第一讲整数奇偶性与整除性
数字的奇偶性与整除性知识点总结
数字的奇偶性与整除性知识点总结数字的奇偶性和整除性是数学中的基础概念，具有广泛的应用。
它们在算术、代数以及其他数学分支中起着重要的作用。
本文将对数字的奇偶性和整除性进行总结和说明。
1. 奇偶性奇偶性是指一个数字是奇数还是偶数。
奇数是无法被2整除的自然数，而偶数则可以被2整除。
以下是关于奇偶性的一些重要知识点：1.1 奇数和偶数的性质- 奇数加奇数等于偶数，偶数加偶数等于偶数，奇数加偶数等于奇数。
- 奇数乘奇数等于奇数，偶数乘偶数等于偶数，奇数乘偶数等于偶数。
- 任何数乘以2都是偶数。
1.2 奇偶数的判断判断一个数字的奇偶性有多种方法，包括：- 观察数字的个位数（个位数为0、2、4、6、8则是偶数，为1、3、5、7、9则是奇数）- 使用求模运算（将数字除以2，如果余数为0则是偶数，为1则是奇数）- 利用奇偶性质（对于大于0的整数，奇数的前一位数字必定是偶数，偶数的前一位数字必定是奇数）2. 整除性整除性是指一个数字能否被另一个数字整除，即没有余数。
以下是关于整除性的一些重要知识点：2.1 整除和余数当一个数字x能够被另一个数字y整除时，x称为y的倍数，y称为x的约数。
如果x不能被y整除，则称x与y互质。
例如，4是8的约数，8是24的倍数。
2.2 整除的性质- 如果一个数字能被2整除，那么它一定是偶数。
- 如果一个数字能被5整除，并且个位数是0或5，那么它一定能被10整除。
- 一个数字能被2和3整除，那么它一定能被6整除。
2.3 整除的判断判断一个数字x能否被另一个数字y整除的方法有：- 观察x和y的因数，如果x包含了y的全部因数，则x能被y整除。
- 使用求模运算（将x对y取余，如果余数为0，则x能被y整除）。
- 判断x和y是否互质，即它们没有相同的因数。
在实际问题中，数字的奇偶性和整除性经常被应用于解决各种问题。
例如，在计算机科学中，奇偶性可用于判断二进制数中最低位的值。
整除性则经常用于进行因式分解、求解最大公约数和最小公倍数等。
高一必修一数学奇偶性知识点
高一必修一数学奇偶性知识点在高一必修一的数学学习中，奇偶性是一个非常重要的知识点。
奇偶性在数学中具有广泛的应用，不仅在解方程、证明等数学题目中有用，还在实际生活中有很多应用。
下面我们将详细介绍高一必修一数学中与奇偶性相关的知识点。
一、整数的奇偶性整数的奇偶性是指整数的性质，可以判断一个数是奇数还是偶数。
整数的奇偶性是通过整除2来确定的。
当一个整数除以2的余数为0时，它是一个偶数；当余数为1时，它是一个奇数。
二、四则运算中的奇偶性在四则运算中，奇数与奇数相加、相乘，结果仍为奇数；偶数与偶数相加、相乘，结果也是偶数。
而奇数与偶数相加、相乘，结果则是偶数。
三、幂的奇偶性在幂的运算中，奇数的任意次幂都是奇数，而偶数的任意次幂都是偶数。
四、多项式的奇偶性对于多项式来说，奇次幂项的系数的奇偶性与整体多项式的奇偶性相同；偶次幂项的系数的奇偶性与整体多项式的奇偶性相反。
五、函数的奇偶性在函数的奇偶性中，如果对于任意的x，函数f(-x) = f(x)，则称函数是偶函数；如果对于任意的x，函数f(-x) = -f(x)，则称函数是奇函数。
六、图形的奇偶性在几何图形中，奇函数的图形关于坐标原点对称，偶函数的图形关于y轴对称。
七、应用举例1. 在解一元二次方程时，可以根据方程中各项的系数的奇偶性，来判断方程的根的奇偶性，从而简化解题过程。
2. 在证明数学命题时，奇偶性也经常被用到。
通过分析题目中给出的条件和结论的奇偶性，可以选择合适的方法进行证明。
3. 在计算机科学中，奇偶性也常常被用于数据校验，如奇偶校验位、CRC校验等。
综上所述，高一必修一数学中的奇偶性知识点涉及整数、四则运算、幂、多项式、函数和图形等方面。
掌握奇偶性的规律和应用，可以帮助我们更好地理解和解决数学问题，提高数学思维能力和解题能力。
因此，我们要认真学习和掌握这一知识点，为接下来的学习打下良好的基础。
六年级第一讲（教师讲义）整数和整除
六年级第一讲（教师讲义）整数和整除第一讲（教师讲义）整数和整除【知识点1】1、整数整数；正整数、零、负正整统称为整数。
自然数：零和正整数统称为自然数。
正整数：非0自然数也叫正整数，即1，2，3，4，……负整数：小于0的整数叫负整数。
负整数的表示方法是在整数前面加上“–”最大的负整数是–1，没有最小的负整数，没有最大的整数。
2、零0是一个数，是最小的自然数。
零的性质：1）0是一个自然数，并且是一个整数，且小于一切非0自然数。
2）0是偶数；在十进制记数法中起占位作用。
3）0可以表示一个物体都没有，也可以表示确定的内容4）0是任意非0自然数的倍数（0除以任意非0自然数的结果为0）5）任何数与0相加，值不变。
6）任何数与0相乘，积等于0。
7）任何数减去0它的值不变。
8）相同的两个数相减，差等于0。
9）0不能作除数。
10）0是唯一的一个中性数，既不是正数也不是负数。
11）0被非0的数除商等于0。
3、整数和整除的意义整除：整数a除以整数b，如果除得的商是整数而余数为零，就说a能被b整除；或者说b能整除a。
注意整除的条件： (1)除数、被除数都是整数；(2)被除数除以除数，商是整数而且余数为零。
注意：整除与除尽的区别。
【知识点2】因数和倍数：整数a能被整数b整除，a就叫做b的倍数，b就叫做a的因数(也称为约数) 一个的因数中最小的因数是1，最大的因数是它本身。
一个整数没有最大的倍数，而最小的倍数是它本身。
注意：在研究因数和倍数时，所指的自然数不包括0。
【知识点3】奇数和偶数：能被2整除的数叫做偶数，不能被2整除的数叫做奇数．注意：奇数、偶数包括负整数，0是偶数能被2、5整除的数的特征：个位上是0，2，4，6，8的数都能被2整除．个位上是0或者5的数都能被5整除．补充：能被3整除的数：各位数上的数之和为3的倍数。
一、填空题1、大于-2小于2的整数有： .2、在6,13,25,39这四个数中，能被整除.3、一个数的因数只有她本身，这个数是 .4、如果n是奇数，则和它相邻的奇数是 .5、一个数既有50的因数，又有50的倍数，则这个数是 .6、自然数m的最小因数是，最大因数是，最小倍数是 .7、如果a能整除11，则a是 .8、已知三个连续的偶数是30，则这三个连续的偶数是 .9、能被2和5同时整除的最大三位数是 .10、50以内，7的倍数且是奇数的数有： .11、有一个两位数，十位和个位上的数字互换，得到一个新的两位数，新、旧两位数都能被5整除，那么这个两位数是 .12、用0,2,5这三个数字组成一个三位数，它同时能被2,5整除，这个三位数最大的是，最小的是 .13、233至少加上能被5整除，至少加上能被3整除，至少加上能2，3，5整除.14、一个自然数与3的和是5的倍数，与3的差是6的倍数，则符合此条件的自然数中最小的数是 .二、选择题（每题3分，共15分）16、下列算式中表示整除的算式是（）(A) 0.80.4÷ (D) 11÷(B) 816÷(C) 163÷17、既是18的因数又是27的因数的数是（）(A) 1 ,2,3 (B) 1,3,6 (C) 1,2,9 (D) 1,3,918、从5,0,1,3四个数字中选出三个数字，组成一个三位数，能同时被2,3,5整除的有（）（A）1个（B）2个（C）3个（D）4个19、A=2×3×5，A的因数有 ( )（A） 2、3、5 （B）2、3、5、6、10（C）1、2、3、5、6、10、15 （D）1、2、3、5、6、10、15、30三解答题（第20-25题各6分，26题7分，共43分）20、写出下列各数所有的因数.（1）11 （2）10221、一个正整数既是48的因数，又是3的倍数，求这个数.22、从0、3、5、7这四个数字中，任选三个数字组成一个同时能被2、3、5整除的三位数，这样的三位数有几个，是哪几个？23、儿童乐园是3路和6路车的始发站，3路车每4分钟发一次车，6路车每3分钟发一次车.现在这两路车同时发车，至少再过多少时间又同时发车？24、数a的最大因数是60，且a是b的3倍，求a与b所含有的共同因数.25、48本爱心捐赠书籍分给一些学生，每人发一样多且不止一本，可以分给多少人？每人几本，有多少种分法？26、我们设n为大于5的正奇数，那么紧邻它而比它小的两个奇数可以表示为n －2和n－4，紧邻它而比它大的奇数可以表示为n＋2和n+4，因为n＋（n－4）+（n－2）＋（n＋2）+ （n+4）＝5n，所以我们可以说五个连续的奇数之和一定能被5整除.试用上面的方法说明“五个连续的正整数之和能被5整除”.回家作业：一：填空题：1、统称为自然数。
