§22_2 矩阵与变换

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矩阵的初等变换与初等矩阵

§2.2 矩阵的初等变换与初等矩阵1．矩阵的初等变换定义2.1 下列三种变换称为矩阵的初等列变换：（1）交换矩阵的第,i j 列，用i j c c ↔记之；（2）用非零数k 乘矩阵的第i 列，用i kc 记之；（3）把矩阵的第i 列的k 倍加到第j 列，用j i c kc +记之。

矩阵的初等行变换与列变换，统称为矩阵的初等变换。

如果矩阵A 经过有限次初等(行，列)变换，化为矩阵B ，就称矩阵A 与B (行，列)等价，记作~A B 。

矩阵的等价具有以下性质：（1）反身性 ~A A ；（2）对称性如果~A B ，则~B A ；（3）传递性如果~A B ，~B C ，则~A C 。

利用初等行变换，将方程组的增广矩阵化为行最简形，从而得出方程组的解。

可见，讨论矩阵的某种结构简单、而形式特定的等价矩阵，在理论和实际应用上都是必要而有价值的。

对矩阵的行最简形再施行初等列变换，可得到一种结构最为简单的形式。

以§A 为例，矩阵A 的行最简形为11610039210103910001300000⎛⎫⎪⎪⎪-⎪ ⎪- ⎪⎪⎝⎭，再经初等列变换344151425253116211,,,,,39393c c c c c c c c c c c c ↔---++化为10000010000010000000⎛⎫ ⎪=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭F 。

称矩阵F 为矩阵A 的等价标准形。

定理 2.1 矩阵()ij m n a ⨯=A 经过有限次初等变换可化为如下的等价标准形：()()()()rr n r m r r m r n r ⨯--⨯-⨯-⎛⎫=⎪⎝⎭I O F O O ，其中下方及右边的零行，零列可能空缺。

由行列式的性质可知，行列式不为零的方阵，其等价矩阵的行列式也不为零。

由此可得以下结论：可逆矩阵的等价矩阵也为可逆矩阵；可逆矩阵的行最简形就是等价标准形，且一定是单位矩阵。

2．初等矩阵定义2.2 由单位矩阵经一次初等变换而得的矩阵称为初等矩阵。

矩阵与变换

一般地，对于平面上的任意一点（向量） ( x, y ), 若按照对应法则T，总能对应唯一的一个平面点(向量） x, y ), 则称T 为一个变换，简记（为 T： , y ) x, y )， (x （或 x x T： . y y
一般地，对于平面向量的变换T，如果变换规则为 x x ax + by T： y , 坐标变换的形式 y cx + dy 那么，根据二阶矩阵与向量的乘法规则可以改写为 x x a b x T： y y 矩阵乘法的形式 y c d 的矩阵形式，反之亦然（a, b, c, d R ).
一般地，称形如M1,M2,M3,M4,M5这样的矩阵为反射变换矩阵，对应的变换叫做反射变换，其中（2）叫做中心反射，其余叫轴反射.其中定直线叫做反射轴，定点称为反射点.
M(l1+l2b) l1M+l2Mb 上式表明，在矩阵M的作用下，直线 l1+l2b 变成直线 l1M+l2Mb. 这种把直线变成直线的变换，通常叫做线性变换。
切变变换
矩阵
1 k 0 1 把平面上的点P(x,
y)沿x轴方向
平移|ky|个单位: 当ky>0时，沿x轴正方向移动；当ky<0时，沿x轴负方向移动；当ky=0时，原地不动. 在此变换作用下，图形在x轴上的点是不动点。
像由矩阵
1 k 0 1 确定的变换通常叫做切变变换,
二阶单位矩阵一般记为E
1 M 垂直伸压变换矩阵： 0
0 1 2
2 N 0
0 1
将平面图形作沿y轴方向伸长或压缩,或作沿x轴方向伸长或压缩的变换矩阵,通常称做沿 y轴或x轴的垂直伸压变换矩阵. 伸压变换：

高考数学一轮复习-矩阵与变换课件-新人教A

规律方法已知 A＝ac db，求特征值和特征向量，其步骤为： (1)令 f(λ)＝（－λc－（a）λ－d－）b＝(λ－a)(λ－d)－bc＝0，求出特征值 λ； (2)列方程组（－λc－x＋a）（xλ－－db）y＝y＝0，0； (3)赋值法求特征向量，一般取 x＝1 或者 y＝1，写出相应的向量．
y)变成点 A′(13，5)，试求 M 的逆矩阵及点 A 的坐标．
解由 M＝21 －－31，得|M|＝1，故 M－1＝－－11 32.
从
而
由
2 1
－3 －1
x y
＝
13 5
得
x y
＝
－1 －1
3 2
13 5
＝
－－11××1133＋＋32××55＝－23，故yx＝＝－2，3，∴A(2，－3)为所求．
矩阵 M＝2b a1所对应的变换将直线 x－y＝1 变换成 x＋2y ＝1，求 a，b 的值．解设点(x，y)是直线 x－y＝1 上任意一点，在矩阵 M 的作用下变成点(x′，y′)，则2b a1xy＝xy′′，
所以xy′′＝＝b2xx＋＋ya.y，因为点(x′，y′)，在直线 x＋2y＝1 上，所以
①对于特征值 λ1＝－1，解相应的线性方程组x2＋ x＋y＝2y＝0，0得一个非零解xy＝＝－1，1. 因此，α＝1－1是矩阵 A 的属于特征值 λ1＝－1 的一个特征向量； ②对于特征值 λ2＝3，解相应的线性方程组2－x－2x2＋y＝2y0＝，0 得一个非零解xy＝＝11.，因此，β＝11是矩阵 A 的属于特征值 λ2＝3 的一个特征向量．
因此，由 AX＝B，同时左乘 A－1，有 A－1AX＝A－1B＝2－1－3213＝－5 7. 即原方程组的解为yx＝＝5－. 7，

第二章矩阵及其运算

a11 b11 a12 b12 a1n b1n a 22 b22 a 2 n b2 n a b 21 21 a b a s 2 bs 2 a sn bsn s1 s1
称为 A 和 B 的和，记为
C A B.
批注
表示出来。
§2 矩阵的运算
矩阵的意义不仅在于把一些数据根据一定的顺序排列成阵列形式，而且还在于对它定义了一些有理论意义和实际意义的运算，使它真正成为有用的工具。一、矩阵的加法 1、定义定义设
A aij sn

a11 a 21 a s1 b11 b21 bs1
定义：设 A a ij

m s
是 m s 矩阵， B bij

s n
是 s n 矩阵，则定
义一个新的 m n 矩阵 C ：
C cij mn
s
其中
cij ai1b1 j ai 2 b2 j aik bkj ail blj aik bkj
批注
(2) 结合律 (A) (A) ( ) A (3) 分配律 ( A B) A B
A A
(4) 若 A 为 n 阶矩阵，则有 A n A 此外，还容易得到：
0 A 0,
A (1) A
矩阵相加与数乘矩阵合起来统称为矩阵的线性运算。例
矩阵的乘法；方阵的行列式；伴随矩阵; 逆矩阵的概念；求逆方法；分块求逆方法。
矩阵乘法不满足交律以及由此的问题；矩阵可逆性的讨论；分块求逆方法
讲授习题课答疑
教学内容
第二章矩阵及其运算
矩阵是将一组有序的数据视为 “整体量” 进行表述和运算，使得问题简洁和易于了解本质。矩阵不仅是解线性方程组的有力工具，而且是线性空间内线性变换的表现形式，因此有关矩阵的理论构成了线性代数的基本内容。本章介绍矩阵的概念；矩阵的线性运算、矩阵乘法；逆矩阵及矩阵的初等变换；分块矩阵及其运算等内容。 §1 矩阵 1、矩阵的概念

二阶矩阵课件

0
a
0
0
0
a
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4.单位矩阵
如果n阶对角矩阵 A aij 中元素满足 aii1i1,2, ,n,
则称为n阶单位矩阵，记为 E n .即
1 0
0
En
0
1
0
0
0
1
返回
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§2 矩阵的运算
一、矩阵的加法
定义2 设有两个mn矩阵A=(aij), B=(bij),那么A与B的和记为A+B,规定为
(1)矩阵A与B为同型矩阵,采用同样的分块法,有
A11 A12 A1r
AA21
A22
A2r,
As1 As2 Asr
B11 B12 B1r
BB21
B22
B2r
Bs1 Bs2 Bsr
A11B11 A12B12 A1r B1r
ABA21B21
A22B22
A2r B2r
As1
Bs1
As2Bs2 AsrBsr
A 1A X B B 1A 1C B 1,
即
X A 1 C B 1 .
返回
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由于 |A|=2,|B|=1，故 A1、B1 存在，且
1 3 2
A 1
3
3
5
,
2
2
1 1 1
B1
=
3 5
1 2
,
1 X=A1CB1 3
2 1
3 3
1
5221123
3 1053
1 2
1 1
2 1
解
A = 2 2 1 2,
1
1
1

《线性代数》课件-第二章矩阵及其运算

a11
A
A
a21
am1
a12 a22
am1
a1n
a2n
amn
数乘矩阵的运算规律
a, b, c R 结合 (ab)c a(bc) 律分 (a b) c ac bc 配律 c (a b) ca cb
设 A、B是同型矩阵， , m 是数 (m)A (m A)
a11
a12
a13
a14
4
c11 a1kbk1
b11
b21
b31
b41
k 1
4
c12 a11b12 a12b22 a13b32 a14b42 a1k bk 2 k 1
一般地，
4
cij ai1b1 j ai 2b2 j ai 3b3 j ai4b4 j aikbkj k 1
行列式
矩阵
a11 a12
a1n
a21 a22
a2n
an1 an2
ann
(1) a a t( p1 p2 pn ) 1 p1 2 p2
p1 p2 pn
行数等于列数
共有n2个元素
a11 a12
a21
a22
am1 am1
anpn
a1n
a2n
amn
行数不等于列数共有m×n个元素本质上就是一个数表
第二章矩阵及其运算
§1 矩阵
一、矩阵概念的引入二、矩阵的定义三、特殊的矩阵四、矩阵与线性变换
B
一、矩阵概念的引入
例某航空公司在 A、B、C、D 四座 A
城市之间开辟了若干航线，四座城市之间的航班图如图所示，箭头从始发地指向目的地.
城市间的航班图情况常用表格来表示:

矩阵与变换二阶矩阵平面逆变换等强化训练专题练习(四)含答案高中数学

5．已知矩阵，向量 .
（1）求矩阵M的特征向量；
（2）计算．
6．若圆在矩阵对应的变换下变成椭圆求矩阵的逆矩阵 .
7．已知二阶矩阵M有特征值＝３及对应的一个特征向量，并且M对应的变换将点（－１，２）变换成（９，１５），求矩阵M．
8．求圆在矩阵的变换作用下的曲线方程．
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
高中数学专题复习
《矩阵与变换二阶矩阵平面逆变换等》单元过关检测
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注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
评卷人
得分
一、填空题
1．已知以为变量的二元一次方程组的增广矩阵为，则这个二元一次方程组的解为____________.
所以．…………………………………………………………………10分
7．设，则，故 ……………4分
，故 ………………………………………………7分
联立以上两方程组解得，故 = ．………………10分
8．解l
2．行列式的值是0.5。
评卷人
得分
二、解答题
3．选修42：矩阵与变换（本小题满分10分）
已知a，b ，若 = 所对应的变换TM把直线2xy= 3变换成自身，试求
实数a，b．
4．（本小题满分14分）
已知二阶矩阵属于特征值－1的一个特征向量为，属于特征值2的一个特征向量为，求矩阵M及其逆矩阵．
评卷人
得分
一、填空题
1．
2．考查行列式运算法则=
评卷人
得分
二、解答题
3．
4．解：M= ……………7分 = .……………7分

图形变换的矩阵方法

⒉当a≠d，图形产生畸变
A 0 0
例：设正方形ABCD的矩阵为
B C
2
2
0
2
D
0
2
设
T
1.5
0
0 2
，对□ABCD进行变换：
A0 0
0 0A
B2 C2 D0
0 2 2
1.5
0
0 2
3 3 0
0 B 4 C 4 D
D′
D A
A′
C′
C
B B′
㈠比例变换（缩放变换）
11
x
ya0
d0axby
并规定：①逆时针方向旋转时角度θ取正值；
②顺时针方向旋转时角度θ取负值。
变换T 矩阵 csoinscsions
A
例：设矩形ABCD对应的矩阵为 B
0
2
0
0
D′ D
C′ C
C 2 1 .5
B′
设θ=30°
D
0
1
.
5
A′A
B
co3s0si3n0 0.866 0.5
Tsi3n0co3s0 0.5 0.86 6
变换
·
矩阵
变换后的 = 图形顶点
坐标矩阵
本章讨论的问题：如何利用变换矩阵实现对二维、三维图形的各种变换。
§2 二维图形变换
5
分为两类：二维基本变换，二维组合变换。二维基本变换：比例变换（缩放）、对称变换、错切变换、旋转变换、平移变换。二维组合变换：由多种基本变换组合而成的变换。一、二维基本变换矩阵变换法的形式为：
❖ 对坐标轴的对称变换 x轴:T10
0 1
y轴:T01
0 1

线性代数第二章

课题：矩阵教学目的：理解矩阵的概念，熟练掌握矩阵运算；理解矩阵的初等变换及作用；理解矩阵的秩和逆的概念，熟练掌握矩阵的秩和逆的求解教学重点：矩阵运算、秩和逆的求解教学难点：矩阵的乘法、秩和逆的概念教学时数：10教学设计：§1、§2 矩阵的概念与运算一、矩阵的概念1 矩阵的定义①定义6P def1②矩阵的行、列③行标、列标④元素(元)⑤主对角线、主对角元2 特殊矩阵①矩阵的行、列数目特殊行矩阵(只有一行的矩阵) def列矩阵(只有一列的矩阵) defn阶方阵(行数等于列数) def 注：1阶方阵②矩阵的元素特殊零矩阵 def负矩阵 def单位阵 def3 矩阵的同型 def4 矩阵的相等 def二、矩阵的运算1 矩阵的加、减法①定义9P②性质a)满足交换律与结合律b)A+(-A)=O A+O=Ac)A+(-B)=A-B (减法也可用此式定义)注：可加(减)的条件是两矩阵同型，结果也同型2 矩阵的数乘 ① 定义 10P ② 性质a) ()()A A αβαβ= b) ()A B A B ααα+=+ c) ()A A A αβαβ+=+3 矩阵的乘法 ① 定义 12P注意：可乘条件：左矩阵的列数等于右矩阵的行数相乘结果：为左矩阵的行数右矩阵的列数 ② 乘法举例例1 设21123,13010A B -⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦求AB 解：2112322613010153AB --⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦⎣⎦例2 2115003,20141A B ⎡⎤⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦求AB 解 21410115003603201416201AB ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦③ 性质a) 结合律 ()()A BC AB C = b) 左、右分配律 ()A B CAC BC +=+()A B C AB AC +=+c) 不满足交换律主要有以下三方面的原因1) 若AB 有意义，BA 未必有意义如 2223A B ⨯⨯有意义而2322B A ⨯⨯则没有意义 2) 即使AB 、BA 都有意义，也不一定同型如322333A B C ⨯⨯⨯=， 233222B A C ⨯⨯⨯=3) 即使AB 、BA 都有意义且同型，也不一定相等如24241236A B -⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦ 16320081600AB BA --⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦d) 乘法消去律不满足即当AB AC =一般说来没有B C = 如000110010000A B C ⎡⎤⎡⎤⎡⎤===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦虽有0000AB AC ⎡⎤==⎢⎥⎣⎦，但B C ≠ 以如512100603011A B C ⎡⎤⎡⎤⎡⎤===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦虽有1100ACBC ⎡⎤==⎢⎥⎣⎦，但A B ≠ ④ 方阵的幂对于方阵A 与自然数k ，称k nA A A A =⋅⋅⋅为方阵A 的k 次幂，具有性质： a) 1212k k k k A A A +=, b) 1212()k k k k A A =例3已知1101A ⎛⎫= ⎪⎝⎭，求nA ⑤矩阵的行列式 AB A B=⋅4 矩阵的转置 ① 定义 16P② 性质1) ()T TAA =2) ()T T T A B A B +=+3) ()()T T A A λλ= 4) ()TT T AB B A =作业：P100 2，4,5(2)(3)(6)，10，14((1)(5)，17(1)，18§3、§4 特殊矩阵与分块矩阵一、特殊矩阵 1 对角矩阵如果n 阶方阵()ij A a =中的元素满足：0(,1,2,)ij a i j i j n =≠= ，则称A 为对角矩阵。

矩阵的初等变换

r
m n 矩阵A,B
1)A ~ B 可逆阵Pmm , 使PA B 2)A ~ B 可逆阵Pnn , 使AP B 3) A ~ B 的充要条件是 : 存在 m 阶可逆方阵 P 及 n 阶可逆方阵 Q, 使 PAQ B.
推论 : A可逆 A ~ E,
r
c
-5 3 1 例1 设A= , 求可逆阵P,使 2 -1 1 PA为行最简形.
初等方阵的逆及行列式
E(i, j)1 E(i(k))
1
E(i, j)
1 E(i( )) k
. ; .

E(i, j) | | E(i(k)) |
-1
; ; .
k
| E(i, j(k)) | 1
a11 a 21 例4 设A= a 31 a 41 0 0 0 0 1 0 P1 0 0 1 1 0 0
1 如上例中,A可化为 0 F 0 0
0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0
特点：F的左上角是一个单位矩阵，其余元素全
为零. m n 矩阵 A 总可经过初等变换化为标准形
Er O F O O m n 此标准形由 m , n, r 三个数唯一确定，其中r 就是
a13 a 23 a 33 a 43
a12 a 22 a 32 a 42
a11 a 21 a 31 a 41
其中A可逆, 则B 1 __ A)A 1P1P2 ; B)P1A 1P2 ; C)P1P2 A 1; D)P2A 1P1
3.初等变换求逆 converse matrix by elementary operation 性质1 设 A 是一个 m n 矩阵，对 A 施行一

第二章矩阵及其运算

数乘矩阵与数乘行列式的区别所在！！
23
第二章矩阵及其运算
3 1 2 0 A= 1 5 7 9
2 4 6 8
7 5 2 4 B= 5 1 9 7
3 2 1 6
求满足关系式 A+2X=B 的矩阵 X （3A—2B）三、矩阵的乘法
定义 3：设 A=（ aij ） ms B =（ bij ） sn 则乘积 AB=C=( cij ) mn
线性代数教案
课题
教学内容教学目标教学重点
第二章矩阵及其运算 §2.1 矩阵 §2.2 矩阵的运算
矩阵的概念；矩阵的运算；
明确矩阵概念的形成；掌握矩阵的加法、数与矩阵的乘法、矩阵与矩阵的乘法；会求矩阵的转置、方阵的行列式、共轭矩阵；
掌握矩阵定义及运算法则
教学难点矩阵乘法
教学内容、安排
矩阵：matrix 矩阵运算：matrix operations 矩阵的加法：matrix addition 数与矩阵相乘：scalar muctiplication 转置矩阵：transposd matrix
A
的乘积。即
kA=
k
aij
=

ka21
kam1
ka12 ka22
kam2
ka1n
ka2n

kamn

用数乘以矩阵中的每一个元素
由定义可知 –A=(-1) A
A – B = A+(-B) 数乘矩阵满足以下的运算律 1、结合律：(kl)A=k(lA)=l(kA) 2、交换律：kA=Ak 3、分配律：k（A+ B）=kA+kB 例1、设
教学手段、
措施

