义域为R的函数f(x)＝－2x＋b2x＋1＋2是奇函数．(1)求b的值；(2)判断函数f (x )的单调性；(3)若对任意的t ∈R ，不等式f (t 2－2t )＋f (2t 2－k )<0恒成立，求k 的取值范围．章末检测(B)1．C [由题意，得M ＝{x |x <4}，N ＝{y |y ≥0}，∴M ∩N ＝{x |0≤x <4}．]2．B [当x ＝0时，y min ＝30－1＝0，当x ＝2时，y max ＝32－1＝8，故值域为[0,8]．]3．D [由f (3x )＝log 29x ＋12， 得f (x )＝log 23x ＋12，f (1)＝log 22＝12.]4．B [21log 52 ＝2·2log 52＝2×5＝10.]5．B [由100a ＝5，得2a ＝lg5，由10b ＝2，得b ＝lg2，∴2a ＋b ＝lg5＋lg2＝1.] 6．D [∵13.11.5＝1.5－3.1＝(11.5)3.1，13.12＝2－3.1＝(12)3.1，又幂函数y ＝x 3.1在(0，＋∞)上是增函数，12<11.5<2，∴(12)3.1<(11.5)3.1<23.1，故选D.]7．A [∵log 89＝log 232log 223＝23log 23， ∴原式＝23.]8．B [∵ab >0，∴a 、b 同号．当a 、b 同小于0时①②不成立；当ab ＝1时④不成立，故只有③对．]9．C [y ＝lg x ＋310＝lg(x ＋3)－1，即y ＋1＝lg(x ＋3)．故选C.]10．D [分别作出y ＝2x 与y ＝x 2的图象．知有一个x <0的交点，另外，x ＝2，x ＝4时也相交，故选D.]11．B [∵f (x )＝2x －4(x ≥0)，∴令f (x )>0，得x >2.又f (x )为偶函数且f (x －2)>0，∴f (|x －2|)>0，∴|x －2|>2，解得x >4或x <0.]12．A [由f (x )＝a |x ＋1|(a >0，a ≠1)的值域为[1，＋∞)，可知a >1，而f (－4)＝a |－4＋1|＝a 3，f (1)＝a |1＋1|＝a 2，∵a 3>a 2，∴f (－4)>f (1)．]13.124解析 ∵log 23∈(1,2)，∴3<2＋log 23<4，则f (2＋log 23)＝f (3＋log 23) ＝23log 312+⎛⎫ ⎪⎝⎭＝(12)3·12log 32-＝18×13＝124.14．－3解析 ∵3－x 3＋x>0，∴－3<x <3 ∴f (x )的定义域关于原点对称．∵f (－x )＝log a 3＋x3－x ＝－log a 3－x3＋x ＝－f (x )，∴函数f (x )为奇函数．∴f (－2)＝－f (2)＝－3.15．(－∞，1)解析 函数的定义域为{x |x 2－3x ＋2>0}＝{x |x >2或x <1}，令u ＝x 2－3x ＋2，则y ＝12log u 是减函数，所以u ＝x 2－3x ＋2的减区间为函数y ＝()212log 32x x -+的增区间，由于二次函数u ＝x 2－3x ＋2图象的对称轴为x ＝32，所以(－∞，1)为函数y 的递增区间．16.52 12解析 y ＝124x -－3·2x ＋5＝12(2x )2－3·2x ＋5.令t ＝2x ，x ∈[0,2]，则1≤t ≤4，于是y ＝12t 2－3t ＋5＝12(t －3)2＋12，1≤t ≤4.当t ＝3时，y min ＝12；当t ＝1时，y max ＝12×(1－3)2＋12＝52.17．解 (1)指数函数f (x )＝a x (a >0且a ≠1)，则f (x )的反函数g (x )＝log a x (a >0且a ≠1)．(2)∵g (x )≤log a (2－3x )，∴log a x ≤log a (2－3x )若a >1，则⎩⎨⎧ x >02－3x >0x ≤2－3x ，解得0<x ≤12，若0<a <1，则⎩⎨⎧ x >02－3x >0x ≥2－3x ，解得12≤x <23，综上所述，a >1时，不等式解集为(0，12]；0<a <1时，不等式解集为[12，23)．18．解 (1)当a ＝1时，f (x )＝2·4x －2x －1＝2(2x )2－2x －1，令t ＝2x ，x ∈[－3,0]，则t ∈[18，1]，故y ＝2t 2－t －1＝2(t －14)2－98，t ∈[18，1]，故值域为[－98，0]．(2)关于x 的方程2a (2x )2－2x －1＝0有解，等价于方程2ax 2－x －1＝0在(0，＋∞)上有解．记g (x )＝2ax 2－x －1，当a ＝0时，解为x ＝－1<0，不成立；当a <0时，开口向下，对称轴x ＝14a <0，过点(0，－1)，不成立；当a >0时，开口向上，对称轴x ＝14a >0，过点(0，－1)，必有一个根为正，符合要求．故a 的取值范围为(0，＋∞)．19．解 f (x )－g (x )＝1＋log x 3－2log x 2＝1＋log x 34＝log x 34x ，当1<x <43时，34x <1，∴log x 34x <0；当x >43时，34x >1，∴log x 34x >0.即当1<x <43时，f (x )<g (x )； 当x >43时，f (x )>g (x )．20．解 (1)∵t ＝log 2x ，14≤x ≤4，∴log 214≤t ≤log 24，即－2≤t ≤2.(2)f (x )＝(log 24＋log 2x )(log 22＋log 2x )＝(log 2x )2＋3log 2x ＋2，∴令t ＝log 2x ，则y ＝t 2＋3t ＋2＝(t ＋32)2－14，∴当t ＝－32即log 2x ＝－32，x ＝322-时，f (x )min ＝－14.当t ＝2即x ＝4时，f (x )max ＝12.21．解 (1)由对数函数的定义知1＋x 1－x>0， 故f (x )的定义域为(－1,1)．(2)∵f (－x )＝log a 1－x 1＋x ＝－log a 1＋x 1－x＝－f (x )， ∴f (x )为奇函数．(3)(ⅰ)对a >1，log a 1＋x 1－x >0等价于1＋x 1－x>1，① 而从(1)知1－x >0，故①等价于1＋x >1－x 又等价于x >0. 故对a >1，当x ∈(0,1)时有f (x )>0.(ⅱ)对0<a <1，log a 1＋x 1－x >0等价于0<1＋x 1－x <1，② 而从(1)知1－x >0，故②等价于－1<x <0.故对0<a <1，当x ∈(－1,0)时有f (x )>0.综上，a >1时，x 的取值范围为(0,1)；0<a <1时，x 的取值范围为(－1,0)．22．解 (1)因为f (x )是奇函数，所以f (0)＝0， 即b －12＋2＝0⇒b ＝1.∴f (x )＝1－2x2＋2x ＋1. (2)由(1)知f (x )＝1－2x 2＋2x ＋1＝－12＋12x ＋1， 设x 1<x 2则f (x 1)－f (x 2)＝12112121x x -++＝()()2112222121x x x x -++.因为函数y＝2x在R上是增函数且x1<x2，∴22x－12x>0.又(12x＋1)(22x＋1)>0，∴f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)．∴f(x)在(－∞，＋∞)上为减函数．(3)因为f(x)是奇函数，从而不等式：f(t2－2t)＋f(2t2－k)<0.等价于f(t2－2t)<－f(2t2－k)＝f(k－2t2)，因f(x)为减函数，由上式推得：t2－2t>k－2t2. 即对一切t∈R有：3t2－2t－k>0，从而判别式Δ＝4＋12k<0⇒k<－1 3.。
高一数学必修一配套课时作业：第二章基本初等函数(Ⅰ)2.1.1Word版含解析
4b 3 2 3 ab a3
2x－ xy
13．若 x>0，y>0，且 x－
xy－2y＝ 0，求 y＋2
的值． xy
n 1.
an与 (
n
a)n
的区别
(1) n an是实数 an 的 n 次方根，是一个恒有意义的式子，不受 n 的奇偶性限制，
a∈R，但这个式子的值受 n 的奇偶性限制：当 n 为大于 1 的奇数时， n an＝a；
[2，
7 3)∪
(73，＋
∞
)，∴③不正确；
④中，∵ 100a＝5,10b＝2，
当 n 为大于 1 的偶数时， n an＝|a|.
(2)( n a)n 是实数 a 的 n 次方根的 n 次幂，其中实数 a 的取值由 n 的奇偶性决定：
当 n 为大于 1 的奇数时， ( n a)n＝ a，a∈R；当 n 为大于 1 的偶数时， ( n a)n＝a，
a≥0，由此看只要
n (
a)n 有意义，其值恒等于
11
1
1
(4)a±2 a 2 b 2 ＋b＝( a 2 ±b 2 )2(a>0，b>0)；
1
1
1
1
(5)( a 2 ＋ b 2 )( a2 － b2 )＝a－ b(a>0，b>0)．
第二章 基本初等函数 (Ⅰ)
§2.1 指数函数 2． 1.1 指数与指数幂的运算
知识梳理 1．xn＝ a(n>1，且 n∈ N*) 2.根式 根指数 被开方数
a，即 ( n a)n＝ a.
2．有理指数幂运算的一般思路
化负指数为正指数，化根式为分数指数幂，化小数为分数，灵活运用指数幂的
运算性质．同时要注意运用整体的观点、方程的观点处理问题，或利用已知的
高中数学(人教版A版必修一)配套课时作业：第二章 基本初等函数 (Ⅰ) 2.2.2(二)
2．2.2对数函数及其性质(二)课时目标 1.进一步加深理解对数函数的性质.2.掌握对数函数的性质及其应用．1．函数y＝log a x的图象如图所示，则实数a的可能取值是()A．5B.1 5C.1e D.122．下列各组函数中，表示同一函数的是()A．y＝x2和y＝(x)2B．|y|＝|x|和y3＝x3C．y＝log a x2和y＝2log a xD．y＝x和y＝log a a x3．若函数y＝f(x)的定义域是[2,4]，则y＝f(12log x)的定义域是()A．[12，1] B．[4,16]C．[116，14] D．[2,4]4．函数f(x)＝log2(3x＋1)的值域为()A．(0，＋∞) B．[0，＋∞)C．(1，＋∞) D．[1，＋∞)5．函数f(x)＝log a(x＋b)(a>0且a≠1)的图象经过(－1,0)和(0,1)两点，则f(2)＝________.6．函数y ＝log a (x －2)＋1(a >0且a ≠1)恒过定点____________．一、选择题1．设a ＝log 54，b ＝(log 53)2，c ＝log 45，则( ) A ．a <c <b B ．b <c <a C ．a <b <c D ．b <a <c2．已知函数y ＝f (2x )的定义域为[－1,1]，则函数y ＝f (log 2x )的定义域为( ) A ．[－1,1]B ．[12，2] C ．[1,2]D ．[2，4]3．函数f (x )＝log a |x |(a >0且a ≠1)且f (8)＝3，则有( ) A ．f (2)>f (－2) B ．f (1)>f (2) C ．f (－3)>f (－2) D ．f (－3)>f (－4)4．函数f (x )＝a x ＋log a (x ＋1)在[0,1]上的最大值与最小值之和为a ，则a 的值为( )A.14B.12C ．2D ．4 5．已知函数f (x )＝lg 1－x1＋x，若f (a )＝b ，则f (－a )等于( ) A ．b B ．－b C.1b D ．－1b6．函数y ＝3x (－1≤x <0)的反函数是( ) A ．y ＝13log x (x >0)B ．y ＝log 3x (x >0)C ．y ＝log 3x (13≤x <1) D ．y ＝13log x (13≤x <1)题 号 1 2 3 4 5 6二、填空题7．函数f (x )＝lg(2x －b )，若x ≥1时，f (x )≥0恒成立，则b 应满足的条件是________．8．函数y ＝log a x 当x >2时恒有|y |>1，则a 的取值范围是______________． 9．若log a 2<2，则实数a 的取值范围是______________． 三、解答题10．已知f (x )＝log a (3－ax )在x ∈[0,2]上单调递减，求a 的取值范围．11．已知函数f (x )＝121log 1axx --的图象关于原点对称，其中a 为常数． (1)求a 的值；(2)若当x ∈(1，＋∞)时，f (x )＋12log (1)x -<m 恒成立．求实数m 的取值范围．能力提升12．设函数f(x)＝log a x(a>0，a≠1)，若f(x1x2…x2010)＝8，则f(x21)＋f(x22)＋…＋f(x22010)的值等于()A．4B．8C．16D．2log4813．已知log m4<log n4，比较m与n的大小．1．在对数函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)中，底数a 对其图象的影响无论a 取何值，对数函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)的图象均过点(1,0)，且由定义域的限制，函数图象穿过点(1,0)落在第一、四象限，随着a 的逐渐增大，y ＝log a x (a >1，且a ≠1)的图象绕(1,0)点在第一象限由左向右顺时针排列，且当0<a <1时函数单调递减，当a >1时函数单调递增．2．比较两个(或多个)对数的大小时，一看底数，底数相同的两个对数可直接利用对数函数的单调性来比较大小，对数函数的单调性由“底”的范围决定，若“底”的范围不明确，则需分“底数大于1”和“底数大于0且小于1”两种情况讨论；二看真数，底数不同但真数相同的两个对数可借助于图象，或应用换底公式将其转化为同底的对数来比较大小；三找中间值，底数、真数均不相同的两个对数可选择适当的中间值(如1或0等)来比较．2．2.2 对数函数及其性质(二)双基演练 1．A2．D [y ＝log a a x ＝x log a a ＝x ，即y ＝x ，两函数的定义域、值域都相同．] 3．C [由题意得：2≤12log x ≤4，所以(12)2≥x ≥(12)4，即116≤x ≤14.]4．A [∵3x ＋1>1，∴log 2(3x ＋1)>0.] 5．2解析 由已知得log a (b －1)＝0且log a b ＝1， ∴a ＝b ＝2.从而f (2)＝log 2(2＋2)＝2.6．(3,1)解析 若x －2＝1，则不论a 为何值，只要a >0且a ≠1，都有y ＝1. 作业设计1．D [因为0<log 53<log 54<1,1<log 45， 所以b <a <c .]2．D [∵－1≤x ≤1， ∴2－1≤2x ≤2，即12≤2x ≤2. ∴y ＝f (x )的定义域为[12，2] 即12≤log 2x ≤2，∴2≤x ≤4.]3．C [∵log a 8＝3，解得a ＝2，因为函数f (x )＝log a |x |(a >0且a ≠1)为偶函数，且在(0，＋∞)为增函数，在(－∞，0)上为减函数，由－3<－2，所以f (－3)>f (－2)．]4．B [函数f (x )＝a x ＋log a (x ＋1)，令y 1＝a x ，y 2＝log a (x ＋1)，显然在[0,1]上，y 1＝a x 与y 2＝log a (x ＋1)同增或同减．因而[f (x )]max ＋[f (x )]min ＝f (1)＋f (0)＝a ＋log a 2＋1＋0＝a ，解得a ＝12.] 5．B [f (－x )＝lg1＋x 1－x ＝lg(1－x 1＋x )－1＝－lg 1－x1＋x＝－f (x )，则f (x )为奇函数， 故f (－a )＝－f (a )＝－b .]6．C [由y ＝3x (－1≤x <0)得反函数是y ＝log 3x (13≤x <1)， 故选C.] 7．b ≤1解析 由题意，x ≥1时，2x －b ≥1. 又2x ≥2，∴b ≤1. 8．[12，1)∪(1,2]解析 ∵|y |>1，即y >1或y <－1，∴log a x >1或log a x <－1， 变形为log a x >log a a 或log a x <log a 1a当x ＝2时，令|y |＝1， 则有log a 2＝1或log a 2＝－1， ∴a ＝2或a ＝12. 要使x >2时，|y |>1.如图所示，a 的取值范围为1<a ≤2或12≤a <1. 9．(0,1)∪(2，＋∞)解析 log a 2<2＝log a a 2.若0<a <1，由于y ＝log a x 是减函数，则0<a 2<2，得0<a <2，所以0<a <1；若a >1，由于y ＝log a x 是增函数， 则a 2>2，得a > 2.综上得0<a <1或a > 2.10．解 由a >0可知u ＝3－ax 为减函数，依题意则有a >1. 又u ＝3－ax 在[0,2]上应满足u >0， 故3－2a >0，即a <32.综上可得，a 的取值范围是1<a <32.11．解 (1)∵函数f (x )的图象关于原点对称， ∴函数f (x )为奇函数， ∴f (－x )＝－f (x )， 即12log 1＋ax －x －1＝－12log 1－ax x －1＝12log x －11－ax ， 解得a ＝－1或a ＝1(舍)． (2)f (x )＋12log (x －1)＝12log 1＋xx －1＋12log (x －1)＝log(1＋x)，12当x>1时，log(1＋x)<－1，12∵当x∈(1，＋∞)时，f(x)＋log(x－1)<m恒成立，12∴m≥－1.12．C[∵f(x1x2…x2010)＝log a(x1x2…x2010)＝8，f(x21)＋f(x22)＋…＋f(x22010)＝log a(x21x22…x22010)＝2log a(x1x2…x2010)＝2×8＝16.]13．解数形结合可得0<n<m<1或1<n<m或0<m<1<n.小课堂：如何培养中学生的自主学习能力？自主学习是与传统的接受学习相对应的一种现代化学习方式。
