第2课时 实物型抛物线及运动中的抛物线问题
九年级数学上册22.3实际问题与二次函数第2课时拱桥问题与运动中的抛物线习题课件(新版)新人教版
9．如图，杂技团进行杂技表演，演员从跷跷板右端 A 处弹跳到人梯顶端 3 椅子 B 处，其身体(看成一点)的路线是抛物线 y＝－5x2＋3x＋1 的一部分． (1)求演员弹跳离地面的最大高度； (2)已知人梯高 BC＝3.4 米，在一次表演中，人梯到起跳点 A 的水平距离 是 4 米，问这次表演是否成功？请说明理由．
6．你知道吗？平时我们在跳大绳时，绳甩到最高处的形状可近似 地看做抛物线．如图，正在甩绳的甲、m，学生丙、丁分别站在距甲拿绳的手水平距
离1 m，2.5 m处，绳子在甩到最高处时刚好通过他们的头顶，已知学 生丙的身高是1.5 m，则学生丁的身高为(建立的平面直角坐标系如图 所示)( B ) A．1.5 m
1 5．在羽毛球比赛中，某次羽毛球的运动路线可以看做是抛物线 y＝－4x2 ＋bx＋c 的一部分(如图)，其中出球点 B 离地面 O 点的距离是 1 m，球落地点 A 到 O 点的距离是 4 m，那么这条抛物线的解析式是( A ) 1 3 A．y＝－4x2＋4x＋1 1 3 B．y＝－4x2＋4x－1 1 3 C．y＝－4x2－4x＋1 1 3 D．y＝－4x2－4x－1
3．如图为某菜农搭建的一个横截面为抛物线的大棚，有关尺寸如图所示， 某菜农身高 1.6 米，则他在不弯腰的情况下，在大棚内左右活动的范围是( B) 5 A. 2 米 B. 5米 C．1.6 米 D．0.8 米
4．(习题 3 变式)一小球被抛出后，距离地面的高度 h(米)与飞行时间 t(秒) 满足下面函数关系式：h＝－5(t－1)2＋6，则小球距离地面的最大高度是( C ) A．1 米 B．5 米 C．6 米 D．7 米
(2)当h＝2.6时，球能否越过球网？球会不会出界？请说明理由．
解：(1)∵h＝2.6，球从 O 点正上方 2 m 的 A 处发出， ∴y＝a(x－6)2＋h 过点(0，2)，∴2＝a(0－6)2＋2.6， 1 1 解得 a＝－60，故 y 与 x 的关系式为 y＝－60(x－6)2＋2.6 1 (2)当 x＝9 时，y＝－60(x－6)2＋2.6＝2.45＞2.43，所以球能越过球网； 1 当 y＝0 时，－60(x－6)2＋2.6＝0，解得 x1＝6＋2 39，x2＝6－2 39(舍去)， 因为 6＋2 39＞18，所以球会出界
抛物线形实物及运动轨迹问题课件
(1) 喷嘴能喷出水流的最大高度是多少？ (2) 喷嘴喷出水流的最远距离为多少？
解：y 1 x2 2x 1 (x 2)2 2.
2
2
(1) 当 x = 2 时，有 y最大 = 2，故水流的最大高度是 2 m.
(2) 令 y = 0，即
1 x2 2x 0. 解得 x1 = 0，x2 = 4. 2
你能想出办法来吗？
2m 4m
4.9m
22.3.3 抛物线形实物及运动轨迹问题 你能想出办法来吗？ 建立函数模型
这是什么样的函数呢？
拱桥的纵截面是抛物线应 当是某个二次函数的图象
22.3.3 抛物线形实物及运动轨迹问题
y
（2，2）
我们来比较一 下
y o （0，0） x
o（0，0）
（4，0） x
y
（0，2） 谁最 合适
(2) 一辆货运汽车载一长方体集装箱后高为 6 m，宽为 4 m，如
果隧道内设双向行车道，那么这辆货车能否安全通过？
解：抛物线解析式为 y＝− 1 x2 + 2x + 4 6
1 (x﹣6)2 + 10，∴ 对称轴为 x＝6. 6
由题意得货运汽车最外侧与地面 OA 的交点
坐标为 (2，0) 或 (10，0)，
当 x = 450－50 = 400 时，得
你是否体会到：从实际问题建立起函数模型， 对于解决问题是有效的？
22.3.3 抛物线形实物及运动轨迹问题
建立二次函数模型解决实际问题的基本步骤是什么？
实际 问题
建立二次 函数模型
利用二次函数的图象 和性质求解
实际问题的解
22.3.3 抛物线形实物及运动轨迹问题
例1 如图，隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形 OABC 的
抛物线形实物及运动轨迹问题 数学九年级上册同步教学课件(人教版)
6
8
解得 x1＝6 + 2 3，x2＝6﹣2 3.
则 x1﹣x2＝4 3.
所以两排灯的水平距离最小是 4 3 m.
22.3.3 抛物线形实物及运动轨迹问题
例2 某广场喷泉的喷嘴安装在平地上．有一喷嘴喷出的水流呈
抛物线状，喷出的水流高度 y (m)与喷出水流离喷嘴的水平距 离 x (m) 之间满足 y 1 x2 2x.
