高等代数基本概念50页PPT
《高等代数》PPT课件
命题5.1.2 对于任意向量和任意数a都有:
0=0, a0=0.
a()=(a) = a.
a=0a=0 或 =0.
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三. 约定
设V是数域F上的一个向量空间. 如果a是F中的一个数, 是V中的一个向量, 我们约定 a=a. 设1, 2,…, n,是V中的n个向量, 以它们为元素写成一个1n矩阵 (1, 2,…, n). 再设A是F上的一个nm阶矩阵. 则我们可以像普通矩 阵的乘法一样, 将(1, 2,…, n)和A相乘, 但是 (1, 2,…, n)A的结果 是一个以向量为元素的矩阵, 即:
3) 0+ = 4) 对任意 ，存在 ，使得 + = 0， 称为的负元素； 5) a( +) = a +a ； 6) (a+b) =a +b ； 7) a (b)=(ab) ；
8) 1 = .
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二、向量空间的定义
定义1 设V是一个非空集合，F是一个数域. 我们
把V中的元素用小写希腊字母, ，，…来表示，
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例2 在平面上建立直角坐标系后，把从原点出发的一切向
量组成的集合记为V2. 对V2中任意向量X和Y, 用平行四边形法则，有X+YV2. 对
任意实数k以及V2中任一向量X，有kXV2. 并且对任意的X, Y,
ZV2，a, bR，有
1) X+Y＝Y+X；
2) (X+Y)+Z＝X+(Y+Z)；
高等代数课件
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第五章 向量空间
5.1 向量空间的定义 5.2 向量的线性相关性 5.3 基维数和坐标 5.4 子空间 5.5 向量空间的同构
高等代数知识点总结课件
二阶行列式计算较为简单，直接按照定义进行计算即可。三 阶行列式可以利用代数余子式展开，也可以利用对角线法则 进行计算。高阶行列式可以利用递推法或化简法进行计算。
矩阵的秩的定义与性质
总结词
矩阵的秩是矩阵中线性无关的行（或列） 向量的个数，具有一些重要的性质。
VS
详细描述
矩阵的秩具有一些重要的性质，如秩的传 递性、秩的唯一性、秩的性质等。矩阵的 秩可以用来判断线性方程组的解的情况， 如当系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩时， 线性方程组有解。
利用秩判断线性方程组解的情况
总结词
利用矩阵的秩可以判断线性方程组解的情况。
详细描述
当系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩时，线性 方程组有解；当系数矩阵的秩小于增广矩阵 的秩时，线性方程组无解；当系数矩阵的秩 大于增广矩阵的秩时，线性方程组有无穷多 解。此外，利用矩阵的秩还可以判断线性方 程组解的个数和类型。
逆矩阵的性质
逆矩阵是唯一的；逆矩阵与原矩阵的乘积为单位矩阵；逆矩阵的逆矩阵是原矩阵。
逆矩阵的求法
高斯消元法、伴随矩阵法、初等变换法等。
线性方程组的解法
高斯消元法
将增广矩阵转化为上三角矩阵，从而得到解。
回带求解
将得到的上三角矩阵的解回代到原方程组中， 得到未知数的值。
克拉默法则
当方程组系数行列式不为0时，可以用克拉默 法则求解唯一解。
准型有助于简化二次型的计算和性质研究。
二次型的正定性判断
总结词
正定性判断是确定二次型是否为正定的过程， 正定的二次型具有一些重要的性质。
详细描述
正定性判断是二次型研究中的一个重要问题。 一个二次型被称为正定的，如果它对应于一 个正定矩阵。正定的二次型具有一些重要的 性质，如存在唯一的极小值点，且该极小值 点是全局最小值点。此外，正定的二次型还 具有一些几何意义，如对应于一个凸多面体
高代
后续内容介绍
线性方程组及其解法是线性代数的基本内容之一, 同时线 性代数的其它内容, 像矩阵、线性空间等, 都与它有着十分密 切的内在联系。 关于线性方程组需要解决的问题有: 线性方程组是否有解? 如果有解, 它有多少个解? 如何求出这些解? 在初等代数中我们已经知道, 二、三元线性方程组可用系 数行列式判断是否有唯一解, 而且在有唯一解时还可用行列 式表示出这个唯一的解。 对一般的n元线性方程组是否也可 用行列式判断它是否有唯一的解并用行列式表示出这个唯一 的解? 回答是肯定的。本章将首先把二、三阶行列式的定义 推广到一般的n阶行列式并讨论其性质, 然后给出线性方程组 有唯一解的条件及这个唯一解的求解公式。在下一章我们将 讨论一般的线性方程组的解法。二章 多项式 第六章 向量空间
第七章 线性变换
第八章 欧氏空间
第三章 行列式
第五章 矩阵
第四章 线性方程组 第九章 二次型
唐山师专数学系制作
第一章 基本概念
第二章 多项式
第三章 行列式
第一节 线性方程组与行列式 第二节 排列 第三节 n阶行列式 第四节 余子式与行列式展开 第五节 克莱姆规则
三. 例4,5,6
一. 基本定义
1.子式: 在行列式D中任意选定k行和k列, 位于这些行和列的 相交处的元素所构成的k阶行列式叫做行列式D的一个k阶子式.
例1. 在四阶行列式
a11 a D 21 a31 a41 a12 a22 a32 a42 a31 a23 a33 a43 a14 a24 a34 a44
由若干个含有n个未知数的一次方程构成的方程组称为n元线性 方程组. 线性方程组中方程的个数未必等于未知数的个数. n元线性 方程组的一般形式是: a11 x1 a12 x2 a1n xn b1 a x a x a x b 21 1 22 2 2n n 2 (1) am1 x1 am 2 x2 amn xn bm 其中, x1, x2,,xn表示未知数, aij, bi (i=1,2,,m, j=1,2, ,n)表示已知 的常数, 称为aij未知数的系数, 称bi为常数项. 方程组(1)的一个解是指这样的一组数(k1, k2,,kn), 用它们依 次代替方程组(1)的未知数x1, x2,,xn后, (1)中的每一个方程都成为 恒等式.
高等代数第一讲代数系统PPT课件
称K为F的子域，F称 而为K的扩域。 则有 deg (fg)=deg f+deg g
C的子域被称作数域，
有理数Q域 是最小的数 --是 域任意数域的子
II Polynomial form
§1- 1基本概念与运算
定义1：（i）设F为一个域X是 ，不属F于 的 任一个符号，则形如
例3：n阶可逆方阵的全体通（常按矩阵的 乘法）是乘法群。一称般为线性.－ 群－ generallineargrou简 p 记为 GLn(F).
而 SLn(F＝ ) ｛AMn(F)detA＝1｝ 称为特殊线性群S－ pe－ ciaLl ineargroup
定义中的恒元和逆是元乘都在左边的， 可以证明，乘在右有边相也同的性质。 即 aa－1＝e, ae＝a.