高中数学(人教版A版必修一)配套课时作业：第二章 基本初等函数 (Ⅰ)章末检测A Word版含解析
章末检测(A)(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分) 1．若a<12，则化简4(2a －1)2的结果是( ) A .2a －1 B ．－2a －1 C .1－2aD ．－1－2a2．函数y ＝lg x ＋lg (5－3x)的定义域是( ) A ．[0，53) B ．[0，53] C ．[1，53)D ．[1，53]3．函数y ＝2＋log 2(x 2＋3)(x ≥1)的值域为( ) A ．(2，＋∞) B ．(－∞，2) C ．[4，＋∞)D ．[3，＋∞)4．已知2x ＝72y ＝A ，且1x ＋1y ＝2，则A 的值是( ) A ．7B ．7 2C ．±7 2D ．985．若a>1，则函数y ＝a x 与y ＝(1－a)x 2的图象可能是下列四个选项中的( )6．下列函数中值域是(1，＋∞)的是( ) A ．y ＝(13)|x －1|B ．y ＝34x -C ．y ＝(14)x ＋3(12)x ＋1 D ．y ＝log 3(x 2－2x ＋4)7．若0<a<1，在区间(－1,0)上函数f(x)＝log a (x ＋1)是( ) A ．增函数且f(x)>0 B ．增函数且f(x)<0 C ．减函数且f(x)>0 D ．减函数且f(x)<08．已知函数f(x)＝⎩⎨⎧log 3x ，x>02x ，x ≤0，则f(f(19))等于( )A ．4B .14C ．－4D ．－149．右图为函数y ＝m ＋log n x 的图象，其中m ，n 为常数，则下列结论正确的是( )A ．m<0，n>1B ．m>0，n>1C ．m>0,0<n<1D ．m<0,0<n<110．下列式子中成立的是( ) A ．log 0.44<log 0.46 B ．1.013.4>1.013.5 C ．3.50.3<3.40.3D ．log 76<log 6711．方程log 2x ＋log 2(x －1)＝1的解集为M ，方程22x ＋1－9·2x ＋4＝0的解集为N ，那么M 与N 的关系是( )A ．M ＝NB ．M NC ．MND ．M ∩N ＝∅12．设偶函数f(x)＝log a |x ＋b|在(0，＋∞)上具有单调性，则f(b －2)与f(a ＋1)的大小关系为( )A ．f(b －2)＝f(a ＋1)B ．f(b －2)>f(a ＋1)C ．f(b －2)<f(a ＋1)D ．不能确定二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分) 13.log 34log 98＝________.14．函数f(x)＝a x －1＋3的图象一定过定点P ，则P 点的坐标是________． 15．设log a 34<1，则实数a 的取值范围是________________．16．如果函数y ＝log a x 在区间[2，＋∞)上恒有y>1，那么实数a 的取值范围是________．三、解答题(本大题共6小题，共70分)17．(10分)(1)计算：(－3)0－120＋(－2)－2－1416-； (2)已知a ＝12，b ＝132， 求[23a -()()122123b ab a ----]2的值．18．(12分)(1)设log a 2＝m ，log a 3＝n ，求a 2m ＋n 的值； (2)计算：log 49－log 212＋5lg210-.19．(12分)设函数f(x)＝2x＋a2x－1(a为实数)．(1)当a＝0时，若函数y＝g(x)为奇函数，且在x>0时g(x)＝f(x)，求函数y＝g(x)的解析式；(2)当a<0时，求关于x的方程f(x)＝0在实数集R上的解．20．(12分)已知函数f (x )＝log a x ＋1x －1(a >0且a ≠1)，(1)求f (x )的定义域；(2)判断函数的奇偶性和单调性．21．(12分)已知－3≤12log x ≤－32，求函数f (x )＝log 2x 2·log 2x4的最大值和最小值．22．(12分)已知常数a 、b 满足a >1>b >0，若f (x )＝lg(a x －b x )． (1)求y ＝f (x )的定义域；(2)证明y ＝f (x )在定义域内是增函数；(3)若f (x )恰在(1，＋∞)内取正值，且f (2)＝lg2，求a 、b 的值．章末检测(A)1．C [∵a <12，∴2a －1<0.于是，原式＝4(1－2a )2＝1－2a .]2．C[由函数的解析式得：⎩⎪⎨⎪⎧ lg x ≥0，x >0，5－3x >0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x >0，x <53.所以1≤x <53.]3．C [∵x ≥1，∴x 2＋3≥4， ∴log 2(x 2＋3)≥2，则有y ≥4.]4．B [由2x ＝72y ＝A 得x ＝log 2A ，y ＝12log 7A ， 则1x ＋1y ＝1log 2A ＋2log 7A ＝log A 2＋2log A 7＝log A 98＝2，A 2＝98.又A >0，故A ＝98＝7 2.] 5．C [∵a >1，∴y ＝a x 在R 上是增函数，又1－a <0，所以y ＝(1－a )x 2的图象为开口向下的抛物线．] 6．C [A 选项中，∵|x －1|≥0，∴0<y ≤1； B 选项中，y ＝341x＝14x 3，∴y >0；C 选项中y ＝[(12)x ]2＋3(12)x ＋1，∵(12)x >0，∴y >1； D 选项中y ＝log 3[(x －1)2＋3]≥1.]7．C [当－1<x <0，即0<x ＋1<1，且0<a <1时，有f (x )>0，排除B 、D.设u ＝x ＋1，则u 在(－1,0)上是增函数，且y ＝log a u 在(0，＋∞)上是减函数，故f (x )在(－1,0)上是减函数．]8．B [根据分段函数可得f (19)＝log 319＝－2，则f(f(19))＝f(－2)＝2－2＝14.]9．D[当x＝1时，y＝m，由图形易知m<0，又函数是减函数，所以0<n<1.] 10．D[A选项中由于y＝log0.4x在(0，＋∞)单调递减，所以log0.44>log0.46；B选项中函数y＝1.01x在R上是增函数，所以1.013.4<1.013.5；C选项中由于函数y＝x0.3在(0，＋∞)上单调递增，所以3.50.3>3.40.3；D选项中log76<1，log67>1，故D正确．]11．B[由log2x＋log2(x－1)＝1，得x(x－1)＝2，解得x＝－1(舍)或x＝2，故M＝{2}；由22x＋1－9·2x＋4＝0，得2·(2x)2－9·2x＋4＝0，解得2x＝4或2x＝12，即x＝2或x＝－1，故N＝{2，－1}，因此有M N.]12．C[∵函数f(x)是偶函数，∴b＝0，此时f(x)＝log a|x|.当a>1时，函数f(x)＝log a|x|在(0，＋∞)上是增函数，∴f(a＋1)>f(2)＝f(b－2)；当0<a<1时，函数f(x)＝log a|x|在(0，＋∞)上是减函数，∴f(a＋1)>f(2)＝f(b－2)．综上可知f(b－2)<f(a＋1)．]13.4 3解析原式＝lg4 lg3 lg8lg9＝lg4lg3×lg9lg8＝2lg2×2lg3lg3×3lg2＝43.14．(1,4)解析由于函数y＝a x恒过(0,1)，而y＝a x－1＋3的图象可看作由y＝a x的图象向右平移1个单位，再向上平移3个单位得到的，则P点坐标为(1,4)．15．(0，34)∪(1，＋∞)解析当a>1时，log a 34<0<1，满足条件；当0<a<1时，log a34<1＝log a a，得0<a<3 4.故a>1或0<a<34.16．(1,2)解析当x∈[2，＋∞)时，y>1>0，所以a>1，所以函数y＝log a x在区间[2，＋∞)上是增函数，最小值为log a2，所以log a2>1＝log a a，所以1<a<2.17．解(1)原式＝1－0＋1(－2)2－()1442-＝1＋14－2－1＝1＋14－12＝34.(2)因为a＝12，b＝132，所以原式＝23128114 2233a b a b--+-+⎛⎫=⎪⎝⎭＝8414413333222221 ----⎛⎫⎛⎫===⎪⎪⎝⎭⎝⎭.18．解(1)∵log a2＝m，log a3＝n，∴a m ＝2，a n ＝3.∴a 2m ＋n ＝a 2m ·a n ＝(a m )2·a n ＝22·3＝12. (2)原式＝log 23－(log 23＋log 24)＋2lg 510＝log 23－log 23－2＋25＝－85.19．解 (1)当a ＝0时，f (x )＝2x －1， 由已知g (－x )＝－g (x )，则当x <0时，g (x )＝－g (－x )＝－f (－x )＝－(2－x －1) ＝－(12)x ＋1，由于g (x )为奇函数，故知x ＝0时，g (x )＝0，∴g (x )＝⎩⎨⎧2x －1， x ≥0－(12)x＋1，x <0.(2)f (x )＝0，即2x ＋a2x －1＝0，整理， 得：(2x )2－2x ＋a ＝0， 所以2x＝1±1－4a2，又a <0，所以1－4a >1，所以2x＝1＋1－4a2， 从而x ＝log 21＋1－4a2. 20．解 (1)要使此函数有意义，则有⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋1>0x －1>0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1<0x －1<0，解得x >1或x <－1，此函数的定义域为 (－∞，－1)∪(1，＋∞)，关于原点对称．(2)f (－x )＝log a－x ＋1－x －1＝log a x －1x ＋1 ＝－log a x ＋1x －1＝－f (x )． ∴f (x )为奇函数．f (x )＝log a x ＋1x －1＝log a (1＋2x －1)， 函数u ＝1＋2x －1在区间(－∞，－1)和区间(1，＋∞)上单调递减． 所以当a >1时，f (x )＝log a x ＋1x －1在(－∞，－1)，(1，＋∞)上递减； 当0<a <1时，f (x )＝log a x ＋1x －1在(－∞，－1)，(1，＋∞)上递增．21．解 ∵f (x )＝log 2x 2·log 2x 4＝(log 2x －1)(log 2x －2)＝(log 2x )2－3log 2x ＋2＝(log 2x －32)2－14，∵－3≤12log x ≤－32.∴32≤log 2x ≤3.∴当log 2x ＝32，即x ＝22时，f (x )有最小值－14；当log 2x ＝3，即x ＝8时，f (x )有最大值2.22．(1)解 ∵a x －b x >0，∴a x >b x，∴(a b )x >1.∵a >1>b >0，∴a b >1.∴y ＝(a b )x 在R 上递增．∵(a b )x >(a b )0，∴x >0.∴f (x )的定义域为(0，＋∞)．(2)证明 设x 1>x 2>0，∵a >1>b >0， ∴1x a >2x a >1,0<1x b <2x b <1.∴－1x b >－2x b >－1.∴1x a －1x b >2x a －2x b >0. 又∵y ＝lg x 在(0，＋∞)上是增函数， ∴lg(1x a －1x b )>lg(2x a －2x b )，即f (x 1)>f (x 2)． ∴f (x )在定义域内是增函数．(3)解 由(2)得，f (x )在定义域内为增函数， 又恰在(1，＋∞)内取正值，∴f (1)＝0.又f (2)＝lg2，∴⎩⎪⎨⎪⎧ lg (a －b )＝0，lg (a 2－b 2)＝lg2.∴⎩⎪⎨⎪⎧ a －b ＝1，a 2－b 2＝2.解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝32，b ＝12.。
高中数学(人教版A版必修一)配套课时作业：第二章 基本初等函数 (Ⅰ) 2.1.1 Word版含解析
第二章基本初等函数(Ⅰ)§2.1指数函数2．1.1指数与指数幂的运算课时目标 1.了解指数函数模型的实际背景，体会引入有理数指数幂的必要性.2.理解有理数指数幂的含义，知道实数指数幂的意义，掌握幂的运算．1．如果____________________，那么x叫做a的n次方根．2．式子na叫做________，这里n叫做__________，a叫做____________．3．(1)n∈N*时，(na)n＝____.(2)n为正奇数时，na n＝____；n为正偶数时，na n＝______.4．分数指数幂的定义：(1)规定正数的正分数指数幂的意义是：mna＝__________(a>0，m、n∈N*，且n>1)；(2)规定正数的负分数指数幂的意义是：mna ＝_______________(a>0，m、n∈N*，且n>1)；(3)0的正分数指数幂等于____，0的负分数指数幂________________．5．有理数指数幂的运算性质：(1)a r a s＝______(a>0，r、s∈Q)；(2)(a r)s＝______(a>0，r、s∈Q)；(3)(ab)r＝______(a>0，b>0，r∈Q)．一、选择题1．下列说法中：①16的4次方根是2；②416的运算结果是±2；③当n为大于1的奇数时，na对任意a∈R都有意义；④当n为大于1的偶数时，na只有当a≥0时才有意义．其中正确的是() A．①③④B．②③④C．②③D．③④2．若2<a<3，化简(2－a)2＋4(3－a)4的结果是()A．5－2a B．2a－5 C．1D．－13．在(－12)－1、122-、1212-⎛⎫⎪⎝⎭、2－1中，最大的是()A．(－12)－1B．122-C．1212-⎛⎫⎪⎝⎭D．2－14．化简3a a的结果是()A．a B．1 2 aC．a2D．1 3 a5．下列各式成立的是()A.3m2＋n2＝()23m n+B．(ba)2＝12a12bC.6(－3)2＝()133- D.34＝1326．下列结论中，正确的个数是() ①当a<0时，()322a＝a3；②na n＝|a|(n>0)；③函数y＝()122x-－(3x－7)0的定义域是(2，＋∞)；④若100a ＝5,10b ＝2，则2a ＋b ＝1. A ．0B ．1 C ．2D ．3二、填空题 7.614－3338＋30.125的值为________．8．若a >0，且a x＝3，a y＝5，则22y x a+＝________.9．若x >0，则(214x ＋323)(214x －323)－412x -·(x －12x )＝________. 三、解答题 10．(1)化简：3xy 2·xy －1·xy ·(xy )－1(xy ≠0)；(2)计算：122-＋(－4)02＋12－1－(1－5)0·238-.11．设－3<x <3，求x 2－2x ＋1－x 2＋6x ＋9的值．能力提升 12．化简：4133223384a a b b a-+÷(1－23b a )×3a .13．若x >0，y >0，且x －xy －2y ＝0，求2x －xyy ＋2xy 的值．第二章 基本初等函数(Ⅰ)§2.1 指数函数2．1.1 指数与指数幂的运算知识梳理1．x n ＝a(n>1，且n ∈N *) 2.根式 根指数 被开方数 3．(1)a (2)a |a | 4.(1)na m (2)1a m n (3)0 没有意义5．(1)a r ＋s (2)a rs (3)a r b r 作业设计1．D [①错，∵(±2)4＝16， ∴16的4次方根是±2； ②错，416＝2，而±416＝±2.] 2．C [原式＝|2－a |＋|3－a |， ∵2<a <3，∴原式＝a －2＋3－a ＝1.]3．C [∵(－12)－1＝－2,122-＝22，1212-⎛⎫ ⎪⎝⎭＝2，2－1＝12，∵2>22>12>－2，∴1212-⎛⎫ ⎪⎝⎭>122->2－1>(－12)－1.] 4．B [12a =.]5．D [被开方数是和的形式，运算错误，A 选项错；(b a )2＝b 2a 2，B 选项错；6(－3)2>0，()133-<0，C 选项错．故选D.]6．B [①中，当a <0时，()()3312222a a ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦＝(－a )3＝－a 3，∴①不正确；②中，若a ＝－2，n ＝3，则3(－2)3＝－2≠|－2|，∴②不正确； ③中，有⎩⎨⎧x －2≥0，3x －7≠0，即x ≥2且x ≠73，故定义域为[2，73)∪(73，＋∞)，∴③不正确； ④中，∵100a ＝5,10b ＝2，∴102a ＝5,10b ＝2,102a ×10b ＝10，即102a ＋b ＝10.∴2a ＋b ＝1.④正确．] 7.32解析 原式＝(52)2－3(32)3＋3(12)3＝52－32＋12＝32. 8．9 5 解析 22y x a+＝(a x )2·()12y a＝32·125＝9 5. 9．－23解析 原式＝412x －33－412x ＋4＝－23.10．解 (1)原式＝()()11132122xy xyxy -⎡⎤⎢⎥⎣⎦·(xy )－1＝13x ·2111136622y x yxy---＝13x ·13x-＝⎩⎨⎧1， x >0－1，x <0. (2)原式＝12＋12＋2＋1－22 ＝22－3.11．解 原式＝(x －1)2－(x ＋3)2＝|x －1|－|x ＋3|，∵－3<x <3，∴当－3<x <1时， 原式＝－(x －1)－(x ＋3)＝－2x －2； 当1≤x <3时，原式＝(x －1)－(x ＋3)＝－4. ∴原式＝⎩⎨⎧－2x －2 (－3<x <1)－4(1≤x <3).12．解 原式＝()111333212133338242aa b a b b a aa--÷++×13a13．解 ∵x －xy －2y ＝0，x >0，y >0， ∴(x )2－xy －2(y )2＝0， ∴(x ＋y )(x －2y )＝0， 由x >0，y >0得x ＋y >0， ∴x －2y ＝0，∴x ＝4y ， ∴2x －xy y ＋2xy ＝8y －2y y ＋4y ＝65.。
