线性卷积_循环卷积_循环卷积定理(DFT)_FFT
循环卷积与线性卷积的matlab实现
循环卷积与线性卷积的实现1、实验目的：（1）进一步理解并掌握循环卷积与线性卷积的概念。
（2）理解掌握二者的关系。
三、实验原理两个序列的N点循环卷积定义为从定义中可以看到，循环卷积和线性卷积的不同之处在于：两个N 点序列的N点循环卷积的结果仍为N点序列，而他们的线性卷积的结果的长度则为2N-1；循环卷积对序列的移位采取循环移位，而线性卷积对序列采取线性位移。
正式这些不同，导致了线性卷积和循环卷积有不同的结果和性质。
循环卷积和线性卷积虽然是不用的概念，但是它们之间有一个有意义的公式联系在一起其中也就是说，两个序列的N点循环卷积是他们的线性卷积以N为周期的周期延阔。
设序列的长度为,序列的长度为，此时，线性卷积结果的序列的点数为;因此如果循环卷积的点数N小于，那么上述周期性延阔的结果就会产生混叠，从而两种卷积会有不同的结果。
而如果N满足的条件，就会有这就会意味着在时域不会产生混叠。
因此，我们得出结论：若通过在序列的末尾填充适当的零值，使得和成为店序列，并作出这两个序列的循环卷积与线性卷积的结果在范围内相同。
根据DFT循环卷积性质中的卷积定理便可通过两种方法求两个序列的循环卷积：一是直接根据定义计算；二是根据性质先分别求两个序列的N点DFT，并相乘，然后取IDFT以得到循环卷积。
第二种方法看起来要经过若干个步骤，但由于求序列的DFT和IDFT都有快速算法，因此它的效率比第一种方法要高得多。
同样，根据线性卷积和循环卷积的关系，可以通过计算循环卷积以求得线性卷积，提高计算序列线性卷积的效率。
4、实验内容输入程序序列如下：n=[0:1:4];m=[0:1:3];x1=1+n;x2=4-m; %生成函数x1和x2L1=length(x1)-1;L2=length(x2)-1; %取函数的长度y1=conv(x1,x2); %直接用函数conv计算线性卷积n1=[0:1:L1+L2];subplot(3,1,1);stem(n1,y1) %绘制线性卷积图形xlabel('n');ylabel('y(n)'); %标注x、y轴N2=5; %求5点圆卷积if length(x1)>N2error('N必须大于序列x1的长度')endif length(x2)>N2error('N必须大于序列x2的长度')end %以上语句判断两个序列的长度是否小于N X21=fft(x1,N2); %作序列1的FFTX22=fft(x2,N2); %作序列2的FFTy2=ifft(X21.*X22); %求两序列的循环卷积（时域）n2=[0:1:N2-1];subplot(3,1,2);stem(n2,y2) %绘制两序列循环卷积图形axis([0,7,0,40]) %修改x、y轴长度N3=8if length(x1)>N3error('N必须大于序列x1的长度')endif length(x2)>N3error('N必须大于序列x2的长度')endx31=[x1,zeros(1,N3-length(x1))]x32=[x2,zeros(1,N3-length(x2))]X31=fft(x31)X32=fft(x32)y3=ifft(X31.*X32)n3=[0:1:N3-1]subplot(3,1,3);stem(n3,y3)将程序输入MATLAB运行结果如下：MATLAB运行显示的图形为：五、实验心得：本次实验对我意义很大，让我熟练的运用了matlab软件。
实验二 DFT(FFT)的应用—利用FFT实现快速卷积
姓名：高铭遥 班级：16131701 学号：1120171450 成绩：实验二 DFT/FFT 的应用-利用FFT 实现快速卷积[实验目的]1．深刻理解DFT/FFT 的概念和性质，进一步掌握圆周卷积和线性卷积两者之间的关系。
2．掌握DFT/FFT 的应用。
理解FFT 在实现数字滤波（或快速卷积）中的重要作用，更好地利用FFT 进行数字信号处理。
[实验内容及要求]1．给定两个序列()[]2,1,1,2x n =，()[]1,1,1,1h n =--。
首先直接在时域计算两者的线性卷积；然后用FFT 快速计算二者的线性卷积，验证结果。