X5 4 X 4 3 X 3 2 X 2 X 1
4X 3
4 45
23 X 2
23 X 3
117 X
23 5 23
586
117 X 2
117 5 117
586 X 586 5 586
r(X)= 2931
于是 q(X)4X323 X211X758,r6(X)29,3 f(X)q(X)(X5)r(X) . r(X)f(5)
若 defgdegg ，则 q令 0。 rf即可
记 fanXnan 1Xn 1 a1Xa0， an0
gbm Xmbm 1Xm 1 b1Xb0，令
q1
an bm
Xnm,
则gq1与f 的首项相同
q1
an bm
Xnm,
则gq1与f 的首项相
f gq1 f1的次数 f 低 比，f1对 同样讨
存在 q1,,qs使 de r0 g de g或 g r00
高等代数ppt课件
2）如果g(x) ︳f(x)，那么g(x)就是f(x)与g(x)的一个最大公因式；
§4.2 最大公因式
一、最大公因式的概念
1、公因式：如果多项式(x) 即是 f (x)的因式，又是g(x)的因式， 则称(x)为 f (x) 和 g(x) 的公因式。
3) f (x)g(x) = g(x) f (x);
4) (f (x)g(x)) h(x)=f (x)(g(x) h(x)); 5) f (x)(g(x)＋h(x))=f (x)g(x)＋f (x) h(x).
关于多项式的和与积的次数,我们有
引理4.1.1 设f (x)，g(x)是F[x]中非零多项式．则 (i) 当f (x)＋g(x)≠0时,
deg( f (x)＋g(x))≤max{deg f (x),deg g(x)}. (ii) deg( f (x)g(x)) = deg f (x)＋deg g(x). 推论4.1.2 设f (x), g(x) , h(x) ∈F[x]. (i) 如果f (x) g(x)=0，那么f (x) =0，或者 g(x)=0; (ii) 如果f (x) g(x) = f (x) h(x)，且f (x)≠0，那么g(x) =h(x).
这里当m＜n时， bm+1=…=bn= 0.
多项式f (x)与g(x)的积f (x)g(x)是指多项式 c0＋c1x＋c2x2＋…＋ckxk＋…＋cn+mxn+m,
其中 ck= aibj i jk
k=1,2,3, …,n+m.
对多项式g(x) = b0＋b1x＋b2x2＋…＋b m1x m1＋bmxm, 所谓g(x) 的负多项式－g(x) 是指多项式
高等代数课件PPT之第1章多项式
2.多项式的运算 设f (x)，g(x)为数域P上的一元多项式，不妨令
f ( x ) ai x i , g( x ) b j x j
n m i 0 j 0
加法： f (x)g(x) (ai bi ) x i , 当n m 乘法：f (x)g(x) anbm x n m (anbm1 an1bm ) x n m1 a0b0
其中r(x)=0或 (r(x))< ( g(x) ).
余式
称上式中的q(x) 为g(x) 除f (x)的商， r(x)为g(x) 除f (x)的余式.
（带余除法）定理证明
存在性 若f(x)=0 , 取q(x)=r(x) =0即可.以下设f (x)0. (f(x))=n,( g(x) )=m. 对 f (x) 的次数n作数学归纳法. 当n<m时,取q(x)=0, r(x) = f (x)， 有 f (x) = q(x) g(x) + r(x) ，结论成立.
例1
a b 2 (a、b是有理数)的数 所有形如 Q( 2 ) . 构成一个数域
(ii)对四则运算封闭.事实上
解 (i) 0,1 Q( 2 );
, Q( 2 ),设 a b 2 , c d 2 , 有 (a c) (b d ) 2 Q( 2 ) (ac 2bd) (ad bc) 2 Q( 2 ) 设 a b 2 0，则a b 2 0且 c d 2 (c d 2)(a b 2) a b 2 (a b 2)(a b 2) ac 2bd ad bc 2 2 2 Q( 2) 2 2 a 2b a 2b
i 0
n m s0
高等代数知识点总结课件
行列式的展开定理
• 总结词：行列式的展开定理是行列式计算的核心，它提供了计算行列式 值的有效方法。
• 详细描述：行列式的展开定理指出，一个$n$阶行列式等于它的主对角线上的元素的乘积与其它元素乘积的代数和的相 反数。具体来说，对于一个$n$阶行列式$|\begin{matrix} a{11} & a{12} & \cdots & a{1n} \ a{21} & a{22} & \cdots & a{2n} \ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \ a{n1} & a{n2} & \cdots & a{nn} \end{matrix}|$，其值等于 $a{11}A{11} + a{21}A{21} + \cdots + a{n1}A{n1}$，其中$A{ii}$表示去掉第$i$行和第$i$列后得到的$(n-1)$阶行列 式的值。
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线性函数与双线性函数
线性函数的定义与性质
线性函数的定义
线性函数是数学中的一种函数，其图 像为一条直线。在高等代数中，线性 函数是指满足 f(ax+by)=af(x)+bf(y) 的函数。
线性函数的性质
线性函数具有一些重要的性质，如加 法性质、数乘性质、零元素性质和负 元素性质等。这些性质在解决实际问 题中具有广泛的应用。
欧几里得空间与酉空间
欧几里得空间
欧几里得空间是一个几何空间，它满足 欧几里得几何的公理。在欧几里得空间 中，向量的长度和角度都可以用实数表 示。
VS
酉空间
酉空间是一种特殊的线性空间，它满足酉 几何的公理。在酉空间中，向量的长度和 角度都可以用复数表示。酉空间在量子力 学、信号处理等领域有广泛应用。
高等代数(绪论)讲解PPT课件
开方术”里，充分研究了数字高次方程的求正根法，
也就是说，秦九韶那时候就得到了高次方程的一般
解法。
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2020年9月28日
在西方，直到十六世纪初的文艺复兴时期，才由 有意大利的数学家发现一元三次方程解的公式—— Cardan公式。
在数学史上，三次方程的根的公式应归功于从 1496到1526年在意大利的波伦亚（Bologna）大学当教 授的Scipione del Ferro.他发现的精确年代并不知道， 但是我们知道在1541年前不久，意大利数学家塔塔里 亚(Niccolo Tartaglia)或许已知道有del Ferro的解但又 独自地发现了它。
序结构: 集合上的顺序关系,----如: 数的大小, 个子的高矮等 → 序代数, 格论等;
拓扑结构: 集合上连续性等----如: 曲线与直线 的关系 →数学分析,点集拓扑,代数拓扑等
三大结构的相互重叠, 组合构成各个不同 的数学分支,构成现代数学这座高楼大厦.
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数学发展到现在，已经成为科学世界中拥有100多 个主要分支学科的庞大的“共和国”。
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高等代数
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任课教师
汪仲文，教授，博士，硕士研究生导师，数统学院副院长， 喀什师范学院首届“教学名师” 。
本科，1994年毕业于喀什师范学院数学系
硕士，2006年毕业于新疆大学数学与系统科学学院
博士， 2010年毕业于南开大学数学科学学院
办公地点：3号楼210室 办公电话：2891005 电子信箱：
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二、代数发展简史
“代数”一词最初来源于公元9世纪阿拉伯数学家、
天文学家阿尔•花拉子米（约780－850，唐朝）一本著
高等代数知识点总结 PPT
• 复数域上的标准分解定理
在复数域上，每个次数大于1的多项式f都有如下的 标准分解
f a ( x x 1 ) n 1 L ( x x t) n t
其中a是f的常数项, x1,…,xt 是f全部互不相同的根, n1,…,nt分别是这些根的重数.