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§2.1习题课课时目标 1.提高学生对指数与指数幂的运算能力.2.进一步加深对指数函数及其性质的理解.3.提高对指数函数及其性质的应用能力．1．下列函数中，指数函数的个数是()①y＝2·3x；②y＝3x＋1；③y＝3x；④y＝x3.A．0B．1C．2D．32．设f(x)为定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝2x＋2x＋b(b为常数)，则f(－1)等于()A．－3B．－1C．1D．33．对于每一个实数x，f(x)是y＝2x与y＝－x＋1这两个函数中的较小者，则f(x)的最大值是()A．1B．0C．－1D．无最大值4．将22化成指数式为________．5．已知a＝40.2，b＝80.1，c＝(12)－0.5，则a，b，c的大小顺序为______________．6．已知12x＋12x ＝3，求x＋1x的值．一、选择题1．(122-⎡⎤⎢⎥⎣⎦的值为( )A.2B ．－ 2 C.22D ．－222．化简3(a －b )3＋(a －2b )2的结果是( ) A ．3b －2a B ．2a －3b C ．b 或2a －3b D ．b3．若0<x <1，则2x ，(12)x,0.2x 之间的大小关系是( ) A ．2x <0.2x <(12)x B ．2x <(12)x <0.2x C ．(12)x <0.2x <2x D ．0.2x <(12)x <2x 4．若函数则f (－3)的值为( )A.18B.12 C ．2D ．85．函数f (x )＝a x －b 的图象如图所示，其中a ，b 均为常数，则下列结论正确的是( )A ．a >1，b >0B ．a >1，b <0C ．0<a <1，b >0D ．0<a <1，b <06．函数f (x )＝4x ＋12x 的图象( ) A ．关于原点对称 B ．关于直线y ＝x 对称C．关于x轴对称D．关于y轴对称二、填空题7．计算：120.064-－(－14)0＋160.75＋120.01-＝___________________________________.8．已知10m＝4,10n＝9，则3210m n-＝________.9．函数y＝1－3x(x∈[－1,2])的值域是________．三、解答题10．比较下列各组中两个数的大小：(1)0.63.5和0.63.7；(2)(2)－1.2和(2)－1.4；(3)1332⎛⎫⎪⎝⎭和2332⎛⎫⎪⎝⎭；(4)π－2和(13)－1.3.11．函数f(x)＝a x(a>0，且a≠1)在区间[1,2]上的最大值比最小值大a2，求a的值．能力提升12．已知f(x)＝aa2－1(a x－a－x)(a>0且a≠1)，讨论f(x)的单调性．13．根据函数y＝|2x－1|的图象，判断当实数m为何值时，方程|2x－1|＝m无解？有一解？有两解？§2.1习题课双基演练1．B[只有③中y＝3x是指数函数．]2．A[因f(x)为定义在R上的奇函数，所以f(0)＝0，即1＋b＝0，b＝－1.所以f(－1)＝－f(1)＝－(2＋2－1)＝－3.]3．A[当x≤0时，f(x)＝2x；当x>0时，f(x)＝－x＋1.显然，其最大值是1.]4．23 4解析5．b<a<c解析a＝20.4，b＝20.3，c＝20.5.又指数函数y＝2x在R上是增函数，∴b<a<c.则x＋x－1＝7，即x＋1x＝7.作业设计1．C [原式＝122-＝12＝22.] 2．C [原式＝(a －b )＋|a －2b |＝⎩⎨⎧b ， a ≤2b ，2a －3b ，a >2b .]3．D [当0<x <1时，2x >1，(12)x <1， 对于(12)x ，(0.2)x ，不妨令x ＝12， 则有0.5>0.2.]4．A [f (－3)＝f (－3＋2)＝f (－1)＝f (－1＋2)＝f (1)＝f (1＋2)＝f (3)＝2－3＝18.] 5．D [f (x )＝a x －b 的图象是由y ＝a x 的图象左右平移|b |个单位得到的，由图象可知f (x )在R 上是递减函数，所以0<a <1，由y ＝a x 过点(0,1)得知y ＝a x 的图象向左平移|b |个单位得f (x )的图象，所以b <0.] 6．D [f (－x )＝4－x ＋12－x ＝1＋4x2x ＝f (x )，∴f (x )是偶函数，图象关于y 轴对称．] 7.485＝0.4－1－1＋23＋0.1＝52－1＋8＋110＝485. 8.839．[－8，23]解析 因为y ＝3x 是R 上的单调增函数，所以当x ∈[－1,2]时，3x ∈[3－1,32]，即－3x ∈[－9，－13]，所以y ＝1－3x ∈[－8，23]．10．解 (1)考查函数y ＝0.6x .因为0<0.6<1，所以函数y ＝0.6x 在实数集R 上是单调减函数．又因为3.5<3.7，所以0.63.5>0.63.7.(2)考查函数y ＝(2)x .因为2>1，所以函数y ＝(2)x 在实数集R 上是单调增函数．又因为－1.2>－1.4，所以(2)－1.2>(2)－1.4.(3)考查函数y ＝(32)x .因为32>1，所以函数y ＝(32)x在实数集R 上是单调增函数．又因为13<23，所以1332⎛⎫ ⎪⎝⎭<2332⎛⎫ ⎪⎝⎭.(4)∵π－2＝(1π)2<1，(13)－1.3＝31.3>1， ∴π－2<(13)－1.3.11．解 (1)若a >1，则f (x )在[1,2]上递增， ∴a 2－a ＝a2，即a ＝32或a ＝0(舍去)．(2)若0<a <1，则f (x )在[1,2]上递减， ∴a －a 2＝a 2，即a ＝12或a ＝0(舍去)．综上所述，所求a 的值为12或32. 12．解 ∵f (x )＝a a 2－1(a x －1a x )， ∴函数定义域为R ，设x 1，x 2∈(－∞，＋∞)且x 1<x 2，∴当a>1时，ax1<ax2，aa2－1>0∴f(x1)－f(x2)<0，f(x1)<f(x2)，f(x)为增函数，当0<a<1时，，aa2－1<0∴f(x1)－f(x2)<0，f(x1)<f(x2)，∴f(x)为增函数，综上，f(x)在R上为增函数．13.解函数y＝|2x－1|的图象可由指数函数y＝2x的图象先向下平移一个单位长度，然后再作x轴下方的部分关于x轴的对称图形，如图所示．函数y＝m的图象是与x轴平行的直线，观察两图象的关系可知：当m<0时，两函数图象没有公共点，此时方程|2x－1|＝m无解；当m＝0或m≥1时，两函数图象只有一个公共点，此时方程|2x－1|＝m有一解；当0<m<1时，两函数图象有两个公共点，此时方程|2x－1|＝m有两解．。
高中数学(人教版A版必修一)配套课时作业：第二章 基本初等函数 (Ⅰ) 2.1.2(二)
2．1.2 指数函数及其性质(二) 课时目标 1.理解指数函数的单调性与底数a 的关系，能运用指数函数的单调性解决一些问题.2.理解指数函数的底数a 对函数图象的影响．1．下列一定是指数函数的是( )A ．y ＝－3xB ．y ＝x x (x >0，且x ≠1)C ．y ＝(a －2)x (a >3)D ．y ＝(1－2)x2．指数函数y ＝a x 与y ＝b x 的图象如图，则( )A ．a <0，b <0B ．a <0，b >0C ．0<a <1，b >1D ．0<a <1,0<b <13．函数y ＝πx 的值域是( )A ．(0，＋∞)B ．[0，＋∞)C ．RD ．(－∞，0)4．若(12)2a ＋1<(12)3－2a ，则实数a 的取值范围是( )A ．(1，＋∞)B ．(12，＋∞)C ．(－∞，1)D ．(－∞，12) 5．设13<(13)b <(13)a <1，则( )A ．a a <a b <b aB ．a a <b a <a bC ．a b <a a <b aD ．a b <b a <a a6．若指数函数f (x )＝(a ＋1)x 是R 上的减函数，那么a 的取值范围为( )A ．a <2B ．a >2C ．－1<a <0D ．0<a <1一、选择题1．设P ＝{y |y ＝x 2，x ∈R }，Q ＝{y |y ＝2x ，x ∈R }，则( )A ．Q PB ．Q PC ．P ∩Q ＝{2,4}D ．P ∩Q ＝{(2,4)}2．函数y ＝16－4x 的值域是( )A ．[0，＋∞)B ．[0,4]C ．[0,4)D ．(0,4)3．函数y ＝a x 在[0,1]上的最大值与最小值的和为3，则函数y ＝2ax －1在[0,1]上的最大值是( )A ．6B ．1C ．3D.324．若函数f (x )＝3x ＋3－x 与g (x )＝3x －3－x 的定义域均为R ，则( )A ．f (x )与g (x )均为偶函数B ．f (x )为偶函数，g (x )为奇函数C ．f (x )与g (x )均为奇函数D ．f (x )为奇函数，g (x )为偶函数5．函数y ＝f (x )的图象与函数g (x )＝e x ＋2的图象关于原点对称，则f (x )的表达式为( )A ．f (x )＝－e x －2B ．f (x )＝－e －x ＋2C ．f (x )＝－e －x －2D ．f (x )＝e －x ＋26．已知a ＝1335-⎛⎫ ⎪⎝⎭，b ＝1235-⎛⎫ ⎪⎝⎭，c ＝1243-⎛⎫ ⎪⎝⎭，则a ，b ，c 三个数的大小关系是( ) A ．c <a <b B ．c <b <aC ．a <b <cD ．b <a <c 题 号 1 2 3 4 5 6答 案二、填空题7．春天来了，某池塘中的荷花枝繁叶茂，已知每一天新长出荷叶覆盖水面面积是前一天的2倍，若荷叶20天可以完全长满池塘水面，当荷叶刚好覆盖水面面积一半时，荷叶已生长了________天．8．已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x >0时，f (x )＝1－2－x ，则不等式f (x )<－12的解集是________________．9．函数y ＝2212x x -+⎛⎫ ⎪⎝⎭的单调递增区间是________．三、解答题 10．(1)设f (x )＝2u ，u ＝g (x )，g (x )是R 上的单调增函数，试判断f (x )的单调性；(2)求函数y ＝2212xx --的单调区间．11．函数f (x )＝4x －2x ＋1＋3的定义域为[－12，12]．(1)设t ＝2x ，求t 的取值范围；(2)求函数f (x )的值域．能力提升12．函数y＝2x－x2的图象大致是()13．已知函数f(x)＝2x－1 2x＋1.(1)求f[f(0)＋4]的值；(2)求证：f (x )在R 上是增函数；(3)解不等式：0<f (x －2)<1517.1．比较两个指数式值的大小主要有以下方法：(1)比较形如a m与a n的大小，可运用指数函数y＝a x的单调性．(2)比较形如a m与b n的大小，一般找一个“中间值c”，若a m<c且c<b n，则a m<b n；若a m>c且c>b n，则a m>b n.2．了解由y＝f(u)及u＝φ(x)的单调性探求y＝f[φ(x)]的单调性的一般方法．2．1.2指数函数及其性质(二)知识梳理1．C 2.C 3.A4．B[∵函数y＝(12)x在R上为减函数，∴2a＋1>3－2a，∴a>1 2.]5．C[由已知条件得0<a<b<1，∴a b<a a，a a<b a，∴a b<a a<b a.]6．C作业设计1．B[因为P＝{y|y≥0}，Q＝{y|y>0}，所以Q P.]2．C[∵4x>0，∴0≤16－4x<16，∴16－4x∈[0,4)．]3．C[函数y＝a x在[0,1]上是单调的，最大值与最小值都在端点处取到，故有a0＋a1＝3，解得a＝2，因此函数y＝2ax－1＝4x－1在[0,1]上是单调递增函数，当x＝1时，y max＝3.]4．B[∵f(－x)＝3－x＋3x＝f(x)，g (－x )＝3－x －3x ＝－g (x )．]5．C [∵y ＝f (x )的图象与g (x )＝e x ＋2的图象关于原点对称，∴f (x )＝－g (－x )＝－(e －x ＋2)＝－e －x －2.]6．A [∵y ＝(35)x 是减函数，－13>－12，∴b >a >1.又0<c <1，∴c <a <b .]7．19解析 假设第一天荷叶覆盖水面面积为1，则荷叶覆盖水面面积y 与生长时间的函数关系为y ＝2x －1，当x ＝20时，长满水面，所以生长19天时，荷叶布满水面一半．8．(－∞，－1)解析 ∵f (x )是定义在R 上的奇函数，∴f (0)＝0.当x <0时，f (x )＝－f (－x )＝－(1－2x )＝2x －1.当x >0时，由1－2－x <－12，(12)x >32，得x ∈∅；当x ＝0时，f (0)＝0<－12不成立； 当x <0时，由2x －1<－12，2x <2－1，得x <－1.综上可知x ∈(－∞，－1)．9．[1，＋∞)解析 利用复合函数同增异减的判断方法去判断．令u ＝－x 2＋2x ，则y ＝(12)u 在u ∈R 上为减函数，问题转化为求u ＝－x 2＋2x 的单调递减区间，即为x ∈[1，＋∞)．10．解 (1)设x 1<x 2，则g (x 1)<g (x 2)．又由y ＝2u 的增减性得，即f (x 1)<f (x 2)，所以f (x )为R 上的增函数．(2)令u ＝x 2－2x －1＝(x －1)2－2，则u 在区间[1，＋∞)上为增函数．根据(1)可知y ＝在[1，＋∞)上为增函数．同理可得函数y 在(－∞，1]上为单调减函数．即函数y 的增区间为[1，＋∞)，减区间为(－∞，1]．11．解 (1)∵t ＝2x 在x ∈[－12，12]上单调递增， ∴t ∈[22，2]．(2)函数可化为：f (x )＝g (t )＝t 2－2t ＋3，g (t )在[22，1]上递减，在[1，2]上递增，比较得g (22)<g (2)．∴f (x )min ＝g (1)＝2，f (x )max ＝g (2)＝5－2 2.∴函数的值域为[2,5－22]．12．A [当x →－∞时，2x →0，所以y ＝2x －x 2→－∞，所以排除C 、D.当x ＝3时，y ＝－1，所以排除B.故选A.]13．(1)解 ∵f (0)＝20－120＋1＝0， ∴f [f (0)＋4]＝f (0＋4)＝f (4)＝24－124＋1＝1517. (2)证明 设x 1，x 2∈R 且x 1<x 2，则22x >12x >0,22x －12x >0，即f (x 1)<f (x 2)，所以f (x )在R 上是增函数．(3)解 由0<f (x －2)<1517得f (0)<f (x －2)<f (4)，又f (x )在R 上是增函数，∴0<x －2<4，即2<x <6，所以不等式的解集是{x |2<x <6}．小课堂：如何培养中学生的自主学习能力？自主学习是与传统的接受学习相对应的一种现代化学习方式。
高中数学(人教版A版必修一)配套课时作业：第二章 基本初等函数 (Ⅰ) 2.2习题课 Word版含解析