（1）线性卷积 程序代码：figure(1);N1=4; N2=4; xn=[2,1,1,2]; hn=[1,-1,-1,1];N=N1+N2-1;%卷积后的序列长度 yn=conv(xn,hn);%线性卷积 x=0:N-1;stem(x,yn);title('线性卷积'); 运行结果：（2）FFT 卷积快速卷积 程序代码： figure(1); n=0:1:3; m=0:1:3;N1=length(n);%xn 的序列长度 N2=length(m);%hn 的序列长度 xn=[2,1,1,2]; hn=[1,-1,-1,1];姓名：高铭遥 班级：16131701 学号：1120171450 成绩：N=N1+N2-1;%卷积后的序列长度XK=fft(xn,N);%xn 的离散傅里叶变换 HK=fft(hn,N);%hn 的离散傅里叶变换 YK=XK.*HK;yn=ifft(YK,N);%逆变换if all(imag(xn)==0)&&(all(imag(hn)==0))%实序列的循环卷积仍为实序列 yn=real(yn); endx=0:N-1;stem(x,yn);title('FFT 卷积'); 运行结果：结果分析：对比（1）和（2）直接线性卷积和FFT 快速卷积的结果可以验证，用FFT 线性卷积的结果是与直接卷积的结果相同的，FFT 可以实现快速卷积，提高运算速度。
数字信号处理DFT性质
DFT
X2(K)
x1(n)长度是 N1， x2(n)长度是 N2， N≥[N1，N2]。 循环卷积之后序列的长度没有发生变化为N。
四、复共轭序列的DFT: 五、DFT的隐含周期性:
X(k+mN)=X(k)
周期性延拓
主值序列
六、DFT共轭对称性：
1、
x(n)=xr(n)+jxi(n)
2、
x(n)=xep(n)+xop(n) X(K)=XR(K)+jXZ(K)
误差
：
由FT可知，若时间有限则频谱无限宽；若信号的频谱有限 宽，则其持续时间必然为无限长。所以时间有限，频带有界 的信号是不存在的。所以用DFT必然存在误差。
误差分析及改进方法：
1 、截断效应：截取 T P 变成有限长，相应的频域会有一个卷 积 ，与原来的频谱必然有一定的差别，所以要选择合适的窗 函数截取，增加N也可以减弱截断效应。 2、混叠现象：前置预滤波器采样频率fs满足采样定理，否则 就会产生混叠现象，即fs/2≥fc,并使滤波器尽可能的接近理 想滤波器。
其中时域抽样有 N 个抽样点 , 时域截取 Tp=NT, 频域 抽样即在0--fs上采样N点，采样间隔F,F=fs/N。
1、F: 频率分辨率 F=1/Tp=1/NT=Fs/N
可见： Fs一定，T一定，当 N↑时，Tp↑，最终导致F↓， 分辨率升高。
2、谱分析范围:0--Fs/2
DFT的高分辨率频谱与高密度频谱之间的区别：
高分辨率频谱：仅取决于截取连续信号TP的长度，采
样频率不变时，通过改变采样点数 N 可以改变 DFT 的分辨率。(N↑,F↓,分辨率升高)
高密度频谱：信号的时间长度不变，在频域内提高采样频 率，尾部补零可以得到高密度频 谱，但不能改变分辨
数字信号处理知识点总结
数字信号处理知识点总结《数字信号处理》辅导一、离散时间信号和系统的时域分析 （一） 离散时间信号（1）基本概念信号：信号传递信息的函数也是独立变量的函数，这个变量可以是时间、空间位置等。
连续信号：在某个时间区间，除有限间断点外所有瞬时均有确定值。
模拟信号：是连续信号的特例。
时间和幅度均连续。
离散信号：时间上不连续，幅度连续。
常见离散信号——序列。
数字信号：幅度量化，时间和幅度均不连续。
（2）基本序列（课本第7——10页）1）单位脉冲序列 1,0()0,0n n n δ=⎧=⎨≠⎩2）单位阶跃序列 1,0()0,0n u n n ≥⎧=⎨≤⎩3）矩形序列 1,01()0,0,N n N R n n n N ≤≤-⎧=⎨<≥⎩ 4）实指数序列 ()n a u n5）正弦序列 0()sin()x n A n ωθ=+ 6）复指数序列 ()j n n x n e e ωσ= （3）周期序列1）定义：对于序列()x n ，若存在正整数N 使()(),x n x n N n =+-∞<<∞ 则称()x n 为周期序列，记为()x n ，N 为其周期。
注意正弦周期序列周期性的判定（课本第10页）2）周期序列的表示方法： a.主值区间表示法 b.