• 实数域上的标准分解定理
在实数域上，每个次数大于1的多项式f都有如下的
|U V|i1Lim式 U -i1 --L ---i-m - 式 V i-1 -L ---i-m -
1
x1 V x12
M x n1
1
1L
x2 L
x
2 2
L
M
x n1 L
1
xn
x
2 n
(x j xi )
M
1i j n
x n1 n
V 0 x1, ..., xn 互 不 相 同
对单位矩阵做一次初等变换
•
每个秩数为r的矩阵都等价于
Ir 0
0
0
• 对于m×n矩阵A，B下列条件等价
1. AB，即A可由初等变换化成B
2. 有可逆矩阵P,Q使得PAQ=B
3. 秩A=秩B
4. A，B的标准型相同
可逆矩阵vs列满秩矩阵
对于n阶矩阵A,下列条件等价
1. A是可逆矩阵
2. |A|0
3. 秩A=n
4. 有B使得AB=I或BA=I
f(x)=g(x)q(x)+r(x)，r(x)=0或degr(x)<degg(x).
• 最大公因式的存在和表示定理
任意两个不全为0的多项式都有最大公因式，且对 于任意的最大公因式d(x)都有u(x)和v(x)使得
d(x)=f(x)u(x)+g(x)v(x)
高代课件
A B B A, A B B A
思考题： 1、下列等式中哪些是正确的，哪些是错误的；正 确的，请予以证明，错误的，请给出反例予以说 明。 (1) ( A B) ( B A) ( A B) ( A B) (2) ( A B) C ( A C ) ( B C ) (3) ( A B) (C D) ( A C ) ( B D) (4) A ( B C ) ( A B) ( A C ) 2、写出集合的全部子集。 3、设是含有个元素的集合，的含有个元素的子 集共有多少个？
思考题： 1、如果 f : A B不是单射时，应如何叙述？ 2、如果 不是满射时，应如何叙述？ f : AB 3、如果 ， 都不是双射， 它们的合成 能成为双射吗？为什 f : A B g:B C 么？
g f : AC
课堂练习 1、试证：映射 f : A B是单射的充 要条件为 f 有唯一的左逆映射。 2、试证：f : N N , f (n) n 1是单 射但不是满射。 3、设映射： : R R, f ( x) 4 x 5 f f 1 。 求
一、映射的概 定义1、集合A到集合B的一个对应关系 如 果满足：A中任一个元素a，关于 f 都存在B中 的一个元素与其对应，则称 f 是A到B的一个 f a 映射。习惯上记为 f : A B ， b
a A
b
B
说明：关于映射 f : A B 需要注意 1、(存在性)对每个元素 a A ，都存在 b B 使 f : a b，其中b叫做关于 f 下的象， 记为 b f (a) 2、(唯一性)对每个元素 a A ，关于 f 下 a的象都是唯一存在的。 映射的相等 如果 f : A B, g : C D 都是映射 而且 A C, B D 且 a A 都有 f (a) g (a) 那么 称 f 与 g 是相等的，记为 f g 。
高等代数(绪论)讲解课件
善于总结
在做题过程中，要注意总结解题方法和技巧 ，形成自己的解题思路和经验。
学习过程中注重归纳总结
要点一
归纳知识体系
在学习过程中，要注重归纳总结，将所学知识形成完整的 知识体系，以便更好地理解和记忆。
要点二
总结解题方法
对于同一类问题，要总结出通用的解题方法，形成自己的 解题技巧和策略。
培养数学思维与逻辑推理能力
矩阵的加法、减法、乘法
矩阵的逆
掌握矩阵的基本运算规则，能够进行 矩阵的加法、减法和乘法运算。
掌握矩阵逆的定义和性质，能够求出 矩阵的逆。
矩阵的转置
了解矩阵转置的定义和性质，能够进 行矩阵的转置运算。
多项式的因式分解与根的性质
因式分解
掌握多项式的因式分解方法，如提取公因式、分组分 解、十字相乘法等。
线性变换与几何变换
总结词
线性变换是高等代数中描述几何变换的 基本工具，它可以用于图像处理、计算 机图形学和机器人学等领域。
VS
详细描述
线性变换是矩阵在向量空间上的作用，它 可以描述旋转、平移、缩放等基本的几何 变换。通过线性变换，可以研究几何对象 的性质和关系，并将其应用于图像处理、 计算机图形学等领域，实现图像的旋转、 缩放和剪切等操作。
培养数学思维
学习高等代数需要具备数学思维，即能够运用数学语言 和符号进行推理和表达的能力。
提高逻辑推理能力
通过学习和练习高等代数的证明和推导，可以提高逻辑 推理能力，增强思维的严密性和条理性。
T量是一个有方向的量，它由一组有 序数组成。在高等代数中，向量通常 表示为有序数对的序列，这些数对可 以表示空间中的点、方向和大小。
矩阵
矩阵是一个矩形阵列，由若干行和若 干列组成。在高等代数中，矩阵是重 要的数学工具，它可以表示向量之间 的关系、线性变换等。
数学高等代数第五版精品PPT课件
者说A包含a，记作A∋a 如果a不是集合A的元素，就说a不属于A，记作 a A； 或者说A不包含a，记作
例如，设A是一切偶数所成的集合，那么4∈A，
而3 A.
一个集合可能只含有有限多个元素，这样的集合叫 做有限集合. 如，前十个正整数的集合；一个学校的
集合 a1, a2 ,, an 表示成：a1,a2 ,,an . 前五个正
整数的集合就可以记作 1,2,3,4,5 .
枚举仅用来表示有限集合.
拟枚举: 自然数的集合可以记作 1,2,3,4,5....n..... , 拟枚举
可以用来表示能够排列出来的的集合, 像自 然数、整数…
概括原则: 如果一个集A是由一切具有某一性质的元
算术给予我们一个用之不竭的、充满有趣真理的宝库。 --高斯（Gauss,1777-1855）
数可以说成是统治整个量的世界，而算术的四则可以 被认为是作为数学家的完全的装备。 --麦斯韦(James Clark Maxwell 1831-1879)
1.1 集合
内容分布
1.1.1 集合的描述性定义 1.1.2 集合的表示方法 1.1.3 集合的包含和相等 1.1.4 集合的运算及其性质
反证之明，设若xxA(AB B)C，( A那 C么) x，那A且么 xxBACB 或，于是
者x x A且A 至C少. 但属于B BB与CC，中C的之B一 C. 若，x所以B 不，论那哪么一因
种为情x形都A 有，所x 以A，xBACB，；所同以样，若 x C ， 则 x A CA.不B论哪A一 C种 情A形都B有 Cx (A B) (A C) .