§2.2习题课课时目标 1.巩固对数的概念及对数的运算.2.提高对对数函数及其性质的综合应用能力．1．已知m＝0.95.1，n＝5.10.9，p＝log0.95.1，则这三个数的大小关系是() A．m<n<p B．m<p<nC．p<m<n D．p<n<m2．已知0<a<1，log a m<log a n<0，则()A．1<n<m B．1<m<nC．m<n<1 D．n<m<13．函数y＝x－1＋1lg(2－x)的定义域是()A．(1,2) B．[1,4] C．[1,2) D．(1,2]4．给定函数①y＝12x，②y＝()12log1x+，③y＝|x－1|，④y＝2x＋1，其中在区间(0,1)上单调递减的函数序号是()A．①②B．②③C．③④D．①④5．设函数f(x)＝log a|x|，则f(a＋1)与f(2)的大小关系是________________________．6．若log32＝a，则log38－2log36＝________.一、选择题1．下列不等号连接错误的一组是()A．log0.52.7>log0.52.8 B．log34>log65C ．log 34>log 56D ．log πe>log e π2．若log 37·log 29·log 49m ＝log 412，则m 等于( )A.14B.22C.2D ．43．设函数若f (3)＝2，f (－2)＝0，则b 等于( )A ．0B ．－1C ．1D ．24．若函数f (x )＝log a (2x 2＋x )(a >0，a ≠1)在区间(0，12)内恒有f (x )>0，则f (x )的单调递增区间为( )A ．(－∞，－14)B ．(－14，＋∞)C ．(0，＋∞)D ．(－∞，－12) 5．若函数若f (a )>f (－a )，则实数a 的取值范围是( )A ．(－1,0)∪(0,1)B ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)C ．(－1,0)∪(1，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(0,1) 6．已知f (x )是定义在R 上的奇函数，f (x )在(0，＋∞)上是增函数，且f (13)＝0，则不等式f (log 18x )<0的解集为( )A ．(0，12)B ．(12，＋∞)C ．(12，1)∪(2，＋∞)D ．(0，12)∪(2，＋∞)二、填空题7．已知log a(ab)＝1p，则log abab＝________.8．若log236＝a，log210＝b，则log215＝________.9．设函数若f(a)＝18，则f(a＋6)＝________.三、解答题10．已知集合A＝{x|x<－2或x>3}，B＝{x|log4(x＋a)<1}，若A∩B＝∅，求实数a的取值范围．11．抽气机每次抽出容器内空气的60%，要使容器内的空气少于原来的0.1%，则至少要抽几次？(lg2≈0.3010)能力提升12．设a>0，a≠1，函数f(x)＝log a(x2－2x＋3)有最小值，求不等式log a(x－1)>0的解集．13．已知函数f(x)＝log a(1＋x)，其中a>1.(1)比较12[f(0)＋f(1)]与f(12)的大小；(2)探索12[f(x1－1)＋f(x2－1)]≤f(x1＋x22－1)对任意x1>0，x2>0恒成立．1．比较同真数的两个对数值的大小，常有两种方法：(1)利用对数换底公式化为同底的对数，再利用对数函数的单调性和倒数关系比较大小；(2)利用对数函数图象的相互位置关系比较大小．2．指数函数与对数函数的区别与联系指数函数y＝a x(a>0，且a≠1)与对数函数y＝log a x(a>0，且a≠1)是两类不同的函数．二者的自变量不同．前者以指数为自变量，而后者以真数为自变量；但是，二者也有一定的联系，y＝a x(a>0，且a≠1)和y＝log a x(a>0，且a≠1)互为反函数．前者的定义域、值域分别是后者的值域、定义域．二者的图象关于直线y＝x对称．§2.2习题课双基演练1．C [0<m <1，n >1，p <0，故p <m <n .]2．A [∵0<a <1，∴y ＝log a x 是减函数．由log a m <log a n <0＝log a 1，得m >n >1.]3．A [由题意得：⎩⎨⎧ x －1≥0，2－x >0，lg (2－x )≠0，解得：1<x <2.]4．B [①y ＝x 在(0,1)上为单调递增函数，∴①不符合题意，排除A ，D.④y ＝2x ＋1在(0,1)上也是单调递增函数，排除C ，故选B.]5．f (a ＋1)>f (2)解析 当a >1时，f (x )在(0，＋∞)上递增，又∵a ＋1>2，∴f (a ＋1)>f (2)；当0<a <1时，f (x )在(0，＋∞)上递减；又∵a ＋1<2，∴f (a ＋1)>f (2)．综上可知，f (a ＋1)>f (2)．6．a －2解析 log 38－2log 36＝log 323－2(1＋log 32)＝3a －2－2a ＝a －2.作业设计1．D [对A ，根据y ＝log 0.5x 为单调减函数易知正确．对B ，由log 34>log 33＝1＝log 55>log 65可知正确．对C ，由log 34＝1＋log 343>1＋log 365>1＋log 565＝log 56可知正确．对D ，由π>e>1可知，log e π>1>log πe 错误．]2．B [左边＝lg7lg3·2lg3lg2·lg m 2lg7＝lg m lg2，右边＝－lg22lg2＝－12，∴lg m ＝lg2－12＝lg 22，∴m ＝22.]3．A [∵f (3)＝2，∴log a (3＋1)＝2，解得a ＝2，又f (－2)＝0，∴4－4＋b ＝0，b ＝0.]4．D [令y ＝2x 2＋x ，其图象的对称轴x ＝－14<0， 所以(0，12)为y 的增区间，所以0<y <1，又因f (x )在区间(0，12)内恒有f (x )>0，所以0<a <1.f (x )的定义域为2x 2＋x >0的解集，即{x |x >0或x <－12}， 由x ＝－14>－12得，(－∞，－12)为y ＝2x 2＋x 的递减区间，又由0<a <1，所以f (x )的递增区间为(－∞，－12)．]5．C [①若a >0，则f (a )＝log 2a ，f (－a )＝12log a ，∴log 2a >12log a ＝log 21a∴a >1a ，∴a >1.②若a <0，则f (a )＝12log (－a )，f (－a )＝log 2(－a )，∴12log (－a )>log 2(－a )＝12log (－1a )，∴－a <－1a ，∴－1<a <0，由①②可知，－1<a <0或a >1.]6．C [∵f (x )在(0，＋∞)上是增函数，且f (13)＝0，在(0，＋∞)上f (18log x )<0⇒f (18log x )<f (13)⇒0<18log x <13⇒18log 1<18log x <18log 1318⎛⎫ ⎪⎝⎭⇒12<x <1；同理可求f (x )在(－∞，0)上是增函数，且f (－13)＝0，得x >2.综上所述，x ∈(12，1)∪(2，＋∞)．]7．2p －1解析 ∵log ab a ＝p ，log ab b ＝log ab ab a ＝1－p ，∴log ab a b ＝log ab a －log ab b＝p －(1－p )＝2p －1.8.12a ＋b －2解析 因为log 236＝a ，log 210＝b ，所以2＋2log 23＝a,1＋log 25＝b .即log 23＝12(a －2)，log 25＝b －1，所以log 215＝log 23＋log 25＝12(a －2)＋b －1＝12a ＋b －2.9．－3解析 (1)当a ≤4时，2a －4＝18，解得a ＝1，此时f (a ＋6)＝f (7)＝－3；(2)当a >4时，－log 2(a ＋1)＝18，无解．10．解 由log 4(x ＋a )<1，得0<x ＋a <4，解得－a <x <4－a ，即B ＝{x |－a <x <4－a }．∵A ∩B ＝∅，∴⎩⎨⎧－a ≥－2，4－a ≤3，解得1≤a ≤2， 即实数a 的取值范围是[1,2]．11．解 设至少抽n 次才符合条件，则a ·(1－60%)n <0.1%·a (设原来容器中的空气体积为a )．即0.4n <0.001，两边取常用对数，得n ·lg 0.4<lg 0.001，所以n >lg 0.001lg 0.4.所以n >－32lg2－1≈7.5. 故至少需要抽8次，才能使容器内的空气少于原来的0.1%.12．解 设u (x )＝x 2－2x ＋3，则u (x )在定义域内有最小值． 由于f (x )在定义域内有最小值，所以a >1.所以log a (x －1)>0⇒x －1>1⇒x >2，所以不等式log a (x －1)>0的解集为{x |x >2}．13．解 (1)∵12[f (0)＋f (1)]＝12(log a 1＋log a 2)＝log a 2，又∵f (12)＝log a 32，且32>2，由a >1知函数y ＝log a x 为增函数，所以log a 2<log a 32. 即12[f (0)＋f (1)]<f (12)．(2)由(1)知，当x 1＝1，x 2＝2时，不等式成立．接下来探索不等号左右两边的关系：12[f (x 1－1)＋f (x 2－1)]＝log a x 1x 2，f (x 1＋x 22－1)＝log a x 1＋x 22，因为x 1>0，x 2>0，所以x 1＋x 22－x 1x 2＝(x 1－x 2)22≥0， 即x 1＋x 22≥x 1x 2. 又a >1， 所以log a x 1＋x 22≥log a x 1x 2，即12[f (x 1－1)＋f (x 2－1)]≤f (x 1＋x 22－1)．综上可知，不等式对任意x1>0，x2>0恒成立．。
高中数学(人教版A版必修一)配套课时作业：第二章 基本初等函数 (Ⅰ) 2.3
§2.3幂函数课时目标 1.通过具体问题，了解幂函数的概念.2.从描点作图入手，画出y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝12x，y＝x－1的图象，总结出幂函数的共性，巩固并会加以应用．1．一般地，______________叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数．2．在同一平面直角坐标系中，画出幂函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝12x，y＝x－1的图象．3．结合2中图象，填空．(1)所有的幂函数图象都过点________，在(0，＋∞)上都有定义．(2)若α>0时，幂函数图象过点____________，且在第一象限内______；当0<α<1时，图象上凸，当α>1时，图象______．(3)若α<0，则幂函数图象过点________，并且在第一象限内单调______，在第一象限内，当x从＋∞趋向于原点时，函数在y轴右方无限地逼近于y轴，当x趋于＋∞时，图象在x轴上方无限逼近x轴．(4)当α为奇数时，幂函数图象关于______对称；当α为偶数时，幂函数图象关于______对称．(5)幂函数在第____象限无图象．一、选择题1．下列函数中不是幂函数的是( ) A ．y ＝x B ．y ＝x 3 C ．y ＝2x D ．y ＝x －12．幂函数f (x )的图象过点(4，12)，那么f (8)的值为( ) A.24B ．64 C ．22D.1643．下列是y ＝23x 的图象的是( )4．图中曲线是幂函数y ＝x n在第一象限的图象，已知n 取±2，±12四个值，则相应于曲线C 1，C 2，C 3，C 4的n 依次为( ) A ．－2，－12，12，2 B ．2，12，－12，－2 C ．－12，－2,2，12 D ．2，12，－2，－125．设a＝2535⎛⎫⎪⎝⎭，b＝3525⎛⎫⎪⎝⎭，c＝2525⎛⎫⎪⎝⎭，则a，b，c的大小关系是()A．a>c>b B．a>b>cC．c>a>b D．b>c>a6．函数f(x)＝xα，x∈(－1,0)∪(0,1)，若不等式f(x)>|x|成立，则在α∈{－2，－1,0,1,2}的条件下，α可以取值的个数是()A．0B．2C．3D．4二、填空题7．给出以下结论：①当α＝0时，函数y＝xα的图象是一条直线；②幂函数的图象都经过(0,0)，(1,1)两点；③若幂函数y＝xα的图象关于原点对称，则y＝xα在定义域内y随x的增大而增大；④幂函数的图象不可能在第四象限，但可能在第二象限．则正确结论的序号为________．8．函数y＝12x＋x－1的定义域是____________．9．已知函数y＝x－2m－3的图象过原点，则实数m的取值范围是____________________．三、解答题10．比较1.121、121.4、131.1的大小，并说明理由．11．如图，幂函数y ＝x 3m －7(m ∈N )的图象关于y 轴对称，且与x 轴、y 轴均无交点，求此函数的解析式．能力提升12．已知函数f (x )＝(m 2＋2m )·21m m x +-，m 为何值时，函数f (x )是：(1)正比例函数；(2)反比例函数；(3)二次函数；(4)幂函数．13．点(2，2)在幂函数f(x)的图象上，点(－2，14)在幂函数g(x)的图象上，问当x为何值时，有：(1)f(x)>g(x)；(2)f(x)＝g(x)；(3)f(x)<g(x)．1．幂函数在第一象限内指数变化规律：在第一象限内直线x＝1的右侧，图象从上到下，相应的指数由大变小；在直线x＝1的左侧，图象从下到上，相应的指数由大变小．2．求幂函数的定义域时要看指数的正负和指数nm中的m是否为偶数；判断幂函数的奇偶性时要看指数nm中的m、n是奇数还是偶数．y＝xα，当α＝nm(m、n∈N*，m、n互质)时，有：§2.3 幂函数知识梳理1．函数y ＝x α 3.(1)(1,1) (2)(0,0)，(1,1) 递增 下凸 (3)(1,1) 递减 (4)原点 y 轴 (5)四 作业设计1．C [根据幂函数的定义：形如y ＝x α的函数称为幂函数，选项C 中自变量x 的系数是2，不符合幂函数的定义，所以C 不是幂函数．] 2．A [设幂函数为y ＝x α，依题意，12＝4α， 即22α＝2－1，∴α＝－12.∴幂函数为y ＝12x -，∴f (8)＝128-＝18＝122＝24.] 3．B [y ＝23x ＝3x 2，∴x ∈R ，y ≥0，f (－x )＝3(－x )2＝3x 2 ＝f (x )，即y ＝23x 是偶函数，又∵23<1，∴图象上凸．]4．B [作直线x ＝t (t >1)与各个图象相交，则交点自上而下的排列顺序恰好是按幂指数的降幂排列的．]5．A [根据幂函数与指数函数的单调性直接可以判断出来，y ＝25x 在x >0时是增函数，所以a >c ；y ＝(25)x 在x >0时是减函数，所以c >b .] 6．B [因为x ∈(－1,0)∪(0,1)，所以0<|x |<1. 要使f (x )＝x α>|x |，x α在(－1,0)∪(0,1)上应大于0， 所以α＝－1,1显然是不成立的．当α＝0时，f(x)＝1>|x|；当α＝2时，f(x)＝x2＝|x|2<|x|；当α＝－2时，f(x)＝x－2＝|x|－2>1>|x|.综上，α的可能取值为0或－2，共2个．]7．④解析当α＝0时，函数y＝xα的定义域为{x|x≠0，x∈R}，故①不正确；当α<0时，函数y＝xα的图象不过(0,0)点，故②不正确；幂函数y＝x－1的图象关于原点对称，但其在定义域内不是增函数，故③不正确．④正确．8．(0，＋∞)解析y＝12x的定义域是[0，＋∞)，y＝x－1的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，再取交集．9．m<－3 2解析由幂函数的性质知－2m－3>0，故m<－3 2.10．解考查函数y＝1.1x，∵1.1>1，∴它在(0，＋∞)上是增函数．又∵12>13，∴121.1>131.1.再考查函数y＝12x，∵12>0，∴它在(0，＋∞)上是增函数．又∵1.4>1.1，∴121.4>121.1，∴121.4>121.1>131.1.11．解由题意，得3m－7<0.∴m<7 3.∵m∈N，∴m＝0,1或2，∵幂函数的图象关于y轴对称，∴3m－7为偶数．∵m ＝0时，3m －7＝－7， m ＝1时，3m －7＝－4， m ＝2时，3m －7＝－1.故当m ＝1时，y ＝x －4符合题意．即y ＝x －4. 12．解 (1)若f (x )为正比例函数， 则⎩⎨⎧m 2＋m －1＝1，m 2＋2m ≠0⇒m ＝1. (2)若f (x )为反比例函数， 则⎩⎨⎧m 2＋m －1＝－1，m 2＋2m ≠0⇒m ＝－1. (3)若f (x )为二次函数，则 ⎩⎨⎧m 2＋m －1＝2，m 2＋2m ≠0⇒m ＝－1±132.(4)若f (x )为幂函数，则m 2＋2m ＝1， ∴m ＝－1±2.13．解 设f (x )＝x α，则由题意，得 2＝(2)α，∴α＝2，即f (x )＝x 2. 设g (x )＝x β，由题意，得14＝(－2)β，∴β＝－2，即g (x )＝x －2.在同一平面直角坐标系中作出f (x )与g (x )的图象，如图所示． 由图象可知：(1)当x >1或x <－1时， f (x )>g (x )；(2)当x ＝±1时，f (x )＝g (x )； (3)当－1<x <1且x ≠0时，f (x )<g (x )．小课堂：如何培养中学生的自主学习能力？自主学习是与传统的接受学习相对应的一种现代化学习方式。
高中数学(人教版A版必修一)配套课件：第二章 基本初等函数(Ⅰ) 第二章 章末复习课
超级记忆法-记忆规律
第四个记忆周期是 1天 第五个记忆周期是 2天 第六个记忆周期是 4天 第七个记忆周期是 7天 第八个记忆周期是15天 这五个记忆周期属于长期记忆的范畴。 所以我们可以选择这样的时间进行记忆的巩固，可以记得更扎实。
如何利用规律实现更好记忆呢？
超级记忆法--场景法
解析 f(x)＝12x 在 x∈(－∞，0)上为减函数，g x＝log1 x 为偶函数， 2
x∈(0，＋∞)时g x＝log1 x 为减函数，所以在(－∞，0)上为增函数.
2
解析答案
1 2345
4.已知 P＝2－32，Q＝253，R＝123，则 P，Q，R 的大小关系是( B ) A.P＜Q＜R B.Q＜R＜P C.Q＜P＜R D.R＜Q＜P 解析 由函数 y＝x3 在 R 上是增函数知，253＜123，
跟踪训练3 函数f(x)＝loga(1－x)＋loga(x＋3)(0<a<1). (1)求函数f(x)的定义域； 解 要使函数有意义，则有1x＋－3x>>00， ， 解得－3<x<1，∴定义域为(－3,1).
解析答案
(2)若函数f(x)的最小值为－2，求a的值.
解 函数可化为f(x)＝loga[(1－x)(x＋3)]＝loga(－x2－2x＋3)＝loga[－(x ＋1)2＋4]. ∵－3<x<1，∴0<－(x＋1)2＋4≤4. ∵0<a<1，∴loga[－(x＋1)2＋4]≥loga4.
解析答案
1
2.函数 y＝x3 的图象是( B )
1 2345
解析 ∵0＜13＜1.
1
∴在第一象限增且上凸，又 y＝x3 为奇函数，过(1,1)，故选B.
