§22_2 矩阵与变换

§22.2 矩阵与变换
五年高考
A组 自主命题·江苏卷题组
1.(2018江苏,21B,10分)
[选修4—2:矩阵与变换]已知矩阵A=
2 1
23
.
(1)求A的逆矩阵A-1;
(2)若点P在矩阵A对应的变换作用下得到点P'(3,1),求点P的坐标.
解析 [选修4—2:矩阵与变换] 本小题主要考查矩阵的运算、线性变换等基础知识,考查运算求解能力.
1 4 1
3 4 1
,求矩阵A的特征值.
2 2
解析 因为A-1A=E,所以A=(A-1)-1.
因为A-1=
1 2
1 4
43
1 2
,所以A=(A-1)-1=
221 3 ,
于是矩阵A的特征多项式为f(λ)= λ2 2 λ31=λ2-3λ-4.
令f(λ)=0,解得A的特征值λ1=-1,λ2=4.
(1)解法一:因为A=
2 1
23
,det(A)=2×2-1×3=1≠0,所以A可逆.
从而A-1=
2 1
3 2
.
解法二:设A-1=
a c
db
,
则AA-1=E(E为二阶单位矩阵),
∴
2 1
23
a c
db
=
1 0
10
,得到a=2,b=-3,c=-1,d=2,
∴A-1=
1 0
0 1
,B=
41 2 3
,若矩阵M=BA,求矩阵M的逆矩阵M-1.
解析
因为M=BA=
41 2 3
1 0
01
=
4 2
31
,
所以M-1=
3 10
1 10
.
1 2
5 5
评析 求逆矩阵可以直接用公式求,也可以利2用待定系数法求解,是基础题.
2.(2018江苏无锡高三第一学期期末,21)已知矩阵A=
1 λ 2
令f(λ)=0,得矩阵A-1的特征值为λ1=1或λ2=3,
所以ξ1=
1 1
是矩阵A-1的属于特征值λ1=1的一个特征向量,
ξ2=
1 1
是矩阵A-1的属于特征值λ2=3的一个特征向量.
2.(2013福建,21(1),7分)选修4—2:矩阵与变换
已知直线l:ax+y=1在矩阵A= 10 21 对应的变换作用下变为直线l':x+by=1. (1)求实数a,b的值;
c d
2c 0,
2d 1,
1, 0,
解得
a b c d
1, 1,
4 0, 1,
2
所以B=
10 1412
.
因此,AB=
1 0
2 2
1 14 0 12
=
10 541
.
4.(2015江苏,21B,10分,0.957)已知x,y∈R,向量α=
1
1
是矩阵A=
x1 y 0
0,
故属于特征值3的一个特征向量α2=
1 1
.
B组 2016—2018年高考模拟·综合题组
(时间：35分钟 分值：50分)
解答题(共50分)
1.(2018江苏南通高三第二次调研测试,21B)在平面直角坐标系xOy中,已知A(0,0),B(3,0),C(2,2).
设变换T1,T2对应的矩阵分别为M=
则
0 1
02
x0 y0
=
x y
,即
2 y0 x,
x0
y,
所以
x0 y0
y, x. 2
因为点Q(x0,y0)在曲线C1上,则 x02 + y02 =1,
82
从而 y2 + x2 =1,即x2+y2=8.
88
因此曲线C1在矩阵AB对应的变换作用下得到曲线C2:x2+y2=8.
解析
(1)AB=
4 0 01
1 2 0 5
=
4 8 0 5
.
(2)由B-1A-1X=
1 0 0 2
,N=
2 0 01
,求对△ABC依次实施变换T1,T2后所得图形的面
积.
解析
依题意,依次实施变换T1,T2后所对应的矩阵NM=
2 0 01
1 0 0 2
=
2 0 0 2
.
则
2 0 0 2
0 0
=
0 0
,
2 0 0 2
3 0
=
6 0
,
2 0 0 2
2
2
=
4
4
.
所以A(0,0),B(3,0),C(2,2)分别变为点A'(0,0),B'(6,0),C'(4,4).
(2)若点P(x0,y0)在直线l上,且A
x0 y0
=
x0 y0
,求点P的坐标.
解析 (1)设直线l:ax+y=1上任意点M(x,y)在矩阵A对应的变换作用下的像是M'(x',y').
由
x' y'
=
1 2
01
x y
=
x y
2
y
,得
x
y
' '
x y.