例如，A={1，2，3，4}，B={2，3，4，5}，则
高等代数课件
对于一个线性变换，如果存在一组基 使得该线性变换在这组基下的矩阵表 示是恒等变换，那么这组基是这线性 变换的一个基底。
CHAPTER 02
线性方程组与矩阵的秩
线性方程组的解法
高斯消元法
通过消元将线性方程组转化为求解单变量方程，是求解线性方程 组的基本方法。
克拉默法则
适用于系数行列式不为零的线性方程组，通过展开式求解。
特征值的计算方法与性质
计算方法
特征多项式f(λ)=|λE-A|，其中E为单位矩 阵，A为给定矩阵。通过求解f(λ)=0得到 的根即为特征值。
VS
性质
特征多项式f(λ)的根即是特征值，f(λ)的阶 数即是矩阵A的阶数。f(λ)无重根，则A有 n个线性无关的特征向量。
特征向量的应用与性质
应用
在矩阵理论中，特征向量的应用广泛，如求解线性方程组、判断矩阵的稳定性、求矩阵的秩等。
性质
对于可逆矩阵A，其逆矩阵的特征向量是A的特征向量的倍数。对于相似矩阵，它们的特征向量是相互正交的。
CHAPTER 04
行列式与高阶矩阵
行列式的定义与性质
总结词
行列式是n阶方阵所有行列的n个代数余子 式的乘积之和，具有丰富的性质。
详细描述
行列式是一种特殊的n阶方阵的函数，其值 按照排列方式决定。行列式的定义可以推广 到任意阶数。行列式具有以下性质
递推公式法：利用递推公式，将高阶行 列式转化为低阶行列式，以便计算。
行列展开法：利用代数余子式的性质， 将行列式按照某一行或某一列展开，转 化为低阶行列式，以便计算。
详细描述
化简法：利用行列式的性质，化简行列 式，将其转化为更简单的形式，以便计 算。
高阶矩阵的运算与性质
高等代数经典课件
第一章 多项式§1 数域关于数的加、减、乘、除等运算的性质通常称为数的代数性质.代数所研究的问题主要涉及数的代数性质，这方面的大部分性质是有理数、实数、复数的全体所共有的.定义1 设P 是由一些复数组成的集合，其中包括0与1.如果P 中任意两个数的和、差、积、商（除数不为零）仍然是中的数，那么P 就称为一个数域.显然全体有理数组成的集合、全体实数组成的集合、全体复数组成的集合都是数域.这三个数域分别用字母Q 、R 、C 来代表.全体整数组成的集合就不是数域.如果数的集合P 中任意两个数作某一种运算的结果都仍在P 中，就说数集P 对这个运算是封闭的.因此数域的定义也可以说成，如果一个包含0，1在内的数集P 对于加法、减法、乘法与除法（除数不为零）是封闭的，那么P 就称为一个数域.例1 所有具有形式的数（其中b a ,是任何有理数），构成一个数域.通常用)2(Q 来表示这个数域.例2 所有可以表成形式的数组成一数域，其中m n ,为任意非负整数，),,1,0;,,1,0(,m j n i b a j i 是整数.例3 所有奇数组成的数集，对于乘法是封闭的，但对于加、减法不是封闭的. 性质：所有的数域都包含有理数域作为它的一部分.§2 一元多项式一、一元多项式定义2 设n 是一非负整数，形式表达式0111a x a x a x a n n n n ,(1)其中n a a a ,,,10 全属于数域P ，称为系数在数域P 中的一元多项式，或者简称为数域P上的一元多项式.在多项式（1）中，i i x a 称为i 次项，i a 称为i 次项的系数.以后用 ),(),(x g x f 或 ,,g f 等来表示多项式.注意：这里定义的多项式是符号或文字的形式表达式.定义3 如果在多项式)(x f 与)(x g 中，除去系数为零的项外，同次项的系数全相等，那么)(x f 与)(x g 就称为相等，记为)()(x g x f .系数全为零的多项式称为零多项式，记为0.在（1）中，如果0 n a ，那么n n x a 称为多项式（1）的首项，n a 称为首项系数，n 称为多项式（1）的次数.零多项式是唯一不定义次数的多项式.多项式)(x f 的次数记为))((x f .二、多项式的运算设是数域P 上两个多项式，那么可以写成在表示多项式)(x f 与)(x g 的和时，如m n ，为了方便起见，在)(x g 中令011 m n n b b b ，那么)(x f 与)(x g 的和为而)(x f 与)(x g 的乘积为其中s 次项的系数是所以)(x f )(x g 可表成s mn s s j i j i x b a x g x f )()()(0 .显然，数域P 上的两个多项式经过加、减、乘运算后，所得结果仍然是数域P 上的多项式.对于多项式的加减法，不难看出)))(()),((max())()((x g x f x g x f .对于多项式的乘法，可以证明，若0)(,0)( x g x f ，则0)()( x g x f ，并且 由以上证明看出，多项式乘积的首项系数就等于因子首项系数的乘积.显然上面的结果都可以推广到多个多项式的情形.多项式的运算满足以下的一些规律：1. 加法交换律：)()()()(x f x g x g x f .2. 加法结合律：))()(()()())()((x h x g x f x h x g x f3. 乘法交换律：. )()()()(x f x g x g x f4. 乘法结合律：))()()(()())()((x h x g x f x h x g x f5. 乘法对加法的分配律：)()()()())()()((x h x f x g x f x h x g x f6. 乘法消去律：若)()()()(x h x f x g x f 且0)( x f ，则)()(x h x g .定义4 所有系数在数域P 中的一元多项式的全体，称为数域P 上的一元多项式环，记为][x P ，P 称为][x P 的系数域.§3 整除的概念在一元多项式环中，可以作加、减、乘三种运算，但是乘法的逆运算—除法—并不是普遍可以做的.因之整除就成了两个多项式之间的一种特殊的关系.一、整除的概念带余除法 对于][x P 中任意两个多项式)(x f 与)(x g ，其中0)( x g ，一定有][x P 中的多项式)(),(x r x q 存在，使)()()()(x r x g x q x f (1)成立，其中))(())((x g x r 或者0)( x r ，并且这样的)(),(x r x q 是唯一决定的.带余除法中所得的)(x q 通常称为)(x g 除)(x f 的商，)(x r 称为)(x g 除)(x f 的余式. 定义5 数域P 上的多项式)(x g 称为整除)(x f ，如果有数域P 上的多项式)(x h 使等式成立.用“)(|)(x f x g ”表示)(x g 整除)(x f ，用“)(|)(x f x g ”表示)(x g 不能整除)(x f .当)(|)(x f x g 时，)(x g 就称为)(x f 的因式，)(x f 称为)(x g 的倍式.当0)( x g 时，带余除法给出了整除性的一个判别条件.定理1 对于数域P 上的任意两个多项式)(x f ，)(x g ，其中0)( x g ，)(|)(x f x g 的充要条件是)(x g 除)(x f 的余式为零.带余除法中)(x g 必须不为零.但)(|)(x f x g 中，)(x g 可以为零.这时0)(0)()()( x h x h x g x f .当)(|)(x f x g 时，如0)( x g ，)(x g 除)(x f 的商)(x q 有时也用来表示.二、整除的性质1. 任一多项式)(x f 一定整除它自身.2. 任一多项式)(x f 都能整除零多项式0.3. 零次多项式，即非零常数，能整除任一个多项式.4. 若)(|)(),(|)(x f x g x g x f ，则)()(x cg x f ,其中c 为非零常数.5. 