高中数学(人教版A版必修一)配套课时作业：第二章 基本初等函数 (Ⅰ) 2.1.2(一)
2．1.2指数函数及其性质(一)课时目标1.理解指数函数的概念，会判断一个函数是否为指数函数.2.掌握指数函数的图象和性质．1．指数函数的概念一般地，__________________叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域是____．2．指数函数y＝a x(a>0，且a≠1)的图象和性质a>10<a<1图象定义域R值域(0，＋∞)性质过定点过点______，即x＝____时，y＝____函数值的变化当x>0时，________；当x<0时，________当x>0时，________；当x<0时，________ 单调性是R上的__________是R上的__________一、选择题1．下列以x为自变量的函数中，是指数函数的是() A．y＝(－4)x B．y＝πxC．y＝－4x D．y＝a x＋2(a>0且a≠1)2．函数f(x)＝(a2－3a＋3)a x是指数函数，则有() A．a＝1或a＝2B．a＝1C．a＝2D．a>0且a≠13．函数y＝a|x|(a>1)的图象是()4．已知f(x)为R上的奇函数，当x<0时，f(x)＝3x，那么f(2)的值为()A．－9B.1 9C．－19D．95．右图是指数函数①y＝a x；②y＝b x；③y＝c x；④y＝d x的图象，则a、b、c、d与1的大小关系是()A．a<b<1<c<dB．b<a<1<d<cC．1<a<b<c<dD．a<b<1<d<c6．函数y＝(12)x－2的图象必过()A．第一、二、三象限B．第一、二、四象限C．第一、三、四象限D．第二、三、四象限题号12345 6二、填空题7．函数f(x)＝a x的图象经过点(2,4)，则f(－3)的值为________．8．若函数y＝a x－(b－1)(a>0，a≠1)的图象不经过第二象限，则a，b必满足条件________________．9．函数y＝8－23－x(x≥0)的值域是________．三、解答题10．比较下列各组数中两个值的大小：(1)0.2－1.5和0.2－1.7；(2)1314⎛⎫⎪⎝⎭和2314⎛⎫⎪⎝⎭；(3)2－1.5和30.2.11．2000年10月18日，美国某城市的日报以醒目标题刊登了一条消息：“市政委员会今天宣布：本市垃圾的体积达到50000m3”，副标题是：“垃圾的体积每三年增加一倍”．如果把3年作为垃圾体积加倍的周期，请你完成下面关于垃圾的体积V(m3)与垃圾体积的加倍的周期(3年)数n的关系的表格，并回答下列问题．1 50000×2 2 50000×22… … n50000×2n(1) (2)根据报纸所述的信息，你估计3年前垃圾的体积是多少？ (3)如果n ＝－2，这时的n ，V 表示什么信息？(4)写出n 与V 的函数关系式，并画出函数图象(横轴取n 轴)． (5)曲线可能与横轴相交吗？为什么？能力提升12．定义运算a ⊕b ＝⎩⎨⎧a (a ≤b )b (a >b )，则函数f (x )＝1⊕2x 的图象是( )13．定义在区间(0，＋∞)上的函数f (x )满足对任意的实数x ，y 都有f (x y )＝yf (x )．(1)求f(1)的值；(2)若f(12)>0，解不等式f(ax)>0.(其中字母a为常数)．1．函数y＝f(x)与函数y＝f(－x)的图象关于y轴对称；函数y＝f(x)与函数y＝－f(x)的图象关于x轴对称；函数y＝f(x)与函数y＝－f(－x)的图象关于原点对称．2．函数图象的平移变换是一种基本的图象变换．一般地，函数y＝f(x－a)的图象可由函数y＝f(x)的图象向右(a>0)或向左(a<0)平移|a|个单位得到．2．1.2 指数函数及其性质(一)知识梳理1．函数y ＝a x (a >0，且a ≠1) R 2.(0,1) 0 1 y >1 0<y <1 0<y <1 y >1 增函数 减函数 作业设计1．B [A 中－4<0，不满足指数函数底数的要求，C 中因有负号，也不是指数函数，D 中的函数可化为y ＝a 2·a x ，a x 的系数不是1，故也不是指数函数．] 2．C [由题意得⎩⎨⎧a 2－3a ＋3＝1，a >0且a ≠1.解得a ＝2.]3．B [该函数是偶函数．可先画出x ≥0时，y ＝a x 的图象，然后沿y 轴翻折过去，便得到x <0时的函数图象．]4．C [当x >0时，－x <0，∴f (－x )＝3－x ， 即－f (x )＝(13)x ， ∴f (x )＝－(13)x .因此有f (2)＝－(13)2＝－19.]5．B [作直线x ＝1与四个指数函数图象交点的坐标分别为(1，a )、(1，b )、(1，c )、(1，d )，由图象可知纵坐标的大小关系．]6．D [函数y ＝(12)x 的图象上所有的点向下平移2个单位，就得到函数y ＝(12)x －2的图象，所以观察y ＝(12)x －2的图象知选D.] 7.18解析 由题意a 2＝4，∴a ＝2. f (－3)＝2－3＝18.8．a >1，b ≥2解析 函数y ＝a x －(b －1)的图象可以看作由函数y ＝a x 的图象沿y 轴平移|b －1|个单位得到．若0<a <1，不管y ＝a x 的图象沿y 轴怎样平移，得到的图象始终经过第二象限；当a >1时，由于y ＝a x 的图象必过定点(0,1)，当y ＝a x 的图象沿y 轴向下平移1个单位后，得到的图象不经过第二象限．由b －1≥1，得b ≥2.因此，a ，b 必满足条件a >1，b ≥2. 9．[0,8)解析 y ＝8－23－x ＝8－23·2－x ＝8－8·(12)x ＝8[1－(12)x ]． ∵x ≥0，∴0<(12)x≤1， ∴－1≤－(12)x <0，从而有0≤1－(12)x <1，因此0≤y <8. 10．解 (1)考查函数y ＝0.2x . 因为0<0.2<1，所以函数y ＝0.2x 在实数集R 上是单调减函数． 又因为－1.5>－1.7， 所以0.2－1.5<0.2－1.7.(2)考查函数y ＝(14)x .因为0<14<1，所以函数y ＝(14)x 在实数集R 上是单调减函数． 又因为13<23，所以(3)2－1.5<20，即2－1.5<1；30<30.2，即1<30.2， 所以2－1.5<30.2.11．解 (1)由于垃圾的体积每3年增加1倍，24年后即8个周期后，该市垃圾的体积是50000×28＝12800000(m 3)．(2)根据报纸所述的信息，估计3年前垃圾的体积是50000×2－1＝25000(m 3)．(3)如果n ＝－2，这时的n 表示6年前，V 表示6年前垃圾的体积． (4)n 与V 的函数关系式是V ＝50000×2n ，图象如图所示．(5)因为对任意的整数n,2n >0，所以V ＝50000×2n >0，因此曲线不可能与横轴相交．12．A [由题意f (x )＝1⊕2x＝⎩⎨⎧1， x ≥0；2x ，x <0.]13．解 (1)令x ＝1，y ＝2，可知f (1)＝2f (1)，故f (1)＝0. (2)设0<x 1<x 2，∴存在s ，t 使得x 1＝(12)s ，x 2＝(12)t ， 且s >t ，又f (12)>0， ∴f (x 1)－f (x 2)＝f [(12)s ]－f [(12)t ] ＝sf (12)－tf (12)＝(s －t )f (12)>0， ∴f (x 1)>f (x 2)．故f (x )在(0，＋∞)上是减函数． 又∵f (ax )>0，x >0，f (1)＝0， ∴0<ax <1， 当a ＝0时，x ∈∅， 当a >0时，0<x <1a ，当a <0时，1a <x <0，不合题意．故x ∈∅. 综上：a ≤0时，x ∈∅；a >0时，不等式解集为{x |0<x <1a }．小课堂：如何培养中学生的自主学习能力？自主学习是与传统的接受学习相对应的一种现代化学习方式。
高中数学(人教A版,必修一) 第二章基本初等函数 2.2.1第1课时 课时作业(含答案)
§2.2 对数函数2．2.1 对数与对数运算第1课时 对 数 课时目标 1.理解对数的概念，能进行指数式与对数式的互化.2.了解常用对数与自然对数的意义.3.掌握对数的基本性质，会用对数恒等式进行运算．1．对数的概念如果a x ＝N (a >0，且a ≠1)，那么数x 叫做__________________，记作____________，其中a 叫做__________，N 叫做______．2．常用对数与自然对数通常将以10为底的对数叫做____________，以e 为底的对数叫做____________，log 10N 可简记为______，log e N 简记为________．3．对数与指数的关系若a >0，且a ≠1，则a x ＝N ⇔log a N ＝____.对数恒等式：a log a N ＝____；log a a x ＝____(a >0，且a ≠1)．4．对数的性质(1)1的对数为____；(2)底的对数为____；(3)零和负数__________．一、选择题1．有下列说法：①零和负数没有对数；②任何一个指数式都可以化成对数式；③以10为底的对数叫做常用对数；④以e 为底的对数叫做自然对数．其中正确命题的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．42．有以下四个结论：①lg(lg 10)＝0；②ln(ln e)＝0；③若10＝lg x ，则x ＝100；④若e ＝ln x ，则x ＝e 2.其中正确的是( )A ．①③B ．②④C ．①②D ．③④3．在b ＝log (a －2)(5－a )中，实数a 的取值范围是( )A ．a >5或a <2B ．2<a <5C ．2<a <3或3<a <5D ．3<a <44．方程3log 2x ＝14的解是( ) A ．x ＝19 B ．x ＝33C ．x ＝ 3D ．x ＝95．若log a 5b ＝c ，则下列关系式中正确的是( )A ．b ＝a 5cB ．b 5＝a cC ．b ＝5a cD ．b ＝c 5a6．0.51log 412-+⎛⎫ ⎪⎝⎭的值为( )A ．6 B.72C ．8 D.37二、填空题7．已知log 7[log 3(log 2x )]＝0，那么12x -＝________.8．若log 2(log x 9)＝1，则x ＝________.9．已知lg a ＝2.431 0，lg b ＝1.431 0，则b a ＝________. 三、解答题10．(1)将下列指数式写成对数式：①10－3＝11 000；②0.53＝0.125；③(2－1)－1＝2＋1. (2)将下列对数式写成指数式：①log 26＝2.585 0；②log 30.8＝－0.203 1；③lg 3＝0.477 1.11．已知log a x ＝4，log a y ＝5，求A ＝12232x xy ⎡⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣的值．能力提升12．若log a 3＝m ，log a 5＝n ，则a 2m ＋n 的值是( )A ．15B ．75C ．45D ．22513．(1)先将下列式子改写成指数式，再求各式中x 的值：①log 2x ＝－25；②log x 3＝－13. (2)已知6a ＝8，试用a 表示下列各式：①log 68；②log 62；③log 26.1．对数概念与指数概念有关，指数式和对数式是互逆的，即a b＝N ⇔log a N ＝b (a >0，且a ≠1)，据此可得两个常用恒等式：(1)log a ab ＝b ；(2) log a N a ＝N .2．在关系式a x ＝N 中，已知a 和x 求N 的运算称为求幂运算；而如果已知a 和N 求x 的运算就是对数运算，两个式子实质相同而形式不同，互为逆运算．3．指数式与对数式的互化§2.2 对数函数2．2.1 对数与对数运算第1课时 对 数知识梳理1．以a 为底N 的对数 x ＝log a N 对数的底数 真数 2.常用对数 自然对数 lg N ln N 3.x N x 4.(1)零 (2)1 (3)没有对数作业设计1．C [①、③、④正确，②不正确，只有a >0，且a ≠1时，a x ＝N 才能化为对数式．]2．C [∵lg 10＝1，∴lg(lg 10)＝0，故①正确；∵ln e ＝1，∴ln(ln e)＝0，故②正确；由lg x ＝10，得1010＝x ，故x ≠100，故③错误；由e ＝ln x ，得e e ＝x ，故x ≠e 2，所以④错误．]3．C [由对数的定义知⎩⎪⎨⎪⎧ 5－a >0，a －2>0，a －2≠1⇒⎩⎪⎨⎪⎧ a <5，a >2，a ≠3⇒2<a <3或3<a <5.]4．A [∵3log 2x ＝2－2，∴log 3x ＝－2，∴x ＝3－2＝19.] 5．A [由log a 5b ＝c ，得a c ＝5b ， ∴b ＝(a c )5＝a 5c .] 6．C [(12)－1＋log 0.54＝(12)－1·(12)12log 4＝2×4＝8.] 7.24解析 由题意得：log 3(log 2x )＝1，即log 2x ＝3，转化为指数式则有x ＝23＝8， ∴128-＝1218＝18＝122＝24. 8．3解析 由题意得：log x 9＝2，∴x 2＝9，∴x ＝±3，又∵x >0，∴x ＝3.9.110解析 依据a x ＝N ⇔log a N ＝x (a >0且a ≠1)，有a ＝102.431 0，b ＝101.431 0，∴b a ＝101.431 0102.431 0＝101.431 0－2.431 0＝10－1＝110. 10．解 (1)①lg 11 000＝－3；②log 0.50.125＝3； ③log 2－1(2＋1)＝－1.(2)①22.585 0＝6；②3－0.203 1＝0.8；③100.477 1＝3. 11．解 A ＝12x ·(122x y -)16＝51213x y . 又∵x ＝a 4，y ＝a 5，∴A ＝3535aa ＝1.12．C [由log a 3＝m ，得a m ＝3，由log a 5＝n ，得a n ＝5.∴a 2m ＋n ＝(a m )2·a n ＝32×5＝45.] 13．解 (1)①因为log 2x ＝－25，所以x ＝252-＝582. ②因为log x 3＝－13，所以13x -＝3，所以x ＝3－3＝127. (2)①log 68＝a . ②由6a ＝8得6a ＝23，即36a ＝2，所以log 62＝a 3. ③由36a ＝2得32a ＝6，所以log 26＝3a .。
人教A版高中数学必修1《第二章 基本初等函数(Ⅰ) 2.1 指数函数 习题2.1》_24
函数的应用1．题型为选择题或填空题，主要考查零点个数的判断及零点所在区间．2．函数的零点与方程的根的关系：方程f (x )＝0有实数根⇔函数y ＝f (x )的图象与x 轴有交点⇔函数y ＝f (x )有零点．[典题示例] 函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－1，x ≤0，x －2＋ln x ，x ＞0的零点个数为________．[解析] 令f (x )＝0，得到⎩⎪⎨⎪⎧x 2－1＝0，x ≤0，解得x ＝－1；或⎩⎪⎨⎪⎧x －2＋ln x ＝0，x ＞0，在同一个直角坐标系中画出y ＝2－x 和y ＝ln x 的图象，观察交点个数，如图所示．函数y ＝2－x 和y ＝ln x ，x ＞0，在同一个直角坐标系中交点个数是1，所以函数f (x )在x ＜0时的零点有一个，在x ＞0时零点有一个，所以f (x )的零点个数为2.[答案] 2 [类题通法]确定函数零点个数的方法(1)解方程f (x )＝0有几个根．(2)利用图象找y ＝f (x )的图象与x 轴的交点或转化成两个函数图象的交点个数． (3)利用f (a )·f (b )与0的关系进行判断．[题组训练]1．函数f (x )＝lg x －9x 的零点所在的大致区间是( ) A ．(6,7) B ．(7,8) C ．(8,9)D ．(9,10)解析：选D ∵f (6)＝lg 6－96＝lg 6－32＜0，f (7)＝lg 7－97＜0，f (8)＝lg 8－98＜0，f (9)＝lg 9－1＜0，f (10)＝lg 10－910＞0， ∴f (9) · f (10)＜0.函数的零点问题∴f (x )＝lg x －9x的零点的大致区间为(9,10)．2．已知函数f (x )＝ln x －⎝⎛⎭⎫12x －2的零点为x 0，则x 0所在的区间是( ) A ．(0,1) B ．(1,2) C ．(2,3)D ．(3,4)解析：选C ∵f (x )＝ln x －⎝⎛⎭⎫12x －2在(0，＋∞)是增函数， 又f (1)＝ln 1－⎝⎛⎭⎫12－1＝ln 1－2＜0， f (2)＝ln 2－⎝⎛⎭⎫120＜0， f (3)＝ln 3－⎝⎛⎭⎫121＞0， ∴x 0∈(2,3)．3．函数y ＝⎝⎛⎭⎫12|x |－m 有两个零点，则m 的取值范围是________． 解析：在同一直角坐标系内，画出y 1＝⎝⎛⎭⎫12|x |和y 2＝m 的图象，如图所示，由于函数有两个零点，故0＜m ＜1.答案：(0,1)1．通过对近几年高考试题的分析可以看出，对函数的实际应用问题的考查，更多地以实际生活为背景，设问新颖、灵活；题型以解答题为主，难度中等偏上；主要考查建模能力，同时考查分析问题、解决问题的能力．2．函数实际应用的示意图[典题示例] 某网店经营的某消费品的进价为每件12元，周销售量p (件)与销售价格x (元)的关系，如图中折线所示，每周各项开支合计为20元．(1)写出周销售量p (件)与销售价格x (元)的函数关系式； (2)写出利润周利润y (元)与销售价格x (元)的函数关系式；函数的应用(3)当该消费品销售价格为多少元时，周利润最大？并求出最大周利润． [解] (1)由题设知，当12≤x ≤20时，设p ＝ax ＋b ，则⎩⎪⎨⎪⎧12a ＋b ＝26，20a ＋b ＝10，∴a ＝－2，b ＝50. ∴p ＝－2x ＋50，同理得，当20＜x ≤28时，p ＝－x ＋30，所以p ＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋50，12≤x ≤20，－x ＋30，20＜x ≤28.