1.1-集合的基本概念(离散数学)

【定义2】子集(subset) 定义2 子集( 是两个集合， 的元素都是B 设A，B是两个集合，若A的元素都是 ， 是两个集合 的元素都是 的元素，则称 是 的子集 也称B包含 的子集， 包含A， 的元素，则称A是B的子集，也称 包含 ， 或A包含于B，记以 B，或B A 。 包含于 ，记以A 包含 ， 若AB，且A≠B，则称 是B的真子集 ， ≠ ，则称A是 的真子集 也称B真包含 真包含A， (proper subset)，也称 真包含 ，或A 真包含于 ，记以A ， 真包含于B，记以 B，或B A 。
有限集 、无限集
包含有限个元素的集合， 包含有限个元素的集合，称为有限集或 有穷集( 有穷集(finite set)； ) 包含无限个元素的集合，称为无限集或 包含无限个元素的集合， 无穷集( 无穷集(infinite set )。 例：所有英文字母组成的集合是有限集， 所有英文字母组成的集合是有限集， 有限集 整数集合是无限集。 整数集合是无限集。
例：
是正偶数}， 设A={2,4,6,8} ，B= {x|x是正偶数 ， 是正偶数 C={x|x是整数 ,则有 B，B C， = 是整数}, 是整数 则有A ， ， AC,并且 B，B C，A C 。 并且 并且A ， ，
重要结论
对任意集合A, 对任意集合 有A A。 。 空集是任意集合的子集， 空集是任意集合的子集，且空集是唯一 的。 对于任意两个集合A、 ， 对于任意两个集合 、B，A=B当且仅当 当且仅当 AB且BA。 且 。
set) set)
是集合， 的所有子集为元素做成的 设A 是集合，A的所有子集为元素做成的 集合称为A的幂集，记以ρ ) 集合称为 的幂集，记以ρ(A)或 2A。 的幂集 ρ(A)={S|S A} 例： A={a,b,c} ，则 ρ(A)={φ,{a},{b},{c},{a,b},{a,c},{b,c},{a,b,c}} )=
“所要讨论的一类对象的整体”； 所要讨论的一类对象的整体” “具有同一性质单元的集体” 具有同一性质单元的集体”
通常，用大写的英文字母 通常，用大写的英文字母A, B, C,…… 表示集合； 表示集合；
例如: 例如:
1、二十六个英文字母可以看成是一个集 、 合；
2、所有的自然数看成是一个集合； 、所有的自然数看成是一个集合； 3、吉林大学计算机学院2001级的本 、吉林大学计算机学院 级的本 科学生可以看成是一个集合； 科学生可以看成是一个集合； 4、这间教室中的所有座位可以看成 、 是一个集合。 是一个集合。
2. 3.
【定义4】集合族、标志集 定义4 集合族、
是一个集合。 的元素都是集合， 设C是一个集合。若C的元素都是集合， 是一个集合 的元素都是集合 则称C为集合族。 则称 为集合族。 为集合族 若集合族C可表示为 若集合族 可表示为C={Sd|d∈D}，则 可表示为 ∈ ， 为集合族C的标志 称D为集合族 的标志（索引）集。 为集合族 的标志（索引）
2.
【定义1】集合相等 定义1
当两个集合A和 的元素完全一样 的元素完全一样， 当两个集合 和B的元素完全一样， 实际上是同一个集合时， 即A，B实际上是同一个集合时，则 ， 实际上是同一个集合时 称集合A，B相等，记以 相等， 称集合 ， 相等 记以A=B。 。 是偶数， 例：设A={x|x是偶数，且0<x<10}， 是偶数 ， B={2,4,6,8}，则A=B。 ， 。
讨论： 讨论：
是否存在集合A和 使得A 是否存在集合 和B, 使得 ∈B 且A B ？若存在，请举一例。 若存在，请举一例。 设A={a} ，B={a,{a},b,c}，则有 ，则有: A∈B 且A B 再例如： 再例如： φ ∈{φ}且φ {φ} 且
【定义3】幂集(power 定义3 幂集(
交集的文氏图
A
B
A∩B ∩
并集和交集的推广
个集合， 设 A1 ， A2 ， …，An 是 n个集合 ， 则 ， ， 个集合
n
A1∪A2∪…∪An ，简记为 UAi ∪
i=1
n
A1∩A2∩…∩An ，简记为 I A ∩ i
i=1
容斥原理
(principle of inclusion-exclusion) inclusion-
集合的元素数
设A是有穷集合， A中元素的个数称为 是有穷集合， 中元素的个数称为 集合A的元素数，记为| | 集合 的元素数，记为|A|。 的元素数 例如，设A是所有英文字母组成的集合， 是所有英文字母组成的集合， 例如， 是所有英文字母组成的集合 则|A|=26。 | 。 特别， 特别， | φ |=0
幂集的性质
1.