长是 12 m，宽是 4 m，按照图中所示的平面直角坐标系，抛物
线可以用
y＝
−
1 6
x2
+
2x
+
c
表示．
(1)请写出该抛物线的函数解析式；
解：根据题意，得 C (0，4). 将其代入
抛物线 y＝− 1 x2 + 2x + c 中，得 c＝4，
6
∴
抛物线解析式为
y＝−
1 6
x2
+
2x
+
4.
22.3.3 抛物线形实物及运动轨迹问题
(2)把函数问题转化为实际问题时，注意实际问题的取值范围．
(2) 一辆货运汽车载一长方体集装箱后高为 6 m，宽为 4 m，如
果隧道内设双向行车道，那么这辆货车能否安全通过？
解：抛物线解析式为 y＝− 1 x2 + 2x + 4 6
1 (x﹣6)2 + 10，∴ 对称轴为 x＝6. 6
由题意得货运汽车最外侧与地面 OA 的交点
坐标为 (2，0) 或 (10，0)，
22.3.3 抛物线形实物及运动轨迹问题
解：（1）设抛物线的表达式为y=ax2 .
∵点B（6，-5.6）在抛物线的图象上，
∴-5.6=36a， a 7 .
22.3.3抛物线形实物及运动轨迹问题(课件)2024-2025学年九年级数学上册(人教版)
球类运动问题 拱桥问题
解（1）根据题意，得抛物线的顶点坐标为（0,0.5）对称轴为
y轴，设抛物线对应的函数表达式为y=ax2+0.5.
(0,0.5)
抛物线经过点(450,81.5),代入上式，得81.5 = a·4502+0.5
-450
O
-450
解方程，得
81
1
a 4502 2500
答：所求抛物线对应的函数表达式为
y
y
y
o
x
y
o
x
o
x
y
o
x
某工厂大门是一抛物线形的水泥建筑物,大门底部宽AB=4m,
顶部C离地面的高度为4.4m,现有载满货物的汽车欲通过大门,
货物顶部距地面2.7m,装货宽度为2.4m.这辆汽车明;若不能,请简要说明理由. 解：如图，以AB所在的直线为x轴，以AB的垂直平分线
二次函数的顶点式：y a(x h)2 k(a 0)
顶点在x轴上： y a(x h)2 (a 0)
顶点在y轴上： y ax2 k(a 0) 顶点为原点： y ax2 (a 0)
二次函数的交点式：
y a(x x1)( x x2 )(a 0)
根据图象所给信息假设出抛物线的解析式：
∴可设这条抛物线解析式为:y=ax2+2 当拱桥离水面2m时,水面宽4m 即:抛物线过点(2,0)
当水面上升1m时,水面的纵坐标为y=1,这时有:
方法三：以水平面为x轴，以抛物线和水面的 一个交点为原点，建立平面直角坐标系。
问题：此时图中的抛物线解析式是多少？
y
y
O
Ox
你认为以上几种方法中哪 种最简单，为什么？我们 在建立平面直角坐标系时
实物抛物线
实物抛物线在物理学和工程学中，抛物线是一个非常重要的概念。
它描述的是在二维空间中，一个物体在一定的力量作用下，如何沿着特定的路径移动。
这个力量通常是一个恒定的力，比如重力。
下面我们将更深入地探讨这个概念。
首先，我们定义一个抛物线。
在数学上，抛物线是一个二次曲线，其形状由以下二次方程式描述：y = ax^2 + bx + c。
对于一个抛物线，a、b和c是常数，a 不等于0。
这个方程式描述了一个函数，其变量是x，y是该函数的输出。
对于给定的x值，y有一个对应的值。
在物理学中，抛物线是在重力场中运动的物体的路径。
如果我们考虑一个物体在一个恒定的重力场中从静止开始下落，那么它的路径就是一个抛物线。
这是因为物体受到的重力可以视为一个恒定的加速度，而加速度是改变物体速度的原因。
因此，如果一个物体在没有阻力的情况下下落，它的速度会越来越快，直到达到最大速度，然后速度会开始减小，因为重力作用于物体的时间已经过去。
如果我们想要更准确地描述这个过程，我们需要使用物理学中的运动方程：v = gt、v = gt - g/2 * t^2和h = gt^2/2 - g/4 * t^3。
这些方程描述了物体的速度和位置随时间的变化。
在初始阶段，物体的速度增加线性地增加，然后当它达到最大速度时，速度就不再增加了。
此后，物体的速度开始减小，同时它的位置也在增加，直到它最终到达地面。
在实际应用中，抛物线有很多用途。
例如，在弹道学中，抛物线被用来描述和预测子弹的飞行路径。
由于重力的影响，子弹离开枪口后的路径是一个上升的抛物线，然后是下降的抛物线，最后子弹会到达目标。
这种类型的路径也用于设计投掷项目，如标枪、铁饼等。
在这些情况下，通过正确地调整投掷角度和力度，可以最大限度地提高这些项目的飞行距离。
此外，在工程学中，抛物线也被用于许多其他应用。
例如，在桥梁设计中，抛物线被用来模拟和预测桥梁在承受载荷时的变形。
在地震工程中，抛物线被用来模拟和预测结构在地震力作用下的反应。
沪科版九年级数学上册21.4 第2课时 实物型抛物线及运动中的抛物线问题(21PPT)
C.160m
D.200m
课堂小结
转化
实际问题 （实物中的抛物线形问题） 回归
数学模型
（二次函数的图象和性质）
拱桥问题
运动中的抛 物线问题
转化的关键
建立恰当的 直角坐标系
① 能够将实际距离准确 的转化为点的坐标；
② 选择运算简便的方法.
