第二节 欧拉图

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小结
一、
二、
欧拉图的定义
欧拉图的判别法
三、
Fleury算法
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(3) 当 (2)不能再进行时，算法停止. 可以证明，当算法停止时所得简单通路 Pm = v0e1v1e2…emvm（vm=v0）为G中一条欧 拉回路. 用Fleury算法走出例1中(1)，(2)从A出发 （其实从任何一点出发都可以）的欧拉回 路各一条.
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因而它们都是小欧拉图. 设C1, C2, …, Cs 是G1, G2, …, Gs的欧拉回路. （b）将C1上被删除的边还原，从C1上某一 顶点出发走出G的一条欧拉回路C. 定理2 无向图G是半欧拉图当且仅当G连 通且恰有两个奇度顶点. 证 必要性简单. 充分性（利用定理1）
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设u,v为G中的两个奇度顶点，令G=G(u,v) 则G连通且无奇度顶点，由定理15.1知G为 欧拉图，因而存在欧拉回路C，令=C(u,v) 则为G中欧拉通路. 2、有向欧拉图的判别法 定理3 有向图D是欧拉图当且仅当D是强连 通的且每个顶点的入度都等于出度. 本定理的证明类似于定理1.
二、欧拉图的判别法 1、无向欧拉图的判别法 定理1 无向图G是欧拉图当且仅当G连通且 无奇度数顶点. 证 若G为平凡图无问题. 下设G为n阶m条 边的无向图. 必要性 设C为G中一条欧拉回路. （1）G连通显然. （2）viV(G)，vi在C上每出现一次获2度， 所以vi为偶度顶点. 由vi的任意性，结论为真.
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例1 设G是欧拉图，但G不是平凡图，也不是 一个环，则(G)2. 证 只需证明G中不可能有桥（如何证明？）
（ 1） （ 2） 图中，（1），（2）两图都是欧拉图，均 从A点出发，如何一次成功地走出一条欧拉 回路来？ 目 录 前一页 后一页 退
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三、Fleury算法
第二节 欧拉图
本节的内容 ＊ 欧拉图的定义 ＊ 欧拉图的判别法 ＊ Fleury算法
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历史背景：哥尼斯堡七桥问题与欧拉图
（1）
（2）
图1 其实，欧拉图是一笔画出的边不重复的回路.
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一、欧拉图的定义 1、欧拉图的定义 定义1 （1）欧拉通路——经过图中每条边一次且 仅一次行遍所有顶点的通路. （2）欧拉回路——经过图中每条边一次且 仅一次行遍所有顶点的回路. （3）欧拉图——具有欧拉回路的图. （4）半欧拉图——具有欧拉通路而无欧拉 回路的图. 目 录 前一页 后一页 退 出
Fleury算法： (1) 任取v0V(G)，令P0=v0. (2) 设Pi = v0e1v1e2…eivi已经行遍，按下面方法 来从E(G){e1,e2,…,ei}中选取ei+1： (a) ei+1与vi相关联； (b) 除非无别的边可供行遍，否则ei+1不应该为 Gi = G{e1,e2,…,ei}中的桥.
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充分性 对边数m做归纳法（第二数学归纳法）. （1）m=1时，G为一个环，则G为欧拉图. （2）设mk（k1）时结论为真，m=k+1时 如下证明：
（a）制造满足归纳假设的若干个小欧拉图. 由连通及无奇度数顶点可知，(G)2，用扩 大路径法可得G中长度3的圈C1. 删除C1上所 有的边（不破坏G中顶点度数的奇偶性）得 G，则G无奇度顶点，设它有s（s1）个连 通分支G1, G2, …, Gs,它们的边数均k，
几点说明：
＊ 规定平凡图为欧拉图.
＊ 欧拉通路是生成的简单通路，欧拉回路
是生成的简单回路.
＊ 环不影响图的欧拉性.
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（1）
（2）
（3）
（4） （5 ） （6） 易知，图2中，（1）、（4）为欧拉图，（2）、（5） 为半欧拉图，（3）、（6）既不是欧拉图， 也不是半欧拉图. 在（3），（6）中各至少加几 条边才能成为欧拉图？ 目 录 前一页 后一页 退 出
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定理4 有向图D是半欧拉图当且仅当D是单 向连通的，且D中恰有两个奇度顶点，其中 一个的入度比出度大1，另一个的出度比入
度大1，而其余顶点的入度都等于出度.
本定理的证明类似于定理1. 定理5 G是非平凡的欧拉图当且仅当G是连
通的且为若干个边不重的圈之并.
可用归纳法证定理5.