线性代数：矩阵的初等变换和初等矩阵

a12 3a22
a13 3a23
a11 a21
a12 a22
a13 a23
2 0 0
0 1 0
0 0 1
2a11 2a12
a12 a22
a13 a23
10
a11 a21
a12 a22
a13 a23
c1 2
2a11 2a12
a13 a23
a12 a22
3、以数k 0乘某行(列)加到另一行(列)上去
矩阵的初等变换和初等矩阵
1
一、矩阵的初等变换初等矩阵
定义下面三种变换称为矩阵的初等行变换:
1 对调两行（对调i, j两行,记作ri rj）； 2 以数 k 0 乘以某一行的所有元素;
（第 i 行乘 k,记作 ri k）
3 把某一行所有元素的k 倍加到另一行
对应的元素上去（第 j 行的 k 倍加到第 i 行上
相当于对矩阵 A 施行第一种初等列变换：把 A 的第 i 列与第 j 列对调(ci c j ).
7
2、以数 k 0 乘某行或某列
以数k 0乘单位矩阵的第i行(ri k)，得初等矩阵E (i (k )).
1
1
E(i(k))
k
第
i
行
1
1
8
以 Em (i(k)) 左乘矩阵A，
25
三、初等变换法求逆矩阵
当A可逆时，由推论4，A P1P2 Pl，有 Pl1Pl11P11 A E, 及 Pl1Pl11P11E A1,
Pl1Pl11P11 A E
Pl1Pl11P11 A Pl1Pl11P11E E A1
即对 n 2n 矩阵 ( A E) 施行初等行变换，当把 A 变成 E 时，原来的 E 就变成 A1.

第二章矩阵变换和计算

·第二章矩阵变换和计算一、内容提要本章以矩阵的各种分解变换为主要内容，介绍数值线性代数中的两个基本问题：线性方程组的求解和特征系统的计算，属于算法中的直接法。

基本思想为将计算复杂的一般矩阵分解为较容易计算的三角形矩阵. 要求掌握Gauss （列主元）消去法、矩阵的（带列主元的）LU 分解、平方根法、追赶法、条件数与误差分析、QR 分解、Shur 分解、Jordan 分解和奇异值分解.(一) 矩阵的三角分解及其应用 1．矩阵的三角分解及其应用考虑一个n 阶线性方程组b Ax =的求解，当系数矩阵具有如下三种特殊形状：对角矩阵D ，下三角矩阵L 和上三角矩阵U ，这时方程的求解将会变得简单. ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=n d dd D21, ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=nnn n l l l l l l L21222111, ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=nn n n u u u u u u U22212111. 对于b Dx =，可得解为i i i d b x /=,n i ,,2,1 =.对于b Lx =，可得解为1111/l b x =,ii i k k iki i l x lb x /)(11∑-=-=,n i ,,3,2 =.对于b Ux =，可得解为nn n n l b x /=,ii ni k k iki i l x lb x /)(1∑+=-=,1,,2,1 --=n n i .虽然对角矩阵的计算最为简单，但是过于特殊，任意非奇异矩阵并不都能对角化，因此较为普适的方法是对矩阵进行三角分解.1）．Gauss 消去法只通过一系列的初等行变换将增广矩阵)|(b A 化成上三角矩阵)|(c U ，然后通过回代求与b Ax =同解的上三角方程组c Ux =的解．其中第k 步消元过程中，在第1-k 步得到的矩阵)1(-k A 的主对角元素)1(-k kka 称为主元.从)1(-k A 的第j 行减去第k 行的倍数)1()1(--=k kkk jkjk a a l （n j k ≤<）称为行乘数（子）.2）．矩阵A 的LU 分解对于n 阶方阵A ，如果存在n 阶单位下三角矩阵L 和n 阶上三角矩阵U ，使得LU A =, 则称其为矩阵A 的LU 分解，也称为Doolittle 分解．Gauss 消去法对应的矩阵形式即为LU 分解, 其中L 为所有行乘子组成的单位下三角矩阵, U 为Gauss 消去法结束后得到的上三角矩阵. 原方程组b Ax =分解为两个三角形方程组⎩⎨⎧==yUx b Ly .3）．矩阵LU 分解的的存在和唯一性如果n 阶矩阵A 的各阶顺序主子式),,2,1(n k k =D 均不为零, 则必有单位下三角矩阵L 和上三角矩阵U ，使得LU A =, 而且L 和U 是唯一存在的．4）．Gauss 列主元消去法矩阵每一列主对角元以下（含主对角元）的元素中, 绝对值最大的数称为列主元. 为避免小主元作除数、或0作分母，在消元过程中，每一步都按列选主元的Guass 消去法称为Gauss 列主元消去法．由于选取列主元使得每一个行乘子均为模不超过1的数，因此它避免了出现大的行乘子而引起的有效数字的损失.5）．带列主元的LU 分解Gauss 列主元消去法对应的矩阵形式即为带列主元的LU 分解,选主元的过程即为矩阵的行置换. 因此, 对任意n 阶矩阵A ，均存在置换矩阵P 、单位下三角矩阵L 和上三角矩阵U ，使得LU PA =．由于选列主元的方式不唯一, 因此置换矩阵P 也是不唯一的. 原方程组b Ax =两边同时乘以矩阵P 得到Pb PAx =, 再分解为两个三角形方程组⎩⎨⎧==y Ux PbLy .5）．平方根法(对称矩阵的Cholesky 分解)对任意n 阶对称正定矩阵A ，均存在下三角矩阵L 使T LL A =，称其为对称正定矩阵A 的Cholesky 分解. 进一步地, 如果规定L 的对角元为正数，则L 是唯一确定的．原方程组b Ax =分解为两个三角形方程组⎩⎨⎧==y x L bLy T .利用矩阵乘法规则和L 的下三角结构可得21112⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∑-=j k jkjj jjla l , jj j k jkikij ij l l la l /11⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=∑-=, i=j +1, j +2,…,n , j =1,2,…,n . 计算次序为nn n n l l l l l l l ,,,,,,,,,2322212111 ．由于jj jk a l ≤，k =1,2,…,j ．因此在分解过程中L 的元素的数量级不会增长，故平方根法通常是数值稳定的，不必选主元．6）．求解三对角矩阵的追赶法对于三对角矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=---n nn n n b a c b a c b a c b 11122211A , 它的LU 分解可以得到两个只有两条对角元素非零的三角形矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=--n n n nu d u d u d u l l l 11221132,1111U L . 其中⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-====-==--n i c l b u n i u a l b u n i c d i i i i i i i i i ,,3,2,,,3,2,/1,,2,1,1111计算次序是n n u l u l u l u →→→→→→→ 33221. 原方程组b Ax =分解为两个三角形方程组⎩⎨⎧==y Ux b Ly . 计算公式为n i y l b y b y i i i i ,,3,2,,111 =-==-,.1,,2,1,/)(,/1 --=-==+n n i u x c y x u y x i i i i i nn n该计算公式称为求解三对角形方程组的追赶法．当A 严格对角占优时，方程组b Ax =可用追赶法求解, 解存在唯一且数值稳定．7）．矩阵的条件数设A 为非奇异矩阵，⋅为矩阵的算子范数，称1)(cond -=A A A 为矩阵A 的条件数．矩阵的条件数是线性方程组b Ax =, 当A 或b 的元素发生微小变化，引起方程组解的变化的定量描述, 因此是刻画矩阵和方程组性态的量. 条件数越大, 矩阵和方程组越为病态, 反之越小为良态.常用的矩阵条件数为∞-条件数: ∞-∞∞=1)(cond AA A ，1-条件数: 1111)(cond -=AAA ，2-条件数: )()()(cond mi n max 2122A A A A AAA HHλλ==-．矩阵的条件数具有如下的性质： (1) 1)(cond ≥A ;(2) )(cond )(cond 1-=A A ;(3) )(cond )(cond A A =α，0≠α，R ∈α;(4) 如果U 为正交矩阵，则1)(cond 2=U ，)(cond )(cond )(cond 222A AU UA ==.一般情况下，系数矩阵和右端项的扰动对解的影响为定理 2.5 设b Ax =，A 为非奇异矩阵，b 为非零向量且A 和b 均有扰动．若A 的扰动δA 非常小,使得11<-A A δ，则)()(cond 1)(cond bδb AδA AA A A xδx +-≤δ.关于近似解的余量与它的相对误差间的关系有定理2.6 设b Ax =，A 为非奇异矩阵，b 为非零向量，则方程组近似解x ~的事后估计式为bx A b A xx x bx A b A ~)cond(~~)cond(1-≤-≤-.其中称x A b ~-为近似解x ~的余量，简称余量。

矩阵与变换小结

第一课二阶矩阵与平面向量【考点扫描】1．了解矩阵的相关知识在数学中，把形如，，⎥⎦⎤⎢⎣⎡31⎥⎦⎤⎢⎣⎡−4 2332m ⎥⎦⎤⎢⎣⎡85659080这样的矩形数字（或字母）阵列称做矩阵，一般地，我们用大写黑体拉丁字母Ａ，Ｂ，…或者（a ij ）来表示矩阵，其中i,j 分别表示元素所在的行和列。