课后作业
P38练习2
抛出后经过的时间. 在一次排球比赛中，排球从靠近
地面处被垫起时竖直向上的
初始速度为10m/s.
(1)问排球上升的最大高度是
多少？
(1)问排球上升的最大高度是多少？
h
v0t
1 2
gt 2
解：根据题意， h 10t 1 10t2
2
得 h 5t 12 5t 0
因为抛物线开口向下，顶点坐标为（1,5）. 即上升的最大高度为5m.
怎样建立直角坐标系比较简单呢？
以拱顶为原点，抛物线的对称轴为 y轴，建立直角坐标系，如图．
从图看出，什么形式的二次函数，它的 图象是这条抛物线呢？
由于顶点坐标系是（0.0），因此这个 二次函数的形式为 y ax2
如何确定a是多少？
已知水面宽4米时，拱顶离水 面高2米，因此点A（2，-2） 在抛物线上，由此得出
当x=450－50=400（m）时，得
y 1 4002 0.5 64.5(m)
y
2500
-450 O 450 x
利用二次函数解决运动中抛物线型问题
例2 上抛物体在不计空气阻力的情况下，有如下的
表达式：
h
v 0t
1 2
gt 2
其中h是物体上升的高度，v0是物体被上抛是竖直向
中考数学考点第12讲第2课时 二次函数的综合应用
第2课时 二次函数的综合应用知识点1 实物抛物线问题1．图2是图1中拱形大桥的示意图，桥拱与桥面的交点为O ，B ，以点O 为原点，水平直线OB 为x 轴，建立平面直角坐标系，桥的拱形可以近似看成抛物线y ＝－1400(x －80)2＋16，桥拱与桥墩AC 的交点C 恰好在水面，有AC ⊥x 轴，若OA ＝10米，则桥面离水面的高度AC 为(B )A ．16940米B .174米C ．16740米D .154米知识点2 销售问题2．某公司经销一种绿茶，每千克成本为50元．市场调查发现，在一段时间内，销售量w(千克)随销售单价x(元/千克)的变化而变化，具体关系式为：w ＝－2x ＋240.设这种绿茶在这段时间内的销售利润为y(元)，解答下列问题： (1)求y 与x 的关系式；(2)当x 取何值时，y 的值最大？(3)如果物价部门规定这种绿茶的销售单价不得高于90元/千克，公司想要在这段时间内获得2 250元的销售利润，销售单价应定为多少？解：(1)y ＝(x －50)·w ＝(x －50)·(－2x ＋240)＝－2x 2＋340x －12 000. (2)y ＝－2x 2＋340x －12 000＝－2(x －85)2＋2 450， ∴当x ＝85时，y 的值最大．(3)当y ＝2 250时，可得方程－2(x －85)2＋2 450＝2 250. 解得x 1＝75，x 2＝95.根据题意，x 2＝95不合题意，应舍去．∴销售单价应定为75元/千克．知识点3 面积问题3．小磊要制作一个三角形的钢架模型，在这个三角形中，长度为x(单位：cm )的边与这条边上的高之和为40 cm ，这个三角形的面积S(单位：cm 2)随x(单位：cm )的变化而变化．(1)请直接写出S 与x 之间的函数关系式S ＝－12x 2＋20x ；(2)当x ＝20时，这个三角形的面积S 最大，最大面积是200__cm 2．知识点4 二次函数与几何图形综合4．如图，已知抛物线y ＝x 2＋bx ＋c 与x 轴交于点A ，B ，AB ＝2，与y 轴交于点C ，对称轴为直线x ＝2.(1)求抛物线的函数解析式；(2)设P 为对称轴上一动点，求△APC 周长的最小值．解：(1)∵AB＝2，对称轴为直线x＝2，∴A(1，0)，B(3，0)．∵抛物线y＝x2＋bx＋c与x轴交于点A，B，∴y＝(x－1)(x－3)＝x2－4x＋3.∴抛物线的函数解析式为y＝x2－4x＋3.(2)连接AC，BC，BC交对称轴于点P，连接PA.由(1)知抛物线的函数解析式为y＝x2－4x＋3，点A，B的坐标分别为(1，0)，(3，0)．∴点C的坐标为(0，3)．∴BC＝32＋32＝32，AC＝32＋12＝10.∵点A，B关于对称轴x＝2对称，∴PA＝PB.∴PA＋PC＝PB＋PC＝BC.∴当P点在对称轴上运动时，PA＋PC的最小值等于BC.∴△APC周长的最小值为AC＋AP＋PC＝32＋10.重难点1二次函数的实际应用(2017·潍坊)工人师傅用一块长为10 dm，宽为6 dm的矩形铁皮制作一个无盖的长方体容器，需要将四角各裁掉一个正方形．(厚度不计)(1)在图中画出裁剪示意图，用实线表示裁剪线，虚线表示折痕；并求长方体底面面积为12 dm2时，裁掉的正方形边长多大？(2)若要求制作的长方体的底面长不大于底面宽的五倍，并将容器进行防锈处理，侧面每平方分米的费用为0.5元，底面每平方分米的费用为2元，裁掉的正方形边长多大时，总费用最低，最低为多少？【自主解答】(1)裁剪示意图如图：设裁掉的正方形边长为x dm，由题意，得(10－2x)(6－2x)＝12，即x2－8x＋12＝0.解得x1＝2，x2＝6(舍去)．答：裁掉的正方形的边长为2 dm.(2)∵长不大于底面宽的五倍，∴10－2x≤5(6－2x)．∴0＜x≤2.5.设总费用为y，由题意，得y＝0.5×2[(10－2x)x＋(6－2x)x]＋2(10－2x)(6－2x)＝4x2－48x＋120＝4(x－6)2－24.