数论1
1、在下面的数中，哪些能被4整除？哪些能被8整除？哪些能 被9整除？ 234，789，7756，8865，3728，8064。 解：能被4整除的数有7756，3728，8064； 能被8整除的数有3728，8064； 能被9整除的数有盖住的十位数分别等于几时，这个四 位数分别能被9，8，4整除？ 解：如果56□2能被9整除，那么 5＋6＋□＋2＝13＋□ 应能被9整除，所以当十位数是5，即四位数是5652时能 被9整除； 如果56□2能被8整除，那么6□2应能被8整除，所以当 十位数是3或7，即四位数是5632或5672时能被8整除； 如果56□2能被4整除，那么□2应能被4整除，所以当十 位数是1，3，5，7，9，即四位数是 5612，5632，5652， 5672，5692时能被4整除。
3、从0，2，5，7四个数字中任选三个，组成能同时被2， 5，3整除的数，并将这些数从小到大进行排列。
解：因为组成的三位数能同时被2，5整除，所以个位数字 为0。根据三位数能被3整除的特征，数字和2＋7＋0与5＋ 7＋0都能被3整除，因此所求的这些数为270，570，720， 750。
4、五位数 A329B 能被72整除，问：A与B各代表什么数字？
7、abcabc 能否被7、11和13整除？
解：因为 abcabc=abc×1001，1001 是7、11和13的倍数， 所以 abcabc 能被7、11和13整除。 能被7，11和13整除的数的特征：数A的末三位数字所表 示的数与末三位数以前的数字所表示的数之差（大数减小数） 能被7或11或13整除，那么数A能被7或11或13整除。否则， 数A就不能被7或11或13整除。
解：已知 A329B能被72整除。因为72＝8×9，8和9是互质 数，所以 A329B 既能被8整除，又能被9整除。根据能被8 整除的数的特征，要求 29B 能被8整除，由此可确定B＝6。 再根据能被9整除的数的特征，A329B 的各位数字之和为 A＋3＋2＋9＋B＝A＋3－f－2＋9＋6＝A＋20， 因为l≤A≤9，所以21≤A＋20≤29。在这个范围内只有27 能被9整除，所以A＝7。
数字的奇偶性与整除性质知识点总结
数字的奇偶性与整除性质知识点总结数字的奇偶性与整除性知识点总结数字的奇偶性和整除性是数学中非常基础但重要的概念。
它们在数论、代数和计算机科学等各个领域都有重要应用。
本文将总结数字的奇偶性与整除性的相关知识点，并探讨其应用。
一、数字的奇偶性在自然数集中，数字可以被分为奇数和偶数两类。
奇数是不能被2整除的数，偶数则可以被2整除。
1. 奇数的性质：- 任何奇数都可以表示为2n+1的形式，其中n为整数。
- 任意两个奇数的和是偶数。
- 任意奇数与偶数的积是偶数。
2. 偶数的性质：- 任何偶数都可以表示为2n的形式，其中n为整数。
- 任意两个偶数的和是偶数。
- 任意偶数与奇数的积是偶数。
奇偶性在数学推导和计算中有重要的应用。
例如，在判断数字是否可以整除时，我们可以利用奇偶性质来简化计算。
二、数字的整除性在数学中，整除性是指一个数能够被另一个数整除，也可以称为倍数关系。
1. 整除的定义：给定两个整数a和b，如果存在一个整数c，使得a = b * c，则称a能够被b整除（或b是a的约数），记作b|a。
其中符号“|”表示整除关系。
2. 整除的性质：- 对任意整数a，a|0，0|a。
- 如果a|b，且b|c，则a|c（传递性）。
- 如果a|b且a|c，则a|(b + c)和a|(b - c)。
- 如果a|b，且a|c，则a|（b + c）和a|（b - c）。
整除性是数论中重要的概念，它与素数、因数分解等概念密切相关。
在计算中，我们常常利用整除性质来简化计算或判断数的性质。
三、奇偶性与整除性的关系数字的奇偶性与整除性之间有一些重要的联系。
1. 奇偶数的乘积：- 任何偶数与偶数的乘积是偶数。
- 任何奇数与奇数的乘积是奇数。
- 任何奇数与偶数的乘积是偶数。
2. 偶数与整除性：- 一个整数能够被2整除，当且仅当它是偶数。
- 如果一个整数能够被另一个偶数整除，那么它也能够被2整除。
通过运用奇偶性与整除性的关系，我们可以简化计算、推导和证明过程，提高解题效率。
数字的奇偶性与整除性的拓展应用知识点总结
数字的奇偶性与整除性的拓展应用知识点总结数字的奇偶性和整除性是数学中的基本概念，它们在数论、代数和几何等领域有广泛的应用。
在本文中，我们将总结数字的奇偶性和整除性的一些拓展应用知识点。
一、数字的奇偶性：数字的奇偶性是指一个数是奇数还是偶数。
一个数除以2的余数为0时，称这个数为偶数；为1时，则称其为奇数。
1.1 奇数和偶数的性质：- 任意整数加减偶数，结果仍为偶数；- 任意奇数加减偶数，结果仍为奇数；- 任意奇数与奇数相加，结果为偶数；- 任意偶数与偶数相加，结果为偶数。
1.2 奇偶性的拓展应用：1.2.1 奇偶校验：在计算机科学中，奇偶校验是一种错误检测的方法。
传输数据时，通常会在每个字节的最后加上一个奇偶校验位。
校验位的值将使得整个字节的二进制位数中1的个数为奇数或偶数。
接收方根据接收到的数据和校验位的奇偶性来判断数据是否传输错误。
1.2.2 奇偶数游戏：奇偶数游戏是一种智力游戏，它基于数字的奇偶性。
游戏的规则是，两名玩家轮流说出一个正整数，每次玩家只能说出比对方所说的数大1或者大2的整数。
游戏的目标是将最后一个数说出来。
根据数学原理，如果一方所说的数是偶数，那么另一方可以通过选择一个偶数来确保最后一个数是偶数。
类似地，如果一方所说的数是奇数，那么另一方可以通过选择一个奇数来确保最后一个数是奇数。
二、数字的整除性：数字的整除性是指一个数是否能够整除另一个数。
如果一个数能够整除另一个数，那么称它为它的约数。
2.1 整除性的性质：- 任意整数都能被1整除；- 任意整数都能被自身整除；- 如果一个数能被另一个数整除，那么这两个数的倍数也能被另一个数整除；- 如果一个数能被两个数整除，那么它也能被这两个数的最大公约数整除。
2.2 整除性的拓展应用：2.2.1 最大公约数和最小公倍数：最大公约数是指能够同时整除两个数的最大正整数。
最小公倍数是指能够同时被两个数整除的最小正整数。
最大公约数和最小公倍数在数学和实际问题中都有广泛的应用，例如分数的化简和比例的求解等。
数的奇偶性与数的整除关系
数的奇偶性与数的整除关系在数学中，我们经常会遇到对数进行分类的情况，其中最基本的分类就是奇数和偶数。
奇数是指不能被2整除的数，而偶数则是可以被2整除的数。
奇偶性对数的整除关系有着重要的影响和作用。
本文将探讨数的奇偶性与数的整除关系之间的联系和性质。