同一横排中按原来次序排列的一行数（或字母）叫做矩阵的行，同一竖排中按原来次序排列的一列数（或字母）叫做矩阵的列，组成矩阵的每一个数（或字母）称为矩阵和元素，所有元素都为0的矩阵称为零矩阵.平面上向量),(y x =α的坐标和平面上的点P （x,y ）都可以看做是行矩阵，也可以看做是列矩阵.因此我们又称为行向量，称[y x ]]⎥⎦⎤⎢⎣⎡y x [y x⎥⎦⎤⎢⎣⎡y x 为列向量，在本书中，我们把平面向量（x,y ）的坐标写成⎥⎦⎤⎢⎣⎡y x 的形式.当两个矩阵Ａ、Ｂ，只有当它们的行数与列数分别相等，并且对应位置的元素也分别相等时，才有Ａ＝Ｂ.2．掌握二阶矩阵与平面列向量在乘法规则行矩阵[与列矩阵的乘法规则：=[]]1211a a ⎥⎦⎤⎢⎣⎡2111b b []1211a a ⎥⎦⎤⎢⎣⎡2111b b 21121111b a b a ×+×二阶矩阵与列向量的乘法规则：=⎥⎦⎤⎢⎣⎡22211211a a a a ⎥⎦⎤⎢⎣⎡00y x ⎥⎦⎤⎢⎣⎡22211211a a a a ⎥⎦⎤⎢⎣⎡00y x ⎥⎦⎤⎢⎣⎡×+××+×022021012011y a x a y a x a 一般地两个矩阵只有当前一个列数与后一个矩阵的行数相等时才能进行乘法运算 3．理解二阶矩阵与平面列向量乘法的几何意义一个列向量左乘一个2×2矩阵M 后得到一个新的列向量，如果列向量表示一个点P （x,y ）,那么列向量左乘矩阵M 后的列向量就对应平面上的一个新的点.⎥⎦⎤⎢⎣⎡y x ⎥⎦⎤⎢⎣⎡y x ⎥⎦⎤⎢⎣⎡y x 对于平面上的任意一个点（向量）（x,y ）,若按照对应法则T ，总能对应惟一的一个点（向量），则称T 为一个变换，简记为：T ：),(y x ′′),(),(y x y x ′′→或T ：⎥⎦⎤⎢⎣⎡y x →⎥⎦⎤⎢⎣⎡′′y x一般地，对于平面向量变换T ，如果变换规则为T ：⎥⎦⎤⎢⎣⎡y x →⎥⎦⎤⎢⎣⎡′′y x =⎥⎦⎤⎢⎣⎡++dy cx by ax ，那么根据二阶矩阵与平面列向量在乘法规则可以改写为T ：⎥⎦⎤⎢⎣⎡y x →⎥⎦⎤⎢⎣⎡′′y x =⎥⎦⎤⎢⎣⎡d c b a ⎥⎦⎤⎢⎣⎡y x 的矩阵形式，反之亦然（a 、b 、c 、d ∈Ｒ）由矩阵Ｍ确定的变换，通常记为T M ,根据变换的定义，它是平面内点集到自身的一个映射，平面内的一个图形它在T M ,的作用下得到一个新的图形. 【基础训练】 1、写出方程组变量x,y 的系数矩阵.⎩⎨⎧−=+=−2312my x y x 2、已知,，若A=B ，求a ，b ，c ，d.⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=c b da A 23⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=d a c b B 2453、某公司负责从两个矿区向三个城市送煤：从甲矿区向城市A 、B 、C 送煤的量分别是100万吨、140万吨、160万吨；从乙矿区向城市A 、B 、C 送煤的量分别是300万吨、260万吨、540万吨；把上述结果分别用2×3矩阵和3×2矩阵表示. 4、分别计算下列乘法运算的结果（1）（2）（3）⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡423221⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡421001⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡420110（4）⎥⎦⎤⎢⎣⎡1100⎥⎦⎤⎢⎣⎡425、求点A （3，6）在矩阵⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡−21011对应的变换作用下得到的点. 6、已知变换⎥⎦⎤⎢⎣⎡y x →⎥⎦⎤⎢⎣⎡′′y x =⎥⎦⎤⎢⎣⎡−1321⎥⎦⎤⎢⎣⎡y x ，试将它写成坐标变换的形式. 【解题指导】例1、计算：（1）（2）⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡121011⎥⎦⎤⎢⎣⎡−⎥⎦⎤⎢⎣⎡120110 解：（1）原式= （2）原式=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡×+××+×1311201121⎥⎦⎤⎢⎣⎡−=⎥⎦⎤⎢⎣⎡−×+×−×+×21)1(021)1(120点评：掌握二阶矩阵与平面列向量在乘法规则是解题的关键例2、已知平面上一个正方形ABCD （顺时针）的四个顶点用矩阵表示为⎥⎦⎤⎢⎣⎡d c b a 4000，求a ，b ，c ，d 的值及正方形ABCD 的面积.解：正方形ABCD 的四个顶点的坐标依次为A （0，0）、B （a,c ）、C(0,4)、D(b,d),从而可求得a=-2,b=2,c=d=2,|AB|=22，正方形ABCD 的面积为8.点评: 根据顶点矩阵写出正方形的顶点的坐标,再利用正方形中的边长相等,对角线相等互相垂直平分等有关数量关系求出a,b,c,d 的值和正方形的面积. 例3、已知200,0202x y xA B y x y +⎡⎤⎡==⎢⎥⎢−−−⎣⎦⎣⎤⎥⎦，若A=B ，求x ，y.解：由矩阵相等的定义得：,2x y x =+且y 2x y 2−=−−解之得：x=y=-1点评：两个矩阵相等的充要条件是它们的行数与列数分别相等，并且对应位置的元素也分别相等.例4、已知变换，试将它写成矩阵的乘法形式. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡−+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡′′→⎥⎦⎤⎢⎣⎡y x y x y x y x 252解：根据二阶矩阵与平面列向量在乘法规则得⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡−=⎥⎦⎤⎢⎣⎡′′→⎥⎦⎤⎢⎣⎡y x y x y x 2152点评：一般地，对于平面向量变换T ，如果变换规则为T ：⎥⎦⎤⎢⎣⎡y x →⎥⎦⎤⎢⎣⎡′′y x =⎥⎦⎤⎢⎣⎡++dy cx by ax ，那么根据二阶矩阵与平面列向量在乘法规则可以改写为T ：⎥⎦⎤⎢⎣⎡y x →⎥⎦⎤⎢⎣⎡′′y x =⎥⎦⎤⎢⎣⎡d c b a⎥⎦⎤⎢⎣⎡y x 的矩阵形式. 例5、已知矩阵，[])(x f A =[]x x B −=1，⎥⎦⎤⎢⎣⎡=a 2x C ，若A=BC ，求函数在[1,2] 上的最小值. )x (f 解: ∵BC=[]x 1x −⎥⎦⎤⎢⎣⎡a 2x =[])x 1(a 2x 2−+, 又∵ A=BC [)(x f A =]2222)(22)(a a a x a ax x x f −+−=+−=，∵x ∈[1,2]当x ≥２时，函数在[1,2]上的最小值为)x (f a 24)2(f −=. 当1≤x ＜2时，函数在[1,2]上的最小值为. )x (f 2a a 2)a (f −=当x ＜1时，函数在[1,2]上的最小值为)x (f 1)1(f =∴⎪⎩⎪⎨⎧<<≤−≥−=)1( 1)21( 2)2( 24)(2x x a a x a x f 点评：（1）本题运用了行矩阵与列矩阵的乘法规则及两个矩阵相等的充要条件；（2）求含参数的二次函数在闭区间上的最值问题，通常需要分类讨论. 【本课小结】1. 基础知识：掌握矩阵的相关知识与二阶矩阵与平面列向量乘法的几何意义2. 基本技能：正确地进行二阶矩阵与平面列向量的乘法运算3. 基本思想：灵活运用等价转化、分类讨论、函数与方程的思想解决矩阵问题【能力测试】 1、“两个矩阵的行数和列数相等”是“两个矩阵相等”的（）A 、充分不必要条件B 、必要不充分条件是C 、充要条件D 、既不充分又不必要条件 2、用矩阵与向量的乘法的形式表示方程组其中正确的是（）⎩⎨⎧−=−=+1y 2x 2y 3x 2A 、 B 、⎥⎦⎤⎢⎣⎡−=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡−122132y x ⎥⎦⎤⎢⎣⎡−=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡−122312y xC 、D 、⎥⎦⎤⎢⎣⎡−=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡−122132y x ⎥⎦⎤⎢⎣⎡−=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡−121223y x3、计算:=__________ ⎥⎦⎤⎢⎣⎡−⎥⎦⎤⎢⎣⎡3211104、点A （1，2）在矩阵对应的变换作用下得到的点的坐标是___________⎥⎦⎤⎢⎣⎡−10225、已知是一个正三角形的三个顶点坐标所组成的矩阵，求a ，b. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡b a 20006、已知，⎥⎦⎤⎢⎣⎡−−+−=1sin cos sin cos 1ββααA ⎥⎦⎤⎢⎣⎡−−=1221B 若A=B ，求α，β. 7、设矩阵A 为二阶矩阵，且规定其元素，0a a ji ij =+i=1，2，j=1，2，且2a a 2112=−，试求A. 8、若点A )22,22(在矩阵对应的变换作用下得到的点为（1，0），求α. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡−ααααcos sin sin cos 9、若点A 在矩阵对应的变换作用下下得到的点为（2，4），求点A 的坐标.1222−⎡⎢−⎣⎦⎤⎥⎥x x x B sin 2cos sin 10、已知△ABO 的顶点坐标分别是A （4，2），B （2，4），O （0，0）,计算在变换T M =之下三个顶点ABO 的对应点的坐标.1111⎡⎤⎢−⎣⎦11、已知矩阵，[])(x f A =[]−=⎥⎦⎤⎢，⎣⎡=x x C sin cos ，若A=BC ，求函数在)x (f ]3,0[π上的最小值.第二课几种常见的平面变换【考点扫描】1．理解可以用矩阵来表示平面中常见的几何变换，掌握恒等、伸压、反射、旋转、投影、切变变换的矩阵表示及其几何意义（１）一般地，对于平面向量变换T ，如果变换规则为T ：⎥⎦⎤⎢⎣⎡y x →⎥⎦⎤⎢⎣⎡′′y x =⎥⎦⎤⎢⎣⎡++dy cx by ax ，那么根据二阶矩阵与平面列向量在乘法规则可以改写为T ：⎥⎦⎤⎢⎣⎡y x →⎥⎦⎤⎢⎣⎡′′y x =⎥⎦⎤⎢⎣⎡d cb a⎥⎦⎤⎢⎣⎡y x 的矩阵形式，反之亦然（a 、b 、c 、d ∈Ｒ）由矩阵Ｍ确定的变换，通常记为T M ,根据变换的定义，它是平面内点集到自身的一个映射，平面内的一个图形它在T M ,的作用下得到一个新的图形.