模N 表示法 3）周期延拓设()x n 为N 点非周期序列，以周期序列L 对作()x n 无限次移位相加，即可得到周期序列()x n ，即()()i x n x n iL ∞=-∞=-∑当L N ≥时，()()()N x n x n R n =当L N <时，()()()N x n x n R n ≠（4）序列的分解序列共轭对称分解定理：对于任意给定的整数M ，任何序列()x n 都可以分解成关于/2c M =共轭对称的序列()e x n 和共轭反对称的序列()o x n 之和，即()()(),e o x n x n x n n =+-∞<<∞并且1()[()()]2e x n x n x M n *=+-1()[()()]2o x n x n x M n *=--（4）序列的运算 1）基本运算2）线性卷积：将序列()x n 以y 轴为中心做翻转，然后做m 点移位，最后与()x n 对应点相乘求和——翻转、移位、相乘、求和定义式：1212()()()()()m y n x m x n m x n x n ∞=-∞=-=*∑线性卷积的计算：A 、图解B 、解析法C 、不进位乘法（必须掌握）3）单位复指数序列求和（必须掌握）/2/2/2/2/2/21/2/2/2/2/2/2(1)/21()()/(2)1()()/(2)sin(/2)sin(/2)j N j N j N j N j N j N j N N j nj j j j j j j n j N e e e e e e e j ee e e e e e e j N e ωωωωωωωωωωωωωωωωωω------------=-----===---=∑如果2/k N ωπ=，那么根据洛比达法则有sin(/2)(0)(0)(()())sin(/2)N N k N N k N ωδδω===或可以结合作业题3.22进行练习（5）序列的功率和能量能量：2|()|n E x n ∞=-∞=∑功率：21lim |()|21NN n NP x n N →∞=-=+∑（6）相关函数——与随机信号的定义运算相同（二） 离散时间系统1．系统性质 （1）线性性质定义：设系统的输入分别为1()x n 和2()x n ，输出分别为1()y n 和2()y n ，即1122()[()],()[()]y n T x n y n T x n ==统的输对于任意给定的常数a、b ，下式成立1212()[()()]()()y n T ax n bx n a y n by n =+=+则该系统服从线性叠加原理，为线性系统，否则为非线性系统。
利用DFT计算线性卷积PPT课件
x2[n] 1
012
n
第4页/共23页
n 0123
x1[n] 1 012
x2[n] 1
线性卷积与循环卷积的关 系
n
0 1 2 3 n y1[k] {1, 2, 2, 2,1,1}
1
x1[n]
n 2 1 0
1
x1[1n]
1
x1[2n]
1
x1[3n]
n
n
n
1 1
2
3
1
x1[(n)4]
第3页/共23页
线性卷积与循环卷积的关系：
例1：x1[k]={1,1,1}, x 2[k]={1,1,0,1} , 计算 (1) x1[k]和x2[k]的线性卷积y1[k] ； (2) x1[k]和x2[k]的4点循环卷积y4[k] ； (3) x1[k]和x2[k]的5点、6点和7点循环卷积。
解:
谢谢您的观看！
DFT计算卷积
第23页/共23页
x[k] h[k] xn[k nL] h[k] yn[k nL]
n0
n0
y0[k]的非零范围：
0k LM 2
y1[kL]的非零范围： L k 2L M 2
序列 y0[k], y1[k]的重叠部分： L k L M 2
重叠的点数：
[(L+M2)L]+1=M1
依次将相邻两段的M1个重叠点相加，即得到最终的线性卷积结果。
x[k ]
一段分别与短序列进行循环卷积，对重叠部分相加
x0[k]
x1[k ]
x2[k]
x3 [k ]
L
2L
3L
x[k] xn[k nL]
n0
其中
数字信号处理主要知识点整理复习总结
求出对应
的各种可能的序列的表达式。
解： 有两个极点，因为收敛域总是以极点为界，因此收敛域有以下三种情况： 三种收敛域对应三种不同的原序列。
时，
（1）当收敛域
令
，因为c内无极点，x(n)=0；
，C内有极点0，但z=0是一个n阶极点，改为求圆外极点留数，圆外极点有
数字信号处理课程 知识点概要
第1章 数字信号处理概念知识点
1、掌握连续信号、模拟信号、离散时间信号、数字信号的特点及相互关系（时间和幅度的连续性考量） 2、数字信号的产生； 3、典型数字信号处理系统的主要构成。
量化、编码 ——————
采样 ————
模拟信号
离散时间信号
数字信号
5、部分分式法进行逆Z变换 求极点 将X(z)分解成部分分式形式 通过查表，对每个分式分别进行逆Z变换 注：左边序列、右边序列对应不同收敛域 将部分分式逆Z变换结果相加得到完整的x(n)序列 6、Z变换的性质 移位、反向、乘指数序列、卷积
常用序列z变换（可直接使用）
7、DTFT与Z变换的关系
（a) 边界条件 时，是线性的但不是移不变的。
（b) 边界条件 时，是线性移不变的。
令
….