1. 奇数的整除性质奇数具有一些独特的整除性质。
首先，任何一个奇数都不能被2整除，即不能被偶数整除。
这是因为奇数除以偶数的商一定是一个非整数，即有余数。
例如，3除以2的商为1.5，其中1是一个整数，但0.5是一个小于1的小数，因此不能整除。
同样地，5除以2的商为2.5，其中2是一个整数，但0.5仍然是一个小于1的小数。
由此可以得出结论，奇数除以2的余数总是1。
其次，奇数除以其他奇数的余数也是另一个奇数。
这个性质可以通过取两个奇数的商的整数部分，再用这个整数乘以除数，并用被除数减去这个乘积来证明。
例如，7除以3的商为2，其中2是一个整数。
我们可以用3乘以2，得到6，并用7减去6，得到1，即为7除以3的余数。
因此，奇数除以奇数的余数总是一个奇数。
综上所述，奇数具有与偶数不同的整除性质，这使得奇数在数学运算和推理中具有独特的地位和作用。
2. 偶数的整除性质相比之下，偶数的整除性质相对简单。
由于偶数可以被2整除，所以任何一个偶数都可以被2整除，即没有余数。
这使得在计算和运算中，偶数的整除问题相对容易解决。
另外，两个偶数相除的结果仍然是一个偶数。
这可以通过假设两个偶数的商为一个有理数，再用这个有理数乘以被除数，并用除数减去这个乘积来证明。
例如，8除以4的商为2，其中2是一个整数。
我们可以用4乘以2，得到8，并用8减去8，得到0，即为8除以4的余数。
因此，偶数除以偶数的余数总是0，即偶数直接整除。
3. 数的奇偶性与整除关系的应用数的奇偶性与整除关系在数学和实际生活中有着广泛的应用。
以下是一些例子：- 判断一个数字是否为质数：质数是指除了1和自身外没有其他正整数因子的数。
第一讲__整数奇偶性与整除性分析
• 定义3:(最小公倍数)设a,b是两个非零整数，一个同时为 a,b倍数的数称为它们的公倍数，a、b的公倍数有无穷多个 ，这其中最小的一个称为a、b的最小公倍数，记作[a,b]. 对于多个非零实数a,b,…,c，可类似地定义它们的最小公倍 数［a,b,…,c］. 最小公倍数主要有以下几条性质： • 1）a与b的任一公倍数都是[a,b]的倍数，对于多于两个数 的情形，类似结论也成立； • 2）两个整数a,b的最大公约数与最小公倍数满足： (a,b)[a,b]=|ab|(但请注意，这只限于两个整数的情形， 对于多于两个整数的情形，类似结论不成立)； • 3）若a,b,…,c两两互素，则［a,b,…,c］＝｜a·b·…·c｜； • 4）若a|d，b|d,……，c|d且两两互素，则a·b·…·c｜d.
2000 个 0
10 01 10 证明：
2000 个0
2001
1 (103 ) 667 1 (103 1)[(103 ) 666 (103 ) 665 103 1]
.
01 所以103+1(=1001)整除 10
2000 个 0
例6 若17|(2a+3b),试证：17|(9a+5b).
证明：注意到2(9a+5b)=9(2a+3b)－17b,于是17|2(9a+5b). 但是(17,2)=1,即得17|(9a+5b).
三 · 最大公约数、最小公倍数
• 定义2：（最大公约数）设a，b不全为零，同时整除a,b的 整数（如 1）称为它们的公约数. 因为a,b不全为零，故 a,b的公约数只有有限多个，我们将其中最大一个称为a,b 的最大公约数，用符号（a,b）表示. 显然，最大公约数是 一个正整数. • 当（a,b）＝1（即公约数只有 1）时，我们称a与b 互素（互质）。这是数论中的非常重要的一个概念. • 同样，如果对于多个（不全为零）的整数a,b,…c， 可类似地定义它们的最大公约数（a,b,…c）. 若（ a,b,…c）＝1，则称a,b,…c互素. 请注意，此时不能推 出a,b,…c两两互素；但反过来，若（a,b,…c）两两互素 ，则显然有（a,b,…c）＝1.
小学四年级数学上册教案认识数字的奇偶性与整除关系
小学四年级数学上册教案认识数字的奇偶性与整除关系小学四年级数学上册教案认识数字的奇偶性与整除关系一、教学目标1. 认识数字的奇偶性，理解奇数和偶数的概念。
2. 掌握判断数字奇偶性的方法。
3. 学习数字的整除关系，了解什么是整数以及整除和余数的概念。
二、教学重点1. 奇数和偶数的概念及判断方法。
2. 数字的整除关系及整数、整除和余数的概念。
三、教学内容及方法1. 引入（5分钟）教师出示一些数字卡片，让学生观察这些数字，比较它们之间的不同，引导学生思考数字的奇偶性。
2. 学习认识奇数和偶数（15分钟）学生分组进行游戏，每组拥有一组数字卡片，其中有一张数字卡片被翻过来，其他同学需要判断这个数字是奇数还是偶数，理解奇数和偶数的概念。
3. 判断数字奇偶性的方法（20分钟）教师通过示例向学生介绍判断数字奇偶性的方法：任何一个数字，如果末尾是0、2、4、6、8这些数字，那么它就是偶数；如果末尾是1、3、5、7、9这些数字，那么它就是奇数。
让学生进行练习和讨论，掌握这一方法。
4. 学习认识整数、整除和余数（15分钟）教师引导学生观察一些具体的例子，比如8除以2得到的商是4，没有余数，因为8可以被2整除；而9除以4得到的商是2，余数是1，因为9不能被4整除。
通过这些例子，向学生介绍整数、整除和余数的概念。
5. 认识数字的整除关系（20分钟）教师设计一些练习题，让学生判断哪些数字可以被另一个数字整除，哪些数字不能被另一个数字整除，进一步加深学生对整除关系的理解。
6. 拓展应用（10分钟）教师出示一些计算题目，要求学生判断答案是奇数还是偶数，并解释原因，巩固奇偶性的判断方法。
四、教学反思通过本节课的学习，学生对数字的奇偶性以及整除关系有了更深入的认识。
课上教师注重引导学生观察、思考和探索，培养了学生的数学思维能力。
同时，通过设计合适的练习和拓展应用，巩固了学生的学习成果。
整节课教学内容紧凑，学生的参与度高，达到了预期的教学目标。
数字的奇偶性与整除性的深度应用知识点总结
数字的奇偶性与整除性的深度应用知识点总结数字的奇偶性和整除性是数学中常见且重要的概念。
在数学领域中，我们经常会遇到与数字的奇偶性和整除性相关的问题。
本文旨在总结与此相关的深度应用知识点，以帮助读者更好地理解和应用这些概念。
一、奇数和偶数的定义及性质在数学中，奇数是指不能被2整除的整数，记作2n+1（其中n为整数）；偶数是指可以被2整除的整数，记作2n（其中n为整数）。
奇数具有以下性质：1. 任何奇数与另一个奇数相加，其结果仍为偶数；2. 任何奇数与另一个偶数相加，其结果仍为奇数；3. 任何奇数乘以另一个奇数，其结果仍为奇数；4. 任何奇数乘以另一个偶数，其结果仍为偶数。
偶数具有以下性质：1. 任何偶数与另一个偶数相加，其结果仍为偶数；2. 任何偶数与另一个奇数相加，其结果仍为奇数；3. 任何偶数乘以另一个偶数，其结果仍为偶数；4. 任何偶数乘以另一个奇数，其结果仍为偶数。
二、整除的定义及性质在数学中，一个数能够整除另一个数，意味着后者可以被前者整除，得到一个整数商数。
1. 整除的定义：对于两个整数a和b，如果存在另一个整数c，使得a = b * c，那么称a能够整除b，记作a|b，也可以说b被a整除。
2. 整除的性质：- 整数a一定能够整除自身，即a|a。
- 对于任何整数a，0一定能够整除a，即0|a。
- 如果a能够整除b，那么a能够整除-b。
具体而言，如果a|b，则a|-b。
- 如果a能够整除b，且b能够整除c，那么a能够整除c。
具体而言，如果a|b且b|c，则a|c。
- 如果a能够整除b，且b能够整除a，那么a和b相等。
具体而言，如果a|b且b|a，则a=b。