2
2 3
,
可得
3 4 a b
2 3
=λ2
2 3
,即
6 12 2a 3b
2
λ2 , 3λ2
,
得2a-3b=9,
由
a 2b 10, 2a 3b 9,
解得
a b
12, 11.
所以A=
3 12
411
,
评析 利用待定系数法,根据特征值、特征向量的意义求矩阵,是矩阵中的基础题型.
1 1
,
又∵α=
4 2
=α1+3α2,
∴A49α=
λ149 α1+3
λ249 α2=
350 350
1 1
.
方法点拨 解此类题应分成以下几个步骤:一是求特征值,二是根据特征值求特征向量,三是把 已知向量用特征向量表示,最后求得结果.
4.(2016江苏苏北四市一模,21)已知矩阵A=
1 2 1 4
,
故所求的逆矩阵M-1=
1 2
0
.
0 13
(2)设曲线C上任意一点P(x,y),它在矩阵M所对应的线性变换作用下得到点P'(x',y'),则
a 0 0 b
x y
=
x y
' '
,即
ax by
x ', 又点P(x',y')在曲线C'上,所以
y ',
x '2 4
+y'2=1,
x2 8
+
y2 2
=1在矩阵AB对应的变换作用下得到另一曲线C2,求C2的方程.
解析 本小题主要考查矩阵的乘法、线性变换等基础知识,考查运算求解能力.
(1)因为A=
0 1
10
,B=
1 0
02
,
所以AB=
0 1
10
1 0
02
=
0 1
02
.
(2)设Q(x0,y0)为曲线C1上的任意一点,它在矩阵AB对应的变换作用下变为P(x,y),
4
解析
(1)设矩阵M的逆矩阵M-1=
x1 y1 x2 y2
,
则MM-1=10 01
.又M=
2 0 0 3
,
所以
2 0 0 3
x1 y1 x2 y2
=
10 01 ,
所以2x1=1,2y1=0,3x2=0,3y2=1,
即x1=
1 2
,y1=0,x2=0,y2=
1 3
评析 本题主要考查矩阵、矩阵与变换等基础知识,考查运算求解能力,考查化归与转化思想.
C组 教师专用题组
1.(2013江苏,21B,10分,0.949)已知矩阵A=
1 0
0 2
,B=
1 2 0 6
,求矩阵A-1B.
解析
设矩阵A的逆矩阵为
a b
c d
,则
1 0
0 2
a b
c d
=
10 01 ,
的属于特征值-2的一个特
征向量,求矩阵A以及它的另一个特征值.
证明
由已知,得Aα=-2α,即
x1 y 0
1 1
=
x
y
1
=
2 2
,
则
x
y
1 2,
2,
即
x y
1, 2,
所以Βιβλιοθήκη Baidu阵A= 2 101 .
从而矩阵A的特征多项式f(λ)=(λ+2)(λ-1),
所以矩阵A的另一个特征值为1.
从而所得图形的面积为 1 ×6×4=12.
2
易错警示 要注意依次实施变换T1,T2后所对应的矩阵是NM,不能颠倒!
2.(2018苏锡常镇四市高三教学情况调研(一),21B)已知矩阵A=
4 0 01
,B=
10 2 5 ,列向量X=
a b
.
(1)求矩形AB;
(2)若B-1A-1X=
5 1
,求a,b的值.
2 2 2 xy
y
=
2 4
y
y
.故
2 2 2 xy
y
4
2
y, y.
解得
x y
1 2
4.
,
所以x+y=
7 2
.
B组 统一命题、省(区、市)卷题组
考点 矩阵与变换
1.(2014福建,21,14分)选修4—2:矩阵与变换
已知矩阵A的逆矩阵A-1=
12 21 .
(1)求矩阵A;
5.(2014江苏,21B,10分,0.95)已知矩阵A=
1 1
2x
,B=
1 2
11
,向量α=
2 y
,x,y为实数,若Aα=Bα,求x+
y的值.
解析
由已知,得Aα=
1 2 1 x
2
y
=
2 2 2 xy
y
,Bα=
11 2 1
2
y
=
2 4
y y
.
因为Aα=Bα,所以
y,
又点M'(x',y')在l'上,所以x'+by'=1,即x+(b+2)y=1,
依题意得
a b
1, 2
1,
解得
a b
1, 1.
(2)由A
x0 y0
=
x0 y0
,得
x0 y0
x0 y0
,
2
y0
, 解得y0=0.