∵对称轴为x ＝6，开口向上，∴当0＜x ≤2.5时，y 随x 的增大而减小． ∴当x ＝2.5时，y 最小＝4×(2.5－6)2－24＝25.答：当裁掉边长为2.5 dm 的正方形时，总费用最低为25元．, 方法指导1．利用二次函数解决实际问题，第一步是建立二次函数模型，一般都是根据两个变量之间的等量关系建立． 2．利用二次函数探究实际生活中的最值问题，需先建立二次函数模型，列出二次函数关系式，整理成顶点式，函数最值应结合自变量取值范围求解，最值不一定是顶点的纵坐标，画出函数在自变量取值范围内的图象，图象上的最高点的纵坐标是函数的最大值，图象上的最低点的纵坐标是函数的最小值．【变式训练1】 (2016·青岛)如图，需在一面墙上绘制几个相同的抛物线型图案．按照图中的直角坐标系，最左边的抛物线可以用y ＝ax 2＋bx(a ≠0)表示．已知抛物线上B ，C 两点到地面的距离均为34 m ，到墙边OA 的距离分别为12 m ，32m . (1)求该拋物线的函数关系式，并求图案最高点到地面的距离；(2)若该墙的长度为10 m ，则最多可以连续绘制几个这样的拋物线型图案？解：(1)由题意，得B(12，34)，C(32，34)，代入抛物线的函数关系式，得⎩⎨⎧14a ＋12b ＝34，94a ＋32b ＝34.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝2.故该抛物线的函数关系式为y ＝－x 2＋2x.∵y ＝－x 2＋2x ＝－(x －1)2＋1，∴抛物线的顶点坐标为(1，1)．∴图案最高点到地面的距离为1 m .(2)由题意，令y ＝－x 2＋2x ＝0，解得x 1＝0，x 2＝2.∴抛物线与x 轴两交点的坐标为(0，0)和(2，0)，即两交点之间的距离为2. ∴最多可连续绘制这样的抛物线型的个数为10÷2＝5(个)．, 拓展点1：抛物线型问题方法指导：利用二次函数解决抛物线型问题的基本思路是将实际问题中的条件转化为数学问题中的条件，本例中就是将距离转化为点的坐标，然后用待定系数法求得解析式，然后令纵坐标为0，求得抛物线在横轴的单个跨度，就可以得到问题的答案．【变式训练2】 (2017·安徽)某超市销售一种商品，成本每千克40元，规定每千克售价不低于成本，且不高于80元．经市场调查，每天的销售量y(千克)与每千克售价x(元/千克)满足一次函数关系，部分数据如下表：售价x(元/千克) 50 60 70 销售量y(千克)1008060(1)求y 与x (2)设商品每天的利润为W(元)，求W 与x 之间的函数表达式(利润＝收入－成本)；(3)试说明(2)中总利润W 随售价x 的变化而变化的情况，并指出售价为多少元时获得最大利润，最大利润是多少？解：(1)设y ＝kx ＋b ，将(50，100)和(60，80)代入y ＝kx ＋b ，得⎩⎨⎧50k ＋b ＝100，60k ＋b ＝80，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－2，b ＝200. ∴y 与x 之间的函数关系式为y ＝－2x ＋200.(2)W ＝(x －40)(－2x ＋200) ＝－2x 2＋280x －8 000 ＝－2(x －70)2＋1 800，∴W 与x 之间的函数表达式为W ＝－2(x －70)2＋1 800. (3)∵W ＝－2(x －70)2＋1 800中，a ＝－2＜0，40≤x ≤80， ∴抛物线开口向下，当40≤x ≤70时，y 随x 的增大而增大， 当70＜x ≤80时，y 随x 的增大而减小． ∴在x ＝70时，W 取得最大值，为1 800.答：售价为70元时，获得最大利润，最大利润是1 800元． 拓展点2：商品经济问题方法指导：利用二次函数解决商品经济问题的关键是仔细审题，弄清题意．一般步骤为： (1)根据图表信息，用待定系数法求解析式；(2)根据等量关系：销售利润＝(售价－成本)×销售量，建立函数关系式；(3)先根据题意确定自变量的取值范围，然后利用函数的增减性确定利润的最大值．重难点2 二次函数与几何图形的综合(2017·枣庄T 25，10分)如图，抛物线y ＝－12x 2＋bx ＋c 与x 轴交于点A 和点B ，与y 轴交于点C ，点B 坐标为(6，0)，点C 坐标为(0，6)，点D 是抛物线的顶点，过点D 作x 轴的垂线，垂足为E ，连接BD.(1)求抛物线的解析式及点D 的坐标；(2)点F 是抛物线上的动点，当∠FBA ＝∠BDE 时，求点F 的坐标；(3)若点M 是抛物线上的动点，过点M 作MN ∥x 轴与抛物线交于点N ，点P 在x 轴上，点Q 在坐标平面内，以线段MN 为对角线作正方形MPNQ ，请写出点Q 的坐标．【思路点拨】 (1)由B ，C 的坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式，再求其顶点D 的坐标即可；(2)过F 作FG ⊥x 轴于点G ，可设出F 点坐标，利用△FBG ∽△BDE ，由相似三角形的性质可得到关于F 点坐标的方程，可求得F 点的坐标；(3)由于M ，N 两点关于对称轴对称，可知点P 为对称轴与x 轴的交点，点Q 在对称轴上，可设出Q 点的坐标，则可表示出M 的坐标，代入抛物线解析式可求得点Q 的坐标．