三、奇偶数和整除性的深度应用1. 最大公约数和最小公倍数：最大公约数是指两个或更多整数中能够整除这些整数的最大正整数。
最小公倍数是指两个或更多整数中能够被这些整数整除的最小正整数。
奇偶性在求解最大公约数和最小公倍数时有重要作用。
一般来说，如果两个整数中有一个为偶数，则最大公约数一定可以被2整除；而最小公倍数的奇偶性则取决于具体的数字情况。
1.3整除及其性质
1.3 整除及其性质
一、数的整除性
1、定义： 设a,b是两个整数，其中b 0, 若存在一个整数 q，使q满足a=bq，则称b整除a（或a被b整除）. 也称b为a的约数，a为b的倍数。 记：b a （ b a ） 例如：
1 a (a z);
5 12
a a(a z, a 0)
若存在奇数m,使f(m)为奇数，则方程 f(x)=0无奇数根。
三、整数的奇偶性
性质 7 设a为整数，n为正整数，则 a 与a 奇偶性相同。 例 10 求证：任意两个奇数的平方和不是完全 平方数。
n
作业
• P 12-13 习题1.3 1,2,3,4，6， 7,8，,9,10，11，12,13Βιβλιοθήκη 2三、整数的奇偶性
定义 2 能被2整除的整数叫做偶数；不能被2整除 的整数叫做奇数。 性质 5 偶数±偶数=偶数；偶数±奇数=奇数； 奇数±奇数=偶数。 证明：一个偶数与一个奇数之和为奇数。 推论 若干个偶数之和为偶数；正偶数个奇数之和 为偶数；正奇数个奇数之和为奇数。
三、整数的奇偶性
例 7 7个茶杯，杯口全朝上，每次同时翻转4 个茶杯称为一次运动。可否经若干次运动， 使杯口全朝下？
三、整数的奇偶性
性质 6 奇数×奇数=奇数；整数×偶数=偶数。 推论 若干个奇数之积为奇数；若干个偶数之积 为偶数。
三、整数的奇偶性
例 8 设 a1, a2 , an是1, 2， ，n的任一排列，n为正奇数， 求证：(a1 1)(a 2 2) (an n)为偶数。
三、整数的奇偶性
2 f ( x ) ax bx c, a, b为整数，c为奇数。 例9设
二、整除的基本性质
例5 设9 62ab427,11 62ab427, 求62ab427.
有理数的奇偶性质与整除关系分析
有理数的奇偶性质与整除关系分析有理数是数学中的一个重要概念，包括整数、分数、小数等。
在数学中，探讨数的性质与关系是非常关键的，本文将重点分析有理数的奇偶性质以及与整除关系的相关性。
该分析将帮助读者更好地理解有理数的特性和数学运算。
一、有理数的奇偶性质有理数的奇偶性质是指有理数是奇数还是偶数。
在分析有理数的奇偶性质时，我们需要考虑有理数的分子和分母。
1. 整数的奇偶性质首先，我们来讨论整数的奇偶性质。
对于一个整数而言，若它能被2整除，即整除后没有余数，我们就称该整数为偶数。
相反，如果整数除以2有余数，我们称其为奇数。
例如，整数2、4、6都可以被2整除，不存在余数，它们都是偶数；而整数1、3、5不可以被2整除，存在余数，它们都是奇数。
2. 分数的奇偶性质对于分数而言，我们需要关注它的分子和分母。
如果一个分数的分子是偶数，分母是奇数，那么该分数就是偶数。
反之，如果分子是奇数，分母是偶数，该分数就是奇数。
考虑以下例子：分数1/2，1是奇数，2是偶数，所以1/2是奇数；而分数2/3，2是偶数，3是奇数，所以2/3是偶数。
通过上述分析可知，有理数的奇偶性质与其分子和分母的奇偶性密切相关，是通过分子和分母的奇偶性质相互作用而决定的。
二、有理数的整除关系除了奇偶性质，有理数还有一个重要的性质是整除关系。
整除是指一个数能够整除另一个数，即后者除以前者不产生余数。
下面我们将进一步探讨有理数的整除关系。
整除关系在数学中有广泛应用，尤其在分数、约分、分数比较等方面特别重要。
在整除关系的运用中，我们可以通过以下几点进行分析：1. 分子与分母之间的整除关系当一个分数的分子能够整除其分母时，我们称该分数可以化简，即分子和分母可以都除以同一个数，得到简化分数。
例如，对于分数12/6，12能够整除6，我们可以将分子和分母都除以6，得到简化分数2/1。
这表明12/6和2/1代表了同样的有理数。
2. 分数之间的整除关系当一个分数能够整除另一个分数时，我们称后者是前者的倍数。
1.2整数的奇偶性和整除性
1.2 整数的奇偶性与整除性基础知识一.奇数与偶数1.若一个整数能被 2 整除，则这个整数叫做偶数；若一个整数被 2 除余 1，则这 个整数叫做奇数.奇数集合和偶数集合都是以2为模的同余类.2.奇数个奇数的和（或差）是奇数，偶数个奇数的和（或差）是偶数.任意多个偶数和（或差）为偶数.一个奇数与一个偶数的和（或差）是奇数.两个整数的和与差具有相同的奇偶性.3.任意多个奇数的积是奇数.如果任意多个整数中至少有一个是偶数， 则它们的乘 积是偶数.二．整数的可除性特征1.一个整数能被2整除的充分必要条件是这个数的个位数字是偶数；2.一个整数能被4整除的充分必要条件是这个数的未两位数能被4整除；3.一个整数能被5整除的充分必要条件是是这个数字的个位数字是0或5；4.一个整数能被3整除的充分必要条件是这个数的各位数字之和能被3整除.5.一个整数能被9整除的充分必要条件是这个数的各位数字之和能被9整除.6.一个整数能被 11 整除的充分必要条件是这个数字的奇位数字之和与偶位数字 之和的差能被11整除.- 为正整数)整除的充分必要条件是把这个数的个位数截n n7.一个整数能被101(去之后，再加上为个个位数的n倍，它的和能101+ ，n- 整除.即把A写成10x y-Û-+ .n A n x ny{0,1,2,,9}yÎ L ，则(101)|(101)|()由此可以判断整数能否被9、19、29、39、……整除的问题.+ 为整数)整除的充分必要条件是把这个数的个位截去之 8 一个整数能被101(n n后，再减去这个数个位数的n倍，它的差能被101+ ，n+ 整除.即把A写成10x y+Û-- .n A n x ny{0,1,2,,9}yÎ L ，则(101)|(101)|()由此可判断整数A能否被11、21、31、41、……整除的问题.例题（A 组）例1证明不定方程 22 2011 x y += 没有整数解.例2.求 22 2014 x y -= 所有整数的解.例3.能否找到10个奇数，使得它们的倒数之和等于1.例4.方程 2 0 ax bx c ++= ，其中a 、b 、c 都是奇数，试证该方程无解. 例5.如果ab 是奇数，那么满足 2222 a b c d ++= 的正整数一定不存在.6.设n 是正整数，求证 5 n n - 可被30整除.7.一个八位数1983 abcd 能被1983整除，求这个八位数.8.设 p 和q 均为正整数，使得 1111 1. 2313181319p q =-+--+ L （B 组）例1.是否存在整数a 、b 、c 、d 使得下面的等式成立：(1) 1961 a b c d a ×××-= ;(2) 961a b c d b ×××-= (3) 61a b c d c ×××-= (4) 1.a b c d d ×××-= 例2.黑板上写着三个整数，任意擦去其中的一个，将它们改写为其也做的两数之 和减去1.这样下去，最后得到117，2001，2205.问原来的三个数能否是2，2，2？ 例3.设 1 a 、 2 a 、…、 64 a 是1、2、…、64的任意一个排列，112 || b a a =- ， 234 || b a a =- ，…， 326364 || b a a =- ；112 || c b b =- ， 234 || c b b =- ，…， 163132 || c b b =- ；112 || d c c =- ， 134 || d c c =- ，…， 81516|| d c c =- ； ……依次做下去，最后得到一个数，求这个数是奇数还是偶数.