在本节中研究的变换包括恒等变换、伸压变换、反射变换、旋转变换、投影变换、切变变换等六个变换．（２）由矩阵M=确定的变换T ⎥⎦⎤⎢⎣⎡1001M 称为恒等变换，这时称矩阵M 为恒等变换矩阵或单位矩阵，二阶单位矩阵一般记为E.平面是任何一点（向量）或图形，在恒等变换之下都把自己变为自己.（３）由矩阵M=或M=⎥⎦⎤⎢⎣⎡100k ⎥⎦⎤⎢⎣⎡k 001)0k (>确定的变换T M 称为（垂直）伸压变换，这时称矩阵M=或M=伸压变换矩阵．⎥⎦⎤⎢⎣⎡100k ⎥⎦⎤⎢⎣⎡k 001当M=时确定的变换将平面图形作沿x 轴方向伸长或压缩,当⎥⎦⎤⎢⎣⎡100k 1k >时伸长,当时压缩.变换T 1k 0<<M 确定的变换不是简单地把平面上的点(向量) 沿x 轴方向“向下压”或“向外伸”,它是x 轴方向伸长或压缩,以为例，对于x 轴上方的点向下压缩，对于x 轴下方的点向上压缩，对于x 轴上的点变换前后原地不动．1k 0<<当M=时确定的变换将平面图形作沿y 轴方向伸长或压缩,当⎥⎦⎤⎢⎣⎡k 0011k >时伸长,当时压缩．1k 0<<在伸压变换之下，直线仍然变为直线，线段仍然变为线段．恒等变换是伸压变换的特例，伸压变换多与三角函数图象的变换联系起来研究．（４）将一个平面图形变为关于定直线或定点对称的平面图形的变换矩阵称为反射变换矩阵，对应的变换称为反射变换，关于定直线或定点对称的反射又分别称为轴反射和中心反射，定直线称为反射轴，定点称为反射点．反射变换是轴对称变换、中心对称变换的总称.在中学里常研究的反射变换有：由矩阵M １=确定的变换是关于x 轴的轴反射变换，由矩阵M ⎥⎦⎤⎢⎣⎡−1001２=⎥⎦⎤⎢⎣⎡−1001确定的变换是关于y轴的轴反射变换,由矩阵M ３=确定的变换是关于原点的中心反射变换．由矩阵M ⎥⎦⎤⎢⎣⎡−−1001４=确定的变换是关于直线y=x 的轴反射变换．⎥⎦⎤⎢⎣⎡0110学习反射变换要与函数图象的变换、解几中二次曲线变换的知识联系起来考虑.其实质是变换对纵横坐标产生的影响.（５）将一个平面图形绕一个定点旋转角α得到另一个平面图形的变换称为旋转变换，其中的角α叫做旋转角，定点称为旋转中心．当旋转中心为原点且逆时针旋转角α时旋转变换的变换矩阵为．旋转变换只会改变几何图形的位置，不会改变几何图形的形状和大小，旋转中心在旋转过程中保持不变，图形的旋转由旋转中心和旋转角所确定．绕定点旋转的变换相当于关于定点作中心反射变换．⎥⎦⎤⎢⎣⎡−ααααcos sin sin cos o 180（６）将一个平面图投影到某条直线（或某个点）的变换称为投影变换，变换对应的矩阵称为投影变换矩阵，本节中主要研究的是由矩阵M １=⎥⎦⎤⎢⎣⎡0001，M ２=⎥⎦⎤⎢⎣⎡0101 ，M ３=⎥⎦⎤⎢⎣⎡1000确定的投影变换．需要注意的是投影变换是映射，但不是一一映射．（７）由矩阵M=或确定的变换称为切变变换，对应的矩阵称为切变变换矩阵．以为例，矩阵把平面上的点沿x 轴方向平移｜ky|个单位，当ky ＞０时沿x 轴正方向移动，当ky ＜０时沿x 轴负方向移动，当ky ＝０时原地不动，⎥⎦⎤⎢⎣⎡101k ⎥⎦⎤⎢⎣⎡101k ⎥⎦⎤⎢⎣⎡101k ⎥⎦⎤⎢⎣⎡101k )y ,x (切变变换有如下性质：（１）x 轴上的点是不动点；（２）保持图形面积大小不变,点间的距离和夹角大小可以改变且点的运动是沿坐标轴方向进行的．切变变换的实质是横（纵坐标）成比例地运动.2．理解二阶矩阵对应的几何变换是线性变换，了解单位矩阵一般地，二阶非零矩阵对应变换把直线变为直线，把直线变为直线的变换叫做线性变换，本节中所研究的6种变换均为线性变换，在研究平面上多边形或直线在矩阵的变换作用后的图形时，只需考察顶点（或端点）的变化结果即可．3.了解恒等、伸压、反射、旋转、投影、切变变换这六个变换之间的关系如恒等变换可以看做伸压、旋转、切变变换的特殊情形;关于坐标原点的中心反射变换可以看做是绕原点作了)Z k ()1k 2(∈π+角度的旋转变换，它还可以看做是先作关于x 轴的反射再作关于y 轴的反射的复合; 绕原点作了β+α角度的旋转变换可以看做是先绕原点作了α角度的旋转变换再绕原点作了β角度的旋转变换等等. 【基础训练】１、已知四边形ABCD 的顶点分别为A （-1，0），B （1，0），C （1，1），D （-1，1），四边形ABCD 在矩阵变换作用下变成正方形，则＝（）.⎥⎦⎤⎢⎣⎡100a a Ａ、21 Ｂ、2 Ｃ、3 Ｄ、312、已知矩阵M 1=，M ⎥⎦⎤⎢⎣⎡10012=，M ⎥⎦⎤⎢⎣⎡−10013=⎥⎦⎤⎢⎣⎡0101，则由M 1，M 2，M 3确定的变换分别是（） A 、恒等变换、反射变换、投影变换 B 、恒等变换、投影变换、反射变换C 、投影变换、反射变换、恒等变换D 、反射变换、恒等变换、投影变换3、直线x+y=5在矩阵对应的变换作用下得到的图形是（） ⎥⎦⎤⎢⎣⎡1100A 、直线x+y=5 B 、直线y=5 C 、直线x=5 D 、点（0，54、将向量⎥⎦⎤⎢⎣⎡=12绕原点按逆时针方向旋转4π得到向量b r ，则向量b r 的坐标为=______________.5、图中正方形ABCD 在由矩阵所确定变换的作用后的图形的面积为_____________.⎥⎦⎤⎢⎣⎡10116、若直线y=4x-4在矩阵M 对应的伸压变换下变成另一条直线y=x-1，则 M=__________.【解题指导】⎥⎥例1、求圆C ：在矩阵对应的伸压变换下的曲线方程，并判断曲线的类型. 224x y +=2001A ⎡⎤=⎢⎣⎦解：设P(x,y)是圆C ：上的任一点, 224x y +=P 1)y ,x (′′是P(x,y) 在矩阵对应的伸压变换下的曲线上的对应点 , 2001A ⎡⎤=⎢⎣⎦则即 ,所以⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡′′y x y x y x 21002⎩⎨⎧=′=′y y x x 2⎪⎩⎪⎨⎧′=′=y y x x 2 代入得 224x y +=22''44x y +=方程221164x y +=表示的曲线为椭圆点评：通过变换矩阵建立所求曲线上的点的坐标之间的关系是解决这类问题的关键．例２、若曲线y=x 2（x ≥0）在矩阵M 对应的反射变换作用下得到的曲线为y=x 2（x ≤0），求矩阵M.解：由两曲线之间的关系知：矩阵M 对应的反射变换是以y 轴为轴的反射变换，所以M ＝⎥⎦⎤⎢⎣⎡−1001 点评：这类问题在求解时应先确定两曲线之间的反射变换是中心对称反射变换还是是轴对称变换．如果是轴对称变换再进一步确定对称轴，进而写出变换矩阵．例３、若△ABC 在矩阵M 对应的旋转变换作用下得到△A ′B ′C ′，其中A （0，0），B （1，3），C （0，2），A ′（0，0）， C ′（-3，1），试求矩阵M 并求B ′的坐标.解、由题意旋转中心为原点，设逆时旋转角为α)20(πα≤≤，则旋转变换矩阵为Ｍ＝ ⎥⎦⎤⎢⎣⎡−ααααcos sin sin cos ∴＝⎥⎦⎤⎢⎣⎡−ααααcos sin sin cos ⎥⎦⎤⎢⎣⎡20⎥⎦⎤⎢⎣⎡−13 ∴⎩⎨⎧=−=−1cos 23sin 2αα∴ 故而3πα= ∴Ｍ＝⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡−21232321设B ′（x,y ）,则＝⎥⎦⎤⎢⎣⎡y x ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡−21232321⎦⎤⎢⎣⎡31＝⎥⎦⎤⎢⎣⎡−31 ∴)3,1(B −′点评：逆时针旋转角为α时的旋转矩阵为⎥⎦⎤⎢⎣⎡−ααααcos sin sin cos ，若顺时针旋转角为α时，则将上述矩阵中的α换为－α即可．例４、已知在矩阵M 的作用下点A （1，2）变成了点A ′（11，5），点B （3，-1）变成了点B ′（5，1），点C （x ，0）变成了点C ′（y ，2），求（1）矩阵M ；求（2）x 、y 值. 解：（1）设矩阵M=，⎥⎦⎤⎢⎣⎡d c b a ∴⎥⎦⎤⎢⎣⎡d c b a ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡51121，⎥⎦⎤⎢⎣⎡d c b a ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡−1513 ∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=−=−=+=+135352112d c b a d c b a ，解之得，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧====2143d c b a ∴M=⎥⎦⎤⎢⎣⎡2143（2）由得 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡2143⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡20y x ⎩⎨⎧==23x y x ∴⎩⎨⎧==62y x 点评：求变换矩阵通常用待定系数法．例５、给定二阶矩阵M ，对任意向量，证明：αβu r u r和()M M M αβαβ+=+u r u r u r u r证明：设，a b M c d ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦11x y α⎡⎤=⎢⎥⎣⎦ur ，22x y β⎡⎤=⎢⎥⎣⎦u r 121212121212()(()()())x x a x x b y y a b M y y c x x d y y c d αβ++++⎡⎤⎡⎤⎡⎤+==⎢⎥⎢⎥⎢⎥++++⎣⎦⎣⎦⎣⎦u r u r121121211222x x ax by ax by a b a b M M y y cx dy cx dy c d c d αβ++⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎡⎤⎡⎤+=+=+⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎢⎥⎢⎥++⎣⎦⎣⎦⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣u r u r⎦))⎤⎥⎦1212121212121212()(()(ax ax by by a x x b y y cx cx dy dy c x x d y y ++++++⎡⎤⎡==⎢⎥⎢++++++⎣⎦⎣得证点评：更一般地，可以证明：βλαλβλαλM M M 2121)(+=+，其中21,λλ为任意实数。