所以：
….
所以：
可见 是移一位的关系， 亦是移一位的关系。因此是移不变系统。
代入差分方程，得：
……..
所以：
因此为线性系统。
3. 判断系统是否是因果稳定系统。
Causal and Noncausal System（因果系统） causal system: (1) 响应不出现于激励之前 (2) h(n)=0, n<0 （线性、时不变系统） Stable System （稳定系统） (1) 有界输入导致有界输出 (2) （线性、时不变系统） (3) H(z)的极点均位于Z平面单位圆内（因果系统）
循环卷积与线性卷积的matlab实现
上海电力学院信号与系统实验报告题目：循环卷积与线性卷积的实现班级：2011023专业：电气工程及其自动化学号：201112572013年12月17日循环卷积与线性卷积的实现一、实验目的1、进一步理解并掌握循环卷积与线性卷积的概念；2、理解掌握二者的关系；二、实验原理两个序列的N 点循环卷积的定义为：()()[]()()()N N k N m n x m h n x n h -=⊗∑-=10()N N <≤0从定义中可以看到，循环卷积和线性卷积的不同之处在于：两个N 点序列的N 点循环卷积的结果仍为N 点序列，而它们的线性卷积的结果的长度则为2N-1；循环卷积对序列的位移采取循环位移，而线性卷积对序列采取线性位移。
正是这些不同，导致了线性卷积和循环卷积有不同的结果和性质。
循环卷积和线性卷积虽然是不同的概念，但它们之间由一个有意义的公式联系在一起：()()()[]()()n G rN n y n x n h n y N r N⎪⎭⎫ ⎝⎛-'=⊗=∑∞-∞=其中()()()n x n h n y *='。
也就是说，两个序列的N 点循环卷积是他们的线性卷积以N 为周期延拓。
设序列()n h 的长度为N1，序列()n x 的长度为N2，此时，线性卷积结果的序列的点数为121-+='N N N ;因此如果循环卷积的点数N 小于121-+N N ,那么上述周期性延拓的结果就会产生混叠，从而两种卷积会有不同的结果。
而如果N 满足N N '=的条件，就会有()()n y n y '=()N n <≤0这就意味着在时域不会产生混叠。
因此，我们得出结论：若通过在序列的末尾填充适当的零值，使得()n x 和()n h 成为121-+N N 点序列，并作出这两个序列的121-+N N 循环卷积，那么循环卷积与线性卷积的结果在N n <≤0范围内相同。
根据DFT 循环卷积性质中的卷积定理()()[]{}()[]()[]n h DFT n x DFT n x n h DFT N ∙=⊗便可通过两种方法求两个序列的循环卷积：一是直接根据定义计算；二是根据性质先分别求两个序列的N 点DFT，并相乘，然后取IDFT 以得到循环卷积。
数字信号处理毕业设计
摘要数字信号处理是将信号以数字方式表示并处理的理论和技术。
数字信号处理与模拟信号处理是信号处理的子集。
本书介绍了利用DFT的线性卷积、误差分析、快速傅里叶变换、划分和组合方法、基一2FFT算法、MATLAB 实现……。
关键字：DFT FFT MA TLAB目录利用DFT的线性卷积 (3)误差分析 (5)块卷积 (7)快速傅里叶变换 (11)划分和组合方法 (14)基一2FFT算法 (15)MA TLAB实现 (17)快速卷积 (19)高速块卷积 (21)致谢 (35)利用DFT 的线性卷积在线性系统中最重要的运算之一足线性卷积。
事实上，FIR 滤波器枉实际中一般都是用这种线性卷积实现的。
另一方面，DFT 、又是在频域实现线性系统运算的一条实际途径；稍后还会看到，通过计算这还是一种高效的运算。
然而，其巾存在一个问题：DFT 运算所得到的是一个循环卷积(我们不想要的东西)，而不是我们想要的线性卷积。
现在要看看如何应用DFT"来吏现线性卷积(或等效为如何让循环卷积做戚与线性卷积一样)。
在例题5.15中曾间接提到过这一问题。
令1()x n 是1N 点序列,2()x n 是2N 点序列。
定义3()x n 为1()x n 和2()x n 的线性卷积，即*312()()()x n x n x n1112120()()()()N k x k x n k x k x n k ∞---∞=-=-∑∑ 那么3()x n 是一个12(1)N N +-点序列。
如果选取12max(,)N N N =，并计算 N 点的循环卷积12()()x n Nx n ，那么就得到N 点序列，它显然不同于3()x n 。