为有穷集， 若A为有穷集，|A|=n，则 为有穷集 ， |2A | = Cn0 + Cn1 + … + Cnn =2n 。 x∈ρ 当且仅当 A。 ∈ρ(A)当且仅当 ∈ρ 当且仅当x 。 是两个集合， 当且仅当 设 A、 B是两个集合 ， AB当且仅当 、 是两个集合 ρ(B)； ρ(A)ρ ； ρ
a V u
E
集合的特征
确定性； 确定性； 互异性； 互异性； 无序性； 无序性； 多样性； 多样性；
确定性
任何一个对象， 任何一个对象，或者是这个集合的元 或者不是，二者必居其一； 素，或者不是，二者必居其一； 例如：A={x|x是自然数，且x<100} 是自然数， 例如： 是自然数 B={x|x是年轻人 是年轻人} 是年轻人 C={x|x是秃子 是秃子} 是秃子
设集合S={A|A是集合，且AA} 是集合， 设集合 是集合
1.
是集合S的元素 若S∈S，则S是集合 的元素，则根据 ， 是集合 的元素，则根据S 的定义，有S S，与假设矛盾； 的定义， ，与假设矛盾； 是不以自身为元素的集合， 若SS，则S是不以自身为元素的集合， ， 是不以自身为元素的集合 则根据S的定义， 则根据 的定义，有S∈S，与假设矛盾； 的定义 ，与假设矛盾；
容斥原理
n n
(principle of inclusion-exclusion) inclusion-
个集合， 设A1，A2，…，An是n个集合，则 ， 个集合
UA = ∑ A ∑ A I A + ∑ A I A I A
i i=1 i=1 i i< j i j i< j<k i j
多样性
集合中的元素可以是任意的对象， 集合中的元素可以是任意的对象，相 互独立， 互独立，不要求一定要具备明显的共 同特征。 同特征。 例如： 例如： A={a,{a},{{a},b},{{a}}, 1} A={1,a,*,-3,{a,b},{x|x是汽车 地球 是汽车},地球 是汽车 地球}
罗素悖论(Russell’ paradox) 罗素悖论(Russell’s paradox)
互异性
集合中任何两个元素都是不同的， 集合中任何两个元素都是不同的，即 集合中不允许出现重复的元素。 集合中不允许出现重复的元素。 例如： 集合 例如： 集合A={a,b,c,c,b,d}，实际上， ，实际上， 应该是A={a,b,c,d} 应该是
无序性
集合与其中的元素的顺序无关
例如： 集合 例如： 集合{a,b,c,d,e}、{d,c,e,a,b}、 、 、 {e,c,d,b,a}，都是表示同一个集合。 ，都是表示同一个集合。
【定义5】集合的并集(Union) 定义5 集合的并集(Union) 是两个集合。 设 A，B是两个集合。 所有属于 或者属于 ， 是两个集合 所有属于A或者属于 B的元素做成的集合， 称为 和 B的并集 ， 的元素做成的集合， 称为A和 的并集 的并集， 的元素做成的集合 记以A∪B。即A∪B={x|x∈A或x∈B} 记以 ∪ 。 ∪ ∈ 或 ∈ 例如， 例如，令A={a，b，c，d}，B={c，d，e， ， ， ， ， ， ， ， f}，于是A∪B={a，b，c，d，e，f}。 ，于是 ∪ ， ， ， ， ， 。
离 散 数 学 ( I)
离散数学 离散数学(I) 数学(
第一章 第二章 第三章 第四章 第五章 集合论基础 命题逻辑 一阶逻辑 图与网络 数论基础
第一章 集合论基础
§1.1 集合的基本概念 §1.2 关 系 §1.3 映 射
康托尔 (Cantor) Ca什么是集合 集合(Set)？ 集合 ？
显然， 是一个集合族。 显然，2A是一个集合族。 是集合的序列， 设A1, A2, A3, …是集合的序列，且两两 是集合的序列 之间互不相同，则集合 之间互不相同，则集合{A1, A2, A3, …} 是一个集合族，可表示为{Ai| i∈N}， 是一个集合族，可表示为 ∈ ， 其中, 是自然数集合 是自然数集合， 其中,N是自然数集合，是该集合的标 志集合。 志集合。
文氏图(Venn Diagram) 文氏图 用一个大的矩形表示全集 矩形表示全集， 用一个大的矩形表示全集，在矩形内画一些 圆或其它的几何图形，来表示集合， 圆或其它的几何图形，来表示集合，有时也 用一些点来表示集合中的特定元素。 用一些点来表示集合中的特定元素。 例如：集合 文氏图表示如 例如：集合V={a,e,i,o,u} ，用文氏图表示如 下:
容斥原理是指我们计算某类物体的数目时， 容斥原理是指我们计算某类物体的数目时，要 排斥那些不应包含在这个计数中的数目， 排斥那些不应包含在这个计数中的数目，但同 时要包容那些被错误地排斥了的数目， 时要包容那些被错误地排斥了的数目，以此补 偿。 定理： 是任意有限集合， 定理：设A、B是任意有限集合，有： |A∪ |A∪B| = |A| + |B| - | A∩B|
空集、 空集、全集
约定，存在一个没有任何元素的集合， 约定，存在一个没有任何元素的集合， 称为空集(empty set) ，记为φ，有时也用{} ) 记为φ 有时也用{} 来表示。 来表示。 约定， 约定，所讨论的对象的全体称为全集 (universal set)，记作 或U，我们所讨论 ，记作E或 ， 的集合都是全集的子集 全集是相对的。 的集合都是全集的子集 。全集是相对的。 全集