例4.黑板上记上数1、2、3、…、1974，允许擦去任意两个数，且写上它们的和 或差，重复这样的操作手续直至在黑板上留下一个数为止.这个数能不能是0？例 5.桌子上有一堆石子，共 1001 粒，第一步从中扔掉一粒石子，并把剩下的石 子分成两堆.以后的每一步，都从某一个石子数目多于 1 的堆中扔掉一粒石子， 并把剩下的石子分为两堆，试问能否在若干次之后，桌子上的每一堆石子刚好是 3粒.例6.三个质数之积恰好等于它们和的3位，求这3个数.例 7.在一个正方体的顶点上标上 1 或 1 － ，每个面上标上一个数，这个数等于它 的四个顶点数的乘积，这样所标的14个数之和能否等于0？例8.设 2 () p x ax bx c =++ ，如果 (1) p ， (0) p 都是奇数，求证：对任间的整数d ， ()0.p d ¹ 例 9.如图，在44 ´ 的正方形表示记有1、9、8、5 四个数，是否存在正整数填在其余的格子里， 使得每一行每一列均成为等差数列.例10.对于给定的正整数a 、b ，求证：（1）若a 、b 之积是偶数，则存在两个整数c 、d 使得 2222 a b c d ++= ；（2）若a 、b 之积是奇数，则一定不存在两个整c 、d 使得 2222 a b c d ++= . 例 11.在n n ´ 方格子表里，其中n 是奇数.如果每个小方格中任意填上 1 或 1. - 在 每一列的下面写上该列所有数的乘积，在每一行的右面写上该行所有数的乘积， 这样得到2n 个数.证明2n 个数的和不等于0.例12.如果u 和v 是整数, 22 u uv v ++ 能被9整除,那么,u 和v 都能被3整除. 例13.证明:对每个整数x \ 2 516 x x ++ 不能被169整除.例15.已知a 、b 、c 都是正整数，若30|a b c ++ ，求证： 222 30|. a b c ++ 例 16.设n 是不小于 3 的正整数，以 () f n 表示不是n 的因数的最小正整数（例如 (12)5 f = ）.如果 ()3 f n ³ ，又可作 (()) f f n ，类似地，如果 (())3 f f n ³ ，又可作 ((())) f f f x ，……，如此继续下去.如果 ((()))2 k ff f f n = L L 1442443个 ，就称k 是n 的长度. 如果 n l 表示n 的长度，试对正整数 (3) n n ³ ，求 n l ，并证明你的结论.例17.求所有的正整数n ，使得存在正整数x ，满足 2 499(19971). n x x +=+ 9 1 5 8。
数字的奇偶性与整除性的应用知识点总结
数字的奇偶性与整除性的应用知识点总结数字的奇偶性与整除性是数学中的基本概念，对于解题和问题求解中常常用到。
本文将对数字的奇偶性和整除性的应用知识点进行总结，以便读者更好地理解和应用这些概念。
一、数字的奇偶性在数学中，一个数能否被2整除可以用来判断其奇偶性。
如果一个数可以被2整除，那么它就是偶数，否则就是奇数。
1. 奇数与偶数间的运算：a. 两个奇数相加，其结果为偶数。
b. 两个偶数相加，其结果仍为偶数。
c. 一个奇数与一个偶数相加，其结果为奇数。
2. 奇数与奇数、偶数与偶数的乘积皆为偶数。
a. 两个奇数相乘，其结果为偶数。
b. 两个偶数相乘，其结果为偶数。
3. 任何数与2的乘积都具有相同的奇偶性。
a. 如果一个数是偶数，那么它与2的乘积也是偶数。
b. 如果一个数是奇数，那么它与2的乘积也是偶数。
二、数字的整除性整除是一个非常重要的概念，它表示一个数能够整除另一个数，也就是说，被除数除以除数得到的商是一个整数。
1. 整除的判定：a. 如果一个数可以被另一个数整除，那么被除数一定是除数的倍数。
b. 如果一个数不可以被另一个数整除，那么被除数一定不是除数的倍数。
2. 整除与奇偶性的关系：a. 偶数可以被2整除，而奇数不可以被2整除。
b. 一个数能够被4整除，当且仅当它的末尾两位是00或偶数。
c. 一个数能够被8整除，当且仅当它的末尾三位是000或偶数。
d. 一个数能够被9整除，当且仅当各位数字之和能够被9整除。
3. 整除与其他数的关系：a. 如果一个数能够被一个数整除，那么它一定能够被这个数的因数整除。
b. 如果一个数能够被两个数整除，那么它一定能够被这两个数的最小公倍数整除。
4. 整除与质数的关系：a. 除了1和本身之外，质数没有其他的因数，所以质数不能被除了1和本身之外的任何数整除。
b. 如果一个数能够被两个不同的质数整除，那么它一定能够被这两个质数的乘积整除。
通过对数字的奇偶性和整除性的应用，我们能够更好地解决各种数学问题，并且可以在生活中快速判断一些数学关系。
整数的奇偶性和整除性
整数的奇偶性和整除性所为整数的奇偶性就是利用整数的奇数、偶数的特征和性质解决问题和分析问题。
关于奇数和偶数有如下性质：1. 奇数+奇数=偶数；奇数+偶数=奇数；偶数+偶数=偶数。
2. 两个数之和是奇（偶）数，则这两个数的奇偶性相反（同）。
3. 若干个整数之和为奇数，则这些数中必有奇数，且奇数的个数为奇数个；若干个整数之和为偶数，则这些整数中若有奇数，奇数的个数必为偶数个。
4. 奇数⨯奇数=奇数；奇数⨯偶数=偶数；偶数⨯偶数=偶数。
5. 若干个整数之积为奇数，则这些数必为奇数；若干个整数之积为偶数，则这些数中至少有一个为偶数。
6. 若a 是整数，则a 与a 有相同的奇偶性。
7. 若b a 、是整数，则b a +与b a -奇偶性相同。
例1：设n 为奇数，n a a a ,,,21 是n ,,2,1 的任意一个排列，证明：)()3)(2)(1(321n a a a a n ---- 必为偶数。
整数的整除性是初等数论的基本内容，虽然它的性质较为简单，但它的解题往往需要一定的技巧。
因此在各类数学竞赛中占有一定的比例。
定义： 设b a 、是整数，且0≠b ，如果存在整数q 使得bq a =，则称b 整除a ，或称a 被b 整除。
记作a b |。
否则，称b 不整除a ，记作b ˧a 。
显然，1能整除任意数；0能被任意数整除。
性质1：设c b a ,,是整数，1）a a |；2）若b a |，c b |，则c a |；3）若b a |，c a |，则对任意的整数n m ,，有cn bm a +|。
性质2：若在等式∑∑===n j j n i ib a 11中，除某一项外，其余各项都能被c 整除，则这一项也能被c 整除。
性质3：1）若1),(=b a ，且bc a |，则c a |；2）若1),(=b a 且c b c a |,|，则c ab |；3)设p 是素数，若ab p |，则a p |或b p |。
例2：试求方程y x y x 22232=+的正整数解。
数字的奇偶性与整除规律分析知识点总结
数字的奇偶性与整除规律分析知识点总结数字的奇偶性和整除规律是数学中非常重要的概念和规则，对于数学学习和应用都具有重要意义。
在本文中，我将对这两个方面的知识点进行总结和分析。
一、数字的奇偶性在数学中，我们常常需要判断一个数字是奇数还是偶数。
奇数是指不能被2整除的整数，而偶数则是可以被2整除的整数。
1. 判断奇偶性的方法（1）末位法：一个数字的奇偶性可以直接通过它的个位数来判断。
如果个位数为0、2、4、6或8，那么该数字就是偶数；如果个位数为1、3、5、7或9，那么该数字就是奇数。
（2）除法法则：一个数字如果能够被2整除（即余数为0），那么该数字就是偶数；如果不能被2整除（即余数为1），那么该数字就是奇数。