又点P(x0,y0)在直线l上,所以x0=1.
故点P的坐标为(1,0).
(2)求矩阵A-1的特征值以及属于每个特征值的一个特征向量.
解析 (1)因为矩阵A是矩阵A-1的逆矩阵,且|A-1|=2×2-1×1=3≠0,
所以A=
1 3
2 1
1 2
=
2
3 1
1 3
2
.
3 3
(2)矩阵A-1的特征多项式为f(λ)= λ 2 1 =λ2-4λ+3=(λ-1)(λ-3),
2 1
3 2
.
(2)设P(x,y),则
2 1
23
x y
=
3 1
,
所以
x y
=A-1
3 1
=
3 1
.
因此,点P的坐标为(3,-1).
2.(2017江苏,21B,10分)[选修4—2:矩阵与变换]
已知矩阵A=
10 01 ,B=
1 0 0 2
.
(1)求AB;
(2)若曲线C1:
则 a2 x2 +b2y2=1为曲线C的方程.
4
又已知曲线C的方程x2+y2=1,故
a2 b2
4, 1.
又a>0,b>0,所以
a b
2, 1.
三年模拟
A组 2016—2018年高考模拟·基础题组
(时间：25分钟 分值：40分)
解答题(共40分)
1.(2018苏北四市高三一模,21B)已知矩阵A=
3 4 a b
,若矩阵A属于特征值λ1的一个特征
向量为α1=
1 2
,属于特征值λ2的一个特征向量为α2=
2 3
.求矩阵A.
解析
由矩阵A属于特征值λ1的一个特征向量为α1=
1 2
可得
3 4 a b
1 2
=λ1
1 2
,即
3 a
8 2b
λ1, 2
λ1
,
得a-2b=10,
由矩阵A属于特征值λ2的一个特征向量为α2=
3.(2016江苏,21B,10分)已知矩阵A=
1 2 0 2
,矩阵B的逆矩阵B-1=
10 12 2
,求矩阵AB.
解析
设B=
a c
db
,
则B-1B=
10 12 2
a c
db
=
1 0
10
,
即
a
1 2
2c
c
b1 2
2d
d
=
1 0
10
,
故
a b
1 2 1 2
3.(2018江苏苏州高三上学期期中调研,21B)已知矩阵A=
12 21 ,α=
4 2
,求A49α的值.
解析 矩阵A的特征多项式为f(λ)= λ 1 2 =λ2-2λ-3,
2 λ 1
令f(λ)=0,解得矩阵A的特征值λ1=-1,λ2=3,
当λ=-1时特征向量为α1=
1 1
,
当λ=3时特征向量为α2=
评析 本题主要考查矩阵的基础知识,考查运算求解能力.
4.[2011福建,21(1),7分]设矩阵M=
a 0 0 b
(其中a>0,b>0).
(1)若a=2,b=3,求矩阵M的逆矩阵M-1;
(2)若曲线C:x2+y2=1在矩阵M所对应的线性变换作用下得到曲线C': x2 +y2=1,求a,b的值.
,求矩阵A的特征值和特征向量.
解析
矩阵A的特征多项式f(λ)=
λ 1 2 1 λ
4
=λ2-5λ+6,
由f(λ)=0,解得λ1=2,λ2=3.
当λ=2时,特征方程组为
x x
2 2
y y
0, 0,
故属于特征值2的一个特征向量α1=
2 1
;
当λ=3时,特征方程组为
2x 2y x y 0,
解析
A2=
11 21
121 1 =
3 2 4 3
.
设α=
x y
.由A2α=β,得
3 2 4 3
x y
=
1 2
,从而
3x 4x
2 3
y y
1, 2.
解得x=-1,y=2,所以α=
1
2
.
评析 本题考查矩阵运算法则等基础知识,对运算能力有一定的要求,属中等难度题.
3.(2012江苏,21B)[选修4—2:矩阵与变换]已知矩阵A的逆矩阵A-1=
即
a b
2c 2d
=
10 01 ,
故a=-1,b=0,c=0,d=
1 2
,从而A的逆矩阵为A-1=
1 0 0 1
,
2
所以A-1B=
1 0
0 1
2
1 2 0 6
=
1 2
0 3
.
2.(2011江苏,21B,10分)已知矩阵A=
121 1 ,向量β=
1 2
.求向量α,使得A2α=β.