若)(|)(),(|)(x h x g x g x f ，则)(|)(x h x f （整除的传递性）.6. 若r i x g x f i ,,2,1),(|)( ，则))()()()()()((|)(2211x g x u x g x u x g x u x f r r ,其中)(x u i 是数域P 上任意的多项式.通常，)()()()()()(2211x g x u x g x u x g x u r r 称为)(,),(),(21x g x g x g r 的一个组合.由以上性质可以看出，)(x f 与它的任一个非零常数倍)0)(( c x cf 有相同的因式，也有相同的倍式.因之，在多项式整除性的讨论中，)(x f 常常可以用)(x cf 来代替.最后，两个多项式之间的整除关系不因系数域的扩大而改变.即若)(x f ，)(x g 是][x P 中两个多项式，P 是包含P 的一个较大的数域.当然，)(x f ，)(x g 也可以看成是][x P 中的多项式.从带余除法可以看出，不论把)(x f ，)(x g 看成是][x P 中或者是][x P 中的多项式，用)(x g 去除)(x f 所得的商式及余式都是一样的.因此，若在][x P 中)(x g 不能整除)(x f ，则在][x P 中，)(x g 也不能整除)(x f .例1 证明若)()(|)(),()(|)(2121x f x f x g x f x f x g ，则例2 求l k ,，使1|32 kx x l x x .例3 若)(|)(),(|)(x h x g x f x g ，则)()(|)(x h x f x g .§4 多项式的最大公因式一 、多项式的最大公因式如果多项式)(x 既是)(x f 的因式，又是)(x g 的因式，那么)(x 就称为)(x f 与)(x g 的一个公因式.定义6 设)(x f 与)(x g 是][x P 中两个多项式. ][x P 中多项式)(x d 称为)(x f ，)(x g 的一个公因式,如果它满足下面两个条件：1）)(x d 是)(x f 与)(x g 的公因式；2）)(x f ，)(x g 的公因式全是)(x d 的因式.例如，对于任意多项式)(x f ，)(x f 就是)(x f 与0的一个最大公因式.特别地，根据定义，两个零多项式的最大公因式就是0.引理 如果有等式)()()()(x r x g x q x f (1)成立，那么)(x f ，)(x g 和)(x g ，)(x r 有相同的公因式.定理2 对于][x P 的任意两个多项式)(x f ，)(x g ，在][x P 中存在一个最大公因式)(x d ，且)(x d 可以表成)(x f ，)(x g 的一个组合，即有][x P 中多项式)(),(x v x u 使)()()()()(x g x v x f x u x d . (2)由最大公因式的定义不难看出，如果)(),(21x d x d 是)(x f ，)(x g 的两个最大公因式，那么一定有)(|)(21x d x d 与)(|)(12x d x d ，也就是说0),()(21 c x cd x d .这就是说，两个多项式的最大公因式在可以相差一个非零常数倍的意义下是唯一确定的.两个不全为零的多项式的最大公因式总是一个非零多项式.在这个情形，我们约定，用（)(x f ，)(x g ）来表示首项系数是1的那个最大公因式.定理证明中用来求最大公因式的方法通常称为辗转相除法(division algorithm). 例 设求（)(x f ，)(x g ），并求)(),(x v x u 使)()()()()(x g x v x f x u x d .注：定理2的逆不成立.例如令1)(,)( x x g x x f ,则122)1)(1()2(2 x x x x x x .但1222 x x 显然不是)(x f 与)(x g 的最大公因式.但是当(2)式成立，而)(x d 是)(x f 与)(x g 的一个公因式，则)(x d 一定是)(x f 与)(x g 的一个最大公因式.二、多项式互素定义7 ][x P 中两个多项式)(x f ，)(x g 称为互素（也称为互质）的，如果 显然,两个多项式互素,那么它们除去零次多项式外没有其他的公因式，反之亦然.定理3 ][x P 中两个多项式)(x f ，)(x g 互素的充要条件是有][x P 中多项式)(),(x v x u 使1)()()()( x g x v x f x u .定理4 如果1))(),(( x g x f ，且)()(|)(x h x g x f ,那么)(|)(x h x f .推论1 如果)(|)(),(|)(21x g x f x g x f ，且1))(),((21 x f x f ,那么)(|)()(21x g x f x f .推论2 如果1))(),((1 x g x f ,1))(),((2 x g x f ,那么1))(),()((21 x g x f x f推广：对于任意多个多项式)2)((,),(),(21 s x f x f x f s ，)(x d 称为)2)((,),(),(21 s x f x f x f s 的一个最大公因式，如果)(x d 具有下面的性质：1）s i x f x d i ,,2,1),(|)( ;2）如果s i x f x i ,,2,1),(|)( ，那么)(|)(x d x .我们仍用))(,),(),((21x f x f x f s 符号来表示首项系数为1的最大公因式.不难证明)(,),(),(21x f x f x f s 的最大公因式存在，而且当)(,),(),(21x f x f x f s 全不为零时， 就是)(,),(),(21x f x f x f s 的最大公因式，即))(,),(),((21x f x f x f s =))()),(,),(),(((121x f x f x f x f s s同样，利用以上这个关系可以证明，存在多项式s i x u i ,,2,1),( ,使如果1))(,),(),((21 x f x f x f s ，那么)(,),(),(21x f x f x f s 就称为互素的.同样有类似定理3的结论.注意 1)当一个多项式整除两个多项式之积时,若没有互素的条件,这个多项式一般不能整除积的因式之一.例如222)1()1(|1 x x x ,但22)1(|1x x ,且22)1(|1 x x .2) 推论1中没有互素的条件,则不成立.如1)(2 x x g ,1)(1 x x f ,)1)(1()(2 x x x f ,则)(|)(),(|)(21x g x f x g x f ,但)(|)()(21x g x f x f .注意:s )2( s 个多项式)(,),(),(21x f x f x f s 互素时,它们并不一定两两互素.例如,多项式是互素的,但2))(),((21 x x f x f . 令P 是含P 的一个数域, )(x d 是][x P 的多项式)(x f 与)(x g 在][x P 中的首项系数为1的最大公因式,而)(x d 是)(x f 与)(x g 在][X P 中首项系数为1的最大公因式,那么)()(x d x d .即从数域P 过渡到数域P 时, )(x f 与)(x g 的最大公因式本质上没有改变. 互素多项式的性质可以推广到多个多项式的情形：1)若多项式),()()(|)(21x f x f x f x h s )(x h 与)(,),(),(,),(111x f x f x f x f s i i 互素，则)1)((|)(s i x f x h i .2) 若多项式)(,),(),(21x f x f x f s 都整除)(x h ，且)(,),(),(21x f x f x f s 两两互素，则)(|)()()(21x h x f x f x f s .3) 若多项式)(,),(),(21x f x f x f s 都与)(x h 互素，则1))(),()()((21 x h x f x f x f s .