(1)把B ，C 两点坐标代入抛物线解析式，可得⎩⎨⎧－18＋6b ＋c ＝0，c ＝6，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝2，c ＝6. ∴抛物线解析式为y ＝－12x 2＋2x ＋6.········2分∵y ＝－12x 2＋2x ＋6＝－12(x －2)2＋8，∴D(2，8).··········3分(2)如图1，过F 作FG ⊥x 轴于点G.设F(x ，－12x 2＋2x ＋6)，则FG ＝|－12x 2＋2x ＋6|.∵∠FBA ＝∠BDE ，∠FGB ＝∠BED ＝90°， ∴△FBG ∽△BDE.∴FG BG ＝BEDE.∵B(6，0)，D(2，8)，∴E(2，0)，BE ＝4，DE ＝8，OB ＝6.∴BG ＝6－x. ∴|－12x 2＋2x ＋6|6－x＝48.当点F 在x 轴上方时，有－12x 2＋2x ＋66－x＝12，解得x ＝－1或x ＝6(舍去)，此时F 点的坐标为(－1，72)；·········5分当点F 在x 轴下方时，有－12x 2＋2x ＋66－x＝－12，解得x ＝－3或x ＝6(舍去)，此时F 点的坐标为(－3，－92)．综上可知，F 点的坐标为(－1，72)或(－3，－92).··············7分(3)如图2，设对称轴MN ，PQ 交于点O′.∵点M ，N 关于抛物线对称轴对称，且四边形MPNQ 为正方形， ∴点P 为抛物线对称轴与x 轴的交点，点Q 在抛物线的对称轴上． 设Q(2，2n)，则M 坐标为(2－n ，n)． ∵点M 在抛物线y ＝－12x 2＋2x ＋6的图象上，∴n ＝－12(2－n)2＋2(2－n)＋6.解得n ＝－1＋17或n ＝－1－17.∴满足条件的点Q 有两个，其坐标分别为(2，－2＋217)和(2，－2－217).····10分,例题剖析本例为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、相似三角形的判定和性质、正方形的性质、方程思想及分类讨论思想等知识．在(1)中注意待定系数法的应用，在(2)中构造三角形相似是解题的关键，注意有两种情况，在(3)中确定出P 、Q 的位置是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中．方法指导链接专题复习(九)边栏解题方法．1．生产季节性产品的企业，当它的产品无利润时就会及时停产．现有一生产季节性产品的企业，其一年中获得的利润y 和月份n 之间的函数关系式为y ＝－n 2＋14n －24，则该企业一年中利润最高的月份是(C )A ．5月B ．6月C ．7月D ．8月2．如图是我省某地一座抛物线形拱桥，桥拱在竖直平面内，与水平桥面相交于A ，B 两点，桥拱最高点C 到AB 的距离为9 m ，AB ＝36 m ，D ，E 为桥拱底部的两点，且DE ∥AB ，点E 到直线AB 的距离为7 m ，则DE 的长为48m .3．便民商店经营一种商品，在销售过程中，发现一周利润y(元)与每件销售价x(元)之间的关系满足y ＝－2x 2＋80x ＋750，由于某种原因，售价只能满足15≤x ≤22，那么一周可获得的最大利润是1__550元． 4．(2016·台州)竖直上抛的小球离地高度是它运动时间的二次函数．小军相隔1秒依次竖直向上抛出两个小球．假设两个小球离手时离地高度相同，在各自抛出后1.1秒时到达相同的最大离地高度．第一个小球抛出后t 秒时在空中与第二个小球的离地高度相同，则t ＝1.6． 5．(2017·黄石)小明同学在一次社会实践活动中，通过对某种蔬菜在1月份至7月份的市场行情进行统计分析后得出如下规律：①该蔬菜的销售价P(单位：元/千克)与时间x(单位：月份)满足关系：P ＝9－x ；②该蔬菜的平均成本y(单位：元/千克)与时间x(单位：月份)满足二次函数关系y ＝ax 2＋bx ＋10.已知4月份的平均成本为2元/千克，6月份的平均成本为1元/千克．(1)求该二次函数的解析式；(2)请运用小明统计的结论，求出该蔬菜在第几月份的平均利润L(单位：元/千克)最大？最大平均利润是多少？(注：平均利润＝销售价－平均成本)解：(1)依题意有⎩⎨⎧16a ＋4b ＋10＝2，36a ＋6b ＋10＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝14，b ＝－3.∴函数解析式为y ＝14x 2－3x ＋10.(2)依题意知，平均利润L ＝P －y ＝(9－x)－(14x 2－3x ＋10)．化简，得L ＝－14x 2＋2x －1＝－14(x －4)2＋3(1≤x ≤7且x 为整数)，∴当x ＝4时，L 的最大值为3.答：该蔬菜在四月份的平均利润L 最大，最大为3元/千克．6．(2017·德州)随着新农村的建设和旧城的改造，我们的家园越来越美丽，小明家附近广场中央新修了一个圆形喷水池，在水池中心竖直安装了一根高2米的喷水管，它喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1米处达到最高，水柱落地处离池中心3米．