线性代数第二章矩阵及其运算

ann 0
0
5. 形如下面两个矩阵的方阵称为下三角矩阵(lower triangular matrix)．
a11 0 a21 a22
an1
an2
0 0
0
0
ann
an1
0 a1n
a2n1
a2n
ann1 ann
6. 若方阵 A (aij )n 中 aij a ji , 则称为对称矩阵 (symmetric matrix)．即
一、线性方程组
定义1 设有 n 个未知数 m 个方程的线性方
程组
a11 x1 a12 x2 L a1n xn b1 ,
a21 x1 a22 x2 L LLL
a2n xn L
b2 ,
am1 x1 am2 x2 L amn xn bm .
（1）
其中aij 表示第i个方程第j个未知数的系数(coefficient), bi 是第i个方程的常数项(constant)，i=1,2,…，m， j =1,2,…, n.
a11 b11
A
B
a21
b21
L
a12 b12 L a22 b22 L
LL
am1 bm1 am2 bm2 L
L
L
L
L
称为单位阵(unit
matrix),
记作 En ． 0 0 L 1
4. 形如下面两个矩阵的方阵称为上三角矩阵(upper triangular matrix)．
a11a12 0 a22
0 0
a1n
a2n
ann
a11 a1n1 a1n
a21
a2n1
0
a11 a12 L a1n

第二章矩阵及其运算《工程数学线性代数》课件PPT

0
x
§2 矩阵的运算
例某工厂生产四种货物，它在上半年和下半年向三家商店发送货物的数量可用数表表示：
a11 a12 a13 a14 a21 a22 a23 a24 a31 a32 a33 a34
其中aij 表示上半年工厂向第 i 家商店发送第 j 种货物的数量．
c11 c12 c13 c14 c21 c22 c23 c24 c31 c32 c33 c34
行数不等于列数共有m×n个元素本质上就是一个数表
det(aij )
(aij )mn
三、特殊的矩阵
1. 行数与列数都等于 n 的矩阵，称为 n 阶方阵．可记作 An.
2. 只有一行的矩阵 A (a1, a2 ,L , an ) 称为行矩阵(或行向量) .
a1
只有一列的矩阵
B
a2
M
称为列矩阵(或列向量)
说明：只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能进行加法运算.
知识点比较
a11 a12 a13 a11 b12 a13 a11 a12 b12 a13 a21 a22 a23 a21 b22 a23 a21 a22 b22 a23 a31 a32 a33 a31 b32 a33 a31 a32 b32 a33
( )A A A (A B) A B
备注
矩阵相加与数乘矩阵合起来，统称为矩阵的线性运算.
知识点比较
a11 a12 a13 a11 a12 a13 a11 a12 a13 a21 a22 a23 a21 a22 a23 a21 a22 a23
a31 a32 a33 a31 a32 a33 a31 a32 a33
a12 a22
a13 a23
a14 a24

矩阵教学课件

例如:
13 2
6 2
5 2
是一个3 阶方阵.
2 2 2
(2) 只有一行的矩阵 A a1,a2 ,,an ,称为行矩阵(或行向量).
(3) 只有一列的矩阵
a1
B
a2
,
an
称为列矩阵(或列向量).
第二章矩阵
§1 矩阵的概念
(4) 元素全为零的矩阵称为零矩阵, 记作O.
注意：不同阶数的零矩阵是不相等的.
例8: 设列矩阵X = (x1 x2 ···xn)T, 满足XTX = 1, E为n 阶单位矩阵, H = E – 2XXT, 证明: H为对称矩阵, 且HHT = E.
证明: 自学（见P49）
第二章矩阵
§2 矩阵的运算
五、方阵的行列式定义:由n阶方阵A的元素所构成的行列式(各元素的位
置不变),称为方阵A的行列式,记作|A| 或det A. 例
第二章矩阵
§1 矩阵的概念 §2 矩阵的运算 §3 逆矩阵 §4 分块矩阵 §5 矩阵的初等变换 §6 矩阵的秩
第二章矩阵
§1 矩阵的概念
一、矩阵的定义定义: 由m×n个数aij (i = 1,2, ∙ ∙ ∙, m ; j = 1,2, ∙ ∙ ∙, n) 排
成的m行n列的数表
称为m行n列矩阵,简称m×n矩阵.
y1 a11x1 a12 x2 a1n xn ,
y2 a21x1 a22 x2 a2n xn ,
ym am1 x1 am2 x2 amn xn .
表示一个从变量x1、x2、…xn到变量y1、y2、…ym的线性变换，
其中aij为常数。
第二章矩阵
§1 矩阵的概念
,
x

矩阵与变换二阶矩阵平面逆变换等二轮复习专题练习(四)带答案新人教版高中数学名师一点通

高中数学专题复习《矩阵与变换二阶矩阵平面逆变换等》单元过关检测经典荟萃，匠心巨制！独家原创，欢迎下载！注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上评卷人得分一、填空题1．现代社会对破译密码的难度要求越来越高，有一处密码把英文的明文（真实名）按字母分解，其中英文a ，b ，c …，z 这26个字母（不论大小写）依次对应1，2，3…，26这26个正整数。

（见下表）a b c d e f g h i J k l m 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 n o p q r s t u v w x y z 14151617181920212223242526用如下变换公式：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤∈+≤≤∈+=')2,261,(132)2,261,(21整除能被整除不能被x x N x x x x N x x x 将明文转换成密码。

如：13212525::,1713288=+→=+→再如变成即q h ，即y 变成m ；上述变换规则，若将明文译成的密码是live ，那么原来的明文是2．三阶行列式21145324---k第2行第1列元素的代数余子式为10-，则=k ____________．评卷人得分二、解答题3．求使等式成立的矩阵M 。

4．（本题满分10分）已知矩阵123a A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦的一个特征值是1-，求矩阵A 的另一个特征值λ，及属于λ的一个特征向量。

5．求曲线01222=+-xy x 在矩阵MN 对应的变换作用下得到的曲线方程，其中⎢⎣⎡=01M ⎥⎦⎤20，⎢⎣⎡-=11N ⎥⎦⎤10。

6．已知曲线22:1C x y +=，对它先作矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 2对应的变换，再作矩阵B=⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 b 1 0对应的变换，得到曲线22:14x C y +=．求实数b 的值。