2. 奇数与偶数的性质（1）奇数加减奇数的结果是偶数，偶数加减偶数的结果也是偶数。
（2）奇数与奇数进行乘法运算的结果是奇数，偶数与偶数进行乘法运算的结果同样是偶数，而奇数与偶数进行乘法运算的结果则是偶数。
二、整除规律在数学中，整除是指一个数能够整除另一个数，即被除数可以被除数整除。
1. 整除的定义如果存在某个整数k，使得被除数a等于除数b乘以k，那么称b整除a，被除数a是除数b的倍数。
2. 整除的性质（1）整数a能够被整数b整除的充要条件是a与b的余数为0。
即a÷b的余数为0。
（2）如果一个整数既能够被b整除，又能够被c整除，那么它也能够被b与c的最小公倍数整除。
（3）如果整数a能够被b整除，而整数b能够被c整除，那么整数a也能够被c整除。
3. 整除的特殊情况（1）如果一个整数能够被2整除，那么它一定是偶数。
（2）如果一个整数能够被3整除，那么它的各位数字之和也能够被3整除。
（3）如果一个整数能够被4整除，那么它的末位数与10的倍数之和能够被4整除。
（4）如果一个整数能够被5整除，那么它的末位数是0或5。
（5）如果一个整数能够被9整除，那么它的各位数字之和也能够被9整除。
通过对数字的奇偶性和整除规律的分析，可以帮助我们更好地理解和解决数学问题。
五年级奥数归类详细讲解——奇偶性
第1讲奇偶性（一）整数按照能不能被2整除，可以分为两类：（1）能被2整除的自然数叫偶数，例如0， 2， 4， 6， 8， 10， 12， 14， 16，…（2）不能被2整除的自然数叫奇数，例如1，3，5，7，9，11，13，15，17，…整数由小到大排列，奇、偶数是交替出现的。
相邻两个整数大小相差1，所以肯定是一奇一偶。
因为偶数能被2整除，所以偶数可以表示为2n 的形式，其中n为整数；因为奇数不能被2整除，所以奇数可以表示为2n+1的形式，其中n为整数。
每一个整数不是奇数就是偶数，这个属性叫做这个数的奇偶性。
奇偶数有如下一些重要性质：（1）两个奇偶性相同的数的和（或差）一定是偶数；两个奇偶性不同的数的和（或差）一定是奇数。
反过来，两个数的和（或差）是偶数，这两个数奇偶性相同；两个数的和（或差）是奇数，这两个数肯定是一奇一偶。
（2）奇数个奇数的和（或差）是奇数；偶数个奇数的和（或差）是偶数。
任意多个偶数的和（或差）是偶数。
（3）两个奇数的乘积是奇数，一个奇数与一个偶数的乘积一定是偶数。
（4）若干个数相乘，如果其中有一个因数是偶数，那么积必是偶数；如果所有因数都是奇数，那么积就是奇数。
反过来，如果若干个数的积是偶数，那么因数中至少有一个是偶数；如果若干个数的积是奇数，那么所有的因数都是奇数。
（5）在能整除的情况下，偶数除以奇数得偶数；偶数除以偶数可能得偶数，也可能得奇数。
奇数肯定不能被偶数整除。
（6）偶数的平方能被4整除；奇数的平方除以4的余数是1。
因为（2n）2=4n2=4×n2，所以（2n）2能被4整除；因为（2n+1）2=4n2+4n+1=4×（n2+n）+1，所以（2n+1）2除以4余1。
（7）相邻两个自然数的乘积必是偶数，其和必是奇数。
（8）如果一个整数有奇数个约数（包括1和这个数本身），那么这个数一定是平方数；如果一个整数有偶数个约数，那么这个数一定不是平方数。
整数的奇偶性能解决许多与奇偶性有关的问题。
整数的简单性质(一)
整数的简单性质（一）（一）知识、技能、方法一、整数的离散性任何两个整数,x y 之间的距离至少为1，因此有不等式1x y x y <⇔+≤.二、整数的奇偶性将全体整数分为两类，凡是2的倍数的数称为偶数，否则称为奇数.因此，任一偶数可表示为2m （m ∈Z ）的形式，任一奇数可表示为2m+1或2m －1的形式. 奇、偶数具有如下性质：（1）奇数±奇数=偶数；偶数±偶数=偶数；奇数±偶数=奇数；偶数×偶数=偶数； 奇数×偶数=偶数；奇数×奇数=奇数；（2）两个整数的和与差具有相同的奇偶性；偶数的平方根若为整数，它必为偶数.（3）奇数的平方都可表示为8m+1形式，偶数的平方都可表示为8m 或8m+4的形式（m ∈Z ）.（4）任何一个正整数n ，都可以写成l n m 2=的形式，其中m 为非负整数，l 为奇数.三、整数的整除性1．定义：设a ，b 是整数，且b ≠０，若存在整数c ，使a ＝bc ，则称b 整除a 或a 能被b 整除，记作b |a ，并称b 是a 的一个约数（因子），称a 是b 的倍数.若不存在上述c ，则称b 不能整除a ，记为b | a .显然，１和-1能整除任意整数，任意整数都能整除０.2．性质：① 若c|b ，b|a ，则c|a . ② 若b|a ，则bc|a c .③ 若c|a ，c|b ，则对任意整数m 、n ，有c|m a ＋nb . ④ 若b|a c ，且(a ，b)＝1，则b|c . ⑤ 若p 为质数，p | a b ，则p | a 或p | b ，特别地，若p | a n ，*n N ∈，则p | a . ⑥ 若(a ，b)＝1，且a |c ，b|c ，则a b|c .⑦ 带余除法：设b ＞0，对于任意整数a ，总可以找到一对惟一确定的q ，r 满足a =bq+r ，0≤r ＜b .⑧ (a －b)|(a n －b n )(n ∈N)，(a ＋b)|(a n ＋b n )(n 为正奇数) .⑨ 如果在等式11n m ik i k a a ===∑∑中除开某一项外，其余各项都是c 的倍数，则这一项也是c的倍数.⑩ n 个连续整数中有且仅有一个是n 的倍数；任意n 个连续整数之积一定是n ！的倍数.3．整除的判别法：设整数N ＝121a a a a n n -，① 2|1a ⇔2|N ，5|1a ⇔ 5|N ； ② 3|1a ＋2a ＋…＋n a ⇔3|N ，9|1a ＋2a ＋…＋n a ⇔9|N ；③ 4|21a a ⇔4|N ，25|21a a ⇔25|N ； ④ 8|321a a a ⇔8|N ，125|321a a a ⇔125|N ； ⑤ 7||14n n a a a -－321a a a |⇔7|N ， 11||14n n a a a -－321a a a |⇔11|N ， 11|[(a 2n ＋1＋a 2n －1＋…＋a 1)－(a 2n ＋a 2n －2＋…＋a 2)] ⇔11|N ；⑥ 13||14n n a a a -－321a a a |⇔13|N . 四、完全平方数及其性质能表示为某整数的平方的数称为完全平方数，简称平方数.（1）平方数的个位数字只可能是0，1，4，5，6，9；（2）偶数的平方数是4的倍数，奇数的平方数被8除余1，即任何平方数被4除的余数只能是0或1；（3）奇数平方的十位数字是偶数；（4）十位数字是奇数的平方数的个位数一定是6；（5）不能被3整除的数的平方被3除余1，能被3整除的数的平方能被3整除.因而，平方数被9除的余数为0，1，4，7，且此平方数的各位数字的和被9除的余数也只能为0，1，4，7；（6）平方数的约数的个数为奇数；（7）任何四个连续整数的乘积加1，必定是一个平方数；（8）奇素数p 能表示成两个正整数的平方和的充要条件是41p m =+；（9）设正整数p m n 2=，其中p 不再含平方因数，n 能表示成两个整数的平方的充要条件是p 没有形如34+q 的质因数；（10）每个正整数都能表示成四个整数的平方和.五、整数的尾数及其性质整数a 的个位数也称为整数a 的尾数，并记为()G a ，()G a 也称为尾数函数.