(1)请你建立适当的直角坐标系，并求出水柱抛物线的函数解析式； (2)求出水柱的最大高度是多少？解：(1)如图，以水管与地面交点为原点，原点与水柱落地点所在直线为x 轴，水管所在直线为y 轴，建立平面直角坐标系．由题意可设抛物线的函数解析式为y ＝a(x －1)2＋h(0≤x ≤3)． 抛物线过点(0，2)和(3，0)，代入抛物线解析式，可得⎩⎪⎨⎪⎧4a ＋h ＝0，a ＋h ＝2.解得⎩⎨⎧a ＝－23，h ＝83.所以抛物线解析式为y ＝－23(x －1)2＋83(0≤x ≤3)．化为一般式为y ＝－23x 2＋43x ＋2(0≤x ≤3)．(2)由(1)中抛物线解析式y ＝－23(x －1)2＋83(0≤x ≤3)知，当x ＝1时，y ＝83.所以抛物线水柱的最大高度为83m .7．(2017·义乌)某农场拟建一间矩形种牛饲养室，饲养室的一面靠现有墙(墙足够长)，已知计划中的建筑材料可建围墙的总长为50 m ．设饲养室长为x(m )，占地面积为y(m 2)．(1)如图1，问饲养室长x 为多少时，占地面积y 最大？(2)如图2，现要求在图中所示位置留2 m 宽的门，且仍使饲养室的占地面积最大．小敏说：“只要饲养室长比(1)中的长多2 m 就行了．”请你通过计算，判断小敏的说法是否正确．解：(1)∵y ＝x·50－x 2＝－12(x －25)2＋6252，∴当x ＝25时，占地面积y 最大，即当饲养室长为25 m 时，占地面积最大． (2)∵y ＝x·50－（x －2）2＝－12(x －26)2＋338，∴当x ＝26时，占地面积y 最大，即当饲养室长为26 m 时，占地面积最大． ∵26－25＝1≠2， ∴小敏的说法不正确．8．九(1)班数学兴趣小组经过市场调查，整理出某种商品在第x(1≤x ≤90)天的售价与销量的相关信息如下表：时间x(天) 1≤x ＜50 50≤x ≤90售价(元/件)x ＋4090每天销量(件) 200－2x已知该商品的进价为每件(1)求y 与x 的函数关系式；(2)问销售该商品第几天时，每天销售利润最大，最大利润是多少？(3)该商品在销售过程中，共有多少天每天销售利润不低于4 800元？请直接写出结果．解：(1)y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x 2＋180x ＋2 000（1≤x<50），－120x ＋12 000（50≤x ≤90）.(2)当1≤x<50时，y ＝－2x 2＋180x ＋2 000＝－2(x －45)2＋6 050.∵－2<0，∴当x ＝45时，y 有最大值，最大值为6 050. 当50≤x ≤90时，y ＝－120x ＋12 000. ∵－120<0，∴y 随x 的增大而减小．∴当x ＝50时，y 有最大值，最大值为6 000. ∵6 050>6 000，∴销售该商品第45天时，每天销售利润最大，最大利润为6 050元． (3)41天．9．(2017·温州)如图，过抛物线y ＝14x 2－2x 上一点A 作x 轴的平行线，交抛物线于另一点B ，交y 轴于点C ，已知点A 的横坐标为－2.(1)求抛物线的对称轴和点B 的坐标；(2)在AB 上任取一点P ，连接OP ，作点C 关于直线OP 的对称点D ； ①连接BD ，求BD 的最小值；②当点D 落在抛物线的对称轴上，且在x 轴上方时，求直线PD 的函数表达式．解：(1)对称轴是直线x ＝－b2a ＝－－22×14＝4.∵点A ，B 关于直线x ＝4对称，点A 的横坐标为－2， ∴点B 的横坐标为10. 当x ＝10时，y ＝5，∴点B 的坐标为(10，5)． (2)①如图1，连接OD ，OB.∵点C ，D 关于直线 OP 对称， ∴OD ＝OC ＝5. ∵OD ＋BD ≥OB ，∴BD ≥OB －OD ＝55－5.∴当点D 在线段OB 上时，BD 有最小值55－5.②如图2，设抛物线的对称轴交x 轴于点F ，交BC 于点H. ∵OD ＝5，OF ＝4，∴DF ＝3. ∴D(4，3)，DH ＝HF －DF ＝2.设CP ＝a ，则PD ＝PC ＝a ，PH ＝4－a ， 在Rt △PHD 中，(4－a)2＋22＝a 2， ∴a ＝52.∴P(52，5)．设直线PD 的函数表达式为y ＝kx ＋b(k ≠0)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧52k ＋b ＝5，4k ＋b ＝3.解得⎩⎨⎧k ＝－43，b ＝253.∴直线PD 的函数表达式为y ＝－43x ＋253.。
沪科版九上数学第2课时 利用二次函数模型解决实物型抛物线问题
抛物线经过点(450,81.5),代入上式，得
81.5 = a·4502ꧬ
答：所求抛物线对应的函数表达式为
y 1 x2 0.5450 x 450
2500
（2）当 x 450 100 350(m) 时，得
y 1 3502 0.5 49.5(m). 2500
2
故此时水面的宽度为2 6 m .