(2)当12≤x ≤20时，y ＝(x －12)(－2x ＋50)－20＝－2x 2＋74x －620； 当20＜x ≤28时，y ＝(x －12)(－x ＋30)－20＝－x 2＋42x －380.∴y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x 2＋74x －620，12≤x ≤20，－x 2＋42x －380，20＜x ≤28. (3)当12≤x ≤20时，y ＝－2x 2＋74x －620， ∴x ＝372时，y 取得最大值1292. 当20＜x ≤28时，y ＝－x 2＋42x －380， ∴x ＝21时，y 取得最大值61. ∵1292＞61，∴该消费品销售价格为372时，周利润最大，最大周利润为1292. [类题通法]建立恰当的函数模型解决实际问题的步骤(1)对实际问题进行抽象概括，确定变量之间的主被动关系，并用x ，y 分别表示． (2)建立函数模型，将变量y 表示为x 的函数，此时要注意函数的定义域． (3)求解函数模型，并还原为实际问题的解．[题组训练]1.某工厂8年来某种产品的总产量C 与时间t (年)的函数关系如图所示．以下四种说法：①前三年产量增长的速度越来越快； ②前三年产量增长的速率越来越慢； ③第三年后这种产品停止生产； ④第三年后产量保持不变． 其中说法正确的是序号是________．解析：由t ∈[0,3]的图象联想到幂函数y ＝x α(0＜α＜1)，反映了C 随时间的变化而逐渐增长但速度越来越慢．由t ∈[3,8]的图象可知，总产量C 没有变化，即第三年后停产，所以②③正确．答案：②③2．将甲桶中的a 升水缓慢注入空桶乙中，t 分钟后甲桶中剩余的水量符合指数衰减曲线y ＝a e nt .若5分钟后甲桶和乙桶的水量相等，又过了m 分钟后甲桶中的水只有a8升，则m的值为( )A ．7B ．8C ．9D ．10解析：选D 令18a ＝a e nt ，即18＝e nt ，由已知得12＝e 5n ，故18＝e 15n ，比较知t ＝15，m ＝15－5＝10.3．某企业决定从甲、乙两种产品中选择一种投资生产，打入国际市场，已知投资生产这两种产品的有关数据如表：时需上交0.05x 2万美元的特别关税．(1)写出该厂分别投资生产甲、乙两种产品的年利润y 1，y 2与生产相应产品的件数x (x ∈N)之间的函数关系式；(2)分别求出投资生产这两种产品的最大年利润．解：(1)由题知y 1＝10x －(20＋ax )＝(10－a )x －20,0≤x ≤200且x ∈N ；y 2＝18x －(40＋8x )－0.05x 2＝－0.05x 2＋10x －40＝－0.05(x－100)2＋460,0≤x ≤120且x ∈N.(2)∵3≤a ≤8，∴10－a ＞0， ∴y 1＝(10－a )x －20为增函数． 又0≤x ≤200，x ∈N ，∴x ＝200时y 1取最大值，即生产甲产品的最大年利润为(10－a )×200－20＝1 980－200a (万美元)．又y 2＝－0.05(x －100)2＋460,0≤x ≤120，x ∈N ，∴x ＝100时y 2取最大值，即生产乙产品的最大年利润为460万美元．1．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x (x ＋4)，x ＜0，x (x －4)，x ≥0，则该函数的零点的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选C 当x ＜0时，令x (x ＋4)＝0，解得x ＝－4；当x ≥0时，令x (x －4)＝0，解得x ＝0或4.综上，该函数的零点有3个．2．函数f (x )＝ln(x ＋1)－2x 的零点所在的大致区间是( )A ．(1,2)B ．(0,1)C ．(2，e)D ．(3,4)解析：选A f (1)＝ln 2－2＝ln 2e 2＜ln 1＝0，f (2)＝ln 3－1＝ln 3e＞ln 1＝0，所以函数f (x )＝ln(x ＋1)－2x的零点所在的大致区间是(1,2)．3．某家具的标价为132元，若降价以九折出售(即优惠10%)，仍可获利10%(相对进货价)，则该家具的进货价是( )A ．118元B ．105元C ．106元D ．108元解析：选D 设该家具的进货价是x 元，由题意得132(1－10%)－x ＝x ·10%，解得x ＝108元．4．下列函数：①y ＝lg x ；②y ＝2x ；③y ＝x 2；④y ＝|x |－1，其中有2个零点的函数是( ) A ．①② B ．③④ C ．②③D ．④解析：选D 分别作出这四个函数的图象，其中④y ＝|x |－1的图象与x 轴有两个交点，即有2个零点，选D.5．已知函数f (x )在区间[a ，b ]上是单调函数，且f (a )f (b )＜0，则方程f (x )＝0在区间[a ，b ]内( )A ．至少有一实根B ．至多有一实根C ．没有实根D ．必有唯一实根解析：选B 由于f (a )f (b )＜0，则f (a )＜0＜f (b )或f (b )＜0＜f (a )，又函数f (x )在区间[a ，b ]上是单调函数，则至多有一个实数x 0∈[a ，b ]，使f (x 0)＝0，即方程f (x )＝0在区间[a ，b ]内至多有一实根．6．已知0＜a ＜1，则方程a |x |＝|log a x |的实根个数为( ) A ．2 B ．3C ．4D ．与a 的值有关解析：选A 设y 1＝a |x |，y 2＝|log a x |，分别作出它们的图象如图所示．由图可知，有两个交点，故方程a |x |＝|log a x |有两个根．故选A.7．长为4，宽为3的矩形，当长增加x ，宽减少x2时，面积达到最大，此时x 的值为________．解析：由题意，S ＝(4＋x )⎝⎛⎭⎫3－x 2，即S ＝－12x 2＋x ＋12，∴当x ＝1时，S 最大． 答案：18．某学校要装备一个实验室，需要购置实验设备若干套，与厂家协商，同意按出厂价结算，若超过50套就可以每套比出厂价低30元给予优惠．如果按出厂价购买应付a 元，但再多买11套就可以按优惠价结算，恰好也付a 元(价格为整数)，则a 的值为________．解析：设按出厂价y 元购买x (x ≤50)套应付a 元， 则a ＝xy .再多买11套就可以按优惠价结算恰好也付a 元，则a ＝(x ＋11)(y －30)，其中x ＋11＞50.∴xy ＝(x ＋11)(y －30)(39＜x ≤50)．∴3011x ＝y －30.又x ∈N ，y ∈N(因价格为整数)，39＜x ≤50， ∴x ＝44，y ＝150，a ＝44×150＝6 600. 答案：6 6009．若函数f (x )＝a x －x －a (a ＞0，且a ≠1)有两个零点，则实数a 的取值范围为________． 解析：函数f (x )的零点的个数就是函数y ＝a x 与函数y ＝x ＋a 交点的个数，如下图，由函数的图象可知a ＞1时两函数图象有两个交点，0＜a ＜1时两函数图象有唯一交点，故a ＞1.答案：(1，＋∞)10．某产品按质量分为10个档次，生产第一档(即最低档次)的利润是每件8元，每提高一个档次，利润每件增加2元，但每提高一个档次，在规定的时间内，产量减少3件．如果在规定的时间内，最低档次的产品可生产60件．(1)请写出规定时间内产品的总利润y 与档次x 之间的函数关系式，并写出x 的定义域； (2)在规定的时间内，生产哪一档次产品的总利润最大？并求出最大利润．解：(1)由题意知，生产第x 个档次的产品每件的利润为8＋2(x －1)元，该档次的产量为60－3(x －1)件．则规定时间内第x 档次的总利润y ＝(2x ＋6)(63－3x )＝－6x 2＋108x ＋378，其中x ∈{x ∈N *|1≤x ≤10}．(2)y ＝－6x 2＋108x ＋378＝－6(x －9)2＋864，则当x ＝9时，y 有最大值为864.故在规定的时间内，生产第9档次的产品的总利润最大，最大利润为864元．11．A 、B 两城相距100 km ，在两地之间距A 城x km 处D 地建一核电站给A 、B 两城供电，为保证城市安全．核电站与城市距离不得少于10 km.已知供电费用与供电距离的平方和供电量之积成正比，比例系数λ＝0.25.若A 城供电量为20亿度/月，B 城为10亿度/月．(1)求x 的范围；(2)把月供电总费用y 表示成x 的函数；(3)核电站建在距A 城多远，才能使供电费用最小． 解：(1)x 的取值范围为[10,90]．(2)y ＝0.25×20x 2＋0.25×10(100－x )2＝5x 2＋52(100－x )2(10≤x ≤90)．(3)由y ＝5x 2＋52(100－x )2＝152x 2－500x ＋25 000＝152⎝⎛⎭⎫x －10032＋50 0003. 则当x ＝1003km 时，y 最小． 故当核电站建在距A 城1003km 时，才能使供电费用最小．12．为了保护环境，发展低碳经济，某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品．已知该单位每月的处理量最少为400吨，最多为600吨，月处理成本y (元)与月处理量x (吨)之间的函数关系可近似地表示为y ＝12x 2－200x ＋80 000，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元．该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则国家至少需要补贴多少元才能使该单位不亏损？解：设该单位每月获利为S 元， 则S ＝100x －y＝100x －⎝⎛⎭⎫12x 2－200x ＋80 000＝－12x 2＋300x －80 000＝－12(x －300)2－35 000，因为400≤x ≤600，所以当x ＝400时，S 有最大值－40 000.故该单位不获利，需要国家每月至少补贴40 000元才能不亏损．(时间120分钟 满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．设U ＝{1,2,3,4,5}，A ＝{1,2,3}，B ＝{2,3,4}，则下列结论中正确的是( ) A ．A ⊆B B ．A ∩B ＝{2} C ．A ∪B ＝{1,2,3,4,5}D ．A ∩(∁U B )＝{1}解析：选D A 显然错误；A ∩B ＝{2,3}，B 错；A ∪B ＝{1,2,3,4}，C 错，故选D. 2．(2017·山东高考)设函数y ＝4－x 2的定义域为A ，函数y ＝ln(1－x )的定义域为B ，则A ∩B ＝( )A ．(1,2)B ．(1,2]C ．(－2,1)D ．[－2,1)解析：选D 由题意可知A ＝{x |－2≤x ≤2}，B ＝{x |x <1}，故A ∩B ＝{x |－2≤x <1}．3．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2e x －1，x ＜2，log 3(2x－1)，x ≥2，则f (f (2))＝( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．3解析：选C ∵f (2)＝log 3(22－1)＝1. ∴f (f (2))＝f (1)＝2e 1－1＝2.4．下列函数中，既是偶函数，又在区间(0，＋∞)上单调递减的函数是( ) A ．y ＝x －2B ．y ＝x －1C ．y ＝x 2－2D ．y ＝log 12x解析：选A ∵y ＝x－1是奇函数，y ＝log 12x 不具有奇偶性，故排除B 、D ，又函数y ＝x 2－2在区间(0，＋∞)上是单调递增函数，故排除C ，只有选项A 符合题意．5．函数y ＝log 2|1－x |的图象是( )解析：选D 函数y ＝log 2|1－x |可由下列变换得到： y ＝log 2x →y ＝log 2|x |→y ＝log 2|x －1|→y ＝log 2|1－x |.故选D.6．已知幂函数y ＝f (x )的图象过点⎝⎛⎭⎫12，22，则log 2f (2)的值为( )A.12 B ．－12C ．2D ．－2解析：选A 设f (x )＝x α，则22＝⎝⎛⎭⎫12α，∴α＝12，f (2)＝212，所以log 2f (2)＝log 2212＝12. 7．函数f (x )＝lg x －1x 的零点所在的区间是( ) A ．(0,1) B ．(1,10) C ．(10,100)D ．(100，＋∞)解析：选B ∵f (1)＝－1＜0，f (10)＝1－110＝910＞0，f (100)＝2－1100＞0， ∴f (1)·f (10)＜0，由函数零点存在性定理知，函数f (x )＝lg x －1x 的零点所在的区间为(1,10)．8．设a ＝60.4，b ＝log 0.40.5，c ＝log 80.4，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．a <b <c B ．c <b <a C ．c <a <bD ．b <c <a解析：选B ∵a ＝60.4>1，b ＝log 0.40.5∈(0,1)，c ＝log 80.4<0，∴a >b >c .故选B. 9．如右图，向放在水槽底部的烧杯注水(流量一定)，注满烧杯后，继续注水，直至注满水槽，水槽中整体水面上升高度h 与注水时间t 之间的函数关系大致是下列图象中的( )解析：选B 开始一段时间，水槽底部没有水，烧杯满了之后，水槽中水面上升先快后慢．故选B.10．已知函数f (x )＝1＋x 21－x 2，则有( )A ．f (x )是奇函数，且f ⎝⎛⎭⎫1x ＝－f (x ) B ．f (x )是奇函数，且f ⎝⎛⎭⎫1x ＝f (x ) C ．f (x )是偶函数，且f ⎝⎛⎭⎫1x ＝－f (x ) D ．f (x )是偶函数，且f ⎝⎛⎭⎫1x ＝f (x ) 解析：选C ∵f (－x )＝f (x )， ∴f (x )是偶函数，排除A 、B.又f ⎝⎛⎭⎫1x ＝1＋⎝⎛⎭⎫1x 21－⎝⎛⎭⎫1x 2＝1＋x 2x 2－1＝－f (x )，故选C. 11．已知函数f (x )＝m ＋log 2x 2的定义域是[1,2]，且f (x )≤4，则实数m 的取值范围是( ) A ．(－∞，2] B ．(－∞，2) C ．[2，＋∞)D ．(2，＋∞)解析：选A 因为f (x )＝m ＋2log 2x 在[1,2]是增函数，且由f (x )≤4，得f (2)＝m ＋2≤4，得m ≤2.12．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|lg x |，0<x ≤10，－12x ＋6，x >10，若a ，b ，c 互不相等，且f (a )＝f (b )＝f (c )，则abc 的取值范围是( )A ．(1,10)B ．(5,6)C ．(10,12)D ．(20,24)解析：选C 作出f (x )的大致图象．由图象知，要使f (a )＝f (b )＝f (c )，不妨设a <b <c ，则－lg a ＝lg b ＝－12c ＋6.于是lg a ＋lg b ＝0. 故ab ＝1.因而abc ＝c .由图知10<c <12，故abc ∈(10,12)．二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上) 13．设U ＝R ，已知集合A ＝{x |x ＞1}，B ＝{x |x ＞a }，且(∁U A )∪B ＝R ，则实数a 的取值范围是________．解析：∵A ＝{x |x ＞1}， ∴∁U A ＝{x |x ≤1}．由B ＝{x |x ＞a }，(∁U A )∪B ＝R 可知a ≤1. 答案：(－∞，1]14．调查表明，酒后驾驶是导致交通事故的主要原因，交通法规规定，驾驶员在驾驶机动车时血液中酒精含量不得超过0.2 mg/mL.某人喝酒后，其血液中酒精含量将上升到3 mg/mL ，在停止喝酒后，血液中酒精含量以每小时50%的速度减少，则至少经过________小时他才可以驾驶机动车．(精确到小时)解析：设n 小时后他才可以驾驶机动车，由题意得3(1－0.5)n ≤0.2，即2n ≥15，解得n ≥log 215，故至少经过4小时他才可以驾驶机动车．答案：415．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1，x ＜1，x 2＋ax ，x ≥1，若f (f (0))＝4a ，则实数a 等于________． 解析：∵0＜1，∴f (0)＝20＋1＝2.∵2＞1，∴f (2)＝4＋2a ，∴f (f (0))＝f (2)＝4＋2a ＝4a ，∴a ＝2.答案：216．已知函数f (x )＝lg(2x －b )(b 为常数)，若x ∈[1，＋∞)时，f (x )≥0恒成立，则b 的取值范围是________．解析：∵要使f (x )＝lg(2x －b )在x ∈[1，＋∞)上，恒有f (x )≥0，∴有2x －b ≥1在x ∈[1，＋∞)上恒成立，即2x ≥b ＋1恒成立．又∵指数函数g (x )＝2x 在定义域上是增函数．∴只要2≥b ＋1成立即可，解得b ≤1.答案：(－∞，1]三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知集合A ＝{x |2＜2x ＜8}，B ＝{x |a ≤x ≤a ＋3}．(1)当a ＝2时，求A ∩B ；(2)若B ⊆∁R A ，求实数a 的取值范围．解：(1)当a ＝2时，A ＝{x |2＜2x ＜8}＝(1,3)，B ＝{x |a ≤x ≤a ＋3}＝[2,5]，故A ∩B ＝[2,3)．(2)∁R A ＝(－∞，1]∪[3，＋∞)．故由B ⊆∁R A 知，a ＋3≤1或a ≥3，故实数a 的取值范围为(－∞，－2]∪[3，＋∞)．18．(本小题满分12分)已知f (x )＝log a x (a ＞0且a ≠1)的图象过点(4,2)．(1)求a 的值；(2)若g (x )＝f (1－x )＋f (1＋x )，求g (x )的解析式及定义域；(3)在(2)的条件下，求g (x )的单调减区间．解：(1)由已知f (x )＝log a x (a ＞0且a ≠1)的图象过点(4,2)，则2＝log a 4，即a 2＝4，又a ＞0且a ≠1，所以a ＝2.