这样的观点也提供了一个线索，为什么不选12(1)N N N =+-，并做12(1)N N +-点的循环卷积呢，这样至少这两个卷积都有相同的样本数。
因此，令121N N N =+-并将1()x n 和2()x n 都当作N 点序列对待。
循环卷积与线性卷积的实现.docx
实验五 循环卷积与线性卷积的实现一、实验目的（1） 进一步理解并掌握循环卷积与线性卷积的概念；（2） 理解掌握二者的关系。
二、实验原理两个序列的N 点的循环卷积定义为10[()()]()(())N N Nk h n x n h m x n m -=⊗=-∑ (0)n N ≤<从定义中可以看到,循环卷积和线性卷积的不同之处在于：两个N 点序列的N 点循环卷积结果仍为N 点序列,而它们的线性卷积的结果长度则为2N -1；循环卷积对序列的移位采取循环移位,而线性卷积对序列采取线性移位。
正是这些不同,导致了线性卷积和循环卷积有不同的结果和性质。
两个序列的N 点循环卷积是它们的线性卷积以N 为周期的周期延拓。
设序列()h n 的长度为1N ,序列()x n 的长度为2N ,此时线性卷积结果的序列点数为'121N N N =+-；因此如果循环卷积的点数N 小于121N N +-,那么上述周期性延拓的结果就会产生混叠,从而两种卷积会有不同的结果。
而如果满足'N N =的条件,就有循环卷积与线性卷积的结果在0n N ≤<范围内相同。
根据DFT 循环卷积性质中的卷积定理{[()()]}[()][()]N DFT h n x n DFT x n DFT h n ⊗=•因此可以根据性质先分别求两个序列的N 点DFT,并相乘,然后取IDFT 以得到循环卷积。
三、实验分析例题：已知有限长序列()x n 与()h n 如下图所示,（1） 画出两者之间的线性卷积（2） 8点圆卷积。
（3） 5点圆卷积。
解析如下：（1）()x n 与()h n 的线性卷积,由公式可知：()*()()()m h n x n x m h n m ∞=-∞=-∑()x m 与()h m -的图形如下：利用方格平移法：11 1 1 13 2 1 0 0当0n =时,()*()0h n x n =当1n =时,()*()0h n x n =当2n =时,()*()0*11*11h n x n =+=当3n =时,()*()2*11*10*13h n x n =++=当4n =时,()*()3*12*11*10*16h n x n =+++=当5n =时,()*()3*12*11*10*16h n x n =+++=当6n =时,()*()3*12*11*16h n x n =++=当7n =时,()*()3*12*15h n x n =+=当8n =时,()*()3*13h n x n ==得到图形如下：（2）()x n 与()h n 的8点圆卷积,由公式可知：78880()()(())(())()n x n h n x m h n m G n =⊗=-∑8(())x m 与8(())h m -的图形如下：根据下面图表可计算得到圆卷积：当0n =时：1 1 1 1 1 00 0 0 0 0 0 3 21 0 0 0 0 0 3 00 0 取和得到圆卷积为3。
数字信号处理 必考简答题及答案
1.举例说明什么是因果序列和逆因果序列，并分别说明它们z 变换的收敛域。
答：因果序列定义为x （n ）＝0，n <0，例如x （n ）＝)(n u a n ⋅，其z 变换收敛域：∞≤<-z R x 。
逆因果序列的定义为x (n)=0,n>0。
例如x （n ）＝()1--n u a n ，其z 变换收敛域：+<≤x R z 02.用差分方程说明什么是IIR 和FIR 数字滤波器，它们各有什么特性？答： 1）冲激响应h （n ）无限长的系统称为IIR 数字滤波器，例如()()()1)(21)(1021-++-+-=n x b n x b n y a n y a n y 。
IIR DF 的主要特性：①冲激响应h （n ）无限长；②具有反馈支路，存在稳定性问题；③系统函数是一个有理分式，具有极点和零点；④一般为非线性相位。
（2）冲激响应有限长的系统称为FIR DF 。
例如()2)1()()(21-+-+=n x b n x b n x n y 。
其主要特性：①冲激响应有限长；②无反馈支路，不存在稳定性问题；③系统函数为一个多项式，只存在零点；④具有线性相位。