水面宽度增加了(2 6-4)m.
(0,3)
(-2,1)
(2,1)
O
x水面
虽然建立的直角坐标系不一样，但是两种方法的结
果是相同的.
随堂练习
1.某大学的校门是一抛物线形水泥建筑物(如图所示)，
大门的地面宽度为8米，两侧距地面4米高处各有一个
挂校名横匾用的铁环，两铁环的水平距离为6米，则校
（1）若以桥面所在直线为x轴，抛物线的对称 轴为y轴，建立平面直角坐标系，如图，求这条 抛物线对应的函数表达式； （2）计算距离桥两端主塔分别为100m，50m 处垂直钢索的长.
(0,0.5)
-450
O
-450
解（1）根据题意，得抛物线的顶点坐标为
（0,0.5）对称轴为y轴，设抛物线对应的函
数表达式为y=ax2+0.5.
y
设抛物线解析式为y=ax2+3.
将点(-2，1)代入解析式，
可得1=a ·(-2)2+3.
(0,3)
解得a
1 2
.
(-2,1) O
(2,1) 水面 x
所以抛物线解析式为y 1 x2 +3. 2
抛物线解析式为y 1 x2+3. 2
y
水面下降一米，即此时y=0.
则 1 x2 3 0, 解得x= 6.
北师版九年级数学下册课件 第二章 二次函数 二次函数的应用 第2课时 利用二次函数解决实物抛物线问题
(1)当h＝2时，①求抛物线的表达式；②排球过网后，如果对方没有拦住球，判断 排球能否落在界内，并说明理由；
(2)若排球既能过网(不触网)又不出界(不接触边界)，求h的取值范围．
解：根据题意可知抛物线的顶点坐标为(6，2.5)，∴可设抛物线的表达式为 y＝
a(x－6)2＋2.5.
(1) ①当 h＝2 时，2＝(0－6)2a＋2.5，解得 a＝－ 1 ，∴y＝－ 1 (x－6)2＋2.5
6．(10分)如图，一位身高1.8 m的篮球运动员在距篮圈中心水平距离4 m处起跳投 篮，球沿一条抛物线运动，当球运动的水平距离为2.5 m时达到最大高度3.5 m，然后 准确落入篮框内．已知篮圈中心到地面的距离为3.05 m.
(1)按如图所示的直角坐标系，求该抛物线的函数表达式； (2)在这次跳投中，球在该运动员头顶上方0.25 m处出手，问球出手时他跳离地面 的高度是多少？
解：(1)设该抛物线的函数表达式为 y＝ax2＋3.5，将点(1.5，3.05)代入，得 2.25a ＋3.5＝3.05，解得 a＝－0.2，∴该抛物线的函数表达式为 y＝－0.2x2＋3.5
(2)当 x＝－2.5 时，y＝－0.2x2＋3.5＝2.25，∴球出手时他跳离地面的高度为 2.25 －1.8－0.25＝0.2(m)
450
450
50
②当抛物线经过点(18，0)时，(18－6)2a＋2.5＝0，解得 a＝－ 5 ，∴此时 y＝ 288
－ 5 (x－6)2＋2.5，∴此时 h＝－ 5 ×(0－6)2＋2.5＝15 .∴若排球既能过网(不触
288
288
8
网)又不出界(不接触边界)，h
的取值范围是73 50
＜h＜185
第二章 二次函数
九年级数学下册第二章 第2课时利用二次函数解决实物抛物线问题作业课件新版北师大版
【素养提升】 11．(18分)某跳水运动员进行10 m跳台跳水训练时，身体(看成一点)在 空中的运动路线是如图所示坐标系下经过原点O的一条抛物线(图中标出 的数据为已知条件)．在跳某个规定动作时，正常情况下，该运动员在空 中的最高处距水面10 m，入水处距池边的距离为4 m，运动员在距水面高 度为5 m以前，必须完成规定的翻腾动作，并调整好入水姿势，否则就会 出现失误．
解：(1)水柱所在抛物线(第一象限部分)的函数表达式为 y＝－15 (x－3)2＋5(0 ＜x＜8) (2)当 x＝0 时，y＝－15 (x－3)2＋5＝156 ，设改造后水柱所在抛物线(第一象限 部分)的函数表达式为 y＝－15 x2＋bx＋156 ，∵该函数图象过点(16，0)，∴0 ＝－15 ×162＋16b＋156 ，解得 b＝3，∴改造后水柱所在抛物线(第一象限部分) 的函数表达式为 y＝－15 x2＋3x＋156 ＝－15 (x－125 )2＋22809 (0＜x＜16)，∴扩 建改造后喷水池水柱的最大高度为22809 m
用二次函数解决运动类问题 6．(4 分)烟花厂为国庆观礼特别设计制作了一种新型礼炮，这种新型礼炮的升 空高度 h(m)与飞行时间 t(s)之间的函数关系可表示为 h＝－52 (t－4)2＋20，则 这种礼炮从点火升空到到达最高点引爆需要的时间为( B ) A．3 s B．4 s C．5 s D．6 s
a2＝－32， h2＝－32
(不合题意，舍去)
，∴抛物线的表达式为 y＝－265
(x－25
)2＋23
＝－265 x2＋130 x
(2)会失误，理由如下：∵当 x＝3.6－(3－1)＝1.6 时，y＝－265 x2＋130 x＝(－
25 6
)×(58
)2＋130
21.4 第2课时 实物型抛物线及运动中的抛物线问题
问题4 水面下降 1 m，水面宽度增加
多少？
−2 −1
这条抛物线表示的二次函数为 y = 1 x2.