§5 因式分解定理一、不可约多项式Con i x i x x x R on x x x Q on x x x )2)(2)(2)(2()2)(2)(2()2)(2(42224 . 定义8 数域P 上次数1 的多项式)(x p 称为域P 上的不可约多项式(irreducible polynomical)，如果它不能表成数域P 上的两个次数比)(x p 的次数低的多项式的乘积.根据定义，一次多项式总是不可约多项式.一个多项式是否可约是依赖于系数域的.显然，不可约多项式)(x p 的因式只有非零常数与它自身的非零常数倍)0)(( c x cp 这两种，此外就没有了.反过来，具有这个性质的次数1 的多项式一定是不可约的.由此可知，不可约多项式)(x p 与任一多项式)(x f 之间只可能有两种关系，或者)(|)(x f x p 或者1))(),(( x f x p .定理5 如果)(x p 是不可约多项式，那么对于任意的两个多项式)(),(x g x f ，由)()(|)(x g x f x p 一定推出)(|)(x f x p 或者)(|)(x g x p .推广：如果不可约多项式)(x p 整除一些多项式)(,),(),(21x f x f x f s 的乘积)()()(21x f x f x f s ，那么)(x p 一定整除这些多项式之中的一个.二、因式分解定理因式分解及唯一性定理 数域P 上次数1 的多项式)(x f 都可以唯一地分解成数域P 上一些不可约多项式的乘积.所谓唯一性是说，如果有两个分解式)()()()()()()(2121x q x q x q x p x p x p x f t s ,那么必有t s ，并且适当排列因式的次序后有s i x q c x p i i i ,,2,1,)()( .其中),,2,1(s i c i 是一些非零常数.应该指出，因式分解定理虽然在理论上有其基本重要性，但是它并没有给出一个具体的分解多项式的方法.实际上，对于一般的情形，普遍可行的分解多项式的方法是不存在的.在多项式)(x f 的分解式中，可以把每一个不可约因式的首项系数提出来，使它们成为首项系数为1的多项式，再把相同的不可约因式合并.于是)(x f 的分解式成为)()()()(2121x p x p x cp x f s r s r r ,其中c 是)(x f 的首项系数，)(,),(),(21x p x p x p s 是不同的首项系数为1的不可约多项式，而s r r r ,,,21 是正整数.这种分解式称为标准分解式.如果已经有了两个多项式的标准分解，就可以直接写出两个多项式的最大公因式.多项式)(x f 与)(x g 的最大公因式)(x d 就是那些同时在)(x f 与)(x g 的标准分解式中出现的不可约多项式方幂的乘积，所带的方幂的指数等于它在)(x f 与)(x g 中所带的方幂中较小的一个.由以上讨论可以看出，带余除法是一元多项式因式分解理论的基础.若)(x f 与)(x g 的标准分解式中没有共同的不可约多项式，则)(x f 与)(x g 互素.注意：上述求最大公因式的方法不能代替辗转相除法，因为在一般情况下，没有实际分解多项式为不可约多项式的乘积的方法，即使要判断数域P 上一个多项式是否可约一般都是很困难的.例 在有理数域上分解多项式22)(23 x x x x f 为不可约多项式的乘积.§6 重因式一、重因式的定义定义9 不可约多项式)(x p 称为多项式)(x f 的k 重因式,如果)(|)(x f x p k ,但)(|)(1x f x p k .如果0 k ，那么)(x p 根本不是)(x f 的因式；如果1 k ，那么)(x p 称为)(x f 的单因式；如果1 k ，那么)(x p 称为)(x f 的重因式.注意. k 重因式和重因式是两个不同的概念,不要混淆. 显然，如果)(x f 的标准分解式为)()()()(2121x p x p x cp x f s r s r r ,那么)(,),(),(21x p x p x p s 分别是)(x f 的1r 重，2r 重，… ,s r 重因式.指数1 i r 的那些不可约因式是单因式；指数1 i r 的那些不可约因式是重因式.不可约多项式)(x p 是多项式)(x f 的k 重因式的充要条件是存在多项式)(x g ,使得)()()(x g x p x f k ,且)(|)(x g x p .二、重因式的判别设有多项式0111)(a x a x a x a x f n n n n ,规定它的微商（也称导数或一阶导数）是1211)1()(a x n a nx a x f n n n n .通过直接验证,可以得出关于多项式微商的基本公式: 同样可以定义高阶微商的概念.微商)(x f 称为)(x f 的一阶微商；)(x f 的微商)(x f 称为)(x f 的二阶微商；等等. )(x f 的k 阶微商记为)()(x f k .一个)1( n n 次多项式的微商是一个1 n 次多项式；它的n 阶微商是一个常数；它的1 n 阶微商等于0.定理6 如果不可约多项式)(x p 是多项式)(x f 的一个)1( k k 重因式,那么)(x p是微商)(x f 的1 k 重因式.分析: 要证)(x p 是微商)(x f 的1 k 重因式,须证)(|)(1x f x p k ,但)(|)(x f x p k. 注意:定理6的逆定理不成立.如333)(23 x x x x f , 22)1(3363)( x x x x f ,1 x 是)(x f 的2重因式,但根本不是)(x f 是因式.当然更不是三重因式.推论 1 如果不可约多项式)(x p 是多项式)(x f 的一个)1( k k 重因式,那么)(x p 是)(x f ，)(x f ,…,)()1(x f k 的因式,但不是)()(x f k 的因式.推论2 不可约多项式)(x p 是多项式)(x f 的重因式的充要条件是)(x p 是)(x f 与)(x f 的公因式.推论3 多项式)(x f 没有重因式1))(),(( x f x f这个推论表明，判别一个多项式有无重因式可以通过代数运算——辗转相除法来解决，这个方法甚至是机械的.由于多项式的导数以及两个多项式互素与否的事实在由数域P 过渡到含P 的数域P 时都无改变,所以由定理6有以下结论:若多项式)(x f 在][x P 中没有重因式,那么把)(x f 看成含P 的某一数域P 上的多项式时, )(x f 也没有重因式.例1 判断多项式有无重因式三、去掉重因式的方法设)(x f 有重因式,其标准分解式为s r s r r x p x p x cp x f )()()()(2121 .那么由定理5此处)(x g 不能被任何),,2,1)((s i x p i 整除.于是用)(x d 去除)(x f 所得的商为这样得到一个没有重因式的多项式)(x h .且若不计重数, )(x h 与)(x f 含有完全相同的不可约因式.把由)(x f 找)(x h 的方法叫做去掉重因式方法.例2 求多项式的标准分解式.§7 多项式函数到目前为止，我们始终是纯形式地讨论多项式，也就是把多项式看作形式表达式.在这一节，将从另一个观点，即函数的观点来考察多项式.一、多项式函数设0111)(a x a x a x a x f n n n n (1)是][x P 中的多项式， 是P 中的数，在(1)中用 代x 所得的数称为)(x f 当 x 时的值,记为)( f .