3.用数学式子说明有限长序列x （n ）的z 变换X （z ）与其傅里叶变换X )(ωj e 的关系，其DFT 系数X （k ）与X （z ）的关系。
答： （1）x （n ）的z 变与傅里叶变换的关系为()()ωωj e Z e X z X j == （2）x （n ）的DFT 与其z 变换的关系为()()K X z X k N j K N e w Z ===- 2 π4.设x （n ）为有限长实序列，其DFT 系数X （k ）的模)(k X 和幅角arg[X （k ）]各有什么特点？答：有限长实序列x （n ）的DFT 之模()k x 和幅角[])(arg k X 具有如下的性质：（1）)(k X 在0-2π之间具有偶对称性质，即)()(k N X k X -=（2）[])(arg k x 具有奇对称性质，即[]()[]k N X k X --=arg )(arg5.欲使一个FIR 数字滤波器具有线性相位，其单位取样响应)(n h 应具有什么特性？具有线性相位的FIR 数字滤器系统函数的零点在复平面的分布具有什么特点？答：要使用FIR具有线性相位，其h（n）应具有偶对称或奇对称性质，即h(n)=h(N-n-1)或h(n)=-h(N-n-1)。
数字信号处理第三章习题解答
（4）在频带宽度不变的情况下，将频率分辨率提高一倍的N值。
解：
（1）已知
（2）
（3）
（4）频带宽度不变就意味着采样间隔T不变，应该使记录时间扩大一倍为0.04s实现频率分辨率提高一倍（F变为原来的1/2）
18.我们希望利用 长度为N=50的FIR滤波器对一段很长的数据序列进行滤波处理，要求采用重叠保留法通过DFT来实现。所谓重叠保留法，就是对输入序列进行分段（本题设每段长度为M=100个采样点），但相邻两段必须重叠V个点，然后计算各段与 的L点（本题取L=128）循环卷积，得到输出序列 ，m表示第m段计算输出。最后，从 中取出Ｂ个，使每段取出的Ｂ个采样点连接得到滤波输出 。
————第三章————
离散傅里叶变换DFT
3.1 学习要点
3.1.1DFT的定义、DFT与Z变换(ZT)、傅里叶变换(FT)的关系及DFT的物理意义
1.DFT的定义
设序列 为有限长序列，长度为 ,则定义 的 点离散傅立叶变换为
(3.1)
的 点离散傅立叶逆变换为
(3.2)
其中， ， 成为DFT变换区间长度。
学习DFT的性质时，应与傅里叶变换的性质对照学习，要搞清两者的主要区别。我们知道，傅里叶变换将整个时域作为变换区间，所以在其性质中，对称性以原点为对称点，序列的移动范围无任何限制。
然而，DFT是对有限长序列定义的一种变换，也就是说，DFT变换区间为 。这一点与傅立叶变换截然不同，由于 及 区间在DFT变换区间以外，所以讨论对称性时，不能再以原点作为对称点，而是以 点作为对称点。为了区别于无限长共轭对称序列，用 和 分别表示有限长（或圆周）共轭对称序列和共轭反对称序列。其定义为
即 隐含周期性，周期为 。
实验五 线性卷积与循环卷积的计算
实验五 线性卷积与循环卷积的计算一、实验目的1、进一步加深对线性卷积的理解和分析能力；2、通过编程，上机调试程序，进一步增强使用计算机解决问题的能力；3、掌握线性卷积与循环卷积软件实现的方法，并验证二者之间的关系。
二、实验原理1、线性卷积线性时不变系统（Linear Time-Invariant System, or L. T. I 系统）输入、输出间的关系为：当系统输入序列为)(n x ，系统的单位脉冲响应为)(n h ，输出序列为)(n y ，则系统输出为：∑∞-∞==-=m n h n x m n h m x n y )(*)()()()(或∑+∞-∞==-=m n x n h m n x m h n y )(*)()()()(上式称为离散卷积或线性卷积。
图6.1示出线性时不变系统的输入、输出关系。
)(n δ→ L. T. I —→)(n h —→ —→图6.1 线性时不变系统的输入、输出关系2、循环卷积设两个有限长序列)(1n x 和)(2n x ，均为N 点长)(1n x )(1k X )(2n x )(2k X 如果)()()(213k X k X k X ⋅=则 )()(~)(~)(10213n R m n x m x n x N N m ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=∑-=[]∑---=1021)()(N m N m n x m x)(1n x =N 10)(2-≤≤N n n x上式称为循环卷积或圆周卷积)(n x L. T. I h(n)∑+∞-∞=-=m m n h m x n y )()()(D F T D F T注：)(~1n x 为)(1n x 序列的周期化序列；)()(~1n R n x N 为)(~1n x 的主值序列。