(2)g (x )＝f (1－x )＋f (1＋x )＝log 2(1－x )＋log 2(1＋x )．由⎩⎪⎨⎪⎧1－x ＞0，1＋x ＞0，得－1＜x ＜1，定义域为(－1,1)．(3)g (x )＝log 2(1－x )＋log 2(1＋x )＝log 2(1－x 2)，其单调减区间为[0,1)．19．(本小题满分12分)若f (x )是定义在(0，＋∞)上的增函数，且对一切x ，y >0，满足f ⎝⎛⎭⎫x y ＝f (x )－f (y )．(1)求f (1)的值；(2)若f (6)＝1，解不等式f (x ＋3)－f ⎝⎛⎭⎫13<2.解：(1)在f ⎝⎛⎭⎫x y ＝f (x )－f (y )中，令x ＝y ＝1，则有f (1)＝f (1)－f (1)，∴f (1)＝0.(2)∵f (6)＝1，∴f (x ＋3)－f ⎝⎛⎭⎫13<2＝f (6)＋f (6)．∴f (3x ＋9)－f (6)<f (6)，即f ⎝⎛⎭⎫x ＋32<f (6)．∵f (x )是定义在(0，＋∞)上的增函数，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋3>0，x ＋32<6.解得－3<x <9， 即不等式的解集为(－3,9)．20．(本小题满分12分)随着新能源的发展，电动汽车在全社会逐渐普及开来，据某报记者了解，某市电动汽车国际示范区运营服务公司逐步建立了全市乃至全国的分时租赁服务体系，为新能源汽车分时租赁在全国的推广提供了可复制的市场化运营模式．现假设该公司有750辆电动汽车供租赁使用，管理这些电动汽车的费用是每日1 725元．调查发现，若每辆电动汽车的日租金不超过90元，则电动汽车可以全部租出；若超过90元，则每超过1元，租不出的电动汽车就增加3辆．设每辆电动汽车的日租金为x (元)(60≤x ≤300，x ∈N *)，用y (元)表示出租电动汽车的日净收入(日净收入等于日出租电动汽车的总收入减去日管理费用)．(1)求函数y ＝f (x )的解析式；(2)试问当每辆电动汽车的日租金为多少元时，才能使日净收入最多？解：(1)当60≤x ≤90，x ∈N *时，y ＝750x －1 725；当90＜x ≤300，x ∈N *时，y ＝[750－3(x －90)]x －1 725，故f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧750x －1 725，60≤x ≤90，x ∈N *，－3x 2＋1 020x －1 725，90＜x ≤300，x ∈N *. (2)对于y ＝750x －1 725,60≤x ≤90，x ∈N *，∵y 在[60,90](x ∈N *)上单调递增，∴当x ＝90时，y max ＝65 775.对于y ＝－3x 2＋1 020x －1 725＝－3(x －170)2＋84 975，90＜x ≤300，x ∈N *，当x ＝170时，y max ＝84 975.∵84 975＞65 775，∴当每辆电动汽车的日租金为170元时，日净收入最多．21．(本小题满分12分)已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝2x －1.(1)求f (3)＋f (－1)；(2)求f (x )的解析式；(3)若x ∈A ，f (x )∈[－7,3]，求区间A .解：(1)∵f (x )是奇函数，∴f (3)＋f (－1)＝f (3)－f (1)＝23－1－2＋1＝6.(2)设x ＜0，则－x ＞0，∴f (－x )＝2－x －1， ∵f (x )为奇函数，∴f (x )＝－f (－x )＝－2－x ＋1， ∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1，x ≥0，－2－x ＋1，x ＜0.(3)作出函数f (x )的图象，如图所示．根据函数图象可得f (x )在R 上单调递增，当x ＜0时，－7≤－2－x ＋1＜0， 解得－3≤x ＜0；当x ≥0时，0≤2x －1≤3，解得0≤x ≤2；∴区间A 为[－3,2]．22．(本小题满分12分)对于函数f (x )＝a －2b x＋1(a ∈R ，b ＞0，且b ≠1)． (1)探索函数y ＝f (x )的单调性；(2)求实数a 的值，使函数y ＝f (x )为奇函数；(3)在(2)的条件下，令b ＝2，求使f (x )＝m (x ∈[0,1])有解的实数m 的取值范围．解：(1)函数f (x )的定义域为R ，设x 1＜x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝⎝⎛⎭⎫a －2bx 1＋1－⎝⎛⎭⎫a －2bx 2＋1＝2(bx 1－bx 2)(bx 1＋1)(bx 2＋1).当b ＞1时，由x 1＜x 2，得bx 1＜bx 2，从而bx 1－bx 2＜0，于是f (x 1)－f (x 2)＜0，所以f (x 1)＜f (x 2)，此时函数f (x )在R 上是单调增函数； 当0＜b ＜1时，由x 1＜x 2，得bx 1＞bx 2，从而bx 1－bx 2＞0，于是f (x 1)－f (x 2)＞0，所以f (x 1)＞f (x 2)， 此时函数f (x )在R 上是单调减函数．(2)函数f (x )的定义域为R ，由f (0)＝0得a ＝1. 当a ＝1时，f (x )＝1－2b x ＋1＝b x －1b x ＋1， f (－x )＝1－2b －x ＋1＝b －x －1b －x ＋1＝1－b x 1＋b x . 满足条件f (－x )＝－f (x )，故a ＝1时，函数f (x )为奇函数．(3)f (x )＝1－22x＋1， ∵x ∈[0,1]，∴2x ∈[1,2]，2x ＋1∈[2,3]，22x＋1∈⎣⎡⎦⎤23，1， ∴f (x )∈⎣⎡⎦⎤0，13， 要使f (x )＝m (x ∈[0,1])有解，则0≤m ≤13，即实数m 的取值范围为⎣⎡⎦⎤0，13.。
2020高中数学(人教版A版必修一)配套课时作业：第二章 基本初等函数 (Ⅰ) 2.1.2(二) Word版含解析
2．1.2 指数函数及其性质(二)1．下列一定是指数函数的是( )A．y＝－3x B．y＝x x(x>0，且x≠1)C．y＝(a－2)x(a>3) D．y＝(1－2)x2．指数函数y＝a x与y＝b x的图象如图，则( )A．a<0，b<0B．a<0，b>0C．0<a<1，b>1D．0<a<1,0<b<13．函数y＝πx的值域是( )A．(0，＋∞) B．[0，＋∞)C．R D．(－∞，0)4．若(12)2a＋1<(12)3－2a，则实数a的取值范围是( )A．(1，＋∞) B．(12，＋∞)C．(－∞，1) D．(－∞，1 2 )5．设13<(13)b<(13)a<1，则( )A．a a<a b<b a B．a a<b a<a bC．a b<a a<b a D．a b<b a<a a6．若指数函数f(x)＝(a＋1)x是R上的减函数，那么a的取值范围为( ) A．a<2 B．a>2C．－1<a<0 D．0<a<1一、选择题1．设P＝{y|y＝x2，x∈R}，Q＝{y|y＝2x，x∈R}，则( )A．Q P B．Q PC．P∩Q＝{2,4}D．P∩Q＝{(2,4)}2．函数y＝16－4x的值域是( )A．[0，＋∞) B．[0,4]C．[0,4) D．(0,4)3．函数y＝a x在[0,1]上的最大值与最小值的和为3，则函数y＝2ax－1在[0,1]上的最大值是( )A．6B．1C．3D.3 24．若函数f(x)＝3x＋3－x与g(x)＝3x－3－x的定义域均为R，则( )A．f(x)与g(x)均为偶函数B．f(x)为偶函数，g(x)为奇函数C．f(x)与g(x)均为奇函数D．f(x)为奇函数，g(x)为偶函数5．函数y＝f(x)的图象与函数g(x)＝e x＋2的图象关于原点对称，则f(x)的表达式为( )A．f(x)＝－e x－2B．f(x)＝－e－x＋2C．f(x)＝－e－x－2D．f(x)＝e－x＋26．已知a＝1335-⎛⎫⎪⎝⎭，b＝1235-⎛⎫⎪⎝⎭，c＝1243-⎛⎫⎪⎝⎭，则a，b，c三个数的大小关系是( )A．c<a<b B．c<b<a C．a<b<c D．b<a<c二、填空题7．春天来了，某池塘中的荷花枝繁叶茂，已知每一天新长出荷叶覆盖水面面积是前一天的2倍，若荷叶20天可以完全长满池塘水面，当荷叶刚好覆盖水面面积一半时，荷叶已生长了________天．8．已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)＝1－2－x，则不等式f(x)<－12的解集是________________．9．函数y＝2212x x-+⎛⎫⎪⎝⎭的单调递增区间是________．三、解答题10．(1)设f(x)＝2u，u＝g(x)，g(x)是R上的单调增函数，试判断f(x)的单调性；(2)求函数y＝2212x x--的单调区间．11．函数f(x)＝4x－2x＋1＋3的定义域为[－12，12]．(1)设t＝2x，求t的取值范围；(2)求函数f(x)的值域．能力提升12．函数y＝2x－x2的图象大致是( )2．1.2 指数函数及其性质(二) 知识梳理1．C 2.C 3.A4．B [∵函数y＝(12)x在R上为减函数，∴2a＋1>3－2a，∴a>12 .]5．C [由已知条件得0<a<b<1，∴a b<a a，a a<b a，∴a b<a a<b a.]6．C作业设计1．B [因为P＝{y|y≥0}，Q＝{y|y>0}，所以Q P.]2．C [∵4x>0，∴0≤16－4x<16，∴16－4x∈[0,4)．]3．C [函数y＝a x在[0,1]上是单调的，最大值与最小值都在端点处取到，故有a0＋a1＝3，解得a＝2，因此函数y＝2ax－1＝4x－1在[0,1]上是单调递增函数，当x＝1时，y max＝3.]4．B [∵f(－x)＝3－x＋3x＝f(x)，g(－x)＝3－x－3x＝－g(x)．]5．C [∵y＝f(x)的图象与g(x)＝e x＋2的图象关于原点对称，∴f(x)＝－g(－x)＝－(e－x＋2)＝－e－x－2.]6．A [∵y＝(35)x是减函数，－13>－12，∴b>a>1.又0<c<1，∴c<a<b.]7．19解析假设第一天荷叶覆盖水面面积为1，则荷叶覆盖水面面积y与生长时间的函数关系为y＝2x－1，当x＝20时，长满水面，所以生长19天时，荷叶布满水面一半．8．(－∞，－1)解析∵f(x)是定义在R上的奇函数，∴f(0)＝0.当x<0时，f(x)＝－f(－x)＝－(1－2x)＝2x－1.当x>0时，由1－2－x<－12，(12)x>32，得x∈∅；当x＝0时，f(0)＝0<－12不成立；当x<0时，由2x－1<－12，2x<2－1，得x<－1.综上可知x∈(－∞，－1)．9．[1，＋∞)解析利用复合函数同增异减的判断方法去判断．令u＝－x2＋2x，则y＝(12)u在u∈R上为减函数，问题转化为求u＝－x2＋2x的单调递减区间，即为x∈[1，＋∞)．10．解(1)设x1<x2，则g(x1)<g(x2)．又由y＝2u的增减性得，即f(x1)<f(x2)，所以f(x)为R上的增函数．(2)令u＝x2－2x－1＝(x－1)2－2，则u在区间[1，＋∞)上为增函数．根据(1)可知y＝在[1，＋∞)上为增函数．同理可得函数y在(－∞，1]上为单调减函数．即函数y的增区间为[1，＋∞)，减区间为(－∞，1]．11．解(1)∵t＝2x在x∈[－12，12]上单调递增，∴t∈[22，2]．(2)函数可化为：f(x)＝g(t)＝t2－2t＋3，g(t)在[22，1]上递减，在[1，2]上递增，比较得g(22)<g(2)．∴f(x)min＝g(1)＝2，f(x)＝g(2)＝5－2 2.max∴函数的值域为[2,5－22]．12．A [当x→－∞时，2x→0，所以y＝2x－x2→－∞，所以排除C、D.当x＝3时，y＝－1，所以排除B.故选A.]。
高中数学(人教版A版必修一)配套课时作业：第二章 基本初等函数 (Ⅰ) 2.2.1第2课时 Word版含解析.doc
第2课时对数的运算课时目标 1.掌握对数的运算性质及其推导.2.能运用对数运算性质进行化简、求值和证明.3.了解换底公式并能用换底公式将一般对数化成自然对数和常用对数．1．对数的运算性质如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么：(1)log a(M·N)＝____________________；(2)log a MN＝____________________；(3)log a M n＝__________(n∈R)．2．对数换底公式log a b＝log c blog c a(a>0，且a≠1，b>0，c>0，且c≠1)；特别地：log a b·log b a＝____(a>0，且a≠1，b>0，且b≠1)．一、选择题1．下列式子中成立的是(假定各式均有意义)()A．log a x·log a y＝log a(x＋y)B．(log a x)n＝n log a xC.log a xn＝log anxD.log a xlog a y＝log a x－log a y2．计算：log916·log881的值为()A．18B.118C.83D.383．若log 513·log 36·log 6x ＝2，则x 等于( ) A ．9B.19C ．25D.1254．已知3a ＝5b ＝A ，若1a ＋1b ＝2，则A 等于( ) A ．15B.15 C ．±15D ．2255．已知log 89＝a ，log 25＝b ，则lg3等于( ) A.a b －1B.32(b －1)C.3a2(b ＋1)D.3(a －1)2b6．若lg a ，lg b 是方程2x 2－4x ＋1＝0的两个根，则(lg ab )2的值等于( ) A ．2B.12C ．4D.14二、填空题7．2log 510＋log 50.25＋(325－125)÷425＝_____________________________________. 8．(lg5)2＋lg2·lg50＝________.9．2008年5月12日，四川汶川发生里氏8.0级特大地震，给人民的生命财产造成了巨大的损失．里氏地震的等级最早是在1935年由美国加州理工学院的地震学家里特判定的．它与震源中心释放的能量(热能和动能)大小有关．震级M ＝23lg E －3.2，其中E (焦耳)为以地震波的形式释放出的能量．如果里氏6.0级地震释放的能量相当于1颗美国在二战时投放在广岛的原子弹的能量，那么汶川大地震所释放的能量相当于________颗广岛原子弹． 三、解答题10．(1)计算：lg 12－lg 58＋lg12.5－log 89·log 34； (2)已知3a ＝4b ＝36，求2a ＋1b 的值．11．若a 、b 是方程2(lg x )2－lg x 4＋1＝0的两个实根，求lg(ab )·(log a b ＋log b a )的值．能力提升12．下列给出了x与10x的七组近似对应值：组．()A．二B．四C．五D．七13．一种放射性物质不断变化为其他物质，每经过一年的剩余质量约是原来的75%，估计约经过多少年，该物质的剩余量是原来的13？(结果保留1位有效数字)(lg2≈0.3010，lg3≈0.4771)1．在运算过程中避免出现以下错误：log a(MN)＝log a M·log a N.log a MN＝log a Mlog a N.log a N n＝(log a N)n.log a M±log a N＝log a(M±N)．2．根据对数的定义和运算法则可以得到对数换底公式：知识梳理1．(1)log a M ＋log a N (2)log a M －log a N (3)n log a M 2.1 作业设计 1．C2．C [log 916·log 881＝lg16lg9·lg81lg8＝4lg22lg3·4lg33lg2＝83.] 3．D [由换底公式，得－lg3lg5·lg6lg3·lg xlg6＝2，lg x ＝－2lg5，x ＝5－2＝125.] 4．B [∵3a ＝5b ＝A >0， ∴a ＝log 3A ，b ＝log 5A .由1a ＋1b ＝log A 3＋log A 5＝log A 15＝2， 得A 2＝15，A ＝15.]5．C [∵log 89＝a ，∴lg9lg8＝a . ∴log 23＝32a .lg3＝log 23log 210＝log 231＋log 25＝3a 2(b ＋1).]6．A [由根与系数的关系可知lg a ＋lg b ＝2， lg a lg b ＝12.于是(lg ab )2＝(lg a －lg b )2＝(lg a ＋lg b )2－4lg a lg b ＝22－4×12＝2.] 7.65－3解析 原式＝2(log 510＋log 50.5)＋(325425－125425)＝2log 5(10×0.5)＋2131322255---＝2＋165－5＝65－3. 8．1解析 (lg5)2＋lg2·lg50＝(lg5)2＋lg2(lg5＋lg10) ＝(lg5)2＋lg2·lg5＋lg2＝lg5(lg5＋lg2)＋lg2 ＝lg5＋lg2＝1. 9．1000解析 设里氏8.0级、6.0级地震释放的能量分别为E 2、E 1， 则8－6＝23(lg E 2－lg E 1)，即lg E 2E 1＝3.∴E 2E 1＝103＝1000，即汶川大地震所释放的能量相当于1000颗广岛原子弹． 10．解 (1)方法一 lg 12－lg 58＋lg12.5－log 89·log 34 ＝lg(12×85×12.5)－2lg33lg2·2lg2lg3＝1－43＝－13. 方法二 lg 12－lg 58＋lg12.5－log 89·log 34 ＝lg 12－lg 58＋lg 252－lg9lg8·lg4lg3＝－lg2－lg5＋3lg2＋(2lg5－lg2)－2lg33lg2·2lg2lg3 ＝(lg2＋lg5)－43＝1－43＝－13.(2)方法一 由3a ＝4b ＝36得：a ＝log 336，b ＝log 436， 所以2a ＋1b ＝2log 363＋log 364＝log 36(32×4)＝1. 方法二 因为3a ＝4b＝36，所以136a ＝3,136b＝4，所以(136a)2·136b＝32×4， 即2136a b+＝36，故2a ＋1b ＝1.11．解 原方程可化为2(lg x )2－4lg x ＋1＝0. 设t ＝lg x ，则方程化为2t 2－4t ＋1＝0， ∴t 1＋t 2＝2，t 1·t 2＝12.又∵a 、b 是方程2(lg x )2－lg x 4＋1＝0的两个实根， ∴t 1＝lg a ，t 2＝lg b ， 即lg a ＋lg b ＝2，lg a ·lg b ＝12. ∴lg(ab )·(log a b ＋log b a ) ＝(lg a ＋lg b )·(lg b lg a ＋lg a lg b )＝(lg a ＋lg b )·(lg b )2＋(lg a )2lg a ·lg b ＝(lg a ＋lg b )·(lg a ＋lg b )2－2lg a ·lg blg a ·lg b＝2×22－2×1212＝12，即lg(ab )·(log a b ＋log b a )＝12.12．A [由指数式与对数式的互化可知， 10x ＝N ⇔x ＝lg N ， 将已知表格转化为下表：∵lg2＋lg5＝0.30103＋0.69897＝1，∴第一组、第三组对应值正确．又显然第六组正确，∵lg8＝3lg2＝3×0.30103＝0.90309，∴第五组对应值正确．∵lg12＝lg2＋lg6＝0.30103＋0.77815＝1.07918，∴第四组、第七组对应值正确．∴只有第二组错误．]13．解设这种放射性物质最初的质量是1，经过x年后，剩余量是y，则有y＝0.75x.依题意，得13＝0.75x，即x＝lg13lg0.75＝－lg3lg3－lg4＝lg32lg2－lg3＝0.47712×0.3010－0.4771≈4.∴估计约经过4年，该物质的剩余量是原来的1 3.。