这样，多项式)(x f 就定义了一个数域上的函数.可以由一个多项式来定义的函数就称为数域上的多项式函数.因为x 在与数域P 中的数进行运算时适合与数的运算相同的运算规律，所以不难看出，如果那么定理7(余数定理)用一次多项式去除多项式)(x f ，所得的余式是一个常数，这个常数等于函数值)( f .如果)(x f 在 x 时函数值0)( f ，那么 就称为)(x f 的一个根或零点.由余数定理得到根与一次因式的关系.推论 是)(x f 的根的充要条件是)(|)(x f x .由这个关系，可以定义重根的概念. 称为)(x f 的k 重根，如果)( x 是)(x f 的k 重因式.当1 k 时， 称为单根；当1 k 时， 称为重根.定理8 ][x P 中n 次多项式)0( n 在数域P 中的根不可能多于n 个，重根按重数计算.二、多项式相等与多项式函数相等的关系在上面看到，每个多项式函数都可以由一个多项式来定义.不同的多项式会不会定义出相同的函数呢？这就是问，是否可能有)()(x g x f ,而对于P 中所有的数 都有)()( g f ?由定理8不难对这个问题给出一个否定的回答.定理9 如果多项式)(x f ,)(x g 的次数都不超过n ,而它们对n+1个不同的数有相同的值即)()(i i g f ,1,,2,1 n i ,那么)(x f =)(x g .因为数域中有无穷多个数，所以定理9说明了，不同的多项式定义的函数也不相同.如果两个多项式定义相同的函数，就称为恒等，上面结论表明，多项式的恒等与多项式相等实际上是一致的.换句话说，数域P 上的多项式既可以作为形式表达式来处理，也可以作为函数来处理.但是应该指出，考虑到今后的应用与推广，多项式看成形式表达式要方便些.三、综合除法根据余数定理,要求)(x f 当c x 时的值,只需用带余除法求出用c x 除)(x f 所得的余式.但是还有一个更简便的方法,叫做综合除法.设并且设r x q c x x f )()()(. (2)其中比较等式(2)中两端同次项的系数.得到这样,欲求系数k b ,只要把前一系数1 k b 乘以c 再加上对应系数k a ,而余式r 也可以按照类似的规律求出.因此按照下表所指出的算法就可以很快地陆续求出商式的系数和余式:表中的加号通常略去不写.例1 用3 x 除94)(24 x x x x f .例2 求k 使355)(234 kx x x x x f 能被3 x 整除注意 :若)(x f 缺少某一项,在作综合除法时该项系数的位置要补上零.四、拉格朗日插值公式已知次数n 的多项式)(x f 在)1,,2,1( n i c x i 的值)1,,,2,1()( n i b c f i i .设 依次令c x 代入)(x f ,得这个公式叫做拉格朗日(Lagrange)插值公式.例3 求次数小于3的多项式)(x f ,使3)2(,3)1(,1)1( f f f .下面介绍将一个多项式表成一次多项式 x 的方幂和的方法.所谓n 次多项式)(x f 表成 x 的方幂和，就是把)(x f 表示成的形式.如何求系数011,,,,b b b b n n ，把上式改写成01211)]()()([)(b x b x b x b x f n n n n ,就可看出0b 就是)(x f 被 x 除所得的余数，而就是)(x f 被 x 除所得的商式.又因为123121)]()()([)(b x b x b x b x q n n n n .又可看出1b 是商式)(1x q 被 x 除所得的余式，而233122)()()()(b x b x b x b x q n n n n .就是)(1x q 被 x 除所得商式.这样逐次用 x 除所得的商式，那么所得的余数就是n n b b b b ,,,,110 .例4 将5)2()2(3)2(2)2()(234 x x x x x f 展开成x 的多项式.解 令2 x y ，则2 y x .于是532)2(234 y y y y y f .问题变为把多项式532234 y y y y 表成2 y （即x ）的方幂和,-2 | 1 2 -3 1 5+) -2 0 6 -14------------------------------------------------------- -2 | 1 0 -3 7 | -9+) -2 4 -2------------------------------------------------------ -2 | 1 -2 1 | 5+) -2 8----------------------------------------------- -2 | 1 -4 | 9+) -2----------------------------------1 | -6所以9596)(234 x x x x x f .注意：将)(x f 表成 x 的方幂和，把 写在综合除法的左边，将 x 的方幂和展开成x 的多项式，那么相当于将)(x f 表成c c x )(的方幂和，要把c 写在综合除法的左边.§8 复系数和实系数多项式的因式分解一、 复系数多项式因式分解定理代数基本定理 每个次数1 的复系数多项式在复数域中有一个根.利用根与一次因式的关系，代数基本定理可以等价地叙述为：每个次数1 的复系数多项式在复数域上一定有一个一次因式.由此可知，在复数域上所有次数大于1的多项式都是可约的.换句话说，不可约多项式只有一次多项式.于是，因式分解定理在复数域上可以叙述成：复系数多项式因式分解定理 每个次数1 的复系数多项式在复数域上都可以唯一地分解成一次因式的乘积.因此，复系数多项式具有标准分解式其中s ,,,21 是不同的复数，s l l l ,,,21 是正整数.标准分解式说明了每个n 次复系数多项式恰有n 个复根（重根按重数计算）.二、实系数多项式因式分解定理对于实系数多项式，以下事实是基本的：如果 是实系数多项式)(x f 的复根，那么 的共轭数 也是)(x f 的根,并且 与 有同一重数.即实系数多项式的非实的复数根两两成对.实系数多项式因式分解定理 每个次数1 的实系数多项式在实数域上都可以唯一地分解成一次因式与含一对非实共轭复数根的二次因式的乘积.实数域上不可约多项式,除一次多项式外,只有含非实共轭复数根的二次多项式.因此，实系数多项式具有标准分解式其中r r s q q p p c c ,,,,,,,,111 全是实数，s l l l ,,,21 ,r k k ,,1 是正整数，并且),,2,1(2r i q x p x i i 是不可约的，也就是适合条件r i q p i i ,,2,1,042 ..代数基本定理虽然肯定了n 次方程有n 个复根，但是并没有给出根的一个具体的求法.高次方程求根的问题还远远没有解决.特别是应用方面，方程求根是一个重要的问题，这个问题是相当复杂的，它构成了计算数学的一个分支.三、n 次多项式的根与系数的关系.令.)(11n n n a x a x x f (1)是一个n (>0)次多项式,那么在复数域C 中)(x f 有n 个根,,,,21n 因而在][x C 中)(x f 完全分解为一次因式的乘积:展开这一等式右端的括号,合并同次项,然后比较所得出的系数与(1)式右端的系数,得到根与系数的关系.其中第),,2,1(n k k 个等式的右端是一切可能的k 个根的乘积之和,乘以k )1( .若多项式的首项系数,10 a 那么应用根与系数的关系时须先用0a 除所有的系数,这样做多项式的根并无改变.这时根与系数的关系取以下形式:利用根与系数的关系容易求出有已知根的多项式.例1 求出有单根5与-2,有二重根3的四次多项式.