7．设M 是把坐标平面上的点的横坐标伸长到2倍，纵坐标伸长到3倍的伸压变换．求逆矩阵1M -以及椭圆22149x y +=在1M -的作用下的新曲线的方程．8．若点A （2，2）在矩阵cos sin sin cos αααα-⎡⎤=⎢⎥⎣⎦M 对应变换的作用下得到的点为B （－2，2），求矩阵M 的逆矩阵．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除评卷人得分一、填空题1．2．14- 评卷人得分二、解答题3．4．解：矩阵123a A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦的特征多项式是()(1)(3)2f a λλλ=---，由(1)0f -=得4a =，令()0f λ=，则1λ=-或5λ=，解方程组⎧⎨⎩(51)402(53)0x y x y --=-+-=可得一组不为零的解是⎧⎨⎩11x y ==所以矩阵A 的另一个特征值是5，属于5的一个特征向量是11⎡⎤=⎢⎥⎣⎦e ．5．解：MN =⎥⎦⎤⎢⎣⎡20011011⎡⎤⎢⎥-⎣⎦=1022⎡⎤⎢⎥-⎣⎦，…………………………………4分设,P x y ''（）是曲线22210x xy -+=上任意一点，点P 在矩阵MN 对应的变换下变为点,P x y '（），则有10'22'22x x x y y x y '⎡⎡⎡⎤⎡⎤⎤⎤==⎢⎢⎢⎥⎢⎥⎥⎥''--+⎦⎣⎦⎦⎦⎣⎣⎣，于是x x '=，2yy x '=+.…………………8分代入22210x x y '''-+=得1xy =，所以曲线22210x xy -+=在MN 对应的变换作用下得到的曲线方程为1xy =………………………10分6． 7．8．2222-⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦M ，即2cos 2sin 22sin 2cos 2αααα--⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥+⎣⎦⎣⎦， (4)分所以cos sin1,sin cos 1.αααα-=-⎧⎨+=⎩解得cos 0,sin 1.αα=⎧⎨=⎩……………………………………………6分所以0110M -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦．由1M M -=1001⎡⎤⎢⎥⎣⎦，得10110M -⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦．………………………10分另01=M10-＝10≠， 10110-⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦M ．另01cos90sin9010sin90cos90-︒-︒⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥︒︒⎣⎦⎣⎦M，看作绕原点O逆时针旋转90°旋转变换矩阵，于是1cos(90)sin(90) sin(90)cos(90)--︒--︒⎡⎤=⎢⎥-︒-︒⎣⎦M0110⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦．。

矩阵的运算

例1
4 − 2 4 2 C = = 1 − 2 2×2 − 3 − 6 2×2
例2 设
16 − 32 − ? 16 2 × 2 8
3 4 2 1 1 − 1 2 1
1 0 − 1 2 A = − 1 1 3 0 0 5 − 1 4
( A+ B)
m
k = ∑Cm Ak Bm−k k=0
m
A2 − B 2 = ( A + B )( A − B ) A3 − B 3 = ( A − B )( A2 + AB + B 2 )
(2)
试用变量 z1 , z2 表示变量 x1 , x2 。将第2个变换代人第个变换代人第1个变换得到解将第个变换代人第个变换得到
x1 = a11 (b11 z1 + b12 z2 ) + a12 (b21 z1 + b22 z2 ) x2 = a21 (b11 z1 + b12 z2 ) + a22 (b21 z1 + b22 z2 )
λ a12 ⋯ λ a1n λ a22 ⋯ λ a2 n
.
2、数乘矩阵的运算规律：、数乘矩阵的运算规律：
、矩阵，为数）（设 A、B为 m × n 矩阵，λ , µ 为数）
( 1) ( λµ ) A = λ ( µ A) ;
(2) (λ + µ ) A = λA + µA; (3 ) λ ( A + B ) = λA + λB .
一、矩阵的加法１、定义设有两个m × n 矩阵 A = (a ij ), B = (bij ), 那末矩阵A与的和记作的和记作A+B，定义为矩阵与B的和记作，