−2
2
当水面下降 1 m 时，水面的纵坐标为 -3. −4
令
1 2
x2
3，解得
x1
6，x2
6.
即水面下降 1 m 时，水面宽度增加 (2 6 4) m.
12 B
知识要点 建立二次函数模型解决实际问题的基本步骤是什么？
实际 问题
建立二次 函数模型
利用二次函数的图 象和性质求解
实际问题的解
例2 如图，一名运动员在距离篮球框中心 4 m (水平距 离) 远处跳起投篮，篮球准确落入篮框，已知篮球运行 的路线为抛物线，当篮球运行的水平距离为 2.5 m 时， 篮球达到最大高度，且最大高度为 3.5 m．如果篮框中 心距离地面 3.05 m，那么篮球在该运动员出手时的高 度是多少米？
解：建立如图的直角坐标系. 则点 A 的坐标是 (1.5，3.05)， 篮球在最大高度时的位置为 B (0，3.5). 以点 C 表示运动员投篮球的出手处.
y
O
x
设此以 B (0，3.5) 为顶点的抛物线表达式为 y = ax2 + 3.5.
而点 A (1.5，3.05) 在这条抛物线上，
所以有 1.52a + 3.5 = 3.05，解得 a = -0.2.
第21章 二次函数与反比例函数
21.4 二次函数的应用
第2课时 实物型抛物线及运动中的抛物线问题
导入新课
如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面 2 m 时，水 面宽 4 m. 水面下降 1 m，水面宽度增加多少？
新课讲授
利用二次函数解决实物型抛物线问题
抛物线型问题
抛物线型问题一、背景抛物线型问题是在数学和物理学中常见的问题，它涉及到抛物线的几何特性和运动物体的轨迹。
在解决这类问题时，我们需要运用数学模型和物理原理，以理解抛物线的性质和运动规律。
二、抛物线的定义与性质抛物线是一种二次曲线，它的方程可以表示为y = ax^2 + bx + c。
对于给定的方程，当b=c=0时，曲线就是一条通过原点的直线，当a=0时，曲线就是一个点。
而当a、b、c不全为0时，我们得到一个抛物线。
抛物线具有以下性质：1. 抛物线是关于其对称轴对称的。
2. 抛物线的顶点是其对称轴与曲线的交点。
3. 抛物线的开口方向由系数a决定，当a>0时，开口朝上；当a<0时，开口朝下。
4. 抛物线的宽度（也称为焦距）由系数b和c决定。
三、解决抛物线型问题的策略解决抛物线型问题需要综合考虑数学和物理学的知识。
以下是一些常用的策略：1. 建立数学模型：首先需要将实际问题转化为数学问题，通过设立方程来描述抛物线的几何特性和运动规律。
2. 分析方程：对建立的方程进行分析，找出关键的参数和关系，如顶点、开口方向、焦距等。
3. 运用物理原理：根据问题的具体情况，运用物理原理来分析物体的运动轨迹和规律。
4. 求解方程：通过求解方程，找出未知数或未知量，从而找到物体的运动轨迹或抛物线的性质。
5. 检验与验证：最后需要对结果进行检验和验证，以确保答案的正确性和准确性。
四、应用实例1. 抛物线的标准方程：y = ax^2 + bx + c。
通过求解这个方程，我们可以找到抛物线的顶点、开口方向和焦距等性质。
2. 运动物体的轨迹：当一个物体在力的作用下沿着抛物线运动时，我们需要运用物理原理来分析它的运动轨迹和规律。
例如，一个物体在一个恒力的作用下沿着斜抛运动轨迹向上运动，这个轨迹就是一个抛物线。
我们可以通过建立物理模型和数学方程来求解这个问题的未知量，如物体的初速度和运动时间等。
3. 光的反射和折射：在光学中，抛物线型问题也经常出现。
第2课时 利用二次函数解决实物抛物线问题
• You have to believe in yourself. That's the secret of success. 人e the right moment, is the right man.谁把握机遇，谁就心想事成。2021/9/32021/9/32021/9/32021/9/39/3/2021 •14、谁要是自己还没有发展培养和教育好，他就不能发展培养和教育别人。2021年9月3日星期五2021/9/32021/9/32021/9/3 •15、一年之计，莫如树谷；十年之计，莫如树木；终身之计，莫如树人。2021年9月2021/9/32021/9/32021/9/39/3/2021 •16、教学的目的是培养学生自己学习，自己研究，用自己的头脑来想，用自己的眼睛看，用自己的手来做这种精神。2021/9/32021/9/3September 3, 2021 •17、儿童是中心，教育的措施便围绕他们而组织起来。2021/9/32021/9/32021/9/32021/9/3