（1）(())()G G a G a =； （2）()(()()())G a b c G G a G b G c +++=+++；（3）()(()()())G a b c G G a G b G c ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅； （4）(10)0G a =，(10)()G a b G b +=；（5）若10a b c -=，则()()G a G b =； （6）44*()(),,k G a G a a k N =∈；（7）4*()(),0,04,,,k r r G aG a k r a k r N +=≥<<∈； （8）211124121212()()()()()()()b nb b b G a b b G a G a b b b b G a b b ⎧⎪=⎨⎪⎩当为奇数,为偶数时当为偶数,为奇数或为偶数,为偶数时当为奇数,为奇数时.（二）例题分析 例1、求,,a b c ，使它们满足不等式222332(,,)a b c ab b c a b c Z +++<++∈.例2、设,,,a b c d Z ∈，且|a c ab cd -+，求证|a c ad bc -+.例3、能否将{1,2,,972}分成12个互不相交的子集，每个子集中81个元素之和相等？例4、已知b 为各位数码全是9的31位数，a 为各位数码全是9的1984位数，求证|b a .例5、设,p q 都是正奇数，11p q -=+，求证|p q p q p q ++.例6、对于任意整数n ，证明55|n n -.例7、（1）若n 个整数，其和为0，其积为n ，证明：n 是4的倍数；（2）若n 是4的倍数，证明:可以找到个整数，使其和为0，其积为n .例8、已知n 为正整数，证明：22120|(1)(526)n n n n --+.例9、已知,m n 都是正整数，若(21)|(21)m n ++，证明：|m n .例10、设n 是正整数，k 是不小于2的整数.试证：k n 可表示成n 个相继奇数的和.例11、求所有这样的自然数n ，使得n 222118++是一个自然数的平方.例12、设正整数d 不等于2，5，13，证明在集合｛2，5，13，d ｝中可以找到两个元素,a b ，使得ab －1不是完全平方数.练习：1、证明：不存在正整数n ，使22221,31,61n n n +++都是完全平方数.2、若223|()a b +，证明：3|a 且3|b .3、已知n 为奇数，若12,,,n a a a 为1,2,,n 的一个排列，证明：12(1)(2)()n a a a n ---为偶数.4、求满足2(11)|(92)n n n ++-的正整数n .5、设n 为小于100的正整数，且324|(23)n +，求满足条件的n .6、已知m 为正奇数，求证：(12)|(12)m m m n n ++++++. 7、证明：20121001个能被1001整除.8、设1k ≥是一个奇数，证明对任意正整数n ，数12k k k n +++不能被2n +整除. 9、若正整数,m n 满足2m >，证明(21)m -|(21)n +.10、当2n ≥时，证明：111123n++++不是整数. 11、设正整数,,,a b c d 满足ab cd =，证明：a b c d +++不是质（素）数.12、求出有序整数对(,)m n 的个数，其中199m ≤≤，199n ≤≤，2()3m n m n +++是完全平方数.。
数字的整除规律
数字的整除规律数字的整除是数学中一个基础而重要的概念，在我们的日常生活和各个领域中都有广泛的应用。
对于整数的整除规律，我们应该有清晰的了解和深入的研究，以便能够灵活运用于实际问题中。
整数的整除指的是，在除法运算中，被除数能够被除数整除，而没有余数。
例如，4除以2等于2，这意味着4是2的倍数，也就是说，4整除2。
在研究整数的整除规律时，我们首先需要了解整数的特性。
整数是由正整数、负整数和零组成的，它们之间的关系和性质是相互联系的。
下面，我们将从不同的角度探讨整数的整除规律。
一. 奇偶性规律每个整数都可以分为两类：奇数和偶数。
奇数是不能被2整除的整数，而偶数是可以被2整除的整数。
因此，我们可以得到以下规律：1. 如果一个整数能够被2整除，那么它是偶数；如果不能被2整除，那么它是奇数。
举例来说，4是一个偶数，因为4能够被2整除，而5是一个奇数，因为5不能被2整除。
通过对整数奇偶性的判断，我们可以快速了解其能否被2整除。
二. 因数分解规律一个整数除以另一个整数可能有余数，也可能没有余数。
当余数为0时，被除数能够被除数整除，这时我们说被除数是除数的倍数。
因此，我们可以得到以下规律：1. 如果一个整数m除以一个整数n没有余数，那么m是n的倍数，而n是m的约数。
举例来说，12可以被2整除，因为12除以2等于6没有余数，所以12是2的倍数，而2是12的约数。
这个规律告诉我们如何判断一个整数是否能够被其他整数整除，以及如何找到一个整数的约数。
三. 末尾数字规律一个整数的末尾数字也可以提供一些关于整除的信息。
我们可以观察末尾数字来判断一个整数是否能够被另一个整数整除。
以下是一些具体的规律：1. 如果一个整数的末尾数字是0或者偶数，那么这个整数能够被2整除。
2. 如果一个整数的末尾数字是0、2、4、6、或者8，那么这个整数能够被5整除。
3. 如果一个整数的末尾数字是0或者5，那么这个整数能够被10整除。
举例来说，30的末尾数字是0，所以30能够被2和5整除，而35的末尾数字是5，所以35能够被5和10整除。
数的奇偶性与整除规则
数的奇偶性与整除规则数学中，奇偶性和整除规则是一些基本的概念，它们在数论、代数以及应用数学中都有广泛的应用。
掌握了这些规则，我们可以更好地理解数字之间的关系，解决问题，并拓展我们的数学思维。
一、奇偶性的定义和规则1. 奇数：奇数是指不能被2整除的整数。
奇数的个位数一定是1、3、5、7、9中的一个。
例如，3、7、11都是奇数。
2. 偶数：偶数是指可以被2整除的整数。
偶数的个位数一定是0、2、4、6、8中的一个。
例如，4、8、12都是偶数。
3. 奇数与奇数相加，结果为偶数。
例如，3 + 5 = 8。
4. 偶数与偶数相加，结果为偶数。
例如，2 + 4 = 6。
5. 奇数与偶数相加，结果为奇数。
例如，3 + 4 = 7。
6. 任何数乘以2都是偶数。
例如，2 × 3 = 6。
7. 任何数乘以2加1都是奇数。
例如，2 × 3 + 1 = 7。
二、整除规则1. 整除定义：当一个整数a除以另一个整数b时，如果结果为整数且余数为0，则称a能整除b，记作a|b。
例如，4能整除12，即4|12。
2. 若a能整除b，且b能整除c，则a一定能整除c。
例如，4能整除12，12能整除24，所以4能整除24。
3. 若a能整除b，且a能整除c，则a能整除b与c的和。
例如，2能整除6，2能整除10，所以2能整除6 + 10 = 16。
4. 若a能整除b，且a能整除c，则a能整除b与c的差。
例如，3能整除9，3能整除15，所以3能整除15 - 9 = 6。
5. 若a能整除b，且b不为0，则a能整除ab。
例如，2能整除8，所以2能整除2 × 8 = 16。
三、应用示例1. 判断一个数的奇偶性：若一个数能被2整除，则为偶数；否则为奇数。
例如，判断27的奇偶性，由于27不能被2整除，所以27是奇数。
2. 判断一个数能否整除另一个数：根据整除定义，如果结果为整数且余数为0，则能整除。
例如，判断12能否整除36，由于36 ÷ 12 = 3 余数为0，所以12能整除36。
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偶数.