矩阵与变换

专题讲义：矩阵与变换一、知识要点 1．矩阵的概念（1）矩阵：由mn 个数()n j m i a ij ≤≤≤≤1,1，排成m 个横行n 个竖列的数表⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡mn m m n n a a a a a a a a a 212222111211 称为m 行n 列矩阵或m ×n 矩阵，简称矩阵，数ij a 称为矩阵的元素，其中i ，j 分别表示元素ij a 所在的行与列.一般地，用黑体大写拉丁字母A ，B ，…或者()m nija ，()ij a 来表示矩阵，同一横排中按原来次序排列的一行数（或字母）叫做矩阵的行，同一竖排中按原来次序排列的一列数（或字母）叫做矩阵的列.（2）方阵：n ×n 矩阵⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡nn n n n n a a a a a a a a a 212222111211也称为n 阶方阵. 注：在n 阶方阵中，一条从左上角到右下角的由元素a 11，a 12，…，a nn 构成的对角线称为主对角线，一条从左下角到右上角的由元素a n 1，a (n -1)2，…，a 1n 构成的对角线称为副对角线，（3）零矩阵：所有元素都为零的矩阵叫做零矩阵，记为0.（4）单位矩阵：主对角线上的元素全是1，其余元素全是0的n ×n 矩阵⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡100010001 称为n 阶单位矩阵，记为E n ，或简记为E（5）行矩阵与列矩阵：像[a 11 ，a 12]这样只有一行的矩阵称为行矩阵.，像⎥⎦⎤⎢⎣⎡2111a a 这样只有一列的矩阵称为列矩阵. 并用希腊字母α，β，…来表示.注：平面上向量),(y x =和平面上的点),(y x P 都可以看做是行矩阵[]y x，也可以看做是列矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡y x .因此，我们常将[]y x 称为行向量，而将⎥⎦⎤⎢⎣⎡y x 称为列向量.习惯上，我们把平面向量),(y x 的坐标写成列向量⎥⎦⎤⎢⎣⎡y x 的形式.又因为OP y x P 平面向量一一对应−−−→←),(，因此，⎥⎦⎤⎢⎣⎡y x 既可以表示点),(y x ，也可以表示以)0,0(O 为起点、以),(y x P 为终点的向量⎥⎦⎤⎢⎣⎡y x .故在不引起混淆的情况下，对它们不加以区别.（6）：矩阵相等：对于两个矩阵A 和B ，只有当A ，B 的行数与列数分别相等，并且对应位置的元素也分别相等时，A 和B 才相等，此时记作A ＝B . 2．矩阵的乘法（1）行矩阵与列矩阵的乘法：[]1211a a ⎥⎦⎤⎢⎣⎡2111b b []21121111b a b a +=.（2）二阶矩阵与平面列向量的乘法：⎥⎦⎤⎢⎣⎡22211211a a a a ⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡02202101201100y a x a y a x a y x . （3）二阶矩阵的乘法：⎥⎦⎤⎢⎣⎡22211211a a a a ⎥⎦⎤⎢⎣⎡++++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡2222122121221121221212112112111122211211b a b a b a b a b a b a b a b a b b b b . （4）矩阵乘法的简单性质：①矩阵的乘法满足结合律：(AB )C ＝A (BC )②矩阵的乘法不满足交换律：一般地，AB ≠BA③矩阵的乘法不满足消去律：一般地，AB ＝AC 时，不一定有B ＝C注：矩阵乘法的MN 的几何意义为对向量连续实施的两次几何变换（先T N 后T M ）的复合变换.当连续对向量实施),1(*∈>N n n n 且次变换T M 时，对应的记.Mn nM M M M 个⋅⋅⋅= 3．变换的概念：一般地，对于平面上的任意一个点（向量）),(y x ，按照对应法则T ，总能对应惟一的一个平面点（向量）),(y x ''，则称T 为一个变换，简记为T ：),(),(y x y x ''→ ，或T ：⎥⎦⎤⎢⎣⎡''→⎥⎦⎤⎢⎣⎡y x y x .注：对于平面向量的变换T ，如果变换规则为T ：⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡''→⎥⎦⎤⎢⎣⎡dy cx by ax y x y x ，那么，根据二阶矩阵与列向量的乘法规则可以改写为T ：⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡''→⎥⎦⎤⎢⎣⎡d c b a y x y x ⎥⎦⎤⎢⎣⎡y x 的矩阵形式，反之亦然),,,(R d c b a ∈. 4．几种常见的平面变换（1）恒等变换①恒等变换定义：把任何一点（向量）或图形变换为自身的变换称为恒等变换. ②恒等变换矩阵：⎥⎦⎤⎢⎣⎡1001 （2）伸压变换①伸压变换定义：把沿竖直方向或水平方向伸长或压缩的平面图形变换称为垂直伸压变换，简称伸压变换.②伸压变换矩阵：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡k y kx 001100轴垂直伸压变换矩阵沿轴垂直伸压变换矩阵沿（当10<<k 时，压缩；当1>k 时，伸长；）（3）反射变换①反射变换定义：将一个图形F 变为关于定直线或定点对称的图形F '的变换称为反射变换. 关于定直线对称的变换称为轴反射变换；关于定点对称的变换称为中心反射变换；其中，定直线称为反射轴，定点称为反射点.②反射变换矩阵：⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣⎡-0110100110011001对称的反射变换矩阵关于换矩阵关于原点对称的反射变轴对称的反射变换矩阵关于轴对称的反射变换矩阵关于x y y x（4）旋转变换①旋转变换定义：把将一个图形F 绕某个定点O 旋转角度θ所得图形F '的变换称为旋转变换，其中点O 称为旋转中心，角度θ称为旋转角. ②旋转变换矩阵：⎥⎦⎤⎢⎣⎡-θθθθcos sin sin cos 注：⑴旋转变换只改变几何图形的相对位置，不会改变几何图形的形状.⑵旋转中心在旋转过程中保持不变，图形的旋转由旋转中心和旋转的角度所决定. ⑶绕定点作旋转︒180的变换相当于关于定点作中心反射变换. （5）投影变换①投影变换定义：把将平面图形投影到某条直线（或点）的变换称为投影变换.②投影变换矩阵：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡01010*******轴上的投影变换矩阵轴方向投影到直线沿垂直于轴上的投影变换矩阵轴方向投影到直线沿垂直于轴上的投影变换矩阵轴方向投影到沿垂直于x y x x y x x x注：投影变换虽是映射，但不是一一映射.以⎥⎦⎤⎢⎣⎡0001为例，它将平面中的所有点垂直投影到x 轴上，当y 取R 中不同值时，)0,(),(x y x →.（6）切变变换①切变变换定义：把保持图形的面积大小不变而点间距离和线间夹角可以改变，且点沿坐标轴运动的变换称为切变变换.②切变变换矩阵：⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧=<>⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎩⎪⎨⎧=<>⎥⎦⎤⎢⎣⎡时，位置不变当轴负方向移动时，沿当轴正方向移动时，沿当个单位轴方向平移沿点时，位置不变当轴负方向移动时，沿当轴正方向移动时，沿当个单位轴方向平移沿点000101:),(000101:),(kx y kx y kx k kx y y x P ky x ky x ky k ky x y x P5．逆变换与逆矩阵（1）逆变换：有的变换能够“找到回家的路”，我们称它为原变换的逆变换.（2）逆矩阵：对于二阶矩阵A ，B ，若有AB ＝BA ＝Ｅ，则称A 是可逆的，B 称为A 的逆矩阵，记作B ＝A －1. 注：逆矩阵对应逆变换，并非所有矩阵都存在逆矩阵，但若存在，则是惟一的.（3）逆矩阵存在条件：对于二阶矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡=d c b a A ，当0≠-bc ad 时，矩阵A 存在逆矩阵.注：当一个矩阵表示的是平面上点（向量）到点（向量）的一一映射时，它才是可逆的.此时，逆矩阵就是对原先变换实施的逆变换所对应的矩阵.特殊地，零矩阵对应的变换不是一一映射，故不存在逆矩阵. （4）逆矩阵计算公式：二阶可逆矩阵)0(≠-⎥⎦⎤⎢⎣⎡=bc ad d c b a A ，它的逆矩阵为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡------=-bc ad a bcad c bc ad b bc ad d A 1. （5）矩阵乘积的逆矩阵：若二阶矩阵A ，B 均存在逆矩阵，则AB 也存在逆矩阵，且111)(---=A B AB .（6）矩阵乘法满足消去律的条件：已知A ，B ， C 为二阶矩阵，且AB ＝AC ，若矩阵Ａ存在逆矩阵，则B ＝C .6．二元一次方程组（1）二阶行列式：将dc b a 称为二阶行列式，它的运算结果是一个数值（或多项式），记为bc ad dc ba A -==)det(. （2）二元一次方程组解的行列式表示：关于y x ,的二元一次方程组⎩⎨⎧=+=+n dy cx mby ax 的解为⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧=====⎪⎩⎪⎨⎧--=--=D D dcb a nc ma y D D dc b ad n bm x bc ad cm an y bc ad bn m d x yx（3）二元一次方程组解的逆矩阵表示：对于y x ,的二元一次方程组⎩⎨⎧=+=+n dy cx m by ax ，若将⎥⎦⎤⎢⎣⎡=y x X 看成是原向量，而将⎥⎦⎤⎢⎣⎡=n m B 看成是经过系数矩阵)0(≠-⎥⎦⎤⎢⎣⎡=bc ad d c b a A 对应的变换作用后得到的向量，则可将其记为矩阵方程B AX =，故B A X 1-=.7．特征值与特征向量（1）特征值与特征向量：设A 是一个二阶矩阵，如果对于实数λ，存在一个非零．．向量α，使得A α＝λα，那么λ称为A 的一个特征值，而α称为A 的属于特征值λ的一个特征向量.注：从几何上看，特征向量经过矩阵A 对应的变换作用后，与原向量保持在同一条直线上，这时特征向量或者方向不变（λ>0），或者方向相反（λ<0）；特别地，当λ=0时，特征向量就被变换成了O 向量.（2）特征多项式：设⎥⎦⎤⎢⎣⎡=d c b aA 是一个二阶矩阵，R ∈λ，我们把行列式bc ad d a dcbaf -++-=----=λλλλλ)()(2称为A 的特征多项式. 注：①如果λ是二阶矩阵A 的特征值，那么λ一定是二阶矩阵A 的特征多项式的一个根，即f (λ)=0.此时，将λ代入二元一次方程组⎩⎨⎧=-+-=--0)(0)(y d cx by x a λλ，就可以得到一组非零解⎥⎦⎤⎢⎣⎡00y x .于是，非零向量⎥⎦⎤⎢⎣⎡00y x 即为A 的属于λ的一个特征向量.②一个特征值对应多个特征向量，只有有了特征值的一个特征向量，就可以表示出属于这个特征值的共线的所有特征向量.二、基础检测1．已知点P 在矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡-3213对应的变换作用下得到点)5,2(-'P ，则点P 的坐标为 . 【解析】由⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-321352⎥⎦⎤⎢⎣⎡y x ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+=y x y x 323，得⎩⎨⎧-=-=+53223y x y x ⎪⎩⎪⎨⎧==⇒1119111y x 【答案】)1119,111(2．已知一个图形先作⎥⎦⎤⎢⎣⎡=1012M 对应的变换，再作⎥⎦⎤⎢⎣⎡=2001N 对应的变换，则表示这两次变换的一个矩阵是 .【解析】⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=201210122001NM【答案】⎥⎦⎤⎢⎣⎡2012 3．已知⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=θθθθcos sin sin cos A ，则=3A . 【答案】⎥⎦⎤⎢⎣⎡-θθθθ3cos 3sin 3sin 3cos 4．设R b a ∈,，若矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=b a A 10把直线072:=-+y x l 变换为另一直线0919:=-+'y x l ，则=+b a .【解析】任取l 上两点)3,2(),7,0(.⎥⎦⎤⎢⎣⎡-b a 10⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡237203720b b a ，∵点)23,2(),7,0(-b a b 在直线l '上，∴⎩⎨⎧=+⇒==⇒⎩⎨⎧=--+=-16133091)23(180917b a b a b a b .【答案】165．矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡=3715A 的逆矩阵为 . 【解析】⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡------=-858781831bc ad a bc ad c bc ad b bc ad dA . 【答案】⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--85878183 6．矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡=0312A 的特征值为 .【解析】31032312)(212=-=⇒=--=---=λλλλλλλ和f【答案】－1和3三、探究典例题型1 矩阵运算与变换例1．求使等式 2 4 2 0 1 03 50 10 -1M ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦成立的矩阵M ．解法1：设m n M p q ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，则由 2 4 2 0 1 03 50 10 -1M ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦221001m n p q ⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦22m n p q -⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦则222435m n p q =⎧⎪-=⎪⎨=⎪⎪-=⎩1235m n p q =⎧⎪=-⎪⇒⎨=⎪⎪=-⎩，即1235M -⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦.解法2：.532110015321100153421002110015342100211⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=--M例2．若点A (2，2)在矩阵M ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=ααααcos sin sin cos 对应变换的作用下得到的点为B (－2，2)，求矩阵M 的逆矩阵. 解法1： 010110≠=-=M ，由⎥⎦⎤⎢⎣⎡=-10011M M ，得.01101⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=-M 解法2：⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡︒︒︒-︒=011090cos 90sin 90sin 90cos M ，.01101⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=-M例3．已知曲线C ：1=xy（1）将曲线C 绕坐标原点逆时针旋转︒45后，求得到的曲线C '的方程；（2）求曲线C 的焦点坐标和渐近线方程.解：（1）由题设条件，000cos 45sin 4522sin 45cos 45M ⎢⎡⎤-⎥==⎢⎥⎥⎣⎦⎥⎦，':'2222M y x x x T y y y x y ⎤⎥⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎥⎥→=⋅=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎥⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，即有''x y y y ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，解得'')'')x x y y y x ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，代入曲线C 的方程为22''2y x -=.所以将曲线C 绕坐标原点逆时针旋转︒45后，得到的曲线是222y x -=.（2）由（1）知，只须把曲线222y x -=的焦点、渐近线绕坐标原点顺时针旋转︒45后，即可得到曲线C 的焦点坐标和渐近线方程.曲线222y x -=的焦点坐标是(0,2),(0,2)-，渐近线方程0x y ±=，变换矩阵0000cos(45)sin(45)sin(45)cos(45)22N ⎡⎢⎡⎤---⎢==⎢⎥⎢--⎣⎦-⎢⎣⎦02⎡⎢⎡⎡⎤⎢⋅=⎢⎢⎥-⎢⎣⎦⎢⎣⎢⎣，02⎡⎢⎡⎤⎢⋅=⎢⎥⎢⎣⎦⎢⎣，即曲线C的焦点坐标是(.而把直线0x y ±=要原点顺时针旋转︒45恰为y 轴与x 轴，因此曲线C 的渐近线方程为0x =和0y =.例4．已知变换A ：平面上的点P (2，－1)、Q (－1，2)分别变换成点P 1(3，－4)、Q 1(0，5) （1）求变换矩阵A ；（2）判断变换A 是否可逆，如果可逆，求矩阵A 的逆矩阵A －1；如不可逆，说明理由．解：（1）假设所求的变换矩阵A =⎥⎦⎤⎢⎣⎡d c b a ，依题意，可得⎥⎦⎤⎢⎣⎡d c b a ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--54032112 即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=+--=-=-52024232d c b a d c b a 解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-===2112d c b a 所以所求的变换矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=2112A 。

§22_2 矩阵与变换

矩阵的初等变换与初等矩阵

矩阵与变换

高考数学一轮复习-矩阵与变换课件-新人教A

第二章 矩阵及其运算

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矩阵与变换二阶矩阵平面逆变换等强化训练专题练习(四)含答案高中数学

图形变换的矩阵方法

线性代数第二章

矩阵的初等变换

第二章矩阵及其运算

线性代数：矩阵的初等变换和初等矩阵

第二章 矩阵变换和计算

矩阵与变换小结

线性代数第二章矩阵及其运算

第二章 矩阵及其运算 《工程数学线性代数》课件PPT

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矩阵与变换二阶矩阵平面逆变换等二轮复习专题练习(四)带答案新人教版高中数学名师一点通

矩阵的运算

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第二章矩阵及其运算

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