上机编程计算时，)(3n x 可表示如下：∑∑-+==-++-=11210213)()()()()(N n m nm m n N xm x m n x m x n x3、两个有限长序列的线性卷积序列)(1n x 为L 点长，序列)(2n x 为P 点长，)(3n x 为这两个序列的线性卷积，则)(3n x 为∑+∞-∞=-=m m n xm x n x )()()(213且线性卷积)(3n x 的最大长1-+P L ，也就是说当1-≤n 和1-+≥P L n 时0)(3=n x 。
第3章 离散傅立叶变换 DFSDFS的性质DFTDFT的性质循环卷积利用DFT计算线性卷积频率域抽样FFT
~x(n)
1 N
N
1
X~
(k
)W
N
kn
k 0
IDFS
X~ (k )
DFS[·] ——离散傅里叶级数正变换 IDFS[·]——离散傅里叶级数反变换
离散傅里叶变换（DFT）
我们知道周期序列实际上只有有限个序列值有意义，因此 它的许多特性可推广到有限长序列上。
一个有限长序列 x(n)，长为N，
x(n)
图4.2.8 倒序规律
3.5.4 频域抽取法FFT(DIF―FFT)
在基2快速算法中，频域抽取法FFT也是一种常用 的快速算法，简称DIF―FFT。
设序列x(n)长度为N=2M，首先将x(n)前后对半分
开，得到两个子序列，其DFT可表示为如下形式：
N 1
X (k) DFT[x(n)] x(n)WNk
T0
频谱特点： 离散非周期谱
2. 连续时间非周期信号
x(t) 1 X ( j) ej td
2
X ( j) x(t) e j tdt
频谱特点： 连续非周期谱
3. 离散非周期信号
x(n) FT-1[ X (ej )] 1 X (ej ) ejnd
2
X (ej ) FT[x(n)] x(n) e-jn n
~x (n) IDFS [ X~ (k )] 1 N 1 X~ (k )e j2 / N nk
N n0
X~ (k ) DFS [~x (n)] N 1 ~x (n)e j2 / N kn n0
习惯上：记 WN e j2 / N ，叫旋转因子．
则DFS变换对可写为
X~(k) N 1 ~x (n)WNkn DFS~x (n) n0
循环卷积定理
循环卷积定理
循环卷积定理是信号处理中的一个重要定理，它描述了两个周期信号的循环卷积和它们的周期卷积之间的关系。
具体来说，如果两个周期信号的周期长度相同，它们的循环卷积就等于它们的周期卷积。
这个定理在数字信号处理、滤波器设计、图像处理等领域都有广泛应用，为信号处理工程师提供了一个重要的工具。
在实际应用中，循环卷积定理可以用来计算卷积和、滤波器设计和图像处理等方面。
在处理周期信号时，循环卷积定理能够大大简化计算过程，提高处理效率。
- 1 -。
卷积.循环卷积与OFDM
卷积、线性卷积、循环卷积与OFDM 中的循环前缀CP摘要：本文主要讲述了卷积的定义及如何理解卷积，用离散样值近似计算连续卷积的方法，用循环卷积计算线性卷积的方法，用线性卷积计算循环卷积的方法，以及后者在OFDM 中的应用（循环前缀CP ），并给出了相关的Matlab 代码和实例进行验证和说明。
目的是为了建立起连续信号处理与离散信号处理之间的联系。
与本人在百度文库中的连续时间傅立叶变换与离散时间傅里叶变换之间的关系、从DTFT 到DFT ，计算频谱，并由频谱反求时间样点，为三部曲。
1. 连续信号卷积的定义及实质众所周知，当信号x(t)通过具有单位冲击响应为h(t)的因果LTI 系统时，其输出信号y(t)是前二者之间的线性卷积：()()()()0()()*()T t t Ty t x t h t h x t d x h t d t t t t t t -==-=-蝌 (1)其中假设单位冲击响应在[0 T]之外的值都是0。
从数学上来看，要得到第二个积分公式中的h(t-τ)，需先把h(τ)先以τ＝0的轴进行时域翻转，然后再向右移动t 个单位。