不妨设n a1是偶数n ，则a2, …,an都是奇数。此时剩下的n-1个数都是
奇数，其a i 和仍为 奇a i数.
i1
i 2
因此
=a1+
=偶数+奇数=奇数≠0，
与题设矛盾，则4|n.
习题3.1.1 证明不定方程x2+y2=1983无整数解. 证明：∵1983是奇数，x2+y2=1983
∴x2,y2为一偶、一奇数，x2+y2是4的倍数+1. 而1983是4的倍数+3， 因此说明该方程无整数解.
习题3.1.5 如果ab是奇数，那么满足a2+b2+c2=d2的正整数一定 不存在.
证明：题给ab是奇数，则a、b均为奇数. 因而a2+b2一定是4的倍数+2. 不妨设a2+b2=4k+2 若方程a2+b2+c2=d2成立，则有d2-c2=4k+2. 即 4k+2=d2-c2=(d+c)(d-c).
n
m
(7)如果在等式 ai bk 中取去某一项外，其余各项均被c整除，则这
一项也被c整除； i1
k 1
(8)n个连续整数中，有且只有一个是n的倍数；
(9)任何n个连续的整数之积一定是n!的倍数. 特别地，三个连续的正整数
之积能被6整除；
例2 证明：1001 被1001整除。
2000 个 0
证明：1 0 0 1 1 2 0 0 1 0 ( 1 3 ) 1 60 6 1 ( 7 1 3 1 ) 0 1 3 [ ) 60 ( 6 ( 1 3 6 ) 60 6 5 1 3 1 ] 0
竞赛数学教程 讲整数奇偶性与整除性
张小利严卿
初等数论 代数 几何
组合初步
目录
数论是竞赛数学中最重要的一部分，特别是在1991年，IMO 在中国举行，国际上戏称那一年为数论年，因为6道IMO试题中 有5道与数论有关。
数论的魅力在于它可以适合小孩到老头，只要有算术基础的 人均可以研究数论――在前几年还盛传广东的一位农民数学爱好 者证明了哥德巴赫猜想，当然，这一谣言最终被澄清了。可是这 也说明了最难的数论问题，适合于任何人去研究。
u,v有b|(au cv)。 c ib i
i1
更一般地，若a|bi，则a|
其中ci Z，i=1，2，…，n.
性质：
(3)若b|a，则或者a=0，或者|a|≥|b|，因此若b|a且a|b，则a= b；
(4)a,b互质，若a|c，b|c,则ab|c； (5)p是质数，若p|a1a2…an，则p能整除a1a2…an中的某一个；特别地， 若p是质数，若p|an，则p|a； (6)(带余除法)设a,b为整数，b>0，则存在整数q和r，使得a=bq+r，其中 0≤r<b，并且q和r由上述条件唯一确定；整数q被称为a被b除得的(不完全)商， 数r称为a被b除得的余数。注意：r共有种可能的取值：0,1，……，b-1. 若r=0， 即为a被b整除的情形.
整数，所采用的字母也表示整数。
定义1：设a,b是给定的数，b≠0，若存在整数c，使得a=bc则称
b整除a，记作b|a，并称b是a的一个约数(因子)，称a是b的一个
倍数，如果不存在上述c，则称b不能整除a,记作 b | a.
性质：
(1)若b|c且c|a，则b|a(传递性质)； (2)若b|a且b|c， 则b|(a c). 即为某一整数倍数的整数之集 关于加、减运算封闭。n 若反复运用这一性质，则对于任意的整数
由于d+c与d-c的奇偶性相同， 当d+c与d-c同为奇数时，(d+c)(d-c)为4k+1型； 当d+c与d-c同为偶数时，(d+c)(d-c)为4k型；
均不能为4k+2型. 所以当ab是奇数时，一定不存在正整数使得a2+b2+c2=d2成立.
二 · 整除
在高中数学竞赛中如果不加特殊说明，我们所涉及的数都是
习题3.1.2 求x2-y2=1990所有整数解.
解：原方程化为
(x+y)(x-y)=1990
∵1990是偶数，结合整数奇偶性质知x+y,x-y至少有一个偶数， 再则，x+y，x-y的奇偶性相同，
∴x+yቤተ መጻሕፍቲ ባይዱx-y都是偶数，因此，4| (x+y)(x-y). 但4 | 1990，
因此该方程无整数解.
例1 n个整数a1,a2, …,an，其积等于n，其和等于0，试证明：4|n.
证明：1）先证明n是偶数.（反证法） 假设n为奇数，则由
n
n
ai=n，得ai是奇数（i=1,2，…，n），且 a i 是奇数个奇数之
i1
i1
和，仍为奇数，这与题给 “其和=0”矛盾，故n为偶数.
再证4|n. （反证法）假设4 | n，此时a1,a2, …,an中只可能有一个
初等数论最基础的理论在于整除，由它可以演化出许多数论 定理。
一 · 奇数、偶数的性质：
(1) 奇数奇数=偶数，偶数偶数＝偶数，奇数 偶数＝奇数，
偶数*偶数＝偶数，奇数*偶数＝偶数，奇数*奇数＝奇数； 即任意多个偶数的和、差、积仍为偶数，奇数个奇数的和、
差仍为奇数，偶数个奇数的和、差为偶数，奇数与偶数的和为奇 数，和为偶数； (2) 奇数的平方都可以表示成8m+1的形式，偶数的平方可以表 示为8m或8m+4的形式； (3) 若有限个整数之积为奇数，则其中每个整数都是奇数； 若有限个整数之积为偶数，则这些整数中至少有一个是偶数； 两个整数的和与差具有相同的奇偶性； 偶数的平方根若是整数，它必为偶数。
kan2 an 不可约. kan3 an1
证明：用数学归纳法证明. 当n=1时，ka3 a1 2k1 ． ka4 a2 3k1
(2k+1,3k+1)=(2k+1,k)=(1,k)=1；
假设n时成立，即
kan2 an kan3 an1
(k1)an kan1 kan (2k1)an1
2个 000
所以103+1(=1001)整除1001 .
2000 个 0
例3
(IMO,1959)若n是正整数,则
21 n 14 n
4 3
是既约分数.
证明:由abqr,0rb,则(a,b)(b,r)得: (21n4,14n3)(7n1,14n3)(7n1,1)1. 21n4是既约分数.
14n3
延伸 对斐波那契数列1、1、2、3、5、8、13、21、……， 记a1=a2=1,an+1=an+an-1，求证：对 整数k和n，有