高中数学(人教版A版必修一)配套课时作业：第二章 基本初等函数 (Ⅰ) 2.2.2(一)
2．2.2对数函数及其性质(一)课时目标 1.掌握对数函数的概念、图象和性质.2.能够根据指数函数的图象和性质得出对数函数的图象和性质，把握指数函数与对数函数关系的实质．1．对数函数的定义：一般地，我们把______________________叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是________．2．对数函数的图象与性质定义y＝log a x (a>0，且a≠1)底数a>10<a<1图象定义域________值域________单调性在(0，＋∞)上是增函数在(0，＋∞)上是减函数共点性图象过点________，即log a1＝0函数值特点x∈(0,1)时，y∈________；x∈[1，＋∞)时，y∈________x∈(0,1)时，y∈________；x∈[1，＋∞)时，y∈________对称性函数y＝log a x与y＝1logax的图象关于____对称3.对数函数y＝log a x(a>0且a≠1)和指数函数__________________互为反函数．一、选择题1．函数y ＝log 2x －2的定义域是( ) A ．(3，＋∞) B ．[3，＋∞) C ．(4，＋∞) D ．[4，＋∞)2．设集合M ＝{y |y ＝(12)x ，x ∈[0，＋∞)}，N ＝{y |y ＝log 2x ，x ∈(0,1]}，则集合M ∪N 等于( )A ．(－∞，0)∪[1，＋∞)B ．[0，＋∞)C ．(－∞，1]D ．(－∞，0)∪(0,1)3．已知函数f (x )＝log 2(x ＋1)，若f (α)＝1，则α等于( ) A ．0B ．1C ．2D ．34．函数f (x )＝|log 3x |的图象是( )5．已知对数函数f (x )＝log a x (a >0，a ≠1)，且过点(9,2)，f (x )的反函数记为y ＝g (x )，则g (x )的解析式是( ) A ．g (x )＝4x B ．g (x )＝2x C ．g (x )＝9x D ．g (x )＝3x6．若log a 23<1，则a 的取值范围是( ) A ．(0，23) B ．(23，＋∞) C ．(23，1) D ．(0，23)∪(1，＋∞)题号12345 6答案二、填空题7．如果函数f(x)＝(3－a)x，g(x)＝log a x的增减性相同，则a的取值范围是______________．8．已知函数y＝log a(x－3)－1的图象恒过定点P，则点P的坐标是________．9．给出函数则f(log23)＝________.三、解答题10．求下列函数的定义域与值域：(1)y＝log2(x－2)；(2)y＝log4(x2＋8)．11．已知函数f(x)＝log a(1＋x)，g(x)＝log a(1－x)，(a>0，且a≠1)．(1)设a＝2，函数f(x)的定义域为[3,63]，求函数f(x)的最值．(2)求使f(x)－g(x)>0的x的取值范围．能力提升12．已知图中曲线C1，C2，C3，C4分别是函数y＝log a1x，y＝log a2x，y＝log a3x，y＝log a4x的图象，则a1，a2，a3，a4的大小关系是()A．a4<a3<a2<a1B．a3<a4<a1<a2C．a2<a1<a3<a4D．a3<a4<a2<a113．若不等式x2－log m x<0在(0，12)内恒成立，求实数m的取值范围．1．函数y ＝log m x 与y ＝log n x 中m 、n 的大小与图象的位置关系．当0<n <m <1时，如图①；当1<n <m 时，如图②；当0<m <1<n 时，如图③.2．由于指数函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)的定义域是R ，值域为(0，＋∞)，再根据对数式与指数式的互化过程知道，对数函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)的定义域为(0，＋∞)，值域为R ，它们互为反函数，它们的定义域和值域互换，指数函数y ＝a x 的图象过(0,1)点，故对数函数图象必过(1,0)点．2．2.2 对数函数及其性质(一)知识梳理1．函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1) (0，＋∞) 2.(0，＋∞) R (1,0) (－∞，0) [0，＋∞) (0，＋∞) (－∞，0] x 轴 3．y ＝a x (a >0且a ≠1) 作业设计1．D [由题意得：⎩⎨⎧log 2x －2≥0，x >0.解得x ≥4.]2．C [M ＝(0,1]，N ＝(－∞，0]，因此M ∪N ＝(－∞，1]．] 3．B [α＋1＝2，故α＝1.]4．A [y ＝|log 3x |的图象是保留y ＝log 3x 的图象位于x 轴上半平面的部分(包括与x 轴的交点)，而把下半平面的部分沿x 轴翻折到上半平面而得到的．] 5．D [由题意得：log a 9＝2，即a 2＝9，又∵a >0，∴a ＝3. 因此f (x )＝log 3x ，所以f (x )的反函数为g (x )＝3x .]6．D [由log a 23<1得：log a 23<log a a . 当a >1时，有a >23，即a >1； 当0<a <1时，则有0<a <23.综上可知，a 的取值范围是(0，23)∪(1，＋∞)．] 7．(1,2)解析 由题意，得⎩⎨⎧ 0<3－a <1，0<a <1或⎩⎨⎧3－a >1，a >1，解得1<a <2.8．(4，－1)解析 y ＝log a x 的图象恒过点(1,0)，令x －3＝1，则x ＝4； 令y ＋1＝0，则y ＝－1. 9.124解析 ∵1<log 23<log 24＝2，∴3＋log 23∈(4,5)， ∴f (log 23)＝f (log 23＋1)＝f (log 23＋2)＝f (log 23＋3)＝f (log 224)＝222log 241log log 24241222-⎛⎫== ⎪⎝⎭＝124.10．解 (1)由x －2>0，得x >2，所以函数y ＝log 2(x －2)的定义域是(2，＋∞)，值域是R .(2)因为对任意实数x ，log 4(x 2＋8)都有意义， 所以函数y ＝log 4(x 2＋8)的定义域是R . 又因为x 2＋8≥8，所以log 4(x 2＋8)≥log 48＝32，即函数y ＝log 4(x 2＋8)的值域是[32，＋∞)．11．解 (1)当a ＝2时，函数f (x )＝log 2(x ＋1)为[3,63]上的增函数， 故f (x )max ＝f (63)＝log 2(63＋1)＝6，f (x )min ＝f (3)＝log 2(3＋1)＝2.(2)f (x )－g (x )>0，即log a (1＋x )>log a (1－x )， ①当a >1时，1＋x >1－x >0，得0<x <1. ②当0<a <1时，0<1＋x <1－x ，得－1<x <0.12．B [作x 轴的平行线y ＝1，直线y ＝1与曲线C 1，C 2，C 3，C 4各有一个交点，则交点的横坐标分别为a 1，a 2，a 3，a 4.由图可知a 3<a 4<a 1<a 2.] 13.解 由x 2－log m x <0，得x 2<log m x ，在同一坐标系中作y ＝x 2和y ＝log m x 的草图，如图所示．要使x 2<log m x 在(0，12)内恒成立，只要y ＝log m x 在(0，12)内的图象在y ＝x 2的上方，于是0<m <1. ∵x ＝12时，y ＝x 2＝14，∴只要x ＝12时，y ＝log m 12≥14＝log m 14m . ∴12≤14m ，即116≤m .又0<m <1，∴116≤m <1，即实数m 的取值范围是[116，1)．小课堂：如何培养中学生的自主学习能力？自主学习是与传统的接受学习相对应的一种现代化学习方式。
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第2课时对数的运算
课时目标 1.掌握对数的运算性质及其推导.2.能运用对数运算性质进行化简、求值和证明.3.了解换底公式并能用换底公式将一般对数化成自然对数和常用对数．
1．对数的运算性质
如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么：
(1)log a(M·N)＝____________________；
(2)log a M
N＝____________________；
(3)log a M n＝__________(n∈R)．2．对数换底公式
log a b＝log c b
log c a(a>0，且a≠1，b>0，c>0，且c≠1)；
特别地：log a b·log b a＝____(a>0，且a≠1，b>0，且b≠1)．
一、选择题
1．下列式子中成立的是(假定各式均有意义)()
A．log a x·log a y＝log a(x＋y)
B．(log a x)n＝n log a x
C.log a x
n＝log a
n
x
D.log a x
log a y＝log a x－log a y
2．计算：log916·log881的值为()
A．18B.1
18C.
8
3D.
3
8
3．若log 51
3·log 36·log 6x ＝2，则x 等于( ) A ．9B.19C ．25D.125
4．已知3a ＝5b ＝A ，若1a ＋1
b ＝2，则A 等于( ) A ．15B.15 C ．±15D ．225
5．已知log 89＝a ，log 25＝b ，则lg3等于( ) A.a b －1B.32(b －1)
C.
3a
2(b ＋1)
D.3(a －1)2b
6．若lg a ，lg b 是方程2x 2－4x ＋1＝0的两个根，则(lg a
b )2的值等于( ) A ．2B.12C ．4D.1
4
二、填空题
7．2log 510＋log 50.25＋(325－125)÷4
25＝_____________________________________. 8．(lg5)2＋lg2·lg50＝________.
9．2008年5月12日，四川汶川发生里氏8.0级特大地震，给人民的生命财产造成了巨大的损失．里氏地震的等级最早是在1935年由美国加州理工学院的地震学家里特判定的．它与震源中心释放的能量(热能和动能)大小有关．震级M ＝2
3lg E －3.2，其中E (焦耳)为以地震波的形式释放出的能量．如果里氏6.0级地震释放的能量相当于1颗美国在二战时投放在广岛的原子弹的能量，那么汶川大地震所释放的能量相当于________颗广岛原子弹． 三、解答题
10．(1)计算：lg 12－lg 5
8＋lg12.5－log 89·log 34； (2)已知3a ＝4b ＝36，求2a ＋1
b 的值．
11．若a 、b 是方程2(lg x )2－lg x 4＋1＝0的两个实根，求lg(ab )·(log a b ＋log b a )的值．
能力提升
12．下列给出了x与10x的七组近似对应值：
组．()
A．二B．四
C．五D．七
13．一种放射性物质不断变化为其他物质，每经过一年的剩余质量约是原来的
75%，估计约经过多少年，该物质的剩余量是原来的1
3？(结果保留1位有效数
字)(lg2≈0.3010，lg3≈0.4771)
1．在运算过程中避免出现以下错误：log a(MN)＝log a M·log a N.
log a M
N＝
log a M
log a N.
log a N n＝(log a N)n.
log a M±log a N＝log a(M±N)．
2．根据对数的定义和运算法则可以得到对数换底公式：
知识梳理
1．(1)log a M ＋log a N (2)log a M －log a N (3)n log a M 2.1 作业设计 1．C
2．C [log 916·log 881＝lg16lg9·lg81lg8＝4lg22lg3·
4lg33lg2＝8
3.] 3．D [由换底公式，得－lg3lg5·lg6lg3·lg x
lg6＝2，
lg x ＝－2lg5，x ＝5－2＝1
25.] 4．B [∵3a ＝5b ＝A >0， ∴a ＝log 3A ，b ＝log 5A .
由1a ＋1
b ＝log A 3＋log A 5＝log A 15＝2， 得A 2＝15，A ＝15.]
5．C [∵log 89＝a ，∴lg9
lg8＝a . ∴log 23＝3
2a .
lg3＝log 23log 2
10＝log 231＋log 25＝3a 2(b ＋1).]
6．A [由根与系数的关系可知lg a ＋lg b ＝2， lg a lg b ＝1
2.
于是(lg a
b )2＝(lg a －lg b )2
＝(lg a ＋lg b )2－4lg a lg b ＝22－4×1
2＝2.] 7.6
5－3
解析 原式＝2(log 510＋log 50.5)＋(
3
254
25
－
125425
)
＝2log 5(10×0.5)＋213132
22
5
5---
＝2＋16
5－5＝6
5－3. 8．1
解析 (lg5)2＋lg2·lg50＝(lg5)2＋lg2(lg5＋lg10) ＝(lg5)2＋lg2·lg5＋lg2＝lg5(lg5＋lg2)＋lg2 ＝lg5＋lg2＝1. 9．1000
解析 设里氏8.0级、6.0级地震释放的能量分别为E 2、E 1， 则8－6＝23(lg E 2－lg E 1)，即lg E 2
E 1
＝3.
∴E 2
E 1
＝103＝1000，
即汶川大地震所释放的能量相当于1000颗广岛原子弹． 10．解 (1)方法一 lg 12－lg 5
8＋lg12.5－log 89·log 34 ＝lg(12×85×12.5)－2lg33lg2·2lg2lg3＝1－43＝－13. 方法二 lg 12－lg 5
8＋lg12.5－log 89·log 34 ＝lg 12－lg 58＋lg 252－lg9lg8·
lg4lg3
＝－lg2－lg5＋3lg2＋(2lg5－lg2)－2lg33lg2·2lg2
lg3 ＝(lg2＋lg5)－43＝1－43＝－1
3.
(2)方法一 由3a ＝4b ＝36得：a ＝log 336，b ＝log 436， 所以2a ＋1
b ＝2log 363＋log 364＝log 36(32×4)＝1. 方法二 因为3a ＝4b
＝36，所以136a ＝3,136b
＝4，
所以(136a
)2
·
136b
＝32×4， 即2136
a b
+＝36，故2a ＋1
b ＝1.
11．解 原方程可化为2(lg x )2－4lg x ＋1＝0. 设t ＝lg x ，则方程化为2t 2－4t ＋1＝0， ∴t 1＋t 2＝2，t 1·t 2＝1
2.
又∵a 、b 是方程2(lg x )2－lg x 4＋1＝0的两个实根， ∴t 1＝lg a ，t 2＝lg b ， 即lg a ＋lg b ＝2，lg a ·lg b ＝12. ∴lg(ab )·(log a b ＋log b a ) ＝(lg a ＋lg b )·(lg b lg a ＋lg a lg b )
＝(lg a ＋lg b )·(lg b )2＋(lg a )2
lg a ·
lg b ＝(lg a ＋lg b )·(lg a ＋lg b )2－2lg a ·lg b
lg a ·lg b
＝2×22－2×1
2
12
＝12，
即lg(ab )·(log a b ＋log b a )＝12.
12．A [由指数式与对数式的互化可知， 10x ＝N ⇔x ＝lg N ， 将已知表格转化为下表：
∵lg2＋lg5＝0.30103＋0.69897＝1，
∴第一组、第三组对应值正确．
又显然第六组正确，
∵lg8＝3lg2＝3×0.30103＝0.90309，
∴第五组对应值正确．
∵lg12＝lg2＋lg6＝0.30103＋0.77815＝1.07918，
∴第四组、第七组对应值正确．
∴只有第二组错误．]
13．解设这种放射性物质最初的质量是1，经过x年后，剩余量是y，则有y＝0.75x.
依题意，得1
3＝0.75
x，即x＝
lg
1
3
lg0.75
＝
－lg3
lg3－lg4
＝
lg3
2lg2－lg3
＝
0.4771
2×0.3010－0.4771
≈4.
∴估计约经过4年，该物质的剩余量是原来的1 3.。