h(τ)h(-τ )图1.从上到下依次为h(τ), h(-τ), h(1-τ), x(τ), h(1-τ)* x(τ)在上面这个图形例子中，取t=1，故公共区间为[0,1]这个区间，故卷积积分的区间也是这个公共区间，即()()10(1)y x h t d t t t =-ò (2)上面图中的卷积结果将是一个分段函数。
上面的例子中，由于h(t)是连续的，故其与x(t)卷积的意义并不直观。
下面我们令h()()0.2(t 0.1)0.1(0.2)t t t d d d =+---(3) 这是一个典型的多径时延信道的抽头延迟线（TDL ）模型的单位冲击响应。
由于()()()()()000*x t t t x t t d x t t d t d t t ¥¥-=--=-ò－ (4)所以x(t)通过(3)式表示的信道h(t)后得到：()()()()()()()()**()0.2(t 0.1)0.1(0.2)0.20.10.10.2y t x t h t x t t t x t x t x t d d d ==+---=+---(5)h(1-τ )x(τ )移位对齐后相乘并积分（t=1）是各个信号延迟加权后的版本。
数字信号处理第三版西安科大出版高西全丁玉美课后答桉第3和4章
1
N 1
X (k) 2
n0
N k0
第３章 离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法
(FFT)
7）
(1) 长度为N的共轭对称序列xep(n)与反共轭对称序列
xop(n):
xep(n) xep(N n)
xop (n) xop (N n)
序列x(n)的共轭对称分量与共轭反对称分量：
xep (n)
所以
~xN (n)
x(n rN )
r
即 ~xN (n) 是x(n)的周期延拓序列， 由DFT与DFS的关系
可得出
xN (n) IDFT[ X (k)] ~xN (n)RN (n) x(n rN )RN (n) r
第３章 离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法
(FFT)
xN(n)=IDFT［X(k)］为x(n)的周期延拓序列（以N为延拓周期） 的主值序列。 以后这一结论可以直接引用。
DFT[x(n m)N RN (n)] WNkm X (k)
5) 频域循环移位性质
DFT[WNnm x(n)] X ((k m)) N RN (k)
第３章
6） 循环卷积：
离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法 (FFT)
L1
yc (n) h(m)x((n m))L RL (n)＝h(n) L x(n)
（1）在h(n)的尾部加L－N个零点， 在x(n)的尾部加L－M
（2）计算L点的H(k)=FFT［h(n)］和L点的X(k)=FFT ［x(n)］;
（3） 计算Y(k)=H(k)X(k) （4） 计算Y(n)=IFFT［Y(k)］， n=0，1，2，3，…，L-1。 但当h(n)和x(n)中任一个的长度很长或者无限长时， 需用 书上介绍的重叠相加法和重叠保留法。
循环卷积——精选推荐
循环卷积
两个函数的圆周卷积是由他们的周期延伸所来定义的。
周期延伸意思是把原本的函数平移某个周期T的整数倍后再全部加起来，所产生的新函数。
x(t) 的周期延伸可以写成
两个函数x(t) 与h(t) 的圆周卷积可用两种互相等价的方式来定
义
其中表示原本的（线性）卷积。
类似的，对于离散信号（数列），可以定义周期N的圆周卷积为
离散信号的圆周卷积可以经由圆周卷积定理使用快速傅立叶转换（FFT）而有效率的计算。
因此，若原本的（线性）卷积能转换成圆周卷积来计算，会远比直接计算更快速。
考虑到长度L和长度M的有限长度离散信号，做卷积之后会成为长度L+ M− 1 的信号，因此只要把两离散信号补上适当数目的零
（zero-padding）成为N点信号，其中，则它们的圆周卷积
就与卷积相等。
即可接着用N点FFT 作计算。
用以上方法计算卷积时，若两个信号长度相差很多，则较短者须补上相当多的零，太不经济。
而且在某些情况下，例如较短的h[n] 是一个FIR 滤波器而较长的
x[n] 是未知长度的输入（像语音）时，直接用以上方法要等所有的输入都收到后才能开始算输出信号，太不方便。
这时可以把x[n] 分割成许多适当长度的区块（称为block convolution），然后一段一段的处理。
经过滤波后的段落再仔细的连接起来，借由输入或输出的重叠来处理区块连接的部份。
这两种做法分别称为重叠-储存之卷积法和重叠-相加之卷积法。