例2. 分别在复数域和实数域上分解1 n x 为标准分解式.§9 有理系数多项式作为因式分解定理的一个特殊情形，有每个次数≥1的有理系数多项式都能分解成不可约的有理系数多项式的乘积.但是对于任何一个给定的多项式，要具体地作出它的分解式却是一个很复杂的问题，即使要判别一个有理系数多项式是否可约也不是一个容易解决的问题，这一点是有理数域与复数域、实数域不同的.在这一节主要是指出有理系数多项式的两个重要事实：第一，有理系数多项式的因式分解的问题，可以归结为整（数）系数多项式的因式分解问题，并进而解决求有理系数多项式的有理根的问题.第二，在有理系数多项式环中有任意次数的不可约多项式.一、有理系数多项式的有理根设是一个有理系数多项式.选取适当的整数c 乘)(x f ，总可以使)(x cf 是一个整系数多项式.如果)(x cf 的各项系数有公因子，就可以提出来，得到)()(x dg x cf ,也就是其中)(x g 是整系数多项式，且各项系数没有异于±1的公因子.如果一个非零的整系数多项式011)(b x b x b x g n n n n 的系数01,,,b b b n n 没有异于±1的公因子,也就是说它们是互素的,它就称为一个本原多项式.上面的分析表明，任何一个非零的有理系数多项式)(x f 都可以表示成一个有理数r 与一个本原多项式)(x g 的乘积，即)()(x rg x f .可以证明，这种表示法除了差一个正负号是唯一的.亦即，如果)()()(11x g r x rg x f ,其中)(),(1x g x g 都是本原多项式，那么必有因为)(x f 与)(x g 只差一个常数倍，所以)(x f 的因式分解问题，可以归结为本原多项式)(x g 的因式分解问题.下面进一步指出，一个本原多项式能否分解成两个次数较低的有理系数多项式的乘积与它能否分解成两个次数较低的整系数多项式的乘积的问题是一致的.定理10(Gauss 引理) 两个本原多项式的乘积还是本原多项式.定理11 如果一非零的整系数多项式能够分解成两个次数较低的有理系数多项式的乘积，那么它一定可以分解两个次数较低的整系数多项式的乘积.以上定理把有理系数多项式在有理数域上是否可约的问题归结到整系数多项式能否分解成次数较低的整系数多项式的乘积的问题.推论 设)(x f ，)(x g 是整系数多项式，且)(x g 是本原多项式，如果)()()(x h x g x f ，其中)(x h 是有理系数多项式，那么)(x h 一定是整系数多项式.这个推论提供了一个求整系数多项式的全部有理根的方法.定理12 设是一个整系数多项式.而sr 是它的一个有理根,其中s r ,互素,那么 (1) 0|,|a r a s n ;特别如果)(x f 的首项系数1 n a ，那么)(x f 的有理根都是整根，而且是0a 的因子. (2) ),()()(x q sr x x f 其中)(x q 是一个整系数多项式.给了一个整系数多项式)(x f ,设它的最高次项系数的因数是k v v v ,,,21 ,常数项的因数是.,,,21l u u u 那么根据定理12,欲求)(x f 的有理根,只需对有限个有理数j i v u 用综合除法来进行试验. 当有理数ji v u 的个数很多时,对它们逐个进行试验还是比较麻烦的.下面的讨论能够简化计算.首先,1和-1永远在有理数j i v u 中出现,而计算)1(f 与)1( f 并不困难.另一方面,若有理数)1( a 是)(x f 的根,那么由定理12,而)(x q 也是一个整系数多项式.因此商都应该是整数.这样只需对那些使商a f a f 1)1(1)1(与都是整数的ji v u 来进行试验.(我们可以假定)1(f 与)1( f 都不等于零.否则可以用1 x 或1 x 除)(x f 而考虑所得的商.)例1 求多项式的有理根.例2 证明在有理数域上不可约.二、有理数域上多项式的可约性定理13 (艾森斯坦(Eisenstein)判别法) 设是一个整系数多项式.若有一个素数p ,使得1. n a p |; 2. 021,,,|a a a p n n ;3. 02|a p. 则多项式)(x f 在有理数域上不可约.由艾森斯坦判断法得到:有理数域上存在任意次的不可约多项式.例如2)( n x x f .,其中n 是任意正整数.艾森斯坦判别法的条件只是一个充分条件.有时对于某一个多项式)(x f ,艾森斯坦判断法不能直接应用,但把)(x f 适当变形后,就可以应用这个判断法.例3 设p 是一个素数,多项式叫做一个分圆多项式,证明)(x f 在][x Q 中不可约.证明：令1 y x ，则由于1)()1( p x x f x ,y C y C y y y yf p p p p p p 1111)1()1( ,令)1()( y f y g ，于是1211)( p p p p p C yC y y g , 由艾森斯坦判断法，)(y g 在有理数域上不可约，)(x f 也在有理数域上不可约.第一章 多项式(小结)一元多项式理论,主要讨论了三个问题:整除性理论(整除,最大公因式,互素);因式分解理论(不可约多项式,典型分解式,重因式);根的理论(多项式函数,根的个数).其中整除性是基础,因式分解是核心.一、基本概念.1.一元多项式(零多项式),多项式的次数.多项式的相等,多项式的运算,一元多项式环.2．基本结论:(1) 多项式的加法,减法和乘法满足一些运算规律.(2) )).(())(())()(())),(()),((max())()((000000x g x f x g x f x g x f x g x f(3) 多项式乘积的常数项(最高次项系数)等于因子的常数项(最高次项系数)的乘积.二、整除性理论1.整除的概念及其基本性质.2.带余除法.(1) 带余除法定理.(2) 设1)()()()(|)(,0)(][)(),( x r x f x g x f x g x g x F x g x f 的余式除，. 因此多项式的整除性不因数域的扩大而改变.3. 最大公因式和互素.(1) 最大公因式,互素的概念.。
高等代数课件
相等.
推论 8.2.6 任意n维欧氏空间都与Rn同构.
8.3 正交变换与对称变换
一 、 正交变换的定义及性质
定义1 欧氏空间V的线性变换称为正
交变换, 如果它保持任意两个向量的内积不 变, 即对任意, V，有 (), ()＝, .
例1 在欧氏空间V2 中， 是把V2 中任意向量
例 2 函数 1, cosx, sinx, …, cosnx, sinnx, …是C[0,2]的一个正交
组. 定理 8.2.1 设{1, 2,…, n}是欧氏空间的一个正交组, 则1, 2,…, n 线性无关. 如果n维欧氏空间V中n个1, 2,…, n向量构成一个正交组, 则由 定理8.2.1这n个向量构成V的一个基. 这种两两正交的向量构成的基 叫做V的正交基. 两两正交的单位向量构成的基叫做标准正交基.
例 7 (Schwartz不等式) 考虑例3的欧氏空间C[a, b], 对区间[a,b] 上的任意连续函数f(x), g(x)都有:
a f ( x) g ( x)dx a f
b
b
2
( x)dx
b 2 g ( x)dx a
五. 向量的夹角
定义 3 设与是欧氏空间的两个非零向量. 与的夹角由以
六. 欧氏空间的同构
定义 3 设V与V' 是两个欧氏空间, 如果 (i) 作为实数域上的向量空间, 存在V 到V' 的一个同构影射 f: V
V'.
(ii) 对任意,V, 都有: < , >=<f(), f()>. 则称V与V' 是同构的. 定理 8.2.6 两个有限维欧氏空间同构的充要条件是它们的维数
( x1 y1 ) 2 ( x2 y2 ) 2 ( xn yn ) 2